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FOCUS ANALITICO
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Teoria tecnica della trave: modello di Eulero-BernoulliEquazione della linea elastica
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-
z
y
v(z)
Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
d4 v
d z4
q
EI=
Equazione della linea elastica
q
Sezione
E = modulo elastico normale
I = momento d’inerzia della sezione
x
y
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-
z
y
v(z)
Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
d T
d z+ q = 0
q
Equilibrio alla traslazione del concio infinitesimo di trave
d z
T + d TT
q
T – T – dT – q dz = 0
– dT – q dz = 0
Dividendo per dz i due membri dell’equazione:
1
M + dMM
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
d M
d z- T = 0
z
y
v(z)
q
Equilibrio alla rotazione del concio infinitesimo di trave rispetto al punto A
d z
T + d TT
q
M - (M + dM) + T ∙ dz – (q ∙ dz) ∙ dz/2 = 0
Dividendo per dz i due membri dell’equazione:
2
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
M + dMM
A
- dM + T ∙ dz – q ∙ dz2/2 = 0
-dM + T ∙ dz = 0
dz2 si elide, infinitesimo di ordine superiore
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
z
y
φ(z)
q
Equazioni indefinite di congruenza
3w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
d v
d z+ φγ =
d z
γ
γ
d vγ
v(z)
d vφ
d z
d vγ = γ ∙ dzd vφ = - φ ∙ dz
φ
dv = d vγ + d vφ
dv = γ ∙ dz - φ ∙ dz
= γ - φd v
d z
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
z
y
φ(z)
q
Equazioni indefinite di congruenza
3
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
d v
d z+ φγ =
d z
γ
γ
d vγ
v(z)
d vφ
d z
φ
d v
d z= - φ
Ipotesi di Eulero-Bernoulli: concio indeformabile a taglio → γ = 0
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
dφ
d z= θ = -
z
y
φ(z)
qEquazioni indefinite di congruenza
4
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
dφ
d z
R
R ∙ dφ = dzdφ
d z= 1/R = θ
Leggi dal blog (clicca qui)
1
Rθ =Curvatura:
Ipotesi di piccoli spostamenti per la curvatura
= -d2 v
d z2
d2 v
d z2
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-
Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
M
E∙I= θ
z
y
φ(z)
q
Legame elastico-lineare
5
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
σε
θx
y
M
M = ∫σ y dA = ∫ (E ε) y dA = ∫ (E θ y) y dA = E θ ∫ y2 ∙ dA = E θ I
Momento d’inerzia I della sezione
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
z
y
φ(z)
q
Legame elastico-lineare
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φ
T = G ∙ A ∙ γ
T = ∫ τ dA = ∫ G γ dA = G γ ∫ dA = G γ A
Area della sezione
T
τ
x
y
6G ∙ A ∙ γ
T =χ
χ = fattore di taglio (fattore di correzione) Valore adimensionale > 1tiene conto dell’ingobbamento della sezione
Leggi dal blog (clicca qui)
∞ 0
Indeformabile a taglio
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
z
y
φ(z)
q
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
d T
d z+ q = 01
d M
d z- T = 02
3
dφ
d z= -4
M
E∙I= θ = -5
d v
d z= - φ
Equazioni indefinite di equilibrio Equazioni indefinite di congruenza
Legame elastico-lineare
d2 v
d z2
d2 v
d z2
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
z
y
φ(z)
q
w w w . m a r c o d e p i s a p i a . c o m
φ
Dalla (2):d M
d zT =
Sostituendo T nella (1):d2 M
d z2= - q
Dalla (5): M EI= -d2 v
d z2
Sostituendo M nella (a):d4 v
d z4
q
EI=
(a)
Equazione della linea elastica
Per una trattazione rigorosa del problema elastico della trave ti suggerisco le dispense del Prof. Fraternali scaricabili gratuitamente a questo link
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Teoria di Eulero-Bernoulli: problema di flessione e taglio
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Guarda il video sul problema elastico della trave (clicca su play)
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Risorse utili per il calcolo strutturale
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Progetta e verifica sezioni in cemento armato, solai laterocementizi e
interventi di rinforzo con materiali innovativi in FRPProgetta e verifica travi, colonne e aste pendolo in acciaio con la
massima semplicità. Calcolo di collegamenti bullonati e saldati.
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Risorse utili per il calcolo strutturale
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Progetta e verifica l’intervento di apertura vano e il telaio di
cerchiatura in una parete in muratura. Calcola il legame taglio-
spostamento dell’intera parete prima e dopo l'intervento.
Analizza le sollecitazioni della platea di fondazione, progetta
e verifica l'armatura, esegui la verifica geotecnica per carico
limite e scorrimento.
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Articoli Risorse Applicazioni
per progettisti strutturali
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