topo 06 - geodésia

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ESTRUTURA DO CURSO INTRODUÇÃO (1aula) REVISÃO MATEMÁTICA (2aulas) PLANIMETRIA (10 aulas) NOÇÕES DE APARELHOS EM TOPOGRAFIA (1 aula prática) GEODÉSIA (3 aulas) ALTIMETRIA (7 aulas) CARTOGRAFIA (2 aulas) PLANIALTIMETRIA (2aulas) LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (1 aula prática) NAVSTAR / GPS (1 aula) REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA EM CAD (1 aula prática)

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Topografia

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Page 1: Topo 06 - Geodésia

ESTRUTURA DO CURSO

INTRODUÇÃO (1aula)

REVISÃO MATEMÁTICA (2aulas)

PLANIMETRIA (10 aulas)

NOÇÕES DE APARELHOS EM TOPOGRAFIA (1 aula prática)

GEODÉSIA (3 aulas)

ALTIMETRIA (7 aulas)

CARTOGRAFIA (2 aulas)

PLANIALTIMETRIA (2aulas)

LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (1 aula prática)

NAVSTAR / GPS (1 aula)

REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA EM CAD (1 aula prática)

Page 2: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: conceito

Geodésia é a ciência que se ocupa da forma, das dimensões e do campo

de gravidade da Terra. O IBGE é responsável no País pela manutenção

do Sistema Geodésico Brasileiro, formado pelo conjunto de estações

cuja posição referencia os diversos projetos de engenharia.

Os objetivos da topografia e da geodésia são similares, tratando ambas

de representar porções da superfície da terra. No entanto, a topografia

se ocupa de áreas com dimensões reduzidas, para a implantação de

obras de engenharia de pequeno porte. Já a geodésia, parte para o geral,

onde os pontos levantados possuem uma referência global.

Recentemente, com o avanço das Geotecnologias

(GPS geodésico, Sensoriamento remoto e SIG’s),

tem sido comum o uso de coordenadas UTM

(geodésicas) em áreas reduzidas.

Essas coordenadas globais são transformadas em

locais (topográficas) e vice-versa, visando a

uniformização dos dados.

Page 3: Topo 06 - Geodésia

Geodésia

Importância do estudo da Geodésia em topografia:

Levantamentos topográficos com dimensões superiores a 25-30 km

devem considerar a curvatura do planeta para as suas representações.

Exemplo: Os efeitos da curvatura da Terra na medição de distâncias:

O maior desafio das geociências, entre elas a

topografia e a cartografia, é representar tudo

que existe em uma superfície curva (Terra) em

uma superfície plana (projeção horizontal ).

Page 4: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: formato da terra

Aristóteles: primeiros argumentos para uma Terra Esférica (384 a.C.)

Eratóstenes: determinou geometricamente a circunferência do

planeta terra com precisão incrível até para os dias de hoje (250 a.C.)

Colombo: que conhecia as idéias dos gregos, mas não era muito bom

em geometria, calculou o caminho mais longo para se chegar às

Índias e acabou descobrindo a América no meio do caminho (1492).

Page 5: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: formato da terra

Isaac Newton (1642-1727) considerou

a forma da Terra como uma figura

geométrica gerada pela rotação de uma

elipse em torno do eixo menor,

chamada elipsoide de revolução.

Entretanto, a superfície do planeta é

irregular, configurando uma geóide.

Johann Friedrich Gauss (1777-1855)

definiu a superfície geoidal como uma

superfície equivalente ao campo de

gravidade que coincide com o nível

médio não perturbado dos mares.

Page 6: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: formato da terra

Pela dificuldade do ajuste de um modelo

(equação) para o geóide e para simplificar os

cálculos geodésicos adotou-se um modelo

próximo do geóide na forma e no tamanho,

chamado elipsóide de referência. Em geral,

cada país ou região adotou um tipo de

elipsoide que mais se adequasse ao geóide.

Sistema geodésico: a forma e o tamanho de

um elipsoide, bem como, sua posição relativa

ao geóide definem um sistema geodésico

Datum Geodésico: marcos topográficos

precisos que servem como referencial para os

levantamentos a serem realizados em uma

região do planeta. São pontos coincidentes

entre o geóide e a elipsóide local.

Page 7: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Sistema geodésico de referência

O IBGE define o SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO – SGB

como um sistema coordenado, utilizado para representar características

geométricas ou físicas do território nacional. Na prática, serve para a

obtenção de coordenadas (latitude e longitude), que possibilitam a

localização em mapas de qualquer elemento da superfície do país”

O SGB utiliza desde o final dos anos 80, a tecnologia NAVSTAR/GPS,

uma evolução dos métodos de posicionamento até então usados, e é

composto pelas redes planimétrica, altimétrica e gravimétrica de pontos

Até 1979: o SGB utilizou o Datum Córrego Alegre para a elipsóide

Hayford (internacional).

Após 1979: utilizou o Datum SAD-69 para a elipsóide GRS 1967.

À partir de 25/02/2005: o Brasil adotou o Sistema de Referência

Geocêntrico para as Américas - SIRGAS 2000 como o novo sistema

de referencia geodésico para o SGB. Utiliza a Elipsóide GRS 80.

Page 8: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Sistema geodésico brasileiro atual

Sua orientação é geocêntrica, ou

seja, adota um referencial calculado

no centro da terra (geóide) e não

mais na superfície (DATUM).

SIRGAS-2000 (Sistema de referência Geocêntrico para as Américas).

Eliminou muitos dos problemas de

discrepância entre as coordenadas

lidas pelo sistema GPS e aquelas

encontradas nos mapas mais antigos

que utilizavam os sistemas

anteriores de referência.

IBGE – disponibiliza softwares

gratuitos para conversão p/ o

SIRGAS.

Page 9: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Sistemas de coordenadas

Em planimetria, vimos a representação de pontos

em um sistema cartesiano. Para localizar um

ponto nesse sistema, utilizamos dois eixos

perpendiculares (x,y), que se relacionavam entre

si, indicando o ponto desejado.

Para representar pontos na elipsoide, utilizamos

também o sistema cartesiano, só que curvilíneo

(paralelos e meridianos), no qual, acrescentamos

uma terceira coordenada (z) denominada altitude.

O sistema de coordenadas geográficas é montado a partir de uma

esfera em três dimensões, onde graus de latitude e longitude são

utilizados para medir posições no mundo real. A unidade de medida

é o grau e dele derivam minutos e os segundos (1º=60’=3 600’’).

Page 10: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Coordenadas geográficas globais

Cada ponto da superfície terrestre está situado na interseção entre um

meridiano (longitude) e um paralelo (latitude). O sistema possui duas

linhas de referência: paralelo do Equador e Meridiano de Greenwich.

As medidas são feitas em linhas curvas nos paralelos e meridianos,

Page 11: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Coordenadas geográficas globais

Latitude global: distância angular (graus,

minutos e segundos) medida sobre os

paralelos da esfera tendo a sua referência no

paralelo do Equador (valor zero). Partindo-se

dessa referência, em direção aos Polos Norte e

Sul (até 90º positivos ou negativos), sendo que

os circulos diminuem progressivamente

Longitude global: distância angular (graus,

minutos e segundos) medida sobre os

meridianos da esfera, tendo a sua referência

(valor zero) no meridiano de Greenwich.

Partindo-se dessa referência na direção Leste

ou Oeste por180° atinge-se o antimeridiano

Page 12: Topo 06 - Geodésia

Geodésia – Sistemas de projeção cartográfica

Imagine a seguinte experiência: se desenharmos na superfície de

uma bola de borracha e em seguida a cortarmos longitudinalmente

(polo a polo), esticando-a em uma mesa. Ocorrerá que fatalmente o

desenho que fizemos se deformará de maneira mais intensa nas

extremidades e sofrerá uma distorção menor em seu centro.

Sistemas de projeção: tentam solucionar problema semelhante na

representação de áreas extensas do planeta. Para tanto, recorrem a

representação das superfícies em figuras geométricas similares à

esfera. Entre elas, as mais utilizadas são: o cone, o cilindro e o plano.

Page 13: Topo 06 - Geodésia

Geodésia – Exemplos gráficos de projeções

Page 14: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM

Sistema UTM: projeção cilíndrica, cônica, criada em 1950 nos

EUA, que abrange todas longitudes. Para tornar isso possível, cria um

fracionamento em 60 “fusos” ou zonas de longitude e “faixas” de 8º

de latitude à partir do Equador. O sistema UTM é adotado no SGB.

O sistema cilíndrico transverso de projeções UTM é utilizado

somente entre as latitudes 84ºN e 80ºS porque as deformações que

ele cria nas regiões polares são extremamente grandes. A diferença

de 4º entre latitudes N e S se deve à diferença de achatamento entre

o hemisfério Norte e o Hemisfério Sul.

Page 15: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM

Em uma adaptação militar do sistema UTM, as faixas são definidas

por letras de C, a partir de 80°S, até X, que termina em 84°N. Os

fusos são numerados de 1 até 60.

Page 16: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM

A cada um dos 60 fusos do sistema UTM (6º cada) é associado um

sistema cartesiano com escala métrica, no formato (E, N).

Para se evitar coordenadas negativas, atribui-se à origem do sistema

(interseção da linha do Equador com o meridiano central do fuso) as

coordenadas 500.000m para contagem de coordenadas ao longo do

Equador , e 10.000m para contagem ao longo do meridiano central.

Embora usada no mundo

todo, a projeção UTM

tem seus problemas. O

maior deles é que se

precisarmos mapear uma

região que no sentido

leste-oeste é maior que

6º, a projeção UTM não

pode mais ser utilizada.

Page 17: Topo 06 - Geodésia

Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM

Território brasileiro dividido em fusos do sistema UTM

Exemplo: A entrada da Faculdade (face

Júlio de Mesquita) localiza-se

na coordenada UTM:

23 K (364.825E ; 7.351.318N)

onde: Fuso = 23

Faixa de latitude = K

Page 18: Topo 06 - Geodésia

ESTRUTURA DO CURSO

INTRODUÇÃO (1aula)

REVISÃO MATEMÁTICA (2aulas)

PLANIMETRIA (10 aulas)

NOÇÕES DE APARELHOS EM TOPOGRAFIA (1 aula prática)

GEODÉSIA (3 aulas)

ALTIMETRIA (7 aulas)

CARTOGRAFIA (2 aulas)

PLANIALTIMETRIA (2aulas)

LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (1 aula prática)

NAVSTAR / GPS (1 aula)

REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA EM CAD (1 aula prática)

Page 19: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

Até aqui aprendemos que partindo do seno e cosseno do ângulo

“rumo” e da distância horizontal (DH) podemos calcular projeções

nos eixos x,y para os pontos de uma poligonal (longitudes e

latitudes parciais).

Aprendemos também, que as coordenadas UTM são estabelecidas

em metros, ou seja, são relacionadas à terra como se ela fosse

plana (são trabalhadas por setores chamados fusos), Assim, todo

par de ordenadas (E,N) necessita da informação do fuso e da faixa.

Exemplo: fuso 23 faixa K (320.371 E; 7.354,042 N)

* Coordenada obtida com aparelhos GPS (comuns no mercado).

Agora faremos o caminho inverso, calculando o Rumo, o azimute e a

distância horizontal (DH) dos pontos de uma poligonal à partir de

coordenadas parciais (referência aleatória definida pelo topografo) ou

coordenadas globais (UTM).

Page 20: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais

Pelo triângulo retângulo: Tangente R = Cateto oposto / Cateto adjacente

Outra forma de escrever :

Tan R = (E1-E0) / (N1-N0);

Ou ainda: Tan R = ∆E / ∆N

Para saber qual ângulo R (rumo)

corresponde a relação ∆E / ∆N, utiliza-se

a função inversa da tangente = Tan-1

Exemplo: Se P0 = (0, 0) e P1 = (3, 3)

Então: ∆E = (3 - 0) e ∆N = (3 - 0)

Rumo = Tan-1 . (3 / 3) Rumo = 45º

P/ calcular a Distância (DH) entre os

pontos, utiliza-se o Teorema de Pitágoras:

DH 01 = √ (∆N)2 + (∆E)2 ;

Para o exemplo anterior temos:

DH 01 = √ 9 + 9

DH 01 = 4,24

Page 21: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais

Page 22: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais

Cálculos entre os pontos 1 2:

As coordenadas dos pontos são: Ponto 1 = (E1,N1); Ponto 2 = (E2,N2), então:

∆N = (N2 – N1) como N2 > N1 ∆N positivo (+);

∆E = (E2 – E1) como E2 > E1 ∆E positivo (+);

∆N = positivo(+) e ∆E = positivo (+) Rumo no primeiro quadrante (NE)

Azimute (12) = Rumo

Page 23: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

Cálculos entre os pontos 2 3:

As coordenadas dos pontos são: Ponto 2 = (E2,N2); Ponto 3 = (E3,N3), então:

∆N = (N3 – N2) como N3 < N2 ∆N negativo (-);

∆E = (E3 – E2) como E3 > E2 ∆E positivo (+);

∆N = negativo (-) ∆E = positivo (+) Rumo no segundo quadrante (SE)

Azimute (23) = 180º - Rumo (SE)

Page 24: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

Cálculos entre os pontos 3 4:

As coordenadas dos pontos são: Ponto 3 = (E3,N3); Ponto 4 = (E4,N4), então:

∆N = (N4 – N3) como N4 < N3 ∆N negativo (-);

∆E = (E4 – E3) como E4 < E3 ∆E negativo (-);

∆N = negativo(-) ∆E = negativo(-) Rumo no terceiro quadrante (SW)

Azimute (34) = 180º + Rumo (SW)

Page 25: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

Cálculos entre os pontos 4 1

As coordenadas dos pontos são: Ponto 4 = (E4,N4); Ponto 1 = (E1,N1), então:

∆N = (N1 – N4) como N1 > N4 ∆N positivo (+);

∆E = (E1 – E4) como E1 < E4 ∆E negativo (-);

∆N = positivo(+) ∆E = negativo (-) Rumo no quarto quadrante (NW)

Azimute (12) = 360º - Rumo (NW)

Page 26: Topo 06 - Geodésia

Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais

Quadro síntese:

Page 27: Topo 06 - Geodésia

Exemplo de aplicação: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dados ∆E e ∆N:

Pontos 1-2 (∆E = 15; ∆N = 20) :

Solução :

DH (12) = √ (∆E)2 + (∆N)2 = 25m

Para o ângulo rumo (R):

R = Tan-1 ∆E / ∆N = 36º 52’11”

Como ∆E (+) e ∆N (+) o rumo está no 1ºquadrante (NE)

Rumo12 = 36º 52’ 11” NE

Calcule o rumo, o azimute, contra azimute e a DH entre os seguintes pontos:

A (3000, 4000) e B (1500, 2345)

Solução:

ΔE = -1500 e ΔN = -1655 DH (AB) = 2234 m

Quando ΔE (-) e ΔN(-) o rumo está no terceiro quadrante (SW)

R (A→B) = Tan−1 (−1500 / −1655) Tan–1 (0,9063) = 42°11’14’’SW

Az(A→B) = 180° + 42°11’14 = 222°11’14“

Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180° CAZ(A→B) = 42°11‘14

Page 28: Topo 06 - Geodésia

Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss

Método de Gauss (matemático e físico alemão, 1777-1855):

Nesse método, a área da poligonal é obtida, colocando-se as coordenadas

dos pontos de vértice na forma de uma matriz (E sobre N), repetindo-se a

primeira coordenada na coluna final da matriz. Em seguida multiplica-se

na diagonal, a linha superior com a linha inferior, a multiplicação da

diagonal a direita (em preto) é positiva e da esquerda (vermelha) é

negativa. Executam-se as devidas somas e subtrações e por fim, divide-se

o o módulo do resultado obtido por dois para se obter a área da poligonal.

Exemplo: Dada uma poligonal com vértices representados pelas coordenadas:

ponto 1 = (E1,N1); ponto 2 = (E2,N2); ponto 3 = (E3,N3); ponto 4 = (E4,N4).

Pelo método de Gauss:

Área = [(E1 x N2) + (E2 x N3) + (E3 x N4) + (E4 x N1) –

(E2xN1) – (E3xN2) – (E4xN3) – (E1xN4)] / 2

Page 29: Topo 06 - Geodésia

Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss

Exemplo: utilizando um polígono de fórmula conhecida para verificação.

S = [(120x50)+(400x180)+(400x180)+(120x50)] – [(400x50)-(400x50)-(120x180)-(120x180)] /2

S = [6000 + 72000 + 72000 + 6000 − 20000 − 20000 − 21600 − 21600] / 2 =

S = [156000 − 83200] / 2 ⇒ Área (S) = 36.400m

Área do retângulo (fórmula convencional) = (b x h) = (280x130) = 36.400m

Pelo método de Gauss

Page 30: Topo 06 - Geodésia

Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss

Exemplo: polígono de fórmula conhecida para verificação.

S = [204 + 504 + 4309, 03 + 9526, 68 + 7586, 06 + 2104, 41− 2104, 41 − 1032 − 1296 − 4309, 30 − 3704, 82 − 1764, 2] / 2

S = [24270, 180 − 14210, 46] / 2 ⇒ S = 5029, 86m

Área do hexágono regular: composto por 6 ▲ com base e altura conhecidas :

área do triângulo = 44 x 38.105 / 2 = 838,310 x 6 (nº de triângulos) = 5029,86m

Page 31: Topo 06 - Geodésia

Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas

1) Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dados ∆E e ∆N:

Pontos A-B (∆E = -1500; ∆N = -1220)

Solução : DH (12) = √ ∆E2 + ∆N2 = 1933,49m

Para o ângulo: Rumo = Tan-1 ∆E / ∆N Rumo = Tan-1 1.22950 = 36º 52’

Como ∆E (-) e ∆N (-) o rumo está no 3ºquadrante

RAB = 50º 52’ 38’’ SW Az AB = 230º52’38”

2) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a DH entre os pontos:

M1 (160939,7724; 9602501,2466) e M2 (160805,6994; 9602614,0199).

Solução:

ΔN = (9602614,0199 – 9602501,2466) = 112,773

ΔE = (160805,6994 – 160939,7724) = –134,073

DH (M1M2) = √(112, 773)2 + (−134, 073)2 = 30693, 319 = 175,195m

Quando ΔN (+) e ΔE (-) o rumo esta no quarto quadrante, então:

R (M1→M2) = Tan–1(–1,1889) = – 49,9317 ° = 49°55'54''NW

AZ(M1→M2) = 360° – 49°55'54“ NW = 310°04'05"

CAz (M1→M2) = 310°04'05“ – 180° = 130°04'05"

Page 32: Topo 06 - Geodésia

Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos

3) Calcule a distância o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos,

dadas as coordenadas:

M4 (160960,5455E ; 9602774,4287N) ; M5 (161100,0000E ; 9602576,7025N).

Solução:

ΔE = (161100,0000 – 160960,5455) = 139,454

ΔN = (9602576,7025 – 9602774,4287) = –197,726

DH (M4 M5) = √(−197,726)2 + (139,454)2 = √58542,989 = 241,957m

Quando ΔN (-) e ΔE (+), então o rumo está no segundo quadrante

R(M4→M5) SE = Tan–1 (–0,70528) = –35,1949 = 35°11'41"SE

Az (M4→M5) = 180° – 35°11'41"SE = 144°48'19"

Page 33: Topo 06 - Geodésia

Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos

4) Calcule a distância o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos,

dadas as coordenadas:

M3 (160800,0000 ; 9602700,000) e M4 (160960,5455 ; 9602774,4287).

Solução:

ΔE = (160960,5455 - 160800,0000) = 160,5455

ΔN = (9602774,4287 - 9602700,000) = 74,428

Distancia M3M4 = √(74, 428)2 + (160, 5455)2 = √ 31314, 385 = 176,959m

Quando ΔN (+) e ΔE (+) o rumo esta no primeiro quadrante, entao:

R (M3→ M4) = Tan−1 (160, 5455 / 74, 428) Tan-1(2,157) = 65,1278°

= 65°07'40"NE

Az (M3→M4) = R (M3→M4) NE = 65°07'40"

Page 34: Topo 06 - Geodésia

Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos

5) Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dadas

as coordenadas:

M5 (161100.0000; 9602576,7025) e M1 (160939,7724; 9602501,2466)

Solução

ΔE = (160939,7724 -161100,0000) = -160,227

ΔN = (9602501,2466 - 9602576,7025) = -75,456

DH(M5–M1) = √(−160, 227)2 + (−75, 456)2 = 31366, 299 = 177,11m

Quando ΔE (-) e ΔN (-) o rumo esta no terceiro quadrante.

R(M5→M1)= Tan−1 (−160, 227 / −75, 456) Tan–1(2,123) = 64,7828°

= 64°46'57"SW

AZ(M5→M1) = 180° + 64°46'57" SW = 244°46'57"

Page 35: Topo 06 - Geodésia

Exercício – calculo de ângulos à partir de Coordenadas

6) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a distância

horizontal entre os seguintes pontos:

(2344,286E, 11388,453N) e D (2010,833E, 1101,402N)

Solução:

ΔE = (2.010,833 - 2.344,286) = -333,45

ΔN = (1.101,402 - 11.388,453) = -10.287,05

Distância (CD) = 10.292,45m

Quando ΔE (-) e ΔN(-) o rumo está no terceiro quadrante

R (C→D) = Tan−1 (−333,45 /−10.287,05) Tan–1 (0,032) =

1°51’23’’SW

AZ(C→D) = 180° + 1°51‘23"SW = 181°51’23“

Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180°

CAZ(C→D) = 1°51’23“

Page 36: Topo 06 - Geodésia

Exercício – calculo de ângulos à partir de Coordenadas

7) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a distância

horizontal entre os seguintes pontos:

E (2344,200E, 1138,000N) e F (2010,000E, 2201,990N)

Solução:

ΔE = (2.010 - 2.344,200) = -334,20

ΔN = (2.201,990 - 1.138,000) = 1.063,99

Distância (CD) = 1.115,24m

Quando ΔE (-) e ΔN(+) o rumo está no quarto quadrante

R (E→F) = Tan−1 (−334,20 /1.063,99) Tan–1 (-0,314) =

17°25’56’’NW

AZ(E→F) = 360° - 17°25’56“ = 342°34’04“

Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180°

CAZ(E→F) = 162°34‘04“

Page 37: Topo 06 - Geodésia

Exercício: Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss

Exercício: Calcule a área do polígono abaixo pelo método de Gauss

Page 38: Topo 06 - Geodésia

Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss

Resolução: Calcule a área do polígono abaixo pelo método de Gauss.

S = (7.726.316.871.000) – (7.726.316.967.000) / 2 = 48.000m2 ou 4,8 ha.