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I

VORLESUNGSSKRIPTProf. Dr. Georg Rill September 2014

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download unter: https://hps.hs-regensburg.de/rig39165/

Inhalt

Vorwort I

1 Vektoren in der Mechanik 11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Multiplikation mit Skalaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Spalten- und Zeilenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.9 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Grundlagen 42.1 Ersatzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Krftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Kraftdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Kraft und Kraftwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Schwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 Spezielle Lagerelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Fachwerke 193.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Nullstbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Der Ritterschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Rumliche Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Zug- und Druckbelastungen 264.1 Festigkeits- und Verformungskenngren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 berbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Tragwerke 365.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Einfache Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Nichteinfache Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Rumliche Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

i

OTH Regensburg Technische Mechanik I

6 Schnireaktionen 426.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Einteilige Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Dierentielle Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.5 Mehrteilige Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.6 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Reibung 507.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Statisch berbestimmtes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.4 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.5 bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Prinzipe der Statik 588.1 Minimale Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2 Virtuelle Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.3 bungs-Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9 Zustzliche bungsbeispiele 619.1 Kraftwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.3 Schwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.4 Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.5 Zug- und Druckbelastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.6 Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.7 Schnittgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.8 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.9 Prinzipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ii

Vorwort

Historie

Die Mechanik ist eine sehr alte Wissenschaft. BereitsArchimedes (285 212 v. Chr.), ein bedeutender Wis-senschaftler des klassischen Altertums, formulierte dieHebelgesetze1 und untersuchte den Flaschenzug. SeineFormulierung des Gesetzes vom Auftrieb ist heute alsArchimedisches Prinzip bekannt.Im Mittelalter prgte Leonardo da Vinci (1452 1519)durch eine Vielzahl technischer Erndungen2 schlie-lich das Ttigkeitsfeld eines Ingenieurs.Galileo Galilei (1564 1642) untersuchte die Fallge-setze und beschftigte sich mit der Elastizitt einesBalkens. Johannes Kepler (1571 1630) konnte zwardrei Gesetze zur Beschreibung der Planetenbahnen an-geben, aber erst Isaac Newton (1643 1727) gelanges schlielich allgemeine Bewegungsgesetze (Newton-sche Axiome) zu formulieren. Leonhard Euler (1707 1783), einer der bedeutendsten Mathematiker, arbei-tete auch auf dem Gebiet der Mechanik. Neben Bei-trgen zur Hydrodynamik (Eulersche Bewegungsglei-chungen, Turbinengleichung) und zur Kreiseltheorie(Eulersche Kreiselgleichungen) gelang ihm auch dieerste analytische Beschreibung der Knickung eines miteiner Druckkraft belasteten Stabes.Jean le Rond dAlembert (1717 1783) und Joseph LouisLagrange (1736 1813) gelten als Begrnder der Analy-tischen Mechanik. Ihre bahnbrechenden Arbeiten bil-den bis heute die Grundlagen moderner Computer-Berechnungen.

Problemstellung

Um die Grundgesetze und die Methoden der Techni-schen Mechanik zur Lsung von Problemen anwendenzu knnen sind folgende Schritte zu durchlaufen:

1. Formulieren der technischen Aufgabe,2. Auswahl eines mechanischen Ersatzmodells,3. mathematische Beschreibung,

1Gib mir einen Punkt, wo ich hintreten kann, und ich bewege dieErde

2Flugapparate, selbstangetriebenes Fahrzeug (Automobil), Tau-cherglocke, Fallschirm, Druckpumpen, Schrauben, Brennspie-gel und Kriegsmaschinen

4. analytische oder numerische Lsung,5. Interpretation und berprfung der Ergebnisse.

In der Praxis mssen die Schritte 2 bis 5 oft mehr-fach mit entsprechenden Erweiterungen oder Verein-fachungen durchlaufen werden.

Lehrinhalte

Dieses Skript wurde bewusst kurz gehalten. Es decktdie Lehrinhalte des Moduls Technische Mechanik Iin den Bachelor-Studiengngen Maschinenbau sowieProduktions- und Automatisierungstechnik an derHochschule Regensburg ab. Die Themengebiete

Aufgaben und Einteilung der Mechanik Krfte und ihre Darstellung, grundlegende Axio-

me und Prinzipe Schwerpunkt und Resultierende verteilter Krfte Gleichgewicht Coulombsche Reibung Auagerreaktionen und Stabkrfte bei Fachwer-

ken und Tragwerken Schnittreaktionen in Balken, Rahmen und Bogen Spannungen, Verformungen, Materialgesetz Spannung-Dehnungs-Diagramm Spannungen und Verformungen bei Zug-Druck

Beanspruchungenumfassen die Statik und geben einen Einblick indie Festigkeitslehre. Das Modul Technische Mecha-nik II erweitert und vertieft dann die Festigkeitslehre.Schlielich wird die Dynamik, unterteilt in Kinematikund Kinetik im Modul Technische Mechanik III vermit-telt.Der Sto wird berwiegend an Hand von Beispielenvermittelt.Am Ende jedes Kapitels laden bungsbeispielezum Selbststudium ein. Lsungen knnen im PDF-Dokument durch entsprechende Vergrerung sichtbargemacht werden.

Fr die Prfungsvorbereitung sind im Abschnittbungen weitere Beispiele zusammengestellt. Dies-mal wird bewusst auf die Angabe von Lsungen ver-zichtet.

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OTH Regensburg Technische Mechanik I

Weiterfhrende Literatur

Fr weiter fhrende Studien wird auf die LehrbcherTechnische Mechanik I bis III von Russel C. Hibbelerverwiesen, die von der Pearson3 Education Deutsch-land GmbH unter ISBN 978-3-8273-7101-0 vertriebenwerden.

3siehe auch www.pearson-studium.de

Dank

Mein Dank gilt Prof. Dr. Ulrich Briem, der das Skriptmehrfach kritisch durchgesehen und durch konstruk-tive Anregungen bereichert hat.

entnommen aus dem BuchTheatrum Machinarum Generalevon Jacob Leupold, Leipzig 1724

II

1 Vektoren in der Mechanik

1.1 Motivation

Im Vorwort zu seinem Buch Vorlesungen ber Techni-sche Mechanik (Band I) schreibt A. Fppl1 im Jahr 1898:Die Mechanik macht ausgiebigen Gebrauch von den Hilfsmit-teln derMathematik. Ich selbst habemich schon seit langerZeit dazu entschlossen, so weit es angesichts der mathemati-schen Vorkenntnisse, die man voraussetzen darf, zulssig ist,berall mit den Vektoren selbst zu rechnen. Vor allem kann dieMechanik ohne erhebliche Einbue an Klarheit und bersicht-lichkeit nicht auf den Begri der geometrischen Summe zweiergerichteter Gren verzichten. Die fr die Technische Me-chanik wichtigen Begrie aus der Vektor-Algebra sindin den folgenden Abschnitten zusammengestellt.

1.2 Darstellung

In der Mathematik und auch in der Mechanik werdenVektoren im Text hug durch einen Pfeil ber der Va-riablen (z.B.: ~a ) gekennzeichnet.

In der graschen Darstellung wird der Vektor ~a dagegennur mit seinem Betrag a = ~a angegeben. Der skizziertePfeil legt ja bereits die Richtung fest.

In der Mechanik ist die Darstellung von Vektoren aufden R3 beschrnkt. Vektoren im R3 knnen in einemKoordinatensystem dargestellt werden. Die Kompo-nenten des Vektors

~a =

axayaz

(1.1)geben dann die Entfernungen an, die in Richtung derKoordinatenachsen zurckzulegen sind, um vom An-fangspunkt bis zum Endpunkt des Vektors zu gelangen,Bild 1.1.Die Komponentendarstellung von Vektoren hngt vomgewhlten Koordinatensystem ab. Bei der Verwendungvon mehreren Koordinatensystemen ist es deshalb not-wendig, das zur Darstellung verwendete Koordinaten-system zustzlich zu vermerken. Entsprechend Bild 1.2

1August Otto Fppl (18541924) war von 1894 bis 1922 Professorfr Technische Mechanik und grasche Statik an der Techni-schen Hochschule Mnchen

x0

z0 y0

0

a

axay

az

Bild 1.1: Darstellung von Vektoren im R3

xB

zB

xA

B

a

1

yB

yA

zA

3

2 A

Bild 1.2: Koordinatensysteme

kann der Vektor ~a mit

~a,A =

123

oder ~a,B =132

(1.2)in dem Koordinatensystem A oder B dargestellt wer-den.

1.3 Gleichheit

Die Gleichheit zweier Vektoren

~a = ~b (1.3)

kann nur berprft werden, wenn beide Vektoren ineinem gemeinsamen Koordinatensystem K dargestelltwerden. Dann folgt aus (1.3) auch die Gleichheit derKomponenten

axayaz

~a,K

=

bxbybz

~b,K

. (1.4)

1

OTH Regensburg Technische Mechanik I

1.4 Betrag

Der Betrag

a = ~a =a2x + a

2y + a

2z 0 (1.5)

gibt die Lnge eines Vektors an und ist unabhngig vonder Darstellung in unterschiedlichen Koordinatensys-temen.

1.5 Multiplikation mit Skalaren

Bei der Multiplikation des Vektors ~a mit einem Skalar

~b = ~a (1.6)

knnen die in der Tabelle 1.1 zusammengestellten Flleunterschieden werden.

> 1a

a

0 < < 1a

a

-1 < < 0

a

a < -1

aa

Tabelle 1.1: Multiplikation mit einem Skalar

1.6 Einheitsvektoren

Jeder Vektor beinhaltet als Information Betrag undRichtung. Mit

~a = a ~ea (1.7)

knnen diese Informationen aufgespalten werden. DerEinheitsvektor

~ea =~a

|~a | (1.8)hat die Lnge 1 und gibt nur noch die Richtung an.

1.7 Spalten- und Zeilenvektoren

Je nach dem, ob die Komponenten eines Vektors unter-oder nebeneinander angeschrieben werden, sprichtman von einem Spalten-

~s =

sxsysz

(1.9)oder Zeilenvektor

~z =[zx zy zz

]. (1.10)

Mit einem hochgestellten T , dem TransponiertZeichen, werden in der Mathematik Zeilen und Spal-ten einer Matrix vertauscht, bzw. Spalten- in Zeilen-vektoren, z=s T oder Zeilen- in Spaltenvektoren s=z Tumgewandelt.

1.8 Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine multiplikative Verknpfungeines Zeilen- mit einem Spaltenvektor. Das Ergebnis isteine Zahl (Skalar). Sind ~a und ~b Spaltenvektoren, dannerhlt man das Skalarprodukt aus

x = ~aT ~b =[ax ay az

] bxbybz

= axbx+ayby+azbz .(1.11)

Das Skalarprodukt ist kommutativ

~aT ~b = ~b T ~a . (1.12)

Bezeichnet den Winkel zwischen den beiden Vekto-ren ~a und ~b, dann gilt

~aT ~b = |~a | |~b | cos (1.13)Verschwindet das Skalarprodukt, ~aT ~b = 0, dann stehendie Vektoren ~a und ~b senkrecht aufeinander (Orthogo-nalittsbedingung).

1.9 Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist nur im dreidi-mensionalen Raum deniert und erzeugt ber

~a ~b = ~c (1.14)den Vektor ~c , der senkrecht auf der durch die Vektoren~a und ~b aufgespannten Ebene steht. Die Orientierungkann ber die Rechte-Hand-Regel festgelegt werden:zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von~a, der Zeigenger in Richtung von ~b, so zeigt der abge-winkelte Mittelnger in Richtung von~c = ~a~b, Bild 1.3.Zur Auswertung von (1.14) mssen wieder beide Vek-toren im gleichen Koordinatensystem dargestellt wer-den. Die Komponenten des Vektors ~c erhlt man ausder Vorschrift

cxcycz

=axayaz

bxbybz

=ay bz az byaz bx ax bzax by ay bx

. (1.15)Das Kreuzprodukt ist anti-kommutativ. Aus (1.15) ent-nimmt man sofort, dass ~a ~b = ~b ~a gilt.

2

Technische Mechanik I (Statik) Prof. Dr.-Ing. G. Rill

b

a

c

Bild 1.3: Rechte-Hand-Regel

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren ~a und~b, dann gilt ~a ~b = |~a | |~b | sin . (1.16)Das Vektorprodukt verschwindet also, wenn die Vek-toren parallel sind.

1.10 bungen

1.10.1 Zahlenbeispiel

Gegeben sind die Vektoren

~a =

23

5

, ~b =4

16

und ~c =

345

Ermitteln Sie die Betrge, den Winkel zwischen denVektoren ~a und ~b sowie den Einheitsvektor zu ~c . ber-prfen Sie mit den Vektoren ~a, ~b und ~c die Richtigkeitder Beziehungen(~a ~b

)T~c =

(~b ~c

)T~a

und(~a ~b

) ~c =

(~aT~c

)~b

(~bT~c

)~a . Lsung: a = 6.16, b = 7.28, c = 7.07; = 65; ~ec = 0.4240.5660.707

1.10.2 Orts- und Einheitsvektoren

Ein bei D fest im Boden verankerter Antennenmastwird zustzlich durch drei Seile gehalten. Die Seile sindim Punkt E am Mast (DE = a) und in den Punkten A, Bund C am Boden befestigt. Die Punkte A, B und C bil-den in der x- y-Ebene ein gleichseitiges Dreieck, wobeiAD = BD = CD = a gilt.Geben Sie die Ortsvektoren vom KoordinatenursprungD zu den Punkten A, B, C und E an und berechnen Siedie Einheitsvektoren ~eEA, ~eEB , ~eEC .

Lsung: ~rDA= 310 a2 , ~rDB = 310 a2 , ~rDC = 0a0 , ~rDE = 00a und ~eEA= 0.61240.35360.7071 , ~eEB = 0.61240.35360.7071 , ~eEC = 00.70710.7071

x y

z

A

B

C

D

E

60o

60o

Bild 1.4: Antennenmast

3

2 Grundlagen

2.1 Ersatzmodelle

Durch die Beschrnkung auf das Wesentliche unddurch eine geeignete Systemabgrenzung kann ein rea-les System ber Vereinfachungen und Idealisierungenin ein mathematisch beschreibbares Ersatzmodell ab-gebildet werden.Die Technische Mechanik kann basierend auf die phy-sikalischen Eigenschaften der Ersatzmodelle in ver-schiedene Gebiete unterteilt werden, Tabelle 2.1.

Tabelle 2.1: Verschiedene Ersatzmodelle

Ersatz-modelle

starrerKrper Stereo-Mechanik(TM I, TM III)

festerKrper Festigkeitslehre(TM I, TM II)

deform.Krper Plasto-Mechanik

ssigeu. gasf.Krper

Fluid-MechanikStrmungs-mechanik

Die Kontinuums-Mechanik fasst die Modellvorstellungfester, deformierbarer, ssiger und gasfrmiger Kr-per zusammen.In der Statik und der Dynamik arbeitet man in derRegel mit der Modellvorstellung des starren Krpers.In der Ebene kann ein starrer Krper f = 3 freieBewegungsmglichkeiten ausfhren (zwei translatori-sche und eine rotatorische Bewegung). Im Raum sindes f = 6 (drei translatorische und drei rotatorische Be-wegungen).Die Festigkeitslehre lsst mit der Modellvorstellung ei-nes festen Krpers Bauteildeformationen zu, setzt abervoraus, dass diese im Vergleich zu den geometrischenAbmessungen vernachlssigbar klein bleiben. Die Be-wegungen und die auf den Krper einwirkenden Krfteund Momente knnen dann in der Regel weiterhin mitdem Modell des starren Krpers ermittelt werden.

2.2 Krearten

Das Gravitationsfeld oder elektro-magnetische Felderben auf jedes Volumenelement Vi eines Krpers die

FOi

Ai

V1 FV2

V2 V3V4

ViFV1FV4

FVi

FV3

Bild 2.1: Volumen- und Oberchenkrfte

Krfte FV i aus. Auf einen starren oder festen Krper,der ganz oder teilweise in einer Flssigkeit eingetauchtist, werden an jedem Flchenlement Ai der benetz-te Oberche die Krfte FOi eingeprgt, Bild2.1. Dieauf das Volumen- oder das Flchenelement bezogenenKrfte

qV =F

Vbzw. qV =

dF

dV(2.1)

und

qA =F

Abzw. qA =

dF

dA(2.2)

werden als Volumenkrfte qV oder Flchenlasten qAbezeichnet, wobei mit F dF , V dV undA dA der Grenzbergang zu innitesimal kleinenKrften und Volumen- oder Flchenelementen durch-gefhrt wird. Resultieren die Oberchenkrfte aus ei-ner reinen Druckbelastung, dann gibt

p =dF

dA(2.3)

den Druck1 am FlchenelementdA an. Die Streckenlast

qL =dF

dx, (2.4)

die auf ein Lngenelement dx bezogene Kraft dF , stellteinen in der Praxis sehr hug auftretenden Sonderfallder Flchenlast qA dar.

1Drcke werden in N /m bzw. Pa (Pascal) oder in N /mm bzw. MPa(Mega-Pascal) gemessen.

4

Technische Mechanik I (Statik) Prof. Dr.-Ing. G. Rill

2.3 Kradarstellung

Die einzelnen Krfte FV i bzw. FOi sind gerichteteGren, die im dreidimensionalen Raum als Vektorendargestellt werden. So schreibt schreibt A. Fppl2 imVorwort zu seinem Buch Vorlesungen ber TechnischeMechanik (Band I) im Jahr 1898: Ich selbst habe mich schon seit langer Zeit dazu ent-schlossen, so weit es angesichts der mathematischen Vor-kenntnisse, die man voraussetzen darf, zulssig ist, ber-all mit den Vektoren selbst zu rechnen. Vor allem kann dieMechanik ohne erhebliche Einbue an Klarheit und ber-sichtlichkeit nicht auf den Begri der geometrischen Summezweier gerichteter Gren verzichten.

In der Mechanik werden ausschlielich rechtwinkli-ge und rechtshndige Koordinatensysteme verwendet.Die Koordinatenachsen x , y und z zeigen dabei in dieRichtung von Daumen, Zeigenger und abgewinkeltenMittelnger einer rechten Hand, Bild2.2. Die Rechts-

Bild 2.2: Koordinatensystem und Kraftvektor

hndigkeit hat zur Folge, dass mit einer Drehung der x-Achse in Richtung der y-Achse eine positive Drehungum die z-Achse deniert wird. Ferner erzeugt die Dre-hung der y-Achse in Richtung der z-Achse eine posi-tive Drehung um die x-Achse und im Sinne einer zy-klischen Vertauschung ergibt die Drehung der z-Achsein Richtung der x-Achse eine positive Drehung um diey-Achse.Die Orientierung einer Kraft gebenber den Koordina-tenachsen x , y und z gibt der Kraftvektor3

~F =

FxFyFz

(2.5)ber die Komponenten Fx , Fy und Fz an. Der Betrag

F = ~F = F 2x + F 2y + F 2z (2.6)liefert die Gre der Kraft. Mit dem Kraftvektor alleinkann allerdings die Wirkung auf starre oder feste Kr-per noch nicht eindeutig beschrieben werden.

2August Otto Fppl (18541924) war von 1894 bis 1922 Professorfr Technische Mechanik und grasche Statik an der Techni-schen Hochschule Mnchen.

3In der Mechanik werden in der Regel Spaltenvektoren verwen-det.

2.4 Kra und Krawirkung

2.4.1 Allgemein

Die Wirkung einer Kraft kann sehr komplex sein. Soschreibt Wilhelm Busch im sechsten Kapitel von Bal-duin Bhlamm:Hier strotzt die Backe voller Saft;da hngt die Hand, gefllt mit Kraft.Die Kraft infolge von Erregung,verwandelt sich in Schwungbewegung.Bewegung, die in schnellem Blitzezur Backe eilt, wird hier zur Hitze.Die Hitze aber, durch Entzndungder Nerven, brennt als Schmerzempndungbis in den tiefsten Seelenkern,und dies Gefhl hat keiner gern.Ohrfeige heit man diese Handlung,der Forscher nennt es Kraftverwandlung.

In der Technischen Mechanik wird die Wirkung ei-ner Kraft durch das Vermgen beschrieben, Deforma-tionen hervorzurufen und/oder einen Krper zu be-schleunigen. Bei dem in Bild 2.3 skizzierten Schnapp-

Bild 2.3: Schnappverschluss am Schliebeginn

verschluss sorgen die Kontaktkrfte F dafr, dass beimSchlieen die Bgel zunchst nach innen gebogen wer-den, dann aber wieder in die Ausgangslage zurckfe-dern und so eine formschlssige Verbindung gewhr-leisten. Ein Golfball wird beim Abschlag extrem defor-miert, Bild 2.4.

Bild 2.4: Golfball beim Abschlag erst deformiert unddann beschleunigt

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Die aus dem ber die KontaktcheA verteilten Druckp = dF/dA resultierende Kraft

F =

AdF =

Ap dA (2.7)

beschleunigt dann aber den Golfball im Zeitintervallt (Kontaktphase) auf die Geschwindigkeit v .

2.4.2 Krawirkung auf starre Krper

Bei einem starren Krper treten per Denition keineDeformationen auf. Die Wirkung einer Kraft kann so-mit nur durch das Vermgen beschrieben werden, denKrper zu Beschleunigen. In Bild 2.5 ist ein quaderfr-miger Krper mit den Kantenlngen a, b und c darge-stellt, der im Eckpunkt P mit der Kraft ~F belastet wird.

y

z

x

Fz

Fx

y

z

x

Fz

y

z

xy

z

x

Fy

b

c

a

Fx Fy

0

P

r0P

bFx

cFx

bFz

aFz

aFy

cFy

Bild 2.5: Kraftwirkung auf einen starren Krper

Im Koordinatensystem, das sich hier an den Kanten desQuaders orientiert, beschreiben dann die Vektoren

~F =

FxFyFz

und ~r0P =abc

(2.8)die Kraft und ihren Angrispunkt. Wie in Bild 2.5rechts oben dargestellt, verursacht die Kraftkompo-nente Fx eine Verschiebung in x-Richtung (translato-rische Beschleunigung) sowie Drehungen um die y-und die z-Achse (rotatorischen Beschleunigungen). DieVerschiebung in x-Richtung ist proportional zur Kraft-komponente Fx . Neben der Kraftkomponente Fx ent-scheiden auch ihre Abstnde c und b von der x- und z-Achse ber die Gre der Drehungen. Die Wirkung ei-ner im Punkt P angreifenden Kraft in x-Richtung, kann

bezglich des Koordinatenursprungs 0 somit durch dieKraftkomponente Fx selbst und die im Folgenden alsMomente4 bezeichneten Produkte My (Fx ) = c Fx so-wie Mz (Fx ) = b Fx beschrieben werden. Im Sinne,der in Bild 2.2 denierten positiven Drehrichtungen,erfolgt dabei die Drehung um die y-Achse in positiverund die um die z-Achse in negativer Drehrichtung, wasdurch entsprechende Vorzeichen in MFx0y und M

Fx0z be-

rcksichtigt wird.Analog dazu wird die Wirkung einer Kraft in y-Richtung durch die Kraftkomponente Fy selbst und dieMomente M0x (Fy ) = c Fy sowie M0z (Fy ) = a Fy be-schrieben. Ferner charakterisieren die die Kraftkom-ponente Fz und die Momente M0x (Fz ) = b Fz so-wie M0y (Fz ) = a Fz die Wirkung einer Kraft in z-Richtung.Fasst man nun die Komponenten Fx , Fy , Fz wieder imKraftvektor zusammen, dann kann die Wirkung von ~Fauf den starren Krper durch die Vektoren

~F =

FxFyFz

und ~M0 =b Fz c Fyc Fx a Fza Fy b Fx

(2.9)beschrieben werden. Da die Kraft F im Punkt P angreiftund die Wirkung auf den Punkt 0 bezogen wurde, tau-chen im Momentenvektor M0 die Komponenten a, b, cdes Ortsvektors ~r0P auf. Der Momentenvektor entstehtalso aus einer multiplikativen Verknpfung des Orts-vektors mit dem Kraftvektor. Wegen

abc

FxFyFz

=b Fz c Fyc Fx a Fza Fy b Fx

(2.10)kann ganz allgemein die Momentenwirkung einerKraft auf einen starren Krper durch das Kreuz- oderVektorprodukt

~M0 = ~r0P ~F (2.11)ermittelt werden. Greift eine Kraft ~F im Punkt P an ei-nem starren Krper an, dann kann deren Wirkung aufeinen starren Krper durch die Kraft ~F selbst und dasMoment ~M0 = ~r0P ~F , das die Kraft ~F bezglich ei-nes beliebigen Punktes 0 erzeugt, eindeutig beschrie-ben werden. Die Kombination

[~F , ~M0

]wird auch als

Kraftwinder bezeichnet.

2.4.3 Wirkungslinie

Ein Linie in Richtung der Kraft ~F , die durch den An-grispunkt P luft, markiert die Wirkungslinie derKraft, Bild2.6. Unterteilt man den Vektor vom Bezugs-

4Moment = Hebelarm Kraft

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Bild 2.6: Wirkungslinie einer Kraft

punkt 0 zum Angrispunkt P der Kraft ~F gem

~r0P = ~r + ~r (2.12)

in die Anteile~r und~r , die senkrecht und parallel zumKraftvektor ~F verlaufen, dann gilt fr die Momentwir-kung der Kraft

~M0 = ~r0P ~F = (~r + ~r ) ~F = ~r ~F + ~r ~F (2.13)Wegen ~r ~F verschwindet aber der letzte Term, ~r ~F = ~0 und es bleibt

~M0 = ~r ~F mit ~M0 = ~r ~F , da ~r ~F .(2.14)

Fr die Momentenwirkung einer Kraft auf einen star-ren Krper ist also lediglich der durch den Vek-tor ~r beschriebene Abstand vom Bezugspunkt zurWirkungslinie entscheidend. Folglich kann eine Kraftlngs ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohnedass sich dadurch ihre Wirkung auf einen starren Kr-per ndert.

2.4.4 Nullkra

Ein starrer Krper wird in den Punkten P undQ durchKrfte belastet, die mit ~F1 = ~F und ~F2 = ~F gleich gro,aber entgegengesetzt gerichtet sind und auch noch diegleiche Wirkungslinie haben, Bild 2.7. Die Wirkung der

Bild 2.7: Nullkraft

in P und Q angreifenden Krfte ~F1 und ~F2 auf einenstarren Krper beschreiben die resultierende Kraft

~Fres = ~F1 + ~F2 (2.15)

und das resultierende Moment, das auf den Bezugs-punkt 0 bezogen wurde.

~M0 = ~r0P ~F1 + ~r0Q ~F2 (2.16)beschreiben dann Nach Verschieben der Krfte lngsder gemeinsamen Wirkunglinie PQ in den Punkt S ,der den Abstand der Wirkungslinie vom Bezugspunkt0 markiert, bleibt~M0 = ~r0P~F1+~r0Q~F2 = ~r~F1+~r~F2 = ~r

(~F1 + ~F2

)(2.17)

Wegen ~F1 = ~F und ~F2 = ~F verschwindet die resultie-rende Kraft

~Fres = ~F1 + ~F2 = ~F ~F = ~0 (2.18)und entsprechend Gleichung (2.17) dann auch das re-sultierende Moment

~M0 = ~r (~F1 + ~F2

)= ~r

(~F ~F

)= ~0 . (2.19)

Die Krfte ~F1 = ~F und ~F2 = ~F , die auf der gleichenWirkungslinie liegen, entsprechen folglich einer Null-kraft, da sich ihre Wirkungen auf einen starren Krperaufheben. Verlsst man allerdings die Modellvorstel-lung des starren Krpers, dann ist zu beachten, dassKrfte, die in verschiedenen Punkten angreifen, stetsDeformationen hervorrufen.

2.4.5 Dehnung

Im Zugversuch nach DIN EN 10 002 wird eine Probemit kreisfrmigen oder rechteckigen Querschnitten inAchsrichtung durch gleichgroe aber entgegengesetztgerichteten Krfte vom Betrag F belastet, Bild 2.8. Der

Bild 2.8: Zugstab

auf der Probe markierte Abschnitt der Lnge L0 wirddabei auf die Lnge L gedehnt. Bezieht man die Lnge-nnderung L = L L0 auf die unverformte Lnge L0,dann erhlt man mit

=L L0L0

=L

L0(2.20)

eine dimensionslose Gre, die als Lngsdehnung be-zeichnet wird. In der Praxis werden Dehnungen meistin % angegeben. Neben einer Dehnung in Belastungs-richtung kommt es auch zu einer Kontraktion in Quer-richtung. Die Querkontaktionszahl beschreibt diesenEekt.

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2.4.6 Krepaar

Die Krfte ~F1 = ~F und ~F2 = ~F , die in den Punkten Pund Q an einem starren Krper angreifen, sind gleichgro, aber entgegengesetzt gerichtet. Ihre Wirkungsli-nien sind parallel und haben den Abstand a, Bild 2.9.Die Wirkung der beiden Krfte auf den starren Kr-

Bild 2.9: Krftepaar quivalent zu Einzelmoment

per wird analog zu Gleichung (2.18) wieder durch eineverschwindende resultierende Kraft

~F1 + ~F2 = ~F + ~F = ~0 (2.21)beschrieben. Im Unterschied zu Gleichung (2.19) bleibtnun allerdings eine Momentenwirkung, die sich nachgeeignetem Verschieben der beiden Krfte lngs ihrerWirkungslinien aus

~M0 = ~r ~F1 + (~r + ~ra ) ~F2 = ~r (~F1 + ~F2) +~ra ~F2(2.22)

ergibt. Wobei der Vektor ~ra mit der Lnge ~ra = a denAbstand der Wirkungslinien beschreibt. Mit ~F1 = ~Fund ~F2 = ~F bleibt

~M0 = ~r (~F + ~F

)+ ~ra ~F = ~ra ~F = ~M (2.23)

ein Moment ~M0 = ~M , das nicht mehr von einem spezi-ellen Bezugspunkt 0 abhngt.Ein Krftepaar, aus zwei gleich groen, aber entgegen-gesetzt gerichteten Krften mit dem Betrag F , derenWirkungslinien den Abstand a haben, ist in der Wir-kung auf einen starren Krper einem reinem Einzel-moment (die resultierende Kraft ist ja Null) mit demBetrag

~M = ~ra ~F = a F (2.24)quivalent. Der Momentenvektor ~M steht dabei senk-recht zu der Ebene, die durch die beiden Krfte aufge-spannt wird. In der Zeichenebene wird er in der Regeldurch einen kreisfrmigen Pfeil angedeutet.

2.4.7 Scherverformung

Zwei Krftepaare, die sich in ihrer Wirkung auf einenstarren Krper neutralisieren, erzeugen an einem fes-ten Krper eine Verformung, die als Scherung oderGleitung bezeichnet wird, Bild 2.10. Der Winkel ,

F

F

F

F

90o

Bild 2.10: Scherverformung

der die Abweichung des verformten Winkels vom ur-sprnglich rechten Winkel angibt, beschreibt den Gradder Verformung. Er wird als Gleitung bezeichnet.

2.4.8 Das quivalenzprinzip

Jedes System von Krften, ~F1, ~F2, ... ~FN und Ein-zelmomenten ~M1, ~M2, ... ~MM , die die Wirkung vonKrftepaaren zusammenfassen, kann in seiner Wir-kung auf einen starren Krper in quivalenter Weisedurch einen Kraftwinder [~F , ~M0] beschrieben werdenBild 2.11.

y

z

x

r0Nr01

0

M1

F1

F2

r02

FN. . .

M2

MM. . .

y

z

x 0F

M

Bild 2.11: Das quivalenzprinzip

Der Kraftwinder besteht aus der resultierenden Kraft

~F = ~F1 + ~F2 + ... + ~FN =Ni=1

~Fi (2.25)

und dem resultierenden Moment

~M0 =Ni=1

~r0i ~Fi +Mi=1

~Mi (2.26)

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bezglich eines beliebigen Bezugspunktes 0, das sichaus der Momentenwirkung der Einzelkrfte und denEinzelmomenten zusammensetzt.

2.4.9 Streckenlast

2.4.9.1 Definition

In der Praxis kommt es hug vor, dass Krfte lngseiner Linie verteilt sind, Bild 2.12. Die bereits in Glei-

Bild 2.12: Streckenlast und quivalente Einzelkraft

chung (2.4) denierte Streckenlast

qL (x ) =dF

dx(2.27)

bezieht die an der Stelle x wirkende Kraft dF auf dasStreckenelement dx und beschreibt so diese Form vonBelastungen.Die Wirkung einer Streckenlast qL = qL (x ) auf einenstarren Krper kann durch eine an der Stelle xF wir-kende Kraft F ersetzt werden. Dem quivalenzprin-zip entsprechend, ist die resultierende Kraft die Summeder Einzelkrfte. Anstelle der Summe tritt hier das In-tegral ber die Lnge L der Streckenlast und liefert

F =

dF =

Lnge

qL (x ) dx . (2.28)

Die Momentenwirkung der Kraft F bezglich demPunkt 0, die ber den Hebelarm xF mit xF F bestimmtist, muss der Momentenwirkung der verteilten KrftedF entsprechen

xF F =

Lnge

x dF . (2.29)

Mit der Denition der Streckenlast (2.27) erhlt manschlielich

xF =1F

Lnge

x qL (x ) dx , (2.30)

wobei die resultierende Kraft F aus Gleichung (2.28)folgt.

2.4.9.2 Beispiel

Als Beispiel wird die Belastung einer Staumauer durchden mit der Wassertiefe ansteigenden Druck betrach-tet, Bild 2.13. Bezeichnet die Wasserdichte und die

xF

Fq(x)

h

x qh

Bild 2.13: Staumauer

Erdbeschleunigung, dann ist der Druck in der Tiefe hmit ph = h gegeben. Die Streckenlast

q(x ) = qhx

hmit 0 x h (2.31)

beschreibt dann mit qh = bph die auf eine Staumau-er der Breite b wirkende Belastung. Gemss Gleichung(2.28) ist die quivalente Einzelkraft dann durch

F =

x=hx=0

qhx

hdx =

qhh

x=hx=0

x dx

=qhh

[12x

2]x=hx=0

= 12 h qh

(2.32)

gegeben. Schlielich erhlt man aus Gleichung (2.30)den Hebelarm

xF =1F

x=Lx=0

x qhx

hdx =

2hqh

qhh

x=hx=0

x2 dx

=2h2

[13x

3]x=hx=0

= 23h .

(2.33)

Man erkennt, dass die Flche der dreiecksfrmigen Be-lastung, die hier durch die Lnge h und die Hhe qhgekennzeichnet ist, mit dem Wert der resultierendenKraft F bereinstimmt. Zudem luft die Wirkungslinievon F , deren Lage durch den Hebelarm xF beschrie-ben wird, durch den Schwerpunkt der dreiecksfrmi-gen Belastung. Diese Zusammenhnge gelten allge-mein fr beliebige Streckenlasten.

2.4.10 Flchenlast

Wind- oder Kontaktkrfte sind hug ber die Ober-oder die Kontaktche verteilt. Die bereits in Glei-chung (2.2) denierte Flchenlast

qA (x ,y) =dF

dA(2.34)

9

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beschreibt diese Form von Belastung, wobei die berdie Flche A verteilten Krfte dF auf ein Flchenele-ment dA bezogen werden, Bild 2.14. Analog zu Ab-

dF

dAx

z

qA(x,y)

F

x

z

y

yxFyF

Bild 2.14: Flchenlast

schnitt 2.4.9 kann die Wirkung einer Flchenlast aufeinen starren Krper wieder durch eine resultierendeEinzelkraft

F =

Flche

dF =

Flche

qA dA (2.35)

beschrieben werden. Die Koordinaten

xF =1F

Flche

x qA dA und yF =1F

Flche

y qA dA (2.36)

legen dann die Wirkungslinie der resultierenden KraftF fest, die hier entsprechend der Belastung in z-Richtung verluft.

2.5 Schwerpunkte

2.5.1 Gewichtsmielpunkt

Die Gewichtskraft, die auf der Massenanziehung zwi-schen der Erde und einem Krper beruht, ist eine Vo-lumenkraft. Auf jedem Massenelement dm = dV wirddie Kraft dG eingeprgt, Bild 2.15.Die Integration ber den ganzen Krper liefert mit

~G =

Krper

d ~G (2.37)

Bild 2.15: Gewichtsmittelpunkt

die resultierende Gewichtskraft. Die ber den Krperverteilten Krfte d ~G und die resultierende Kraft ~G ha-ben die gleiche Wirkung auf den starren Krper, wenndie entsprechenden Momente bezglich 0 bereinstim-men

~r0S ~G =

Krper

~r0i d ~G . (2.38)

Der Vektoren ~r0S beschreibt dabei den Angrispunkt Sder resultierenden Gewichtskraft ~G und der Vektor ~r0izeigt der Reihe nach auf alle Massenelemente dm desKrpers.In Erdnhe kann die Massenanziehung zwischen ei-nem Krper und der Erde durch ein homogenes Schwe-refeld approximiert werden. Die Gewichtskrfte d ~Gsind dann alle parallel. Orientiert man die Achsen desKoordinatensystems so, dass die z-Achse in Richtungder Gewichtskrfte zeigt, dann gilt

d ~G =

00dG

und ~G =

00G

, (2.39)wobei die Beziehung (2.37) auf die z-Komponente derresultierenden Gewichtskraft ~G angewendet wurde.Mit der Koordinatendarstellung der Ortsvektoren

~r0i =

xiyizi

und ~r0S =xSySzS

(2.40)lautet die quivalenzbeziehung (2.38)

xSySzS

00G

=

Krper

xiyizi

00dG

. (2.41)Nach dem Ausen der Kreuzprodukte bleibt

yS G=

yi dG , xS G=

xi dG und 0 = 0

(2.42)Die beiden ersten Gleichungen liefern mit xS und ySdie x- und y-Komponente des Ortsvektors ~r0S . Da sichdie Wirkung der Gewichtskraft ~G hier nicht ndert,wenn sie lngs ihrer Wirkungslinie, der z-Achse, ver-schoben wird, bleibt die z-Komponente, die Koordina-te zS , zunchst unbestimmt. Dreht man den starren

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Krper so, dass die Gewichtskrfte d ~G nicht mehr inz- sondern z.B. in x-Richtung wirken, dann liefert diequivalenzbeziehung (2.38) auch eine Bestimmungs-gleichung fr die z-Komponente des Ortsvektors ~r0S .Der Gewichtsmittelpunkt S , der auch als Schwerpunktbezeichnet wird, ist allgemein durch die Komponenten

xS =1G

Krper

xi dG yS =1G

Krper

yi dG

zS =1G

Krper

zi dG(2.43)

oder den Ortsvektor

~r0S =1G

Krper

~r0i dG (2.44)

deniert, wobei das Gewicht des Krpers durch

G =

Krper

dG (2.45)

bestimmt ist. Da ber den rumlich ausgedehnten Kr-per integriert wird, entspricht das Integralsymbol hiereinem Dreifachintegral.

2.5.2 Massenmielpunkt

Analog zu den Denitionen (2.44) und (2.45) kann mit

~r0S =1m

Krper

~r0i dm , und m =

Krper

dm (2.46)

auch der Massenmittelpunkt deniert werden, wobeim die Masse des Krpers bezeichnet. Im homogenenSchwerefeld sind der Gewichts- und der Massenmit-telpunkt eines starren Krpers identisch. Mit dem Ge-wichtG =m, dem Dierential dG = dm und der alskonstant vorausgesetzten Erdbeschleunigung kn-nen die Beziehungen (2.44) und (2.45) direkt in die De-nition (2.46) berfhrt werden.

2.5.3 Volumenmielpunkt

Der Volumenmittelpunkt eines starren Krpers istdurch die Denitionen

~r0S =1V

Krper

~r0i dV mit V =

Krper

dV (2.47)

festgelegt. Bei homogener Massenverteilung ist dieMasse des Krpers mit m = V proportional zum Vo-lumen V , wobei die Dichte bezeichnet. Dann sindauch der Massen- und der Volumenmittelpunkt iden-tisch.

2.5.4 Flchenmielpunkt

Der Mittelpunkt einer Flche sowie ihre Gre sinddurch

~r0S =1A

Flche

~r0i dA und A =

Flche

dA (2.48)

deniert. Da jetzt nur mehr ber eine Flche integriertwird, entspricht das Integralsymbol hier einem Dop-pelintegral.Bei Blechen mit dnner Wandstrke t kann das Volu-menelement auf ein Flchenelement reduziert werden,Bild 2.16. Mit der Erdbeschleunigung , der Dichte

Bild 2.16: Dnnwandiges Blech

und der Wandstrke t , die alle als Konstante betrachtetwerden, gilt dann

dG = dm = dV = t dA und G = t A .(2.49)

Damit knnen die in den Gleichungen (2.44) und (2.45)erforderlichen Integrationen ber den Krper (Drei-fachintegral) auf die in Gleichung (2.48) auftretendenIntegrationen ber eine Flche (Doppelintegral) zu-rckgefhrt werden.

2.5.5 Linienmielpunkt

Analog zu (2.48) denieren die Beziehungen

~r0S =1L

Linie

~r0i ds mit L =

Linie

ds (2.50)

den Mittelpunkt S sowie die Lnge L einer Linie, wobeids ein innitesimal kleines Linienstck bezeichnet.

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2.5.6 Zusammengesetzte Krper

2.5.6.1 Definition

Setzt sich ein Krper aus zwei oder mehreren Teilkr-pern zusammen, dann knnen bei der Schwerpunkts-berechnung die Integrale aufgeteilt werden, Bild 2.17.Analog zu (2.46) gilt fr zwei Teilkrper

Bild 2.17: Zusammengesetzter Krper

m =

K1dm1 +

K2dm2 oder m = m1 +m2 (2.51)

und

~r0S =1m

{K1~r01i dm1 +

K2~r02i dm2

}=

1m

{m1~r01 +m2~r02

}=m1~r01 +m2~r02

m1+m2

(2.52)

Auf mehrere Krper verallgemeinert erhlt man

~r0S =

ni=1

{mi ~r0i

}ni=1

mi

(2.53)

wobei mi die Masse des i-ten Teilkrper bezeichnetund der Vektor~r0i die Lage des i-ten Teilkrperschwer-punktes Si angibt. Die Beziehung (2.53) kann sinnge-m auch fr alle anderen Schwerpunkte angewendetwerden.

2.5.6.2 Beispiel L-Profil

Der Querschnitt eines L-Prols setzt sich aus zweiRechtecken zusammen. Die in Bild 2.18 realisierte Auf-teilung fhrt auf Rechtecke mit den Kanten a und s so-wie s und b s . Analog zu (2.51) ist die Querschnitts-che dann durch

A = a sA1

+ (bs ) s A2

(2.54)

gegeben. Die Koordinaten des Flchenmittelpunkteserhlt man gem (2.53) aus

xS =A1x1+A2x2A1+A2

, yS =A1y1+A2y2A1+A2

. (2.55)

a

sy

x

b 1

s

2

Bild 2.18: Schwerpunkt eines L-Prols

Mit den Schwerpunktsabstnden x1=a/2,y1=s/2, x2=s/2, y2=s + (bs )/2= (b+s )/2 und den Teilchen aus(2.54) ergibt sich

xS =as 12 a + (bs )s 12 s

as + (bs )s =12a2+bss2a + b s (2.56)

und

yS =as 12s+ (bs )s 12 (b+s ))

as + (bs )s =12b2+ass2a + b s . (2.57)

2.5.7 Rotationskrper

2.5.7.1 Guldinsche Regeln

Eine Linie der Lnge L, die in einer Ebene liegt unddie um eine in dieser Ebene liegenden Achse rotiert,erzeugt einen rotationssymmetrischen Hohlkrper mitder ObercheO , Bild 2.19. Dann ist die Oberche ge-m der 1. Guldinsche Regel durch

O = 2pi L xS (2.58)

bestimmt, wobei die Drehachse die Linie berhren aber

Bild 2.19: Oberche eines Drehkrpers

nicht schneiden darf und L die Lnge der Kurve und xSder Abstand des Linienmittelpunktes von der Drehach-se ist.Die Rotation einer ebenen Flche um eine in ihrer Ebe-ne liegenden und die Flche nicht schneidende Achseerzeugt einen Drehkrper, Bild 2.20. Sein Volumen er-rechnet sich gem der 2. Guldinsche Regel aus

V = 2pi AxS , (2.59)

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Bild 2.20: Volumen eines Drehkrpers

wobei A der Inhalt der erzeugenden Flche und xS derAbstand des Flchenmittelpunktes von der Drehachseist.

2.5.7.2 Beispiel: L-Profil

Mit den Guldinschen Regeln knnen auch Schwer-punktsabstnde berechnet werden.Lsst man das in Bild 2.18 skizzierte L-Prol um die y-Achse rotieren, dann entsteht ein Rotationskrper, des-sen Volumen durch

V = pia2s + pis2 (b s ) (2.60)gegeben ist. Mit (2.60) und der Querschnittsche A,die bereits in (2.54) berechnet wurde, kann aus (2.59)sofort die x-Koordinate des Flchenmittelpunktes be-rechnet werden

xs =V

2piA =pia2s + pis2 (b s )2pi (as+ (bs )s ) . (2.61)

Nach Krzen mit pi und s fhrt (2.61) auf das Ergebnisin (2.56).Eine Rotation des L-Prols um die x-Achse wrde ber(2.59) zur Schwerpunktskoordinate yS fhren.

2.6 Gleichgewicht

2.6.1 Das Gleichgewichtsaxiom

Nach Newton5 bendet sich ein mechanisches Sys-tem im Zustand der Ruhe (Gleichgewicht) oder imZustand der gleichfrmigen geradlinigen Bewegung,wenn die angreifenden Krfte und Momente in ihrerWirkung auf einen starren Krper einem verschwin-denden Kraftwinder mit ~F = 0 und ~M0 = 0 quivalentsind. Wegen (2.25) und (2.26) bedeutet dies

Ni=1

~Fi = 0 undNi=1

~r0i ~Fi +Mi=1

~Mi = 0 , (2.62)

5 Sir Isaac Newton (1643-1727) war Naturwissenschaftler undPhilosoph. Mit der Philosophiae Naturalis Principia Mathema-tica legte er den Grundstein fr die klassische Mechanik.

wobei der Momentenbezugspunkt 0 beliebig gewhltwerden kann. Mit der Komponentendarstellung derVektoren

~Fi =

FxiFyiFzi

, ~r0i =x0iy0iz0i

, ~Mi =MxiMyiMzi

(2.63)folgen aus (2.62) sechs skalare Gleichungen

Fxi = 0 ,Fyi = 0 ,Fzi = 0 ,

(y0iFzi z0iFyi ) + Mxi = 0 ,(z0iFxi x0iFzi ) + Myi = 0 ,(x0iFyi y0iFxi ) + Mzi = 0 .

(2.64)

Bei ebenen Problemen stehen nur drei Gleichungen zurVerfgung. In der x-, z-Ebene zum Beispiel verschwin-den alle y-Komponenten und es bleiben mit

Fxi = 0 ,Fzi = 0 ,

(z0iFxi x0iFzi ) + Myi = 0 (2.65)nur noch die Kraftkomponenten in der Ebene und dieMomentenkomponente senkrecht zur Ebene brig.

2.6.2 Gegenwirkungsprinzip

Wenn zwei Krper Krfte (und/oder Momente) aufein-ander ausben, dann sind Kraft und Gegenkraft, bzw.Moment und Gegenmoment entgegengesetzt gerichtetund dem Betrage nach gleich gro (actio = reactio).

2.6.3 Schniprinzip

Bendet sich ein mechanisches System im Gleichge-wicht, dann sind auch beliebige Teilsysteme zusammenmit den entsprechenden Schnittreaktionen im Gleich-gewicht. Im Raum stehen damit pro Teilsystem n = 6und in der Ebene n = 3 Gleichgewichtsbeziehungenzur Verfgung.

2.7 Lager

2.7.1 Definition und Wertigkeit

Lager sind Bauelemente zwischen einem mechani-schen System und der Umgebung oder zwischen zwei

13

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Krpern. In der Modellbildung werden aus realen La-gern Elemente, die in idealer Weise einzelne Bewegun-gen (Verschiebungen und/oder Drehungen) ungehin-dert zulassen oder vollstndig sperren.Die Wertigkeit eines Lagers ist gleichbedeutend mitder Anzahl der dadurch gesperrten Bewegungsmg-lichkeiten.

2.7.2 Reaktionen

Wird ein mechanisches System durch Krfte und/oderMomente belastet, dann kann es sich nur im Gleichge-wicht benden, wenn in den Lagern den Wertigkeitenentsprechende Reaktionen, d.h. Krfte und/oder Mo-mente, auftreten. Beim Freischneiden eines mechani-schen Systems, d.h. beim Zerlegen des Systems in Teil-systeme im Extremfall bis herunter zu den einzelnenKrpern, werden die Lagerreaktionen sichtbar (actio =reactio beachten!).

2.7.3 Lager in der Ebene

Die verschiedenen Lagertypen in der Ebene sind in derTabelle 2.2 zusammengestellt.

Symbolund

Name

KinematikBewegungs-

mglichkeitenStatik

Wertigkeit

verschieblichesGelenklager

Drehung um yVerschiebung in x

Kraft in zeinwertig

festesGelenklager

Drehung um yKrfte in x

und zzweiwertig

FhrungVerschiebung in x

Kraft in zMoment um yzweiwertig

festeEinspannung

keineKrfte in x

und zMoment um ydreiwertig

Tabelle 2.2: Lager in der Ebene

Um einen Krper in der Ebene zu xieren, sind Lagererforderlich, die insgesamt ber drei Wertigkeiten ver-fgen. Dies kann z.B. mit einer festen Einspannung,einem festen und einem verschieblichen Gelenklager,

drei verschieblichen Gelenklagern oder mit einer Fh-rung und einem verschieblichen Gelenklager realisiertwerden.Bei der Kombination von Lagern muss darauf geachtetwerden, dass die Wertigkeiten der einzelnen Lager sichnicht gegenseitig behindern.

2.7.4 Rumliche Lager

Mit einem Kugel- und einem Scharniergelenk sind inder Bild2.21 zwei rumliche Lagerelemente dargestellt.Beim rumliche Kugelgelenk kann der Krper 2 ge-

Krper 1

Krper 2

x

zy

Bild 2.21: Kugel- und Scharniergelenk

genber Krper 1 smtliche Drehbewegungen ausfh-ren. Im Gelenkpunkt werden jedoch alle translatori-schen Bewegungen gesperrt. Das rumliche Kugelge-lenk bertrgt in allen 3 Raumrichtungen Krfte undist damit ein 3-wertiges Lager. Das skizzierte Schar-niergelenk zwischen Krper 1 und Krper 2 lsst eineDrehung um die z-Achse und eine Verschiebung in z-Richtung zu. Die restlichen 4 Bewegungen werden ver-hindert. Das skizzierte Scharniergelenk bertrgt Krf-te in x- und y-Richtung sowie Momente um die x- undy-Achse und stellt damit ein 4-wertiges Lager dar.

2.7.5 Bestimmtheit einer Lagerung

In der Ebene bzw. im Raum verfgt jeder Teilkrpereines mechanischen Systems ber b = 3, bzw. b = 6freie Bewegungsmglichkeiten.Werden diese Bewegungsmglichkeiten durch Lagereingeschrnkt, dann muss beim Freischneiden des Kr-pers die Wirkung der Lager durch unbekannte La-gerreaktionen ersetzt werden. Die Anzahl u der un-bekannten Lagerreaktionen ist durch die Summe derWertigkeiten bestimmt.Knnen bei gegebener Belastung die unbekannten La-gerreaktionen aus den Gleichgewichtsbeziehungen al-lein bestimmt werden, dann wird das System als sta-tisch bestimmt bezeichnet. Die statische Bestimmtheiteines Systems kann aus der Beziehung

n = u t (2.66)

14

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berechnet werden, wobei u die Anzahl der unbekann-ten Lagereaktionen und t die Anzahl der tatschlichzur Verfgung stehenden Gleichungen angibt. In derEbene bzw. im Raum stehen zwar fr jeden Teilkrper3 bzw. 6 Gleichgewichtsbeziehungen zur Verfgung,doch in Sonderfllen knnen einige Gleichungen zurtrivialen Beziehung 0 = 0 entarten. Deshalb kann dieAnzahl der tatschlich zur Verfgung stehenden Glei-chungen mit t 3, bzw. t 6 nur nach oben begrenzt,nicht aber vorab eindeutig bestimmt werden.In vielen Fllen kann einem mechanischen System an-gesehen werden, ob es trotz Lagerung noch ber Bewe-gungsmglichkeiten verfgt. Die Anzahl der Freiheits-grade (verbleibende Bewegungsmglichkeiten) gengtder Beziehung

f = b t . (2.67)Die Anzahl der freien Bewegungsmglichkeiten kannpro Teilsystem in der Ebene mit b = 3 und im Raummit b = 6 angegeben werden. Bei bekanntem f kanndamit t sehr leicht aus (2.67) bestimmt werden.Bei n > 0 ist das System n-fach statisch berbestimmt.In solchen Fllen ist eine vollstndige Berechnung derLagerreaktionen nur mglich, wenn auch Bauteil- un-d/oder Lagerverformungen mit einbezogen werden. Ineinigen Fllen knnen zumindest einige Lagerreak-tionen aus den Gleichgewichtsbeziehungen berechnetwerden.Bei statisch berbestimmter Lagerung besteht die Ge-fahr einer inneren Verspannung, die zu erheblichenLagerbelastungen fhren kann. Eine statisch berbe-stimmte Lagerung wird in der Regel nur bei sehr nach-giebigen Bauteilen verwendet. Die berzhligen Lagersttzen das Bauteil zustzlich ab und verhindern so zugroe Verformungen.

2.8 Spezielle Lagerelemente

2.8.1 Die Umlenkscheibe

Zum Heben einer Last mit dem Gewicht G wird einSeil um eine an der Decke befestigte Scheibe gefhrt,Bild2.22. Die Scheibe mit dem Radius r ist in ihrer Mittereibungsfrei drehbar gelagert. Durch einen Schnitt imSeil kann das Teilsystem Last abgetrennt werden. Hierliefert das Gleichgewicht in vertikaler Richtung sofortdas Ergebnis

S = G . (2.68)Ein weiterer Schnitt im Lager legt das TeilsystemScheibe frei. Aus der Momentensumme bezglich derScheibenmitte

S r F r = 0 (2.69)

Bild 2.22: Umlenkscheibe

folgt sofortF = S . (2.70)

Da eine widerstandslos drehbare Scheibe die Seilkraftbei statischer Belastung nicht verndert, wird sie alsUmlenkscheibe bezeichnet. Das Ergebnis F = S kanndann bereits beim Freischneiden bercksichtigt wer-den.Die Lagerbelastungen H und V knnen aus dem Krf-tegleichgewicht am Teilsystem Scheibe

G cos + H = 0 ,G sin +V G = 0 (2.71)

ermittelt werden, wobei die Beziehungen (2.68) und(2.70) bereits bercksichtigt wurden.

2.8.2 Die Pendelsttze

Ein unbelastetes Bauelement mit vernachlssigbaremEigengewicht, das an beiden Enden gelenkig gelagertist, wird als Pendelsttze bezeichnet, Bild 2.23. Das

Bild 2.23: Pendelsttze

Krftegleichgewicht an der freigeschnittenen Pendel-sttze liefert zunchst

Ax + Bx = 0 ,Ay + By = 0 ,Az + Bz = 0 ,

(2.72)

15

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wobei die z-Achse in Richtung der Linie AB zeigt. Ausdem Momentengleichgewicht bezglich GelenkpunktA erhlt man

a By = 0 ,a Bx = 0 ,

0 = 0 ,(2.73)

wobei a den Abstand der Gelenkpunkte angibt. Wegena , 0 folgt aus (2.73) By = 0 und Bx = 0. Damit liefert(2.72) dann auch Ay = 0 und Ax = 0. Die Pendelsttzekann also senkrecht zur Verbindungslinie AB der La-gerungspunkte keine Krfte bertragen.Die dritte Gleichung in (2.72) kann folglich beim Frei-schneiden mit Bz = F und Az = F durch das Prinzipactio = reactio ersetzt werden.

2.8.3 Beispiel: Motorhaube

Die inA und B gelagerte Motorhaube mit dem GewichtG = 50 N wird durch einen in C und D gelenkig gela-gerten Stab abgesttzt, Bild 2.24. Der Lagerungspunkt

Bild 2.24: Absttzung einer Motorhaube und Motor-haube freigeschnitten

A fllt mit dem Ursprung des Koordinatensystems zu-sammen. Der Schwerpunkt und die restlichen Lage-rungspunkte werden durch die Koordinaten

B = [ 0 | 1500 | 0 ] ,C = [ 500 | 750 | 866 ] ,D = [ 1000 | 1500 | 0 ] ,S = [ 250 | 750 | 433 ]

(2.74)

festgelegt. Damit es nicht zu Verspannungen kommt,muss die Motorhaube in A und B gelenkig gelagertsein, wobei eines der Lager, z.B. das Lager in B, in y-Richtung verschieblich sein muss und damit in dieserRichtung keine Kraft aufnehmen kann. Der an beiden

Enden gelenkig gelagerte Stab ist eine Pendelsttze; erkann deshalb nur eine Kraft in Richtung der Linie DCbertragen, vgl. Abschnitt 2.8.2.Fr die 6 UnbekanntenAx ,Ay ,Az , Bx , Bz und F stehen6 Gleichgewichtsbeziehungen zur Verfgung. In Vek-torschreibweise lauten sie

AxAyAz

~A

+

Bx0Bz

~B

+ F ~eDC~F

+

00G

~G

= ~0 (2.75)

und

~rAB~B + ~rACF ~eDC + ~rAS ~G = ~0 , (2.76)wobei als Momentenbezugspunkt der Lagerpunkt Agewhlt wurde und der Einheitsvektor

~eDC =~rDC|~rDC | =

~rAC ~rAD|~rAC ~rAD | (2.77)

die Richtung der Stabkraft angibt.Mit den Zahlenwerten aus (2.74) erhlt man

~rDC =

500750

866

und ~eDC =~rDC|~rDC | =

0.4000.600

0.693

,(2.78)

wobei der Betrag mit

|~rDC | =

(500)2+ (750)2+8662 = 1250 (2.79)gegeben ist. Das Momentengleichgewicht (2.76) liefertdann

1500Bz0

1500Bx

+

1040 F693 F

0

+750G

250G0

= 0 ,wobei die Kreuzprodukte bereits ausmultipliziert wur-den. Aufgelst bleibt

Bx = 0 , F =250693 G=18.05N

undBz =

1040 F + 750G1500 =12.486N .

Damit knnen aus dem Krftegleichgewicht (2.75)auch die Lagerreaktionen in A berechnet werden

Ax =(Bx + (0.400) F ) = 7.22 N ,Ay =(0.600) F = 10.82 N ,Az =(Bz + 0.693 F G )

=(12.486 + 12.5086 50) = 25 N .

16

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2.9 bungen

2.9.1 Handbohrer

Ein Handbohrer wird in den Punkten P und Q mit denKrften F1 und F2 belastet.

x

y

z

0

P

Q

F1

F2

Bild 2.25: Handbohrer

Berechnen Sie mit

~r0P =

0.100.00.25

m und ~r0Q =

0.00.00.5

mdie Wirkung der Krfte

~F1 =

0

1000

N und ~F2 =

060

120

Nbezglich der Bohrerspitze (Punkt 0). Lsung: ~F = 040120 N und ~M0 = 5010 Nm

2.9.2 U-Profil

Berechnen Sie fr das skizzierte U-Prol die Lage desFlchenmittelpunktes.

a

a

t

Bild 2.26: U-Prol

Kann das Ergebnis fr t

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F

M

a

a a

a

F

M

a

a a

a

F

M

a

a a

a

F

M a

a a

a

F

M

a

a a

a

F

M a

a a

a

Bild 2.29: Verschiedene Lagerungsflle

Lsung:F

M a

a a

a

FC

FA FB

x

z

+

FC = F , FA =

24

M

a, FB =

2

4M

a.

F

M a

a a

a

FAz

+x

z

FAx MA

FAx = 0, FAz = F , MB = M + a F .

F

M a

a a

a

FBz

x

z

+

FBxFAz

FAz =

24

M

a

24 F ,

FBx =

22 F , FBz =

2

4M

a

24 F .

F

M a

a a

a

FAxFAz FBxFBz

+

x

z

FAx+FBx =

22 F ,

FAz =

24

(MaF

), FBz =

2

4

(MaF

).

F

M a

a a

a

FA

+x

z

FB MB

FA = F , FB = 0, MB = M + a F .

F

M a

a a

a

z

x+

FA

FC

FBkeine Lsung mglich

2.9.6 Flaschenzug

Der skizzierte Flaschenzug wird durch das GewichtGLbelastet. Die an der Decke gelagerten Scheiben habenjeweils das Gewicht GR . In GB sind das Gewicht derunteren Scheibe und des Bgels zusammengefasst.

GL

GB

2r

30oF

GR GRrr

Bild 2.30: Flaschenzug

Bei welcher Kraft F ist das System im Gleichgewicht?Wie gro sind dabei die Lagerreaktionen in den oberenScheibenlagern? Lsung: F = 13 (GB +GL ), H1 = 12 F , V1 = GR + (1+ 12 3) F , H2 = 0, V2 = GR + 2 F

2.9.7 Kiste

Der Deckel einer Kiste wird durch zwei Scharniere inAund B sowie durch einen Faden zwischen den PunktenP und Q in horizontaler Lage gehalten.

a/2

a A

BG

P

Qa

a

Bild 2.31: Kiste mit genetem Deckel

Wie gro ist die Fadenkraft, wenn der Deckel das Ge-wicht G hat? Lsung: F = 34 G

18

3 Fachwerke

3.1 Grundlegendes

3.1.1 Definition

Ein Fachwerk ist ein aus Stben zusammengesetztesTragwerk, bei dem die folgenden Bedingungen erflltsind:

die Stbe sind in den Knoten zentrisch und ge-lenkig miteinander verbunden,

belastende Krfte greifen nur in den Knotenan,

das Eigengewicht der Stbe kann auf die Kno-ten verteilt oder gegenber der ueren Belas-tung vernachlssigt werden.

3.1.2 Stbe

Jeder Stab in einem Fachwerk ist an beiden Enden ge-lenkig gelagert und stellt, da das Eigengewicht stetsvernachlssigt oder auf die Knoten verteilt wird, einePendelsttze dar, vgl. Abschnitt 2.8.2.

I

II

Q II

N II

N I

Q I

a

Bild 3.1: Stabkrfte

BildDie Gleichgewichtsbeziehungen fr einen freigeschit-tenen Stab, Bild 3.1 lauten in der Ebene

NI + NI I = 0 ,QI +QI I = 0 ,

QI I a = 0 .(3.1)

Fachwerkstbe bertragen also keine Querkrfte

QI = QI I = 0 . (3.2)

Stabkrfte sind Normalkrfte, S = NI = NI I . Die Stab-kraft ist positiv, wenn der Stab auf Zug belastet wird.

3.1.3 Knoten

Die an einem Knoten zusammenlaufenden Stbe bil-den ein zentrales Krftesystem, Bild 3.2. Die Gleichge-

1S

3S2S

4S

Bild 3.2: Knoten

wichtsbeziehungen am Knoten reduzieren sich somitauf die Summe der Krfte

S4 cos S3 cos + S2 cos + S1 cos = 0 ,S4 sin + S3 sin + S2 sin + S1 sin = 0 .

(3.3)

In der Ebene (im Raum) stehen folglich pro Knotenzwei (drei) Gleichungen zur Verfgung.

3.1.4 Bestimmtheit

Ein Fachwerk ist kinematisch bestimmt, wenn dieLage aller Knotenpunkte eindeutig xiert ist; es iststatisch bestimmt, wenn die Stabkrfte und die La-gerreaktionen aus den Gleichgewichtsbeziehungen be-stimmt werden knnen.

Ist ein ebenes Fachwerk mit s Stben und k Knoten sta-tisch und kinematisch bestimmt gelagert, dann gilt

s + r = 2k , (3.4)

wobei r die Anzahl der Lagerreaktionen angibt. Beirumlichen Fachwerken muss (3.4) durch

s + r = 3k , (3.5)

ersetzt werden.Die Bedingungen (3.4), bzw. (3.5) sind notwendig abernicht hinreichend.

19

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3.2 Ebene Fachwerke

3.2.1 Einfache Fachwerke

Bild 3.3 zeigt ein einfaches, ebenes Fachwerk.

a a

2a

F

a

I

II IV

V

III

Bild 3.3: Einfaches Fachwerk

Zur Bestimmung der 10 Unbekannten (7 Stabkrfte S1bis S7 und 3 Lagerreaktionen HI ,VI und HI I ) stehen anden 5 Knoten jeweils 2 Gleichgewichtsbeziehungen zurVerfgung.Mit den Bezeichnungen aus Bild 3.4 erhlt man

HI + S2 sin = 0 , (3.6)VI + S1 + S2 cos = 0 , (3.7)

HI I + S3 +12

2 S4 = 0 , (3.8)

S1 + 12

2 S4 = 0 , (3.9)

S3 S2 sin + S6 = 0 , (3.10)S2 cos + S5 = 0 , (3.11)

S6 12

2 S7 = 0 , (3.12)

F + 12

2 S7 = 0 , (3.13)

12

2 S4 +12

2 S7 = 0 , (3.14)

12

2 S4 S5 12

2 S7 = 0 , (3.15)

F

I

II

V

IIIIV

S1 S2

S1

S1

S2

S2

S2S3S3

HII S3S 3S4

S4

S4S4

S5S5

S5

S5

S6

S6 S6

S6

S7S7

S7

S7

H

IV I

Bild 3.4: Fachwerk freigeschnitten

wobei der Winkel zwischen den Stben 1 und 2 alsHilfsgre verwendet wurde. Aus der Geometrie folgt

sin = aa2 + (2a)2

=15,

cos = 2aa2 + (2a)2

=25.

(3.16)

Das Anschreiben der Gleichgewichtsbeziehungen frjeden freigeschnittenen Knoten wird als Knotenpunkt-verfahren bezeichnet. Ist ein Fachwerk statisch und ki-nematisch bestimmt, dann liefert das Knotenpunktver-fahren stets gengend Gleichungen um alle Stabkrfteund die Lagerreaktionen zu berechnen.Bei einfachen, abbaubaren Fachwerken erhlt manein gestaeltes Gleichungssystem, das leicht aufgelstwerden kann. Aus den Gleichungen (3.6) mit (3.15) er-hlt man:

S7 =

2 F , (3.17)

S6 = 12

2 S7 = F , (3.18)

S4 = S7 =

2 F , (3.19)

20

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S5 = 12

2 S4 12

2 S7 = 2 F , (3.20)

S2 = S5/ cos =

5 F , (3.21)

S3 = S2 sin + S6 = F F = 0 , (3.22)S1 =

12

2 S4 = F , (3.23)

HI I = S3 12

2 S4 = 0 F = F , (3.24)HI = S2 sin = F , (3.25)

VI = S1 S2 cos = F + 2 F = F . (3.26)Bei einfachen Fachwerken knnen die Lagerreaktio-nen auch aus den Gleichgewichtsbeziehungen fr dasGesamtsystem errechnet werden. Aus

HI + HI I = 0 ,VI F = 0 ,

2a HI I + 2a F = 0(3.27)

folgt sofort

HI I = F , HI = F und VI = F . (3.28)Mit (3.28) knnen die Lsungen (3.17) bis (3.26) ber-prft werden.Bei einfachen Fachwerken kombiniert man meistensdas Gleichgewicht am Gesamtsystem mit dem Kno-tenpunktverfahren. Bei geschicktem Vorgehen verein-facht sich dadurch die Ausung der Gleichungen.

3.2.2 Nicht einfache Fachwerke

Bild 3.5 zeigt ein nicht einfaches, ebenes Fachwerk.Auch hier kann das Knotenpunktverfahren angewen-det werden, Bild 3.6.

a a

I

IIIII IV

a

F2

V

VI

a

VII

F1a 12

3 4

5

6

7 8

9

Bild 3.5: Nicht einfaches Fachwerk

Man erhlt

HI +12

2 S2 = 0 , (3.29)

VI + S1 +12

2 S2 = 0 , (3.30)

F

I

1F2

S1 S2

S4S3

S5S7

S6

S8

S9

VVII

S1 S2

S4S3S5 S7

S6

S8

S9

IIIII IV

VIVII

V

HI VI

HVIVVI

Bild 3.6: Fachwerk freigeschnitten

S1 = 0 , (3.31)S3 = 0 , (3.32)

S3 12

2 S2 + S4 = 0 , (3.33)

F1 12

2 S2 = 0 , (3.34)

S4 + 12

2 S5 + S6 = 0 , (3.35)

F2 12

2 S5 = 0 , (3.36)

S6 + 12

2 S9 = 0 , (3.37)

S7 12

2 S9 = 0 , (3.38)

HV I 12

2 S5 + S8 = 0 , (3.39)

VV I +12

2 S5 + S7 = 0 , (3.40)

S8 12

2 S9 = 0 , (3.41)

VV I I +12

2 S9 = 0 . (3.42)

Das Gleichgewicht am Knoten I I liefert mit

S1 = 0 und S3 = 0 (3.43)

zwei Nullstbe.Die restlichen Gleichungen knnen wieder sukzessivegelst werden

S2 =

2 F1 , (3.44)

HI = 12

2 S2 = F1 , (3.45)

VI = S1 12

2 S2 = 0 + F1 = F1 , (3.46)

S4 = S3 +12

2 S2 = 0 F1 = F1 , (3.47)

21

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S5 =

2 F2 (3.48)

S6 = S4 12

2 S5 = F1 + F2 , (3.49)

S9 =

2 S6 =

2 (F2 F1) , (3.50)S7 = 12

2 S9 = F1 F2 , (3.51)

S8 = 12

2 S9 = F1 F2 , (3.52)

VV I I = 12

2 S9 = F1 F2 , (3.53)

HV I =12

2 S5 S8 = F2 F1 + F2 = F1 , (3.54)

VV I = 12

2 S5 S7 = F2 F1 + F2 = 2 F2 F1 . (3.55)Die Gleichgewichtsbeziehungen fr das Gesamtsystem

HI + HV I = 0 , (3.56)VI F1 F2 +VV I +VV I I = 0 , (3.57)

3aVV I + 4aVV I I a F1 2a F2 = 0 . (3.58)reichen zwar nicht aus, um die Lagerreaktionen zu be-stimmen, knnen aber trotzdem zur Kontrolle verwen-det werden.

3.3 Nullstbe

3.3.1 Allgemeines

Bei spezieller Stabanordnung und unter besonderenBelastungsbedingungen knnen in einem FachwerkNullstbe erkannt werden.Das Erkennen von Nullstben reduziert den Aufwandund gestattet in einigen Fllen einen Neueinstieg beimAusen der Gleichgewichtsbeziehungen.

3.3.2 Der unbelastete Zweischlag

Sind an einem unbelasteten Knoten zwei Stbe ange-schlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen, dannsind beide Stbe Nullstbe.

S2 sin = 0 ,S1 + S2 cos = 0 ,

Mit sin , 0 folgt sofort

S2 = 0 und S1 = 0 .1

2

3.3.3 Der belastete Zweischlag

Wird ein Knoten, an dem zwei Stbe mit unterschiedli-chen Richtungen angeschlossen sind, durch eine ue-re Kraft in Richtung eines Stabes belastet, dann ist derandere Stab eine Nullstab.

S2 sin = 0 ,F + S1 + S2 cos = 0 .

Mit sin , 0 folgt sofort

S2 = 0 und S1 = F .1

2

F

3.3.4 Der unbelastete Dreischlag

Sind an einem unbelasteten Knoten drei Stbe ange-schlossen von denen zwei in gleicher Richtung liegen,dann ist der dritte Stab ein Nullstab.

S3 sin = 0 ,S1 + S2 + S3 cos = 0 .

Mit sin , 0 folgt sofort

S3 = 0 und S1 = S2 .2

3

1

Das Erkennen von Nullstben kann in Einzelfllen dieBerechnung von Fachwerken stark vereinfachen. Mansollte jedoch beachten, dass ein nichterkannter Null-stab ohne Folgen bleibt, whrend ein flschlicherweiseals Nullstab angenommener Stab die gesamte Berech-nung in Frage stellt.

3.3.5 Beispiel Fachwerk mit Nullstben

Das in Bild 3.7 dargestellte Fachwerk enthlt vier Null-stbe.Der Knoten V ist ein unbelasteter Zweischlag,

S6 = 0 und S9 = 0 . (3.59)

Die Belastung im Knoten I I erfolgt in Richtung vonStab 2,

S1 = 0 und S2 = F1 . (3.60)Der Knoten IV ist unbelastet und die Stbe 4 und 8 ha-ben die gleiche Richtung

S5 = 0 und S4 = S8 . (3.61)

Die Lagerreaktionen folgen aus dem Gleichgewichts-beziehungen fr das Gesamtsystem

F1 + HI = 0 , (3.62)VI +VV I F2 = 0 , (3.63)

a F1 + a F2 2aVV I = 0 , (3.64)

22

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F1F 2

a

a a

I

2 IIIII V

IV VI

9

2

4

35

8

7

6

1

Bild 3.7: Fachwerk mit Nullstben

wobei mit a die Breite und Hhe eines quadratischenFachwerkfeldes bezeichnet wurde.Unter Bercksichtigung der Nullstbe

S1 = 0 , S5 = 0 , S6 = 0 , S9 = 0 (3.65)

und mit den Lagerreaktionen

HI = F1 , (3.66)VV I =

12 (F1 + F2) , (3.67)

VI = 12 (F1 F2) (3.68)

gengen die Gleichgewichtsbeziehungen an den Kno-ten I und V I

HI +12

2 S3 + S4 = 0 , (3.69)

VI + S1 +12

2 S3 = 0 (3.70)

und

S8 12

2 S7 = 0 , (3.71)

VV I +12

2 S7 + S9 = 0 (3.72)

um die restlichen Stabkrfte zu bestimmen.Man erhlt

S3 =

2VI =12

2 (F1 F2) , (3.73)

S4 = HI 12

2 S3 =12 (F1 + F2) , (3.74)

S7 =

2VV I = 12

2 (F1 + F2) , (3.75)

S8 = 12

2 S7 =12 (F1 + F2) . (3.76)

Die Nullstabbestimmung (3.60) am Knoten V liefertauch die Belastung von Stab 2, S2=F1.

3.4 Der Rierschni

Mit dem Ritterschnitt knnen bei geeigneten Fachwer-ken einzelne Stabwerke direkt berechnet werden. Invielen Fllen gengt das zur Dimensionierung.

F1

F

2

2a910

4

3 58

7

6 2a

6a 6a

3a 3aA B

1

2

11 12

13

Bild 3.8: Langgestrecktes Fachwerk

Gelingt es, ein ebenes Fachwerk so zu durchtrennen,dass maximal 3 unbekannte Stbe geschnitten wer-den, dann knnen die Belastungen dieser Stbe aus denGleichgewichtsbeziehungen eines Teilsystems ermitteltwerden. Zuvor mssen allerdings die Lagerreaktionenberechnet werden.

Durch einen Ritterschnitt knnen bei dem langge-streckten Fachwerk, Bild 3.8, z.B. die Stabkrfte S8, S9und S10 sofort berechnet werden.

F22a

2a

6a

S8S9S10

V B

Bild 3.9: Ritterschnitt

Die Gleichgewichtsbeziehungen fr das Teilsystem inBild 3.9 lauten

S8 S9 cos S10 F2 = 0 ,VB S9 sin = 0 ,6aVB 2a S10 = 0 ,

(3.77)

wobei den Winkel zwischen Stab 9 und Stab 8 angibt.Aus der Geometrie folgen

sin = 222 + 32

, cos = 322 + 32

. (3.78)

Die Lagerreaktion in B erhlt man mit

VB =13 F1

29 F2 (3.79)

23

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sofort aus der Momentenbilanz fr das Gesamtsystem

18aVB + 4a F2 6a F1 = 0 . (3.80)Damit knnen auch die gesuchten Stabkrfte berech-net werden. Aus (3.77) entnimmt man

S10 = 3VB ,

S9 =VB

sin ,

S8 = S9 cos S10 F2 .(3.81)

Selbstverstndlich kann das Knotenpunktverfahrenmit einem oder mehreren Ritterschnitten kombiniertwerden.

3.5 Rumliche Fachwerke

Der Ritterschnitt und das Knotenpunktverfahren kn-nen auch bei rumlichen Fachwerken zur Berechnungder Stabkrfte eingesetzt werden. Im Raum stehenpro Knoten drei Gleichgewichtsbeziehungen zur Ver-fgung und beim Ritterschnitt knnen sechs unbe-kannte Stbe berechnet werden. Wegen der Komple-xitt rumlicher Fachwerkstrukturen entstehen dabeigekoppelte Gleichungssysteme, die meist nur mehr nu-merisch gelst werden knnen.Das rumliche Fachwerk in Bild 3.10 besteht aus 15 St-ben. Mit den jeweils 3 Reaktionen in den 6 Gelenken Abis F ergibt das 43 Unbekannte. In jedem der 9 Gelenkemu das Krftegleichgewicht in den 3 Raumrichtungenerfllt sein. Hinzu kommen noch 6 Gleichgewichtsbe-ziehungen fr den freigeschnittenen Behlter. Damitstehen auch 27 + 6 = 43 Gleichungen zur Verfgung.Bei dem rumlichen Fachwerk aus Bild 3.10 kann zwei-mal der Ritterschitt angewendet werden. HorizontaleSchnitte oberhalb und unterhalb des Dreiecks I , I I , I I Iergeben jeweils ein Teilsystem mit sechs unbekann-ten Stabkrften, S1 mit S6, bzw. S10 mit S15. Die ausden Gleichgewichtsbeziehungen fr die entsprechen-den Teilsysteme resultierenden Gleichungen sind je-doch so stark miteinander gekoppelt, da eine ana-lytische Lsung nur mit erheblichen Rechenaufwanddurchgefhrt werden kann. Mit den Stabkrften, S1 mitS6 und S10 mit S15 knnen dann die restlichen Stabkrf-te S7, S8, S9 und die Gelenk- und Lagerreaktionen er-mittelt werden.In der Praxis werden rumliche Fachwerke in der Re-gel mit der Methode der Finiten Elemente berechnet.Neben den Stabkrften erhlt man dabei auch die elas-tischen Verformungen.

Bild 3.10: Rumliches Fachwerk

3.6 bungen

3.6.1 Einfaches Fachwerk

Fr das skizzierte Fachwerk bestimme man die Lager-reaktionen und alle Stabkrfte.

2F

F2a 2aa

2a1

2

3

4

5

6

7 8

9A B

Bild 3.11: Einfaches Fachwerk

Kontrollieren Sie das Ergebnis mit einem Ritterschnittdurch die Stbe 4, 5 und 6. Lsung:

AH =75 F

BH = 2 FBV = 25 FS1 = 75

2 F

S2 =75 F

S3 = F

S4 = 85 FS5 =

5

5 F

S6 =75 F

S7 = 25 FS8 =

25

2 FS9 =

85 F

3.6.2 Abspannmast

Ein Abspannmast fr eine Fahrleitung ist als Fachwerkausgefhrt.Wie gro sind die Stabkrfte? Lsung: S1 = 32 GS2 = 52 GS3 = 0S4 = 32 GS5 = 32 5G S6 = GS7 = 3GS8 = 4GS9 = 5GS10 = 5G

24

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G

a a

1

2a

2a

2

4

53

6

7

98

10

Bild 3.12: Abspannmast

3.6.3 Nichteinfaches Fachwerk

Bestimmen Sie fr das nichteinfache Fachwerk die Re-aktionen in den LagernA, B undC sowie die StabkrfteS1, S2, S3, S4, S5 und S6. Lsung: AV = F , BV = F , CV = F , CH = 0S1 = 2 F , S2 = F , S3 = F , S4 = F , S5 = F , S6 = 0

Fa a a

A C

a1

2

3

4

5 B

6

Bild 3.13: Nichteinfaches Fachwerk

25

4 Zug- und Druckbelastungen

4.1 Festigkeits- undVerformungskenngren

4.1.1 Der Zugversuch

Beim Zugversuch nach DIN EN 10 002 wird eine Zug-probe bei Raumtemperatur in Achsrichtung belastet,Bild 4.1. Neben Proben mit Kreisquerschnitt werdenhug auch Proben mit rechteckigen Querschnittenverwendet. Die auf der unbelasteten Probe markierte

F FL0

xA0

Bild 4.1: Zugstab

Lnge L0 vergrert sich unter der Belastung durch dieKraft F auf die Lnge L. Die auf die ursprngliche Ln-ge bezogene Lngennderung wird als Lngsdehnung

=L L0L0

=L

L0(4.1)

bezeichnet. Die dimensionslose Wert einer Dehnungwird hug in % angegeben. Im Probenquerschnitt, derim unbelasteten Zustand durch A0 gegeben ist, sor-gen innitesimal kleine Krfte dF fr den Zusammen-halt des Materials, Bild 4.2. Mit der daraus abgeleitetenSpannung

=dF

dA(4.2)

kann die Belastung eines Materials besser bewertetwerden. Genau wie die gesamte Zugprobe ist auch das

x

F

y

z

S0

dA dF = dA

Bild 4.2: Verteilte Krfte im Probenquerschnitt

abgeschnittene Bauteil im Gleichgewicht. Die aus denLngsspannungen resultierende Normalkraft

N =

A0

x dA (4.3)

muss also hier gleich der Zugkraft F sein. Im allgemei-nen kann die Spannung mit x = x (y,z) ber demQuerschnitt variabel sein. In gengender Entfernungvon der Krafteinleitung ist entsprechend dem Prinzipvon Saint-Venant1 hier die Spannung ber dem Quer-schnitt konstant. Mit x = const . und dem Krfte-gleichgewicht F = N erhlt man aus (4.3)

F = N = x

A0

dA = x A0 . (4.4)

Fr den Zugstab gilt somit der einfache Zusammen-hang

=F

A0. (4.5)

Die Kraft F wird in [N ] und die QuerschnittscheA0 in [mm2] gemessen. Spannungen werden deshalbmit der Dimension [N /mm2] angegeben. Hug ver-wendet man statt dessen auch die aus Pascal (1 Pa =1 N /m2) abgeleitete Einheit Mega Pascal (1 MPa =1 N /mm2).

4.1.2 Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Messtechnisch wird in einem Zugversuch zunchstein Kraft-Verlngerungs-Diagramm F = F (L) aufge-zeichnet. ber die Beziehungen (4.5) und (4.1) kommtman dann sehr einfach zum Spannungs-Dehnungs-Diagramm = ( ).Beim bergang von elastischen zu plastischen (blei-benden) Verformungen zeigen verschiedene Metal-le unterschiedliches Verhalten. Bei weichem Stahl(Baustahl) markieren (F )o als obere und (F )u als un-tere Flie- oder Streckgrenze den Beginn der plasti-schen Verformungen, Bild 4.3.

1Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant (1797 1886) Fran-zsischer Mathematiker und Physiker

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Ursache fr die Streckgrenzenerhhung sind beiBaustahl Bereiche gelster Kohlensto- und Sticksto-Atome, die Cottrell-Wolken. Diese behindern zu-nchst das Gleiten von Versetzungen. Beim Erreichender oberen Fliegrenze knnen sich die ersten Verset-zungen von ihren Cottrell-Wolken befreien. Die darausresultierende Dehnung lsst die Spannung abfallen.Beim Erreichen der unteren Streckgrenze konzentriertsich die plastische Verformung auf schmale Bereiche,die Ldersbnder, die unter 45 in Richtung der ma-ximalen Schubspannung verlaufen. Die maximal ge-

(F)u= 290

(F)o= 295

F = 1.9

Dehnung [%]0 10 20 30 400

100

200

300

400

500

Span

nung

[M

Pa]

Z = 20

Z= 420

B = 37

E = 200 GPa

Bild 4.3: --Diagramm fr Baustahl2

messenen Kraft Fmax liefert mit Z die Zugfestigkeit.Die entsprechende Dehnung Z wird als Gleichma-dehnung bezeichnet. Die Probe reit bei der Bruch-spannung B . Auf Grund einer lokalen Einschnrun-gen an der spteren Bruchstelle ist die auf den Aus-gangsquerschnittA0 bezogene Bruchspannung kleinerals die Zugfestigkeit. Die Gre der Bruchdehnung Bist ein Ma fr die Zhigkeit eines Materials. Bei hoch-

Dehnung e [%]

Span

nung

s [M

Pa]

200

0 10 20 300

400

600

800

1000

1200

1400

Federstahl

Vergtungsstahl

Feinkornbaustahl

allg. Baustahl

0

200

0

400

600

800

0.2 0.4 0.6

(F)0.2

Dehnung e [%]

Span

nung

s [M

Pa] P

E

Bild 4.4: Verschiedene --Diagramme3 und Bestim-mung der Ersatzstreckgrenze

2Die Messung wurde freundlicherweise vom Lehrstuhl fr Um-formtechnik und Gieerei (UTG) an der TU Mnchen zur Ver-fgung gestellt.

festen Sthlen sowie auch bei Aluminium tritt ein kon-tinuierlicher bergang von elastischen zu plastischenVerformungen auf, Bild 4.4. Da hier die Fliegrenze Fnicht eindeutig aus dem Kurvenverlauf bestimmt wer-den kann, verwendet man statt dessen mit der Ersatz-streckgrenze (F )0.2 die Spannung, die zu einer blei-benden Dehnung von 0.2% fhrt.

4.1.3 Das Hookesche Gesetz

Bei kleinen Dehnungen nimmt die Probe nach der Ent-lastung wieder die Ausgangslnge ein. Die Elastizi-ttsgrenze wird durch die Spannung E begrenzt. In-nerhalb des elastischen Bereiches zeigen insbesondereMetalle ein linear elastisches Verhalten. Unterhalb derdurch P festgelegten Proportionalittsgrenze ist danndie Spannung proportional zur Dehnung . DiesenZusammenhang erkannte erstmals der Physiker Hoo-ke4, nach dem dieser Bereich auch Hookescher Bereichdes Werkstos genannt wird. Das Hookesche Gesetz

= E mit | | < P (4.6)

stellt ber den Elastizittsmodul E einen Zusammen-hang zwischen der Dehnung und der Spannung her. Obwohl der Elastizittsmodul E in der Regel ausdem Zugversuch ermittelt wird, gilt das Hookesche Ge-setz im entsprechend eingeschrnkten Bereich auchfr Druckspannungen. Bei den meisten metallischenWerkstoen unterscheiden sich die Proportionalitts-grenze P , die Elastizittsgrenze E und die Fliespan-nung F nur sehr wenig. Deshalb kann die Fliespan-nung F oder die Ersatzspannung (F )0.2 in der Regelals Begrenzung des Hookeschen Bereichs verwendetwerden.Da bei vielen technischen Anwendungen bleibendeVerformungen unerwnscht sind, stellt (4.6) ein sehreinfaches aber geeignetes Materialgesetz dar.

4.1.4 Wrmedehnung

Der Einuss einer Wrmedehnung kann nherungs-weise ber den Ansatz

=1E + T T (4.7)

bercksichtigt werden, wobei T der Wrmeausdeh-nungskoezient mit der Dimension [1/K] ist und

3aus: www.imwf.uni-stuttgart.de/lehre/ vd/wk-p/01_Zugversuch/Zugversuch.htm (21.08.2008)

4Robert Hooke (1635-1703) englischer Physiker, Mathematikerund Ernder

27

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T = T T0 die nderung der Temperatur T gegen-ber einem Referenzwert T0 angibt. Bei T = T0 istdas Material spannungs- und dehnungsfrei. Da in (4.7)nur die Temperaturdierenz bentigt wird, knnen Tund T0 sowohl nach Kelvin [K] als auch nach Celsius[C] gemessen werden. Bei Stahl liegen die Werte frden Wrmeausdehnungskoezienten zwischen T =9106 1/K und T =19106 1/K . Groe Temperatur-nderungen beeinussen auch den E-Modul, E = E (T ).Bei Kunststoen ist das meist schon bei relativ gerin-gen Temperaturnderungen zu bercksichtigen.

4.1.5 Innere Arbeit

Die Arbeit einer Kraft F , die lngs einer Koordinate sverschoben wird, ist durch

W =

dW =

F ds (4.8)

gegeben. Beim Zugstab erzeugt die Kraft F eine berdie Querschnittsche A gleichmig verteilte Nor-malspannung. Mit F =A bleibt dann

W =

dW =

Ads (4.9)

Auf das Volumen dV =Adx eines innitesimal kleinenTeilstcks bezogen, erhlt man

WV =

dW

dV=

Ads

Adx=

ds

dx(4.10)

Ein Vergleich mit (4.8) zeigt, dass bei der Volumen be-zogenen ArbeitWV die Kraft F durch die Spannung und das Wegelementds durch die Dehnungds/dx = ddes innitesimal kleinen Teilstcks ersetzt wird. Diespezische innere Arbeit, die auch als spezische For-mnderungsenergie bezeichnet wird, ist somit durch

WV =

d (4.11)

bestimmt. Sie entspricht der Flche unter dem Span-nungsdehnungsdiagramm, wenn das Bauteil von 0 biszur Dehnung x belastet wird, Bild 4.5. Bleiben die

()

d

WV

dx

(1+)dx

A

Bild 4.5: Spezische innere Arbeit

Dehnungen im linearen Bereich, dann kann die spezi-sche innere Arbeit (4.11) mit dem Hookeschen Gesetz(4.6) in der Form

WV =

E d = E

d (4.12)

angeschrieben werden. Nach der Integration von = 0bis = L/L bleibt

WV = E

L/L0

d =12 E

(LL

)2(4.13)

Die gesamte in einem Stab mit dem Querschnitt A undder Lnge L gespeicherte Energie ist dann durch

W =WV

dV =WV V =WV AL (4.14)

oder

W =12 E

(LL

)2AL =

12E A

LL2 (4.15)

gegeben. Das Produkt E A mit der Dimension N be-schreibt die Dehnsteigkeit und der Ausdruck EA/Lmit der Dimension N/m gibt die Steigkeit des Stabesan.

4.1.6 Vernderliche erschnie

Bei pltzlich vernderlichen Querschnitten, wie beiWellenabstzen oder Kerben, sind die Normalspannun-gen nicht mehr gleichmig ber dem Querschnitt ver-teilt, Bild 4.6. Die dabei auftretenden Spannungsspit-

F FA2

A1

2=F/A2

12=?

1=F/A1

Bild 4.6: Spannungsspitzen

zen werden bei der Dimensionierung ber zustzlicheFaktoren (z.B. Kerbfaktor) erfasst. Eine rechnerischeErmittlung erfordert komplexe Anstze aus der Konti-nuumsmechanik, die Berechnung mit Finiten Elemen-ten (FEM) oder aufwndige diskrete Modelle (ParticleMethod).Verndert sich der QuerschnittA ber die BauteillngeL nur sehr langsam, dann kann in guter Nherung wie-der eine ber den Querschnitt konstante Spannungs-verteilung angenommen werden, Bild 4.7.

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F F=(x)=F/A(x)

x L

Bild 4.7: Langsam vernderlicher Querschnitt

Variiert auch noch die Normalkraft N = N (x ), dann istNormalspannung durch

= (x ) =N (x )

A(x )(4.16)

deniert, wobei vorausgesetzt wird, dass die nderungder Querschnittsche und der Normalkraft gengendklein sind.

4.1.7 Flchenpressung

Werden zwei Krper gegeneinander gepresst, dannwird in der Berhrche A ber Druckspannungenp die Normalkraft N bertragen. Analog zu (4.3) giltauch hier

N =

A

p dA . (4.17)

Erfolgt der Kontakt ber eine ebene Flchenberh-rung, dann kann in guter Nherung eine gleichm-ige Druckverteilung angenommen werden, Bild 4.8.Die Flchenpressung ist dann durch

p =N

A(4.18)

gegeben. In vielen Fllen, wie z.B. beim Rad-Schiene-

N

A

p NA

Bild 4.8: Ebene Kontaktchen

Kontakt, sind die Krperkonturen an der Berhrstel-le gekrmmt, Bild 4.9. Die Form und die Gre derBerhrche A und die genaue Druckverteilung p =p (x ,y) hngen jetzt von den lokalen Deformationender Krper ab. Unter der Voraussetzung, dass beide

Krper als linear-elastische Halbrume betrachtet wer-den knnen und die Kontaktche klein gegenber denKrperabmessungen bleibt, gelang es Hertz5 die Formund die Gre der Kontaktche sowie die Flchen-pressung zu ermitteln. Die Hertzsche Theorie ndetAnwendung bei Kontakten zwischen Zahnrdern, zwi-schen Wlzkrper und Laufbahn von Wlzlagern so-wie beim Rad-Schiene-Kontakt.

P

Rad

Schiene

xy

zx

Kontakt-Ellipse

y

x

p=p(x,y)

A

y

p=p(x,y)

Bild 4.9: Rad-Schiene-Kontakt

Die bei Bolzen und Nieten auftretende Flchenpres-sung bezeichnet man als Lochleibungsdruck. Der Kon-takt erfolgt dabei ber eine Zylinderhalbschale. DieFlchenpressung verschwindet an den Rndern und er-reicht ihr Maximum in der Mitte, Bild 4.10. Fr Ausle-

s

F

Fs

d

N=Fpreal pN

AAP

Bild 4.10: Nietverbindungen

gungsberechnungen wird die komplexe Druckvertei-lung pr eal durch eine konstante Druckverteilung an-genhert. Die gemittelte Flchenpressung wird dabeiaus

pM =N

AP(4.19)

ermittelt, wobeiAP eine Flche darstellt, die durch Pro-jektion der tatschlichen Kontaktche in eine Ebe-

5Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) deutscher Physiker

29

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ne senkrecht zur Belastungsrichtung erzeugt wird. Be-zeichnet s die Blechdicke undd den Durchmesser einerNiete, dann ist die in (4.19) bentigte projizierte Flchedurch

AP = s d (4.20)

gegeben, whrend die tatschliche Kontaktche (Zy-linderhalbschale) durch A = s 12d bestimmt ist.

4.1.8 Dimensionierung

Das Funktionieren eines technischen Systems oder be-stimmter Bauteile setzt in der Regel voraus, dass keinVersagen durch Brche oder groe Verformungen auf-tritt. Der Nachweis erfolgt meist durch rechnerischeErmittlung der Spannung oder einer Verformung u,die bei bestimmten tatschlichen oder geschtzten Be-lastungen auftreten. Diese Werte werden dann mit

< zul oder u < uzul (4.21)

in Bezug zu zulssigen Spannungen zul oder Verfor-mungen uzul gesetzt. Mit Sicherheitsbeiwerten > 1versucht man dabei Unsicherheiten in der Berechnung(Lastannahme), in den Annahmen (gleichmige Span-nungsverteilung) oder in Umwelteinssen (Tempera-tur) zu bercksichtigen. Auch die Folgen eines Versa-gens (Gefhrdung von Menschen), die Belastungsart(statisch, dynamisch, konstant, schwellend oder wech-selnd) und die Dauer (technische Dauerfestigkeit) ms-sen im Sicherheitsbeiwert oder in zul erfasst wer-den.Bei der Druckbelastung schlanker oder dnnwandigerBauteile kann die zulssige Spannung auch durch In-stabilitten wie Knicken und Beulen bestimmt sein.Bei komplizierten Belastungsfllen treten neben Nor-malspannungen in den drei Raumrichtungen auchnoch Schubspannungen auf. Die Beurteilung mehrach-siger Spannungszustnde erfolgt in der Regel ber Ver-gleichsspannungen.

4.2 Statisch bestimmte Systeme

4.2.1 Gleichgewicht

Das in Bild 4.11 dargestellte System aus zwei Stbenoder Seilen wird durch die Kraft F belastet.Die festen Lager in A und B haben den Abstand P +Q .Im unverformten (unbelasteten) Zustand liegt das Ge-lenk in C im Abstand H unterhalb der Linie AB. Dieelastischen Deformationen der beiden Stbe fhren bei

uP

H

w

Q

F

L1 L2

A B

C

Bild 4.11: Verformungen durch Belastung

der Belastung durch die vertikale Kraft F zu horizon-talen und vertikalen Verschiebungen am Kraftangris-punkt C . Diese werden mit u und w bezeichnet.

P+u

H+w

Q-uF

S1S2

A B

C1 2

L1 L2

Bild 4.12: Knoten frei geschnitten

Das Krftegleichgewicht in horizontaler und vertikalerRichtung liefert am Knoten in C die Gleichungen

S1 cos1 + S2 cos2 = 0 , (4.22)F + S1 sin1 + S2 sin2 = 0 . (4.23)

Aus dem Bild 4.12 entnimmt man fr die Winkelfunk-tionen

sin1 =H+w

L1, cos1 =

P+u

L1, (4.24)

sin2 =H+w

L2, cos2 =

QuL2

, (4.25)

wobei die aktuellen Stablngen durch

L1 =

(P+u)2 + (H+w )2 , (4.26)

L2 =

(Qu)2 + (H+w )2 (4.27)gegeben sind. In (4.22) eingesetzt erhlt man mit

S1 P+u(P+u)2+ (H+w )2

+S2Qu

(Qu)2+ (H+w )2 = 0(4.28)

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und

S1H+w

(P+u)2+ (H+w )2

+S2H+w

(Qu)2+ (H+w )2 = F(4.29)

zwei Gleichungen, die zwar formal nach den Stabkrf-ten aufgelst werden knnen

S1 =

(P+u)2+ (H+w )2

P +Q

QuH+w

F , (4.30)

S2 =

(Qu)2+ (H+w )2

P +Q

P+u

H+wF , (4.31)

aber keine Lsung ermglichen, da sie ja noch die un-bekannten Verschiebungen u und w enthalten.

4.2.2 Materialgesetz

Beschrnkt man sich auf elastische Deformationen,dann kann das Hookesche Materialges