topic&6:working&with&functions&and&equations working … ·...

48
Topic 6: Working with functions and equations 205 Copyright © 2012 Charles A. Dana Center at the University of Texas at Austin, Learning Sciences Research Institute at the University of Illinois at Chicago, and Agile Mind, Inc. WORKING WITH FUNCTIONS AND EQUATIONS Lesson 6.1 An introduction to functions 6.1 OPENER Casey and Stacey are playing a math game called “Guess my rule.” Table 1 Input Output 2 5 5 26 7 50 10 101 Casey creates this table and shows it to Stacey. Stacey’s job is to find an algebraic rule that works for all of the inputoutput pairs. “I found a rule that works for the table,” says Stacey. 1. What rule do you think she found? Write a rule that works for this table. Table 2 Input Output 2 4 4 10 2 8 10 4 Now it is Stacey’s turn to create a table and Casey will find an algebraic rule. Stacey creates the table shown. “Wait a second,” says Casey. “This is an illegal table. It’s impossible to find a rule for this table.” 2. Why does Casey say there is no rule for this table? Table 3 Input Output 3 9 1 1 0 0 1 1 3 9 Stacey creates the table shown. At first, Casey thinks this is another “illegal table.” Then Casey realizes that there is a rule that allows each output to be predicted from the input. 3. What rule do you think she found? Write a rule that works for this table.

Upload: others

Post on 10-Jun-2020

19 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   205  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

WORKING WITH FUNCTIONS AND EQUATIONS Lesson 6.1 An introduction to functions

6.1 OPENER Casey  and  Stacey  are  playing  a  math  game  called  “Guess  my  rule.”  

Table  1      

Input   Output  2   5  5   26  7   50  10   101  

 

Casey  creates  this  table  and  shows  it  to  Stacey.  Stacey’s  job  is  to  find  an  algebraic  rule  that  works  for  all  of  the  input-­‐output  pairs.  

    “I  found  a  rule  that  works  for  the  table,”  says  Stacey.      

 1. What  rule  do  you  think  she  found?    Write  a  rule  that  works  for  this  table.          

Table  2    

 

Input   Output  -­‐2   4  4   10  -­‐2   -­‐8  10   4  

 

Now  it  is  Stacey’s  turn  to  create  a  table  and  Casey  will  find  an  algebraic  rule.  Stacey  creates  the  table  shown.  

“Wait  a  second,”  says  Casey.  “This  is  an  illegal  table.  It’s  impossible  to  find  a  rule  for  this  table.”  

 

2. Why  does  Casey  say  there  is  no  rule  for  this  table?  

 

Table  3    

 

Input   Output  -­‐3   9  -­‐1   1  0   0  

  1   1  3   9  

 

Stacey  creates  the  table  shown.  At  first,  Casey  thinks  this  is  another  “illegal  table.”  Then  Casey  realizes  that  there  is  a  rule  that  allows  each  output  to  be  predicted  from  the  input.      

3. What  rule  do  you  think  she  found?  Write  a  rule  that  works  for  this  table.          

Page 2: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

206   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

6.1 CORE ACTIVITY    

   

1. Which  vending  machine  represents  a  function?  Why?      

2. Which  vending  machine  does  not  represent  a  function?  Why?    

       

3. Examples  of  functions  are  listed  here.  Work  with  your  partner.  Take  turns  explaining  why  each  example  is  a  function,  and  write  your  answers  in  the  table.  

Example   Why  this  is  an  example  of  a  function  

If  you  save  the  same  amount  each  week,  the  amount  of  money  in  your  bank  account  depends  on  (is  a  function  of)  the  number  of  weeks  you  have  been  saving.  

 

The  amount  of  time  it  takes  to  run  a  certain  distance  depends  on  (is  a  function  of)  the  speed  at  which  you  run  when  you  run  at  a  steady  speed.  

 

If  you  are  paid  $7.00  an  hour,  the  amount  of  money  you  earn  at  a  summer  job  depends  on  (is  a  function  of)  the  number  of  hours  you  work.  

 

Page 3: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   207  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

6.1 CONSOLIDATION ACTIVITY  1. Look  at  the  two  snack  machines  labeled  "Snacks"  and  "Healthy  Snacks."  

a. Describe  how  to  fill  the  "Snacks"  machine  so  that  it  represents  a  function.  

 

b. Describe  how  to  fill  the  “Healthy  Snacks”  machine  so  that  it  does  not  represent  a  function.  

 

2. Complete  the  following  math  journal  entry.  

Topic   Explanation  

How  I  would  explain  the  math  concept  of  a  function  

 

3. With  your  partner,  create:  

• An  example  of  a  relationship  that  is  a  function  • An  example  of  a  relationship  that  is  not  a  function  

Write  each  of  your  examples  on  a  separate  whiteboard  to  share  with  your  classmates.    

Page 4: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

208   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.1 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

1. A  stamp  machine  at  the  post  office  works  very  much  like  a  vending  machine:  You  press  a  button  to  select  the  type  of  stamp  you  

want  to  buy.  The  diagrams  below  show  the  buttons  and  types  of  stamp  for  one  machine.  All  of  the  stamps  cost  the  same  amount  of  money.  

a. Draw  arrows  from  the  buttons  to  the  stamps  in  the  diagram  below  to  show  a  relationship  that  is  a  function.    

   

b. Draw  arrows  from  the  buttons  to  the  stamps  in  a  different  way  than  you  did  in  part  a  to  show  a  relationship  that  is  a  function.  

c. Draw  arrows  from  the  buttons  to  the  stamps  in  a  different  way  than  you  did  in  both  part  a  and  part  b  to  show  a  relationship  that  is  a  function.  

2. Create  an  example  of  a  relationship  that  is  a  function.  (Your  example  cannot  be  one  of  the  examples  discussed  today  in  class.)  

Explain  why  your  example  is  a  function.                  

  A       B       C       D       E        

     

     

Flag     President   Elvis   Flower   Forever    

  A       B       C       D       E            

       

Flag     President   Elvis   Flower   Forever    

  A       B       C       D       E          

     

   

Flag     President   Elvis   Flower   Forever    

Page 5: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   209  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

3. Create  an  example  of  a  relationship  that  is  not  a  function.  (Your  example  cannot  be  one  of  the  examples  discussed  today  in  class.)  Explain  why  your  example  is  not  a  function.                    

4. Miriam  is  an  aspiring  meteorologist.  She  makes  a  table  in  which  she  numbers  each  day  of  the  current  calendar  year—from  1  to  365—in  the  input  column.  She  records  the  corresponding  high  temperature  in  her  town  for  each  of  these  days.  

a. Does  Miriam’s  table  represent  a  function?  Answer  “Yes,”  “No,”  or  “Maybe,”  and  explain  your  answer.  

 

 

 

 

b. Miriam  wonders  whether  the  table  would  be  a  function  if  she  reversed  the  input  and  output  columns.  If  the  input  column  contained  the  daily  high  temperature  and  the  output  column  contained  the  day  of  the  year  (from  1  to  365),  would  the  relationship  be  a  function?  Answer  “Yes,”  “No,”  or  “Maybe,”  and  explain  your  answer.  

Page 6: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

210   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.1 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. Write  a  rule  for  the  following  graph:  

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-1

1234567891011121314

x

y

 

Answer  with  supporting  work:  

2. Use  the  graph  and  your  rule  for  question  1  to  complete  the  table  below.    

x   Y  

-­‐4    

  5  

15    

  10  

50      

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. Cordell  writes  the  equation  v  =  0.10d  +  0.05n  to  model  the  total  value  of  the  dimes  and  nickels  in  his  pocket.  (Dimes  are  worth  ten  cents  and  nickels  are  worth  five  cents.)  What  does  each  part  of  the  equation  represent?    Part   Meaning  

v    

0.10    

d    

0.05    

n      

4. If  Cordell  has  6  nickels  and  4  dimes,  find  the  total  value  of  his  dimes  and  nickels  by  substituting  and  evaluating  the  expression  0.10d  +  0.05n.    Answer  with  supporting  work:  

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  data  in  the  x-­‐y  table  shown.    

x   0   2   4   6   8   10   12   14  y   0   10   20   30   40   50   60   70  

 Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

6. Matt  is  trying  to  graph  the  data  in  this  x-­‐y  table:  

x   0   6   9   12   15   18  y   1   13   19   25   31   37  

 He  chooses  the  scale:  

Min.  x:   0     Min.  y:   0  Max.  x:   20     Max.  y:   20  x  increment:   5     y  increment:   5  

 Identify  one  problem  with  Matt’s  scale,  and  suggest  one  improvement  you  would  make.  

Page 7: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   211  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.2 Mathematical functions

6.2 OPENER  

1. A  television  remote  control  can  be  thought  of  as  a  “function  machine.”    Fill  in  the  blanks  to  complete  the  following  statement.  

For  this  situation,  the  input  is  ________________________    

and  the  output  is  ___________________________.  

2. Think  of  your  own  example  of  a  “real-­‐world”  function  machine.  Describe    your  example,  including  a  description  of  the  input  and  output.  

 

 

6.2 CORE ACTIVITY  In  this  activity,  you  will  use  input-­‐output  machines  to  develop  your  understanding  of  the  definition  of  a  function.  Then  you  will  use  what    you've  learned  about  functions  to  answer  some  questions.    1. Complete  the  questions  below  for  these  input-­‐output  tables.    

a. Fill  in  the  remaining  output  values  for  each  x-­‐y  table.  

x   y    -­‐2     -­‐4    3   6  5   10  10    20    30.5    

       

b. Graph  the  coordinate  pairs  from  each  x-­‐y  table  in  part  a.  Write  “function”  on  the  graph  that  represents  a  functional  relationship.  

       

x   y  9   3  9   -­‐3  4   2  4   -­‐2  1    1    0    

   

   

Page 8: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

212   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. For  most  of  the  input-­‐output  tables  below,  it  is  possible  to  find  an  algebraic  rule.  However,  some  of  these  tables  do  not  represent  functions.  For  each  table,  circle  "Function"  or  "Not  a  function."  Then,  either  write  the  function  rule,  or  explain  why  the  relationship  is  not  a  function.  

a.    x   y  -­‐1   10  0   8  1   6  2   4  3   2  4   0  5   -­‐2  

 

b.    x   y  -­‐3   3  -­‐2   7  -­‐1   -­‐1  0   5  1   8  2   0  3   -­‐4  

 

c.  x   y  -­‐3   9  -­‐2   4  -­‐1   1  0   0  1   1  2   4  3   9  

 

d.  x   y  0   0  1   1  1   -­‐1  4   2  4   -­‐2  9   3  9   -­‐3  

 

e.  x   y  3   4  2   8  1   8  1   4  2   4  3   8  3   4  

 

f.  x   y  2   -­‐4  2   -­‐2  2   0  2   2  2   4  2   6  2   8  

 

g.  x   y  -­‐3   4  -­‐2   4  -­‐1   4  0   4  1   4  2   4  3   4  

 

h.  x   y  -­‐6   3  -­‐6   -­‐4  -­‐3   2  -­‐3   -­‐3  0   1  0   -­‐2  3   -­‐1  

 

 

Table   Is  it  a  function?  a.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

b.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

c.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

d.    

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

e.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

f.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

 

g.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

 

h.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  the  relationship  is  not  a  function:  

 

Page 9: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   213  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

For  each  table,  make  a  graph  of  the  relationship  by  plotting  the  ordered  pairs  on  one  of  the  grids  provided.  Make  sure  you  graph  each  relationship  you  decided  was  a  function  on  one  of  the  grids  labeled  “Function”  and  each  relationship  you  decided  was  not  a  function  on  one  of  the  grids  labeled  “Not  a  Function.”  Don’t  forget  to  label  each  graph  by  indicating  which  table  it  represents.    

Functio

n  

Table  _____    

Table  _____    

Table  _____    

Table  _____    

Not  a  Fun

ction  

Table  _____    

Table  _____    

Table  _____    

Table  _____    

 

   

Page 10: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

214   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

3. How  can  you  tell  whether  a  relationship  is  a  function  by:  

a. Looking  at  a  table  of  values  that  represents  the  relationship?                          b.        Looking  at  a  graph  that  represents  the  relationship?      

 

6.2 CONSOLIDATION ACTIVITY  1. For  each  of  the  following  graphs,  indicate  whether  the  graph  represents  a  function.  Circle  "Function"  or  "Not  a  function."  Then  

provide  a  brief  explanation  to  support  your  answer.    

Graph   Is  it  a  function?    

a.        

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

b.  

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

c.  

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

d.  

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

e.  

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

     

Page 11: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   215  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. The  relationship  shown  in  the  table  is  not  a  function.  What  could  be  changed  in  the  table  so  that  it  does  represent  a  function?        

 

 

3. Now  that  you  have  some  experience  with  functions  and  function  vocabulary,  complete  this  math  journal  entry.  You  may  look  back  in  your  book  and  notes,  but  be  sure  to  state  the  ideas  in  your  own  words  and  provide  your  own  examples.  For  the  term  “function,”  give  both  an  example  of  a  relationship  that  is  a  function  and  a  relationship  that  is  not  a  function.  Then  explain  why  the  second  relationship  is  not  a  function.  

Vocabulary  

term  My  understanding  of    what  the  term  means  

Examples  that  show  the  meaning  of  the  term  

Function    

Example  of  a  relationship  that  is  a  function:        Example  of  a  relationship  that  is  not  a  function:        Why  is  the  second  relationship  not  a  function?          

Write  the  classroom  definition  of  “function”  in  the  box  below.  

Function:  

4. Compare  the  classroom  definition  of  “function”  to  your  definition/explanation.    Underline  the  parts  of  your  definition  that  

match  the  classroom  definition.  Then,  add  any  information  to  your  definition  that  you  may  be  missing  and  delete  any  incorrect  information  in  your  definition.  

x   Y  3   8  4   2  5   4  7   8  5   6  

 

Page 12: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

216   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.2 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

 1. For  each  table,  determine  whether  the  relationship  is  a  function.  Circle  "Function"  or  "Not  a  function."  Then,  either  write  the  

function  rule,  or  explain  why  the  relationship  is  not  a  function.  

a.    x   y  -­‐2   8  0   0  2   -­‐8  4   -­‐16  6   -­‐24  8   -­‐32  10   -­‐40  

 

b.    x   y  -­‐3   0  -­‐2   0  -­‐1   0  0   0  1   0  2   0  3   0  

 

c.  x   y  

-­‐100   10  -­‐25   5  -­‐4   2  0   0  -­‐4   -­‐2  -­‐25   -­‐5  -­‐100   -­‐10  

 

d.  x   y  -­‐3   12  -­‐2   12  -­‐1   12  0   12  1   12  2   12  3   12  

 

 

Table   Is  it  a  function?  

a.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  it  is  not  possible  to  find  a  function  rule:  

 

 

 b.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  it  is  not  possible  to  find  a  function  rule:  

 

 

 c.      

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  it  is  not  possible  to  find  a  function  rule:  

 

 

 d.    

Function   Not  a  function  

Function  rule  or  explanation  of  why  it  is  not  possible  to  find  a  function  rule:  

 

 

 

Page 13: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   217  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. For  each  of  the  following  graphs,  determine  whether  the  graph  is  a  function.  Circle  "Function"  or  "Not  a  function."  Provide  a  brief  explanation  to  support  your  answer.    

Graph   Is  it  a  function?  

a.    

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

 

 

 

 

 b.    

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

 

 

 

 

 c.  

 

Function   Not  a  function  

Explanation:  

 

 

 

 

   

 

3. Complete  the  following  math  journal  entry.  

Topic   Explanation  

a. How  to  determine  whether  a  table  of  input-­‐output  data  is  a  function  

 

b. How  to  determine  whether  a  graph  of  a  mathematical  relationship  is  a  function  

 

Page 14: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

218   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.2 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. Write  a  rule  for  the  following  graph:  

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

y

 Answer  with  supporting  work:  

2. Use  the  graph  and/or  your  rule  for  question  1  to  complete  the  table  below.    

x   y  

-­‐2    

  10  

  60  

  100  

100      

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. Caryssa  makes  bracelets  to  sell  at  craft  fairs.  The  supplies  she  needed  to  start  her  business  cost  her  $45.  In  addition,  the  supplies  for  each  bracelet  cost  her  $3.  She  sells  her  bracelets  for  $5.  What  is  the  minimum  number  of  bracelets  she  must  sell  to  make  a  profit?    Answer  with  supporting  work:  

4. Use  the  information  in  question  3  to  write  an  equation  that  Caryssa  could  use  to  determine  her  total  cost,  C,  for  making  n  bracelets.          Use  the  information  in  question  3  to  write  a  separate  equation  that  she  could  use  to  find  the  profit,  P,  she  makes  from  selling  n  bracelets.  

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. Find  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  algebraic  rule  y  =  3x  –  11.  Consider  input  values  from  -­‐5  to  5.    (Hint:  Completing  the  input-­‐output  table  may  help.)    

Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

y  =  3x  –  11    

x   y  -­‐5    -­‐4    -­‐3    -­‐2    -­‐1    0    1    2    3    4    5    

 

Page 15: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   219  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.3 Independent and dependent variables

6.3 OPENER Allison’s  Algebra  class  is  investigating  the  relationship  between  height  and  arm  span.  The  table  shows  some  of  the  data  the  class  has  gathered  so  far.  

Age  (years)   5   8   10   12   15   16  Height  (in.)   41   50   55   61   66   68  Arm  span  (in.)   39   48   53   60   66   67  

1. If  you  were  to  make  a  graph  to  show  the  relationship  between  age  and  height,  which  variable  would  you  plot  on  the  x-­‐axis  and  which  variable  would  you  plot  on  the  y-­‐axis?  Why?  

   

2. If  you  were  to  make  a  graph  to  show  the  relationship  between  arm  span  and  height,  which  variable  would  you  plot  on  the  x-­‐axis  and  which  variable  would  you  plot  on  the  y-­‐axis?  Why?  

 

6.3 CORE ACTIVITY Fill  in  the  blanks  to  complete  the  statements  in  questions  1-­‐3.  

1. The  type  of  drink  you  purchase  depends  on  the  button  you  push,  so  you  would  say  that  the  buttons  (A,  B,  C,  D,  E,  and  F)  are  

possible  values  of  the  _____________________________________.      A(n)  _____________________________________in  a  

function  rule  determines  what  happens  to  another  variable  in  the  rule.  

2. The  different  types  of  drinks  (orange  juice,  apple  juice,  skim  milk,  chocolate  milk,  and  water)  form  the  set  of  possible  values  of  

the  _____________________________________.    A(n)  _____________________________________in  a  function  rule  changes  

its  value  when  a  value  of  the  independent  variable  is  changed.    

 

3. A  pot  of  water  is  placed  on  a  stove  to  heat.  The  water  begins  with  a  temperature  of  70°  F.  As  the  water  heats,  the  temperature  of  the  water  rises  20°  F  every  30  seconds.  

a. What  are  the  variables  in  this  situation?    

b. Which  variable  is  the  dependent  variable?    Which  is  the  independent  variable?  Provide  a  convincing  explanation.        

c. Create  an  input-­‐output  table  and  a  graph  for  this  situation.        Add  data  to  the  table  that  make  sense  for  this  situation.      

d. On  a  whiteboard,  plot  the  data  on  the  graph.  Add  the    appropriate  labels  on  the  graph  axes.              

 

   

Input   Output  

   

   

   

   

   

   

   

Page 16: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

220   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

4. The  fee  to  rent  a  van  from  Ralph’s  Rent-­‐a-­‐Car  is  $0.30  per  mile  plus  a  one-­‐time  charge  of  $40.  Answer  the  following  questions  about  this  relationship  to  demonstrate  that  you  understand  important  ideas  about  functions.  Refer  to  the  vocabulary  listed.  

variable  amount  of    

money  charged  number  of    miles  driven  

independent  variable  

dependent    variable  

a. The  amount  of  money  charged  is  a  ______________________________because  it  can  change.  

b. The  number  of  miles  you  drive  is  a  ______________________________because  it  can  change.  

c. The  amount  of  money  charged  is  the  ____________________________________,  because  it  is  calculated  based  on  the  number  of  miles  driven.    

d. The  number  of  miles  you  drive  is  the  _____________________________________.  

e. To  make  a  graph  of  this  relationship,  you  would  plot  ______________________________  on  the  x-­‐axis  and  _______________________  on  the  y-­‐axis,    

f. Is  this  relationship  a  function?      Explain.      

6.3 CONSOLIDATION ACTIVITY 1. Consider  the  following  situation:    A  restaurant  is  preparing  for  a  banquet.  The  banquet  tables  are  square  and  one  person  can  be  

seated  on  each  side,  as  shown  in  the  diagram.  The  manager  sets  up  the  restaurant’s  private  room  based  on  the  size  of  the  group  that  is  renting  it.  The  square  tables  are  always  arranged  in  a  single  row.  The  variables  in  this  situation  are  as  follows:    

• Number  of  people  to  be  seated  • Number  of  tables  

   a. Which  variable  is  the  dependent  variable?    Which  is  the  independent  variable?  Provide  a  convincing  explanation.  

   

b. Create  an  input-­‐output  table  and  a  graph  for  this  situation.    Add  data  to  the  table  that  make  sense  for  this  situation.    Add  the  appropriate  labels  (Number  of  People  or  Number  of  Tables)  to  the  table  heading  and  the  graph  axes.    Then  plot  the  data  on  the  graph.    

Input  INDEPENDENT  VARIABLE  (                                  )  

Output  DEPENDENT  VARIABLE  (                            )  

   

   

   

   

   

   

   

     

 

Outpu

t  De

pend

ent  V

ariable  

    Input  

Independent  Variable    

Page 17: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   221  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. Consider  the  following  situation:    The  height  of  six  buildings  is  measured  in  both  feet  and  yards.    Analyze  the  relationship  between  these  measurements.    The  variables  in  this  situation  are  as  follows:  

• Height  in  feet  • Height  in  yards  

a. Which  variable  is  the  dependent  variable?    Which  is  the  independent  variable?  Provide  a  convincing  explanation.      

b. Create  an  input-­‐output  table  and  a  graph  for  this  situation.    Add  data  to  the  table  that  make  sense  for  this  situation.    (Make  up  reasonable  heights  for  six  buildings.)    Add  the  appropriate  labels  (Height  in  Feet  or  Height  in  Yards)  to  the  table  heading  and  the  graph  axes.    Then  plot  the  data  on  the  graph.    

Input  INDEPENDENT  VARIABLE  (                                  )  

Output  DEPENDENT  VARIABLE  (                            )  

   

   

   

   

   

   

   

 

Outpu

t  De

pend

ent  V

ariable  

    Input  

Independent  Variable    

3. Now  make  up  your  own  situation  and  list  the  two  variables.  Fill  in  only  the  “Situation”  and  “Variables”  information.  Your  partner  will  then  try  to  solve  the  problem.      

Situation:        

Variables:    

To  be  answered  by  your  partner:  • What  is  the  independent  variable?  Why?  • What  is  the  dependent  variable?  Why?  

Create  an  input-­‐output  table  and  a  graph  for  this  situation.    Add  the  appropriate  labels  to  the  table  heading  and  the  graph  axes.    Then  plot  the  data  on  the  graph.  

 

Input  INDEPENDENT  VARIABLE  (                                  )  

Output  DEPENDENT  VARIABLE  (                            )  

   

   

   

   

   

   

     

 

Outpu

t  De

pend

ent  V

ariable  

    Input  

Independent  Variable    

Page 18: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

222   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.3 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

1. Consider  the  following  situation:    A  high  school  assistant  principal  is  making  the  school’s  lunch  period  schedule.    As  shown  in  the  diagram,  the  school  has  only  one  size  of  table  for  the  lunch  room  and  each  table  can  seat  8  students.    The  assistant  principal  has  decided  that  he  will  not  push  any  tables  together.    When  more  tables  are  placed  in  the  room,  more  students  can  be  seated  and  fewer  lunch  periods  are  needed.  The  variables  in  this  situation  are  as  follows:  

• Number  of  people  to  be  seated  • Number  of  tables  

   

a. Which  variable  is  the  dependent  variable?    Which  is  the  independent  variable?  Provide  a  convincing  explanation.    

 b. Create  an  input-­‐output  table  and  a  graph  for  this  situation.    Add  data  to  the  table  that  make  sense  for  this  situation.    Add  

the  appropriate  labels  (Number  of  People  or  Number  of  Tables)  to  the  table  heading  and  the  graph  axes.    Then  plot  the  data  on  the  graph.    

Input  INDEPENDENT  VARIABLE  (                                  )  

Process  

Output  DEPENDENT  VARIABLE  (                            )  

     

     

     

     

     

     

     

     

       

 

Outpu

t  De

pend

ent  V

ariable  

    Input  

Independent  Variable    

c. Define  the  variables  and  write  a  function  rule  to  describe  the  relationship  between  the  number  of  people  to  be  seated  and  the  number  of  tables.    

   d. Explain  why  your  function  rule  makes  sense  in  the  context  of  the  problem  situation.  

     

e. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  tables  will  be  needed  for  500  students.  

Page 19: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   223  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. Consider  the  following  situation:    The  number  of  bacteria  in  a  petri  dish  on  the  first  day  is  2,  and  the  number  doubles  every  day.    The  variables  in  this  situation  are  as  follows:      

• Number  of  bacteria  (measured  in  number)  • Time  (measured  in  days)  

a. Which  variable  is  the  dependent  variable?    Which  is  the  independent  variable?  Provide  a  convincing  explanation.      b. Create  an  input-­‐output  table  and  graph  for  this  situation.    Add  data  to  the  table  that  make  sense  for  this  situation.    Add  the  

appropriate  labels  (Number  of  Bacteria  or  Time)  to  the  table  heading  and  graph  axes.    Then  plot  the  data  on  the  graph.      

Input  INDEPENDENT  VARIABLE  (                                  )  

Process  

Output  DEPENDENT  VARIABLE  (                            )  

     

     

     

     

     

     

     

       

 

Outpu

t  De

pend

ent  V

ariable  

    Input  

Independent  Variable    

c. Define  the  variables  and  write  a  function  rule  to  describe  the  relationship  between  the  number  of  bacteria  and  the  number  of  days.          

d. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  bacteria  will  be  present  after  20  days.        3. Now  that  you  have  some  understanding  of  independent  and  dependent  variables,  complete  this  math  journal  entry.  You  may  

look  back  in  your  book  and  notes,  but  be  sure  to  state  the  ideas  in  your  own  words  and  provide  your  own  examples.  

Vocabulary  term   My  understanding  of    what  the  term  means  

An  example  that  shows    the  meaning  of  the  term  

Independent  variable  

Dependent  variable  

Page 20: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

224   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.3 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. What  is  an  algebraic  rule  for  the  following  table?    

x   y  

3   0  

5   2  

10   7  

13   10  

 Answer  with  supporting  work:  

2. Which  graph  could  represent  the  relationship  shown  in  question  1?    

Graph  A   Graph  B  

     Answer  with  supporting  explanation:  

 

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. The  equation  7t  +  3f  =  p  can  be  used  to  calculate  a  football  team’s  score,  where  t  represents  the  number  of  touchdowns  (7  points  each,  including  the  extra  point),  f  represents  the  number  of  field  goals  (3  points  each)  and  p  represents  the  team’s  total  points.    How  many  points  did  the  team  score  if  t  =  4  and  f  =  5?    Answer  with  supporting  work:  

4. Use  the  equation  in  question  3  to  figure  out  the  number  of  field  goals  a  team  scored,  if  the  team  scored  a  total  of  32  points  and  they  scored  two  touchdowns.    Answer  with  supporting  work:    

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  data  in  the  x-­‐y  table  shown.    

x   1   4   6   7   12   14   21  y   -­‐4   5   11   14   29   35   56  

 Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

6. Arturo  is  trying  to  graph  the  data  in  this  x-­‐y  table:  x   -­‐40   -­‐20   0   20   40   60  y   45   25   5   -­‐15   -­‐35   -­‐55  

 He  chooses  the  scale:  

Min.  x:   -­‐40     Min.  y:   -­‐40  Max.  x:   60     Max.  y:   60  x  increment:   10     y  increment:   10  

 Identify  one  problem  with  Arturo’s  scale  and  suggest  one  improvement  you  would  make.  

Page 21: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   225  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.4 Using functions to solve problems

6.4 OPENER Consider  the  following  statement:  “The  amount  of  money  you  earn  at  a  summer  job  depends  on  (is  a  function  of)  the  number  of  hours  you  work.”  Using  the  terms  provided,  complete  the  statements  in  questions  1-­‐4  to  describe  this  situation.  

variable   first  variable   second  variable  independent  variable   dependent  variable  

 1. The  amount  of  money  you  earn  is  a  ______________________________because  it  can  change.  

2. The  number  of  hours  you  work  is  a  _______________________________because  it  can  change.  

3. The  number  of  hours  you  work  is  the  ________________________________________________.  

4. The  amount  of  money  you  earn  is  the  ________________________________________________  because  it  is  calculated  

based  on  the  number  of  hours  you  work.  

6.4 CORE ACTIVITY  

A  soccer  team  plans  a  special  fund-­‐raising  project:  Taking  orders  for  roses  and  delivering  them  on  Valentine’s  Day.  The  team  finds  two  flower  shops  willing  to  work  with  it:  Roses-­‐R-­‐Red  and  Flower  Power.    

• Roses-­‐R-­‐Red  sells  roses  for  a  service  charge  of  $20  plus  75¢  per  rose.    

• Flower  Power  sells  its  roses  for  a  service  charge  of  $60  plus  50¢  per  rose.  

1. Analyze  each  flower  shop’s  offer.  

Roses-­‐R-­‐Red   Flower  Power  

a. What  is  the  service  charge  for  each  company?      

b. How  much  does  each  company  charge  per  rose?      

c. How  much  would  each  company  charge  for  3  roses?      

2. Complete  the  following  sentences  describing  the  relationship  between  the  variables  to  consider  in  the  flower  shop  offers.  

cost   number   unique  

 a. The                                                        of  the  roses  depends  on  the                      of  roses  in  the  order.  Each  number  of  roses    

gives  a                                                                                              cost  because  each  different  number  of  roses  gives  a  different  cost.  In  other  words,    

the                      of  the  roses  is  a  function  of  the                                                    of  roses.  

b. The                                                      of  roses  is  the  independent  variable.    

c. The                                                        of  the  roses  is  the  dependent  variable.    

 

Page 22: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

226   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

To  complete  the  Roses  Project,  you  will  work  with  your  partner  to  analyze  the  two  offers  and  determine  which  flower  shop  offers  the  best  deal  for  the  soccer  team.  Your  analysis  must  include  representations  of  each  shop’s  offers  algebraically,  numerically,  and  graphically,  as  well  as  comparisons  of  the  prices  of  the  two  companies,  specifying  the  advantages  and  disadvantages  of  choosing  either  company.  You  and  your  partner  will  then  make  a  final  recommendation  based  on  your  analysis.  Now,  work  with  your  partner  to  complete  the  Roses  Project  Worksheet  to  aid  in  your  analysis.    

Roses  Project  Worksheet  

3. Complete  tables  and  graphs  of  the  data  for  the  costs  of  ordering  flowers  from  each  of  the  flower  shops.    

a. Complete  the  table  to  calculate  the  costs  for  different  numbers  of  roses  from  Roses-­‐R-­‐Red,  and  develop  an  expression  to  show  the  general  process  for  finding  the  cost.    

Cost  of  Roses  from  Roses-­‐R-­‐Red  

Number  ordered   Process   Cost  in  dollars  

12      

24      

36      

     

     

     

x     y  

b. Why  can  we  say  that  the  cost  of  the  roses  from  Roses-­‐R-­‐Red  is  a  function  of  the  number  of  roses  ordered?  In  other  words,  why  is  the  relationship  between  number  and  cost  a  function?  

 

 

 

c. Complete  the  table  to  calculate  the  costs  for  different  numbers  of  roses  from  Flower  Power,  and  develop  an  expression  to  show  the  general  process  for  finding  the  cost.    

Cost  of  Roses  from  Flower  Power  

Number  ordered   Process   Cost  in  dollars  

12      

24      

36      

     

     

     

x     y  

d. Why  can  we  say  that  the  cost  of  roses  from  Flower  Power  is  a  function  of  the  number  of  roses  ordered?  Why  is  the  relationship  between  number  and  cost  a  function?    

 

Page 23: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   227  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

 e. Make  graphs  to  show  the  relationship  between  the  number  of  roses  ordered  and  the  cost  of  the  roses  for  each    

flower  shop.    

Cost  of  Roses  from  Roses-­‐R-­‐Red  

 

Cost  of  Roses  from  Flower  Power  

 4. Complete  the  following  sentences  about  the  graphs  you  created  in  question  3.  Refer  to  the  vocabulary  list  to  fill  in  parts  d-­‐g  

rising   falling   lower   higher   increases   decreases    

a. The  Roses-­‐R-­‐Red  line  intersects  the  y-­‐axis  at  the  point  _____________.  

 

b. The  Flower  Power  line  intersects  the  y-­‐axis  at  the  point  __________________________.  

 

c. These  data  points  on  the  y-­‐axis  represent  the  cost  of  the  __________________________    for  each  flower  company.  

 

d. For  both  graphs,  the  plotted  points  fall  in  a  line  that  is  __________________________  from  left  to  right.  

 

e. The  shapes  of  both  graphs  show  a  steady  increase  in  the  cost  of  the  roses,  as  the  number  of  roses  ordered    

 __________________________.  

 

f. The  Roses-­‐R-­‐Red  line  starts__________________________  but  is  steeper.    

 

g. Compared  with  the  Flower  Power  graph,  this  shape  means  that  the  service  charge  for  the  Roses-­‐R-­‐Red  flowers  is                                                      

__________________________    but  the  charge  per  rose  is  __________________________.    

     

Page 24: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

228   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

5. Create  a  single  table  comparing  the  Roses-­‐R-­‐Red  and  Flower  Power  data.  Be  sure  to  use  a  range  of  values  so  that  you  can  compare  the  costs  for  ordering  small  and  large  numbers  of  roses.    

Number  ordered   Roses-­‐R-­‐Red  cost  ($)   Flower  Power  cost  ($)  

     

     

     

     

     

     

     

     

     

 

 

Now  use  your  table  to  create  a  graph  that  shows  the  costs  for  each  company.  Plot  both  sets  of  points  and  draw  a  line  through  each  set  of  plotted  points  on  your  graph.  Be  sure  to  label  the  lines  for  each  company.  

 6. At  this  point,  you  have  enough  information  to  

choose  between  the  flower  shops.  Which  flower  company  should  the  soccer  team  use?  Why?    

6.4 CONSOLIDATION ACTIVITY

Complete  the  Rose  Project  and  be  prepared  to  share  your  solutions  with  the  class.  

Page 25: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   229  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.4 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 1. For  each  of  the  problems  below,  identify  the  independent  and  dependent  variable  and  write  an  algebraic  rule  to  represent  the  

relationship  between  the  variables.  

a.    

 

Number  of  CDs,  n  

Cost  (in  dollars),  c  

1   15  2   30  3   45  4   60  5   75  

 Independent  variable:    Dependent  variable:    Algebraic  Rule:  

b. Chris  works  at  Fran’s  Frozen  Yogurt  Parlor.    He  earns  $7.75  per  hour.  The  amount  of  money  that  Chris  earns  each  week  depends  on  the  number  of  hours  that  he  works.  

 Independent  variable:    Dependent  variable:    Algebraic  Rule:  

 

c.  

 

 

2. On  the  next  page,  functions  are  represented  in  different  ways  (A  through  L).  Compare  and  contrast  the  function  rules,  tables,  graphs,  and  situations.  Sort  the  representations  into  six  pairs  that  show  representations  of  the  same  functional  relationship.    

Write  your  answers  for  matching  pairs  of  functional  relationships  in  the  first  column  in  the  table  below.    In  the  second  column  of  the  table,  provide  a  convincing  explanation  for  why  the  two  representations  constitute  a  match.  

Matching  Pairs   Explanation      

   

   

   

   

   

Independent  variable:      Dependent  variable:    Algebraic  Rule:    

Page 26: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

230   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

   

A.  

y  =  2x  –  1  G.  

y  =  1.5x  

B.    

   

H.    

   

C.   The  plant  was  growing  at  a  rate  of  1.5    inches  per  week.  

I.    x   y  -­‐2   -­‐5  -­‐1   -­‐3  0   -­‐1  1   1  2   3  3   5  

     

D.    x   y  -­‐2   1.5  -­‐1   1.5  0   1.5  1   1.5  2   1.5  3   1.5  

       

J.   The  Math  Club  found  a  company  that  will  sell    it  t-­‐shirts  for  $5.00  each,  but  there  is  a  set-­‐up    fee  of  $50.  

E.    x   y  0   50  1   55  2   60  3   65  4   70  5   75  

       

K.    x   y  0   0  1   20  2   40  3   60  4   80  5   100  

       

F.  

y  =  2x  +  1  L.  

y  =  1.5  

 

Page 27: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   231  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.4 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. Write  a  rule  for  the  following  graph:  

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

 Answer  with  supporting  work:  

2. Use  the  graph  and/or  your  rule  for  question  1  to  complete  the  table  below.    

x   y  

-­‐4    

  0  

16    

  5  

60      

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. To  calculate  a  basketball  team’s  score  in  a  game,  you  can  use  the  equation  3x  +  2y  +  z  =  p,  where  x  represents  the  number  of  three-­‐point  baskets,  y  represents  the  number  of  two-­‐point  baskets,  z  represents  the  number  of  free  throws  (one-­‐point  baskets)  and  p  represents  the  team’s  total  points.  How  many  points  did  the  team  score  if  x  =  8,  y  =  27,  and  z  =  17?    Answer  with  supporting  work:  

4. Use  the  equation  in  question  3  to  figure  out  the  number  of  two-­‐point  baskets  a  team  scored  if  the  team  made  7  three-­‐point  baskets  and  11  free  throws,  and  scored  a  total  of  84  points.    Answer  with  supporting  work:    

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. Find  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  algebraic  rule  y  =  3x  +  11.  Consider  input  values  from  -­‐5  to  5.    (Hint:  Completing  the  input-­‐output  table  may  help.)    

Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

y  =  3x  +  11    

x   y  -­‐5    -­‐4    -­‐3    -­‐2    -­‐1    0    1    2    3    4    5    

 

 

Page 28: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

232   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Page 29: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   233  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.5 Equations and functions

6.5 OPENER Suppose  a  medium  pizza  with  no  toppings  costs  $7.00.  Each  topping  costs  an  additional  $0.50.      1. How  much  would  it  cost  to  order  a  medium  pizza  with  3  toppings?      2. How  much  would  it  cost  to  order  3  medium  pizzas  with  no  toppings?  

   

3. How  many  medium  pizzas  could  you  have  ordered  if  your  bill  was  $15.00?    

6.5 CORE ACTIVITY

1. Use  function  notation  to  represent  the  relationship  between  each  button    

and  the  type  of  beverage  the  machine  delivers  when  that  button  is  pushed.              

 2. Consider  the  function  f(x)  =  3x  –  9.    

a. Evaluate  the  function  at  x  =  3      

b. Solve  the  equation  3x  –  9  =  48.      

3. Use  the  function  rule  for  Roses-­‐R-­‐Red,  f(x)  =  20  +  0.75x,  to  calculate:  

a. The  cost  of  30  roses      

b. The  number  of  roses  the  soccer  team  can  order  for  $100      4. A  rule  that  relates  the  cost  of  roses  from  Flower  Power  to  the  number  of  roses  ordered  there  is  y  =  60  +  0.50x.  Write  this  rule  

using  function  notation.      5. Use  your  function  rule  for  Flower  Power  to  calculate:  

a. The  cost  of  30  roses      

b. The  number  of  roses  the  soccer  team  can  order  for  $100  

!  

Page 30: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

234   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

6.5 CONSOLIDATION ACTIVITY Consider  this  magic  number  puzzle.  

Step  1.   Write  down  a  number.   n  Step  2.   Multiply  by  3.   3n    Step  3.   Add  12.   3n  +  12  Step  4.   Divide  by  3.   n  +  4  

1. Write  a  function  rule  (using  function  notation)  that  describes  the  relationship  between  the  independent  variable,  n,  and  the  final  result.    

 

2. Use  your  function  rule  to  find  the  final  result  when:  

a. n  =  5  

b. n  =    -­‐10  

c. n  =    

13  

3. Use  your  function  rule  to  find  the  original  value  of  n  when  the  resulting  number  is:  

a. 10  

b. -­‐6  

c. 0  

Consider  this  magic  number  puzzle.  

Step  1.   Write  down  a  number.   n  Step  2.   Square  the  number.    Step  3.   Add  1.    

4. Using  the  variable  n,  write  expressions  in  the  last  column  of  the  puzzle  to  represent  Steps  2  and  3.  

 

5. Write  a  function  rule  (using  function  notation)  that  describes  the  relationship  between  the  independent  variable,  n,  and  the  final  result.    

 

6. Use  your  function  rule  to  find  the  final  result  when:  

a. n  =  5  

b. n  =    -­‐10  

7. Use  your  function  rule  to  find  the  original  value  of  n  when  the  resulting  number  is:  

a. 37  

b. 65  

Page 31: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   235  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.5 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

 Use  the  function  rules  from  the  Roses  Project  to  answer  the  following  questions.  In  each  rule,  x  represents  the  number  of  roses  ordered  and  f(x)  represents  the  cost  of  the  order.  Show  your  work  for  each  question  on  your  own  paper.    

Roses-­‐R-­‐Red   Flower  Power  f(x)  =  20  +  0.75x   f(x)  =  60  +  0.50x  

 1. If  the  soccer  team  orders  120  roses  from  Roses-­‐R-­‐Red,  they  will  pay  $                                .  

2. If  the  soccer  team  orders  120  roses  from  Flower  Power,  they  will  pay  $                            .  

3. From  Roses-­‐R-­‐Red,  the  soccer  team  can  get                                            roses  for  $95.  

4. From  Flower  Power,  the  soccer  team  can  get                                            roses  for  $95.  

 Apply  what  you  have  learned  about  function  notation  to  answer  these  questions.    Show  your  work  on  your  own  paper.    5.     f (x) = 2x  

a.       f (6) = ?   b.       f (-­‐11) = ?   c.       f (2.75) = ?  

d.   If     f (x) =  20,  x  =  ?   e.   If       f (x)=  -­‐14,  x  =  ?   f.   If       f (x)=  29,  x  =  ?    

   

6. f(x)  =  5x  +  50  

a.   f(7)  =  ?   b.   f(-­‐12)  =  ?   c.  

    f 2

4

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ?  

d.      

If     f (x) =  100,  x  =  ?   e.   If     f (x) =  20,  x  =  ?   f.   If     f (x) =  -­‐50,  x  =  ?  

   7.    h(x) = x2 + 9  

a.      h(2) = ?   b.      h(-­‐3) = ?    

c.   If  h(x)  =  9,  x  =  ?   d.   If  h(x)  =  13,  x  =  ?  (Careful—there  are  two  answers!)    

Page 32: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

236   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.5 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. What  is  an  algebraic  rule  for  the  table  shown  below?    

x   y  

0   10  

10   10  

30   10  

50   10  

 Answer  with  supporting  work:  

2. Graph  the  rule  in  question  1  on  the  grid  below.  Label  and  scale  your  axes.    

 

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. Recall  that  in  football,  touchdowns  are  worth  7  points  each  (including  the  extra  point),  and  field  goals  are  worth  3  points  each.  List  all  of  the  different  ways  a  football  team  could  score  63  points,  if  they  make  at  least  one  touchdown  and  at  least  one  field  goal.    Answer  with  supporting  work:    

4. Recall  that  in  basketball,  a  team  can  score  1-­‐point  baskets  (free  throws),  2-­‐point  baskets,  or  3-­‐point  baskets.  List  all  of  the  different  ways  a  basketball  team  could  score  24  points,  without  making  any  free  throws.    Answer  with  supporting  work:    

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. For  science  class,  Joan  watches  a  bird  as  it  moves  up  and  down  in  a  tree  over  time.  You  could  make  a  graph  to  represent  the  relationship  between  the  bird’s  height  off  the  ground  and  time.  If  you  made  a  graph,  what  variable  would  you  put  on  each  axis?  Explain  your  answers.    Independent  (x-­‐axis)  variable:          Dependent  (y-­‐axis)  variable:        

 

6. As  Joan  watches,  the  bird  starts  10  feet  above  the  ground  and  stays  there  for  5  seconds.  Then  it  takes  10  seconds  to  fly  up  to  30  feet.  After  staying  there  for  15  seconds,  it  flies  down  to  20  feet.  State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  height  of  the  bird  during  this  period.    

Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

Page 33: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   237  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.6 Functions and proportionality

6.6 OPENER The  primary  colors  are  red,  yellow,  and  blue.  You  probably  know  it  is  possible  to  create  new  colors  from  primary  colors.    For  example,  a  shade  of  purple  paint  can  be  made  from  mixing  1  drop  of  blue  paint  to  2  drops  of  red  paint.  

1. List  five  more  different  combinations  of  blue  and  red  paint  that  could  be  used  to  create  the  same  shade  of  purple  paint.  Organize  your  information  into  a  table  and  then  plot  the  six  combinations  on  the  graph.  Label  and  scale  your  graph  axes.  

Number  of  drops  of  blue  paint    

Number  of  drops  of  red  paint  

1   2  

   

   

   

   

     

2. What  patterns  do  you  see  in  the  graph?            

6.6 CORE ACTIVITY 1. A  cheese  pizza  costs  $7.00,  and  increasing  the  number  of  cheese  pizzas  increases  the  total  cost  of  your  order.  Answer  these  

questions  about  this  situation.  

a. Complete  the  table  and  graph  for  this  pizza  relationship.      

Number  of  pizzas   Process   Cost  in  dollars  

0      

1      

2      

3      

4        

b. Find  a  function  rule  that  represents  the  relationship  between  the  number  of  pizzas,  n,  and  the  total  cost,  C.      

c. Write  your  function  rule  using  function  notation.    

d.  Using  your  function  rule,  find  out  how  much  it  would  cost  to  buy  8  pizzas.    

e. If  you  have  exactly  $84  to  spend  in  this  situation,  how  many  pizzas  can  you  order?  

Page 34: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

238   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. Cheese  pizzas  cost  $7.00  each,  and  there  is  a  one-­‐time  charge  of  $5.00  to  have  your  pizzas  delivered.  Answer  the  following  questions  about  this  situation.  

a. Complete  the  table  and  graph  for  this  pizza  and  delivery  charge  relationship.    

Number  of  pizzas   Process   Cost  in  dollars  

0      

1      

2      

3      

4        

b. Find  a  function  rule  that  represents  the  relationship  between  the  number  of  pizzas,  n,  and  the  total  cost,  C.      

c. Write  your  function  rule  using  function  notation.    

d.  How  much  would  it  cost  to  buy  8  pizzas  and  have  the  pizzas  delivered?    

e. If  you  have  exactly  $75  to  spend  in  this  situation,  how  many  pizzas  can  you  order?      3. Compare  the  two  pizza  problems.    

a. How  are  the  pizza  situations  similar  and  how  are  they  different?  

Similar   Different  

 

 

 

b. How  are  the  tables  of  data  for  the  pizza  problems  similar  and  how  are  they  different?  

Similar   Different  

 

 

 

c. How  are  the  graphs  of  the  data  similar  and  how  are  they  different?  

Similar   Different  

 

 

 

d. How  are  the  function  rules  similar  and  how  are  they  different?  

Similar   Different        

 

Page 35: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   239  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

e. What  is  the  domain  for  each  situation?  In  other  words,  what  kind  of  numbers  make  sense  as  inputs  for  the  function  rules  if  you  allow  only  numbers  that  make  sense  in  the  context  of  the  situation?  

Pizzas  without  delivery   Pizzas  with  delivery  charge        

 

   4. For  which  situation  can  you  just  multiply  the  input  value  by  a  constant  to  get  an  output  value?  

   

5. Answer  these  questions  about  pizzas  without  delivery.  

a. When  you  double  the  number  of  pizzas  you  order,  what  happens  to  the  cost  of  the  order?    Give  specific  examples.  

b. When  you  triple  the  number  of  pizzas  you  order,  what  happens  to  the  cost  of  the  order?  Give  specific  examples.  

c. How  does  the  number  of  pizzas  you  can  order  for  $42  compare  to  the  number  of  pizzas  you  can  order  for  $14?  

 

6. Answer  these  questions  about  pizzas  with  delivery.  

a. When  you  double  the  number  of  pizzas  you  order,  does  the  cost  of  the  order  double?    Give  specific  examples.  

b. When  the  cost  of  the  order  is  cut  in  half,  is  the  number  of  pizzas  you  order  also  cut  in  half?  Give  specific  examples.    

7. Which  pizza  scenario  represents  a  proportional  linear  relationship?  Explain.      

8. What  are  some  characteristics  of  the  graphs  of  proportional  linear  relationships?  Of  non-­‐proportional  linear  relationships?  

     

6.6 ONLINE ASSESSMENT Today  you  will  take  an  online  assessment.

Page 36: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

240   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.6 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

1. The  values  in  the  tables  represent  points  on  lines.           A     B     C     D  

x   y     x   y     x   y     x   y  0   4     0   0     0   7     0   0  1   11     1   7     1   7.50     1   2  2   18     2   14     2   8.00     2   4  

     a. Which  tables  represent  proportional  relationships,  where  you  can  just  

multiply  by  the  input  value  to  get  the  output  value?      b. Which  tables  represent  relationships  that  are  not  proportional,  where  

you  cannot  just  multiply  by  the  input  value  to  get  the  output  value,  but  you  also  have  to  add?  

   c. Graph  the  points  from  the  tables.  Draw  a  different  dotted  line  through  

each  set  of  points  and  label  with  A,  B,  C,  or  D.    

d. Which  graphs  represent  relationships  that  are  proportional?  How  can  you  tell  by  looking  at  the  graph?  

       

2. Mario’s  Pizza  sells  medium  pizzas  for  $5.50  and  $1.50  per  topping.  

a. Fill  in  the  table.  Then  graph  the  points.                                  

b. Write  a  function  rule  relating  the  price  of  the  pizza  to  the  number  of  toppings.      

c. Does  this  situation  represent  a  proportional  or  non-­‐proportional  relationship?  Explain.    

Number  of  toppings   Price    in  dollars  

   

0    

1    

   

   

   

Page 37: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   241  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

3. Mario’s  Pizzas  sells  large  cheese  pizzas  for  $9.00  and  will  deliver  locally  for  a  charge  of  $3.00.  

a. Fill  in  the  table  and  graph  the  points  from  the  table.                                                

b. Write  a  function  rule  relating  the  cost  to  the  number  of  pizzas.      

c. Does  this  situation  represent  a  proportional  or  non-­‐proportional  relationship?  Explain.        

4. Now  that  you  have  some  understanding  of  proportional  and  non-­‐proportional  linear  relationships,  complete  this  math  journal  entry.  You  may  look  back  in  your  notes,  but  be  sure  to  state  the  ideas  in  your  own  words  and  provide  your  own  examples.  

Vocabulary  term  My  understanding  of    what  the  term  means  

An  example  that  shows    the  meaning  of  the  term  

Proportional  linear  relationship  

Non-­‐proportional  linear  relationship  

 

Number  of  pizzas   Cost  in  dollars    

 

1    

   

   

   

Page 38: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

242   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.6

Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. Study  this  graph.  What  conclusions  can  you  draw  from  the  graph?  (Look  for  patterns  in  the  data.  State  your  conclusions  in  the  context  of  the  specific  situation  shown  in  the  graph.)  

 

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

2. The  rule  2d  +  3.5m  =  c  can  be  used  to  find  the  total  cost  in  dollars,  c,  of  buying  d  donuts,  and  m  muffins  at  a  bakery.  What  does  the  rule  tell  you  about  the  cost  of  a  donut  and  the  cost  of  a  muffin  at  this  bakery?    Answer  with  supporting  work:  

3. Trish  is  selling  lemonade  at  a  school  fundraiser.  She  bought  2  bags  of  cups.  Each  bag  contained  90  cups  and  cost  $3.60.  The  total  cost  of  the  ingredients  to  make  the  lemonade  was  $80.  She  plans  to  sell  the  lemonade  for  50¢  a  cup.  Assuming  she  has  enough  lemonade,  did  she  buy  enough  cups  to  make  a  profit?      

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

4. You  want  to  graph  the  algebraic  rule  y  =  7x  –  20.  Suppose  you  want  to  consider  only  positive  values  for  the  input.  State  an  appropriate  scale  for  the  axes  for  the  graph.  (Hint:  Consider  what  an  input-­‐output  table  for  this  rule  might  look  like.)    

Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

5. The  amount  of  time  it  takes  to  repaint  a  school  decreases  as  the  number  of  helpers  increases.  You  could  make  a  graph  to  represent  this  relationship.  If  you  made  a  graph,  what  variable  would  you  put  on  each  axis?  Explain  your  answer.    Independent  (x-­‐axis)  variable:          Dependent  (y-­‐axis)  variable:        

 

 

Page 39: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   243  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.7 More about functions and proportionality

6.7 OPENER The  two  rectangles  are  similar.  Figures  are  similar  if  they  have  the  same  shape  and  if  their  corresponding  angles  are  the  same  size.    

 1. Suppose  you  multiply  the  length  of  the  small  rectangle  by  5  

to  make  a  new  similar  rectangle.  What  will  be  the  width  of  the  new  rectangle?  

   

2. For  any  rectangle  similar  to  these  rectangles,  if  the  length  is  27  cm,  what  is  the  width?  

 

3. Write  a  rule  that  shows  the  relationship  between  the  length  and  the  width  for  this  set  of  rectangles.  Use  L  for  length  and  W  for  width.  

 

4. Is  the  relationship  between  length  and  width  proportional?  Explain.

 

6.7 CORE ACTIVITY

1. Suppose  you  are  painting  a  series  of  towers  built  from  cubes.    You  are  going  to  paint  only  the  exposed  faces  of  the  tower.    

a. Complete  the  table  to  show  the  relationship  between  the  number  of  stories  and  the  number  of  painted  faces.  In  the  process  column,  describe  in  words  and  numbers  how  you  would  paint  the  towers.      

 

Number  of  stories   Process  column   Number  of  faces  painted  

1  Top  plus  one  story  with  4  cube  faces  per  story  

         1                +        1                •          4              .    

2                        plus                        stories  with                        cube  faces  per  story  

                           +                        •                        .    

3                        plus                        stories  with                        cube  faces  per  story  

                           +                        •                        .    

4      

5      

6      

Page 40: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

244   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

b. Use  the  patterns  in  your  table  to  write  a  function  rule  that  expresses  the  relationship  between  the  number  of  faces  painted,  represented  by  f(s),  and  the  number  of  stories  in  the  tower,  s.      

c. Graph  the  relationship  between  the  number  of  stories  and  number  of  faces  painted.    Label  the  graph  and  axes.  

   

d. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  faces  will  be  painted  on  a  tower  with  50  stories.        

e. Suppose  you  double  the  number  of  stories  in  your  tower.  Will  the  number  of  painted  faces  also  double?  Why  or  why  not?      

f. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  stories  are  in  a  tower  with  81  faces  painted.    

g. Can  there  be  a  tower  with  92  faces  painted?  How  do  you  know?      

2. Suppose  you  want  to  paint  only  the  lateral  faces  of  the  tower,  not  the  top.  How  

does  the  pattern  change  between  the  number  of  stories  and  the  number  of  faces  painted?  

a. Complete  the  table  to  show  the  relationship  between  the  number  of  stories  and  the  number  of  painted  faces.  In  the  process  column,  describe  in  words  and  numbers  how  you  would  paint  the  towers.

Number  of  stories   Process  column   Number  of  faces  painted  

1        

2    

   

 

3      

 

4      

Page 41: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   245  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

 b. Graph  the  relationship  between  the  number  of  stories  and  the  number  of  faces  painted.    Label  the  graph  and  axes.  

   

c. Use  the  patterns  in  the  table  to  write  a  function  rule  that  expresses  the  relationship  between  the  number  of  faces  painted,  represented  by  f(s),  and  the  number  of  stories  in  the  tower,  s.        

 d. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  

faces  will  be  painted  on  a  tower  with  50  stories.      

e. Suppose  you  double  the  number  of  stories  in  your  tower.  Will  the  number  of  painted  faces  also  double?  Why  or  why  not?      

f. Use  your  function  rule  to  determine  how  many  stories  are  in  a  tower  with  116  faces  painted.      

g. Compare  the  two  tower-­‐painting  problems.  Which  scenario  represents  a  proportional  relationship?  Why?  Explain  your  answers  using  the  faces  of  the  towers,  tables,  graphs,  and  rules.    

 

Page 42: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

246   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

6.7 REVIEW ONLINE ASSESSMENT

Today  you  will  review  the  online  assessment.  

Problems  we  did  well  on:   Skills  and/or  concepts  that  are  addressed  in  these  problems:              

Problems  we  did  not  do  well  on:   Skills  and/or  concepts  that  are  addressed  in  these  problems:              

Addressing  areas  of  incomplete  understanding  

Use  this  page  and  notebook  paper  to  take  notes  and  re-­‐work  particular  online  assessment  problems  that  your  class  identifies.  

Problem  #_____   Work  for  problem:              

Problem  #_____   Work  for  problem:              

Problem  #_____   Work  for  problem:              

Page 43: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   247  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

HOMEWORK 6.7 Notes  or  additional  instructions  based  on  whole-­‐class  discussion  of  homework  assignment:  

 

 

 

 Next  class  period,  you  will  take  an  end-­‐of-­‐unit  assessment.  One  good  study  skill  to  prepare  for  tests  is  to  review  the  important  skills  and  ideas  you  have  learned.  Use  this  list  to  help  you  review  these  skills  and  concepts,  especially  by  reviewing  related  course  materials.    

Important  skills  and  ideas  you  have  learned  so  far  in  the  unit  Introduction  to  functions  and  equations:  

• Identify,  describe,  extend,  analyze,  represent,  and  generalize  patterns  and  mathematical  relationships  in  words,  and  with  tables,  graphs,  and  algebraic  rules    

• Solve  problems  and  model  real-­‐world  situations  using  patterns  and  mathematical  relationships    

• Make  connections  among  different  representations  of  mathematical  relationships,  using  verbal  descriptions,  tables,  graphs,  and  algebraic  rules    

• Analyze  and  create  equivalent  algebraic  expressions  and  rules    

• Distinguish  between  discrete  and  continuous  data  

• Scale  graph  axes    

• Recognize  functional  relationships    

• Identify  independent  and  dependent  variables  in  functional  relationships    

• Represent  functions  using  words,  tables,  graphs,  and  symbols,  including  function  notation    

• Formulate  equations  that  arise  from  functions  and  solve  these  equations  by  inspection  or  “undoing”    

• Recognize  proportional  and  non-­‐proportional  situations  represented  by  linear  functions    Homework  Assignment  

Part  I:   Study  for  the  end-­‐of-­‐unit  assessment  by  reviewing  the  key  ideas  listed  above.  

Part  II:   Complete  the  online  More  practice  for  this  topic.  Note  the  skills  and  ideas  for  which  you  need  more  review,  and  refer  back  to  related  activities  and  animations  to  help  you  study.    

Part  III:   Complete  Staying  Sharp  6.7.  

 

Page 44: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

248   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.7 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts  

1. Valerie  is  planning  a  birthday  party  for  her  best  friend.    She  is  trying  to  figure  out  how  much  food  to  buy  for  the  party.  Which  statement  makes  more  sense?  

a. The  number  of  people  she  invites  to  the  party  depends  on  the  amount  of  food  she  buys.  

b. The  amount  of  food  she  buys  depends  on  the  number  of  people  she  invites  to  the  party.  

 Answer  with  supporting  explanation:  

2. If  you  made  a  graph  to  represent  the  relationship  you  identified  in  question  1,  what  variable  would  you  put  on  each  axis?  Explain  your  answer.      Independent  (x-­‐axis)  variable:          Dependent  (y-­‐axis)  variable:            

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. Using  n  to  represent  “a  number,”  write  an  algebraic  equation  to  represent  the  statement  “19  more  than  5  times  a  number  is  244.”  

4. Sofía  believes  that  7  is  a  value  of  x  that  makes  the  equation  3x  +  4  =  25  true.  Is  she  correct?    Answer  with  justification:  

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  data  in  the  x-­‐y  table  shown.    

x   2   5   7   8   10   13   19   25  y   26   20   16   14   10   4   -­‐8   -­‐20  

 Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

6. Amy  is  trying  to  graph  the  algebraic  rule  y  =  10x  +  50  with  input  values  from  0  to  20.  She  chooses  this  scale:    

Min.  x:   0     Min.  y:   0  Max.  x:   20     Max.  y:   250  x  increment:   5     y  increment:   1  

 Identify  one  problem  with  Amy’s  scale  and  suggest  one  improvement  you  would  make.  (Hint:  Consider  what  an  input-­‐output  table  for  this  rule  might  look  like.)  

 

Page 45: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   249  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

Lesson 6.8: Checking for understanding

6.8 OPENER Giant  Julius  Pizza  sells  medium  pizzas  for  $9.50  and  $1.25  per  topping.      

1. Fill  in  the  table.  Then  graph  the  points.          

 

 

 

 

   

2. Write  a  function  rule  relating  the  price  of  the  pizza  to  the  number  of  toppings.      3. Use  your  function  rule  to  find  

a.      the  cost  for  a  pizza  with  10  toppings       b.      the  number  of  toppings  on  a  pizza  that  costs  $17  

6.8 END-OF-UNIT ASSESSMENT

Today  you  will  take  the  end-­‐of-­‐unit  assessment.  

6.8 CONSOLIDATION ACTIVITY Mariah  is  trying  different  sidewalk  designs  for  her  garden.  She  wants  one  walkway  with  “wings”  that  run  in  opposite  directions.  

Mariah  realizes  that  there  may  be  a  relationship  between  the  number  of  tiles  in  a  “wing”  (the  darker  tiles)  and  the  number  of  tiles  in  the  entire  sidewalk.  

1. Draw  the  next  two  models  in  Mariah's  concrete  representation  next  to  the  models  shown.  

 

Number  of  toppings   Price    in  dollars  

 

0    

1    

   

   

   

Page 46: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

250   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

2. Make  a  table  representing  the  relationship  between  the  number  of  tiles  in  a  “wing”  and  the  number  of  tiles  in  the  entire  sidewalk.  Explain  how  the  pattern  in  your  tabular  representation  relates  to  the  concrete  models.    

 

Table  

____________   ____________  

   

   

   

   

   

   

     

3. Write  an  algebraic  representation  for  the  relationship  between  the  number  of  tiles  in  a  “wing”  and  the  number  of  tiles  in  the  entire  sidewalk.  Explain  how  your  rule  relates  to  the  concrete  models.    

 

 

4. Make  a  graphical  representation  of  the  number  of  tiles  in  a  “wing”    and  the  number  of  tiles  in  the  entire  sidewalk.      

5. Explain  how  the  graphical  representation  relates  to  the  concrete    representation,  the  tabular  representation,  and  the  algebraic  representation.    

                   6. Mariah  claims  that  the  relationship  between  the  number  of  tiles  in  a  “wing”  and  the  number  of  tiles  in  the  entire  sidewalk  is  a  

function.  She  is  correct.  

a. What  is  the  domain  of  this  function  in  the  sidewalk  context?      

b. What  is  the  domain  of  the  mathematical  function  without  the  real-­‐world  context?    

The  Flower  Bed  problem  

Anthony  Chen's  family  operates  a  full-­‐service  pool  and  landscaping  business.  Sometimes  their  clients  want  low  decorative  fences  around  their  flower  beds.    

Anthony's  father  wants  a  quick  way  to  estimate  the  amount  of  fencing  needed.  Mr.  Chen  asked  Anthony  to  help  him.  Anthony  realizes  that  this  is  just  a  perimeter  question.    

He  starts  his  task  by  analyzing  the  relationship  between  the  length  of  the  side  of  a  square  flower  bed  and  the  perimeter  of  the  flower  bed.  This  will  tell  him  the  amount  of  fence  needed  to  enclose  the  flower  bed.  Anthony  realizes  that  lengths  of  sides  of  flower  beds  are  not  always  whole  numbers,  but  he  decides  to  use  square  tiles  to  build  models  of  flower  beds  of  various  sizes  to  help  him  find  a  pattern.  In  his  models,  1  tile  represents  1  square  foot.    

Page 47: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

Topic  6:  Working  with  functions  and  equations   251  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

1. Draw  the  next  two  models  in  Anthony's  concrete  representation  next  to  the  models  shown.  

 2. Make  a  table  representing  the  relationship  between  the  length  

of  the  side  of  a  square  flower  bed  and  the  perimeter  of  the  flower  bed.  Explain  how  the  pattern  in  your  tabular  representation  relates  to  the  concrete  models.    

 

     Table  

__________   ____________  

   

   

   

   

   

   

   

   

     

3. Write  an  algebraic  representation  for  the  relationship  between  the  length  of  the  side  of  a  square  flower  bed  and  the  perimeter  of  the  flower  bed.  Explain  how  your  rule  relates  to  the  concrete  models.    

 

 

4. Make  a  graphical  representation  of  the  relationship  between  the  length    of  the  side  of  a  square  flower  bed  and  the  perimeter  of  the  flower  bed.    

 

5. Explain  how  the  graphical  representation  relates  to  the  concrete  representation,  the  tabular  representation,  and  the  algebraic  representation.    

               6. Anthony  claims  that  the  relationship  between  the  length  of  the  side  of  a  

square  flower  bed  and  the  perimeter  of  the  flower  bed  is  a  function.    He  is  correct.  

a. What  is  the  domain  of  this  function  in  the  garden  context?    

b. What  is  the  domain  of  the  mathematical  function  without  the  real-­‐world  context?        

c. If  the  domain  of  the  mathematical  function  is  the  same  as  for  the  garden  situation,  explain  why.  If  it  is  different  than  the  garden  situation,  explain  why.  

Page 48: Topic&6:Working&with&functions&and&equations WORKING … · Topic&6:Working&with&functions&and&equations!!!!! !!!! !! !! !! !! !! !! !! !

252   Unit  2  –  Introduction  to  functions  and  equations  

 Copyright  ©  2012  Charles  A.  Dana  Center  at  the  University  of  Texas  at  Austin,  Learning  Sciences  Research  Institute  at  the  University  of  Illinois  at  Chicago,  and  Agile  Mind,  Inc.  

STAYING SHARP 6.8 Practic

ing  algebra  skills  &  con

cepts   1. Use  the  rule  y  =  10x  +  30  to  complete  the  table  

below.    

x   y  2       80  

11       140  

31      

2. In  question  1,  if  y  represents  the  total  cost  of  a  nature  tour  and  x  represents  the  number  of  people  attending  the  nature  tour,  write  a  verbal  description  that  could  represent  the  relationship  described  by  the  algebraic  rule   10 30y x= + .  

Prep

aring  for  u

pcom

ing  lesson

s  

3. Complete  the  table  for  this  magic  number  puzzle.    

  Specific  number  

Any    number  

Step  1.  Pick  a  number.   11   n  

Step  2.  Multiply  by  4.      

Step  3.  Add  9.        

4. Joaquin  goes  through  the  steps  of  the  magic  number  puzzle  in  question  3  and  gets  an  ending  number  of  37.  What  was  his  starting  number?    Answer  with  supporting  work:  

Focus  skill:  Scalin

g  grap

hs  

5. Henry  collects  rainwater  for  his  garden.  His  tank  begins  with  30  gallons  of  water.  Over  5  days,  the  tank  collects  12  more  gallons  of  water  from  the  rain.  Then  in  1  day,  he  uses  18  gallons  to  water  his  garden.  Then  over  4  days,  7  gallons  evaporate.  Then  over  3  days,  the  tank  collects  11  more  gallons  from  the  rain.    State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  volume  of  water  in  the  tank  over  time.    

Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis:    

 

6. State  an  appropriate  scale  to  use  to  graph  the  data  in  the    x-­‐y  table  shown.    

x   -­‐10   -­‐8   -­‐6   -­‐4   -­‐2   0   2   4   6   8   10  y   95   59   31   11   -­‐1   -­‐5   -­‐1   11   31   59   95  

 Minimum  x-­‐value:    Maximum  x-­‐value:    Increment  for  x-­‐axis:    Minimum  y-­‐value:    Maximum  y-­‐value:    Increment  for  y-­‐axis: