toÁn rỜi rẠc - toanroirac2011.files.wordpress.com · hai vấn đề trong đại số oole:...

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 8:Đại số Boole

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung

1. Giới thiệu:

Boole Algebra.

Hàm Boole.

Hằng đẳng thức đại số Boole.

2. Các cổng logic.

3. Cực tiểu hóa mạch:

Bản đồ Karnaugh.

Chương 8: Đại số Boole 2



Giới thiệu Boole Algebra


Chương 8


Giới thiệu

Nhắc lại phần mệnh đề:TRUE & FALSE.

Các mạch điện tử trong máy tính:1 & 0. Thiết kế các mạch điện tử?



Giới thiệu

Mạch điện tử:

Trạng thái chuyển mạch: Mở & Đóng.

Dụng cụ quang học: Sáng & Tối.

Sử dụng các quy tắc của Logic:

Claude Shannon: 1938.

“The Law of Thought” (1854).

Boole Algebra.



Giới thiệu

George Boole (1854) – English mathematician

“The Mathematical Analysis of Logic” (1848).

“The Law of Thought” (1854) Boole Algebra.

Chương 1: Logic 6


Boole Algebra

Đại số Boole:

Các phép toán

Các quy tắc

Ứng dụng chủ yếu:

Chuyển mạch điện tử.

Chuyển mạch quang học.


trên tập {0, 1}


Boole Algebra

Phép toán cơ bản:

Phần bù: NOT

Tổng Boole:OR

Tích Boole:AND


01

10

000

110 ;101 ;111

000 ;01.0 ;00.1

11.1

Phép toán Logic?


Boole Algebra

Example:


)10(0.1

0

00

10

FTFFT )()(


Hàm Boole

Biến Boole (Boolean variable):Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận các giá trị trong tập {0, 1}.

Hàm Boole (Boolean function):Một hàm từ tập {(x1, x2…xn)|xi {0,1}, 1≤ i ≤n} tới tập {0,1} được gọi là hàm Boole bậc n.

Ví dụ:


zxyzyxF ),,(

Biểu thức Boole


Hàm Boole

Ví dụ:


zxyzyxF ),,(

x y z xy F(x, y, z)

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

z


Boole Algebra

Phép toán XOR:

Example: lập bảng giá trị để chứng minh


000

110

101

011

)()()()( yxyxxyyxyx


Hằng đẳng thức đại số Boole


Hằng đẳng thức Tên gọi

x = x Luật phần bù kép

x + x = x; x . x = x Luật lũy đẳng

x + 0 = x; x . 1 = x Luật đồng nhất

x + 1 = 1; x . 0 = 0 Luật nuốt

x + y = y + x; xy = yx Luật giao hoán

x + (y + z) = (x + y) + z

x(yz) = (xy)z

Luật kết hợp

x + yz = (x + y) . (x + z)

x . (y + z) = xy + xz

Luật phân phối

Luật De Morgan

y . )(

)(

xyx

yxxy


Chứng minh luật phân phối



Hàm Boole

Ví dụ:Tìm giá trị của các biến Boole x và y sao cho:xy = x + y



Hàm Boole

Ví dụ: Lập bảng biểu diễn giá trị các hàm sau:


zyyxzyxF

zyyzxzyxF

xyzyxzyxF

),,(

)(),,(

)(),,(

c)

b)

a)


Biểu diễn các hàm Boole

Hai vấn đề trong đại số Boole:

1. Cho các giá trị của hàm Boole, làm thế nào để tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm đó?

2. Có biểu thức nào đơn giản hơn để biểu diễn cùng một hàm Boole hay không? Rút gọn biểu thức Boole?



Tổng của tích


x y z F G

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

F(x, y, z) = ?

G(x, y, z) = ?


Tổng của tích


x y z F G

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

zyxzxyzyx

zyxzyx

),,(

),,(

G

F


Khái niệm

Literal (Đơn tử): là một biến Boole hoặc phần bù của nó.

Minterm (Tiểu hạng): là một tích các literal (gồm chính xác n literals).


zyxzxyzyx

zyxzyx

),,(

),,(

G

F


Khai triển tổng của tích


Sum-of-products

là một biểu thức viết dưới dạng tổng của

các minterm.

Sum-of-products Expansion

viết lại biểu thức dưới dạng tổng của tích

(còn gọi là “dạng chuẩn tuyển” – disjunctive

normal form).


Khai triển tích của tổng


Product-of-sums

là một biểu thức viết dưới dạng tích của các

tổng (mỗi tổng chứa chính xác n literals).

Product-of-sums Expansion

viết lại biểu thức dưới dạng tổng của tích

(còn gọi là “dạng chuẩn hội” – conjunctive

normal form).


Tính “đầy đủ hàm”

Functional completeness:Mọi hàm Boole đều có thể được biểu diễn với chỉ các toán tử NOT, OR và AND.

gọi là “tập đầy đủ hàm” (functionally complete)

Example: có thể loại bớt phép tổng hoặc tích bằng cách sau:


},{.,

yxxy

yxyx



Các cổng Logic


Chương 8


Các cổng logic



Các cổng logic

Mạch tổ hợp:

Kết hợp các cổng logic cơ bản.

Cho output phụ thuộc vào trạng thái input.

Mạch không nhớ (output không phụ thuộc trạng thái hiện tại của mạch).



Các cổng logic

Ví dụ:Xây dựng mạch thể hiện các biểu thức sau:


) )((

) (

)(

zyxzyx

zyx

xyx

c)

b)

a)


Các cổng logic – Ví dụ



Các cổng logic

Example:

Tìm hàm thể hiện output?

Lập bảng giá trị tương ứng.




Example: Một căn phòng có 3 cửa ra vào, mỗi cửa có 1 công tắc đèn, chuyển trạng thái bất cứ công tắc nào sẽ chuyển trạng thái đèn từ ON OFF (nếu đang là ON) và ngược lại. Thiết kế mạch điện theo yêu cầu trên, với giả thiết sau:

Nếu 3 công tắc đều bật thì đèn là ON.

Nếu 3 công tắc đều tắt thì đèn là OFF.





x y z Đèn minterm

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

xyz

zyx

zyx

zyx

zyxzyxzyxxyz

zyxF

),,(


zyxzyxzyxxyz

zyxF

),,(


Mạch tổ hợp – Bài tập

Dựng các mạch tổ hợp để tạo các output sau:

) )((

)(

zyxxyz

zyzx

xyx

c)

b)

a)



Cực tiểu hóa mạch tổ hợp


Chương 8


Cực tiểu hóa các mạch

Hiệu suất của mạch tổ hợp phụ thuộc vào:

Số các cổng.

Sự bố trí các cổng đó.

Các bước thiết kế mạch:

Bước 1: lập bảng giá trị input/output.

Bước 2: tìm khai triển tổng các tích.

Bước 3: đơn giản hóa biểu thức tìm được.


Cực tiểu hóa các mạch

Lợi ích:

Tăng độ tin cậy của mạch.

Tăng tốc độ hoạt động của mạch.

Giảm giá thành.

Giảm tiêu thụ điện.

Giảm tỏa nhiệt.

Giảm kích thước mạch.


Đơn giản hóa biểu thức

Example:


xz

yyxz

zyxxyzzyxF

)(

),,(


Cực tiểu hóa mạch

Phương pháp “Bản đồ Karnaugh”: K-maps

Mauric Karnaugh (1953).

Trực quan.

Không thích hợp để thực hiện bằng máy tính.


Maurice Karnaugh (October 4, 1924 in New York City)


K-maps

Mô tả:

Sử dụng bảng (hoặc hình vuông, hình chữ nhật) gồm các ô vuông kề nhau.

Mỗi ô vuông tượng trưng cho 1 minterm.

Hai ô gọi là kề nhau nếu chúng tượng trưng cho 2 minterms chỉ khác nhau đúng 1 literal.

Khai triển tổng-của-tích:

Nếu minterm nào xuất hiện trong khai triển, điền số 1 vào ô tương ứng.



K-maps


x

x

y y

xy yx

yx yx

x

x

yz zy zyzy

y y

xyz zxy zyxzyx

yzx zyx zyxzyx

2 biến

3 biến

z


K-maps: 3 biến


xyz zyx

zxy zyx

zyx zyx

zyxyzx


K-maps: 4 biến


wx

xw

yz zy zyzy

y y

wxyz zwxy zywxzywx

yzxw zyxw zyxwzyxww

w

xxw

xw

yzxw zyxw zyxwzyxw

xyzw zxyw zyxwzyxw

z


K-maps: 4 biến



K-maps: 2 biến

Ví dụ: Rút gọn


yxyxGb

yxxyFa

)(

)(

1

1

x

x

y y

yF

1

1

x

x

y y

yxyxG


K-maps: 2 biến

Ví dụ: Rút gọn


yxyxyxHc )(

1

1 1

x

x

y y

yxH


K-maps: 3 biến


1

1

x

x

yz zy zyzy

zyzyxzyx

1 1

x

x

yz zy zyzy

zxzyxzyx


K-maps: 3 biến


1 1

1 1

x

x

yz zy zyzy

zzyxzyxzyxzxy

1 1

1 1 1 1

x

x

yz zy zyzy

xzyxzyxzyxzyx


K-maps: 3 biến

Ví dụ:


1 1 1

1 1 1

x

x

yz zy zyzy

1 1 1

1 1 1

x

x

yz zy zyzy

1 1 1

1 1 1

x

x

yz zy zyzy


K-maps: 3 biến

Ví dụ:


1 1

1 1 1

x

x

yz zy zyzy

zyxzyxzyxzyxzyxF

zxyF


K-maps: 3 biến

Example:


zyxzyxzyxzxyH

zyxzyxzyxzyxzyxzxyxyzG


K-maps: 4 biến

Ví dụ:


zyxwzyxwzyxwzyxw

zyxwzyxwzywxzyxwzyxwF

1 1 1

1 1 1

1 1

1

wx

xw

yz zy zyzy

xw

xw

wyzFzwxyxwyxwzyxw


K-maps: 4 biến


zyxwzyxwzyxw

zyxwzyxwzyxwzywxG

zyxwzyxwzyxwzyxwzyxw

zyxwzyxwzyxwzyxwzywxzywxH

):Answer( zxyxwzy

):Answer( yxwxwz

toÁn rỜi rẠc - toanroirac2011.files.wordpress.com · hai vấn đề trong đại số oole:...

Documents