tower 5 - dimenzionisanje betona - objasnjenje

Proračun prema graničnom stanju nosivosti - Savijanje sa normalnom silom

1 UVOD

Tower 5, preko specijalizovanog modula za dimenzionisanje, omogućava integrisano automatsko dimenzionisanje armiranobetonskih elemenata. Programom je podržan niz nacionalnih standarda:

- PBAB87

- EuroCode 2

- DIN 1045

- BS 8110

- SIA

- ACI 318

- SNiP

- MSZ

- BSD

Armiranobetonske elemente je moguće dimenzionisati prema graničnom stanju nosivosti i prema graničnom stanju upotrebljivosti. Dimenzionisanje prema graničnom stanju nosivosti podrazumeva određivanje potrebne količine podužne i poprečne armature u AB elementima. Za dimenzionisane elemente sa usvojenom armaturom, proračunom prema graničnom stanju upotrebljivosti se, na zahtev korisnika, računaju merodavne veličine širine prslina i ugiba elemenata.

Proračun bazira na uticajima automatski generisanih kombinacija opterećenja (automatskom generacijom je pokriven spektar svih mogućih kombinacija opterećenja). Za proračun prema graničnom stanju nosivosti se formira set kombinacija graničnih opterećenja, dok se za proračun prema graničnom stanju upotrebljivosti generiše set kombinacija eksploatacionih opterećenja.

Korisnički interface obezbeđuje jasan i pregledan prikaz rezultata proračuna, kako u okviru grafičkog okruženja, tako i u obliku spremnom za štampanje.

Kako proces dimenzionisanja AB elemenata nije nikad jednoznačan u svom krajnjem rezultatu, korisnikove intervencije tokom procesa se podrazumevaju, za šta je kreiran intuitivan interaktivan korisnički interface.

Radimpex 1/86


2 PRORAČUN PREMA GRANIČNOM STANJU

NOSIVOSTI

U sklopu dimenzionisanja elemenata prema graničnom stanju nosivosti, za AB elemente se određuje potrebna količina podužne i/ili poprečne armature, koja obezbeđuje prijem i prenos najnepovoljnijih uticaja koji se mogu javiti u elementu/preseku.

Omogućeno je dimenzionisanje linijskih i pločastih elemenata, a korisničkim okruženjem su ove dve opcije razdvojene, zbog različitog seta ulaznih podataka koji su posledica korisnikove intervencije.

Rezultat proračuna prema graničnom stanju nosivosti je:

- za linijske elemente (grede, stubovi):

o potrebna količina podužne armature u zadatom rasporedu, i

o potrebna količina poprečne armature (rezultat se daje u obliku potrebne količine dvosečnih uzengija);

- za AB ploče:

o potrebna količina podužne armature u zadatim pravcima pružanja.

U modul za dimenzionisanje su, tamo gde je to bilo moguće i vremenski prihvatljivo, ugrađeni i algoritmi kojima se optimizuje proračun u smislu količine potrebne armature.

2.1 STANDARDIProračun elemenata saglasno graničnom stanju nosivosti moguće je sprovesti prema sledećim aktuelnim nacionalnim standardima:

PBAB87 – ex-Jugoslovenski standardi, EuroCode 2 – standardi Evropske unije, DIN – Nemački standardi, BS 8110 – Britanski standardi, SIA – Švajcarski standardi, ACI – Američki standardi, SNiP – Ruski standardi, MSZ – Mađarski standardi, BSD – Bugarski standardi.

U pojedinim odredbama nacionalni standardi se pozivaju na odredbe drugih standarda ili podstandarda, koji u prethodnom popisu nisu navedeni. U situacijama kada pojedinim standardom nije definisan specifičan segment proračuna, korišćena su opšte prihvaćena rešenja iz srodnih standarda.

Radimpex 2/86


Specifičnosti primenjenog algoritma koje su posledica primene različitih standarda su date u okviru svake stavke proračuna u nastavku.

2.2 KOMBINOVANJE OPTEREĆENJAModul za dimenzionisanje je u celosti baziran na uticajima iz automatski generisanih kombinacija opterećenja.

Pojedinim standardima je, bilo eksplicitno, bilo posredno, definisan način na koji se formiraju kombinacije graničnih opterećenja od definisanih osnovnih slučajeva opterećenja. Redovno, reč je o linearnoj kombinaciji uticaja za osnovna opterećenja umnoženih parcijalnim koeficijentima sigurnosti:

i iqgde je:

i parcijalni koeficijent za slučaj opterećenja i,

iq posmatrani uticaj od slučaja opterećenja i.

Programom se kreira lista svih mogućih kombinacija opterećenja koje pojedini standard definiše, a koje zadovoljavaju i specifične uslove zadate od strane korisnika u smislu mogućnosti kombinovanja pojedinih parova opterećenja (mogućnost međusobnog isklučivanja istovremenog delovanja pojedinih parova opterećenja).

Zavisno od broja osnovnih slučajeva opterećenja, te od primenjenih standarda, lista generisanih kombinacija opterećenja može biti vrlo dugačka (često i više hiljada kombinacija opterećenja). Kako je vreme proračuna zavisno od broja kombinacija na koje pojedini preseci/elementi moraju biti proračunati/provereni, to se u slučaju kompleksnih konstrukcija sa velikim brojem opterećenja preporučuje minimiziranje broja osnovnih slučajeva opterećenja (grupisanje srodnih opterećenja).

Korisniku je ostavljena mogućnost da element/konstrukciju dimenzioniše na uticaje samo zadate kombinacije opterećenja ili anvelope zadatih kombinacija opterećenja (tekući slučaj opterećenja). Ovaj pristup se preporučuje samo u situacijama kada je merodavna kombinacija opterećenja izvesna, a u cilju skraćenja vremena proračuna.

Za objašnjenje načina na koji se u modulu za dimenzionisanje kreira lista mogućih kombinacija opterećenja, neophodno je definisati sledeće termine:

- Slučaj opterećenja. Listu slučajeva opterećenja kreira korisnik, a broj slučajeva nije ograničen (treba imati na umu gornju primedbu o dužini proračuna). U okviru jednog slučaja opterećenja grupišu se sva dejstva iste prirode, za koje se podrazumeva da deluju simultano. Nazive pojednim slučajevima opterećenja daje korisnik. Modul za dimenzionisanje koristi listu opterećenja koja je kreirana ranije za potrebe strukturalne analize konstrukcije. Svaki slučaj opterećenja je određene vrste. Moguće je (često i neophodno) kreirati više slučajeva opterećenja iste vrste.

- Vrsta opterećenja. Lista vrsta opterećenja je definisana izabranim standardom. Potreba da različite vrste opterećenja u postupku kombinovanja imaju različit tretman je uslovila klasifikaciju svih opterećenja u grupe – vrste. Korisnik za svaki od slučajeva opterećenja definiše vrstu opterećenja. Ovde je moguće pojedina opterećenja isključiti prilikom dimenzionisanja tako što nekom slučaju opterećenja neće biti dodeljena vrsta (nedefinisano opterećenje).

- Vrsta kombinacije opterećenja. Lista vrsta kombinacija opterećenja je definisana izabranim standardom proračuna. Za svaku vrstu kombinacije opterećenja propisuju se različiti setovi parcijalnih koeficijenata sigurnosti.

- Parcijalni koeficijenti sigurnosti za opterećenje. Definisani su standardima za svaku vrstu kombinacije opterećenja. Ovim koeficijentima se množe uticaji pojedinih slučajeva opterećenja.

Radimpex 3/86


- Parcijalni koeficijenti za materijal. Pojedini standardi, pored parcijalnih koeficijenata za opterećenja, propisuju i parcijalne koeficijente za materijale, kojima se redukuju mehaničke karakteristike betona i čelika za armiranje. Ovi koeficijenti su zavisni od vrste kombinacije opterećenja.

Opterećenja stalnog karaktera, saglasno činjenici da uvek deluju, moraju biti prisutna u svakoj od kombinacija opterećenja. Za slučaj njihovog povoljnog delovanja propisuju se parcijalni koeficijenti povoljnog delovanja stalnog opterećenja.

U slučaju povoljnog dejstva nekog ne-stalnog opterećenja, merodavna kombinacija opterećenja ne sadrži uticaje tog opterećenja (parcijalni koeficijent je nula). Izuzetak su opterećenja alternativnog karaktera, kada je jedan od smerova delovanja opterećenja izvesno nepovoljan (drugi je povoljan).

***

U nastavku su date specifičnosti kombinovanja opterećenja definisane pojedinim standardima.

2.2.1 PBAB87Specifičnost kombinovanja graničnih opterećenja prema PBAB87 je u promenljivim vrednostima parcijalnih koeficijenata sigurnosti zavisnim od naponskog stanja u najviše zategnutom vlaknu armature.

2.2.1.1 Vrste opterećenja: stalna (g), povremena (p): "ostala" (o), seizmička (s), incidentna (i).

Zbog specifičnosti kombinovanja pojedinih stalnih i povremenih vrsta opterećenja, lista vrsta opterećenja je sledeća:

1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna opterećenja;4. Opterećenja vetrom;5. Ostala povremena opterećenja;6. Ostala opterećenja;7. Seizmička opterećenja;8. Incidentna opterećenja.

Opterećenja 1 – 2 su stalna, a 3 – 5 povremena.

2.2.1.2 Vrste kombinacija: - kombinacije stalnih i povremenih opterećenja (g + p),- kombinacije stalnih, povremenih i ostalih opterećenja (g + p + o),- seizmičke kombinacije (g + p + s),- incidentne kombinacije (g + p + i).

2.2.1.3 Pravila za kombinovanje: - kombinacije stalnih i povremenih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog

opterećenja:

1.6 1.8 za 0.0031.9 2.1 za 0

a

a

g pg p

(2.1)

1.0 1.8 za 0.0031.2 2.1 za 0

a

a

g pg p

(2.2)

Radimpex 4/86


- kombinacije stalnih, povremenih i ostalih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

1.3 1.5 1.3 za 0.0031.5 1.8 1.5 za 0

a

a

g p og p o

(2.3)

1.0 1.5 1.3 za 0.0031.2 1.8 1.5 za 0

a

a

g p og p o

(2.4)

- seizmičke kombinacije za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

1.3 ( )g p s (2.5)

1.0 1.3 ( )g p s (2.6)

- incidentne kombinacije za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

1.1 ( )g p i (2.7)

1.0 1.1 ( )g p i (2.8)

Za prve dve vrste kombinacija opterećenja, gde su parcijalni koeficijenti sigurnosti promenljivi (u funkciji dilatacija armature), za područje dilatacija čelika između 0 i 3 promila, vrednost parcijalnog koeficijenta se sračunava primenom linearne interpolacije.

Korisna opterećenja se u seizmičkim kombinacijama uzimaju sa polovinom vrednosti uticaja.

Automatski je isključena mogućnost istovremenog delovanja dva seizmička slučaja opterećenja ili dva opterećenja vetrom. Takođe, saglasno odredbama standarda, isključuje se mogućnost istovremenog delovanja opterećenja vetrom i seizmičkog opterećenja.

2.2.1.4 Parcijalni koeficijenti za materijal: Ovim standardima nije predviđena redukcija mehaničkih karakteristika materijala, zbog čega su vrednosti parcijalnih koeficijenata i za beton i za čelik usvojeni 1.0 za sve vrste kombinacija opterećenja.

2.2.2 EC22.2.2.1 Vrste opterećenja:

stalna (g), povremena (p), seizmička (s), incidentna (i).

Zbog specifičnosti kombinovanja pojedinih stalnih i povremenih vrsta opterećenja, kao i zbog različitih vrednosti ψ-koeficijenata za pojedina opterećenja, lista vrsta opterećenja je sledeća:

1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna opterećenja tipa A;4. Korisna opterećenja tipa B;5. Korisna opterećenja tipa C;6. Korisna opterećenja tipa D;7. Korisna opterećenja tipa E;8. Saobraćajna opterećenja tipa F;9. Saobraćajna opterećenja tipa G;10. Saobraćajna opterećenja tipa H;11. Opterećenja snegom;12. Opterećenja vetrom;13. Opterećenja temperaturnim uticajima;

Radimpex 5/86


14. Opterećenja izazvana prinudnim deformacijama;15. Ostala povremena opterećenja;16. Seizmička opterećenja;17. Incidentna opterećenja.


2.2.2.2 Vrste kombinacija opterećenja: stalne i prolazne kombinacije (g + p), seizmičke kombinacije (g + p + s), incidentne kombinacije (g + p + i).

2.2.2.3 Pravila za kombinovanje: - stalne i prolazne kombinacije za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

, 0G p dom dom pg p p (2.9)

, 0p dom dom pg p p (2.10)

- seizmičke kombinacije:

2 Sg p S (2.11)


1 2G domg p p i (2.12)

1 2domg p p i (2.13)

U prethodnim izrazima sa pdom je označen dominantni povremeni slučaj opterećenja.

Vrednosti parcijalnih koeficijenata su sledeće:

1.00 za opterecenje prednaprezanjem,1.35 za ostala stalna opterecenja,1.20 za uticaje izazvane prinudnim deformacijama,1.50 za ostala povremena opterecenja,1.00 za seizmicka opterecenja.

G

G

P

P

S

Vrednosti ψ-koeficijenata su usvojene prema sledećoj tabeli:

Vrsta povremenog opterećenja ψ0 ψ1 ψ2

3. Korisno – tip A 0.7 0.5 0.34. Korisno – tip B 0.7 0.5 0.35. Korisno – tip C 0.7 0.7 0.66. Korisno – tip D 0.7 0.7 0.67. Korisno – tip E 1.0 0.9 0.88. Saobraćajno – tip F 0.7 0.7 0.69. Saobraćajno – tip G 0.7 0.5 0.310. Saobraćajno – tip H 0.0 0.0 0.011. Opterećenje snegom 0.6 0.2 0.012. Opterećenje vetrom 0.6 0.5 0.013. Temperaturni uticaji 0.6 0.5 0.014. Prinudne deformacije 1.0 1.0 1.015. Ostala 1.0 1.0 1.0

Radimpex 6/86


Formiranom listom mogućih kombinacija opterećenja analizira se mogućnost delovanja svakog od povremenih opterećenja kao dominantnih.


2.2.2.4 Parcijalni koeficijenti za materijale: - za stalne i prolazne kombinacije opterećenja:

1.50 , 1.15C S (2.14)

- za seizmičke kombinacije opterećenja:

1.50 , 1.15C S (2.15)

- za incidentne kombinacije opterećenja:

1.30 , 1.00C S (2.16)

U prethodnim izrazima S i C su, respektivno, parcijalni koeficijenti za čelik za armiranje, odnosno parcijalni koeficijent za beton.

2.2.3 DIN2.2.3.1 Vrste opterećenja:



1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna opterećenja tipa A;4. Korisna opterećenja tipa B;5. Korisna opterećenja tipa C, D ili F;6. Saobraćajna opterećenja tipa E;7. Saobraćajna opterećenja tipa G;8. Saobraćajna opterećenja tipa H;9. Opterećenja snegom;10. Opterećenja vetrom;11. Opterećenja temperaturnim uticajima;12. Opterećenja usled prinudnih deformacija;13. Ostala povremena opterećenja;14. Seizmička opterećenja;15. Incidentna opterećenja.



Radimpex 7/86






2 Sg p S (2.19)


1 2G domg p p i (2.20)

1 2domg p p i (2.21)



1.00 za opterecenje prednaprezanjem,1.35 za ostala stalna opterecenja,1.20 za uticaje izazvane prinudnim deformacijama,1.50 za ostala povremena opterecenja,1.00 za seizmicka opterecenja.

G

G

P

P

S



3. Korisno – tip A 0.7 0.5 0.34. Korisno – tip B 0.7 0.5 0.35. Korisno – tip C, D ili F 0.7 0.7 0.66. Saobraćajno – tip E 1.0 0.9 0.87. Saobraćajno – tip G 0.7 0.5 0.38. Saobraćajno – tip H 0.0 0.0 0.09. Opterećenje snegom 0.7 0.5 0.010. Opterećenje vetrom 0.6 0.5 0.011. Temperaturni uticaji 0.6 0.5 0.012. Prinudne deformacije 1.0 1.0 1.013. Ostala 0.8 0.7 0.5



2.2.3.4 Parcijalni koeficijenti za materijal: - za stalne i prolazne kombinacije opterećenja:

1.50 , 1.15C S (2.22)


Radimpex 8/86


1.50 , 1.15C S (2.23)


1.30 , 1.00C S (2.24)


Za klase betona iznad C50, vrednost parcijalnog koeficijenta za beton se povećava (dato u poglavlju "Proračunske karakteristike za beton i čelik“).

2.2.4 BS2.2.4.1 Vrste opterećenja:



1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna opterećenja tipa A;4. Korisna opterećenja tipa B;5. Korisna opterećenja tipa C;6. Saobraćajna opterećenja tipa F;7. Saobraćajna opterećenja tipa G;8. Saobraćajna opterećenja tipa H;9. Opterećenja snegom;10. Opterećenja vetrom;11. Opterećenja temperaturnim uticajima;12. Opterećenja usled prinudnih deformacija;13. Ostala povremena opterećenja;14. Seizmička opterećenja;15. Incidentna opterećenja.







2 Sg p S (2.27)


Radimpex 9/86


1 2G domg p p i (2.28)

1 2domg p p i (2.29)



1.00 za opterecenje prednaprezanjem,1.40 za ostala stalna opterecenja,1.60 za povremena opterecenja,1.00 za seizmicka opterecenja.

G

G

P

S



3. Korisno – tip A 0.5 0.4 0.24. Korisno – tip B 0.7 0.6 0.35. Korisno – tip C 0.7 0.7 0.66. Saobraćajno – tip F 0.7 0.6 0.67. Saobraćajno – tip G 0.7 0.3 0.38. Saobraćajno – tip H 0.0 0.0 0.09. Opterećenje snegom 0.7 0.2 0.010. Opterećenje vetrom 0.7 0.2 0.011. Temperaturni uticaji 0.6 0.0 0.012. Prinudne deformacije 1.0 1.0 1.013. Ostala 1.0 1.0 1.0




1.50 , 1.05C S (2.30)


1.50 , 1.05C S (2.31)


1.30 , 1.00C S (2.32)


Radimpex 10/86


2.2.5 SIA2.2.5.1 Vrste opterećenja:



1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Opterećenja zemljanim nasipom;4. Opterećenje pritiskom tla;5. Opterećenje hidrostatičkim pritiskom;6. Korisna opterećenja tipa A;7. Korisna opterećenja tipa B;8. Korisna opterećenja tipa C;9. Korisna opterećenja tipa D;10. Korisna opterećenja tipa E;11. Saobraćajna opterećenja tipa F;12. Saobraćajna opterećenja tipa G;13. Saobraćajna opterećenja tipa H;14. Opterećenja snegom;15. Opterećenja vetrom;16. Opterećenja temperaturnim uticajima;17. Povremena opterećenja pritiskom tla;18. Povremena opterećenja hidrostatičkim pritiskom;19. Vertikalna opterećenja mostova – model 1;20. Vertikalna opterećenja mostova – model 3;21. Horizontalna opterećenja mostova;22. Opterećenja mostova snegom;23. Opterećenja mostova vetrom;24. Opterećenja mostova temperaturnim uticajima;25. Opterećenja željeznicom;26. Ostala povremena opterećenja;27. Seizmička opterećenja;28. Incidentna opterećenja.




, , 0G u p dom dom pg p p (2.33)

, , 0G f p dom dom pg p p (2.34)


2 Sg p S (2.35)

Radimpex 11/86



1 2G domg p p i (2.36)

1 2domg p p i (2.37)

U prethodnim izrazima sa pdom je označen dominantni povremeni slučaj opterećenja, dok su γG,u i γG,f

parcijalni koeficijenti za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja.


- za stalna opterećenja:

Vrsta stalnog opterećenja ,G f ,G u1. Stalna opterećenja 0.80 1.352. Opterećenja prednaprezanjem 1.00 1.003. Opterećenja zemljanim nasipom 0.80 1.354. Opterećenja pritiskom tla 0.70 1.355. Opterećenje hidrostatičkim pritiskom 0.90 1.20

- za povremena opterećenja:

Vrsta povremenog opterećenja ,P f ,P u17. Povremena opterećenja pritiskom tla 0.70 1.3518. Povremena opterećenja hidrostatičkim pritiskom 0.90 1.2025. Opterećenja željeznicom - 1.45Sva ostala povremena opterećenja - 1.50

- za seizmička opterećenja:

1.00S



6. Korisna opterećenja tipa A 0.70 0.50 0.307. Korisna opterećenja tipa B 0.70 0.50 0.308. Korisna opterećenja tipa C 0.70 0.70 0.609. Korisna opterećenja tipa D 0.70 0.70 0.6010. Korisna opterećenja tipa E 1.00 0.90 0.8011. Saobraćajna opterećenja tipa F 0.70 0.70 0.6012. Saobraćajna opterećenja tipa G 0.70 0.50 0.3013. Saobraćajna opterećenja tipa H 0.00 0.00 0.0014. Opterećenja snegom 0.60 0.20 0.0015. Opterećenja vetrom 0.60 0.50 0.0016. Opterećenja temperaturnim uticajima 0.60 0.50 0.0017. Povremena opterećenja pritiskom tla 0.70 0.70 0.7018. Povremena opterećenja hidrostatičkim pritiskom 0.70 0.70 0.7019. Vertikalna opterećenja mostova – model 1 0.75 0.75 0.0020. Vertikalna opterećenja mostova – model 3 0.00 0.00 0.0021. Horizontalna opterećenja mostova 0.75 0.75 0.00

Radimpex 12/86


22. Opterećenja mostova snegom 0.60 0.20 0.0023. Opterećenja mostova vetrom 0.60 0.20 0.0024. Opterećenja mostova temperaturnim uticajima 0.60 0.60 0.5025. Opterećenja željeznicom 0.70 0.50 0.3026. Ostala povremena opterećenja 1.00 1.00 1.00




1.50 , 1.15C S (2.38)


1.50 , 1.15C S (2.39)


1.30 , 1.00C S (2.40)


2.2.6 SNiP2.2.6.1 Vrste opterećenja:

stalna (g), trajna (t), kratkotrajna (k), seizmička (s), incidentna 1 (i1), incidentna 2 (i2).

Napomena: poslednje tri vrste opterećenja spadaju u grupu Posebnih opterećenja. Zbog prirode njihovog tretmana prilikom kombinovanja opterećenja, klasifikovana su u tri vrste.

Lista vrsta opterećenja je sledeća:1. Težina metalne konstrukcije;2. Težina betonske konstrukcije – preko 1600 kg/m3;3. Težina betonske konstrukcije – ispod 1600 kg/m3 - neproizvodni;4. Težina betonske konstrukcije – ispod 1600 kg/m3 - proizvodni;5. Pritisak tla – prirodan;6. Pritisak nasutog tla;7. Prednaprezanje;8. Težina stacionarne opreme;9. Težina izolacije stacionarne opreme;10. Rezervoari, cevovodi – tečnosti;11. Rezervoari, cevovodi – suspenzije;12. Kranovi i viljuškari;13. Ravnomerno podeljeno veće od 2 kN/m2;14. Ravnomerno podeljeno manje od 2 kN/m2;

Radimpex 13/86


15. Koncentrisano;16. Opterećenje od kranova;17. Opterećenje snegom;18. Temperaturna dejstva;19. Ravnomerno podeljeno veće od 2 kN/m2;20. Ravnomerno podeljeno manje od 2 kN/m2;21. Koncentrisano;22. Opterećenje snegom;23. Temperaturna dejstva;24. Dejstvo leda;25. Opterećenje od kranova;26. Opterećenje vetrom;27. Deformacije u tlu (bujanje, les);28. Seizmička dejstva;29. Eksplozivna dejstva;30. Incidenti (tehnološke prirode).

Opterećenja 1 do 7 su stalna (postojana), 8 do 18 su trajna (dlitelna), 19 do 26 – kratkotrajna, 27 – incidentna 2, 28 – seizmička, a 29 i 30 – incidentna 1.

Pojedina opterećenja mogu biti tretirana i kao trajna i kao kratkotrajna, što je razlog njihovom dupliranju u prethodnoj listi.

2.2.6.2 Vrste kombinacija opterećenja: kombinacije stalnih, trajnih i kratkotrajnih (g + t + k), kombinacije sa seizmičkim opterećenjem (g + t + k + s), kombinacije sa incidentnim opterećenjem 1 (g + t + k + i1), kombinacije sa incidentnim opterećenjem 2 (g + t + k + i2).

2.2.6.3 Pravila za kombinovanje: - kombinacije stalnih, trajnih i kratkotrajnih opterećenja (g + t + k), za nepovoljno, odnosno

povoljno dejstvo stalnog opterećenja, imaju oblik:

,G u T Kg t k (2.41)

,G f T Kg t k (2.42)

Za stalna opterećenja, vrednosti koeficijenata nepovoljnog i povoljnog dejstva su date u narednoj tablici:

Vrsta opterećenja ,G f ,G u

1 0.9 1.052 0.9 1.103 0.9 1.204 0.9 1.305 0.9 1.106 0.9 1.157 0.9 1.10

Za trajna i kratkotrajna opterećenja koeficijent povoljnog dejstva je uvek 0 (ukoliko je uticaj opterećenja povoljan ne uzima se merodavnom kombinacijom opterećenja), zbog čega su narednom tablicom date samo vrednosti koeficijenata nepovoljnog dejstva.

Radimpex 14/86


Vrsta opterećenja T

8 1.059 1.20

10 1.0011 1.1012 1.2013 1.2014 1.3015 1.2016 1.1017 1.40


18 1.1019 1.2020 1.3021 1.2022 1.4023 1.1024 1.3025 1.1026 1.40

Ukoliko u sastav neke kombinacije opterećenja ove vrste ulazi više kratkotrajnih opterećenja (najmanje dva), u ovim kombinacijama se faktori uz trajno i kratkotrajno opterećenje redukuju faktorima:

za trajna opterećenja: 0.95 za kratkotrajna opterećenja: 0.90.

Koeficijent uslova rada γb2 za ovu vrstu kombinacija ima vrednost 0.90, izuzev ukoliko u sastav kombinacije ulazi neko od opterećenja kranom ili vetrom (opterećenja 25 ili 26), kada je vrednost ovog koeficijenta 1.10.Napomena: samo se koeficijent uslova rada γb2 programski usvaja. Ukoliko je analizom potrebno obuhvatiti i neke od ostalih koeficijenata, korisnik zadaje proizvod ostalih koeficijenata u odgovarajućem polju u okviru dijaloga Lokalni podaci.

- kombinacije stalnih, trajnih, kratkotrajnih i jednog seizmičkog opterećenja (g + t + k + s), za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja, imaju oblik:

,G u T K Sg t k s (2.43)

,G f T K Sg t k s (2.44)



1 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.05 = 0.9452 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.10 = 0.9903 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.20 = 1.0804 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.30 = 1.1705 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.10 = 0.9906 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.15 = 1.0357 0.9 x 0.9 = 0.81 0.9 x 1.10 = 0.990

Za trajna i kratkotrajna opterećenja koeficijent povoljnog dejstva je uvek 0 (ukoliko je uticaj opterećenja povoljan ne uzima se merodavnom kombinacijom opterećenja), zbog čega su narednom tablicom date samo vrednosti koeficijenata nepovoljnog dejstva.

Radimpex 15/86



8 0.8 x 1.05 = 0.849 0.8 x 1.20 = 0.96

10 0.8 x 1.00 = 0.8011 0.8 x 1.10 = 0.8812 0.8 x 1.20 = 0.9613 0.8 x 1.20 = 0.9614 0.8 x 1.30 = 1.0415 0.8 x 1.20 = 0.9616 0.8 x 1.10 = 0.8817 0.8 x 1.40 = 1.12


18 0.00*19 0.5 x 1.20 = 0.6020 0.5 x 1.30 = 0.6521 0.5 x 1.20 = 0.6022 0.5 x 1.40 = 0.7023 0.00*24 0.5 x 1.30 = 0.6525 0.00*26 0.00*

* ne kombinuju se sa seizmičkim opterećenjem.

Koeficijent uslova rada γb2 za ovu vrstu kombinacija ima vrednost 1.00.

- kombinacije stalnih, trajnih i jednog incidentnog opterećenja (g + t + i), za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja, imaju oblik:

,G u Tg t i (2.45)

,G f Tg t i (2.46)

Napomena: prethodni izrazi su isti i za i1 i za i2 incidentno opterećenje.



1 0.9 1.052 0.9 1.103 0.9 1.204 0.9 1.305 0.9 1.106 0.9 1.157 0.9 1.10

Za trajna opterećenja koeficijent povoljnog dejstva je uvek 0, zbog čega su narednom tablicom date samo vrednosti koeficijenata nepovoljnog dejstva:


8 1.059 1.20

10 1.0011 1.1012 1.2013 1.2014 1.3015 1.2016 1.10

Radimpex 16/86



17 1.4018 1.10

Za kombinacije sa incidentnim opterećenjem i1 (opterećenja 29 i 30), koeficijent uslova rada γb2 je 1.00.

Za kombinacije sa incidentnim opterećenjem i2 (opterećenje 27), koeficijent AlfaRed je 0.90.

Ukoliko u sastav neke kombinacije opterećenja sa incidentnim opterećenjem i2 ulazi više kratkotrajnih opterećenja (najmanje dva), u ovim kombinacijama se faktori uz trajno i kratkotrajno opterećenje redukuju faktorima:

za trajna opterećenja: 0.95 za kratkotrajna opterećenja: 0.80.

2.2.7 BSD2.2.7.1 Vrste opterećenja:



1. Sopstvena težina;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna dugotrajna opterećenja;4. Korisna kratkotrajna opterećenja;5. Saobraćajna dugotrajna opterećenja;6. Saobraćajna kratkotrajna opterećenja;7. Opterećenja snegom - dugotrajno;8. Opterećenja snegom - kratkotrajno;9. Opterećenja vetrom - kratkotrajno;10. Opterećenja temperaturnim uticajima - dugotrajna;11. Opterećenja temperaturnim uticajima - kratkotrajna;12. Prinudne deformacije - dugotrajno;13. Prinudne deformacije - kratkotrajno;14. Ostala povremena opterećenja - dugotrajna;15. Ostala povremena opterećenja - kratkotrajna;16. Seizmička opterećenja;17. Incidentna opterećenja.18. Ostala stalna opterećenja.

Opterećenja 1, 2 i 18 su stalna, 3 – 15 povremena.

2.2.7.2 Vrste kombinacija opterećenja: kombinacije stalnih i povremenih (g + p), seizmičke kombinacije (g + p + s), incidentne kombinacije (g + p + i).


, 1G u pg p (2.47)

Radimpex 17/86


, 1G f pg p (2.48)


g p s (2.49)


,G u g p i (2.50)

,G f g p i (2.51)

U prethodnim izrazima ,G u i ,G f su parcijalni koeficijenti za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja.



Vrsta stalnog opterećenja ,G f ,G u1. Sopstvena težina 0.90 1.102. Opterećenja prednaprezanjem 0.90 1.003. Ostala stalna opterećenja 0.90 1.30

- za povremena opterećenja (paralelno su date i vrednosti -koeficijenta za seizmičke i incidentne kombinacije opterećenja):

Vrsta povremenog opterećenja P

3. Korisna dugotrajna opterećenja 1.30 0.954. Korisna kratkotrajna opterećenja 1.30 0.805. Saobraćajna dugotrajna opterećenja 1.10 0.956. Saobraćajna kratkotrajna opterećenja 1.10 0.807. Opterećenja snegom - dugotrajno 1.40 0.958. Opterećenja snegom - kratkotrajno 1.40 0.809. Opterećenja vetrom - kratkotrajno 1.40 0.8010. Opterećenja temperaturnim uticajima - dugotrajna 1.10 0.9511. Opterećenja temperaturnim uticajima - kratkotrajna 1.10 0.8012. Prinudne deformacije - dugotrajno 1.00 0.9513. Prinudne deformacije - kratkotrajno 1.00 0.8014. Ostala povremena opterećenja - dugotrajna 1.00 0.9515. Ostala povremena opterećenja - kratkotrajna 1.00 0.95

Koeficijent 1 uz poremena opterećenja kombinacija stalnih i promenljivih dejstava se usvaja na sledeći način:

- ukoliko u sastav kombinacije ulazi samo jedno povremeno opterećenje: 1 1.0 ;

- ukoliko u sastav kombinacije ulazi samo jedno dugotrajno povremeno opterećenje (opterećenja 3, 5, 7, 10, 12, 14), koeficijent uz ovo opterećenje je 1 1.0 ;

Radimpex 18/86


- ukoliko je broj kratkotrajnih povremenih opterećenja (opterećenja 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15) koji ulaze u sastav kombinacije manji od četiri, a ukupan broj promenljivih opterećenja je veći od jedan, koeficijent uz kratkotrajna opterećenja je 1 0.90 ;

- u svim ostalim slučajevima, koeficijent 1 se usvaja jednak koeficijentu .

Parcijalni koeficijent povoljnog dejstva za sva povremena opterećenja je nula.

Automatski je isključena mogućnost istovremenog delovanja dva seizmička slučaja opterećenja ili dva opterećenja vetrom.


1.50 , 1.15C S (2.52)


1.50 , 1.15C S (2.53)


1.30 , 1.00C S (2.54)


2.2.8 MSZ2.2.8.1 Vrste opterećenja:



1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja prednaprezanjem;3. Korisna opterećenja manja od 2 kN/m2;4. Korisna opterećenja između 2 i 5 kN/m2;5. Korisna opterećenja veća od 5 kN/m2;6. Opterećenja snegom;7. Opterećenja vetrom;8. Opterećenja temperaturnim uticajima;9. Seizmička opterećenja;10. Incidentna opterećenja.




Radimpex 19/86





2g p s (2.57)

- incidentne kombinacije:

1 2domg p p i (2.58)

U prethodnim izrazima sa domp je označen dominantni povremeni slučaj opterećenja.



Vrsta stalnog opterećenja G1. Sopstvena težina 1.102. Opterećenja prednaprezanjem 1.10

- za povremena opterećenja (paralelno su date i vrednosti -koeficijenta za seizmičke i incidentne kombinacije opterećenja):

Vrsta povremenog opterećenja P3. Korisna opterećenja manja od 2 kN/m2 1.404. Korisna opterećenja između 2 i 5 kN/m2 1.305. Korisna opterećenja veća od 5 kN/m2 1.206. Opterećenja snegom 1.407. Opterećenja vetrom 1.208. Opterećenja temperaturnim uticajima 1.20



3. Korisna opterećenja manja od 2 kN/m2 0.8 0.5 0.34. Korisna opterećenja između 2 i 5 kN/m2 0.8 0.5 0.35. Korisna opterećenja veća od 5 kN/m2 0.8 0.7 0.66. Opterećenja snegom 0.8 0.2 0.07. Opterećenja vetrom 0.8 0.5 0.08. Opterećenja temperaturnim uticajima 0.8 0.5 0.0


Automatski je isključena mogućnost istovremenog delovanja dva seizmička slučaja opterećenja ili dva opterećenja vetrom.

Radimpex 20/86


2.2.8.4 Parcijalni koeficijenti za materijal: Ovim standardima nije predviđena redukcija mehaničkih karakteristika materijala, zbog čega su vrednosti parcijalnih koeficijenata i za beton i za čelik usvojeni 1.0 za sve vrste kombinacija opterećenja.

2.2.9 ACI2.2.9.1 Vrste opterećenja:

stalna (g), povremena (p): deformacijska (d), seizmička (s), vetar (w).


1. Stalna opterećenja;2. Opterećenja pritiskom tečnosti;3. Pokretna opterećenja;4. Udarna opterećenja;5. Pritisak tla, podzemne vode;6. Temperaturna i deformacijska opterećenja;7. Seizmička opterećenja;8. Opterećenja vetrom.


2.2.9.2 Vrste kombinacija: - kombinacije stalnih i pokretnih opterećenja (g + p),- kombinacije stalnih, pokretnih i deformacijskih opterećenja (g + p + d),- kombinacije stalnih i deformacijskih opterećenja (g + d),- seizmičke kombinacije (g + p + s),- kombinacije sa vetrom (g + p + w).

2.2.9.3 Pravila za kombinovanje: - kombinacije stalnih i povremenih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog

opterećenja:

1, 1G u Pg p (2.59)

1, 1G f Pg p (2.60)

- kombinacije stalnih, povremenih i deformacijskih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

2, 2 2G u P Dg p d (2.61)

2, 2 2G f P Dg p d (2.62)

- kombinacije stalnih i deformacijskih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

1, 1G u Dg d (2.63)

1, 1G f Dg d (2.64)

Radimpex 21/86


- kombinacije stalnih, povremenih i seizmičkih opterećenja za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

2, 2 2G u P Sg p s (2.65)

2, 2 2G f P Sg p s (2.66)

- kombinacije stalnih, povremenih i opterećenja vetrom za nepovoljno, odnosno povoljno dejstvo stalnog opterećenja:

2, 2 2G u P Wg p w (2.67)

2, 2 2G f P Wg p w (2.68)

Vrednosti korišćenih parcijalnih koeficijenata sigurnosti su date narednim tabelama.


Vrsta stalnog opterećenja 1,G u 1,G f 2,G u 2,G f1. Sopstvena težina 1.40 0.90 1.05 0.902. Opterećenja pritiskom tečnosti 1.40 0.00 1.05 0.00

- za povremena opterećenja:

Vrsta povremenog opterećenja 1P 2P3. Pokretna opterećenja 1.70 1.2754. Udarna opterećenja 1.70 1.2755. Pritisak tla, podzemne vode 1.70 1.275

- za ostala opterećenja:

6. Temperaturna i deformacijska opterećenja 1 1.40D , 2 1.05D

7. Seizmička opterećenja 2 1.1 1.30 1.43S

8. Opterećenja vetrom 2 0.75 1.70 1.30W

2.2.9.4 Parcijalni koeficijenti za materijal Ovi standardi ne koriste parcijalne koeficijente za materijal, ali koriste faktor redukcije čvrstoće materijala. Međutim, kako ovak faktor zavisi samo od intenziteta aksijalne sile, a ne i od vrste kombinacije opterećenja, to je dat u poglavlju vezanom za mehaničke proračunske karakteristike materijala.

2.3 PRORAČUNSKE KARAKTERISTIKE ZA BETON I ČELIK

Proračun graničnog stanja nosivosti bazira na idealizovanim konstitutivnim vezama za beton i čelik za armiranje – radni dijagrami.

Radimpex 22/86


Iako se različitim standardima definišu različiti proračunski dijagrami, neke osobine su zajedničke: u graničnom stanju nosivosti beton nije u stanju da primi napone zatezanja, čelik za armiranje ima jednake karakteristike (oblike radnog dijagrama) i na zategnutoj i na

pritisnutoj strani.

***

U nastavku su date specifičnosti kombinovanja opterećenja definisane pojedinim standardima.

2.3.1 PBAB872.3.1.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema PBAB87 usvaja u obliku kvadratna parabola + prava:

4 u intervalu 0 2 promila4

u intervalu 2 3.5 promila

bb b b b

b b b

f

f

(2.69)

Slika 1. Radni dijagram za beton

Prikazani oblik zavisnosti se dosledno koristi za proračun svih elemenata/preseka prema graničnom stanju nosivosti (ne koristi se uprošćeni – pravougaoni – oblik ove veze).

Računska čvrstoća pri pritisku bf je zavisna od marke betona (MB) saglasno narednoj tabeli:

MB 10 15 20 30 40 50 60

bf [MPa] 7.00 10.50 14.00 20.50 25.50 30.00 33.00

2.3.1.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema PBAB87, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

za

za <10

va a a a

a

va v a

a

EE

E

(2.70)

Radimpex 23/86


Slika 2. Radni dijagram za čelik za armiranje

U gornjem izrazu je:

aE modul elastičnosti čelika: 210GPaaE ,

v granica razvlačenja čelika, zavisna od vrste čelika za armiranje.

Granice razvlačenja za različite vrste čelika za armiranju su date narednom tabelom:

GA 220/340 GA 240/360 RA 400/500 MA 500/560 BiA 680/800

v [MPa] 220.0 240.0 400.0 500.0 680.0

2.3.2 EC22.3.2.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema Eurocode 2 usvaja u obliku kvadratna parabola + prava:

1000 250 1 / u intervalu 0 0.002/ u intervalu 0.002 0.0035

c c c ck C c

c ck C c

ff

(2.71)

Slika 3. Proračunski dijagram za beton

U datim izrazima je:

ckf čvrstoća betona na pritisak, zavisna od klase betona,

C parcijalni koeficijent za beton,

redukcioni koeficijent, 0.85 .

Radimpex 24/86



Zavisnost čvrstoće betona od klase betona je data narednom tabelom:

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

ckf [MPa] 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

2.3.2.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema Eurocode 2, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

/za

// za 0.025

yk Ss s s s

s

yk Ss yk S s

s

fE

Ef

fE

(2.72)

gde je:

sE modul elastičnosti za čelik; 200GPasE ,

ykf napon na granici razvlačenja, zavisan od vrste čelika za armiranje,

S parcijalni koeficijent za čelik za armiranje.

Slika 4. Proračunski dijagram za čelik za armiranje


S500H S500N

ykf [MPa] 500.0 500.0

2.3.3 DIN2.3.3.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema DIN usvaja u obliku kvadratna parabola + prava:

Radimpex 25/86


2

22

c2 2

1 1 / u intervalu 0

/ u intervalu

cc ck C c c

c

c ck C c c u

f

f

(2.73)


Zavisnost čvrstoće betona, parcijalnog koeficijenta za beton za stalne i prolazne i seizmičke kombinacije i granica intervala proračunskog dijagrama od klase betona je data narednom tabelom:

B12 B16 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50

ckf [MPa] 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

c 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

2c -2.0 -2.0 -2.0 -2.0 -2.0 -2.0 -2.0 -2.0 -2.0

2c u -3.5 -3.5 -3.5 -3.5 -3.5 -3.5 -3.5 -3.5 -3.5

B55 B60 B70 B80 B90 B100

ckf [MPa] 55.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0

c 1.52 1.53 1.56 1.60 1.63 1.67

2c -2.03 -2.06 -2.10 -2.14 -2.17 -2.20

2c u -3.10 -2.70 -2.50 -2.40 -2.30 -2.20

2.3.3.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema DIN, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

/za

// za 0.025

yk Ss s s s

s

yk Ss yk S s

s

fE

Ef

fE

(2.74)

gde je:



Radimpex 26/86





S500H S500N

ykf [MPa] 500.0 500.0

2.3.4 BS2.3.4.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema BS usvaja u obliku prikazanom na slici:

3

3

0 za 0 0.35 10

0.67 / za 0.35 10 0.0035c c

c cu C cf

(2.75)



C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C28/35 C30/37 C32/40 C35/45 C40/50

cuf [MPa]

12.0 16.0 20.0 25.0 28.0 30.0 32.0 35.0 40.0

C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C80/95 C90/105 C100/115

cuf [MPa]

45.0 50.0 55.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0

Radimpex 27/86


2.3.4.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema BS, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

/za

// za 0.02

y Ss s s s

s

y Ss y S s

s

fE

Ef

fE

(2.76)

gde je:






Class 250 Class 460A Class 460B

yf [MPa] 250.0 460.0 460.0

2.3.5 SIA2.3.5.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema SIA usvaja u obliku kvadratna parabola + prava:

1000 250 1 / u intervalu 0 0.002

/ u intervalu 0.002 0.003c c c ck fc C c

c ck fc C c

f

f

(2.77)

gde je:1 3

30fc

ckf

U datim izrazima je:

Radimpex 28/86


ckf čvrstoća betona na pritisak, zavisna od klase betona,

C parcijalni koeficijent za beton,




C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

ckf [MPa] 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

2.3.5.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema SIA, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

/za

// za 0.02

sk Ss s s s

s

sk Ss sk S s

s

fEE

ffE

(2.78)

gde je:


skf napon na granici razvlačenja, zavisan od vrste čelika za armiranje,



Radimpex 29/86



B500A B500B B450C

skf [MPa] 500.0 500.0 450.0

2.3.6 SNiP2.3.6.1 Beton Kako proračun prema propisima SNiP ne bazira na dilatacijama, to idealizovana, proračunska veza napon-dilatacije za beton nije definisana.

Na osnovu činjenice da se raspodela napona pritiska u betonu usvaja konstantna po celoj pritisnutoj površini preseka, algoritamski je usvojen dijagram sledećeg oblika:

2b b bR (2.79)

gde je:

2b koeficijent uslova rada (definisan u poglavlju vezanom za kombinovanje opterećenja),

bR čvrstoća betona na pritisak.

Za seizmičke kombinacije opterećenja, čvrstoća betona na pritisak se uvećava za 20%, zbog čega je u tom slučaju:

21.20b b bR (2.80)

Slika 11. Usvojeni proračunski dijagram za beton

Zavisnost čvrstoće betona od klase betona je data narednom tabelom (vrednosti za Rb su date u MPa):

B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55 B60

bR [MPa] 8.5 11.5 14.5 17.0 19.5 22.0 25.0 27.5 30.0 33.0

2.3.6.2 Čelik za armiranje I u slučaju čelika za armiranje, prethodna primedba o nedefinisanosti idealizovanog dijagrama važi. Algoritamski je usvojena idealizovana zavisnost u obliku:

za

za

ss s s s

s

ss s s

s

REE

RRE

(2.81)

Radimpex 30/86


gde je:


sR napon na granici razvlačenja, zavisan od vrste čelika za armiranje.

Za seizmičke kombinacije opterećenja, granica razvlačenja čelika na pritisak i zatezanje se uvećava za 20%.

Slika 12. Usvojen proračunski dijagram za čelik za armiranje

Napomena: Iz kasnijih izraza biće zaključeno da ekvivalentnom idealizovanom dijagramu za čelik, zapravo, ne odgovara modul elastičnosti za čelik od 200GPa.(videti izraz (2.104)).Napomena: Kako je za sve predviđene vrste čelika za armiranje granica razvlačenja na strani pritiska i zatezanja jednaka, to se koristi samo jedna oznaka ( sR ) za obe veličine.

Granice razvlačenja (u MPa) za različite vrste čelika za armiranju su date narednom tabelom ( swR se odnosi na poprečnu armaturu).

A-I A-II A-III

sR [MPa] 225 280 355

swR [MPa] 0.8 x 225.0 0.8 x 225 0.8 x 285

2.3.7 BSD

2.3.8 MSZ2.3.8.1 Beton Proračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema BS usvaja u obliku prikazanom na slici:

(2.82)

Radimpex 31/86




C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55

bf [MPa] 9.0 11.5 14.5 17.5 20.5 23.5 26.0 29.0 32.0 35.0

2.3.8.2 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema PBAB87, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

za

za <10

va a a a

a

va v a

a

EE

E

(2.83)

Slika 14. Radni dijagram za čelik za armiranje

U gornjem izrazu je:

aE modul elastičnosti čelika: 200GPaaE ,

v granica razvlačenja čelika, zavisna od vrste čelika za armiranje.


B.38.24(.B) B.50.36 B.55.40B.60.40 B.60.50(.S) BHS.60.50

BHB.60.50 B.75.50 C15

v [MPa] 210.0 310.0 350.0 420.0 420.0 420.0 410.0

Radimpex 32/86


2.3.9 ACIProračunska zavisnost između napona pritiska i dilatacija za beton se prema ACI 318 usvaja u obliku prikazanom na slici:

31

3 31

0 za 0 1 0.3 10

0.85 za 1 0.3 10 0.3 10c c

c c cf

(2.84)

gde je:

cf računska čvrstoća betona na pritisak,

koeficijent redukcije čvrstoće betona (i čelika),

1 koeficijent kojim je određen „neaktivni“ deo pritisnute zone betona.

Koeficijent 1 se programski određuje prema:

1

psi 40000.65 0.85 0.85

1000cf

(2.85)

gde je sa psicf obeležena čvrstoća betona izražena u imperijalnom sistemu jedinica.

Slika 15. Usvojeni proračunski dijagram za beton

Faktor redukcije se određuje u zavisnosti od aksijalne sile na sledeći način:

0.7 0.10.9 0.00

,

u

c g

Nf A

. (2.86)

U zoni relativno malog pritiska (između 0 i 0.1 po relativnoj vrednosti normalne sile ), ovaj koeficijent se određuje pravilom linearne interpolacije. U prethodnom izrazu sa gA je obeležena površina bruto

poprečnog preseka, dok je uN granična vrednost aksijalne sile.

Zavisnost čvrstoće betona cf od klase betona je data narednom tabelom:

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

cf [MPa] 12.0 16.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0

2.3.9.1 Čelik za armiranje Proračunska zavisnost između napona i dilatacija za čelik za armiranje se, prema ACI 318, usvaja u obliku bilinearnog dijagrama:

Radimpex 33/86


za

za 0.020

ys s s s

s

ys yk s

s

fE

Ef

fE

(2.87)

gde je:


yf napon na granici razvlačenja, zavisan od vrste čelika za armiranje,

koeficijent redukcije čvrstoće čelika (2.86).



Grade 40 Grade 50 Grade 60 Grade 75

yf [MPa] 275.79 344.74 413.68 517.11

2.4 SAVIJANJE SA NORMALNOM SILOMU ovom poglavlju se daje opis načina određivanja potrebne količine podužne armature kao posledice dejstva momenata savijanja sa aksijalnom silom.

2.4.1 Granične dilatacione linijeProračun preseka na dejstvo normalnih sila i momenata savijanja prema graničnom stanju nosivosti podrazumeva analizu poprečnog preseka kod kojeg je dostignuto stanje graničnih dilatacija. Dakle, kriterijum dostizanja graničnog stanja nosivosti je postavljen po dilatacijama.

Načelno, granično stanje nosivosti preseka je dostignuto ukoliko je zadovoljen kriterijum dostignute maksimalne dilatacije zatezanja u najudaljenijoj armaturi (lom preseka po armaturi) ili dostignute maksimalne dilatacije pritiska za ivično vlakno betona (lom preseka po betonu). Dodatno, za stanje dilatacija koje rezultuje pritisnutim celim presekom, granična vrednost dilatacija u betonu se redukuje (Slika 17).

Iako se stanje dilatacija u preseku najčešće opisuje odnosom maksimalnih dilatacija u betonu i čeliku, zajednički uslov ovog koncepta je determinisanost stanja dilatacija u preseku jednim parametrom (nulta tačka dilatacija po visini preseka jednoznačno određuje kompletno stanje dilatacija).

Maksimalne vrednosti dilatacija u betonu i čeliku su, načelno, definisane već proračunskim konstitutivnim zakonima.

Radimpex 34/86


Slika 17. Granične dilatacione linije

Način na koji je pojedinim standardima definisano granično stanje preseka je obrađen zasebno za svaki od standarda.

Ukoliko određeni standard ne definiše eksplicitno zakon promene graničnih dilatacionih linija, formulisan je ekvivalentni zakon kojim su zadovoljene proračunske odredbe koje dovode do istovetnog rezultata po rezultujućoj potrebnoj količini armature.

2.4.2 Analiza koso savijanog presekaModulom za dimenzionisanje, prilikom određivanja potrebne količine podužne armature u preseku, usvojen je koncept kojim se analizira opšti slučaj koso savijanog poprečnog preseka. Jednoosno savijani preseci su, u tom smislu, specijalni slučaj prethodnih.

Zadatak je odrediti ugao nagiba neutralne linije i njen položaj po visini preseka za koji je zadovoljena ravnoteža spoljašnjih (momenti savijanja oko dve ortogonalne ose i aksijalna sila) i unutrašnjih sila. Problem se svodi na rešavanje sistema tri jednačine sa tri nepoznate veličine. Ovakav sistem jednačina, sem u specijalnim slučajevima, ne može biti rešen direktno.

Opšta algoritamska procedura za jedan ugao nagiba ose savijanja (Slika 18) iterira položaj neutralne linije (paralelne osi savijanja) u potrazi za onim položajem kojem odgovara stanje dilatacija (samim tim i napona i unutrašnjih sila) kojim je zadovoljena ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih aksijalnih sila, te momenata savijanja oko analizirane ose savijanja. U opštem slučaju ovim nije zadovoljena ravnoteža momenata savijanja oko ose normalne na osu savijanja.

Slika 18. Naponsko dilatacijska analiza poprečnog preseka opterećenog momentom savijanja proizvoljnog pravca i aksijalnom silom

Daljim variranjem ugla nagiba ose savijanja iterativnom procedurom se pronalazi onaj nagib ugla za koji je zadovoljenjem prva dva uslova ravnoteže zadovoljen i treći.Napomena: detaljniji prikaz postupka određivanja ugla ose savijanja preseka je data u Prilogu.

Opisanim postupkom se određuje potrebna količina armature u preseku za uticaje jedne kombinacije opterećenja. Na isti način se analizira presek na dejstvo uticaja ostalih kombinacija. U clju uštede u proračunskom vremenu koristi se optimizacija kojom se ne analiziraju uticaji kombinacija čija količina armature izvesno nije merodavna.

Uticaji jedne kombinacije opterećenja rezultiraju jednom količinom potrebne armature u preseku. Merodavna kombinacija je ona čiji uticaji zahtevaju veću potrebnu količinu armature od ostalih kombinacija.

Radimpex 35/86


2.4.3 IzvijanjeUticaj izvijanja na potrebnu količinu armature pritisnutih elemenata se razmatra opciono. Predefinisano stanje podrazumeva uvođenje ovog uticaja kod vertikalnih elemenata (stubovi), a njeno izostajanje kod horizontalnih (grede). Korisnik ima mogućnost da prilikom zadavanja lokalnih podataka za dimenzionisanje elementa promeni predefinisano stanje.

U situacijama kada su zadovoljeni odgovarajući kriterijumi definisani standardima kojima se element, u smislu potrebe uvođenja uticaja izvijanja u proračun, klasifikuje kao kratak, ovi uticaji se ne analiziraju.

Programski se ne proračunava dužina izvijanja elementa. Predviđeno je zadavanje koeficijenta dužine izvijanja od strane korisnika (lokalni podaci za element).

Efekti izvijanja se u proračun uvode izračunavanjem dodatnih vrednosti momenata savijanja, koji uvećavaju momente savijanja sračunate po teoriji prvog reda. Presek se, zatim, dimenzioniše na dejstvo povećanih uticaja.

Pri tome se u proračun uvodi uticaj geometrijskih imperfekcija i efekata drugog reda. Geometrijska imperfekcija ima karakter uticaja prvog reda. Ovi uticaji se predstavljaju odgovarajućim dodatnim ekscentricitetima aksijalne sile, koji se sabiraju sa odgovarajućim ekscentricitetom prvog reda. Uticaji tečenja betona su zanemareni (smatra se da su kompenzovani konzervativnostima proračuna, kao i drugim, zanemarenim, povoljnim uticajima).

Simultano se (konzervativno) računaju i apliciraju dodatni ekscentriciteti za oba pravca.

Iako se pojedinim standardima dodatni uticaji izvijanja računaju nešto modifikovanim postupkom, za sve implementirane standarde je moguće izdvojiti na prethodno izneti način definisane parcijalne ekscentricitete. Ovim je izveštaj dimenzionisanja unificiran za sve standarde.Napomena: za svaki pravac posebno se proverava potreba uvođenja dodatnih ekscentriciteta.

Programski su data dva postupka za proračun dopunskih ekscentriciteta drugog reda. Iako, principjelno, odgovaraju različitim standardima, dostupni su za proračun po svim standardima. Ovo je učinjeno zbog mogućnosti uvođenja ovih ekscentriciteta prilikom proračuna pomerljivih konstrukcija, kada mogu biti primenjeni kao aproksimacija ponašanja konstrukcije u ovom smislu.

Zbog mogućnosti da pri malim ekscentricitetima prvog reda, te nesimetričnom armiranju preseka dodatni ekscentriciteti imaju nepovoljnije dejstvo aplicirani suprotnog znaka od ekscentriciteta prvog reda, programski se ispituje i ova mogućnost, tako što se ispituje mogućnost negativnog dodatnog ukupnog ekscentriciteta za svaki od pravaca.

***

Korisnik konstrukciju, saglasno procenjenom stepenu ukrućenja za dejstvo horizontalnog opterećenja, klasifikuje kao pomerljivu ili nepomerljivu.

2.4.3.1.1 Horizontalno nepomerljive konstrukcijeProračun uticaja vitkosti elemenata horizontalno nepomerljivih konstrukcija se sprovodi na izdvojenim (izolovanim) stubovima. Pretpostavlja se da je dužina izvijanja stuba locirana tako da se njena sredina poklapa sa sredinom dužine elementa.

Za svaki presek duž elementa se programski određuje da li se nalazi u središnjem delu dužine izvijanja (u daljem tekstu aktivni deo dužine izvijanja) ili ne. Ukoliko je presek klasifikovan kao presek unutar aktivnog dela dužine izvijanja, uticaji prvog reda se uvećavaju na bazi dodatnih ekscentriciteta. Za presek izvan aktivne dužine ovo se ne čini, čime se oni dimenzionišu na uticaje prvog reda.

Kako postoji mogućnost da element u jednom pravcu bude vezan na oba svoja kraja, a u drugom samo na jednom ili ni jednom (npr. grede jednog pravca izostaju), to se presek klasifikuje kao presek u aktivnoj dužini izvijanja zavisno od zadatih uslova na krajevima selektovanog elementa (dijalog „Lokalni podaci“). Ova provera se sprovodi za svaki pravac nezavisno.

Radimpex 36/86


Slika 19. Koeficijenti dužine izvijanja i konturni uslovi krajeva za dva pravca elementa

Načelno, presek je unutar aktivnog dela dužine izvijanja, ukoliko je lociran u srednjoj polovini dužine izvijanja. Dodatno, ukoliko za neki pravac na nekom od krajeva presek nije pridržan, aktivni deo dužine izvijanja se produžava do tog kraja stuba.

2.4.3.1.2 Horizontalno pomerljive konstrukcijeKako ne postoji mogućnost egzaktne analize i dimenzionisanja elemenata pomerljivih konstrukcija, korisniku, načelno, stoje na raspolaganju dva načina njihovog približnog dimenzionisanja:

Prvi način (preporučeni postupak) bazira na uticajima prvog reda (analiza konstrukcije saglasno teoriji prvog reda). Programski se uvećavaju momenti savijanja (ekscentriciteti) u dva koraka. U prvom koraku se smatra da je element celom svojom dužinom unutar aktivne dužine izvijanja. U drugom koraku se analizira „lokalna“ stabilnost, time što se isti element tretira kao horizontalno nepomerljiv sa konzervativno usvojenom dužinom izvijanja.

Drugi način podrazumeva da je konstrukcija proračunata za izabranu graničnu kombinaciju opterećenja saglasno teoriji drugog reda, te da su uticaji prvog „prolaza“ prethodnog postupka time dobijeni. Dodatna analizom se elementi analiziraju kao elementi horizontalno nepomerljivih konstrukcija sa koeficijentom dužine izvijanja manjim ili jednakim 1.0 – drugi „prolaz“ prethodnog postupka.

Napomena: Oba postupka, saglasno iznetim aproksimacijama, obezbeđuju samo grubu procenu uticaja drugog reda koji bi odgovarali proračunu koju uvodi simultano i geometrisjku i materijalnu nelinearnost.Napomena: Analiza konstrukcije saglasno teoriji drugog reda ne obuhvata uticaje geometrijskih imperfekcija.Napomena: Analiza konstrukcije saglasno teoriji drugog reda mora biti zasebno sprovedena za svaku izabranu graničnu kombinaciju opterećenja, pošto princip superpozicije uticaja ne može biti primenjen.

U prvom „prolazu“ preporučenog postupka svi preseci elementa se tretiraju kao preseci u aktivnom delu dužine izvijanja, te se uvećavaju momenti savijanja celom dužinom stuba (i na krajevima). Pri tome se za uvećanje momenata savijanja prvog reda koristi približan model-stub postupak.

U drugom prolazu se koeficijent dužine izvijanja konzervativno postavlja na 1.0 i sprovodi se proračun dodatnih ekscentriciteta koji u potpunosti odgovara postupku opisanom za horizontalno nepomerljive konstrukcije. Pri tome se na isti način tretiraju i uslovi pridržanosti krajeva elementa.Napomena: Programski se ne vodi računa o eventualnoj koliziji ulaznih podataka vezanih za pomerljivost konstrukcije te zadate koeficijente dužine izvijanja. Napomena: Različitim ulaznim podacima vezanim za pomerljivost konstrukcije, koeficijente dužine izvijanja, te „pridržanost“ krajeva stuba moguće je modelirati praktično sve praktične situacije. Korisnička intervencija u nekim slučajevima je neophodna.

2.4.4 PBAB2.4.4.1 Granične dilatacione linije Pravilnikom PBAB87 granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 20):

- dilatacija u najudaljenijoj armaturi je 10 promila (prema proračunskom dijagramu za čelik – maksimalna dilatacija čelika). Serija ovih graničnih linija prolazi kroz tačku A na slici

- dilatacija u ivičnom vlaknu pritisnutog betona je 3.5 promila (prema proračunskom dijagramu za beton – maksimalna dilatacija u pritisnutom betonu). Serija ovih graničnih linija prolazi kroz tačku B na slici.

Radimpex 37/86


- dilatacija u ivičnom vlaknu je između 2.0 i 3.5 promila, ceo presek je pritisnut, a granična dilataciona linija prolazi kroz tačku C na slici. Za slučaj konstantne dilatacije po visini pritisnutog preseka, maksimalna dilatacija je redukovana na 2.0 promila.

Slika 20. Granične dilatacione linije prema PBAB87

2.4.4.2 Analiza koso savijanog preseka Procedura iterativnog određivanja rezultujućeg ugla ose savijanja, njenog položaja i potrebne količine armature u potpunosti odgovara postupku datom u uvodnom delu ovog poglavlja.

S obzirom da je Pravilnikom BAB87 predviđena primena povećanih vrednosti parcijalnih koeficijenata u situacijama kada je maksimalna dilatacija u armaturi manja od 3 promila, programski je predviđena iterativna procedura kojom se ovo obezbeđuje.Napomena: prisustvo velikog broja ovakvih poprečnih preseka može značajno da produži potrebno vreme za proračun elementa/konstrukcije.

2.4.4.3 Izvijanje Ukupan (uvećani ekscentricitet prvog reda) ekscentricitet aksijalne sile se računa prema:

0 2uk ae e e e (2.88)

gde je:

0e ekvivalentni ekscentricitet prvog reda,

ae ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija (slučajni ekscentricitet),

2e ekscentricitet drugog reda.

Bez obzira na moguću promenu momenta savijanja nekog od pravaca duž pritisnutog elementa, programski se usvaja konstantna vrednost momenata savijanja za sve preseke elementa – momenat koji odgovara ekvivalentnom ekscentricitetu. Ekvivalentni ekscentricitet je u funkciji vrednosti momentata savijanja na krajevima elementa, i to na sledeći način (za svaki od dva pravca):

0 02 010.65 0.35e e e (2.89)

gde su:

01 02,e e odgovarajući ekscentriciteti aksijalne sile u presecima na krajevima stuba, i gde je

ekscentricitet 02e po apsolutnoj vrednosti veći. U izraz (2.89), svaki od ekscentriciteta ulazi sa svojim pravim znakom.

Ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija se u proračun uvodi na sledeći način:

Radimpex 38/86


0

2cmmax

10cm300

ae l

(2.90)

gde je:

0l dužina izvijanja elementa (proizvod dužine elementa i zadatog koeficijenta dužine izvijanja).

Ekscentricitet drugog reda može biti sračunat na dva načina zavisno od izabrane opcije prilikom zadavanja ulaznih podataka:

- metod dopunske ekscentričnosti (PBAB87), ili

- aproksimativni model-stub postupak.

Prema prvom (metod dopunske ekscentričnosti), ekscentricitet drugog reda se računa prema:

1 12

12

1 12

25 0.1 za 0.3100

25 za 2.5160

25 3.5 za 3.5160

e ee dd d

ee dd

e ee dd d

(2.91)

gde je:

1e zbirni ekscentricitet prvog reda 1 0 ae e e ,

d visina preseka za analizirani pravac,

vitkost elementa:

0 , l Iii A

. (2.92)

Drugim postupkom (aproksimativni model-stub postupak), ekscentricitet drugog reda (maksimalni ugib) se procenjuje kao:

20

2 1 21 1 , 2

10 0.9ydl

e K Kr r h

(2.93)

gde je:

1K korekcioni koeficijent kojim se za male vitkosti umanjuju efekti drugog reda:

1 0.75 120

K , (2.94)

1r

maksimalna krivina elementa, koja se procenjuje drugim izrazom u (2.93),

2K korekcioni koeficijent kojim se uvodi u proračun smanjenje krivine usled povećanja aksijalne

sile. Konzervativno je usvojen 2 1.0K ,

yd proračunska dilatacija tečenja armature yd v aE ,

h statička visina preseka za analizirani pravac.

Ukoliko je zadovoljen neki od sledeća tri uslova, efekati izvijanja se ne analiziraju ( 0ae , 2 0e ):

Radimpex 39/86


01

02

1

1

50 25

3.5 75

3.5 7575

ee

eded

(2.95)

2.4.4.3.1 Tretman horizontalno pomerljivih konstrukcijaElementi sa horizontalno pomerljivim krajevima su oni elementi čiji je koeficijent dužine izvijanja veći od 1.0. Za ove elemnte, kako je navedeno u uvodnom delu, proračun bazira na dvostrukom uvećanju momenata savijanja prvog reda. U prvom „prolazu“ postupak sračunavanja dodatnih ekscentriciteta ae

i 2e odgovara onom datom izrazima (2.90), odnosno (2.91) ili (2.93), dok ekscentricitet prvog reda 0e , u ovom slučaju predstavlja količnik momenta savijanja prvog reda (ne ekvivalentnog) i aksijalne sile (stvarni ekscentricitet normalne sile prema teoriji prvog reda), i varira od preseka do preseka. U drugom „prolazu“ se ponavlja procedura opisana za elemente horizontalno nepomerljivih konstrukcija sa redukovanim koeficijentima dužine izvijanja, izrazi (2.89), (2.90) i (2.91) ili (2.93).

2.4.5 EC22.4.5.1 Granične dilatacione linije Granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 21)






Radimpex 40/86


Programski se automatski obračunavaju, osim parcijalnih koeficijenata za opterećenja, i parcijalni koeficijenti za materijale. Ovim koeficijentima se redukuju mehaničke karakteristike čelika za armiranje i betona zavisno od vrste kombinacije opterećenja.


0 2uk ae e e e (2.96)

gde je:




Bez obzira na moguću promenu momenta savijanja nekog od pravaca duž pritisnutog elementa, programski se usvaja konstantna vrednost momenata savijanja za sve preseke elementa – momenat koji odgovara ekvivalentnom ekscentricitetu. Ekvivalentni ekscentricitet je u funkciji vrednosti momentata savijanja na krajevima elementa, i to na sledeći način (za svaki od dva pravca):

0 02 010.6 0.4e e e (2.97)

gde su:

01 02,e e odgovarajući ekscentriciteti aksijalne sile u presecima na krajevima stuba, i gde je

ekscentricitet 02e po apsolutnoj vrednosti veći. U izraz (2.89), svaki od ekscentriciteta ulazi sa svojim pravim znakom.

Ekscentricitet usled geometrijskih imperfekcija se u proračun uvodi na sledeći način:

01 1 1 , 2 200100ae l

l (2.98)

gde je:

0l dužina izvijanja elementa (proizvod dužine elementa i zadatog koeficijenta dužine izvijanja),

l stvarna dužina elementa.

Ekscentricitet drugog reda može biti sračunati na dva načina zavisno od izabrane opcije prilikom zadavanja ulaznih podataka:

metod dopunske ekscentričnosti (PBAB87), ili aproksimativni model-stub postupak.

Oba postupka su opisana u delu poglavlja koji se odnosi na proračun prema PBAB87. Prema prvom (metod dopunske ekscentričnosti), ekscentricitet drugog reda se računa prema (2.91). Drugim postupkom (aproksimativni model-stub postupak), ekscentricitet drugog reda (maksimalni ugib) se procenjuje prema (2.93).

Efekti izvijanja se ne uvode u proračun ( 0ae , 2 0e ) ukoliko je zadovoljen sledeći uslov:

01

02

50 25 ee

(2.99)

Napomena: Prilikom proračuna saglasno standardu EC2, preporučuje se primena aproksimativnog model stub postupka.

2.4.5.3.1 Tretman pomerljivih konstrukcija

Radimpex 41/86


Elementi sa horizontalno pomerljivim krajevima su oni elementi čiji je koeficijent dužine izvijanja veći od 1.0. Za ove elemnte, kako je navedeno u uvodnom delu, proračun bazira na dvostrukom uvećanju momenata savijanja prvog reda. U prvom „prolazu“ postupak sračunavanja dodatnih ekscentriciteta ae


2.4.6 DIN2.4.6.1 Granične dilatacione linije Granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 22)


- dilatacija u ivičnom vlaknu pritisnutog betona je 3.5 (ili manja za visoke klase betona) promila (prema proračunskom dijagramu za beton – maksimalna dilatacija u pritisnutom betonu). Za više klase betona od B50, maksimalna dilatacija u betonu se redukuje do minimalnih 2.2 promila, kako je prikazano u 2.3.3.1. Serija ovih graničnih linija prolazi kroz tačku B na slici.

- dilatacija u ivičnom vlaknu je između 2.0 (ili više) i 3.5 (ili manje) promila, ceo presek je pritisnut, a granična dilataciona linija prolazi kroz tačku C na slici. Za slučaj konstantne dilatacije po visini pritisnutog preseka, maksimalna dilatacija je redukovana na 2.0 promila za klase betona zaključno sa B50, odnosno na veću vrednost, a maksimalno 2.2 promila, za klase betona iznad B50.





0 2uk ae e e e (2.100)

Radimpex 42/86


gde je:




Ekvivalentni ekscentricitet prvog reda 0e se sračunava saglasno (2.97), dodatni ekscentriciteti usled

geometriskih imperfekcija ae prema (2.98).






01

02

50 25 ee

(2.101)

Napomena: Prilikom proračuna saglasno standardu DIN, preporučuje se primena aproksimativnog model stub postupka.

2.4.6.3.1 Tretman pomerljivih konstrukcijaElementi sa horizontalno pomerljivim krajevima su oni elementi čiji je koeficijent dužine izvijanja veći od 1.0. Za ove elemnte, kako je navedeno u uvodnom delu, proračun bazira na dvostrukom uvećanju momenata savijanja prvog reda. U prvom „prolazu“ postupak sračunavanja dodatnih ekscentriciteta ae


2.4.7 BS2.4.7.1 Granične dilatacione linije Granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 23):




Radimpex 43/86



2.4.7.2 Analiza koso savijanog preseka Procedura iterativnog određivanja rezultujućeg ugla ose savijanja, njenog položaja i potrebne količine armature u potpunosti odgovara postupku datom u uvodnom delu ovog poglavlja. Razlikuje se oblik naponskog dijagrama u betonu.


2.4.7.3 Izvijanje Ukupan (uvećani ekscentricitet prvog reda) ekscentricitet aksijalne sile u nekom preseku se računa prema:

20

0 2 2 , , 20 2000uk e a e

lde e e e K d ed

(2.102)

gde je:



2e ekscentricitet drugog reda,

K koeficijent konzervativno usvojen kao 1.0K .

Slučajni ekscentricitet nema aditivni karakter, već samo ograničava dodatni ekscentricitet 2e sa donje strane (definiše njegovu minimalnu vrednost).

2.4.7.3.1 Tretman pomerljivih konstrukcijaElementi sa horizontalno pomerljivim krajevima su oni elementi čiji je koeficijent dužine izvijanja veći od 1.0. Za ove elemnte, kako je navedeno u uvodnom delu, proračun bazira na dvostrukom uvećanju momenata savijanja prvog reda. U oba prolaza se aplicira analiza definisana izrazom (2.102). U drugom prolazu se redukuje koeficijent dužine izvijanja na 1.0.

2.4.8 SIA2.4.8.1 Granične dilatacione linije Granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 24):

Radimpex 44/86






2.4.8.2 Analiza koso savijanog preseka Procedura iterativnog određivanja rezultujućeg ugla ose savijanja, njenog položaja i potrebne količine armature u potpunosti odgovara postupku datom u uvodnom delu ovog poglavlja. Razlikuje se oblik naponskog dijagrama u betonu.



0 2uk ae e e e (2.103)

gde je:




Ekvivalentni ekscentricitet prvog reda 0e se sračunava saglasno (2.97), dodatni ekscentriciteti usled

geometriskih imperfekcija ae prema:

01 1 1 1 , 2 200 300100ae l

l (2.104)



Radimpex 45/86





01

02

50 25 ee

(2.105)

Napomena: Prilikom proračuna saglasno standardu SIA, preporučuje se primena aproksimativnog model stub postupka.

2.4.8.3.1 Tretman pomerljivih konstrukcijaElementi sa horizontalno pomerljivim krajevima su oni elementi čiji je koeficijent dužine izvijanja veći od 1.0. Za ove elemnte, kako je navedeno u uvodnom delu, proračun bazira na dvostrukom uvećanju momenata savijanja prvog reda. U prvom „prolazu“ postupak sračunavanja dodatnih ekscentriciteta ae


2.4.9 SNiP2.4.9.1 Granične dilatacione linije Propisima SNiP granično stanje preseka nije definisano dostizanjem graničnih dilatacija, zbog čega zakon promene graničnih dilatacionih linija, u ovom slučaju, izostaje.

2.4.9.2 Analiza koso savijanog preseka Uvodna opšta proračunska procedura je u slučaju proračuna poprečnih preseka prema propisima SNiP modifikovana. Razlog ovome je činjenica da granično stanje preseka, saglasno ovim propisima, nije postavljeno dilatacijski.

I pored ovoga, ukoliko se položaj neutralne linije zameni terminom visina pritisnute zone, moguće je primeniti sličnu proračunsku proceduru.

Na slici (Slika 25) je prikazano stanje unutrašnjih sila u preseku za jedan ugao savijanja poprečnog preseka.

Variranjem visine pritisnute zone (x) moguće je odrediti ravnotežno stanje u preseku za presek jednoosno savijan oko analizirane ose savijanja.

Daljim variranjem ugla nagiba ose savijanja moguće je odrediti onaj ugao za koji će biti zadovoljena sva tri uslova ravnoteže.

Radimpex 46/86


Slika 25. Unutrašnje sile za koso savijan poprečni presek

Pri tome se na visini preseka x usvaja konstantna raspodela napona pritiska u betonu, čiji je intenzitet definisan izrazima (2.79), odnosno (2.80).

Promena napona u armaturi po visini preseka je definisana na sledeći način (napon na mestu armature i):

,

0

1 , 1

1.1

sc usi i

i i

xh

(2.106)

gde je:

= 0.85, za teške betone.

karakteristika pritisnute zone betona:

0.008 0.85 0.008 , 0.85b bR R (2.107)

,sc u karakteristični napon za armaturu:

, 2

, 2

500 MPa za 0.9

400 MPa za 1.0 ili 1.1sc u b

sc u b

(2.108)

Napomena: Maksimalna vrednost napona si ne može biti apsolutno veća od čvrstoće čelika na zatezanje ili pritisak (u skladu sa horizontalnom granom ekvivalentnog idealizovanog dijagrama za čelik).

2.4.9.3 Izvijanje Efekti izvijanja se, prilikom dimenzionisanja podužne armature elementa, uvode u proračun preko dodatnih ekscentriciteta.

Ekscentricitet aksijalne sile (ekscentricitet prvog reda) se uvećava dodatnim, načelno aditivnim, ekscentricitetima, kojima se obuhvataju uticaji netačnosti izvođenja (imperfekcije), vremenskog povećanja ugiba usled dugotrajnog delovanja opterećenja i uticaji drugog reda.

Ekscentricitet prvog reda se određuje kao količnik momenta savijanja za analiziranu osu savijanja (pravac izvijanja) i aksijalne sile:

0MeN

(2.109)

gde su:

Radimpex 47/86


M i N vrednosti momenta savijanja odgovarajućeg pravca i aksijalne sile za analiziranu kombinaciju opterećenja.

Slučajni ekscentricitet:

600

max30

1 cm

a

l

de

(2.110)

gde je:

l dužina elementa,

d visina poprečnog preseka za analiziranu osu izvijanja.

Slučajni ekscentricitet nema aditivni karakter, nego važi sledeći izraz za proračunski ekscentricitet prvog reda:

0

0

za

za

a

a a

M Me eN Ne

Me eN

(2.111)

Koeficijent uvećanja ekscentriciteta 0e usled uticaja drugog reda:

1

1cr

NN

(2.112)

gde je:

crN kritična vrednost aksijalne sile, koja se za proizvoljan oblik poprečnog preseka računa prema:

20

6.4 0.11 0.10.1

bcr s

l e

E IN Il

(2.113)

I i sI momenti inercije betona i armature,

bE modul elastičnosti betona,

0l dužina izvijanja elementa,

e relativni ekscentricitet prvog reda ( bR u MPa):

0 0max ,0.5 0.01 0.01e be l

Rh h

(2.114)

odnos modula elastičnosti čelika i betona,

l koeficijent dugotrajnog dejstva opterećenja ( lM - moment savijanja razmatranog pravca usled stalnog i trajnog opterećenja):

1 1 , 1.0ll

MM

(2.115)

Radimpex 48/86


Napomena: Kako količina armature u ovom momentu nije poznata, programski se usvaja koeficijent armiranja poprečnog preseka od 0.6% prilikom izračunavanja momenta inercije armature.

Uvećani momenat savijanja prvog reda je:

0M e N (2.116)

Na osnovu izloženog, a kako bi se zadržao isti sistem prikaza rezultata, važi:

- slučajni ekscentricitet:

0 0a ae e e (2.117)

- ekscentricitet drugog reda:

2 01e e (2.118)

- ukupan ekscentricitet:

0 2tot ae e e e (2.119)

Za male vitkosti elementa obračun dodatnog ekscentriciteta 2e se ne radi. Ukoliko je:

0 14 1li

(2.120)

Dodatni ekscentriciteti se na identičan način obračunavaju za dva ortogonalna pravca, čime se uvećavaju simultano momenti savijanja oko obe glavne ose.

2.4.10 BSD

2.4.11 MSZ2.4.11.1 Izvijanje ecc0 = lambda / 300 + 0.06 * visina * 0.9

ecc2 = (lambda / 100) ^ 2 * 4 / visina / 0.9

dva prolaza

2.4.12 ACI2.4.12.1 Granične dilatacione linije Granično stanje preseka je definisano graničnim dilatacionim linijama kojima je zadovoljen jedan od sledeća tri uslova (Slika 24):



Radimpex 49/86



2.4.12.2 Analiza koso savijanog preseka

2.4.12.3 Izvijanje nema dva prolaza – kao SNIPEbetona = 57000 * 6.89475 * Sqr(fBetona / 6.89475)

M1uz = 0: M2uz = 0 'racunanje momenata na krajevima stapa

For i = 1 To BrojOpterecenja

mnozilac = Matrica(brojackombinacija, i, 0)

M1uz = M1uz + PocetakMz(i) * mnozilac

M2uz = M2uz + KrajMz(i) * mnozilac

Next i

If Abs(M1uz) < Abs(Nu * (0.01524 + 0.03 * dnorm)) Then 'imperfekcija

M1uz = Sgn(M1uz) * Abs(Nu * (0.01524 + 0.03 * dnorm))

End If

If Abs(M2uz) < Abs(Nu * (0.01524 + 0.03 * dnorm)) Then

M2uz = Sgn(M2uz) * Abs(Nu * (0.01524 + 0.03 * dnorm))

End If

If Abs(M1uz) > Abs(M2uz) Then Swap M1uz, M2uz

If Abs(M2uz) < TolerMoment Then

odnosmomenata = 1

Else

odnosmomenata = M1uz / M2uz

If odnosmomenata < -0.5 Then

odnosmomenata = -0.5

End If

End If

gyr = RadiusInercije(0)

IBetona = gyr * gyr * PovrsinaPreseka

Pcr = pi * pi * 0.4 * Ebetona * IBetona / (1 + betadz) / lambdaz / lambdaz '%%%%%%

If Nu < -0.75 * Pcr Then '%%%%%%

eccz2 = -1 '%%%%%%

eccz0 = 0 '%%%%%%

Else '%%%%%%

If (IzvijanjeOkoZ < 3 And lambdaz <= gyr * (34 - 12 * odnosmomenata)) Or IzvijanjeOkoZ = 7 Then

eccz0 = 0

eccz2 = 0

ElseIf IzvijanjeOkoZ >= 3 And lambdaz <= gyr * 22 Then

Radimpex 50/86


eccz0 = 0

eccz2 = 0

Else

Cm = 0.6 + 0.4 * odnosmomenata

If Cm < 0.4 Then Cm = 0.4

' Pcr = pi * pi * 0.4 * Ebetona * IBetona / (1 + betadz) / lambdaz / lambdaz '%%%%%%

' If Nu < -0.75 * Pcr Then '%%%%%%

' eccz2 = -1 '%%%%%%

' Else '%%%%%%

deltaNS = Cm / (1 - Nu / 0.75 / Pcr)

If deltaNS < 1 Then deltaNS = 1

eccz0 = 0

eccz2 = Abs((deltaNS - 1) * Muz / Nu)

' End If '%%%%%%

End If

If Abs(Muz / Nu) < (0.01524 + 0.03 * dnorm) Then

eccz0 = (0.01524 + 0.03 * dnorm) - Abs(Muz / Nu)

Else

eccz0 = 0

End If

End If '%%%%%%

2.4.13 Napomene i optimizacije2.4.13.1 Negativna količina armature U situacijama kada je računsko rešenje potrebne količine armature u preseku negativna vrednost, iz logičnih razloga, rešenje se prikazuje kao nulto (potrebna površina čelika je jednaka nuli). No, treba primetiti da, tada, nulta količina armature ne obezbeđuje granično stanje preseka, zbog čega je i rezultat po rezultujućem stanju dilatacija nelogičan (u izveštaju). Ovakve situacije treba tumačiti tako da nearmiran presek obezbeđuje nosivost veću od zahtevane (zadatim spoljašnjim uticajima).

2.4.13.2 Optimalan odnos učešća pojedinih armatura Problem određivanja potrebne količine armature u preseku je jednoznačno definisan samo ukoliko je poznat raspored armature u smislu u kojem je poznato njeno normirano stanje (položaj pojedine linije ili taćke armature i njeno učešće u ukupnoj količini armature). Tri uslova ravnoteže po silama dozvoljavaju samo tri nepoznate veličine, koje su iscrpljene uglom ose savijanja, stanjem dilatacija u preseku (visinskim položajem neutralne ose) i količinom armature.

Zbog toga, izračunata količina armature u preseku zavisi od usvojenog načina armiranja, a izbor neadekvatnog načina armiranja može da dovede do višestruko veće potrebne količine čelika.

Za najčešće korišćenu šemu armiranja poprečnog preseka – armiranje donjom i gornjom linijom armature - predviđena je optimizacija kojom se sračunava minimum potrebne količine armature. Naime, četvrta nepoznata veličina (odnos učešća dve linije armature) se odrežuje dodavanjem uslova o minimalnoj ukupnoj količini armature u preseku. Programski se varira odnos učešća dve armarture u potrazi za optimalnim.

Slična optimizacija je implementirana i kod određivanja potrebne količine armature „obostrano simetrično“ armiranih preseka. Dodatni parametar je, u ovom slučaju, odnos učešća „horizontalnih“ i „vertikalnih“ linija armature.

Kako se variranjem odnosa učešća vreme proračuna produžava onoliko puta koliko je različitih odnosa analizirano, to je ovu vrstu optimizacije bilo moguće uvrstiti samo kod proračuna kod kojih je jednim dodatnim parametrom određeno učešće svih armatura u ukupnoj. U ostalim slučajevima ovaj pristup bi rezultirao neprihvatljivo dugim proračunom

Radimpex 51/86


2.4.13.3 Tačnost proračuna Tolerancije iterativnih procedura su postavljene vrlo oštro. Iako ne postoji način preciznog utvrđivanja rezultujuće tačnosti (zavisna je od velikog broja parametara), za veliku većinu praktičnih situacija izvesno je u granicama ±1%.

Korišćene su sledeće vrednosti parcijalnih tolerancija:

- greška određivanja ugla savijanja preseka je manja od 2 stepena;

- greška određivanja visinskog položaja neutralne linije je usvojena maksimalno kao jedan hiljaditi deo odgovarajuće visine preseka;

- minimalni korak iterativnog traženja optimalne količine armature je 5% učešća armature u ukupnoj;

- greška po dilataciji čelika za armiranje, u situacijama kada se dodatnom iterativnom procedurom traže rezultujuće vrednosti parcijalnih koeficijenata, je 0.2%.

2.5 TRANSVERZALNE SILE I MOMENTI TORZIJEZa sve propise usvojeno je da se element obezbeđuje od dejstva graničnih vrednosti transverzalnih sila i torzije vertikalnim uzengijama. Rezultati se prikazuju u potrebnoj količini dvosečnih uzengija po jedinici dužine, te u potrebnoj površini podužne dodatne torzione armature ravnomerno raspodeljene po obimu preseka, a u skladu sa izabranim načinom armiranja preseka podužnom armaturom.

Kod većine propisa se definišu uslovi koje element mora zadovoljiti prema geometriji, mehaničkim karakteristikama i nivou smičućeg opterećenja. Ovi uslovi su posledica potrebe ograničavanja napona pritiska u pritisnutim betonskim dijagonalama. Nezadovoljenje ovih uslova onemogućava dalji proračun elementa prema transverzalnim silama i momentima torzije. Korisnik se interface-om obaveštava da je ovo slučaj.

Korisnik može eksplicitno zahtevati zanemarenje efekata torzionih momenata. Programski ovo znači njihovo anuliranje u pojedinim presecima elemenata kod kojih je ovo zadato.

2.5.1 PBAB87Kontrola i obezbeđenje glavnih napona zatezanja (pritiska) se sprovodi nezavisno za svaki od pravaca. Vrednost maksimalnog glavnog napona u preseku se dobija kao zbir odgovarajućeg napona od smicanja ( T ) i od torzije ( tM ):

0 0

,

, , 0.9 0.9 2

x x t y y t

uyux tux y t

x x y y b

T M T M

TT MT T M

b h b h A

(2.121)

gde je:

/ux yT granična vrednost transverzalne sile za analiziranu kombinaciju opterećenja,

tuM granična vrednost momenta torzije za istu kombinaciju opterećenja,

/x yb odgovarajuća širina preseka za x, odnosno y – pravac,

/x yh odgovarajuća statička visina preseka za x, odnosno y – pravac,

0bA površina ograničena srednjom linijom ekvivalentnog torzionog tankozidnog profila (Slika 27),

0 „debljina“ ekvivalentnog tankozidnog profila (Slika 27).

Radimpex 52/86


Napomena: Odgovarajuće širine i statičke visine preseka, kao i površina i debljina zamenjujućeg profila su određene izabranim oblikom poprečnog preseka i načinom njegovog podužnog armiranja.

Ukoliko je -napon jednog pravca manji od računske čvrstoće betona r (videti tabelu), nije potrebna računska poprečna armatura:

, , , , 0, 0x r a uz x y r a uz yA A (2.122)

gde je:

, , /a uz x yA potrebna količina poprečne armature u x, odnosno y – pravcu.

Ukoliko je -napon jednog pravca veći od petostruke računske čvrstoće betona r proračun je onemogućen saglasno kriterijumu kojim se obezbeđuje pritisnuta betonska dijagonala:

5 5x r y rili (2.123)

Korisnik se obaveštava da su neophodne intervencije na geometriji preseka i/ili mehaničkim karakteristikama materijala.

Ukoliko je -napon u jednom pravcu veći od trostruke računske čvrstoće betona r , kompletan napon se „prima“ poprečnom armaturom, čija se količina za svaki od pravaca računa prema:

, ,, 0 ,

, ,, 0 ,

3 , 2

3 2

x x tx r a uz x

v uz v uz

y y ty r a uz y

v uz v uz

T b MA

T b MA

(2.124)

gde je:

,v uz granica razvlačenja za čelik poprečne armature.

Slika 27. Određivanje površine 0bA i debljine 0

Radimpex 53/86


Konačno, ukoliko je -napon u jednom pravcu između r i 3 r , jedan deo napona se prima betonom

( b ), a za preostali ( a ) se računa potrebna količina poprečne armature:

, ,, 0 ,

, ,, 0 ,

3 , 2

3 2

ax x a tr x r a uz x

v uz v uz

ay y a tr y r a uz y

v uz v uz

T b MA

T b MA

(2.125)

Deo -napona koji prihvata računska armatura se određuje prema:

1 32

1 32

xax r x t

x t

yay r y t

y t

TT T M

T M

TT T M

T M

(2.126)

Ovako dobijene količine poprečne armature su u obliku 2 /cm m dvosečnih uzengija (broj 2 u imeniocima prvih sabiraka). Konačno, ukupna potrebna količina poprečne armature, u obliku vertikalnih dvosečnih uzengija se dobija kao srednja kvadratna vrednost potrebnih količina za svaki od pravaca:

2 2 2, , , , , cm /ma uz a uz x a uz yA A A (2.127)

Dodatna podužna torziona armatura se određuje prema:

2,

0 ,

cm2

tua t

b v uz

MA O

A

(2.128)

gde je:

O obim površine 0bA određen geometrijom poprečnog preseka i načinom podužnog armiranja.

Kako se kao rezultat ovog proračuna javljaju dve vrste armatura, to se za svaku od njih pronalazi merodavna kombinacija – jedna merodavna kombinacija za simultano dejstvo transverzalnih sila i momenata torzije, koja rezultira maksimalnom količinom potrebnih uzengija, i, druga, koja rezultira maksimalnom potrebnom količinom dodatne podužne torzione armature.

Računska čvrstoća betona r , u funkciji marke betona, je data narednom tabelom:

MB 15 20 30 40 50 60

r [MPa] 0.60 0.80 1.10 1.30 1.50 1.60

2.5.2 EC2Za svaki od pravaca se određuju proračunske nosivosti na smicanje 1,Rd xV i 1,Rd yV , te maksimalna

dopuštena proračunska sila smicanja 2, ,Rd red xV i 2, ,Rd red yV .

Proračunska nosivost na smicanje 1RdV se određuje prema:

1 11.2 40 0.15Rd Rd cp wV k b d (2.129)

gde je:

Radimpex 54/86


Rd osnovna proračunska čvrstoća betona pri smicanju (videti tabelu),

k konzervativno usvojeno 1.0k ,

11s

w

Ab d

, 1sA - površina zategnute armature u preseku. Kako je u trenutku proračuna

konačna količina podužne armature u preseku nepoznata, ova količina armature se uzima kao rezultat tekuće kombinacije opterećenja. Dodatno, usvaja se ona količina armature koja se nalazi u zategnutoj zoni preseka određenoj saglasno pretpostavkama linearno elastičnog ponašanja homogenog materijala. Ukoliko je ceo presek pritisnut, koeficijent 1 se usvaja kao 0.

wb minimalna širina preseka na statičkoj visini d ,

cp prosečan normalni napon u preseku – količnik granične vrednosti normalne sile za tekuću kombinaciju i bruto površine preseka.

Maksimalna proračunska sila smicanja 2RdV data je izrazom:

2 0.5 0.9 , 0.7 0.5, 200

ck ckRd cd w cd

c

f fV f b d f

, (2.130)

a njena redukovana vrednost u elementima izloženim pritisku je:

,2, 2 21.67 1 cp eff

Rd red Rd Rdcd

V V Vf

(2.131)

gde je:

,cp eff efektivan prosečni napon u betonu od granične vrednosti podužne sile (sračunat za isti

proračunski model kao i cp ).

Moment nosivosti na torziju koji mogu da prihvate pritisnuti betonski štapovi za presek se određuje izrazom:

1 0.7Rd cd kT f t A (2.132)

gde je:

t , kA debljina ekvivalentnog tankozidnog profila, i površina oivičena njegovom srednjom linijom.


Granične vrednosti transverzalnih sila u x, odnosno y –pravcu su xV i yV , dok je granični moment torzije T . Ukoliko je neka od transverzalnih sila veća od odgovarajuće nosivosti pritisnutih betonskih dijagonala, ili, ukoliko je torzioni moment veći od momenta nosivosti na torziju (uslovi (2.131)), korisnik se obaveštava o nemogućnosti analize elementa usled prekoračenja odgovarajućih graničnih vrednosti. U ovim situacijama neophodna je promena ulaznih parametara (geometrija i/ili mehaničke karakteristike):

2, , 2, , 1, , x Rd red x y Rd red y RdV V V V T T . (2.133)

Isto obaveštenje korisnik dobija i ukoliko je neki od sledeća dva kriterijuma, koji ograničavaju nivo uticaja pri simultanom dejstvu smicanja i torzije, ispunjen:

Radimpex 55/86


22 2 2

2, , 1 2, , 1

1, 1yx

Rd red x Rd Rd red y Rd

VV T TV T V T

(2.134)

Ukoliko prethodni kriterijumi nisu zadovoljeni, potrebna količina poprečne armature se određuje za x i y –pravac nezavisno:

, ,

, ,

, 2 0.9 2

2 0.9 2

xa uz x

x ywd k ywd

ya uz y

y ywd k ywd

V TAd f A f

V TAd f A f

(2.135)




2, cm ,

2ykw

a t ywdk ywd s

fTA O fA f

(2.137)

gde je:

O obim površine kA određen geometrijom poprečnog preseka i načinom podužnog armiranja.


Osnovna proračunska čvrstoća betona pri smicanju Rd je data u funkciji klase betona narednom tabelom:

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

Rd [MPa] 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48

2.5.3 DINZa svaki od pravaca se određuju proračunske nosivosti na smicanje 1,Rd xV i 1,Rd yV , te maksimalna

dopuštena proračunska sila smicanja 2,Rd xV i 2,Rd yV .


1

3

1 1 10.1 100 0.12cdRd cp w

c

f MPaV b d

(2.138)

gde je:

Radimpex 56/86


0.2m1 2.0d

1 1.0

11s

w

Ab d


konačna količina podužne armature u preseku nepoznata, ova količina armature se uzima kao rezultat tekuće kombinacije opterećenja. Dodatno, usvaja se ona količina armature koja se nalazi u zategnutoj zoni preseka određenoj saglasno pretpostavkama linearno elastičnog ponašanja homogenog materijala. Ukoliko je ceo presek pritisnut, koeficijent 1 se usvaja kao 0.


cp prosečan normalni napon u preseku – količnik granične vrednosti normalne sile za tekuću kombinaciju i bruto površine preseka.


2 10.5 0.75 0.9 , ckRd cd w cd

c

fV f b d f

, (2.139)


1 0.7 0.75Rd cd kT f t A (2.140)

gde je:






22 2 2

2, , 1 2, , 1

1, 1yx


VV T TV T V T

(2.142)


Radimpex 57/86


, ,

, ,

, 2 0.9 2

2 0.9 2

xa uz x

x ywd k ywd

ya uz y

y ywd k ywd

V TAd f A f

V TAd f A f

(2.143)




2, cm ,

2ykw

a t ywdk ywd s

fTA O fA f

(2.145)

gde je:



2.5.4 BSZa svaki od pravaca određuju se smičući naponi od graničnih vrednosti transverzalne sile za tekuću kombinaciju opterećenja, xv i yv :

, 0.9 0.9

yxx y

x x y y

VVv v

b d b d

(2.146)

Granična vrednost napona se određuje prema:

(2.147)

Za svaki od pravaca se određuju vrednosti napona cpv - cpxv i cpyv - naponi koji odgovaraju proračunskoj nosivosti na smicanje:

11

3411 2 31 1 2

0.4 m0.79 100 , 1, 1.1696, 1.2525 MPa

cdc M

M

fk kv k kd

(2.148)

0.75 , 1.0Sd ccp c c

c

N e V dv v eA T

(2.149)

gde je:

11s

w

Ab d


konačna količina podužne armature u preseku nepoznata, ova količina armature se uzima kao rezultat tekuće kombinacije opterećenja. Dodatno, usvaja se ona količina armature koja se

Radimpex 58/86


nalazi u zategnutoj zoni preseka određenoj saglasno pretpostavkama linearno elastičnog ponašanja homogenog materijala. Ukoliko je ceo presek pritisnut, koeficijent 1 se usvaja kao 0. Ukoliko je deo preseka zategnut, ovaj koeficijent mora biti u granicama od 0.15 do 3%.

d statička visina preseka.

Maksimalni proračunski napon smicanja dat je izrazom:

MPa0.8 5 MPack

grc

fv

, (2.150)


1 0.7Rd cd kT f t A (2.151)

gde je:



Ukoliko je smičući napon u bar jednom pravcu veći od odgovarajuće nosivosti pritisnutih betonskih dijagonala, ili, ukoliko je torzioni moment veći od momenta nosivosti na torziju (uslovi (2.150)), korisnik se obaveštava o nemogućnosti analize elementa usled prekoračenja odgovarajućih graničnih vrednosti. U ovim situacijama neophodna je promena ulaznih parametara (geometrija i/ili mehaničke karakteristike):

1, , x gr y gr Rdv v v v T T . (2.152)


2 22 2

1 1

1, 1yx

gr Rd gr Rd

vv T Tv T v T

(2.153)

Ukoliko su zadovoljeni sledeći uslovi, računska poprečna armatura usled dejstva transverzalnih sila nije potrebna:

, , ,

, , ,

0.4 MPa 0

0.4 MPa 0x cp x a uz x

y cp y a uz y

v v A

v v A

(2.154)


, ,

, ,

, 2 0.87 2

2 0.87 2

x wa uz x

ywd k ywd

ya uz y

ywd k ywd

v b TAf A f

v TAf A f

(2.155)




Radimpex 59/86


2, cm ,

2ykw

a t ywdk ywd s

fTA O fA f

(2.157)

gde je:



2.5.5 SIAZa svaki od pravaca se određuju proračunske nosivosti na smicanje 1,Rd xV i 1,Rd yV , te maksimalna

dopuštena proračunska sila smicanja 2,Rd xV i 2,Rd yV .


1 1 2.2Rd w

Rdb dV

d

(2.158)

gde je:

Rd osnovna proračunska čvrstoća betona pri smicanju (videti tabelu),



2 0.5 0.9 , , 0.60ckRd c cd w cd c

c

fV k f b d f k

, (2.159)


1 0.7 , 0.7 0.50200 MPa

ck cRd cd k

fT f t A (2.160)

gde je:






Radimpex 60/86


22 2 2

2, , 1 2, , 1

1, 1yx


VV T TV T V T

(2.162)


, ,

, ,

, 2 0.9 2

2 0.9 2

xa uz x

x ywd k ywd

ya uz y

y ywd k ywd

V TAd f A f

V TAd f A f

(2.163)




2, cm ,

2ykw

a t ywdk ywd s

fTA O fA f

(2.165)

gde je:



C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

Rd [MPa] 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.25 1.35 1.40

2.5.6 SNiP2.5.6.1 Smicanje - Slučaj kada nisu potrebne proračunske uzengije Ukoliko je zadovoljeno u svakom preseku:

02.5 btQ R b h i 2

4 0b btR b hQ

c

(2.166)

nije potrebna proračunska armatura za smicanje.

U prethodnom izrazu oznake imaju sledeće značenje:

btR računska čvrstoća betona pri zatezanju,

b širina poprečnog preseka,

0h statička visina poprečnog preseka,

Radimpex 61/86


4b ,

c udaljenost posmatranog preseka od oslonca (Slika 28).

Slika 28. Položaj preseka je definisan sa c

Ukoliko dijagram transverzalnih sila za neku kombinaciju opterećenja „ostaje“ ispod crvene linije, element ne zahteva proračunske uzengije.

Slika 29. Uslov za nulte proračunske uzengije

2.5.6.2 Smicanje - Uslov po pritisnutoj betonskoj dijagonali Za svaki presek mora biti zadovoljeno:

1 10.30 w b bQ R b h (2.167)

gde je:

1 1 5 sww

s

Ab

(2.168)

1 1 , 0.01, u MPab b bR R (2.169)

Ukoliko uslov (2.167) nije zadovoljen, neophodna je promena geometrije preseka i/ili mehaničkih karakteristika, kojima bi gornji uslov bio zadovoljen.

2.5.6.3 Smicanje - Slučaj kada je potrebna proračunska armatura Ukoliko prethodni uslov nije zadovoljen, element zahteva proračunske uzengije.

Opšti zahtev je, u ovom slučaju, obezbeđenje zajedničke nosivosti betona ( bQ ) i armature ( swQ ) veće

od transverzalne sile merodavne kombinacije opterećenja ( Q ):

Radimpex 62/86


b swQ Q Q (2.170)

Napomena: Za različite preseke mogu biti merodavne različite kombinacije opterećenja.

Nosivost betona po dužini elementa je definisana sledećim izrazom:

2

2 0 22 0

1, 1b f btb

b b b f bt

R b hMQ M R b h

c c

(2.171)

,min 3 0 ,min1 ,b b f bt b bQ R b h Q Q (2.172)

gde je:

,minbQ minimalna vrednost sile bQ ,

2b 2.0 za teške betone,

3b 0.6 za teške betone,

f koeficijent kojim se uvodi uticaj flanše T-preseka. Konzervativno je usvojeno 1.0f ,

c udaljenost posmatranog preseka od oslonca.

Slika 30. Dijagram promene sile bQ po dužini elementa

Potrebna nosivost uzengija je definisana razlikom spoljašnje transverzalne sile i one koju u nekom preseku prima beton:

,sw potr bQ Q Q (2.173)

Sa druge strane, nosivost uzengija je:

0 0sw

sw sw swA

Q q c R cs

(2.174)

gde je:

swA površina poprečnog preseka uzengija,

s razmak između uzengija,

swR granica razvlačenja čelika uzengija,

swq nosivost uzengija po jedinici dužine,

0c dužina nagnutog preseka (slika).

Radimpex 63/86


Slika 31. Proračunski model za određivanje potrebne količine uzengija

Za dužinu 0c se usvaja:

0b

sw

Mc

q (2.175)

pri čemu važi:

0 0 0 0 0, 2 ,c c c h c h (2.176)

Uvrštavanjem (2.175) u (2.174) dobija se:

2

,b sw

sw sw sw potrsw b

M QQ q qq M

(2.177)

pri čemu uslovi (2.176) daju:

0 02sw sw

sw swQ Qq qh h

. (2.178)

Sada je potrebna količina uzengija:

,

2sw potrsw

potr sw

qAs R

(2.179)

Broj 2 u imeniocu obezbeđuje rezultat u obliku potrebne količine dvosečnih uzengija.

2.5.6.4 Dejstvo transverzalnih sila pri kosom savijanju Ukoliko je element opterećen transverzalnim silama dva ortogonalna pravca, proračun se sprovodi za svaki od pravaca nezavisno.

Pretpostavlja se da dvosečne uzengije imaju jednaku moć nošenja u oba ortogonalna pravca. Zbog potrebe zadovoljenja kriterijuma:

22

, ,

1yx

bw x bw y

QQQ Q

(2.180)

očigledno je da usvajanje veće potrebne količine uzengija dobijene proračunom dva nezavisna pravca nije dovoljno.

Programski se zadovoljenje kriterijuma obezbeđuje računanjem potrebne količine dvosečnih uzengija kao srednje kvadratne vrednosti potrebnih količina dva pravca.

2.5.6.5 Dejstvo torzionog opterećenja Efekti dejstva torzionog opterećenja se prilikom proračuna prema SNiP standardu ne uvode, nego, ukoliko su značajni, moraju biti razmatrani nezavisno od strane korisnika.

Radimpex 64/86


2.5.7 ACI

2.5.8 BSD

2.5.9 MSZ

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55

Rd [MPa] 0.95 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.55 1.55 1.55 1.55

Radimpex 65/86


3 PRORAČUN PREMA GRANIČNOM STANJU

UPOTREBLJIVOSTI

Proračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti je implementiran u modul za dimenzionisanje armiranobetonskih elemenata.

Trenutno, implementiran je proračun saglasno Jugoslovenskim standardima PBAB, standardima Evropske unije EuroCode 2 i prema Švajcarskim standardima – SIA. Za ostale modulom podržane standarde primenjuje se proračun graničnih stanja upotrebljivosti prema standardu EuroCode 2:

3.1 UVODProračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti se sprovodi za eksploatacione vrednosti uticaja dobijene analizom konstrukcije.

Podrazumeva se da je u armiranobetonskim elementima prethodno usvojena armatura na osnovu proračuna prema graničnim stanjima nosivosti.

Opterećenja se klasifikuju kao:

dugotrajna – deluju dovoljno dugo da su efekti tečenja njima izazvani izraženi (proračunavaju se),

kratkotrajna – ne „aktiviraju“ efekte tečenja betona.

Za svaku vrstu opterećenja je predefinisan parametar dugotrajnosti delovanja, ali korisnik ima mogućnost njegove izmene. Takođe, korisnik ima mogućnost isključivanja pojedinih opterećenja iz analize graničnih stanja upotrebljivosti.

Poput proračuna prema graničnim stanjima nosivosti, i ovde se programski generišu kombinacije eksploatacionih opterećenja, a postoji, i dalje, mogućnost proračuna samo za eksplicitno zadate kombinacije.

Proračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti podrazumeva:

Proračun stanja napona i dilatacija u poprečnim presecima u karakterističnim trenucima vremena;

Proračun karakterističnih širina prslina u karakterističnim trenucima vremena;

Proračun ugiba elementa u karakterističnim trenucima vremena.

Karakteristični trenuci vremena su:

Početni trenutak 0t – aplicirano je dugotrajno opterećenje;

Radimpex 66/86


Trenutak vremena u toku eksploatacije kada je element opterećen najnepovoljnijom kombinacijom opterećenja t - aplicirano je dugotrajno i kratkotrajno opterećenje.

Proračun stanja napona i dilatacija podrazumeva:

Proračun početnih stanja napona i dilatacija:

Proračun promena stanja napona i dilatacija usled skupljanja i tečenja betona;

Superpoziciju stanja napona i dilatacija usled uticaja koji počinju da deluju različitim vremenskim trenucima.

Na osnovu ovako sračunatih stanja dilatacija i napona određuju se karakteristične širine prslina i veličine ugiba.

Kompletan proračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti, poput prethodnog, bazira na analizi koso savijanog preseka linijskog elementa, odnosno jednoosno savijanog preseka površinskog elementa.

3.2 KOMBINOVANJE OPTEREĆENJA- stalni i povremeni deo optere’enja

-

-u propisima dat fz

3.3 STANJA DILATACIJA I NAPONA U PRESEKUOvaj proračun bazira na sledećim pretpostavkama:

za vezu napona i dilatacija u betonu u toku vremena koristi se algebarska veza linearne teorije tečenja, koja se za početni trenutak vremena svodi na idealno elastičnu vezu (Hooke-ov zakon),

veza između napona i dilatacija za čelik za armiranje je idealno elastična (Hooke-ov zakon),

modul elastičnosti za beton je konstantan u toku vremena, a efekti tečenja i starenja se obuhvataju korigovanim efektivnim modulom elastičnosti,

presek se ravno deformiše – dilatacija u nekoj tački preseka je linearna funkcija njenog odstojanja od neutralne (nulte) linije dilatacija – dijagram napona i dilatacija po visini preseka je linearan,

spoj između armature i betona tokom vremena ostaje nenarušen – kompatibilnost dilatacija,

poznate su (pretpostavljene) vrednosti koeficijenta tečenja betona 0,t t , koeficijenta

starenja betona 0,t t i dilatacije skupljanja betona 0,s t t ,

poznata je geometrija preseka i raspored i količine podužne armature u preseku – usvajaju se računske vrednosti dobijene proračunom elementa prema graničnom stanju nosivosti,

Kao rezultat, dobija se stanje napona i dilatacija u preseku u karakterističnim trenucima vremena 0t i

t :

0t , 0t , t , t

Radimpex 67/86


Stanja napona i dilatacija su bitno opredeljena činjenicom da je prekoračena zatežuća čvrstoća betona u preseku ili nije. U prvom slučaju reč je o preseku sa prslinom, a u drugom o preseku bez prsline. Moguće su sledeće situacije:

u preseku se formira prslina već u trenutku 0t usled dejstva dugotrajnog opterećenja,

u preseku se u trenutku 0t ne formira prslina, ali se formira vremenom usled tečenja i skupljanja betona (od dejstva samo dugotrajnog opterećenja),

prslina se u preseku formira tek nakon apliciranja kratkotrajnog opterećenja u trenutku t ,

presek je bez prsline i nakon apliciranja kratkotrajnog opterećenja.

Proračun stanja napona i dilatacija se može razložiti u sledeća tri koraka:

1. Proračun početnih stanja napona i dilatacija usled dejstva dugotrajnih uticaja;

2. Proračun promena stanja napona i dilatacija usled skupljanja i tečenja betona usled dejstva dugotrajnih uticaja;

3. Superpoziciju stanja napona i dilatacija usled dejstva kratkotrajnih uticaja koji počinju da deluju različitim vremenskim trenucima.

3.3.1 Napon pojave prslineU preseku se, pod dejstvom spoljašnjeg eksploatacionog opterećenja, formira prslina ukoliko je maksimalni napon zatezanja po visini betonskog preseka veći od zatežuće čvrstoće betona pri savijanju.

3.3.1.1 PBAB Prema PBAB, zatežuća čvrstoća pri savijanju se određuje prema:

4

0.40.7 0.6 0.7 [m]zs zm zmf f f

d

, (3.1)

gde je:

d visina poprečnog preseka u metrima,

zmf srednja vrednost čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju, data narednom tabelom u funkciji marke betona.

MB 15 20 30 40 50 60

zmf [MPa] 1.50 1.80 2.40 2.90 3.40 3.80

Vrednost srednje čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju se može odrediti i prema:

23[MPa] 0.25zm bkf f , (3.2)

gde je MBbkf , čvrstoća na pritisak betonske kocke uneta u MPa.

3.3.1.2 Eurocode 2

Prema Eurocode 2, zatežuća čvrstoća pri savijanju zsf se usvaja jednaka srednjoj čvrstoći betona pri

zatezanju ctmf , čije su vrednosti u funkciji klase betona date narednom tabelom:

zs ctmf f (3.3)

Radimpex 68/86


C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

ctmf [MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

3.3.2 Proračun početnih stanja napona i dilatacijaU početnom trenutku vremena analizira se dejstvo samo dugotrajnog dela opterećenja. Usled ovog opterećenja uticaji u preseku su: aksijalna sila gN , momenti savijanja gxM i gyM .

Spoljašnji uticaji u nekom preseku (rezultat prethodne analize konstrukcije) su dati u odnosu na težište bruto betonskog preseka.

U ovoj analizi armiranobetonski presek se posmatra kao spregnuti presek dva preseka: neto betonskog i čeličnog. Otud, kompletna analiza bazira na idealizovanom – ekvivalentnom – betonskom preseku. Za početni trenutak vremena, idealizovani presek se određuje na osnovu modula elastičnosti betona za trenutak 0t i ima modul elastičnosti betona:

0 , ab b

b

EE E t nE

(3.4)

gde je:

aE modul elastičnosti čelika za armiranje,

n odnos modula elastičnosti čelika i betona, koji predstavlja „težinski“ koeficijent sa kojim čelični presek učestvuje u idealizovanom (u kojem betonski presek učestvuje sa „težinskim“ koeficijentom 1.0).

Slika 32. Betonski (b), čelični (a) i idealizovani presek (i)

Kako se programski analizira, u opštem slučaju, koso savijani presek, to proračunska procedura podrazumeva pronalaženje rezultujućeg ugla nagiba neutralne ose, bač kao što je to slučaj kod proračuna podužne armature u graničnom stanju nosivosti.

Stanje napona u trenutku 0t , za jedan nagib neutralne linije ( ), je određeno sa:

,0

g g ii

i i

N Mt

A I (3.5)

gde je:

,g iM moment savijanja za analizirani pravac ose savijanja sračunat u odnosu na idealizovani presek,

Radimpex 69/86


i položaj posmatrane tačke u odnosu na težište idealizovanog preseka iT u pravcu normalnom na osu savijanja.

iA , iI površina i moment inercije idealizovanog preseka.

Položaj neutralne linije po visini preseka (pravac ) je određen nulom naponske funkcije.

Ukoliko je maksimalni napon zatezanja manji od čvrstoće betona pri zatezanju savijanjem zsf , onda je ovim dobijeno i rezultujuće stanje napona u poprečnom preseku za nulti trenutak.

Ukoliko to nije slučaj – napon zatezanja na jednom delu preseka je veći od čvrstoće zsf – u preseku se forimra prslina već u početnom trenutku vremena. Pretpostavlja se da se prslina formira celom visinom zategnute zone, zbog čega je naponski aktivan samo pritisnuti (za sada nepoznat) deo preseka.

Slika 33. Idealizovani presek na mestu prsline

Postupak proračuna u ovom slučaju je komplikovaniji. Za jedan pravac nagiba neutralne linije iterativno se „traži“ rezultujući položaj neutralne linije po visini preseka – pravac - za koji se obezbeđuje ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila gledano jednoosno oko izabranog pravca neutralne linije. Rezultujućem položaju neutralne linije odgovara distribucija napona po visini preseka data izrazom (3.5), ovog puta u odnosu na težište idealizovanog preseka sa prslinom.

Od svih mogućih pravaca neutralne linije, samo za jedan pravac je obezbeđeno zadovoljenje sva tri uslova ravnoteže (jedan uslov po aksijalnoj sili i dva po momentima savijanja). Programski se iterativno određuje ovaj pravac, a stanje napona koje mu odgovara je i rezultujuće stanje napona u preseku za trenutak 0t .

Ovom stanju napona odgovara stanje dilatacija, koje se dobija skaliranjem dijagrama napona, saglasno Hooke-ovom zakonu. Modul elastičnosti je modul elastičnosti betona 0bE t , pošto je presek idealizovan na meru betona:

00

0b

tt

E t

(3.6)

Ovde su 0t i 0t funkcije položaja u odnosu na idealizovano težište.

3.3.3 Proračun promena početnih dilatacija i napona usled skupljanja i tečenja

Promene početnih napona i dilatacija se određuju uz pretpostavku da su početni uticaji ostali nepromenjeni: aksijalna sila gN , momenti savijanja gxM i gyM . Pri tome su poznati (korisnik zadaje)

koeficijent tečenja betona 0,t t , dilatacija skupljanja 0,s t t i koeficijent starenja 0,t t .

Radimpex 70/86


Odnos promena napona i promena dilatacija je određen korigovanim efektivnim modulom elastičnosti:

0*

0 01 , ,b

b

E tE t

t t t t

. (3.7)

Za trenutak vremena t je odnos modula elastičnosti čelika i betona:

*0 0* 1 , ,a

b

En n t t t tE t

(3.8)

Uticaji u odnosu na idealizovano težište *iT su: gN , *

,gx iM , *,gx iM

Slika 34. Idealizovani presek za trenutak vremena t

Vremensko dilatiranje betona usled tečenja i skupljanja je sprečeno armaturom. Postupak bazira na ideji da se vremenska promena stanja napona i dilatacija razloži na taj način što će se „privremeno“ raskinuti spoj između betona i čelika, čime će beton vremenski slobodno dilatirati (slobodna promena dilatacija usled skupljanja i tečenja nije praćena promenom napona), a zatim će se uslov kompatibilnosti ponovo zadovoljiti apliciranjem dva (ukupno gledano) ravnotežna sistema spoljašnjih uticaja.

Postupak proračuna je opisan narednom tabelom.

Prva slika odgovara rezultujućem stanju za početni trenutak vremena. Dilatacije po visini preseka (za jedan nagib neutralne linije) su 0t . Početni uticaji vremenom nisu promenjeni.

Pretpostavljajući slobodno dilatiranje betona (nesprečeno armaturom), dilatacije u betonu bi bile:

0 0,slt t t (3.9)

gde su 0,sl t t dilatacije nastale kao posledica skupljanja i tečenja:

0 0 0 0, , ,sl st t t t t t t . (3.10)

Napomena: Slobodna dilatacija u betonskom preseku ne izaziva promenu napona.

Radimpex 71/86


Kako spoj između betona i čelika postoji (pretpostavka potpune kompatibilnosti dilatacija) postupak podrazumeva apliciranje dodatnih uticaja aN , axM i ayM (zapravo aM ), kojima se „veštački“ ostvaruje kompatibilnost deformacija.:

, ba a a sl T

a a a sl

N E A

M E I

(3.11)

gde je , bsl T - slobodna dilatacija u težištu betonskog preseka, a

0 0,sl t t t - slobodna krivina preseka (slobodno skupljanje betona ne menja krivinu).

Kako je dodatnim uticajima povećano aplicirano opterećenje, nanošenjem istih uticaja u suprotnom smeru ovo će biti anulirano. Ovi „suprotni“ uticaji ( *

i aN N , *iM ) se

apliciraju na ceo – idealizovani – presek, u težištu *iT .

Ukupna promena napona u betonu je posledica samo ovih „povratnih“ uticaja, dok je promena napona u armaturi zbir onih učinjenih apliciranjem uticaja aN i aM i uticaja *

iN , *iM :

* **

* *

*

i ib i

i i

a aa b a

a a

N Mt

A I

N Mt n t

A I

(3.12)

Superpozicijom napona u trenutku 0t sa promenama datim u izrazu (3.12) dobijaju se rezultujeće vrednosti napona.

Kako važi kompatibilnost dilatacija, to je rezultujuće stanje dilatacija definisano (i za beton i za čelik) zbirom početnih dilatacija, slobodnih dilatacija i dilatacija preseka izazvanih „povratnim“ uticajima:

* *0 0 *, , b

slb

tt t t t

E t

(3.13)

Napomena: Opisani postupak je nezavisan od činjenice da se u početnom trenutku vremena formirala prslina ili ne.Napomena: U opštem slučaju, protokom vremena neutralna linija napona i dilatacija se više ne poklapaju.

Opisani postupak odgovara jednom nagibu neutralne linije. S obzirom da se programski analizira koso savijani presek, opisani postupak ponavlja za sve različite nagibe neutralne linije. Samo za jedan nagib, rezultujuće stanje napona je takvo da su zadovoljena sva tri ravnotežna uslova (jedan po aksijalnoj sili i dva po momentima savijanja) – ostvarena je puna ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih uticaja.

Prikazani postupak omogućava određivanje stanja napona i dilatacija u bilo kom trenutku vremena pod konstantnim spoljašnjim opterećenjem ukoliko su poznate vremenske funkcije 0,t t , 0,s t t

Radimpex 72/86


i 0,t t . Kako korisnik zadaje po jednu vrednost za svaku od ovih veličina, to je izbor vremenskog

trenutka t na korisniku. Programski se ovaj trenutak vremena imenuje kao t .

3.3.4 Superpozicija napona i dilatacija usled dodatnih – kratkotrajnih uticaja

U ovom delu razmatraju se promene stanja napona i dilatacija u preseku izazvane dodatnim spoljašnjim uticajima, koji na presek počinju da deluju u nekom vremenskom trenutku 0t t .

Praktično, dodatni uticaji predstavljaju kratkotrajni deo spoljašnjeg opterećenja jedne kombinacije opterećenja. Tako je presek u početnom trenutku vremena opterećen dugotrajnim delom ukupnog opterećenja: aksijalna sila gN , momenti savijanja gxM i gyM , dok se ovim uticajim u trenutku t

pridružuje kratkotrajni deo ukupnog opterećenja: aksijalna sila pN , momenti savijanja pxM i pyM . Ukupni uticaji koji deluju na presek u trenutku t su:

, , g p x gx px y gy pyN N N M M M M M M . (3.14)

Razlikuju se tri moguće situacije:

1. ni pri delovanju početnih, ni pri delovanju ukupnih uticaja u preseku se ne formira prslina – Slučaj 1,

2. prslina se formira tek dodavanjem kratkotrajnih uticaja – Slučaj 2,

3. prslina se formira već pri početnim uticajima – Slučaj 3.

3.3.4.1 Slučaj 1 Podrazumeva se da je određeno stanje napona i dilatacija u poprečnom preseku neposredno pred nanošenje kratkotrajnih uticaja, te da su naprezanja takva da ne prekoračuju zatežuću čvrstoću betona pri savijanju.

Ako se pretpostavi da se prslina u preseku ne formira ni pri delovanju ukupnog opterećenja, onda dodatni – kratkotrajni – uticaji izazivaju promenu napona i dilatacija koja odgovara onoj koju bi dugotrajni uticaji izazvali u nultom trenutku vremena. Pri tome je usvojena uobičajena pretpostavka da se modul elastičnosti betona vremenom ne menja. Tako će promena napona i dilatacija biti sračunate na osnovu poznatih izraza:

,0, , p p i

b i b bi i b

N ME t E t

A I E t

(3.15)

Rezultujuće stanje napona i dilatacija, nakon apliciranja kratkotrajnih uticaja je određeno prostom superpozicijom:

, b b bt t (3.16)

Napomena: Napon u armaturi uvek može biti određen kao proizvod dilatacije i modula elastičnosti čelika.

Pretpostavka o neformiranju prsline ni nakon apliciranja kratkotrajnog opterećenja je tačna ukoliko rezultujući maksimalni napon zatezanja nije veći od zatežuće čvrstoće betona na zatezanje pri savijanju zsf .

Kako se analizira opšti slučaj koso savijanog preseka, to se tačnost pretpostavke analizira za svaki od analiziranih nagiba neutralne linije.

3.3.4.2 Slučaj 2 Ukoliko je rezultujuće stanje dobijenom primenom prethodnog postupka (Slučaj 1) takvo da je maksimalni napon zatezanja veći od zatežuće čvrstoće betona na zatezanje pri savijanju zsf , a pre apliciranja kratkotrajnih uticaja u preseku nije formirana prslina, postupak proračuna je složeniji. U ovoj

Radimpex 73/86


situaciji prosta superpozicija parcijalnih napona i dilatacija nije moguća zbog činjenice da se formiranjem prsline menja i aktivni deo preseka.

Postupak proračuna rezultujućeg stanja napona zasniva se na prethodnom rasterećenju preseka, registrovanju zaostalih dilatacija u preseku, te zaostalih napona u armaturi i apliciranju ukupnih (i dugotrajnih i kratkotrajnih) uticaja na rasterećen presek. Detaljnije, postupak je opisan narednom tabelom.

Prva slika odgovara rezultujućem stanju napona i dilatacija za trenutak t usled dugotrajnog dela opterećenja – pre apliciranja kratkotrajnog dela opterećenja. Dilatacije u preseku su t .

Fiktivnim uticajima , 1g iN t i , 1g iM t , koji deluju u težištu idealizovanog preseka, presek se elastično dekomprimuje tako da naponi u betonu budu jednaki nuli, dok dilatacije („zaostale“ dilatacije usled skupljanja i tečenja) i napon u armaturi (postoji čim postoji dilatacija u armaturi) nisu.Napomena: kako je zanemarena vremenska promena modula elastičnosti betona, to je 1 0b bE t E t , a težišta 1iT t i

0iT t se poklapaju.

Preostale dilatacije u preseku i naponi u armaturi su ekvivalentni delovanju uticaja 1aN i 1aM samo na armaturni presek, u težištu armature. Ovi uticaji su jednaki razlici početnih uticaja gN i gM i uticaja elastične

dekompresije , 1g iN t i , 1g iM t - preostali uticaji nakon dekompresije – redukovani na težište armature.

Na „dekomprimovan“ idealizovan presek sada se apliciraju ukupni uticaji i negativne vrednosti već apliciranih (preostalih) uticaja, kako bi ukupno aplicirano opterećenje odgovaralo onom koje proističe iz odgovarajuće kombinacije opterećenja.

Analiza preseka za dejstvo ovih uticaja u potpunosti odgovara analizi za početne uticaje u početnom trenutku vremena, kada se u preseku formira prslina.

Ovako dobijeni naponi u betonu, s obzirom da je pre apliciranja ovih uticaja betonski presek bio dekomprimovan, predstavljaju i ukupne – rezultujuće – napone, dok dilatacije i naponi u armaturi predstavljaju samo promene „zaostalih“ dilatacija i napona u armaturi nakon „dekompresije“.

Superpozicijom prethodna dva stanja napona i dilatacija dobija se rezultujuće stanje napona i dilatacija u preseku nakon apliciranja dodatnih, kratkotrajnih, uticaja.

Treba primetit da opisani postupak (Slučaj 2) u situacijama kada se ni pod dejstvom kratkotrajnih uticaja ne formira prslina daje rezultate identične onima koje daje prethodni postupak (Slučaj 1). Ovim je Slučaj 1 samo specijalni slučaj opštijeg Slučaja 2.

***

Za svaki od nagiba neutralne linije (ose savijanja) se ponavlja opisani postupak. Treba primetiti mogućnost da se za neke nagibe proračun zaustavi na postupku opisanom kao Slučaj 1, dok za druge

Radimpex 74/86


nagibe može biti neophodan proračun opisan kao Slučaj 2.

Bez obzira koji od Slučajeva je u pitanju, samo jednom nagibu neutralne linije odgovara potpuno uravnoteženje spoljapnjih i unutrašnjih uticaja. Variranjem nagiba neutralne linije programski se iterativno pronalazi ovo rešenje.

3.3.4.3 Slučaj 3 Kako je proračunska procedura opisana kao Slučaj 2 nezavisna od činjenice da je pre aplikacije kratkotrajnih uticaja u preseku bila formirana prslina ili nije, to se i u ovim situacijama primenjuje identičan proračunski postupak superpozicije. Razlike se manifestuju samo u ranijim proračunskim koracima (3.3.2, 3.3.3).

3.3.5 RezimeOpisanim postupcima određeno je:

stanje napona i dilatacija u početnom trennutku vremena 0t usled delovanja samo dugotrajnog dela opterećenja,

stanje napona i dilatacija u trenutku t , neposredno nakon apliciranja kratkotrajnog dela opterećenja.

U opštem slučaju nagibi osa savijanja se ne poklapaju u ova dva karakteristična vremenska trenutka.

Ukoliko kombinaciju opterećenja čine samo opterećenja dugotrajnog karaktera, treći korak opisanog postupka izostaje, a kao merodavna stanja za vremenski trenutak t koriste se ona dobijena analizom promena napona i dilatacija usled uticaja izazvanih tečenjem i skupljanjem betona.

Ukoliko kombinaciju opterećenja čine samo kratkotrajna opterećenja (teško je zamisliti praktični slučaj), ond prva dva koraka izostaju, treći korak tada u potpunosti odgovara proračunu stanja napona i dilatacija usled dugotrajnog dela opterećenja u početnom trenutku vremena.

***

Kada je određeno stanje napona i dilatacija u presecima duž elementa, na osnovu ovoga se određuju karakteristične širine prslina, dok se dvostrukom integracijom dobijenih krivina u presecima po dužini elementa određuju karakteristične vrednosti ugiba.Napomena: Stanjem dilatacija u poprečnom preseku određena je i njegova krivina.

3.4 PRORAČUN GRANIČNOG STANJA PRSLINAProgramski se, u sklopu proračuna graničnog stanja prslina, određuju karakteristične širine prslina u presecima linijskih i površinskih elemenata za dva karakteristična vremenska trenutka – vremenski trenuci za koje je određeno stanje napona i dilatacija.

Karakteristične širine prslina u jednom preseku se određuju za sve kombinacije eksploatacionih opterećenja, a kao rezultat se prikazuju maksimalne vrednosti, čime kombinacija opterećenja,koja je njima rezultovala, postaje merodavna. S obzirom da se analizira koso savijani presek (linijski elementi), ose savijanja se razlikuju za različite kombinacije opterećenja. Ovo je razlog što se vrednosti karakterističnih širina prslina prikazuju samo u svojim apsolutnim iznosima.

***

Razmatra se idealizovano stanje prslina, kojim su usvojene sledeće pretpostavke:

sve prsline su upravne na osu elementa,

prsline se prostiru celom visinom zategnute zone,

prsline su jednake širine, odnosno, širina svih prslina je jednaka srednjoj širini prslina,

Radimpex 75/86


prsline su ravnomerno raspoređene po dužini elementa na međusobnom rastojanju jednakom srednjem rastojanju prslina,

slika prslina je stabilizovana – promena stanja prslina u vremenu se odvija samo preko promene njihove srednje širine.

3.4.1 Ograničenje širine prslinaU skladu sa usvojenim konceptom celog modula za dimenzionisanje armiranobetonskih elemenata (svi rezultati su proračunskog karaktera; ne ispituju se kriterijumi zadovoljenja minimalnih količina armature...), programski se ne ispituje zadovoljenje kriterijuma postavljenog po maksimalnoj dopuštenoj vrednosti širine prsline.

3.4.2 Karakteristična širina prslina3.4.2.1 PBAB

Karakteristična širina prslina ka se, prema PBAB, određuje na sledeći način:

1 ,1.7 , k s s ps a s Ra a t a t l , (3.17)

gde je:

sa t srednja širina prslina za vremenski trenutak t ,

psl srednje (prosečno) rastojanje prslina,

1 ,a s R t relativna srednja dilatacija zategnute armature.

Srednje rastojanje između prslina psl se određuje prema:

0 1 2,

210ps

z ef

el a k k

, (3.18)

gde je:

0a debljina zaštitnog sloja betona,

1k zavisno od vrste čelika za podužno armiranje: 1 0.4k za rebrastu (RA) armaturu i 1 0.8k za glatku (GA) armaturu.

2k koeficijent koji zavisi od punoće dijagrama napona zatezanja u betonu neposredno pred pojavu prsline,

prečnik šipki podužne armature,

,z ef koeficijent armiranja efektivne zategnute zone betona ,bz efA ,

e međusobno rastojanje šipki podužne armature u ravni poprečnog preseka, koje nije veće od

15 ili 30cm.

Koeficijent punoće dijagrama 2k zatezanja se određuje na osnovu stanja dilatacija u preseku neposredno pred pojavu prsline prema:

1 22

18

I I

Ik

, (3.19)

gde su:

Radimpex 76/86


1I i 2

I dilatacije na maksimalno i minimalno zategnutom vlaknu betonskog preseka.

Slika 35. Koeficijent punoće dijagrama zatezanja u betonu 2k

Efektivno zategnuta zona betona ,bz efA je deo površine zategnutog preseka betona u okolini šipki zategnute podužne armature, koji, između dve susedne prsline, efektivno prenosi napone zatezanja. Ova površina se određuje kao zbir efektivnih površina pojedinih šipki, pri čemu se preklopljene površine ne obračunavaju višestruko. Efektivna površina koja odgovara jednoj šipki je deo zategnute površine betona koji se nalazi unutar kružnice sa centrom u težištu šipke radijusa jednakog 7.5 .

Slika 36. Efektivno zategnuta zona betona ,bz efA

Koeficijent armiranja efektivne zategnute zone betona ,z ef se izračunava kao odnos površine zategnute armature i efektivne zategnute površine betona:

,,

azz ef

bz ef

AA

. (3.20)

Relativna srednja dilatacija zategnute armature 1 ,a s R t se određuje prema:

11 ,

IIa

a s Ra

tt

E

, (3.21)

gde je:

1IIa t napon u zategnutoj armaturi preseka sa prslinom (određen proračunom stanja napona u

preseku),

koeficijent sadejstva zategnutog betona između prslina.

Radimpex 77/86


2

1,1 2

1

1 0.4IIa r

IIa

, (3.22)

gde je:

1 koeficijent prijanjanja između betona i armature: za glatku armaturu (GA) - 1 0.5 , a za

rebrastu armaturu (RA) - 1 1.0 ,

2 koeficijent kojim se uvodi uticaj reoloških karakteristika betona: za kratkotrajna dejstva je

2 1.0 , dok je za dugotrajna 2 0.5 ,

1,IIa r napon u zategnutoj armaturi usled uticaja koji u preseku izazivaju pojavu prsline.

Napomena: Ukupni uticaji za čije se dejstvo analizira stanje preseka se redukuju do veličine uticaja koji su na granici isprskalog i neisprskalog preseka. Time su uticaji koji odgovaraju pojavi prsline skalirani ukupni spoljašnji uticaji.

3.4.2.2 Eurocode 2 Proračun karakterističnih širina prslina prema Eurocode 2 većim delom odgovara proračunu opisanom prema PBAB. U nastavku su date samo razlike.Napomena: Koriste se oznake koje su usvojene u prethodnom opisu.

Karakteristična širina prslina ka se, prema EC2, određuje na sledeći način:

1 ,1.7 , k s s ps a s Ra a t a t l , (3.23)

gde je:

sa t srednja širina prslina za vremenski trenutak t ,

psl srednje (prosečno) rastojanje prslina,

1 ,a s R t relativna srednja dilatacija zategnute armature.

Srednje rastojanje između prslina psl se određuje prema:

1 2,

50mmpsz ef

l k k

, (3.24)

gde je:

1k zavisno od vrste čelika za podužno armiranje: 1 0.8k za armaturu visoke prionljivosti i

1 1.6k za glatku armaturu.

2k koeficijent koji zavisi od punoće dijagrama napona zatezanja u betonu neposredno pred pojavu prsline (3.19),

prečnik šipki podužne armature,

,z ef koeficijent armiranja efektivne zategnute zone betona ,bz efA (3.20).

Efektivna zategnuta površina preseka je, generalno, površina betona koja obuhvata zategnutu armaturu, visine 2.5 puta veće od rastojanja od zategnute ivice preseka do težišta zategnute armature. Za ploče i elemente male visine, visina efektivne zategnute površine se usvaja manja od ( ) 3d x , gde je d - visina preseka. Ukoliko je ceo presek zategnut, usvaja se površina koja ne prelazi polovinu debljine elementa, (Slika 37).

Radimpex 78/86


Slika 37. Efektivno zategnuta zona betona ,bz efA

Relativna srednja dilatacija zategnute armature 1 ,a s R t se određuje prema (3.21), (3.22).

3.4.2.3 SIA

3.5 PRORAČUN GRANIČNOG STANJA UGIBAProračunom prema graničnom stanju ugiba je potrebno dokazati da maksimalni ugib armiranobetonskog elementa, usled najnepovoljnije kombinacije ekploatacionih opterećenja nije veći od granične vrednosti ugiba.

Programski se, u sklopu proračuna graničnog stanja ugiba, određuju karakteristične vrednosti ugiba u presecima linijskih i površinskih elemenata za dva karakteristična vremenska trenutka – vremenski trenuci za koje je određeno stanje napona i dilatacija.

Karakteristične vrednosti ugiba u jednom preseku se određuju za sve kombinacije eksploatacionih opterećenja, a kao rezultat se prikazuju maksimalne vrednosti, čime kombinacija opterećenja,koja je njima rezultovala, postaje merodavna. Merodavna kombinacija može da varira od preseka do preseka. Ovim je rezultujući dijagram ugiba – anvelopa maksimalnih vrednosti ugiba u pojedinim presecima, bez obzira kog pravca su maksimalni ugibi jednog preseka.

Kako proračun karakterističnih vrednosti ugiba podrazumeva određivanje samo relativnih ugiba elementa, korisnik definiše „nepomerljive“ tačke. Uobičajeno, ovo su mesta gde se, npr., gredni elementi oslanjaju na stubove, ili mesta na kojima su gredni elementi oslonjeni, generalno.

Kod površinskih elemenata analizira se samo jednoosno savijan presek za izabrani pravac (i stanje dilatacija i napona je određeno sa ovom pretpostavkom), zbog čega rezultujući dijagram karakterističnih ugiba predstavlja stvarnu anvelopu relativnih vrednosti ugiba.

***

Karakteristične vrednosti ugiba se dobijaju dvostrukom integracijom krivine preseka uz zadovoljenje konturnih uslova postavljenih od strane korisnika u smislu nepomerljivosti izabranih tačaka.

3.5.1 Ograničenje ugibaU skladu sa usvojenim konceptom celog modula za dimenzionisanje armiranobetonskih elemenata (svi rezultati su proračunskog karaktera; ne ispituju se kriterijumi zadovoljenja minimalnih količina armature...), programski se ne ispituje zadovoljenje kriterijuma postavljenog po graničnoj vrednosti ugiba.

Radimpex 79/86


3.5.2 Karakteristične vrednosti ugibaZa svaku analiziranu kombinaciju opterećenja, relativni ugibi duž elementa se određuju dvostrukom integracijom srednjih krivina duž elementa s :

1 2sv dx C x C , (3.25)

gde je:

v relativna vrednost ugiba,

1C i 2C integracione konstantne, koje se određuju iz uslova zadovoljenja postavljenih konturnih uslova.

Srednja krivina s je određena stanjem dilatacija u poprečnom preseku i stanjem prslina. Za neisprskale preseke (preseci bez prsline) srednje krivine imaju vrednosti krivina sračunatih proračunom stanja napona i dilatacija u poprečnom preseku, dok u slučaju preseka sa prslinom, dodatno zavisi i od sadejstva zategnutog betona između prslina.

Vrednost srednje krivine isprskalog elementa se nalazi između najmanje moguće vrednosti Is , koja

odgovara neisprskalom preseku i maksimalne, koja odgovara preseku na mestu prsline IIs . Određuje

se prema:

1 I IIs s s , (3.26)

gde je

koeficijent sadejstva zategnutog betona između prslina (Poglavlje 3.4).

Proračun karakterističnih vrednosti ugiba je, dakle, određen stanjem napona i dilatacija u presecima duž analiziranih elemenata i uticajem sadejstva zategnutog betona na isti način na koji je analiziran i kod proračuna prema graničnom stanju prslina.

Maksimalne apsolutne vrednosti karakterističnih relativnih ugiba za svaki presek formiraju rezultujući dijagram ugiba elementa.

Radimpex 80/86


4 PRILOZI

4.1 ALGORITAMSKO REŠENJE PRORAČUNA AB PRESEKA NAPREGNUTIH KOSIM SAVIJANJEM1

4.1.1 UvodPreseci naprezani kosim savijanjem (najčešće sa aksijalnom silom) se redovno javljaju pri analizi stubova prostornih konstrukcijskih sistema, ali su česti i kod grednih elemenata, kao i kod elemenata nepravilnih i nesimetričnih poprečnih preseka.

Današnji stepen primene računara u inženjerskoj praksi obavezuje projektante na korišćenje složenijih i tačnijih matematičkih modela prilikom proračuna ovakvih elemenata, u odnosu na ranije korišćene. Približni postupci, uobičajeni u dosadašnjoj praksi, zadržavaju značaj u smislu grube procene stanja preseka, ili prve iteracije složenijeg proračuna.

Radom se daju opšte algoritamske postavke problema i smernice za njegovo rešavanje. Pri tome, rad je ostao oslobođen konkretnih algoritamskih postupaka, čija je implementacija opšte poznata i nesporna, ili, koji mogu biti realizovani na različite načine. Poseban akcenat je dat potencijalnim singularitetima proračuna i načinu njihovog prevazilaženja.

4.1.2 Postavka problema i opis postupkaPostavljen je zadatak određivanja minimalno potrebne količine podužne armature poprečnog preseka opterećenog aksijalnom silom i momentom savijanja koji se ne poklapa sa pravcem glavnih osa inercije. Spoljašnji uticaji su dati za težište betonskog preseka u svojim graničnim (faktorizovanim) vrednostima i način njihovog dobijanja nije predmet ovog rada.

Razmatra se armiranobetonski presek u graničnom stanju loma proizvoljnog oblika. Stepen proizvoljnosti može biti postavljen na različite nivoe, a treba biti izabran tako da, u najmanju ruku, ne ograničava primenu softvera. Pretpostavlja se da je poznat raspored (ne i količina) armature u preseku. Uobičajeno je da se podužna armatura u poprečnom preseku prikazuje u svom raspodeljenom obliku kao linija armature, ili u tačkastom obliku kao tačka armature. Potreba za jednoznačnošću rešenja uslovljava potrebu poznavanja učešća pojedine linije ili tačke armature u ukupnoj količini armature (Slika 38a). Treba napomenuti da su i približni postupci proračuna zahtevali poznavanje ovih učešća.

Smatra se da su poznati zakoni ponašanja materijala – radni dijagrami za čelik i beton. Reč je o zavisnosti između dilatacija i napona u obliku σ = σ(ε). Algoritamski gledano ne postoje prepreke za implementaciju bilo kojeg oblika ovih zavisnosti. Međutim, uobičajeno je zanemarenje nosivosti zategnutog betona u graničnom stanju loma, zbog čega je ovo usvojeno kao polazna pretpostavka. Mehaničke karakteristike betona i čelika (Slika 38b) su, takođe, poznate, a parcijalni koeficijenti za materijale su već uračunati (zavisno od vrste kombinacije opterećenja).

Konačno, moraju jednoznačno biti postavljeni uslovi kojima se definiše kada je poprečni presek u graničnom stanju nosivosti. Ovi uslovi se, uz uobičajenu pretpostavku ravnog deformisanja preseka,

1 Brujić, Z., JDGK Simpozijum 04, Vrnjačka Banja, 2004.

Radimpex 81/86


postavljaju prema vrednostima dilatacija. Načelno, presek je u graničnom stanju loma ukoliko je dostignuta bar jedna od graničnih vrednosti dilatacije postavljene za beton i čelik. Zajednička karakteristika standarda kod kojih se presek proračunava za granično stanje loma je da je stanje dilatacija jednoznačno određeno jednim parametrom, npr. visinskim položajem neutralne linije. Krajnje granične dilatacione linije odgovaraju stanjima konstantne dilatacije po celoj visini preseka, a odgovarajuće vrednosti položaja neutralne linije imaju beskonačne vrednosti (pozitivnu ili negativnu).

Soplja posmatrano, rezultat proračuna je potrebna količina armature u preseku (u zadatom rasporedu), a biće određena iz uslova uravnoteženja spoljašnjih i unutrašnjih sila.

U opštem slučaju, presek opterećen momentom savijanja čiji se pravac ne poklapa sa nekom od glavnih osa se savija oko ose koja se ne poklapa niti sa nekom od glavnih osa, niti sa napadnom osom momenta. Ugao ose savijanja (rezultujuće neutralne linije) uvek pravi otklon od napadne ose momenta ka osi manjeg momenta inercije idealizovanog preseka (Slika 38c). Samo u specijalnom slučaju rotaciono simetričnog rotaciono simetrično armiranog preseka napadna osa momenta i osa savijanja se poklapaju. Kod jednoosno savijanih preseka, koji su u opisanom postupku samo specijalni slučaj koso savijanih, ugao ose savijanja se poklapa sa napadnom osom momenta, bilo zato što je momenat savijanja pravaca neke od glavnih osa preseka, bilo zato što se zahteva zanemarenje momenta savijanja oko druge glavne ose.

Slika 38. a) Poprečni presek i raspored podužne armature; b) mogući oblici radnih dijagrama za čelik i beton; c) napadna osa i rezultujuća neutralna linija

Algoritmom je neophodno pronaći ugao ose savijanja, njen položaj i količinu armature u preseku koji obezbeđuju puno uravnoteženje spoljašnjih i unutrašnjih sila. Reč je, dakle, o tri nepoznate veličine, za čije određivanje na raspolaganju stoje tri uslova ravnoteže (dva po momentima savijanja i jedan po aksijalnoj sili). Osim za specijalne, jednostavne, slučajeve, problem ne može biti rešen u zatvorenom obliku, već je neophodna primena iterativnog postupka dva nivoa dubine.

Za jedan ugao nagiba neutralne linije moguće je, iterativnim postupkom, pronaći količinu armature i položaj neutralne ose zadatog nagiba po visini preseka za koji će biti zadovoljena dva od tri uslova ravnoteže. Pogodno je izabrati zadovoljenje uslova ravnoteže po aksijalnim silama i po momentima savijanja u pravcu zadatog nagiba neutralne linije.

Konačno rešenje je moguće dobiti novim iterativnim približavanjem rezultujućem uglu nagiba neutralne linije, a prepoznaje se zadovoljenjem i trećeg uslova ravnoteže po momentu savijanja u pravcu normale na nagib neutralne linije.

4.1.3 Analiza preseka za jedan nagib neutralne linijeNa slici je prikazan poprečni presek i stanje spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan ugao nagiba neutralne linije i za zadat položaj ove linije po visini preseka (visina preseka je funkcija izabranog nagiba). Lokalne koordinatne ose su obeležene sa ρ i ω.

Položajem neutralne linije, saglasno pretpostavkama, definisan je dilatacioni dijagram po visini preseka, a njemu, saglasno radnim dijagramima, odgovaraju dijagrami napona u betonu i čeliku. Integracijom napona u betonu po površini na kojoj deluju sračunava se rezultujuća unutrašnja sila u betonu i njen položaj. Kako je pretpostavljeno da se beton napreže samo u pritisnutoj zoni, rezultat je jedna sila pritiska (sila D). Integracija ovog napona može biti numerička ili u analitičkom obliku, ukoliko način definisinja proizvoljnog poprečnog preseka to omogućava. Sa stanovišta tačnosti i brzine proračuna, prednost je na strani analitičkog rešenja. Na sličan način sračunava se i rezultujuća sila u čeliku i njen položaj (sila Z). Međutim, ovako sračunata sila u čeliku je u funkciji nepoznate količine armature (sračunavaju se za jediničnu količinu armature). Ukupna količina armature (Aa) je određena

Radimpex 82/86


iz uslova zadovoljenja ravnoteže po aksijalnim silama (Slika 39). Ovo za posledicu ima različitu količinu armature za svaki položaj neutralne linije.

Problem se jednostavno može prikazati i preko bezdimenzionalnih veličina momenata savijanja i unutrašnjih sila.

Slika 39. Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila za jedan nagib neutralne linije

Dakle, za jedan ugao nagiba neutralne ose, varira se njen položaj (ρ0) u potrazi za onim koji rezultuje zadovoljenjem uslova ravnoteže: ΣN i ΣMω . Za svaki novi položaj se sračunava količina armature i stanje unutrašnjih sila u preseku i ispituje vrednost momenta Mω. Postupak u potpunosti odgovara proračunu jednoosno savijanog preseka.

Funkcija Mω(ρ0) je monotona sa vertikalnom asimptotom u tački ρA, za koju je zbir sila u armaturi identički jednak nuli (definisana rasporedom i učešćem pojedinih armatura). Ovo znači da se rezultujući položaj neutralne ose traži u intervalima (-∞, ρA) i (ρA,, +∞), te da je pre početka iterativnog postupka neophodno odrediti ovu granicu intervala. S obzirom na oblik funkcije (vrlo blagi i vrlo strmi delovi), preporučuje se primena metode polovljenja intervala, a kraj iteracionog postupka je definisan tolerancijom postavljenom po momentu ili po položaju neutralne ose. Ispitivani intervali su otvoreni sa obe strane. Stanje dilatacija i napona za ρ0 = ±∞ je trivijalno, pa ove krajeve intervala treba rešiti u formi specijalnog slučaja. Unutrašnje granice zahtevaju ispitivanje funkcije u tačkama u neposrednoj blizini vertikalne asimptote sa leve i desne strane (ρ0

- i ρ0+). Treba naglasiti da otklon od ρ0 mora biti

veći od tolerancije sa kojom je određen položaj ρ0. Ukoliko ispitivanje znaka funkcije na krajevima intervala pokaže nepostojanje nule funkcije, potrebno je sa smanjenom tolerancijom ponoviti proračun. Ovakve situacije, kod kojih je rešenje blisko asimptoti, su u praksi vrlo retke. Moguće su situacije kada postoji po jedna nula funkcije u svakom od intervala. Realno rešenje odgovara pozitivnoj količini armature ili većoj od dve negativne - uravnoteženje uslova ravnoteže je u pojedinim slučajevima moguće samo negativnom količinom armature.

Konačno, za rezultujuće stanje jednog nagiba neutralne linije, potrebno je sračunati momenat savijanja ΣMρ. Jednom nagibu neutralne ose odgovara jedna vrednost ovog momenta.

4.1.4 Nagib neutralne linijeKako se stanja dilatacija i napona u preseku, u opštem slučaju, razlikuju za uglove nagiba neutralne linije θ i θ+π, to se rešenje po nagibu traži u celom intervalu od 0 do 2π. Traži se onaj ugao nagiba za koji se zadovoljem prva dva uslova ravnoteže zadovoljava i treći – traži se nula funkcije Mρ(θ). I ovde je reč o prekidnoj fukciji (u opštem slučaju), te je neophodno odrediti granice ispitivanih intervala, u kojima je funkcija monotona. Do ovih granica se dolazi inverznom fizičkom analizom unutrašnjih sila u preseku za stanja konstantne dilatacije, kada je položaj unutrašnjih sila unapred poznat. Kako svakom uglu nagiba neutralne linije odgovara jedno rezultujuće (analiza jednoosno savijanog preseka) stanje dilatacije, to će krajnja dilataciona stanja (stanja konstantne dilatacije po celom preseku) odrediti krajeve intervala.

Spoljašnji uticaji (moment M i aksijalna sila N različita od nule) mogu se prikazati samo aksijalnom silom izmeštenom u odnosu na težisšte poprečnog preseka za ekscentricitet e u pravcu normale na napadnu osu. Obeležimo sa DN rezultantu sila D (manje od nule) i N (izvesno se nalazi na pravcu DN). Za slučaj konstantne dilatacije po visini preseka, uz pretpostavku jednakog ponašanja čelika i u pritisnutoj i u zategnutoj zoni, položaj sile Z se poklapa sa težištem armature Ta. Za slučaj konstantne negativne dilatacije (stanje 1) položaj sile D se poklapa sa težištem betonskog preseka T (obično se

Radimpex 83/86


usvaja bruto betonski presek), dok je u slučaju konstantne pozitivne dilatacije (stanje 2) ova sila jednaka nuli (DN = N).

Slika 40. Analiza položaja sila u preseku za slučajeve konstantne dilatacije

Dakle, u stanju 1 postoje sile Z i DN. Pravac koji povezuje napadne tačke ovih sila je, izvesno, pravac neutralne linije u analizi jednoosno savijanog preseka. Primetimo da se neutralna linija nalazi u beskonačno udaljenom položaju (-∞ po ρ-koordinati). Naime, ovo je jedini pravac neutralne linije za koji je zbir momenata Mω jednak nuli. U stanju 2 postoje samo sile Z i N. Iz istog razloga, pravac koji spaja napadne tačke ovih sila je pravac neutralne linije koja odgovara konstantnoj pozitivnoj dilataciji. Dva dobijena pravca su označena sa pravac 1 i pravac 2. Njima je interval punog kruga izdeljen na četiri kvadranta (označeni rimskim brojevima). Funkcija Mρ(θ) je neprekidna u svakom od četiri intervala. Najčešće, rešenje (nula funkcije) se nalazi u intervalu I, jer otklon ugla ose savijanja od napadne ose obično nije velik. Ukoliko rešenje nije u prvom intervalu, ispituju se intervali II i III, a vrlo su retke situacije u praksi kad se rešenje nalazi u intervalu IV (Slika 40).

Poklapanje napadnih tačaka sila Z i DN u stanju 1 ili Z i N u stanju 2 ukazuje na uspostavljenu ravnotežu po sva tri kriterijuma, zbog čega je stanje 1 ili stanje 2 ujedno i konačno rešenje. U specijalnom slučaju kada su napadne tačke sila N, Z i D kolinearne, pravci 1 i 2 se poklapaju, zbog čega se, umesto četiri, ispituju samo dva intervala, svaki širine π.

Za specijalni slučaj N = 0, prethodni algoritam ne može biti primenjen zbog nepostojanja napadne tačke sile N. Za stanje 1, iz uslova ravnoteže po aksijalnim silama dobija se Z = -D. Spreg sila Z i D, sem u specijalnom slučaju, ne uravnotežuje napadni moment M. Ukoliko je to slučaj, stanje 1 je i konačno rešenje. Dakle, pravac 1 u ovom slučaju ne postoji. U stanju 2 sve sile (N, D i Z) su jednake nuli, zbog čega je pravac 2 usmeren normalno na napadnu osu momenta (jedini pravac za koji će zbir momenata biti jednak nuli). Opet se ispituju samo dva intervala (Slika 41below).

Slika 41. Specijalni slučaj N = 0

4.1.5 KomentariPravi značaj prikazanog postupka dolazi do izražaja nakon njegove ugradnje u složeniji programski paket, kojim će automatski biti generisani uticaji za različite kombinacije opterećenja i kojim će biti tretiran niz poprečnih presekaError! Reference source not found.. Iako današnji računari problem dimenzionisanja jednog preseka rešavaju vrlo brzo, sve vrste optimizacija po pitanju brzine proračuna su više nego dobrodošle. Naime, kod realne konstrukcije može se pojaviti potreba za višestrukim (često i više hiljada puta) dimenzionisanjem jednog preseka za uticaje različitih kombinacija opterećenja, a broj preseka se često meri hiljadama.

Programiranje dimenzionisanja koso savijanih poprečnih preseka je relativno kompleksan programerski zadatak. Prikazano je rešenje problema određivanja potrebne količine armature preseka, koje se odlikuje maksimalnom brzinom proračuna zbog činjenice da je jedna od tri nepoznate veličine – količina armature – određena direktno (ne varira se). Potencijalni singulariteti proračuna moraju biti izbegnuti, zbog čega požnja mora biti posvećena razmatranju specijalnih slučajeva, kada je analiza fizičke pozadine problema od posebnog značaja. Moguće su brojne programske konkretizacije prikazanog postupka, kao i izvesne modifikacije (na primer u hijerarhihi iteracija). Postupak je

Radimpex 84/86


prilagodljiv svim standardima kod kojih proračun bazira na analizi graničnog stanja nosivosti. Preporučuje se svođenje svih veličina na bezdimenzionalni nivo, čime se obezbeđuje manipulacija brojevima istog reda veličine. Osim predložene primene integracije napona u analitičkom obliku, sve ostale optimizacije predstavljaju kompromis između brzine i tačnosti, a primenjeno rešenje mora biti rezultat sveobuhvatnog testiranja.

Radimpex 85/86


5 LITERATURA

Radimpex 86/86

tower 5 - dimenzionisanje betona - objasnjenje

Documents