these afif 2002

Annee: 2002 Ndordre: 344UniversiteCadi AyyadFacultedesSciencesSemlalia-MarrakechTHESEPresenteeàlaFaculte,pourobtenirlegradede:DocteurdEtatEs-Sciences(Option: AnalyseNumerique)SchemasVolumesFinispouruneClassedEquationsdeTypeConvection-DiusionIssuesdesMilieuxPoreuxParMohammedAf(DocteurdUniversite)Soutenuele07Fevrier2002devantlacommissiondexamen:President:D.OUAZARPr. àlEMIUniversiteMohamedVRabat.Examinateurs:B. AMAZIANE Pr. àlUniversitedePau(France).M. ELALAOUITALIBI Pr. àlUniversiteCadiAyyadF.S.S.M.M. GHILANI Pr. àlUniversiteMyIsmalF.S.Meknès.A. HAKIM Pr. àlUniversiteCadiAyyadF.S.T.M.A. LEMBARKI Pr. àlUniversiteCadiAyyadF.S.S.M.Z. MGHAZLI Pr. àlUniversiteIbnTofalF.S.Kenitra.C. SERRES Dr. IngenieurdeRechercheàlI.P.S.N.Fontenay-Aux-Roses(France).Au nom de DIEU le Très Misericordieux,le Tout Misericordieux....... Nous elevons en rang qui Nous voulons.Et au-dessus de chaque savant, il est ungrand Savant.12-Joseph. v76A la memoire de mes parents, qui montfait au berceau le don, le plus precieux,celui de la foi.A ma FamilleA mes Frères et SursiRemerciementsMesremerciementssadressentàtouteslespersonnesquiont,deprèsoudeloin,contribueàlarealisationdecetravail,enparticulier:MessieursBrahimAmaziane(UniversitedePauetdesPaysdelAdouren France) et MohamedElAlaouiTalibi (Universite Cadi Ayyad, Fac-ulte des Sciences Semlalia-Marrakech),pour leur encadrement et leur sou-tienmoraletmaterielaucoursdecetravail.Messieurs Mustapha Ghilani (Universite MyIsmal, Faculte des Sci-ences, Meknès), AbdelilahHakim(UniversiteCadi Ayyad, FacultedesSciencesetTechniques,Marrakech)etMadameZoubidaMghazli(Uni-versiteIbnToufal, FacultedesSciences, Kenitra), qui ontacceptedetrerapporteursdecettethèseetpourlinteretquilsontporteàcetravail.Messieurs Alami Lembarki (Universite Cadi Ayyad, Faculte des Sci-encesSemlalia-Marrakech),DrisOuazar(UniversiteMohamedV,EcoleMohamadiades Ingenieurs, Rabat) et Christophe Serres(Institut deProtectionetdeS ureteNucleaire, Fontenay-Aux-Roses, France), qui ontaccepte de participer au jury, en particulier MonsieurDrisOuazar,pouravoirpresidercejury.Jetiensàexprimermaprofondereconnaissanceà:Monsieur Jean-Paul Vila(Institut National des Sciences Appliquees,Toulouse, France), pour ses discussions fructueuses audebut decetra-vail.Jeremercieaussi,poursonaccueiletsonsoutien:MonsieurF. El Dabaghi, àlINRIA(InstitutNational deRechercheenInformatiqueetAutomatique)deParisenFrance.Enn, jetiensàremerciermafamillesurtoutmafemmequi apartageavecmoi lesmomentslesplusdouloureuxetmes amispourleursoutientoutaulong de ces annees de travail, ainsi que mes collègues dudepartement demathematiquesdelafacultedessciencesSemlalia-Marrakech,quimontpermisdemedetacher pour eectuer cetravail, mesremerciementssadressent aussiàmescollèguesdudepartementdemathematiquesetderechercheàlUPPA(UniversitedePauetdesPaysdelAdourenFrance).iii -NomPrenomdelauteur: AfMohammed1-Intituledutravail:SchemasVolumesFinispouruneClassedEquationsdeTypeConvection-DiusionIssuesdesMilieuxPoreux-Mots-Cles:Schemasvolumesnis,equationparaboliquenonlineaires,maillagedestructure,convection-diusiondegeneree,milieuxporeuxanisotrope.-NomPrenomdesdirecteursderecherche:MrAmazianeBrahim,ProfesseuràlUniversitedePau,France.MrEl AlaouiTalibiMohamed,ProfesseuràlUniversiteCadiAyyad.-Laboratoireso` ulestravauxonteterealises:DepartementdeMathematiquesRecherches,U.F.R.desSciences,UniversitedePauetdesPaysdelAdour,France.LaboratoiredAnalyseNumeriqueetOptimisation,FacultedesSciencesSemlalia-Marrakech,UniversiteCadiAyyad.-Datedecommencementdecetravail: Juin1995-Rapporteursautresquelesencadrants:MrGhilaniMustapha,ProfesseuràlUniversiteMyIsmal,Meknès.MrHakimAbdelilah,ProfesseuràlUniversiteCadiAyyad,Marrakech.MmeMghazliZoubida,ProfesseuràlUniversiteIbnToufal,Kenitra.-Cadresdecooperation,soutiennancier:ActionsIntegrees,ProjetEuropeenESIMEAU:INCO-DC/ESPRIT,DepartementdeMathematiquesRecherches,UniversitedePau(France),P.I.C.S.,INSAdeLyon(France).1Universite Cadi Ayyad, Faculte des Sciences Semlalia, BP 2390 Marrakech MarocDepartement de Mathematiques, Fax : +212 44 43 74 09, Laboratoire A.N. & O.E-mail : [email protected], URL : http://www.geocities.com/m af1/vPublications et Communications :M. Af andB. Amaziane, Onconvergenceof nitevolumeschemesforone-dimensional two-phase owinporous media, Preprint Univ. PauLabo. Math. Appli., N9706(1997), toappearin: Journal of Computa-tional andAppliedMathematics,vol. 145,(2002)31-48.M. Af andB. Amaziane, Convergenceof nitevolumesschemesforadegenerateconvection-diusionequationarisinginowinporousmedia,Preprint Univ. PauDepart. Math. Rech., (1999), enrevisiondans :ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering.M. AfandB. Amaziane, Analysisof FiniteVolumeSchemesforTwo-PhaseFlowinPorousMediaonUnstructuredGrids, in: F. Benkhaldounand R. Vilsmeier, eds, FiniteVolumesforComplexApplicationsII-Prob-lemsandPerspectives,(Hermès,Paris,1999)387-394.M. Af, Schemas Volumes Finis pour une EquationNonLineaire deDiusion-ConvectionDegeneree, in: M. Madaune-Tort et al., eds, Ac-tasdelas V I JournadasZaragozaPaudeMatematicaAplicada, (1999)29-36.M. Af and B. Amaziane, Numerical Simulation of Two-Phase FlowthroughHeterogeneous Porous Media, Submittedto: Numerical Algo-rithms(2001).M.Af, Numerical SimulationusingFiniteVolumeSchemesforaNon-linear Convection-DiutionProblem, in: International ConferenceonNumerical Algorithms,Marrakesh,Morocco(October2001).M. Af, Simulations Numeriques pour des Problèmes dEcoulements Dipha-siques enMilieux Poreux, in: International Congress ComputationalMethodsforPorousMedia,FesMorocco(May2001).M. Af, B. AmazianeandF. El Dabaghi, MixedHybridFiniteElementandFiniteVolumeFor FlowinPorous Media, in: TheFirst Iterna-tionalConferenceonSaltWaterItrusionandCoastalAquifers, EssaouiraMorocco,(April2001).viResumeDans ce travail, nous avons developpe des methodes numeriques performantespourdesmodèlesdecoulementsdiphasiquesincompressiblesetimmisciblesenmilieux poreux heterogènes et anisotropes, ayant des applications dans des problè-mesdelarecuperationsecondairedupetrole.Nous avons traite et analyse trois familles de schemas volumes nis (expliciteimpliciteetsemi-implicite). AprèsavoiretabliquelesschemassontLetBVstables, souslesconditionsCFLapproprieesetsatisfontleprincipedumaxi-mumdiscret,onobtientdesresultatsdeconvergence,verslasolutionfaibleduproblème, dans L1pour des maillages reguliers en 1-D et 2-D, et dans L2pour desmaillagesnonstructuresendimensionmultiple, ceci enintroduisantunetech-niquedemaillageadequatepermettant depreserver leprincipedumaximumdiscretsurdesmaillagesdestructures.Des resultats numeriques en 1-D conrment la stabilite des schemas numeri-ques proposes et lecacite du schema semi-implicite en temps de calcul (C.P.U.).Endimensiondeux,lesresultatsnumeriquesobtenusmontrentquelamethodedes volumes nis est bien adaptee à la discretisation de ce problème. Les solutionsapprochees calculees satisfont le principe du maximum discret et sont monotones.De plus les heterogeneites anisotropes du milieu poreux sont prises dune manièreecace. Enoutre,lesschemasvolumesnissemi-impliciteetimplicitedonnentunmeilleurtempsdecalculparrapportauschemaexplicite.AbstractIn This work, we have developed some ecient numerical methods for an in-compressible and immiscible two-phase ow in anisotropic heterogeneous porousmediainoil recoveryeld. Themodel under considerationis acoupledsys-tem which includes a nonlinear degenerate parabolic saturation equation and anellipticpressure-velocityequation.Wedevelopandanalyzethreefamiliesof nitevolumesschemes(explicit,implicitandsemi-implicit)forthesaturationequation. First,weestablishthattheseschemesareLandBV stable, underappropriateCFLconditions, andsatisfy the discrete maximum principle, then we prove convergence results. Moreprecisely, we get the convergence of the approximate solution in L1for a regularmeshin1-D&2-Dcases, andinL2forunstructuredgridsinthemultidimen-sionalcase. Anadequatemeshtechniquewasdevelopedinordertoobtainthediscretemaximumprincipleonunstructuredgrids.Numericalresultsin1-Dtestsconrmthestabilityoftheschemesproposedandshowtheeciencyofthesemi-implicitschemeinCPUtime. Amixed-nite element method is used for the approximation of the pressure velocity equa-tion. Numerical simulations for 2-D problems are presented for homogeneous andanisotropic heterogeneous problems. Numericalresults show the eectiveness ofthemethodologydevelopedinthiswork. Itsshownthatthesemi-implicitandimplicitschemesarerobust.viiviiiTabledesmatièresRemerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiAvantpropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vResumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiNomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7IntroductionGenerale 111 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques... 191.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2Equationsfondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1Equationdecontinuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2Equationsdeconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 LoideDarcygeneralisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 Loidecapillarite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Conditionsauxbordsetconditioninitiale . . . . . . . . . 241.3 Modelisationenpressionglobale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Saturationreduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.2 Pressionglobale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Formulationduproblème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Formulationreduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Formulationmixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.3 Casmono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.4 Decouplagedanslecasmulti-dimensionnel . . . . . . . . . 331.5 Existenceetunicitedesolutionfaible . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Casmono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312 TABLEDESMATIÈRES1.5.2 Casmulti-dimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I Schemasvolumesnispouruneequationdeconvection-diusiondegenereeenmilieuporeux 372 Convergence de quelques schemas de type V.F. dans le cas 1-D392.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Hypothèsessurlesdonneesduproblème . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Discretisationparvolumesnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.3 Schemaexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.4 Schemaimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.5 Schemasemi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 StabiliteLetestimationBV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Analyseduschemaexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.2 Analysedesschemasimpliciteetsemi-implicite . . . . . . 512.5 Resultatdeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Convergencedanslecas2-Dpourunmaillagerectangulaire 673.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Hypothèsessurlesdonnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3 Discretisationparvolumesnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.2 Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.3 Schemaexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.4 Schemaimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.5 Schemasemi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Resultatsdestabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.1 StabiliteL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TABLEDESMATIÈRES 33.4.2 EstimationBV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Resultatdeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954 Convergencepourdesmaillagesnon-structuresdansIRd974.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2 Hypothèsessurlesdonnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Discretisationparvolumesnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.3 Schemaexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.4 Schemaimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.5 Schemasemi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.6 Proprietesetremarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4 ResultatsdestabiliteL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4.1 Denitionetpropriete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2 Stabiliteduschemaexplicite. . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.3 Stabilitedesschemasimpliciteetsemi-implicite . . . . . . 1144.5 EstimationsBV faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5.1 Analyseduschemaexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5.2 Analyseduschemaimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.5.3 Analyseduschemasemi-implicite . . . . . . . . . . . . . . 1274.6 Resultatsdeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.7 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137II Simulationsnumeriquesdesecoulementsdiphasiquesenmilieuporeux 1395 Simulationsnumeriquesdanslecasmono-dimensionnel 1415.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Donneesduproblème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3 Simulationsnumeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434 TABLEDESMATIÈRES5.3.1 ProldelasaturationenfonctiondelaCFL. . . . . . . . 1445.3.2 Approximationautourdufrontraide . . . . . . . . . . . . 1445.3.3 ComparaisonsdutempsCPUetdelerreurl1. . . . . . . 1495.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506 Simulationsnumeriquesdanslecasbi-dimensionnel 1516.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2 Donneesduproblème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3 Maillagerectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4 Maillagenonstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.4.1 Test1: domainehomogèneetisotrope . . . . . . . . . . . 1566.4.2 Test2: chenalheterogèneetanisotrope . . . . . . . . . . . 1606.4.3 Test3: milieustratieetanisotrope. . . . . . . . . . . . . 1636.4.4 Test4: milieuheterogèneetanisotrope . . . . . . . . . . . 1666.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169ConclusionGenerale 173ARappelssurleselementsnismixteshybrides 175Bibliographie 181Listedestableaux 191Listedesgures 193Index 195Partie5Nomenclature : domainedeIRd(d = 1, 2 ou 3),gurantunmilieuporeux. = =1 2 3: frontièredudomaine.1, 2, 3: frontièresdinjection,impermeableetdeproduction.n : normaleunitaireàunefrontière,orienteeverslexterieur.x = x, (x, y) , (x, y, z) : variabledespacedans IRd.t, : variabletemporaireettempsnal,en(s).h : pasdumaillagedans,en(m). t : pasdediscretisationentempsdans[0, [,en(s). = (x) : porositedumilieuporeuxen(%).K= K (x) : tenseurdespermeabilitesabsoluesen(Darcy).i = w, o : uidemouillant(w =leau)etnonmouillant(o =lhuile).Si= Si (x, t) : saturationduuidei = w, o,en(%).pi= pi (x, t) : pressionduuidei,i = w, o,en(Pa).qi= qi (x, t) : vitessedeltrationduuidei,i = w, o,en(m.s1).u = u(x, t) : saturationreduitedelundesconstituants,en(%).q = q (x, t) : vitessedeltrationtotale,en(m.s1).P= P (x, t) : pressionglobaleen(Pa).78Lesconstantesi: massevolumiqueduuidei,i = w, o,en(g.m3).i: viscositeduuidei,i = w, o,en(Pa.s).PCM: pressioncapillairemaximaleenvaleurabsolue,en(Pa).Patm: pressionatmosphèrique,en(Pa).g: accelerationdelapesanteur,en(m.s2).C: constanteindependantedehet t.Lesfonctionsdelasaturationkri= kri (u) : permeabiliterelativeduuidei,i = w, o.ki= ki (u) : mobiliteduuidei,i = w, o.pc= pc (u) : pressioncapillairereduite,fonctionnonlineairedeu.a = a (u) : diusioncapillaire,fonctionnonlineairedeu.b = b (u) : fractionduux,fonctionnonlineairedeu.d = d (u) : mobilitetotale,fonctionnonlineairedeu.Lesoperateurs(f)+, (f): max (f, 0) , max (f, 0).f+, f: sup f (x) , inf f (x). [f[ : max (f, f),valeurabsoluedef. Ld: mesuredeLebesguedansIRd. [[ : mesuredeLebesguepour IRs,1 s d. : fermeturedelouvert IRs,1 s d.9 [[ : normeeuclidiennepour IRd. (p, q) :distanceeuclidienneentrelespointspetqdansIRd.: produitscalaireentredeuxvecteursdeIRd. : produitvectorielentredeuxvecteursdeIRd.det [M] : determinantdeMmatricecarred d.Mt: transposeedelamatriceM.Id: matriceidentitedansIRd.adj [M] : matricecarred d,telleque: adj [M]tM= det [M] .Id.LesespacesfonctionnelsLp() :=f; Ld-mesurablesur; telque

[f[pdx < ,1 p < .L () :=f; Ld-mesurablesur; telque [f[ < C< Ld-p.p.sur .Lploc () := f: IR; f Lp() pourtoutcompact .Wm,p() :=

w Lp() ; Dw Lp() ; pour [[ :=di=1i m

.Hm() := Wm,2(),espacedeSobolevdordrem. (m() :=

f: IRtelqueDfestcontinuesur , [[ :=di=1i m

. (m0() : espacedesfonctionsde (m()àsupportcompactdans. () : espacedesmesuresdeRadonsommablessur.BV() :=

f L1loc () telquefxi () pouri = 1, .., d

. B (I J) := L1(J; BV(I)) L1(I; BV(J)),pourIetJouvertdeIR.H (div; ) :=

q (L2())d; div (q) L2().W () := w H1() ; w = 0sur3.10W0 () := u L2() ; (u) W; (u) = 0sur1, pour (1([0, 1]).W (0, ) :=

u; (u) L2(0, ; W) ;ut L2(0, ; W

)

.V() :=v (1(0, ; (2()); v(., ) 0etv= 0sur1 3. {k: ensembledespolynomesdedegre k,surIRd.IntroductionGeneraleLetudedes ecoulementsmultiphasiquesenmilieuporeuxestdunegrandeimportance, dans lindustrie petrolière lors de lexploitation dun gisementde petrole ou de gaz, dans la gestion des ressources en eau et aussi pour beaucoupdeproblèmesdenvironnement. Lesmilieuxporeuxnaturelssontheterogènes,àplusieursechelles,cequirendletudeexperimentaledicileetco uteuse,do` ulinteret dutiliser des methodes de simulation numerique pour des modèles decou-lementdeuide. Cessimulationssontgeneralementbaseessurlamodelisationmathematique du gisement en exploitation par un système dequation aux deriveespartiellesnonlineaires. Danscecadre, nousnousproposonsdedevelopperdesmethodesnumeriquesperformantespourunmodèledecoulementsdiphasiquesincompressiblesenmilieuxporeuxheterogènes.Letudethèoriquedesecoulementsmultiphasiquesenmilieuxporeuxàetelargementetudiedanslaliterature(voirp.e. Chavent[CHJ86] etAntont-sev&al. [AKM90] etleurbibliographie). Danscetravail, onconsidèreunmodèle qui utilise la notion de pression globale introduit separement en 1976 parChavent[CHA76] eten1978parAntontsev&Monakhov[ANM78]. Unpremier theorème dexistence de solution, pour le système qui decrit lecoulementde deux phases uides incompressibles et immiscibles a ete etabli par Chavent &Jare [CHJ86], depuis, de nombreux travaux ont ete eectues dans ce domaine,voir: pourletudetheoriquedexistenceetunicitedelasolution,Gagneux&Madaune-Tort [GAM96] et sa bibliographie; pour les schemas numeriques duproblèmedeconvection-diusion, Morton[MOR96] etsabibliographie; pourlesschemasdetypevolumesnis,Eymard,Gallouet&Herbin[EGH00]etsabibliographie.1112Dans cetravail, nousetudions laconvergencedes schemas numeriques detypevolumesnispourdesproblèmesissusdelamodelisationdes ecoulementsdiphasiques en milieu poreux. Nous nous interessons à un modèle decoulementsdiphasiques incompressibles et immiscibles, qui correspond physiquement à linje-ctionde leaudans unreservoir de petrole. Nous considerons lecoulementdiphasiquedeleauetdupetroleenmilieuporeux, enutilisantlaformulationenpressionglobaledeChavent&Jare[CHJ86], lavitessetotaleetlasat-urationdeleausontlesinconnuesduproblème. Cetteformulationmèneàunsystèmecoupledequationsauxderiveespartiellescomposeduneequationdesaturation parabolique non lineaire degeneree et dune equation de pression ellip-tique[CHJ86, GAM96]. Cesequationsdecriventlecoulementdedeuxphasesliquides incompressibles et immiscibles dans un milieu poreux, pour lequel, dansunsoucidesimplicite,onnegligeleetdelapesanteur. Lesystèmeestalors:Equationensaturationreduite(Pd)

0 u(x, t) 1 dansQ(x)ut+ div (b(u)q) div (K(x)(u)) = 0 dansQu[1= 1;K(u)n[2= 0etu[3= 0 sur [0, [u(x, 0) = u0(x) dans(1)Equationenpressionglobale(Ed)

q= d(u)K(x)P;div (q) = 0 dansQqn[1= qd;qn[2= 0;P[3= P0sur [0, [(2)o` uu(x, t) est lasaturationreduitede leauet P lapressionglobale sont lesinconnues duproblème, q lavitesse de ltrationtotale, (x) laporosite dumilieuporeuxetK(x)letenseurdespermeabilitesabsoluesdureservoir. Lafrontière=, supposeeregulièreparmorceaux, estdiviseeentroisregions=1 2 3aveci j= pouri =j; o` u1estlapartiedubordo` uleauestinjectee, 2lapartieimpermeableet3lapartiedeproduction. OnnoteQ:=[0, [ o` u[0, [ lintervalledetempsdetude. (u), b(u)etd(u)sontdesfonctionsnonlineairesqui dependentdesmobilitesetdelapressioncapillaire. Lecoecientdediusiona:=

sannulepourdeuxvaleursdela13saturation, a(0)=a(1)=0(degenerescencedutermedediusion). Pourplusdedetailssurlemodèleonpeutconsulterlesreferences[CHJ86, GAM96].Lasimulationdes ecoulements dans des reservoirs de petrole et des eauxsouterrainesa etelargement etudieeparplusieursmethodesnumeriques.Onpeutciterpourlesmethodesdesdierencesnis,Young [YOU84]quipresente des simulations numeriques 1-D et 2-D, en utilisant dierents schemas detype dierences nies. DansDouglas&al. [DWK84],ontrouve des resultatsnumeriquesen1-D, pourdesschemasdetypedierencesniescombinesavecdesschemaselementsnis, pourdespasadaptatifs, o` uuntermedediusionarticielleestajoutepourassurerlamonotoniedelasolutionnumerique. Unresultat destimation à posteriori derreur,pour un schema dierences nies im-plicite, pouruneequationdediusionnonlineaire, estpresenteeparDawson&al. [DWW98]. Plus recemment, ontrouvedans les travauxdeKarlsen&al. [EVK99, EVK00, KAR01], uneetudedelaconvergencedeschemasmonotones, verslasolutionentropiqueduproblème, enutilisantlessolutionsmesures.Pour les methodes des elements nis, Chavent&Jare[CHJ86], presentedesmethodesdelementsnismixtesaveclamodelisationetletudetheoriquepourlesproblèmesenmilieuxporeux. Enoutre, unediscretisationutilisantlamethodedeselementsnismixtehybridetvolumesnispourlesecoulementsdiphasiques en milieu poreux est presentee par Chavent&al. [CJR95]. DansArbogast&al. [AWZ96], unemethodedeselementsnismixteestutiliseepouravoirunresultatdestimationderreur. DansChen&Ewing[CHE97],ontrouveuneanalysedunemethodedelementsniscoupleeàunemethodedelements nis mixte, pour un problème en hydrogeologie. Des resultats numeri-ques, pourunenouvellemethodedescaracteristiquescombineeàunemethodedelementsnismixtehybride, sontpresentespar Douglas &al. [DFP97].Une analyse àposteriori de lerreur, pour une methode des caracteristiques-elementsnis,estpresenteeparGhabbouhy&Mghazli[GAB00, GAM00],ainsiquunetechniqueauto-adaptativederanementdumaillage.Les methodes volumes nis, qui sont relativement plus recentes, sont en14general utiliseesdanslesloisdeconservationpourlapproximationdesuxdeconvections. Elles permetent davoir une conservation locale des ux element parelement avec une stabilite numerique et une diusion numerique minimale. Pourlanalysedecesmethodesonserefèreà[EGH00, FRO98, KRO97, MIC96,MOR98] et leurs bibliographies. Ces methodes ont ete developpees et analyseespour les ecoulements diphasiques immiscibles en milieu poreux dans le cas o` u leterme de diusion est neglige. Dans ce cas, le problème devient purement hyper-bolique. OntrouvedansGallouet&Vila[GAV91]unschemavolumesnis,sur un maillage uniforme en 1-D et 2-D, utilise pour le couplage dune equation el-liptique et dune equation hyperbolique. Champier&al. [CGH93] ont etudielaconvergencedunschemadetypevolumesnissurunmaillagetriangulaire,pour une equation hyperbolique. Dans Verdière&Vignal [VEV98, VIG96],un schema volumes nis, sur un maillage dual centre sur les aretes, est utilise pourlecouplageduneequationelliptiqueetuneequationhyperbolique. Eymard&al. [EGH98] presententuneestimationderreurpourunelargevarietedeschemas volumes nis explicite,une extention au schema implicite est presenteeparGhilani[GHI98]. Unautreresultatdeconvergencedesschemasvolumesnis, pouruneequationdediusionnonlineaire, estpresenteparEymard&al. [EGN98].Danslecasstationnaireo` uletermedediusionestlineaire,ontrouvedansLazarov&al. [LMV94, LMV96], unschemavolumes nis, sur unmail-lagerectangulaireen2-Davecranementlocal,avecdesresultatsdestimationderreur et unresultat deregularitedelasolution. Herbin[HER95] donnedes resultats destimationderreur, pour unschemavolumes nis à4-points,sur un maillage triangulaire, des resultats numeriques pour le couplage avec uneequation hyperbolique sont presentes par Herbin&Labergerie[HEL97], unegeneralisation pour un maillage de quadrangles,est analyse dansCourdière&al. [CVV99]. DansEymard&al. [EGH95], estetudielaconvergencedesschemas volumes nis en utilisant des resultats de compacite, une generalisationpourdesconditionsaubordgeneralesetunediusionanisotrope, estetudieeparGallouet&al. [GHV00].Ouencorerecemment, lecaso` ulecoecientdediusionestisotrope, voir15Ohlberger[OHL97, OHL01], qui presentedesresultatsdestimationàpos-terioriderreur,pourunschemavolumesnisadaptatifcentresurlessommetsdunetriangulation.Danslestraveauxcitesprecedemmentsletermedediusionestsoitnegligeo` ubienil est traite par des techniques delements nis mixtes qui ne don-nent pasentièresatisfaction. Bienquelequationdesaturationest àconvec-tiondominante; letermedediusionestpetit, maisimportantetnepeutetreneglige, voirBear&Bachmat[BEB91] etMarl [MAR81], ainsi dessoinsspeciauxdevraient etre pris dans la discretisation. Enoutre, les structuresgeologiquesirregulieres,suggèrentlutilisationdemaillagesnonstructures,voirHontans[HON00]. Lesdicultesprincipaleslieesàlaconvergencedelasolu-tionapprocheedetelssystèmessontlecouplageentrelequationdepressionetlequation de saturation, en plus de la degenerescence de lequation de saturationet lheterogeneite anisotrope du reservoir. En raison de ces dicultes, notre butest de construire des schemas volumes nis (SVF) pour lequation de saturationqui satisfont le principe du maximum discret et permettent detablir des resultatsdeconvergence. Nousconsideronsuneapproximationnumeriquedecesystèmeo` u les equations de saturation et de pression se decouplent numeriquement. Nousnous concentrons sur letude de laconvergence du(SVF) pour lequationdesaturationentenant compte de lanonlinearite duterme de diusionet delheterogeneite anisotrope dureservoir. Une methode delements nis mixteduale hybride est employee pour obtenir une approximation precise de la vitessetotale,voirBrezzi&Fortin[BRF91]etBendali&al. [BRT96].Letravailquenouspresentonsestorganise,enunepartiepreliminaire,deuxpartiesprincipalesetunepartieannexe.Dans le chapitre 1, qui est une partie preliminaire, on rappelle les equationsdumodèle mathematique utilise, dabordonrappelle les lois fondamentalesregissant les ecoulements diphasiques en milieux poreux, ensuite nous presentonsle problème sous la formulation en pression globale [CHJ86, AKM90] et on ter-mineparunrappeldequelquesresultatsdexistenceetdunicitedelasolution16faibleduproblèmeselonlestravaux[CHJ86, GAM96, HID93].La premièrepartie est constituee des chapitres 2, 3 et 4;elle est consacreeà letude de la convergence des schemas numeriques de type volumes nis. Danslechapitre2, onpresentedesschemasdetypevolumesnispourlequationnonlineairemono-dimensionnelledeconvection-diusiondegeneree(1). Nousanalysons trois types de schemas, conservatifs et consistants au sens des volumesnis, lun totalement explicite, le deuxième totalement implicite, puis un nouveauschemasemi-impliciteo` ulonchoisituneapproximationexplicitepourletermedeconvectionetimplicitepourletermedediusion. Pourcestroismethodesle terme de convection est approche par un schema de Godunov decentre amontetletermedediusionparuneapproximationcentreedordre1. OnmontrequecesschemassontLetBV stables, sousdesconditionsCFLapproprieeset satisfont le principe dumaximumdiscret, après avoir etabli lexistence etlunicitedesolutionpourlessystèmesnonlineairesresultantsdesschemasim-pliciteetsemi-implicite. OnmontreensuitelaL1-continuiteentempsdessolu-tions approchees, et par compacite on a la convergence dans L1(Q) des solutionsnumeriques vers lunique solution faible du problème. Dans le chapitre3, nousetendonslesresultatsduchapitre2àunmaillagerectangulairedansIR2, pourlequationnonlineairebi-dimensionnelledeconvection-diusiondegeneree(1),nous sommes amenes àfaire des hypothèses supplementaires sur les donneespouravoiruneconvergencefortedansL1(Q). Nousavonstraiteetanalyselesschemasdetypevolumesnisexplicite,impliciteetsemi-implicite. Nousmon-trons la convergence,après avoir etabli que ces schemas sontLet BVstables,sous les conditions CFL appropriees et satisfont le principe du maximum discret.LamethodologieetlanalysedeveloppeespeuventetreetenduesauxproblèmesdansIR3, pourunmaillageformedeparallelepipèdes. Lechapitre4traiteleproblème multi-dimensionnel(IR2ouIR3) pourdes maillagesnonstructures,onchoisit uneapproximationdetypevolumes nis, sur unmaillagedual centresurlesnudsdunetriangulation,pourlaquellenousintroduisonsunenouvelletechniquedemaillage,permettantdepreserverleprincipedumaximumdiscretpour des heterogeneites anisotropes du reservoir. Comme precedement, on anal-17yse trois schemas de type volumes nis explicite, implicite et semi-implicite, o` u leterme de convection est approche par un schema de Godunov decentre amont etletermedediusionparuneapproximationdordre1,dontlapproximationdugradient est de type {1sur chaque triangle et qui conduit à des schemas de typevolumesnisà(d + 1)pointsnonsymetriquedanslecasduschemaimplicite.On obtient ainsi des resultats de stabilite L et une estimation BVfaible, et parsuite un resultat de convergence dans L2(Q) de la solution approchee vers la so-lution faible du problème. Ces resultats sont obtenus sous les memes hypothèsesquecellesquigarantissentlexistenceetlunicitedelasolution.Dansladeuxièmepartie,constitueedeschapitres5et6,nouspresentonslessimulationsnumeriquesdecoulementsdiphasiquesenmilieuxporeux, cor-respondantauxschemasnumeriquesintroduitsdanslapremièrepartie. Danslechapitre5,aprèsavoirintroduitlesdonneesphysiquesduproblèmemono-dimensionnel (1), ondonnedessimulationsnumeriquespourlestroisschemastraites auchapitre2, unecomparaisonentreces schemas et dunschemaex-pliciteo` uletermedediusionestapprocheparunemethodedelementsnismixte[CHJ86, CHS82, DAW93],montrelecaciteduschemasemi-implicitepar rapport auxautres. Dans unpremier temps, ondonne des simulationspourillustrerlastabilitedesschemasparrapportàlaconditionCFL.Dansundeuxième temps, on donne une comparaison entre les dierents schemas au voisi-nagedufrontdelasaturation,puisontermineparuntableaudecomparaisonentrelerreurrelativeL1etuntableaudestemps(CPU).Danslechapitre6, onpresentedessimulationsnumeriquespourlesschemastraites auchapitre3pour des maillages rectangulaires et auchapitre4pourdesmaillagesnonstructuresen2-D. Laresolutiondessystèmesnonlineairesresultants des schemas implicite et semi-implicite, se fait par unprocede deprediction-correction, plus une methode du Double Gradient Conjugue precondi-tionne dans le cas de système non symetrique. Dans un premier temps, on com-parelesschemasnumeriquespourlecasdunreservoirhomogèneisotrope, enmettant en evidence lecacite des schemas implicite et semi-implicite en tempsdecalcul(CPU)parrapportauschemaexplicite. Dansundeuxièmetemps,on18donne des simulations numeriques obtenues dans le cas de reservoirs heterogèneset anisotropes. Lequationelliptique (2) est traitee numeriquement par unemethode delements nis mixte duale hybride qui sera detaillee dans lannexe A.Le code numerique realise prend en compte les heterogeneites anisotropiques dumillieuet lecouplagenumeriqueentrelamethodedelements nis mixtehy-bridepourlequationelliptiqueenpressionetlesmethodesvolumesnispourlequationparaboliqueensaturation.Cetravailsetermineparuneconclusiongeneraleetdesperspectives.Chapitre1Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiquesenmilieuporeux1.1 IntroductionCe chapitre a pour but de presenter les equations dun modèledecoulement diphasique eau-huile en milieu poreux, tout en considerantla pression capillaire entre les deux uides. Nous nous interessons aux equationsregissant lecoulement dunuide compose de deuxconstituants immiscibleset incompressibles, lexempletypeest lebalayagedelhuilepar leaulors delexploitationsecondairedesgisementspetrolièrs.Lamiseenequationsdesecoulementsdiphasiquesenmilieuporeuxdependdeladescriptiondecesecoulements: àlechellemicroscopiqueouàlechellemacroscopique. Etant donne les dimensions du milieu poreuxetudie, nousnous limitons ici à sa description macroscopique, dont les paramètres physiques,sobtiennent par une theorie dhomogeneisation, basee sur une analyse au niveaumicroscopique,voirHornung[HOR97]etsabibliographie.Dans un premier paragraphe, on presentera les lois generales de lecoulementdiphasique de uides immiscibles et incompressibles en milieu poreux, après avoirintroduitlesdierentsparamètresetvariablescontenusdansceslois. Lesdeux1920 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...autresparagraphesconsistentàreformulerlesequationsgeneralesobtenues,envuederesoudreleproblèmedecoulementavecuneseulepressionditepressionglobale et une seule saturation, comme inconnues principales, daprès les travaux[AKM90, CHA76, CHJ86]. Dans le dernier paragraphe, on presente un resultatdexistenceetdunicitedesolutionfaible,voir[CHJ86, GAM96, HID93].1.2EquationsfondamentalesLe milieuporeuxest representepar unouvert bornede IRd(d = 2, 3),gurantlereservoirdegisement(voirFigure1.1), defrontièreregulièreparmorceaux, formeedetroisparties, telleque=1 2 3, avec [i[>0eti j= pouri =j; o` u1estlapartiedubordo` uleauestinjectee, 2lapartieimpermeableet3lapartiedeproduction,etsoit[0, [lintervalledutempsdetude,onnoteQ:= [0, [.InjectionProductionFig.1.1: ReservoirAvant dintroduireles lois physiques modelisant les ecoulements diphasiquesenmilieuporeux,onferaleshypothèsesuivantes:1. Lemillieuporeuxestsatureparlesdeuxuidesen ecoulementarticiel.2. LaloideDarcysappliqueseparementpourchaqueuide.1.2Equationsfondamentales 213. La pression capillaire et les permeabilites relatives sont des fonctions unique-ment de la saturation, ce qui est le cas o` u le reservoir est constitue dunseultypederoche.4. Les deformations volumiques de laquifère et des particules sont negligeables,c.à.d. la porosite et les permeabilites absolues ne dependent que de la vari-abledespacex.5. Onnesinteressequàlecoulementavantletempsdeperceec.à.d. lepremier instant o` u le uide mouillant parvient à la frontière de production,voirGagneux[GAN84].Pour plus de details voir [AKM90, CHJ86, GAM96, MAR81] et leursbibliographies.Avecceshypothèses, lesequationsmodelisantlesecoulementsdiphasiquesdeuidesimmisciblesetincompressiblesdansunmilieuporeuxsecrivent:1.2.1EquationdecontinuiteCette equationexprimequelesporesdumilieuporeuxsontentièrementoc-cupesparlesdeuxuides,ondiraquonestenregimesature:Sw + So= 1 dans Q(1.1)o` u Siest la saturation du uide i (c.à.d. le rapport du volume de pores occupeparceuideauvolumedeporestotal).Onnoteraaussiquelessaturationsverientenplus:Sw Sw,met So So,m(1.2)o` uSi,mest lasaturationresiduelleduuide i (c.à.d. lasaturationpourlaquelle la phase deplacee sarrete de secouler). On note Sw,M:= 1 So,m, alorsde(1.1)ona:Sw,m Sw Sw,Mdans Q(1.3)avecSw,m< Sw,M,(soit: Sw,m + So,m< 1).22 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...1.2.2EquationsdeconservationIcionexprimelaconservationdelamassepourchaqueuidei = w, o(x) Sit+ div (qi) = 0 dans Q(1.4)enlabsencedetermessourcesetensupposantlessectionsdecoulementuni-formes, o` u qiest la vitessedeltration de la phase i, la porosite du milieu(c.à.d. levolumedesvidesdunmilieuporeuxsursonvolumetotale),lemilieuestsupposeincompressible(c.à.d. laporositenedependquedelavariabledespacex).1.2.3 LoideDarcygeneraliseeLaloideDarcygeneraliseeaux ecoulementspolyphasiquessexprimepar:pourchaqueuidei = w, oqi= kiK (x) (piig) dans Q(1.5)o` uK (x)estletenseurdespermeabilitesabsoluesdureservoir, piestlapressiondelaphasei,kilamobilitedelamemephasei,traduisantleseetsdobstacle à lecoulement dun uide par rapport à lautre, i la masse volumiqueduuidei,et glaccelerationdelapesanteur. Lamobilitesedecomposesouslaformesuivante:ki=kr,ii(1.6)o` u les permeabilitesrelatives kr,i, representent linuence de la presence dunuide sur lecoulement de lautre, kr,iest une fonction croissante de la saturationSiàvaleurscomprisesentre0et1,voirFigure1.2.1.2Equationsfondamentales 230.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0kkrwroS Sw,mw,MFig.1.2: Permeabilitesrelativeskr,ienfonctiondelasaturationSw1.2.4 LoidecapillariteEntredeuxuides nonmiscibles, il existeuneinterfacequi engendreunedierence de pression entre eux, cette dierence de pression est appelee pressioncapillaire,quiestunefonctiondelasaturation,parlarelation:PC:= pw po= pc (Sw) PCMdans Q(1.7)o` uPCM:=sup [PC[ pressioncapillairemaximale, etpc=PCPCMpressioncapillairereduitesansdimension,fonctiondelasaturation,tellequePCM> 0et1 pc (Sw) 0avecpc (Sw,M) = 0,voirFigure1.3.24 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.0-1.5-1.0-0.50.0PCS Sw,m w,MFig.1.3: PressioncapillairePCenfonctiondelasaturationSwIl existedanslalitteratureplusieursmodèlespourlesloisdepermeabilitesrelativeset delapressioncapillaire. Par exempledesmodèlesparametriquespour ces dierentes lois peuvent etre calibrees à partir dun minimum de donneesexperimentales. Lesfonctionsresultantesontdesexpressionssimplesetfacilesàemployerpourlesmodèlesnumeriques,voirMarle[MAR72].1.2.5 ConditionsauxbordsetconditioninitialeSurlafrontièreonconsidèrelesconditionsauxlimitessuivantes:Conditionssur1(injection)Auxpuitsdinjection, onsupposequeleuidemouillant(w: leau), estinjecteavecunesaturationmaximaleSw,Màdebitconstantqd,soit:Sw= Sw,Met qwn = qdsur 1(1.8)o` u nestlanormaleunitaireà.1.3Modelisationenpressionglobale 25Conditionssur2(impermeable)Auxfrontièresimpermeables, onsupposequelesecoulementslaterauxsontnuls,soit:qw.n = 0 et qo n = 0 sur 2(1.9)Conditionssur3(production)Auxpuits de production, onsuppose que le uide nonmouillant (o :lhuile),est produit avec une saturationmaximale 1 Sw,m(avant letempsdepercee) et à pression constante (en general la pressionatmospherique Patm),soit:Sw= Sw,m, qo n > 0 et po= Patmsur 3(1.10)Pourdautreschoixdeconditionsauxbords,voir[CHJ86, GAM96].ConditioninitialeOn suppose que saturation S0w en eau du reservoir à linstant t = 0 est connue :Sw= S0wdans à t = 0 (1.11)DeplusS0wdoitverierladoubleinigalite(1.3),soit:Sw,m S0w Sw,Mdans (1.12)1.3 ModelisationenpressionglobaleDans cette section, an de simplier les calculs, on negligera leet de gravitedans(1.5),cequidonneles equationssuivantes:26 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...

(x)Swt+ div (qw) = 0 dans Q(i)(x)Sot+ div (qo) = 0 dans Q(ii)qw= kwK (x) pwdans Q(iii)qo= koK (x) podans Q(iv)Sw + So= 1 dans Q(v)pw po= pc (Sw) PCMdans Q(vi)(1.13)Cesystèmedesixequationsàsixinconnues(Sw, So, pw, po, qw, qo),sepretemalàune etudemathematique,dufaitquedanslaregiono` uSw= Sw,m,lequation(1.13)-(i) disparat. Cest lunedes raisons pour laquelleChavent[CHA76,CHJ86] etAntontsevetal.[AKM90, ANM78] ontintroduitunegrandeurctive,appeleepressionglobale,quenousallonspresenterparlasuite.1.3.1 SaturationreduiteOndenitdabordlasaturationreduiteudelundesdeuxuides, parexemplepourleuidemouillantw,par:u :=Sw Sw,m1 Sw,mSo,m(1.14)sachantqueSw,m 0 et P= P0sur 3(1.31)o` uP0estdonneeparP0:= Patm + (0) 12PCMConditioninitialeDe(1.11),ona:u (x, 0) = u0(x) dans (1.32)32 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...o` uu0estdonneeparu0:=S0w Sw,m1 Sw,mSo,m1.4.2 FormulationmixteUneformulationmixteduproblèmeestdonneepar:EquationenSaturationreduite(Pd)

0 u(x, t) 1 dansQ(x)ut+ div (b(u)q) div (K(x)(u)) = 0 dansQu[1= 1;K(u)n[2= 0etu[3= 0 sur [0, [u(x, 0) = u0(x) dans(1.33)EquationenPressionglobale(Ed)

q= d(u)K(x)P;div (q) = 0 dansQqn[1= qd;qn[2= 0;P[3= P0sur [0, [(1.34)Remarque1.1Connaissant u et P,on peut determiner les vraies pressions pwetpodesdeuxuides,parlesformules

pw= P (u) +12pc (u) PCMpo= P (u) 12pc (u) PCM(1.35)De meme, connaissant u et q, on peut determiner qwet qopar les relations (1.26)et(1.16).1.4.3 Casmono-dimensionnelDans le cas mono-dimensionnel,les equations de saturation et de pression sedecouplent,dufaitquediv (q) = 0avecq (0, t) = qdcequiimpliquequeq= qd,quonadimensionneàqd:=1, etparsuitepourI :==]0, 1[, lasaturationreduite u est solution de lequation parabolique non lineaire degeneree suivante :1.5Existenceetunicitedesolutionfaible 33(P1)

0 u(x, t) 1 dansQ(x)ut+ (b(u))x(K(x)(u))x= 0 dansQu(0, t) = 1etu(1, t) = 0 sur [0, [u(x, 0) = u0(x) dansI(1.36)etlapressionglobalePestdonneepar:P (x, t) = P0

x11d(u(s, t))K(s)ds (1.37)1.4.4 Decouplagedanslecasmulti-dimensionnelDanslecasmulti-dimensionnel, ledecouplageestpossiblesi q=q (x), parexempledanslecassuivant,voirHidani[HID93]:kw (u) =uset ko (u) =1 uslapressionglobaleP,nedependplusdet,etP= P (x)estsolutionde:(Ed)

q= 1K(x)P;div (q) = 0 dansqn[1= qd;qn[2= 0;P[3= P0(1.38)etlasaturationreduiteu,solutionde:(Pd)

0 u(x, t) 1 dansQ(x)ut+ div (b(u)q) div (K(x)(u)) = 0 dansQu[1= 1;K(u)n[2= 0etu[3= 0 sur [0, [u(x, 0) = u0(x) dans(1.39)1.5 Existenceetunicitedesolutionfaible1.5.1 Casmono-dimensionnelDanslecasmono-dimensionnel,pourI:= ]0, 1[,onsupposequelesdonneesdu problème verient les hypothèses suivantes, qui assurent lexistence et lunicitedelasolutionfaible:34 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...(H1-1) L (I)telleque0 < (x) + 1,p.p. dansI.(H1-2) K L (I)telleque0 < K K (x) K+< ,p.p. dansI.(H1-3) (1([0, 1]) tel que pour a =

, a(0) =a(1) =0et a(s) >0s ]0, 1[.(H1-4) b (1([0, 1])estunefonctionmonotonetellequeb

(s) > 0 s ]0, 1[.(H1-5) u0 L (I)telque0 u0(x) 1p.p. dansI.(H1-6) 1est une fonction continue holderienne dexposant ]0, 1[ et b1unefonctioncontinueholderiennedexposant1+2.etonnoteraulasolutionfaibleduproblème(P1)deniepar:(P1)

u : ]0, [ W0; 0 u(x, t) 1p.p.dansQ(i)ut L2(0, ; W

)et(u) L2(0, ; W) (ii) Q[uvt + (b(u) K(u)x) vx] dtdx+

I u0v (x, 0) dx = 0 v V (iii)(1.40)o` ulesespacesfonctionnelsW, W0etV sontdenispar:W:= w H1(I) ; w(1) = 0W0:= u L2(I) ; (u) W; [(u)] (0) = (1)V:=v (1(0, ; (10(I)); v(., ) 0alorsonaleresultatsuivant:Proposition1.2Sous les hypothèses (H1-1)-(H1-5) le problèmes (P1) admetaumoinsunesolutionfaible. Si depluslhypothèse(H1-6)est veriee, (P1)admetunesolutionunique.[CHJ86, GAM96, JIN90].1.5Existenceetunicitedesolutionfaible 351.5.2 Casmulti-dimensionnelDans le cas multi-dimensionnel, notre etude portera sur lanalyse de schemasnumeriquespourlequationensaturation(1.33),ensupposantquelavitessedeltration totale qest donnee ou calculee numeriquement tout en veriant (1.34).On considère alors les hypothèses suivantes sur les donnees du problème, quiassurentlexistenceetlunicitedesolutionfaible:(H2-0) estunouvertbornedeIRd,defrontièrelipschitzienne = .(H2-1) L ()telleque0 < (x) + 1,p.p. dans.(H2-2) Kest un tenseur symetrique deni positif, uniformement borne dans (c.à.d. = 0,0 < K[[2 tK (x) K+[[2< p.p. dans).(H2-3) (1([0, 1]) tel que pour a =

, a(0) =a(1) =0et a(s) >0s ]0, 1[.(H2-4) b (1([0, 1])estunefonctionmonotonetellequeb

(s) > 0 s ]0, 1[.(H2-5) u0 L ()telque0 u0(x) 1p.p. dans.(H2-6) qL2(0, ; H (div, )), telle que div (q) =0, qn[1= qd 0.(H2-7) q (L (Q))d.(H2-8) 1est une fonction continue holderienne dexposant ]0, 1[ et b1unefonctioncontinueholderiennedexposant1+2.Unesolutionfaibleupourleproblème(Pd)estdeniepar:(Pd)

u : ]0, [ W0; 0 u(x, t) 1p.p.dansQ(i)ut L2(0, ; W

)et(u) L2(0, ; W) (ii) Q(uvt + [b(u)q K(u)]v) dtdx+

u0v (x, 0) dx = 0 v V (iii)(1.41)36 Modelisationmathematiquedesecoulementsdiphasiques...o` ulesespacesfonctionnelsW,W0etV sontdenispar:W:= w H1() ; w = 0sur3W0:= u L2() ; (u) W; (u) = (1) sur1V:=v C1(0, ; C2()); v(., ) 0etv= 0sur1 3alorsonaleresultatsuivant:Proposition1.3Sousleshypothèses(H2-0)-(H2-6)leproblème(Pd)admetaumoinsunesolutionfaible. Si deplusleshypothèses(H2-7)-(H2-8)sontveriees,alors(Pd)admetunesolutionunique.[CHJ86, GAM96, BOH95].1.6 ConclusionDans ce chapitre nous avons presente une formulationmathematique duproblème decoulement diphasique de uides enmilieuporeux, o` ules incon-nues sont reduites à la saturation de lun des constituants et une pression ctive,le problème ainsi formule est gouverne par une equation parabolique non lineairedegeneree couplee à une famille dequations elliptiques parametree par le temps.Desresultatsdexistenceetdunicitesontpresentespourlequationensatu-ration(1.33)danslecasdudecouplage. Bienqueceproblèmeestplussimpleque le modèle general, il decrit certaines situations physiques, par exemple le casmono-dimensionnel (1.36) qui sera etudie au chapitre 2, et le cas o` u les equationsdesaturationetdepressionsedecouplent(1.39),quisera etudieauchapitre3.PartieISchemasvolumesnispouruneequationdeconvection-diusiondegenereeenmilieuporeux37Chapitre2Convergencedequelquesschemasdetypevolumesnisdanslecasmono-dimensionnel2.1 IntroductionDanscechapitre,ondeveloppedesschemasdetypevolumesnispourleproblèmemono-dimensionnelnonlineairedeconvection-diusiondege-nere,vueauchapitre1:(P1)

0 u(x, t) 1 dansQ(x)ut + b(u)x(K(x)(u)x)x= 0 dansQu(0, t) = 1;u(1, t) = 0 sur [0, [u(x, 0) = u0(x) dansI(2.1)o` uonnotepar utladeriveeentemps delasaturationuet uxladerivationenespace, Q:=I[0, [ o` uI :=]0, 1[, (1([0, 1]), tellequea:=

,a(0) = a(1) = 0eta(s) > 0 s ]0, 1[,b (1([0, 1])estunefonctioncroissante(voirFigures1.5-1.4),etK L (I).Ceproblèmemodeliselecoulementdiphasiquedeuidesimmisciblesetin-compressibles, enmilieuporeux. Parexempleledrainagedelhuileparinjec-tiondeleauàdebit constant, dans unecarotte poreuse(voir Figure2.1).3940 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DPourlanalysemathematiquedeceproblèmeonserefèreà[ALL83, AKM90,ARB92, CHJ86, GAM96].InjectionProductionFig.2.1: Ecoulementmono-dimonsionneldansunecarotteporeuseDanslasuite, nousallonspresenterdesschemasdetypevolumesnis, quiprennentencomptelesdiscontinuitesd uesaucaractèrepurementhyperboliqueduproblèmeauvoisinagedeladegenerescencedutermedediusion.Cechapitreestorganisecommesuit : danslasection2.2, onrappelleleshypothèses sur les donnees du problème (P1) qui assurent lexistence et lunicitedelasolutionfaible. Danslasection2.3, nouspresentonsladiscretisationpartrois familles deschemas numeriques detypevolumes nis pour leproblème(P1). Pourtenircompte, dunemanièreecace, desdiscontinuites, lasolutionestapprocheepardesconstantesparmaille. Danslasection2.4, onetablitlastabiliteLet des estimations BV sous les conditions CFLappropriees. Laconvergencedecesschemasestdonneedanslasection2.5. Lesresultatsdecechapitreontfaitlobjetdelapublication[AFA97], etpeuventetrevucommeuneextentiondesresultatsdeEvje&Karlsen[EVK99, EVK00] pourdesschemasdierencesniesmonotonesexpliciteetimplicite.2.2 HypothèsessurlesdonneesduproblèmeDanslasuite,noussupposonsquelesdonneesverientleshypothèsessuiv-antes,quigarantissentlexistenceetlunicitedunesolutionfaibleduproblème,2.3Discretisationparvolumesnis 41voirchapitre1proposition1.2:(H1) L (I)telleque0 < (x) + 1,p.p. dansI.(H2) K L (I)telleque0 < K K (x) K+< ,p.p. dansI.(H3) (1([0, 1]) tel que pour a :=

, a(0) = a(1) = 0 et a(s) > 0 s ]0, 1[.(H4) b (1([0, 1])estunefonctionmonotonetellequeb

(s) > 0 s ]0, 1[.(H5) u0 L (I)telque0 u0(x) 1p.p. dansI.(H6) 1estunefonctioncontinueholderiennedexposant ]0, 1[etb 1unefonctioncontinueholderiennedexposant1+2.Plus des hypothèses supplementaires pour la convergence des schemas numeriques.(H7) u0 BV(I).(H8) K(u0)x L (I) BV(I).Cesdernièreshypothèsessontengeneralverieesparlesdonneesphysiquesduproblème, meme pour des permeabilites Kdiscontinues. Dans Evje &Karlsen[EVK99, EVK00], o` uK 1etI=IR, onsupposeu0L1(IR) BV(IR)et[b (u0) (u0)x] BV(IR).2.3 Discretisationparvolumesnis2.3.1 NotationsPour une discretisation en volumes nis, on introduit les notations et denitionssuivantes:(tn)n=0,...,Nunepartitionde[0, ]pardespasdetempstn:= tn+1 tn,onposet := maxntn.(xi)i=1,...,Nxune partitionde I avec xi+1=xi+xi, onpose x :=maxixi.42 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DOnnote: xi+12lecentredeIi+12:= [xi, xi+1],x12:= 0,xNx+12:= 1.Ii:=

xi12, xi+12

, i = 1, ..., Nx, le volumedecontrole (voir Figure 2.2).hi:= [Ii[ = xi+12xi12,etonposeh := mini(hi).Pour L (I),onposei:=1hi

Ii(x) dx.PourdesraisonsdesimpliciteonsupposequelafonctionKestconstanteparmorceaux,etonposeKi+12:= K[Ii+12.Pour une condition initiale u0 L (I), on pose u0i:=1hi

Iiu0(x) dx, aveclesconditionsauxbordsun12= 1etunNx+12= 0.Soituni[resp. uni+12] uneapproximationdeuaupoint(xi, tn)supposeeconstantesurlevolumedecontr oleIi[resp. aupoint(xi+12, tn)].Cesapproximationsserontdeniesparlesschemasnumeriquesqui suivent.Onaurabesoinaussidelhypothèsesurlaregularitedumaillage:(H9) ]0, 1],telquex h,o` uestunconstanteindependantedeh.Fig.2.2: Volumedecontr oleIi2.3Discretisationparvolumesnis 432.3.2 DenitionsEnintegrant(2.1)surIi[tn, tn+1]onobtientleschemasuivant:Pouri = 1, ..., Nxi

un+1iuni

hi +

tn+1tn

b(u)i+12b(u)i12

dt (2.2)= Ki+12

tn+1tn

(u)x

i+12dt Ki12

tn+1tn

(u)x

i12dtCeschemapeutsecriresouslaformesuivante:un+1i= uni+tnihi

Fi+12+ F+i12

tnihi

Gi+12+ G+i12

(2.3)o` uFi+12etGi+12sontrespectivementleuxdeconvectionetleuxdedif-fusion,àdroiteetàgauchedupointxi+12= Ii+1 Ii,denispar:F+i+12:=1tn

tn+1tnb(u)i+12dtFi+12:= 1tn

tn+1tnb(u)i+12dt(2.4)etG+i+12:=Ki+12tn

tn+1tn

(u)x

i+12dtGi+12:= Ki+12tn

tn+1tn

(u)x

i+12dt(2.5)soient Fi+12(ui+1, ui) et Gi+12(ui+1, ui) des approximations à deux points respec-tivementdeFi+12etGi+12,appeleesaussiuxnumeriques.Laconservationdes uxnumeriques est une propriete caracteristique desschemas numeriques pour les lois de conservation, cette conservationest engeneraldenieparlegaliteentreleuxentrantetleuxsortantàtraversuneinterfacedumaillage[EGH00, KRO97].Laconsistance duuxnumerique est engeneral denie pour que lordredelapproximationnumeriquechoisi pour leuxsoit superieur ouegaleà1.[EGH00, KRO97]44 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DAinsi daprès ces denitions delaconservationet delaconsistance, pourlesuxnumeriquesdestermesdeconvectionet dediusioncitesseparementdans[EGH00, KRO97],onpeutlesgeneraliserpar:Denition2.1(Conservativite) On dira que les ux approchesFi+12et Gi+12sontconservatifsausensdesvolumesnis,sionauneconservationlocale:Fi+12+ F+i+12= 0etGi+12+ G+i+12= 0pouri = 1, ..., Nx1 (2.6)plusuneconservationglobale:FNx+12+ F+12= [b(u)]x=1x=0etGNx+12+ G+12= [K(x)(u)x]x=1x=0(2.7)o` u[F(s)]s=1s=0:= F (1) F (0).Denition2.2(Consistance) Ondiraqueles uxapproches Fi+12et Gi+12sontconsistantsausensdesvolumesnis,siona:Fi+12(v, v) = b(v) pourtoutv [0, 1] etGi+12(ui+1, ui) = Ki+12

(u)x

i+12+ (h) pourtoutuassezregulière(2.8)o` u [ (h)[ Ch,(C IR+,nedependantquedeu).Denition2.3(Volumes Finis) Ondiraquunschemanumeriquepour leproblème(P1)est detypevolumesnis, si lesuxnumeriquesapprochessontconservatifsetconsistantsausensdesdenitions2.1et2.2.De(2.2)nouspouvonsdecriretroisfamillesdeschemasvolumesnis(SVF)conservatifsetconsistants: lunestexplicite, lesdeuxautressontimpliciteetsemi-implicite.2.3.3 SchemaexpliciteEnutilisantuneapproximationexplicitedans(2.2),ona:2.3Discretisationparvolumesnis 45Pouri = 1, ..., Nxi

un+1iuni

hi +

b(u)ni+12b(u)ni12

tn= Ki+12

(u)x

ni+12tnKi12

(u)x

ni12tn(2.9)Le terme de convection est approche par un schema de Godunov [GOD76],soitb(u)ni+12=b(uni+12)o` uuni+12estlasolutionaupointxi+12duproblèmedeRiemannsuivant:(PR)

(x)ux + b(u)x= 0ug= unietud= uni+1(2.10)et dufait que b

(u) 0onauni+12=uni , c.à.d. le terme de convectionestapprocheparunschemadecentreamont,cequiassureuneconservationetuneconsistancepourleuxdeconvection,pourletermedediusiononchoisituneapproximationcentree,dordre1delaforme:

(u)x

ni+12

uni+1

(uni )xiAinsi daprès les hypothèses (H3)-(H4), le schema peut secrire sous la formesuivante:un+1i= uni tnihi

b(uni ) b(uni1)

+Ki+12tnihixi

uni+1

(uni )

(2.11)Ki12tnihixi1

(uni )

uni1

pouri = 2, ..., Nx1,etun+11= un1 tn1h1(b(un1) b(1)) +K32tn1h1x1((un2) (un1)) (2.12)un+1Nx= unNx tnNxhNx

b(unNx) b(unNx1)

(2.13)KNx12tnNxhNxxNx1

unNx

unNx1

Pourdesraisonsdesimplicitedesnotations,onpose:(un0) := (un1) ,

unNx+1

:=

unNx

etb (un0) := b (1)46 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-Dainsionpeut ecrireleschemasouslaformesuivante:Pouri = 1, ..., Nxun+1i= uni tnihi

b(uni ) b(uni1)

(2.14)+Ki+12tnihixi

uni+1

(uni )

Ki12tnihixi1

(uni )

uni1

Icilesuxnumeriquessontdonnespar: pouri = 1, ..., NxF+i12

uni , uni1

:= b(uni1)G+i12

uni , uni1

:=Ki12xi1

(uni )

uni1

(2.15)etFi+12

uni+1, uni

:= b(uni )Gi+12

uni+1, uni

:=Ki+12xi

uni+1

(uni )

(2.16)ce qui assure laconservationdes ux, laconsistance est d ue aufait que lesapproximations choisies sont dordre 1, et par suite le schema explicite (2.14) estdetypevolumesnisausensdeladenition2.3.2.3.4 SchemaimpliciteDememeenutilisantuneapproximationimplicitedans(2.2)leschemade-vient:Pouri = 1, ..., Nxun+1i= uni tnihi

b(un+1i) b(un+1i1 )

(2.17)+Ki+12tnihixi

un+1i+1

un+1i

Ki12tnihixi1

un+1i

un+1i1

avec

un+10

:=

un+11

,

un+1Nx+1

:=

un+1Nx

etb

un+10

:= b (1)Notons quon a utilise ici une approximation implicite pour les termes de convec-tionetdediusion. Lesuxnumeriquessontdonnespar: pouri = 1, ..., Nx2.3Discretisationparvolumesnis 47F+i12

un+1i, un+1i1

:= b(un+1i1 )G+i12

un+1i, un+1i1

:=Ki12xi1

un+1i

un+1i1

(2.18)etFi+12

un+1i+1 , un+1i

:= b(un+1i)Gi+12

un+1i+1 , un+1i

:=Ki+12xi

un+1i+1

un+1i

(2.19)ce qui montre la conservation et la consistance des ux, au sens des denitions 2.1et2.2, etparsuiteleschemaimplicite(2.17)estdetypevolumesnisausensdeladenition2.3.2.3.5 Schemasemi-impliciteIci onconsidèreuneapproximationimplicitepourletermedediusionetuneapproximationexplicitepourletermedeconvectiondans(2.2),ainsiona:Pouri = 1, ..., Nxun+1i= uni tnihi

b(uni ) b(uni1)

(2.20)+Ki+12tnihixi

un+1i+1

un+1i

Ki12tnihixi1

un+1i

un+1i1

avec

un+10

:=

un+11

,

un+1Nx+1

:=

un+1Nx

etb (un0) := b (1)Icilesuxnumeriquessontdonnespar: pouri = 1, ..., NxF+i12

uni , uni1

:= b(uni1)G+i12

un+1i, un+1i1

:=Ki12xi1

un+1i

un+1i1

(2.21)et48 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DFi+12

uni+1, uni

:= b(uni )Gi+12

un+1i+1 , un+1i

:=Ki+12xi

un+1i+1

un+1i

(2.22)ce qui montre la conservation et la consistance des ux, au sens des denitions 2.1et2.2, etparsuiteleschemasemi-implicite(2.20)estdetypevolumesnisausensdeladenition2.3.Lexistence et lunicite pour les systèmes non lineaires (2.17) et (2.20), serontetudieesdanslasection2.4.2.4 StabiliteLetestimationBVDans cette section, on presentera lanalyse des schemas volumes nis obtenusdanslasection2.3,eton etudieraleursstabilitesLetBV .Denition2.4(StabiliteL)Ondiraquelasolutionapprochee(uni )estLstablesurI,siona:|un|:= sup1iNx[uni[ Cpourtoutn = 1, ..., N(2.23)Denition2.5(StabiliteBV )Ondiraquelasolutionapprochee(uni )estBVstablesurI,siona:|un|BV (I):=i=0,..,Nx

uni+1uni

Cpourtoutn = 1, ..., N(2.24)LespaceBV(I)estlespacedesfonctionsàvariationtotaleborneesurI.SoientC1etC2deniespar:C1:= supi

hihi

etC2:= supih2ihi

Ki+12xi+Ki12xi1

(2.25)Daprèsleshypothèses(H1)-(H2)et(H9),ona:+ C1 1et22K+ C2 2K+(2.26)2.4StabiliteLetestimationBV 492.4.1 AnalyseduschemaexpliciteProposition2.6Sousleshypothèses(H1)-(H7),(H9)etlaconditionCFLsuivante:CFL1:=thC1sup0s1b

(s) +th2 C2sup0s1a(s) 1 (2.27)la solution approchee (uni ) denie par (2.14) satisfait le principe du maximumdiscretsuivant:0 uni 1 pouri = 1, ..., Nxetn = 1, ..., N(2.28)Deplus,leschemaexplicite(2.14)estBV stable.Demonstration. On ecriraleschema(2.14)souslaformesuivante:Pouri = 1, ..., Nxun+1i= uni tnihibni12

uni uni1

(2.29)+Ki+12tnihixiani+12

uni+1uni

Ki12tnihixi1ani12

uni uni1

o` ubni12:=b(uni ) b(uni1)uni uni1et ani12:=(uni ) (uni1)uni uni1si uni = uni1bni12:= b

(uni ) et ani12:= a(uni ) si uni= uni1avecan12:= anNx+12:= 0, un0:= 1 et unNx+1:= 0Daprès les hypothèses (H3)-(H4) les coecients bni12et ani12sont tous positifs,ainsionpeut ecrirelequation(2.29)souslaformesuivante:Pouri = 1, ..., Nxun+1i= uni

1

tnihibni12+Ki+12tnihixiani+12+Ki12tnihixi1ani12

(2.30)+ uni1

tnihibni12+Ki12tnihixi1ani12

+ uni+1

Ki+12tnihixiani+12

50 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DmaintenantdaprèslaconditionCFL(2.27)ona

1

tnihibni12+Ki+12tnihixiani+12+Ki12tnihixi1ani12

0etparrecurrencesurnona:0 uni 1pouri = 0, .., Nx + 1 =0 un+1i 1do` ulastabiliteL.PourmontrerlestimationBV ,nousavonsdaprès(2.30):pouri = 1, ..., Nx1un+1i+1 un+1i=

uni+1uni

1 tni+1hi+1bni+12Ki+12tni+1hi+1xiani+12Ki+12tnihixiani+12

+

uni uni1

tnihibni12+Ki12tnihixi1ani12

+

uni+2uni+1

Ki+32tni+1hi+1xi+1ani+32

Enutilisant la conditionCFL(2.27) et par prolongement de la fonctionunàlexterieur delintervalle[0, 1], par un[],0[:=1et un[]1,+[:=0, il vientimmediatementqueiZZ

un+1i+1 un+1i

iZZ

uni+1uni

1 tni+1hi+1bni+12Ki+12tni+1hi+1xiani+12Ki+12tnihixiani+12

+iZZ

uni+1uni

tni+1hi+1bni+12+Ki+12tni+1hi+1xiani+12

+iZZ

uni+1uni

Ki+12tnihixiani+12

=iZZ

uni+1uni

2.4StabiliteLetestimationBV 51etparsuiteonalestimation:

un+1

BV (I):=i=0,....,Nx

un+1i+1 un+1i

i=0,....,Nx

uni+1uni

u0

BV (I)(2.31)Ceciterminelademonstrationdelaproposition2.6.2.4.2 Analysedesschemasimpliciteetsemi-implicitePour les schemas implicite et semi-implicite, on montrera dabord lexistenceet lunicite de solution pour les systèmes non lineaires (2.17) et (2.20), en utilisantunalgorithmedepointxe.OnposeUn:=

un0, un1, ...., uni , ...., unNx

tetWn:=

wn0, wn1, ...., wni , ...., wnNx

tavecwni:= uni tnihi

b(uni ) b(uni1)

= uni tnihibni12

uni uni1

(2.32)pouri = 1, ..., Nxetwn0:= un0= 1.Les solutions des schemas (2.17) et (2.20) peuvent secrire comme des limitesdessolutionsdessystèmesdequationslineariseessuivants:D1

Un+1

(k)

Un+1

(k+1)= Unavec

Un+1

(0)= Un(2.33)etD2

Un+1

(k)

Un+1

(k+1)= Wnavec

Un+1

(0)= Un(2.34)o` u Ds, s = 1, 2, est une matrice tridiagonale dont les elements non nuls secriventsouslaforme: (Ds)0,0:= 1etpouri = 1, ..., Nx52 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-D

D1 (Un+1)(k)

i,i:= 1 +tnihi

bn+1i12

(k)+

dn+1i12

(k)+

dn+1i+12

(k)

D1 (Un+1)(k)

i,i1:= tnihi

bn+1i12

(k)+

dn+1i12

(k)

D1 (Un+1)(k)

i,i+1:= tnihi

dn+1i+12

(k)(2.35)et

D2 (Un+1)(k)

i,i:= 1 +tnihi

dn+1i12

(k)+

dn+1i+12

(k)

D2 (Un+1)(k)

i,i1:= tnihi

dn+1i12

(k)

D2 (Un+1)(k)

i,i+1:= tnihi

dn+1i+12

(k)(2.36)o` u

dn+1i12

(k):=Ki12xi1

an+1i12

(k)pouri = 1, ..., Nxet

dn+112

(k):=

dn+1Nx+12

(k):= 0Lemme2.7Sousleshypothèses(H1)-(H7),lessolutions

[Un+1](k)

kINdessystèmes(2.33)satisfontleprincipedumaximumdiscretsuivant:0 (uni )(k) 1 pouri = 1, ..., Nxetn = 1, ..., N(2.37)Lememeresultatestvalablepourlessolutionsdessystèmes(2.34)souslacon-ditionCFLsuivante:CFL2:=thC1sup0s1b

(s) 1 (2.38)o` uC1estdonneepar(2.25).Demonstration. Daprès les hypothèses (H3) et (H4), les coecients bn+1i12etdn+1i12sonttouspositifs, ainsi il estfaciledevoirquelamatriceDsestunematriceàdiagonalestictementdominante,avec(Di,ii=j[Di,j[) 1 (2.39)2.4StabiliteLetestimationBV 53donc |D1s| 1, o` u ||est lanormematriciellel, deplus Dsest unematricemonotone[MIC96, FUL98],c.à.d.Di,i> 0 etDi,j 0 pouri = j (2.40)doncona(D1s)i,j 0,etparsuiteV [0, 1]Nx+1, D1sV [0, 1]Nx+1(2.41)OrU0[0, 1]Nx+1, cequi impliqueparrecurrencesurkpuissurn, quetoutesles solutions des systèmes (2.33) [Un+1](k+1)= D11

[Un+1](k)

[Un] [0, 1]Nx+1,c.à.d. satisfontleprincipedumaximumdiscret.Pourleschemasemi-implicite,onadaprèslaconditionCFL(2.38):

1 tnihibni12

0etparrecurrencesurn,ona:0 uni 1 pouri = 0, ..., Nximpliquequewni=

uni

1 tnihibni12

+ uni1tnihibni12

0etwni=

uni

1 tnihibni12

+ uni1tnihibni12

1 tnihibni12

+tnihibni12

= 1c.à.d. Wn [0, 1]Nx+1, ainsi toutes les solutions des systèmes (2.34) [Un+1](k+1)=D12

[Un+1](k)

[Wn] [0, 1]Nx+1, c.à.d. satisfontleprincipedumaximumdis-cret. Ceciterminelademonstrationdulemme2.7.Maintenantonrevientàlexistenceetlunicitedesolutionpourlesschemasimplicite(2.17)etsemi-implicite(2.20).54 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DProposition2.8Sous les hypothèses (H1)-(H7), il existeuneet uneseulesolution(uni )pourleschemaimplicite(2.17), depluscettesolutionsatisfaitleprincipedumaximumdiscretsuivant:0 uni 1 pouri = 1, ..., Nxetn = 1, ..., N(2.42)Lesmemesresultatssontvalablespourleschemasemi-implicite(2.20)souslaconditionCFL(2.38).Demonstration. Pour le schema implicite (2.17), on a daprès le lemme 2.7la suite

[Un+1](k)

kINest bornee, donc on peut extraire une sous-suite conver-gente,noteeaussi

[Un+1](k)

kIN,tellequeUn+1:=limk

Un+1

(k) ([0, 1])Nx+1(2.43)et daprès la continuite de lapplication V D1 (V ) [V ], la limite Un+1est unesolution du système non lineaire D1 (V ) [V ] = Unqui est equivalent à (2.17). Onconclutalorslexistencedunesolutionpourleschemaimplicite(2.17).Pour montrer lunicite, onsuppose Un+1, Vn+1deuxsolutions duschemaimplicite(2.17),c.à.d. quonapouri = 1, ..., Nxun+1i= uni tnihi

b(un+1i) b(un+1i1 )

+Ki+12tnihixi

un+1i+1

un+1i

Ki12tnihixi1

un+1i

un+1i1

etvn+1i= uni tnihi

b(vn+1i) b(vn+1i1 )

+Ki+12tnihixi

vn+1i+1

vn+1i

Ki12tnihixi1

vn+1i

vn+1i1

.parsoustraction,onobtient2.4StabiliteLetestimationBV 55un+1ivn+1i= tnihi

b(un+1i) b(vn+1i) b(un+1i1 ) + b(vn+1i1 )

+Ki+12tnihixi

un+1i+1

vn+1i+1

un+1i

+

vn+1i

Ki12tnihixi1

un+1i

vn+1i

un+1i1

+

vn+1i1

etparsuite,onapouri = 1, ..., Nx

un+1ivn+1i

1+b

itnihi+Ki+12aitnihixi+Ki12aitnihixi1

(2.44)(un+1i1vn+1i1 )

b

i1tnihi+Ki12ai1tnihixi1

un+1i+1vn+1i+1

Ki+12ai+1tnihixi

= 0o` ub

i:=b(un+1i) b(vn+1i)un+1ivn+1iet ai:=(un+1i) (vn+1i)un+1ivn+1isi un+1i= vn+1ib

i:= b

(un+1i) et ai:= a(un+1i) si un+1i= vn+1iaveca0:= aNx+1:= 0,un+10:= vn+10:= 1etun+1Nx+1:= vn+1Nx+1:= 0.Cesystèmedequationspeutsecriresouslaformesuivante:D

Un+1, Vn+1 Un+1Vn+1

= 0 (2.45)o` u Dest une matrice NxNxtridiagonale dont les elements non nuls secriventsouslaformesuivante:pouri = 1, ..., Nx[D(Un+1, Vn+1)]i,i:=ihitn+ b

i +Ki+12xiai +Ki12xi1ai[D(Un+1, Vn+1)]i,i1:= b

i1Ki12xi1ai1i 2[D(Un+1, Vn+1)]i,i+1:= Ki+12xiai+1i Nx1(2.46)56 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DDaprès les hypothèses (H3)-(H4), les coecients b

iet anisont tous positifs,ainsi il est faciledevoir quelatransposeedelamatriceDest àdiagonalestrictementdominante doncinversible, etparsuiteonalunicitedelaso-lutionduschemaimplicite (2.17). Lexistence et lunicite de lasolutionduschemasemi-implicite(2.20)sobtiennentdelamememanière. Ceciterminelademonstrationdelaproposition2.8.LetapesuivanteestdetabliruneestimationBV .Proposition2.9Sous les hypothèses (H1)-(H7) et (H9), lapproximation(uni ) donneeparleschemaimplicite(2.17), est BV stable. Lememeresultatestvalablepourleschemasemi-implicite(2.20)souslaconditionCFL(2.38).Demonstration. Pourleschemaimplicite(2.17)ona:Pouri = 1, ..., Nx1

un+1i+1 un+1i

1 +b

n+1i+12tni+1hi+1+Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi+Ki+12an+1i+12tnihixi

=

uni+1uni

+

un+1iun+1i1

b

n+1i12tnihi

+

un+1iun+1i1

Ki12an+1i12tnihixi1

+

un+1i+2 un+1i+1

Ki+32an+1i+32tni+1hi+1xi+1

en prolongeant la fonction unà lexterieur de lintervalle [0, 1], par un[],0[:= 1etun[]1,+[:= 0,onobtient:iZZ

un+1i+1 un+1i

1 +b

n+1i+12tni+1hi+1+Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi+Ki+12an+1i+12tnihixi

iZZ

uni+1uni

+iZZ

un+1i+1 un+1i

b

n+1i+12tni+1hi+1

+iZZ

un+1i+1 un+1i

Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi

+iZZ

un+1i+1 un+1i

Ki+12an+1i+12tnihixi

2.4StabiliteLetestimationBV 57cequidonneiZZ

un+1i+1 un+1i

iZZ

uni+1uni

ainsionalestimationsuivante:

un+1

BV (I):=i=0,....,Nx

un+1i+1 un+1i

i=0,....,Nx

uni+1uni

u0

BV (I)(2.47)Pourleschemasemi-implicite(2.20),ona:pouri = 1, ..., Nx1

un+1i+1 un+1i

1 +Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi+Ki+12an+1i+12tnihixi

=

uni+1uni

1 b

ni+12tni+1hi+1

+

uni uni1

b

ni12tnihi

+

un+1iun+1i1

Ki12an+1i12tnihixi1

+

un+1i+2 un+1i+1

Ki+32an+1i+32tni+1hi+1xi+1

enutilisant laconditionCFL(2.38) et par prolongement delafonctionunàlexterieurdelintervalle[0, 1],parun[],0[:= 1etun[]1,+[:= 0,onobtient:iZZ

un+1i+1 un+1i

1 +Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi+Ki+12an+1i+12tnihixi

iZZ

uni+1uni

1 b

ni+12tni+1hi+1

+iZZ

uni+1uni

b

ni+12tni+1hi+1

+iZZ

un+1i+1 un+1i

Ki+12an+1i+12tni+1hi+1xi

+iZZ

un+1i+1 un+1i

Ki+12an+1i+12tnihixi

cequidonne58 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DiZZ

un+1i+1 un+1i

iZZ

uni+1uni

ainsionalestimationsuivante:

un+1

BV (I):=i=0,....,Nx

un+1i+1 un+1i

i=0,....,Nx

uni+1uni

u0

BV (I)(2.48)Ceciterminelademonstrationdelaproposition2.9.2.5 ResultatdeconvergenceDanscettesection,onpresenteunresultatdeconvergencedesschemasvol-umesnisintroduitsprecedements. Pourcela,onabesoindulemmesuivant:Lemme2.10Sousleshypothèses(H1)-(H9)etlaconditionCFL(2.27)pourle schema explicite (2.14), la condition CFL (2.38) pour le schema semi-implicite(2.20), et sans aucune condition CFL pour le schema implicite (2.17), lestimationsuivanteestveriee: pourn = 0, ..., N 1

un+1un

L1(I):=i=1,..,Nxhi

un+1iuni

Ct (2.49)o` uC

1, sup (b

) , |u0|BV (I), |K(u0)x|BV (I)

estuneconstanteindependantedehett.Demonstration. Pour simplier, on presentera simplement la demonstrationpourleschemaexplicite, lesmemesresultatssobtiennentdelamememanièrepourlesschemasimpliciteetsemi-implicite. CettedemonstrationestanalogueàcelledestravauxdeEvje&Karlsen[EVK99, EVK00], uneautreideedelademonstrationsetrouvedansGhilani[GHI97].Enmultipliant(2.14)parihitnetensommantpourj i,onobtient2.5Resultatdeconvergence 59pouri = 1, ..., Nxwni:=jijhjun+1junjtn= b(1) b(uni ) +Ki+12xi

uni+1

(uni )

(2.50)etonposewn0:= 0etwnNx+1:= b(1),deplusonawni wni1= ihiun+1iunitnetwn+1i= wni b(un+1i) + b(uni )+Ki+12xi

un+1i+1

un+1i

Ki+12xi

uni+1

(uni )

= wni bn+12i

un+1iuni

+Ki+12xi

an+12i+1

un+1i+1 uni+1

an+12i

un+1iuni

o` ubn+12i:=b(un+1i) b(uni )un+1iuniet an+12i:=(un+1i) (uni )un+1iunisi un+1i= unibn+12i:= b

(uni ) et an+12i:= a(uni ) si un+1i= uniavecan+12Nx+1:= 0,do` uwn+1i= wni tnb

n+12iihi

wni wni1

+tnKi+12an+12i+1i+1hi+1xi

wni+1wni

tnKi+12an+12iihixi

wni wni1

ainsiona60 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-Dwn+1i+1 wn+1i=

wni+1wni

1 tnb

n+12i+1i+1hi+1tnKi+12an+12i+1i+1hi+1xitnKi+32an+12i+1i+1hi+1xi+1

+

wni wni1

tnb

n+12iihi+tnKi+12an+12iihixi

+

wni+2wni+1

tnKi+32an+12i+2i+2hi+2xi+1

en utilisant la condition CFL (2.27) et en prolongeant la fonction wnà lexterieurdelintervalle[0, 1],parwn[],0[:= 0etwn[]1,+[:= b (1),onobtient:iZZ

wn+1i+1 wn+1i

iZZ

wni+1wni

1 tnb

n+12i+1i+1hi+1tnKi+12an+12i+1i+1hi+1xitnKi+32an+12i+1i+1hi+1xi+1

+iZZ

wni wni1

tnb

n+12iihi+tnKi+12an+12iihixi

+iZZ

wni+2wni+1

tnKi+32an+12i+2i+2hi+2xi+1

soitiZZ

wn+1i+1 wn+1i

iZZ

wni+1wni

etparsuiteiZZihi

un+1iuni

tn=iZZ

wn+1i+1 wn+1i

estdecroissante.2.5Resultatdeconvergence 61Finalementdaprèsleshypothèses(H7)et(H8),ona:iZZihi

un+1iuni

tniZZihi[u1i u0i[tn=iZZ

b(u0i1) b(u0i) + Ki+12

u0i+1

(u0i)xiKi12(u0i)

u0i1

xi1

sup(b

)

u0

BV (I) +

K

u0

x

BV (I)soitiZZhi

un+1iuni

tn Co` uC:=1

sup(b

)

u0

BV (I) +

K

u0

x

BV (I)

< (2.51)Cecicomplètelademonstrationdulemme2.10.Remarque2.11Lelemme2.10exprimelaL1continuite entempsdelasolutionapprochee.Corollaire2.12Souslesmemeshypothèsesdulemme2.10, onadepluslesestimationsdiscrètessuivantes: pourn = 1, ..., N|K(un)x|BV (I):=i=1,..,Nx

Ki+12

uni+1

(uni )xiKi12(uni )

uni1

xi1

C(2.52)et|K(un)x|L(I):= supi=1,..,Nx

Ki+12

uni+1

(uni )xi

C (2.53)62 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-DDemonstration. Eneetona:|K(un)x|BV (I):=i=1,..,Nx

Ki+12

uni+1

(uni )xiKi12(uni )

uni1

xi1

i=1,..,Nx

wni wni1

+i=1,..,Nx

b(uni1) b(uni )

i=1,..,Nx

w0i w0i1

+ sup(b

) |un|BV (I) 2 sup(b

)

u0

BV (I) +

K

u0

x

BV (I)soit,daprèslhypothèse(H8)|K(un)x|BV (I) C (2.54)o` uC:= 2 sup(b

)

u0

BV (I) +

K

u0

x

BV (I)< et|K(un)x|L(I):= supi=1,..,Nx

Ki+12

uni+1

(uni )xi

supi=1,..,Nx

[b (uni ) b (1)[ +jijhj

un+1junj

tn

sup(b

)

u01

L(I) + sup(b

)

u0

BV (I) +

K

u0

x

BV (I)soit,daprèslhypothèse(H8)|K(un)x|L(I) Co` uC:= sup(b

)

u01

L(I) +

u0

BV (I)

+

K

u0

x

BV (I)< (2.55)2.5Resultatdeconvergence 63Cequidonnelesestimationscherchees.Maintenant, on va montrer le resultat essentiel de cette section. On note parulasolutionfaibleduproblèmedeniepar(1.40)etondenitlapproximationuhparuh (x, t) = unidansIi[tn, tn+1[.Theorème2.13Sousleshypothèses(H1)-(H9)et laconditionCFL(2.27)[resp. (2.38)] lapproximationuh, donneeparleschemaexplicite(2.14)[resp.semi-implicite(2.20)],convergeversudansL1(Q)quandhetttendentverszero. Ceresultatestaussi valablepourleschemaimplicite(2.17)sansaucuneconditionCFL.Demonstration. Pour montrer laconvergence de uh=uh (x, t) vers lasolutionfaibledeniepar(1.40),onpasseàlalimitedanslequationdiscrète.Des propositions 2.6, 2.8, 2.9 et du lemme 2.10 (uh) est bornee dans L (Q)BV(Q) >L1(Q) avec injection compacte. On peut ainsi extraire une sous-suiteencorenotee(uh),tellequeuh udansL1(Q) (2.56)quand h et t tendent vers 0, o` u la limite u L (Q) BV(Q) (voir Evans&Gariepy[EVG92]p.176).Soith (u) L

0, ; (0

I

deniepar: h (u) (xi, t) := (uni )pourtoutt [tn, tn+1[ eth (u) (., t) {1surIi+12. Il estfaciledobtenirde(2.53)etdelhypothèse(H2),lestimationsuivante:pourtoutt [0, [|(h (u))x|L(I) C (2.57)o` u Cest une constante independante de h et t. Ainsi de linjectioncontinuedeW1, (I)dansH1(I)ona:h (u)dansH1(I) faiblement64 ConvergencedequelquesschemasdetypeV.F.danslecas1-Dpourtoutt [0, [etenutilisantlinjectioncompacteW1, (I) > (0

I

ona:h (u) dans (0

I

(2.58)o` u H1(I)etde(2.58)satisfaitlesconditionsaubord.Letape suivante est de montrer que = (u). Utilisons lhypothèse (H3),ilvientde(2.56)que:pourtoutt [0, [(uh) (u) dansL1(I) (2.59)etdufaitque(uh) BV(I)ona:

I[(uh) h (u)[ dxi=1,..,Nx1xi

uni+1

(uni )

1h|(un)|BV (I) 0etparsuite[(uh) h (u)[ 0 dansL1(I) (2.60)onendeduitmaintenantde(2.58)-(2.60)que= (u).Acestade, onconclutqueuverie(1.40)-(i) , (ii), il resteàmontrerqueusatisfait (1.40)-(iii). Pour cela, soit v V unefonctiontest, notons parvni:= v

xi12, tn

. En multipliant les schemas (2.14), (2.17) et (2.20) par hivni i,etensommantsurneti,onobtient:n,itnhivni iun+1iunitn+n,itnvni

b(usi) b(usi1)

(2.61)=n,itnvniKi+12

uki+1

uki

xiKi12

uki

uki1

xi1o` u(k, s = noun + 1)suivantlesschemasexplicite,impliciteetsemi-implicite.Ontransformecettesommation(2.61)souslaformesuivante:2.6Conclusion 65ihiv0iu0ii +n,itnhiun+1iivni vn+1itn(2.62)=n,itnhib(usi)vni+1vnihi+n,itnKi+12

uki+1

uki

xi

vni vni+1

Enprenant enconsiderationles hypothèses sur les donnees et utilisons letheorèmedeLebesgue,quandhetttendentvers0,ilsensuitqueihiv0iu0ii

Iu0v (x, 0) dxi,nthiun+1iivni vn+1itn Quvtdtdxn,ithib(usi)vni+1vnihi Qb(u)vxdtdxn,itKi+12

uki+1

uki

xi

vni vni+1

Q(K (x) (u)x) vxdtdxFinalement,passonsàlalimitedans(2.62)ilvientque

Iu0v (x, 0) dx + Q[uvt + (b(u) K(u)x) vx] dtdx = 0 (2.63)Do` uuestlasolutionfaibleduproblème(1.40)lequeladmetuneuniquesolu-tionu. Donctoutelasuite(uh)convergeversu.2.6 ConclusionLe but de ce chapitre etait de developper des schemas volumes nis pour uneequationnonlineaire mono-dimensionnelle de convection-diusiondegeneree.Nousavonstraiteetanalysetroisfamillesdetelsschemas. AprèsavoiretabliquelesschemassontLetBV stables,souslesconditionsCFLapproprieesetsatisfontleprincipedumaximumdiscret, nousavonsobtenudesresultatsdeconvergenceverslasolutionfaibleduproblème.Chapitre3Convergencedanslecasbi-dimensionnelpourunmaillagerectangulaire3.1 IntroductionOnconsidèredanscechapitreladiscretisationpardesvolumesnisrect-angulaire, dansIR2delequationdesaturationdecrivantlecoulementdedeuxphasesliquidesincompressiblesetimmisciblesdansunmilieuporeux,pour lequel, nous nous limitons au cas o` u les equations de saturation et de pres-sionsedecouplent(voirchapitre1, (1.38)et(1.39)), lequationdesaturationest à convection dominante,le terme de diusion est petit mais important et nepeut etreneglige,leproblèmeestalorsdecritpar:(P2)

0 u(x, y, t) 1 dansQut+ div (b(u)q) div (K(u)) = 0 dansQu[1= u0;K(u)n[2= 0etu[3= 0 sur[0, [u(x, y, 0) = u0(x, y) dans(3.1)o` u u(x, y, t) est la saturation de leau, q (x, y) la vitesse totale, (x, y) la porositedumilieuporeuxetK (x, y)letenseurdespermeabilitesabsoluesdureservoir. := I J IR2o` u Iet Jsont des intervals bornes de IR. La frontière := 6768 Convergencedanslecas2-Dpourunmaillagerectangulaireest formee de trois parties telle que =123avec [i[ > 0 et ij= pour i = j; 1 est la partie du bord o` u leau est injectee, 2 la partie impermeableet3lapartiedeproduction. Soit[0, [ lintervalledutempsdetude, onnoteQ:=[0, [. (u)etb(u)sontdesfonctionsnonlineairesqui dependentdelamobiliteetdelapressioncapillaire,aveclecoecientdediusiona :=

veriant: a(0) = a(1) = 0(degenerescencedutermedediusion). u0 0, 1.Ce chapitre est organise comme suit : dans la section 3.2, on introduit les hy-pothèses sur les donnees du problème (P2), qui assurent lexistence et lunicite delasolutionfaible. Danslasection3.3,nouspresentonsladiscretisationvolumesnisduproblème(P2)enutilisantunmaillagerectangulaire. Uneapproxima-tion explicite du terme de convection combinee avec une approximation explicite[resp. implicite]dutermedediusionestconsideree. Danslasection3.4,nouspresentonsdesresultatsdestabiliteLetestimationBV souslesconditionsCFL appropriees. Un resultat de convergence sera donne dans la section 3.5. Lesresultatsdecechapitre,generalisentceuxduchapitre2aucasbi-dimensionneletontfaitlobjetdelapublication[AFI99].3.2 HypothèsessurlesdonneesParlasuite, onintroduitleshypothèsessuivantes, quisontsusantespourlexistenceetlunicitedunesolutionfaibleduproblème(voirproposition1.3),plus des hypothèses supplementaires pour la convergence des schemas numeriques :(H0) := I J IR2estborne.(H1) L ()telleque0 < (x, y) + 1,p.p. dans.(H2) K est un tenseur diagonal de la forme K(x, y) =

K1(x, y) 00 K2(x, y)

,telleque0 < K Ks(x, y) K+< pours = 1, 2,p.p. dans.(H3) (1([0, 1]) tel que pour a :=

, a(0) = a(1) = 0 et a(s) > 0 s ]0, 1[.(H4) b (1([0, 1])estunefonctionmonotonetellequeb

(s) > 0 s ]0, 1[.3.3Discretisationparvolumesnis 69(H5) u0 L ()telque0 u0(x) 1p.p. dans.(H6) q H (div, ), tellequediv (q)=0, qn[1= qd 0.(H7) q (L ())2.(H8) 1estunefonctioncontinueholderiennedexposant ]0, 1[etb 1unefonctioncontinueholderiennedexposant1+2.(H9) u0 BV().(H10) K(u0) B (I J) := L1(J; BV(I)) L1(I; BV(J)).Danslhypothèse(H2),Kestuntenseurdiagonal,cetterestrictionestd ueaumaillagerectangulairechoisi, vuquelapprochequonpresenteici est unegeneralisationdes resultats obtenus dans le chapitre 2. De meme dans leshypothèses (H6)-(H7) q est independant dutemps, cas o` ules equations sedecouplentvoir(1.38).3.3 DiscretisationparvolumesnisAvantdepresenterladiscretisationparvolumesnispourleproblème(P2)ondonnequelquesnotations.3.3.1 Notations(tn)n=0,...,Nune partition de [0, [ en des intervalles de pas de temps tn:=tn+1tnetonposet := maxntn.h:=(Mij) unepartitionrectangulairede, o` uMij:=IiJj, pouri=1, ..., Nxetj=1, ..., Ny(voirFigure3.1), appeleeaussi volumedecontr ole.xMij:= (xi, yj),centredeMij.70 Convergencedanslecas2-DpourunmaillagerectangulaireOn pose xi:= [Ii[, yj:= [Jj[, xi+12:= xi+1xiet yj+12:= yj+1yj.h := minij(xi, yj),x := maxixiety:= maxjyj.h:= l Mij`,pourMij h,Ml htelqueM Ml= l.M,l:= (xM, xMl)estladistanceeuclidienneentrexMetxMl.Pour L (),onposeij:=1|Mij|

Mij(x, y) dxdy.Pour des raisons de simplicite, on suppose les fonctions Ks(x, y) constantesparmailleetonposeKsij:= Ks[Mijpours = 1, 2.Pour une condition initiale u0 L (), on pose u0ij:=1|Mij|

Miju0(x, y) dxdy.Soitunij[resp. unl] uneapproximationdeuaupoint(xi, yj, tn)supposeeconstantesurlamailleMij[resp. aupoint(xl, tn)supposeeconstantesurl M].Cesapproximationsserontdeniesparlesschemasnumeriquesqui suivent.Onaurabesoinaussidelhypothèsesurlaregularitedumaillage:(H11) ]0, 1], tel que max (x, y) h, o` u est un constante independantedeh.M i ,jM i+ 1,jM i-1,jM i,j+ 1M i,j-1Fig.3.1: Volumedecontr oleMij3.3Discretisationparvolumesnis 713.3.2 DenitionsEnintegrant(3.1)dansMij[tn, tn+1] o` uMij h, onobtientleschemasuivantij

un+1ijunij

[Mij[ +lMij

tn+1tnb(u)l(qlnMij,l) [l[ dt=lMij\

tn+1tnKl(u)lnMij,l[l[ dt (3.2)o` u nM,lestlanormaleexterieureàl M.Leschemaprecedentpeutsecriresouslaformesuivante:pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ij= unij +tnij[Mij[

Fi+12j + F+i12j + Fij+12+ F+ij12

(3.3)+tnij[Mij[

Gi+12j + G+i12j + Gij+12+ G+ij12

o` uFi+12jet Gi+12jsont respectivement leuxde convectionet leuxdediusion,àdroiteetàgauchedelaretel = Mi+1j Mij,denisparpouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., NyF+i+12j:= qxi+12jyjtn

tn+1tnb(u)i+12jdtFi+12j:= +qxi+12jyjtn

tn+1tnb(u)i+12jdtetG+i+12j:=K1i+12jyjtn

tn+1tn(u)i+12jdtGi+12j:= K1i+12jyjtn

tn+1tn(u)i+12jdtFij+12etGij+12sontrespectivementleuxdeconvectionetleuxdediusion,enhautetenbasdelaretel = Mij+1 Mij,denispar72 Convergencedanslecas2-Dpourunmaillagerectangulairepouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., NyF+ij+12:= qyij+12xitn

tn+1tnb(u)ij+12dtFij+12:=qyij+12xitn

tn+1tnb(u)ij+12dtetG+ij+12:=K2ij+12xitn

tn+1tn(u)ij+12dtGij+12:= K2ij+12xitn

tn+1tn(u)ij+12dto` u(qx, qy)sontlescomposantesdeq. Onposepouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., NyFl= Fi+12jetGl= Gi+12jsil = Mi+1j MijFl= Fij+12etGl= Gij+12sil = Mij+1 MijSoientFl(uM, uMl)etGl(uM, uMl)desapproximationsàdeuxpointsrespec-tivementdeFletGl,appeleesaussiuxnumeriques.La conservation des ux numeriques est caracterisee par legalite entre le uxentrantetleuxsortantàtraversuneinterfacel M[EGH00, KRO97].La consitance du ux numerique est tel que lordre de lapproximation numeri-quechoisipourleuxdoit etresuperieurou egalà1. [EGH00, KRO97]Ainsi daprès ces denitions delaconservationet delaconsistance, pourlesuxnumeriquesdestermesdeconvectionet dediusioncitesseparementdans[EGH00, KRO97],onpeutlesgeneraliserpar:Denition3.1(Conservativite) On dira que les ux approches Flet Glsontconservatifsausensdesvolumesnis,sionauneconservationlocaleFl+ F+l= 0etGl+ G+l= 0pourtoutl h`3.3Discretisationparvolumesnis 73plusuneconservationglobalej

FNx+12j + F+12j

+i

FiNy+12+ F+i12

=

b(u) (qn) dsj

GNx+12j + G+12j

+i

GiNy+12+ G+i12

=

K(u)ndsDenition3.2(Consistance)OndiraquelesuxapprochesFlet Glsontconsistantsausensdesvolumesnis,siona:Fl(v, v) = b(v)(qlnM,l) [l[ pourtoutv [0, 1] ;etGl(uM, uMl) = Kl(u)lnM,l[l[ + (h) pourtoutuassezregulièreo` u [ (h)[ Ch,(C IR+nedependantquedeu).Denition3.3(Volumes Finis) Ondiraquunschemanumeriquepour leproblème(P2)est detypevolumesnis, si lesuxnumeriquesapprochessontconservatifsetconsistantsausensdesdenitions3.1et3.2.De(3.2)ondeduittroisfamillesdeschemasdetypevolumesnis; lunex-plicitelesdeuxautressontimpliciteetsemi-implicite.3.3.3 SchemaexpliciteEnutilisantdans(3.2)uneapproximationexplicitepourlestermesdecon-vectionetdediusion,ona:pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ij= unij +tnij[Mij[lMijb(u)nl

qlnMij,l

[l[+tnij[Mij[lMij\Kl(u)nlnMij,l[l[o` ub(u)nl:=

b(unMij)siqlnMij,l 0b(unMlij)siqlnMij,l< 074 Convergencedanslecas2-Dpourunmaillagerectangulaireavec Mlij h tel que l = MlijMij, sachant que b(unMlij) := b(u0) si l Mij1,etqlnMij,l 0si l Mij (2 3), letermedeconvectionestapprocheparunschemadeGodunovdecentreamont(voirGodunov[GOD76]),cequiassurelaconservationetlaconsistancepourletermedeconvection. Pourleterme de diusion on choisit une approximation dordre 1, avec Klla moyenneharmoniqueentreKMijetKMlij,c.à.d.K1l:=

[Mij[ K1Mij+

Mlij

K1Mlij

[Mij[ +

Mlij

1etenutilisantdiv (q) = 0,soitlMij

qlnMij,l

[l[ = 0,onaleschemaexplicitesuivant:pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ij= unij(3.4)+tnijxiK1i+12jxi+12((uni+1j) (unij)) +K1i12jxi12((uni1j) (unij))+tnijyjK2ij+12yj+12((unij+1) (unij)) +K2ij12yj12((unij1) (unij))+tnijxi

(b(uni+1j) b(unij))(qxi+12j)++ (b(uni1j) b(unij))(qxi12j)+

+tnijyj

(b(unij+1) b(unij))(qyij+12)++ (b(unij1) b(unij))(qyij12)+

aveclesconditionsaubordsuivantes:(C.B)

(uni0) := (uni1) ;(uniNy+1) := (uniNy)

un0j

:=

un1j

;

unNx+1j

:=

unNxj

b (uni0) := b(u0)siMi1 1 = , b (uni1) sinonb(uniNy+1) := b(u0)siMiNy 1 = , b(uniNy)sinonb

un0j

:= b(u0)siM1j 1 = , b

un1j

sinonb

unNx+1j

:= b(u0)siMNxj 1 = , b

unNxj

sinon(3.5)Icilesuxnumeriquessontdonnespar:3.3Discretisationparvolumesnis 75pourM hFl

unM, unMl

:= b(unMl) (qlnM,l)+[l[ b(unM) (qlnM,l)[l[Gl

unM, unMl

:=Kl[l[M,l

unMl

(unM)

cequi montrelaconservationdes ux, laconsistanceest d ueaufait quelesapproximationschoisiessontdordre1,etparsuiteleschemaexplicite(3.4)estdetypevolumesnisausensdeladenition3.3.3.3.4 SchemaimpliciteEn utilisant dans (3.2) une approximation implicite pour le terme de convec-tionetdediusion,onapouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ij= unij +tnij[Mij[lMijb(u)n+1l

qlnMij,l

[l[+tnij[Mij[lMij\Kl

(u)n+1l nMij,l

[l[o` u:b(u)n+1l=

b(un+1Mij)siqlnMij,l 0b(un+1Mlij)siqlnMij,l< 0avecMlij htel quel=Mlij Mij. Enutilisantdiv (q)=0, onaleschemaimplicitesuivant:pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyunij= un+1ijtnijxiK1i+12jxi+12((un+1i+1j) (un+1ij)) +K1i12jxi12((un+1i1j) (un+1ij))tnijyjK2ij+12yj+12((un+1ij+1) (un+1ij)) +K2ij12yj12((un+1ij1) (un+1ij))(3.6)tnijxi

(b(un+1i+1j) b(un+1ij))(qxi+12j)++ (b(un+1i1j) b(un+1ij))(qxi12j)+

tnijyj

(b(un+1ij+1) b(un+1ij))(qyij+12)++ (b(un+1ij1) b(un+1ij))(qyij12)+

76 Convergencedanslecas2-Dpourunmaillagerectangulaireaveclesmemesconditionsaubord(3.5). Icilesuxnumeriquessontdonnespar: pourM hFl

un+1M, un+1Ml

:= b(un+1Ml) (qlnM,l)+[l[ b(un+1M) (qlnM,l)[l[Gl

un+1M, un+1Ml

:=Kl[l[M,l

un+1Ml

un+1M

cequi montrelaconservationdes ux, laconsistanceest d ueaufait quelesapproximations choisies sont dordre 1,et par suite le schema implicite (3.6) estdetypevolumesnisausensdeladenition3.3.3.3.5 Schemasemi-impliciteEn utilisant dans (3.2) une approximation explicite pour le terme de convec-tionetuneapproximationimplicitepourletermedediusion,ona:un+1ij= unij +tnij[Mij[lMijb(u)nl

qlnMij,l

[l[+tnij[Mij[lMij\Kl

(u)n+1l nMij,l

[l[pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Ny,o` ub(u)nl=

b(unMij)siqlnMij,l 0b(unMlij)siqlnMij,l< 0avecMlij htel quel=Mlij Mij. Enutilisantdiv (q)=0, onaleschemasemi-implicitesuivant: pouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ijtnijxiK1i+12jxi+12((un+1i+1j) (un+1ij)) +K1i12jxi12((un+1i1j) (un+1ij))tnijyjK2ij+12yj+12((un+1ij+1) (un+1ij)) +K2ij12yj12((un+1ij1) (un+1ij))(3.7)= unij +tnijxi

(b(uni+1j) b(unij))(qxi+12j)++ (b(uni1j) b(unij))(qxi12j)+

+tnijyj

(b(unij+1) b(unij))(qyij+12)++ (b(unij1) b(unij))(qyij12)+

3.4Resultatsdestabilite 77aveclesmemesconditionsaubord(3.5). Icilesuxnumeriquessontdonnespar: pourM hFl

unM, unMl

:= b(unMl) (qlnM,l)+[l[ b(unM) (qlnM,l)[l[Gl

un+1M, un+1Ml

:=Kl[l[M,l

un+1Ml

un+1M

cequi montrelaconservationdes ux, laconsistanceest d ueaufait quelesapproximations choisies sont dordre 1, et par suite le schemasemi-implicite(3.7)estdetypevolumesnisausensdeladenition3.3.Lexistenceetlunicitedesolutionpourlessystèmesnonlineaires(3.6)et(3.7)seront etabliesdanslasection3.4.3.4 ResultatsdestabiliteDans cette section, on presente des resultats de stabilite L et des estimationsBV pourlesschemasvolumesnisintroduitsdanslasection3.3.Denition3.4(StabiliteL)Ondiraquelasolutionapprochee

unij

estLstablesur,siona:|un|:= supij

unij

Cpourtoutn = 1, ..., NDenition3.5(Stabilite BV ) On dira que la solution approchee

unij

est BVstablesur,siona:|un|BV ():=i,j

unij+1unij

xi +i,j

uni+1j unij

yj Cpourtoutn = 1, ..., NSoientCqetCKdeniespar:Cq:= supijhij

(qxi+12j)++(qxi12j)+xi+(qyij+12)++(qyij12)+yj

4 |q|< 78 Convergencedanslecas2-DpourunmaillagerectangulaireetCK= supijh2ij

K1i+12jxixi+12+K1i12jxixi12+K2ij+12yjyj+12+K2ij12yjyj12

4K+< OnintroduitlesconditionsCFLsuivantes:CFL1:=thCqsup0s1b

(s) +th2 CKsup0s1

(s) 1 (3.8)etCFL2:=thCqsup0s1b

(s) 1 (3.9)eton etablitlesresultatssuivants:3.4.1 StabiliteLProposition3.6Sous les hypothèses (H0)-(H8),(H11) et la condition CFL(3.8), leschemaexplicite(3.4)-(3.5) est Lstable. Deplus, lasolutionap-prochee

unij

satisfaitleprincipedumaximumdiscretsuivant:0 unij 1 pourtoutMij hetn = 1, .., N(3.10)Demonstration. Leschema(3.4)peutsecriresouslaformepouri = 1, ..., Nx,j= 1, ..., Nyun+1ij= unij(3.11)tnijxiK1i+12jani+12jxi+12

un+1ijun+1i+1j

+K1i12jani12jxi12

un+1ijun+1i1j

tnijyjK2ij+12anij+12yj+12

un+1ijun+1ij+1

+K2ij12anij12yj12

un+1ijun+1ij1

+tnijxi

bni+12j

uni+1j unij

(qxi+12j)++ bni12j

uni1j unij

(qxi12j)+

+tnijyj

bnij+12

unij+1unij

(qyij+12)++ bnij12

unij1unij

(qyij12)+

3.4Resultatsdestabilite 79o` ubni12j=b(uni1j) b(unij)uni1j unijsiuni1j = unijetbni12j= b

(unij)sinonbnij12=b(unij1) b(unij)unij1unijsiunij1 = unijetbnij12= b

(unij)sinonani12j=(uni1j) (unij)uni1j unijsiuni1j = unijetani12j=

(unij)sinonanij12=(unij1) (unij)unij1unijsiunij1 = unijetanij12=

(unij)sinonaveclesconditionsauxbordsan12j:= ani12:= anNx+12j:= aniNy+12:= 0uni0:=

u0si

xi, y12

1uni1sinonet uniNy+1:=

u0si

xi, yNy+12

1uniNysinonun0j:=

u0si

x12, yj

1un1jsinonet unNx+1j:=

u0si

xNx+12, yj

1unNxjsinonainsiona:un+1ij= unij1 tnij

K1i+12jani+12jxixi+12+K1i12jani12jxixi12+K2ij+12anij+12yjyj+12+K2ij12anij12yjyj12

tnij

bni+12j(qxi+12j)+xi+bni12j(qxi12j)+xi+bnij+12(qyij+12)+yj+bnij12(qyij12)+yj

+tnijK1i+12jani+12jxixi+12un+1i+1j +K1i12jani12jxixi12un+1i1j +K2ij+12anij+12yjyj+12un+1ij+1 +K2ij12anij12yjyj12un+1ij1+bni+12j(qxi+12j)+uni+1jxi+bni12j(qxi12j)+uni1jxi+bnij+1

these afif 2002

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