INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN ESCA

UNIDAD DE POSGRADOS

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN ADMINISTRACIÓN Y DESARROLLO DE LA EDUCACIÓN

MADE

TESIS

TEMA:

El rendimiento académico de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1 de Ingeniería Industrial del Tecnológico de Estudios

Superiores de Ecatepec

QUE PARA OBTENER EL GRADO PRESENTA

Alumna: Lizbet Guadalupe Soto Navarrete.

Directora de Tesis: Elia Olea Deserti.

INDICE

Resumen

Abstract

Introducción

CAPITULO 1

1 SITUACION PROBLEMÁTICA

1.1 Planteamiento del problema 1

1.2 Objetivos 8

1.3 Preguntas de Investigación 9

1.4 Justificación 10

1.5 La Investigación de Operaciones en el Tecnológico de Estudios

Superiores de Ecatepec (TESE)

13

CAPITULO 2

2 LAS MATEMATICAS

2.1 Surgimiento de las Matemáticas en la época antigua 16

2.1.1 Matemáticas Egipcias 20

2.1.1.1 Las primeras operaciones matemáticas 26

2.1.2 Matemáticas Griegas 36

2.1.3 Matemáticas Mayas 42

2.2 ¿Por qué aprender Matemáticas? 49

2.3 La aplicación de las Matemáticas a nivel superior 54

2.3.1 La Investigación de Operaciones en el siglo XX 57

2.3.1.1 Modelos de Aplicación 63

2.3.1.2 Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones 66

2.3.1.3 La Importancia de la Investigación de Operaciones en la

Ingeniería Industrial

68

CAPITULO 3

3 ESTRATEGIA METODOLOGICA

3.1 Generalidades sobre el desarrollo de esta tesis 74

3.2 El método 75

3.3 Hipótesis general y variables 77

3.3.1 Hipótesis nulas 79

3.4 Población e integración de grupos 81

3.5 Instrumentos

3.5.1 Cuestionario sobre las características de los alumnos 83

3.5.1.1 Pilotaje, confiabilidad y validez 84

3.5.2 Exámenes de diagnóstico, parciales y de evaluación global 87

CAPITULO 4

4.1 ANALISIS E INTERPRETACION DE DATOS 92

Hipótesis nulas 113

Correlación 113

Regresión múltiple 114

Elaboración de la ecuación de predicción 115

CONCLUSIONES

117

ANEXO I Cuestionario aplicado para pilotaje

Cuestionario definitivo aplicado a los estudiantes de

Investigación de Operaciones 1 para esta Investigación

120

122

ANEXO II Examen Diagnóstico 124

ANEXO III 1er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo A

1er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo B

126

128

ANEXO IV 2do. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo 1

2do. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo 2

130

131

ANEXO V 3er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo A

3er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo B

132

133

ANEXO VI Examen Global de Investigación de Operaciones 1 134

Referencias bibliohemerográficas y electrónicas 135

Siglas

Glosario

INDICE DE TABLAS Y FIGURAS

TABLA No. 1 Porcentajes de reprobación en Investigación de

Operaciones 1 de 2005 a 2007

6

TABLA No.2 Definición de Variables 78

TABLA No. 3 Resumen de la muestra turno matutino 82

TABLA No. 4 Resumen de la muestra turno vespertino 82

TABLA No. 5 Resultados del pilotaje del cuestionario 85

TABLA No. 6 Género, Estado Civil y Situación Laboral 93

TABLA No. 7 Tipo de vivienda y ubicación 95

TABLA No. 8 Actividad Extracurricular 96

TABLA No. 9 Hipótesis nulas 113

FIGURA 1 Edades de la población de alumnos 92

FIGURA 2 Género, Estado Civil y Situación Laboral de la población de

Investigación de Operaciones 1

94

FIGURA 3 Promedio de calificaciones de matemáticas 3 y

matemáticas 4

97

FIGURA 4 Calificaciones del examen diagnóstico de la población de

Investigación de Operaciones 1

98

FIGURA 5 Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos

matutino expuesto a la variable experimental y no expuesto

a ella

99

FIGURA 6 Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos

vespertino expuesto a la variable experimental y no

expuesto a ella

100

FIGURA 7 Promedio de calificaciones del grupo matutino no expuesto

a la variable experimental

101

FIGURA 8 Promedio de calificaciones del grupo matutino expuesto a la

variable experimental

102

FIGURA 9 Promedio de calificaciones finales de los grupos matutino 103

FIGURA 10 Porcentaje de alumnos aprobados del grupo matutino

expuesto a la variable experimental

104

FIGURA 11 Porcentaje de alumnos aprobados del grupo matutino no

expuesto a la variable experimental

105

FIGURA 12 Calificaciones finales de los grupos matutino expuesto a la

variable experimental y no expuesto a ella

106

FIGURA 13 Promedio de calificaciones del grupo vespertino no

expuesto a la variable experimental

107

FIGURA 14 Promedio de calificaciones del grupo vespertino expuesto a

la variable experimental

108

FIGURA 15 Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo

vespertino expuesto a la variable experimental

109

FIGURA 16 Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo

vespertino no expuestos a la variable experimental

110

FIGURA 17 Calificaciones finales de los grupos vespertino expuesto a la

variable experimental y no expuesto a ella

111

RESUMEN

La Investigación de Operaciones tiene gran importancia en la industria para la toma

de decisiones, por lo que numerosas organizaciones en todo el mundo en el área de

inventarios, producción y control de la producción, en proyectos de inversión, en la

prospección de nuevos productos se apoya en ella.

Por tanto, esta investigación que se desarrolló en el Tecnológico de Estudios

Superiores de Ecatepec fue respecto a la asignatura de Investigación de

Operaciones 1, a partir de que se ha observado un problema de bajo rendimiento

escolar, que se corroboró mediante los datos semestrales del 2005-1 al 2007-1 en

los que se detectó que el porcentaje de reprobados fluctuaba entre el 56 y 60, se

detectó que los estudiantes tenían problemas para entender los métodos

matemáticos originado por una deficiencia en la comprensión y práctica mínima de

operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales.

Se partió de la hipótesis general de que si a los alumnos antes de cursar la

asignatura de Investigación de Operaciones 1 en el programa se agregaba una

unidad que permitiera el estudio y ejercitación de estas operaciones se facilitaría la

interpretación de los modelos matemáticos, indispensable para la toma de decisiones

en el área, lo cual a futuro, como profesionales en el campo de trabajo repercutiría en

el ámbito económico de las empresas.

De ahí, que a través del método experimental, se probó la hipótesis, por lo que a

partir de la existencia de dos grupos de estudiantes de la carrera de Ingeniería

Industrial (matutino y vespertino) se formaron cuatro grupos en los que se realizó su

integración al azar haciendo uso de tablas de números aleatorios quedando dos

grupos matutinos y dos vespertinos. En ambos turnos, uno fue expuesto al estudio

de las operaciones fundamentales y el otro como grupo control en el que el programa

se desarrollo de forma acostumbrada.

En el semestre 2008-1 se probó la hipótesis. Para visualizar las características

generales de los estudiantes se les aplicó un cuestionario, se realizó una prueba

diagnóstica, tres exámenes parciales y se integró un examen global para los alumnos

reprobados, a partir de los datos se calcularon el coeficiente de correlación de

Pearson, una regresión lineal y se formuló la ecuación que puede ser usada como

pronóstico y ser aplicada para grupos con características y condiciones similares a

las de esta tesis.

Como conclusión se observó que los grupos sometidos a la variable que fue la

unidad 1 (revisión, explicación y ejercitación de operaciones fundamentales (suma,

resta, multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales) antes de

programa de Investigación de Operaciones 1 aumentaron su rendimiento.

De acuerdo a las hipótesis nulas se rechazaron cuatro de ellas correspondientes a

los promedios de calificaciones, corroborándose que sí hay diferencia entre los

grupos expuestos (matutino y vespertino) y el grupo control, con respecto a promedio

general, promedio del primero y segundo parcial, así como en el promedio general de

Investigación de Operaciones 1.

Abstract

Operations research is of great importance in industry for decision-making, so

many organizations around the world in the area of inventory, production and

control of production, investment projects in the exploration of new products based

on it.

Therefore, this research developed in the Technology of Advanced Studies in

Ecatepec (Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec) was about the

discipline of Operations Research 1, from which there has been a problem of poor

school performance, which was verified by data from 2005-1 to 2007-1 semester

in which it was detected that the percentage was between 56 disapproved and 60

percent, was detected that the students had trouble understanding mathematical

methods caused by a deficiency in understanding and practice of fundamental

operations minimum, fractional, and matrix algebra.

It is generally hypothesized that if students before making the subject of an

Operations Research in the program added a unit that allowed the study and

practice of these operations would facilitate the interpretation of mathematical

models, essential for decision making in the area which in future as professionals

working in the field would affect the economic of enterprises (industries).

Hence, through the experimental method was tested the hypothesis as from the

existence of two groups of students from the Industrial Engineering degree

morning and evening shifts are four groups in which their integration was

performed to random using tables of random numbers leaving two morning and

two evening groups. in two shifts, one was exposed to the study of the

fundamental operations and the other as a control group in which the development

program as usual.

In the 2008-1 semester hypothesis was tested. To display the general

characteristics of the students answered a questionnaire, we made a diagnostic

test, three partial exams and integrates a comprehensive review for students

complained of from the data we calculated the Pearson correlation coefficient, a

linear regression equation was formulated that can be used as prognostic and be

applied to groups with similar characteristics and conditions of theses areas.

As a conclusion it was observed that the groups with the variable that was 1 unit

(revision, explanation and practice of fundamental operations (addition,

subtraction, multiplication and division), fractional algebraic and matrix) before the

Operations Research program 1 increased performance.

According to the null hypothesis was rejected four of them corresponding to the

mean scores, found that if no difference between the exposed groups (morning

and afternoon) and the control group with respect to general average, average first

and second partial as well as the overall average of Operations Research 1.

SIGLAS

ANOVA Análisis de la varianza o análisis de varianza con un factor o

Modelo factorial con un factor

AWT Tablilla de madera de Ajmím.

CACECA Consejo Nacional de Acreditación en la Enseñanza de la Contaduría

Y Administración A.C.

CACEI Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería, A.C.

CANAIC Consejo Nacional de Acreditación en Informática y Computación.

DGIT Dirección General de Institutos Tecnológicos.

EMLR Rodillo de Cuero Matemático Egipcio.

IFORS International Federation of Operacional Research Societies.

IO Investigación de Operaciones

IO1 Investigación de Operaciones 1

PMM Papiro Matemático de Moscú

PMR Papiro Matemático de Rhind.

SCOOP Scientific Computation of Optimum Programs.

SEAC Normas Electrónico/Oriental Automática de la Computación (ordenador)

TESE Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec

UCR Unidad de Certificación y Registro

URRS Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas.

GLOSARIO

Acreditación. Proceso que se inicia cuando la entidad productora de un servicio asume cumplir un modelo-estándar para el ámbito en el que se desarrolla.

Artífice. Persona que ejecuta científicamente una obra mecánica o aplica a ella alguna de las bellas artes.

Alfabeto Dórico. Alfabeto de forma rectilínea y angulosa, que se usó en lo antiguo.

Alfabeto Jónico. Alfabeto griego, utilizado para escribir la lengua griega, tuvo su desarrollo en un período alrededor del siglo IX AC, utilizándose hasta nuestros días, tanto en el griego moderno, como en su extensión hasta las matemáticas, astronomía, etc.

Agrimensura. Considerada antiguamente la rama de la topografía destinada a la delimitación de superficies, la medición de áreas y la rectificación de límites. En la actualidad la comunidad científica internacional reconoce que es una disciplina autónoma, con estatuto propio y lenguaje específico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizándose en la fijación de toda clase de límites. De este modo produce documentos cartográficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas, dando publicidad a los límites de la propiedad o gubernamentales.

Análisis de Sensibilidad. Lo que trata es de identificar el impacto en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros (precios, costos, recursos, un nuevo producto una nueva restricción), variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.

Cognitivo. Este término es utilizado por la psicología moderna, concediendo mayor

importancia a los aspectos intelectuales que a los afectivos y emocionales, en este

sentido se tiene un doble significado: primero, se refiere a una representación

conceptual de los objetos. La segunda, es la comprensión o explicación de los

objetos.

Ecuación. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Ecuaciones Diofánticas. Ecuación algebraica con una o más incógnitas y coeficientes enteros, de la que interesan únicamente sus soluciones enteras.

Ecuaciones Lineales. Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.

Electrodinámica. Movimiento de un flujo de cargas eléctricas que pasan de una molécula a otra, utilizando como medio de desplazamiento un material conductor como, por ejemplo, un metal.

Época Predinástica. Época (prehistórica e histórica) anterior a la unificación. Pertenece al Neolítico (Hacia el milenio VI A. C., comenzaron a desarrollarse, en torno a pequeñas aldeas, actividades sedentarias de agricultura y ganadería, dando inicio al Neolítico en Egipto) y muestra el proceso de formación del Estado Egipcio.

Ergonomía. Estudio de datos biológicos y tecnológicos aplicados a problemas de mutua adaptación entre el hombre y la máquina.

Examen diagnóstico. Prueba que se hace al inicio para observar las habilidades y conocimientos de un grupo, en la cual se contemplan los conocimientos previos básicos necesarios para entender los temas contemplados en una materia.

Examen global. Prueba que se realiza para los estudiantes que no han reprobado una materia, en el cual se incluyen los temas totales de la materia en cuestión.

Forma canónica. Es una forma algebraica de equivalencia utilizada en la programación lineal que es:

Máx. Z = Cx

Sujeto a Ax < b

X > 0

Fonológico. Es un fenómeno natural de las lenguas por las cuales unos sonidos influyen sobre otros, y se provocan cambios en la articulación o sonido en un determinado contexto sonoro o se producen reestructuraciones.

Helénico. Perteneciente a Grecia.

Hidrodinámica. Rama de la física que estudia la dinámica de fluidos.

Investigación de Operaciones. Es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, con el fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

Sintaxis. Parte de la gramática que enseña a coordinar y unir las palabras para formar las oraciones y expresar conceptos.

Sistema hierático. Escritura de los antiguos egipcios, que era una abreviación de la

jeroglífica.

Karnak. "ciudad fortificada", llamada en el Antiguo Egipto Ipet Sut, (el lugar más venerado) es una pequeña población de Egipto, situada en la ribera oriental del río Nilo, junto a Luxor. Era la zona de la antigua Tebas que albergaba el complejo religioso más importante del Antiguo Egipto.

Método Simplex. Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzing en 1947, se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes. Es un proceso algebraico. Sin embargo sus conceptos fundamentales son geométricos. La comprensión de estos conceptos geométricos proporciona una fuerte intuición sobre la forma en que opera el método simplex.

Modelo. Es una representación simplificada e idealizada de algún aspecto de la realidad.

Modelo matemático. Modelo científico que utiliza formulismos matemáticos (signos, letras, símbolos, etc.), para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, relaciones entre variables y/o entidades u operaciones.

Modelos analógicos. Se basan en la representación de las propiedades de un sistema cuyos problemas se quieren resolver utilizando otros sistemas cuyas propiedades son equivalentes, por ejemplo las propiedades de un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico o, inclusive, económico.

Modelos icónicos. Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver, por ejemplo fotografías, maquetas, dibujos y modelos a escala.

Modelos simbólicos. Son conceptualizaciones abstractas del problema real a base del uso de de letras, números, variables y ecuaciones. Son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un gran número de experimentos.

Número perfecto. Es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.

Número primo. Es el número que solo se puede dividir entre si mismo y la unidad.

Obelisco. Pilar muy alto, de cuatro caras iguales un poco convergentes y terminadas por una punta piramidal muy achatada, que sirve de adorno en lugares públicos.

Obnubilar. Impedir pensar con claridad, poner borrosa la visión, dejar fascinado o embelesado.

Ostraca. Fragmentos de vasos cerámicos rotos que se aprovechaban para varios fines, entre ellos el de escribir con tinta sobre ellos notas de diversos caracteres. Tienen la particularidad de que se conservan muy bien en condiciones que no pueden ser resistidas por los papiros. En Grecia se usaban en votaciones para decidir si una persona debía ser proscrita o no de la sociedad; de ahí surgió el término ostracismo. En Egipto se usaban para todo tipo de anotaciones de la vida diaria, negocios, recibos, cartas, etc. El término «ostrakón» aparece en Job 2:8 en la versión LXX: «Kai elaben ostrakon» («Y tomaba... un tiesto»).

Papiro. Lámina sacada del tallo de esta planta y que empleaban los antiguos para escribir en ella. Planta vivaz, indígena de Oriente, de la familia de las Ciperáceas, con hojas radicales, largas, muy estrechas y enteras, cañas de dos a tres metros de altura y un decímetro de grueso, cilíndricas, lisas, completamente desnudas.

Policulturales. Formando a partir de los contactos entre distintas comunidades de vidas y que aportan sus modos de pensar, sentir y actuar. Los intercambios culturales no tendrán todas las mismas características y efectos; pero es a partir de estos contactos que se produce el mestizaje cultural, una cultura no evoluciona si no es a través del contacto con otras culturas. Pero los contactos entre culturas pueden tener características muy diversas.

Programación Lineal. Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Productividad. Es la razón entre la producción obtenida por un sistema productivo y los recursos utilizados para obtener dicha producción. También puede ser definida como la relación entre los resultados y el tiempo utilizado para obtenerlos: cuanto menor sea el tiempo que lleve obtener el resultado deseado, más productivo es el

sistema. Es el indicador de eficiencia que relaciona la cantidad de producto utilizado con la cantidad de producción obtenida.

Propedéutica. Enseñanza preliminar para el estudio de una disciplina.

Rhind. Apellido de A. Henry Rhind, joven escocés anticuario que en 1858, obtuvo en Luxor, un papiro bastante ancho, que decían haber hallado en las ruinas de Tebas. El documento en un principio había sido un rollo de unos 5,5 m de largo por 33 cm de alto, pero estaba roto en dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Algunos de estos fragmentos aparecieron, medio siglo más tarde, en los archivos de la Historic Society, de Nueva York. Habían sido obtenidos por el coleccionista Edwin Smith. El papiro de Rhind fue adquirido, a la muerte de éste, por el British Museum, donde se conserva en la actualidad.

Satírico. Es un subgénero lírico que expresa indignación hacia alguien o algo, con propósito moralizador, lúdico o meramente burlesco.

Simiente. Parte del fruto que es producto de la fecundación del óvulo y que contiene el embrión de una nueva planta.

Simulación. Técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

Sistema de créditos. se denomina crédito al valor que se otorga a una asignatura o actividad de aprendizaje de acuerdo con ciertos elementos, como los objetivos educativos que cumple, su complejidad, el tiempo que requiere para ser realizada, los medios que son necesarios, su carácter en la formación del estudiante, etc. De acuerdo con estos elementos, el valor variable de las actividades de aprendizaje se expresa en unidades numéricas.

Sistema hierático. Permitía a los escribas del Antiguo Egipto escribir de forma rápida, simplificando los jeroglíficos cuando lo hacían en papiros, y estaba íntimamente relacionada con la escritura jeroglífica. Fue, durante amplios periodos, la escritura utilizada en textos administrativos y religiosos, y su nombre fue utilizado por primera vez por Clemente de Alejandría en el siglo II.

Tablilla de Ajmin. Tabla de posiciones de base 10 usada por los egipcios.

Tabla de Erastotenes. Tabla de números primos

Tipo de modelos. Los modelos se clasifican por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grados de abstracción. Los tipos de modelos básicos son: icónicos, analógicos y simbólicos (matemáticos). Por su aplicación hay modelos de inventarios y por técnica, modelo de programación lineal y modelos de toma de decisión.

Tipos de toma de decisiones. Modelos en que se toma una decisión bajo certidumbre, incertidumbre, riesgo o en conflicto.

Topología. Es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad.

Variable en ecuaciones matemáticas. Es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto de datos y puede tomar cualquier valor.

Introducción

Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la

separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin

embargo esta evolución creó nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en varias

organizaciones. Uno de éstos es la tendencia de muchos de los componentes a

convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas

de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de

resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones, la cual

aspira a determinar la mejor solución (óptima) que conlleva una toma de decisiones

que repercute en la planeación de las actividades en la empresa.

Debido a ello los Ingenieros Industriales cuyo campo de acción está en las

organizaciones de cualquier tipo y giro sus funciones se relacionan con los procesos

para la fabricación de bienes y/o servicios. Sus actividades se privilegian en la

transformación como en la administración.

Por lo anterior en esta investigación se toca un punto nodal que favorecerá la

preparación de estos profesionales de la Ingeniería ya que se estudio el índice de

reprobación a través del método experimental, con el objetivo de incrementar el

rendimiento escolar.

La materia de Investigación de operaciones 1 es importante para los estudiantes y

profesores de la División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial del Tecnológico de

Estudios Superiores de Ecatepec, puesto que proporciona las bases de la toma de

decisiones tanto en el control de inventarios, en la planeación de la producción, así

como en la decisión de incorporar nuevos productos en los proyectos de inversión.

Sin embargo los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial en la materia de

Investigación de Operaciones 1, así que este trabajo tiene la finalidad de analizar el

rendimiento escolar en los estudiantes del curso de Investigación de Operaciones 1

usando el método experimental, después de someterlo a la acción de una variable

(unidad 1 que se anexó al programa de estudio en los grupos experimentales).

Se inicio con el planteamiento de la situación problemática del periodo 2005-1 al

2007-1, se plantea el objetivo general, las preguntas de investigación, la justificación

de esta investigación, así como la perspectiva de la Investigación de Operaciones en

el Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec.

En el capitulo 2 se presenta la historia de las matemáticas, la aplicación de las

matemáticas en el nivel superior, como se relaciona esta con la Investigación de

Operaciones y la importancia de esta ultima en el campo de acción de la Ingeniería

Industrial.

Para el capitulo 3 se ve la estrategia metodológica donde se describe puntualmente

el método, la hipótesis general e hipótesis nulas la integración de los grupos (uno

matutino y uno vespertino que es la población total en el Tecnológico de Estudios

Superiores de Ecatepec en la asignatura Investigación de Operaciones 1) y la acción

de la variable, se formaron cuatro grupos (dos matutinos y dos vespertinos) de los

matutinos uno fue expuesto a la variable experimental (30 alumnos) y un grupo no

expuesto a ella (29 alumnos) al igual que en el vespertino (20 estudiantes para cada

uno) quedando 99 alumnos en total y se establecieron las hipótesis nulas.

En el capitulo 4 se incluyen los datos, resultados del proceso de evaluación, se

graficaron los datos correspondientes a las características de los alumnos, así como

el resultado del examen de evaluación, 1er. Parcial, 2do. Parcial, 3er. Parcial, y

examen global, se compararon los resultados de las evaluaciones de los grupos

expuestos y no expuestos (por turno). Se probaron las hipótesis y se elaboró la

ecuación de regresión múltiple, por último en las conclusiones a partir de los cálculos

se hizo una prueba de hipótesis que permitió decidir cuales hipótesis nulas se

aceptaban y cuales se rechazaban. También se incluyo un apartado de anexos en

el que se pueden consultar los instrumentos utilizados en las evaluaciones.

Agradecimientos

A dios por permitirme pertenecer a esta familia maravillosa que siempre me han apoyado.

A mi mamá por haberme enseñado a estudiar con

una tablita. A mi hermana por su comprensión incondicional y

sus regaños. A mi hijo que es la fuente de inspiración y

motivación para superarme día con día. A mis amigas Cayito por haberme invitado a

iniciar una maestría, aunque desistió y no inicio. A Irma por siempre estar dispuestas a escucharme y ayudarme en todo.

A mi directora de tesis Dra. Elia Olea por

su paciencia, guía y entusiasmo transmitido para concluir esta investigación.

CAPITULO I

SITUACION PROBLEMÁTICA

1

CAPITULO 1

1 SITUACION PROBLEMATICA

1.1 Planteamiento del problema

El Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec (TESE) se constituyó el 15 de

agosto de 1990. Como resultado de la firma de un convenio de coordinación entre la

Secretaría de Educación Pública del Gobierno Federal y el Gobierno del Estado de

México. Se estableció la creación, operación y apoyo financiero, con el propósito de

contribuir al impulso y consolidación del desarrollo de la educación superior

tecnológica en la entidad, de ahí que el Tecnológico, de acuerdo a lo establecido en

el artículo 5° del decreto constitucional, se rige por La Junta Directiva que es la

máxima autoridad de la Institución. En la que participan representantes de los

gobiernos federal, estatal y municipal y de los sectores social y empresarial de

Ecatepec, además del director general.

Durante 15 años el TESE atendió y formó diferentes generaciones de profesionales;

sin embargo en el 2005 entra en operación el Nuevo Modelo Educativo Hacia el Siglo

XXI el cual es representado como un sistema que confluye en un gran proceso

central denominado proceso educativo. De manera fundamental el modelo, gira en

torno al ser humano y a su aprendizaje desde una óptica de la construcción del

conocimiento y el cultivo de la inteligencia en todas sus formas. Cabe mencionar que

2

dicho proceso es alimentado por la sinergia de cinco aspectos estratégicos; que se

refieren a lo académico, de planeación, de administración de recursos, el de

vinculación y difusión de la cultura y por último el correspondiente a la innovación y

calidad.

De esta forma a partir del semestre 2005-2, las licenciaturas que se imparten en el

Tecnológico utilizan los planes y programas de estudio de la Dirección General de

Institutos Tecnológicos (DGIT), y se cursan en nueve semestres. Los planes de

estudio de las licenciaturas del TESE son flexibles y están basados en el sistema de

créditos, donde los alumnos pueden elegir su carga académica de acuerdo a su

propio ritmo y circunstancia. Cabe mencionar que este centro de estudios en los

últimos años logró que el Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería,

A.C. (CACEI), aprobara los programas académicos de las carreras de Ingeniería

Electrónica, Mecánica, Química, Bioquímica, en Sistemas Computacionales y en

Industrial. Por otra parte, el Consejo Nacional de Acreditación en Informática y

Computación (CONAIC), acreditó el programa académico de la Licenciatura en

Informática. De igual forma el programa académico de la Licenciatura en Contaduría

fue aprobado por el Consejo Nacional de Acreditación en la Enseñanza de la

Contaduría y Administración, A.C. (CACECA).

Es importante mencionar que las Licenciaturas e Ingenierías en el primer semestre,

tienen un número fijo de asignaturas que todos los alumnos deben cursar;

posteriormente, la seriación de los cursos establecido en el plan de estudios y el

3

número de créditos aprobados, determinan la inscripción de los estudiantes y las

asignaturas no acreditadas se deben cursar en el periodo escolar inmediato

siguiente. A partir del séptimo semestre los alumnos estudian las asignaturas de

especialidad que define su orientación profesional en cada carrera y, de manera

obligatoria, en el noveno semestre realizan una residencia profesional en los

sectores público, privado o social, lo que tiene un valor en créditos. Aunque de

acuerdo al peso que se otorga a las materias el alumno podrá establece su carga

académica respetando un mínimo de 38 créditos y un máximo de 64 por semestre.

Respecto a la planeación curricular es necesario indicar que cada una de las

carreras ofertadas por el tecnológico cuenta con sus objetivos a los cuales se

pretende llegar, los perfiles a alcanzar en los futuros profesionistas y el campo

laboral en el que se podrán desarrollar.

Considerando estos aspectos generales ahora se centrará la atención en la

licenciatura de ingeniería industrial tema de esta tesis en la que de acuerdo a la

información de la Dirección General del Tecnológico de Estudios Superiores de

Ecatepec el objetivo es formar profesionales que contribuyan al desarrollo

sustentable, con una visión sistémica, para responder a los retos que presentan los

constantes cambios en los sistemas de producción de bienes y servicios en el

entorno global, con ética y comprometidos con la sociedad.

4

El perfil de egreso del ingeniero industrial hace referencia al desarrollo de las

competencias tales como el diseño, administración y mejora sistemas integrados de

abastecimiento, producción y distribución de bienes y servicios; estructura y

funcionamiento básico para la operación de maquinaria, herramientas, equipos e

instrumentos de medición y control; participación en proyectos de transferencia,

asimilación, desarrollo y adaptación de tecnologías, además de presentar una

conducta apropiada en equipos de trabajo inter y multidisciplinarios en ambientes

cambiantes y policulturales, destacando el uso de técnicas y métodos cualitativos y

cuantitativos para la toma de decisiones en los que las matemáticas (Investigación

de Operaciones 1) son indispensables. Así que con base en su formación

profesional, tiene la capacidad y la creatividad para convertirse en empresario.

La carrera de Ingeniería Industrial está conformada por un plan de estudios de 9

semestres, en los cuales se abordan diferentes materias que son la base para los

próximos profesionistas. En el quinto semestre se encuentra localizada la materia de

Investigación de operaciones 1 (IO1), que requiere del aprendizaje de los semestres

anteriores. Es una asignatura de suma importancia ya que proporciona las bases

para la toma de decisiones en los proyectos de inversión, rentabilidad y planeación y

control de la producción.

La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través

de modelos, primero para presentar el problema y segundo para resolverlo. De

hecho la investigación de operaciones opera en grupos interdisciplinarios para el

5

control de las organizaciones o sistemas (hombre- máquina) a fin de que produzcan

soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda organización.

La investigación de operaciones se utiliza en 3 tipos de problemas:

1.- Determinísticos. Son aquéllos en que la solución de cada problema tiene solo una

posibilidad. Sin embargo, como hay varias alternativas existen distintas soluciones

con diferente efectividad asociada a los objetivos de sistema. Por lo tanto se tiene la

necesidad de tomar una decisión.

2.- Con riesgo. Son aquéllos en los que cada alternativa del problema tiene varias

soluciones. Cada solución puede ocurrir con una cierta probabilidad. La distribución

de estas probabilidades se conoce o se pueden estimar.

3.- Bajo incertidumbre. Son aquéllos en los que cada alternativa del problema tiene

varias soluciones. Sin embargo se ignora con que probabilidad o distribución

probabilística ocurrirán estas soluciones.

En el análisis de la Investigación de Operaciones se distinguen problemas que no

son claros y pueden existir diferencias entre el grupo que tiene el problema y el grupo

de investigación de operaciones que desea atenderlo y de esta forma puede

resolverse cuando se manejan los mismos conceptos al plantear el problema y al

implementar los modelos, facilitando la comunicación.

6

Adicionado a lo anterior, los modelos que utiliza la investigación de operaciones son

matemáticos y toman la forma de ecuaciones los cuales son de decisión y permiten

calcular los valores aproximados o exactos de las componentes controlables del

sistema para que pueda comportarse mejor de acuerdo a criterios establecidos.

Aunque los estudiantes de Ingeniería Industrial cuentan con los antecedentes

académicos para encontrar las soluciones a las ecuaciones derivadas de los

modelos en la asignatura de IO1, se tiene un número alto de reprobados que de

acuerdo a las estadísticas proporcionadas por la Unidad de Certificación y Registro

(UCR) fluctuó entre el 56% y el 60% en el periodo 2005-1 a 2007-1.

Tabla No. 1 Porcentaje de reprobación en Investigación de Operaciones 1 de

2005 a 2007

Año

2005

2006

2007

Semestre

1er.

Aprobado

Sí No

2do.

Aprobado

Sí No

1er.

Aprobado

Sí No

2do.

Aprobado

Sí No

1er.

Aprobado

Sí No

2do.

Aprobado

Sí No Investigación

de Operaciones

1

40%

60%

44%

56%

46%

54%

47%

53%

40%

60%

44%

56%

De acuerdo a lo observado los porcentajes de reprobación mostrados en la tabla

No.1 pudieran deberse a que se le otorga poca utilidad a las operaciones

matemáticas básicas, además de que parece ser el reflejo de las bases deficientes

en el conocimiento de las mismas que traen como antecedentes formales y que

necesitan usar en la Investigación de Operaciones 1.

7

Respecto al trabajo docente, se quiere mencionar que en el semestre del 2006-1 en

esta materia se han cambiado las técnicas didácticas y se ha planeado mayor

número de ejercicios, solicitándoles a los estudiantes que investiguen la teoría, todo

ello basado en la técnica demostrativa por lo que se resuelven los ejercicios prácticos

en clase y se elaboran tablas-resumen de los pasos seguidos en la aplicación de

cada uno de los modelos utilizados en investigación de operaciones 1. Sin embargo

se pudo identificar que existían problemas en cuanto a la aplicación de operaciones

básicas.

Aunque se ha pretendido propiciar un mayor aprendizaje en los siguientes dos

semestres (2006-2 y 2007-1) se han seguido presentando porcentajes altos de

estudiantes reprobados en Investigación de Operaciones 1 corroborándose que lo

que influye en la solución de los problemas es el desconocimiento y la poca habilidad

que tienen en la aplicación de las operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y

matriciales.

Con lo anterior mencionado la formulación del problema puede plantearse con la

siguiente pregunta:

¿Los alumnos que cursan la materia de Investigación de Operaciones 1 elevarían su

rendimiento escolar al proporcionarles, al inicio del curso, el estudio de las

operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y matriciales de tal forma que se

amplíe su comprensión y se tenga mayor seguridad en su aplicación?

8

1.2 Objetivos1

Objetivo General

Analizar el rendimiento escolar en los estudiantes del curso de Investigación de

Operaciones 1, después de someterlos a la acción de una variable experimental que

es una unidad adicionada al programa en la que se revisan las operaciones

aritméticas fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), algebraicas y

matriciales.

1 Aquí no se requiere de objetivos específicos ya que el proceso del mismo es solo probar la acción de

una variable en un grupo experimental y tomar una decisión sobre las hipótesis nulas como resultado

de un cálculo estadístico.

9

1.3 Preguntas de Investigación

1.- ¿El número de temas contenidos en el programa de Investigación de Operaciones

1 influye en el rendimiento escolar de los alumnos?

2.- ¿La profundidad de los temas que se estudian en el programa de Investigación de

Operaciones 1 afecta en el rendimiento escolar de los alumnos?

3.- ¿Realizan actividades extracurriculares los alumnos que toman la materia de

Investigación de Operaciones 1?

4.- ¿La trayectoria académica de los alumnos en las materias que son básicas para

Investigación de Operaciones 1, influyen en el aprovechamiento de la misma?

5.- ¿Cuáles son las características (género, edad y estado civil) de los alumnos que

cursan la materia de Investigación de Operaciones 1?

6.- ¿El que el alumno esté inscrito en un turno mixto influye en el aprovechamiento

de la materia de investigación de operaciones 1?

7.- ¿Cuál es el nivel socioeconómico de los alumnos inscritos en Investigación de

Operaciones 1?

10

1.4 Justificación

La ingeniería, la aplicación sistemática del conocimiento científico al desarrollo y uso

práctico de la tecnología, ha pasado de ser un arte a una ciencia por sí misma. El

conocimiento científico ofrece un medio para estimar cuál será el comportamiento de

las cosas incluso antes de hacerlas u observarlas. Además, la ciencia con

frecuencia sugiere nuevos tipos de conducta que nunca se habían imaginado antes,

y así conduce a nuevas tecnologías. Los ingenieros usan el conocimiento de la

ciencia y la tecnología, junto con estrategias de diseño, para resolver los problemas.

De acuerdo a lo anterior los avances del conocimiento científico y tecnológico de los

últimos siglos continúan desarrollándose, con el gran potencial de mejorar la calidad

de vida de la población del mundo y con profundas implicaciones para la economía

global. La experiencia a través de los años ha demostrado que no se puede pensar

en desligar el desarrollo socioeconómico y cultural de un país de sus avances en

ciencia y tecnología, o de su aplicación para resolver sus problemas más

importantes. Sin embargo es necesario destacar que para el estudio de la Ingeniería

una de las áreas que requieren conocimiento óptimo son las matemáticas, por lo

tanto, esta área es fundamental para el modelado y simulación de problemas y en la

toma de decisiones basado en la interpretación de resultados. De hecho la materia

de Investigación de operaciones 1 es importante para los estudiantes y profesores de

la División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial del Tecnológico de Estudios

Superiores de Ecatepec, puesto que representa la toma de decisiones tanto en la

11

planta de la producción, así como en la decisión de incorporar nuevos productos en

los proyectos de inversión.

Por lo anterior, el contar con los datos de un grupo al que se ha proporcionado el

estudio de las operaciones fundamentales aritméticas, fraccionales, algebraicas,

además de las matriciales, proveerá de información que permitirá determinar si incluir

la aclaración, corrección y ejecución en estas operaciones repercute positivamente

en el desarrollo y solución de los modelos matemáticos que se utilizan en la

investigación de Operaciones y por tanto en los resultados de su rendimiento escolar.

De esta forma el proveer de información al respecto servirá de arranque para decidir

si se adiciona al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1 esta unidad

de estudio correspondiente a la ejercitación y aplicación de operaciones aritméticas,

fraccionales, algebraicas y matriciales que sienten las bases del conocimiento previo

que se necesita en esta asignatura y posteriormente en materias de ciencias básicas

(física, química y matemáticas).

Esta investigación, también estará en posibilidad de turnar los datos a la División de

Ingeniería Mecatrónica e Industrial para implementar en otras materias de ciencias

básicas una unidad adicional que mejore en los alumnos el rendimiento académico

que hasta ahora se ha venido presentando y poder observar las repercusiones que

se tendrán en las ciencias básicas, así como permitir hacer ajustes en la misma, todo

ello, en pocas palabras, permitirá tomar decisiones a nivel de administración

curricular.

12

En otro orden de ideas, esta tesis beneficiará a nivel de coordinación a la División de

Ingeniería Mecatrónica e Industrial ya que este trabajo es considerado como

proyecto divisional y de esta forma ayudará a mejorar la labor de los docentes que

integran la misma. Ello dará la pauta para modificar la imagen que se tiene de que el

área de ciencias básicas es normal el tener índices altos de reprobados.

13

1.5 La Investigación de Operaciones en el Tecnológico de Estudios Superiores de

Ecatepec (TESE)

En el Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec (TESE) se imparten carreras

a nivel superior las cuales son:

Informática

Contaduría

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Ingeniería Industrial

Ingeniería Química

Ingeniería Electrónica

Ingeniería Bioquímica

Ingeniería Mecatrónica

En las carreras de Informática, Ingeniería en Sistemas Computacionales e Ingeniería

Industrial como parte del currículo se encuentra la materia de Investigación de

Operaciones para la formación de los futuros profesionistas.

La licenciatura en Informática tiene contemplada la asignatura de Investigación de

Operaciones en el quinto semestre. Este curso proporciona los elementos formales y

operacionales para el análisis cuantitativo de las operaciones de una organización y

tiene como objetivo desarrollar la capacidad de los estudiantes para identificar y

14

resolver problemas para poder optimizar y controlar proyectos que surgen en las

organizaciones.

Respecto a la Ingeniería en Sistemas computacionales la Investigación de

Operaciones ayuda a modelar y resolver problemas de Administración de

Operaciones como son Inventarios, Producción, Líneas de espera (colas) entre otras

usando sistemas computacionales y ayudando a la toma de decisiones, de esta

forma el estudiante desarrolla las herramientas de software necesarias para ello.

En la Ingeniería Industrial el uso de la Investigación de Operaciones es para diseñar

e implementar sistemas y procedimientos en la toma de decisiones, así como en la

optimización de recursos (financieros, materiales, humanos, tecnológicos), aplicar las

técnicas para medir y evaluar la productividad, teniendo como objetivo el formular y

aplicar la programación lineal a problemas reales, identificar posibilidades de cambio

en sus sistemas productivos con base en el análisis de sensibilidad.

De acuerdo a lo anterior este profesional utiliza la Investigación de Operaciones para

formular un modelo matemático a partir de datos reales en una organización,

identificar variables (controlables o no controlables) dentro de sus sistema, utiliza

técnicas para la solución de problemas y poder predecir situaciones a partir de la

toma de decisiones anteriores (análisis de sensibilidad) sin tener que formular

nuevamente el problema.

Por lo anterior se puede observar que la Investigación de Operaciones tiene un gran

campo de aplicación en las organizaciones, los futuros profesionistas de Informática

15

e Ingeniería en Sistemas Computacionales toman la Investigación de Operaciones

como un área a la cual hay que darle las herramientas que les permitan ser más

certeros al dar un dato cuantitativo.

Considerando la importancia que tiene la Investigación de Operaciones en la

formación profesional, el TESE proporciona a sus estudiantes las bases que

fortalezcan sus conocimientos, es decir, se integran asignaturas en las diferentes

carreras de su oferta educativa por ejemplo Licenciatura en Informática, Ingeniería en

Sistemas Computacionales e Ingeniería Industrial siendo esta última en donde se

analiza a fondo el tema en cuestión, debido a las necesidades laborales que se le

pueden presentar a un Ingeniero Industrial como son la toma de decisiones,

plantación y control de la producción, diseño de planta, mantenimiento, entre otros

aspectos. Es importante destacar que uno de los objetivos principales de esta

Ingeniería es la optimización de los recursos, los cuales siempre están presentes en

cualquier sistema.

Para poder estudiar y entender la Investigación de Operaciones es necesario contar

con un modelo matemático que describa las características del sistema. Para

estudiar este modelo matemático se requieren de herramientas fundamentales

básicas como son las operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y

matriciales, así como en algunos casos de la aplicación de conocimientos especiales

tales como algebra lineal, métodos numéricos, calculo diferencial e integral, áreas

bajo la curva, ecuaciones diferenciales, principalmente.

CAPITULO 2

LAS MATEMATICAS

16

CAPITULO 2

2 LAS MATEMATICAS

2.1 Surgimiento de las matemáticas

La Historia de las Matemáticas tiene una función didáctica2 como instrumento de

comprensión profunda de sus fundamentos y de las dificultades de sus conceptos

para así responder mejor a los retos de su aprendizaje. Parece evidente que

conocer, en sentido cotidiano, el tránsito de las percepciones a las ideas y de éstas a

los conceptos, revela las dificultades que los grandes matemáticos encontraron,

información esencial para conocer los obstáculos en los que tropiezan los

estudiantes.

Esto es una cuestión filosófica general sobre didáctica que ha sido objeto de reflexión

permanente, en los últimos cien años, de importantes y famosos matemáticos,

pedagogos e historiadores: Poincar´e, Klein, Toeplitz, K¨othe, Bell, Courant, P´olya,

Puig Adam, Piaget, Lakatos, Boyer, Babini, Kline, Santal´o, M. Guzmán, entre otros

pero también de muchos profesores anónimos que con su experiencia personal, con

sus observaciones y argumentos han ido aportando, en los últimos tiempos,

numerosas ideas y propuestas de este tema.

2 Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica*Josep Gascón Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Barcelona.

17

Las Matemáticas tienen una absoluta fuerza creativa interna que se manifiesta en el

pasar histórico en un magnífico espectáculo de creación continua y en muchos

despliegues de intuición, que al ser proyectados en el aula podrían contener un clima

favorable a la investigación, estimulando de forma activa los valores científicos y

provocando en el estudiante el desarrollo de la creatividad por imitación, es decir,

impulsar la intervención en el transcurrir de la ciencia, en un intento de alcanzar uno

de los objetivos de la enseñanza de cualquier ciencia, a saber, enseñar, en alguna

forma, a elaborar ciencia.

La Historia de las Matemáticas es para el profesor un medio de autoformación que

favorece la capacidad de actualización pedagógica y una metodología que permita

plantear activamente el aprendizaje como un redescubrimiento. Además, una fuente

inagotable de material didáctico de ideas y problemas interesantes y, en alto grado,

de diversión y recreo intelectual y por tanto de enriquecimiento personal, científico y

profesional. Asimismo facilita la comprensión de la evolución dinámica de las ideas

que han llevado a los conceptos y técnicas que conforman el contenido de la

educación matemática, la cual ha formado parte siempre de todo sistema educativo,

remontándonos incluso al mundo helénico ya que en la antigua Grecia los primeros

pilares de la educación eran la Aritmética y la Geometría, propedéutica fundamental

18

para el acceso a cualquier otro ámbito del saber cómo describe Platón, una y otra

vez, a lo largo de La República3.

Con espíritu platónico, más allá del carácter instrumental de la Matemática, como

lenguaje y herramienta al servicio de las ciencias y las técnicas, la Historia de las

Matemáticas, al revelar la dimensión cultural de la Matemática, es no sólo un

poderoso instrumento de enriquecimiento de la Matemática, sino y ante todo es un

punto de encuentro donde se aproximan e intiman las Ciencias y las Humanidades.

La ignorancia o el desprecio de la topología de este terreno compartido han

alimentado la polémica sobre las dos culturas ahora tres si incluimos la Tecnología

transferida de forma inevitable al ámbito escolar. Es más, la Historia de las

Matemáticas es un instrumento magistral para la ciencia, para vincular esta actividad

característica del intelecto, la Matemática en el conjunto de los saberes científicos,

artísticos y humanísticos que constituyen la Cultura4.

En efecto, a través del quehacer milenario de generaciones de matemáticos, se

encuentra en la Historia de las Matemáticas muchísima información de intuición y

conocimiento para acceder a la experiencia del descubrimiento científico en

Matemáticas, sin necesidad de grandes medios materiales, aunque sí es

imprescindible inicialmente la motivación, la iniciativa personal y la curiosidad,

3 La república. Platón. Grupo editorial tomo S.A. de C.V. 1ª. Edición, septiembre 2003. 4 Revista suma 45. Febrero 2004, pp. 17-28. La historia de las matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza.

19

después la ilusión y el entusiasmo constantes, y en todo momento, la activación de

importantes valores humanos vinculados a la voluntad, como la paciencia, la

perseverancia, la constancia, la persistencia, la tenacidad, la firmeza, el tesón, la

entereza, la dedicación, el empeño; todos ellos son necesarios para alcanzar y

mantener la concentración, la reflexión profunda individual y la curiosidad que

requiere todo estudio e investigación en Matemáticas.

El Trabajo se apoya en numerosas citas de matemáticos artífices de las ideas y

reflexiones de pedagogos, historiadores y filósofos de la Ciencia; y contiene

numerosas cuadros de texto enfatizado, centros de atención con esquemas,

sinopsis, datos biográficos y bibliográficos; recopilación de citas; técnicas y métodos

geométricos aplicados a problemas históricos; aspectos curiosos y singulares;

cuestiones eruditas de gran relevancia en la Historia de la Cultura y del Pensamiento;

relaciones de las cuestiones matemáticas sobre hechos científicos, literarios y

filosóficos; ilustraciones contextuales en las que Arquímedes o la Matemática son

piezas artísticas de una gran belleza.

20

2.1.1 Matemáticas Egipcias

Las operaciones fundamentales como la suma, la resta, la multiplicación y la división

que son parte de las matemáticas básicas tienen gran importancia en la forma en

que el hombre utiliza para estar en contacto con el mundo, todo requiere ser

concertado simbólicamente en un número al cual se agregan, quitan o reparten

aquellos aspectos que se representan. Desde el momento en que se fueron

descubriendo más recursos matemáticos para controlar la información iniciaron su

aplicación en la producción, por ello es indispensable incluir en el marco teórico el

origen de las operaciones fundamentales en las culturas que se cree fueron las

precursoras para llegar a la toma de decisiones tal y como se hace ahora en el curso

de Investigación de operaciones 1 y posteriormente en el campo profesional de

algunas ingenierías y la informática.

Por lo anterior este capítulo se inicia con las matemáticas en el Antiguo Egipto que

constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló. Se pueden ubicar a partir

del papiro Rhind, que anuncia las Reglas para estudiar la naturaleza y para

comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto. De hecho el Imperio

Antiguo se dice que los egipcios dedicaron la aritmética para usos prácticos, con

muchos problemas del tipo: cómo un número de panes se pueden dividir en partes

iguales entre un número de personas.

21

Los problemas de los papiros de Moscú y Rhind (es el más importante documento

matemático del antiguo Egipto, comprado por Golenishchev en el año 1883, a través

de Abd-el Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales

de Deir el Bahari)5 se expresan en un contexto educativo, y se han encontrado tres

definiciones abstractas del número y otras formas más complejas de aritmética. Las

tres definiciones abstractas están en la tablilla de madera de Ajmin, el papiro de

método de sumas (EMLR) y el papiro matemático de Rhind, el cual contiene una

tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Se toma

una forma de aritmética que se busca en fracciones unitarias que eran precedidas a

menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de

la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente

como aritmética del resto. Las formas más complejas de aritmética incluyen el uso

de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división.

Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de

posicionamiento en la tablilla de Ajmin, el papiro matemático (PMR) y otros textos.

En el Imperio del Antiguo Egipcio se uso un sistema numérico de base 10 y en el

Imperio Nuevo se utilizaron fracciones unitarias y tablas de segundos resultados.

Los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los

cuales se explican en el papiro matemático de Rhind. Sin embargo aunque se

desarrolló el sistema de base 10, que no era un sistema posicional, se permitió el uso

5 http://www.egiptología.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm

22

de grandes números y también de fracciones en la forma de fracciones unitarias:

fracciones del Ojo de Horus, y varias fracciones binarias6. En esa misma época, las

técnicas egipcias de construcción incluyeron sistemas de topografía, marcando el

norte por la situación del sol al mediodía.

Antes del 2000 AC, comenzaron a aparecer referencias claras que citaban

aproximaciones para π y raíces cuadradas7. Las relaciones del número exacto,

tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y

medidas también comenzaron a aparecer alrededor del 2000 AC, con varios

problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.

El PMR se fecha a partir del Segundo periodo intermedio de Egipto (circa 1650 AC),

se identifica como copia de un papiro del Imperio Medio. También incluye fórmulas

y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la

substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene

evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y

primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de la tabla

de Eratóstenes y del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones

lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas.

6 http://profesoramendijuliette.com/post/2007/05/16/numeracion-antigua-egipcia-y-medidas 7 Maza Gomez, Carlos.(2000). Las matemáticas en el antiguo Egipto. Sus raíces económicas. España: Universidad de Sevilla, Servicios de publicaciones, p.159.

23

Los papiros de Berlín, escritos alrededor del 1300 AC, muestran que los antiguos

egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque

el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo

texto. Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner,

la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que

incluyen prescripciones médicas.

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en

jeroglíficos, era un sistema decimal, con signos distintos para las potencias 10, tales

como 10, 100, 1000, hasta el infinito, que se usó en el periodo Predinástico. El

segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un

número a un símbolo y se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los

símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor 2150 AC.

Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en el Periodo Romano

para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias se retomaron en las

situaciones cotidianas. El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal,

redondeando a menudo al número más alto, y escrito con jeroglíficos.

24

Los siguientes jeroglíficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:

Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 millón, o

infinito

Jeroglífico

o

Los múltiplos de estos valores fueron expresados repitiendo el símbolo tantas veces

como fuera necesario pudiendo escribir los números dentro del texto. Por ejemplo,

una piedra tallada de Karnak muestra el número 4622, escrito de izquierda a derecha

y de arriba hacia abajo como:

25

Además de este sistema de numeración, en la antigua lengua egipcia podían escribir

los números con las palabras que los representaban, es decir, podían escribir treinta

en lugar de 30, aunque esto no era frecuente para la mayoría de los números8.

Treinta, por ejemplo, se escribía como:

El número 30 era:

Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las

cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo,

utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema

que reemplazó al modo jeroglífico.

Como la mayoría de los textos administrativos y de contabilidad fueron escritos en

papiros u ostracas y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el

sistema hierático de escritura, aunque es conveniente aclarar que los casos

encontrados de números escritos en hierático son posteriores al Imperio Antiguo.

Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que

utilizan estos números. Boyer demostró en 1958 que esa escritura utilizaba un

sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números del

1 al 9, así como en los casos de los múltiplos de 10 (entre 10 y 90) y las centenas a

partir del 100 al 900 y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como

8 http://ciencia.astroseti.org/matemticas/articulo_3642_la_numeracion_egipcia.htm.

26

9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para

9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos9.

En el caso de los papiros matemáticos de Moscú y el de Rhind, también usaron la

escritura hierática. El de Rhind contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus

cálculos matemáticos y los números fueron designados poniendo una línea sobre la

letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números

se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1.500 años más tarde, lo usaban

en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1,

/beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n

como n’, por lo que en la numeración y resolución de problemas adoptaron o

modificaron la numeración la aritmética y las matemáticas egipcia.

2.1.1.1 Las primeras operaciones

Suma y resta

Para los signos más y menos, se usaban los jeroglíficos

Y

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma, si no resta.

9 Maza Gomez, Carlos. Op. Cit. p.240.

27

La sustracción está descrita en el rollo de cuero EMLR (1800 AC), un documento que

incluye cuatro métodos de suma.

Multiplicación

La multiplicación egipcia se hacía duplicando el multiplicando, y es conocido como

duplicación y mediación.

El método utilizado solo requiere saber sumar:

Si deseamos multiplicar A x B

En la primera columna se escribe la serie: 1, 2, 4, 8...(2n < A) (obteniendo cada cifra

sumando todas las precedentes), escribiendo hasta el último número que no supere

la primera cifra: A.

En la segunda columna se escribe la serie: B, 2B, 4B... (obteniendo cada cifra

sumando todas las precedentes) .

En la tercera columna se marcan las cifras, de la primera columna, cuya suma

resulte igual a A (de mayor a menor) .

El resultado es la suma de las cifras marcadas.

Como un corte corto para números más grandes, el multiplicando se puede también

multiplicar inmediatamente por 10, 100 y cualquier múltiplo de 10.

28

La matemática hierática del Imperio Medio mantuvo esta forma de multiplicación

jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar

las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar,

como luego hizo Mesopotamia10.

División

La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación.

Fracciones

Fracciones en textos matemáticos

Los números racionales se podían también expresar, pero solamente como sumas

de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros

positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era

una boca, y significaba la parte:

10 http://ciencia.astroseti.org/matematicas.

29

Las fracciones eran escritas con el signo r encima del número; en notación actual: 1

como numerador, y el número escrito debajo como denominador. Así, 1/3 se

representaba como:

Había símbolos especiales para el 1/2 y para dos fracciones, 2/3 (usado con

frecuencia) y 3/4 (utilizado algo menos):

Si el denominador era demasiado grande, la boca era puesta al principio del

denominador:

30

Fracciones para medidas de capacidad

El Ojo de Horus Udyat: los primeros números racionales11.

Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho

más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en el

Ojo de Horus (ojo izquierdo que le fue arrancado por Seth). Cada fracción se

representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo:

Fracciones agrarias

Utilizaban un tercer sistema de notación para medir los campos:

de setat,

de setat,

de setat, etc.

11 http://www.egiptomania.com/mitologia/udyat.htm. Como número fraccionario.

31

Repartos proporcionales

Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del

faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque,

los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.

Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro

de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recogida

de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,)

entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la

importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.

• Aplicación práctica de las matemáticas

A los egipcios les interesaba sólo el aspecto aplicado de la ciencia. Esto explica por

qué, especialmente en los cálculos de repartimiento, los escribas tuvieran en cuenta,

además del número de partes, la calidad de la mercancía. Este concepto se llamaba

pesú, que significa literalmente valor de cocina e indica el número de unidades que

se puede obtener de una fanega: si el pesú de un pan es 12, significa que ese pan

tiene 1/12 de fanega; el pesú de una jarra de cerveza (otro elemento fundamental en

la alimentación) significa el número de jarras obtenidas de una fanega de grano.

32

Cuanto más bajo sea el número del pesú, más fuerte es la cerveza, o más grande o

compacto el pan. Este elemento de cálculo es fundamental para remunerar los

servicios, por lo que interviene en numerosos problemas.

Geometría

La Geometría en el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada. Por la naturaleza del

país, cuyas periódicas inundaciones les obligaban a medir continuamente los

campos, desde la antigüedad tuvieron que resolver desde muy antiguo problemas de

geometría y calculaban correctamente la superficie del rectángulo, del triángulo y

tenían una buena aproximación al área del círculo.

Igual que la aritmética, era una ciencia práctica que ofrecía soluciones concretas,

halladas por tanteo, a problemas concretos. Los escribas no dan justificación alguna

para los métodos de cálculo empleados, se limitan a explicar las operaciones que

hay que realizar.

33

Cálculo de superficies

Triángulo

Reconstrucción del procedimiento egipcio para calcular el área del triángulo.

Ese modo material de entender la ciencia se traduce en el modo en que los escribas

del Imperio Medio plantean los problemas. Aparentemente, se basaban en la

representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión:

área = altura × base/2, y partían de este conocimiento para el cálculo de otras

superficies como la del trapecio.

Círculo

El mayor éxito de los escribas egipcios fue el cálculo del área del círculo: el sistema

empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado

34

correspondiente, lo que da un valor para π de 3’1605, cuando el resto de los pueblos

de la época usaban valor 3.

Cálculo de volúmenes

Los escribas calcularon los volúmenes que les interesaban, como no podía ser

negativo, dedicándose a la pirámide, tronco de pirámide y cilindro. (En el Imperio

Medio, época de la que datan los textos conocidos, todavía se edificaban

pirámides12.

Pirámide

No se localizó ejemplo alguno del cálculo del volumen de la pirámide, pero sí

pruebas de que lo hacían: hay un problema sobre el cálculo del ángulo de inclinación

de una pendiente, un texto satírico sobre el cálculo del número exacto de ladrillos

12 http://almez.pntic.mec.es/~ agos0000/ Historia de las matemáticas

35

necesarios para construir una pirámide, y el hecho de calcular el volumen del tronco

de pirámide.

Papiro de Moscú13:

En resumen, se trata de averiguar el volumen de un tronco de base cuadrada, con

lado de la base inferior a, lado de la superior b y altura h, los cálculos son:

Elevar a al cuadrado y multiplicar el resultado por b;

Elevar b al cuadrado y sumar los resultados de las tres operaciones.

Dividir h entre 3 y multiplicar por el resultado de la anterior serie de operaciones: ese

es el volumen.

La expresión de esta extraña serie de operaciones es la fórmula exacta del volumen

del tronco de pirámide:

V = (h/3) (a² + ab + b²).

13 http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/presentacion.html

36

Este problema era necesario de solucionar, porque los obeliscos y muchos otros

elementos arquitectónicos tenían esta forma, y convenía conocer su volumen para la

extracción, transporte y utilización.

Cilindro

Los escribas necesitaban conocer la capacidad de los recipientes empleados en los

almacenes, en su mayoría casi cilíndricos, tanto para llevar la contabilidad de lo

almacenado como para pagar a los obreros y artesanos o cobrar los impuestos.

Se daba gran importancia al utilitarismo, como en todos los problemas, el estudiante

no tenía más que cambiar los números para llegar al resultado correcto, en este caso

el volumen dado es el área del círculo de la base (según el sistema ya visto),

multiplicado por la altura del recipiente.

2.1.2 Matemáticas Griegas

Es difícil determinar el inicio el uso de las matemáticas por este pueblo, pero se

puede considerar que comienza con Tales de Mileto (640-546, s. VI a.C.) a quien se

le considera el primer científico por sus contribuciones astronómicas y matemáticas.

Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el

37

razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta

(dividir en dos partes iguales) por su diámetro14.

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son

tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo,

ambos triángulos son congruentes. Los ángulos opuestos por el vértice que forman al

cortarse dos rectas son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es

un ángulo recto.

Después de Tales, cobra gran importancia Pitágoras15, nacido en la isla de Samos,

quien le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela

en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. Se le adjudican varios descubrimientos

matemáticos, entre otros, la demostración del teorema que lleva su nombre o sea el

descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más

profundos en la historia de las matemáticas.

Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas

matemáticas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. La

doctrina pitagórica sostenía que todas las razones que rigen el mundo debían ser

razones de números enteros o fraccionarios, ya que todo es número. Estos puntos

de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante, la escuela de Elea,

14 http://www.filosofia.tk/soloapuntes/cuarto/hc1/t3hc1/html 15 http://www.portalplanetasedna.com.ar/matematicos_griegos.htm

38

cuya su crítica tomó forma en los trabajos de Parménides y las célebres paradojas de

Zenón.

Posteriormente surge la Primera Escuela de Alejandría cuyo principal representante

fue Euclides (300 a.C.), uno de los personajes que más han influido en la historia de

las matemáticas. Su obra más importante fue el tratado de los Elementos, cuyo

contenido fue trascendental en el desarrollo de la geometría. El método euclidiano

comprende, en primer lugar, una teoría general fundada sobre axiomas considerados

como proposiciones tan claras y evidentes que se admiten sin necesidad de

demostración. Así los Elementos son el conjunto de trece libros sobre geometría y

aritmética. Los seis primeros libros tratan de geometría plana. Del VII al IX sobre

teoría de números, el X sobre segmentos irracionales, y los tres últimos libros hablan

de geometría espacial16.

Por esta época es cuando surgieron los tres problemas clásicos de la matemática

griega, los cuales son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección

del ángulo. Estos problemas debían resolverse utilizando �earson�� regla sin

marcas y compás, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su

obra. Son problemas sin solución exacta usando regla y compás, cosa que se ha

probado mucho después, aunque tienen solución por otros métodos. Posteriormente,

16Articulo. Los griegos y las matemáticas. María Teresa Amado Rodríguez. Depto. Latín e griego. Universidad de Santiago de Compostela.

39

aparecen Arquímedes y Apolunio. Apolunio fue el que introdujo en su famoso libro

“Secciones Cónicas” los términos de parábola, elipse e hipérbola espiral.

Después de un largo intervalo durante el cual los progresos son escasos, surge otro

fructífero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandría (100-300 d.C.) en la

que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (con

sus grandes investigaciones aritméticas) y Pappus (con su obra “Colección”)17.

Posteriormente a la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas

transformaciones radicales. Debido a los cambios, sociales, políticos, culturales y

económicos de la época. La decadencia de la sociedad griega vino acompañada del

asentamiento de la civilización romana, quién se preocupó sólo por las matemáticas

como una forma de hacer frente a los problemas de la vida cotidiana, de hecho su

aportación en matemáticas es prácticamente nula.

Una de sus aportaciones, sistema numérico, de funcionamiento decimal y símbolos

literales, restaba agilidad a los cálculos. Los romanos eran un pueblo práctico, poco

dado a las innovaciones científicas. La mayor utilidad que sacaron a las

matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir

terrenos, aplicar fronteras a las ciudades, principalmente los agrimensores utilizaban

17 http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm

40

procedimientos ya conocidos antes como el uso de triángulos congruentes y otros

tipos de procedimientos utilizados por los griegos.

Una de las causas del poco uso que tuvieron los romanos de las matemáticas fue

que era reconocida su uso por los astrólogos quienes recibían el nombre de

mathematicii y la astrología era condenada en tiempos de los romanos.

Diferenciaban entre geometría y matemáticas, la primera se enseñaba en las

escuelas, pero el arte de las matemáticas, es decir la astrología, fue condenado ya

que se consideraría una herejía.

Durante la Edad Media también existía esa diferenciación un claro ejemplo son las

palabras de San Agustín:” Los buenos cristianos deben cuidarse de los matemáticos

y de todos los que acostumbran hacer profecías, aún cuando estas profecías se

cumplan, pues existe el peligro de que los matemáticos hayan pactado con el diablo

para obnubilar el espíritu y hundir a los hombres en el infierno” (De Genesi ad

litteram, 2, XVII, 37)18.

Así se observa que en varias épocas no solo no se innovó en materia científica, sino

que no se hizo nada por proteger la herencia científica, y por unas causas u otros

muchos libros fueron destruidos. La gran biblioteca de Alejandría fue quemada por

los romanos al intentar destruir la flota egipcia.

18 http://www.sectormatematica.cl/historia.htm

41

Al final del imperio romano no se detecta un avance en términos científicos sino más

un retroceso ya que tanto los cristianos como los musulmanes se dedicaron a

destruir todo tipo de libros al considerarlos paganos. Un ejemplo de esto fue que en

el año 640 tras la toma de Egipto por rebelde mahometanos, los libros fueron

destruidos basándose en la proclama dada por Omar, el conquistador árabe: “Los

libros, o bien contienen lo que ya está en el Corán, en cuyo caso no tenemos que

leerlo, o bien contienen lo contrario de lo que está en el Corán, en cuyo caso no

debemos leerlos”19.

En su juventud Arquímedes viajó a Egipto para estudiar en Alejandría, allí conoció a

Eratóstenes de Cirene, director del Museo de Alejandría. Con el intercambió ideas y

opiniones científicas, de esta correspondencia se identifica lo que se conoce como El

Método.

Por lo anterior se puede mencionar que la Historia de la Ciencia con sus grandezas,

pone al descubierto el proceso cambiante de la actividad científica como desarrollo

siempre abierto, inquieto y vivo, con el interés de descubrir los misterios de la

naturaleza y expresar sus leyes en términos universales y claros, es decir con

representaciones matemáticas, como apuntaría por primera vez Pitágoras y

acentuarían definitivamente Galileo, Newton y Einstein.

19 http://www.portalplanetasedna.com.ar/fin_roma.htm

42

E.T. Bell en su Historia de las Matemáticas afirma que “Ningún tema pierde tanto

cuando se le divorcia de su historia como las Matemáticas” (1985, 54). En efecto, la

Historia de la Matemática favorece la comprensión profunda de los problemas

matemáticos, a través de la comprensión del proceso real de creación de los

conceptos, de las intuiciones e ideas que los propician, de las dificultades que

involucran, de las reformulaciones que sufren, de las cuestiones que resuelven, de

los fenómenos que explican, del contexto social y cultural en que aparecen, de las

necesidades cotidianas que solventan, entre otros aspectos.

2.1.3 Matemáticas Mayas

La civilización maya que surgió hacia finales del siglo XIV a. C. y continuó su

desarrollo hasta el siglo XVI.

El desarrollo fue muy importante en las ciencias y las artes que fueron de suma

importancia. Pero en donde se desarrolló notablemente fue en el campo astronómico

y eran mucho más exactos que los de los europeos en el momento de la invasión20.

El gran aporte que los matemáticos mayas fue la creación del número cero, un

concepto abstracto que permaneció ausente en otras culturas durante siglos,

20 http://www.cientec.or.cr/matematica/mayas.htm

43

representaban el cero con una concha marina, usaban puntos o círculos del uno al

cuatro y rayas que valían cinco hasta contar diez y nueve21.

Los mayas tenían una numeración por posiciones. Tan solo tenían tres símbolos,

pero con ellos consiguieron hacer un gran sistema matemático. Sus símbolos eran:

-Una concha estilizada para el cero.

-Un punto para el uno.

-Una raya para el cinco

Para pasar cuantas unidades había en esa unidad se tendría que multiplicar el

número de símbolos iguales que hay en esa posición, y multiplicarlos por lo que vale

ese símbolo.

Posiciones

Tenían un sistema posicional. Las posiciones se disponían de abajo a arriba, según

el valor. (Cuanta más alta esté la posición, mayor valor tienen)

21 http://www.parque-tikal.com/mathema.htm

44

Las posiciones eran:

-Baktún

-Kaktún

-Tun

-Uinal

-Kin

Valor posicional

Los mayas utilizaban un sistema vigesimal, excepto el paso de Uinal a Tun que se

agrupaba cada 18 en vez de cada 20.22

- Baktún: 144.000

- Kaktún: 7.200

- Tun: 360

- Uinal: 20

- Kin: 1

Los mayas hacían los números alternando las conchas, puntos y rayas, con los

símbolos de las posiciones y el glifo introductorio.

22 http://www.parque-tikal.com/mathema.htm /numeración Maya

45

Función

Los mayas, al sistema matemático, le atribuían función de calendario. Haciendo

unidad principal al Tun que era un año. El calendario maya estaba compuesto por 18

meses de 20 días cada uno, más un conjunto de cinco días llamado Uayeb23.

Los 18 meses eran:

-Pop

-Uo

-Zip

-Zotz

-Tzec

-Xul

-Yaxkin

-Mol

-Chen

-Yax

-Zac

-Ceh

-Mac

23 http://www.mayacalendar.com/numerologiamaya.htm

46

-Kankin

-Muan

-Pax

-Kayab

-Cumku

Origen

El sistema vigesimal o de posiciones y el uso del cero, fue desarrollado por los

abuelos mayas aproximadamente mil años antes que los hindúes desarrollaran el

sistema decimal que se conoce actualmente y que utilizaron con facilidad. Los puntos

y barras fueron inscritos en fechas que aparecen en monumentos, altares y tableros.

• Operaciones fundamentales

Suma

Para hacer una suma de dos números mayas hay que colocar el primer número, y el

otro al lado derecho. Se adicionan los valores, por posiciones y se van colocando

los resultados de cada suma. Si el resultado es 20 o más hay que restarle 20 y la

diferencia será el resultado de esa posición. En la siguiente posición hay que sumar

una unidad más. Excepto si la posición en la que se esta es el Uinal, se usa el 18, en

vez de 20.

47

Resta

Para realizar una resta de números mayas, hay que poner el primer número, y el

siguiente al lado derecho. Se desarrolla la resta por posiciones se van colocando los

resultados. Si en una posición del segundo número hay más que en la misma

posición del primer número, hay que convertir una unidad de la siguiente posición del

primer número en 20, para poder restar. En la siguiente posición se restará 1 unidad

más. Excepto si se esta en el Uinal, que son 18 en vez de 20.

Multiplicación

Para llevar a cabo una multiplicación de números mayas se escribe el primer número

y el otro al lado derecho. Para hacerla hay que ir multiplicando primero las posiciones

bajas y después las altas, como en nuestro sistema decimal. Si el resultado es 20 o

más hay que restarle 20, la diferencia es el resultado de esa posición. En el resultado

de la posición siguiente se sumará 1 unidad más, excepto si se esta en el uinal que

es con 18 en vez de 20.

División

Para colocar una división, se usa primero el dividendo y el divisor al lado derecho.

Para hacerla hay que ir dividiendo las mayores posiciones del primer número entre el

48

segundo número24. Lo que va quedando de cada división se multiplica por 20, se

suma a lo que hay en la siguiente posición y se sigue dividiendo. Excepto si se está

en el Tun que es con 18 en vez de 20.

Para pasar números mayas a árabes hay que colocar el número maya en un lado.

Multiplicar la suma de los valores de los símbolos de cada posición, por el valor

posicional de esa posición. Repetir el mismo procedimiento con todas las posiciones,

y sumar los resultados.

Su sistema numérico era vigesimal, y no decimal como el actual25. Los científicos se

preguntan si usarían los dedos de las manos y los pies para contar. Las técnicas de

observación celeste a simple vista que practicaban los sacerdotes mayas son

estudiadas por los científicos actuales. Se apoyaban en un sistema de referencias

naturales. Describían las posiciones del Sol, la Luna, Marte y registraban los

eclipses. Siguieron con detenimiento los movimientos de Venus, planeta al cual le

asignaban una gran importancia en la determinación de guerras y sacrificios. Algunos

edificios obedecieron a cálculos muy precisos. Durante la puesta solar de los

equinoccios de primavera y otoño, la serpiente luz sube al castillo Chichén Itzá por la

escalera de la pirámide. La proyección solar marca siete triángulos de luz invertidos,

como resultado de la sombra de nueve plataformas del edificio.

24 http://clio.rediris.es/fichas/otras_mayas.htm 25 http://www.ecovisiones.cl/tradiciones/articulos/mayas3.htm

49

2.2 ¿Por qué aprender matemáticas?

Las matemáticas deben enseñarse porque forman parte del pensamiento de toda

persona, asimismo, el dibujo o el deseo de representar objetos, personas, aspectos

de la vida que la rodea. Es natural en los niños que disponen de lápices y papeles

ponerse a dibujar, aun cuando no se les ha enseñado a hacerlo, en la época

primitiva, las tribus lo hicieron aun sin contar con estos elementos.

De tal forma que la imaginación y la lógica son parte del pensamiento humano, lo

primordial en el aprendizaje de las matemáticas, es la actividad intelectual del

alumno, las matemáticas no deberían ser una disciplina separada, situada a un lado

del pensamiento común y que debería ser propósito de estudio solamente de

algunos. Es una fase del pensamiento, de tal forma que no hay pensamientos

concretos al lado de pensamientos abstractos. El pensamiento es conceptual por

naturaleza y predispuesto a las matemáticas.

F. Savater26 afirma que, “ser humano consiste en la vocación de compartir lo que ya

sabemos entre todos, enseñando a los recién llegados al grupo cuanto deben

conocer para hacerse socialmente válidos, pero el hecho de enseñar a nuestros

semejantes y de aprender de nuestros semejantes es también importante para el

establecimiento de nuestra humanidad. No somos iniciadores de nuestro linaje,

aparecemos en un mundo donde ya está vigente la huella humana de mil modos y

26 Savater, Fernando (1997), El valor de educar, Ariel, España.

50

existe una tradición de técnicas, mitos y ritos de la que vamos a formar parte y en la

que vamos también a formarnos”. Las matemáticas forman parte del legado cultural,

es construcción humana, es parte de la cultura de las sociedades.

En las investigaciones hechas por Lerner y Sadovsky27, exponen la forma en que

los niños van aproximándose al conocimiento de la numeración, como establecen

relaciones, las conceptualizaciones a las que llegan, los argumentos que van

elaborando para justificarlas y las construcciones propias de su edad, de esta

manera como pueden apoyarse los docentes para organizar la tarea de

sistematización.

Ahora bien, como se observa también en lingüística, investigadores como Emilia

Ferreiro presenta evidencia del trabajo cognitivo de los niños, antes de toda

enseñanza organizada por instituciones educativas. Con el conocimiento lingüístico

del lenguaje hablado como saber previo, elaboran hipótesis y hacen anticipaciones

que van comparando con la realidad en contacto con las personas que los rodean.

Muestran, por ejemplo, “que poseen un conocimiento de las reglas fonológicas,

sintácticas y semánticas de su lengua absolutamente sorprendente. Un chico de 6

años sabe lo que es un verbo antes de conocer la palabra ‘verbo’. Si le decimos algo

como ‘los patos rápido’ nos dirá ‘¿Qué? ¿Los patos nadan rápido?’ Más aún, un

chico de 3 años conoce la diferencia entre radical y desinencia verbal cuando

27 Lerner, D. y Sadovsky, P. (1994), “El sistema de numeración. Un problema didáctico”, en Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones, Parra, C. y Saiz I., Paidós Educador, Buenos Aires.

51

construye formas verbales que no ha escuchado de los adultos, tales como ponió,

poni, puniste. Sus ‘errores’ responden a una búsqueda de coherencia interna dentro

del sistema de la lengua y no a una repetición ciega de lo escuchado en su

entorno”28.

Además las construcciones personales que muestran los niños, continúan en

edades más avanzadas, sin embargo, no es tan fácil detectarlas, por diversos

motivos. También en los conocimientos matemáticos más avanzados los niños y

jóvenes van elaborando explicaciones a preguntas que les plantea la enseñanza o se

plantean a sí mismos.

Por otra parte, las matemáticas son útiles en la vida diaria, sin embargo, para que

algo se considere útil debe satisfacer una necesidad humana, por tal motivo las

matemáticas son útiles ya que se tienen, ahí están, pero al ser grande la variedad de

usos, es necesario ver los diferentes significados para esa palabra. Un pedagogo,

podría decir que las matemáticas son útiles porque enseñan a pensar y razonar con

precisión. Un arquitecto o un escultor podrían mencionar que las matemáticas son

útiles porque llevan a la percepción y creación de la belleza visual. Un filósofo diría

que permiten escapar de las realidades de la vida cotidiana. Un profesor de

matemáticas podría asegurar que las matemáticas son útiles porque le permiten

28 Ferreiro, Emilia (1975): Trastornos de aprendizaje producidos por la escuela. Conferencia pronunciada en Buenos Aires en el III Congreso Latinoamericano de Psiquiatría infantil, con el título: “Trastornos específicos del aprendizajes por desadecuación entre el desarrollo operatorio y el curricular”

52

ganarse el pan. El astrónomo o el físico dirán que las matemáticas resultan útiles

porque son el lenguaje de la ciencia. Un ingeniero civil asegurará que las

matemáticas le permiten construir un puente de forma segura. Un matemático dirá

un sistema matemático es útil cuando es aplicable a otro sistema matemático.

De esta forma, los significados de utilidad de las matemáticas comprenden

elementos estéticos, filosóficos, históricos, psicológicos, pedagógicos, comerciales,

científicos, tecnológicos y matemáticos. Y no se terminan los posibles significados,

por lo tanto se hace necesario saber cómo son útiles las matemáticas en otras áreas,

como son en las matemáticas mismas, en lo científico o tecnológico, en las

matemáticas puras y las matemáticas aplicadas.

Por lo anterior se puede afirmar que las matemáticas son útiles cuando se habla de

una aplicación de la teoría A a la teoría B, de por qué se han utilizado los materiales,

la estructura, las técnicas e intuiciones correspondientes a la teoría A, todo ello con

el propósito de conocer los materiales y estructuras de la teoría B. Así pues las

conexiones o aplicaciones entre unas y otras partes de las matemáticas constituyen

aspectos que suelen calificarse de puros.

También es cierto que ni los métodos ni las demostraciones son únicos ya que los

teoremas se pueden demostrar de diversos modos. Puede ser, que una cierta

aplicación de A para demostrar la verdad de algunos resultados de la teoría B no sea

primordial y se prefiera, por alguna razón histórica, establecer B por medio de C o D.

53

Así, durante varios años, el teorema del número primo fue demostrado por la teoría

de funciones de variable compleja, por el hecho de la noción de número primo es

más sencilla que la de número complejo y se consideró que valía la pena tratar de

establecer dicho teorema sin recurrir a números complejos. Cuando finalmente se

alcanzó esta meta, la utilidad que tenía la teoría de variable compleja en la teoría de

números había cambiado.

Ahora bien, la función en la cual las matemáticas encuentran aplicaciones externas a

sus intereses propios se denominan matemática aplicada, que es interdisciplinaria, y

lo ideal sería que se dedicaran a ella personas que no tuvieran interés sobre las

matemáticas. Puesto que la vida se desarrolla en actividades de producción y

consumo, de compra, venta e intercambio, se debería tener un concepto claro, así

como la posición que ocupa esta disciplina con respecto a estas actividades básicas.

Las aplicaciones de las matemáticas tienen utilidad común en la preparación de

textos y la investigación matemática. Pero, está rodeada de mitos y

predisposiciones, sin embargo, la utilidad común son tan claros como cuando la

cajera de una tienda obtiene el total de la compra, o cuando se realiza un

presupuesto, se tienen aplicaciones claras de las matemáticas a nivel de utilidad

común. Estos cálculos pueden ser sencillos y realizables por personas sin grandes

conocimientos matemático, pero son matemáticas y los cálculos relativos a

recuentos, mediciones y precios constituyen el grueso del total de operaciones

matemáticas a nivel de utilidad común.

54

Pero al pasar a las matemáticas superiores las aplicaciones son más difíciles de

observar y comprobar. Una organización puede tener a su servicio personal

formación matemática y disponer de un equipo de informáticos porque los aspectos

teóricos de su actividad pueden quedar plasmados en términos matemáticos. Nada

de ello significa que las matemáticas que allí están haciendo alcancen el nivel de

utilidad común. Las matemáticas aplicables al nivel de utilidad común pueden

fracasar o ser bloqueadas por varios motivos diferentes, o puede ocurrir que un

modelo matemático requiera muchos parámetros, en donde los valores, no estén

disponibles.

De tal forma que en un texto común de matemáticas aplicadas se pueda encontrar,

por ejemplo, con un análisis del problema de Laplace para una región bidimensional,

sin embargo, esta teoría tiene importantes aplicaciones, en electrodinámica e

hidrodinámica, aunque se quisiera identificar una utilidad común.

2.3 La aplicación de las matemáticas a nivel superior

Las matemáticas son utilizadas en la vida cotidiana y su proceso de construcción

está respaldado en abstracciones (separar por medio de una operación intelectual

las cualidades de un objeto para considerarlas aisladamente o para considerar el

mismo objeto en su pura esencia o noción) sucesivas. Los progresos importantes en

esta disciplina han iniciado de la necesidad de resolver problemas concretos, propios

55

de los grupos sociales. Por ejemplo, los números, que son familiares para todos,

surgieron de la necesidad de contar y son también una abstracción de la realidad que

se fue desarrollando durante largo tiempo. Este progreso está relacionado a las

particularidades culturales de los pueblos: todas las culturas tienen un sistema para

contar, aunque no todas cuenten de la misma manera.

En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también parten de

experiencias concretas y a medida que van haciendo abstracciones, pueden dejar de

necesitar de los objetos físicos. El diálogo, la relación y la confrontación de puntos

de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de conocimientos, así, el proceso

es reforzado por la interacción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el

aprendizaje de esta disciplina depende, en buena medida, del diseño de actividades

que promuevan la construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en

la interacción con los otros. En esas actividades las matemáticas serán para el

estudiante herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las

situaciones problemáticas que se le planteen.

Las matemáticas ayudan a resolver problemas de diferente índole, como el científico,

el técnico, el artístico y la vida cotidiana. Aun cuando todas las personas construyen

conocimientos fuera de la escuela que permiten enfrentar problemas, esos

conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria. Los

procedimientos generados en la vida cotidiana para resolver situaciones

problemáticas absorben mucho tiempo, son complicados y poco eficientes, si se les

56

compara con los procedimientos convencionales que permiten resolver las mismas

situaciones con más facilidad y rapidez. El contar con las habilidades, los

conocimientos y las formas de expresión que la escuela proporciona permite la

comunicación y comprensión de la información matemática presentada a través de

medios de distinta índole.

Se considera que una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las

que los estudiantes utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos

problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus

formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las

conceptualizaciones propias de las matemáticas.

Castillo-Cruz29, discute en su obra La investigación y desarrollo en la administración

que pocos administradores de carrera llegan a puestos directivos, asimismo,

comenta que los ingenieros con una especialidad en administración acceden más

fácilmente a dichos puestos, esto debido a que la mayoría de los profesionistas para

la solución de problemas se basan en experiencias empíricas y no en modelos

matemáticos.

29 Castillo-Cruz, R. (1995). Investigación y desarrollo en la administración. México: UAM

57

2.3.1 La Investigación de Operaciones en el siglo XX

En la historia se identifican muchas situaciones en las que se observa una

colaboración entre científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en

la batalla. Por esta razón muchos expertos consideran el inicio de la Investigación

Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución

que Arquímedes que propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por

los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de

espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los

rayos del sol.

Para 1503, Leonardo DaVinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya

que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos

acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas30.

Un antecedente más de la aplicación de la Investigación Operativa fue con F. W.

Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las

fuerzas de oposición y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales,

la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible determinar el

desenlace de una batalla militar.

30 http://www.phpsimplex.com/historia.htm

58

Thomas Edison también empleó la Investigación Operativa, contribuyendo, con sus

grandes ideas, en la guerra antisubmarina a través de la protección anti-torpedos

para los barcos. Otro más de los antecedentes que se tienen de lo que ahora se le

conoce como Investigación de Operaciones es en los años 1759 cuando el

economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación

matemática. En 1874 otro economista Walras, hace uso de técnicas militares.

Los modelos lineales de la Investigación de Operaciones, tienen como iniciadores a

Jordán en 1873, Minkowksy en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos

Pearson estadísticos tienen su origen con Markov a fines del siglo pasado.

Desde el punto de vista matemático, en los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz,

Bernoulli y Lagrange, trabajaron en obtener máximos y mínimos condiciones de

ciertas funciones. El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier hizo

esquemas de métodos de la actual programación lineal. Y en los últimos años del

siglo XVIII, Gaspar Monge asentó los antecedentes del Método Gráfico por su

desarrollo de la Geometría Descriptiva31.

Janos Von Neumann publicó en 1928 su trabajo “Teoría de Juegos”, que proporcionó

fundamentos matemáticos a la Programación Lineal. Después, en 1947, observo la

31 Métodos y modelos de Investigación de Operaciones. Vol.1Modelos determinísticos. Juan Prawda. Primera Edición, Octava reimpresión 1989, pp.23-25

59

similitud entre los problemas de programación lineal y la teoría de matrices que

desarrolló. En 1939, el matemático ruso L. Kantorovich, en cooperación con el

matemático holandés T. Koopmans, desarrolló la teoría matemática llamada

“Programación Lineal”, por la que les fue concedido el premio Nobel.

A finales de los años 30´s y principios de los 40´s, George Joseph Stigler planteó un

problema particular conocido como régimen alimenticio optimal, conocido como

problema de la dieta, que surgió a raíz de la preocupación del ejército americano por

asegurar unos requerimientos nutricionales al mínimo costo para sus tropas. El cual

fue resuelto mediante un método heurístico (inventar o descubrir) cuya solución era

diferente por unos céntimos de la solución presentada años después por el Método

Simplex.

Durante los años 1941 y 1942, Kantorovich y Koopmans estudiaron por primera vez,

de forma independiente, el problema del transporte conociéndose como problema de

Koopmans-Kantorovich. Para su solución, emplearon métodos geométricos que

están relacionados con la teoría de convexidad de Minkowski.

Sin embargo se considera la nueva ciencia llamada Investigación Operativa o

Investigación de Operaciones hasta la II Guerra Mundial, durante la batalla de

Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es decir la Luftwaffe, sometía a los

británicos a un duro ataque aéreo ya que éstos tenían una capacidad aérea

pequeña, aunque experimentada en el combate. El gobierno británico, buscando

60

algún método para defender su país, convocó a varios científicos de diferentes

disciplinas para tratar de resolver el problema de obtener el máximo beneficio de los

radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización óptima

de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la

efectividad del sistema de defensa aérea.

Valorando la importancia de esta nueva disciplina, Inglaterra creó otros grupos de la

misma índole para obtener resultados óptimos en la contienda. Al igual que Estados

Unidos, al unirse a la Guerra en 1942, creando el proyecto Scientific Computation Of

Optimum Programs (SCOOP), donde se encontraba trabajando George Bernard

Dantzig, quien desarrolló en 1947 el algoritmo del método Simplex.

Durante la Guerra Fría, la antigua Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas

(URRS), excluida del Plan Marshall, quiso controlar las comunicaciones terrestres,

incluyendo rutas fluviales, de Berlín. Para evitar la rendición de la ciudad, y su

subordinación a formar parte de la zona comunista alemana, Inglaterra y Estados

Unidos decidieron abastecer la ciudad, o bien mediante grupos escoltados (lo que

podría dar lugar a nuevos enfrentamientos) o mediante puente aéreo, rompiendo o

evadiendo en cualquier caso el bloqueo de Berlín. Se decidió por esta segunda

opción, iniciando la Luftbrücke (puente aéreo) el 25 de junio de 194832. Éste fue otro

de los problemas en los que participó el grupo SCOOP, en diciembre de ese mismo

32 http://investigacionoperativa.blogspot.com/2007/02/historia-de-la-investigacin-operativa.html

61

año y se consiguió abastecer con 4500 toneladas diarias, y tras estudios de

Investigación Operativa se optimizó el abastecimiento hasta llegar a las 8000~9000

toneladas diarias en marzo de 1949. Esta cifra era la misma que se hubiera

transportado por medios terrestres, por lo que los soviéticos decidieron levantar el

bloqueo el 12 de mayo de 1949.

Tras la Segunda Guerra Mundial, la organización de los recursos de Estados Unidos

(energía, armamentos, y todo tipo de suministros) estimó oportuno aplicar modelos

de optimización, resueltos mediante la programación lineal. Al mismo tiempo, que

se desarrolla la doctrina de la Investigación Operativa, se desarrollan las técnicas de

computación y los ordenadores principalmente dichos (hardware) gracias a los

cuales se redujo el tiempo de resolución de los problemas.

El primer resultado de las técnicas de Investigación de Operaciones fue dado en el

año 1952, cuando se usó un ordenador SEAC del National Bureau of Standars para

obtener la solución de un problema. El éxito en el tiempo de resolución fue tan

alentador que de inmediato se usó para todo tipo de problemas militares, como

determinar la altura óptima a la que deberían volar los aviones para localizar los

submarinos enemigos, gestión de fondos monetarios para logística y armamento e

incluso determinar la profundidad a la que se debían enviar las cargas para alcanzar

los submarinos enemigos de forma que causara el mayor número de bajas, que se

tradujo en un aumento de hasta cinco veces en la eficacia de la fuerza aérea.

62

Durante las décadas de los años 50´s y 60´s, crece el interés y el desarrollo de la

Investigación Operativa, debido a su aplicación en el ámbito del comercio y la

industria. Por ejemplo, el problema del cálculo del plan óptimo de transporte de

arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú, en los que

había 10 puntos de origen y 230 de destino. Para resolverlo, se usó un ordenador

Strena, que empleó 10 días en el mes de junio de 1958, y tal solución aportó una

reducción del 11% de los gastos respecto a los costos originales.

En 1958 se aplicaron los métodos de la programación lineal33 a un problema

concreto: el cálculo del plan óptimo del transporte de arena de construcción a las

obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de

partida y 230 de llegada.

Anteriormente ya se habían planteado estos problemas en una disciplina conocida

como Investigación de Empresas o Análisis de Empresas, que no disponían de

métodos tan efectivos como los desarrollados durante la Segunda Guerra Mundial

(por ejemplo el Método Simplex). Las aplicaciones no bélicas de la Investigación

Operativa se extienden tanto como se imagine, con problemas que van desde la

alimentación, ganadería, distribución de campos de cultivo en agricultura, transporte

33 Revista electrónica de ADA. Vol.1 (1) 2007. Relada 1(1): 37-42, 2007ISSN: 1988-5822 Introducción a la toma de decisiones en las nuevas tecnologías. Antonio Alonso-Ayuso. Javier M. Moguerza. Alberto Olivares. Celeste Pizarro

63

de mercancías, localización, distribución de personal, problemas de redes, colas,

grafos, entre otros.

2.3.1.1 Modelos de aplicación

El enfoque de la Investigación de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una

herramienta que sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. Por lo

tanto, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el

comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su

desempeño. La ventaja que tiene el sacar un modelo que muestre una situación

real, es que permite analizar la situación sin interferir en la operación que se realiza,

puesto que el modelo es como si fuera “un espejo” de lo que ocurre.

Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como: 1)

icónicos, 2) análogos, 3) simbólicos.

Los modelos icónicos son la representación física, a escala reducida o aumentada de

un sistema real, cuyo problema se quiere resolver. Por ejemplo, las fotografías, las

maquetas, dibujos y modelos a escala de barcos, automóviles, aviones, canales, etc.,

son modelos icónicos.

Los modelos análogos esencialmente requieren la sustitución de una propiedad por

otra con el fin de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el

64

problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original. Por ejemplo las

propiedades de un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico

o inclusive, económico.

Los modelos más importantes para la investigación de operaciones, son los modelos

simbólicos o matemáticos, que emplean un conjunto de símbolos y funciones para

representar las variables de decisión y sus relaciones para describir el

comportamiento del sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo,

el cual es una representación aproximada de la realidad, permite aprovechar las

computadoras de alta velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas.

Estos tipos de modelos son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un gran

número de experimentos. De las tres clases de modelos, los simbólicos son los más

económicos de construir y operar.

Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de

elementos. Estos son: 1) variables y parámetros de decisión, 2) restricciones y 3)

función objetivo34.

1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas

(o decisiones) que deben determinar resolviendo el modelo. Los parámetros son los

valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y

34 Investigación de Operaciones. Kamlesh, Daniel Solow. Prentice hall, 1996. Pp.12-51

65

función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o

probabilísticos.

2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y

otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que

restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema

como una función matemática de las variables de decisión.

La solución óptima será aquélla que produzca el mejor valor de la función objetivo,

sujeta a las restricciones.

Concepto de optimización.

Una característica adicional, es que la Investigación de Operaciones intenta

encontrar la mejor solución, o la solución óptima, al problema bajo consideración.

En lugar de contentarse con sólo mejorar el estado de las cosas, la meta es

identificar el mejor curso de acción posible. Aún cuando debe interpretarse con

todo cuidado, esta búsqueda de la optimalidad es un aspecto muy importante dentro

de la Investigación de Operaciones.

66

2.3.1.2 Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones.

Investigación de Operaciones significa hacer investigación sobre las operaciones.

Esto dice algo del enfoque como del área de aplicación. Por lo tanto, la

Investigación de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción

y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. La

naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la

Investigación de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia,

el gobierno y los hospitales principalmente35.

Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. Casi todas las

organizaciones más grandes del mundo (alrededor de una docena) y una buena

proporción de las industrias más pequeñas cuentan con grupos bien establecidos de

Investigación de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la aérea y de

proyectiles, la automotriz, la de comunicaciones, computación, energía eléctrica,

electrónica, alimenticia, metalúrgica, minera, del papel, del petróleo y del transporte,

han empleado la Investigación de Operaciones. Las instituciones financieras,

gubernamentales y de salud están incluyendo cada vez más estas técnicas.

Por lo anterior específicamente, se consideran algunos problemas que se han

resuelto mediante algunas técnicas de Investigación de Operaciones. La

35 http://www.investigacion-operaciones.com

67

programación lineal se ha usado con éxito en la solución de problemas referentes a

la asignación de personal, la mezcla de materiales, la distribución y el transporte y

las carteras de inversión. La programación dinámica se ha aplicado con buenos

resultados en áreas tales como la planeación de los gastos de comercialización, la

estrategia de ventas y la planeación de la producción. La teoría de colas (líneas de

espera) ha tenido aplicaciones en la solución de problemas referentes al

congestionamiento del tráfico, al servicio de máquinas sujetas a descomposturas, a

la determinación del nivel de la mano de obra, a la programación del tráfico aéreo, al

diseño de presas, a la programación de la producción y a la administración de

hospitales. Otras técnicas de Investigación de Operaciones, como la teoría de

inventarios, la teoría de juegos y la simulación, han tenido exitosas aplicaciones en

una gran variedad de contextos.

68

2.3.1.3 La importancia de la Investigación de Operaciones en el campo profesional

del Ingeniero Industrial

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el

mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el

proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al

incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora

más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational

Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de

investigación de operaciones.

Sin embargo es conveniente mencionar algunos aspectos que han influido al

desarrollo y aplicación de la Investigación de Operaciones. De hecho se tiene que la

humanidad logró muchos de sus progresos en los siglos más recientes, como

consecuencia de la aplicación del método científico a la administración (Planeación,

Organización y Control de Operaciones).

La Ingeniería Industrial nació cuando el hombre aplicó el método científico a los

problemas administrativos36. Ejemplo antiguo sobre organización, el que se narra en

La Biblia en el libro de Éxodo, cuando Moisés, atendiendo el consejo de su suegro

Jetro procede a nombrar los jueces que resolverán los problemas del pueblo de

36 http://usuarios.lycos.es/imoyasevich/a_ing/ingenieria/ingindustrial.htm

69

Israel. Otro ejemplo antiguo lo constituye la reparación de los antiguos barcos en

Venecia, mediante una línea de ensamble sobre la que trabajadores expertos

efectuaban trabajos especializados.

Para 1832, Charles Babbage escribió sobre la economía de la maquinaria y los

fabricantes, demostrando conocimientos en Ingeniería Industrial. Para finales del

siglo XIX Frederick W. Taylor, convirtió la Ingeniería Industrial en una profesión,

mereciéndole el título de padre la de administración científica37, mediante su trabajo

que maximizó el rendimiento de los mineros, determinando que la única variable

realmente significativa era el peso combinado de la pala y su carga, diseñando

diferentes palas para diferentes tipos de materiales. Otro hombre importante en los

principios de la administración científica fue Henry L. Gantt quien trabajó en resolver

el problema de la planeación de la producción.

Mientras que Taylor se enfocaba en resolver un problema único, Gantt adoptó un

punto de vista más amplio al observar los diferentes pasos en una operación

completa, asimismo cambió de interés alejándose de lo particular de la

administración hacia aspectos más amplios pasando de la Ingeniería Industrial a la

Investigación de Operaciones con un enfoque multidisciplinario a problemas

37Ingeniería Industrial (11ª. Ed.). 2004. Métodos, estándares y diseño del trabajo. Benjamín Niebel

p.519.

70

complejos, se reconoció la necesidad de tener especialistas, reunidos que trabajaran

en equipos de investigación con sistemas completos, en vez de partes del sistema.

En 1915 Ford W. Harris describió el primer modelo sobre el tamaño de lote

económico de inventario, posteriormente contribuyeron al desarrollo de modelos de

control de inventarios H. S. Owen (1925), Benjamín Cooper (1926), R.H. Wilson

(1926) y W. A. Mueller (1927). Las técnicas matemáticas del control de inventarios

son de las más antiguas herramientas de la Investigación de Operaciones.

En 1917, el matemático Danés A. K. Erlang, que trabajaba en la compañía telefónica

de Copenhage, publicó el trabajo Soluciones a algunos problemas en la teoría de

probabilidades importantes en las centrales telefónicas automáticas, contenía

fórmulas de tiempo de espera que más tardes fueron empleadas por la Oficina Postal

Británica para calcular el número de circuitos necesarios.

Por lo anterior las necesidades humanas dieron origen a algunas especialidades de

la ingeniería y sus principales aportes al bienestar de la humanidad.

A finales del siglo XIX, en Estados Unidos ya se impartía la licenciatura en ingeniería

industrial. Por ello habrá que preguntarse ¿Qué trabajo deberían desempeñar los

ingenieros industriales, que no pudieran desempeñar cualquiera de las otras

especialidades de la ingeniería que ya existían? La respuesta es sencilla. Mientras

los ingenieros mecánicos, eléctricos y químicos, entre otros, eran especialistas en su

área, y diseñaban y operaban las máquinas y dispositivos de su especialidad, no

existía personal preparado que, además de entender los términos de los otros

71

especialistas, pudieran controlar y administrar tales procesos. Control significa

proporcionar todos los insumos necesarios para la producción, programarla, controlar

el personal operativo, dar mantenimiento a los equipos y preocuparse por elevar la

eficiencia del trabajo. En general, todas estas tareas las vino a desempeñar el

ingeniero industrial, desde su creación.

De esta manera, todas las actividades relacionadas con una industria pertenecen a la

ingeniería industrial, sin incluir las tecnologías que se emplean en los procesos

productivos, así, el ingeniero industrial puede encargarse desde la determinación de

la localización óptima de la industria, la optimización de los procesos, la utilización de

la maquinaria, y de la mano de obra, el diseño de la planta, la toma de decisiones

para la automatización de procesos, hasta la planeación de la producción, lo cual

implica controlar los inventarios tanto de materia prima como de producto terminado,

también planea el mantenimiento de todos los equipos.

Nuevamente se tiene un campo de la ingeniería con una extensa aplicación, por lo

que también se subdividió en una serie de especialidades como son ingeniero en

procesos de manufactura, industrial administrador, industrial en administración y

planeación de la producción, industrial en control de calidad, industrial en sistemas,

industrial en pulpa y papel, industrial en evaluación de proyectos y otras.

No hay necesidad en enfatizar que la ingeniería industrial es una de las

especialidades de la ingeniería que no sólo está relacionada con otras ingenierías en

72

la misma industria, sino que está en contacto con todas las áreas de la industria

distintas de la ingeniería, es decir, la ingeniería industrial guarda estrecha relación

con la alta dirección, con los administradores, con las finanzas, principalmente, por lo

que se puede considerar que tiene un enfoque interdisciplinario por necesidad.

El impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Así se tiene

que al inicio de la década de los años 90´s, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo

que la Investigación de Operaciones sería el área profesional clasificada como la

tercera en más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados

Unidos, graduados entre 1990 y 2005, siendo que en este último año habría 100,000

personas trabajando como analistas de investigación de operaciones38.

De esta forma, el ingeniero industrial no es mecánico, eléctrico ni químico, sino la

persona encargada del control y la optimización de los procesos productivos, tarea

que normalmente no realizan las otras especialidades. Día con día, el campo de

actividad del ingeniero industrial está más definido, y por la variedad que debe tener

en su profesión, en el sentido de poder entender el lenguaje de todas las demás

especialidades, su formación es interdisciplinaria. Esto representa una

característica de esta rama de la ingeniería y sus tareas dentro de la empresa, las

que están claramente definidas respecto a las que desempeñan otras especialidades

de la ingeniería.

38 http://www.geocities.com/jairo_marin/

73

El Ingeniero Industrial generalmente es un asesor y ayudante de la gerencia quien se

encarga del diseño de sistemas para obtener utilización máxima y control de los

resultados de la empresa. Trabaja estrechamente con el obrero, los supervisores y

atiende los problemas de operación para lograr mejoras que beneficien a todas las

partes afectadas.

El Ingeniero Industrial es el principal contribuyente en los grupos de planeación e

investigación de operaciones.

CAPITULO 3

ESTRATEGIA METODOLOGICA

74

CAPITULO 3

3 ESTRATEGIA METODOLOGICA

3.1 Generalidades sobre el desarrollo de esta tesis

• Se detectó el alto índice de reprobación en la materia de Investigación de

Operaciones 1 de los alumnos de la Licenciatura de Ingeniería Industrial (5to.

Semestre).

• Se planteó el problema.

• Se inició la construcción del marco teórico.

• De acuerdo a la experiencia como docente de la asignatura de Investigación

de Operaciones 1 se estableció la hipótesis.

• Se decidió probar la hipótesis sometiendo a un grupo al estudio de las

operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales.

• Se dividieron los grupos tanto matutino como vespertino en dos, de forma

aleatoria.

• Se elaboró una unidad, que se anexó al programa de Investigación de

Operaciones 1 antes de las unidades que conforman el programa que se

estudia en el semestre, la cual contiene una revisión de temas como son:

operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales. Dicha

unidad se abordó durante las primeras semanas.

75

• Al inicio del curso se aplicó un cuestionario a todos los alumnos para averiguar

sus características personales.

• También se realizó un examen (evaluación diagnóstica) que se aplicó al total

de los alumnos.

• Se compararon las calificaciones obtenidas por los grupos sometidos a la

acción de la variable y a los que no se sometieron a ella.

• Se calcularon medidas de tendencia central y correlación.

• Se obtuvieron conclusiones.

3.2 El método

Se utilizó el método experimental en el que se puede manipular una variable

(experimental) no comprobada. Las condiciones deben estar rigurosamente

controladas, para describir el porqué se produce una situación o acontecimiento, o

sea, el experimento es una situación provocada por el investigador quien introduce

determinadas variables de estudio manipuladas por él para controlar el aumento o

disminución de esas variables y su efecto en las conductas observadas. La variable

que se manipuló fue el estudio de una unidad (revisión, aplicación y ejercitación) que

se agregó al programa de Investigación de Operaciones 1 referente a las

operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), fraccionales,

76

algebraicas y matriciales (variable experimental) con el objetivo de observar si había

modificación en el rendimiento académico de los estudiantes al final del semestre.

De acuerdo a Tamayo y Tamayo39 el método experimental tiene varias etapas que en

caso del problema de Investigación de Operaciones 1 corresponden a:

• Identificación y definición del problema. Con base en la experiencia docente

los alumnos de Investigación de Operaciones 1 de la carrera de Ingeniería

Industrial tienen dificultades con las operaciones fundamentales (suma, resta,

multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales. Esto les

impide llegar a revolver de forma adecuada los modelos que se utilizan en la

Investigación de Operaciones para la toma de decisiones tan importante en la

Ingeniería Industrial, además de ser alumnos de 5° semestre que ya pasaron

por cuatro cursos de matemáticas.

• Establecimiento de la Hipótesis.

• Respecto al plan experimental, en este trabajo de Investigación se consideró

el total de la población, que son dos grupos uno matutino con un total de 59

alumnos y el grupo vespertino con un total de 40 estudiantes.

39 Tamayo y Tamayo. (2006).El proceso de la Investigación Científica.México. Limusa. Pág. 47

77

• Se elaboraron cinco instrumentos de medición que permitieron hacer una

evaluación diagnóstica, evaluación formativa (tres exámenes parciales) y

evaluación sumatoria (examen final global). Asimismo se construyó un

cuestionario que permitiera identificar las características de los alumnos.

• Realización del Experimento. A dos grupos se sometieron a la acción de la

variable, así como a 2 grupos que no se expusieron a esta acción. A ambos

grupos (experimental y control) se les sometieron a tres exámenes parciales

(los mismos para cada grupo) y al final se compararon los resultados.

• Respecto al tratamiento de datos, se calcularon medidas de tendencia central

y de correlación.

3.3 Hipótesis General y Variables

Ya que a los estudiantes que integran el grupo experimental se les incluye en su

programa de Investigación de Operaciones 1 la unidad uno, la que estudiaron antes

78

del programa de la asignatura, esta unidad es la variable independiente y el resultado

a nivel de rendimiento escolar al final del ciclo escolar es la variable dependiente.

Tomando en consideración que se aplicaría un método experimental y cuya hipótesis

es la explicación tentativa al problema, ésta se define de la siguiente forma:

A los alumnos que se les someta al estudio de la unidad 1, variable que se refiere a

la revisión, explicación y ejercitación de operaciones fundamentales (suma, resta,

multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales mejorarán su

rendimiento escolar.

Tabla No.2 Definición de variables

Definición de Variables

Operacional

Unidad 1. Revisión/estudio que al inicio del curso de Investigación de Operaciones 1 se realiza respecto a operaciones fundamentales para obtener resultados reales. Se estudian las operaciones fraccionales en las que no se pueden utilizar unidades totales, en algebraicas para poder de manera idónea aplicar las constantes y matriciales de tal manera que se manejen vectores de una mejor forma. Rendimiento escolar: Desempeño de los estudiantes en Investigación de Operaciones 1 en la toma de decisiones ante modelos matemáticos determinísticos, con riesgo y bajo incertidumbre (variable dependiente)

Los estudiantes resuelven ejercicios de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones, adicionando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones aritméticas y algebraicas. Participación y resolución apropiada de problemas matemáticos por parte de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1, lo que se traduce en calificación/promoción.

79

3.3.1 Hipótesis nulas

Las hipótesis nulas son aquéllas que establecen que no existen diferencias

significativas entre los grupos. Su importancia radica en que es de directa

comprobación, es decir se acepta o se rechaza a través de una prueba (coeficiente

de correlación de Pearson40), por lo que siempre se redactan en negativo indicando

que no hay relación entre las variables. El hecho de calcular la correlación que

indica asociación, lo que se pretende es rechazarlas41, o sea demostrar que si hay

relación entre las variables.

En el caso de esta investigación, también contribuye a determinar las diferencias

entre los grupos sometidos a prueba (el experimental y el de control).

A continuación se presentan las hipótesis nulas establecidas para esta investigación.

• No hay diferencia en el rendimiento escolar entre el grupo control y el grupo

experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones fundamentales al

inicio del programa de Investigación de Operaciones 1)

40 Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers. (1989). Probabilidad y Estadistica para Ingenieros. México. Ed. Interamericana 6a. p.292 41 William W. Hines, Douglas C. Montgomery. (2004). Probabilidad y Estadística para Ingeniería. México. Ed. CECSA 3ª. p.

80

• No hay diferencia en el promedio general entre el grupo control y grupo

experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones fundamentales al

inicio del programa de Investigación de Operaciones 1).

• No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y

grupo experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones

fundamentales al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1).

• No hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de

Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a

la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de

Investigación de Operaciones 1).

• No hay diferencia en las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de

Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a

la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de

Investigación de Operaciones 1).

• No hay diferencia en las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de

Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a

la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de

Investigación de Operaciones 1).

• No hay diferencia en Promedio General en Investigación de Operaciones 1

entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a la revisión de

operaciones fundamentales al inicio del programa de Investigación de

Operaciones 1).

81

• No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el

grupo control y grupo experimental (el que se expuso a la revisión de

operaciones fundamentales al inicio del programa de Investigación de

Operaciones 1).

3.4 Población e integración de grupos

La población total de estudiantes de Investigación de Operaciones 1 en el semestre

2008-1 estuvo integrado por 99 alumnos adscritos a dos grupos, uno matutino y uno

vespertino. Se realizó una división de los grupos en forma aleatoria42, reasignando a

los alumnos, quedando un total de cuatro grupos, dos matutinos y dos vespertinos de

los cuales un grupo de cada uno fueron sometidos a la acción de la variable

experimental. La división de los grupos se observa en las tablas No.3 y No. 4.

42 William W. Hines, Douglas C. Montgomery. (2004). Probabilidad y Estadística para Ingeniería. México: Ed. CECSA. 3a. Apéndice Tabla XV.

82

Tabla No. 3 Resumen de la muestra del turno matutino

Grupos turno matutino

Sometidos a la variable experimental

No sometidos a la variable experimental

Género Núm. Estudiantes Género Núm. Estudiantes

Hombres 20 Hombres 19

Mujeres 10 Mujeres 10

TOTAL 30 TOTAL 29

Tabla No. 4 Resumen de la muestra del turno vespertino

Grupos turno vespertino

Sometidos a la variable experimental

No sometidos a la variable experimental

Género Núm. Estudiantes Género Núm. Estudiantes

Hombres 17 Hombres 16

Mujeres 3 Mujeres 4

TOTAL 20 TOTAL 20

83

3.5 Instrumentos

3.5.1 Cuestionario sobre las características de los alumnos.

Este cuestionario se aplicó a toda la población. Se integró por un grupo de

preguntas sobre las características generales del estudiante, se averiguó respecto a

su edad, género, estado civil y en algunas preguntas se investigaron datos

socioeconómicos referidos al tipo de vivienda y si trabajan. También se investigó

sobre sus actividades extracurriculares, turno en el que tomaban clases y semestre.

Además se incluyeron quince preguntas de las cuales once son mixtas (cerradas con

preguntas abiertas) en las que se les pedía una opinión positiva o negativa y las

razones de la misma, el resto de las preguntas (4 preguntas) eran abiertas. Aquí se

averiguó sobre su situación como estudiante (regular, irregular, rematriculado o

revalidación), promedio, si gozaban de beca y específicamente sobre el programa de

Investigación de Operaciones 1 con relación a los problemas que tienen con respecto

a esta materia43.

43 Ver anexo 1.

84

3.5.1.1 Pilotaje, Confiabilidad y Validez

Con el propósito de detectar posibles dificultades por parte de los alumnos para

entender el lenguaje usado, así como para identificar los aspectos que requerían

alguna modificación se realizó una aplicación piloto de la primera versión del

cuestionario para obtener información de los estudiantes. El primer grupo de

preguntas sobre las características generales del estudiante fueron contestadas por

15 alumnos de sexto semestre que previamente habían cursado la materia.

Teniendo en cuenta las sugerencias realizadas por los alumnos durante la aplicación

piloto del instrumento, se realizaron algunas modificaciones. Estas consistieron en

sustituir unas palabras por otras de uso más común para los alumnos, ya que se

observó que los estudiantes en algunas ocasiones mostraban dificultad para definir

su disposición acerca de la afirmación que se hacía en algunos reactivos. De tal

manera que la siguiente tabla muestra las modificaciones al instrumento.

85

Tabla No. 5 Resultados del pilotaje del cuestionario

Pregunta Original

Pregunta Corregida

No. Pregunta

Quedó como: 3.- ¿Materias que debes? 3.- ¿Cuántas materias debes?

9.- ¿Se te dificultan las operaciones

fundamentales?

9.- ¿Se te dificultan las operaciones

fundamentales (sumas, restas,

multiplicaciones y divisiones)?

10.- ¿Tienes problemas con operaciones

fundamentales con fracciones?

10.- ¿Tienes problemas con operaciones

fundamentales con fracciones

(quebrados)?

14.- ¿Cuántas horas a la semana

dedicas para hacer ejercicios donde

practicas tus operaciones

fundamentales, con fracciones y

algebraicas de IO1 extra-clase?

14.- ¿Cuántas horas a la semana

dedicas para hacer ejercicios donde

practicas tus operaciones

fundamentales, con fracciones y

algebraicas de IO1 fuera del horario de

clase?

16.- ¿La Investigación de Operaciones

formula matemáticamente problemas?

16.- ¿La Investigación de Operaciones

formula matemáticamente los problemas

que ahí se analizan?

86

Confiabilidad

Una vez que se tuvo el cuestionario definitivo, se explicó y se calculó la confiabilidad

mediante el coeficiente alfa de cronbach´s.

Realiabity Statics44

Cronbach´s Alpha

Cronbach´s Alpha

Pearson Standardizad

Items

No. Of Items

0.815

0.782

13

Validez

La validez se realizó mediante juicio de expertos por lo que se pidió a 2 profesores

del área de matemáticas que lo revisaron de tal forma que el cuestionario estuviera

realmente orientado a la recolección de datos referentes a las características

generales de la población de estudiantes de Investigación de Operaciones 1.

44 Calculado mediante el Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) versión 17.

87

3.5.2 Exámenes de diagnóstico, parciales y evaluación global

• Examen diagnóstico

Se consideró pertinente aplicar una evaluación, para observar si los alumnos cuentan

con los conocimientos necesarios para que puedan utilizar los métodos que se usan

en la Investigación de Operaciones 1. Por lo tanto se elaboró un examen

diagnóstico cuyo objetivo era obtener información sobre el nivel de habilidad de los

estudiantes para realizar operaciones aritméticas fundamentales, fraccionales,

algebraicas y matriciales. Dicha evaluación se integró por un total de once preguntas

de las cuales cinco eran de operaciones fundamentales algebraicas (suma, resta,

multiplicación y división), tres se refieren a operaciones matriciales, una (con tres

incisos) a operaciones fraccionales y una (con tres incisos) a operaciones

fundamentales45.

• Examen 1ª. Evaluación Parcial Académica

Este primer examen parcial tuvo como objetivo obtener información sobre el nivel de

conocimientos adquiridos en la unidad que se estudió antes del programa de la

materia y la primera unidad del programa de Investigación de Operaciones 1. Dicha

evaluación se integró por un total de tres apartados de los cuales el primero estuvo

45 Ver anexo 2.

88

integrado por operaciones fundamentales algebraicas (suma, resta, multiplicación y

división), matriciales, fraccionales y operaciones fundamentales, la segunda parte se

integro por un problema que el estudiante debía formularlo matemáticamente y el

último apartado contenía un problema lineal para convertirlo a la forma canónica

(fórmula general de los primeros problemas de Investigación de Operaciones 1)46 .

• Examen 2ª. Evaluación Parcial Académica

El segundo examen parcial tenía como objetivo determinar el nivel de conocimientos

adquiridos en los temas del programa de la asignatura (métodos para resolver

problemas matemáticos de Investigación de Operaciones). Dicha evaluación se

integró por un total de tres apartados de los cuales el primero contenía un problema

para resolver por el método gráfico, la segunda parte constaba de un problema para

utilizar el método simplex y en el último apartado se incluyó un problema en cuya

solución debía utilizar un método de doble fase y comprobar con la técnica M47

(métodos que se utilizan para resolver problemas de minimizar y maximizar).

46 Ver anexo 3. 47 Ver anexo 4.

89

• Examen 3er. Evaluación Parcial Académica

El tercer examen parcial se elaboró y aplicó con el fin de determinar el nivel de

conocimientos adquiridos en los temas del programa de la asignatura

correspondiente al tema de análisis de sensibilidad (métodos para resolver

problemas matemáticos de Investigación de Operaciones a partir de un resultado

inicial). Dicha evaluación se integró por un solo apartado en el cual se solicitaba al

estudiante el resolver el problema por el método dual simplex (método que resuelve

cualquier problema lineal) e incluía incisos de cambios en los vectores recursos,

costos, nueva actividad, coeficientes tecnológicos y nuevas restricciones,

concluyendo el programa de la asignatura48.

• Examen Evaluación global Académica (Extraordinario)

El examen global que en el caso de este centro educativo solo se aplica a los

estudiantes cuyo promedio no alcanza una calificación aprobatoria tiene como

objetivo identificar el nivel de conocimientos adquiridos durante el curso de

Investigación de Operaciones 1 y de esta forma acreditar la materia.

Dicha evaluación se integró por un total de tres apartados. El primero era un

problema para resolver por el método gráfico, en la segunda parte se pedía que a

48 Ver anexo 5.

90

partir de un problema se utilizara el método que mejor lo resolviese (simplex, dos

fases, técnica M o dual simplex) y el último apartado se basaba en el resultado de la

segunda parte del examen aunque se hicieron modificaciones en los vectores

(recursos, costos, tecnológicos, nuevas actividades y nuevas restricciones), que

corresponde a la última parte del programa que se refiere al análisis de

sensibilidad49.

49 Ver anexo 6.

CAPITULO 4

ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS

91

CAPITULO 4

4.1 Análisis e Interpretación de datos

En este capítulo se incluyó lo referente a la información que se obtuvo de los

alumnos que cursaron la materia de Investigación de Operaciones 1 en el semestre

2008-1. La población correspondiente a ese ciclo observado (turno matutino y

vespertino) estuvo integrada por 99 estudiantes.

El análisis se inició con las características generales de la población de dicha

asignatura, las cuales se tomaron de referencia para balancear los grupos.

Posteriormente se presentaron los datos de la prueba diagnóstica y la información

correspondiente al promedio final de la asignatura, tanto de los grupos que fueron

expuestos a la variable experimental como los que no, así como el análisis propio de

la variable experimental (unidad 1 al inicio del programa de Investigación de

Operaciones 1).

92

Características generales de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1

Edad

En la figura 1 se presentan las edades de los alumnos en un rango de 19 a 42 años,

obteniéndose que el 64% de los estudiantes tienen una edad que fluctúa entre 19 y

22 años, observándose un 36% en edades de 23 a 42 años.

Tomando en consideración el resultado anterior, se observa que la población está

dentro de la edad promedio de cualquier estudiante de educación superior, a nivel

nacional.

Figura 1. Edades de la población de alumnos

93

Género, Estado Civil y Situación Laboral

En la Tabla 6 y la figura 2 se muestra la situación respecto al género, estado civil y

situación laboral, en cuanto a género se identificó que el 77% masculino (44%

trabajan de los cuales 33% son solteros y 10% casados, el resto 34% no trabajan de

estos el 29% son solteros y el 5% casados), el resto 22% femenino (8% trabajan y

son solteras, el 14% no trabajan de las cuales son solteras), corroborándose que

aún persiste la tendencia de que en las licenciaturas de ingeniería predominan

estudiantes de género masculino, siendo también estos los que están incorporados

al ámbito laboral antes de terminar sus estudios.

Tabla 6. Género, Estado Civil y Situación Laboral

Género

Estado Civil

Situación laboral

Total Sí

trabaja No

Trabaja

Femenino

Soltero

8

8%

14

14%

22

22%

Casado

0

0%

0

0%

0

0%

Masculino

Soltero

33

34%

29

29%

62

63%

Casado

10

10%

5

5%

15

15%

Total

51

52%

48

48%

99

100%

94

Figura 2. Género, Estado Civil y Situación Laboral de la población de Investigación

de Operaciones 1

De manera general respecto al estado civil y a la información sobre su situación

laboral, se observa que el 84% de los jóvenes son solteros, el resto 15% son

casados; además del total de la población del 52% trabajan (10% casados y 42%

solteros), del resto 48% no trabajan (43% soltero y 5% casados).

Por lo que se puede deducir que al no tener otras responsabilidades familiares, casi

la mitad de los estudiantes tienen más oportunidades de dedicarse a sus asignaturas

y con posibilidades de concluir sus estudios de licenciatura.

95

Tipo de Vivienda y Ubicación

En relación con el tipo de vivienda y ubicación de la misma como se muestra en la

tabla 7, se obtuvo que el 85% de los alumnos cuentan con vivienda propia, el 20% de

ellas están localizadas a una distancia de 0 a 5 km del centro educativo, 9% estan

ubicadas entre 5 a 10 Km y por ultimo un 21% localizadas a más de 10 Km, por lo

cual se tiene un 42% de viviendas con una cercania al centro educativo de 0 a 10

Km, siendo favorable en cuanto al nivel de vida, además de que los estudiantes

utilizan poco tiempo para trasladarse de su casa al TESE.

Tabla 7. Tipo de vivienda y ubicación

Tipo de vivienda

Cercanía de la colonia al TESE

Total

No reportó distanca

(omitió colonia)

0 a 5 Km

5 a 10 Km

Más de 10 Km

Prestada

1

1%

1

1%

5

5%

0

0%

7

7%

Rentada

1

1%

5

5%

2

2%

0

0%

8

8%

Propia

34

35%

20

20%

9

9%

21

21%

84

85%

Total

36

37%

26

26%

16

16%

21

21%

99

100%

96

Por lo anterior, se puede decir que el nivel socioeconómico de este grupo de

alumnos es estable dado que son solteros, cuentan con casa propia, el 48% solo

están dedicados a estudiar, aunque llama la atención que la mayoría 92% no

realizan actividad extracurricular ya sea de carácter artístico, deportivo y/o cultural,

como se muestra en la tabla 8, solo el 8% realizan actividad extracurricular (7%

masculino-soltero y 1% femenino-soltero) corroborándose que los estudiantes

solteros tienen más tiempo para dedicar a sus estudios y alguna otra actividad.

Tabla 8. Actividad Extracurricular

Género

Estado civil

Realiza actividad Extracurricular

Total No

Sí

Masculino

Casado

15

15%

0

0%

15

15%

Soltero

55

56%

7

7%

62

63%

Femenino

Casado

0

0%

0

0%

0

0%

Soltero

21

21%

1

1%

22

22%

Total

91

92%

8

8%

99

100%

97

Situación Académica∗

En cuanto a las materias que anteceden a la Investigación de Operaciones 1 y que

son Matemáticas 3 y Matemáticas 4, se identifica un promedio general en cada una

de ellas de 7, representando un 48% y 52 % respectivamente, como se observa en la

figura 3.

Figura 3. Promedio de calificaciones de Matemáticas 3 y Matemáticas 4

∗ La calificación numérica mínima aprobatoria en el TESE es de 7.

98

Examen diagnóstico

Para poder preparar el ambiente del estudio de esta investigación y someter a los

grupos a la influencia de la variable experimental (Unidad 1 del programa de

Investigación de Operaciones 1), se aplicó un examen diagnóstico igual para toda la

población estudiantil que se tomó en esta investigación. Dicha prueba permitió

determinar el nivel de conocimientos y habilidades en operaciones fundamentales

(suma, resta, multiplicación y división), fraccionales (quebrados), algebraicas,

gráficas de ecuaciones lineales y operaciones matriciales, detectándose una

deficiencia en operaciones fundamentales en la población en general de los

estudiantes de la asignatura de Investigación de Operaciones 1. Como se observa

en la figura 4, solo el 16% de los estudiantes consiguieron una calificación

aprobatoria, el resto 84% no aprobaron el examen diagnóstico.

Figura 4. Calificaciones del examen diagnóstico de la población de Investigación de

Operaciones 1

99

A continuación se presenta en la figura 5 los grupos matutinos tanto el no expuesto

como el expuesto a la variable experimental para observar de una forma más clara

las calificaciones obtenidas en el examen diagnóstico y tener los antecedentes al

inicio de la unidad 1 del programa de Investigación de Operaciones 1.

El grupo matutino no expuesto a la variable experimental tiene una calificación

promedio de 4.62, de tal forma que solo el 24% de los estudiantes aprobaron el

examen diagnóstico, el resto 76% lo reprobaron. Por otra parte el grupo expuesto

tiene una calificación promedio de 4.97, así que el 23% aprobaron el examen

diagnóstico y el 77% no lo aprobaron.

Figura 5. Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos matutino expuesto a la

variable experimetal y no expuesto a ella

100

Con respecto a los grupos vespertinos el no expuesto a la variable experimental y el

expuesto a ella, como se observa en la figura 6 la calificación promedio del grupo no

expuesto es de 3.5, de tal forma que sólo el 5% de los estudiantes aprobaron el

examen diagnóstico, el resto 95% lo reprobaron. El grupo expuesto a la variable

experimental tiene una calificación promedio de 2.95, pero no se tiene ningún alumno

aprobado, es decir, los 20 alumnos de este grupo están con calificación reprobatoria.

Figura 6. Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos vespertino expuesto a

la variable experimetal y no expuesto a ella

101

Resultado Examen diagnóstico & Calificaciones 1ro. 2do. y 3er. Parcial

Turno Matutino

En el grupo matutino no expuesto a la variable experimental como se observa en la

figura 7, la calificación promedio del primer parcial es de 6.59 teniendo un incremento

de 1.97 puntos (de 4.62 a 6.59) con respecto al examen diagnóstico, para el segundo

parcial pasó de 4.62 a 5.0 (incremento de 0.38 puntos), para el tercer parcial se

puede observar un decremento de 0.83 (de 4.62 a 3.79), hacia el promedio final de la

materia se aumenta de 4.62 a 4.86 y finalmente para el global la calificación pasa de

4.62 a 1.52, registrándose un incremento del 9% en el promedio general del grupo,

de tal forma que no se tiene un incremento significativo en este grupo, ya que no se

están reforzando los conocimientos de operaciones fundamentales, algebraicas,

fraccionales y matriciales.

Figura 7. Promedio de calificaciones del grupo matutino no expuesto a la variable experimental∗

∗De acuerdo al software utilizado para la graficación de los datos, es importante mencionar que el programa usa una (,) para separar los enteros de los decimales.

102

Respecto al grupo que fue expuesto a la variable experimental como se tiene en la

figura 8, la evaluación del promedio del primer parcial es de 7.43 existiendo un

incremento con respecto al examen diagnóstico de 2.46 en la calificación (de 4.97 a

7.43), así como en el segundo y tercer parcial se incrementó en 1.16 (de 4.97 a 6.13)

y 0.80 (de 4.97 a 5.77) respectivamente, obteniéndose como resultado un aumento

del 1.26 (de 4.97 a 6.23) en la calificación final en la asignatura de Investigación de

Operaciones 1.

Figura 8. Promedio de calificaciones del grupo matutino expuesto a la variable

experimental

103

De lo anterior se puede concluir que con la variable experimental (unidad 1 al inicio

del curso de Investigación de Operaciones 1) se obtiene un incremento general en la

evaluación final en el 25% en el promedio general del grupo expuesto a la variable

experimental, puesto que se están reforzando las operaciones fundamentales,

algebraicas, fraccionales y matriciales, como se muestra en la figura 9.

Figura 9. Promedio de calificaciones finales de los grupos matutino

104

En la figura 10 se muestra el porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del

turno matutino expuestos a la variable experimental, en donde se tiene que en el

examen diagnóstico solo el 23% consiguieron una calificación aprobatoria el resto no.

En el primer parcial se tiene un 70% de aprobados y el 30% no aprobaron; para el

segundo parcial el 23% aprobaron quedando el 77% con calificación no aprobatoria;

en el tercer parcial se tiene un 53% de aprobados. Esto se refleja en el resultado del

semestre 2008-1 en el que se identifica igualdad en el número de aprobados y no

aprobados, es decir el 50% para ambos. Sin embargo cabe resaltar que existe un

incremento en la calificación del grupo expuesto a la variable experimental con el no

expuesto a la misma.

Figura 10. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo matutino

expuesto a la variable experimental

105

Respecto a los alumnos no expuestos a la variable experimental como se observa el

la figura 11, se obtuvo que tanto en el examen diagnóstico como en los parciales, así

como en el promedio general de Investigación de Operaciones 1 y el examen global

se tiene mayor porcentaje de no aprobados (76% en el promedio general y 83% en el

examen global) que de aprobados, de tal forma que el grupo no expuesto a la

variable experimental al no recibir el reforzamiento de las operaciones

fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales sigue teniendo un índice alto de

reprobación.

Figura 11. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo matutino no

expuesto a la variable experimental

106

Comparando las calificaciones finales de los grupos matutinos, como se observa en

la figura 12, se presenta un incremento en las calificaciones aprobatorias del grupo

expuesto a la variable, además de obtener mayor cantidad de alumnos con

calificaciones de 7 que es la calificación mínima aprobatoria, después de no tener

estudiantes con calificación aprobatoria en el examen diagnóstico.

Figura 12. Calificaciones finales de los grupos matutino expuesto a la variable y no

expuesto a ella.

107

Turno Vespertino

En el grupo vespertino no expuesto a la variable experimental como se observa en la

figura 13, la calificación promedio del primer parcial es de 5.85 teniendo un

incremento de 2.35 puntos (de 3.50 a 5.85) con respecto al examen diagnóstico, para

el segundo parcial pasó de 3.50 a 4.55 (incremento de 1.05 puntos) en referencia a

la prueba diagnóstica, para el tercer parcial se puede observar un aumento de 1.0

(de 3.5 a 4.5). Considerando el examen diagnóstico y el promedio final de la

materia, éste se incrementa de 3.50 a 4.9 y finalmente, para el global se observa

una calificacion promedio de 0.83, de tal forma que en ninguno de los exámenes se

tiene un promedio aprobatorio, resaltando que son los grupos a los que no se les

reforzaron las operaciones fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales.

Figura 13. Promedio de calificaciones del grupo vespertino no expuesto a la variable

experimental

108

Respecto al grupo que fue expuesto a la variable experimental como se tiene en la

figura 14, la evaluación del promedio del primer parcial es de 6.05 existiendo un

incremento con respecto al examen diagnóstico de 3.1 en la calificación (de 2.95 a

6.05), así como en el segundo se tiene un promedio de 5.2 observandose un

aumento en la calificación de 2.25 (2.95 a 5.2) y en el tercer parcial se incrementó en

1.2 (de 2.95 a 4.15). En el promedio final de Investigación de Operaciones 1 se

observa una calificación de 4.9 con un aumento de 1.2 con respecto al examen

diagnóstico (2.95 a 4.9) y para el examen global un promedio de 1.15.

Figura 14. Promedio de calificaciones del grupo vespertino expuesto a la variable

experimental

De lo anterior se puede concluir que con la variable experimental (unidad 1 al inicio

del curso de Investigación de Operaciones 1) se obtiene un incremento general en la

evaluación final en el 67% en el promedio general del grupo expuesto a la variable

experimental con respecto al examen diagnóstico, aún cuando no hay una diferencia

109

en cuanto al promedio general de los grupos vespertinos (expuesto a la varible y no

expuesto).

En la figura 15 se muestra el porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del

turno vespertino expuestos a la variable experimental, en donde se tiene que en el

examen diagnóstico solo el 5% consiguieron una calificación aprobatoria el resto no.

En el primer parcial se tiene un 55% de aprobados y el 45% no aprobaron; para el

segundo parcial el 35% aprobaron quedando el 65% con calificación no aprobatoria;

en el tercer parcial se tiene un 40% de aprobados.

Figura 15. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo vespertino

expuesto a la variable experimental

110

Respecto a los alumnos no expuestos a la variable experimental como se observa en

la figura 16, se obtuvo que tanto en el examen diagnóstico como en los parciales, así

como en el promedio general de Investigación de Operaciones 1 y el examen global

se tiene un gran porcentaje de no aprobados (65% en el promedio general y 100%

en el examen global). Por lo tanto se corrobora que el grupo no expuesto a la

variable experimental al no recibir el reforzamiento de las operaciones

fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales, sigue teniendo un índice alto

de reprobación.

Figura 16. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo vespertino

no expuesto a la variable experimental

Además considerando que el grupo expuesto a la variable experimental no tenía

ningún porcentaje de alumnos con calificación aprobatoria, el incremento en el

111

porcentaje de calificaciones aprobatorias es muy significativo, ya que se logran

reafirmar los conocimientos de operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas

y matriciales, desarrollando habilidades para poder utilizar modelos de Investigación

de Operaciones 1 y de esta forma puedan resolver problemas para la toma de

decisiones.

Comparando las calificaciones finales de los grupos vespertinos, como se observa en

la figura 17, se presenta un incremento en las calificaciones aprobatorias del grupo

expuesto a la variable, además de obtener mayor cantidad de alumnos con

calificaciones de 7 que es la calificación mínima aprobatoria, después de no tener

estudiantes con calificación aprobatoria en el examen diagnóstico.

Figura 17. Calificaciones finales de los grupos vespertinos expuesto a la variable y no

expuesto a ella.

112

Con base en los datos obtenidos y graficados, se calcularon correlaciones que a

través de un coeficiente permitió identificar si había una asociación significativa

entre las variables y que al mismo tiempo se tomó la decisión de aceptar o rechazar

las hipótesis nulas.

“El análisis de correlación intenta medir la intensidad de las relaciones entre dos

variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación

(coeficiente de correlación producto-momento de Pearson o sólo coeficiente de

correlación muestral). El coeficiente de correlación de Pearson es, quizá, el mejor

coeficiente y el más utilizado para estudiar el grado de relación lineal existente entre

dos variables cuantitativas”50.

El nivel crítico permite decidir sobre la hipótesis nula. Se rechaza la hipótesis nula y

se concluye que existe relación entre las variables cuando el nivel crítico sea menor

que el nivel de significación establecido (generalmente, 0.05).

Así, considerando los niveles críticos de correlación se puede aceptar o rechazar la

hipótesis nula (Ho), lo cual se resume en la tabla No. 9.

50 Walpole, Ronald E, Myers Raymond, Myers Sharon, Ye Keying. (2007). Probabilidad & Estadistica para ingeniería y ciencias. México: Ed. PEARSON. 8a. p.434.

113

Tabla 9. Hipótesis nulas

51 Grupo control el que no fue sometido a la variable (estudio de la unidad adicional al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1) 52 Grupo experimental fue el sometido a la variable (estudio de la unidad adicional al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1)

Ho

Correlación Significativa

Aceptación / Rechazo Ho

No hay diferencia en el promedio general entre el grupo control51 y grupo experimental52.

0.000

Se rechaza la Ho Sí hay diferencia en el promedio general entre el grupo control y grupo experimental.

No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y grupo experimental.

0.159

Se acepta la Ho No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y grupo experimental.

No hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental.

0.042

Se rechaza la Ho SÍ hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental.

No hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.

0.044

Se rechaza la Ho Si hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.

No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.

0.110

Se acepta la Ho No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.

No hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo control y el grupo experimental.

0.045

Se rechaza la Ho Sí hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo control y el grupo experimental.

No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.

0.129

Se acepta la Ho No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.

114

La tabla resumen presenta los datos que contrastan la hipótesis nula de que el valor

poblacional de R es cero y, por tanto, permite decidir si existe relación lineal

significativa entre la variable dependiente (grupo) y el conjunto de variables

independientes (promedio general, 1er. Parcial IO1, 2do. Parcial IO1 y promedio

general de IO1) tomadas juntas. El valor del nivel crítico Sig=0.006 indica que sí

existe relación lineal significativa.

Modelo

Coeficientes no estandarizados

Coeficientes

estandarizados

t B Error Estandar Beta

1 (Constante) ,232 ,632 ,367

Promedio general ,581 ,195 ,309 2,984

Promedio Gral. IO1 -,092 ,119 -,208 -,771

1er. Parcial IO1 ,085 ,077 ,195 1,108

2do. Parcial IO1 ,074 ,082 ,171 ,903

La tabla de coeficientes de regresión lineal contiene la información necesaria para

construir la ecuación de regresión mínimo-cuadrática. La columna encabezada

Resumen del ANOVA

Modelo Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig.

1 Regresión 17,298 4 4,324 3,823 ,006

Residual 106,339 94 1,131

Total 123,636 98

115

coeficientes no estandarizados se encuentran los coeficientes (Bk) que forman parte

de la ecuación en puntuaciones directas:

Pronóstico en Grupo = 0.232 + 0.581 Promedio Gral. -0.092 Prom.Gral.IO1 +0.085

1er.Parcial IO1 + 0.074 2do.Parcial IO1

Estos coeficientes no estandarizados se interpretan de la siguiente manera, el

coeficiente correspondiente a la variable promedio general, que vale 0.581, indica

que, si el resto de las variables se mantienen constantes, a un aumento de una

unidad en promedio general le corresponde, en promedio, un aumento de 0.581 de

calificación en pronóstico del grupo.

Es importante señalar que estos coeficientes no son independientes entre sí. De

hecho, reciben el nombre de coeficientes de regresión parcial porque el valor

concreto estimado para cada coeficiente se ajusta teniendo en cuenta la presencia

del resto de variables independientes.

El signo del coeficiente de regresión parcial de una variable puede no ser el mismo

que el del coeficiente de correlación simple entre esa variable y la dependiente. Esto

es debido a los ajustes que se llevan a cabo para poder obtener la mejor ecuación

posible. Aunque existen diferentes explicaciones para justificar el cambio de signo

de un coeficiente de regresión, una de las que deben ser más seriamente

116

consideradas es la que se refiere a la presencia de un alto grado de asociación entre

algunas de las variables independientes (colinealidad).

Los coeficientes Beta están basados en las puntuaciones típicas y, por tanto, son

directamente comparables entre sí. Indican la cantidad de cambio, en puntuaciones

típicas, que se producirá en la variable dependiente por cada cambio de una unidad

en la correspondiente variable independiente (manteniendo constantes el resto de

variables independientes).

Estos coeficientes proporcionan una pista muy útil sobre la importancia relativa de

cada variable independiente en la ecuación de regresión. En general, una variale

tiene tanto más peso (importancia) en la ecuación de regresión cuanto mayor (en

valor absoluto) es su coeficiente de regresión estandarizado. Observando los

coeficientes Beta de la tabla la variable promedio general es la más importante;

después 1er. Parcial IO1; en seguida 2do. Parcial IO1 y por último promedio general

IO1.

Las pruebas t sirven para contrastar la hipótesis nula de que un coeficiente de

regresión vale cero en la población. Un coeficiente de cero indica ausencia de

relación lineal, de modo que los coeficientes significativamente distintos de cero nos

informan sobre qué variables son relevantes en la ecuación de regresión.

117

CONCLUSIONES

El objetivo inicial de esta investigación era ver los cambios a nivel de rendimiento

escolar en la asignatura de Investigación de Operaciones 1, haciendo un

comparativo entre los grupos sometidos a la influencia de una variable (grupo

experimental), que en este caso era el estudio y la práctica de una unidad que se

agregó al programa al inicio y se refería a la revisión, explicación y ejercitación de

las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división),

fraccionales, algebraicas y matriciales, lo cual es indispensable que los

estudiantes lo sepan para la formulación y modelación matemática. Después de

un semestre en que se sometieron a las mismas evaluaciones al grupo

experimental (expuesto) y el grupo control (no expuesto) se obtuvieron los

siguientes hallazgos:

� Respecto al rechazo/confirmación de las hipótesis nulas

• Se rechazan cuatro de las hipótesis nulas y se convierten en positivas, las

cuales se presentan a continuación:

� Sí hay diferencia en el promedio general entre el grupo control

y grupo experimental.

118

� SÍ hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de

Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo

experimental.

� Si hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de

Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el

grupo experimental.

� Sí hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo

control y el grupo experimental.

• Se aceptan las hipótesis nulas:

� No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el

grupo control y grupo experimental.

� No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de

Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el

grupo experimental.

� No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico

obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.

� En relación al rendimiento escolar se concluye:

Los grupos que fueron sometidos a la variable experimental tanto el matutino

como el vespertino obtuvieron mayor cantidad de alumnos con calificaciones

119

aprobatorias observándose un incremento en sus calificaciones con respecto al

examen diagnóstico.

� De acuerdo a la ecuación de regresión lineal se puede pronosticar que al

hacer la revisión de estas operaciones se tendrá un aumento en su

rendimiento escolar siempre y cuando se trate de grupos similares que

estén en las mismas condiciones de aprendizaje.

ANEXO I

120

ANEXO I Cuestionario aplicado para pilotaje

Con el propósito de identificar los factores que intervienen en tu rendimiento académico de la materia de Investigación de Operaciones, te solicito contestes las siguientes preguntas, no sin antes agradecerte el tiempo dedicado a este cuestionario, así como tu valiosa colaboración y atención prestada. Instrucciones: Subraya la respuesta que más refleja tú situación. En caso de las preguntas abiertas responde claramente en las líneas en blanco. NOMBRE: ______________________________________________________________________ Edad: _______________ (años cumplidos) Género: Femenino_____Masculino___

Estado Civil: A) Soltero B) Casado C) Divorciado D) Unión Libre

E) Otra Específica: ___________________________________________________ Tu vivienda es: A) Propia B) Rentada C) Otra Especifica: ________________________ Colonia en la que vives: ___________________________________________________________ ¿Trabajas actualmente? NO ______ SI _____ ¿En qué horario? _________________________ ¿Realizas alguna actividad extracurricular? NO _____ SI _____ ¿Cuál?_____________________ Turno escolar: A) Matutino B) Vespertino C) Mixto ¿Porqué tienes este turno?_________________________________________________________ ¿Qué semestre cursas actualmente?: ________________________________________________ 1.- Eres alumno A) Regular B) Irregular ¿Por qué? ____________________________ 2.- Tienes beca: NO _____ SI _____ ¿Qué tipo de beca? _______________________ 3.- En caso de ser alumno irregular ¿Materias que debes? _____________________________________________________________

4.- ¿Qué promedio general tienes?: __________________________________________________ 5.- ¿En qué Programa estas cursando la Carrera? A) Anterior B) Actual 6.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 3? ________________________________________ 7.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 4? ________________________________________

121

8.- ¿En la materia de Investigación de Operaciones 1 se te dificultaron o te causan problemas los temas?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 9.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 10.- ¿Tienes problemas con operaciones fundamentales con fracciones?

NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 11.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales algebraicas?

NO_____ SI _____ ¿Cuáles? _______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 12.- ¿Te causan problemas las operaciones matriciales (suma, multiplicaciones y divisiones)

NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________

______________________________________________________________________________. 13.- ¿El temario de la materia de Investigación de Operaciones 1 te parece muy extenso?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 14.- ¿Cuántas horas a la semana dedicas para hacer ejercicios donde practicas tus operaciones fundamentales, con fracciones y algebraicas de IO 1 extra-clase?

______________________________________________________________________________. 15.- ¿La Investigación de Operaciones te ayuda en la toma de decisiones?

NO_____ SI _____ ¿De qué forma? __________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 16.- ¿La Investigación de Operaciones formula matemáticamente los problemas?

NO_____ SI _____ ¿De qué manera? ________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 17.- Menciona los 3 tipos de problemas que utiliza la Investigación de Operaciones 1.- ____________________________________________________________________________ 2.-_____________________________________________________________________________ 3.-_____________________________________________________________________________

122

Cuestionario definitivo aplicado a los estudiantes de Investigación de Operaciones 1 para esta Investigación

Con el propósito de identificar los factores que intervienen en tu rendimiento académico de la materia de Investigación de Operaciones, te solicito contestes las siguientes preguntas, no sin antes agradecerte el tiempo dedicado a este cuestionario, así como tu valiosa colaboración y atención prestada. Instrucciones: Subraya la respuesta que más refleja tú situación. En caso de las preguntas abiertas responde claramente en las líneas en blanco. NOMBRE: ______________________________________________________________________ Edad: _______________ (años cumplidos) Género: Femenino _____Masculino _____ Estado Civil: A) Soltero B) Casado C) Divorciado D) Unión Libre

E) Otra Específica: ___________________________________________________ Tu vivienda es: A) Propia B) Rentada C) Otra Especifica: ________________________ Colonia en la que vives: ___________________________________________________________ ¿Trabajas actualmente? NO ______ SI _____ ¿En qué horario? _________________________ ¿Realizas alguna actividad extracurricular? NO _____ SI _____ ¿Cuál?_____________________ Turno escolar: A) Matutino B) Vespertino C) Mixto ¿Porqué tienes este turno?_________________________________________________________ ¿Qué semestre cursas actualmente?: ________________________________________________ 1.- Eres alumno A) Regular B) Irregular ¿Por qué? ____________________________ 2.- Tienes beca: NO _____ SI _____ ¿Qué tipo de beca? _______________________ 3.- En caso de ser alumno irregular ¿Cuántas materias que debes? _____________________________________________________ 4.- ¿Qué promedio general tienes?: __________________________________________________ 5.- ¿En qué Programa estas cursando la Carrera? A) Anterior B) Actual

6.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 3? ________________________________________ 7.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 4? ________________________________________

123

8.- ¿En la materia de Investigación de Operaciones 1 se te dificultaron o te causan problemas los temas?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 9.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 10.- ¿Tienes problemas con operaciones fundamentales con fracciones (quebrados)?

NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________

______________________________________________________________________________. 11.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales algebraicas?

NO_____ SI _____ ¿Cuáles? _______________________________________________________

______________________________________________________________________________. 12.- ¿Te causan problemas las operaciones matriciales (suma, multiplicaciones y divisiones)

NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________

______________________________________________________________________________. 13.- ¿El temario de la materia de Investigación de Operaciones 1 te parece muy extenso?

NO_____ SI _____ ¿Por qué? _____________________________________________________

______________________________________________________________________________. 14.- ¿Cuántas horas a la semana dedicas para hacer ejercicios donde practicas tus operaciones fundamentales, con fracciones y algebraicas de IO 1 fuera del horario de clases?

______________________________________________________________________________. 15.- ¿La Investigación de Operaciones te ayuda en la toma de decisiones?

NO_____ SI _____ ¿De qué forma? __________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 16.- ¿La Investigación de Operaciones formula matemáticamente los problemas que ahí se analizan?

NO_____ SI _____ ¿De qué manera? ________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 17.- Menciona los 3 tipos de problemas que utiliza la Investigación de Operaciones 1.- ____________________________________________________________________________ 2.-_____________________________________________________________________________ 3.-_____________________________________________________________________________

ANEXO II

124

ANEXO II EXAMEN DIAGNOSTICO

NOMBRE: _____________________________________ SEMESTRE: ______ RESUELVA LAS OPERACIONES SIGUIENTES: 1.- 4m – 2n +3 – (-m+n) + (2m-n) 2.- (3x – 6y + 7) 4ab 3.- (1/2 a – 2/3 b) 2/5 a 4.- (4x – 3y) ( 5x – 2y) 5.- 4/3 (- 19/4 + 3/4 m) 6.- Grafica las siguientes rectas X + Y = 10 y 2/3 X – 1/2 Y = 21/14

125

7.- Encuentre el valor de X y Y de las siguientes ecuaciones por gauss Jordán 2 X + 3/8 Y = 12 1/2 X – 1/3 Y = 14 8.- Encuentre la transpuesta de esta matriz 5 6 3 4 2 1 10 20 30 9.- Obtenga la matriz identidad 1/8 3/16 5/8 1 0 0 8 6 -5 0 1 0 -3/2 5/2 6/4 0 0 1 10.- Resuelva las siguientes operaciones a) 16/9 - 4/3 + 19/5 = b) (-3/7) / (4/9) = c) (8/19) (9/15) = 11.- Resuelva las siguientes operaciones

a) 14 + 35 – 4 + 10 -9 =

b) (23 / 4) =

c) (23 x 6) – (12/3) =

ANEXO III

126

ANEXO III 1er. EXAMEN

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TIPO A TIPO A TIPO A TIPO A NOMBRE: __________________________________________________________________ I.-RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES 1.- 4m – 2n +3 + (2m-n) 2.- (13x – 8y +1 7a) 4ab 3.- (1/3 a – 4/3 b) 2/5 a 4.- (2x – 6y) ( 3x – 4y) 5.- 1/3 (- 17/4 + 5/4 m) 6.- Realice la siguiente multiplicación de matrices 5 6 3 1 4 5 4 2 1 x 0 5 5 10 20 30 11 10 8 7.- Obtenga la matriz identidad 1/8 3/16 5/8 1 0 0 8 6 -5 0 1 0 -3/2 5/2 6/4 0 0 1

127

II.FORMULE Y RESUELVA POR METODO GRAFICO Y POR SIMPLEX EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL La compañía World Light produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eclécticos, para el producto 2 se utilizan 3 partes de metal y 2 unidades eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $ 2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad esta fuera de consideración. III.- CONSIDERE EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL Y ESCRIBALO EN FORMA CANONICA MAX Z = 2 X1 - 3 X2 + 2 X3 - 4 X4 SUJETO A X1 + X2 + X3 = 1 X1 – 2 X2 -X4 = 7 X1 < 0 X2 > 0 X3 NO RESTRINGIDA X4 NO RESTRINGIDA

128

1er. EXAMEN INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TIPO BTIPO BTIPO BTIPO B

NOMBRE: __________________________________________________________________ I.-RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES 1.- 14m – 12n +13 + (12m-n) 2.- (3x –18y + 9a) a 3.- (1/2 a – 4 b) 5 a 4.- (12x – 16y) (13x – 8y) 5.- 2/3 (- 7/4 + 9/4 m) 6.- Realice la siguiente suma de matrices 15 16 13 10 14 51 14 21 11 + 10 15 15 10 20 30 10 1 18 7.- Obtenga la matriz identidad 1/9 5/16 3/8 1 0 0 10 16 -1 0 1 0 -1/2 1/2 7/4 0 0 1

129

II.FORMULE Y RESUELVA POR METODO GRAFICO Y POR SIMPLEX EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL La compañía produce dos dispositivos para autos (productos A y B) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto A se requieren 2 unidades de partes de metal y 1 unidad de componentes eclécticos, para el producto B se utilizan 2 partes de metal y 2 unidades eléctricos. La compañía tiene 100 unidades de partes de metal y 200 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto A da una utilidad de $ 2 y cada unidad del producto B, hasta 40 unidades, da una ganancia de $ 3. Cualquier exceso de 40 unidades del producto B no genera utilidad, por lo que fabricar más de esa cantidad esta fuera de consideración. III.- CONSIDERE EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL Y ESCRIBALO EN FORMA CANONICA MAX Z = 2 X1 - 3 X2 + 2 X3 - 4 X4 SUJETO A X1 + X2 + X3 = 1 X1 – 2 X2 -X4 = 7 X1 < 0 X2 > 0 X3 NO RESTRINGIDA X4 NO RESTRINGIDA

ANEXO IV

130

ANEXO IV 2do. EXAMEN

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TIPO 1 NOMBRE: ______________________________________________________________________________ RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS I.- FORMULE Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL RESUELVA POR METODO GRAFICO La compañía de seguros PRIMO está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguros de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

HORAS - HOMBREDEPARTAMENTO RIESGO ESPECIAL HIPOTECA DISPONIBLE

SUSCRIPCIONES 3 2 2400ADMINISTRACION 0 1 800RECLAMACIONES 2 0 1200

HORAS - HOMBRE POR UNIDAD

II.- EL PROBLEMA 1 RESUELVA POR METODO SIMPLEX Y COMPARE LOS RESULTADOS (METODO GRAFICO Y METODO SIMPLEX) III.- RESUELVA POR EL METODO DE PENALIZACION (TECNICA M) Y METODO DE DOS FASES (DOBLE FASE) Y COMPARE LOS RESULTADOS MAX Z = 2 X1 + 3 X2 SUJETO A X1 + 2 X2 < 4 X1 + X2 = 3 X1, X2 > 0

131

2do. EXAMEN

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TIPO 2 NOMBRE: ______________________________________________________________________________ RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS I.- FORMULE Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL RESUELVA POR METODO GRAFICO La compañía está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: A y B. La utilidad esperada es de $10 por el producto A y de $20 por unidad del B. La compañía desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

HORAS - HOMBREDEPARTAMENTO A B DISPONIBLE

1 2 3 48002 1 0 16003 2 2 2400

HORAS - HOMBRE POR UNIDAD

II.- EL PROBLEMA 1 RESUELVA POR METODO SIMPLEX Y COMPARE LOS RESULTADOS (METODO GRAFICO Y METODO SIMPLEX) III.- RESUELVA POR EL METODO DE PENALIZACION (TECNICA M) Y METODO DE DOS FASES (DOBLE FASE) Y COMPARE LOS RESULTADOS MAX Z = 4 X1 + 6 X2 SUJETO A 2 X1 + 4 X2 < 4 2 X1 + 2 X2 < 6 2 X1 + 2 X2 > 6 X1, X2 > 0

ANEXO V

132

ANEXO V 3er EXAMEN

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

TIPO A

NOMBRE: ______________________________________________________________

1.- MIN Z = 2 X 1 + 3 X 2 S. A 2 X 1 + 2 X 2 < 30 A) RESUELVA EL PRIMAL POR DUAL SIMPLEX X 1 + 2 X 2 > 10 B) CAMBIA C 2 DEL PRIMAL A $ 7.00

X1,x2 > 0 5

C) CAMBIA EL PRIMARIO a 1 5

D) X3 < 20 10 E) CAMBIA EL VECTOR RECURSOS

5 F) CONSIDERE UNA NUEVA ACTIVIDAD X6 CON UN 2 COSTO DE 1 Y COEFICIENTES TECNOLOGICOS 4

133

3er EXAMEN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

TIPO B

NOMBRE: ______________________________________________________________

1.- MIN Z = 4 X 1 + 6 X 2 S. A 4 X 1 + 4 X 2 < 60 A) RESUELVA EL PRIMAL POR DUAL SIMPLEX 2 X 1 + 4 X 2 > 20 B) CAMBIA C 2 DEL PRIMAL A $ 7.00

X1,x2 > 0 5

C) CAMBIA EL PRIMARIO a 1 5

D) X3 < 20 10 E) CAMBIA EL VECTOR RECURSOS

5 F) CONSIDERE UNA NUEVA ACTIVIDAD X6 CON UN 2 COSTO DE 1 Y COEFICIENTES TECNOLOGICOS 4

ANEXO VI

134

ANEXO VI EXAMEN GLOBAL INVESTIGACION DE OPERACIONES I

EXAMEN 1

NOMBRE: _______________________________________________________ GRUPO: ______ RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA 1.- GIAPETTO´S, manufactura dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dólares. Un tren se vende en 21 dólares y utiliza 9 dólares de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. La demanda de trenes es por lo menos de 20, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos - costos). Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa. Determine: a) FORMULE EL PROBLEMA LINEAL I.- RESUELVA EL PROBLEMA LINEAL ANTERIOR POR EL METODO GRAFICO II.- RESUELVA EL PROBLEMA 1 POR ALGUNO DE LOS METODOS UTILIZADOS EN INVESTIGACION DE OPERACIONES 1 (SIMPLEX, DOS FASES, TECNICA M O DUAL SIMPLEX III.- APARTIR DE LOS RESULTADOS DEL APARTADO ANTERIOR CONSIDERE LOS SIGUIENTES CAMBIOS A) Considere que los recursos se modifican a 120 hrs de acabado, 60 hrs de carpintería, la demanda de soldados es cuando mucho de 30 y la demanda de trenes es cuando menos de 10. B) Considere que se desea hacer un nuevo juguete carros de madera, este nuevo producto se vende en 23 dólares y utiliza 10 dólares de su valor en materia prima y en mano de obra 11 dólares, además se utilizan dos horas en acabado y dos horas en carpintería. ¿Conviene producir este carro? y ¿Por qué? c) Considere que la cantidad de trenes que hay que producir es de 20, como se modifica el resultado de GIAPETTO´S

135

Referencias bibliohemerográficas y electrónicas

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