testiranje hipoteza – osnovni koncepti i · pdf file• testiranje hipoteza o razlici...

19/11/15

1

TESTIRANJE HIPOTEZA – OSNOVNI KONCEPTI I

TESTOVI POVEZANOSTI (2) •  Novembar 2015

Novembar 2015 Istraživanje tržišta Ekonomski fakultet, Beograd

2

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama

• Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti • Testiranje hipoteza o razlici između dve srednje vrednosti • Testiranje hipoteza o proporcijama • Testiranje hipoteza o razlici između proporcija


3

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti, tj. aritmetičkoj sredini (1) Poznata je populacijska standardna devijacija, σ

–  Dvostrani test: H0: µ = µ0

Ha: µ ≠ µ0 –  Standardna greška srednje vrednosti: –  z-vrednost se izračunava kao: (µ= µ0) –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

(primenom odgovarajućeg α)

nxσ

σ =

x

xZσµ−

=

.2/αZZizrač >


4

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti (2)

Poznata je populacijska standardna devijacija, σ –  Jednostrani test:

H0: µ ≥ µ0 Ha: µ < µ0

–  Standardna greška srednje vrednosti: –  z-vrednost se izračunava kao: (µ= µ0) –  Nulta hipoteza se odbacuje ako je

(primenom odgovarajućeg α)

nxσ

σ =

x

xZσµ−

=

.αZZizrač −<

19/11/15

2


5

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti (3)

Nije poznata populacijska standardna devijacija, σ –  Uzoračka standardna devijacija, s, se koristi kao ocena

populacijske standardne devijacije –  Standardna greška srednje vrednosti:

–  Umesto normalnog, koristi se t-raspored:

–  Broj stepeni slobode je n-1 –  Sve ostalo je isto kao u prethodno navedenim

jednostranim, odnosno dvostranim testovima respektivno

nssx =

xizrač s

xt µ−=

Primer E

•  Stručnjaci tvrde da bi studenti u toku semestra trebalo da provedu 12 časova nedeljno učeći, jer je takav tempo rada neophodan kako bi parirali studentima iz zemalja EU.

•  Sprovedeno je istraživanje nad studenatima Ekonomskog fakulteta u Beogradu sa ciljem da se proveri da li studenti na ovom fakultetu ispunjavaju takav standard.

•  Koristićemo nivo značajnosti od 5%.


6


7

Statistika je računata za

jedan uzorak Veličina uzorka

Uzoračka aritmetička sredina

Uzoračka standardna devijacija

Standardna greška ocene

Hipoteze koje ispitujemo su: H0: Studenti Ekonomskog fakulteta u Beogradu uče

tačno 12 časova nedeljno u toku semestra, µ = 12; Ha: Studenti Ekonomskog fakulteta u Beogradu ne uče

12 časova nedeljno u toku semestra, µ ≠ 12.


8

Testira se hipotetička vrednost µ0=12

p-vrednost, (dvostrani test)

Vrednost t-testa

Stepeni slobode

p=0 < α=0,05 è odbacuje se nulta hipoteza, studenti EF ne uče 12 sati nedeljno

Razlika između srednje vrednosti uzorka i

hipotetičke srednje vrednosti, 12 Donja granica

(intervala poverenja)

Interval poverenja od 95% za srednju razliku

Gornja granica (intervala poverenja)

Interval poverenja za razliku srednjih vrednosti ni ne uključuje 0 è odbacuje se nulta hipoteza, studenti EF ne uče 12 sati nedeljno

19/11/15

3

•  Budući da studenti EF ne uče 12 časova nedeljno u toku semestra, sledi da uče više ili manje od 12 sati.

•  Kako je razlika između x i µ0 značajno veća od nule, sledi da studenti EF verovatno uče više od 12 sati nedeljno tokom semestra.

•  To se može proveriti: H0: µ ≤ 12; Ha: µ > 12.

•  Kako je ovo jednostrani test, p=0/2=0 < 0,05, te odbacujemo nultu hipotezu u korist alternativne è Studenti EF uče više od 12 sati nedeljno

tokom semestra! Novembar 2015 Istraživanje tržišta

Ekonomski fakultet, Beograd 9

Primer F

•  Grupa studenata se žalila da je prosečna ocena na EF manja od 7,5. Sprovedeno je istraživanje koje je imalo za cilj da testira nultu hipotezu da je „prosek” na fakultetu manji ili jednak od 7,5 naspram alternativne da je veći.

H0: µ ≤ 7,5; Ha: µ > 7,5.

•  Za testiranje navedenih hipoteza koristiti nivo značajnosti od 10%.


10


11

Veličina uzorka

Uzoračka aritmetička

sredina

Uzoračka standardna devijacija

Standardna greška uzoračke

aritmetičke sredine

•  Uzoračka srednja vrednost, 7,6, je nešto veća od hipotetičke srednje vrednosti, 7,5;

•  Da li je ta razlika statistički značajna, proverićemo putem t-testa koji će sprovesti program SPSS


12

Šta testiramo i koje su nam nulta i alternativna hiporeza?

Da li odbacujemo nultu hipotezu ili ne?

Da li je naš test jednostrani ili dvostrani?

Kolika je p-vrednost za naš test? p = 0,146/2 = 0,073 < α=0,1

α=0,1 (10%)

19/11/15

4


13

Testiranje hipoteze o razlici između dve srednje vrednosti (1)

Dva nezavisna uzorka sa poznatim σ1 i σ2 –  Dvostrani test:

H0: µ1 – µ2 = c Ha: µ1 – µ2 ≠ c

–  Standardna greška:

–  Z-vrednost se izračunava kao

–  Ako se koriste veliki uzorci, σ se može aproksimirati sa s –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

2

22

1

21

21 nnxxσσ

σ +=−

( ) ( )21

2121

xxizrač

xxZ−

−−−=

σµµ

2/αZZizrač >Novembar 2015 Istraživanje tržišta



Dva nezavisna uzorka sa poznatim σ1 i σ2 –  Jednostrani test:

H0: µ1 ≤ µ2

Ha: µ1 – µ2 > 0 –  Standardna greška:

–  Z-vrednost se izračunava kao

–  Ako se koriste veliki uzorci, σ se može aproksimirati sa s –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

2

22

1

21

21 nnxxσσ

σ +=−

( ) ( )21

2121

xxizrač

xxZ−

−−−=

σµµ

αZZizrač >


15


Dva nezavisna uzorka sa nepoznatim σ1 i σ2, σ1=σ2 –  Uzoračke standardne devijacije, s1 i s2, se koriste kao ocena –  Koristi se t-raspored sa stepeni slobode i računa –  Standardna greška iznosi:

–  Pravila za odbacivanje nulte hipoteze su slične (samo se koristi t-vrednost umesto z-vrednosti)

( ) ( )21

2121

xxsxxt

−

−−−=

µµ

21

1121 nnss Pxx +=− 2

)1()1(21

222

2112

−+−+−

=nn

snsnsP

221 −+nn


16


Dva nezavisna uzorka sa nepoznatim σ1 i σ2, σ1≠σ2 –  Uzoračke standardne devijacije, s1 i s2, se koriste kao ocena

–  Koristi se t-raspored sa st. slobode

–  t-statistika iznosi

–  Standardna greška iznosi:

–  Pravila za odbacivanje nulte hipoteze su ista kao prethodno

( ) ( )21

2121

xxsxxt

−

−−−=

µµ

2

22

1

21

21 ns

nss xx +=− ( ) ( )22

2121

121

nsnsnsg

+=

)1)(1()1()1)(1(

122

2

21

−−+−

−−

nggnnn

19/11/15

5


17


Dva zavisna uzorka –  Kada su uzorci zavisni, može, na primer, da se pretpostavi

da se radi o istom uzorku, pa se računa D = x1 – x2:

, gde je:

–  Odgovarajući test je: sa (n-1) stepeni slobode

–  A standardna greška

dDH ≥:0dDHa <:

nsdDt

D

−=

∑=

=n

iiDn

D1

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−= ∑

=

n

iiD DnD

ns

1

222

11

Primer G

•  Sprovedeno je istraživanje nad studenatima EF sa ciljem da se proveri da li studenti koji imaju Fejsbuk profil imaju istu prosečnu ocenu kao i studenti koji ga nemaju.

•  U analizi ćemo koristiti nivo značajnosti od 5%.


18

Veličine dva poduzorka

Aritmetička sredina za dva

poduzorka Standardna

devijacija Standardna greška

uzoračke aritmetičke sredine

Nulta i alternativna hipoteza; koji test?

H0: µda = µne; (studenti EF koji imaju nalog na FBu imaju isti prosek kao i studenti koji nemaju FB nalog);

Ha: µda ≠ µne. •  Nisu nam poznate populacijske standardne devijacije, pa

njihove vrednosti ocenjujemo uzoračkim standardnim devijacijama i koristimo t-test

•  Ne znamo da li su standardne devijacije iste ili nisu, pa prvo testiramo da li su varijanse jednake, Levene-ovim testom:

Nvembar 2015 Istraživanje tržišta Ekonomski fakultet, Beograd

19 Novembar 2015 Istraživanje tržišta Ekonomski fakultet, Beograd

20

Testiranje nezavisnih uzoraka

Levinov test jednakosti varijansi

F-statistika

p-vrednost

t-test za testiranje jednakosti

aritmetičkih sredina

19/11/15

6


H0: Varijanse su homogene, σ2da = σ2

ne; Ha: Varijanse su heterogene σ2

da ≠ σ2ne.

•  Realizovana p-vrednost (0,147) je veća od α=0.05, te ne možemo odbaciti nultu hipotezu

è Pretpostavljamo da su varijanse homogene, t.j. jednake za dva poduzorka.



22

Testiranje nezavisnih uzoraka


t-test za testiranje jednakosti

aritmetičkih sredina

t-statistika

t-test kada su varijanse jednake

t-test kada varijanse nisu

jednake p-vrednost (za dvostrani test)

Testiranje hipoteze o razlici između dve aritmetičke sredine kada su varijanse nepoznate i jednake, nezavisni uzorci

•  Koristi se t-test •  Koji red prethodne tabele? •  Da li nam treba jednostrani ili dvostrani test? •  Kolika je p-vrednost? •  Da li odbacujemo nultu hipotezu ili ne?


23

p = 0,894 > α=0,05 è ne možemo odbaciti nultu hipotezu

è studenti EF koji imaju nalog na FB imaju isti prosek kao i studenti koji nemaju FB nalog

Primer H •  Sprovedeno je istraživanje nad studenatima EF sa ciljem

da se proveri da li studenti uče istim intenzitetom tokom semestra i tokom trajanja ispitnog roka.

•  U analizi ćemo koristiti nivo značajnosti od 5%.


24

19/11/15

7

Nulta i alternativna hipoteza; koji test?

H0: Studenti EF u proseku uče nedeljno tokom semestra isto koliko i tokom ispitnog roka, µD=0;

Ha: Studenti EF u proseku ne uče nedeljno tokom semestra isto koliko uče tokom ispitnog roka, µD≠0,

(gde D predstavlja razlike usklađenih parova iz dva zavisna uzorka, a µD predstavlja aritmetičku sredinu tih razlika.)

•  Za testiranje ovih hipoteza koristiti se t-test za dva zavisna uzorka sa n-1 stepeni slobode. Novembar 2015 Istraživanje tržišta

Ekonomski fakultet, Beograd 25 Novembar 2015 Istraživanje tržišta


Test usklađenih parova (uzorci

su zavisni)

Uparene razlike

•  Šta zaključujemo? p=0 < α=0,05 , odbacujemo nultu hipotezu

è Studenti ne uče isti broj sati tokom semestra i tokom ispitnog roka

è Studenti uče više ili manje tokom semestra Verovatno uče više tokom ispitnog roka, jer je taj prosek veći, stoga: H0: Studenti EF u proseku nedeljno tokom semestra uče više ili jednako kao što uče tokom ispitnog roka, µD ≥ 0; Ha: µD < 0, •  Šta zaključujemo?

p=0-2=0 < α=0,05 , odbacujemo nultu hipotezu è Studenti više tokom ispitnog roka nego tokom

semestra Novembar 2015 Istraživanje tržišta


Testiranje hipoteza o proporcijama •  Proporciju populacije, π, ocenjujemo uzoračkom, p •  Za prost slučajan uzorak proizvod ocene proporcije

populacije i veličine uzorka n ima: –  binomnu raspodelu ako su uzorci izvlačeni sa ponavljanjem, ili –  hipergeometrijsku raspodelu kod uzoraka bez ponavljanja;

•  U praksi se tipično uzorci izvlače iz velikih populacija bez ponavljanja –  kod velikih populacija šansa da se jedna jedinica iz izvuče

najmanje dva puta minimalna, pa se geometrijska raspodela može aproksimirati binomnom raspodelom

•  Za dovoljno velike uzorke binomna raspodela se može aproksimirati normalnim rasporedom


28

19/11/15

8

•  Čak i ako je uzorak n<30 binomna raspodela može dobro da aproksimira normalnu raspodelu sve dok populacijska proporcija nije blizu 0 ili 1;

•  Iskustveno pravilo, koje ćemo mi primenjivati, je da je uzorak dovoljno velik kada: –  Očekivani broj uzoračkih jedinica koje se odnose na

posmatranu proporciju nije manji od 5 i očekivani broj uzoračkih jedinica koje ne pripadaju posmatranoj proporciji ne sme biti manji od 5, odnosno:


29

n ⋅π 0 ≥ 5 i n ⋅ 1−π 0( ) ≥ 5,

Veličina uzorka Hipotetička vrednost proporcije

Dvostrani test

H0: π = π0; Ha: π ≠ π0.

•  Kada su uzorci dovoljno veliki binomna raspodela se dobro aproksimira normalnom raspodelom , pa se z-statistika računa kao


30

z = p̂−π 0σ P̂

, σ P̂ =π 0 1−π 0( )

n.

•  Nulta hipoteza se odbacuje ako je:

z > zα 2.

Jednostrani test H0: π ≥ π0; Ha: π < π0.

•  Prvo se proverava da li je uzorak veliki, odnosno da li su ispunjeni uslovi n⋅π0 ≥ 5 i n⋅(1- π0)≥5.

•  Ako su ispunjeni uslovi standardna greška proporcije i z-vrednost se izračunavaju isto kao i prethodno

•  Sada se nulta hipoteza odbacuje ako je:


31

z < −zα .

Testiranje hipoteze o razlici između proporcija – dvostrani test H0: π1 = π2 ili π1 – π2= c (obično je c=0); Ha: π1 ≠ π2 ili π1 – π2≠c.

•  Najbolja ocena π, uz hipotetičku pretpostavku da su dva parametra jednaka, je:


32

Standardna greška se računa kao:

p̂ =n1 p̂1( )+ n2 p̂2( )n1 + n2

, q̂ =1− p̂,

sP̂1−P̂2 =p̂q̂n1

+p̂q̂n2.

Veličina prvog uzorka

Veličina drugog uzorka

Ocena proporcije za prvi uzorak

Ocena proporcije za drugi uzorak

19/11/15

9

Veličina uzorka

•  Slično kao i u prethodnom slučaju, koristi se z-test ako su uzorci dovoljno veliki: –  Očekivani broj uzoračkih jedinica koje se odnose na

posmatrane proporcije p1 i p2 ne bi smeo da bude manji od 5; očekivani broj uzoračkih jedinica koje ne pripadaju posmatranim proporcijama p1 i p2 ne sme biti manji od 5, tj.:


33

ni ⋅ p̂i ≥ 5 i ni ⋅ 1− p̂i( ) ≥ 5 za i =1,2 ,

Veličina uzorka i Ocena proporcije na osnovu uzorka i

Testiranje

•  Realizovanu z-vrednost računamo kao:


34

z =p̂1 − p̂2( )− csP̂1−P̂2

.

•  Nultu hipotezu ćemo odbaciti ako je:

z > zα 2.

H0: π1 ≤ π2 ili π1 – π2 ≤ c (obično je c=0); Ha: π1 > π2 ili π1 – π2 > c

•  Sve ostalo je isto kao kod dvostranog, osim kriterijuma za donošenje odluke koji sada glasi:


35

Testiranje hipoteze o razlici između proporcija – jednostrani test

z > zα .

Primer I

•  Na osnovu slučajnog uzorka veličine 378, utvrđeno je da 84% studenata EF smatra da institucije u Srbiji ne štite i ne poštuju ljudska prava u dovoljnoj meri dok preostalih 16% smatra suprotno.

•  Na nivou značajnosti od 5% testirati nultu hipotezu da je procenat studenata koji smatraju da institucije u Srbiji ne štite i ne poštuju ljudska prava u dovoljnoj meri jednak 50%.


36

19/11/15

10


37

Binomni test

n ⋅π 0 ≥ 5 i n ⋅ 1−π 0( ) ≥ 5,

378⋅0,5=189 > 5, uzorak je dovoljno velik pa se binomna raspodela može aproksimirati normalnom

Bazirano na aproksimaciji

z-testom

Rešenje

H0: π = 0,5 Ha: π ≠ 0,5

➔ p-vrednost=0 < 0,05 pa se odbacuje H0

•  Kako je opservirana proporcija veća od testirane proporcije, možemo testirati i:

H0: π ≤ 0,5 Ha: π > 0,5

•  p-vrednost... •  Zaključujemo...

Novembar 2015 Istraživanje tržišta


•  SPSS prikazuje p-vrednost za dvosmerni test samo kada je testirana proporcija 0,5

•  Kada to nije slučaj treba ustanoviti koju jednostranu nultu hipotezu treba testirati prikazanom p-vrednošću

•  Kada je proporcija u uzorku veća od testirane proporcije, π0, u fusnoti tabele nije data rečenica o tome kako glasi alternativna hipoteza. Tada se testira:

H0: π ≤ π0; Ha : π > π0.

•  Kada je proporcija u uzorku manja od testirane proporcije, π0, u fusnoti tabele je data rečenica o tome kako tačno glasi alternativna hipoteza. Tada se testira:

H0: π ≥ π0; Ha : π < π0.


39

Primer J

•  Na osnovu slučajnog uzorka veličine 378, utvrđeno je da 84% studenata EF smatra da institucije u Srbiji ne štite i ne poštuju ljudska prava u dovoljnoj meri dok preostalih 16% smatra suprotno.

•  Koje hipoteze se mogu testirati na osnovu podataka iz priložene tabele?

•  Koji se zaključci mogu doneti na osnovu podataka iz tabele?


40

19/11/15

11


41

p-vrednost je data za jednostrani test (i

iznosi x2 za dvostarni)

Bazirano na aproksimaciji z-

testom

Testirana proporcija, π0=84%

Alternativna hipoteza je π<0,84 za prvu grupu (sugeriše da je opservirana

proporcija manja od 0,84)

Opservirana proporcija

Broj opservacija – veličina uzorka

•  Kako je u fusnoti tabele data rečenica o tome kako glasi alternativna hipoteza, p-vrednost koja je data u tabeli testira sledeću nultu i alternativnu hipotezu:

H0: π ≥ 0,84; Ha: π < 0,84.

•  Na osnovu date tabele takođe se mogu testirati: H0: π = 0,84; Ha: π ≠ 0,84.

•  Alternativno, da je uzoračka proporcija bila veća od testirane, onda bismotestirali:

H0: π ≤ 0,84; Ha: π > 0,84.


42

Primer K •  Sprovedeno je istraživanje na EF sa ciljem da se ispitaju

stavovi studenata o ljudskim pravima u Srbiji. •  Na osnovu prikupljenih podataka utvrđeno je da 56,3%

muškaraca i 46% žena smatra da se u Srbiji poštuju prava pripadnika nacionalnih manjina.

•  Sa nivoom značajnosti od 5% testirati nultu hipotezu da muškarci i žene u istoj meri smatraju da se u Srbiji poštuju prava pripadnika nacionalnih manjina.

•  Koji se zaključci mogu doneti na osnovu podataka iz priloženih tabela?



44

Prva varijabla (pol studenta) i njeni

modaliteti (muški, ženski)

Druga varijabla i njeni modaliteti (da, ne)

Frekvencija (broj opservacija sa datom

karakteristikom)

Procentualno učešće

izračunato po kolonama

19/11/15

12


45

Tabela za poređenje proporcija po

kolonama

Prva varijabla (pol studenta) i njeni

modaliteti (muški, ženski)

Druga varijabla i njeni modaliteti (da, ne)

Nivo značajnosti na kome se obavlja testiranje

Objašnjenje kako se označava da li je razlika značajna

Tabela za poređenje proporcija po kolonama

•  U slučaju da su sva polja prazna ne postoji statistički značajna razlika u proporcijama između posmatranih uzoraka.

•  Ako bi statistički značajna razlika postojala, u nekim poljima tabele bi bila ispisana slova, koja predstavljaju oznake kolona (u našem primeru to su slova A i B, kao što piše u tabeli). –  Red u kojem se nalazi slovo pokazuje gde se javlja statistički značajna

razlika; –  Kolona u kojoj se slovo nalazi, označava uzorak u kojem je testirana

proporcija veća, a –  Samo slovo koje je uneto u to polje označava uzorak u kojem je

testirana proporcija manja.


46

Rešenje K

•  U zadatku se testiraju razlike u proporcijama na dva nezavisna uzorka (1-uzorak muškaraca i 2-uzorak žena). Nulta i alternativna hipoteza glase:

H0: π1 = π2 Ha: π1 ≠ π2

•  Druga tabela (tabela za poređenje proporcija po kolonama) pokazuje da ne postoji statistički značajna razlika između proporcija u kolonama.


47

Primer L •  Sprovedeno je istraživanje nad studentima EF kako bi se

ispitali njihovi stavovi o pravima žena u Srbiji •  Na osnovu prikupljenih podataka utvrđeno je da 52,2%

muškaraca i 33% žena smatra da žene imaju ista prava i mogućnosti u društvu kao muškarci

•  Sa rizikom greške od 5% testirati da li postoji statistički značajna razlika u stavovima (proporciji) muškaraca i žena po ovom pitanju

•  Koji se zaključci mogu doneti na osnovu podataka iz priloženih tabela?


48

19/11/15

13


49

Veličina poduzorka, broj jedinica, frekvencija …

… I njeno procentualno učešće (sumirano po kolonama)


50

Statistički značajno više muškaraca (A) nego žena (B) smatra da žene imaju ista prava i mogućnosti u

društvu kao i muškarci

Statistički značajno više žena (B) nego muškaraca (A) smatra

da žene imaju manje prava i mogućnosti u društvu

Postoji statistički značajna razlika u proporcijama

Postoji statistički značajna razlika u proporcijama

•  Testiraju se razlike u proporcijama za dva nezavisna uzorka (1-muški uzorak i 2-ženski uzorak)

•  U prvom redu se testira nulta hipoteza da je proporcija ispitanika koji smatraju da žene imaju ista prava i mogućnosti u našem društvu kao i muškarci (πda), jednaka u te dve populacije:

H0: πda,1 = πda,2 Ha: πda,1 ≠ πda,2

•  U prvom redu sva polja nisu prazna, pa odbacujemo H0 •  Pošto u prvom redu, u koloni sa oznakom A, je uneto B,

sledi da postoji statistićki značajna razlika i da je veća proporcija muškaraca koji misle da žene imaju ista prava u društvu nego proporcija žena koje to misle


51

•  U drugom redu se testira nulta hipoteza da je proporcija ispitanika koji smatraju da žene nemaju ista prava i mogućnosti u našem društvu kao i muškarci (πne), jednaka u posmatranim populacijama (muškaraca i žena):

H0: πne,1 = πne,2 Ha: πne,1 ≠ πne,2

•  Kako sva polja u drugom redu nisu prazna zaključujemo da imamo dovoljno dokaza da odbacimo nultu hipotezu

•  Postoji statistički značajna razlika u stavovima muškaraca i žena

•  U polju koje se nalazi u preseku drugog reda i druge kolone (sa oznakom B, ženski pol) nalazi se slovo A

•  Postoji veći procenat žena koje smatraju da žene nemaju ista prava i mogućnosti u našem društvu kao i muškarci, u odnosu na procenat muškaraca koji tako misle.


52

testiranje hipoteza – osnovni koncepti i · pdf file• testiranje hipoteza o razlici...

Documents