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THEORIE DE LA MESURE

B.Demange

Notes de cours 2012-2014

2

INTRODUCTIONLe but de ce cours de theorie de la mesure est de definir et d’etudier les proprietes de la longeur des

ensembles (et plus generalement l’aire, le volume. . . ), en vue d’en deduire des methodes de calcul des integrales.L’approche classique fait le contraire : on calcule les longeurs, aires, volumes. . . au moyen d’une integrale. Onrappelle a titre d’exemple deux formules classiques :

`(Γ) =

∫‖γ′(t)‖dt, A(Σ) =

∫∫‖∂uf ∧ ∂vf‖dudv.

La premiere donne la longeur d’une courbe parametree reguliere sans point double t→ γ(t), la seconde donnel’aire d’une surface plongee (u, v) → (x, y, z) = f(u, v). L’un des buts du cours est d’attribuer une longeur,une aire, un volume. . . a des ensembles qui ne sont pas forcement parametres par des fonctions regulieres.

La mesure la plus importante est la mesure de Lebesgue, qui calcule la longeur `(E) d’un ensemble E ⊂ R.Si I est un intervalle,

`(I) = sup(I)− inf(I).

La longeur d’un ensemble reduit a un point (qui est un intervalle particulier) est nulle. L’idee est qu’on peutcalculer la longeur d’ensembles de plus en plus compliques en les “decoupant” en intervalles. Par exemple unouvert U est toujours la reunion de ses composantes connexes, qui forment une suite In d’intervalles ouvertsdeux-a-deux disjoints. On pose donc

`(U) =∑n

`(In).

Plus generalement, on peut definir la longeur des ensembles dits mesurables. Un ensemble E est mesurable sipour tout ε > 0, il existe un ferme F et un ouvert U tels que

F ⊂ E ⊂ U et `(U \ F ) < ε (remarquer que U \ F est ouvert, donc a une longeur bien definie).

Grace a des methodes introduites par Lebesgue, on peut definir une longeur `(E) pour un tel ensemble, qui ales proprietes que l’on attend de la longeur (croissance, additivite. . . ). Cette famille est tres riche, puisqu’elleest stable par reunions denombrables, intersections denombrables, et par passage au complementaire.

Malheureusement, il existe des ensembles non mesurables. Par exemple, l’ensemble de Vitali n’est pasmesurable. Il est construit ainsi : soit R/Q l’ensemble des classes dequivalence de la relation d’equivalencexRy ⇔ x− y ∈ Q. On choisit, dans chaque classe d’equivalence, un representant x ∈ [0, 1]. L’ensemble E deces nombres x est l’ensemble de Vitali.

Une fois une mesure µ definie, l’integrale associee sera facile a construire. Si A est mesurable, on posera∫1Adµ = µ(A),

(ou 1A la fonction indicatrice de A), et on prolongera l’integrale par linearite en posant∫ (∑an1An

)dµ =

∑anµ(An),

les sommes etant finies ou infinies (on prendra evidemment des precautions si les sommes sont infinies).Un etudiant suivant ce cours devra comprendre absolument comment marche l’integrale de Lebesgue des

fonctions definies sur un intervalle [a, b], car cela representera 90% des exercices. On arrive a obtenir untheoreme de convergence dominee plus general que dans l’integrale de Riemann :Theoreme : Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions integrables et uniformement bornees, convergent

simplement vers une fonction f . Alors f est integrable et

∫ b

a

f(t)dt = limn

∫ b

a

fn(t)dt.

3

La conclusion “f est integrable” est fausse pour l’integrale de Riemann. En general, pour avoir un theoremede convergence dominee dans l’integrale de Riemann, on a besoin d’une hypothese de convergence uniforme.Dans l’integrale de Lebesgue, une hypothese de domination suffit :

|fn(t)| ≤ ϕ(t) ∀t ∀n,

avec ϕ integrable (ϕ constante convient si on integre sur [a, b]). Le theoreme de convergence dominee deLebesgue est le resultat le plus important du cours.

Une fois la mesure de Lebesgue et son integrale construites, on donnera quelques applications en analysefonctionnelles et en calcul differentiel.

Table des matieres

1 Les mesures 9I Prerequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.1 Calculs sur [−∞,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2 Series sur [0,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.3 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.4 Images reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.1 σ-additivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2 σ-algebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.3 Espaces mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.4 σ-algebre engendree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.5 Transport de mesures et de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.6 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Integration 17I Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.3 Passages a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.4 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II Integrale des fonctions a valeurs dans [0,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.1 Definition de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.2 Consistence de la definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.3 Linearite et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.4 Theoreme de convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.5 Relation de Chasle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.6 Une propriete remarquable de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III Fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.1 Fonctions a valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.2 Fonctions a valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV Theoreme de convergence dominee de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28V Integrales a parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

V.1 Continuite sous l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30V.2 Derivation sous l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Construction de mesures 35I Mesures exterieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.2 Mesure exterieure canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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6 TABLE DES MATIERES

II Theoremes de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.1 Theoreme des mesures exterieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.2 Theoreme de Caratheodory pour les espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.3 Theoreme d’extension de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III Theoremes d’unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.1 Lemme des classe monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.2 Cas des mesures finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III.3 Cas des mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 La mesure de Lebesgue et ses corollaires 43

I La mesure de Lebesgue sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.1 Construction par mesure exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.2 Generalisation du volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.3 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

I.4 Ensembles et fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II Generalisations de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.1 Mesures de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.2 Proprietes des mesures de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.3 Definition alternative de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.4 Longeur, aire, surface de parties courbees de Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II.5 Mesures de Lebesgue-Stieljes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Integration et derivation sur un intervalle [a, b] 53

I Integration sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I.1 Fonctions mesurables bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I.2 Integrale indefinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.3 Approximation des fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

I.4 Compensations dans les integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Derivation sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II.1 Nombres derives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II.2 Integrale d’une derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II.3 Derivee d’une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II.4 Derivee d’une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III Fonctions a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.1 Variation totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.2 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.4 Lien avec les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Theoremes de Fubini 69

I Produit de deux espaces mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

I.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

I.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

II Theoreme de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

III Theoreme de Fubini-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

TABLE DES MATIERES 7

7 Theoreme du changement de variable 75I Cas des applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II Mesure des sous-varietes plongees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

II.1 Rappels du cours de calcul differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.2 Theoreme du changement de variable pour les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.3 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.4 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III Integration sur les sous-varietes plongees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.1 Mesure volume d’une sous-variete plongee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.2 Theoreme du changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78III.3 Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Espaces de Lebesgue Lp 81I Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

I.1 Preliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81I.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82I.3 Inegalite de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82I.4 Inegalite de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

II Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83II.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83II.2 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84II.3 Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9 Application aux series de Fourier 87I Definitions des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

I.1 Serie de Fourier d’une fonction de L2(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.2 Serie de Fourier d’une fonction de L1(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.3 Inegalite de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

II Convergence des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.1 Convergence dans L2(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.3 Condition de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91II.4 Condition de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Les mesures

I Prerequis

On enonce sans demonstration un certain nombre de prerequis pour le cours de theorie de la mesure.

I.1 Calculs sur [−∞,+∞]

La droite reelle achevee est l’ensemble [−∞,+∞] = R ∪ {+∞,−∞}. On prolonge la relation d’ordre, la loi+ et la loi × et la topologie sur R de maniere naturelle a [−∞,+∞]. On prendra toujours comme convention0×±∞ = ±∞× 0 = 0. La multiplication n’est pas continue aux quatre points (±∞, 0) et (0,±∞), mais cene sera pas genant. Par contre on n’autorise pas les operations du type ∞−∞. A chaque fois qu’on fait descalculs dans [−∞,+∞], on verifiera bien que c’est le cas.

On verifiera facilement qu’un ouvert de [−∞,+∞] est un ensemble de la forme

[−∞, a[∪U∪ ]b,+∞],

ou U est un ouvert de R et a, b ∈ [−∞,+∞]. On demande de verifier que :

� + et × sont commutatives, associatives. + est distributive par rapport a ×.

� + est continue (la ou elle est definie), × est continue sauf en (±∞, 0) et (0,±∞).

� [−∞,+∞] est compact, verifie la propriete de la borne superieure et de Bolzano-Weierstrass.

I.2 Series sur [0,+∞]

Les series sur [0,+∞] sont convergentes vers une somme finie ou infinie. Les proprietes de commutativite desseries sur R∗+ restent vraies pour les serie sur [0,+∞] :

� si (xn)n∈N∗ est une suite de [0,+∞], pour toute bijection ϕ : N∗ → N∗, on a+∞∑n=1

xn =+∞∑k=1

xϕ(k).

� si xn et yn sont deux suites de [0,+∞] on a+∞∑n=1

xn + yn =+∞∑n=1

xn ++∞∑n=1

yn.

� si (xk,`)(k,`)∈N∗2 est une suite double de [0,+∞], on a+∞∑k=1

+∞∑`=1

xk,` =+∞∑`=1

+∞∑k=1

xk,`.

Remarque : ces proprietes sont vraies pour les series absolument convergentes, mais peuvent etre mises endefaut pour les series semi-convergentes.

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10 CHAPITRE 1. LES MESURES

I.3 Fonctions indicatrices

On fixe un ensemble de reference X (l’ensemble de definition des fonctions). Si E est une partie de X, lafonction indicatrice de E, notee 1E est la fonction valant 1 sur E et 0 sur X \E. On verifiera facilement que

1∅ = 0, 1X = 1, 1E∩F = 1E × 1F , 1E∪F + 1E∩F = 1E + 1F , 1X\E = 1− 1E.

I.4 Images reciproques

Definition 1. Soient X et Y deux ensembles et f : X → Y une fonction. Pour tout A ⊂ Y on pose

f−1(B) = {f ∈ B} = {x ∈ X t.q. f(x) ∈ B}.

Proposition 1. Soient X et Y deux ensembles, f : X → Y une fonction, A ⊂ Y et (Ai)i∈I une famille departies de Y . On a

f−1(⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

f−1(Ai), f−1(⋂i∈I

Ai) =⋂i∈I

f−1(Ai) et f−1(Y \ A) = X \ f−1(A).

En particulier, l’image reciproque d’une union disjointe est la reunion disjointe des images reciproques.

Si X et Y sont des ensembles, f : X → Y est une fonction, x ∈ X et E ⊂ Y , on notera par 1f(x)∈E laquantite 1f−1(E)(x), i.e. 1 si f(x) ∈ E et 0 sinon.

II Mesures

II.1 σ-additivite

Definition 2. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ une fonction definiesur A, a valeurs dans [0,+∞], telle que µ(∅) = 0. On dit que µ est σ-additive si pour tout A ∈ A, pour

toute suite d’ensembles An ∈ A deux-a-deux disjoints tels que A =+∞⋃n=1

An, on a µ(A) =+∞∑n=1

µ(An).

Exemple 1 : la fonction qui a un ensemble associe son cardinal est σ-additive.Exemple 2 : la fonction qui a un intervalle associe sa longeur est σ-additive (td).

II.2 σ-algebres

Definition 3. Une σ-algebre (ou encore une tribu) sur un ensemble X est une famille de parties de Xcontenant ∅ et X, stable par complementaire et par reunions denombrables.

Remarque : on verifiera facilement qu’une intersection quelconque de σ-algebre en est une, mais que la reunionde deux σ-algebres n’est est pas une.Exemple : les familles {∅, X} et P(X) sont respectivement la plus petite et la plus grosse des σ-algebres.Tout ensemble construit a partir d’un nombre fini ou denombrables d’operations

⋂,⋃, \ sur des elements de

II. MESURES 11

A, est donc dans A. Le fait de pouvoir effectuer un nombre d’enombrable d’operations est fondamental pourles passages a la limite.Rappel : (limites d’ensembles). Si An est une suite croissante de parties de X, l’ensemble limite est lareunion. Si la suite est decroissante, c’est l’intersection. Si la suite n’est ni croissante ni decroissante, on n’apas d’ensemble limite.

II.3 Espaces mesures

Definition 4. Une mesure est une application σ-additive µ, definie sur une σ-algebre A de parties d’unensemble X. Le couple (X,A) s’appelle un espace mesurable, et le triplet (X,A, µ) un espace mesure.

Exemple 1 : la mesure de comptage est definie pour tout A ⊂ X par µ(A) = Card(A) ∈ N ∪ {+∞}.Exemple 2 : on fixe x ∈ X. La mesure de Dirac en x est definie par δx(E) = 1x∈E = 1 si x ∈ E et 0 si x /∈ E.Remarque : une somme finie (ou infinie) de mesures est une mesure.

Proposition 2. Soit (X,A, µ) un espace mesure. On a les proprietes suivantes.

(1) Pour tous A,B ∈ A tels que A ⊂ B, on a µ(A) ≤ µ(B) (µ est croissante).

(2) ∀A ∈ A et ∀An ∈ A (n ∈ N∗), si A ⊂+∞⋃n=1

An, alors µ(A) ≤+∞∑n=1

µ(An) (µ est σ-sous-additive).

(3) Si An ∈ A est une suite croissante, de reunion A, on a limµ(An) = µ(A).

(4) Si An ∈ A est une suite decroissante, d’intersection A, et si µ(A1) < +∞, on a limµ(An) = µ(A).

Demonstration. (1) : on a µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) ≥ µ(A).(2) : on pose B1 = A∩A1 et pour tout n > 1, Bn = A∩An \ (A1 ∪ · · · ∪An−1). On obtient ainsi une partitionde A. Comme Bn ⊂ An, on a

µ(A) =+∞∑n=1

µ(Bn) ≤+∞∑n=1

µ(An).

(3) : en posant A0 = ∅ on a A =+∞⋃k=0

(Ak+1 \ Ak), An =n−1⋃k=0

(Ak+1 \ Ak) et ces reunions sont disjointes. Donc

µ(An) =n−1∑k=0

µ(Ak+1 \ Ak)→+∞∑k=0

µ(Ak+1 \ Ak) = µ(A).

(4) : la suite Bn = A1 \ An est croissante de reunion B = A1 \ A. Donc µ(Bn) → µ(B). Par (1), tous lesensembles consideres sont de mesure finie. On en deduit que µ(An) = µ(A1) − µ(Bn) → µ(A1) − µ(B) =µ(A).

Remarque : d’apres (4), on a :

An+1 ⊂ An ∀n ∈ N∗ et 0 < infn∈N∗

µ(An) <∞⇒⋂n∈N∗

An 6= ∅.

Cette propriete est parfois appelee contraposee de la σ-additivite.

Definition 5. Soit (X,A, µ) un espace mesure. La masse de la mesure µ est sa valeur maximale, i.e. µ(X).Une mesure est dite finie si µ(X) < +∞. Une mesure de probabilite est une mesure de masse 1. Un espaceprobabilise (ou espace de probabilite) est un espace mesure de masse 1.


II.4 σ-algebre engendree

Intuitivement, la σ-algebre engendree par une famille d’ensembles A (par exemple les intervalles, les carres. . . )est la famille des ensembles que l’on construit recursivement avec les operations

⋂,⋃

et \, a partir des elementsde A. Le probleme est que la famille des ensembles ainsi obtenus n’est pas une σ-algebre en general (ce n’estqu’une algebre, i.e. stable par complementaire, reunions finies et intersections finies). On est donc amene aconsiderer une definition implicite :

Definition 6. Soit X un ensemble, et A une famille de parties de X. La σ-algebre engendree par A estla plus petite σ-algebre contenant A, pour la relation d’inclusion. On la note σ(A).

Remarque : c’est l’intersection de toutes les σ-algebres contenant A (il y en a au moins une : P(X)).une des difficultes de la theorie de la mesure est qu’il n’y a pas de description explicite des elements de σ(A),sauf cas particuliers (par exemple le cas ou A est fini).Exemple 1 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}, {2, 3}}. Alors σ(A) = P(X).Remarque : par definition σ(A) contient toujours X, meme si on ne peut pas construire X a partir de A, aumoyen des operations ∩,∪, \, comme c’est le cas de l’exemple 1.Exemple 2 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}}. Alors σ(A) = {∅, {1, 2}, {3, 4}, X}.

Lemme 1. Soient A et B deux familles de parties d’un ensemble X.

(1) A ⊂ B ⇒ σ(A) ⊂ σ(B).

(2) Si A est une σ-algebre, σ(A) = A.

Demonstration. (1). On a A ⊂ B ⊂ σ(B). Donc σ(B) est une σ-algebre contenant A. Comme σ(A) est laplus petite (pour la relation d’inclusion), on a σ(A) ⊂ σ(B).(2) : evident.

Remarque : on utilisera ces propietes sans arret.

Definition 7. Soit X un espace topologique. La tribu de Borel sur X est la σ-algebre engendree par lesouverts. On la note B(X). On appelle ses elements les boreliens de X ou les ensembles mesurables au sensde Borel. Une mesure de Borel sur un espace topologique X est une mesure sur B(X).

Remarque :B(X) est aussi la σ-algebre engendree par les fermes.

Proposition 3. Tout intervalle de R (respectivement [−∞,+∞]) est un borelien de R (resp.[−∞,+∞]).

(1) les intervalles du type ]a,+∞[, avec a ∈ R engendrent B(R).

(2) les intervalles du type ]a,+∞], avec a ∈ R, engendrent B([−∞,+∞]).

Demonstration. Un intervalle de R ou de [−∞,+∞] est la reunion d’un intervalle ouvert, et eventuellementde deux points (ses extemites). Un point etant ferme, tout intervalle est un borelien.(1) : soit A la famille des ensembles du type ]a,+∞[, avec a ∈ R. Comme ]a,+∞[ est ouvert, A ⊂ B(R) donc

σ(A) ⊂ B(R).

II. MESURES 13

Soient (a, b) ∈ [−∞+∞]2 tels que a < b, et (an, bn) ∈ R2 tels que a < an < bn < b, an → a et bn → b. On a

]a, b[=⋃n∈N∗

]an, bn] =⋃n∈N∗

]an,+∞[\]bn,+∞[∈ A.

Donc σ(A) contient les intervalles ouverts de R. Comme tout ouvert de R est reunion denombrable d’intervallesouvert (ses composantes connexes), σ(A) contient les ouverts. On a donc

B(R) ⊂ σ(A).

(2) : soit B la σ-algebre engendree par les intervalles du type ]a,+∞], avec a ∈ R. Comme ]a,+∞] est unouvert de [−∞,+∞], B ⊂ B([−∞,+∞]), donc

σ(B) ⊂ B([−∞,+∞]).

Tout ouvert de [−∞,+∞] est la reunion denombrable d’intervalles ouverts (ses composantes connexes). Lesintervalles ouverts de [−∞,+∞] sont de quatre types :

]a, b[, [−∞, b[, ]a,+∞], [−∞,+∞],

avec (a, b) ∈ [−∞,+∞]2 tels que a < b. Soient (an, bn) ∈ R2 tels que a < an < bn < b, an → a et bn → b. Ona

]a, b[=⋃n∈N∗

]an,+∞]\]bn,+∞], [−∞, b[=⋃n∈N∗

[−∞,+∞]\]bn,+∞].

Donc σ(B) contient les ouverts, et B([−∞,+∞]) ⊂ σ(B).

Remarque : la σ-algebre des boreliens de R est la plus importante de ce cours. Il est tres facile de definir lalongeur d’un intervalle ou d’un ouvert, mais la longeur d’un borelien est plus compliquee a definir.

II.5 Transport de mesures et de tribus

Definition 8 (σ-algebre et mesure induite). Soient X et Y deux ensembles, B une σ-algebre sur Y , etf : X → Y une application. Alors

A = {f−1(B);B ∈ B}

est une σ-algebre sur X. Elle s’appelle la σ-algebre engendree (ou induite) par f sur X, notee σ(f). Si µ estune mesure sur A, alors la fonction ν definie pour B ∈ B par

ν(B) = µ(f−1(B))

est une mesure sur B, appelee mesure image de µ par f .

Demonstration. Proprietes de l’image reciproque.

II.6 Mesure de Lebesgue

Theoreme 1. Il existe une unique mesure sur B(R) telle que µ(I) = `(I) pour tout intervalle I ⊂ R.

Resultat admis jusqu’au chapitre 4.


EXERCICES OBLIGATOIRES

Exercice 1 : Demontrer les proprietes des paragraphes I.2, I.3 et I.4.Exercice 2 : Montrer que la mesure de comptage et les mesures de Dirac sont bien des mesures.Exercice 3 : Soient I et In des intervalles.

(1) Montrer par recurrence que I ⊂ I1 ∪ · · · ∪ In ⇒ `(I) ≤ `(I1) + · · ·+ `(In).

(2) Montrer que I ⊂∞⋃n=1

In ⇒ `(I) ≤+∞∑n=1

`(In) (se ramener au cas ou I est compact et In ouvert).

(3) Montrer que ` est σ-additive.

Exercice 4 : Soit (X,A) un espace mesurable et (µn)n∈N∗ une suite de mesures sur A. Montrer que+∞∑n=1

µn est

une mesure.Exercice 5 : Soit X un ensemble, et An une suite de parties de X.

(1) Determiner la σ-algebre engendre par une famille reduite a un element.

(2) Determiner σ(A1, . . . , An) en fonction de σ(A1, . . . , An−1) et de An.

(3) Montrer que σ(A1, . . . , An) est fini.

EXERCICES SUGGERES

Exercice 6 : Soit (X,A) un espace mesurable et (µn)n∈N∗ une suite de mesures sur A. On suppose que pourtout n ∈ N∗, µn ≤ µn+1. Montrer que µ := sup

n∈N∗µn est une mesure sur A.

Exercice 7 : Soit A la famille des reunions denombrables d’intervalles.

(1) Montrer que A est stable par intersections finies et par reunions denombrables. Est-ce une σ-algebre?

(2) Montrer que A est la famille des ensembles qui sont la reunion d’un ouvert et d’un ensemble denombrable.

Exercice 8 : Soit X un ensemble, A une famille de parties de X et µ : A → [0,+∞] telle que µ(∅) = 0. Onsuppose que µ est σ-additive et que pour tous A,B ∈ A, les ensembles A ∩B et B \ A sont aussi dans A.

(1) Montrer que µ est croissante.

(2) Pour toute suite An ∈ A, montrer que Bn = An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1) ∈ A.

(3) Soit A ∈ A tel que A ⊂⋃

An. Montrer que µ(A) ≤∑

µ(An).

Exercice 9 : Soit A la famille des ensembles du type

A = {(x, y) ∈ [0, 1]× R t.q. f(x) ≤ y ≤ g(x)},

ou f, g : [0, 1]→ R sont continues telles que f ≤ g. On pose

µ(A) =

∫ b

a

(g(t)− f(t))dt.

(1) Montrer le lemme de Dini : soit Rn : [0, 1]→ R+ continues, convergeant simplement vers 0 en decroissant.Alors la convergence est uniforme. Indic : Kn = {t ∈ [0, 1] t.q. Rn(t) ≥ ε} est compact.

II. MESURES 15

(2) Soit fn une suite de fonctions continues et positives sur [0, 1]. On suppose que∑fn converge simplement

vers une fonction f continue (et finie). En considerant le reste Rn de la serie, montrer que∫ 1

0

f(t)dt =+∞∑n=1

∫ 1

0

fn(t)dt.

(3) Montrer que µ est σ-additive.

Exercice 10 : Soit X un ensemble et A une σ-algebre sur X. On suppose que A est denombrable.

(1) Pour tout x ∈ X soit E(x) l’intersection des A ∈ A tels que x ∈ A. Montrer que E(x) ∈ A.

(2) Soient x, y ∈ X tels que E(x) ∩ E(y) 6= ∅. Montrer que E(x) = E(y).

(3) Montrer que tout A ∈ A est reunion denombrable disjointe d’ensembles du type E(x).

(4) Montrer que A est contient un nombre fini d’elements.

Probleme (exam 2012) :

Soit I une famille finie d’intervalles, et E la reunion de ces intervalles. Le but est trouver deux sous-famillesI1, I2 telles que

· les intervalles de chaque sous-famille sont deux-a-deux disjoints.

· la reunion des intervalles de I1 et des intervalles de I2 est egale a E.

(1) Montrer qu’il existe {I1, . . . , In} ⊂ I tel que E = I1 ∪ · · · ∪ In, avec n minimal.

(2) Montrer que dans chaque intervalle Ik, il y a au moins un point xk qui n’est dans aucun des autres.

On permute les Ik de sorte que x1 < x2 < · · · < xn.

(3) Montrer que I1 = {Ik, k pair } et I2 = {Ik, k impair} conviennent. Indication : si I et J sont deuxintervalles tels que I ∩ J 6= ∅, alors I ∪ J est un intervalle.

Chapitre 2

Integration

I Fonctions mesurables

I.1 Definition

Definition 1. Soient (X,A) et (Y,B) deux espaces mesurables. Une fonction mesurable de (X,A) dans(Y,B) est une fonction f : X → Y telle que pour tout B ∈ B, f−1(B) ∈ A.

Remarque : les fonctions constantes sont toujours mesurables, par rapport a n’importe quelle tribu.

Definition 2. Soient X et Y deux espaces metriques. Une fonction f : X → Y est dite borelienne si elleest mesurable de (X,B(X)) dans (Y,B(Y )).

Remarque : la plupart du temps, Y = [−∞,+∞] ou C, muni de la tribu de Borel. Par contre X peut etren’importe quel espace mesurable.

Proposition 1. Soient (X,A) et (Y,B) deux espaces mesurables, et f une fonction de X dans Y .

(1) Soit F une famille engendrant B. Alors f est mesurable ssi pour tout B ∈ F , f−1(B) ∈ A.

(2) Si Y est metrique et B = B(Y ), f est mesurable ssi pour tout ouvert U ⊂ Y , f−1(U) ∈ A.

(3) si X et Y sont metriques, et si f est continue sauf sur un ensemble denombrable, f est borelienne.

Demonstration. (1) : soit

C = {B ⊂ B t.q. f−1(B) ∈ A}.

Par les proprietes des images reciproques (chapitre 1), C est une σ-algebre. Si C contient F , alors C ⊃ σ(F) = B.Clairement C ⊂ B, donc C = B. Reciproque evidente.(2) : appliquer le (1).(3) : soit N l’ensemble des points discontinuite de f , U ⊂ Y ouvert et E = f−1(U). Le but est de montrer queE est un borelien. On va en fait montrer que E est la reunion d’un ouvert et d’un ensemble denombrable.

17

18 CHAPITRE 2. INTEGRATION

Pour tout x ∈ E \ N , f est continue en x et f(x) ∈ U . Donc il existe un voisinage ouvert V (x) de x telque f(V (x)) ⊂ U , i.e. V (x) ⊂ E. On pose

V =⋃

x∈E\N

V (x).

Par construction V est ouvert, V ⊂ E et E \ V ⊂ N , cqfd.

Corollaire 1. Soit (X,A) un espace mesurable. Une fonction f : X → [−∞,+∞] est mesurable ssi

∀a ∈ R, f−1(]a,+∞]) ∈ A.

Remarque : on notera souvent l’ensemble f−1(]a,+∞]) sous la forme {f > a} ou {x ∈ X t.q. f(x) > a}.

I.2 Composition

Proposition 2. Soient (X,A), (Y,B) et (Z, C) trois espaces mesurables, f : X → Y et g : Y → Z mesurables.Alors g ◦ f : X → Z est mesurable.

Demonstration. Evident car (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).

Definition 3. Si f : X → [−∞,+∞] on definit f+ = max(f, 0) et f− = max(−f, 0). On a f+ ≥ 0, f− ≥ 0,|f | = f+ + f− et f = f+ − f−.

Remarque : la difference f+− f− a toujours un sens car on ne peut pas avoir f+ = f− = +∞. Bien noter quela partie negative d’une fonction f est max(−f, 0), et non pas min(f, 0) : on a bien f− ≥ 0.

Corollaire 2. Soit (X,A) un espace mesurable.

(1) La somme (si elle a un sens) et le produit de fonctions mesurables, a valeurs dans [−∞,+∞] ou C, sontmesurables.

(2) Si fn : X → [−∞,+∞] sont mesurables, alors sup(fn) et inf(fn) sont mesurables.

(3) f : X → [−∞,+∞] est mesurable si et seulement si f+ et f− sont mesurables.

(4) f : X → C est mesurable si et seulement si Re(f) et Im(f) sont mesurables.

(5) Si f : X → C est mesurable, alors |f | est mesurable.

Demonstration. (1) : les lois + et × sont continues sur C. La loi + est bien continue sur [−∞,+∞] (la ou elleest definie), et la loi × est continue sauf aux quatre points (0,±∞) et (±∞, 0). Elle est donc borelienne.

(2) : pour tout a ∈ R, {x ∈ X t.q. sup(fn) > a} =⋃n

{x ∈ X t.q. fn(x) > a} et inf(fn) = sup(−fn).

(3) : decoule de (1) et (2).

(4) et (5) : la partie reelle, la partie imaginaire, et le module complexe, sont des fonctions continues.

I. FONCTIONS MESURABLES 19

I.3 Passages a la limite

Theoreme 1. Soit (X,A) un espace mesurable, Y un espace metrique, muni de sa tribu de Borel. Si lalimite simple f d’une suite de fonction mesurables fn : X → Y existe, c’est une fonction mesurable.

Demonstration. Si F est une partie de Y , la fonction distance a F est definie par

d(y, F ) = inf{d(y, y′) avec y′ ∈ F}.

On rappelle que c’est une fonction lipschitzienne, donc continue. Soit U ⊂ Y ouvert, et F = Y \U . On affirmeque

f−1(U) =⋃k∈N∗

⋃`∈N∗

⋂n≥`

{d(fn, F ) ≥ 1/k}. (2.1)

Chaque fonction d(fn, F ) etant mesurable, le membre de droite est un ensemble mesurable.Un point x est dans le membre de droite de (2.1) si et seulement si

∃k ∈ N∗, ∃` ∈ N∗, ∀n ≥ `, d(fn(x), F ) ≥ 1

k.

En passant a la limite n → +∞ on obtient d(f(x), F ) ≥ 1

k> 0. Comme F est ferme, on a f(x) ∈ U .

Reciproquement, si f(x) ∈ U , on a d(f(x), F ) > 0 car F est ferme. On choisit k ∈ N∗ tel que d(f(x), F ) ≥ 2

k.

Comme fn(x) tend vers f(x), on a d(fn(x), F ) ≥ 1

ka partir d’un rang. On a donc prouve (2.1).

Definition 4. Si un est une suite d’elements de [−∞,+∞], on definit

lim supn→+∞

un := limn→+∞

supk≥n

uk et lim infn→+∞

un := limn→+∞

infk≥n

uk.

Demonstration de l’existence des limites. La suite vn := supk≥n uk est decroissante, donc est convergente dans[−∞,+∞]. La suite wn := infk≥n uk est croissante, donc converge dans [−∞,+∞].

Proposition 3. Soit un une suite de [−∞,+∞].

(1) lim supun est la plus grande valeur d’adherence de un, lim inf un la plus petite.

(2) lim inf un ≤ lim supun, avec egalite ssi la suite converge dans [−∞,+∞].

Demonstration. (1) : soit ` ∈ [−∞,+∞] et ϕ strictement croissante telle que uϕ(n) → `. Comme ϕ(n) ≥ n,wn ≤ uϕ(n) ≤ vn. Passage a la limite : lim inf un ≤ ` ≤ lim supun. Il reste a montrer que lim supun et lim inf unsont effectivement des v.a. Soit ` = lim supun.

Si ` = −∞, on a un ≤ vn → −∞, donc un tend vers −∞. Si ` = +∞, on choisit kn ≥ n t.q ukn ≥ vn − 1,et ukn tend vers +∞. Si ` ∈ R, on choisit kn ≥ n tel que vn− 1/n ≤ ukn ≤ vn et on a ukn → `. Raisonnementsimilaire pour la limite inferieure.(2) : s’il y a egalite, un a une seule valeur d’adherence, et comme [−∞,+∞] est compact, un est convergente.

Corollaire 3. Soit (X,A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞,+∞] une suite de fonctions mesurables.Alors lim sup fn et lim inf fn sont mesurables.

Corollaire 4. Soit (X,A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞,+∞] ou C une suite de fonctionsmesurables. Si la serie de fonctions

∑fn est bien definie et converge simplement, sa somme est mesurable.


I.4 Exemples fondamentaux

Proposition 4. Soient a, b ∈ R avec a < b. Les fonctions suivantes sont boreliennes :

(1) les fonctions continues par morceaux de [a, b] dans C.

(2) les fonctions monotones f : [a, b]→ R.

(3) toute fonction obtenue comme somme, produit et limite simple de telles fonctions.

Demonstration. (1) : deja fait. (2) : si I est un intervalle, on montre que J = f−1(I) aussi un intervalle, doncen particulier un borelien. Pour tous x, y ∈ J , et pour tout z compris entre x et y, f(z) est compris entre f(x)et f(y) par monotonie de f . Comme I est un intervalle, f(z) ∈ I, i.e. z ∈ J , cqfd.

Definition 5. Soit X un espace topologique. Une fonction f : X →] − ∞,+∞] est dite semi-continueinferieurement (sci) si pour tout α ∈ R,

{x ∈ X t.q. f(x) > α}

est ouvert. Une fonction f : X → [−∞,+∞[ est dite semi-continue superieurement (scs) si et seulement sipour tout α ∈ R,

{x ∈ X t.q. f(x) < α}

est ouvert.

Remarque : ce sont donc des fonctions boreliennes.

Proposition 5. Les sommes finies de fonctions sci sont sci. La borne superieure d’une famille de fonctionssci est sci, et une serie de fonctions sci positives est sci. Une fonction f est sci ssi −f est scs. L’indicatriced’un ouvert est sci et l’indicatrice d’un ferme est scs.

Demonstration. Somme : soient f, g et t ∈ R. Soit x ∈ X tel que f(x) + g(x) > t, et ε =f(x) + g(x)− t

2.

Soit η > 0 tel que pour tout y ∈ X t.q. d(x, y) < η, f(y) > f(x)− ε et g(y) > g(x)− ε. Alors f(y) + g(y) >f(x) + g(x)− 2ε = t, cqfd.Borne superieure : si (fi)i∈I est une famille de fonctions s.c.i, pour tout t ∈ R,

{supifi > t} = ∪i{fi > t} = reunion d’ouverts.

Serie : si fn sont s.c.i positives, alors+∞∑n=1

fn = supn

n∑k=1

fk.

Fonctions indicatrices : si U est ouvert, 1−1U (]α,+∞]) vaut ∅ si α ≥ 1, U si 0 ≤ α < 1 et X si α < 0. Si F est

ferme, 1−1F ([−∞, α[) vaut ∅ si α ≤ 0, X \ F si 0 < α ≤ 1 et X si α > 1.

II Integrale des fonctions a valeurs dans [0,+∞]

On fixe un espace mesure (X,A, µ).

II.1 Definition de l’integrale

II. INTEGRALE DES FONCTIONS A VALEURS DANS [0,+∞] 21

Theoreme 2. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. Il existe deux suites an ∈ [0,+∞] et An ∈ A telles que

f =+∞∑n=1

an1An

(la serie etant simplement convergente). Le nombre+∞∑n=1

anµ(An) ∈ [0,+∞] est independant de la

decomposition trouvee. On le note

∫fdµ.

Remarque : la representation n’est pas unique, et les ensembles An ne sont pas forcement deux-a-deux dis-joints. Par exemple si 0 < x < y < 1,

1[0,1] + 1[x,y] = 1[0,y] + 1[x,1] = 1[0,x[ + 21[x,y] + 1]y,1].

L’integrale classique des fonctions continues et continues par morceaux est definie de meme, mais avec desindicatrices d’intervalles. En effet, on peut montrer qu’une fonction en escalier f : [a.b] → R+ se decomposesous la forme

f =N∑k=1

ak1Ik ,

avec ak ∈ R+ et Ik ⊂ [a, b] intervalle, et qu’une fonction f : [a, b] → R+ continue, continue par morceaux, etplus generalement reglee, se represente sous forme d’une serie uniformement convergeante

f =+∞∑n=1

an1In ,

avec an ∈ R+, In ⊂ [a, b] intervalles, et c’est une caracterisation des fonctions reglees positives. En theoriede l’integrale de Lebesgue, les In ne sont plus forcement des intervalles, et la serie peut etre simplementconvergeante. On obtient donc beaucoup plus de fonctions integrables.

II.2 Consistence de la definition

Lemme 1. Si f : X → [0,+∞] est mesurable, il existe une suite an ∈ [0,+∞] et une suite An ∈ A tels que

f =+∞∑n=1

an1An .

Demonstration. Tout nombre y ∈ R+ a une decomposition en base 2

y =∑n∈Z

dn(y)

2n+1,

ou dn(y) = [2n+1y]− 2[2ny] ∈ {0, 1} est la suite des bits de y. On a dn(y) = 1 si 2k+ 1 ≤ 2n+1y < 2k+ 2 pour

un certain k ∈ N, et 0 sinon. La reunion de ces intervalles est un borelien En. On a donc y =∑n∈Z

1

2n+11En(y).


Soit f : X → [0,+∞] mesurable, et pour tout k ∈ Z, Fk = {x ∈ X t.q. f(x) ∈ Ek} = f−1(Ek) ∈ A, etF = {x ∈ X t.q. f(x) = +∞} = f−1({+∞}) ∈ A. Par composition on a pour tout x ∈ X,

f(x) = (+∞)1F (x) +∑k∈Z

1

2k+11Ek

(f(x)) = (+∞)1F (x) +∑k∈Z

1

2k+11Fk

(x).

Lemme 2. Soient an, bn ∈ [0,+∞] et An, Bn ∈ A (n ∈ N∗). On suppose que,

∀ x ∈ X,+∞∑n=1

an1An(x) ≤+∞∑n=1

bn1Bn(x).

Alors+∞∑n=1

anµ(An) ≤+∞∑n=1

bnµ(Bn).

Remarque : ce lemme est en fait equivalent a la σ-additivite de µ.

Demonstration. On demontre le lemme d’abord pour les sommes finies, par recurrence, puis on en deduit lecas des sommes infinies par passage a la limite.→ On suppose que a1A ≤ b1B. Si a = 0 ou si A = ∅, on a aµ(A) = 0 ≤ bµ(B). Sinon, a ≤ b et A ⊂ B doncon a aussi aµ(A) ≤ bµ(B).

→ On suppose queN∑n=1

an1An ≤ b1B. En multipliant la relationN∑n=1

an1An ≤ b1B respectivement par 1A2\A1 ,

1A1∩A2 , 1A1\A2 et 1X\(A1∪A2), on obtient :

N∑n=1

an1An∩A2\A1 ≤ b1B∩A2\A1 ,N∑n=1

an1An∩A1∩A2 ≤ b1B∩A1∩A2 ,N∑n=1

an1An∩A1\A2 ≤ b1B∩A1\A2 ,

etN∑n=1

an1An\(A1∪A2) ≤ b1B\(A1∪A2). Chacune de ces inegalites a un ou deux termes en moins : le terme n = 1

est nul dans la premiere, les deux premiers termes se combinent dans la seconde, le terme n = 2 est nul dansla troisieme et les termes n = 1 et n = 2 sont nuls dans la derniere. On obtient par recurrence quatre relationssur les mesures :

N∑n=1

anµ(An ∩ A2 \ A1) ≤ bµ(B ∩ A2 \ A1),N∑n=1

anµ(An ∩ A1 ∩ A2) ≤ bµ(B ∩ A1 ∩ A2),

N∑n=1

anµ(An ∩A1 \A2) ≤ bµ(B ∩A1 \A2), etN∑n=1

anµ(An \ (A1 ∪A2)) ≤ bµ(B \ (A1 ∪A2)). Comme les quatre

ensembles A1 \A2, A1 ∩A2, A2 \A1 et X \ (A1 ∪A2) partitionnent X, la somme de ces quatre relations donneN∑n=1

anµ(An) ≤ bµ(B), par additivite de µ.

→ On suppose queN∑n=1

an1An ≤M∑n=1

bn1Bn . On multiplie la relation par 1B1\B2 , 1B1∩B2 , 1B2\B1 et 1X\(B1∪B2),

et on raisonne comme ci-dessus par recurrence sur M .


→ On suppose que+∞∑n=1

an1An ≤+∞∑n=1

bn1Bn . On multiplie la relation par 1XMavec XM = X \ (BM ∪BM+1 · · · ).

On obtient, pour tous N,M ∈ N∗,

N∑n=1

an1An∩XM≤

+∞∑n=1

an1An∩XM≤

+∞∑n=1

bn1Bn∩XM=

M∑n=1

bn1Bn∩XM.

Le cas precedant donneN∑n=1

anµ(An ∩ XM) ≤M∑n=1

bnµ(B ∩ XM) ≤+∞∑n=1

bnµ(Bn), par croissance de µ. On fait

tendre M → +∞ (la suite XM est croissante de reunion X), puis N → +∞, et on a le resultat.

Corollaire 5. Avec les meme notations, si

∀ x ∈ X,+∞∑n=1

an1An(x) =+∞∑n=1

bn1Bn(x),

alors+∞∑n=1

anµ(An) =+∞∑n=1

bnµ(Bn).

II.3 Linearite et croissance

Proposition 6. Pour toutes fonctions f, g : X → [0,+∞] mesurables telles que f ≤ g, on a

∫fdµ ≤

∫gdµ.

Demonstration. C’est exactement le lemme 2.

Proposition 7. Pour toutes fonctions f, g : X → [0,+∞] mesurables, et tous α, β ∈ R+, on a∫(αf + βg)dµ = α

∫fdµ+ β

∫gdµ.

Demonstration. Soient ak, bk ∈ R+, Ak, Bk ∈ A tels que f =+∞∑k=1

ak1Aket g =

+∞∑k=1

bk1Bk. Alors une

representation possible de αf + βg est+∞∑k=1

αak1Ak+

+∞∑k=1

βbk1Bk, donc

∫(αf + βg)dµ = α

+∞∑k=1

akµ(Ak) + β+∞∑k=1

bkµ(Bk) = α

∫fdµ+ β

∫gdµ.

Proposition 8 (Inegalite de Tchebitchev). Soit f : X → [0,+∞] mesurable et α ∈ R∗+. On a

µ({x ∈ X t.q. f(x) ≥ α}) ≤ 1

α

∫fdµ.

Demonstration. Soit E = f−1([α,+∞]) ∈ A. On a α1E ≤ f par definition de E, puis on integre.

Definition 6. On dit qu’une proriete P (x) dependant de x ∈ X est vraie presque partout s’il existe N ∈ Atel que µ(N) = 0 et P (x) est vraie pour tout x /∈ N .


Proposition 9. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. On a

∫fdµ = 0 si et seulement si f(x) = 0 p.p.

Demonstration. Supposons que

∫fdµ = 0. Alors par l’inegalite de Tchebichev, les ensembles

Nn = {x ∈ X t.q. f(x) ≥ 1/n}

sont de mesure nulle, pour tout n ∈ N∗. Ces ensembles forment une suite croissante, donc leur reunion N estde mesure nulle. Pour tout x /∈ N , on a f(x) > 0.

Reciproquement, supposons que f(x) = 0 p.p. Soit N ∈ A tel que f(x) = 0 pour tout x /∈ N et µ(N) = 0.

Soit an ∈ R+ et An ∈ A tels que f =+∞∑n=1

an1An . On a f = f1N car f(x) = 0 si x /∈ N , donc f =+∞∑n=1

an1An∩N .

Chaque An ∩N est de mesure nulle, puisque inclus dans N , donc

∫fdµ =

+∞∑n=1

anµ(An ∩N) = 0.

Proposition 10. Soit f : X → [0,+∞] mesurable telle que

∫fdµ < +∞. On a f(x) < +∞ p.p.

Remarque : reciproque fausse.

Demonstration. Soit E = {x ∈ X t.q. f(x) = +∞}. Alors f ≥ n1E pour tout n ∈ N∗, donc nµ(E) ≤∫fdµ,

et en faisant n→ +∞ on trouve µ(E) = 0.

II.4 Theoreme de convergence monotone et lemme de Fatou

Theoreme 3 (Theoreme de convergence monotone, dit de Beppo-Levi). Soit (fn)n≥1 une suite de fonctionsmesurables positives.

(1) on a

∫ (+∞∑n=1

fn

)dµ =

+∞∑n=1

∫fndµ.

(2) si fn ≤ fn+1 pour tout n, alors

∫lim fndµ = lim

∫fndµ.

(2) si fn+1 ≤ fn pour tout n et si

∫f1dµ < +∞, alors

∫lim fndµ = lim

∫fndµ.

Remarque : chacune des series et limites ecrites existe, par positivite ou monotonie.

Lemme 3. Soient f, g : X → [0,+∞] mesurables telles que f ≤ g. Il existe h : X → [0,+∞] mesurable telleque g = f + h.

Demonstration. On pose h(x) = g(x)− f(x) si f(x) < +∞ et h(x) = 0 si f(x) = +∞. On a bien g = f + h.Un autre ecriture pour h est h = g1E − f1E, avec E = {x ∈ X t.q. f(x) < +∞} = f−1([0,+∞[) ∈ A. Lesdeux fonctions g1E et f1E sont donc mesurables, et leur difference est bien definie, donc h est mesurable.


Demonstration. (1) : pour tout n on a une representation de fn sous la forme fn =+∞∑k=1

ak,n1Ak,n. Une

representation possible de∑

fn est+∞∑n=1

fn =+∞∑n=1

+∞∑k=1

ak,n1Ak,n. Donc

∫ (+∞∑n=1

fn

)dµ =

+∞∑n=1

(+∞∑k=1

ak,nµ(Ak,n)

)=

+∞∑n=1

∫fndµ.

(2) : on pose g1 = f1, et pour tout n ≥ 2, soit gn : X → [0,+∞] telle que fn = fn−1 + gn. Par linearite et (1),

∫ ( n∑k=1

gk

)dµ =

n∑k=1

∫gndµ et

∫ (+∞∑k=1

gk

)dµ =

+∞∑k=1

∫gkdµ.

Or fn =n∑k=1

gk et donc lim fn =+∞∑k=1

gk, cqfd.

(3) : pour tout n ≥ 1, soit gn : X → [0,+∞] mesurable telle que fn = fn+1 + gn. Une recurrence immediate

donne f1 = fn +n−1∑k=1

gk et donc f1 = lim fn ++∞∑k=1

gk. Par linearite et (1) :

∫f1dµ =

∫fndµ+

n−1∑k=1

∫gkdµ,

∫f1dµ =

∫lim fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ

et par passage a la limite dans la premiere,

∫f1dµ = lim

∫fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ. En particulier

∫lim fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ = lim

∫fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ =

∫f1dµ < +∞.

La serie+∞∑k=1

∫gkdµ est donc finie, on peut la retrancher de chaque membre, cqfd.

Theoreme 4 (Lemme de Fatou). Soit fn : X → [0,+∞] une suite de fonctions mesurables. On a∫ (lim infn→+∞

fn

)dµ ≤ lim inf

n→+∞

(∫fndµ

).

Demonstration. Soit gn = infk≥n fk et In = infk≥n

∫fkdµ. Pour tout k ≥ n on a gn ≤ fk donc

∫gndµ ≤

∫fkdµ ∀k ≥ n donc

∫gndµ ≤ In.

Ensuite on passe a la limite en utilisant le theoreme de convergence monotone.


II.5 Relation de Chasle

Definition 7. Soit E ∈ A et f : X → [0,+∞] une fonction mesurable. On definit l’integrale de f sur E parrapport a (X,A, µ) par ∫

E

fdµ :=

∫(f1E)dµ.

Theoreme 5. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. L’application

E →∫E

fdµ

est une mesure sur A. On l’appelle la mesure de densite f par rapport a µ.

Demonstration. Pour tout E ∈ A, soit

ν(E) :=

∫E

fdµ.

Soit En ∈ A, deux-a-deux disjoints, et E leur reunion. On a

1E =+∞∑n=1

1En donc f1E =+∞∑n=1

f1En .

Le theoreme de convergence donne ν(E) =+∞∑n=1

ν(En).

Theoreme 6. Soit f : X → [0,+∞] une fonction mesurable, et ν la mesure de densite f par rapport a µ.Pour toute fonction g : X → [0,+∞] mesurable, on a∫

gdν =

∫gfdµ, (2.2)

ce qui justifie la notation dν = fdµ.

Demonstration. On pose f =+∞∑k=1

ak1Aket g =

+∞∑`=1

b`1B`, avec ak, b` ∈ R+ et Ak, B` ∈ A. On a

∫fgdµ =

∫ (+∞∑k=1

+∞∑`=1

akb`1Ak∩B`

)dµ =

+∞∑k=1

+∞∑`=1

akb`µ(Ak ∩B`)

∫gdν =

+∞∑`=1

b`ν(B`) =+∞∑`=1

b`

∫ (+∞∑k=1

ak1Ak∩B`

)dµ =

+∞∑`=1

+∞∑k=1

b`akµ(Ak ∩ b`).

II.6 Une propriete remarquable de l’integrale

Proposition 11. Soit (X,A, µ) un espace mesure et f : X → [0,+∞] une fonction mesurable. Alorsl’integrale de f ne depend que des valeurs de µ sur les ensembles {f > t}, avec t > 0. Plus precisement,∫

fdµ = limn→+∞

+∞∑k=1

2−nµ({f > k2−n}).

III. FONCTIONS SOMMABLES 27

Demonstration. Soit fn definie par fn(x) = 0 si f(x) = 0, et sinon fn(x) =k

2n, ou k est l’unique entier tel

que k < 2nf(x) ≤ k + 1. Alors fn+1(x) =2k

2n+1ou

2k + 1

2n+1. On voit donc que fn converge en croissant vers f

(simplement). Un autre ecriture pour fn, utilisant les fonctions indicatrices, est

fn =Card(N∗ ∩ [0, 2nf(x)[

2n=

+∞∑k=1

2−n1f>k2−n .

Donc

∫fndµ =

+∞∑k=1

2−nµ({f > k2−n}). Or par convergence monotone,

∫fndµ→

∫fdµ, cqfd.

Corollaire 6. L’integrale ne depend pas de la σ-algebre rendant la fonction mesurable.

III Fonctions sommables

III.1 Fonctions a valeurs dans R

Definition 8. Soit f : X → R mesurable. On dit que f est integrable (ou sommable) si

∫|f |dµ < +∞.

Alors f+ et f− ont une integrale finie. On pose∫fdµ :=

∫f+dµ−

∫f−dµ.

L’ensemble des fonctions integrables est note L(X,A, µ) ou pour simplifier L(µ).

Demonstration. 0 ≤ f+ ≤ |f | et 0 ≤ f− ≤ |f |.

Theoreme 7. L’integrale ainsi definie verifie les proprietes suivantes :

(1) la nouvelle definition de l’integrale coıncide avec l’ancienne.

(2) L(X,A, µ) est un espace vectoriel et l’integrale est une forme lineaire.

(4) l’integrale est croissante, et verifie l’inegalite triangulaire :

∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.

Demonstration du theoreme. (1) : car si f ≥ 0, f− = 0 et f+ = f .(2) : soient f, g ∈ L(X,A, µ) et h = f + g. On a pour tout x ∈ X,

h+(x) + f−(x) + g−(x) = h−(x) + f+(x) + g+(x).

Donc par linearite de l’integrale des fonctions positives :∫h+dµ+

∫f−dµ+

∫g−dµ =

∫h−dµ+

∫f+dµ+

∫g+dµ, cqfd. (2.3)

Si λ ∈ R+ on a par linearite de l’integrale des fonctions positives,∫(λf)+dµ =

∫λ(f+)dµ = λ

∫f+dµ et

∫(λf)−dµ = λ

∫f−dµ,


donc

∫λfdµ = λ

∫fdµ. Enfin,

∫(−f)dµ =

∫(−f)+dµ−

∫(−f)−dµ =

∫f−dµ−

∫f+dµ = −

∫fdµ.

(4) : si f et g sont sommables et f ≤ g alors g = (g−f)+f donc

∫gdµ =

∫fdµ+

∫(g−f)dµ. Or g−f ≥ 0

donc

∫(g − f)dµ ∈ R+, et donc

∫fdµ ≤

∫gdµ. L’inegalite triangulaire decoule alors des relations f ≤ |f |

et −f ≤ |f |.

III.2 Fonctions a valeurs dans C

Definition 9. Une fonction mesurable f : X → C est integrable (ou sommable) si

∫|f |dµ < +∞. Alors

Re(f) et Im(f) sont sommables. On pose∫fdµ =

∫Re(f)dµ+ i

∫Im(f)dµ.

On utilisera aussi la notation L(X,A, µ).

Demonstration. on a |Re(f)| ≤ |f | et | Im(f)| ≤ |f |.Proposition 12. La definition est coherente, L(X,A, µ) est un C-espace vectoriel et l’integrale est C-lineaire.On a de plus l’inegalite triangulaire ∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.Demonstration. Evident sauf l’inegalite triangulaire. On choisit θ ∈ R tel que

∫fdµ = eiθ

∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣. Alors∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ = Re

(e−iθ

∫fdµ

)=

∫Re(e−iθf)dµ ≤

∫|f |dµ.

IV Theoreme de convergence dominee de Lebesgue

Theoreme 8 (de convergence dominee de Lebesgue). Soient fn : X → C une suite de fonctions sommables,convergeant simplement vers une fonction f : X → C. On suppose qu’il existe une fonction ϕ : X →[0,+∞] telle que

∫ϕdµ < +∞ et |fn(x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈ X ∀n ∈ N∗. Alors

(1) la fonction f et les fonctions fn sont sommables.

(2) limn→+∞

∫|f − fn|dµ = 0 (on dit que fn converge vers f en moyenne).

(3) limn→+∞

∫fndµ =

∫fdµ.

IV. THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE DE LEBESGUE 29

Demonstration. On a |fn| ≤ ϕ et |f | ≤ ϕ, donc par croissance de l’integrale, fn et f sont sommables. Soitgn = 2ϕ−|f −fn|. C’est une fonction mesurable et positive puisque |f −fn| ≤ |f |+ |fn| ≤ 2ϕ. Par hypothese,gn converge simplement vers 2ϕ. Le lemme de Fatou donne∫

2ϕdµ ≤ lim infn→+∞

∫gndµ = 2

∫ϕdµ− lim sup

n→+∞

∫|f − fn|dµ ≤ 2

∫ϕdµ.

Il y a egalite partout, donc lim supn→+∞

∫|fn − f |dµ→ 0, i.e.

∫|fn − f |dµ→ 0. Pour (3) remarquer que

∣∣∣∣∫ fdµ−∫fndµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f − fn|dµ→ 0.

Theoreme 9 (de convergence dominee pour les series). Soit fn : X → C une suite de fonctions mesurables,telles que

+∞∑n=1

∫|fn|dµ < +∞.

Alors chaque fn est sommable, la serie de fonctions∑fn(x) converge p.p vers une fonction S : X → C

sommable, la serie∑∫

fndµ est convergente dans C, et

+∞∑n=1

∫fndµ =

∫Sdµ.

Demonstration. Soit ϕ(x) =+∞∑n=1

|fn(x)|. C’est une fonction mesurable positive d’integrale finie. Elle est donc

finie presque partout, et la suite de fonctions Sn(x) = f1 + · · ·+fn converge donc presque partout. Soit N ∈ Ade mesure nulle telle que Sn(x) converge pour tout x /∈ N . On note S(x) cette limite, et on pose S(x) = 0 six ∈ N . Par construction, Sn1X\N converge simplement vers S, donc S est mesurable. De plus |Sn| ≤ ϕ pourtout n ∈ N∗. Le theoreme de convergence dominee donne le resultat.

Corollaire 7 (Relation de Chasle). Soit f : X → C sommable et En une suite d’ensembles mesurables

deux-a-deux disjoints. La serie∑∫

En

fdµ est convergente, et

∫∪nEn

fdµ =+∞∑n=1

∫En

fdµ.

Remarque : on a donc une application σ-additive qui n’est pas positive. On appelle cela une mesure signee.

Corollaire 8 (Reciproque du theoreme de convergence dominee). Soient f, fn : X → C mesurables telles que

limn→+∞

∫|f − fn|dµ = 0. Il existe une sous-suite (fnk

)k∈N∗ convergeant vers f presque partout.

Demonstration. Soit ϕn = |f − gn|. Soit nk telle que

∫ϕnk

dµ ≤ 2−k. On a donc+∞∑k=1

∫ϕnk

dµ < +∞. Le

theoreme de convergence dominee pour les series donne en particulier ϕnk→ 0 p.p.


V Integrales a parametre

V.1 Continuite sous l’integrale

Theoreme 10. Soit (X,A, µ) un espace mesure, (Y, d) un espace metrique. Soit f : X × Y → C unefonction telle que

(1) pour tout y ∈ Y , f(·, y) est mesurable.

(2) pour tout x ∈ X, f(x, ·) est continue,

(3) il existe ϕ : X → [0,+∞] d’integrale finie, telle que pour tout (x, y) ∈ X × Y , |f(x, y)| ≤ ϕ(x).

Alors pour tout y ∈ Y , x→ f(x, y) est sommable, et

F (y) :=

∫X

f(x, y)dµ(x)

est une fonction continue sur Y .

Demonstration. Soit y ∈ Y . On a∫X

|f(x, y)|dµ(x) ≤∫X

ϕ(x)dµ(x) < +∞,

donc f(·, y) est sommable. F est donc bien definie. Montrons qu’elle est continue. Soit (yn)n≥1 une suite deY convergent vers y. Pour tout x, f(x, yn) converge vers f(x, y). Par le theoreme de convergence dominee,

limn→+∞

∫X

f(x, yn) existe et vaut

∫X

f(x, y)dµ, cqfd.

V.2 Derivation sous l’integrale

Theoreme 11. Soit (X,A, µ) un espace mesure, I un intervalle ouvert de R, non vide. Soit f : X×I → Cune fonction telle que

(1) pour tout t ∈ I, f(·, t) est mesurable et sommable.

(2) pour tout x ∈ X, f(x, ·) est derivable sur I.

(3) il existe ϕ : X → [0,+∞] d’integrale finie, telle que pour tout (x, t) ∈ X × I, |∂tf(x, t)| ≤ ϕ(x).

Alors pour tout t ∈ I, ∂tf(·, t) est mesurable et sommable sur X. Soit, pour t ∈ I, F (t) :=

∫X

f(x, t)dµ(x).

F est derivable sur I et pour tout t ∈ I,

F ′(t) =

∫X

∂tf(x, t)dµ(x).

V. INTEGRALES A PARAMETRE 31

Demonstration. On considere une suite quelconque tn ∈ I tendant vers t, telle que tn 6= t pour tout n ∈ N∗.Et on pose

∆n(x, t) =f(x, tn)− f(x, t)

tn − t.

Par l’inegalite des accroissements finis, |∆n(x, t)| ≤ ϕ(x) pour tous (x, t) ∈ X × I. De plus ∆n convergesimplement vers ∂tf . Ceci prouve que ∂tf est sommable. Le theoreme de convergence dominee montre que∫∂tfdµ = lim

n→+∞

F (x, tn)− F (x, t)

tn − t.

Remarque : Par l’inegalite des accroissements finis, on peut supposer dans (1) que f(·, t) est sommable pourune valeur de t, car (3) impliquera qu’elle l’est pour tout t ∈ I. On laisse en exercice la generalisation dutheoreme de derivation dans pour les cas ou l’on doit deriver plusieurs fois sous l’integrale.



Exercice 1 : Montrer qu’une fonction f : [a, b] → C, borelienne et bornee, est sommable (pour la mesure deLebesgue, dont on admettra l’existence).Exercice 2 : Montrer qu’une fonction borelienne f : [a, b] → [−∞,+∞], qui est majoree ou minoree, admetune integrale pour la mesure de Lebesgue.Exercice 3 : soit f : [a, b] → C derivable de derivee bornee. Montrer que f ′ est sommable sur [a, b]. En

utilisant le theoreme de convergence dominee montrer que f(b)− f(a) =

∫ b

a

f ′(t)dt.

Exercice 4 : soit f : [a, b]×[c, d]→ C continue. En utilisant le theoreme de derivation sous l’integrale, montrerque ∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.

Indication : deriver par rapport a b.Exercice 5 : Montrer que les fonctions en escalier positives sur [a, b] sont exactement les fonctions du type

f =N∑n=1

an1In ,

avec N ∈ N∗, an ≥ 0 et In ⊂ [a, b] intervalles.

EXERCICES SUGGERES

Exercice 6 : Expliciter l’integrale sur l’espace mesure (N∗,P(N∗),Card).Exercice 7 : soit X un ensemble et µ la mesure de comptage sur X. Soit f : X → C une fonction. Le supportde f est

supp(f) = {x ∈ X t.q. f(x) 6= 0}.Montrer que si f est sommable pour µ alors son support est denombrable.Exercice 8 : Une fonction f : [a, b] → C est dite reglee si f admet une limite epointee a droite finie, noteef(x+), en tout point x ∈ [a, b[, et une limite epointee a gauche finie, note f(x−), en tout point x ∈]a, b]. Onnote R(a, b) l’ensemble des fonctions reglees sur [a, b].

(1) Montrer qu’une fonction reglee est bornee.

(4) Montrer que R(a, b) est stable par limite uniforme.

(5) Soit f ∈ R(a, b) et ε > 0. Soit E l’ensemble des x ∈ [a, b] tels qu’il existe ϕ : [a, x]→ C en escalier avec|f(y)− ϕ(y)| < ε pour tout y ∈ [a, x]. Montrer que a ∈ E. Montrer par que sup(E) < b est impossible,puis que b = max(E).

(6) Montrer que toute fonction reglee sur [a, b] est limite uniforme de fonctions en escalier, et reciproquement.En deduire que les fonctions reglees sont boreliennes, et qu’elles sont continues sauf sur un ensemble auplus denombrable.

Exercice 9 : Montrer les fonctions reglees positives sur [a, b] sont exactement les series uniformement con-vergeantes du type

f =+∞∑n=1

an1In ,

avec an ≥ 0 et In ⊂ [a, b] intervalles.Exercice 10 : soit I ⊂ R un intervalle ouvert, et f : I → R une fonction.

V. INTEGRALES A PARAMETRE 33

(1) La tangente maximale non centree de f est definie pour x ∈ I par

Tf(x) = sup{∣∣∣∣f(z)− f(y)

z − y

∣∣∣∣ avec (x, y) ∈ I2 t.q. y < x < z}.

Montrer que Tf est semi-continue inferieurement.

(2) Pour x ∈ I on pose

Df(x) = lim supy→x+

f(y)− f(x)

y − x.

Montrer que pour tout x ∈ I,

Df(x) = limn→+∞

sup{f(y)− f(x)

y − xavec y ∈ I et x < y < 1/n

}.

(3) En deduire que si f est continue, Df est borelienne.

(4) Montrer plus generalement que si f est reglee, Df est borelienne (utiliser l’exercice precedent).

Chapitre 3

Construction de mesures

Il n’est pas plus difficile de construire une mesure arbitraire que de construire la mesure de Lebesgue, donc nouspresentons un court chapitre sur la methode generale. Dans le chapitre 4 nous demontrerons les proprietesessentielles de la mesure obtenue.

I Mesures exterieures

Dans toute cette section, X est un ensemble arbitraire, A est une famille de parties de X, contenant l’ensemblevide, et µ est une fonction d’ensemble µ : A → [0,+∞] telle que µ(∅) = 0.

Pour construire la mesure de Lebesgue sur R, on prendra A = la famille des intervalles et µ = `.

I.1 Definitions

Definition 1. µ est σ-sous-additive si pour tout A ∈ A, pour toute suite Bn ∈ A,

A ⊂+∞⋃n=1

Bn ⇒ µ(A) ≤+∞∑n=1

µ(Bn).

Si A = P(X) on dit que µ est une mesure exterieure.

Remarque : en prenant B1 = B et Bn = ∅ si n > 1, on a donc A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B) : µ est croissante.

I.2 Mesure exterieure canonique

Definition 2. Pour tout E ⊂ X on definit µ∗(E) comme etant la borne inferieure des sommes

+∞∑n=1

µ(An),

ou An est une suite de A recouvrant E. S’il n’existe pas de telle suite, on pose µ∗(E) = +∞.

35

36 CHAPITRE 3. CONSTRUCTION DE MESURES

Proposition 1. µ∗ est une mesure exterieure, et si µ est σ-sous-additive sur A, alors µ∗|A = µ.

Demonstration. Soient E et En ⊂ X tels que E ⊂⋃n≥1

En. Soit ε > 0. On doit montrer que

µ∗(E) ≤+∞∑n=1

µ∗(En). (3.1)

C’est evident si l’un des µ∗(En) est infini. Sinon, pour tout n, il existe une suite (Ak,n) telle que

En ⊂⋃k≥1

An,k et+∞∑k=1

µ(Ak,n) ≤ µ∗(En) + ε2−n.

La famille (Ak,n)k,n≥1 est denombrable et recouvre E, donc pour tout ε > 0,

µ∗(E) ≤+∞∑n=1

+∞∑k=1

µ(An,k) ≤+∞∑n=1

µ∗(En) + ε2−n =+∞∑n=1

µ∗(En) + ε,

et on obtient (3.1) en faisant ε → 0. En prenant prendre Ek = ∅, on voit que µ∗(∅) = 0. Donc µ∗ est unemesure exterieure.

Supposons que µ est σ-sous-additive sur A, et soit A ∈ A. Pour toute suite Ak de A telle que A ⊂⋃k≥1

Ak,

on a donc µ(A) ≤+∞∑k=1

µ(Ak), ce qui donne µ(A) ≤ µ∗(A). On obtient µ∗(A) ≤ µ(A) en prenant A1 = A et

Ak = ∅ pour k ≥ 1. Donc µ∗(A) = µ(A) pour tout A ∈ A.

II Theoremes de Caratheodory

II.1 Theoreme des mesures exterieures

Definition 3. Soit µ une mesure exterieure sur X. Une partie A ⊂ X est µ-mesurable si

∀E ⊂ X, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E).

Remarque :X et ∅ sont toujours µ-mesurables. Pour montrer qu’un ensemble E est µ-mesurable, il suffitde verifier que pour tout E ⊂ X tel que µ(E) < +∞, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(E). En effet, l’inegalite esttriviale si µ(E) = +∞, et l’inegalite inverse est toujours vraie par σ-sous-additivite.

Definition 4. Soit µ une mesure exterieure sur X. Un ensemble µ-negligeable est une partie A ⊂ X telle queµ(A) = 0. Tout ensemble µ-negligeable est µ-mesurable.

Demonstration. Par croissance, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(A) + µ(E) = µ(E).

Theoreme 1. Soit µ une mesure exterieure sur X. La famille A des parties µ-mesurables est une σ-algebre, et la restriction de µ a A est une mesure.

II. THEOREMES DE CARATHEODORY 37

Demonstration. Il est clair que A est stable par compementaire et contient ∅. On montre qu’elle est stablepar reunions finies. Soient A1, A2 ∈ A, E ⊂ X et A = A1 ∪ A2. On a

µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E ∩ A ∩ A1) + µ(E ∩ A \ A1) + µ(E \ A)

= µ(E ∩ A1) + µ(E ∩ A2 \ A1) + µ((E \ A1) \ A2) = µ(E ∩ A1) + µ(E \ A1) = µ(E), cqfd.

En particulier A est aussi stable par difference et intersections finies. Il suffit donc de montrer qu’elle eststable par reunions denombrables disjointes. Soient An ∈ A deux-a-deux disjoints, A leur reunion et E ⊂ X.Pour tout n ∈ N∗, comme An est µ-mesurable,

µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An)) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An) \ An) + µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An) ∩ An)

= µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An−1)) + µ(E ∩ An) = · · · =n∑k=1

µ(E ∩ Ak).

Doncn∑k=1

µ(E ∩ Ak) ≤ µ(E ∩ A) pour tout n, ce qui donne+∞∑k=1

µ(E ∩ Ak) ≤ µ(E ∩ A). L’inegalite inverse

est toujours vraie par σ-sous-additivite, donc il y a egalite. En prenant E = X on voit que µ est σ-additive.Comme A1 ∪ · · · ∪ An ∈ A, on a aussi

µ(E) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An)) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An))

=n∑k=1

µ(E ∩ Ak) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An)) ≥n∑k=1

µ(E ∩ Ak) + µ(E \ A)→ µ(E ∩ A) + µ(E \ A), cqfd.

Corollaire 1. Soit µ une mesure exterieure sur un ensemble X. Pour tout E ⊂ X, l’application A→ µ(A∩E)est une mesure sur la tribu des ensembles µ-mesurables, meme si E n’est pas mesurable.

II.2 Theoreme de Caratheodory pour les espaces metriques

Le theoreme des mesures exterieures est le resultat le plus general pour construire des mesures, mais le problemeest qu’on ne sait pas en general ce que sont les ensembles mesurables. En pratiques on utilise son corollaire,qui garrantit que les Boreliens (au moins) sont mesurables.

Theoreme 2. Soit µ une mesure exterieure sur un espace metrique X. Si pour tous A,B ⊂ X tels qued(A,B) > 0, on a µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B), la restriction de µ aux boreliens est une mesure.

Remarque : la condition a l’air restrictive, mais elle est en fait necessaire pour que les boreliens soient µ-mesurables (exo).

Demonstration. Il suffit de montrer que tout ferme F est µ-mesurable, puis d’appliquer le theoreme des mesuresexterieures. On demontre d’abord que pour tout E ⊂ X tel que µ(E) < +∞,

limε→0

µ({x ∈ E t.q. 0 < d(x, F ) < ε}) = 0. (3.2)

Soit Aε = {x ∈ E t.q. 0 < d(x, F ) < ε}. Si 0 < ε1 < ε2, on a Aε1 ⊂ Aε2 , donc µ(Aε1) ≤ µ(Aε2). Parmonotonie, la limite (3.2) existe. On la note `. On a

0 ≤ ` ≤ µ(Aε) ≤ µ(E) <∞.


Si 0 < ε1 < ε2 < ε3, on a d(Aε3 \ Aε2 , Aε1) ≥ ε2 − ε1 > 0, donc par hypothese,

µ(Aε3 \ Aε2) + µ(Aε1) = µ(

(Aε3 \ Aε2) ∪ Aε1)≤ µ(Aε3),

soit µ(Aε3 \ Aε2) ≤ µ(Aε3)− µ(Aε1). Par σ-sous-additivite de µ, on a donc

µ(Aε) ≤+∞∑n=0

µ(A ε2n\ A ε

2n+1) ≤

+∞∑n=0

µ(A ε2n

)− µ(A ε2n+2

) = µ(Aε) + µ(A ε2)− 2`.

On obtient (3.2) en faisant ε→ 0.Soit Bε = {x ∈ E t.q. d(x, F ) ≥ ε}. Comme F est ferme, on a E \ F = Aε ∪Bε. De plus, d(E ∩ F,Bε) ≥

ε > 0, donc

µ(E ∩ F ) + µ(E \ F ) ≤ µ(E ∩ F ) + µ(Aε) + µ(Bε) = µ((E ∩ F ) ∪Bε) + µ(Aε) ≤ µ(E) + µ(Aε).

En passant a la limite ε→ 0, on obtient

µ(E ∩ F ) + µ(E \ F ) ≤ µ(E).

Ceci etant vrait pour tout E ⊂ X tel que µ(E) <∞, F est µ-mesurable.

II.3 Theoreme d’extension de Caratheodory

Theoreme 3. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ : A → [0,+∞]. Si

(1) µ est σ-additive.

(2) ∀ A,B ∈ A, A ∩B ∈ A et A \B ∈ A.

Alors µ se prolonge en une mesure sur σ(A).

Remarque : pour la mesure de Lebesgue il faut prendre A = la famille des reunions finies d’intervalles, etdemontrer que la longeur est σ-additive, ce qui est fastidieux. Ce theoreme est surtout utilise pour construiredes mesures de probabilite elementaires.

Demonstration. Soit µ∗ la mesure exterieure canonique associee a µ. On va montrer que µ est σ-sous-additive,et que les elements de A sont µ-mesurables. Donc par le theoreme des mesures exterieures et la proposition1, la restriction de µ∗ a σ(A) convient.

Soient A,B ∈ A tels que A ⊂ B. On a

µ(A) ≤ µ(A) + µ(B \ A) = µ(B)

car B \ A ∈ A et car µ est σ-addtive. Donc µ est croissante. Soient A ∈ A et An ∈ A tels que A ⊂⋃

An.

Les ensemblesA ∩ An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1) = A ∩ (A \ A1) ∩ · · · ∩ (A \ An−1)

sont dans A par hypothese, et partitionnent A. Donc

µ(A) =+∞∑n=1

µ(A ∩ An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1)) ≤+∞∑n=1

µ(An),

III. THEOREMES D’UNICITE 39

et µ est σ-sous-additive.On montre maintenant que les elements de A sont µ∗-mesurables. On rappelle que µ∗ ≤ µ sur A. Pour

tous A,B ∈ A, on aµ∗(A ∩B) + µ∗(B \ A) ≤ µ(A ∩B) + µ(B \ A) = µ(B), (3.3)

car A ∩B ∈ A et B \ A ∈ A. Soit E ⊂ X tel que µ∗(E) < +∞ et ε > 0. On choisit En ∈ A tels que

E ⊂⋃n≥1

En et+∞∑n=1

µ(En) ≤ µ∗(E) + ε.

Par σ-sous-additivite de µ∗ et (3.3),

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) ≤+∞∑n=1

µ∗(En ∩ A) + µ∗(En \ A) ≤+∞∑n=1

µ(En) ≤ µ∗(E) + ε.

Ceci etant vrait pour tout ε > 0 et tout E ⊂ X tel que µ∗(E) < +∞, A est µ∗-mesurable.

III Theoremes d’unicite

III.1 Lemme des classe monotones

Lemme 1 (des classes monotones). Soit X un ensemble, A et C deux familles de parties de X. Si

(1) pour toute suite finie A1, . . . , An ∈ A, on a A1 ∩ · · · ∩ An ∈ C,

(2) X ∈ C et pour tous E,F ∈ C tels que E ⊂ F , on a F \ E ∈ C,

(3) et pour toute suite croissante En ∈ C, on a⋃

En ∈ C.

Alors σ(A) ⊂ C.

Remarque : une collection C verifiant (2) et (3) s’appelle une classe monotone. On verifiera facilement qu’uneclasse monotone stable par intersections finies est une σ-algebre.

Demonstration. Soit C0 l’intersection de toutes les familles C verifiant (1), (2) et (3). C0 verifie encore ces troisconditions, et c’est la plus petite de ces familles. Donc C0 ⊂ C, et par (1) on a A ⊂ C0. On demontre que C0

(et non pas C) est une σ-algebre.→ Soit C ′ la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ A ∈ C0 pour tout A ∈ A. C ′ verifie clairement (1). Les deuxidentites

(E \ F ) ∩ A = (E ∩ A) \ (F ∩ A) et(⋃

En

)∩ A =

⋃(En ∩ A)

montrent que C ′ verifie (2) et (3). Donc C ′ = C0, i.e. pour tout A ∈ A et tout E ∈ C0, on a A ∩ E ∈ C0.→ Soit C ′′ la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ F ∈ C0 pour tout F ∈ C0. Le point precedent montre que C ′′verifie (1). Pour les meme raisons, C ′′ verifie (2) et (3). Donc C ′′ = C, i.e. C0 est stable par intersections finies.

Comme X ∈ C0, (2) montre que C0 est stable par complementaire. C0 est donc stable par reunions finies, etpar (3), C0 est stable par reunions denombrables : C0 est une σ-algebre. On a A ⊂ C0, donc σ(A) ⊂ C0 ⊂ C.

Nous utiliserons surtout le corollaire suivant du lemme des classes monotones :

Corollaire 2. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par intersections finies, et C uneclasse monotone contenant A. Alors σ(A) ⊂ C.

Demonstration. Comme A est stable par intersections finies, (1) equivaut a A ⊂ C.


III.2 Cas des mesures finies

Theoreme 4. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par intersections finies, et µ etν deux mesures finies sur σ(A), de meme masse, et egales sur A. Alors elles sont egales sur σ(A).

Remarque :µ et ν peuvent etre egales sur A sans avoir la meme masse. Exemple :

X = {1, 2, 3}, A = {{1}, {1, 2}}, σ(A) = P(X), µ = δ1, ν = δ1 + δ3.

Demonstration. Soit C la famille des E ∈ σ(A) tels que µ(E) = ν(E). Si E,F ∈ C avec E ⊂ F , on aµ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) = ν(F ) − ν(E) = ν(F \ E), et si En est une suite croissante de C, µ(∪En) =limµ(En) = lim ν(En) = ν(∪En). On a donc une classe monotone, et le lemme des classe monotones donneσ(A) ⊂ C.

III.3 Cas des mesures σ-finies

Theoreme 5. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par intersections finies, et µ et νdeux mesures σ(A). On suppose que µ = ν sur A, et qu’il existe une suite croissante Xn ∈ A, de reunionX, telle que µ(Xn) = ν(Xn) < +∞ ∀n. Alors µ = ν.

Demonstration. Les deux mesures E → µ(E ∩Xn) et E → ν(E ∩Xn) sont egales par le theoreme precedent,puis on fait n→ +∞.

Remarque : on utilisera typiquement le theoreme pour la famille des intervalles du type ]a, b] ou [a, b].


Exercice 1 : [admettre l’existence de la mesure de Lebesgue] soient f, g : [a, b] → R sommables. On suppose

que

∫ x

a

f(t)dt =

∫ x

a

g(t)dt pour tout x ∈ [a, b]. Montrer que f(t) = g(t) p.p.

Exercice 2 : Construire de deux manieres differentes la mesure de Lebesgue sur R (on admettra que ` estσ-additive sur les intervalles, cf exo du chapitre 1).

EXERCICES SUGGERES

Exercice 3 : Soit X = {1, 2, 3} et F = {{1, 2}, {2, 3}}. Montrer que F engendre la tribu P(X) et que deuxmesures de probabilite sur P(X), egales sur F , sont egales. Indication : resoudre le systeme lineaire 3 × 3correspondant.Exercice 4 : Soit X = {1, 2, 3, 4} et F = {{1, 2}, {2, 3}}. Montrer que F engendre P(X). Trouver deuxmesures de probabilites distinctes sur P(X), mais egales sur F . Indication : trouver deux solutions du systemelineaire 4× 4 correspondant.Exercice 5 : Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ : A → [0,+∞] uneapplication σ-additive. On suppose que pour tous A,B ∈ A, et A ∩ B ∈ A, et qu’il existe une suite Cn ∈ A

d’ensembles deux-a-deux disjoints tels que B \ A =+∞⋃n=1

Cn (ce qui est le cas par exemple si B \ A ∈ A).

III. THEOREMES D’UNICITE 41

(1) Soit A ∈ A et n ∈ N∗. Montrer par recurrence que si A1, . . . , An est une suite d’ensembles deux-a-deux

disjoints de A inclus dans A, on an∑k=1

µ(Ak) ≤ µ(A).

(2) En deduire que µ est croissante, puis qu’elle est σ-sous-additive.

(3) Montrer que les elements de A sont µ∗-mesurables. Que peut-on en deduire?

Exercice 6 : Soit X un ensemble, A une σ-algebre sur X, µ une mesure finie sur A. Le but est de prolongerµ en une mesure sur une σ-algebre strictement plus grosse (sauf si A = P(X)).

On fixe E ∈ P(X) \ A. Soit µ∗ la mesure exterieure canonique associee a µ.

(1) Montrer que les elements de A sont µ∗-mesurables (utiliser le critere).

(2) Montrer que A→ µ∗(A ∩ E) est une mesure (utiliser la definition des ensembles µ∗-mesurables).

(3) Montrer que la σ-algebre engendree par A ∪ {E} est la famille des ensembles du type A ∩ E ∪ B \ E,avec A,B ∈ A.

(4) On pose µ′(A ∩ E ∪ B \ E) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(B \ E). Montrer que µ′ est bien definie, et que c’est unemesure prolongeant µ.

Chapitre 4

La mesure de Lebesgue et ses corollaires

I La mesure de Lebesgue sur Rd

I.1 Construction par mesure exterieure

Definition 1. Un pave de Rd est un ensemble de la forme P = I1×I2×· · ·×Id, ou les Ik sont des intervalles.On pose Vol(P ) = `(I1) × · · · × `(Id). C’est le volume du pave P . P est un cube si les Ik sont bornes et ontmeme longeur.

Remarque : les intervalles peuvent etre de longeur infinie ou nulle. On utilise la convention 0×∞ = 0.

Definition 2. Soit P la famille des paves.

� La mesure exterieure de Lebesgue, notee m, est la mesure exterieure canonique associee a la fonctionVol : P → [0,+∞].

� La tribu de Lebesgue L(Rd) est la famille des ensembles m-mesurables. On les appelle les ensemblesmesurables, ou s’il faut preciser, les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.

� La restriction de m a L(Rd) est la mesure de Lebesgue. On la note encore m.

Remarque : pour d = 1 on la note plutot ` comme longeur.

I.2 Generalisation du volume

Theoreme 1. Proprietes fondamentales de la mesure de Lebesgue.

(1) m est invariante par translations.

(2) la mesure de Lebesgue d’un pave est son volume.

(3) les boreliens sont mesurables.

Lemme 1 (de Borel). La fonction Vol : P → [0,+∞] est σ-sous-additive.

43

44 CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Demonstration. En denombrant les points x d’un intervalle I, de la forme x =k

n, avec k ∈ Z, on voit que

limn→+∞

nCard(I ∩ n−1Z) = `(I) (que I soit borne, non borne, d’interieur vide ou non vide). Donc pour tout

pave Q,lim

n→+∞n−dCard(Q ∩ (n−1Z)d) = vol(Q).

Soit Q un pave, recouvert par une famille (Qk)k≥1 de paves. Si Q est compact, et si les Qk sont ouverts, ilexiste N tel que Q ⊂ Q1 ∪ · · · ∪QN . Par sous-additivite du cardinal, pour tout n ≥ 1,

n−dCard(Q ∩ (n−1Z)d) ≤N∑k=1

n−dCard(Qk ∩ (n−1Z)d).

On fait tendre n→ +∞ et on obtient vol(Q) ≤N∑k=1

vol(Qk) ≤+∞∑k=1

vol(Qk).

Dans le cas general, on choisit un pave compact Qε ⊂ Q tel que vol(Qε) → vol(Q), et des paves ouvertsQεk contenant Qk, tels que vol(Qε

k) = vol(Qk) + ε2−k. On a donc pour tout ε > 0,

vol(Qε) ≤+∞∑k=1

vol(Qk) + ε2−k =+∞∑k=1

vol(Qk) + ε, cqfd.

Preuve du theoreme. (1) : la fonction volume des paves est invariante par translation, donc la mesure exterieurecanonique associee aussi.(2) : proposition 1, chapitre 3.(3) : on remarque que les boreliens de Rd sont engendres par les paves du type I1 × · · · × Id, avec Ik = Rsauf pour une valeur, pour laquelle Ik est un intervalle du type ]a,+∞[. On demontre par exemple queP =]a,+∞[×Rd−1 est mesurable, pour tout a ∈ R.

Soit Q = J1 × · · · × Jd un pave quelconque. On a

Q ∩ P = (J1∩]a,+∞[)× J2 × · · · × Jd et Q \ P = (J1∩]−∞, a])× J2 × · · · × Jd.

Comme J1∩]a,+∞[ et ] − ∞, a] ∩ J1 sont des intervalles disjoints dont la reunion est l’intervalle J1, il estevident que `(J1∩]a,+∞[) + `(J1∩]−∞, a]) = `(J1). On a donc Vol(Q ∩ P ) + Vol(Q \ P ) = Vol(Q). CommeQ ∩ P et Q \ P sont des paves, (2) donne m(P ∩Q) = Vol(P ∩Q) et m(Q \ P ) = Vol(Q \ P ). En particulier,

m(P ∩Q) +m(Q \ P ) ≤ Vol(Q), (4.1)

pour tout pave Q.Soit E ⊂ Rd tel que m(E) <∞, et Qn une suite de paves recouvrant E, telle que∑

Vol(Qn) ≤ m(E) + ε.

Par σ-sous-additivite de m et (4.1),

m(E ∩ P ) +m(E \ P ) ≤∑

m(Qn ∩ P ) +m(Qn \ P ) =∑

Vol(Qn) ≤ m(E) + ε.

On fait ε→ 0 : m(E ∩ P ) +m(E \ P ) ≤ m(E). Ceci prouve que P est m-mesurable.

Remarque : on notera aussi m la restriction de la mesure exterieure de Lebesgue aux boreliens.

I.3 Caracterisation

I. LA MESURE DE LEBESGUE SUR RD 45

Theoreme 2. Soit µ une mesure de Borel sur Rd.

(1) si µ est invariante par translations et si µ([0, 1]d) = 1, alors µ = m.

(2) si µ est invariante par translations et µ([0, 1]d) < +∞, alors µ est proportionnelle a m.

Definition 3. Un cube dyadique est un cube de la forme

d∏i=1

[ki2−n, (ki + 1)2−n[,

avec ki ∈ Z pour tout i ∈ {1, . . . , d}, et n ∈ Z.

Proposition 1. Pour tout n ∈ Z, la famille des cubes dyadiques de generation n est une partition de Rd.Pour tous cubes dyadiques P et Q, on a soit P ∩Q = ∅, soit Q ⊂ P , soit P ⊂ Q.

Demonstration. Si x ∈ R verifie k2−n ≤ x < (k + 1)2−n, avec n ∈ Z et k ∈ Z, alors k = [2nx], etreciproquement. Ceci montre que pour tout x ∈ Rd, pour tout n ∈ Z, il existe un unique cube dyadiquede cote 2−n contenant x.

Soient P =d∏i=1

[ki2−n, (ki + 1)2−n[ et Q =

d∏i=1

[ì2−m, (ì + 1)2−m[ deux cubes dyadiques se rencontrant, avec

n < m. Soit x ∈ P ∩Q. Pour tout i ∈ {1, . . . , d},

ki2m−n ≤ 2mxi < (ki + 1)2m−n et ì ≤ 2mxi < ì + 1.

Comme 2m−n est un entier, cela implique que ki2m−n ≤ ì < ì + 1 ≤ (ki + 1)2m−n, i.e. Q ⊂ P .

Lemme 2 (de recouvrement de Whitney). Tout ouvert de U de Rd est reunion denombrable disjointe de cubesdyadiques de cote aussi petit que l’on veut.

Demonstration. Comme U est ouvert, pour tout x ∈ U , il existe un cube dyadique P de cote 2−n assez petit,tel que x ∈ P ⊂ U . On choisit n minimal avec n ≥ 0. P est alors unique, on l’appelle P (x).

Par la proposition, P (x)∩P (y) 6= ∅ ⇒ P (x) ⊂ P (y) ou P (y) ⊂ P (x). Par minimalite, P (x) = P (y). Doncla famille de ces cubes du type P (x) partitionne U . En bissectant, on obtient des cubes de cote aussi petitque l’on veut.

Demonstration du theoreme. (1) : soit c = µ([0, 1[d). On a 0 ≤ c ≤ 1. Pour tout n ∈ N, [0, 1[d est la reuniondisjointe de 2nd cubes dyadiques de cote 2−n. Par invariance par translations, c = µ([0, 1[d) = 2ndµ([0, 2−n[d).On voit donc que pour tout cube dyadique Q de cote ≤ 1, µ(Q) = c × m(Q). Par le lemme de Whitney,µ(U) = c × m(U) pour tout ouvert U . On applique ensuite le theoreme d’unicite des mesures qui donneµ(E) = c×m(E) pour tout E ∈ B(Rd). En particulier

1 = µ([0, 1]d) = c×m([0, 1]d) = c donc m = µ.

(2) : si µ([0, 1]d) = 0, l’invariance par translation donne µ = 0. Sinon, on applique (1) a la mesureµ

µ([0, 1]d).


I.4 Ensembles et fonctions mesurables

Proposition 2. Soit E ⊂ Rd. Les proprietes suivantes sont equivalentes.

(1) E est mesurable.

(2) Pour tout ε > 0, il existe un ouvert U et un ferme F tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.

(3) Il existe A,B ∈ B(Rd) tels que A ⊂ E ⊂ B et m(B \ A) = 0.

Demonstration. (1) ⇒ (2) : pour tout n ≥ 1 soit En = E ∩ [−n, n]d. En est borne, donc de mesure finie.Par construction de la mesure de Lebesgue, il existe une suite de cubes (Qk,n)k≥1 recouvrant En, tels que∑k

vol(Qk,n) ≤ m(En) + 2−nε. On choisit un cube ouvert Q′k,n contenant Qk,n, tel que vol(Q′k,n) = vol(Qk,n) +

2−n−kε. Soit Un =⋃k

Qk,n et U =⋃n Un. U est ouvert, contient E, et

m(U \ E) = m

(⋃n

Un \ En

)≤∑n≥1

m(Un \ En) =∑n≥1

(∑k≥1

vol(Qk,n) + 2−n−kε

)−m(En)

≤∑n≥1

m(En) + 2−nε+ 2−nε−m(En) = 2ε. (4.2)

En appliquant ceci au complementaire on trouve V ouvert avec Rd \ E ⊂ V et m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε. Enposant F = Rd \ V on a m(E \ F ) = m(E ∩ V ) = m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε.(2)⇒ (3) : Pour tout n ∈ N∗ il existe un ouvert Un et un ferme Fn tels que Fn ⊂ E ⊂ Un et m(Un \Fn) < 1/n.

Soient B =⋂

Un et A =⋃Fn. Ce sont des boreliens tels que A ⊂ E ⊂ B et pour tout n ∈ N∗,

m(B \ A) ≤ m(Un \ Fn) < 1/n→ 0.

(3)⇒ (1) : E = A∪N , avec N = E \A. Comme N ⊂ B \A, N est de mesure nulle, donc mesurable, cqfd.

Definition 4. Une fonction f : Rd → C ou [0,+∞] est dite mesurable si elle l’est pour la tribu de Lebesguesur Rd et la tribu de Borel sur C ou [0,+∞].

Remarque : les fonctions mesurables pour les tribus de Lebesgue au depart et a l’arrivee sont un cas particulier.

Proposition 3. Les fonctions boreliennes et les fonctions nulles p.p. sont mesurables. Toute fonctionmesurable est la somme d’une fonction borelienne et d’une fonction nulle p.p.

Demonstration. On montre qu’une fonction nulle presque partout est mesurable quelle que soit la tribud’arrivee. Soit N ⊂ Rd et f : Rd → C ou [0,+∞] tels que f(x) = 0 pour tout x /∈ N et m(N) = 0. Nest negligeable, donc toute partie de N est mesurable (de mesure nulle). Soit E ⊂ C ou [0,+∞]. Si 0 /∈ E,alors f−1(E) ⊂ N , donc f−1(E) ∈ LRd). Si 0 ∈ E, alors Rd \ f−1(E) ⊂ N , donc on a aussi f−1(E) ∈ L(Rd).

Il suffit de faire le cas des fonctions f : Rd → [0,+∞] mesurables positives. Soient An ∈ L(Rd) et an ∈ R+

tels que f =+∞∑n=1

an1An . Pour tout n ∈ N∗, on choisit un borelien Bn ⊂ An tel que m(An \ Bn) = 0. Alors

g =+∞∑n=1

an1Bn est borelienne, et h =+∞∑n=1

an1An\Bn est nulle p.p. Clairement, f = g + h.

II. GENERALISATIONS DE LA MESURE DE LEBESGUE 47

II Generalisations de la mesure de Lebesgue

II.1 Mesures de Haussdorf

On fixe un espace metrique (X, d). Le diametre d’une partie E non vide de X est

diam(E) = sup{d(x, y) avec (x, y) ∈ E2

}∈ [0,+∞].

Par convention diam(∅) = 0. On sait bien mesurer des distances sur un espace metriques. Pour mesurer deslongeur (de courbes par exemples), des aires. . . on utilise les mesures de Hausdorf.

Definition 5. Soit (X, d) un espace metrique, α > 0 . Pour tout E ⊂ X on pose

Hα(E) = limε→0

inf{ +∞∑n=1

(diam(En))α, avec E ⊂⋃

En et diam(En) ≤ ε}.

Hα s’appelle la mesure de Haussdorf de E d’ordre (ou de dimension) α.

Remarque : Soit Aε la famille des parties de X de diametre ≤ ε. La quantite

Hεα(E) = inf

{ +∞∑n=1

(diam(En))α, avec E ⊂⋃

En et diam(En) ≤ ε}.

est une fonction croissante de ε, car si 0 < ε < ε′, on a Aε ⊂ Aε′ . Donc la limite existe. Dans la pratique,X = Rd muni de la norme euclidienne, et α un entier entre 1 et d.Remarque : rien ne garrantit que Hα n’est pas identiquement nulle ou infinie. . .

Theoreme 3. Hα est une mesure exterieure sur X et une mesure sur B(X).

Demonstration. Hεα est la mesure exterieure canonique associee a la fonction E → (diam(E))α, definie sur Aε.

Comme ε→ Hεα(E) est croissante,

Hα(E) = supε>0Hεα(E).

La borne superieure d’une famille de mesures exterieures est une mesure exterieure.Il reste a demontrer que les boreliens sont Hα-mesurables. Soient A,B ⊂ X tels que d(A,B) > 0. Soit ε

tel que 0 < ε < d(A,B). On se fixe un recouvrement (En)n≥1 de A ∪B avec diam(En) ≤ ε, tel que

+∞∑n=1

(diam(En))α ≤ Hεα(A ∪B) + ε.

Soit I l’ensemble des indices k tels que Ek rencontre A, et J l’ensemble des indices ` tels que E` rencontre B.Comme d(A,B) > ε, on a I ∩ J = ∅, et la famille (Ek)k∈I est un ε-recouvrement de A et la famille (E`)`∈J estun ε-recouvrement de B. Donc

Hεα(A) +Hε

α(B) ≤∑k∈I

(diam(Ek))α +

∑`∈J

(diam(E`))α =

∑n∈I∪J

(diam(En))α ≤ Hεα(A ∪B) + ε.

En faisant ε → 0 on a H(A) + H(B) ≤ H(A ∪ B), et l’inegalite inverse decoule de la sous-additivite. Letheoreme de Caratheodory donne la resultat.


II.2 Proprietes des mesures de Haussdorf

Proposition 4. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces metriques et α > 0. Soit Hα la mesure de Haussdorfd’ordre α sur X, et H′α la meme mais sur Y .

(1) Si ϕ : X → Y est K-Lipschitzienne, alors ∀ E ⊂ X, H′α(ϕ(E)) ≤ KαHα(E).

(2) Si ϕ : X → Y est une isometrie, alors ∀ E ⊂ X, H′α(ϕ(E)) = Hα(E).

Demonstration. (1) : on a diam(ϕ(E)) ≤ Kdiam(E). (2) : diam(ϕ(E)) = diam(E).

Corollaire 1. Soit α > d et Hα la mesure de Haussdorf sur Rd associee a une norme quelconque. On Hα = 0.

Demonstration. Les translations sont des isometries (puisqu’on a une norme), donc Hα est invariante partranslations. Il suffit de voir que Hα([0, 1]d) = 0. On remarque que [0, 1]d est la reunion de 2nd cubes de cote2−n. Leur diametre (pour la norme consideree), est c2−n (ou c depend de la norme). Donc pour εn = c2−n,

Hεnα ([0, 1]d) ≤

2nd∑i=1

(c2−n)α = cα2(d−α)n.

Le membre de gauche tend vers H([0, 1]d) et le membre de droite vers 0, lorsque n→ +∞.

Remarque : deux normes differentes donnent a priori deux mesures de Haussdorf differentes si 0 < α ≤ d.

II.3 Definition alternative de la mesure de Lebesgue

Theoreme 4. Pour tout x ∈ Rd, soit ‖x‖∞ = max{|x1|, . . . , |xd|}.

(1) La mesure de Haussdorf sur Rd d’ordre α = d, pour la norme ‖·‖∞, est la mesure de Lebesgue.

(2) Si la norme arbitraire, on obtient un multiple non nul de la mesure de Lebesgue.

Remarque : par contre si 0 < α < d, la mesure Hα depend de la norme.

Lemme 3. Soit E ⊂ Rd borne. Il existe un cube P contenant E, de meme diametre pour la norme ‖·‖∞.

Demonstration. Soit δ = diamE. Pour tout 1 ≤ i ≤ d, soit ai = inf{xi avec x = (x1, . . . , xd) ∈ E}. On aai ≤ xi = ai + xi − ai ≤ ai + δ. Donc P = [a1, a1 + δ]× · · · × [ad, ad + δ] convient.

Demonstration du theoreme. On a une norme, donc dans chaque cas, la mesure de Haussdorf H est invariantespar translations. Donc (1), il suffit de montrer que H([0, 1]d) = 1, et pour (2), il suffit de montrer que0 < H([0, 1]d) <∞.(1) : Soit ε > 0 et En une suite de parties de Rd recouvrant [0, 1]d, de diametre ≤ ε. Par le lemme, m(En) ≤(diam(En))d, ce qui donne

1 = m([0, 1]d) ≤+∞∑n=1

m(En) ≤+∞∑n=1

(diam(En))d.

Ceci montre que 1 ≤ Hε([0, 1]d) pour tout ε > 0, et en passant a la limite on obtient 1 ≤ H([0, 1]d). Pourl’inegalite inverse, on remarque que pour tout n ∈ N∗, [0, 1]d est partitionne en nd cubes de cote 1/n. On a

donc H1n ([0, 1]d) ≤

nd∑k=1

(1/n)d = 1. Puis on fait n→ +∞.


(2) : La norme N utilisee est equivalente a la norme ‖·‖∞. Il existe c ∈ R∗+ tel que

c−1 × ‖x‖∞ ≤ N(x) ≤ c‖x‖∞

pour tout x ∈ Rd. Autrement dit, l’application identite est c-lipschitzienne de (Rd, ‖·‖∞) dans (Rd, N), ainsique son inverse. On a donc

1 = m([0, 1]d) ≤ cdH([0, 1]d) et H([0, 1]d) ≤ cdm([0, 1]d) = cd,

soit c−d ≤ H([0, 1]d) ≤ cd.

Corollaire 2. On rappelle que les isometries euclidiennes de Rd sont les composees de translations, rotationset symetries orthogonales.

(1) la mesure de Lebesgue est invariante isometries euclidiennes.

(2) si 1 ≤ k < d, pour tout E ⊂ Rk et toute ϕ : E → Rd lipschitienne, ϕ(E) est negligeable.

(3) tout sous-espace vectoriel et toute sous-variete de Rd de dimension 1 ≤ k < d est negligeable.

Demonstration. (1) : prendre la norme euclidienne.(2) : on a m(ϕ(E)) ≤ CdH(E), ou H est la mesure de Haussdorf sur Rk d’ordre d (pour une norme arbitraire).Comme d > k, H = 0.(3) : soit E un sous-espace vectoriel de Rd de dimension 1 ≤ k < d. Il existe f : Rk → Rd lineaire telle queE = f(Rk). Comme f est en particulier lipschitzienne, on a m(E) = m(f(Rk)) = 0. Soit M une sous-varietede Rd de dimension k. M est localement l’image d’un ouvert de Rk par une fonction de classe C1. Une tellefonction est lipschitzienne si l’ouvert est suffisamment petit.

Definition 6. Si E est un espace affine euclidien de dimension d, la mesure de Lebesgue est l’unique mesurede Borel sur E, invariante par translations, telle que la mesure des boules de E, soit la mesure des bouleseuclidiennes de Rd de meme rayon.

Demonstration. On doit montrer l’existence et l’unicite. Soit f : E → Rd une isometrie affine. La mesure imagede m par f convient. Reciproquement, si µ convient, sa mesure image par f−1 est invariante par translation,et est egale a m sur les boules euclidiennes. Elle est en particulier finie sur [0, 1]d, donc proportionnelle a m.Le coefficient de proportionalite ne peut etre que 1.

Remarque : on parlera donc de la mesure de Lebesgue sur un sous-espace vectoriel E de Rd. Elle n’a rien avoir avec la mesure de Lebesgue sur Rd.

II.4 Longeur, aire, surface de parties courbees de Rd

Definition 7. Pour k ∈ {1, . . . , d}, on designe par Hk la mesure de Haussdorf sur Rd d’ordre k, pour lanorme euclidienne, renormalisee de sorte que Hk([0, 1]k × {0}d−k) = 1.

Remarque : Soit E = [0, 1]k×{0}d−k, µ la mesure de Haussdorf sur Rd d’ordre k, pour la norme euclidienne, etν la meme mais sur Rk. On sait que ν est un multiple non nul de la mesure de Lebesgue sur Rk. L’applicationx → (x, 0) est isometrique de Rk dans Rd, donc µ(E) = ν([0, 1]k) ∈]0,+∞[. On peut donc bien renormaliserµ pour avoir µ(E) = 1.Remarque : contrairement au cas k = d, les mesures changent si on prend une autre norme.


Exemple 1 : H1 est aussi denotee `. C’est une mesure sur B(Rd) qui calcule la longeur de tout borelien, pasforcement des courbes.Exemple 2 : la restriction de H2 a des surfaces parametree sera ce qu’on appelle comunement la mesure desurface. Par exemple les spheres Sr de R3 de rayon r ont pour surface H2(Sr) = 4πr2.Remarque : pour tout E ⊂ Rd, il existe au plus une valeur reelle 0 < s ≤ d telle que 0 < Hs(E) < +∞ (c’estla dimension de Haussdorf de E) (exo).

Proposition 5. On munit Rd de la norme euclidienne et on considere les mesures de Haussdorf Hk associees,k ∈ {1, . . . , d}.

(1) pour toute application K-lipschitzienne ϕ : Rd → Rd, Hk(ϕ(E)) ≤ KkHk(E).

(2) Hk est invariante par translations, rotations et symetries, et est k-homogene.

(3) la restriction de Hk aux sous-espaces affines de dimension k est la mesure de Lebesgue.

Demonstration. (1) : deja fait.(2) : isometries deja fait. Si t ∈ R∗+, x → tx est t-Lipschitzienne, et son inverse est t−1-Lipschitzienne. Doncpour tout E ⊂ Rd,

Hk(tE) ≤ tkHk(E) et Hk(E) = Hk(t−1(tE)) ≤ t−kHk(tE).

(3) : Hk est invariante par translations et Hk([0, 1]k × {0}d−k) = 1. Sa restriction a Rk × {0}d−k est donc lamesure de Lebesgue. Tout sous-espace affine de Rd de dimension k est isometrique a Rk × {0}d−k, cqfd.

II.5 Mesures de Lebesgue-Stieljes

Les mesures les plus interessantes sur R sont celles pour lesquelles les fonctions continues sont integrableslocalement, c’est-a-dire sur tout intervalle borne. Autrement dit la mesure de tout ensemble borne est finie.

Proposition 6. Soit µ une mesure de Borel sur R finie sur les ensembles bornes. Il existe une fonctionϕ : R → R, unique a constante additive pres, telle que µ(]a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 tels quea < b. Une telle fonction est necessairement croissante et continue a droite.

Demonstration. Pour tout 0 ≤ x < +∞ on pose ϕ(x) = µ(]0, x]) et pour tout −∞ < x ≤ 0, ϕ(x) = −µ(]x, 0]).Si 0 ≤ a < b < +∞, on a ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − µ(]0, a]) = µ(]a, b]). De meme si −∞ < a < b ≤ 0,ϕ(b) − ϕ(a) = −µ(]b, 0]) + µ(]a, 0]) = µ(]a, b]), et enfin si a ≤ 0 ≤ b, ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − (−µ(]a, 0])) =µ(]a, b]).

L’unicite est immediate : si ψ est un autre candidat, ϕ(b)− ϕ(a) = ψ(b)− ψ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 telsque a < b, donc ϕ − ψ est constante. Comme µ ≥ 0, ϕ est necessairement croissante. De plus, si bn est unesuite tendant vers b en decroissant, l’intersection des ]a, bn] est ]a, b], et comme µ(]a, bn]) < +∞, on a

ϕ(b)− ϕ(a) = µ(]a, b]) = limn→+∞

µ(]a, bn]) = limn→+∞

ϕ(bn)− ϕ(a),

ce qui donne la continuite a droite.

Remarque : pour µ = δ0, la fonction de Heaviside ϕ = 1R+ convient. On voit que ϕ n’est pas continue agauche. Si µ est une mesure finie, sa fonction de repartition, definie par ϕ(x) = µ(]−∞, x]), convient.

Theoreme 5. Soit ϕ : R → R croissante, continue a droite. Il existe une unique mesure de Borel µ surR telle que pour tout a, b ∈ R avec a < b,

µ(]a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a).

Cette mesure s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieljes associee a ϕ, ou mesure derivee de ϕ, notee dϕ.


Remarque : on verifiera facilement que

µ([a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a−), µ([a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a−), µ(]a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a), µ({a}) = ϕ(a)− ϕ(a−).

Si ϕ est de classe C1, alors µ est la mesure a densite ϕ′(t)dt, puisque

∫ b

a

ϕ′(t)dt = ϕ(b)− ϕ(a).

Remarque : pour les besoins de la demonstration, on prolonge la mesure de Lebesgue a [−∞,+∞] en posantm({±∞}) = 0. Autrement dit, c’est la mesure image de la mesure de Lebesgue sur R, par l’inclusion canoniquede R dans [−∞,+∞].

Demonstration. Le theoreme d’unicite s’applique. Pour tout y ∈ R on pose

Iy = {x ∈ R t.q. ϕ(x) ≥ y} = ϕ−1([y,+∞[).

Comme ϕ est croissante, Iy est un intervalle (eventuellement vide). Soient ` = inf ϕ,L = supϕ ∈ [−∞,+∞].Pour tout y > L on a Iy = ∅ et pour tout y ≤ ` on a Iy = I. Si ` < y ≤ L, Iy est un intervalle non vide minore(car ϕ est continue a droite) et infini a droite. On definit ψ :]`, L] → R en posant ψ(y) = min(Iy), de sorteque Iy = [ψ(y),+∞[. C’est une fonction croissante, donc borelienne.

Soient a, b ∈ I avec a < b. Pour tout y ∈]`, L[, on a par definition de ψ, a < ψ(y) ≤ b si et seulementsi a /∈ Iy et b ∈ Iy, i.e. ϕ(a) < y ≤ ϕ(b). Donc ψ−1(]a, b]) =]ϕ(a), ϕ(b)]. La mesure image de la mesure deLebesgue sur ]`, L] par ψ convient, puisque par definition,

µ(]a, b]) = m(ψ−1(]a, b])) = m(]ϕ(a), ϕ(b)]) = ϕ(b)− ϕ(a).

Corollaire 3. Soient a, b ∈ R tels que a < b et ϕ : [a, b] → R+ croissante et continue a droite. Il existe uneunique mesure de Borel µ sur [a, b] telle que

µ([a, x]) = ϕ(x)

pour tout x ∈ [a, b].

Remarque : on a µ([a, b]) = ϕ(b) < +∞ donc µ est finie.

Demonstration. Prolonger ϕ sur R par ϕ(a) et ϕ(b). Soit ν la mesure derivee. Alors la restriction de ν+ϕ(a−)δaa [a, b] convient. Le theoreme d’unicite s’applique.

Chapitre 5

Integration et derivation sur un intervalle [a, b]

Dans ce chapitre [a, b] designera un intervalle compact de R. Les fonctions f : [a, b]→ [0,+∞] ou C considereesseront boreliennes ou mesurables au sens de Lebesgue, sommables par rapport a la mesure de Lebesgue.

L’integrale sera notee

∫ b

a

f(t)dt au lieu de

∫[a,b]

fd`.

I Integration sur [a, b].

I.1 Fonctions mesurables bornees

Theoreme 1 (Inegalite de la moyenne). Si f : [a, b] → R est mesurable et bornee, alors f est sommablesur [a, b], et

(b− a) inft∈[a,b]

f(t) ≤∫ b

a

f(t)dt ≤ (b− a) supt∈[a,b]

f(t)

Remarque : il y a des fonctions sommables non bornees.

Demonstration. On a

∫ b

a

|f(t)|dt ≤∫ b

a

sup|f |dt = (b− a)sup|f | < +∞ donc f est sommable. Soit M = supf

et m = inff . Pour tout t ∈ [a, b],

m ≤ f(t) ≤M donc m(b− a) =

∫ b

a

mdt ≤∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

Mdt = M(b− a).

Definition 1. la moyenne d’une fonction f : [a, b]→ C sommable est1

b− a

∫ b

a

f(t)dt.

Proposition 1. Soit f : [a, b]→ C une fonction arbitraire, et N l’ensemble de ses points de discontinuite. SiN est denombrable, alors f est borelienne. Si N est negligeable, alors f est mesurable.

Remarque : donc si f est de plus bornee, elle est sommable. On rappelle que dire que f est continue en toutpoint de [a, b] \N n’equivaut pas a f continue sur [a, b] \N , sauf si N est ferme.

53

54 CHAPITRE 5. INTEGRATION ET DERIVATION SUR UN INTERVALLE [A,B]

Demonstration. Soit U un ouvert de C et E = f−1(U). Pour tout x ∈ E \ N , f est continue en x, donc ilexiste un voisinage ouvert V (x) de x tel que f(y) ∈ U pour tout y ∈ V (x), i.e. V (x) ⊂ E. On a donc

E = (E ∩N) ∪

⋃x∈E\N

V (x)

.

E ∩N est une partie de N , donc denombrable ou de mesure nulle, et le second terme est un ouvert.

Corollaire 1. Soit f : [a, b]→ C une fonction bornee. Si f est continue sauf en un nombre fini de points (enparticulier si f est continue par morceaux), monotone, ou monotone par morceaux, alors f est sommable. Laderivee d’une fonction derivable est borelienne.

Remarque : une fonction continue sauf en un nombre fini de points n’est pas forcement continue par morceaux,meme si elle est bornee.

Definition 2. Une fonction f : [a, b] → C est dite reglee si elle a une limite finie a droite en tout pointx ∈ [a, b[ et une limite finie a gauche en tout point x ∈]a, b].

Lemme 1. Soit f : [a, b] → R reglee. Pour tout ε > 0, il existe deux fonctions g et h en escalier sur [a, b]telles que g ≤ h ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ ε.

Remarque : en particulier une fonction reglee est bornee, ce qui peut se montrer directement.

Demonstration. Soit ε > 0 et I l’ensemble des x ∈ [a, b] tel que la propriete soit verifiee sur [a, x]. I estclairement un intervalle contenant a.→ I contient un voisinage de a : comme f admet une limite ` quand x → a+, il existe a < x0 < b tel quepour tout a < y < x0, |f(y)− `| < ε/2. On definit g et h sur [a, x0] par g(a) = h(a) = f(a), g(y) = inf ]a,x0] fet h(y) = sup]a,x0] f pour a < y ≤ x0. Les deux fonctions g et h sont en escalier et on a bien g ≤ f ≤ h et|h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x0].→ on a sup(I) = b : supposons par l’absurde que x := sup(E) ∈]a, b[. Par hypothese, f admet une limitea gauche ` et une limite a droite L en x. Soient a < x1 < x < x2 < b tels que |f(y) − `| < ε/2 pour touty ∈ [x1, x[ et |f(y)−L| < ε/2 pour tout y ∈]x, x2]. Comme x1 < x, il existe g et h en escalier sur [a, x1] tellesque

g ≤ f ≤ h et |h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x1].

On prolonge g et h sur ]x1, x2] en posant g(y) = inf]x1,x[

f et h(y) = sup]x1,x[

f pour x1 < y < x, g(x) = h(x) = f(x),

g(y) = inf ]x,x2] f et h(y) = sup]x,x2] f pour x < y ≤ x2. Alors g et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ εsur [a, x2]. On a donc x2 ∈ I et x2 > x = sup(I), une contradiction.→ I = [a, b] : soit ` la limite a gauche de f en b, et x3 ∈]a, b[ tel que |f(y) − `| < ε/2 pour tout x3 < y < b.Comme x3 < b on a x3 ∈ I, donc il existe g et h en escalier sur [a, x3], telles que

g ≤ f ≤ h et |h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x3].

On prolonge g et h en posant g(y) = inf]x3,b[

f et h(y) = sup]x3,b[ pour x3 < y < b, et g(b) = h(b) = f(b). Alors g

et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ ε sur [a, b].

Corollaire 2. Toute fonction reglee f : [a, b]→ C est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.

Remarque : c’est en fait une definition equivalente des fonctions reglees.

Corollaire 3. Toute fonction reglee f : [a, b]→ C admet un nombre au plus denombrable de discontinuites.

I. INTEGRATION SUR [A,B]. 55

Remarque : donc les fonctions reglees sont sommables.

Demonstration. Soit fn : [a, b]→ C en escalier convergeant uniformement vers f . La reunion N des points dediscontinuite des fn est denombrable. Soit x ∈ [a, b] \N et ε > 0. Soit n ∈ N∗ tel que ‖fn − f‖∞ < ε. Commefn est constante au voisinage de x, il existe un voisinage V (x) de x tel que pour tout y ∈ V (x), fn(y) = fn(x).Pour tout y ∈ V (x), on a donc

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− fn(y)|+ |fn(y)− fn(x)|+ |fn(x)− f(x)| ≤ ‖f − fn‖∞ + 0 + ‖f − fn‖∞ < 2ε.

Definition 3. Une fonction f : [a, b]→ R est integrable au sens de Riemann si pour tout ε > 0, il existe u, v

en escalier sur [a, b] telles que u ≤ f ≤ v et

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < ε. Une fonction f : [a, b]→ C est integrable

au sens de Riemann si ses parties reelles et imaginaires le sont.

Proposition 2. Une fonction bornee f : [a, b] → C est integrable au sens de Riemann si et seulement si ilexiste N ⊂ [a, b] de mesure de Lebesgue nulle tel que f est continue en tout x ∈ [a, b] \N .

Demonstration. Il suffit de considerer les fonction reelles. Soit un et vn deux suites de fonctions en escalier

telles que un ≤ f ≤ vn et

∫ b

a

|vn(x)− un(x)|dx ≤ 2−n. Alors par convergence monotone,

∫ b

a

+∞∑n=1

|vn(x)− un(x)|dx < +∞,

donc vn − un tend vers 0 presque partout. Soit N de mesure de Lebesgue nulle tel que vn(x) − un(x) → 0pour tout x /∈ N . Quitte a ajouter N un ensemble denombrable, on peut supposer que un et vn sont continues(donc localement constantes) en chaque point de [a, b] \N .

On montre que f est continue en chaque point x /∈ N . Soit ε > 0 et x /∈ N . Pour tout y ∈ [a, b] et toutn ∈ N∗, on a

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− un(y)|+ |un(y)− un(x)|+ |un(x)− f(x)|≤ |vn(y)− un(y)|+ |un(y)− un(x)|+ |vn(x)− un(x)|.

Comme x /∈ N , il existe n tel que |vn(x)− un(x)| < ε. Comme un et vn sont constantes au voisinage de x, ilexiste η > 0 tel que pour tout |y − x| < η, on a un(y) = un(x) et vn(y) = vn(x). On a donc

|f(y)− f(x)| ≤ |vn(x)− un(x)|+ 0 + |vn(x)− un(x)| < 2ε.

Reciproque admise (TD).

Corollaire 4. Les fonctions integrable au sens de Riemann sont integrables au sens de Lebesgue.

I.2 Integrale indefinie

Definition 4. Soit (X,A, µ) un espace mesure et f : X → [−∞,+∞] mesurable. On dit que f a une integraleconvergente dans [−∞,+∞] si f+ = max(f, 0) ou si f− = max(−f, 0) a une integrale finie. Dans ce cas onpose ∫

X

dµ =

∫X

f+dµ−∫X

f−dµ ∈ [−∞,+∞].


Remarque : on verifiera que l’integrale ainsi definie est lineaire.

Definition 5. Soit f : [a, b] → [−∞,+∞] mesurable, d’integrale convergente dans [−∞,+∞]. L’integraleindefinie de f est la fonction F : [a, b]→ [−∞,+∞] definie par

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt :=

∫[a,x]

fdm.

Remarque : ce n’est pas une primitive, car F n’est pas forcement derivable.

Proposition 3. Soit f : [a, b]→ [−∞,+∞] mesurable, d’integrale convergente dans [−∞,+∞]. Son integraleindefinie F est continue a gauche. Si f+ et f− ont une integrale finie, alors F est continue.

Demonstration. Il suffit de faire le cas ou f est positive, et d’appliquer le resultat a f+ et f−. Soit f : [a, b]→[0,+∞] mesurable, F son integrale indefinie et µ la mesure de densite f par rapport a la mesure de Lebesgue.On rappelle que pour tout E ⊂ [a, b] mesurable,

µ(E) =

∫ b

a

1E(t)f(t)dt,

et que pour tout x ∈ [a, b], F (x) = µ([a, x]) = µ([a, x[) (la mesure de Lebesgue d’un point etant nulle). Fest croissante, donc admet des limites a droite et a gauche en tout point. Soit xn ∈]a, b] une suite strictement

croissante, convergeant vers x ∈]a, b]. Alors⋃n

[a, xn[= [a, x[, donc

F (x−) = limn→+∞

µ([a, xn[) = µ([a, x[) = F (x),

ce qui prouve que F est continue a gauche. Supposons que f a une integrale finie. Si xn est une suite

strictement decroissante convergeant vers x ∈ [a, b[,⋂n

[a, xn] = [a, x], et µ est une mesure finie (de masse∫ b

a

f(t)dt < +∞), donc F (x+) = limn→+∞

µ([a, xn]) = µ([a, x]) = F (x), et F est continue a droite.

Remarque : si f est mesurable et bornee, F est lipschitzienne. Si f est continue, F est de classe C1. Si f estreglee, F est derivable a droite et a gauche.

I.3 Approximation des fonctions sommables

Pour la definition des fonctions semi-continues, voir chapitre 2.

Proposition 4. Soit a, b ∈ R avec a < b et f : [a, b] → R une fonction sommable. Pour tout ε > 0, il existeune fonction s.c.s u et une fonction s.c.i v telles que

u ≤ f ≤ v et

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < ε.

Remarque : on rappelle que u est a valeurs dans [−∞,+∞[ et v dans ] −∞,+∞], donc la difference v − u

est bien definie, est une fonction borelienne positive. Comme

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < +∞, on a u et v finies p.p.

Une fonction sommable n’etant pas necessairement bornee, on ne peut pas supposer que u et v sont continuesen general.


Demonstration. Il suffit de faire le cas des fonctions positives, car la somme de fonctions s.c.i (ou s.c.s) le reste,et car l’oppose d’une fonction s.c.i est s.c.s. Soit Ak ⊂ [a, b] une suite d’ensembles mesurables, et ak ∈ R∗+ telsque

f =+∞∑k=1

ak1Ak.

Soit ε > 0. On choisit un ferme Fk et un ouvert Uk (de [a, b]) tels que Fk ⊂ Ek ⊂ Uk et m(Uk \ Fk) <ε

2kαk.

Soit, pour tout n ∈ N∗, un =n∑k=1

αk1Fket v =

+∞∑k=1

αk1Uk. Comme v est une serie de fonctions s.c.i positives,

elle est s.c.i, et comme un est une somme finie de fonctions s.c.s, elle est s.c.s. On a clairement un ≤ f ≤ v.

De plus v − un =n∑k=1

ak1Uk\Fk+∑k>n

ak1Uk, et comme Uk ⊂ (Uk \ Fk) ∪ Ak,

∫ b

a

|v(t)− un(t)|dt ≤+∞∑k=1

akm(Uk \ Fk) +∑k>n

akm(Ak) < ε+∑k>n

akm(Ak).

La serie+∞∑k=1

akm(Ak) est finie (de somme

∫ b

a

f(t)dt), donc le membre de droite est < 2ε si n est assez grand.

Proposition 5. Soit f : [a, b] → C sommable. Pour tout ε > 0, il existe u : [a, b] → C continue telle que∫ b

a

|f(t)− u(t)|dt < ε.

Demonstration. Soit E ⊂ [a, b] mesurable. Soit U ouvert et F ferme tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.Soit la fonction g definie pour t ∈ [a, b] par

g(t) =d(t, [a, b] \ U)

d(t, F ) + d(t, [a, b] \ U),

ou d est la fonction distance a un ensemble. Elle est bien definie et continue, car la numerateur ne s’annulepas (F et [a, b] \ U sont fermes et disjoints). On a g(t) = 0 si t /∈ U et g(t) = 1 si t ∈ F , donc∫ b

a

|1E(t)− g(t)|dt =

∫U\F|1E(t)− g(t)|dt ≤ m(U \ F ) < ε.

On a donc le resultat pour les fonctions indicatrices, et donc pour leur combinaisons lineaires.

Si f : [a, b] → R+ est sommable, on ecrit f =+∞∑k=1

ak1Akavec Ak ⊂ [a, b] mesurable et αk > 0. On a∫ b

a

f(t)dt =+∞∑k=1

akm(Ak) < +∞. Soit ε > 0 et n ∈ N∗ tel que∑k>n

αkm(Ek) < ε, et g : [a, b] → R+ continue

telle que

∫ b

a

∣∣∣∣∣g −n∑k=1

ak1Ak

∣∣∣∣∣ < ε. On a

∫ b

a

|f − g| < 2ε. Dans le cas general ou f est a valeurs complexes, on

applique le resultat aux quatre fonctions positives et sommables Re(f)± et Im(f)±.


I.4 Compensations dans les integrales

Le phenomene de compensation dans les integrales se rencontre notamment dans les series de Fourier. Onintegre des fonctions oscillant enormement, et le resultat de l’integration est cense etre petit, ce qui ne se voitpas du tout en utilisant l’inegalite triangulaire et l’inegalite de la moyenne.

Theoreme 2 (second theoreme de la moyenne). Soient u : [a, b]→ R monotone et v : [a, b]→ R sommable.Il existe x ∈ [a, b] tel que ∫ b

a

u(t)v(t)dt = u(a)

∫ x

a

v(t)dt+ u(b)

∫ b

x

v(t)dt.

Demonstration. Soient m = infx∈[a,b]

∫ x

a

v(t)dt et M = supx∈[a,b]

∫ x

a

v(t)dt et ε > 0. L’application x →∫ x

a

|v|

est continue, donc uniformement continue sur [a, b]. On choisit η > 0 tel que

∫ y

x

|v(t)|dt < ε pour tous

(x, y) ∈ [a, b]2 tels que |x − y| < η. Soit t0 = a < t1 < · · · < tn = b une subdivision de [a, b] de pas < η. Onpose pour tout t ∈ [a, b] et n ∈ N∗,

w(t) =u(t)− u(b)

u(a)− u(b)et In =

n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk+1

tk

v(t)dt.

Comme w est decroissante et positive, on a∣∣∣∣∫ b

a

w(t)v(t)dt− In∣∣∣∣ ≤ n−1∑

k=0

∫ tk+1

tk

|w(tk+1)− w(t)||v(t)|dt ≤ εn−1∑k=0

(w(tk)− w(tk+1)) = ε(w(t0)− w(tn)) = ε.

Or, grace a un changement d’indice (on rappelle que w(b) = 0),

In =n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk+1

a

v(t)dt−n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt =n∑k=1

w(tk)

∫ tk

a


w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt

=n−1∑k=0

w(tk)

∫ tk

a


w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt =n−1∑k=0

(w(tk)− w(tk+1))

∫ tk

a

v(t)dt,

(5.1)

donc In ≤n−1∑k=0

(w(tk)−w(tk+1))M = M(w(a)−w(b)) = M, et de meme In ≥ m. Finalement en faisant tendre

ε vers 0 on trouve m ≤∫ b

a

w(t)v(t)dt ≤M . Il existe donc x ∈ [a, b] tel que

∫ b

a

w(t)u(t)dt =

∫ x

a

v(t)dt,

ce qui est exactement le resultat.


Corollaire 5 (deuxieme inegalite de la moyenne). Soient u : [a, b]→ R monotone, et v : [a, b]→ C sommable.Alors ∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ maxx∈[a,b]

∣∣∣∣u(a)

∫ x

a

v(t)dt+ u(b)

∫ b

x

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. Soit θ ∈ R tel que

∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ = eiθ∫ b

a

u(t)v(t)dt. On a

∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ =

∫ b

a

u(t)Re(e−iθv(t))dt.

La fonction v : t→ Re(e−iθv(t)) est reelle et sommable, donc il existe x ∈ [a, b] tel que∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ = u(a)

∫ x

a

u(t)v(t)dt+u(b)

∫ b

x

u(t)v(t)dt = Re

(e−iθu(a)

∫ x

a

u(t)v(t)dt+ e−iθu(b)

∫ b

x

v(t)dt

).

Corollaire 6. Soient u : [a, b]→ R+ croissante et v : [a, b]→ C sommable. On a∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ u(b) maxx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ b

x

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. modifier u en posant u(a) = 0.

Corollaire 7. Soient u : [a, b]→ R+ decroissante et v : [a, b]→ C sommable. On a∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ u(a) maxx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ x

a

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. modifier u en posant u(b) = 0.

Exemple 1 : si u : [a, b]→ R est monotone alors pour tout n ∈ N∗,∫ b

a

u(t)eintdt = O(1/n) quand n→ ±∞.

Exemple 2 : le resultat ci-dessus est vrai pour toute combinaison lineaire de fonctions monotones, et enparticulier les fonctions lipschitzienne (exo). Pour les fonctions continues et C1 par morceaux (qui sontlipschitziennes), c’est une bete integration par partie.

Exemple 3 : soit ϕ : R+ → R+ strictement croissante, convexe, de classe C1 au voisinage de +∞, telle queϕ′(t)→ +∞ quand t→ +∞. Alors l’integrale ∫ +∞

0

eiϕ(t)dt

est semi-convergeante. Typiquement : ϕ(t) = t1+ε avec ε > 0, ou ϕ(t) = t ln(t). . .


II Derivation sur [a, b].

II.1 Nombres derives

Definition 6. Soit F : [a, b]→ R une fonction arbitraire. On definit pour tout x ∈ [a, b[

f(x) = lim supy→x+

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞], g(x) = lim inf

y→x+

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞] et

h(x) = lim supy→x−

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞], k(x) = lim inf

y→x−

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞]

pour tout x ∈]a, b]. Ce sont les nombres derives superieurs et inferieurs, a droite et a gauche, de F .

Remarque :F est derivable en x ∈]a, b[ si et seulement si ses quatre nombres derives sont egaux et finis.

Lemme 2. Les quatre nombres derives d’une fonction reglee sont des fonctions boreliennes.

Demonstration. On montre par exemple que f est borelienne, et pour cela il suffit de voir que chaque fonctionfη (pour η > 0 fixe), definie pour x ∈ [a, b[ par

fη(x) = sup{F (y)− F (x)

y − xavec y ∈ [a, b] tel que x < y < x+ η

},

est borelienne. Soit N l’ensemble (denombrable) des points de discontinuite de F , α ∈ R et E = {x ∈[a, b[ t.q. fη(x) > α}. Par definition de fη, pour tout x ∈ E, il existe y ∈ [a, b[ tel que x < y < x + η etF (y)− F (x)

y − x> α. Si F est continue en x, il existe un voisinage ouvert V (x) de x tel que pour tout x ∈ V (x),

F (z)− F (y)

z − y> α et z < y < z + η, et on a alors V (x) ⊂ E. Autrement dit

E = (E ∩N) ∪

⋃x∈E\N

V (x)

.

E est la reunion d’un ensemble denombrable et d’un ouvert, donc est borelien.

Lemme 3 (du nombre derive). Soit F : [a, b] → R une fonction reglee et f son nombre derive superieur adroite. On suppose que

� pour tout t ∈]a, b], F (t−) ≤ F (t),

� pour tout t ∈ [a, b[, f(t) 6= −∞ et

∫ b

a

f−(t)dt < +∞.

Alors

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b)− F (a).

Remarque : comme f− est sommable, f a une integrale convergeante dans ] −∞,+∞], et le lemme montre

qu’en fait

∫ b

a

|f(t)|dt < +∞. En particulier, f(t) < +∞ presque partout. On remarque que si F (x) > F (x+),

alors f(x) = −∞ donc les discontinuites de F doivent verifier F (x−) ≤ F (x) ≤ F (x+).

Contre-exemple : si a < c < b, F = 1[a,c], on a 0 =

∫ b

a

f(t)dt > F (b)− F (a) = −1.

II. DERIVATION SUR [A,B]. 61

Demonstration. Soit ε > 0. On definit fε = min(f+, 1/ε)− f−. Alors −f− ≤ fε ≤ 1/ε, donc fε est sommable

sur [a, b]. Par convergence monotone, on a

∫ b

a

fε(t)dt →∫ b

a

f(t)dt. Comme fε est sommable, il existe une

fonction s.c.s uε : [a, b] → [−∞,+∞[ telle que uε ≤ fε et

∫ b

a

|fε(t) − uε(t)|dt < ε. Alors

∫ b

a

|uε(t)|dt ≤∫ b

a

|fε(t)|dt + ε < +∞, donc x →∫ x

a

uε(t)dt est une fonction continue de [a, b] dans R. Pour tout x ∈ [a, b]

on pose

ϕε(x) = F (x)− F (a) + 2ε(x− a)−∫ x

a

uε(t)dt.

Soit E l’ensemble des x ∈ [a, b] tels que ϕε(x) ≥ 0. E est non vide car il contient a. Pour toute suite xn ∈ Estrictement croissante, de limite x, on a ϕε(xn) ≥ 0 pour tout n, donc ϕε(x

−) ≥ 0, mais comme ϕε(x−) ≤ ϕε(x),

on a x ∈ E. Ceci prouve que E a un maximum, que l’on notera x. Le but est de montrer que x = b. Parl’absurde, supposons que x < b. Soit x < y ≤ b. On a ϕε(x) ≥ 0 et ϕε(y) < 0 donc ϕε(y)− ϕε(x) < 0, i.e.

F (y)− F (x) + 2ε(y − x) <

∫ y

x

uε(t)dt.

Comme uε est scs et uε(x) ≤ fε(x) < fε(x) + ε, il existe η > 0 tel que pour tout |t− x| < η, uε(t) < fε(x) + ε.Pour tout x < y < x+ η on a donc

F (y)− F (x) + 2ε(y − x) <

∫ y

x

uε(t)dt <

∫ y

x

(fε(x) + ε)dt = fε(x)(y − x) + ε(y − x),

ce qui peut encore s’ecrireF (y)− F (x)

y − x< fε(x) − ε, pour tout y ∈ [a, b] tel que x < y < x + η. Donc

f(x) = lim supy→x+

F (y)− F (x)

y − x≤ fε(x)− ε, une contradiction. Finalement, x = b, donc

∫ b

a

fε(t)dt ≤ ε+

∫ b

a

uε(t)dt ≤ ε+ 2ε(b− a) + F (b)− F (a),

et on fait ε→ 0 pour avoir le resultat.

II.2 Integrale d’une derivee

Theoreme 3 (Theoreme fondamental du calcul). Soit a, b ∈ R avec a < b, F : [a, b] → C derivable, de

derivee sommable. Alors pour tout x ∈ [a, b], F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t)dt.

Remarque : la derivee d’une fonction derivable n’est pas toujours sommable, mais est toujours borelienne.

Demonstration. F est derivable donc continue, et son nombre derive superieur a droite f est egal a F ′, doncet partout fini, et sommable par hypothese. En particulier f− est sommable. Le lemme donne∫ b

a

F ′(t)dt ≤ F (b)− F (a).

Pour avoir l’inegalite inverse, on remplace F par −F .


Corollaire 8. Soit F : [a, b]→ R croissante et derivable. Alors F ′ est sommable et

∫ b

a

F ′(t)dt = ϕ(b)−ϕ(a).

Remarque :F ′ est borelienne et positive, donc a une integrale dans [0,+∞].

Demonstration. F est derivable donc continue, et f est egal a F ′, donc f− = 0. Le lemme donne∫ b

a

F ′(t)dt ≤ F (b)− F (a) < +∞.

F ′ est donc sommable, et le theoreme fondamental du calcul donne l’egalite.

II.3 Derivee d’une integrale

Theoreme 4 (Theoreme de differentiation de Lebesgue). Soit f : [a, b]→ C sommable. Alors la fonction

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

est derivable p.p., de derivee f .

Remarque : si f est continue par morceaux, F presente des points anguleux en chaque discontinuite de f .

Demonstration. Soient x, y ∈ [a, b] tels que y 6= x. Par l’inegalite triangulaire,∣∣∣∣F (y)− F (x)

y − x− f(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

y − x

∫ y

x

(f(t)− f(x))dt

∣∣∣∣ ≤ 1

|y − x|

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt.

Il suffit donc de montrer que lim supy→x,y 6=x

1

|y − x|

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt = 0 presque partout.

Soit ε > 0 et u : [a, b]→ C continue telle que

∫ b

a

|f(x)− u(x)|dx < ε. On pose

G(x) =

∫ x

a

|f(t)− u(t)|dt et g(x) = lim supy→x+

G(y)−G(x)

y − x.

G est continue, et g positive. Le lemme du nombre derive donne∫ b

a

g(t)dt ≤ G(b)−G(a) =

∫ b

a

|f(t)− u(t)|dt < ε.

Comme u est continue, on a limy→x+

1

y − x

∫ y

x

|u(t)− u(x)|dt = 0 pour tout x ∈ [a, b[, donc en utilisant l’identie

|f(t)− f(x)| ≤ |f(t)− u(t)|+ |u(t)− u(x)|+ |u(x)− f(x)|, on trouve

ϕ(x) := lim supy→x+

1

y − x

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt ≤ g(x) + |f(x)− u(x)|

pour tout x ∈]a, b]. La fonction ϕ est borelienne positive et independante de ε, et le membre de droite aune integrale ≤ 2ε pour tout ε > 0, donc ϕ(x) = 0 p.p. On montrerait de meme en considerant la fonction

t→ f(−t) que lim supy→x−

1

x− y

∫ x

y

|f(t)− f(x)|dt = 0 presque partout, cqfd.

II. DERIVATION SUR [A,B]. 63

II.4 Derivee d’une fonction monotone

Ce theoreme est aussi du a Lebesgue. On a un enonce analogue pour les fonctions decroissantes.

Theoreme 5. Soit F : [a, b]→ R croissante. Alors F est derivable presque partout.

Remarque : les quatre nombres derives de F sont donc egaux presque partout et si f est l’un d’entre eux,

le lemme du nombre derive donne

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b) − F (a). L’escalier du diable est un exemple pour lequel

l’inegalite est stricte : c’est une fonction F : [0, 1] → [0, 1] continue strictement croissante, telle que F ′ = 0p.p.

Demonstration. Soient f, g, h, k les quatre nombres derives de F comme dans la definition. Ce sont desfonctions boreliennes positives, puisque F est croissante. On montre qu’ils sont egaux et finis p.p.

Le lemme du nombre derive applique a F et f donne

∫ y

x

f(t)dt ≤ F (y)− F (x) < +∞ pour tous a ≤ x <

y ≤ b. En particulier f (et g puisque 0 ≤ g ≤ f) sont finies p.p. Le lemme applique a x→ −F (−x) donne que

h et k sont finies presque partout et

∫ y

x

h(t)dt ≤ F (y) − F (x) < +∞ pour tous a ≤ x < y ≤ b. En divisant

par y − x et en passant a la limite inferieure on obtient :

lim infx→y−

1

y − x

∫ y

x

f(t)dt ≤ lim infx→y−

F (y)− F (x)

y − xet lim inf

y→x+

1

y − x

∫ y

x

h(t)dt ≤ lim infy→x+

F (y)− F (x)

y − x.

Comme f et h ont une integrale finie sur [a, b], elles sont egales p.p. a une fonction sommable. Le theoremede differentiation de Lebesgue montre donc que le membre de gauche de la premiere inegalite est f(y) p.p.,et celui de la seconde est h(x) p.p. Finalement on a f ≤ k et h ≤ g p.p. Comme g ≤ f et k ≤ h partout, onobtient que f, g, h et k sont egales et finies presque partout, cqfd.

Theoreme 6 (de Rademacher). Soit F : [a, b]→ C lipschitzienne. Alors F est derivable presque partout.

Si f est l’un de ses quatre nombres derives, on a

∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

Demonstration. Soit K la constante de Lipschitz et f l’un des quatre nombres derives de F . C’est une fonctionborelienne et bornee par K, donc sommable. Pour tout x ∈ [a, b], on pose G(x) = F (x)+Kx. Si a ≤ x ≤ y ≤ b,on a

G(y)−G(x) = F (y)− F (x) +K(y − x) ≥ −K|y − x|+K(y − x) = 0,

donc G est croissante. Elle est donc derivable p.p. (ainsi que F ). De plus∫ b

a

(f(t) +K)dt ≤ G(b)−G(a) i.e.

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b)− F (a).

On obtient l’inegalite inverse en appliquant le resultat a −F .


III Fonctions a variation finie

III.1 Variation totale.

Definition 7. Soit f : [a, b]→ C. La variation de f sur [a, b] est

V f(a, b) = sup

{n∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|

}∈ [0,+∞],

ou la borne superieure est prise sur les subdivisions a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b]. Une fonctionest dite a variation finie ou a variation bornee sur [a, b] si V f(a, b) < +∞. L’ensemble des fonctions avariation finie sur [a, b] est note VF(a, b).

Proposition 6. Soient (a, b) ∈ R2 tels que a < b et f : [a, b]→ R une fonction arbitraire.

(1) si f est monotone sur [a, b], alors f est a variation finie et V f(a, b) = |f(b)− f(a)|.

(2) si f est C-lipschitzienne, f est a variation finie et V f(a, b) ≤ C(b− a).

(3) |f(b)− f(a)| ≤ V f(a, b). En particulier ‖f‖∞ ≤ |f(a)|+ V f(a, b).

(4) pour tout a ≤ x ≤ b, V f(a, x) + V f(x, b) = V f(a, b).

(5) la somme, le produit, les parties reelles et imaginaires de fonctions a variation finie le sont.

Remarque : le point (4) (relation de Chasle) montre qu’une fonction a variation finie par morceaux, est avariation finie. En particulier, les fonctions monotones par morceaux, C1 par morceaux, lipschitziennes parmorceaux, sont a variation finie.

Demonstration. (1) : si f et croissante par exemple,n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| =n−1∑k=0

f(tk+1)− f(tk) = f(b)− f(a).

(2) :n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| ≤ Cn−1∑k=0

|tk+1 − tk| = C(b− a).

(3) : prendre la subdivision particuliere {a, b}.(4) : si t0 = a < t1 < · · · < tn = x est une subdivision de [a, x] et s0 = x < s1 < · · · < sm = b est unesubdivision de [x, b], alors on obtient une subdivision de [a, b] en concatenant, donc

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|+m−1∑`=0

|f(s`+1)− f(s`)| ≤ V f(a, b).

Par passage a la borne sup on voit que V f(a, x) + V f(x, b) ≤ V f(a, b). Si t0 = a < t1 < · · · < tn = b est unesubdivision de [a, b], soit ` tel que t` ≤ x ≤ t`+1. Alors

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| =∑

0≤k<`

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(t`)− f(t`+1)|+∑

`<k≤n−1

|f(tk+1)− f(tk)|

≤∑

0≤k<`

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(x)− f(t`)|+ |f(t`+1 − f(x)|+∑

`<k≤n−1

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(b)− f(t`)|

≤ V f(a, x) + V f(x, b),

III. FONCTIONS A VARIATION FINIE 65

ce qui donne V f(a, b) ≤ V f(a, x) + V f(x, b).(5) : soient f, g ∈ VF(a, b) . Par l’inegalite triangulaire,

n−1∑k=0

|(f + g)(tk+1)− (f + g)(tk)| ≤n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|+n−1∑k=0

|g(tk+1)− g(tk)|,

donc V (f + g)(a, b) ≤ V f(a, b) + V g(a, b) < +∞. De plus,

n−1∑k=0

|(fg)(tk+1)− (fg)(tk)| ≤n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)||g(tk+1)|+ |f(tk)||g(tk+1)− g(tk)|,

ce qui donne V (fg)(a, b) ≤ ‖g‖∞V f(a, b) + ‖f‖∞V g(a, b) < +∞.

Remarque : f → V f(a, b) est une semi-norme. VF(a, b) est complet pour la norme f → |f(a)|+ V f(a, b).

III.2 Caracterisation

Theoreme 7. Une fonction f : [a, b] → C est a variation finie si et seulement si elle est combinaisonlineaire de fonctions monotones.

Remarque : donc une fonction a variation finie sur [a, b] est sommable sur [a, b]

Demonstration. Par la proposition (points (1) et (4)), les combinaisons lineaires de fonctions monotones sonta variation finie. Reciproquement, soit f : [a, b]→ R a variation finie. Pour tous a ≤ x ≤ y ≤ b, on a

V f(a, x) + f(x)− f(y) ≤ V f(a, x) + |f(y)− f(x)| ≤ V f(a, x) + V f(x, y) = V f(a, y),

donc x → V f(a, x) + f(x) est croissante. De meme, x → V f(a, x) − f(x) est croissante. Or on a pour tout

x ∈ [a, b], f(x) =1

2(V f(a, x) + f(x))− 1

2(V f(a, x)− f(x)).

III.3 Derivation

Lemme 4. Soient a ≤ b ≤ c et F : [a, c]→ C a variation finie. On a pour tout ε > 0 tel que b+ ε ≤ c, on a∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|dt ≤ εV F (a, c).

Demonstration. On rappelle que t→ V F (a, t) est croissante, donc sommable. On a donc∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|dt ≤∫ b

a

V F (t, t+ ε)dt =

∫ b

a

V F (a, t+ ε)dt−∫ b

a

V F (a, t)dt

=

∫ b+ε

a+ε

V F (a, t)dt−∫ b

a

V F (a, t)dt =

∫ b+ε

b

V F (a, t)dt−∫ a+ε

a

V F (a, t)dt

≤∫ b+ε

b

V F (a, c)dt = εV F (a, c).


Corollaire 9. Soit F : [a, b]→ C a variation finie. F est derivable presque partout, et

∫ b

a

|F ′(t)|dt ≤ V F (a, b).

Demonstration. Les fonctions monotones sont derivables p.p., donc F aussi. On prolonge F en posant F (t) =F (b) pour t > b. Par le lemme, pour tout ε > 0 on a∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|ε

≤ V F (a, b+ ε) = V F (a, b),

car F est constante sur [b, b+ ε]. Le lemme de Fatou donne l’inegalite.

Corollaire 10. Soit f : [a, b]→ C sommable et pour tout x ∈ [a, b], F (x) =

∫ x

a

f(t)dt. Alors F est a variation

finie et V F (a, b) =

∫ b

a

|f(t)|dt.

Demonstration. Si a = t0 < t1 < · · · < tn = b est une subdivision de [a, b], on a

n−1∑k=0

|F (tk+1)− F (tk)| =n−1∑k=0

∣∣∣∣∫ tk+1

tk

f(t)dt

∣∣∣∣ ≤ n−1∑k=0

∫ tk+1

tk

|f(t)|dt =

∫ b

a

|f(t)|dt,

ce qui prouve que V F (a, b) ≤∫ b

a

|f(t)|dt < +∞. L’inegalite inverse est donnee par le corollaire 9 et le

theoreme de differentiation de Lebesgue.

Corollaire 11. Soit F : [a, b]→ C derivable. Alors F est a variation finie si et seulement si F ′ est sommable.

On a alors V F (a, b) =

∫ b

a

|F ′(t)|dt.

Demonstration. Si F est a variation finie, par le corollaire 9, F ′ est sommable. Si F ′ est sommable, le theoreme

fondamental du calcul donne que F (x) = F (a) +

∫ b

a

F ′(t)dt et le corollaire 10 donne le resultat.

III.4 Lien avec les mesures

Definition 8. Soit (X,A) un espace mesurable. Un mesure signee sur (X,A) est une combinaison linerairesur C de mesures finies. Autrement dit, une mesure signee est de la forme

µ = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4,

ou µ1, . . . , µ4 sont des mesures (positives) finies sur (X,A).

Remarque : on ne peut pas faire de combinaison lineaire de mesures prenant des valeurs infinies.

Proposition 7. Soit µ une mesure de Borel signee sur [a, b]. Alors ϕ : [a, b]→ C definie par ϕ(x) = µ([a, x])est a variation finie et continue a droite.

Demonstration. On l’a deja montre si µ est une mesure finie positive, et on conclut par linearite.

Lemme 5. Soit ϕ : [a, b]→ C a variation finie, continue a droite. Alors x→ V ϕ(a, x) est continue a droite.

III. FONCTIONS A VARIATION FINIE 67

Demonstration. Il s’agit donc de voir que infy∈]x,b]

V ϕ(a, y) = V ϕ(a, x) pour tout x ∈ [a, b[, car x → V ϕ(a, b)

est croissante. Soit x ∈ [a, b[ fixe et ε > 0. Soit t0 = x < t1 < · · · < tn = b une subdivision de [x, b] telle

quen−1∑k=0

|ϕ(tk+1) − ϕ(tk)| > V ϕ(x, b) − ε. Comme ϕ est continue a droite en x, il existe y ∈]x, t1[ tel que

|ϕ(x) − ϕ(y)| < ε. On obtient la subdivision t0 = x < y < t1 < · · · < tn = b de [x, b]. Par l’inegalitetriangulaire,

V ϕ(x, b) < ε+n−1∑k=0

|ϕ(tk+1)− ϕ(tk)| ≤ 2ε+ V ϕ(y, b),

soit V ϕ(a, y)− V ϕ(a, x) = V ϕ(x, y) = V ϕ(x, b)− V ϕ(y, b) ≤ 2ε.

Proposition 8. Soit ϕ : [a, b]→ C, a variation finie continue a droite. Il existe une unique mesure signee µsur [a, b] telle que

µ([a, x]) = ϕ(x)

pour tout a ≤ x ≤ b.

Demonstration. Soient µ et ν deux mesures de Borel signees sur [a, b] telles que µ([a, x]) = ν([a, x]) pour toutx ∈ [a, b]. On ecrit µ = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4 et ν = ν1 − ν2 + iν3 − iν4, avec µi et νi mesures de Borel positivesfinies. En prenant les parties reelles et imaginaires on trouve

(µ1 + ν2)([a, x]) = (ν1 + µ2)([a, x]) et (µ3 + ν4)([a, x]) = (ν3 + µ4)([a, x])

pour tout x ∈ [a, b]. Le theoreme d’unicite donne µ1 + ν2 = ν1 + µ2 et µ3 + ν4 = ν3 + µ4, soit µ = ν.Supposons d’abord que ϕ est croissante. On prolonge ϕ sur R en posant ϕ(x) = ϕ(a) si x < a et ϕ(x) = ϕ(b)

si x > b. Alors ϕ est croissante et continue a droite sur R. Soit ν la mesure de Lebesgue-Stieljes associee. Elleverifie en particulier

ν(]a, x]) = ϕ(x)− ϕ(a)

pour tout x[a, b]. La mesure µ = ν + ϕ(a)δa convient. Si ϕ est a variation finie et reelle, les deux fonctionsx→ V ϕ(a, x)+ϕ(x) et x→ V ϕ(a, x)−ϕ(x) sont croissantes et continues a droite, donc il existe deux mesuresde Borel positives et finies sur [a, b] telle que

µ1([a, x]) = V ϕ(a, x) + ϕ(x) et µ2([a, x]) = V ϕ(a, x)− ϕ(x)

pour tout x ∈ [a, b]. La mesure µ = (µ1 − µ2)/2 convient. Si F est complexe, on applique ceci a ses partiesreelles et imaginaires, qui sont bien a variation finie et continues a droite.

Chapitre 6

Theoremes de Fubini

I Produit de deux espaces mesures

I.1 Tribu produit

On fixe deux espaces mesurables (X,A) et (Y,B).

Definition 1. La tribu produit sur X×Y est la tribu engendree par les ensembles du type A×B avec A ∈A et B ∈ B. Un tel ensemble sera appele un ensemble produit, et la tribu produit est notee A⊗ B.

Remarque : la famille des ensembles produit n’est pas une σ-algebre, mais elle est stable par intersectionsfinies ou denombrables. On verifiera facilement que pour tous A,A′ ∈ A et B,B′ ∈ B,

(A×B) ∩ (A′ ×B′) = (A ∩ A′)× (B ∩B′) et (A×B) \ (A′ ×B′) = [(A \ A′) ∩B] ∪ [(A ∩ A′)× (B \B′)].

Proposition 1. Pour tous k, ` ∈ N∗, B(Rk)⊗ B(R`) = B(Rk+`).

Demonstration. Les paves de Rk+` sont les produits de paves de Rk par des paves de R`.

I.2 Mesure produit

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,B, ν), c’est a dire qu’il existe deux suites croissantesXn ∈ A et Yn ∈ B, de reunion X et Y respectivement, telles que µ(Xn) < +∞ et ν(Xn) < +∞ pour toutn ∈ N∗. Le cas des mesures finies est le plus important.

Definition 2. Il existe une unique mesure m sur A⊗ B telle que

m(A×B) = m(A)×m(B)

pour tous A ∈ A et B ∈ B. C’est la mesure produit de µ par ν, que l’on note m = µ⊗ ν.

Remarque : si les espaces ne sont pas σ-fini, une telle mesure existe mais n’est pas focement unique.

69

70 CHAPITRE 6. THEOREMES DE FUBINI

Demonstration. La famille des ensembles produits est stable par intersections finies. Et la suite Xn × Yn estune suite croissante de A⊗B de reunion X×Y , telle que µ(Xn)ν(Yn) < +∞. Le theoreme d’unicite s’applique.

Soit m la mesure exterieure canonique associee a la fonction d’ensemble A×B → µ(A)ν(B), definie de lafamille des ensembles produits a valeurs dans [0,+∞]. Soient A,A′ ∈ A et B,B′ ∈ B. Par sous-additivite,

m((A×B) ∩ (A′ ×B′)) +m((A×B) \ (A′ ×B′))≤ m((A ∩ A′)× (B ∩B′)) +m((A \ A′)×B) +m((A ∩ A′)× (B \B′))≤ µ(A ∩ A′)ν(B ∩B′) + µ(A \ A′)ν(B) + µ(A ∩ A′)ν(B \B′)= µ(A)ν(B). (6.1)

Le critere de mesurabilite est verifie, donc les ensembles produit sont m-mesurables. La restriction de m aA⊗B est donc une mesure. Il reste a montrer que m(A×B) = µ(A)×ν(B). D’apres les resultats du chapitre3, ce sera la cas si (et c’est meme equivalent a)

A×B ⊂+∞⋃k=1

Ak ×Bk ⇒ µ(A)ν(B) ≤+∞∑k=1

µ(Ak)ν(Bk),

pour tous A,Ak ∈ A et B,Bk ∈ B. Or la premiere condition equivaut a 1A(x)1B(y) ≤+∞∑k=1

1Ak(x)1Bk

(y)

pour tous (x, y) ∈ X × Y , on obtient donc l’inegalite en integrant par rapport a µ puis par rapport a ν, ou lecontraire.

Corollaire 1. Soit n ∈ N∗ et (Xk,Ak, µk)k=1...n une suite finie de n espaces mesures σ-finis. La fonctiond’ensemble definie pour tous Ak ∈ Ak par

µ(A1 × · · · × An) = µ1(A1) · · ·µn(An)

se prolonge de maniere unique en une mesure sur la σ-algebre engendree.

Demonstration. Exo (recurrence immediate).

Remarque : on definit ainsi le produit d’un nombre fini d’espaces mesures. Il est possible de generaliser cela

aux produits infinis sous la condition (necessaire) que le produit infini+∞∏k=1

µk(Xk) converge, ce qui est le cas

par exemple on a des mesures de probabilite (reference : voir Dudley par exemple).

II Theoreme de Fubini-Tonelli

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,A, ν) (on note Xn et Yn les suites exhausitives correspon-dantes), et on munit X × Y de la tribu et de la mesure produit m = µ⊗ ν.

Theoreme 1. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Alors chacune des integrales ci-dessous a un sens,et on a l’indentite∫

X×Yfdm =

∫X

(∫Y

f(x, y)dν(y)

)dµ(x) =

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dν(y).

Remarque : la difficulte du theoreme est de montrer que chaque integrale existe. L’egalite sera immediate.

II. THEOREME DE FUBINI-TONELLI 71

Lemme 1. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Pour tous (x, y) ∈ X × Y fixes, les fonctions partiellesf(x, ·) et f(·, y) sont mesurables et positives.

Remarque : donc

∫X

f(x, y)dµ(x) et

∫Y

f(x, y)dν(y) existent.

Demonstration. Soit px : Y → X×Y et qy : X → X×Y definies par px(y) = qy(x) = (x, y). Pour tout A ∈ Aet B ∈ B, on a

p−1x (A×B) =

{∅ si x /∈ AB si x ∈ A

}∈ B, q−1

y (A×B) =

{∅ si y /∈ BA si y ∈ B

}∈ A.

Les deux fonctions px et qy sont donc mesurables. Enfin on a f(x, ·) = f ◦ px et f(·, y) = f ◦ qy.

Corollaire 2. Pour tous (k, `) ∈ N∗2, L(Rk)⊗ L(R`) 6= L(Rk+`.

Demonstration. Soit E ⊂ Rk non mesurable. Alors E × {0}` est mesurable, de mesure nulle, mais n’est pasdans la tribu produit car q−1

0 ({0}) = E /∈ L(Rk).

Lemme 2. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Les integrales partielles x →∫Y

f(x, y)dν(y) et y →∫X

f(x, y)dµ(x) sont mesurables et positives.

Remarque : donc les deux integrales

∫X

(∫Y

f(x, y)dν(y)

)dµ(x) et

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dν(y) existent.

Demonstration. On suppose d’abord que µ et ν sont finies. Soit C la famille des E ∈ A ⊗ B tels que x →∫Y

1E(x, y)dν(y) et y →∫X

1E(x, y)dµ(x) sont mesurables. Par le theoreme de convergence monotone pour

les series, pour tous (x, y) ∈ X × Y fixes,

E →∫X

1E(x, y)dν(y) et E →∫Y

1E(x, y)dµ(x)

sont des mesures finies sur A⊗B. C est donc une classe monotone. Si E = A×B, avec A ∈ A et B ∈ B, on a∫X

1E(x, y)dν(y) = ν(B)1A(x) et

∫Y

1E(x, y)dµ(x) = µ(A)1B(y),

ce qui prouve que C contient les ensembles produit. Comme la famille des ensembles produit est stable parintersections finies, le lemme des classes monotones donne C = A⊗ B, c’est-a-dire que pour tout E ∈ A⊗ B,les fonctions

x→∫X

1E(x, y)dν(y) et y →∫Y

1E(x, y)dµ(x)

sont mesurables. Dans le cas general ou µ et ν sont σ-finies, on applique le resultat aux mesures A→ µ(A∩Xn)et B → ν(B ∩ Yn), ce qui donne que

x→∫Xn

1E(x, y)dν(y) et y →∫Yn

1E(x, y)dµ(x)

sont mesurables pour tout n ∈ N∗. On fait n → +∞ en utilisant le theoreme de convergence monotone, etcomme la limite simple d’une suite de fonctions mesurables est mesurables, on a le resultat.


Si f : X × Y → [0,+∞] est une fonction mesurable arbitraire, il existe une suite εk ∈ R+ et Ek ∈ A ⊗ B,

telles que f =+∞∑k=1

εk1Ek. Par le theoreme de convergence monotone,

∫X

f(x, y)dµ(x) =+∞∑k=1

εk

∫X

1Ek(x, y)dµ(x) et

∫Y

f(x, y)dν(y) =+∞∑k=1

εk

∫Y

1Ek(x, y)dν(y),

et on remarque qu’une serie de fonctions mesurables positives est mesurable.

Demonstration du theoreme. Par le lemme 2, les deux applications m1 et m2 suivantes

m1(E) =

∫X

(∫Y

1E(x, y)dν(y)

)dµ(x) et m2(E) =

∫Y

(∫X

1E(x, y)dµ(x)

)dν(y)

sont bien definies pour E ∈ A ⊗ B. Par le theoreme de convergence monotone pour les series, ce sont desmesures. Si A ∈ A et B ∈ B, alors

m1(A×B) =

∫X

(∫Y

1A(x)1B(y)dν(y)

)dµ(x) =

∫X

1A(x)

(∫Y

1B(y)dν(y)

)dµ(x) = µ(A)ν(B),

et de meme m2(A×B) = µ(A)ν(B). La mesure produit etant unique, on a m = m1 = m2 = µ⊗ ν, donc∫X×Y

1Edm =

∫y

(∫X

1E(x, y)dµ(x)

)dν(y) =

∫X

(∫Y

1E(x, y)dν(y)

)dµ(x)

pour tout E ∈ A⊗B, et le theoreme est verifie pour les fonctions indicatrice. On conclut en decomposant unefonction mesurable arbitraire en serie de fonctions indicatrices, et en appliquant le theoreme de convergencemonotone a chacune des cinq integrales.

Definition 3. Soit E ∈ A ⊗ B. La section verticale de E a l’abcisse x ∈ X et la section horizontale de E al’ordonnee y ∈ Y sont les ensembles

Ex = {y ∈ Y t.q. (x, y) ∈ E} et Ey = {x ∈ X t.q. (x, y) ∈ E}.Corollaire 3. Soit E ∈ A⊗B. Pour tous (x, y) ∈ X×Y , Ex et Ey sont mesurables, les fonctions y → µ(Ey)et x→ ν(Ex) sont mesurables positives, et

m(E) =

∫X

ν(Ex)dµ(x) =

∫Y

µ(Ey)dν(y).

Corollaire 4. Soit f : [a, b]→ R+ borelienne, et A le domaine du plan defini par les conditions a ≤ x ≤ b et0 ≤ y ≤ f(x). Alors A est une borelien de mesure de Lebesgue

m(A) =

∫ b

a

f(x)dx.

Demonstration. A est l’image reciproque de [0,+∞[ par la fonction borelienne (x, y)→ f(x)− y, donc est unborelien. pour tout x /∈ [a, b], on a Ax = ∅ et pour tout x ∈ [a, b], Ax = [0, f(x)].

Exemple : l’aire d’un disque de rayon r est donc∫ r

−r2√r2 − x2dx = · · · = πr2,

le volume d’une boule de rayon r est ∫ r

−rπ(√r2 − x2)2dx =

4

3πr2,

et on peut faire le calcul en toutes dimensions par recurrence.Remarque : le theoreme de Fubini se generalise de maniere immediate par recurrence aux produits finisd’espaces mesures (exo).

III. THEOREME DE FUBINI-LEBESGUE 73

III Theoreme de Fubini-Lebesgue

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,A, ν) (on note Xn et Yn les suites exhausitives correspon-dantes), et on munit X × Y de la tribu et de la mesure produit m = µ⊗ ν.

Proposition 2. Soit f : X × Y → C mesurable. Alors f est sommable si et seulement si∫X

(∫Y

|f(x, y)|dν(y)

)dµ(x) < +∞, ce qui equivaut aussi a

∫Y

(∫X

|f(x, y)|dµ(x)

)dν(y) < +∞

Theoreme 2 (de Fubini). Soit (X,A, µ) et (Y,B, ν) deux espaces mesures σ-finis. On munit X × Y de latribu et de la mesure produit. Soit f : X × Y → C mesurable, sommable sur X × Y . On a :

� Les deux ensembles

E :=

{x ∈ X;

∫Y

|f(x, y)|dν(y) < +∞}, F :=

{y ∈ Y ;

∫X

|f(x, y)|dµ(x) < +∞}

sont mesurables. Leurs complementaires sont de mesure nulle.

� Les deux fonctions integrales partielles

I : X → C J : Y → C

x→

∫Y

f(x, y)dν(y) si x ∈ E

0 si x /∈ Ey →

∫X

f(x, y)dµ(x) si y ∈ F

0 si x /∈ F

sont mesurables et sommables, respectivement sur (X,A, µ) et (Y,B, ν).

� On a ∫X×Y

fdm =

∫X

I(x)dµ(x) =

∫Y

J(y)dν(y).

Demonstration. D’apres le theoreme de Fubini-Tonelli, les deux fonctions

I∗(x) =

∫Y

|f(x, y)|dν(y) (x ∈ X), J∗(y) =

∫X

|f(x, y)|dµ(x) (y ∈ Y )

sont bien definies, mesurables, sommables, donc E ∈ A, F ∈ B, µ(Ec) = 0 et ν(F c) = 0.Le theoreme de Fubini-Tonelli donne donc, pour g = la partie positive ou negative de la partie reelle ou

imaginaire de f , que∫X×Y

gd(µ⊗ ν) =

∫X

(∫Y

g(x, y)dν(y)

)dµ(x) =

∫E

(∫Y

g(x, y)dν(y)

)dµ(x).

On conclut par linearite.

Remarque : generalisation immediate par recurrence aux produits finis d’espaces mesures σ-finis.

Chapitre 7

Theoreme du changement de variable

Dans tout le chapitre, on fixe d ∈ N∗ et k ∈ {1, . . . , d}. On designe par Hk la mesure exterieure de Haussdorfde dimension k sur Rd, pour la distance euclidienne, et par mk la mesure exterieure de Lebesgue sur Rk.

I Cas des applications lineaires

Theoreme 1 (de changement de variables lineaires). Soit ϕ : Rk → Rd une application lineaire. Alorspour tout E ⊂ Rk,

Hk(ϕ(E)) =√

det(ϕ∗ ◦ ϕ)mk(E),

ou ϕ∗ : Rd → Rk est l’adjoint de ϕ, defini par la relation 〈ϕ(x), y〉 = 〈x, ϕ∗(y)〉 pour tous (x, y) ∈ Rk×Rd.

Remarque : la relation a un sens pour tout E ⊂ Rk puisqu’on considere les mesures exterieures mk et Hk.On montrera en fait plus tard que si E ⊂ Rk est mk-mesurable, alors ϕ(E) est Hk-mesurable.

Demonstration. Si ϕ n’est pas injective, on a det(ϕ∗ ◦ϕ) = 0, et comme dim(Imϕ) < k, la restriction de Hk aImϕ est identiquement nulle. L’egalite est claire dans ce cas. Supposons que ϕ est injective. On identifie ϕ asa matrice A dans les bases canoniques de Rk et Rd.

Comme tAA est symetrique, definie positive, il existe une matrice orthogonale Q , et une matrice diagonaleD a coefficients diagonaux > 0, telles que tAA = Q−1DQ. Soient ∆ =

√D, B = Q−1∆Q et P = AB−1. Alors

tPP = t(AB−1)AB−1 = B−1tAAB−1 = B−1Q−1∆2Q = B−1B2B−1 = I,

et A = PB = PQ−1∆Q (c’est une decomposition polaire de la matrice A).Pour tout pave P (de Rk), ∆(P ) est aussi un pave, de mesure de Lebesgue δ1 · · · δkmk(P ). Si Pn est une

suite de paves recouvrant E, on a donc

mk(∆(E)) ≤+∞∑n=1

mk(∆(Pn)) = δ1 · · · δk+∞∑n=1

vol(Pn).

Par passage a la borne inferieure on a donc mk(∆(E)) ≤ det(∆)mk(E) pour tout E ⊂ Rd. En remplacant ∆par ∆−1 on voit qu’il y a egalite. Comme P , Q et Q−1 sont des isometries, pour tout E ⊂ Rk,

Hk(A(E)) = Hk(PQ−1∆Q(E)) = mk(∆(Q(E))) = det(∆)mk(Q(E)) = det(∆)mk(E) =

√det tAAmk(E).

Corollaire 1. Soit ϕ : Rk → Rk une application lineaire. Pour tout E ⊂ Rk, on a mk(ϕ(E)) = | det(ϕ)|mk(E).

Remarque : donc les endomorphismes de determinant ±1 laissent invariante la mesure de Lebesgue.

75

76 CHAPITRE 7. THEOREME DU CHANGEMENT DE VARIABLE

II Mesure des sous-varietes plongees

II.1 Rappels du cours de calcul differentiel

Definition 1. Soit U ⊂ Rk ouvert. Une fonction ϕ : U → Rd est un plongement de classe C1 si ϕ est declasse C1, est injective, et si pour tout x ∈ U , dϕ(x) est une application lineaire injective.

Dans la suite on fixe U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1 et on pose Γ = ϕ(U).Nous utiliserons les trois resultats suivants, demontres dans le cours de calcul differentiel :

� ϕ : U → Rd est localement lipschitzienne (inegalites des accroissements finis).

� Γ = ϕ(U) est localement un graphe C1 au-dessus de son espace tangent (theoreme du range constant).

� ϕ−1 : Γ→ U est localement lipschitzienne (theoreme d’inversion locale).

II.2 Theoreme du changement de variable pour les mesures

Theoreme 2. Soient U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1. Pour tout E ⊂ Umk-mesurable, ϕ(E) est Hk-mesurable et

Hk(ϕ(E)) =

∫E

√det(dϕ(x)∗ ◦ dϕ(x))dx.

Remarque : le membre de gauche est defini pour tout E ⊂ U mais le membre de droite n’est defini que pour

E mk-mesurable. La notation

∫dx designe l’inegrale par rapport a la mesure de Lebesgue mk sur Rk.

II.3 Corollaires

Corollaire 2. La longeur d’une courbe reguliere sans point double γ : [a, b]→ Rd est

∫ b

a

‖γ′(t)‖dt.

Demonstration. γ :]a, b[→ Rd est un plongement de classe C1, et la longeur d’un point est nulle.

Corollaire 3. Soit U ⊂ R2 ouvert et ϕ : U → R3 une surface plongee dans R3, de classe C1. Son aire est∫U

∥∥∥∥∂ϕ∂x ∧ ∂ϕ∂y∥∥∥∥dxdy.

Demonstration. Soit {u, v} l’orthonormalisee de Gramm-Schmidt de la famille libre∂ϕ

∂x,∂ϕ

∂y. On pose w =

u ∧ v. La famille {u, v, w} est une base orthonormee de R3. On a

∂ϕ

∂x= a× u, ∂ϕ

∂y= b× u+ c× v, ∂ϕ

∂x∧ ∂ϕ∂y

= ac× w

avec a > 0, c > 0 et b ∈ R. De plus la matrice A de dϕ dans cette base est

A =

a b0 c0 0

, donc tAA =

(a2 abab b2 + c2

),

et donc det tAA = (ac)2.

II. MESURE DES SOUS-VARIETES PLONGEES 77

Corollaire 4. Soient U, V ⊂ Rk ouverts, ϕ : U → V un diffeomorphisme de classe C1. Pour tout E ⊂ Umk-mesurable, ϕ(E) est mk-mesurable et

mk(ϕ(E)) =

∫E

| det(dϕ(x))|dx.

Remarque : la notation

∫dx designe l’integrale sur Rk par rapport a la mesure de Lebesgue mk.

II.4 Demonstration

Lemme 1. Pour tout E ⊂ U borelien, ϕ(E) est un borelien de Rd.

Demonstration. Soit A la famille des E ⊂ U tels que ϕ(E) ∈ B(Rd). Comme ϕ est continue, A contient lescompacts. A est clairement stable par reunions denombrables. Tout ouvert etant σ-compact, A contient lesouverts. Enfin, comme ϕ est injective, pour tout E ∈ A, ϕ(U \ E) = ϕ(U) \ ϕ(E) ∈ B(Rd). A est donc uneσ-algebre contenant les ouverts, elle contient donc les boreliens.

Lemme 2. Pour tout E ⊂ U mk-negligeable, ϕ(E) est Hk-negligeable.

Demonstration. Soit E ⊂ U tel que mk(E) = 0. Soit P un cube dyadique tel que P ⊂ U . Comme ϕ est declasse C1, elle est lipschitzienne sur P . Soit C la constante de Lipschitz de ϕ sur P . On a

Hk(ϕ(E ∩ P )) ≤ Ckmk(E ∩ P ) ≤ Ckmk(E) = 0,

et comme U est partitionne par de tels paves, on a Hk(ϕ(E)) = 0.

Lemme 3. Pour tout E ⊂ U mk-mesurable, ϕ(E) est Hk-mesurable.

Demonstration. Comme E est la reunion d’un borelien et d’un ensemble mk-negligeable, ϕ(E) est la reuniond’un borelien et d’un ensemble Hk-negligeable, donc est Hk-mesurable.

Remarque : il est possible de montrer que tout E ⊂ Rd Hk-mesurable, de mesure finie ou σ-finie, est lareunion d’un borelien et d’un ensemble Hk-negligeable (pour k = d, tout ensemble a une mesure σ-finie).Toute partie Hk-mesurable de Γ est necessairement de mesure σ-finie. Cependant, il existe des parties de Rd

Hk-mesurables, qui ne peuvent pas se decomposer ainsi.

Lemme 4. Soient k, ` ∈ N∗ et f une fonction de classe C1 definie dans un voisinage de 0 de Rk, a valeursdans R`, telle que df(0) = 0. Pour tout ε > 0, il existe un voisinage U de 0 dans Rk, tel que pour tout borelienE ⊂ U , si ΓE est le graphe de f sur E,

1 ≤ Hk(ΓE)

m(E)≤ 1 + ε.

Demonstration. Pour x ∈ Rk au voisinage de 0 on pose ϕ(x) = (x, f(x)) ∈ Rk+`. On a

‖x− y‖2 ≤ ‖ϕ(x)− ϕ(y)‖2 = ‖x− y‖2 + ‖f(x)− f(y)‖2.

Par l’inegalite des accroissements finis, pour tous x, y au voisinage de 0, on a ‖f(x)− f(y)‖ < ε‖x− y‖. Onen deduit que ϕ est bi-lipschitzienne, avec lip(ϕ−1) ≤ 1 et lip(ϕ) ≤

√1 + ε2. Donc

m(E) = Hk(ϕ−1(ΓE)) ≤ Hk(ΓE) = Hk(ϕ(E)) ≤ (1 + ε2)k/2Hk(E) = m(E)(1 +O(ε)), cqfd.


Demonstration du theoreme. Pour tout E ⊂ U mesurable, on pose µ(E) = Hk(ϕ(E)). Pour toute suiteEn ⊂ U d’ensembles mesurables deux-a-deux disjoints, les ensembles ϕ(En) sont Hk-mesurables par le lemme3 et deux-a-deux disjoints, car ϕ est injective. Donc µ est une mesure. Le but est de montrer qu’elle est egalea la mesure ν de densite J(x) =

√det((dϕ(x)∗) ◦ (dϕ(x))) par rapport a la mesure de Lebesgue. Par le lemme

2, les deux mesures sont egales sur les ensembles mk-negligeables, donc il suffit de montrer qu’elles sont egalessur les cubes dyadiques, et d’appliquer le theoreme d’unicite des mesures.

On fixe un cube dyadique P tel que P ⊂ U de cote 2−N . Pour tout n ≥ N , soit In la famille des cubesdyadiques Q de cote 2−n inclus dans P . On pose

fn =∑Q∈In

Hk(ϕ(Q))

mk(Q)1Q.

Autrement dit, fn est la fonction etagee prenant la valeurHk(ϕ(Q))

m(Q)sur chaque cube Q ∈ In. Ces cubes etant

deux-a-deux disjoints, on a pour tout n ∈ N∗,∫P

fn(x)dx =∑Q∈In

Hk(ϕ(Q)) = Hk(ϕ(P )) = µ(P ).

Pour tout x ∈ P fixe, soit Qn(x) l’unique cube Q ∈ In tel que x ∈ Q. L’application lineaire dϕ(x) envoieQn(x) dans une partie En(x) de Im(dϕ(x)), qui a pour mesure mesure

Hk(En(x)) = J(x)mk(Qn(x))

par le theoreme de changement de variable lineaire. Comme ϕ(U) est localement un graphe au-dessus de sonplan tangeant (theoreme des fonctions implicites), le lemme 4 donne donc que fn(x) converge simplement versJ(x). Or ϕ est de classe C1, donc lipschitzienne sur P . Il s’ensuit que la suite de fonction fn est uniformementbornee sur P , par la constante de Lipschtiz. Le theoreme de convergence dominee donne

µ(P ) =

∫P

fn(x)dx→∫P

J(x)dx = ν(P ), cqfd.

III Integration sur les sous-varietes plongees

III.1 Mesure volume d’une sous-variete plongee

On fixe U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1. Soit Γ ⊂ Rd l’image de ϕ.

Definition 2. La mesure volume de Γ est la restriction de Hk a Γ.

Remarque : comme Γ est un borelien, σ est une mesure de Borel sur Γ (les boreliens de Γ sont les intersectionsde Boreliens de Rd avec Γ). Si k = 1, on l’appelle plutot longeur d’arc, notee ds. Si k = 2 c’est la mesure desurface, notee dσ. . .

III.2 Theoreme du changement de variables

III. INTEGRATION SUR LES SOUS-VARIETES PLONGEES 79

Theoreme 3. Pour toute fonction borelienne f : Γ→ [0,+∞], on a∫Γ

fdHk =

∫U

f(ϕ(x))√

det(dϕ(x)∗ ◦ dϕ(x))dx.

Pour toute fonction f : Γ → C borelienne, f est sommable sur Γ par rapport a Hk si et seulement si lafonction x→ f(ϕ(x))

√det(dϕ(x)∗ ◦ dϕ(x)) est sommable sur U par rapport a la mesure de Lebesgue mk.

Si c’est le cas, ∫Γ

fdHk =

∫U

f(ϕ(x))√

det(dϕ(x)∗ ◦ dϕ(x))dx

Demonstration. On connait le resultat pour les fonctions indicatrices d’ensemble mesurable, et on conclut endecomposant une fonction f : Γ → [0,+∞] mesurable en une serie de multiples de telles fonctions. Pour lescas des fonctions a valeurs complexe, on applique le cas precedant a |f | et aux parties positives et negativesdes parties reelles et imaginaires.

Remarque : le theoreme est vrai pour les fonctions Hk-mesurables.

Corollaire 5. Soient U, V deux ouverts de Rd et ϕ : U → V un diffeomorphisme de classe C1.

(1) pour toute fonction borelienne f : V → [0,+∞] on a

∫V

f(y)dy =

∫U

f(ϕ(x))| det(dϕ(x))|dx.

(2) pour toute fonction borelienne f : V → C, f est sommable sur V si et seulement si la fonction x →f(ϕ(x))| det(dϕ(x))| est sommable sur U . Si c’est le cas,∫

V

f(y)dy =

∫U

f(ϕ(x))| det(dϕ(x))|dx

Remarque : le corollaire est vrai pour les fonctions mk-mesurables.

III.3 Dimension 1

Theoreme 4. Soient a, b, c, d ∈ R tels que a < b et c < d. Soit x → y un changement de variables de ]a, b[dans ]c, d[. On se donne f :]a, b[→ C et on pose g(y) = f(x) (nouvelle fonction). Alors f est sommable si et

seulement si y → g(y)dx

dyl’est. De plus,

(1) si le changement de variable est croissant, on a

∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

g(y)dx

dydy

(2) si le changement de variable est decroissant, on a

∫ b

a

f(x)dx = −∫ d

c

g(y)dx

dydy =

∫ c

d

g(y)dx

dydy

Remarque : le resultat s’ecrit dans tous les cas

∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

g(y)

∣∣∣∣dxdy∣∣∣∣dy

Chapitre 8

Espaces de Lebesgue Lp

Dans tout le chapitre on fixe un espace mesure (X,A, µ).

I Espaces Lp

I.1 Preliminaires.

Lemme 1. Soient (a, b) ∈ [0,+∞]. Pour tout 1 ≤ p <∞, (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp).

Demonstration. C’est evident si a = +∞ ou b = +∞. On fixe b ∈ R+ et pour a ∈ R+, soit

f(a) = 2p−1(ap + bp)− (a+ b)p.

On a f ′(a) = p((2a)p−1 − (a + b)p−1). Comme 1 ≤ p < ∞, f est donc croissante puis decroissante, maximaleen a = b, donc f(a) ≤ f(b) = 0.

Definition 1. Pour tout 1 < p < +∞, l’exposant conjuque de p est par definition q =p

p− 1. On pose par

convention q = 1 si p = +∞ et q = +∞ si p = 1.

Remarque : si 1 < p <∞, on a 1 < q <∞, et si p = 2, on a q = 2. La relation1

p+

1

q= 1 caracterise q.

Lemme 2. Soient (a, b) ∈ [0,+∞], 1 < p <∞, et q =p

p− 1. Alors ab ≤ 1

pap +

1

qaq.

Demonstration. C’est evident si a = +∞ ou b = +∞. On fixe b ∈ R+ et pour a ∈ R+, soit

f(a) =1

pap +

1

qbq − ab.

On a f ′(a) = ap−1 − b. Comme 1 < p <∞, f est decroissante puis croissante, minimale pour a = b1

p−1 . Donc

f(a) ≥ f(b1

p−1 ) = p−1bp

p−1 +p− 1

pb

pp−1 − b1+ 1

p−1 = 0.

81

82 CHAPITRE 8. ESPACES DE LEBESGUE LP

I.2 Definition

Definition 2. Soit 1 ≤ p <∞. Lp(X,A, µ) est l’ensemble des fonctions mesurables f : X → C telles que∫|f |pdµ < +∞.

Definition 3. On note par L∞(X,A, µ) l’ensemble des fonctions qui sont la somme d’une fonction f : X → Cmesurable et bornee, et d’une fonction g : X → C nulle presque partout. On dit qu’une telle fonction estessentiellement borne.

Remarque : pour X = N∗, muni de la mesure de comptage, on note ces espaces `p.

Proposition 1. Pour tout ≤ p ≤ ∞, Lp(X,A, µ) est un espace vectoriel.

Demonstration. Pour p =∞ ou p = 1 c’est evident, pour 1 < p <∞ cela decoule du lemme 1.

I.3 Inegalite de Holder

Theoreme 1. Soient 1 < p <∞, f, g : X → [0,+∞] mesurables et q =p

p− 1. On a l’inegalite de Holder :

∫fgdµ ≤

(∫fpdµ

)1/p(∫f qdµ

)1/q

.

Demonstration. Si le membre de gauche est nul ou si le membre de droite est infini, le resultat est evident.

Sinon, on a 0 <

∫|f |pdµ < +∞ et 0 <

∫|g|qdµ <∞. On pose

a = |f(x)|(∫|f |pdµ

)− 1p

et b = |g(x)|(∫|g|qdµ

)− 1q

.

On obtient l’inegalite de Holder en integrant l’inegalite ab ≤ p−1ap + q−1bq.

Corollaire 1. Si f ∈ Lp(X,A, µ) et g ∈ Lq(X,A, µ), avec 1 ≤ p ≤ +∞ et q son exposant conjugue, alorsfg ∈ L1(X,A, µ).

Corollaire 2. Soient 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(X,A, µ) et E ∈ A tel que µ(E) < +∞. On a

∫E

|f |dµ < +∞.

Demonstration. La fonction g = 1E est dans Lq(X,A, µ).

Corollaire 3. Si 0 < p1 < p2 ≤ +∞ et µ(X) < +∞, on a Lp2(X,A, µ) ⊂ Lp1(X,A, µ).

Demonstration. Soit f ∈ Lp2 . Le cas p2 = +∞ est evident. Sinon, on pose r =p2

p1

∈]1,+∞[, et s =r

r − 1=

p2

p2 − p1

. Par Holder on a

∫|f |p1dµ =

∫|f |p1 × 1dµ ≤

(∫|f |p1rdµ

) 1r(∫

1sdµ

) 1s

=

(∫|f |p2dµ

) 1r

(µ(X))1s < +∞.

II. ESPACES LP 83

I.4 Inegalite de Minkowski

Theoreme 2. Soient 1 < p <∞ et f, g : X → [0,+∞] mesurables. On a l’inegalite de Minkowski :(∫(f + g)pdµ

) 1p

≤(∫

fpdµ

) 1p

+

(∫gpdµ

) 1p

.

Remarque : si p = 1 c’est evident et il y a egalite.

Demonstration. C’est evident si le membre de droite est infini ou si le membre de gauche est nul. Sinon, on a

0 <

∫|f |pdµ < +∞, 0 <

∫|g|pdµ < +∞ et 0 <

∫|f + g|pdµ ≤ 2p−1

∫|f |pdµ+ 2p−1

∫|g|pdµ < +∞.

Soit q =p

p− 1. On a pour tout x ∈ X,

(f(x) + g(x))p = (f(x) + g(x))p−1f(x) + (f(x) + g(x))p−1g(x).

On integre la relation et on utilise l’inegalite de Holder :∫(f + g)pdµ ≤

(∫(f + g)(p−1)qdµ

) 1q(∫

fpdµ

) 1p

+

(∫(f + g)(p−1)qdµ

) 1q(∫

gpdµ

) 1p

On a (p− 1)q = p. On obtient l’integalite en divisant par

(∫(f + g)pdµ

) 1q

.

II Espaces Lp

On fixe un espace mesure (X,A, µ).

II.1 Definition

Definition 4. Soit 0 < p ≤ +∞. Lp(X,A, µ) est ensemble des classe d’equivalence de Lp(X,A, µ) pour larelation d’egalite presque partout.

Remarque : c’est donc formellement l’espace vectoriel quotient de Lp(X,A, µ) par le sous-espace vectoriel desfonctions nulles presque partout.

Definition 5. Pour 0 < p < +∞ et f ∈ Lp(X,A, µ) on pose

‖f‖p =

(∫|f |pdµ

) 1p

.

Pour f ∈ L∞(X,A, µ), on pose ‖f‖∞ = min{m ∈ [0,+∞[ t.q. |f(x)| ≤ m p.p.}.

Remarque : ‖f‖∞ est bien un minimum. Si f = g p.p., on a ‖f‖p = ‖g‖p. La fonction f → ‖f‖p est doncbien definie sur Lp(X,A, µ).


Definition 6. Pour tout 1 ≤ p ≤ ∞, f → ‖f‖p est une norme sur Lp(X,A, µ).

Demonstration. L’homogeneite est evidente. Si f, g ∈ Lp(X,A, µ), alors l’inegalite de Minkowski appliquee a|f | et |g| donne

‖f + g‖p ≤ ‖|f |+ |g|‖p ≤(∫

(|f |+ |g|)pdµ) 1

p

≤(∫|f |pdµ

) 1p

+

(∫|g|pdµ

) 1p

= ‖f‖p + ‖g‖p.

Remarque : Une suite fn ∈ Lp converge vers f ∈ Lp si et seulement si

limn→+∞

∫X

|fn − f |pdµ = 0.

II.2 Completude

Theoreme 3 (de Riesz-Fisher). Pour tout 1 ≤ p ≤ +∞, Lp(X,A, µ) est complet.

Demonstration. Soit fn une suite de fn ∈ Lp(X,A, µ) telle que pour tout ε > 0, il existe N = N(ε) ∈ N∗ telque pour tous k, ` ≥ N(ε), ‖fk − f`‖p < ε.

Cas p <∞. On choisit une suite strictement croissante nk telle que pour tous ` ≥ k,

‖fnk− fn`

‖p ≤ 2−k

On pose pour tout x ∈ X, ϕ(x) :=+∞∑k=1

|fnk+1(x)− fnk

(x)|. Par Minkowski,

(∫ϕpdµ

) 1p

≤+∞∑k=1

(∫|fnk+1

− fnk|p) 1

p

≤+∞∑k=1

2−k < +∞,

donc ϕ(x) < +∞ p.p., et en particulier fnk(x) converge p.p.

Soit N ∈ A de mesure nulle tel que fnk(x) converge pour tout x /∈ N . On pose f(x) = limk fnk

(x) six /∈ N , et f(x) = 0 sinon. La fonction f ainsi definie est mesurable, puisqu’elle est la limite simple des fnk

1N .Par le lemme de Fatou, pour tout k ∈ N∗,∫

X

|fnk− f |pdµ =

∫X

lim`→+∞

|fnk− fn`

|pdµ ≤ lim inf`→+∞

∫X

|fnk− fn`

|pdµ ≤ 2−k < +∞.

En particulier f ∈ Lp(X,A, µ) et ‖fnk− f‖p ≤ 2−k. La suite fn est de Cauchy et a une sous-suite convergeant

vers f , donc converge vers f .Cas p = ∞. Pour tout k, ` ∈ N∗, soit Nk,l ∈ A tel que µ(Nk,`) = 0 et |fk(x) − f`(x)| ≤ ‖fk − f`‖∞ pour

tout x /∈ Nk,`. Soit N la reunion des Ek,`. On a µ(N) = 0, et pour tout x /∈ N , fn(x) est une suite de Cauchyde C, donc converge vers une limite f(x). On pose f(x) = 0 si x /∈ N . Comme f est la limite simple desfn1N , f est mesurable.

Soit ε > 0. Il existe N ∈ N∗ tel que pour tous k, ` ≥ N , ‖fk − f`‖∞ < ε. Pour tout x /∈ N et tous k, ` ≥ Non a donc |gnk

(x)− gn`(x)| < ε. En faisant tendre `→ +∞ on obtient |gnk

(x)− g(x)| ≤ ε pour tout k ≥ N ettout x /∈ F . Cela prouve que g est essentiellement bornee, et que ‖gk − g‖∞ < ε pour tout k ≥ N .

II. ESPACES LP 85

II.3 Espace L2

Definition 7. Soit E un espace vectoriel sur C (resp. R). Un produit scalaire est une application ϕ : E×E →C (resp. R) telle que

� pour tous (x, y) ∈ E2, ϕ(·, y) et ϕ(x, ·) (resp. ϕ(x, ·) et ϕ(·, y)) sont lineaires.

� pour tous (x, y) ∈ E2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (resp. ϕ(x, y) = ϕ(y, x)).

� pour tout x ∈ E \ {0}, ϕ(x, x) > 0.

Rappels : si 〈·, ·〉 est un produit scalaire sur E, alors ‖x‖ :=√〈x, x〉 est une norme. On a de plus l’inegalite

de Cauchy-Schwarz |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖ (avec egalite si et seulement si x et y sont lies), et l’identite du paral-lelogramme :

‖x− y‖2 + ‖x+ y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.

Definition 8. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur R ou C muni d’un produit scalaire, qui estcomplet pour la norme induite.

Exemple : soit (X,A, µ) un espace mesure. L2(X,A, µ,R) et L2(X,A, µ,C) sont des espaces de Hilbert pourle produit scalaire

〈f, g〉 =

∫fgdµ.

Par l’inegalite de Cauchy-Schwartz (i.e. l’inegalite de Holder pour p = q = 2), c’est bien defini.

Chapitre 9

Application aux series de Fourier

On utilisera la notation Lp(0, 1) pour l’espace Lp sur [0, 1] muni de la mesure et de la tribu de Lebesgue. Onrappelle que Lp(0, 1) ⊂ L1(0, 1).

I Definitions des series de Fourier

I.1 Serie de Fourier d’une fonction de L2(0, 1)

Definition 1. Un polynome trigonometrique est une somme finie du type

P (t) =+n∑

k=−n

cke2iπkt,

ou t ∈ R, n ∈ N, et ck ∈ C. Le degre du polynome P est le plus petit n possible dans cette representation.On note Pn l’ensemble des polynomes trigonometriques de degre ≤ n, et P l’ensemble de tous les polynomestrigonometriques.

Remarque : la famille ek(t) = e2iπkt (k ∈ Z) est une famille orthonormee de L2(0, 1), donc en particulier libre.

Definition 2 (Definition geometrique). Soit f ∈ L2(0, 1). La serie de Fourier de f est la suite de fonctions(Sn(f))n∈N egale au projette orthogonal de f sur Pn. Les coefficients de Fourier complexes de f sont definispour k ∈ Z par

ck(f) = 〈f, ek〉 =

∫ 1

0

f(t)e−2iπktdt.

Remarque : on a donc Sn(f) =n∑

k=−n

〈f, ek〉ek.

I.2 Serie de Fourier d’une fonction de L1(0, 1)

Definition 3. Le noyau de Dirichlet est defini pour tout n ∈ N et t ∈ R par Dn(t) =n∑

k=−n

e2iπkt On a

Dn(t) =sin(π(2n+ 1)t)

sin(πt)pour tout t ∈ R \ Z et Dn(t) = 2n+ 1 sinon.

87

88 CHAPITRE 9. APPLICATION AUX SERIES DE FOURIER

Remarque :Dn est un polynome trigonometrique de degre n, pair. On retiendra que

Dn(t) = Dn(−t) = Dn(1− t),∫ 1

0

Dn(t)dt = 1 et

∫ 12

0

Dn(t)dt =1

2.

Lemme 1. Pour toute f ∈ L2(0, 1) et t ∈ [0, 1], on a Sn(f)(t) =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Demonstration.

Sn(f)(t) =n∑

k=−n

(∫ 1

0

f(s)e−2iπksds

)e2iπkt =

∫ 1

0

f(s)

(n∑

k=−n

e2iπk(t−s)

)ds =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Definition 4 (Definition analytique). Soit f ∈ L1(0, 1). La serie de Fourier de f est la suite de polynomestrigonometriques definie pour t ∈ [0, 1] et n ∈ N par

Sn(f)(t) =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Les coefficients de Fourier de f sont definis pour k ∈ Z par

ck =

∫ 1

0

f(t)e−2iπktdt.

I.3 Inegalite de Bessel

Proposition 1 (Inegalite de Bessel). Soit f ∈ L2(0, 1), ck ses coeffcients de Fourier complexes. On a

∑k∈Z

|ck|2 ≤∫ 1

0

|f(t)|2dt.

Demonstration. Comme la famille (ek) est orthonormale, on an∑

k=−n

|ck|2 = ‖Sn(f)‖2. Comme Sn(f) est le

projette orthogonal de f sur Pn, on a ‖Sn(f)‖2 ≤ ‖Sn(f)‖2 + ‖f − Sn(f)‖2 = ‖f‖2 Donc

n∑k=−n

|ck|2 ≤∫ 1

0

|f(t)|2dt pour tout n ∈ N.

Remarque : la serie numerique∑k∈Z

|ck|2 est donc convergeante.

II. CONVERGENCE DES SERIES DE FOURIER 89

II Convergence des series de Fourier

II.1 Convergence dans L2(0, 1)

Theoreme 1. Pour toute f ∈ L2(0, 1), Sn(f) converge vers f dans L2(0, 1), c’est a dire

limn→+∞

∫ 1

0

∣∣∣∣∣f(t)−n∑

k=−n

cke2iπkt

∣∣∣∣∣2

dt = 0.

Definition 5. Le noyau de Fejer est defini pour n ∈ N et t ∈ [0, 1] par ϕn(t) =1

n

n−1∑k=0

Dk(t). On a

ϕn(t) =1

n

(sin(πnt)

sin(πt)

)2

pour tout t ∈ R \ Z et ϕn(t) = n sinon.

Remarque : le noyau de Fejer est un polynome trigonometrique de degre n, pair, verifiant

ϕn ≥ 0 et

∫ 1

0

ϕn(t)dt =1

n

n−1∑k=1

(2k + 1) = 1.

Lemme 2 (d’unicite). Soit f ∈ L1(0, 1) telle que ck(f) = 0 pour tout k ∈ Z. Alors f = 0.

Demonstration. Comme le noyau de Fejer est un polynome trigonometrique,∫ 1

0

f(s)ϕn(t− s)ds = 0 pour tous k ∈ Z et t ∈ [0, 1].

En particulier,∫ 1

0

|f(t)|dt =

∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0

(f(t)− f(s))ϕn(t− s)ds∣∣∣∣dt ≤ ∫ 1

0

∫ 1

0

|f(t)− f(s)|ϕn(t− s)|dsdt.

Soit ε > 0. Il existe g ∈ C(0, 1) telle que

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < ε. Comme g est uniformement continue, il existe

η > 0 tel que pour tous (t, s) ∈ [0, 1]2 tels que |t − s| < η, on ait |g(t) − g(s)| < ε. L’inegalite triangulairedonne ∫ 1

0

|f(t)|dt ≤∫ 1

0

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|ϕn(t− s)dsdt+

∫ 1

0

∫ 1

0

|f(s)− g(s)|ϕn(t− s)dsdt

+

∫ 1

0

∫ 1

0

|g(t)− g(s)|ϕn(t− s)|dsdt

≤ 2

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt+

∫∫|t−s|<η

εϕn(t− s)dsdt+

∫∫|t−s|≥η

2‖g‖∞ϕn(t− s)dsdt.

≤ 2ε+ ε

∫ 1

0

∫ 1

0

ϕn(t− s)dsdt+ 2‖g‖∞∫ 1

0

∫ 1

0

1

nη2dsdt = 2ε+ ε+ 2

‖g‖∞nη2

< 4ε,

des que n est choisit tel que2‖g‖∞nη2

< ε. Comme ε est arbitraire, on a f = 0.


Demonstration du theoreme. Pour tous n,m ∈ N tels que m ≤ n, on a∫ 1

0

|Sn(f)(t)− Sm(f)(t)|2dt =∑

m<|k|≤n

|ck|2 → 0 quand n,m→ +∞,

puisque la serie∑|ck|2 est convergeante. La suite Sn(f) est donc de Cauchy dans L2(0, 1). Soit g ∈ L2(0, 1)

sa limite. Pour tout k ∈ Z et tout n ∈ N tel que n > |k|, on a ck(Sn(f)) = ck(f). Par passage a la limiten→ +∞, on a donc ck(f) = ck(g) pour tout k ∈ Z, et le lemme d’unicite donne f = g.

Corollaire 1 (Formule de Parseval). Pour toute f ∈ L2(0, 1) on a∑k∈Z

|ck|2 =

∫ 1

0

|f(t)|2dt.

Demonstration. ‖Sn(f)‖22 =

n∑k=−n

|ck|2, et on fait tendre n vers l’infini.

II.2 Convergence normale

Theoreme 2 (de convergence normale). Soit f ∈ L2(0, 1) telle que

∫ 1

0

f(t)dt = 0 et F definie pour

t ∈ [0, 1] par F (t) =

∫ t

0

f(s)ds. Alors la serie de Fourier de F converge normalement vers F .

Remarque : l’hypothese sur f permet de prolonger F en une fonction continue et 1-perodique sur R. Le cas

classique est celui ou F est continue et C1 par morceaux. L’hypothese

∫ 1

0

f(t)dt = 0 est necessaire pour que

la serie de Fourier de F converge uniformement vers F .

Demonstration. Soit k ∈ Z∗. Soient (ck) les coefficients de Fourier de F et (c′k) ceux de f . Par Fubini on a

ck =

∫ 1

0

∫ t

0

f(s)e−2iπktdsdt =

∫ 1

0

f(s)

∫ 1

s

e−2iπktdtds =

∫ 1

0

f(s)e−2iπks − 1

2iπkds =

c′k2iπk

.

En particulier, comme c′k ∈ `2(Z),+∞∑

k=−∞

|ck| < +∞. Soit pour t ∈ [0, 1],

S(t) =+∞∑

k=−∞

cke2iπkt.

La serie est normalement convergeante, donc S est continue. Par le theoreme de convergence uniforme,∫ 1

0

S(t)e−2iπ`tdt =

∫ 1

0

(+∞∑

k=−∞

cke2iπkt

)e−2iπ`tdt =

+∞∑k=−∞

ck

∫ 1

0

e2iπ(k−`)tdt = c`.

F et S ont les meme coefficients de Fourier, donc sont egales presque partout. Comme elles sont continue,elles sont egales partout.


II.3 Condition de Dini

Lemme 3 (de Riemann-Lebesgue). Soient (a, b) ∈ R2 tels que a < b et ϕ : R → R de classe C1, bornee, dederivee bornee. Alors pour toute f ∈ L1(0, 1),

limr→±∞

∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt = 0.

Remarque : on l’applique en general a ϕ(t) = sin t, cos t ou eit. Le lemme se prouve directement par integrationpar parties si f est de classe C1.

Lemme 4. C1(0, 1) est dense dans L1(0, 1).

Demonstration. Soit f ∈ L1(0, 1) et ε > 0. On a monte au chapitre 5 qu’il existe h ∈ C(0, 1) telle que‖f − h‖1 < ε. On prolonge h sur R en une fonction continue. La fonction

g(x) =1

η

∫ x+η

x

h(t)dt

est de classe C1, et converge uniformement vers g sur [0, 1], lorsque η → 0. On a donc

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < 2ε

si η est assez petit.

Demonstration du lemme de Riemann-Lebesgue. Soit ε > 0. Il existe une fonction g : [0, 1]→ C de classe C1

telle que

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < ε. On a

∫ b

a

g(t)ϕ′(rt)dt =1

r[g(t)ϕ(rt)]t=bt=a −

1

r

∫ b

a

g′(t)ϕ(rt)dt = O(1/r),

donc ∣∣∣∣∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖f − g‖1 +C

r,

ou C ne depend que de g et ϕ, et en choisissant r assez grand on a

∣∣∣∣∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt

∣∣∣∣ < 2ε.

Theoreme 3 (Dini). Soit f ∈ L1(0, 1) et 0 < t < 1. S’il existe ` ∈ C tel que la fonction

ϕ(s) =f(t+ s) + f(t− s)− 2`

s,

soit integrable au voisinage de 0, alors Sn(f)(t) converge vers `.

Remarque : il existe au plus une valeur possible pour `, car s→ s−1 n’est pas integrable au voisinage de 0.

Demonstration. On prolonge f sur R en une fonction 1-periodique en posant f(t+ k) = f(t) pour tous k ∈ Zet 0 ≤ t < 1. Comme les fonctions considerees sont 1-periodiques,

Sn(f)(t0)− ` =

∫ 1

0

(f(t)− `)Dn(t0 − t)dt =

∫|t−t0|< 1

2

(f(t)− `)Dn(t0 − t)dt.


On fait le changement de variables t = t0 + s pour t > t0, et t = t0 − s pour t < t0. On obtient

Sn(f)(t0)− ` =

∫ 12

0

(f(t0 + s)− `)Dn(−s)ds+

∫ 12

0

(f(t0 − s)− `)Dn(s)ds

=

∫ 12

0

f(t0 + s) + f(t0 − s)− 2`

sin πssin π(2n+ 1)sds. (9.1)

Par hypothese, la fonction s→ f(t0 + s) + f(t0 − s)− 2`

sin πsest integrable sur ]0, 1/2], et le lemme de Riemann-

Lebesgue donne le resultat.

Exemple : f satisfait a la condition de Dini si par exemple f est derivable en t.

II.4 Condition de Dirichlet

Theoreme 4 (Dirichlet). Soit f ∈ L1(0, 1). Soit 0 < t < 1 tel que f soit a variation finie au voisinage de

t. Alors Sn(f)(t) converge versf(t+) + f(t−)

2.

Lemme 5. Pour tout n ∈ N et tous (x, y) ∈ [0, 1]2, on a

∣∣∣∣∫ y

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2.

Demonstration. On remarque que Dn est pair par rapport a t = 1/2. Il suffit donc de montrer que∣∣∣∣∣∫ 1

2

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ 1

pour tout x ∈ [0, 1/2]. Si x = 0 on a

∫ 12

0

Dn(t)dt =1

2. Soit 0 < x ≤ 1/2.

La fonction t → 1

sin πtest decroissante et positive sur ]0, 1/2]. Par le second theoreme de la moyenne, il

existe x′ ∈ [x, 1/2] tel que∫ 12

x

Dn(t)dt =

∫ 12

x

sin(2n+ 1)πt

sin πtdt =

1

sin πx

∫ x′

x

sin(2n+ 1)πtdt =cos(2n+ 1)πx− cos(2n+ 1)πx′

(2n+ 1)π sin πx

La fonction t→ t

sin πtest croissante sur ]0, 1/2] (exo), en particulier sin πt ≥ 2t pour tout t ∈]0, 1/2], donc∣∣∣∣∣∫ 1

2

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ 2

(2n+ 1)2πx=

1

(2n+ 1)πx≤ 1 si (2n+ 1)πx ≥ 1.

D’autre part, comme |Dn(t)| ≤ (2n+ 1)πt

2t=

(2n+ 1)π

2pour tout t ∈ [0, 1/2],∣∣∣∣∣

∫ 12

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣12 −∫ x

0

Dn(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2+

(2n+ 1)πx

2≤ 1 si (2n+ 1)πx ≤ 1.


Preuve du theoreme. Supposons d’abord que f est croissante sur [0, 1]. Soit 0 < t < 1, η tel que 0 < t− η <

t+ η < 1 et ` =f(t+) + f(t−)

2. Par parite de Dn on a pour tout η > 0 et n ∈ N∗,

∫ t+η

t−ηDn(t− s)ds = 2

∫ η

0

Dn(u)du et

∫ t+η

t

Dn(t− s)ds =

∫ t

t−ηDn(t− s)ds =

∫ η

0

Dn(u)du.

En utilisant cela et la relation

∫ 1

0

Dn(t− s)ds = 1, on voit que

Sn(f)(t)− ` =

∫[0,1]\[t−η,t+η]

(f(s)− `)Dn(t− s)ds+

∫ t+η

t

(f(s)− f(t+))Dn(t− s)ds

+

∫ t

t−η(f(s)− f(t−))Dn(t− s)ds := I1 + I2 + I3. (9.2)

Soit ε > 0. On choisit η > 0 tel que 0 ≤ f(t + η) − f(t+) < ε et 0 ≤ f(t−) − f(t − η) < ε. Par le secondtheoreme de la moyenne et le lemme 5,

|I2| ≤ 2(f(t+ η)− f(t+)) ≤ 2ε et |I3| ≤ 2(f(t−)− f(t− η)) ≤ 2ε.

Comme sin π(t − s) ne s’annule pas sur [0, 1] \ [t − η, t + η], la fonction s → f(s)− `sinπ(t− s)

est sommable sur

[0, 1] \ [t− η, t+ η]. Par le lemme de Riemann-Lebesgue, I1 tend vers 0 si n→ +∞. On a donc

|Sn(f)(t)− `| ≤ |I1|+ |I2|+ |I3| ≤ ε+ 2ε+ 2ε = 5ε

pour tout n assez grand.Si f est a variation finie sur [0, 1], elle est combinaison lineaire de fonctions croissantes et on conclut

par linearite. Dans le cas general, soit V un voisinage ouvert de t tel que f|V soit a variation finie. Alorsf1 := f1V est a variation finie sur [0, 1] (elle est a variation finie par morceaux), donc Sn(f1)(t) → f1(t). Deplus f2 := f1[0,1]\V est integrable et nulle au voisinage de t, et par le critere de Dini, Sn(f2)(t)→ 0. On doncSn(f)(t) = Sn(f1)(t) + Sn(f2)(t)→ f1(t) + 0 = f(t).

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