topologie algébrique. - math.univ- touze/cours/plan_cours_2013-2014.pdf · topologie algébrique

Download Topologie algébrique. - math.univ- touze/Cours/plan_cours_2013-2014.pdf · Topologie algébrique

Post on 09-Sep-2018

219 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Topologie algbrique.

    Antoine Touz

    6 fvrier 2014

    Ceci est un polycopi...

    Ce document est le polycopi du cours de topologie algbrique dedeuxime anne de lENS (version 2013-2014). Il contient les noncs princi-paux du cours (prsents grosso modo dans le mme ordre que dans le cours,mais donns sans les dmonstrations) et un certain nombre dexemples es-sentiels et dexercices basiques, certains traits en cours, dautres en travauxdirigs.

    Contenu du cours

    Le cours est une introduction la topologie algbrique. Il ne prtendpas tre exhaustif sur tel ou tel aspect de la topologie algbrique, mais ilvise plutt prsenter un ensemble de techniques basiques de la topologiealgbrique (groupe fondamental, revtements, homologie), applicables desproblmes de topologie, dalgbre, ou de gomtrie. Dans cette optique, lecours prsente un certain nombre dapplications de la topologie algbrique1

    parmi lesquelles on trouve des thormes aussi divers que (liste non exhaus-tive) : le thorme de DAlembert-Gauss (algbre), une CNS dexistence du logarithme complexe sur un ouvert (analyse

    complexe), le thorme de Nielsen-Schreier (thorie des groupes), le thorme de Brouwer (topologie), les thormes dinvariance du bord, de la dimension, et du domaine

    (topologie), le thorme de Jordan gnralis (topologie),

    Le cours voque aussi quelques problmes actuels ou thormes rcents entopologie algbrique tels que la conjecture de Poincar (5.3E), la conjecturede triangulation (section 10.1) ou lhomotopie des sphres (dernire section).

    1Pour nous, une application de la topologie algbrique est un thorme dont lnoncnemploie pas de terme de la topologie algbrique, mais dont la dmonstration repose surdes techniques de topologie algbrique.

    1

  • A. Touz 20132014

    Le cours est principalement bas sur trois livres de rfrence suivants(dont le plus accessible pour un dbutant est le livre de Flix et Tanr).

    Bredon, Topology and geometry, GTM 139, Springer-Verlag, 1993. Flix, Tanr, topologie algbrique, dunod, 2010. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002.

    Certaines parties (ou exercices de TD) ont galement t inspires parles sources secondaires suivantes.

    Godbillon, lments de topologie algbrique, Hermann, 1971. Milnor, Differential topology fourty-six years later, notices of the AMS,

    2011. Moise, Geometric topology in dimension 2 and 3, GTM 47, Springer-

    Verlag, 1977. Munkres, Topology : a first course. Prentice-Hall, 1975. Prasolov, Elements of combinatorial and differential topology. Gra-

    duate Studies in Mathematics, 74, AMS, 2006. Spanier, Algebraic topology. Corrected reprint. Springer-Verlag, 1981. Tom Dieck, Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics, 2008.

    2

  • TABLE DES MATIRES A. Touz 20132014

    Table des matires

    I Topologie et homotopie 5

    1 Rappels/Complments de topologie 51.1 Espaces topologiques homomorphes . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Espaces topologiques quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Homotopie 92.1 Type dhomotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Cofibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    II Le groupe fondamental 12

    3 Introduction : invariants du type dhomotopie 12

    4 Groupe fondamental dun espace 134.1 Oprations sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Revtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Le groupe fondamental du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Autour du thorme de van Kampen 185.1 Un peu de thorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Thorme de van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    6 Thorie des revtements 256.1 Le thorme de relvement des applications . . . . . . . . . . 256.2 Monodromie dun revtement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Classification des morphismes de revtements . . . . . . . . . 266.4 Revtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 Classification des revtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    III Homologie 31

    7 Catgories 31

    8 Complexes et homologie 338.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Lexemple des chanes singulires dun espace . . . . . . . . . 348.3 Suites exactes courtes et suites exactes longues . . . . . . . . 36

    3

  • TABLE DES MATIRES A. Touz 20132014

    9 Lhomologie singulire et ses outils de calculs 399.1 Homologie singulire des paires despaces . . . . . . . . . . . . 399.2 Premiers calculs et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.3 Le thorme de Jordan gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    10 Triangulations et CW-complexes 4510.1 Triangulations et homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . 4510.2 CW-complexes et homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . 47

    11 Complments sur lhomologie singulire 5211.1 Torsion des modules sur les anneaux principaux . . . . . . . . 5211.2 La formule des coefficients universels . . . . . . . . . . . . . . 5411.3 Deux autres thormes importants (et hors programme pour

    lexamen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    IV Groupes dhomotopie suprieurs 58

    12 Dfinition et premires proprits 5812.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.2 Changement de point base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.3 Espaces n-connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.4 Le morphisme de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    13 Calcul des groupes dhomotopie 61

    4

  • A. Touz 20132014

    Premire partie

    Topologie et homotopie

    1 Rappels/Complments de topologie

    Dans ce cours, un espace topologique sera souvent simplement appel unespace. Dans tout le cours, on utilisera les notations classiques suivantes. Onnote {pt} lespace topologique consitu dun seul point. On note I lintervalle[0, 1], et on appelle chemin dun espace X une application continue : I X. Pour tout n 1, on considre Rn muni de la norme euclidienne. On note :

    1. Sn1 = {u Rn | ||u||2 = 1} la sphre unit (en particulier S0 est larunion disjointe de deux points),

    2. Dn = {u Rn | ||u||2 1} le disque unit,

    3.Dn= {u Rn | ||u||2 < 1} lintrieur du disque unit.

    1.1 Espaces topologiques homomorphes

    Dfinition 1.1. Deux espaces X,Y sont homomorphes sil existe une bijec-tion continue f : X Y dinverse continu. Une bijection continue dinversecontinu est appel un homomorphisme.

    Deux espaces homomorphes sont compltement indiscernables du pointde vue topologique.

    Exemple 1.2. On dispose des exemples classiques suivants (dont certainsseront traits en exercice)

    1.Dn est homomorphe Rn.

    2. Soit x Sn1. Alors Sn1 \ {x} est homomorphe Rn1.3. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, muni de deux normes

    distinctes N et N . Alors les boules ouvertes (resp. fermes) de rayonr pour la norme N sont homomorphes aux boules ouvertes (resp.fermes) de rayon r pour la norme N .

    4. Soit E un R-espace vectoriel euclidien de dimension n, et K un en-semble convexe, ferm, born, dintrieur non vide. Alors K est homo-morphe Dn, la frontire K est homomorphe Sn1 et lintrieurK est homomorphe

    Dn.

    Dans la dfinition dhomomorphisme, il est important que linverse dela bijection soit continu. Il existe un critre dhomomorphie pratique pourse dispenser de vrifier quun espace que linverse est continu. Pour cela, onrappelle deux dfinitions.

    5

  • 1.2 Espaces topologiques quotients A. Touz 20132014

    Dfinition 1.3. Un espace X est compact2 si de tout recouvrement ouvertde X, on peut extraire un recouvrement fini. Un espace X est spar (ouHausdorff ) si pour tout couple de points x, y on peut trouver des ouverts Uxet Uy disjoints tels que x Ux et y Uy.

    Proposition 1.4 (Critre dhomomorphie). Si X est compact et Y estspar, alors toute bijection continue f : X Y est un homomorphisme.

    Question 1.5. Trouvez un contre-exemple la proposition prcdente si Xnest pas compact, ou si Y nest pas spar.

    La notion dhomomorphisme permet de dfinir les varits topologiques.

    Dfinition 1.6. On appelle varit topologique de dimension n un espace Xdont tout point possde un voisinage homomorphe a lespace euclidien Rn.

    Par exemple, Sn, la frontire dun compact convexe non vide de Rn+1, ouun ouvert de Rn sont des varits topologiques de dimension n. Une varitdiffrentielle de dimension n (cf. le cours de gomtrie diffrentielle) est unevarit topologique de dimension n.

    Remarque 1.7. Nous dmontrerons dans la suite du cours que la dimensiondune varit topologique est unique, cest dire que si M est la fois unevarit topologique de dimension n et de dimension k alors n = k.

    1.2 Espaces topologiques quotients

    Dfinition 1.8. Soit X un espace et R une relation dquivalence sur len-sembleX. On noteX/R lensemble des classes dquivalence et q : X X/Rlapplication quotient. La topologie quotient sur X/R est la topologie telleque U est un ouvert de X/R si et seulement si q1(U) est un ouvert de X.

    Le quotient dun espace compact est compact. Par contre, le quotientdun espace spar peut ne pas tre spar (Exercice : donnez un exemple dece phnomne).

    Proposition 1.9 (Proprit universelle de la topologie quotient). Soit X unespace muni dune relation dquivalence R. Pour toute f : X Y continueet constante sur les classes dquivalences, il existe une unique f : X/R Ycontinue telle que f = f q.

    Xf //

    q

    Y

    X/R!f

    ==zz

    zz

    Dans la pratique, on utilise souvent la topologie quotient pour construirede nouveaux espaces. Nous donnons ci-dessou

Recommended

View more >