tipos de bioreactores

7/26/2019 Tipos de Bioreactores

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Revista Ingeniería e Investigación No. 48 Diciembre de 2001

i o r r eact o r es M od el os M at em át i cos y su

Si m u l ac i ón sob r e u n a H o j a E l ect r ó n ica

Hermes Rangel Jara*, María Adelaida Pradilla**, Claudia Viviana Burgos**

RESUMEN

Este artículo presenta brevemente el resultado de un trabajo

de investigación y de consulta bibliográfica, que consistió en

la recopilación de modelos matemáticos para biorreactores y

la solución numérica de algunos de ellos en la hoja de cálculo

Microsoft Excel®. Se presenta, con fines principalmente

didácticos, una alternativa para la exposición de dicha

información en un módulo interactivo para computador. El

módulo interactivo se creó con una nueva herramienta -HTML

Help Workshop®- que permite una presentación de tipo

educativo que puede ser publicada sin dificultad en Internet.

INTRODUCCIÓN

L

a importancia del modelamiento matemático y la

simulación en el diseño y optimización de procesos es

bien conocida, y debido a que los procesos biotecnológicos

han ido convirtiéndose en procesos bastante viables, hasta el

punto que, en muchas ocasiones, resultan más ventajosos que

la alternativa química tradicional, el modelamiento y cálculo

matemático de biorreactores son una herramienta indispensable

en el desarrollo de la biotecnología.

La simulación de biorreactores es muy similar a la de los

reactores químicos tradicionales, aunque con algunos elementos

adicionales estrechamente ligados al carácter bioquímico del

proceso, como el crecimiento del biocatalizador (en el caso de

células) y todo lo que esto implica: aumento de la viscosidad

del medio, crecimiento del grosor de la película de biomasa en

el caso de células inmovilizadas, etc. En seguida se enuncian,

para diferentes tipos de biorreactores, los modelos matemáticos

más representativos, las simplificaciones que los definen y la

bibliografía correspondiente. Además, se mencionan ejemplos

de cálculo de biorreactores efectuados en Microsoft Excel®

97, con el fin de resaltar las ventajas de la hoja de cálculo en la

simulación de procesos.

Convencionalmente, la presentación teórica de modelos

matemáticos puede resultar pesada y aburrida para el lector.

Pero si el modelo se acompaña de una estructura de cálculo y

se presentan ambos, modelo y solución numérica, dentro de un

esquema interactivo semejante al de las páginas

web

el

resultado puede ser interesante e impresionante. Microsoft

HTML Help Workshop® es una de las herramientas más

apropiadas para la elaboración de dicho esquema interactivo,

cuyo fin último es la presentación de información en forma

amena, organizada y didáctica. Más adelante se ilustra esta

novedosa alternativa académica.

l.BIORREACTORES y TIPos DE BIORREACTORES

La f e rm en t ac i ón

es un proceso de transformación química

en el que algunas enzimas, aisladas o presentes en micro-

organismos o células, catalizan la conversión de un substrato

orgánico, como por ejemplo la glucosa a sus productos

metabólicos. El b i o r reac t o r es el equipo centro de todo proceso

fermentativo.

Los biorreactores se clasifican de diversas maneras, de

acuerdo con el criterio que se utilice para ello: tipo y forma del

biocatalizador, configuración del biorreactor, modos de

operación, forma en la que se suministra la energía para la

agitación, entre otros. Con base en las similitudes en el

modelamiento matemático, los biorreactores pueden agruparse

de la siguiente forma: biorreactores de tanque agitado,

biorreactores de columna de burbujeo, biorreactores con

biocatalizador inmovilizado y biorreactores con separación

integrada de producto. Este criterio de clasificación tiene en

cuenta, principalmente, la configuración del biorreactor y la

disposición del biocatalizador.

11. MODELOS MATEMÁTICOS

Existen dos formas generales para la obtención de modelos

matemáticos: empírica y determinística. Los modelos

matemáticos de biorreactores que se mencionan a continuación

son modelos determinísticos con submodelos empíricos, es decir,

modelos basados en las ecuaciones de balance (de masa, energía

y cantidad de movimiento) y auxiliados por correlaciones

empíricas necesarias para la representación matemática de

fenómenos como la velocidad de reacción, velocidad de

transferencia de masa y energía, equilibrio de fases, etc.

, Ingeniería Químico, M.Sc. , profesor titular, Universidad Nacional de Colombia.

Ingeniera Química, Universidad Nacional de Colombia.



Biorreactores: Modelos Matemáticos y su Simulación sobre una Hoja Electrónica

La suposición de un modelo de flujo (mezcla perfecta, flujo

pistón, modelo de dispersión o cualquier modelo de mezcla

imperfecta) remplaza, generalmente, a la ecuación de balance

de cantidad de movimiento, lo cual para la gran mayoría de

biorreactores, los balances se reducen al de masa y energía; y

debido a que los procesos bioquímicos operan, por lo general,

en condiciones isotérmicas, los balances de masa y energía

pueden evaluarse independientemente. Por lo tanto, el balance

de masa es el que predice el estado del biorreactor y el de

energía es útil en el diseño del biorreactor, y en el control de

temperatura. Los modelos matemáticos de los biorreactores,

generalmente ignoran, además del cambio de la temperatura,

el cambio de las características del medio de cultivo (pH,

concentración de nutrientes y cofactores, etc.), por lo que se

consideran constantes algunos parámetros cinéticos.

En los cuadros 1,2,3 Y4 se presentan, brevemente, modelos

para diferentes tipos de biorreactores y ejemplos de cálculo en

Microsoft Excel® de algunos de ellos, junto con una pequeña

aclaración de lo que implicó su solución numérica.

Cuadro 1.Modelos matemáticos para biorreactores de tanque agitado

Sinclair y

B ro wn { 6

.Simulacióndrl

Simplir icacionesiorreaclor

Biblio raC ía E lemnles

c rec im len to d e

t r a b a c t e r

Porlotesylote

a l i m e n t a d o

Me z cl a p er fe ct a

D en sid ad d el m ed io c on st an te

c lc ac a e

Duarte [51 Solución de un sistema de

e cu a ci on e s d if er en ci al es

d e primer ord en por el

m étod o d e E uler.

'Simulacióndel

c re cim ie nt o d e At r obac le r

clo c t

D ua rte [ 51

L ee , C ho i y

K im [JI

M e z c la p er f ec t a

V olu me n d el m ed io c on st an te

Estado estacionario

Deg radación d e u na

mezcla

d e T ol uen o y p -x il en o

por P st ud am o n aJ p u l id a

J

Solu ció n d irect a d e las

e cu a ci on es a lg e br ai ca s d e l

modelo

e n l as c el d as

de la

hola electrónica.

Continu o con o sin

r ec ic lo d e c él ula s

M ez cla im perfecta m od elo d e

f lu j o c omb in ad o

que

d iv id e el

v olu men d el reacto r en d os

r eg io nes d e m ez cla p erf ec ta

C On t ra ns fe re nc ia d e

m at er ia le s e nt re e ll as [ im it ad a)

L as c or ri en te s d e a li me nt ac ió n

y d e s al id a d e l b io rr ea ct cr ,

entran y salen d e la reg ió n

superior

V olu men d e c ad a reg ió n

constante

Continuo con

a git ad or d e flu jo

radial

Cuadro 2. Modelos matemáticos para biorreactores de columna de

burbujeo.

cima.

B ib lio ra fíaimplir icacionesiorreaclor

Sistem a homog éneo,poca d istribu ció n d e tamaño d e

[as

bu rbu jas M erchuk y

Fase líqu id a y gaseosa continu a Stein [ 11]

F lu jo pistó n en las reg iones d e ascenso y d escenso, y mez cla perfecta en la

i r i f t con

bañe

interno

O pera ció n isoté rm ic a sin v ariac iones d e presió n en la dirección axial.

E s ta do e s ta c ion a ri o .

R etenció n d e g as c onsta nte en la d irecc ió n axial,

Dispersión axial despreciable,

P ro pied ad es c on sta nt es e n el se nt id o r ad ia l

V ar ia ció n a xia l s ólo d e la s v ar ia ble s d e in te ré s.

i r J i f t con

balle

interno

L as m ism as su po sicion es anteriores, só lo q ue sf tien e en c uenta la s

variaciones d e presió n a lo lar o d el cu bo.

Merchuky

S t ei n [ 12 f

Cuadro 3. Modelos matemáticos para biorreactores con

biocatalizador inmovilizado.

21

Oc laoquc

a i l: ldo

Slm llf ie lldones

MC7.elaperfccla

E~lado ,,,,,,.:iooario

BaOeyy

om,

111

De l echo fi jo

Flujo pis lón

N O ~o c on si d e r u part ici ón enl re I,,~

f~s e~ H<ju id~ y sóf id~. es dec ir .

que lu~ concentraciones en lu Lnnie y

l llerT ,e en elll<juido y en el Thomus

I 1 01

sÓlldo oni¡¡uulcs.

Se despreci an lOS e r c cr e s

di fudonl ll e .• i nl erno. en l u

t.iOpDrlfcula

.Bi rre:l :lOre~ en imfilieo~ de

lec ho f ijo p ;, r; , 1 ;, h idról i~i s de

s~c ;, rus;, pur inverl~~; inmuvili~ .;,da

en un I ~ hu de r c i n~ <.l e inlercam bi o

iónico.

Soluc ión de ecuadone~

di rcrenc¡ol e~ de prim c. or den por

elmilododeEolcr.

Soluc ión de ecu~cione .

c ua drñt ic a s y cu t. ic~ med ia nle lu

herrumientu 1) U~CDr obje1ivo y

Mucro~ que ej ecul ¡¡n l a

herrp n i cn IU en I ~ celd~s de l a

hojli e lectróni lu~ ve c~ que ca

necellurio.

~implificado

La parllculu del c :• •ulh.~dor

bi olÓ,ico (f loc~ mi cr obi yl e~ o

pel lcl~de e n- ,; imu o ci lu las

inn ,o ,·i li -, ;ad • •~) • • n uni fo rn .es en

lamailo. Toda las panrcula~

l icnen el mismo di ~mcuo e_l er no.

La densidad de lafau fluida es

una funcióndc la concentración

de ~ub~ualo.

La fan liquida . e mueve hacia

ar riba a In i~del b io rr ea clor en

nujo piMón.

El nÚmerO de Reynold. de la

par ll cul a bioc,uaUl ica, basado en

la clocidadlerminaLe5 lo

suflcienlemenle pequetlopara

jU~lificar el uso de la ley de

Sloku.

De lecho

ffuidizado

e stado

euacionario)

La~ b lopurl lcu lu5 50n oporr e.

iner tes ~ó lido . de forma edér ica

rodeudo. por peHcu la microb lu l

de espe.oruniforme.

Eladocslacionario.elespe.orde

lul>iopcfrcul¡¡cseOn,lanle.

El sóli do i nert e Isoporl e) no

udsorbenidsubl raloniel

oAlllcno

Lo r esi s1enci a di fu~i onal de l a

cupade I/quido que rodea a la

biopDrllculae.despreeiable

La pre~ión parcial de o .f ll eno

denuo de l a borbuj a de ,as no

cl I. bi . ~i ¡; ni fi cat i amenl e a

medid. que la burbujas pasan a

Inv is del r eaclOr .

Son dos model os. Uno supone

mezcl a per fCCl a.y el ol ro fl uj o

pi sl ón O l anque. de me~.el a

erfeclaen.crie.

ili Produccióndepenidlinaenun

biorreaclordelecllofluidi1.ado.

P~rk, nevn y

Wulli~ 11)1

.Me~.clupcrr cla.

O S lucióndeecuacione

diferencial . porel mélodo de

Euf er.

O El proced;m ien~o de enuyo y

erTorpan l a s Olución del model o

e~ r eempl ~-,; ado por el U50 de ID

herramlenID Soher .

i4IIIFlujopiAIÓn(Tanque5demeula

pe r fee ~a e n s e r ie)

• . La .~olución de un lanque de

me~.ela perfecta

SO

veces

(SO

l I. nque~ e n ~er ie ) e n forma

suceJi vll medi anle una Macr o. El

f il eu lo r c~uha muy len lO.

De lecho

fluidizado

(ulado

Iran5ilo,io)

Euado l ranAi lor ;o: el model o l iene

en euenlm el c,ecimienlo de la

:;~~.~:~eu~~fecu

Park, Da i. y

Walli51141

h II fiho

lFigural)

Flujo laminareJlacionario.

Propiedade~ del fluido eonnanleA.

Slmel fl a<:on re spe clo aleje

10n¡iIUdinal.

Independenci :. del me( ani ~mo de

u~nsrerencia de ma5Q con I~

• . n4mica del f luido .

Velocidad Q i al cerO en la

memhrona y en l a regi ón anull tro

delbic

e

atnHzad

o r

En In rc~ión anular:

hlocuuli-,;odoTUnifoTmCmcnlc

di_trll>uido,cnncentruciÓndel

h ioca¡ ;¡ li ,, ~dor cons ta n1e y . ti lo

Iran.porlepordifu.ión.

Reacci ón úni camenle en lu regi ón

anulo.

E~••do nO elacionarlo.

K lein~treuer

y Al lar ,al 17J

E.lado e~llIcionario.

Se de~pre cia la convecciÓn , I II nlO

radial COmo a ial . y la d ifu~ión

a •.

ial.

Condición i~Olirmica.

Componami enl o Jim~l ri co con

re~peclo al cje.

Euadoe.lacionario.

F.l ll radi enl e de concenl ra ión en

el.enlidlla iale5de.preciable.

yana por Una allarelación de

redclo o porque se .upone un~

alta relación de reciclo en un

~e,menl o de lonl li lud dado.

L. co. po~i ciÓn. concentr ación y

¡ro.or de l a pe\f eul a de bi omua

~t < :ona ider a cons tan le y uni ro rme

en t od: . la l oni i lud del reacIo .

Nn ~e lienen en cuenla. 1 .

r uer7. 0~ elec tro. ,ál ica • . El

coeri cl enl e de repart o ent re l a.

fu.~s

c .

l.

Sc ~on~i ,J er~ cero lu

eoncenlrll(ión de bioma lI en lo

I) red de lo membrona y en el

lumen. Por lanto no hoy 'e acción

en e \a~ res io n es.

Se 5uponeuna cinéli eadc Monod

pan el eOn5UmO de

s

uhs tru to , No

se con.ideru el erecimienlo de

biomau,porloquela

Oncenlru:ión dc biomua y el

e5pe.ordc la relleula, t

con~¡dean eonslanleS.

Pcrfi l pl ano de concent raci ón de

subslraloenellumencnel

Jenlido radial: eomportamienlll

.imil.r al de Un reaelor CSTR

(Modelo 1, Dall-Bauman).

Pcrfilparabóli odeconeenlradón

dc ,ub • •rato en el lumen en el

Jenlidoradial(Modelo

2.

Plunovic).

Kim y

Cooney 181

DIIIl_Rauman

etal.(31

Pl lunu • • •cel

Al . 1 15 1

.Oiodellrudaeión de acelato en un

reacl orde Ohn. he ec e (modelo I y 2

Solución de una e eua ión

difercneillldese¡r.undoorden.

con e lldo en do.de primer

orden. porel

métcdc de

Euler

F.I procedlmienlo i ter al ivo de

edleu It) e~

re

e m p lat .ado por I~

Ilcrrllmien1u :.1) u~cur objeli .,

Medianle unaMacro,que

iniciall. a e ldlculoy ac erc e el

problem Q

a

~u ~ol uci ón, ~e

r e5uel ve en II ran l iarl e l n~

problemu de .en~ibilidad.

E~lado no estacionario.

Al ¡,ual que el modelo de 0111-

Oauml ln y e l de Paunovic,

de~pr eci a el II radi enle de

~once nluc ión ax ial .

F.n l a d irecciÓn radi al . supone un

perfil plano de ~oncenlrución

lanlO en el lumen como en la

pured de IQmembruna.

Uli i7.a la c inilic~ de Michaells

Me

me n, con~i der~ndo l a

ex r<,~i ón Ilmil e de rimer orden.

Webslery

Shuler[UI]

Hidróli~is de Ure~ en un reacio,

de f ib ra hue ca ( es u. do u ln5i lo rio)

e C61cul odel reacl orapl icando l a

s olución a nal fl ica de la e cuac ión

diferen~ial.

e rue necenri a l aul il i7.ac1ón de

Ml lc rn~, l a her rl lmien lu Ousc ar

obj e~i n) y l u fundone. de

Busel.

El si~temu en .u IOlulidud se

compono como un CSTR con

tnc:t.cJaldeul

La

HmItu

c lene s de lran . •ferencia

de mUa y l. ~dsorción de en~.imQ

Deesli c y

Chcryan

[4]

.Hidróflsl deprolclna.deuIIU

peso merec uta r en un biorreaetor

CSTR - Hr

• Solución dire~u en las celdus de

e cuac lone. a l eb raica ~.

E~tadQ no c l,, donarío

Al iiU.1 que el model o de Oal l.

Oauman y e l de Pauno ic .

::~~: , .c l::;iló~r:~::~ .le de

En l a d irecciÓn radi lll .supone un

perfil plano de ~oncenlTación

~anto en ellumen como en la

pared de la membrana.

Uliliu

la

c inilicade Mic llae lis_

Menl en. con~; derando l a

ca resi ón IImi le de rimerorden.

El,iMema en ~u 10lalidad ~c

compo a cOmo un CSTR con

me1.cloideal

Los limiladones de lran~ferenc la

de masa y la ad.~orci ón de en1.imo

en 1 :.mem brana ~on de. ~p reciah le . •

Cin< IÍ<:1I de Micha li~ - Menlen

para II na reacción con un .010

~ub ralo limilui o y sin

inh ih ición .

Webslery

Sholcr 1181

IPHidrófi sisdeUreaenunreaclOr

de f ib rl hue ca tes lado t ra n. ilor io )

o

C eulo del reaelor aplicando la

. olución Ina ll li ca de la e cuac ión

direrencial.

O Fue nece • • r ia l a ul ¡l i~l IClón de

MacrOJ.l a herumi ent a Buscar

IIbje li o y laJ funciones de

Buscl.

• • H F: H OL LO W F IB ER - F IB RA H UEC A

idroll~¡~ de prolctnu de allo

peso no le cu l • • e n un b io rr ea elor

CSTR· HF

O Solución direeu en la~ ~eldas de

ecoa iOlle5al¡ebraicos.

e

Se ideó ,n. Macro con el rinde

¡r anCar el r • • .• ll ado para

d if er enTe s va lo r e s de

coneenlración de en7.ima .

Oeesli e y

el lcryl ln 141



22

R e v is ta I ng e n ie ría e I nv e st ig a c ió nNo . 4 8 D i ci emb re d e 2 00 1

Cuadro 4. Modelos matemáticos para biorreactores con separación

integrada de producto.

8iorruc:lor

Simplific:atlones

Blbliolr.fía

E emplos

Btorreacror cen

dijlisis

Sislem.A:

A li men taci ón a l

c ir cu it o d el

d ia li za do c on

ef lu ent e e n e l

c ir cu it o d el

fermentador

Sistema B:

Alimentación y

e f lu en te ú n iC lmen lc

e n e l c i rc uit o d el

dializado

Stieber

y

Gerhardtl17¡

.Producci6n fermentativa

d e Lactato d e Amonio a

p a rt ir d e Lactosa

O Solu ció n d irecta d e las

ecuaciones al¡ebraicas

d el m od elo en la s

celdn

d e l a h o ja c lc cl ró n ic a.

M e zc la p er fe ct a t an to e n e l c i rc ui to

de dializado com o en el

f e rmentador .

O p er ac ió n i sc té rm ic e y a p r es ió n

constante.

E s ta d o e s ta c io n ar io .

Mezclaperfccla,

L a s f as es l iquidas s e en cu en tr an e n

equil ibrio.

El

m ic ro or ga nis mo n o s e r ep ar te

e nt re la s d os I as es l iq u id as . p or lo

qu e

II

r ea cc ió n b io qu fm ic l só lo

ocu rre en la Iase acuosa.

L a s ol ub ili da d d e c ua lq u ie r

gIS.

introd ucid o o prod ucid o en el

h i or r ea c tc r . e s d e sp r ec t eb t e.

M ~t od o U NI FA C p ara e l e qu ilib rio

H q ui do -J fq u id c .

.P rodu cció n de etanol

a

p ar tir d e g lu co sa p or

Su rr ha ro my rt s c er ev uí ae

con dodecmcl c om o s ol v en te

a L a solu ció n d el m od elo

implica

un

p ro ce di mi en to d e d lc ul o

it era tiv o. e l c u al se

realiz a por med io d e u na

Macro.

a Demro

d e l c él cu lo

l terativo es neceserh

t am bié n la solu ció n d e

u n sistema d e ecuaciones

algebraiclS.elcullse

r es u el v e m e d la n te la

h tr nm ie nt a · So lv er ·.

B

inrreactcr con

extracción l f quido-

I fqu i do

Fournier 61

m. SIMULACIÓN DE BIORREACTORES EN HOJA DE CÁLCULO

M ic ro so ft E x ce l® c omo h e rr am ie nt a d e c ál cu l o, e s a pr op ia d a

p ara la so lu ció n d e u n a g ra n v aried ad d e m od elos c ua dro s 1 -4) ,

de sde ecuac iones a l gebra i cas senci ll a shas t a s is t emas de ecuac iones

d i fe re nc ia le s c on p ro b lem as d e v a lo re s d e f ro n te ra , p erm it ie nd o

n o só lo la ob ten ció n d e resu ltad os n um éricos, sin o tam bié n la

p re sen ta ció n d e é st os e n f orm a am en a y o rg a niz ad a f ig u ra 1 ), p or

med i o d e g r á fi co s, d i b u j os e sq u emá ti co s d e l r ea c to r, c omen t ar io s

e n la s c el d as , e tc ., q u e f ac il it an la c omp re ns ió n d e l os f en óm eno s

f ísic os y q u ím ic os, lo c u al e s c l av e p ara e l d i se ño d e re ac to re s. L a

prin cipal v en ta ja , en m ateria d e prog ram ació n y len gu ajes d e

p ro g ram ac ió n , e s q u e p ermi te r ed u c ir e l c ó d i g o q u e s e n ec es it ar ía

p ar a e fe ct u ar c álc u lo s it er at iv o s, a l a s im p le e je cu c ió n d e a lg u n a s

u t ilid a d es n um éric as d e la h oj a e le ct ró n ic a y a la p ro g rama ció n

l ó g ic a d e la m isma , d e pe nd i en d o d e l c a so c u a d ro s 1 -4 , e jemplo s) .

P a r a mode lo s compl ic a do s, c on e c u a ci one s d i f er en c ia le s p a rc ia le s

o m od e lo s d e t an q u es e n se rie , p u e d e re su lt ar p oc o v ia ble , p u es to

q u e se h ac e n ec esa ria la e la bo ra ció n d e m ac ro s p er so na le s p ara

in g en ia rse la f orm a d e e fe ct u ar e l c álc u lo . P o r t an to , M ic ro so ft

E xcel® es v álid o para la solu ció n d e mod elos q u e pu ed an

impl emen ta r se e n fo rma s enc il la y r áp id a .

. • I

~ - r r-

.• r 1iIJ1·

~~l liJ]

a ---

1

I I 1

REACTOR IJE LECHO FLtJlDIZIWO PARA LAPRODtJCCION DE P.EJ' (ICILINA

. .

o

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1• • -43

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• .• hA .• XI

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)(1 -- ) 20

I

P dlln...o~1

.por ~ ICIdn.

c. l..¡e.~

r-• • • • .•• • • •

ltc.'\.

Figura l. Archivo de Excel para el cálculo de un biorreactor de

lecho fluidizado.

I v .

MICROSOFT HTML IIELP WORKSHOP®

EN LA PRESENTACIÓN DIDÁCTICA DE MODELOS

M icrosof t HTM L H elp W ork shop® es u n prog rama cu yo

p rin cip al a tra ct iv o, a l ig u al q u e E xc el, es su f ác il m an ejo y su s

m ú lt ip le s a plic ac io ne s, su j et as a la im a g in ac ió n y c re at iv id a d

d el u su ario. E sta h erram ien ta presen ta la in form ació n com o

d ocu men tos H TM L , org an iz ad os d en tro d e u na est ru ctu ra d e

árbol o tab la d e con ten id o. E l resu ltad o ob tenid o Tu tor d e

m od e lo s m a temá tic os d e b io rre ac to re s , f ig u ra 2 ), c on tie ne lo s

m od elo s d ist rib u id os en el árb ol, v ín cu lo s en tre los m od elo s y

su s solu ciones nu mé ricas en E xcel, h iperv íncu los ú tiles

especia lm en te cu an do se m en cion an ecu acion es tra tad as en

o tr os t em as) y d if ere nt es m ec an ism o s d e b ú sq u ed a . L a s v en ta ja s

acad ém icas son ev id en tes y m uy lig ad as a lo n ov ed oso.

~,1, o Y• 11:11\H., ~ ,afToL.'wlndp'X ' n.

NIJIiIIí~;

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Figura 2. Presentación de modelos y ejemplos de cálculo en

Microsoft HTML Help Workshop®.

CONCLUSIONES

E l m od elam ien to m atem át ico d e b iorreac tores es clav e en

e l d ise ño d e b io pr oc es os . M ic ro so ft E xc el® c om o h erram ie nt a

d e cálcu lo es u na bu ena alterna tiv a , au nq u e t iene su s

lim itacion es. M i crosof t H TM L H elp W ork sh op® ,ju nto con

M i cro so ft E xc el® , so n pro gra ma s a lta men te d isp on ib les c on

g ran potencia l en la elaboració n d e T u tores para la

p resen ta ció n d id ác tic a d e m od elo s m atem át ic os y sim u la ció n

d e p roc es os .

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tipos de bioreactores

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