to periodiko f
DESCRIPTION
Ένα τεύχος του περιοδικού "Φ"TRANSCRIPT
Áãáðçôïß Ößëïé
´Ï,ôé êñáôÜôå óôá ÷Ýñéá óáò áõôÞ ôç óôéãìÞ, èÝëïõìå íá ðéóôåýïõìå êáôáñ÷Þí ðùò
åßíáé ôÝêíï þñéìçò óêÝøçò áëëÜ êáé ðñáãìáôéêÞò êáé áðï ðïëëÝò ðëåõñÝò äéáðéóôùìÝíçò
áíÜãêçò.
Åßíáé ðñïúüí åðéäñÜóåùí êáé åðéññïþí ìáêñü÷ñïíçò êáé ðïëýìï÷èçò ðíåõìáôéêÞò
ðåñéðëÜíéóçò óôç äéåèíÞ âéâëéïãñáößá,ðåñéïäéêÞ êáé ìç, áíáöåñüìåíçò ôüóï ó’áõôü
êáè’áõôü ôï ãíùóôéêü áíôéêåßìåíï ðïõ õðçñåôïýìå üóï êáé óå ü,ôé èá ìðïñïýóå íá
êáôáóôÞóåé ôçí ðñïóðÜèåéá ìáò ðåñéóóüôåñï åðéóôçìïíéêÞ êáé êáôÜ óõíÝðåéá ðåñéóóüôåñï
áðïôåëåóìáôéêÞ. Óå ìåãÜëï ìÝñïò ôçò âéâëéïãñáößáò äåóðüæïõí äõï åñùôÞìáôá:
Ôß ÌáèçìáôéêÜ èá äéäÜîïõìå óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç êáé ðþò èá ôá äéäÜîïõìå;
Ç áíáæÞôçóç áðáíôÞóåùí ó’ áõôÜ ôá æçôÞìáôá ôçí ôåëåõôáßá äåêáåôßá ôïõ 20ïõ áéþíá
áðïôÝëåóå êåíôñéêü Üîïíá ðñïâëçìáôéóìïý ôçò ðáãêüóìéáò ÅêðáéäåõôéêÞò
ÌáèçìáôéêÞò Êïéíüôçôáò.
Ïé ðñïóåããßóåéò ðïõ Ý÷ïõí ãßíåé ôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßïäï êáé óõíå÷ßæïõí íá ãßíïíôáé,åßíáé
ðåñéóóüôåñï åðéóôçìïíéêÝò êáé ïëïêëçñùìÝíåò áðï ðïôÝ.Êé áõôü ãéá ðïëëïýò ëüãïõò. Ç
áíÜðôõîç ôùí Ãíùóôéêþí Åðéóôçìþí ôç äåêáåôßá ôïõ ’90-2000,(Ý÷åé ÷áñáêôçñéóôåß ùò
äåêáåôßá ôïõ åãêåöÜëïõ),ç åõ÷Ýñåéá ðïõ ç ôå÷íïëïãßá åîáóöÜëéóå óôçí åêðáéäåõôéêÞ Ýñåõíá
êáé óôçí åðéêïéíùíßá ôùí áðïôåëåóìÜôùí ôçò,áëëÜ êáé ç åêñçêôéêÞ ìåãÝíèõóç ôùí
ðáãêïóìßùí êïéíùíéêþí êáé ïéêïíïìéêþí ðñïâëçìÜôùí, ôùí ïðïßùí ç áíôéìåôþðéóç áðáéôåß
ðëÝïí ðïëý õøçëïý åðéðÝäïõ óôåëÝ÷ç êáé åñãáæüìåíïõò ìå äçìéïõñãéêÞ óêÝøç êáé öáíôáóßá,
åßíáé ìåñéêïß ëüãïé ðïõ åðÝôñåøáí Þ åðÝâáëëáí áíôßóôïé÷á, ðñïóåêôéêüôåñç êáé
åðéóôçìïíéêüôåñç ðñïóÝããéóç ôùí ðñïâëçìÜôùí ôçò ÌáèçìáôéêÞò Åêðáßäåõóçò, (áò ìçí
îå÷íÜìå êáé ôçí ðåñéðÝôåéá ôùí «ÌïíôÝñíùí Ìáèçìáôéêþí» ôïõ ’60 êáé ’70.)
ÁõôÞ ç ðáãêüóìéá,áãùíéþäçò èá ’ëåãå êáíåßò, ðñïóðÜèåéá ôçò ÌáèçìáôéêÞò
Êïéíüôçôáò ãéá áíáæÞôçóç áðáíôÞóåùí óôá êáßñéá åñùôÞìáôá ðïõ áíáöÝñèçêáí
íùñßôåñá, Ý÷åé óõìðáñáóýñåé êáé ôçí ÅëëçíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ Êïéíüôçôá.
Ïé ðåñéóóüôåñåò åéóçãÞóåéò êáé åñãáóßåò ôùí Óõíåäñßùí ðïõ ïñãáíþíïíôáé áðï üëïõò
ôïõò öïñåßò (Å.Ì.Å., ÐáíåðéóôçìéáêÜ ÔìÞìáôá êáé Ôïìåßò ÄéäáêôéêÞò ôùí
Ìáèçìáôéêþí, ÔìÞìáôá ÄçìïôéêÞò Åêðáßäåõóçò ê.ô.ë.) ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá óôç ÷þñá
ìáò, áíôáíáêëïýí ôüóï ôïí ðñïâëçìáôéóìü üóï êáé ôçí áãùíßá üëùí ìáò ãýñù áðï ôá
óõãêåêñéìÝíá æçôÞìáôá.
´Ïìùò áõôüò ï ðñïâëçìáôéóìüò ìÝíåé åêåß. ÊáôáãñÜöåôáé óôá ðñáêôéêÜ üëùí ôùí
Óõíåäñßùí áëëÜ ìÜëëïí ü÷é êáé ó’åêåßíåò ôéò óõíåéäÞóåéò ðïõ èÜðñåðå íá åã÷áñÜóóåôáé.
ÏðïéáäÞðïôå óõíéóôþóá ôçò Ìáèçìáôéêçò ìáò Åêðáßäåõóçò áõôü ìáñôõñåß êáé
êáôáäåß÷íåé. Ôá ÁíáëõôéêÜ ìáò ÐñïãñÜììáôá ãéá ðáñÜäåéãìá, Ýñãï äõóôõ÷þò êëåéóôþí
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 3
Áò óõóôçèïýìå...
AÓ ÓÕÓÔÇÈÏÕÌÅ...
åðéôñïðþí, äåí Ý÷ïõí áðïôõðþóåé ïýôå ôï ðáñáìéêñü äåßãìá áðü ôï óýã÷ñïíï
ðñïâëçìáôéóìü. Ôá íÝá âéâëßá ôùí Ìáèçìáôéêùí ôï ßäéï. Áí êáé ç óõããñáöÞ ôïõò óôïé÷ßæåé
ðïëëÝò ÷éëéÜäåò åõñþ, ôï íÝï ðïõ «êïìßæïõí» äåí åßíáé õðåñâïëÞ íá éó÷õñéóôåß êáíåßò, üôé
åîáíôëåßôáé óå ìéá öëýáñç êáé áìöéëåãüìåíç ðïëõ÷ñùìßá. Ç Ýëëåéøç éäåþí êáé öáíôáóßáò,
ç èåïðïßçóç ôçò «ðåðáôçìÝíçò», ôïõ åìðåéñéóìïý êáé ôçò áõôÜñêåéáò, ôï ãýñéóìá ôçò
ðëÜôçò óôá óõìðåñÜóìáôá ôùí óýã÷ñïíùí åñåõíþí êáé ôùí ðñïóðáèåéþí
åêóõã÷ñïíéóìïý ôùí Ìáèçìáôéêþí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç, áðü ÷þñåò ðïõ äéáèÝôïõí
ïñãáíùìÝíç ÅêðáéäåõôéêÞ ¸ñåõíá, åßíáé óôïé÷åßá ôüóï åìöáíôéêÜ, ðïõ ü÷é ìüíï
åöçóõ÷áóìü äåí äéêáéïëïãïýí, áëëÜ åðéâÜëëïõí êáé íïìéìïðïéïýí ðïëëÝò åðéöõëÜîåéò,
ðíåýìá áíôßóôáóçò êáé õðÝñâáóçò êáé áíÜëçøç ðñùôïâïõëéþí óôçí êáèçìåñéíÞ
äéäáêôéêÞ ðñÜîç.
Ó’ áõôÜ ôá ðëáßóéá, ôï ðáñüí, Ýñ÷åôáé íá óôáèåß äßðëá óôïõò ìá÷üìåíïõò
åêðáéäåõôéêïýò –ìáèçìáôéêïýò ùò Ýíá âÞìá Ýíôéìïõ êáé áêçäåìüíåõôïõ äéáëüãïõ, ìéá
ðýëç áíïéêôÞ óå íÝåò, óýã÷ñïíåò áíôéëÞøåéò ãýñù áðü ôá ÌáèçìáôéêÜ êáé ôç äéäáóêáëßá
ôïõò óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç, óáí Ýíáò öéëüîåíïò ÷þñïò ðïõ åðéèõìåß êáé óôï÷åýåé íá
êáëýøåé ðïëëÝò áíÜãêåò, áíçóõ÷ßåò êáé áíáæçôÞóåéò åðéóôçìïíéêïý, åðéóôçìïëïãéêïý êáé
äéäáêôéêïý åíäéáöÝñïíôïò.
Åßíáé ßóùò ðåñéôôü íá ôïíßóïõìå üôé ç áðüðåéñá ìáò äåí áíôáãùíßæåôáé êáíÝíá Ýíôõðï,
êáíÝíá âïÞèçìá, êáíÝíá åã÷åéñßäéï.
Ðéóôåýïõìå áðüëõôá ðùò õðÜñ÷åé Ýíá êåíü êáé üôé õðÜñ÷ïõí óïâáñïß ëüãïé ãéá íá
êáëõöèåß. Ôï ôé åßäïõò êåíü åííïïýìå êáé ðùò èá åñãáóôïýìå ãéá ôçí êÜëõøÞ ôïõ èá ãßíåé
ðåñéóóüôåñï êáôáíïçôü ìå ìéá ãñÞãïñç ìáôéÜ óôéò óåëßäåò ðïõ áêïëïõèïýí. Êé áõôü ßóùò
êÜíåé ðåñéôôÞ êÜèå ðåñáéôÝñù ðñïóðÜèåéá áõôïóõóôÜóåùí êáé áõôïðñïóäéïñéóìïý...
Ôåëåéþíïíôáò, èåñìÝò åõ÷áñéóôßåò ó’ üëïõò ôïõò ößëïõò - óõíåñãÜôåò ôïõ ðáñüíôïò, ðïõ
÷ùñßò ôçí åíèÜññõíóç êáé ôçí ïõóéáóôéêÞ âïÞèåéÜ ôïõò, ü,ôé êñáôÜôå óôá ÷Ýñéá óáò áõôÞ
ôç óôéãìÞ èá ðáñÝìåíå ãéá ðÜíôá óôï ÷þñï ôçò öáíôáóßáò êáé ôïõ ïíåßñïõ.
Åðßóçò åõ÷áñéóôþ ðïëý ôçí ïéêïãÝíåéÜ ìïõ ãéá ôçí ìåãÜëç êáôáíüçóç üëï ôïí
ôåëåõôáßï ÷ñüíï. Éäéáßôåñá ôïí ËåõôÝñç êáé ãéá ôçí ïõóéáóôéêÞ ôïõ âïÞèåéá óôï äéÜóôçìá
ôçò ðñïåôïéìáóßáò ôïõ ôåý÷ïõò ôïí ôåëåõôáßï ìÞíá.
Èá Þôáí üìùò ðáñÜëåéøç áí îÝ÷íáãá ôïõò (ðéóôïýò) ìáèçôÝò ìïõ, ðïõ êÜèå ÓÜââáôï
ãéá ôñßôç ÷ñïíéÜ öÝôïò ìå áêïýí êáé ôïõò áêïýù ìå áìåßùôï åíäéáöÝñïí. Ôïõò åõ÷áñéóôþ
üëïõò èåñìÜ.
ÔÝëïò èÝëù íá åõ÷áñéóôÞóù ôï ðñïóùðéêü ôùí åêäüóåùí ÄÉÇÍÅÊÅÓ ôçí ê. Êáßôç
Áëåîïðïýëïõ, ôï ê. Íßêï Áëåîüðïõëï, ôïí ê. Íßêï ×áôæüðïõëï, ôïí Ãéþñãï, ôç ÆùÞ êáé
ôç Ìáñßá ãéá ôçí åîáéñåôéêÞ ôïõò ðñïóðÜèåéá óôç äçìéïõñãßá åíüò åíôýðïõ ðïõ êáé
áéóèçôéêÜ íá óÝâåôáé ôïí áíáãíþóôç ôïõ.
Â.Å.ÂéóêáäïõñÜêçò
Ìáèçìáôéêüò, Ì.ed.ÄéäáêôéêÞò êáé Ìåèïäïëïãßáò ôùí Ìáèçìáôéêþí.
Åíéáßï Ðåéñáìáôéêü Ëõê. Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ.
Aò óõóôçèïýìå...
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ4
OMarvin Minsky (èåùñåßôáé ï ðáôÝñáò ôçò Ôå÷íéôÞò Íïçìïóýíçò), óôï
ÃëùóóÜñé, óôï ôÝëïò ôïõ âéâëßïõ ôïõ «Ç êïéíùíßá ôçò íüçóçò»
Åêäüóåéò ÊÜôïðôñï êáé óôï ëÞììá Genius (Éäéïöõßá), áíáöÝñåé:
«Íïìßæù ðùò ôçí áðÜíôçóç ðñÝðåé íá ôçí áíáæçôÞóïõìå ü÷é óôéò
åðéöáíåéáêÝò äåîéüôçôåò ôéò ïðïßåò ìáèáßíïõí áõôÜ ôá Üôïìá, áëëÜ óå
êÜðïéá åðåéóüäéá ôçò ðáéäéêÞò ôïõò çëéêßáò ðïõ ôá þèçóáí íá ìÜèïõí
êáëýôåñïõò ôñüðïõò íá ìáèáßíïõí».
ÁíáñùôéÝôáé ëïéðüí êáíåßò, ðïý èá ìðïñïýóáí íá áíáæçôçèïýí áõôÜ ôá
«åðåéóüäéá». ºóùò óôï ðáéãíßäé. Êáé êõñßùò óôá ðáéãíßäéá ðïõ áðáéôïýí
áðü ôïõò ðáßêôåò íá åðéäåßîïõí óôñáôçãéêÞ êáé ìåèïäéêüôçôá. ºóùò ðÜëé
óôá ðíåõìáôéêÜ ðáéãíßäéá, ôá puzzles, ôïõò ãñßöïõò, ôéò óðáæïêåöáëéÝò.
Åßíáé êñßìá ïé ãïíåßò íá åìðéóôåýïíôáé êáé íá åê÷ùñïýí ôçí áíÜðôõîç
ôïõ óçìáíôéêüôåñïõ «êåöáëáßïõ» ôïõò óôç ñç÷Þ êáèçìåñéíüôçôá ôïõ
êáôáíáëùôéóìïý êáé ôçò ôçëåïðôéêÞò áðï÷áýíùóçò. Ãéá ôçí êáôáóôñïöéêÞ
åðßäñáóç ôçò ôåëåõôáßáò, ðïëëÜ ëÝãïíôáé êáé ãñÜöïíôáé áðü ôïõò åéäéêïýò.
ÁëëÜ ôá ðåñéóóüôåñá ìÜëëïí äåí öôÜíïõí óôç ìåãÜëç ðëåéïøçößá ôùí
ãïíéþí. ¹ êáé áí öôÜíïõí, ßóùò äåí óõíåéäçôïðïéåßôáé óå âÜèïò ôï ìÝãåèïò
ôçò êáôáóôñïöéêÞò áõôÞò åðßäñáóçò.
Ãéá ôï ìÝãåèïò ôïõ ðñïâëÞìáôïò åßíáé åíäåéêôéêüò ï ôßôëïò «ÌõáëÜ ðïõ
êéíäõíåýïõí, Ãéáôß ôá ðáéäéÜ ìáò äåí óêÝöôïíôáé», åíüò óõíôáñáêôéêïý
âéâëßïõ ðïõ êõêëïöüñçóå ôï 1990 ãñáììÝíï áðü ôçí Áìåñéêáíßäá
ðáéäáãùãü J.M.Healy, ôï ïðïßï äå óôÝêåôáé ðëÝïí óå öéëïóïößåò Þ
ðñïöçôåßåò áëëÜ ðñï÷ùñÜåé óå ôåêìçñéùìÝíåò (äõóôõ÷þò) äéáðéóôþóåéò. Ç
Healy óôçñéæüìåíç óôç èåùñßá ôïõ íïìðåëßóôá íåõñïëüãïõ Dr. Gerald
Edelman ìéëÜåé ãéá ìéá äéáñêÞ åîÝëéîç ôïõ åãêåöÜëïõ êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò
æùÞò åíüò áôüìïõ óôç âÜóç ôùí íüìùí öõóéêÞò åðéëïãÞò ãéá ôçí áíÜðôõîç
ôùí íåõñþíùí ôïõ áíèñþðéíïõ åãêåöÜëïõ.
Ó’ áõôü ôï óýóôçìá ðïõ äéáñêþò ìåôáâÜëëåôáé, ïìÜäåò íåõñþíùí åìðëÝ-
êïíôáé ó’ Ýíá óõíå÷Þ áíôáãùíéóìü ìåôáîý ôïõò ãéá íá «áé÷ìáëùôßóïõí» Üëëá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 5
ÌáèçìáôéêÜ ãéá üëç ôçí ïéêïãÝíåéá
Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
ÅÅééóóááããùùããÞÞ
êýôôáñá ãéá ôçí ïìÜäá ôïõò. Ïé ïìÜäåò ðïõ ðáñïõóéÜæïõí ôç ìåãáëýôåñç
äñÜóç áíáðôýóóïõí äõíáôüôåñåò óõíÜøåéò, ðïõ ðñïóôßèåíôáé óôá äßêôõÜ ôïõò,
êáé åðéâéþíïõí. «ÅðéëÝ÷ôçêáí» åðåéäÞ åßíáé ðéèáíüí íá ÷ñçóéìïðïéçèïýí óå
ìåëëïíôéêÞ óõìðåñéöïñÜ. Ï áíôáãùíéóìüò áõôüò åðéôåëåßôáé åêôüò ôùí Üëëùí
êáé ìå ôçí áðüññéøç åíüò ìåãÜëïõ áñéèìïý êõôôÜñùí êáèçìåñéíÜ.
Ó’ üëç ôçí Ýêôáóç ôïõ âéâëßïõ ôçò ç J.M.Healy õðåñáóðßæåé ôç èÝóç ðïõ
èÝëåé ôï óýã÷ñïíï ôñüðï æùÞò íá åðéöÝñåé óïâáñÝò áëëáãÝò óôïí áíèñþðéíï
åãêÝöáëï. Éó÷õñßæåôáé üôé ï åãêÝöáëïò ôùí óçìåñéíþí ðáéäéþí Ý÷åé äïìçèåß
ðÜíù óå ðñüôõðá ðïõ áíôáãùíßæïíôáé ôéò áîßåò êáé ôïõò óêïðïýò ôçò ôõðéêÞò
åêðáßäåõóçò. Ïé êëáóéêÝò ìÝèïäïé äéäáóêáëßáò êáé ìÜèçóçò áðïôõã÷Üíïõí
ãéáôß ï íåáñüò åãêÝöáëïò äåí Ý÷åé äéáìïñöùèåß âáóéêÜ ùò åñãáëåßï ãéá
áíáëõôéêÞ óêÝøç. Ôá ðáéäéÜ åèéóìÝíá íá áíôáðïêñßíïíôáé óå åñåèéóôéêÜ
ìõíÞìáôá ðáñïõóéÜæïõí ìåéùìÝíç äõíáôüôçôá õðïìïíÞò êáé õðáêïÞò óå
êáíüíåò. Ùóôüóï ç õðïìïíÞ áðïôåëåß ìéá âáóéêÞ éêáíüôçôá áðáñáßôçôç ãéá
ôçí Üóêçóç óôçí Ýììåóç, áöçñçìÝíç êáé áíáëõôéêÞ óêÝøç.
Äõóôõ÷þò ï óýã÷ñïíïò ôñüðïò æùÞò ìå ôïõò îÝöñåíïõò ñõèìïýò ôïõ êáé
åéäéêÜ óôçí ôçëåïðôéêÞ «ôïõ» áðåéêüíéóç, üðïõ ç ôá÷ýôçôá åíáëëáãÞò åéêü-
íùí, óõíáéóèçìÜôùí, êáôáóôÜóåùí ê.ô.ë. åßíáé ôï êýñéï ÷áñáêôçñéóôéêü,
ïäçãåß ôá ðáéäéÜ óå õðåñêéíçôéêüôçôá êáé áäõíáìßá óõãêÝíôñùóçò. Áäõíá-
ìßá íá ðáñáêïëïõèÞóïõí ôï óõëëïãéóìü ôùí Üëëùí, áäõíáìßá óôï äéÜëïãï
êáé ôç óõæÞôçôóç. ÃëùóóéêÞ ðåíßá êáé ìåéùìÝíç áíôáðüêñéóç óôéò áðáé-
ôÞóåéò ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò.
Õóôåñá áð’áõôÜ, åßíáé öáíåñü ôï ìÝãåèïò ôçò åõèýíçò ôçò ïéêïãÝíåéáò,
ãéá ìéá óùóôÞ êáé éóïññïðçìÝíç ãíùóôéêÞ-ðíåõìáôéêÞ áíÜðôõîç ôùí
ðáéäéþí ôçò, öñïíôéóìÝíç ôïõëÜ÷éóôïí åî’ ßóïõ ìå ôç óùìáôéêÞ ôïõò
áíÜðôõîç. Êáé äõóôõ÷þò (Þ åõôõ÷þò) áõôÞ ç åõèýíç äåí ìïéñÜæåôáé
éóïìåñþò ìåôáîý ïéêïãÝíåéáò êáé Ó÷ïëåßïõ ãéá ðïëëïýò ëüãïõò. ¸íáò
âáóéêüò ëüãïò åßíáé üôé áí êáé ç åîÝëéîç ôïõ áíèñþðéíïõ åãêåöÜëïõ åßíáé
äéáñêÞò ó’ üëç ôç æùÞ åíüò áôüìïõ, ç óýã÷ñïíç íåõñïøõ÷ïëïãßá õðïóôçñßæåé
åðßóçò üôé ç âáóéêÞ äïìÞ ôïõ åãêåöÜëïõ áíáðôýóóåôáé óôçí ðïëý ôñõöåñÞ-
íçðéáêÞ çëéêßá (ìÝóá óôá ðñþôá ðÝíôå ÷ñüíéá ôçò æùÞò ôïõ áôüìïõ).
Ì’ áõôÜ êáôÜ íïõ, ç ðáñïýóá óôÞëç ðñïôåßíåé (êáé èá ðñïôåßíåé óå êÜèå
ôåý÷ïò) ìéá ðñïóåêôéêÜ åðéëåãìÝíç óõëëïãÞ ðñïâëçìÜôùí-íïçôéêþí
ðñïêëÞóåùí, ôá ïðïßá èá ìðïñåß íá ôá êáôáíïåß êáé íá ôá ðñïóåããßæåé êáíåßò
÷ùñßò éäéáßôåñåò ìáèçìáôéêÝò ãíþóåéò Ýôóé ðïõ íá ìðïñïýí íá áðïôåëÝóïõí
áíôéêåßìåíï íïçôéêÞò-äçìéïõñãéêÞò áðáó÷üëçóçò áêüìá êáé ãéá ôçí ðéï
áðëïúêÞ ïéêïãÝíåéá ðïõ üìùò ìðïñåß íá áíôéóôÝêåôáé óôçí ôçëåïðôéêÞ
ëáßëáðá ôùí reality êáé ôùí ðåñß ôá reality åêðïìðþí, ðñïò ÷Üñç ìéáò
ÌáèçìáôéêÜ ãéá üëç ôçí ïéêïãÝíåéá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ6
éóïññïðçìÝíçò ðíåõìáôéêÞò-íïçôéêÞò áíÜðôõîçò ôùí ðáéäéþí ôçò. ÖõóéêÜ õðü
ôçí ðñïõðüèåóç üôé ïé áíáãíþóôåò èá âïçèÞóïõí íá äéá÷õèåß áõôü ôï õëéêü
åõñýôåñá þóôå íá öôÜóåé (ìÝóù ôùí ðáéäéþí ôçò) êáé óôçí ïéêïãÝíåéá áõôÞ.
¹ôáí ÷áñáêôçñéóôéêÜ èåôéêÞ ç áíôáðüêñéóç ðïõ ðáñáôçñÞóáìå üôáí
ðñéí áñêåôÜ ÷ñüíéá åß÷áìå èÝóåé ôï (ãíùóôü) ðñüâëçìá ìå ôá êáðÝëá óå
Ýíá ôìÞìá ôçò Â’ ãõìíáóßïõ. Ôçí åðüìåíç ìÝñá ðÜíù áðü 6-7 ìáèçôÝò ôï
Ýöåñáí ëõìÝíï ìå ôç âïÞèåéá ôùí ãïíéþí ôïõò. Ìå ôï ðñüâëçìá áõôü
îåêéíÜìå êáé ôçí ðñþôç ìáò óõëëïãÞ (ìáèçìáôéêþí) ðñïêëÞóåùí.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 7
ÌáèçìáôéêÜ ãéá üëç ôçí ïéêïãÝíåéá
¸÷ïõìå 2 êüêêéíá êáé 3 ìáýñá, ßäéá êáôÜ ôá Üëëá
êáðÝëá. ¸÷ïõìå åðßóçò ôñßá Üôïìá áðï ôá ïðïßá ï Ýíáò
åßíáé ôõöëüò. Áöïý êëåßóïõìå ôá ìÜôéá óôá äýï Üôïìá
ðïõ Ý÷ïõí ôçí üñáóÞ ôïõò, öïñÜìå áðü Ýíá êáðÝëï êáé
óôïõò ôñåßò.
Ôá õðüëïéðá êáðÝëá ôá áðïìáêñýíïõìå (ôá
êñýâïõìå) êáé êáôüðéí áðåëåõèåñþíïõìå ôçí üñáóç ôùí
äýï. Óôç óõíÝ÷åéá ñùôÜìå ôïí ðñþôï ôé ÷ñþìá êáðÝëïõ
öïñÜåé. Åêåßíïò êïéôÜæåé ôïõò Üëëïõò äýï, áëëÜ äåí
âãÜæåé óõìðÝñáóìá, ïðüôå áðáíôÜåé «äåí îÝñù».
ÑùôÜìå ôï äåýôåñï Üôïìï êáé ìåôÜ áðü óêÝøç ëÝåé êé
áõôüò «äåí îÝñù».ÑùôÜìå ôüôå êáé ôïí ôõöëü, êáé ìåôÜ
áðü ëßãï åêåßíïò áðáíôÜåé ìå âåâáéüôçôá «öïñÜù ìáýñï
êáðÝëï». Êáé åß÷å äßêéï. Ðþò Üñáãå ôï âñÞêå;
Ôñåßò ößëïé, ðáßêôåò ôïõ Øåììáëçèåéáêïý (ìéáò
ïìÜäáò ìå ðåñßåñãç óýíèåóç), ï Íßêïò, ï Ãéþñãïò êáé ï
Çëßáò, ðñïðïíïýíôáí êÜðïéá ìÝñá ôñÝ÷ïíôáò ï Ýíáò
ðßóù áðü ôïí Üëëï áðü ôç ìéá Üêñç ôïõ ãçðÝäïõ óôçí
Üëëç, ü÷é üìùò êáô’ áíÜãêç ì’ áõôÞ ôç óåéñÜ. ËÝåé óå
êÜðïéá óôéãìÞ ï ðñþôïò: -Ôï ðáéäß óôç ìÝóç åßíáé ï
Íßêïò, åíþ ï ìåóáßïò äçëþíåé:
– Åãþ åßìáé ï Çëßáò.Êáé ï ôåëåõôáßïò ëÝåé:
– Óôç ìÝóç åßíáé ï Ãéþñãïò.
Áí åßíáé ãíùóôü üôé: Ï Ãéþñãïò ëÝåé ðÜíôá ôçí
áëÞèåéá.Ï Çëßáò Üëëïôå ëÝåé áëÞèåéá êáé Üëëïôå
øÝììáôá,åíþ ï Íßêïò ëÝåé ðÜíôá øÝìáôá ðïéüò åßíáé ôüôå
ï ðñþôïò, ðïéüò ï äåýôåñïò êáé ðïéüò ï ôñßôïò óôç óåéñÜ
êáèþò ôñÝ÷ïõí ï Ýíáò ðßóù áð’ ôïí Üëëï;
2
1
ÁÁëëÞÞèèååééáá -- ØØÝÝììììááôôáá êáé ðþò ï íïýò ôá îå÷ùñßæåé
ÔÔïï ððññüüââëëççììáá ììåå ôôáá êêááððÝÝëëáá(Þ üôáí ï íïõò âëÝðåé áõôÜ ðïõ ôá ìÜôéá ìáò
äåí ìðïñïýí íá äïõí)
¸íá óáëéãêÜñé ðñïóðáèåß í’ áíÝâåé óôçí êïñõöÞ
åíüò äÝíôñïõ ðïõ Ý÷åé ýøïò 10m.ÊÜèå ìÝñá áíåâáßíåé
2m, áëëÜ êÜèå íý÷ôá ìå ôçí õãñáóßá ãëéóôñÜåé ðñïò ôá
êÜôù êáôÜ 1m. Óå ðüóåò ìÝñåò èá öôÜóåé óôçí êïñõöÞ
ôïõ äÝíôñïõ îåêéíþíôáò áðü ôï Ýäáöïò Ýíá ðñùß;
Äýï ößëïé, ìáíéþäåéò êáðíéóôÝò, ÷ùñßò äñá÷ìÞ óôçí
ôóÝðç óêÝöôçêáí Ýíá (ü÷é êáé ôüóï õãéåéíü) ôñüðï ãéá íá
éêáíïðïéÞóïõí ôï ðÜèïò ôïõò. ÌÜæåøáí ï êáèÝíáò 10
áðïôóßãáñá (ãüðåò)êáé Ýöôéáîáí áõôïó÷Ýäéá ôóéãÜñá.
Ãéá êÜèå ôóéãÜñï ÷ñåéáæüôáí 3 ãüðåò. ¼ìùò åêåßíïé
êÜðíéóáí óõíïëéêÜ 9 ôóéãÜñá. Ðþò ôá êáôÜöåñáí;
– Á÷! ëÝåé ï «áäéêçìÝíïò», ìéá ãüðá íá ’÷áìå âñåé
áêüìá,èá êÜðíéæá êé åãþ 5 ôóéãÜñá. Åß÷å äßêéï... áëëÜ
ãéáôß;
¸íáò ñÜöôçò ÷ñåéÜæåôáé 1 ëåðôü ãéá êÜèå êïðÞ åíüò
êïììáôéïý áðü Ýíá ôüðé ýöáóìá. Áí ôï ôüðé ôïõ åßíáé
60m êáé èÝëåé íá ôï êüøåé óå åîÞíôá êïììÜôéá ôïõ åíüò
ìÝôñïõ, ðüóï ÷ñüíï èá ÷ñåéáóôåß;
Áí ðÜëé èÝëåé íá öôéÜîåé áðü ôá êïììÜôéá ôïõ 1m Ýíá
êïììÜôé 7m êáé êÜèå ñáöÞ ôïõ ðáßñíåé 5 ëåðôÜ, ðüóç
þñá èá ÷ñåéáóôåß;
Ðüóá ÷ñüíéá Ýæçóå Ýíá Üôïìï ðïõ ãåííÞèçêåóôéò 30
Éïýíç ôïõ 30 ð.×.êáé ðÝèáíå óôéò 30 Éïýíç ôïõ 30 ì.×;
Ìéá ôÜîç Ý÷åé 25 ìáèçôÝò êáé ìáèÞôñéåò. Ðüóïé
ôïõëÜ÷éóôïí Ý÷ïõí ãåííçèåß ôïí ßäéï ìÞíá;
Ðüóåò ëÝîåéò ðñÝðåé íá ðÜñåé êÜðïéïò óôçí ôý÷ç
áðü Ýíá ëåîéêü ôçò ÅëëçíéêÞò Ãëþóóáò ãéá íá åßíáé
óßãïõñïò üôé äýï ôïõëÜ÷éóôïí áð’ áõôÝò áñ÷ßæïõí ìå ôï
ßäéï ãñÜììá;
8
7
6
5
4
3
ÌáèçìáôéêÜ ãéá üëç ôçí ïéêïãÝíåéá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ8
ÌÌééáá ïïììÜÜääáá ððññïïââëëççììÜÜôôùùííáðëÞò ëïãéêÞò êáé áðëþí õðïëïãéóìþí:
OO ããïïëëããïïèèÜÜòò ååííüüòò óóááëëééããêêááññééïïýý
««ÐÐååííßßáá ôôÝÝ÷÷ííááòò êêááôôååññããÜÜææååôôááéé»»
ÊÊüüââïïííôôááòò êêááéé ÑÑÜÜââïïííôôááòò
ÌÌééáá ððååññßßååññããçç óóýýììððôôùùóóçç
Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 73 ðñïôåéíüìåíá
ðñïâëÞìáôá) óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 7-31)
Ôï ïëïêëÞñùìá åßíáé Ýíá éó÷õñü ìáèçìáôéêü åñãáëåßï, ìå
åîáéñåôéêÞ èåùñçôéêÞ êáé ðñáêôéêÞ óçìáóßá. Ïé ôå÷íéêÝò ôùí
õðïëïãéóìþí åßíáé ðïëëÝò öïñÝò åðßðïíåò êáé ìáêñïóêåëåßò. ¼ìùò, ç
÷ñÞóç ôùí çëåêôñïíéêþí õðïëïãéóôþí, Ý÷åé äþóåé ôåñÜóôéåò
äõíáôüôçôåò óôïõò áñéèìçôéêïýò õðïëïãéóìïýò, åðéôñÝðïíôÜò ìáò Ýôóé,
íá áðåëåõèåñþóïõìå ÷ñüíï ðñïò üöåëïò ôçò èåùñçôéêÞò ðñïóÝããéóçò
êáé ôçò êáôáíüçóçò ôùí åííïéþí.
Ôï åéóáãùãéêü ìÜèçìá ðïõ áðïôåëåß ôï 1ï êåöÜëáéï ôïõ ðáñüíôïò
Üñèñïõ Ý÷åé ðñïåôïéìáóôåß ó' áõôü ôï ðíåýìá êáé äéäÜ÷èçêå óôïõò
ìáèçôÝò ôçò Ã ´ ôÜîçò ÈåôéêÞò Êáôåýèõíóçò ôïõ Ðåéñáìáôéêïý Ëõêåßïõ
ôçò Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ óôéò 16 Öåâñïõáñßïõ 2004, ãéá 50 ðåñßðïõ
ëåðôÜ. Óôï 2ï êåöÜëáéï ðåñéÝ÷ïíôáé ïñéóìÝíåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí
ó÷Ýóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ùò äéáäéêáóßá Üèñïéóçò êáé ôçò
áíôéðáñáãþãéóçò. Óôï 3ï ðåñéÝ÷åôáé ç ðëÞñçò áðüäåéîç ôïõ
Èåìåëéþäïõò ÈåùñÞìáôïò ôïõ Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý ãéá óõíå÷åßò
óõíáñôÞóåéò óå êëåéóôü äéÜóôçìá. ÔÝëïò, óôï 4ï êåöÜëáéï ðåñéÝ÷ïíôáé
ôá âáóéêÜ èåùñÞìáôá ôùí óõíå÷þí óõíáñôÞóåùí êáé, ôï êåöÜëáéï
áõôü, ìðïñåß íá äéáâáóôåß áíåîÜñôçôá áðü ôá õðüëïéðá.
Ôï ìüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé, ãéá íá äéáâÜóåé êÜðïéïò åðùöåëþò ôá äýï
ôåëåõôáßá êåöÜëáéá, åßíáé êáëÞ äéÜèåóç êáé êÜðïéá åîïéêåßùóç ìå ôïõò
å – ä óõìâïëéóìïýò êáé ôá áíôßóôïé÷á åðé÷åéñÞìáôá. Äåí ÷ñçóéìïðïßçóá
ðáñÜ åëÜ÷éóôá ôçí Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò, ìéáò êáé ôï ó÷ïëéêü
ðñüãñáììá ðåñéÝ÷åé åëÜ÷éóôá ðñÜãìáôá ãé' áõôÞí. Ôá êåöÜëáéá áõôÜ
áðåõèýíïíôáé, ðñùôßóôùò, óôïõò åðéìïñöïýìåíïõò åêðáéäåõôéêïýò,
áëëÜ, êáé óå ïðïéïíäÞðïôå Üëëï ìáèçôÞ Þ ü÷é ðïõ Ý÷åé äéÜèåóç íá ôá
ìåëåôÞóåé.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 23
Ôï ÏëïêëÞñùìá
ÓôñÜôïò ÌÜêñáò
Äñ. Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí
Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ
ÅÅééóóááããùùããééêêüü
ÓÓççììååßßùùììáá
Ç Ýííïéá ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ðçãÜæåé áðü ôçí ðñïóðÜèåéá
ðñïóäéïñéóìïý ôïõ åìâáäïý äéáöüñùí åðéðÝäùí ó÷çìÜôùí.
Ãéá ôá åõèýãñáììá ó÷Þìáôá ç äéáäéêáóßá åßíáé áðëÞ: ×ùñßæïõìå ôï
ó÷Þìá óå ðåðåñáóìÝíï ðëÞèïò ôñéãþíùí Þ ïñèïãùíßùí ôá ïðïßá äåí
áëëçëïêáëýðôïíôáé, âñßóêïõìå ôá åìâáäÜ ôïõò êáé ôá áèñïßæïõìå. Ôá
ðñÜãìáôá üìùò äõóêïëåýïõí ìüëéò èåëÞóïõìå íá îåöýãïõìå áðü ôá
åõèýãñáììá ó÷Þìáôá. Ç ãåùìåôñéêÞ åðïðôåßá, ìáò õðáãïñåýåé üôé, óå
êÜèå êëåéóôü ó÷Þìá, åõèýãñáììï Þ ìç, ìðïñåß íá áðïäïèåß êÜðïéï
åìâáäüí. Ðïéá üìùò äéáäéêáóßá ðñÝðåé íá áêïëïõèÞóïõìå ãéá íá
áðïäþóïõìå êÜðïéï åìâáäüí óå ó÷Þìáôá üðùò óôï "êüêêéíï" ÷ùñßï ôïõ
äéðëáíïý ó÷Þìáôïò, ÷ùñßò íá îåöýãïõìå áðü ôïí "öõóéêü" ôñüðï
áðüäïóçò ôïõ åìâáäïý; Ôþñá, äåí ìðïñïýìå íá ÷ùñßóïõìå ôï ó÷Þìá óå
ôñßãùíá Þ ïñèïãþíéá ðïõ äåí áëëçëïêáëýðôïíôáé, áí ðåñéïñéóôïýìå óå
ðåðåñáóìÝíï ðëÞèïò. Ðñïêýðôïõí Ýôóé äéÜöïñá åñùôÞìáôá:
Èá ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå Üðåéñï ðëÞèïò ôñéãþíùí êáé
ïñèïãùíßùí;
Ôé óçìáßíåé üìùò Üèñïéóìá ìå Üðåéñïõò ðñïóèåôÝïõò;
Ï ôñüðïò äéáìÝñéóçò ôïõ áñ÷éêïý ó÷Þìáôïò ðáßæåé êÜðïéï ñüëï;
ÁõôÜ åßíáé ìåñéêÜ áðü ôá åñùôÞìáôá ðïõ áðáó÷üëçóáí ãéá áéþíåò
ôïõò ìáèçìáôéêïýò êáé åîáêïëïõèïýí íá ôïõò áðáó÷ïëïýí áêüìá! Ïé
ðñïóðÜèåéåò ãéá íá äïèïýí áðáíôÞóåéò, êáôÝëçîáí, óå èåùñßåò
éäéáßôåñá åíäéáöÝñïõóåò êáé ãüíéìåò.
Ïé ¸ëëçíåò ìáèçìáôéêïß ôçò Áñ÷áéüôçôáò, åß÷áí, Þäç, ëýóåé ôï
ðñüâëçìá ãéá ïñéóìÝíá ìç åõèýãñáììá ó÷Þìáôá, üðùò, ð.÷. ãéá ôïõò
ìçíßóêïõò ôïõ ÉððïêñÜôç. ¼ìùò, ï ðñþôïò ðïõ Ýëõóå ðñáãìáôéêÜ
äýóêïëá ðñïâëÞìáôá áõôïý ôïõ åßäïõò, Þôáí ï Áñ÷éìÞäçò (287 ð.× – 212
ð.×). Ï ôñüðïò ðïõ áêïëïýèçóå ï Áñ÷éìÞäçò ãéá íá õðïëïãßóåé ôï
åìâáäüí åíüò ôìÞìáôïò ôçò ðáñáâïëÞò áëëÜ êáé ôçò óðåßñáò ðïõ öÝñåé
ôï üíïìÜ ôïõ, åìðåñéÝ÷åé ôçí âáóéêÞ éäÝá ðïõ áêïëïõèÞèçêå, ðïëëïýò
áéþíåò áñãüôåñá, ãéá ôçí èåìåëßùóç ôçò óýã÷ñïíçò "Èåùñßáò ÌÝôñïõ".
Áò ðáñáêïëïõèÞóïõìå ëïéðüí, óå áäñÝò âÝâáéá ãñáììÝò, ôïí äñüìï ôïõ
Áñ÷éìÞäç ãéá ôïí "ôåôñáãùíéóìü ôçò ðáñáâïëÞò" äçëáäÞ ãéá ôïí
õðïëïãéóìü ôïõ åìâáäïý åíüò ôìÞìáôüò ôçò.
Ôï ÏëïêëÞñùìá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ24
ÔÏ ÏÑÉÓÌÅÍÏ ÔÏ ÏÑÉÓÌÅÍÏ
ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÏËÏÊËÇÑÙÌÁ
1.
B
b
E M F C
HG
A c
ÅÅééóóááããùùããééêêüü ììÜÜèèççììááóóôôïïõõòò ììááèèççôôÝÝòò ôôççòò Ãố ËËõõêêååßßïïõõ
Ó÷Þìá 1
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 23-45)
Óôï äéðëáíü ó÷Þìá ôï Oxy åßíáé ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí
ìå →i, →j ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá ôùí áîüíùí x´x ôùí ôåôìçìÝíùí êáé y´y
ôùí ôåôáãìÝíùí áíôßóôïé÷á.
(á) Íá õðïëïãßóåôå ôïõò áñéèìïýò ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôá êåíÜ ðïõ
óçìåéþíïíôáé ðáñáêÜôù ìå....
• Á→Â = (... , ...) , Â
→Ã = (... , ...) , Ã
→Á = (... , ....)
• Á→Â � Â
→Ã = ... , Â
→Ã � Ã
→Á = ... , Ã
→Á � Á
→Â = ...
• (Á→Â � Â
→Ã) � Ã
→Á = (... , ...) , (Â
→Ã � Ã
→Á) � Á
→Â = (... , ...) ,
• (Ã→Á � Á
→Â) � Â
→Ã = (..., ...)
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 47
ÈÝìáôá óôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìÜôùí
Ä. ÍôñßæïòM. ed. ÄéäáêôéêÞò êáé Ìåèïäïëïãßáò ôùí Ìáè/êþí
6ï Åí. Ëýêåéï ÔñéêÜëùí
Óôï Üñèñï áõôü ðáñïõóéÜæïõìå ìéá óåéñÜ èåìÜôùí ðïõ Ý÷ïõí ùò óôü÷ï
ôçí êáôáíüçóç áðü ôïõò ìáèçôÝò ôçò Ýííïéáò ôïõ äéáíýóìáôïò óôï åðßðåäï
- üðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Oxy.
Ðñþôïí, ùò ãåùìåôñéêü áíôéêåßìåíï (ðñïóáíáôïëéóìÝíï åõèýãñáììï
ôìÞìá ðïõ äçëþíåé ìåôáôüðéóç) êáé äåýôåñïí, ùò Ýíá äéáôåôáãìÝíï æåýãïò
ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. Ìå ôçí äéäéÜóôáóç áõôÞ èåþñçóç, ïé ðñÜîåéò
ìåôáîý äéáíõóìÜôùí, ùò ãåùìåôñéêþí áíôéêåéìÝíùí, áíÜãïíôáé óå ðñÜîåéò
ìåôáîý äéáôåôáãìÝíùí æåõãþí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (áëãåâñéêÞ åêäï÷Þ
ôïõ äéáíýóìáôïò).
Ôá èÝìáôá ðïõ èá äïýìå, äüèçêáí óôïõò ìáèçôÝò ìáò, ôç ó÷ïëéêÞ
÷ñïíéÜ 2003-2004, óôï 6ï Å.Ë. ÔñéêÜëùí, êÜðïéá ùò åñãáóßá ãéá ôï óðßôé,
êáé ìåñéêÜ Üëëá ùò èÝìáôá äéáãùíßóìáôïò, óôá ðëáßóéá ôçò åíüôçôáò ôïõ
åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ äýï äéáíõóìÜôùí.
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::
y
xx´
y´
Ï
j
i
Ã
Â
Á
• (Á→Â � Â
→Ã) � Ã
→Á + (Â
→Ã � Ã
→Á) � Á
→Â + (Ã
→Á � Á
→Â) � Â
→Ã = (... , ...)
• ⏐Ã→Á⏐ = ... , ⏐Ã
→Â⏐ = ... , Ã
→Ì � Á
→ = ..., üðïõ Ì åßíáé ôï ìÝóïí ôïõ
ôìÞìáôïò ÁÂ.
• óõíÃ∧Á = ... , óõíÃ
∧ÂÁ = ...
(â) Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé ÓùóôÞ Þ ËÜèïò êáèåìéÜ áðü ôéò ó÷Ýóåéò ðïõ
áêïëïõèïýí:
• Ã→Á = Ã
→Â
• Ã→Á + Ã
→Â = 2 � Ã
→Ì
• (Ã→Á � Ã
→Â) � Ã
→Ì = Ã
→Á � (Ã
→Â � Ã
→Ì)
• �⏐Á→
Á
Ã
→
⏐
Ã
�
�
⏐
Á→
Á
Â→Â⏐
� = óõíÃ∧ÁÂ
• (Á→Â + Â
→Ã + Ã
→Á)⊥Á
→Â
• ⏐Ã→Á � Ã
→Â⏐ � ⏐Ã
→Á⏐ � ⏐Ã
→Â⏐
(ã) Áí ïé ïñéæüíôéåò êáé êáôáêüñõöåò åõèåßåò ôïõ ðñïçãïýìåíïõ
ó÷Þìáôïò ðáñéóôÜíïõí ôïõò äñüìïõò ìéáò ðëÞñùò äïìçìÝíçò
ðüëçò, ôüôå íá âñåßôå ôï ìÞêïò ôçò åëÜ÷éóôçò äéáäñïìÞò ðïõ èá
äéáíýåé Ýíá ôáîß,
(i) ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á, äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá  êáé à êáé
ðñÝðåé íá åðáíÝëèåé óôï Á.
(ii) ðïõ îåêéíÜ áðü ôï à ìå óêïðü íá ðñïóåããßóåé ôï ìÝóïí ôïõ
ôìÞìáôïò ÁÂ.
ÕðïèÝóôå üôé, üëïé ïé äñüìïé ðáñïõóéÜæïõí ôçí ßäéá êõêëïöïñéáêÞ
êßíçóç.
(ä) Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé éóüðëåõñï ôñßãùíï ôïõ ïðïßïõ ïé ôñåéò
êïñõöÝò ôïõ íá óõìðßðôïõí ìå êïñõöÝò ïðïéùíäÞðïôå ôåôñáãþíùí
ôïõ ó÷Þìáôïò· êáé íá äéêáéïëïãÞóåôå ôï áðïôÝëåóìá ôùí
ðáñáôçñÞóåþí óáò ìå ìáèçìáôéêÜ åðé÷åéñÞìáôá.
ÈÝìáôá óôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìÜôùí
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ48
ÓÓ÷÷üüëëééáá
Ôï åñþôçìá (ã) áíáëýèçêå ðïëý
ðñïóåêôéêÜ óôïõò ìáèçôÝò ï
üñïò "ðüëç ðëÞñùò äïìçìÝíç":
Ôï ôáîß êéíåßôáé, õðï÷ñåùôéêÜ,
üðùò åßíáé öõóéêü, ìüíï åðß ôùí
ðåñéìÝôñùí ôùí ôåôñáãþíùí.
ÄçëáäÞ, ìüíï êáôáêüñõöá Þ
ïñéæüíôéá. ÓõæçôÞóáìå ãéá ôç
ëåãüìåíç "Ãåùìåôñßá ôùí ôáîß"
êáé ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï
ìåôñéïýíôáé ïé áðïóôÜóåéò óôç
Ãåùìåôñßá áõôÞ. Åäþ, ï
óõíôïìüôåñïò äñüìïò ìåôáîý äýï
óçìåßùí Á êáé Â äåí åßíáé ç
Åõêëåßäåéá áðüóôáóç (ÁÂ)! ¸íá
Üëëï ðáñÜäåéãìá åöáñìïãÞò ôçò
"Ãåùìåôñßáò ôùí ôáîß" åßíáé ç
äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá
ó÷çìáôßæïíôáé, ôåëéêÜ, ïé åéêüíåò
óôïõò äÝêôåò ôçò ôçëåüñáóçò.
Ôï åñþôçìá (ä) üðùò
äéáôõðþíåôáé, ÷áñáêôçñßóôçêå ùò
äýóêïëï áðü ôïõò ìáèçôÝò.
Êõñßùò ãéáôß "îåöåýãåé" áðü ôï
óõíçèéóìÝíï óôéë äéáôýðùóçò êáé
ôá åßäç ôùí èåìÜôùí ðïõ óõíÞèùò
äéáðñáãìáôåõüìáóôå óôçí ôÜîç.
Äüèçêå ãéá åñãáóßá óôï óðßôé,
áöïý ðñþôá åîçãÞèçêáí
ðñïóåêôéêÜ ïé õðïèÝóåéò êáé ôï
æçôïýìåíï. Äýï ìüíï ìáèçôÝò ôïõ
ôìÞìáôïò êéíÞèçêáí ðñïò ôç
óùóôÞ êáôåýèõíóç ðñïóåããßæïíôáò
ôçí éäÝá ôçò ëýóçò· êáé ç áðÜíôçóç
óõìðëçñþèçêå óôçí ôÜîç áðü ôïí
äéäÜóêïíôá óå åðüìåíï ìÜèçìá.
Áíáäýåôáé Ýôóé ôï åñþôçìá:
ôåëéêÜ, ðñÝðåé Þ ü÷é íá èÝôïõìå
óôïõò ìáèçôÝò ìáò êáé ôÝôïéá
åñùôÞìáôá; Ç ÜðïøÞ ìáò åßíáé
ðùò íáé. Êáé áõôü ãéáôß: Ðñþôïí,
ôÝôïéá åñùôÞìáôá áíáäåéêíýïõí
ôçí Üðïøç üôé ôá ÌáèçìáôéêÜ äåí
åßíáé ìüíï åöáñìïãÞ ôýðùí êáé
äéáäéêáóéþí áëãïñéèìéêïý ÷áñá-
êôÞñá.
Äåýôåñïí, êáëëéåñãïýí ôçí
åñåõíçôéêÞ äéÜèåóç óå êÜðïéïõò
(Ýóôù êáé ëßãïõò) ìáèçôÝò
ðáñÝ÷ïíôáò ôïõò ôéò êáôÜëëçëåò
åõêáéñßåò.
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 47-52)
ÓÞìåñá ïé Üíèñùðïé ãñÜöïõí êáé ìéëïýí óå ðïëëÝò äéáöïñåôéêÝò
ãëþóóåò, áëëÜ üëïé ÷ñçóéìïðïéïýí ôá ßäéá óýìâïëá ãéá ôïõò
áñéèìïýò êáèþò êáé ôéò ßäéåò õðïëïãéóôéêÝò ìåèüäïõò. Ôï ðáãêüóìéï
áõôü áñéèìçôéêü óýóôçìá ëÝãåôáé éíäï-áñáâéêü. Ïé óçìåñéíïß ìáèçôÝò äåí
ìðïñïýí íá åêôéìÞóïõí ðüóï äýóêïëï Þôáí óôï ðáñåëèüí ôï ðñüâëçìá ôçò
åêôÝëåóçò ôùí ôåóóÜñùí ðñÜîåùí äéüôé äéáèÝôïõí ðëÝïí ôï êáôÜëëçëï
áñéèìçôéêü óýóôçìá êáé ôïõò ãíùóôïýò áëãïñßèìïõò ãéá ôçí åêôÝëåóç ôùí
ôåóóÜñùí ðñÜîåùí. Áíáãíùñßæïõí, ßóùò, üôé ôßðïôá äåí åßíáé ðéï
êïðéáóôéêü êáé áíéáñü óôá ìáèçìáôéêÜ üóï ç åêôÝëåóç
ðïëëáðëáóéáóìþí êáé äéáéñÝóåùí ìå ðïëõøÞöéïõò áñéèìïýò,
üðùò êáé ç åîáãùãÞ ôåôñáãùíéêþí êáé êõâéêþí ñéæþí, ðñÜîåéò
ðïõ åêôüò ôïõ üôé áðáéôïýí ðïëý ÷ñüíï, åßíáé åêôåèåéìÝíåò êáé
óôïí êßíäõíï ëáèþí. Ùóôüóï, ïðïéåóäÞðïôå ðñÜîåéò äåí åßíáé
óïâáñü ðñüâëçìá üôáí äéáèÝôåé êáíåßò Ýíá êïìðéïõôåñÜêé. ÁõôÞ
ç äéáðßóôùóç ðáñáðëáíåß ôïõò ìáèçôÝò êáé õðïíïìåýåé ôçí
ðñáãìáôéêÞ êáôáíüçóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò. Ãéá íá êáôáíïÞóïõí ïé
ìáèçôÝò ôï ðñüâëçìá êáé íá ìçí õðïâáèìßóïõí ôéò åðéôõ÷ßåò ôïõ
ðáñåëèüíôïò ðñÝðåé íá ôïõò ðÜñïõìå óå Ýíá öáíôáóôéêü ôáîßäé
óôá ÷ñüíéá åêåßíá ðïõ äçìéïõñãÞèçêáí ïé ðñþôïé ðïëéôéóìïß.
Ðùò êáé ðüôå ôá íÝá óýìâïëá ôùí áñéèìþí ìðÞêáí ãéá ðñþôç öïñÜ óôçí
Åõñþðç äåí åßíáé ãíùóôü ìå âåâáéüôçôá. Ôï âéâëßï ðïõ Üóêçóå
ôçí ìåãáëýôåñç åðéññïÞ óôç äéÜäïóç ôçò ãíþóçò êáé ôçò ÷ñÞóçò ôïõ
éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò åßíáé ôï Liber abaci (Âéâëßï ôïõ Üâáêá) ðïõ
Ýêáíå ôçí åìöÜíéóÞ ôïõ óôçí Éôáëßá ôï 1202. ÓõããñáöÝáò ôïõ âéâëßïõ áõôïý
Þôáí ï Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), o ðéï éêáíüò ìáèçìáôéêüò ôïõ
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 53
Óôï äñüìï ðñïò ôïõò ëïãÜñéèìïõò
ÅõÜããåëïò Í. ÐáíáãéþôïõM.sc óôçí ÁëãåâñéêÞ Ôïðïëïãßá (Ðáí. Warwick)
M.sc óôçí ÅêðáéäåõôéêÞ Åñåõíá (Åëåýèåñï Ðáí. Âñõîåëëþí)
M.ed óôç ÄéäáêôéêÞ êáé Ìåèïäïëïãßá ôùí Ìáè/êþí (ôì. Ìáè/êþí Ðáí.Áèçíþí
Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï Âáñâáêåßïõ Ó÷ïëÞò Áèçíþí
1.1 ÐñÜîåéò êáé
ÁñéèìçôéêÜ
ÓõóôÞìáôá
Ìåóáßùíá. ÌÝ÷ñé ôüôå äåí åß÷å êáôáíïçèåß áêüìç üôé ç ëïãéóôéêÞ ðïõ
áðïññÝåé áðü ôï éíäï-áñáâéêü óýóôçìá åßíáé êáôÜ ðïëý áíþôåñç áðü áõôÞ
ðïõ óôçñßæåôáé óôï ñùìáúêü óýóôçìá. Óôçí áñ÷Þ ôïõ âéâëßïõ õðÜñ÷åé ï
ðáñáêÜôù óõãêñéôéêüò ðßíáêáò áñéèìþí ðïõ åßíáé ãñáììÝíïé êáé óôá äýï
óõóôÞìáôá þóôå íá öáíåß ç áíùôåñüôçôá ôïõ éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò
óôï óõìâïëéóìü. Óôç óõíÝ÷åéá õðÜñ÷ïõí ðáñáäåßãìáôá åêôÝëåóçò ôùí
ôåóóÜñùí ðñÜîåùí ìå áñéèìïýò áñêåôÜ ìåãÜëïõò ìå ôá ïðïßá
áðïäåéêíýåôáé ç õðåñï÷Þ ôïõ éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò
Ç áðëïðïßçóç ðïõ åðÝöåñå ôï éíäï-áñáâéêü óýóôçìá óôïí ëïãéóìü
åðáñêïýóå óôéò óõíÞèåéò êáèçìåñéíÝò ðåñéóôÜóåéò, ü÷é üìùò êáé ãéá ôéò
áíÜãêåò ôùí áóôñïíïìéêþí õðïëïãéóìþí. ÁíÜãêåò ïé ïðïßåò ìå ôçí ðÜñïäï
ôïõ ÷ñüíïõ áõîÜíïíôáí êáèþò ïé áðáéôÞóåéò áðü ôçí áóôñïíïìßá ãéá üëï
êáé ðåñéóóüôåñï áêñéâÝóôåñåò ðñïâëÝøåéò Ýêáíáí ôïõò õðïëïãéóìïýò
áêüìç ðéï äýóêïëïõò êáé ÷ñïíïâüñïõò. ¸ðñåðå íá âñåèåß ìÝèïäïò ðïõ èá
óõíôüìåõå êáé èá áðëïðïéïýóå ôéò ðéï ðïëýðëïêåò ðñÜîåéò, ôïõëÜ÷éóôïí
áõôÝò ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ôçò äéáßñåóçò ìå ðïëõøÞöéïõò áñéèìïýò.
Ç äõóêïëßá ðïõ óõíáíôïýóå üëïò ï êüóìïò óôïí ðïëëáðëáóéáóìü
ìåãÜëùí áñéèìþí ïäÞãçóå áñ÷éêÜ óôçí åðéíüçóç ìç÷áíéêþí ôñüðùí ãéá
ôçí åêôÝëåóÞ ôïõ. Ç ðéï äçìïöéëÞò áðü ôéò ìåèüäïõò ðïõ åðéíïÞèçêáí ãéá
ôçí åêôÝëåóç ìåãÜëùí ðïëëáðëáóéáóìþí åßíáé ç ìÝèïäïò ôïõ äéêôõùôïý
ðïõ áíáðôý÷èçêå áñ÷éêÜ óôçí Éíäßá êáé ðÝñáóå óôçí Åõñþðç áðü ôïõò
¢ñáâåò. Åðßóçò, éäéáßôåñá äéÜóçìç óôçí åðï÷Þ ôçò Þôáí êáé ç åðéíüçóç ôïõ
Napier (óôïí ïðïßï èá áíáöåñèïýìå åêôåíÝóôåñá ðáñáêÜôù) ãíùóôÞ óáí
ñÜâäïé Þ êüêáëá ôïõ Napier. Ìå ôïõò ìç÷áíéêïýò áõôïýò ôñüðïõò
õðïëïãéóìïý, ç ìüíç ðñÜîç ðïõ åß÷å íá êÜíåé ôåëéêÜ ï õðïëïãéóôÞò Þôáí ç
ðñüóèåóç.
Ç ìÝèïäïò ôïõ äéêôõùôïý ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷Þìá (1) ìå ôïí
ðïëëáðëáóéáóìü ôïõ 9876 åðß ôï 6789 êáé äßíåé 67.048.164.
Óôï äñüìï ðñïò ôïõò ëïãÜñéèìïõò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ54
ÌÉ
1001
ÌÌÌ××
3020
ÌC×É
1111
MMXXIII
2023
MMMMMDC
5600
ÌCCXXXIII
1234
MMMXXII
3022MMM 3000
MMMMCCCXXI
4321
Ó÷Þìá 1
Ç åðéíüçóç ôïõ Napier óôçñßæåôáé óôçí ßäéá áñ÷Þ ìå ôï éíäéêü äéêôõùôü,
ìå ôç äéáöïñÜ üôé ôþñá ç äéáäéêáóßá ÷ñåéÜæåôáé ïñèïãþíéåò ëùñßäåò áðü
êüêáëï, ìÝôáëëï, îýëï Þ ÷ïíôñü ÷áñôß. Ãéá êáèÝíá áðü ôá äÝêá øçößá
ðñÝðåé íá õðÜñ÷åé Ýíá óýíïëï ëùñßäùí, üðùò áõôÞ ðïõ öáßíåôáé áñéóôåñÜ
óôï ó÷Þìá (2) ãéá ôï øçößï 6, ðïõ ðåñéÝ÷åé ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ øçößïõ. Ãéá
íá åîçãÞóïõìå ôçí ìÝèïäï èá ðÜñïõìå ôï ðáñÜäåéãìá ðïõ äéÜëåîå êáé ï
Napier óôï Ýñãï ôïõ Rabdologiae, ôïí ðïëëáðëáóéáóìü ôùí 1615 êáé 365.
Ôïðïèåôïýìå ôéò ëùñßäåò ôùí øçößùí 1, 6, 1, 5 üðùò öáßíåôáé äåîéÜ óôï
ó÷Þìá (2). Ôá áðïôåëÝóìáôá ôùí ðïëëáðëáóéáóìþí ôïõ 1615 ìå ôï 5, ôï 6
êáé ôï 3 ôïõ 365 ôá äéáâÜæïõìå ùò 8075, 9690 êáé 4845, áöïý êÜíïõìå
ðñþôá ìåñéêÝò äéáãþíéåò ðñïóèÝóåéò äýï øçößùí. Ôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá
âñßóêïõìå ìå ìéá ðñüóèåóç, üðùò åîçãåßôáé óôï ó÷Þìá.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 55
Óôï äñüìï ðñïò ôïõò ëïãÜñéèìïõò
Ó÷Þìá 2
Óôï äñüìï ðñïò ôïõò ëïãÜñéèìïõò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ56
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 53-62)
ÁÁðü ôç ìéá ç ôñáãéêÞ áðïôõ÷ßá ôùí ìáèçôþí ìáò óôç Ãåùìåôñßá êáôÜ
ôéò ÐáíåëëáäéêÝò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò êÜèå ÷ñüíï, êáé áðü ôçí Üëëç
ç áíáêïßíùóç "íÝùí" Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí, ôüóï áðü ôï Ð.É.
üóï êáé áðü ôçí Å.Ì.Å., óôá ïðïßá áíáðôýóóïíôáé äéÜöïñåò èåùñßåò ãéá ôç
äéäáóêáëßá êáé ôï ñüëï ôçò Ãåùìåôñßáò, ïäçãïýí áíáðüöåõêôá ó' Ýíá
Ýíôïíï óêåðôéêéóìü êáé ðñïâëçìáôßæïõí êáèÝíá ðïõ åìðëÝêåôáé ìå ôïí Ýíá
Þ ôïí Üëëï ôñüðï óôá ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò Åêðáßäåõóçò.
Ç Ãåùìåôñßá óôç ÷þñá ôïõ Åõêëåßäç êáé ç äéäáóêáëßá ôçò ôá ôåëåõôáßá
25 ÷ñüíéá, äåí èÜôáí õðåñâïëÞ íá ðåé êÜðïéïò üôé Ý÷åé õðïóôåß ìéá âÜíáõóç
ìåôá÷åßñéóç êáé ôï ÷åéñüôåñï ìßá áðáîßùóç, öåõ, óôï üíïìá ôçò
áíáâÜèìéóçò ôïõ ñüëïõ ôçò ùò ðáéäåõôéêïý ãíùóôéêïý áíôéêåéìÝíïõ. ÊÜôé
ôÝôïéï éó÷õñßæïíôáé ðùò åðéäéþêïõí êáé ïé óýã÷ñïíïé "áíáâáèìéóôÝò" êáé
óõíôÜêôåò ôùí "íÝùí" Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí. Ìðïñïýìå üìùò íá
ðåñéìÝíïõìå Üñáãå ôçí åðéôõ÷ßá ôùí óôü÷ùí ðïõ èÝôïõí êáé ôçí
ðñáãìÜôùóç ôùí (áóöáëþò áãáèþí) ðñïèÝóåùí ôïõò; Åäþ äåí ÷ñåéÜæåôáé
êáíåßò ïýôå ìáíôéêÝò, ïýôå ðñïöçôéêÝò éêáíüôçôåò ãéá íá áðáíôÞóåé. Åßíáé
âÝâáéï üôé ôá ðñÜãìáôá èá áêïëïõèÞóïõí ãéá Üëëç ìéá öïñÜ ôç
"öõóéïëïãéêÞ" ôïõò ðïñåßá· ìå ôç ãíùóôÞ êáé ðÜëé êáôÜëçîç.... Ãéáôß; Ìá,
ãéáôß ïýôå óôïí ðñïâëçìáôéóìü (åêôüò áðü ìéá áíáöïñÜ óôá åðßðåäá Van
Hiele), ïýôå óôéò ôåëéêÝò ðñïôÜóåéò ìðïñåß íá åíôïðéóôïýí íÝá óôïé÷åßá -
ðñïúüíôá óõóôçìáôéêÞò åêðáéäåõôéêÞò Ýñåõíáò, üðùò êáíåßò èá ðåñßìåíå
ìåôÜ áðü ôüóùí åôþí ðáëéíùäßåò. Êáé ôï ÷åéñüôåñï, êÜðïéåò áðü ôéò
áöåôçñéáêÝò óêÝøåéò ðïõ äéáôõðþíïíôáé öáßíåôáé íá åßíáé óå áêñéâþò
áíôßèåôç êáôåýèõíóç áðü áðïôåëÝóìáôá óïâáñþí åñåõíþí êáé áðüøåéò
Ýãêõñùí êáé ìå äéåèíÞ åìâÝëåéá åðéóôçìüíùí - åñåõíçôþí. Êáé âÝâáéá
"Ýíáò áðü ôïõò óðïõäáéüôåñïõò óôü÷ïõò ìéáò åêðáéäåõôéêÞò äéáäéêáóßáò
åßíáé ç áíÜðôõîç õøçëÞò áöáéñåôéêÞò éêáíüôçôáò". Ðþò üìùò ìðïñåß áõôÞ
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 63
Áðü ôçí åðßêëçóç ôçò èåùñßáò Van Hiele óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò
Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
ç éêáíüôçôá íá êáëëéåñãçèåß;
... "ÕøçëÞ áöáéñåôéêÞ óêÝøç åðéôõã÷Üíåôáé ìüíïí üôáí ôá áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò
åßíáé éäåáôÜ. Êáé áõôü ìðïñåß íá óõìâåß ìüíï üôáí ïé óõëëïãéóìïß ãßíïíôáé ìå
âÜóç êÜðïéï áîéùìáôéêü óýóôçìá. Ôï ìüíï ìÜèçìá óôç äåõôåñïâÜèìéá
Åêðáßäåõóç ðïõ èåìåëéþíåôáé êáôÜ ôñüðï Üìåóï, ðÜíù óå Ýíá áîéùìáôéêü
óýóôçìá, åßíáé ç ãåùìåôñßá". ÁõôÜ ëÝíå ïé óõíôÜêôåò ôùí "íÝùí"
Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí !!!
Ùóôüóï ï Von Glaserfelt éó÷õñßæåôáé üôé ç áöáßñåóç áñ÷ßæåé ìå ôçí
ðñÜîç. Ãéá íá "áöáéñÝóåé" ïôéäÞðïôå Ýíá õðïêåßìåíï, èá ðñÝðåé ðñþôá íá
Ý÷åé ôçí åõêáéñßá íá äñÜóåé. ÁëëÜ ïé åõêáéñßåò äñÜóçò áðáéôïýí
áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü êáé êáôáóôÜóåéò êáôÜ ôéò ïðïßåò èá åêäçëùèåß ç
äñÜóç ðÜíù ó' áõôü ôï õëéêü.
Åðßóçò, ó÷åôéêÜ ìå ôçí áöáßñåóç ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé
ìéá áöáéñåôéêÞ äéáäéêáóßá óõìâáßíåé üôáí ôï õðïêåßìåíï åóôéÜæåé ôçí
ðñïóï÷Þ ôïõ óå óõãêåêñéìÝíåò éäéüôçôåò åíüò äïóìÝíïõ áíôéêåéìÝíïõ êáé
ìåôÜ èåùñåß áõôÝò ôéò éäéüôçôåò áðïìïíùìÝíåò áðü ôï áñ÷éêü áíôéêåßìåíï.
Ç ôõðéêÞ áöáßñåóç üðùò ðáñáôçñïýí ïé Harel êáé Tall äåí åßíáé åýêïëç
õðüèåóç ãéá ôïõò ìáèçôÝò. ¼óï ãéá ôï ðùò ç áöáéñåôéêÞ éêáíüôçôá ìðïñåß
íá êáëëéåñãçèåß, ïé åí ëüãù åñåõíçôÝò äåí åðéëÝãïõí ïýôå "éäåáôÜ
áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò", ïýôå "óõëëïãéóìïýò ðïõ ãßíïíôáé ìå âÜóç êÜðïéï
áîéùìáôéêü óýóôçìá". Áðåíáíôßáò ìéëïýí ãéá óõãêåêñéìÝíï ðáñÜäåéãìá
ðïõ ôï ïíïìÜæïõí generic êáé ôï èåùñïýí ùò áíôéðñüóùðï ôçò áöçñçìÝíçò
éäÝáò, Þ üôé óõìðõêíþóåé ôçí ïõóßá ìéáò (ãåíéêÞò) áðüäåéîçò. ¼óï ãéá ôïí
Von Glaserfelt üðùò áíáöÝñèçêå íùñßôåñá, êáé áõôüò êÜíåé ëüãï ãéá
óõãêåêñéìÝíï áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü (üðùò ìðïñïýìå íá èåùñÞóïõìå üôé
åßíáé ôá ó÷Þìáôá óôç Ãåùìåôñßá ãéá ôïí ìáèçôÞ) êáé ü÷é ãéá "éäåáôÜ
áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò".
Ç áíôßèåóç ôùí äýï èåùñÞóåùí åßíáé öáíåñÞ. Êáé üôáí êÜðïéïò
åêöñÜæåé (ðñïóùðéêÝò êáé ü÷é ùò áðïôÝëåóìá Ýñåõíáò) áðüøåéò ôüóï
äéáöïñåôéêÝò áð' áõôÝò ôùí Harel, Tall êáé Glaserfelt åßíáé õðï÷ñåùìÝíïò
ôïõëÜ÷éóôïí íá îáíáóêåöôåß ôá üóá (ìÜëëïí) áâáóÜíéóôá éó÷õñßæåôáé.
ÌåôÜ áðü ôéò ðáñáðÜíù åðéóçìÜíóåéò, áò äïýìå åí óõíôïìßá ôé åßíáé êáé
ôé ëÝåé ç ðåñßöçìç èåùñßá Van Hiele. Ç èåùñßá ëïéðüí áõôÞ îåêßíçóå ùò
äéäáêôïñéêÞ äéáôñéâÞ ôçò Dina van Hiele - Geldof êáé ôïõ óõæýãïõ ôçò Pierre
Van Hiele óôï Ðáí/ìéï ôçò ÏõôñÝ÷ôçò óôçí Ïëëáíäßá ôï 1957. Ç Dina
äõóôõ÷þò ðÝèáíå îáöíéêÜ, óýíôïìá áö' üôïõ åß÷å ïëïêëçñþóåé ôï
äéäáêôïñéêü ôçò êáé ï óýæõãïò ôçò Pierre Þôáí áõôüò ðïõ áíÝðôõîå êáé
äéÝäùóå ðåñáéôÝñù ôçí èåùñßá ôïõò óå åðüìåíåò åêäüóåéò êáé äçìïóéåýóåéò.
Áðü ôçí åðßêëçóç ôçò èåùñßáò Van Hiele óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ64
ÁÁííááööïïññÜÜ óóôôçç
èèååùùññßßáá VVAANN HHIIEELLEE
Åíþ ç åñãáóßá ôïõ Pierre êõñßùò ðñïóðáèåß íá åîåôÜóåé ãéáôß ïé ìáèçôÝò
áíôéìåôùðßæïõí óïâáñÜ ðñïâëÞìáôá óôç Ãåùìåôñßá (êáé ì' áõôÞ ôçí Ýííïéá
åßíáé åðåîçãçìáôéêÞ êáé ðåñéãñáöéêÞ), ôï äéäáêôïñéêü ôçò Dina âáóßæåôáé óå
ðåéñáìáôéêÞ äéäáóêáëßá (ôçò Ãåùìåôñßáò) êáé ì' áõôÞ ôçí Ýííïéá ç åñãáóßá
ôçò åßíáé ðåñéóóüôåñï ñõèìéóôéêÞ - êáíïíéóôéêÞ üóïí áöïñÜ ôç äéÜôáîç ôïõ
ðåñéå÷ïìÝíïõ (ôçò ýëçò) ôçò Ãåùìåôñßáò áëëÜ êáé ôùí ìáèçóéáêþí
äñáóôçñéïôÞôùí ôùí ìáèçôþí. Ôï ðåñéóóüôåñï ðñüäçëï ÷áñáêôçñéóôéêü ôçò
èåùñßáò ôùí Van Hiele åßíáé ç äéÜêñéóç ôùí ðÝíôå îå÷ùñéóôþí åðéðÝäùí
óêÝøçò êáôÜ ôçí äéáäéêáóßá êáôáíüçóçò ôçò Ãåùìåôñßáò áðü ôïõò ìáèçôÝò.
Ï Usiskin óõíïøßæïíôáò, õðïãñáììßæåé ôÝóóåñá óçìáíôéêÜ
÷áñáêôçñéóôéêÜ ôçò èåùñßáò ôùí Van Hiele:
• Ç óåéñÜ äçëáäÞ ìå ôçí ïðïßá ïé ìáèçôÝò êáôáêôïýí ôá åðßðåäá óêÝøçò
åßíáé áíáëëïßùôç êáé ßäéá ãéá üëïõò. Ìå Üëëá ëüãéá, Ýíáò ìáèçôÞò äåí
ìðïñåß íá âñåèåß óôï åðßðåäï (n) áí äåí Ý÷åé ðåñÜóåé áðü ôï åðßðåäï (n-1).
• Óå êÜèå åðßðåäï óêÝøçò åêåßíï ðïõ óôï ðñïçãïýìåíï åðßðåäï Þôáí
åîùãåíÝò óôï ðáñüí åðßðåäï ãßíåôáé åíãåíÝò.
• ÊÜèå åðßðåäï óêÝøçò Ý÷åé ôá äéêÜ ôïõ ãëùóóéêÜ óýìâïëá êáé ôï äéêü
ôïõ äßêôõï ó÷Ýóåùí ðïõ óõó÷åôßæïõí áõôÜ ôá óýìâïëá.
• Äýï õðïêåßìåíá ðïõ óõæçôïýí áðü äéáöïñåôéêÜ åðßðåäá óêÝøçò äåí
ìðïñïýí íá êáôáëÜâïõí ôï Ýíá ôï Üëëï, äåí ìðïñïýí íá åðéêïéíùíÞóïõí.
Ï âáóéêüò ëüãïò áðïôõ÷ßáò ôùí ðáñáäïóéáêþí Áíáëõôéêþí
ÐñïãñáììÜôùí ôçò Ãåùìåôñßáò êáôÜ ôïõò Van Hiele Ýãêåéôáé óôï ãåãïíüò
üôé áõôÜ äéáðñáãìáôåýïíôáí ôç Ãåùìåôñßá óå åðßðåäï áíþôåñï áð' áõôü
ôùí ìáèçôþí· ìå Üëëá ëüãéá áõôïß äåí ìðïñïýóáí íá êáôáëÜâïõí ôïí
êáèçãçôÞ êáé áõôüò äåí ìðïñïýóå íá êáôáëÜâåé ãéáôß ïé ìáèçôÝò ôïõ äåí
ôïí êáôáëáâáßíïõí.
¸÷ïõìå Üñáãå ðÜåé Ýíá âÞìá ðéï ðÝñá áðü ôüôå ðïõ Ýãéíå áõôÞ ç
äéáðßóôùóç, Þ âñéóêüìáóôå áðëÜ óôç öÜóç ôçò áíáãíþñéóçò ôïõ
ðñïâëÞìáôïò; ¸óôù êé áí åßíáé ðéêñÞ ç áëÞèåéá, èá ðñÝðåé íá ðáñáäå÷ôïýìå
üôé ìå âÜóç ôá ãñáöüìåíá ôùí óõíôáêôþí ôùí "íÝùí" Áíáëõôéêþí
ÐñïãñáììÜôùí, ôüóï ôçò Å.Ì.Å. üóï êáé ôïõ Ð.É. âñéóêüìáóôå ßóùò êáé ðéï
ðßóù áðü ôçí áíáãíþñéóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò. Êé áõôü ãéáôß ïé ðñïôÜóåéò "Ýíèåí
êáêåßèåí" äåß÷íïõí üôé áí êáé öáßíåôáé íá áíáãíùñßæåôáé óôá ëüãéá üôé
õðÜñ÷åé ðñüâëçìá, óôçí ðñÜîç ôï ðñüâëçìá öáßíåôáé íá ìçí êáôáíïåßôáé.
Ãéáôß åíþ ôá äåäïìÝíá äåß÷íïõí üôé ïé ìáèçôÝò ìáò óôç ´ ëõêåßïõ
áíôéìåôùðßæïõí ðïëý óïâáñÜ ðñïâëÞìáôá óôïí ðáñáãùãéêü óõëëïãéóìü, ïé
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 65
Áðü ôçí åðßêëçóç ôçò èåùñßáò Van Hiele óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò
á) Ôç óôáèåñÞ äéÜôáîç:
â) Ôç äéáäï÷éêüôçôá -
óõíÝ÷åéá:
ã) Ôç Äéáêñéôüôçôá:
ä) Ôç äéá÷ùñçóéìüôçôá:
óõíôÜêôåò ôùí Áí. Ðñïã/ôùí ðñïôåßíïõí íá "êáôÝâåé" ç äéäáóêáëßá ôïõ óôç ô
ãõìíáóßïõ!!! Ç ëïãéêÞ áõôÞ èõìßæåé ôï ëáúêü ñçôü ðïõ ëÝåé üôé "ôï êáêü èÝëåé
áíôßêáêï"..... Ôï áí ìéá ôÝôïéá ëïãéêÞ ìðïñåß íá äéêáéùèåß óôï ÷þñï ôçò
Åêðáßäåõóçò, ãñÞãïñá èá ôï äåßîåé ç ðñÜîç.
Áò åðéóôñÝøïõìå üìùò ôþñá óôç èåùñßá ôùí Van Hieles ãéá íá äïýìå
ðïéá åßíáé ôá ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôùí åðéðÝäùí É, ÉÉ, ÉÉÉ êáé IV óôá ïðïßá
áíáöÝñïíôáé. Ôï åðßðåäï V äåí èá ôï ó÷ïëéÜóïõìå, ìéáò êáé öáßíåôáé íá
åßíáé éäéáßôåñá áðáéôçôéêü ãéá ôï ìÝóï ìáèçôÞ (èá ëÝãáìå üìùò üôé ç
äéäáóêáëßá ôçò Ãåùìåôñßáò ó' áõôü ôï åðßðåäï, åßíáé éäéáßôåñá áðáéôçôéêÞ
êáé ãéá ôïí äéäÜóêïíôá·) ðÜíôùò ü÷é êáé áðñüóéôç ôüóï ãéá ôïõò
õðïøéáóìÝíïõò ìáèçôÝò üóï êáé ãéá ôïõò åíçìåñùìÝíïõò äéäÜóêïíôåò.
¸ôóé Ý÷ïõìå:
Áðü ôçí åðßêëçóç ôçò èåùñßáò Van Hiele óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ66
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 63-84)
Ç Ýííïéá ôïõ åìâáäïý ùò "ìÝôñï" åðéöáíåéþí ßóùò åßíáé ìßá áðü ôéò
ðñþôåò Ýííïéåò ðïõ åíþ ðñïÝêõøå êÜôù áðü ðñáêôéêÝò áíÜãêåò, åß÷å
ôÝôïéï âÜèïò ðïõ Ýìåëëå íá ðáßîåé, ðáñÜëëçëá ìå ôçí ðñáêôéêÞ ôçò ÷ñÞóç,
ñüëï êéíçôÞñéïõ ìï÷ëïý ãéá ôçí èåùñçôéêÞ áíÜðôõîç ôùí Ìáèçìáôéêþí. Êé
áõôÞ ç ðïñåßá êñÜôçóå 25 ðåñßðïõ áéþíåò. ÈåùñçôéêÜ ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé
ç Ýííïéá ôïõ åìâáäïý ïëïêëçñþèçêå êáôÜ ôïí 20ï áéþíá ìÝóá óôá ðëáßóéá
ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò ÌÝôñïõ, ìéáò èåùñßáò óôç äçìéïõñãßá ôçò ïðïßáò
óçìáíôéêÞ êáé ðáãêüóìéá áíáãíùñéóìÝíç Þôáí ç óõìâïëÞ ôïõ ìåãáëýôåñïõ
íåïÝëëçíá êáé åíüò áðü ôïõò ìåãáëýôåñïõò ìáèçìáôéêïýò ôïõ 20ïõ áéþíá,
Êùíóôáíôßíïõ ÊáñáèåïäùñÞ.
¼ðùò óõìâáßíåé óõíÞèùò, áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ìéá èåùñßá ïëïêëçñùèåß, ôá
ðñïâëÞìáôá ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå áõôÞí üëïé ðñïóðáèïýí íá ôá áíôéìåôùðßóïõí ùò
åöáñìïãÝò ôçò, óôçñéæüìåíïé óôá ðéï ÷åéñïðéáóôÜ áðïôåëÝóìáôá ôçò, îå÷íþíôáò
ôéò áñ÷Ýò êáé ôéò ñßæåò ôçò èåùñßáò. Ôï ßäéï öáßíåôáé ðùò óõìâáßíåé óõíÞèùò êáé
ìå ôïõò óõããñáöåßò ôùí óýã÷ñïíùí åã÷åéñéäßùí Åõêëåßäåéáò Ãåùìåôñßáò, ïé
ïðïßïé ó÷åäüí áìÝóùò ðåñíÜíå óôï ãíùóôü ôõðïëüãéï ôùí åìâáäþí.
Ç ðñïóÝããéóç áõôÞ ôïõ åìâáäïý ôüóï áðü êáèáñÜ óôñïõêôïõñáëéóôéêÞ
Üðïøç üóï êáé áðü ôçí Üðïøç ôçò äéäáêôéêÞò êáé ðáéäáãùãéêÞò, èá ðñÝðåé íá
ðáñáäå÷ôïýìå üôé áðïôåëåß ìéá áíôéäéáëåêôéêÞ áíôéóôñïöÞ (üðùò èá Ýëåãå
êáé ï Freudenthal). Êé áõôü ãéáôß (üðùò êáé óôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç
ðáñáôçñïýìå), ç óõíèåôéêÞ èåùñçôéêÞ åðåîåñãáóßá êáé ðñïóÝããéóç ôçò
Ýííïéáò ôïõ åìâáäïý, ðñïçãÞèçêå ôçò "ìåôñéêÞò" - áíáëõôéêÞò ðñïóÝããéóçò
êáé ðÜíù óå áõôÝò ôéò éäÝåò (ð.÷. ðñïóèåôéêüôçôá ôïõ åìâáäïý) óôçñß÷èçêå
êáé ç óýã÷ñïíç Èåùñßá ÌÝôñïõ. Ùóôüóï ôï èÝìá äåí ôßèåôáé ãéá ôçí
áðïêáôÜóôáóç ôçò éóôïñéêÞò óõíÝ÷åéáò êáé äéáäï÷Þò. Ðéóôåýïõìå ðùò
áêïëïõèþíôáò ôá âÞìáôá ôïõ Åõêëåßäç óôï ðñþôï âéâëßï ôïõ (ðñïôÜóåéò 35-
45) üðïõ ìå åîáéñåôéêÜ åìðíåõóìÝíï áëëÜ êáé ôáõôü÷ñïíá êáôáíïçôü áðü
êÜèå ìáèçôÞ ôñüðï óôÞíåé óõíèåôéêÜ ìéá Èåùñßá Åìâáäïý "óôï Üøå-óâÞóå",
ç ðïñåßá åßíáé ðåñéóóüôåñï öõóéïëïãéêÞ êáé ìÝóá óå Ýíá ðáñÜäåéóï
åõêáéñåéþí ãéá ðñáãìáôéêÞ ìáèçìáôéêÞ ðáéäåßá. Áò ìçí îå÷íÜìå üôé áõôÞ ç
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 85
Ôï åìâáäüí - Ç ðñïóÝããéóç ôïõ Åõêëåßäç óôï É âéâëßï ôùí Óôïé÷åßùí
ÁããåëéêÞ ÓåñáößäïõÌáèÞôñéá ôçò ´ ôÜîçò
Åí. Ðåéñáìáôéêü Ëýê. Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ
ÅÅééóóááããùùããééêêüü
óóççììååßßùùììáá
Â.Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
ðïñåßá êáôáëÞãåé óôçí õøçëüôåñç êïñõöÞ ôùí óôïé÷åéùäþí Ìáèçìáôéêþí, ôï
Ðõèáãüñåéï èåþñçìá (ðñüôáóç É .47).
Ìå áõôÞí ôçí ðåðïßèçóç êáé ôçí åðçóôçìïëïãéêÞ èåþñçóç, ôçí ðåñáóìÝíç
÷ñïíéÜ (2003-2004), äéäÜ÷èçêáí ïé ìáèçôÝò äýï ôìçìÜôùí ôçò ´ ôÜîçò óôï
Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï ôçò Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò óôïí ÐåéñáéÜ ôá åìâáäÜ.
Áñ÷éêÜ, ôïõò åß÷å äïèåß ùò åñãáóßá, íá áíáæçôÞóïõí êáé íá ìåëåôÞóïõí
ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ áíáöÝñèçêáí ëßãï ðñéí áðü ôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç. Ìå
ôçí ðßåóç üìùò ðïõ íéþèïõí ïé ìáèçôÝò áðü ôéò áðáéôÞóåéò ôùí Ðáíåëëáäéêþí
åîåôÜóåùí Þôáí öõóéêü íá áíôáðïêñéèåß Ýíá ìÝñïò ìüíï ôùí ìáèçôþí áðü
êÜèå ôìÞìá . Áõôü äåí åìðüäéóå âÝâáéá êáé ôïõò õðüëïéðïõò íá ìðïñÝóïõí
íá ðáñáêïëïõèÞóïõí ÷ùñßò ðñüâëçìá ôçí ðáñïõóßáóç ìéáò-ìéáò ôùí
ðñïôÜóåùí ìå ôéò áðïäåßîåéò ôïõò óôçí ôÜîç .
ÁõôÞ ç ðåñßôå÷íç ïìáëÞ ñïÞ ôùí ðñïôÜóåùí ìå ôçí ðáñáãùãéêÞ äéáäï÷Þ,
Ýêáíå éäéáßôåñç åíôýðùóç óå üëïõò ôïõò ìáèçôÝò Ìå ôç óõììåôï÷Þ ôïõò óôéò
áðïäåßîåéò ôùí ðñïôÜóåùí, Ýííïéùóáí íá ãßíïíôáé êáé ïé ßäéïé êïéíùíïß óå áõôÞí
ôçí êïñõöáßá åêäÞëùóç ôçò ìáèçìáôéêÞò äñáóôçñéüôçôáò, óôï óôÞóéìï äçëáäÞ
ìéáò èåùñßáò. Ìéá ôÝôïéá áßóèçóç äýóêïëá ìðïñåß êáíåßò íá ôçí ðñïêáëÝóåé
óôïõò ìáèçôÝò áêïëïõèþíôáò âÞìá-âÞìá ôá óõíÞèçò öëýáñá êáé "÷ùñßò øõ÷Þ"
åã÷åéñßäéá ôçò Ãåùìåôñßáò (êáé ü÷é ìüíï), ôá ïðïßá ãåíéêÜ äåí åßíáé ðáñÜ
ðñïúüíôá óõìâéâáóìþí ðïëëþí áíôéëÞøåùí êáé ãéá áõôü Üíåõñá êáé Üøõ÷á .
Áíôßèåôá ôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç (Ýóôù êé áðü ìåôÜöñáóç), áðïðíÝïõí Ýíá
Üñùìá äçìéïõñãßáò, üìïéï ìå áõôü ôïõ æåóôïý öñåóêïîåöïõñíéóìÝíïõ
óôáñÝíéïõ øùìéïý. Êé áò Ý÷ïõí âãåß áðü ôï êáìßíé ôçò ëïãéêÞò åäþ êáé 23 áéþíåò.
Éäéáßôåñç áßóèçóç Ýêáíå óôïõò ìáèçôÝò ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôçò
èåùñßáò "ìáò" óôçí áðüäåéîç ôïõ Ðõèáãïñåßïõ èåùñÞìáôïò (óôï ïðïßï
åðáíÞëèáìå åð' åõêáéñßá). ÌÜëéóôá óôï åðüìåíï ìÜèçìá ïé ìáèçôÝò
áíôáðïêñßèçêáí óôï óýíïëï ôïõò óôçí åñãáóßá ðïõ ôïõò æçôÞèçêå ãéá åýñåóç
(áðü ôç âéâëéïãñáößá êáé ôï äéáäßêôõï) Üëëùí áðïäåßîåùí ôïõ Ðõèáãïñåßïõ
ÈåùñÞìáôïò . ÁñêåôÝò áðü áõôÝò óõæçôÞóáìå óôçí ôÜîç .
ÌÝóá áðü áõôÞ ôçí åìðåéñßá ðñïÝêõøå ç åñãáóßá ðïõ áêïëïõèåß, áðü ìßá
íåáñÞ ëÜôñéäá ôçò Ãåùìåôñßáò . Áñ÷éêÜ ç ÁããåëéêÞ áíÝëáâå íá ðáñïõóéÜóåé
üðùò åêåßíç Þèåëå (êáé äéÜëåîå ôá ëßãá ëüãéá), ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ
áíáöÝñïíôáé óôá åìâáäÜ óôï âéâëßï É ôïõ Åõêëåßäç, ìå óôü÷ï íá ôéò
äéáíÞìïõìå óå üëïõò ôïõò ìáèçôÝò . Ï ÷ñüíïò ôçò üìùò äåí åðÝôñåøå íá
ðñáãìáôïðïéÞóåé áõôÞ ôç óêÝøç Ýãêáéñá . ´Åôóé ìåôÜ ôç äïêéìáóßá ôùí
åîåôÜóåùí ç ÁããåëéêÞ ïëïêëÞñùóå ôçí ðñïóðÜèåéá ôçò êáé ìÜëéóôá
åìðëïõôéóìÝíç ìå ìéá ðñïóåêôéêÜ åðéëåãìÝíç (áðü ôçí ßäéá) óõëëïãÞ
ðñïâëçìÜôùí áðü áõôÜ ðïõ åß÷áìå ëýóåé óôçí ôÜîç (êáé ü÷é ìüíï), ôá ïðïßá
åðéëýïíôáé üëá ÷ùñßò ôýðïõò åìâáäþí ðáñÜ ìïíÜ÷á ìå ôç (óõíèåôéêÞ) èåùñßá
ôùí åìâáäþí ðïõ áêïëïõèåß áìÝóùò. Ãéá ôçí ðñïóðÜèåéá ôçò êáé áðü ôç èÝóç
áõôÞí åõ÷áñéóôïýìå ôçí ÁããåëéêÞ.
Ôï åìâáäüí - Ç ðñïóÝããéóç ôïõ Åõêëåßäç óôï É âéâëßï ôùí Óôïé÷åßùí
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ86
Ôá ðáñáëëçëüãñáììá ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá âÜóç êáé
ðåñéÝ÷ïíôáé ìåôáîý ôùí ßäéùí ðáñáëëÞëùí, Ý÷ïõí
ðåñéå÷üìåíá (åìâáäÜ) ßóá.
ÁðüäåéîçÁðüäåéîç
ÁÄ = Âà = ÅÆ. ¢ñá ÁÄ = ÅÆ. Óõíåðþò ÁÅ = ÄÆ
¼ìùò áöïý Á = Äà êáé ãùíßá ÅÁ = ãùíßá ÅÄà ôüôå
ÁÅ = ÄÆÃ. Ïðüôå (ÁÅÂ) = (ÄÆÃ). ¢ñá (ÁÄÇÂ) =
(ÅÆÃÇ) êáé ôåëéêÜ (ÁÂÃÄ) = (ÅÂÃÆ)
Ðáñáëëçëüãñáììá ðïõ Ý÷ïõí ßóåò âÜóåéò êáé ðåñéÝ÷ïíôáé
ìåôáîý ôùí ßäéùí ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí ôï ßäéï åìâáäüí.
ÁðüäåéîçÁðüäåéîç
Áí ÂÃ = ÆÇ ôüôå ÅÂ = ÈÃ êáé óýìöùíá ìå ôçí ðñüôáóç
35 (ÁÂÃÄ) = (ÂÃÈÅ) êáèþò (ÂÃÈÅ) = (ÅÆÇÈ). ¢ñá
(ÁÂÃÄ) = (ÅÆÇÈ)
Ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá âÜóç êáé ðåñéÝ÷ïíôáé ìåôáîý
ßäéùí ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí ôï ßäéï åìâáäüí.
ÁðüäåéîçÁðüäåéîç
Óýìöùíá ìå ôçí ðñüôáóç 35 óôá ðáñáëëçëüãñáììá
ÅÂÃÁ êáé ÄÂÃÆ éó÷ýåé (ÅÂÃÁ) = (ÄÂÃÆ).
¼ìùò åðßóçò (ÅÂÃÁ) = 2(ÁÂÃ) êáé (ÄÂÃÆ) = 2(ÄÂÃ).
¢ñá 2(ÁÂÃ) = = 2(ÄÂÃ). Ïðüôå (ÁÂÃ) = (ÄÂÃ)
Ôñßãùíá ìå ßóåò âÜóåéò ðïõ âñßóêïíôáé ìåôáîý ßäéùí
ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí åìâáäÜ ßóá.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 87
Ôï åìâáäüí - Ç ðñïóÝããéóç ôïõ Åõêëåßäç óôï É âéâëßï ôùí Óôïé÷åßùí
"ÓÔÏÉ×ÅÉÁ" ÔÏÕ ÅÕÊËÅÉÄÇ
ÂÉÂËÉÏ É: ÔÁ ÈÅÌÅËÉÁ ÔÇÓ ÅÕÊËÅÉÄÅÉÏÕ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁÓ
Ç ÈÅÙÑÉÁ ÔÙÍ ÅÌÂÁÄÙÍ
Ðñüôáóç 35 (É.35)Ðñüôáóç 35 (É.35)
Ðñüôáóç 36 (É.36)Ðñüôáóç 36 (É.36)
Ðñüôáóç 37 (É.37)Ðñüôáóç 37 (É.37)
Ðñüôáóç 38 (É.38)Ðñüôáóç 38 (É.38)
A Ä Å Æ
B Ã
Ç
A Ä Å
ÆB Ã
È
Ç
A ÄÅ
B Ã
Z
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 85-96)
Ó.Í. Êáô' áñ÷Þí èá Þèåëá íá åõ÷çèþ êáèå åðéôõ÷ßá óôçí íÝá óáò
Ýêäïóç 'Ö', êýñéå ÂéóêáäïõñÜêç. ÕðÜñ÷åé ðñÜãìáôé Ýëëåéøç êáé
áíÜãêç ãéá åêäüóåéò ðïõ íá ðáñïõóéÜæïõí ðïéüôçôá, åíäéáöÝñïí êáé
ðñáãìáôéêü ðñïâëçìáôéóìü óôçí ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç, êáé ç
ðñïóðÜèåéá óáò åßíáé Üîéá êÜèå õðïóôÞñéîçò.
Ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ ôùí Ìáèçìáôéêþí åßíáé äéðëüò, ç ðáñï÷Þ êáé
ìåôÜäïóç ôçò ìáèçìáôéêÞò ãíþóçò áöåíüò, êáé ç áðïôåëåóìáôéêÞ
äçìéïõñãßá ôçò áßóèçóçò óôïõò ìáèçôÝò üôé ðñüêåéôáé ãéá ìéá
åðéóôÞìç áíïéêôÞ, æþóá êáé óõíáñðáóôéêÞ ôüóï áðü ìüíç ôçò üóï êáé
óå ó÷Ýóç ìå Ýíá óõíå÷þò äéåõñõíüìåíï öÜóìá Üëëùí åðéóôçìþí,
ðïõ âñßóêïíôáé êáé áõôÝò óôçí äéåèíÞ åðéóôçìïíéêÞ ðñùôïðïñåßá.
¸ôóé ï äÜóêáëïò ðñÝðåé íá åßíáé êáô' áñ÷Þí óå èÝóç íá ìåôáäßäåé
áðïôåëåóìáôéêÜ ôç ìáèçìáôéêÞ ãíþóç óôïõò ìáèçôÝò. Ãéá íá
áíôáðåîÝëèåé ìå åðéôõ÷ßá óå áõôü ôï Ýñãï ï äÜóêáëïò èá ðñÝðåé
áóöáëþò íá Ý÷åé éó÷õñÞ ìáèçìáôéêÞ ãíþóç, ðïëý ìåãáëýôåñç áðü
áõôÞí ðïõ äéäÜóêåé, êáèþò ïé áðïñßåò êáé ïé åñùôÞóåéò ôùí ìáèçôþí
îåöåýãïõí ðïëý åýêïëá áðü ôï ðñïêáèïñéóìÝíï ðëáßóéï, êáé ç
éêáíïðïéçôéêÞ Þ ìç áðÜíôçóç óå áõôÝò èá âáñýíåé óçìáíôéêÜ óôçí
êñßóç êáé áîéïëïãçóÞ ôïõ áðü ôïõò ìáèçôÝò. Åäþ èá ðñÝðåé íá
ôïíéóèåß, áíáëïãéæüìåíïé êáé ôçí áíôßóôïé÷ç óôÜóç ôïõ ÓùêñÜôç, üôé
äåí åßíáé áöáëþò áíáãêáßï ï äÜóêáëïò íá ãíùñßæåé ôá ðÜíôá,
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 97
Óõæçôþíôáò ìå ôïí Ó. Íåãñåðüíôç
Êýñéå êáèçãçôÜ, áñ÷éêÜ
èá èÝëáìå íá óáò åêöñÜóïõìå ôéò
èåñìÝò åõ÷áñéóôßåò ìáò ãéá ôçí
åõêáéñßá ðïõ ìáò äßíåôå íá Ý÷ïõìå
áõôÞ ôç óõæÞôçóç ìáæß óáò.
Åßíáé âÝâáéï ðùò ïé áíáãíþóôåò ôïõ
«ö», Üíèñùðïé ðïõ õëïðïéïýí
óÞìåñá ôïõò óôü÷ïõò ôçò ìáè/êÞò
ÌÝóçò Åêðáßäåõóçò êáé ðïëëïß áðü
ôïõò ïðïßïõò Ý÷ïõí õðÜñîåé ìáèçôÝò
óáò, èá Ý÷ïõí ôçí åõêáéñßá íá
÷áñïýí ôç ìÝèåîç ôùí áðüøåùí (áò
ìáò åðéôñáðåß ç Ýêöñáóç) ôïõ
Íåãñåðüíôç óôçí ðéï þñéìç öÜóç
ôçò ÁêáäçìáúêÞò ôïõ êáñéÝñáò.
Ôéìþíôáò ëïéðüí áõôïýò ôïõò
áíèñþðïõò èá èÝëáìå íá ìáò
ìéëÞóåôå ëßãï ãéá ôï ðþò åóåßò
âëÝðåôå ôï ñüëï ôïõ äáóêÜëïõ ôùí
Ìáèçìáôéêþí óÞìåñá, óõãêñéôéêÜ
ßóùò êáé ìå ôï ÷ôåò áëëÜ ãéáôß ü÷é êáé
ìå ôï ñüëï ôïõ óôï Üìåóï ìÝëëïí.
ÓõíáíôÞóáìå ôïí êáèçãçôÞ ÓôÝëéï Íåãñåðüíôç óôï ÔìÞìá Ìáè/êþí óôçí Ðáíåðéóôç-
ìéïýðïëç. Ôï ãñáöåßï ôïõ, Ýíá ìéêñü åíåñãü ïñõ÷åßï åîüñõîçò ðïëýôéìùí ðåôñáäéþí áðü
ôéò âñá÷þäåéò êïñõöÝò ôçò Áñ÷áßáò ÅëëçíéêÞò ÓêÝøçò, ôïí ÐëÜôùíá êáé ôïí Åõêëåßäç,
äåí Üöçíå ðåñéèþñéá ãéá ãåíéêÝò óõæçôÞóåéò. ¸ôóé ç êïõâÝíôá ãñÞãïñá áêïëïýèçóå ôç
äéáäñïìÞ ðïõ ìðïñåßôå êáé óåéò íá åðáíáëÜâåôå áìÝóùò ôþñá ...
19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 97
áíôßèåôá ðñÝðåé íá åßíáé óå èÝóç íá äçëþíåé åõèáñóþò 'áõôü äåí ôï
ãíùñßæù'. Èá ðñÝðåé üìùò íá åßíáé óå èÝóç íá äþóåé êÜðïéåò
Ýãêõñåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôï ðïý ï ìáèçôÞò èá ìðïñÝóåé íá âñåß
ðåñéóóüôåñá ãéá ôï ôé åßíáé ãíùóôü êáé ôé õðü Ýñåõíá ó÷åôéêÜ ìå ôï
åñùôçìÜ ôïõ. Ãéá íá åßíáé óå èÝóç íá ôï ðñÜîåé áõôü ðñÝðåé ï
äÜóêáëïò íá Ý÷åé êáëÞ ãíþóç êáé åðïðôåßá ôçò âéâëéïãñáößáò, ãéá ôá
âáóéêÜ èÝìáôá ôá ïðïßá äéäÜóêåé.
Åßíáé åðßóçò óçìáíôéêü ï äÜóêáëïò íá åßíáé óå èÝóç íá ðáñïõóéÜóåé ìå
ðåéóôéêü ôñüðï óôïõò ìáèçôÝò ôá ÌáèçìáôéêÜ, ü÷é óáí êÜôé êëåéóôü êáé
ôåëåéùìÝíï áëëÜ, óáí ìéá áíïéêôÞ, óõíå÷þò åîåëéóóüìåíç êáé æùíôáíÞ
åðéóôÞìç, óôçí ïðïßá õðÜñ÷ïõí óçìáíôéêÜ áíïéêôÜ êáé Üëõôá
ðñïâëÞìáôá (ç ëýóç êÜèå åíüò ôùí ïðïßùí èá åðéöÝñåé óôïí ëýôç äüîá
êáé èáõìáóìü), êáé óôçí ïðïßá óõíôåëåßôáé Ýñåõíá óå ðÜìðïëëá èÝìáôá
ôüóï èåùñçôéêÞò üóï êáé åöáñìïóìÝíçò öýóçò. Áõôü Þôáí êÜôé ðïõ åãþ,
ùò ìáèçôÞò áëëÜ êáé áñãüôåñá ùò öïéôçôÞò, åß÷á ìåãÜëç äõóêïëßá íá
áíôéëçöèþ. Ç êáôáíüçóç ôïõ åßíáé åí ôïýôïéò êñßóéìç, êáèþò Ýíáò
ìáèçôÞò äýóêïëá èá åíäéáöåñèåß ãéá êÜôé ðïõ ðéóôåýåé üôé åßíáé
ôåëåéùìÝíï, êáé èá áíáæçôÞóåé áíôßèåôá íá áó÷ïëçèåß ìå êÜôé óôï ïðïßï
ï ßäéïò èá Ý÷åé ôç äõíáôüôçôá íá äçìéïõñãÞóåé êáôé íÝï. Ãéá íá åßíáé óå
èÝóç ï äÜóêáëïò íá åðéôý÷åé ðñïò áõôÞ ôçí êáôåýèõíóç åßíáé óáöÝò üôé
èá ðñÝðåé ï ßäéïò íá äéáôçñåß æùçñü êáé áìåßùôï ôï åíäéáöÝñïí ôïõ ãéá
ôçí åîÝëéîç ôùí Ìáèçìáôéêþí, êáé íá áíáæçôåß âéâëßá Þ êåßìåíá óå
çëåêôñïíéêÞ ìïñöÞ ðïõ ðáñïõóéÜæïõí ìå êáôáíïçôü ôñüðï óçìáíôéêÜ
ìáèçìáôéêÜ ðñïâëÞìáôá. Ðïëëïß êáèçãçôÝò, óôï åîùôåñéêü éäßùò,
äéáôçñïýí êáé óõíå÷þò åìðëïõôßæïõí ìéá äéêÞ ôïõò éóôïóåëßäá ìå
ó÷åôéêÝò ðëçñïöïñßåò, èÝìáôá êáé ðñïâëÞìáôá.
Ó.Í. Äåí åßìáé ï ðéï êáôÜëëçëïò ãéá íá ìéëÞóù ãéá ôïí ñüëï ôùí
çëåêôñïíéêþí õðïëïãéóôþí óôç äéäáóêáëßá ìáèçìÜôùí óôï ó÷ïëåßï.
ÁíáöÝñèçêá ðÜíôùò óå Ýíá ôÝôïéï óçìáíôéêü ñüëï (åíçìåñùôéêÞò
öýóçò) óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç. ¸íá Üëëï óçìåßï óôï ïðïßï ïé
õðïëïãéóôÝò ðáñïõóéÜæïõí ðëåïíÝêôçìá åßíáé óôçí äõíáôüôçôá íá
ðñïóäþóïõí, ãéá ðñþôç öïñÜ óôçí éóôïñßá ôïõò, Ýíá ãíÞóéá
ðåéñáìáôéêü ÷áñáêôÞñá óôá ÌáèçìáôéêÜ, êáé íá âçèÞóïõí Ýôóé
óçìáíôéêÜ áêüìç êáé ôïí ìÝóï ìáèçôÞ óôï íá öèÜíåé öõóéïëïãéêÜ
óôçí äéáôýðùóç ìáèçìáôéêþí åéêáóéþí, ðïõ êÜðïôå Þôáí ôï
ðñïíüìéï ôùí ìåãáëïöõþí (üðùò ôïõ Èåáßôçôïõ Þ ôïõ Gauss) Þ ôùí
éäéáßôåñá ðñïéêéóìÝíùí ðáéäéþí.
Óõæçôþíôáò ìå ôïí Ó. Íåãñåðüíôç
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ98
Ëßãá ÷ñüíéá ðñéí, ðïëëïß
ðßóôåøáí ðùò ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ ôùí
Ìáèçìáôéêþí ìå ôçí åêñçêôéêÞ
áíÜðôõîç ôùí Ç/Õ èá õðïâáèìéóôåß,
ìåôáëëáóüìåíïò óôï ñüëï ôïõ
åêðáéäåõôÞ óôç ÷ñÞóç ìáèçìáôéêþí
ðáêÝôùí - ðñïãñáììÜôùí. ÁõôÞ ç
ðñïïðôéêÞ åß÷å ßóùò êáé óáí óõíÝðåéá,
ðïëëïß äÜóêáëïé ôùí Ìáèçìáôéêþí íá
êñáôÞóïõí ìéá åðéöõëáêôéêÞ óôÜóç
áðÝíáíôé óôç ÷ñÞóç ôïõ Ç/Õ óôç
ìáèçóéáêÞ äéáäéêáóßá. Åóåßò âëÝðåôå íá
äéêáéïëïãåßôáé ìéá ôÝôïéá åðéöýëáîç;
19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 98
ÌåñéêÝò ðïëý ãåíéêÝò ðáñáôçñÞóåéò åßíáé ïé áêüëïõèåò: áðü ôç
óôéãìÞ ðïõ ç ÷ñÞóç ôïõò Ý÷åé ðÜñåé ôÝôïéá Ýêôáóç óôïí õðüëïéðï
êüóìï êáé Ý÷åé åðåíäõèåß ôåñÜóôéá åíÝñãåéá êáé êåöÜëáéá óå
áõôïýò, ìïõ öáßíåôáé óáöÝò üôé äåí ìðïñïýìå íá ôïõò áðïññßøïõìå
ìå åõêïëßá, ãéáôß ç áðüññéøç ïäçãåß óå áðïìüíùóç êáé ãñÞãïñá óå
Ýëëåéøç áíôáãùíéóôéêüôçôáò. ÈÜ ðñÝðåé ìÜëëïí íá áðïêôÞóïõìå
ïéêåéüôçôá ìå ôç ÷ñÞóç ôïõò þóôå íá åßìáóôå óå èÝóç íá
áîéïðïéÞóïõìå ôá ðëåïíåêôÞìáôá êáé íá áðïöýãïõìå ôá
ìåéíåêôÞìáôá. Äåí ðñÝðåé íá ìåßíïõìå ðßóù áðü ôéò ñáãäáßåò
ôå÷íïëïãéêÝò åîåëßîåéò ìç óõììåôÝ÷ïíôáò óå áõôÝò, áëëÜ âåâáßùò
åßíáé ðïëý èåôéêü, óõììåôÝ÷ïíôåò êáé åõñéóêüìåíïé, ôñüðïí ôéíÜ,
ðÜíù óôï êýìá ôçò åîÝëéîçò, íá èÝôïõìå åñùôÞìáôá êáé íá
ðñïâëçìáôéæüìáóôå ãéá áõôÝò. Ìå áõôÞ ôçí óôÜóç, ç ïðïßá
åðéâåâáéþíåé üôé áêüìç äåí õðÜñ÷åé 'âáóéëéêÞ ïäüò' ðñïò ôç
Ãåùìåôñßá êáé ôá ÌáèçìáôéêÜ, ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ äåí
êéíäõíåýåé áðü ôïõò õðïëïãéóôÝò, áíôßèåôá õðïâïçèåßôáé áðü áõôïýò.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 99
Óõæçôþíôáò ìå ôïí Ó. Íåãñåðüíôç
Ðåñéóóüôåñç ÓõæÞôçóç ìå ôïí ÓôÝëéï Íåãñåðüíôç
óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 97-112)
19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 99
Ç ðáñïýóá åñãáóßá Ý÷åé óôü÷ï íá ðáñïõóéÜóåé Ýíá ôìÞìá, (ôï óýíïëï
åßíáé äýóêïëï, ßóùò êáé áíÝöéêôï), ôïõ ðñïâëçìáôéóìïý ðïõ áíáðôýóóåôáé
ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá ãýñù áðü ôï æÞôçìá ôçò áíáíÝùóçò êáé ôçò
áíáóõãêñüôçóçò ôùí Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç.
¸ôóé åðé÷åéñåßôáé íá äéáôõðùèïýí óå ãåíéêÝò ãñáììÝò ôá âáóéêÜ
åñùôÞìáôá ðïõ áíáöýïíôáé óôá ðëáßóéá ìéáò ôÝôïéáò ðñïóðÜèåéáò, íá
áíáæçôçèïýí êáé íá õðïãñáììéóôïýí ðáñÜãïíôåò ðïõ ðåñéïñßæïõí êáé
êáèïñßæïõí ôï ÷áñáêôÞñá ôùí áëëáãþí ôùí Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí,
êáé ôÝëïò åðé÷åéñåßôáé íá óêéáãñáöçèåß ìéá äéáäéêáóßá ðïõ íá äéáèÝôåé
åêåßíá ôá óôïé÷åßá (ôá ïðïßá êáé áíáöÝñïíôáé) Ýôóé þóôå áõôÞ íá ìðïñåß íá
÷áñáêôçñéóôåß ùò ÅðéóôçìïíéêÞ ÐñïóðÜèåéá áíÜðôõîçò Áíáëõôéêþí
ÐñïãñáììÜôùí.
Åßíáé ãíùóôü üôé ìåôÜ ôçí áðïôõ÷ßá ôïõ åã÷åéñÞìáôïò ôùí "íÝùí
ìáèçìáôéêþí" ôéò äåêáåôßåò ôïõ '60 êáé '70, ç ìáèçìáôéêÞ êïéíüôçôá äåí Ý÷åé
åðé÷åéñÞóåé èåìåëéáêÝò áíáäïìÞóåéò êáé ñéæéêÝò áíáäéáñèñþóåéò ôùí
áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí ôùí ìáèçìáôéêþí óôç ìÝóç åêðáßäåõóç. Ôï
êüóôïò ôïõ åã÷åéñÞìáôïò åêåßíïõ Þôáí ôÝôïéï ðïõ íá ëåéôïõñãåß
áðïôñåðôéêÜ áêüìá êáé óÞìåñá ãéá êÜèå áðüðåéñá ðÜíù óôï óõãêåêñéìÝíï
èÝìá. ÂÝâáéá óÞìåñá îÝñïõìå ðïëý ðåñéóóüôåñá ðñÜãìáôá ãéá ôç
ìáèçìáôéêÞ óêÝøç, ôç ìÜèçóç, ôï problem solving áð' üôé óôçí áìÝóùò
ìåôÜ-Sputnic ðåñßïäï. ¸ôóé åßíáé èåìéôÞ ç åðáíáôïðïèÝôçóç ôïõ èÝìáôïò
ôùí áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí ôùí ìáèçìáôéêþí, ðÜíù óå íÝåò âÜóåéò êáé
íÝåò áíôéëÞøåéò. [8]
Êáé ðñÜãìáôé, ôçí ôåëåõôáßá 12åôßá öáßíåôáé íá óõæçôåßôáé áñêåôÜ ôï
æÞôçìá êáé íá äéáôõðþíïíôáé ðñïôÜóåéò êáé éäÝåò áðü ðïëëïýò åñåõíçôÝò.
¼ìùò, êáèþò óçìåéþíåé ï Donald Macnab,[11] ðáñÜ ôéò óõíå÷åßò
ðñïóðÜèåéåò ãéá ôç äçìéïõñãßá åíüò ïñÜìáôïò ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ
åêðáßäåõóç (êáé áíáöÝñåé ðñïóðÜèåéåò ôùí Richard (1998), Dossey (1992),
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 113
ÓõæÞôçóç ãéá ôá áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá Ìáèçìáôéêþí óôç Ì.Å.
Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
ÐÐååññßßëëççøøçç
ÁÁííááööïïññÜÜ óóôôïïííÓÓýýãã÷÷ññïïííïï
ÐÐññïïââëëççììááôôééóóììüü
Greeno (1992), Hoyles-Morgan êáé Woodhouse (eds.) (1999)) äåí Ý÷åé
åðéôåõ÷èåß ìéá óýíèåóç áðüøåùí. Êé áõôü ãéáôß óôçí ðñïóðÜèåéá áõôÞ
åãåßñïíôáé ðïëëÜ æçôÞìáôá (êáé ðñáêôéêÞò öýóçò) ðïõ ðñÝðåé íá
îáíáåéäùèïýí ãéá íá ôåèïýí ïé óôü÷ïé, ôá ðñïãñÜììáôá êáé ç ìåèïäïëïãßá.
Ãéá ðáñÜäåéãìá:
– Ðïéá èá åßíáé ç éóïññïðßá ìåôáîý ðïëéôéóìéêÞò-ðíåõìáôéêÞò êáé
ùöåëéìéóôéêÞò ðñáêôéêÞò èÝáóçò ôùí ìáèçìáôéêþí;
– Ðþò èá óõó÷åôéóèåß ôï èÝìá ìå Üëëåò ðåñéï÷Ýò ôùí áíáëõôéêþí
ðñïãñáììÜôùí;
– Ðïéá èá ðñÝðåé íá åßíáé ç éóïññïðßá êáé ç óõó÷Ýôéóç ìåôáîý
êáôáíüçóçò ôùí ìáèçìáôéêþí äéáäéêáóéþí êáé ôå÷íéêÞò éêáíüôçôáò;
– Ðþò èá ðáñáêéíçèåß ï ìáèçôÞò ãéá ìéá âáèýôåñç êáëëéÝñãåéá;
– Ôé âáèìüò ðñïóï÷Þò ðñÝðåé íá êáôáâëçèåß ãéá íá áíáðôõ÷èåß óôïõò
ìáèçôÝò ìéá êáôáíüçóç ôçò öýóçò êáé ôïõ óêïðïý ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò;
– Ðïéá èá ðñÝðåé íá åßíáé ç éóïññïðßá êáé ç óõó÷Ýôéóç ìåôáîý
åðáãùãéêÞò êáé ðáñáãùãéêÞò üøçò ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò;
Çìéôåëåßò, ðñü÷åéñåò Þ ðñïêáôáóêåõáóìÝíåò áðáíôÞóåéò êáé áíáëýóåéò
áõôþí ôùí åñùôçìÜôùí ïäçãïýí óå áóôÜèåéá êáé óýã÷õóç ôï üñáìá,
ðñïêáëþíôáò åíäå÷ïìÝíùò ìéá ìåãÜëç óåéñÜ áðü áðñüâëåðôåò êáé
áíåðéèýìçôåò óõíÝðåéåò, üðùò:
• ¸ëëåéøç äéáýãåéáò óôçí åðéêïéíùíßá ôïõ ïñÜìáôïò óôïõò äéäÜóêïíôåò
êáèçãçôÝò.
• ¸ëëåéøç äéáýãåéáò óôçí åðéêïéíùíßá ôïõ ïñÜìáôïò óôïõò ìáèçôÝò.
• ¸ëëåéøç óõíåêôéêÞò ó÷Ýóçò ìåôáîý ïñÜìáôïò êáé åöáñìïãÞò ôïõ óôçí
ôÜîç.
• ÕðåñÝìöáóç óõãêåêñéìÝíùí üøåùí ôïõ ðñïãñÜììáôïò Þ ôçò
ðáéäáãùãéêÞò åéò âÜñïò Üëëùí.
• ÕðåñåîÜñôçóç áðü ôá åã÷åéñßäéá Þ áðü åðéíïÞóåéò ïé ïðïßåò
åìöáíßæïíôáé óôçí õëïðïßçóç ôïõ ïñÜìáôïò.
• ÕðåñóõìðéåóìÝíá ðñïãñÜììáôá óôçí ðñïóðÜèåéá íá åöáñìïóôåß ôï
üñáìá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ôïõ ÷ñüíïõ ðïõ äéáôßèåôáé êáé ôùí
"ðéóôåýù" ôùí êáèçãçôþí ãýñù áðü ôá åðéäéùêüìåíá standars.
• ÁóôÜèìçôá ðñïãñÜììáôá ðïõ äßíïõí õðåñâïëéêÞ Ýìöáóç óôçí
ðñïóùðéêÞ áíÜðôõîç ôùí ìáèçôþí êáé êáèüëïõ Ýìöáóç óôá
åðéäéùêüìåíá standards.
• Áâåâáéüôçôåò óôïõò êáèçãçôÝò ùò ðñïò ôï ñüëï ôïõò óôçí ôÜîç. ([11],
óåë. 71).
ÓõæÞôçóç ãéá ôá áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá Ìáèçìáôéêþí óôç Ì.Å.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ114
Åßíáé öáíåñü üôé ç óýëëçøç åíüò ïñÜìáôïò ãéá ôç ìáèçìáôéêÞ
åêðáßäåõóç, åßíáé ìüíï ç áñ÷Þ óå ìéá ðïëõåðßðåäç äéáäéêáóßá. Ãéá íá ãßíåé
Ýíá üñáìá åöéêôü, ðñÝðåé íá ìåôáöñáóôåß óå óôü÷ïõò ïé ïðïßïé íá
áðïêñõóôáëëþíïõí áõôü ôï üñáìá. Ïé óôü÷ïé ðÜëé áðü ìüíïé ôïõò äåí
ðáñÜãïõí Ýíá áðïôåëåóìáôéêü áíáëõôéêü ðñüãñáììá ðáñÜ ìüíï üôáí
õðïóôçñßæïíôáé áðü Ýíá óõíåêôéêü êáé óõãêñïôçìÝíï üñáìá.
Ïé ÷þñåò ðïõ óõììåôåß÷áí óôï TIMSS (Third International Mathematics
and Science Survey) óå åêèÝóåéò ôïõò ó÷åôéêÜ ìå ôá ðñïôåéíüìåíá
áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá, ðáñáèÝôïõí óå äéÜöïñïõò âáèìïýò Ýìöáóçò
óôü÷ïõò ó÷åôéêïýò ìå:
– ÅêôåëåóôéêÝò äåîéüôçôåò óôá ìáèçìáôéêÜ
– ÂáèéÜ êáôáíüçóç ôùí ìáèçìáôéêþí äéáäéêáóéþí.
– Êáôáíüçóç êáé ÷ñÞóç ôùí ìáèçìáôéêþí óôçí êáèçìåñéíÞ æùÞ.
– Áõôïó÷åäéáóôéêÝò äåîéüôçôåò óôçí åöáñìïãÞ ôùí ìáèçìáôéêþí.
– ÏñãáíùôéêÝò êáé ëïãéêÝò äåîéüôçôåò.
– Ðñùôïâïõëßá êáé åðéíïçôéêüôçôá.
– ÁíÜðôõîç ôçò óõíåñãáôéêüôçôáò.
– ÉóôïñéêÞ êáé ðïëéôéóìéêÞ êáôáíüçóç ôùí ìáèçìáôéêþí. ([11] óåë. 72)
Óôá ðëáßóéá ôçò (ðáãêüóìéáò) ðñïâëçìáôéêÞò ðÜíù óôçí áíáæÞôçóç
åíüò íÝïõ ïñÜìáôïò ãéá ôçí åêðáßäåõóç êáé ôç óõãêñüôçóç íÝùí
áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí, ï Áìåñéêáíüò Schmidt êáé ç åðéóôçìïíéêÞ ôïõ
ïìÜäá, èÝôïõí êáßñéá åñùôÞìáôá, üðùò: "Ðþò ìðïñïýìå íá áðïêôÞóïõìå
Ýíá íïçìáôéêÜ óõíåêôéêü ðõñÞíá óôá ìáèçìáôéêÜ áíáëõôéêÜ ìáò
ðñïãñÜììáôá; Ðþò ìðïñïýìå íá áíåâÜóïõìå ôéò ðñïóäïêßåò êáé ôéò
áðáéôÞóåéò áðü ôïõò ìáèçôÝò ìáò; Ðþò ìðïñïýìå íá âïçèÞóïõìå ôïõò
êáèçãçôÝò ìáò íá êÜíïõí ôï êáëýôåñï ðïõ ìðïñïýí äéäÜóêïíôáò
ìáèçìáôéêÜ óôïõò ìáèçôÝò ìáò; Ìðïñïýìå íá âñïýìå Ýíá êáëýôåñï ìïíôÝëï
áíáëõôéêïý ðñïãñÜììáôïò êáé äéäáóêáëßáò - åêðáßäåõóçò; Ìðïñïýìå íá
áíáðôýîïõìå Ýíá íÝï üñáìá ãéá ôï ôé åßíáé íÝï êáé óçìáíôéêü; Ôé åßäïõò
ìáèçìáôéêÞ åêðáßäåõóç èÝëïõìå ùò Ýèíïò ãéá ôá ðáéäéÜ ìáò;". Êáé
ðáñáôçñåß üôé "åíþ áõôü ôï ôåëåõôáßï åñþôçìá åßíáé êåíôñéêü êáé áðáéôåß
åõñý êáé äçìüóéï äéÜëïãï, öáßíåôáé ìÜëëïí üôé èÝëïõìå åêðáßäåõóç ç
ïðïßá íá åßíáé ðåñéóóüôåñï åóôéáóìÝíç åéäéêÜ óå äõíáìéêÝò êåíôñéêÝò
éäÝåò êáé äõíáôüôçôåò, ìå ðåñéóóüôåñï âÜèïò ôïõëÜ÷éóôïí óå êÜðïéåò
ðåñéï÷Ýò, Ýôóé þóôå ôï ðåñéå÷üìåíï íá Ý÷åé êáëýôåñåò åõêáéñßåò ãéá íá
ãßíåé êáôáíïçôü, íá ïñãáíùèåß óõíäåüìåíï ìå Üëëåò éäÝåò ôùí ðáéäéþí êáé
íá ðáñÜîåé ôåëéêÜ ïîõäÝñêåéá êáé åíüñáóç - äéáßóèçóç êáé ü÷é
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 115
ÓõæÞôçóç ãéá ôá áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá Ìáèçìáôéêþí óôç Ì.Å.
ðáðáãáëßóôéêç ðñïóðÜèåéá. Íá åöïäéÜóåé ôï ìáèçôÞ ìå êáèáñÝò,
äõíáìéêÝò, ãåìÜôåò íüçìá êáé ðåñéå÷üìåíï ãíþóåéò ðïõ íá áíôÝ÷ïõí óôï
÷ñüíï êáé íá ìçí åßíáé åöÞìåñåò êáé ìüíï ãéá ôéò áíÜãêåò êáé ôéò
áðáéôÞóåéò ôïõ ó÷ïëåßïõ"([11] óåë. 69)
Ôç óôü÷åõóç ôçò åíüñáóçò-äéáßóèçóçò ìå êáôÜëëçëá áíáëõôéêÜ
ðñïãñÜììáôá, õðïóôçñßæåé êáé ï Wilder (1984) åðéóçìáßíïíôáò üôé: ôá íÝá
áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá èÜ ’ðñåðå íá ðñïóðáèïýí íá óôñÝøïõí ôç
äéäáóêáëßá áðü ôçí ãíùóéáêÞ óõíéóôþóá óå ìéá äéáäéêáóßá ìÝóá óôçí
ïðïßá ç åíüñáóç ôùí óðïõäáóôþí èá ÷ñçóéìïðïéåßôáé åíåñãÜ êáé èá
áíáðôýóóåôáé ðåñáéôÝñù êáôÜ ôçí áðüêôçóç ôçò íÝáò ãíþóçò. ([9] óåë. 30)
¢ëëåò áðüøåéò ðÜëé, õðïóôçñßæïõí üôé, ìå âÜóç ôç óçìåñéíÞ
ðñáãìáôéêüôçôá ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò, ôï êÝíôñï âÜñïõò óôïõò
óêïðïýò ôùí áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí èá ðñÝðåé íá åßíáé ç áíáæÞôçóç
åêåßíùí ôùí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò êáé äñáóôçñéüôçôáò
ðïõ ðáßæïõí Ýíá áðïöáóéóôéêü ñüëï óôç óýã÷ñïíç ôå÷íïêñáôéêÞ êïéíùíßá.
([13] óåë. 34)
ÓõæÞôçóç ãéá ôá áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá Ìáèçìáôéêþí óôç Ì.Å.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ116
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 113-128)
Ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá äéáðéóôþíåôáé ìéá áõîçôéêÞ ôÜóç óõììåôï÷Þò ôùí
ìáèçôþí (êõñßùò ôïõ Ãõìíáóßïõ) óôïõò Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò ðïõ
äéïñãáíþíåé êÜèå ÷ñüíï ç Å.Ì.Å. ºóùò ç êïéíùíßá (Þ ôïõëÜ÷éóôïí êÜðïéá
êïéíùíéêÜ óôñþìáôá) Ý÷ïõí êáôáíïÞóåé ôïí êõñßáñ÷ï ñüëï ôùí
Ìáèçìáôéêþí óôçí åðï÷Þ ìáò, ìå áðïôÝëåóìá íá ðñïóáíáôïëßæåé êáé íá
ùèåß ôç ìáèçôéêÞ íåïëáßá ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôïõ Ìáñáèþíéïõ Äñüìïõ
ôùí Ìáèçìáôéêþí Äéáãùíéóìþí.
Áõôüò ï äñüìïò ãéá ðïëëïýò ìáèçôÝò óõ÷íÜ áðïäåéêíýåôáé ôñá÷ýò êáé
äýóâáôïò. Ðïëëïß áðïãïçôåýïíôáé áðü ôçí ðñþôç êéüëáò åìðåéñßá ôïõò, ìå
áðïôÝëåóìá íá áðïìáêñýíïíôáé áð' áõôü ôï äýóêïëï ìÝí áëëÜ êáé ìå
åîáéñåôéêÝò ðñïêëÞóåéò äñüìï. Ãéá ôç óôÜóç áõôÞ ïé ìáèçôÝò åëÜ÷éóôá
åõèýíïíôáé. Ï Ìáñáèþíéïò åßíáé ðïëý áðáéôçôéêü Üèëçìá ãéá íá ôá
êáôáöÝñåé êáíåßò íá ôåñìáôßóåé ÷ùñßò ðñïçãïõìÝíùò íá Ý÷åé óõóôçìáôéêÜ
êáé "åðß ìáêñþ" ðñïåôïéìáóôåß. Äåí åßíáé ôõ÷áßï ôï ãåãïíüò üôé êÜèå ÷ñüíï ïé
äéáêñéíüìåíïé ìáèçôÝò óôïõò Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò ðñïÝñ÷ïíôáé óôçí
ðëåéïøçößá ôïõò áðü Ýíá ðïëý ìéêñü áñéèìü áêñéâïðëçñùìÝíùí Éäéùôéêþí
Ó÷ïëåßùí ôùí Âïñåßùí Ðñïáóôßùí ôç ÁèÞíáò êáé ôçò Èåóóáëïíßêçò.
Ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï Äéáãùíéóìü "Åõêëåßäç" ôïõ ó÷ïëéêïý Ýôïõò 2001 – 02
áðü ôï óýíïëï ôùí ðñïêñéèÝíôùí ìáèçôþí ôçò ÁôôéêÞò, ãéá ôïí ôåëéêü
Äéáãùíéóìü – ÅèíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ ÏëõìðéÜäá "Áñ÷éìÞäçò", ôï 68%
ðñïÝñ÷ïíôáé áðü áõôÜ ôá Ó÷ïëåßá êáé ôï õðüëïéðï 32% áðü üëá ôá
Äçìüóéá Ó÷ïëåßá ïëüêëçñçò ôçò ÁôôéêÞò. Ôï ãåãïíüò áõôü óßãïõñá äåí Ý÷åé
ìïíïóÞìáíôç åñìçíåßá. Åßíáé ðÜíôùò ãíùóôü üôé óå êÜðïéá áðü ôá åí ëüãù
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 129
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
Â.Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
ÉäéùôéêÜ Ó÷ïëåßá ïé ìáèçôÝò (üëïé) äéäÜóêïíôáé äýï þñåò åâäïìáäéáßá
ÌáèçìáôéêÜ ãéá Äéáãùíéóìïýò. Êáé öáßíåôáé ðùò ç óõóôçìáôéêÞ áõôÞ
âïÞèåéá ðéÜíåé ôüðï.
Ðñïò ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõíçãïñåß êáé ôï ãåãïíüò üôé ìáèçôÝò ðïõ
ðáñáêïëïõèïýí áíôßóôïé÷á ìáèÞìáôá óôá êÝíôñá ðïõ ìå ðñùôïâïõëßá ôçò
Å.Ì.Å. ëåéôïõñãïýí ôá äýï ôåëåõôáßá ÷ñüíéá Ý÷ïõí éäéáßôåñç åðéôõ÷ßá óôïõò
Äéáãùíéóìïýò. Ìüíï ðïõ ôá ìáèÞìáôá áõôÜ ôá ðáñáêïëïõèïýí ðïëý ëßãïé
ìáèçôÝò êáôÜ êáíüíá óå êÜèå êÝíôñï. Öáßíåôáé ðùò õðÜñ÷ïõí ðñïâëÞìáôá
ðïõ ðñÝðåé íá îåðåñáóôïýí ãéá íá õðÜñîåé ç åðéèõìçôÞ óõììåôï÷Þ ôùí
ìáèçôþí ó' áõôÞ ôçí ðñïóðÜèåéá.
ÐñïâëÞìáôá ðïõ Ý÷ïõí íá êÜíïõí ôüóï ìå åîùôåñéêïýò ðáñÜãïíôåò üðùò
ð.÷. ç êáôáíüçóç åê ìÝñïõò ôçò Êïéíùíßáò ôçò óçìáóßáò ðïõ ìðïñåß íá Ý÷åé ç
ðíåõìáôéêÞ Üìéëëá, üóï êáé ìå åóùôåñéêïýò ðáñÜãïíôåò ðïõ áöïñïýí óôçí êáëÞ
ïñãÜíùóç êáé ëåéôïõñãßá ôçò üëçò êßíçóçò åê ìÝñïõò ôçò Å.Ì.Å. Êõñßáñ÷ïò üìùò
ó' áõôÞ ôçí êáôçãïñßá ðáñÜãïíôáò, ï ïðïßïò êáé ÷ñÞæåé ðåñáéôÝñù ìåëÝôçò êáé
åðåîåñãáóßáò êáôÜ ôç ãíþìç ìáò, åßíáé ç óõãêñüôçóç åíüò "óþìáôïò" ãíùóôéêïý
õëéêïý ìÝóá áðü ôï ïðïßï èá ìðïñåß íá êåñäçèåß ç áãÜðç ôùí ìéêñþí, éäßùò,
ìáèçôþí ãéá Ýíôïíç ðíåõìáôéêÞ åñãáóßá. Ôï åã÷åßñçìá äåí åßíáé êáèüëïõ åýêïëï
êáé åßôå ôï óõíåéäçôïðïéåß êáíåßò åßôå ü÷é, ç üðïéá áðÜíôçóç ó' áõôü, èá Ý÷åé ôç
óöñáãßäá ôçò öéëïóïößáò êáé ôùí ãåíéêüôåñùí ðéóôåýù ðïõ åìöïñïýí áõôïýò
ðïõ áíáëáìâÜíïõí ôçí åí ëüãù åõèýíç.
Ç åìðåéñßá Ý÷åé äåßîåé üôé ç ðáñáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç óôç ÌáèçìáôéêÞ
ãíþóç êáé ç (êáôÜ óõíÝðåéá) ôõðéêÞ êáé ôõðïðïéçìÝíç äéáäéêáóßá,
"ðáñïõóßáóç ôçò èåùñßáò êáé åöáñìïãÞ ôçò óôçí åðßëõóç áóêÞóåùí êáé
ðñïâëçìÜôùí", äåí åßíáé ç ðéï åíäåäåéãìÝíç ìÝèïäïò ãéá õðïêßíçóç óïâáñïý
åíäéáöÝñïíôïò åê ìÝñïõò ôùí ìáèçôþí, éäéáßôåñá óå ìéêñÝò çëéêßåò. Åßíáé
÷áñáêôçñéóôéêÞ ç ðåñéãñáöÞ ôïõ William Thurston (âñáâåßï Öéëíôò),
êáèçãçôÞ ìáèçìáôéêþí óôï Princeton: "¼ôáí Þìïõí ðáéäß, óõ÷íÜ ìéóïýóá
ôçí áñéèìçôéêÞ êáé ôá ìáèçìáôéêÜ óôï ó÷ïëåßï. Óåëßäåò áóêÞóåùí, áíéáñÝò
êáé ðëçêôéêÝò. Äåí Þôáí äéáóêåäáóôéêÝò Þ ðñïêëçôéêÝò· Þôáí áðëþò ìéá
áããáñåßá. ¼ðïôå ìðïñïýóá, Ýâñéóêá êÜôé Üëëï ãéá íá øõ÷áãùãçèþ.
Ìïõíôæïýñùíá, äéÜâáæá âéâëßá êÜôù áðü ôï èñáíßï, áôÝíéæá Ýîù áðü ôï
ðáñÜèõñï ôçò ôÜîçò. ÊáìéÜ öïñÜ ðñïóðáèïýóá íá âñù áðÜíôçóç óå
êÜðïéá óðáæïêåöáëéÜ....."
Ïé åìðåéñéêÝò ðñïóùðéêÝò äéáðéóôþóåéò ìáò áóöáëþò êáé äåí áðïôåëïýí
ôõ÷áßá ãåãïíüôá. Ç Ýíôïíá ðáñáãùãéêÞ ìÝèïäïò óôç ìáèçóéáêÞ äéáäéêáóßá,
óôéò ìÝñåò ìáò áìöéóâçôåßôáé áðü ðïëëÝò ÅêðáéäåõôéêÝò ¸ñåõíåò êáé áðü
ðïëëïýò åîÝ÷ïíôåò, ðáãêüóìéá ãíùóôïýò ÅðéóôÞìïíåò Ìáèçìáôéêïýò,
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ130
Øõ÷ïëüãïõò êáé ãåíéêüôåñá Åêðáéäåõôéêïýò åñåõíçôÝò. Óôïí áíôßðïäá, ç
åðáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç öáßíåôáé íá êåñäßæåé üëï êáé ðåñéóóüôåñï Ýäáöïò. Êé
áõôü ãéáôß áöÞíåé ðåñéèþñéá óôï ìáèçôÞ íá áíáðôýîåé ôéò äéêÝò ôïõ åíïñÜóåéò,
ôçí áíÜëçøç ðñùôïâïõëßáò, ôç äçìéïõñãéêÞ öáíôáóßá, ôçí éêáíüôçôá
ãåíßêåõóçò, ôïí áíáóôï÷áóìü êáé ôÝëïò ôçí êñéôéêÞ êáé åëåýèåñç óêÝøç.
ÐïëëÝò öïñÝò ìÝóá áðü ðáñáãùãéêÝò ìáèçóéáêÝò äéáäéêáóßåò
áíáäåéêíýïíôáé ìáèçôÝò ðïõ áí êáé ôï Åêð/êü Óýóôçìá êáé ç Êïéíùíßá ôïõò
èåùñåß áêüìá êáé ìåãáëïöõÀåò, äåí åßíáé óôçí ïõóßá ôßðïôá Üëëï ðáñÜ
õðÜêïõá ðíåýìáôá ôá ïðïßá åîáóêïýí óôï ìÝãéóôï âáèìü ôçí éêáíüôçôÜ
ôïõò ãéá áðïìíçìüíåõóç áôÝëåéùôùí èåùñéþí êáé "ìåèïäïëïãéþí" ðïõ ôïõò
ðáñÝ÷ïíôáé Ýôïéìåò.
ÌÝóá áðü ìßá Üêáìðôç ðáñáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç ôùí Ìáèçìáôéêþí äåí
åßíáé ìüíï üôé ôñïìïêñáôïýíôáé êáé áðïìáêñýíïíôáé áñêåôÜ ðáéäéÜ ðïõ
áíáìößâïëá Ý÷ïõí Üëëá ôáëÝíôá (ðÝñáí ôçò áðïìíçìüíåõóçò), áëëÜ êáé óå
ðïëëÜ ðïõ ìÝíïõí, õðÜñ÷åé êßíäõíïò óõññßêíùóçò êáé óôåßñùóçò ôçò
åíüñáóçò êáé ôçò äçìéïõñãéêÞò ôïõò óêÝøçò.
Ìéá ôÝôïéá êáôÜóôáóç ðåñéãñÜöåé o Moshe Flato óôï âéâëßï ôïõ "Ç ÉÓ×ÕÓ
ÔÙÍ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ". Áíáöåñüìåíïò óôçí åðßäñáóç ôçò ó÷ïëÞò
Ìðïõñìðáêß ëååé üôé "åóöáëìÝíá æçôÞèçêå áðü íÝïõò áíèñþðïõò ðïõ
åìöáíßæïõí êÜðïéï éäéáßôåñï ôáëÝíôï óôá ÌáèçìáôéêÜ íá ðñïóáíáôïëßóïõí
êáôáñ÷Üò ôéò ðñïóðÜèåéåò ôïõò óôç äéåýñõíóç ôùí ãíþóåþí ôïõò. Ôïõò æçôÞèçêå
íá äéáâÜóïõí ôåñÜóôéïõò üãêïõò âéâëéïãñáößáò êáé ôïõò åîáíÜãêáóáí íá
áðïêôÞóïõí ôïí áõóôçñüôåñï äõíáôü ôñüðï óêÝøçò". Ìßá ôÝôïéá ðñïóÝããéóç
áíôéêñïýåôáé áðü ôïí Moshe Flato ÷ùñßò íá êáôáäéêÜæåé âÝâáéá ôçí åêãýìíáóç
óôçí åðéóôçìïíéêÞ áõóôçñüôçôá. "¼ôáí üìùò ç ðñïóÝããéóç ðïõ äéäÜóêåé êáíåßò
áêïëïõèåß áêëüíçôá Ýíá ó÷Þìá, ôçí ìåôÜâáóç áðü ôï ãåíéêü óôï åéäéêü, ôçí
ðáñáãùãéêÞ äçëáäÞ ìÝèïäï, ôüôå ç ìåëÝôç ôùí ìáèçìáôéêþí êáôáëÞãåé íá ãßíåé
ìßá êáèáñÜ ôáëìïõäéêÞ Üóêçóç. Ôüôå óôåñåýåé êáé ç æùíôáíÞ öáíôáóßá. ÁëëÜ
áõôü ðïõ ìåôñÜåé óôá ìáèçìáôéêÜ åßíáé ç öáíôáóßá. Ôï ðéï ðïëýôéìï ðñïóüí óôá
ìáèçìáôéêÜ åßíáé ç öáíôáóßá. Ç Ýñåõíá Üëëùóôå ðñáãìáôïðïéåßôáé óõíÞèùò áðü
ôï åéäéêü óôï ãåíéêü". Êáé áõôü õðïäåéêíýåé ðïéá åßíáé ç öõóéêÞ ïäüò ìÝóá áðü
ôçí ïðïßá ïé ìáèçôÝò ìáò èá ìõçèïýí êáé èá êáôáêôÞóïõí ôç ìáèçìáôéêÞ ãíþóç.
Áíôß íá äßíåôáé óôçí áñ÷Þ ìéá ãåíéêÞ äïìÞ – èåùñßá êáé ôá ðáñáäåßãìáôá
íá åìöáíßæïíôáé ìüíï ùò åéäéêÝò åöáñìïãÝò áõôÞò ôçò äïìÞò, åßíáé ÷ñÞóéìï
íá îåêéíÞóåé êáíåßò áðü ðáñáäåßãìáôá, êáé óôçí óõíÝ÷åéá íá åìâáèýíåé ó'
áõôÜ. Ìüíï óôçí âÜóç óõãêåêñéìÝíùí ðáñáäåéãìÜôùí ìðïñåß íá
åðé÷åéñÞóåé êáíåßò íá äå ðïéÜ ãåíéêÞ äïìÞ åßíáé äõíáôüí íá ïéêïäïìçèåß,
ðïéÜ èåùñßá èá ôïõò ôáßñéáæå êáé èá ôá åíïðïéïýóå.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 131
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
Ï ñüëïò ãåíéêÜ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ õëéêïý äéáðñáãìÜôåõóçò êáôÜ ôç
ìáèçóéáêÞ – äéäáêôéêÞ äéáäéêáóßá üðïõ ïé êáôáóôÜóåéò (ðñïâëÞìáôïò)
åßíáé ÷åéñïðéáóôÝò, ïéêåßåò êáé ðëÞñåéò íïÞìáôïò ãéá ôïõò ìáèçôÝò, Ý÷åé
éäéáßôåñá õðïãñáììéóôåß áðü ôïõò åñåõíçôÝò. Óýìöùíá ð.÷. ìå ôïõò D. Tall
êáé R. Gray ôá óôïé÷åéþäç ìáèçìáôéêÜ áñ÷ßæïõí ìå ôçí áíôßëçøç êáé äñÜóç
åðß ôùí áíôéêåéìÝíùí ôïõ åîùôåñéêïý êüóìïõ, óýìöùíá ìå ôï
ó÷åäéÜãñáììá:
ÊáôÜ ôïí D. Tall, ç ãíùóôéêÞ áíÜðôõîç áðü ôç óôïé÷åéþäç óôçí
ðñï÷ùñçìÝíç ìáèçìáôéêÞ óêÝøç óôï Üôïìï, ìðïñåß íá õðïôåèåß üôé áñ÷ßæåé ìå
ôçí áíôßëçøç êáé ôç äñÜóç åðß ôùí áíôéêåéìÝíùí ôïõ åîùôåñéêïý êüóìïõ êáé
ïéêïäïìåßôáé ìÝóù äýï ðáñÜëëçëùí åîåëéêôéêþí äéáäéêáóéþí: ìéáò
ïðôéêï÷ùñéêÞò óå ëåêôéðáñáãùãéêÞ êáé ìéáò áëëåðÜëëçëçò äéáäéêáóßáò
óõìðýêíùóçò (encapsulation) åííïéþí, ÷ñçóéìïðïéþíôáò äéá÷åéñÞóéìá óýìâïëá.
ÌÝóù áõôþí ôùí äéáäéêáóéþí ôï Üôïìï ïäçãåßôáé óôç äçìéïõñãéêÞ óêÝøç ç
ïðïßá âáóßæåôáé óå ôõðéêÜ ïñéóìÝíá áíôéêåßìåíá êáé óôç óõóôçìáôéêÞ áðüäåéîç.
Ðéï åéäéêÜ, ìéëþíôáò ãéá ðñï÷ùñçìÝíç ìáèçìáôéêÞ óêÝøç, èá ðñÝðåé
ïðùóäÞðïôå íá ìéëÞóïõìå ãéá ãåíßêåõóç êáé áöáßñåóç (áíáóôï÷áóôéêÞ).
Ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé ç ðéï åíäåäåéãìÝíç ðñïóÝããéóç
óôç ãåíßêåõóç åßíáé ç ðñüêëçóç åìðåéñéþí ïé ïðïßåò ïäçãïýí óôçí óå âÜèïò
êáôáíüçóç ôçò ôñÝ÷ïõóáò êáôÜóôáóçò, þóôå íá åðéôñáðåß ç ìåôáêßíçóç óå
ðéï ãåíéêÞ ðåñßðôùóç.
Ôçí ßäéá ðñïûðüèåóç èÝôåé êáé ï Von Glaserfeld ãéá ôçí áíáóôï÷áóôéêÞ
áöáßñåóç: ç ìåôáêßíçóç óôï ðñþôï åðßðåäï áöáßñåóçò áðáéôåß óõãêåêñéìÝíç
åìðåéñßá.
ÊáôÜ ôïí Von Glaserfeld, ç äýíáìç ôçò ëïãéêÞò (êáé ôùí ðáñáãùãéêþí
äéáäéêáóéþí ðïõ ôçí áðïôåëïýí) Ýãêåéôáé óôï ãåãïíüò üôé ìðïñåß íá
ïäçãÞóåé ðïëý ðéï ðÝñá áðü ôï ðåäßï ôùí ðñáãìáôéêÜ âéùìÝíùí
óõãêåêñéìÝíùí êáôáóôÜóåùí áëëÜ äåí éó÷ýåé ëéãüôåñï ôï ãåãïíüò üôé ç
áíÜðôõîç áõôÞò ôçò ëïãéêÞò äå ëáìâÜíåé ÷þñá áðïõóßá ôçò åìðåéñßáò.
Ç äñáóôçñéüôçôá ôïõ áíáóôï÷áóìïý êÜðïéïõ ðÜíù óôéò íïçôéêÝò
ëåéôïõñãßåò ôïõ, áñ÷ßæåé ìå ôçí áöáßñåóç ôùí ëåéôïõñãéêþí ó÷çìÜôùí áðü ôéò
áéóèçóéï – êéíçôéêÝò ðñÜîåéò. Ìå Üëëá ëüãéá, ãéá íá áöáéñÝóåé ï,ôéäÞðïôå ôï
õðïêåßìåíï, èá ðñÝðåé íá Ý÷åé ðñþôá ôçí åõêáéñßá íá äñÜóåé. Ùóôüóï ïé
åõêáéñßåò äñÜóçò áðáéôïýí áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü êáé êáôáóôÜóåéò êáôÜ
ôéò ïðïßåò èá åêäçëùèåß ç äñÜóç ðÜíù ó' áõôü ôï õëéêü.
Aíôßëçøç ÓêÝøç ÄñÜóç
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ132
Ó÷åôéêÜ ìå ôçí áöáßñåóç ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé ìéá
áöáéñåôéêÞ äéáäéêáóßá óõìâáßíåé üôáí ôï õðïêåßìåíï åóôéÜæåé ôçí ðñïóï÷Þ
ôïõ óå óõãêåêñéìÝíåò éäéüôçôåò åíüò äïóìÝíïõ áíôéêåéìÝíïõ êáé ìåôÜ èåùñåß
áõôÝò ôéò éäéüôçôåò áðïìïíùìÝíåò áðü ôï áñ÷éêü áíôéêåßìåíï. Áõôü ìðïñåß
íá ãßíåé, ãéá ðáñÜäåéãìá, ãéá íá êáôáíïÞóåé ôçí ïõóßá åíüò óõãêåêñéìÝíïõ
öáéíïìÝíïõ· ßóùò áñãüôåñá íá ìðïñÝóåé êáé åöáñìüóåé ôçí ßäéá èåùñßá óå
Üëëåò ðåñéðôþóåéò üðïõ áõôÞ åöáñìüæåôáé.
ÔÝôïéá åöáñìïãÞ ìéáò áöçñçìÝíçò èåùñßáò èá Þôáí ìéá ðåñßðôùóç
áíáêáôáóêåõáóôéêÞò ãåíßêåõóçò åðåéäÞ ïé áöçñçìÝíåò éäéüôçôåò åßíáé
áíáêáôáóêåõÝò ôùí áñ÷éêþí éäéïôÞôùí ðïõ ôþñá åöáñìüæïíôáé ó' Ýíá
åõñýôåñï ðåäßï.
Ïé Harel êáé Tall ðáñáôçñïýí üôé ç ôõðéêÞ áöáßñåóç äåí åßíáé åýêïëç
õðüèåóç ãéá ôïõò ìáèçôÝò êáé èÝôïõí ôï åñþôçìá ðùò èá ìðïñïýóáí áõôïß
íá âïçèçèïýí ãéá íá öôÜóïõí óôçí áíáêáôáóêåõáóôéêÞ ãåíßêåõóç ðïõ
áðáéôåßôáé ãéá ôçí ôõðéêÞ áöáßñåóç. Óôï åñþôçìá áõôü ïé ßäéïé åñåõíçôÝò
áðáíôïýí ìå ôçí åóôßáóç óå óõãêåêñéìÝíï ðáñÜäåéãìá ðïõ ôï ïíïìÜæïõí
generic êáé ôï èåùñïýí ùò áíôéðñüóùðï ôçò áöçñçìÝíçò éäÝáò Þ üôé
óõìðõêíþíåé ôçí ïõóßá ìéáò (ãåíéêÞò) áðüäåéîçò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ç
áíáæÞôçóç ôïõ ðëÞèïõò, ôùí óçìåßùí ôïìÞò 10 åõèåéþí ðïõ ôÝìíïíôáé áíÜ
äýï, ÷ùñßò íá äéÝñ÷ïíôáé áíÜ ôñåéò áðü ôï ßäéï óçìåßï, Þ ôùí ÷åéñáøéþí óå ìéá
óõãêÝíôñùóç 10 áôüìùí üðïõ üëïé áëëçëï÷áéñåôÞèçêáí, åíþ åßíáé
óõãêåêñéìÝíá ðñïâëÞìáôá ðïõ åðéôñÝðïõí êáé ìéá ðåéñáìáôéêÞ ðñïóÝããéóç,
ç êåíôñéêÞ éäÝá ôçò ëýóçò ôïõò åßíáé ç ßäéá êáé óôçí ðåñßðôùóç ðïõ áíôß ãéá
óõãêåêñéìÝíï áñéèìü åõèåéþí ç áôüìùí Ý÷ïõìå ãåíéêÜ m åõèåßåò Þ m Üôïìá.
¼ëåò ïé ðñïáíáöåñèåßóåò áðüøåéò, åßíáé êáôÜ ôç ãíþìç ìáò, åíôåëþò
áðáñáßôçôï íá ðáñèïýí õðüøç, ãéá íá êáôáñôéóôåß Ýíá ðñüãñáììá êáé Ýíá
óþìá ãíùóôéêïý õëéêïý ðïõ íá âïçèÜåé ðñïò ôçí êáôåýèõíóç íá êåñäéèåß ôï
åíäéáöÝñïí, ç áãÜðç êáé ç åñãáôéêüôçôá ôùí ìáèçôþí, éäßùò ôùí ìéêñþí ïé
ïðïßïé åýêïëá áðïãïçôåýïíôáé üôáí êÜôé äåí ôïõò "ðÜåé êáëÜ"....
¸÷ïíôáò êáôÜ íïõ áõôÝò ôéò óêÝøåéò äýï êáé ðëÝïí ÷ñüíéá ôþñá áðü
ìÜèçìá óå ìÜèçìá, âäïìÜäá ôç âäïìÜäá Ý÷ïõìå ðñïóåêôéêÜ åðéëÝîåé êáé
äéäÜîåé Ýíá åêôåôáìÝíï õëéêü ãéá ðñïåôïéìáóßá ìáèçôþí üëùí ôùí ôÜîåùí
áðü ôç Â' ãõìíáóßïõ ùò ôç Â' ëõêåßïõ óå áíôßóôïé÷á ôìÞìáôá ðñïåôïéìáóßáò
ãéá ìáèçìáôéêïýò äéáãùíéóìïýò (Ô.Ð.Ì.Ä.) (Áðü ôïí Ïêô. 2002 ìÝ÷ñé óÞìåñá,
áñ÷éêÜ óôï 2ï Ëýêåéï Êåñáôóéíßïõ êáé óôç óõíÝ÷åéá óôá Ðåéñ. Ëýêåéá
Éùííéäåßïõ, ÆÜííåéï êáé óôï ÑÜëëåéï Ëýêåéï ÐåéñáéÜ).
Ôï õëéêü áõôü (Þ ãéá ôçí áêñßâåéá ìÝñïò ôïõ õëéêïý), êÜíïõìå
ðñïóðÜèåéá íá ðáñïõóéÜóïõìå üóï ãßíåôáé ôáîéíïìçìÝíï, óôï ðáñüí ôåý÷ïò,
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 133
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
ìå ôç óêÝøç üôé ôüóï áõôü êáè' áõôü ôï õëéêü, üóï êáé ç äïìÞ ôïõ,
ðñïóöÝñïíôáé ùò õëéêü áöåôçñßáò, êáëýðôïíôáò ìéá ðñáãìáôéêÞ áíÜãêç
êáé ãéá Ýíá éêáíü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ôùí óõíáäÝëöùí ðïõ èÝëïõí íá
óõãêñïôÞóïõí Ô.Ð.Ì.Ä., áëëÜ äåí ôï áðïöáóßæïõí ãéáôß ôïõò ëåßðåé Ýíá
óõãêñïôçìÝíï ãíùóôéêü õëéêü ðÜíù óôï ïðïßï èá åñãáóôïýí. Êáé Ý÷ïõí
äßêéï íá åßíáé åðéöõëáêôéêïß. ¼óïé ðÞñáí ôï ñßóêï èá Ý÷ïõí áíôéëçöèåß üôé
ôá ðñÜãìáôá äåí åßíáé êáé ôüóï áðëÜ.
¼óïí áöïñÜ ôéò ëýóåéò ôùí ðñïôåéíïìÝíùí èåìÜôùí, õðÜñ÷ïõí ôñåéò
ëüãïé ãéá ôïõò ïðïßïõò äåí óõìðåñéëáìâÜíïíôáé óôï ðáñüí ôåý÷ïò. Ï ðñþôïò
åßíáé ðñáêôéêüò (Ýëëåéøç ÷þñïõ). Ï äåýôåñïò åßíáé ãéáôß ãéá ôïõò
ðåñéóóüôåñïõò äåí åßíáé áðáñáßôçôåò. Êáé ï ôñßôïò åßíáé ãéá íá ìç
óôåñÞóïõìå áðü êáíÝíá áíáãíþóôç ôç ÷áñÜ ôçò åðßëõóçò, éäéáßôåñá ôùí
êÜðùò áðáéôçôéêþí ðñïâëçìÜôùí.
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ134
ÐÐññïïââëëÞÞììááôôáá ããééáá ôôçç ´́ êêááéé Ãố ÃÃõõììííááóóßßïïõõ......êêááéé üü÷÷éé ììüüííïï
Î åêéíþíôáò êáíåßò íá êÜíåé ìÜèçìá óå (ìéêñÜ) ðáéäéÜ üðùò åßíáé ôçò
´, áëëÜ êáé ôçò ô Ãõìíáóßïõ, ÷ñåéÜæåôáé éäéáßôåñç ðñïóï÷Þ. ÐïëëÞ
èåùñßá óßãïõñá äåí îÝñïõí, åîïéêåßùóç ìå óõìâïëéóìïýò äåí Ý÷ïõí,
áðïäåßîåéò (ôõðéêÝò) åðßóçò äåí Ý÷ïõí äéäá÷èåß. ¸÷ïõí üìùò åîïéêåßùóç
ìå ôïõò öõóéêïýò áñéèìïýò êáé óßãïõñá äéáèÝôïõí èåìåëéþäåéò
ëïãéêïìáèçìáôéêÝò éêáíüôçôåò (áõôü ðïõ ìåñéêïß ïíïìÜæïõí öõóéêÞ
óêÝøç). ÐÜíù ó´ áõôÜ ôá äýï óôïé÷åßá åßíáé óêüðéìï íá óôçñßîåé êáíåßò ôç
óõíåñãáóßá ôïõ ìå ìáèçôÝò ôçò ´ ãõìíáóßïõ óå ÔìÞìáôá Ðñïåôïéìáóßáò
Ìáèçìáôéêþí Äéáãùíéóìþí. Êáé öõóéêÜ ôá õðü äéáðñáãìÜôåõóç
ðñïâëÞìáôá ðÜíôá èá ðñÝðåé íá äéáêñßíïíôáé áðü Ýíá ðñïêëçôéêü –
åëêõóôéêü (êáé Þ äõíáôüí) äéáóêåäáóôéêü ÷áñáêôÞñá. Åðßóçò ðñÝðåé íá
åßíáé óáöÞ êáé ðëÞñç íïÞìáôïò ãéá ôïõò ìáèçôÝò.
Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò ðÜíôá êáôÜ íïõ, ðñïôåßíïõìå (áí âÝâáéá
óõìöùíåßôå) íá îåêéíÞóïõìå ôï Ìáñáèþíéï ôùí Ìáèçìáôéêþí
Äéáãùíéóìþí áêïëïõèþíôáò ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá – ðñïâëÞìáôá:
1. Âñåßôå ôïõò öõóéêïýò áñéèìïýò á, â áí éó÷ýïõí
ïé éóüôçôåò:
(i) (5 – á) � (â – 3) – 12
(ii) (5 – á) � (â : 3) = 12
2. Âñåßôå ôïõò öõóéêïýò á, â, ã áí éó÷ýåé ç éóüôçôá:
á[5 + 3â + ã � (34 – 28)] = 5
3. Ôï ðëÜôïò åíüò ïñèïãùíßïõ åßíáé 4 ìïíÜäåò, ôï
ìÞêïò ôïõ åßíáé (2x + 2) ìïíÜäåò êáé ôï
åìâáäüí ôïõ åßíáé 48 ôåôñáãùíéêÝò ìïíÜäåò.
Ðüóï åßíáé ôï x;
4. Âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ x áí 3x+2 = 3x + 216.
5. Âñåßôå üëá ôá æåýãç öõóéêþí áñéèìþí á êáé â
ðïõ éêáíïðïéïýí ôéò ó÷Ýóåéò:
6 < 2 + á – â êáé 6 < á < 10.
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
6. Ðüóïé åßíáé üëïé ïé äéøÞöéïé áñéèìïß;
(i) Ðüóïé áð' áõôïýò Ý÷ïõí ßäéá êáé ôá äýï
ôïõò øçößá;
(ii) Ðüóïé äéáöïñåôéêÜ êáé ôá äýï ôïõò
øçößá;
(iii) ÁðáíôÞóôå óôá ßäéá åñùôÞìáôá ãéá
ôñéøÞöéïõò.
7. Ðïéïò åßíáé ï ìéêñüôåñïò êáé ðïéïò ï
ìåãáëýôåñïò áêÝñáéïò ðïõ ìðïñåßôå íá
ãñÜøåôå ìå äýï ìüíï øçößá;
8. ¸íáò áóèåíÞò ðáßñíåé Ýíá ÷Üðé êÜèå 6 þñåò.
Óå ðüóåò þñåò èá ðÜñåé 12 ÷Üðéá;
9. Ðüóïé áêÝñáéïé áñéèìïß õðÜñ÷ïõí ìåôáîý
ôïõ –2000 êáé ôïõ 2000;. Ðüóá øçößá
÷ñåéÜæïíôáé ãéá íá ãñáöôïýí;
10. Ðüóá øçößá èá ÷ñåéáóôåß ï ÄÞìïò óáò ãéá íá
áñéèìÞóåé üëá ôá óðßôéá åíüò äñüìïõ áí åßíáé
óõíïëéêÜ 150;
11. ¸íáò ôõðïãñÜöïò ÷ñåéÜóôçêå 4221 øçößá
ãéá ôçí áñßèìçóç ôùí óåëßäùí åíüò âéâëßïõ.
Ðüóåò óåëßäåò åß÷å áõôü ôï âéâëßï;
12. ÂÜëå ôá øçößá 2,4,6 óôçí êáôÜëëçëç èÝóç
þóôå íá éó÷ýåé ç áíéóüôçôá:
0,� > 0,��
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
13. Âñåßôå ôñåéò äéáäï÷éêïýò öõóéêïýò ìå
Üèñïéóìá 159.
14. ÃñÜøôå ôïí áñéèìü 2002 óáí Üèñïéóìá 13
äéáäï÷éêþí öõóéêþí.
15. ÕðÜñ÷ïõí 10 öõóéêïß áñéèìïß ìå Üèñïéóìá
45; Áí íáé ðïéïß åßíáé áõôïß;
16. ÕðÜñ÷ïõí 14 äéáäï÷éêïß öõóéêïß áñéèìïß ìå
Üèñïéóìá 91; áí íáé ðïéïé åßíáé áõôïß;
17. Íá åîåôÜóåôå áí ï áñéèìüò 32001 ìðïñåß íá
ãñáöåß óáí Üèñïéóìá 3 äéáäï÷éêþí öõóéêþí.
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
18. Ðïéá åßíáé ç ìåãáëýôåñç äõíáôÞ ôéìÞ
ãñáììáôïóÞìïõ ðïõ äåí ìðïñåß íá ðëçñùèåß
ìå íïìßóìáôá áîßáò 2 êáé 5 Åõñþ êáé ìüíï;
19. Ðþò ìðïñïýìå íá ìåôñÞóïõìå 9 ëåðôÜ ìå ôç
âïÞèåéá ìéáò êëåøýäñáò ôùí 5 êáé ìéÜò ôùí 7
ëåðôþí;
20. ¸÷ïõìå óôç äéÜèåóç ìáò êëåøýäñá ôùí 4 êáé
7 ëåðôþí (üóåò ÷ñåéÜæïíôáé áðü ôï êÜèå
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 135
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 193 ðñïâëÞìáôá)
äåßôå óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 135-149)
Íá äåé÷ôåß üôé ï áñéèìüò �3 ��5��+� 2� – �3 ��5��–�2� åßíáé ñçôüò.
¸óôù á, â, ã, ä èåôéêïß áêÝñáéïé ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:
�á
ã� = �
â
ä� = �
áâ
ã
+
ä+1
1� . Íá äåé÷ôåß üôé èá åßíáé á = ã Þ â = ä.
Áí á2 = 7â + 51 êáé â2 = 7á + 51 üðïõ á,â�R ìðïñåßôå íá âñåßôå ôï
ãéíüìåíï áâ;
Áí á, â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß êáé ç�N* Ýôóé þóôå:
�(
(
á
á
+
+
â
â
)
)
n
n
+
– (
(
á
á
–
–
â
â
)
)
n
n� = �
á
â�, íá äåé÷ôåß üôé á = â.
Áí éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò:
� � íá äåé÷ôåß üôé x = y = z.
Íá ëõèåß óôï R ç åîßóùóç: 2x2 – 3x = 2x�x2� –� 3�x� + 1.
Íá ëýóåôå óôï R ôçí åîßóùóç: (4x2 + 6x + 4) � (4y2 – 12y + 25) = 28
Íá åîåôÜóåôå áí ç åîßóùóç: x2003 = x2004 + 1 Ý÷åé ñçôÞ ñßæá.8.
7.
6.
x + y2 + z4 = 0
y + z2 + x4 = 0
z + x2 + y4 = 0
5.
4.
3.
2.
1.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 149
Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß
Tá ðáñáêÜôù èÝìáôá áðåõèýíïíôáé óå ìáèçôÝò Á´, ´ êáé ô Ëõêåßïõ
ðïõ áãáðïýí ôá ìáèçìáôéêÜ (åßôå áó÷ïëïýíôáé ìå Äéáãùíéóìïýò, åßôå ü÷é).
ÈÈÝÝììááôôáá ÁÁëëããååââññ éé êê ïï ýý ËË ïïãã éé óóìì ïï ýý
Ðåñéóóüôåñá èÝìáôá (óõíïëéêÜ 13 óôïí Áëãåâñéêü Ëïãéóìü, 13
óôéò Áíéóüôçôåò, 29 óôç Ãåùìåôñßá, 33 óôçí Áñéèìïèåùñßá, 19
óôçí Áñ÷Þ Dirichlet êáé 13 óôéò ÓõíáñôçóéáêÝò Åîéóþóåéò) äåßôå
óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 149-164)
Åí ï ÷ ë ç ì Ý í ï é
(üðùò ïé ßäéïé
ïìïëïãïýí), Ýíá
æåõãÜñé óõíôáîéïý-
÷ùí ðáíåðéóôçìéáêþí êáèçãçôþí (Bob êáé Elen Kaplan) êáé Ýíáò öïéôçôÞò
ôïõò (ï Thomas Guillermo), áðü ôç öôù÷Þ ðïéüôçôá êáé ôï ÷áìçëü åðßðåäï
ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò óôç ÷þñá ôïõò, ôéò ÇíùìÝíåò Ðïëéôåßåò ôçò
ÁìåñéêÞò, ôï Óåðôåìâñßï ôïõ 1994 óõíÝóôçóáí ôïí "Êýêëï ôùí
Ìáèçìáôéêþí".
Óôçí áñ÷Þ íïßêéáóáí êÜðïéï ÷þñï áðü ôçí ôïðéêÞ
åêêëçóßá üðïõ äñáóôçñéïðïéÞèçêáí ãéá Ýíá åîÜìçíï,
ðñïóåëêýïíôáò áõôÞ ôçí ðåñßïäï 29 ìáèçôÝò ïé ïðïßïé êáé
óõíåéóÝöåñáí üðïôå ÷ñåéáæüôáí ãéá ôçí êÜëõøç ôùí åîüäùí
ðïõ ðñáãìáôïðïéïýíôáí.
Ïé ðñþôïé ìáèçôÝò ðñïÝñ÷ïíôáí áðü Ñþóïõò ìåôáíÜóôåò
êáé êÜðïéïõò ðáëáéüôåñïõò ìáèçôÝò ôùí Kaplan. Óôç óõíÝ÷åéá
áðü óôüìá óå óôüìá äéáäüèçêå ç ëåéôïõñãßá ôïõ "Êýêëïõ" êáé
Ýöôáóáí íá ðáñáêïëïõèïýí ôï 2001 ðÜíù áðü 200 ìáèçôÝò,
ðïëëïß áðü ôïõò ïðïßïõò ðñïÝñ÷ïíôáí áðü ðïëý ìáêñéíÝò ðåñéï÷Ýò.
Ç óçìáóßá êáé ç áîßá ôçò ðñïóðÜèåéáò ôùí Kaplan äåí Üñãçóå êáèüëïõ
íá åêôéìçèåß êáé Þäç áðü ôç äåýôåñç ðåñßïäï ëåéôïõñãßáò ôïõ "Êýêëïõ" ôá
ðáíåðéóôÞìéá Northeastern êáé Harvard ôïõò ðáñå÷þñçóáí óôÝãç, ü÷é
ìüíï ãéá ôá ìáèÞìáôá ôïõ ÓáââÜôïõ (ðïõ ôþñá ðëÝïí ãßíïíôáé ÊõñéáêÞ),
áëëÜ êáé ãéá ôá áðïãåõìáôéíÜ ìáèÞìáôá êÜèå Ôñßôç êáé ÔÝôÜñôç ôá ïðïßá
ðáñáêïëïõèïýí êõñßùò ïé íåüôåñïé ìáèçôÝò áðü 5 åþò 11 åôþí (óå 9
ôìÞìáôá êáôÜ ôï 2001).
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 165
Ï êýêëïò ôùí Ìáèçìáôéêþí
ôùí Helen êáé Bob Kaplan
Ìéá áîéüëïãç åèåëïíôéêÞ ðñùôïâïõëßá ìå
õðÝñ10åôÞ áäéÜêïðç äñáóôçñéüôçôá ðïõ
êåñäßæåé üëï êáé ðåñéóóüôåñç åêôßìçóç áëëÜ
êáé ìéìçôÝò óå äéåèíÝò åðßðåäï.
«Ï Êýêëïò ôùí Ìáèçìáôéêþí»
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò
ôïõ “ö” (óåë. 165-168)
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 169
Ôï ÂÞìá óôïõò ÌáèçôÝò ìáò
H ìáèçìáôéêÞH ìáèçìáôéêÞ
åñìçíåßáåñìçíåßá
ìéáò áôõ÷ßáòìéáò áôõ÷ßáò
áðü ôïí
ÌðÜìðç ÌáíïõóéÜäç
(ìáèçôÞ Â´ ôÜîçò Ãõìíáóßïõ
ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003)
Ìå óêïðü íá ðñïâëçèåß ç ðñïóðÜèåéá ôçò Å.Ì.Å. ãéá ôç ëåéôïõñãßá
êáôÜ ôüðïõò ÊÝíôñùí üðïõ äéåîÜãïíôáé ïñãáíùìÝíá ìáèÞìáôá ãéá
Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò, óôéò 9/5/2003 óôï Ðïëéôéóôéêü ÊÝíôñï
“Ìåëßíá Ìåñêïýñç” ôïõ ÄÞìïõ Êåñáôóéíßïõ, ïñãáíþèçêå ìéá çìåñßäá
ôçí ïðïßá ðáñáêïëïýèçóáí ðïëëïß óõíÜäåëöïé áðü Ó÷ïëåßá ôçò
åõñýôåñçò ðåñéï÷Þò, Åêðñüóùðïé Óõëëüãùí ÃïíÝùí, Åêðñüóùðïò ôïõ
ÕÐÅÐÈ, ï Ðñüåäñïò ôçò Å.Ì.Å., ï ÄéåõèõíôÞò ´èìéáò Åêðáßäåõóçò ôïõ
ÐåéñáéÜ, ïé Óýìâïõëïé ôùí Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÐåéñáéÜ êáé áñêåôïß
ìáèçôÝò. Óå ìéá ôÝôïéá åêäÞëùóç ìå ôÝôïéï óôü÷ï, èá Þôáí ðáñÜäïîï áí ïé
ìáèçôÝò Þôáí áðëþò áêñïáôÝò. ÊÜôé ðáñüìïéï äåí óõíÝâç. Áðåíáíôßáò ïé
ìáèçôÝò «Ýêëåøáí ôçí ðáñÜóôáóç». Êáé ü÷é ìå ëüãéá, áëëÜ ìå Ýñãá.
Ðáñïõóßáóáí åñãáóßåò ôïõò ðÜíù óå ðïëý åíäéáöÝñïíôá ðñïâëÞìáôá ìå
ôá ïðïßá åß÷áí áó÷ïëçèåß êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ó÷ïëéêÞò ÷ñïíéÜò ðïõ
ôåëåßùíå. Ïé ìáèçôÝò åíèïõóßáóáí ìå ôç óðéñôÜäá êáé ôçí ïñãÜíùóç ôçò
óêÝøçò ôïõò üëïõò ôïõò ðáñéóôÜìåíïõò ìå áðïôÝëåóìá íá åéóðñÜîïõí
åðáßíïõò êáé Ýíá æåóôü ÷åéñïêñüôçìá ï êáèÝíáò ôïõò.
Ôéò åñãáóßåò áõôÝò ðáñïõóéÜæïõìå áðü ôï “ÂÞìá” ìáò åêöñÜæïíôáò
êáé áðü åäþ ôéò èåñìüôåñåò åõ÷Ýò ìáò ðñïò áõôÜ ôá ðáéäéÜ ãéá ëáìðñÞ
åðéóôçìïíéêÞ óôáäéïäñïìßá.
Êáé åßíáé óßãïõñï ðùò Ý÷ïõí ôéò äõíÜìåéò êáé ôç èÝëçóç íá êÜíïõí ôéò
åõ÷Ýò ìáò ðñáãìáôéêüôçôá.
Â. Å. Â.
Äýï ößëïé, ðïõ ï Ýíáò Ýðéáóå ôçí 1ç Éáíïõáñßïõ äïõëåéÜ êáé
ðáßñíåé ñåðü êÜèå 5 åñãÜóéìåò çìÝñåò, êáé Ýíáò Üëëïò ðïõ
Ýðéáóå äïõëåéÜ óôéò 2 Éáíïõáñßïõ êáé ðáßñíåé ñåðü êÜèå 7
åñãÜóéìåò çìÝñåò, èÝëïõí íá ðÜíå åêäñïìÞ ôéò ïéêïãÝíåéÝò
ôïõò ìáæß, èá ôï êáôáöÝñïõí ðïôÝ;
Ôï ÂÞìá óôïõò ÌáèçôÝò ìáò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ170
4
3
2
1
1
√5
√5
2
ËýóçËýóç
Ãéá ôïí ðñþôï, óôéò 6 çìÝñåò ç ìßá åßíáé ñåðü, ãéá ôï äåýôåñï óôéò 8 çìÝñåò
ç ìßá åßíáé ñåðü.
Áí ì êáé í áíôßóôïé÷á, åßíáé ïé "åâäïìÜäåò", äçëáäÞ ôï 6Þìåñï êáé ôï
8Þìåñï áíôßóôïé÷á, ôüôå ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé üôáí èá óõíáíôçèïýíå ãéá
ôïí ðñþôï èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé áðü ôçí 1/1 ì "åâäïìÜäåò" êáé 5 ìÝñåò, äçëáäÞ:
ïé 6 çìÝñåò x ôéò "åâäïìÜäåò" ðïõ Ý÷åé äïõëÝøåé + 5
Ýôóé ìáèáßíïõìå áí Ý÷åé äïõëÝøåé ì åâäïìÜäåò, ðïéá ìÝñá ôïõ ÷ñüíïõ èá
åßíáé ôüôå, äçëáäÞ 6ì + 5 çìÝñåò.
Ãéá ôïí äåýôåñï áðü ôéò 2/1 èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé 8í +7. ¢ñá áðü ôçí 1/1 ìÝ÷ñé
ôçí ðáñáìïíÞ ôïõ êïéíïý ñåðü èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé 8í +7+1.
¸ôóé âëÝðïõìå üôé ãéá íá õðÜñîåé êïéíü ñåðü ðñÝðåé: 6ì + 5 = 8í +7+1
äçëáäÞ
6ì + 5= 8í +8
Áõôü êáé áí åßíáé áôõ÷ßá...
Ðåñéôôüò = ¢ñôéïò;;;;
¸÷ïõìå Ýíá ðßíáêá 3 × 4 êáé ðåôÜìå ðÜíù ôïõ 7 êéìùëßåò.
Ãéáôß èá õðÜñ÷ïõí ôïõëÜ÷éóôïí äõï óçìÜäéá ðïõ èá
áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò ôï ðïëý ��5��;
ËýóçËýóç
×ùñßæïõìå ôïí ðßíáêá óå Ýîé (6) ßóá ïñèïãþíéá ðáñáëëçëüãñáììá
äéáóôÜóåùí 2 � 1 ôï êáèÝíá, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôüôå áöïý åßíáé 6
ôá ðáñáëëçëüãñáììá êáé 7 ôá óçìÜäéá, óå êÜðïéï ðáñáëëçëüãñáììï èá
õðÜñ÷ïõí ôïõëÜ÷éóôïí äýï óçìÜäéá. ¼ìùò ç ìåãáëýôåñç äõíáôÞ áðüóôáóç
ðÜíù ó’ áõôü ôï ðáñáëëçëüãñáììï åßíáé ç äéáãþíéïò ôïõ ðïõ åßíáé ßóç ìå
�22� +� 1�2� = �5�, ïðüôå ôï æçôïýìåíï áðïäåß÷ôçêå.
Äßíåôáé Ýíáò êýâïò óôïí ïðïßï óå üëåò ôéò êïñõöÝò åßíáé
ôïðïèåôçìÝíï ôï 0, åêôüò áðü ìéá óôçí ïðïßá åßíáé
ôïðïèåôçìÝíï ôï 1.¸íá ðáé÷íßäé ,ëïéðüí, Ý÷åé ùò åîÞò: Óå
êÜèå êßíçóç, åðéëÝãåéò ìéá áêìÞ êáé ðñïóèÝôåéò êáé óôá äýï
Üêñá ôçò áðü ìßá ìïíÜäá.
¸íá ðñüâëçìá¸íá ðñüâëçìá
Ðåñéóôåñï-Ðåñéóôåñï-
öùëéÜòöùëéÜò
áðü ôïí
Ãéþñãï Ëýêï
(ìáèçôÞ Â´ ôÜîçò Ãõìíáóßïõ
ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003)
¸íá ðñüâëçìá¸íá ðñüâëçìá
áíáëëïéþôùíáíáëëïéþôùí
áðü ôïí
Ðáíáãéþôç Êáíôéþôï
(ìáèçôÞ Â´ ôÜîçò Ãõìíáóßïõ
ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003) Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 169-176)
(á) Ï ÃéÜííçò êáé ç Ìáñßá ðáßæïõí Ýíá ðáé÷íßäé
áñ÷ßæïíôáò ìå ôï ó÷Þìá ôçò åéêüíáò 1.
Ï ÃéÜííçò áñ÷ßæåé ôï ðáé÷íßäé êüâïíôáò ôï áñ÷éêü ó÷Þìá
êáôá ìÞêïò ôùí ãñáììþí. ¸ðåéôá, äßíåé ôï êïììÜôé, óôï
ïðïßï åìðåñéÝ÷åôáé ôï ìáýñï ôñßãùíï óôç Ìáñßá, ç ïðïßá
êÜíåé ôçí ßäéá áêñéâþò åíÝñãåéá/âÞìá ìå ôïí ÃéÜííç.
×áìÝíïò áíáêõñÞóåôáé ï ðáß÷ôçò, ðïõ üôáí Ýñèåé ç óåéñÜ
ôïõ ôïõ äïèåß ìüíï ôï ìáýñï ôñßãùíï. Áðïäåßîôå üôé ç
Ìáñßá Ý÷åé óôñáôçãéêÞ íßêçò.
(â) Ôþñá ï ÃéÜííçò êáé ç Ìáñßá ðáßæïõí ôï ßäéï
ðáé÷íßäé, áëëÜ ìå äéáöïñåôéêü áñ÷éêü ó÷Þìá. ÁõôÞ ôç
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 177
ÌáèçìáôéêÜ ðáé÷íßäéá
åéêüíá 1
12 3
4
1o
Ìáíüëçò Áäáì. ÊñáóáíÜêçòÌáèçôÞò Á´ ÔÜîçò ëõêåßïõ
ÐåéñáéÜò
ËËÕÕÓÓÇÇ
• Ãéá ôçí äéåõêüëõíóç ìáò èá ïíïìÜóïõìå ôá ôñßãùíá ìå áñéèìïýò (üðùò
öáßíåôáé äßðëá).
• ¸ðåéôá, åîåôÜæïõìå ìßá-ìßá ôéò ðåñßðôùóåéò:
1. Áí ï ÃéÜííçò êüøåé ôï ôñßãùíï 1, ôüôå ç Ìáñßá ïöåßëåé íá êüøåé ôï
ôñßãùíï 4 ãéá íá íéêÞóåé. Ôüôå ï ÃéÜííçò ðñÝðåé íá åðéëÝîåé íá êüøåé
áíÜìåóá óôá ôñßãùíá 2 êáé 3 áöÞíïíôáò Ýôóé óôç Ìáñßá íá êüøåé ôï
ôåëåõôáßï ôñßãùíï, ðïõ Ý÷åé ìåßíåé,êáé ôáõôü÷ñïíá íá ðÜñåé ôçí íßêç.
2. Áí ï ÃéÜííçò êüøåé ôá ôñßãùíá 1 êáé 2, ôüôå ç Ìáñßá èá íéêÞóåé
êüâïíôáò ôá ôñßãùíá 3 êáé 4.
3. Ôï ßäéï óõìâáßíåé áí ï ÃéÜííçò îåêéíÞóåé êüâïíôáò áðü ôá äåîéÜ ðñïò
ôá áñéóôåñÜ.
öïñÜ ÷ñçóéìïðïéïýí ôï ó÷Þìá óôçí åéêüíá 2. Aðïäåßîôå
üôé ç Ìáñßá îåêéíþíôáò ôï ðáé÷íßäé Ý÷åé óôñáôçãéêÞ íßêçò.
ÌáèçìáôéêÜ ðáé÷íßäéá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ178
7 1
8 2
9 3
4 5 6
ËËÕÕÓÓÇÇ
• Ãéá íá äéåõêïëõíèïýìå êáôÜ ôçí åîÝôáóç ôùí ðåñéðôþóåùí áò
ïíïìÜóïõìå ôéò ãñáììÝò ìå áñéèìïýò.
• ÅðåéäÞ, ç Ìáñßá åßôå êüøåé ìßá áðü ôéò ãñáììÝò 1,2,3, åßôå áðü ôéò 6,5,4,
åßôå áðü ôéò 9,8,7 óôï ðñþôï âÞìá, èá ðñïêëçèïýí áíôßóôïé÷á ôá ßäéá
áðïôåëÝóìáôá, èá åñãáóôïýìå ðÜíù óå Ýíá æåõãÜñé ãñáììþí áðü ôéò
(1,2,3) (ãéá ôï ðñþôï âÞìá).
• ¸ðåéôá ðáßñíïõìå ìßá-ìßá ôéò ðåñéðôþóåéò:
1. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôçí ãñáììÞ 2, ôüôå ï ÃéÜííçò ìðïñåß íá êüøåé ôçí
ãñáììÞ 3,êáé íá ïäçãÞóåé ôçí Ìáñßá óôçí Þôôá (1á).
2. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôç ãñáììÞ 3,ôüôå ï ÃéÜííçò ìðïñåß íá êüøåé ôçí
ãñáììÞ 2, êáé íá ïäçãÞóåé ôçí Ìáñßá óôçí Þôôá (1á).
3. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôçí ãñáììÞ 1, ôüôå ï ÃéÜííçò Ý÷åé íá åðéëÝîåé
áíÜìåóá óôéò 9,8,7,3,2,4,5,6. ÅÜí ï ÃéÜííçò êáôáëÞîåé óôï íá êüøåé ìßá
áðü ôéò 8,7,3,2,4,5, ç Ìáñßá êüâïíôáò ôéò 7,8,2,3,5,4 áíôßóôïé÷á óå êÜèå
ðåñßðôùóç ìðïñåß íá ôïí ïäçãÞóåé óôçí Þôôá (1á). Åáí, üìùò, ï ÃéÜííçò
êüøåé ìßá áðü ôéò 9 êáé 6,ç Ìáñßá äåí Ý÷åé ðáñÜ íá êüøåé ôçí Üëëç ðïõ
áðÝìåéíå, þóôå íá ôïí ïäçãÞóåé óå ìßá áðü ôéò ðñïãåíÝóôåñåò åðéëïãÝò,
êáé åðïìÝíùò óôçí Þôôá.
• ¢ñá ç Ìáñßá ãéá íá íéêÞóåé äåí Ý÷åé ðáñÜ íá áêïëïõèÞóåé ôá âÞìáôá
ôçò 3çò ðåñßðôùóçò.
åéêüíá 2
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 177-182)
Ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá Ý÷åé êáèéåñùèåß, ôá ðÜóçò öýóåùò âïçèÞìáôá
óôá ÌáèçìáôéêÜ (áëëÜ êáé óå Üëëá ìáèÞìáôá), íá ðñïôåßíïõí
êáé ìéá óåéñÜ áðü äéáãùíßóìáôá ãéá âïÞèåéá óôï Ýñãï ôïõ êáèçãçôÞ.
Äåí åßíáé óðÜíéåò ïé êáëÝò éäÝåò ðïõ ìðïñåß êáíåßò íá åíôïðßóåé ó'
áõôÜ. Óõ÷íÜ üìùò ðñüêåéôáé ãéá ìéá áðëÞ ðáñÜôáîç åñùôçìÜôùí
÷ùñßò äïìÞ êáé óõíï÷Þ, ÷ùñßò åðéóôçìïëïãéêü õðüâáèñï êáé óôü÷ïõò,
ðïõ åîáíôëåßôáé óôç ìïñöïëïãéêÞ áðïìßìçóç ôùí èåìÜôùí ôùí Ãåí.
ÅîåôÜóåùí (áêïëïõèþíôáò ðñïöáíþò ðéóôÜ ôéò íôéñåêôßâåò ôïõ Ð.É.)
êáé óôçí "êáôÜëëçëç" ìïñéïäüôçóç ãéá íá ðñïêýðôåé ðÜíôá ôï ãíùóôü
100Üñé.
Ðáñ' üëá áõôÜ åßíáé óßãïõñï ðùò ðïëëïß óõíÜäåëöïé ÷ñçóéìïðïéïýí
êáé áîéïðïéïýí êáôÜ ôçí êñßóç ôïõò áõôü ôï õëéêü ðåôõ÷áßíïíôáò
ðïëëÝò öïñÝò áîéüëïãåò óõíèÝóåéò. ÁõôÞ ç ðëåõñÜ ôçò äïõëåéÜò ôùí
óõíáäÝëöùí ðéóôåýïõìå ðùò ìðïñåß íá õðçñåôçèåß ìå ôçí ðáñïõóßáóç
ôùí ðáñáêÜôù äéáãùíéóìÜôùí ðïõ ôïõëÜ÷éóôïí Ý÷ïõí ôï ðëåïíÝêôçìá
üôé åßíáé ðñáãìáôéêÜ êáé äïêéìáóìÝíá êáé ìÜëéóôá óå ó÷ïëåßá êáé
ðåñéï÷Ýò ðïëý äéáöïñåôéêÝò ìåôáîý ôïõò. Áò ðïýìå ðùò ì' áõôÜ ôá
äåäïìÝíá ç ðáñïýóá óôÞëç áðïôåëåß Ýíá óçìåßï óõíÜíôçóçò, Ýíá âÞìá
äéáëüãïõ, Ýíá âÞìá åðéêïéíùíßáò ôùí éäåþí ìáò êáé ôùí áíôéëÞøåùí
ìáò üðùò áõôÝò óõìðõêíþíïíôáé Þ áíáäýïíôáé ìÝóá áðü ôá
äéáãùíßóìáôá ìáò.
ÂÝâáéá ãéá ôïí áíáãíþóôç - óõíÜäåëöï ìéá áíáöïñÜ óôï ðíåýìá êáé
ôïõò óôü÷ïõò ôùí äéáãùíéóìÜôùí êáèþò êáé Ýíá óôáôéóôéêü ìå ôá
áíôßóôïé÷á ó÷üëéá ôùí õðïãñáöüíôùí ôá äéáãùíßóìáôá óõíáäÝëöùí, èá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 183
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 183
åß÷å ðïëý ðåñéóóüôåñá íá ðñïóöÝñåé. ¼ìùò ï ÷ñüíïò ðïõ æçôÞèçêáí
áõôÜ áðü ôïõò ößëïõò - óõíáäÝëöïõò äåí åõíüçóå ìéá ôÝôïéá
äõíáôüôçôá. Ôï ßäéï éó÷ýåé êáé ãéá ôïí ãñÜöïíôá, ìéáò êáé ôüóï ï ÷ñüíïò
ðïõ áðïöáóßóôçêå íá õðÜñîåé áõôÞ ç óôÞëç óôï ðáñüí, äåí åðÝôñåðå
áíáöïñÝò óå óôáôéóôéêÜ äéáãùíéóìÜôùí ðñïçãïýìåíùí ÷ñüíùí (ïýôå
êáí ôïõ ôñÝ÷ïíôïò) üóï êáé ãéáôß ôá ÷ñïíéêÜ ðåñéèþñéá ðïõ Üöçíå ôï
÷ñïíïäéÜãñáììá ôïõ ôåý÷ïõò Þôáí ðñáãìáôéêÜ áóöõêôéêÜ.
Óôç óõíÝ÷åéá ðáñáôßèåíôáé ôá äéáãùíßóìáôá ðïõ Ý÷ïõìå óôç
äéÜèåóÞ ìáò êáôÜ ôÜîç (ìå áýîïõóá óåéñÜ) êáé óôá ðëáßóéá ôçò êÜèå
ôÜîçò ìå áëöáâçôéêÞ óåéñÜ ìå âÜóç ôï åðþíõìï ôùí äçìéïõñãþí ôïõò.
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ184
ÙÑÉÁÉÁ ÃÑÁÐÔÇ ÄÏÊÉÌÁÓÉÁ Á´ ÔÑÉÌÇÍÏÕ
ÓÔÁ ÌÌÁÁÈÈÇÇÌÌÁÁÔÔÉÉÊÊÁÁ
01/12/2003
ÄéäÜóêùí: ÊõñéÜêïò ÊáìðïýêïòM.sc. óôá ÌáèçìáôéêÜ
M. ed. óôç ÄéäáêôéêÞ êáé Ìåèïäïëïãßá ôùí Ìáèçìáôéêþí
Íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:
á) (á + â) � (á – â) =
â) (á + â)3 =
ã) (á – â)2 =
Íá âñåßôå ôá ðáñáêÜôù áíáðôýãìáôá:
á) (3x2 – 4y3)2 =
â) (2 + x)3 =
Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:
á) (3x + 1)2 – (x – 2) � (x + 2) – (4x + 1) � 2x =
â) (4x – 1)2 – (4x + 1)2 = ÅöáñìïãÞ ôáõôïôÞôùí óå ðéïóýíèåôç ìïñöÞ (Ôá á, âáðáíôÞèçêáí áíôßóôïé÷á áðü 4êáé 9 ìáèçôÝò).
ÅöáñìïãÞ ôùí ôáõôïôÞôùí êáééäéïôÞôùí äõíÜìåùí. (Ôá á, âáðáíôÞèçêáí áðü 6 êáé 11ìáèçôÝò).
Êßíçôñï ãéá íá äéáâÜóïõí ôéòôáõôüôçôåò êáé ôüíùóç ôçòáõôïðåðïßèçóçò. (Ôá åñùôÞìáôááðáíôÞèçêáí áíôßóôïé÷á áðü 11,14 êáé 17 ìáèçôÝò).
1ïÃõìíÜóéï Óáëáìßíáò
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 22ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 33ïï::
Óôü÷ïé:
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 184
Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò:
á) x2(á – â) + 25(â – á) =
â) (x + 1)2 – y2 + 2y – 1 =
ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ
ÔÜîç Á´
ÄéäÜóêùí: Ìáíüëçò ÁëéðñÜíôçò
Á. Äåßîôå üôé ç äéÜìåóïò ôïõ ôñáðåæßïõ åßíáé ðáñÜëëçëç ðñïò ôéò âÜóåéò
ôïõ êáé ßóç ìå ôï çìéÜèñïéóìá ôïõòÌïíÜäåò 13
Â. Äßíåôáé ôï ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) ìå Á = 3á êáé ÃÄ = á. Áí Å
êáé Æ åßíáé ìÝóá ôùí ÁÄ êáé àêáé Ì ôï ìÝóï ôçò ÅÆ äåßîôå üôé ôï
ôåôñÜðëåõñï ÄÃÌÅ åßíáé ðáñáëëçëüãñáììï.ÌïíÜäåò 12
Óçìåéþóôå óôï ãñáðôü óáò ôçí óùóôÞ áðÜíôçóç.
Á. Óå êÜèå ôñßãùíï ôï óçìåßï ðïõ éóáðÝ÷åé áðü ôéò êïñõöÝò ôïõ åßíáé:
á. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí õøþí.
â. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí ìåóïêáèÝôùí
ã. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äé÷ïôüìùí ä. ÊáíÝíá áðü áõôÜ ôá óçìåßá.
ÌïíÜäåò 5
Â. Áí å1//å2, ∧
Á1 = 2x + 10° êáé ∧
B1 = x – 10° ôüôå ∧
Â2 åßíáé:
á. 130° â. 120° ã. 110° ä. 115° å. 125°
ÌïíÜäåò 5
Ã. Áí åßíáé ÁÂ = ÁÄ = ÄÃ êáé ∧
Á1 = 40° ôüôå ç ∧
Â2 åßíáé:
á. 30° â. 35° ã. 40° ä. 45° å. 50°
ÌïíÜäåò 5
Ä. Áí åßíáé ∧
Á = 90°, ÂÌ = ÌÃ, ∧
 = 2ù êáé ∧
à = ù ôüôå ç ∧
ö åßíáé
á. 50° â. 40° ã. 35° ä. 30° å. 45°ÌïíÜäåò 5
Å. Áí ôï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) åßíáé éóïóêåëÝò ôñáðÝæéï ìå Á = 4x,
ÃÄ = 2x êáé ∧
 = 45° ôüôå ôï ýøïò ôïõ ôñáðåæßïõ åßíáé:
á. 4x â. 3x ã. 2x ä. x å. 0,5x ôñßãùíï ÁÂÃ
ÌïíÜäåò 5
ÅöáñìïãÞ ôùí ôáõôïôÞôùí óôçíðáñáãïíôïðïßçóç (Ôï ááðáíôÞèçêå ìüíï áðü 1 ìáèçôÞêáé ôï â áðü 3 ìáèçôÝò.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 185
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
4ïÅíéáßï Ëýêåéï Óåññþí
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 22ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 44ïï::
å1
å2
Á
Â
1
1 2
Á
ÃÂ
Á
ÃÂ Ì
2ù
ö
ù
Ä Ã
Á Â
2x
4x45°
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 185
Ná äåßîåôå üôé áí ôá ôñßãùíá ÁÂà êáé Á´Â´Ã´ Ý÷ïõí ∧
Á = ∧
Á´, õá = õá´ êáé
õâ = õâ´ åßíáé ßóá.
ÌïíÜäåò 25
Óôï ôñßãùíï ÁÂÃ(Áà > ÁÂ) ç ÁÄ åßíáé äé÷ïôüìïò ôçò ∧
Á. ÖÝñíïõìå ôï
ÂÅ⊥ÁÄ ðïõ ôÝìíåé ôçí Áà óôï Æ. Áí Ì ôï ìÝóï ôçò Âà íá äåßîåôå üôé:
Á. ôï ÁÄ
ÂÆ åßíáé éóïóêåëÝò,
Â. ÅÌ = �Áà –
2
ÁÂ� ,
Ã. Ä∧
ÅÌ = �
∧
Á
2� ÌïíÜäåò 7 + 11 + 7
ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ
ÔÜîç Á´
ÄéäÜóê.: Óïößá Áíäñéïðïýëïõ - ÁëéðñÜíôç
á. Íá äåßîåôå üôé:
Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåé ôá ìÝóá ôùí äýï ðëåõñþí
ôñéãþíïõ åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôçí ôñßôç ðëåõñÜ êáé ßóï ìå ôï ìéóü
ôçò.
(Ìïí. 20)
â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá õðïëïãéóôïýí ôá x êáé ø áí ÅÄ//ÂÃ.
(Ìïí. 5)
á. Óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá íá âñåßôå ôá x êáé ø.
(Ç åõèåßá å åßíáé åöáðôïìÝíç óôïí êýêëï)
â. Íá áðïäåé÷èåß üôé êÜèå éóïóêåëÝò ôñáðÝæéï åßíáé åããñÜøéìï.
(Ìïí. 15)
Â
Ã
Ä
Á
Ï
35°50°
x
ø Ï
Á
 Ã
40°
å
ø
x
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ186
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 33ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 44ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 22ïï::
ÌïõóéêüËýêåéï Óåññþí
Á
ÃÂ
E2,5
x
ø
Ä
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 186
Äßíåôáé ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ (∧
Á = 90°) êáé ç äé÷ïôüìïò ôïõ ÂÄ. Áðü
ôï Ä öÝñíïõìå ÄÅ⊥ÂÃ, ðïõ ôÝìíåé ôçí ÁÂ óôï Æ.
Íá äåßîåôå üôé ÂÆ = ÂÃ.
(Ìïí. 25)
Äßíåôáé ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ (∧
Á = 90°) êáé ôï ýøïò ôïõ ÁÄ.
á. Áí Å, Æ åßíáé ôá ìÝóá ôùí Á êáé ÁÃ, íá áðïäåßîåôå üôé
ÅÄÆ = Á = 90°.
(Ìïí. 15)
â. Áí Ì åßíáé ìÝóï ôçò ÅÆ, íá áðïäåßîåôå üôé ÄÌ = �Â
4
�.
(Ìïí. 10)
2ùñï ÄÉÁÃÙÍÉÓÌÁ 1ïõ ÔÅÔÑÁÌÇÍÏÕ
ÓÔÇ ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ
ÔÜîç Á´ – ÔìÞìá 2ï
11/12/2003
ÄéäÜóêùí: Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
Á´ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ
á. Ðüóùí ìïéñþí åßíáé ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæïõí ïé äé÷ïôüìïé äýï
åöåîåßò ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí; ÐáñïõóéÜóôå ó÷çìáôéêÜ ôçí
áðÜíôçóÞ óáò, ÷ùñßò íá êÜíåôå áðüäåéîç.
[8 ìïíÜäåò]
â. Íá âñåßôå ôéò ãùíßåò ö, x, y, ù áí Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìßá ðëÞñç ãùíßá
êáé éêáíïðïéïýí ôéò ó÷Ýóåéò: �ö
x� = �
y
x� = �
ù
y� = �
1
2�.
[8 ìïíÜäåò]
ã. Ðüóùí ìïéñþí ãùíßá ó÷çìáôßæïõí ïé äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý óáò óôéò 7
áêñéâþò êáé ðüóùí óôéò 7 êáé 20´;
[9 ìïíÜäåò]
á. Ðüóá ôñßãùíá õðÜñ÷ïõí óôï äéðëáíü ó÷Þìá; Ìå âÜóç ðïéï óôïé÷åßï
ôïõò ôá êáôáìåôñÜôå; Áí óôç âÜóç áíôß 5 óçìåßá, åß÷áìå 100, ðüóá èá
Þôáí ôá ôñßãùíá;
â. Íá âñåßôå óå ðïéï ðïëýãùíï ï óõíïëéêüò áñéèìüò ðëåõñþí êáé
äéáãùíßùí ôïõ, éóïýôáé ìå 190.
[12 + 13 ìïíÜäåò]
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 187
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 33ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 44ïï::
ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ
ËÕÊÅÉÏ
ÉÙÍÉÄÅÉÏÕ Ó×ÏËÇÓ
ÐÅÉÑÁÉÁ
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 22ïï::Á
A1xA2 A3 A5A4
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 187
á. Ôñßá ÷ùñéÜ ×1, ×2, ×3 ðñüêåéôáé íá óõíåíùèïýí óå Ýíá ÄÞìï. Ðïõ
èá ðñÝðåé íá ÷ôéóôåß ôï Äçìáñ÷åßï, þóôå êáíÝíá áðü ôá ÷ùñéÜ íá ìçí
áäéêçèåß;
[8 ìïíÜäåò]
â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá ç (ä) åßíáé ìåóïêÜèåôç ôïõ Á êáé ç (å) ôõ÷ïýóá
åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï Á. Ôï Ñ åßíáé ôõ÷üí óçìåßï ôçò (ä) êáé
ôï Ã ç ðñïâïëÞ ôïõ óôçí (å). Ðïéï áðü ôá ÑÂ, ÃÑ åßíáé ìåãáëýôåñï
êáé ãéáôß;
[8 ìïíÜäåò]
ã. Óôï äéðëáíü çìéêýêëéï äéáìÝôñïõ ÁÂ, ïé ÃÇ êáé ÄÆ åßíáé
ìåóïêÜèåôåò ôùí áêôßíùí ÏÁ êáé Ï áíôßóôïé÷á. Íá áðïäåßîåôå üôé:
(i) Á∩
à = Â∩
Ä êáé
[4 ìïíÜäåò]
(ii)Áí Ì ôõ÷üí óçìåßï ôïõ Ã∩
Ä ôüôå åßíáé ÌA > R êáé ÌÂ > R
(üðïõ R ç áêôßíá ôïõ çìéêõêëßïõ).
[5 ìïíÜäåò]
á. Óôï ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò éó÷ýïõí: Á = ÃÄ
êáé Âà = ÁÄ. Íá äåßîåôå üôé ïé Áà êáé ÂÄ åßíáé äéÜìåôñïé ôïõ
êýêëïõ.
[12 ìïíÜäåò]
â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá åßíáé R>r. Íá óõãêñßíåôå ôá ìÝôñá ôùí
êõñôïãþíéùí ôüîùí Á�
 ôïõ ìéêñïý êáé ôïõ ìåãÜëïõ êýêëïõ.
[13 ìïíÜäåò]r KË
Á
Â
R
ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ188
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 33ïï::
ÈÈÅÅÌÌÁÁ 44ïï::
Á Â
Ä Ã
Ç Æ
ÃÌ
Ä
Á Ï Â
Ã
Ñ
ÂÌÁ
(å)(ä)
X1 X2
X3
Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 30 äéáãùíßóìáôá), äåßôå óôï
1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 183-218)
18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 188
Ïé ðëçñïöïñßåò ðïõ äßíïõìå óôïõò ìáèçôÝò êáé óôïõò ãïíåßò ãéá ôçí
åðßäïóç ôùí ðáéäéþí ôïõò ìðïñïýí íá ðáßîïõí ðïëý èåôéêü Þ áñíçôéêü
ñüëï. Ìðïñïýí íá ôïõò áðïèáññýíïõí, íá ôïõò áðïðñïóáíáôïëßóïõí Þ êáé
íá ôïõò öïñôþóïõí ìå Ýíá ïéêïíïìéêü âÜñïò äõóâÜóôá÷ôï ãéá ðïëëÝò
ïéêïãÝíåéåò. Ìðïñïýí üìùò êáé íá åíèáññýíïõí ôá ðáéäéÜ íá äïõëÝøïõí
ðåñéóóüôåñï êáé êõñßùò óùóôÜ óôá ìáèçìáôéêÜ. Íá ôá âïçèÞóïõí, áõôÜ,
áëëÜ êáé ôïõò åíÞëéêåò ðïõ ôá óôçñßæïõí, íá óõíåéäçôïðïéÞóïõí ôéò
áäõíáìßåò ôïõò áëëÜ êáé ôï åßäïò ôçò ðñïóðÜèåéáò ðïõ ðñÝðåé íá êÜíïõí.
ÐïëëÝò öïñÝò ìåôÜ áðü ìéá åêäñïìÞ, üðïõ ìðïñÝóáìå íá óõæçôÞóïõìå ðéï
åëåýèåñá êáé Ýîù áðü ôéò õðï÷ñåþóåéò ôçò ôÜîçò, áëëÜæåé ç ãíþìç ìáò ãéá
êÜðïéï ìáèçôÞ ìáò. Ãéáôß åêôéìÞóáìå êÜðïéá åíäéáöÝñïíôá ôïõ, ãéáôß ìÜèáìå
êÜðïéá ðñïâëÞìáôá ôïõ Þ áêüìá ãéáôß ìáò Ýðåéóå üôé ìðïñåß íá óõíïìéëåß ìáæß
ìáò "óáí ìåãÜëïò".
Ç áëëáãÞ ôçò óôÜóçò ìáò áðÝíáíôé óå Ýíáí ìáèçôÞ ìðïñåß íá åßíáé
êáèïñéóôéêÞ ãéá áõôüí êáé íá ôïí ïäçãÞóåé óå Üëëç áíôéìåôþðéóç ôïõ
ìáèÞìáôïò. Áõôü ãßíåôáé ãéáôß åãêáèßóôáíôáé êáíÜëéá åðéêïéíùíßáò ðïõ äåí
åß÷áí áîéïðïéçèåß ìÝ÷ñé åêåßíç ôçí óôéãìÞ êáé ôá ïðïßá âïçèïýí ôá ìçíýìáôá
ðïõ èÝëïõìå íá ðåñÜóïõí.
ÅðïìÝíùò èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé üëåò ïé ðëçñïöïñßåò ðïõ Ý÷ïõìå
ãéá Ýíáí óõãêåêñéìÝíï ìáèçôÞ åßíáé óçìáíôéêÝò. Ïé âáèìïß ôçò ðñïçãïýìåíçò
÷ñïíéÜò, ç óõíïëéêÞ áðüäïóç ôïõ óôï ó÷ïëåßï, ïé äåîéüôçôåò ôïõ, ôá
ðñïâëÞìáôá ôïõ êëð. ÐïëëÝò öïñÝò ìÝóá áðü ãåãïíüôá, áðü áíåêäïôéêïý
ôýðbbbïõ õëéêü, ìðïñïýìå íá âãÜëïõìå óçìáíôéêÜ óõìðåñÜóìáôá ãéá ôçí
ðñïóùðéêüôçôá ôïõ ôá ïðïßá èá ìáò âïçèÞóïõí íá ôïí ðñïóåããßóïõìå
êáëýôåñá.
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 219
Áîéïëüãçóç ôïõ ìáèçôÞ óôá ÌáèçìáôéêÜ
Óáëß÷ïò Ìé÷ÜëçòÓ÷. Óýìâïõëïò Ìáèçìáôéêþí
Äñ Åðéóôçìþí ÁãùãÞò, DEA ÄéäáêôéêÞò Máèçìáôéêþí
ÊÜðïéåò ÊÜðïéåò ãåíéêÝò éäÝåòãåíéêÝò éäÝåò
ÌÌééáá ââááóóééêêÞÞ
ððááññááôôÞÞññççóóçç
ããééáá ôôççíí ááîîééïïëëüüããççóóçç
ôôïïõõ ììááèèççôôÞÞ..
Ïé óêÝøåéò ðïõ áêïëïõèïýí åßíáé âáóéóìÝíåò óå óçìåéþóåéò óõæçôÞóåùí ìå óõíáäÝëöïõò êáèçãçôÝò
Ìáèçìáôéêþí. Ðáñáêáëþ ôïí áíáãíþóôç íá óõã÷ùñÞóåé ôçí åðéãñáììáôéêüôçôá ôïõ êåéìÝíïõ.
Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 219-226)
ÖÝôïò (2004) óå ðïëëÝò Ó÷ïëÝò óôá Á.Å.É.
ðÝôõ÷áí ðïëëïß õðïøÞöéïé ìå ìÝóï üñï
âáèìïëïãßáò áñêåôÜ êÜôù áðü ôç âÜóç.
¼óï ãéá ôá Ô.Å.É. õðÞñîáí ôìÞìáôá üðïõ
åéóÞ÷èçóáí õðïøÞöéïé ìå ìÝóï üñï âáèìïëïãßáò
ôï 2,4 (óôçí 20-âÜèìéá êëßìáêá)!
Ôéò äéáðéóôþóåéò áõôÝò Ýêáíå ôï ÕÐÅÐÈ, ôï
ïðïßï êáé ðñïâëçìáôßæåôáé éäéáßôåñá ãéá ôçí
êáôÜóôáóç (üðùò äÞëùóå ï Ã. ÃñáììáôÝáò ôïõ
êáôÜ ôçí áíáêïßíùóç ôùí áðïôåëåóìÜôùí ôùí
Ãåíéêþí ÅîåôÜóåùí). ÐÜëé êáëÜ! Ôï ðñüâëçìá
áíáãíùñßæåôáé åðßóçìá. Åßíáé êé áõôü Ýíá âÞìá.
ÁëëÜ ðüóç áéóéïäïîßá ìáò åðéôñÝðåé; Áò ìçí
êÜíïõìå ðñïâëÝøåéò. ¼ìùò ÷ñüíéá ôþñá áí êáé ôá
áðïôåëÝóìáôá ìüíï ìéêñÝò áðïêëßóåéò åß÷áí áðü
ôá öåôéíÜ, Ý÷ïõìå äåé ï ïðïßïò ðñïâëçìáôéóìüò ôùí
üðïéùí õðåõèýíùí íá åîáíôëåßôáé óå ìç÷áíéóôéêÝò
åñìçíåßåò êáé êáôÜ óõíÝðåéá óå ñç÷Ýò êáé
ðñü÷åéñåò Üñá áäýíáìåò ðáñåìâÜóåéò ãéá
ïõóéáóôéêÞ âåëôßùóç ôçò êáôÜóôáóçò. Êõñßùò ïé
ðáñåìâÜóåéò êéíÞèçêáí ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôùí
åêðôþóåùí. Ìåßùóç ôùí åîåôáæïìÝíùí ìáèçìÜôùí
áñ÷éêÜ (óùóôü), êáé óôç óõíÝ÷åéá äñáóôéêÞ ìåéùóç
ôçò åîåôáæüìåíçò ýëçò, ôüóï óôç Â' üóï êáé óôç Ã'
ëõêåßïõ, (áðüöáóç ðïõ åëÝã÷åôáé). ÁëëÜ ôá
ðñÜãìáôá ðÞãáí áðü ôï êáêü óôï ÷åéñüôåñï
öôÜíïíôáò ôåëéêÜ óôï öåôéíü áðáñÜäåêôï åðßðåäï
ðïõ ðåñéÝãñáøå ï Ã.Ã. ôïõ ÕÐÅÐÈ.
Êáé áò ìçí "äéáññéãíýïõìå ôá éìÜôéá ìáò" ìå
áðïñßá. ºóá - ßóá, ç êáôÜëçîç Þôáí áíáìåíüìåíç·
áöïý ùò ãíùóôü "åßíáé êáêü óôçí Üììï íá êôßæåéò
ðáëÜôéá....". Êáé óôï ÷þñï ôçò Ðáéäåßáò ãåíéêÜ, êáé
ôçò ÌáèçìáôéêÞò Ðáéäåßáò åéäéêüôåñá, åßíáé ðïëý
åýêïëï íá ïëéóèÞóåé êáíåßò áðü ôï óôÝñåï óôï
óáèñü êáé áììþäåò õðÝäáöïò óôçí ðñïóðÜèåéá
õëïðïßçóçò åíüò ó÷åäßïõ ðïõ Ýôóé êé áëëéþò Ý÷åé
Ýíôïíï ôï óôïé÷åßï ôïõ ïñáìáôéóìïý.
¸ôóé ãéá íá êÜíåé êÜðïéïò üóï ãßíåôáé ðéï
óßãïõñá âÞìáôá, ìåôáññõèìßóåéò, áëëáãÝò Þ
âåëôéþóåéò, óôï ÷þñï ôçò ÌáèçìáôéêÞò Ðáéäåßáò
êáé Åêðáßäåõóçò äåí Ý÷åé Üëëç åðéëïãÞ ðáñÜ íá
óôçñé÷èåß óôçí ôñÝ÷ïõóá (êõñßùò) ÅêðáéäåõôéêÞ
¸ñåõíá. Áõôü üìùò åßíáé Ýíá ìåãÜëï èÝìá ðïõ
äåí èá åðé÷åéñçèåß åäþ ç áíÜëõóÞ ôïõ. Ùóôüóï èá
ðñÝðåé íá ôïíéóôåß üôé ç ìáêñïóêïðéêÞ
áíáãíþñéóç êáé ðåñéãñáöÞ ôùí ðñïâëçìÜôùí, äåí
åßíáé éêáíÞ íá ïäçãÞóåé óôçí åðßëõóç ôïõò.
×ñåéÜæåôáé ëåðôïìåñåéáêÞ áíÜëõóç êáé ìåëÝôç
áðü ðïëëÝò ðëåõñÝò ôïõ êÜèå ðñïâëÞìáôïò. Êáé
ðÜíù áð' üëá, ÷ñåéÜæåôáé åõñýò äéÜëïãïò ãýñù áð'
üëá áõôÜ êáé óôç óõíÝ÷åéá áîéïëüãçóç êáé
óýíèåóç ôùí äéÜöïñùí áðüøåùí Þ ðñïóåããßóåùí.
Ôçí õðïêßíçóç êáé óôç óõíÝ÷åéá ôï óõíôïíéóìü
ìéáò ôÝôïéáò ðñïóðÜèåéáò åßíáé öõóéêü íá ôçí
áíáìÝíåé êáíåßò áðü ôçí Ðïëéôåßá. Áò ìçí îå÷íÜìå
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 227
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò
üôé ëåéôïõñãåß (ìå ü÷é áóÞìáíôï êüóôïò) êáé ôï
ãíùóôü Ê.Å.Å. (ÊÝíôñï ÅêðáéäåõôéêÞò ¸ñåõíáò).
¼ìùò åêåßíï "ðåñß Üëëùí ôõñâÜæåé". ÁëÞèåéá èá
ìáò ðåé ðïôÝ (âÜóåé óôïé÷åßùí) ôï Ê.Å.Å. êáôÜ
ðüóïí ï êáñðüò ôçò óõããñáöéêÞò (öéëüôéìçò êáé
áðü áîéüëïãïõò óõíáäÝëöïõò êáôÜ ôá Üëëá) êáé
åêäïôéêÞò ôïõ äñáóôçñéüôçôáò, áíÝâáóå ôï
åðßðåäï ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò Åêðáßäåõóçò; Åßíáé
ðñïöáíÝò ðùò èåôéêÞ áðÜíôçóç ó' áõôü ôï
åñþôçìá äåí åßíáé óõìâáôÞ ìå ôá áðïôåëÝóìáôá
ôùí Ãåíéêþí ôïõëÜ÷éóôïí ÅîåôÜóåùí.
Åêôüò üìùò áðü ôïõ Ê.Å.Å. (ðïõ ìáò ÷ñùóôÜåé
ôç äéêáßùóç ôïõ ôßôëïõ ôïõ) ôï ßäéï "áüñáôç" åßíáé
êáé ç åñåõíçôéêÞ óõíéóôþóá ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ
Ð.É. (Ðáéäáãùãéêïý Éíóôéôïýôïõ). ÁëëÜ ãéá íá ìçí
ôï áäéêïýìå, ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá êÜôé áêïýãåôáé
ãéá "Êáéíïôüìåò äñÜóåéò" êáé ãéá "ÄéáèåìáôéêÝò
ðñïóåããßóåéò". ÂÝâáéá óôç äéäáêôéêÞ ðñÜîç, óôï
ìá÷üìåíï åêðáéäåõôéêü, Üãíùóôï ðüôå èá öôÜóïõí
áõôÝò ïé åðåîåñãáóßåò ôïõ Ð.É. Öáßíåôáé ðùò êáé
åäþ "ôï êáëü ðñÜãìá áñãåß íá ãßíåé".....
Èá Þôáí ßóùò åèåëïôõöëßá áí êáíåßò äåí
êáôáëüãéæå ôéò åõèýíåò ðïõ ôïõò áíáëïãïýí ãéá ôçí
ðáñïýóá êáôÜóôáóç ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò
Åêðáßäåõóçò êáé óå ìç åðßóçìïõò êñáôéêïýò
ïñãáíéóìïýò. Åßíáé éäéáßôåñá áîéïóçìåßùôï ôï
ãåãïíüò üôé ç ÅëëçíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ Åôáéñåßá
äéïñãáíþíåé ìüëéò öÝôïò (2004) ôï åôÞóéï
ÓõíÝäñéï ôçò ìå èÝìá "Ôá ÁíáëõôéêÜ
ÐñïãñÜììáôá Ìáè/êþí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç",
(åíþ åäþ êáé äýï ÷ñüíéá ðñéí Ý÷ïõí ðñïêçñõ÷èåß
ãéá íá ãñáöôïýí ôá íÝá âéâëßá Ìáè/êþí ãéá ôï
ÃõìíÜóéï). Êé áõôü áö' åíüò êÜôù áðü ôçí ðßåóç
ôçò óõíôñéðôéêÞò ðëåéïøçößáò ôùí óõíáäÝëöùí
ìáèçìáôéêþí êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôùí äýï ôåëåõôáßùí
Óõíåäñßùí ôçò Å.Ì.Å. óôçí ÊïìïôçíÞ êáé ôç
ÂÝñïéá êáé áö' åôÝñïõ ýóôåñá áðü ðñüôáóç ôïõ
ÐáñáñôÞìáôïò ÔñéêÜëùí ôçò Å.Ì.Å., äéïñãáíùôÞ
ôïõ öåôéíïý Óõíåäñßïõ.
ÂÝâáéá èá ìðïñïýóå êáíåßò íá ðÜñåé õðüøç
ôïõ ôï ãåãïíüò üôé ôïõëÜ÷éóôïí ãéá ôï ÃõìíÜóéï ç
Å.Ì.Å. Ý÷åé åðåîåñãáóôåß åäþ êáé äýï ðåñßðïõ
÷ñüíéá êáé Ý÷åé ðñïôåßíåé äéêü ôçò Áíáëõôéêü
Ðñüãñáììá (Ýóôù êáé ìå åëÜ÷éóôåò
äéáöïñïðïéÞóåéò áð' áõôü ôïõ Ð.É.). Ôï åñþôçìá
üìùò ðïõ ôßèåôáé åßíáé ìÝóá áðü ðïéåò äéáäéêáóßåò
ðñïÝêõøå áõôü ôï Ðñüãñáììá; Êáé äåí
áíáöåñüìáóôå óôç äçìïêñáôéêüôçôá êáé ôá
óõíáöÞ áõôþí ôùí äéáäéêáóéþí. Ôï åñþôçìá
áíáöÝñåôáé óôçí ïõóßá, óôï ôå÷íïêñáôéêü ôïõò
ìÝñïò. Ãéáôß åê ôïõ áðïôåëÝóìáôïò êñßíïíôáò, äåí
èá ðñÝðåé ïé óõíôÜêôåò ôïõ íá õðåñçöáíåýïíôáé
ãéá óýã÷ñïíç åðéóôçìïíéêÞ ìåèïäïëïãßá
ðñïóÝããéóçò ôïõ èÝìáôïò ôïõò, (âë. Üñèñï: "Áðü
ôçí Åðßêëçóç ôçò Èåùñßáò VAN HIELE óå ìéá
ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò")
Äåí èá åðåêôáèïýìå üìùò óôï ðáñüí
ðåñéóóüôåñï óôï èÝìá ôùí Áíáëõôéêþí
ÐñïãñáììÜôùí êáé ôçí áíôéìåôþðéóç ôïõ áðü ôçí
Å.Ì.Å. ÁíáöåñèÞêáìå ó' áõôü ùò ðåñßðôùóç
÷áñáêôçñéóôéêïý ðáñáäåßãìáôïò ôïõëÜ÷éóôïí
ðñï÷åéñüôçôáò êáé Ýëëåéøçò åðéóôçìïíéêÞò
ðñïóÝããéóçò. Ôï èÝìá ìáò åßíáé ç "ÅîÝôáóç ôùí Ãåí.
ÅîåôÜóåùí" ìå óêïðü ôçí áíÜäåéîç ðñïâëçìÜôùí
êáé ìéá ðñþôç ðñïóðÜèåéá ïõóéáóôéêÞò óõæÞôçóçò
ôïõò. Êáé óå ó÷Ýóç ìå ôçí Å.Ì.Å. åêåßíï ðïõ èá
ðñÝðåé êáíåßò íá ðáñáôçñÞóåé åßíáé ôï ãåãïíüò üôé
êÜèå ÷ñüíï, ó÷ïëéÜæïíôáò ôá èÝìáôá ôùí Ãåí.
ÅîåôÜóåùí ó÷åäüí ìüíï êáëÜ ëüãéá Ý÷åé íá ðåé. Ãéá
ôá áðïôåëÝóìáôá üìùò ôùí åîåôÜóåùí êáé ôéò
åðéäüóåéò ôùí ìáèçôþí ìáò, "ïõäÝí ó÷üëéï".... Ç
ðáñïéìßá üôé "óôï óðßôé ôïõ êñåìáóìÝíïõ äåí ìéëÜíå
ãéá ó÷ïéíß" åðéâåâáéþíåôáé ãéá Üëëç ìéá öïñÜ óôçí
ðñÜîç.
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ228
Åðáíåñ÷üìåíïé ôþñá óôï èÝìá ìáò, áíáñù-
ôéÝôáé êáíåßò :
Áí ïé áñìüäéïé öïñåßò (åðßóçìïé Þ ìç) óôÝêïíôáé
áìÞ÷áíá ìðñïóôÜ óå êñáõãáëÝåò áñíçôéêÝò
äéáðéóôþóåéò, ôé èá ìðïñïýóå íá ðåñéìÝíåé êáé áðü
ðïõ ç êïéíùíßá ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ Ðáéäåßá êáé
Åêðáßäåõóç ôùí ðáéäéþí ôçò;
Èá ðñÝðåé íá ðáñáäå÷ôïýìå ðùò ç ðñïóùðéêÞ
- áôïìéêÞ åõèýíç ôïõ åêðáéäåõôéêïý - ëåéôïõñãïý
åßíáé ç ôåëåõôáßá åëðßäá ôçò êïéíùíßáò. Êáé ï
åêðáéäåõôéêüò ïöåßëåé íá ìçí ôçí áðïãïçôåýóåé.
¼ðùò ïöåßëåé êáé íá ìçí ôçí êïëáêåýåé ìå
äéáñêåßò åêðôþóåéò óôéò áðáéôÞóåéò ôïõ åê ìÝñïõò
ôùí ðáéäéþí ôçò Ýóôù êáé áí ïé "åðßóçìåò ïäçãßåò"
õðáãïñåýïõí ìéá ôÝôïéá óõìðåñéöïñÜ. Êáé ì' áõôü
äåí õðïíïåßôáé êáìßá åíèÜññõíóç óå áõèáéñåóßåò.
Áðåíáíôßáò ìéëÜìå ãéá êïðéþäç áíéäéïôåëÞ
õðåñðñïóðÜèåéá ôïõ åêð/êïý óôá ðëáßóéá ôçò
õðÝñâáóçò ôùí ÷áìçëþí ïñßùí ðïõ ïé "ïäçãßåò"
èÝôïõí Þ êáé ðïõ ç ßäéá ç êïéíùíßá êáìéÜ öïñÜ
äéåêäéêåß.
Ìéá ôÝôïéá (çèéêÞ) óôÜóç ôïõ åêðáéäåõôéêïý
ðñïöáíþò åìðåñéÝ÷åé êáé ôï ñßóêï ôùí
óõãêñïýóåùí. Óå ôÝôïéåò ðåñéðôþóåéò ç õøçëÞ
óõãêñüôçóç, ç áíéäéïôÝëåéá êáé ç áãÜðç ôïõ ðñïò
ôïõò ìáèçôÝò ôïõ åßíáé ôá ðéï óßãïõñá óôçñßãìáôá
ðïõ ìðïñïýí ðÜíôá íá ôïõ åîáóöáëßæïõí äéêáßùóç
êáé åðéôõ÷ßá óôï Ýñãï ôïõ. ¼÷é âÝâáéá êáé ÷ùñßò
ðñïóùðéêü êüóôïò. ÁëëÜ áõôü ôï êüóôïò ðïôÝ äåí
ðÜåé ÷áìÝíï. Åßíáé ßóùò ç ðéï óßãïõñç åðÝíäõóç
ôüóï óôç äéáðáéäáãþãçóç üóï êáé ãéá ôçí
êïéíùíéêÞ êáé åðáããåëìáôéêÞ ðñïêïðÞ ôùí
ìáèçôþí ôïõ.
Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò êáé óôá ðëáßóéá
óõíáßóèçóçò ôçò áôïìéêÞò êáé ðñïóùðéêÞò
åõèýíçò ðñï÷ùñïýìå óôçí áíÜäåéîç êáé ôï
ó÷ïëéáóìü ìåñéêþí æçôçìÜôùí ðïõ Ý÷ïõí íá
êÜíïõí ìå ôéò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò ôçò Â' êáé Ã'
Ëõêåßïõ.
Ôá óôïé÷åßá ðïõ ìðïñåß íá óõëëÝîåé êáíåßò áð'
áõôÝò Ý÷ïõí åîáéñåôéêÞ áîßá êáé ìüíï ëüãù ôïõ
ìåãÝèïõò ôïõ äåßãìáôïò ðïõ åßíáé äõíáôüí (ãéá ôï
ÕÐÅÐÈ áí õðÞñ÷å âïýëçóç) íá êáëýðôåé áêüìá
êáé ïëüêëçñï ôï ìáèçôéêü ðëçèõóìü ôùí äýï
ôåëåõôáßùí ôÜîåùí ôïõ Ëõêåßïõ. Äõóôõ÷þò áõôÝò
ïé ÅîåôÜóåéò, ìÝ÷ñé ôþñá ôïõëÜ÷éóôïí, ìüíï ãéá
âáèìïëïãéêÞ êáôÜôáîç ôùí ìáèçôþí
áîéïðïéïýíôáé. Êáé üìùò, èá ìðïñïýóáí íá
ëåéôïõñãïýí ùò ìéá áíåîÜíôëçôç äåîáìåíÞ
áíáôñïöïäüôçóçò ôçò äéäáêôéêÞò ðñÜîçò êáé
ôñïöïäüôçóçò åñåõíçôéêþí äñáóôçñéïôÞôùí ôüóï
ôùí öïñÝùí (Ð.É., Ê.Å.Å., Å.Ì.Å. ê.ô.ë.) üóï êáé
ïóïõäÞðïôå ðëÞèïõò áôïìéêþí åñåõíþí åê ìÝñïõò
ôùí Åêðáéäåõôéêþí. ¸ñåõíåò ðïõ èá
áíáâáèìßóïõí åîáéñåôéêÜ ôüóï ôïí ßäéï ôïí
åêðáéäåõôéêü, üóï êáé ôéò ìåèüäïõò áëëÜ êáé ôï
ðåñéå÷üìåíï ôçò äéäáóêáëßáò ôïõ.
Ãéá ðáñÜäåéãìá áí ôý÷áéíå óå êÜðïéï
âáèìïëïãçôÞ óôá 100 ãñáðôÜ Ãåùìåôñßáò Â'
ëõêåßïõ ôïõ 2001, ôá 51 íá ìçí Ý÷ïõí ëýóåé ôï
æÞôçìá ðïõ Ýäéíå "äýï åöåîÞò ãùíßåò ÁÏÂ êáé
ÂÏà ßóåò ìå 120° ç êÜèå ìßá...." ãéáôß ïé ìáèçôÝò
ó÷åäßáæáí åíôåëþò ðñü÷åéñá ôéò ãùíßåò ìå ôñüðï
ðïõ áèñïéóôéêÜ äåí îåðåñíïýóáí ôéò 120°-140°,
äåí èá åðÝìåíå ôéò åðüìåíåò ÷ñïíéÝò ïé ìáèçôÝò
ôïõ íá êáôáíïÞóïõí ôï ìÝôñï ôçò ãùíßáò ùò ìÝôñï
(ðåñé)óôñïöÞò êáé Ýôóé íá ìðïñïýí íá åêôéìïýí
óùóôüôåñá ôá ìÝôñá ôùí ãùíéþí; Êáé ìüíï ç áðëÞ
áíáöïñÜ ó' áõôü ôï óôáôéóôéêü óôïé÷åßï Þôáí éêáíÞ
êÜèå öïñÜ ðïõ áíáöÝñèçêå áðü ôïí
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 229
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
õðïãñÜöïíôá, íá ðñïâëçìáôßóåé êáé íá
ôáñáêïõíÞóåé ïëüêëçñç ôçí ôÜîç. Áêüìá êáé ïé
ðéï áäýíáôïé ìáèçôÝò åîÝöñáæáí êáôÜðëçîç! Êé
áõôü Þôáí ãéá êåßíïõò ìéá êáëÞ áñ÷Þ........
ÁëëÜ üðùò áíáöÝñèçêå íùñßôåñá ïé Ãåí.
ÅîåôÜóåéò åßíáé áíåîÜíôëçôç ðçãÞ
ðñïâëçìáôéóìïý. ¸ôóé ëïéðüí,
Ìåëåôþíôáò ôéò "åðéäüóåéò" óôç Ãåùìåôñßá ôùí
ìáèçôþí ôçò Â' ëõêåßïõ ìÝóá áðü Ýíá (ôõ÷áßï)
äåßãìá 150 ãñáðôþí ðïõ ÂáèìïëïãÞèçêáí áðü ôïí
õðïãñÜöïíôá ìå ðïëý - ðïëý ðñïóï÷Þ êáé ìå ðïëý
- ðïëý èåôéêÞ äéÜèåóç, åßäáìå íá ðñïâÜëëåé ìéá
ïäõíçñÞ ðñáãìáôéêüôçôá, ìéá ðéêñÞ ãõìíÞ
áëÞèåéá:
ÓõãêåêñéìÝíá 57 óôá 150 ãñáðôÜ (ðïóïóôü
38%) âáèìïëïãÞèçêáí ìå âáèìü 13/100 = 2,6 óôçí
åéêïóïâÜèìéá êëßìáêá. Âáèìüò ðïõ áíôéóôïé÷åß
óôá 4 åñùôÞìáôá, ("Äþñï ôïõ Õðïõñãåßïõ
Ðáéäåßáò" êáôÜ ôç ãíþìç ðïëëþí óõíáäÝëöùí),
ôýðïõ Óùóôü - ËÜèïò êáé óôïí ïñéóìü ôïõ
êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ. (ÈÝìá: 1Â(á,â,ã,ä,) êáé 1Ã).
Åðßóçò 77 óôïõò 150 åîåôáæüìåíïõò (ðïóïóôü
51,33%) äåí åß÷å êáèüëïõ áêïõìðÞóåé ôï èÝìá 2á
ðïõ åßíáé ìéá áðëÞ åöáñìïãÞ ôïõ íüìïõ ôùí
óõíçìéôüíùí ðñÜãìá ðïõ äéäÜóêåôáé êáé óôç Ã'
Ãõìíáóßïõ. Èá åß÷å åíäéáöÝñïí íá ôåèåß óôïõò
ìáèçôÝò ôçò Á' ëõêåßïõ.....
ÁëëÜ ç ðáôáãþäçò áðïôõ÷ßá óôï èÝìá 1Á.á (ôï
ïðïßï æçôïýóå íá åããñáöåß ôåôñÜãùíï óå äïóìÝíï
êýêëï), èá ìðïñïýóå íá ÷áñáêôçñéóôåß ùò ôï ðéï
ïäõíçñü ñÜðéóìá óôç óõíåßäçóç ôïõ êÜèå
åìðëåêïìÝíïõ ìÝñïõò, óôç ÌáèçìáôéêÞ ìáò
Åêðáßäåõóç: êáèçãçôþí, óõããñáöÝùí, éèõíüíôùí
ôïõ Ð.É. êáé ôïõ ÕÐÅÐÈ, êïéíùíßáò, ïéêïãÝíåéáò
êáé ôåëåõôáßùí ôùí ìáèçôþí. Óôï èÝìá ëïéðüí áõôü
ïé 84 óôïõò 150 åîåôáæüìåíïõò äåí ðÞñáí ïýôå 1
ìüñéï, ðñÜãìá ðïõ óçìáßíåé üôé äåí åß÷áí êÜíåé
ïýôå êáí Ýíá ðñü÷åéñï ó÷Þìá. Åðßóçò ôá 46 áðü ôá
õðüëïéðá ãñáðôÜ ðÞñáí áñêåôÜ ìåéùìÝíç
âáèìïëïãßá. ÔåëéêÜ öáßíåôáé üôé ìüíï 13,4% ôùí
åîåôáæïìÝíùí êáôáíïåß êáé åêôåëåß ôçí åíôïëÞ(;)
"íá åããñÜøåôå óå êýêëï ôåôñÜãùíï"! Ôï 30,6% ôçí
êáôáíïåß ùò "íá æùãñáößóåôå ôåôñÜãùíï ìå
êïñõöÝò ðÜíù óå êýêëï".... êáé ãéá ðïóïóôü ðÜíù
áðü 56% ç åíôïëÞ áõôÞ åßíáé Üíåõ ðåñéå÷ïìÝíïõ.
Äåí óçìáßíåé ôßðïôá......
Óôç óõíÝ÷åéá ðáñáèÝôïõìå ôá èÝìáôá ôïõ 2003
óôç Ãåùìåôñßá êáé ôç âáèìïëïãßá ôïõ äåßãìáôïò
ôùí 150 ãñáðôþí ìå ôçí åëðßäá íá ìáò óôåßëïõí ïé
ößëïé áíáãíþóôåò ôéò áðüøåéò ôïõò êáé ôéò óêÝøåéò
ôïõò ãéá ðÜìðïëëá æçôÞìáôá ðïõ ìðïñïýí íá
áíáäåé÷èïýí ìÝóá áðü áõôÜ ôá óôïé÷åßá.
ÐåñéìÝíïõìå.
(ÐÜíôùò áò óçìåéùèåß üôé äåí Þôáí ìéêñÞ ç
þèçóç ðïõ äÝ÷ôçêå ðñïóùðéêÜ ï õðïãñÜöùí êáé
áð´ áõôÜ ôá óôïé÷åßá óôï íá ðñïêýøåé ç åñãáóßá
ðïõ åìðåñéÝ÷åôáé ôï ðáñüí, ìå ôßôëï:
"Áðü ôçí Åðßêëçóç ôçò Èåùñßáò VAN HIELE
óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò").
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ230
Â. ÂéóêáäïõñÜêç, Ä. ÃáâáëÜ, Ã. Ðïëýæï êáé
Á.ÓâÝñêï" (ôïõò ïðïßïõò áò óçìåéùèåß ìüíï ëüãïé
äéäáêôéêÞò ìåôÜðëáóçò êáé óôñïõêôïõñáëéóôéêÞò
äÝóìåõóçò ïäÞãçóáí óôçí åðéëïãÞ ôïõ ïñéóìïý ôïõ
åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ ìå ôç âïÞèåéá ôïõ
óõíçìßôïíïõ ôçò ãùíßáò äýï äéáíõóìÜôùí êÜôé ðïõ
ßóùò ðñÝðåé íá îáíáåéäùèåß).
Ïé "èåìáôïëüãïé - åîåôáóôÝò" üöåéëáí íá
ðÜñïõí õðüøç ôïõò áõôÜ ôá (åðéóôçìïëïãéêÜ)
äåäïìÝíá êáé íá áðïöýãïõí íá óôÞóïõí áõôÞ ôçí
ðáãßäá ôüóï óôïõò ìáèçôÝò üóï êáé óôïõò
âáèìïëïãçôÝò.
Êáé ìðïñåß ïé äýï ïñéóìïß ôïõ åóùôåñéêïý
ãéíïìÝíïõ óôïõò ÷þñïõò Rn ìå n= 1, 2, 3 íá åßíáé
éóïäýíáìïé, üìùò óå ìåãáëýôåñåò äéáóôÜóåéò üðïõ
äåí õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá áíáðáñáóôÜóåùí, ç
ãùíßá äýï äéáíõóìÜôùí ïñßæåôáé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ
óõíçìéôüíïõ ôçò êáé áõôü ðÜëé ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ
åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. (âë. Kostikin êáé Manin
óåë. 118), ðñÜãìá ðïõ êáèéóôÜ ôïí (êáôÜ ôïõò
âáèìïëïãçôÝò) "ëÜèïò" ïñéóìü åðéóôçìïíéêÜ êáé
åðéóôçìïëïãéêÜ éó÷õñüôåño. ÐáñÜ ôáýôá, êÜðïéïé
áíÞóõ÷ïé êáé ðéï åíçìåñùìÝíïé ìáèçôÝò, ìå
ðíåýìá áìöéóâÞôçóçò åßíáé ðïëý ðéèáíüí íá Ý÷ïõí
âáèìïëïãéêÜ (ôïõëÜ÷éóôïí) ôéìùñçèåß ãéáôß
åðÝëåîáí áõôüí áêñéâþò ôïí ãåíéêüôåñï êáé
éó÷õñüôåñï ïñéóìü ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. Äåí
åßíáé êñßìá;
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 235
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
¸íá äåýôåñï ðåñéóôáôéêü
åðéóôçìïëïãéêÞò óýã÷õ-
óçò ôùí "èåìáôïëüãùí - åîåôÜ-
óåùí" åßíáé ôï åîÞò:
Óôéò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò ôçò ´
ëõêåßïõ ôïõ, ôÝèçêå ôï åîÞò èÝìá:
«Íá áðïäåßîåôå üôé ç áêïëïõèßá áí ìå
áí = 2í – 11 åßíáé áñéèìçôéêÞ
ðñüïäïò ìå ðñþôï üñï ôï (– 9) êáé
äéáöïñÜ 2».
Ïé ìáèçôÝò áðÜíôçóáí ôï èÝìá ìå
ôñåéò äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Ðïëý
ëßãïé Ýäùóáí ôç ëýóç ðïõ (ìÜëëïí)
åß÷áí óôï íïõ ôïõò ïé åîåôáóôÝò:
«Ãéá í = 1 Ý÷ïõìå
á1 = 2 � 1 – 11 = – 9.
Åðßóçò:
áí+1 – áí=2(í+1) – 11–(2í – 11)=
2í + 2 – 11 – 2í + 11 = 2,
Üñá áí áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå
á1 = – 9 êáé ù = 2».
¢ëëïé üìùò ìáèçôÝò (ïé
ðåñéóóüôåñïé) Ýäéíáí ôç ëýóç:
«Áí áí áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå
á1 = – 9 êáé ä = 2
ôüôå: áí = – 9 + (í – 1)2 =
= – 9 + 2í – 2 = 2í – 11.
¢ñá ç áêïëïõèßá áí = 2í – 11 åßíáé
ðñÜãìáôé ç áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå
á1 = – 9 êáé ä = 2».
Åðßóçò áñêåôïß ìáèçôÝò Ýäéíáí
ôçí åîÞò ëýóç:
«Ãéá ôçí áêïëïõèßá áí = 2í – 11
Ý÷ïõìå:
áí=2í – 11=2í – 2 – 9=– 9+2(í – 1),
Üñá åßíáé áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå
á1 = – 9 êáé ù = 2»
Äõóôõ÷þò (ãéá ôç óõíôñéðôéêÞ
ðëåéïøçößá) ôùí ìáèçôþí Þñèå
êÜðïéá óôéãìÞ óôá åîåôáóôéêÜ
êÝíôñá ìéá ðáñáôÞñçóç áðü ôçí
ÊÅÃÅ ðïõ «îåêáèÜñéæå» üôé óôï åí
ëüãù èÝìá æçôåßôáé áðüäåéîç êáé
ü÷é (!) åðáëÞèåõóç. Ôï óýíïëï
ó÷åäüí ôùí âáèìïëïãçôþí èåþñçóå
üôé ç ðáñáôÞñçóç áíáöåñüôáí óôç
äåýôåñç ëýóç êáé ç óõíôñéðôéêÞ
ðëåéïøçößá ôïõò êáé óôçí ôñßôç.
Åäþ ðñáãìáôéêÜ ç åðéóôçìïëïãéêÞ
óýã÷õóç áíáäõêíåßåôáé êáé
åêöñÜæåôáé ó' üëï ôçò ôï ìåãáëåßï. Ôé
åßíáé áðüäåéîç; Ôé åßíáé åðáëÞèåõóç;
Óßãïõñá ôá åñùôÞìáôá áõôÜ åßíáé
áðáíôçìÝíá óå ðïëëÜ ìõáëÜ (ìåôáîý
áõôþí êáé ôùí «èåìáôïëüãùí -
åîåôáóôþí») ìå ôñüðï áôåëÞ êáé
ìïíüðëåõñï, ãéáôß öõóéêÜ êáé ïé ôñåéò
áðáíôÞóåéò óôï èÝìá åßíáé áðïäåêôÝò.
¼ôáí ï ìáèçôÞò åîåôÜæåôáé óôéò
ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò îÝñåé üôé ìðïñåß
íá ÷ñçóéìïðïéÞóåé üëç ôç èåùñßá
ðïõ Ý÷åé äéäá÷èåß ãéá íá áðáíôÞóåé
óôá èÝìáôá ðïõ ôïõ ôßèåíôáé.
¸ôóé, ãíùñßæïíôáò üôé ìéá
áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò êáèïñßæåôáé
ìïíïóÞìáíôá üôáí äïèåß ï ðñþôïò
üñïò êáé ç äéáöïñÜ ôçò êáèþò êáé
üôé ï ãåíéêüò üñïò áí ìéáò
áñéèìçôéêÞò ðñïüäïõ äßíåôáé áðü
ôïí ôýðï
áí = á1 + (í – 1)ù,
åßíáé óßãïõñïò (êáé äéêáßùò) üôé ç
áêïëïõèßá áí ìå
áí = –9 + (í – 1)2=– 9 + 2í – 2 =
= 2í – 11
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ236
ÁëÞèåéá:
ôé óçìáßíåé áðüäåéîç;
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 237
ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò
åßíáé üíôùò (÷ùñßò êáìßá
áìöéóâÞôçóç) ç áñéèìçôéêÞ
ðñüïäïò ìå á1 = –9 êáé ù = 2. Êáé
áõôÞ ç óõëëïãéóôéêÞ äåí åßíáé
åðáëÞèåõóç. Èá Þôáí åðáëÞèåõóç
áí õðÞñ÷áí êáé Üëëåò ðñüïäïé (ìå
äéáöïñåôéêü á1 Þ ù) êáé ìå ãåíéêü
üñï áí = 2í – 11. ¼ìùò äåí
õðÜñ÷ïõí. Ìåôáîý ôùí áñéèìçôéêþí
ðñïüäùí êáé ôùí ðñùôïâÜèìéùí
áêïëïõèéþí ç áíôéóôïé÷ßá åßíáé
áìöéìïíïóÞìáíôç.
Åßíáé öáíåñü üôé ôá
ðñïâëÞìáôá èá Ýðáõáí áõôïìÜôùò
íá õðÜñ÷ïõí áí ôï èÝìá äéíüôáí óôç
ìïñöÞ:
«Íá äåßîåôå üôé ç áêïëïõèßá áí
ìå áí = 2í – 11 åßíáé áñéèìçôéêÞ
ðñüïäïò ôçò ïðïßáò íá âñåßôå ôïí
ðñþôï üñï êáé ôçí äéáöïñÜ». Íá
ðïýìå ðñï÷åéñüôçôá; ºóùò íá
ìðïñïýóáìå. ¼ìùò Þñèå êáé åêåßíç
ç «Ïäçãßá» ìå ôï óáöÝóôáôï (!)
ðåñéå÷üìåíï: «ÈÝëïõìå áðüäåéîç,
ü÷é åðáëÞèåõóç».
Å, ëïéðüí, êáé ìåéò (äéäÜóêïíôåò
êáé ìáèçôÝò), èÝëïõìå áðïäåßîåéò
ãéá ôç óïâáñüôçôá êáé ôçí åðÜñêåéá
üóùí áíáëáìâÜíïõí ôç óýóôáóç
ìéáò ôüóï óçìáíôéêÞò åðéôñïðÞò
üðùò ç Ê.Å.Ã.Å., áëëÜ êáé üóùí
åðáíäñþíïõí ôåëéêÜ ôçí Ê.Å.Ã.Å.
ÆçôÜìå ðïëëÜ; ¼÷é! ôá
áõôïíüçôá æçôÜìå.....
Â.Å.Â.
Äßêôõï - ÅðéëïãÝò
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ238
Ç ðáñïýóá óôÞëç öéëïîåíåß áíèïëïãçìÝíåò ðëçñïöïñßåò
áðü ôï äéáäßêôõï (êáé ü÷é ìüíï), ðïõ êáôÜ ôç ãíþìç êÜèå
óõëëÝêôç, Ý÷ïõí áõîçìÝíç âáñýôçôá êáé éäéáßôåñï åíäéáöÝñïí
ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ ìáò Ðáéäåßá êáé Åêðáßäåõóç áëëÜ êáé
åéäéêüôåñá ãéá ôçí åíçìÝñùóç êáé ôïí ðñïâëçìáôéóìü ôùí
êáèçãçôþí ìáèçìáôéêþí. Åßíáé áõôïíüçôï ðùò êáé áõôÞ ç
óôÞëç èá åßíáé áíïéêôÞ óå êÜèå ðëçñïöïñßá ðïõ èá éêáíïðïéåß
óôïí Ýíá Þ ôïí Üëëï âáèìü ôéò ðñïûðïèÝóåéò áõôÝò êáé èá åßíáé
åëåãìÝíç ùò ðñïò ôçí åããõñüôçôá ôçò.
Ó' áõôü ôï ðëáßóéï ìðïñåß êáíåßò íá äåé êáé ìéá óýíôïìç
ðáñïõóßáóç åíüò åíäéáöÝñïíôïò Üñèñïõ áðü êÜðïéï îåíüãëùóóï
ðåñéïäéêü Þ ìéáò online åñãáóßáò. Ìéá ôÝôïéá ðáñïõóßáóç èá
ðñÝðåé íá ðáñÝ÷åé üëåò ôéò áðáñáßôçôåò ðëçñïöïñßåò óôïí
áíáãíþóôç ãéá íá ìðïñåß íá áíáôñÝîåé óôçí ðçãÞ ãéá
ðëçñÝóôåñç åíçìÝñùóç åðß ôïõ èÝìáôïò.
Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò åðéëÝîáìå êáé ðáñïõóéÜæïõìå åäþ ôá
ðáñáêÜôù èÝìáôá.
Ç ÓïõçäéêÞ ÊõâÝñíçóç áðïöÜóéóå íá
óõóôÞóåé Åèíéêü Åñåõíçôéêü ÊÝíôñï ãéá ôç
ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç óôï ÐáíåðéóôÞìéï
ôïõ Goteborg (áðü 1/1/1999) ôï ïðïßï óå
óõíåñãáóßá ìå ôï Ôå÷íïëïãéêü ÐáíåðéóôÞìéï
Chalmers áíáëáìâÜíåé ôï üëï åã÷åßñçìá. Ôï
ÊÝíôñï áõôü èá êáôåõèýíåé, èá ðñïùèåß êáé
èá áíáðôýóåé åêåßíåò ôéò óõíåñãáóßåò êáé ôéò
ðñùôïâïõëßåò ðïõ èá ðñïÜãïõí ôç ÓïõçäéêÞ
ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç áðü ôçí ðñï-
ó÷ïëéêÞ ìÝ÷ñé ôçí ðñïðáíåðéóôçìéáêÞ âá-
èìßäá. Èá ðñï÷ùñÞóåé ðáñáðÝñá áîéïðïéþ-
íôáò ôç óõóóùñåõìÝíç ãíþóç êáé åìðåéñßá
ðïõ Ý÷åé ðñïêýøåé óôá ðëáßóéá ôïõ ðñïãñÜì-
ìáôïò Namnaren ôï ïðïßï îåêßíçóå óáí Ýíá
åðéóôçìïíéêü ðåñéïäéêü ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ
Åêðáßäåõóç ôï 1974.
Ìåôáîý áõôþí ðïõ åñãÜæïíôáé óôá
äéÜöïñá ðñïãñÜììáôá (projects) ôïõ ÍCM,
åßíáé Üíèñùðïé ìå åìðåéñßá áðü ôï Åèíéêü
ÅÈÍÉÊÏ ÊÅÍÔÑÏ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÊÐÁÉÄÅÕÓÇÓ(National Center for Mathematics Education, NCM) óôç Óïõçäßá:
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 239
Äßêôõï åðéëïãÝò
Áíáëõôéêü Ðñüãñáììá Ìáè/êùí, ôçí
áíÜðôõîç êáé ôç äçìéïõñãßá èåìÜôùí êáé
tests, ôçí ïñãÜíùóç åèíéêþí êáé äéåèíþí
Óõíåäñßùí, Üíèñùðïé ðïõ Ý÷ïõí áíáðôýîåé
ðñïãñÜììáôá Ýñåõíáò êáé áîéïëüãçóçò óå
åèíéêü Þ ôïðéêü åðßðåäï, óå ÅêðáéäåõôéêÞ
Ôçëåüñáóç êáé åî' áðïóôÜóåùò äéäáóêáëßá,
ðïõ Ý÷ïõí åñãáóôåß óôçí ðñïó÷ïëéêÞ áãùãÞ,
óôç Óôïé÷åéþäç êáé ôç ÄåõôåñïâÜèìéá
Åêðáßäåõóç, óôçí Åêðáßäåõóç åíçëßêùí,
óôçí ÅéäéêÞ Åêðáßäåõóç. Eðé ðëÝïí,
õðÜñ÷ïõí åñåõíçôÝò óôá ÌáèçìáôéêÜ, ôç
ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç, ôá ÐáéäáãùãéêÜ,
ôçí Øõ÷ïëïãßá êáé ôçí Åèíïëïãßá, ðïõ
óõììåôÝ÷ïõí óå äéÜöïñá ðñïãñÜììáôá.
ÓõíåñãÜôåò ôïõ NCM óõììåôÝ÷ïõí óå
ðïëëÝò åèíéêÝò åðéôñïðÝò êáé ðñïãñÜììáôá
üðùò ð.÷. ôï äéåèíÝò ðñüãñáììá PISA, ôï
Óõâïýëéï Óõíôïíéóìïý ôçò ÅèíéêÞò
ÐïëéôéêÞò ãéá ôçí Ðáéäåßá êáèþò êáé óôçí
ÅèíéêÞ ÅðéôñïðÞ ËõêåéáêÞò Åêðáßäåõóçò.
Ôï NCÌ áíáöÝñåôáé áð' åõèåßáò óôïí
Ðñýôáíç ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ ôïõ Goteborg
êáé äéåõèýíåôáé áðü ÅèíéêÞ ÅðéôñïðÞ
áðïôåëïýìåíç áðü 7 ìÝëç ì' Ýíá áíôé-
ðñüóùðï áðü ôï Nordic êáé ìéá óýíèåóç áðü
áíèñþðïõò ôçò ðñÜîçò êáé èåùñçôéêïýò ðïõ
åêðñïóùðïýí êáèçãçôÝò, ÅêðáéäåõôÝò
êáèçãçôþí êáé ÄéåõèõíôÝò Ó÷ïëåßùí.
Ðñüåäñïò ôçò ÅðéôñïðÞò åßíáé ï ðñýôáíçò
ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Chalmers.
Åðßóçò ìéá ÓõìâïõëåõôéêÞ ïìÜäá Ý÷åé
ðñïóôåèåß óôç ëåéôïõñãßá ôïõ NCM. Ç
ïìÜäá áõôÞ áðïôåëåßôáé áðü 16 ìÝëç ðïõ
áíôéðñïóùðåýïõí üëåò ôéò ÅêðáéäåõôéêÝò
Âáèìßäåò, ôá êïëÝãéá, ôá ÐáíåðéóôÞìéá, ôï
Åìðüñéï, ôç Âéïìç÷áíßá êáé ôçí Êïéíùíßá,
ìå ìéá êáëÞ ãåùãñáöéêÞ êáôáíïìÞ áð' üëç
ôç ÷þñá êáèþò åðßóçò êáé ìåôáîý ôùí äýï
öýëùí.
Ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò óôç äéåýèõíóç: http://www.ncm.gu.se/ncm1
ÂëÝðïíôáò ôç óïâáñüôçôá ìå ôçí ïðïßá öáßíåôáé íá áíôéìåôùðßæïõí ôç ÌáèçìáôéêÞ ôïõò
Åêðáßäåõóç äéÜöïñåò ÷þñåò (üðùò ð.÷. åäþ ç Óïõçäßá), äåí ìðïñåß êáíåßò íá áðïöýãåé ôïí
ðåéñáóìü ôçò óýãêñéóçò ìå ôç äéêÞ ìáò ðñáãìáôéêüôçôá.
Óå ìáò, ÷ñüíéá ðïëëÜ ôþñá, ç ÌáèçìáôéêÞ ìáò Åêðáßäåõóç Ý÷åé ó÷åäüí áðïêëåéóôéêÜ óôçñé÷ôåß ó'
üëåò ôéò âáèìßäåò (Äçìïôéêü, ÃõìíÜóéï, Ëýêåéï) óå äýï Þ ôñåßò ðáñÝäñïõò ôïõ Ðáéäáãùãéêïý
Éíóôéôïýôïõ. Ìá êáé "åê èåïý óôáëìÝíïé" íá Þôáí, ðÜëé èá' ôáí ëßãïé ãéá ôï Ýñãï ðïõ ôïõò
áíôéóôïé÷åß. Êáé öõóéêÜ ïé ßäéïé ìåó' ôçí ðõêíÞ ïìß÷ëç ôçò áõôÜñêåéáò, ìðïñåß íá ìçí åßíáé óå èÝóç
íá äïýí ëßãï ðéï ðÝñá áð' üóï ïé äéêïß ôïõò ðñïâïëåßò öùôßæïõí, üìùò ïé õðåýèõíïé ðáñáãùãïß ôùí
áëëåðÜëëçëùí Åêðáéäåõôéêþí ìáò "Ìåôáñõèìßóåùí", äåí èá' ðñåðå íá' ÷ïõí åðéôÝëïõò êáôáëÜâåé
üôé Ýíáò êïýêïò (Üíôå êáé ôñåßò) äåí öÝñíåé ôçí Üíïéîç; Äåí èá' ðñåðå ëïéðüí íá Ý÷ïõí åðéäéþîåé
ìéá óôáèåñÞ êáé èåóìïèåôçìÝíç óõíåñãáóßá ìåôáîý üëùí ôùí öïñÝùí êáé ôùí Ìáèçìáôéêþí
ÔìçìÜôùí ôùí Ðáíåðéóôçìßùí ìáò, ðÝñá áðü êïììáôéêÝò êáé Üëëåò êëßêåò ìå óôü÷ï ìéá
ÌáèçìáôéêÞ Ðáéäåßá ðñáãìáôéêÜ áíôÜîéá ôùí ðáñáäüóåþí ìáò áëëÜ êáé ôïõ ôáëÝíôïõ ôùí
ìáèçôþí ìáò; Ôá åñùôçìáôéêÜ êáé ïé áðïñßåò áôåëåßùôá. ¼óï ãéá áðáíôÞóåéò; ÁõôÝò... äåí åßíáé
ðÜíôá "ôæÜìðá".
Ó÷üëéï:Ó÷üëéï:
ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ240
Ïé ìáèçìáôéêÝò ðñïêëÞóåéò ãéá íÝïõò
Áõóôñáëéáíïýò áðåõèýíïíôáé ó' Ýíá ðïóïóôü
10% (ðïõ åßíáé áò ðïýìå ç áöñüêñåìá) ôùí
ìáèçôþí ôçò 5çò êáé 6çò ÔÜîçò ôïõ Äçìïôéêïý
êáèþò êáé ó' Ýíá áíôßóôïé÷ï ðïóïóôü ôùí
ìáèçôþí áðü ôç 7ç ìÝ÷ñé ôçí 10ç ÔÜîç ôçò
ÄåõôåñïâÜèìéáò Åêðáéäåýóçò.
Ïé "ðñïêëÞóåéò" ðñïìçèåýïõí õëéêü Ýôóé
þóôå áõôïß ïé êáèçãçôÝò íá ìðïñïýí íá
âïçèïýí ôïõò ôáëáíôïý÷ïõò ìáèçôÝò ôïõò ó'
Ýíá åðßðåäï áíôÜîéï ôùí äõíáôïôÞôùí ôïõò.
ÁëëÜ êáé êáèçãçôÝò áðü ìåãáëýôåñá
Ó÷ïëåßá âñÞêáí áõôü ôï õëéêü áñêåôÜ
áîéïðïéÞóéìï óôçí ðñïóðÜèåéÜ ôïõò íá
äþóïõí êáëýôåñç âïÞèåéá êáé êáëýôåñåò
åõêáéñßåò óôïõò ìáèçôÝò ðïõ äéäáóêïýí.
ÃåíéêÜ óôïõò óôü÷ïõò ôùí "Ìáèçìáôéêþí
ÐñïêëÞóåùí" ðåñéëÜìâáíåôáé:
ÅíèÜññõíóç êáé êáëëéÝñãåéá:
– ìåãáëýôåñïõ åíäéáöÝñïíôïò êáé åîïé-
êåßùóçò ìå ôç äýíáìç ôùí ìáèçìáôéêþí
– èÝëçóçò ãéá áðüêôçóç áðïôåëåóìáôé-
êüôçôáò óôç ëýóç ðñïâëçìÜôùí êáé
– ôçò ÷áñÜò êáé ôçò äéáóêÝäáóçò ðïõ
ìðïñåß íá íïéþóåé êáíåßò ëýíïíôáò
ðñïâëÞìáôá
ÅðéóÞìáíóç ôùí ôáëáíôïý÷ùí ìéêñþí
Áõóôñáëéáêþí ìáèçôþí êáé ôùí
äõíáôïôÞôùí ôïõò óå åèíéêÞ êëßìáêá,
êáé ðáñï÷Þ õðïóôÞñéîçò ç ïðïßá èá
ôïõò åðéôñÝøåé íá ðåôý÷ïõí íá
äéáêñéèïýí, ï êáèÝíáò áíÜëïãá ìå ôï
åðßðåäï ôùí éêáíïôÞôùí ôïõ.
Åöïäéáóìüò ôùí êáèçãçôþí ìå:
– ÅíäéáöÝñïíôá êáé ðñïóéôÜ ðñïâëÞìáôá
êáé áíáëõôéêÝò ëýóåéò ôïõò õðïêéíþíôáò
Ýôóé ôïõò êáèçãçôÝò óå ìéá äéäáóêáëßá
ìå ðïëý ðéï ðëïýóéï õëéêü, êáé
– ÐåñéåêôéêÝò êáé áîéüðéóôåò Ðáíáõ-
óôñáëéáíÝò óôáôéóôéêÝò ìå ôéò åðé-
ôõ÷ßåò ôùí ìáèçôþí óôéò "ÐñïêëÞóåéò".
Ðåñéóóüôåñá óôç äéåýèõíóç: http://www.amt.canberra.edu.au/mcya.html
Ó÷üëéï:Ó÷üëéï:
AYÓÔÑÁËÉÁÍÇ ÐÁÑÁÊÁÔÁÈÇÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍÌáèçìáôéêÝò ÐñïêëÞóåéò ãéá íÝïõò Áõóôñáëéáíïýò
Õðåýèõíïò: Mr. Bruce Henry
ºóùò, äéáâÜæïíôáò ìåñéêïß ôá "íÝá" áðü ôçí Áõóôñáëßá, íá óêåöôïýí üôé êáé "ìåéò" åäþ êÜôé
êÜíïõìå, åííïþíôáò ôç ëåéôïõñãßá ôçò "ÔñÜðåæáò èåìÜôùí" êáé ôçò óôÞëçò "ç Üóêçóç
ôïõ ìÞíá" ðïõ ìðïñåß êáíåßò íá âñåß óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å. ( www.hms.gr)
Íáé, åßíáé Ýíá âÞìá, áëëÜ ìåôÝùñï. Óêåöôåßôå: ìå ôï õëéêü ðïõ âñßóêåé êáíåßò óôçí éóôïóåëßäá
ôçò Å.Ì.Å. ðüóïé êáé ðïéïß óôü÷ïé áð' áõôïýò ðïõ ïé Áõóôñáëéáíïß óôï÷åýïõí, ìðïñïýí íá
åðéôåõ÷èïýí; ºóùò êáé êáíÝíáò. Åäþ, üëá èõóéÜæïíôáé óôï âùìü ôïõ êáêïý (äçëáäÞ ôùí
åîåôÜóåùí.....)
Äßêôõï - ÅðéëïãÝò