Trabajo Investigativo Nombre: Lider Eduardo Pilligua Menndez. Curso: NBU. Paralelo: C. Tema: Todas las identidades y funciones

trigonomtricas . N de lista: 30.

Funciones trigonomtricas Funcin Seno Funcin coseno

Funcin cosecante Funcin secante

Funcin tangente

Funcin cotangente

Funcin Seno El seno de un ngulo es la relacin entre la

longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

Funcin Seno

Funcin coseno El coseno de un ngulo es la relacin entre la

longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

Funcin tangente La tangente de un ngulo es la relacin entre la

longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

Funcin cotangente La cotangente de un ngulo es la relacin entre

la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

Funcin secante La secante de un ngulo es la relacin entre la

longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

Funcin cosecante La cosecante de un ngulo es la relacin entre

la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Funciones trigonomtricas inversas Funcin seno inverso

Funcin coseno inverso Funcin tangente inversa Funcin cotangente inversa

Funcin secante inversa Funcin cosecante inversa

Identidades trigonomtrica

Identidades Pitagricas

1 Sen x = Cos x Sen x = 1 Cos x

a

a =

a+

c

a

a

b

Csc x = Ctg + 1 Csc x - Ctg = 1 Ctg x = Csc - 1

b

b

b

_ c ( _ )= 1+ ( a ) bb b b

Sec x =1+T x agSec x - Tag x = 1

T x =Sec x - 1 ag

Identidades Reciprocas Se llama as todo debido a que por

definicin, al intercambiar los trminos del cociente de la relacin trigonomtrica se obtiene estas.

Procedimiento de la Identidades Recprocas=1 =1

=1

Identidades Recprocas

Identidades por cociente Las identidades trigonomtricas por

cociente que se utiliza en la resolucin de problemas de trigonometra son :

Identidad Par Propiedad N1 Para todo funcin F(x) , la funcin de G(x) defina por : G(x) = F(x) +F(-x) Una funcin es par si :

f (x) = f (-x)

Esta es la funcin que se debe comprobar

Demostracin

Cos(+-x)+Cos(--x)=Cos(++x)+Cos(+-x) Cos(-x)+Cos(x)=Cos(x)+Cos(-x)

Sec(+-x)+Sec(--x)=Sec(++x)+Sec(+-x) Sec(-x)+Sec(x)=Sec(x)+Sec(-x)

Es Par

Es Par

Identidad Impar Para toda funcin F(x), la funcin de H(x) definida por :

H (x) = F(x) F (-x) Una funcin es impar si : F (x) = - F (-x)Esta es la funcin que se debe comprobar

Demostracin

Sen(-+x) Sen(--x) = -( Sen(x) Sen(-x)) Sen(-x) Sen(x) = - Sen(x) + Sen(-x)

Tan(-+x) Tan(--x) = -( Tan(x) Tan(-x)) Tan(-x) Tan(x) = - Tan (x) + Tan(-x)

Csc(-+x) Csc(--x) = -( Csc(x) Csc(-x)) Csc(-x) Csc(x) = - Csc(x) + Csc(-x) Todos son Impar

Cot(-+x) Cot(--x) = -( Cot(x) Cot(-x)) Cot(-x) Cot(x) = - Cot (x) + Cot(-x)

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

Identidades pares e impares

Se cumple f(x)=f(-x)

Se cumple f(-x) = - f(x)

Identidades de suma y diferencia de ngulos

Este tipo de identidades muestra una suma o una adicin para un ngulo; la idea es poder expresar un ngulo cualquiera en funcin de un suma o una resta ; adems este tipo de identidades generaliza la teora de las identidades trigonomtricas de la siguiente forma:

Tabla para determinar los ngulos notables

Frmulas de suma y diferencia de ngulos

Identidades de ngulo doble Cuando en la suma o diferencia de

ngulo, si a=b entonces se obtienen los que llamamos ngulos doble que son herramienta en el anlisis del movimiento curvilnea.

Formula de ngulo doble

Formula de ngulo Triple

Formula de ngulo medio

Identidades de producto a suma Puede probarse usando el teorema de la suma para

expandir los segundos miembros.

Demostracin: A partir de :

Identidades de suma a producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a b) / 2 en las

identidades de producto a suma, se tiene:

Demostracin:

Eliminar seno y coseno A veces es necesario transformar funciones de seno y

coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

Ejercicios de identidades trigonomtricas

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) Ctg x Sen x = Cos x

Cos x/Sen x * Sen x = Cos x Cos x = Cos x 14) Tang z * Cos z * Csc z = 1 Sen z/Cos z * Cos z * 1/Sen z = 1 1=1 15) Tang x * Cot x = 1 Sen x/Cos x * Cos x/Sen x = 1 1=1

16)Cos x * Cosc x = Cotg x

Cos x * 1/Sen = Cotg x Cos/Sen = Cotg x Cotg = Cotg 17) 1+tang x/1+Cot x = Sen x/Cos x 1+Sen x /Cos x /1+Cos x/Sen x = Sen x/Cos x Cos x + Sen x /Cos x /Sen x + Cos x /Cos x = Sen x/Cos 18) Tang x + Cotg x = Sec x Cosec x Sen x / Cos x + Cos x / Sen x = Sec x * Cosec x Sen x + Cos x / Cos x * Sec x = Sec * Cosec x 1/Cos x * Sec x = Sec x * Cosec x Sec x * Cosec x = Sec x * Cosec x

19) Cosx Sen x = 1 - 2 Sen x

1 Sen x Sen x = 1 2 Sen x 1 2 Sen x = 1 2 Sen x 20) Cos x Sen x = 2Cosx 1

Cos x (1 Cos x ) = 2 Cos x 1 Cos x 1 + Cos x = 2 Cos x 1 2 Cos x 1 = 2 Cos x 1 21) ( 1 + Cotg x ) * Sen x = 1 Cosc x * Sen x = 1 1/Sen x * Sen x = 1 1=1

22) ( Cosc x 1 ) Sen x = Cosx

Cotg x * Sen x = Cos x Cos x/ Sen x * Sen x = Cos x Cosx = Cos x 23) Sec x + Cosc x = Sec x * Cosc x 1/Cos x + 1/Sen x = Sec x * Cosc x Senx+ Cos x/Cos x + Sen x = Sec x * Cosc x 1/Cos x * Sen x = Sec x * Cosc x Sec x * Cosc x = Sec x * Cosc x

24) Cos4 x Sen4 x + 1 = 2 Cos x

(Cos x + Sen x ) ( Cos x Sen x ) + 1 = 2 Cos x Cos x Sen x + 1 = 2 Cos x Cosx ( 1 Cos x ) + 1 = 2 Cos x Cos x 1 + Cos x + 1 = 2 Cosx 2 Cos x = 2 Cos x 25)( Sen x + Cos x ) + ( Sen x Cos x) = 2Sen x +2Sen x * Cos x + Cos x + Sen x 2Sen x * Cos x + Cos x = 2 1+1=2 2=2

26) Cosc x / 1 + Tang x = Cotg x

Cosc x/Sec = Cotg x 1/Sen x / 1/Cos x = Cotg x Cos x/Sen x = Cotg x Cotg x = Cotg x27) Tang x Sen x = Tang x * Sen x Sen x/Cos x Sen x = Sen x Sen x/Cos x Sen x/Cos x Sen x = Tang x Sen x Sen x/Cos x Sen x = Sen x/Cos x Sen x

28) Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + 1/Tang x

Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cotg x Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cos x/Sen x Sen x + Cos x/ Sen x = Sen x + Cos x/ Sen x

29) 1-Sen x/Cos x = Cos x/1 + Sen x ( 1 Sen x) ( 1 + Sen x ) = Cos x * Sen x 1 Sen x = Cos x Cos x = Cos x

30) Sec x ( 1 Sen x ) = Cos x

1/Cos x (Cos x ) = Cos x Cos x = Cos x 31) Sen x ( 1 + Cot x) = 1 Sen x ( Csc x ) = 1 Sen x (1/Sen x ) = 1 1=1 32) ( Sen x 1 ) ( Sec x + 1 ) = Tang x Sec x 1 = Tang x 1 + Tang x 1 = Tang x Tang x = Tang x

33) Tan x/Cot x = 1/Cos x - 1

Sen x/Cos x/Cos x/ Sen x = 1/Cos x - 1 Sen x/Cos x = 1/Cos x - 1 1 Cos x/ Cos x = 1/Cos x - 1 1/Cos x Cos x/ Cos x = 1/Cos x - 1 1/Cos x - 1 = 1/Cos x - 1 34) Sen x( Cos x- Sen x) = Cos x Sen x( 1/Sen x Sen x) = Cos x Sen x( 1 Sen x / Sen x) = Cos x Sen x * Cos x/ Sen x = Cos x Cos x = Cos x

35) Sen x/Csc x + Cos x/Sec x = 1

Sen x/1/Sen x + Cos x/1/Cos x = 1 Sen x+ Cos x = 1 1 = 1

Referencias de consulta

http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica http://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=htt p%3A%2F%2Fdcb.fi-c.unam.mx%2Fusers%2Fgustavorb%2FCalculoDiferencial%2FCDA2.p http://es.scribd.com/doc/91815/TRIGONOMETRIA http://www.youtube.com/watch?v=zuAQgCmo8vs http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/143/mod_resource/content/1/cap3.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas