UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN

PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA, UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL BACHILLERATO DEL

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRA EN DOCENCIA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR EN EL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS P R E S E N T A ACT. ESTHER LÓPEZ HERNÁNDEZ

ASESOR: MTRO. JUAN BAUTISTA RECIO ZUBIETA

ESTADO DE MÉXICO

MAYO DE 2008

AGRADECIMIENTOS

Al Mtro. Juan Bautista Recio Zubieta, por su gran apoyo, por su paciencia y por compartir sus conocimientos, para poder llevar a cabo la realización de este trabajo.

¡Muchas Gracias!

Al M. en C. Oscar Cuevas de la Rosa, al Mtro. Pedro Manuel Zerendieta Méndez, por dedicarme parte de su tiempo, por sus orientaciones y comentarios para mejorar

este trabajo. ¡Gracias!

Al Mtro. Andrés Hernández López, por sus consideraciones y apoyo. ¡Gracias!

A mis maestros sinodales, por sus observaciones y sugerencias. ¡Gracias!

AGRADECIMIENTOS

A mis papás Cruz y Vicente, con cariño por su apoyo incondicional, de toda la vida.

¡Muchas Gracias!

A mis hermanos que siempre han estado conmigo.

A la Mtra. Georgina Castañeda Ayala, por brindarme su amistad, por su ayuda y sus consejos.

¡Gracias!

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1 CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO

1.1 Justificación ……………………………………………………………………………… 3 1.2 Objetivo General ………………………………………………………………………... 5 1.3 Objetivos Particulares ………………………………………………………………….. 6 1.4 Hipótesis …………………………………………………………………………………. 6 CAPITULO II. MARCO TEÓRICO

2.1 Sistema Bachillerato de la UNAM ………………………………………………….... 7 2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades ………………………. 8 2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas ………………………………………….. 9 2.1.3 Propósitos de la Materia ……………………………………………………….. 10

2.2 Enseñanza …………………………………………………………………………….. 10 2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza ……………………………… 11 2.3 Aprendizaje ……………………………………………………………………………. 12 2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje ……………………………... 12

2.4 Concepciones sobre las Matemáticas ……………………………………………… 13

CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO

3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo ………………………………. 16 3.2 Descripción del instrumento diagnóstico …………………………………………... 16 3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado ……………………………………………………. 18 3.4 Características de la población ……………………………………………………… 23 3.5 Desarrollo de la enseñanza ….……..……………………………………………….. 24 CAPITULO IV. ANÁLISIS Y RESULTADOS 4.1 Primera aplicación del instrumento ……………………………………………….. 32 4.2 Segunda aplicación de instrumento ……………………………………………….. 33 4.3 Comparación con los resultados obtenidos en el Pre Test Post Test …………. 37 4.4 Análisis Estadístico (Prueba de hipótesis sobre diferencias de medias) ………. 52 CONCLUSIONES …………………………………………………………………………….. 64

BIBLIOGRAFIA .……………………………………………............................................... 66

ANEXOS

Anexo 1. Instrumento Diagnóstico (Examen) Sobre el Tema de Ecuaciones Cuadráticas …………………………………… 69 Anexo 2. Actividades de Enseñanza – Aprendizaje ……………………………………… 74 Anexo 3. Registro de las actividades y tareas realizadas ………………………………. 128 Anexo 4. Cuestionario aplicado a los profesores sobre el tema de Ecuaciones Cuadráticas ……………………………………………………………………….. 131 Anexo 5. Información recabada por los profesores de Matemáticas I ………………… 133 Anexo 6. Opinión de los alumnos …………………………………………………….……. 139

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I N T R O D U C C I Ó N

La presente Tesis tiene como objetivos principales: Diseñar una propuesta didáctica sobre la enseñanza de las matemáticas, con respecto a los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Tomando como base el programa de estudios de Matemáticas I que se imparte en el primer semestre del Colegio de Ciencias y Humanidades. Encontrar la manera de reducir al máximo el índice de reprobación, que se da de manera alarmante en el bachillerato. Evitar la deserción de los alumnos, ya que en los últimos años lejos de disminuir se ha incrementado. En el Capítulo I tomando en cuenta lo anterior, abordamos dicha problemática que como sabemos se deriva de varios factores, entre los cuales podemos mencionar los siguientes: La forma de enseñar las matemáticas, mitos que consideran que solo las personas que cuentan con una mente super dotada pueden entenderlas y manejarlas, el poco tiempo que se tiene destinado para cada tema y problemas personales de los alumnos. Ya entrados en materia en el Capítulo II se menciona el marco teórico, conformado por: el Sistema de Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, cuyo modelo educativo tiene como finalidad; la formación integral del estudiante, que éste aprenda a aprender, aprenda a hacer y aprenda a ser, así; sin descuidar estos propósitos, se elaboró la propuesta didáctica que fue llevada a la práctica en el Plantel Azcapotzalco. Por otro lado se hace mención de los própositos del área de matemáticas, específicamente de la materia de Matemáticas I en relación con el tema de ecuaciones cuadráticas. Se da una breve definición sobre los términos de enseñanza – aprendizaje. Cabe aclarar que estos términos pueden ser definidos desde diferentes puntos de vista, es decir, de la corriente educativa a la que se haga mención, así mismo; se presentan algunas concepciones sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje y su relación con las matemáticas. En el Capitulo III se menciona la forma en que se llevó a cabo la realización de este trabajo, así como los materiales que se usaron, también plantéo cómo se diseño la propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado, así como las características del exámen diagnóstico que les fue aplicado a los alumnos. Además también se hace mención a las características de la población a quienes se les aplico el material didático. En el Capítulo IV se muestran los resultados obtenidos de los alumnos una vez que se aplicaron las actividades de enseñanza - aprendizaje (la propuesta didáctica), así como

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un análisis de estos resultados. Cabe mencionar que se utilizó el esquema de Pre Test Post Test, por lo que también se llevó a cabo una comparación con los resultados. Por último se presentan los anexos. El anexo 1 contiene el instrumento diagnóstico (examen) que les fue aplicado a los alumnos. En el anexo 2 contiene las actividades de enseñanza y aprendizaje, para la realización de estas actividades. Se buscó la manera de hacerlo de una forma flexible dejando atrás la rigidez; esto con la finalidad de obtener un mejor aprovechamiento en el proceso de enseñanza – aprendizaje. En el anexo 3 se llevó a cabo un registro de las actividades y tareas realizadas, de tal forma que los alumnos tuvieran un control sobre su propio desempeño durante el curso. En el anexo 4 se encuentra el cuestionario que les fue aplicado a los profesores que imparten la materia de Matemáticas I. En el anexo 5 se tiene la información de las entrevistas realizadas a profesores de Matemáticas I, con el fin de encontrar alternativas didácticas, que sirvieran para optimizar la problemática que se tiene en la enseñanza de las matemáticas. En el anexo 6 y último se recabó la opinión de los alumnos en cuanto al material sobre las actividades de enseñanza – aprendizaje que se les aplicó, ya que considero que estas opiniones nos ayudan a reflexionar sobre nuestra labor como docentes.

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CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO 1.1 Justificación En la docencia actual, a pesar de los avances de la investigación educativa y de los programas de formación de profesores de los últimos años, muchos de ellos muestran un poco u nulo interés para tomar en cuenta dichos avances, por lo que además de no saber como impartir la docencia se convierten en la mayoría de las veces sólo protagónicos del saber, mientras que los alumnos con esto caen en una actividad de pasividad, lo que trae como consecuencia el desinterés, la repetición y memorización del conocimiento sin que exista lo más importante un sentido analítico y crítico. En este sentido el investigador Morán Oviedo, afirma que el deber ser de la docencia se centraba básicamente en exposiciones magistrales a través de las cuales se iban dosificando cápsulas de saber que los estudiantes debían asimilar y aceptar sin reflexionar ni protestar, ya que el profesor era la figura dominante, el centro de la clase. En este concepto de docencia el grupo es sólo un conjunto de personas que no se comunican ni interactúan durante el proceso de aprender. Sin embargo “con los avances de la investigación educativa, de los últimos tiempos, específicamente con sus aportaciones en el descubrimiento de nuevas concepciones pedagógicas, de nuevas corrientes educativas y nuevos métodos de enseñanza y de aprendizaje, nos encontramos en una perspectiva diferente de pensar y realizar la docencia, ya que no se limita sólo a procurar la existencia de la comunicación e interacción grupal sino que la promueve y la aprovecha intencionadamente como fuente y medio de experiencias de aprendizaje” (Morán Oviedo, 2006, p5). Por lo mencionado anteriormente, la docencia se caracteriza como un proceso de interacción profesor – alumno, donde se presente como un diálogo constructivo entre profesor y alumno, ya que se considera que el proceso de comunicación es un proceso interactivo en el cual el alumno también emite mensajes hacia el profesor, intercambio de experiencias, puntos de vista, etc. “La docencia es, asimismo, una actividad profundamente matizada por los componentes ideológicos del docente, del alumno, de la institución que la promueve y del propio campo disciplinario que se estudia”. Por otra parte, “varios investigadores (Tirano y Serrano, 1989; Lapointe, Mead y Askew, 1992, entre otros) reportan una crisis tanto nacional como global en la enseñanza matemática”. “En México la crisis es evidente, estadísticas señalan que en algunas universidades se ha incrementado de un 10% a un 30% la demanda de cursos especiales de matemáticas…”,”La actual generación de estudiantes seguramente tendrá que enfrentarse a cambios tecnológicos que necesitarán estructuras de conocimiento cada vez más complejas… Desde las habilidades simples para realizar y organizar cargamentos de mercancías, hasta el conocimiento de alto nivel necesario para la ciencia y los avances tecnológicos” (Carlson, 1992 en Lara, fuentes y Gómez, V Simposio Internacional en Educación Matemática, 1995, p.86). Por lo tanto la enseñanza de las matemáticas es sumamente importante “Vivimos tiempos extraordinarios y acelerados cambios. Surgen y evolucionan continuamente nuevos conocimientos, herramientas y formas de usar y comunicar las matemáticas” (Principios y Estándares de Educación Matemática, NCTM, 2000). Por lo que se debe buscar alternativas que ayuden a optimizar el problema en la enseñanza de la matemática.

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Con base en la información antes citada, el trabajo de investigación es que los alumnos del Colegio de Ciencias y Humanidades del plantel Azcapotzalco tengan una mejor comprensión en algunos temas que se mencionan en el programa de matemáticas I, así como su importancia para materias posteriores. La enseñanza de las matemáticas en el bachillerato del CCH presenta problemas en el rendimiento de los alumnos, lo cual se refleja en sus calificaciones, por lo que no es muy satisfactorio, el índice de reprobación es alto, así como la deserción en el salón de clases, como lo muestra la tabla 1. “Dentro de la investigación educativa, es de utilidad conocer el comportamiento de la población por medio de cálculo de tasas”. (Datos proporcionados por la Secretaria de Apoyo al Aprendizaje, plantel Azcapotzalco). Tabla 1. Aprovechamiento en la asignatura de Matemáticas I. Distribución de calificaciones. Porcentaje de alumnos. Con los datos de la tabla se puede observar que la calificación de NP en la generación 2000 fue la más alta con el 21.31%, la cual disminuyo notoriamente en la generación 2007 con el 8.02%. La generación 2001 fue la que tuvo mayor porcentaje de alumnos reprobados con 5, con el 25.91%, mientras que la generación que menos alumnos tuvo con esta calificación fue la 2006, con 17.51%. La generación que más alumnos obtuvieron la calificación de 6 fue la 2005, con el 21.12% y la generación que obtuvo menos alumnos con esa calificación fue la 2000, con 14.90%. En cuanto a la calificación de 7, la generación que más alumnos tuvo fue la 2006, con el 20.08%, mientras que la generación 2001 fue la que menor porcentaje obtuvo, con solo el 12.61%. El 13.36% de la generación 2000 obtuvo 8 y fue la más baja, frente a la generación 2003, cuya tasa fue de 17.18%. En cuanto a la calificación de 9 la generación 2007 fue la más alta con el 12.80%, mientras que la generación 2002 fue la más baja con el 6.44%. Y por último la generación 2000 fue la que menor número de alumnos tuvo calificación de 10, con el 4.99%, mientras que la generación 2007 tuvo el mayor número de alumnos con esta calificación, con el 8.97%. Esta situación se deriva de varios factores, entre los cuales se mencionan las siguientes: La forma de enseñar las matemáticas, mitos o creencias que consideran que las matemáticas son muy difíciles y sólo para personas dotadas o privilegiadas, problemas personales de los alumnos ya que se encuentran en una edad “la adolescencia” en la cual

Calificaciones Generación NP 5 6 7 8 9 10

2000 21.31 20.85 14.90 15.91 13.36 8.69 4.99

2001 16.29 25.91 15.61 12.61 14.66 8.93 5.99

2002 16.81 19.18 18.94 19.40 13.87 6.44 5.36

2003 11.75 19.04 17.79 14.86 17.18 10.63 8.75

2004 11.82 25.22 19.73 15.45 13.50 8.46 5.81

2005 9.72 24.47 21.12 17.33 13.60 7.50 6.26

2006 10.63 17.51 19.09 20.08 16.83 9.95 5.91

2007 8.02 18.07 17.60 18.82 15.71 12.80 8.97

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buscan su propia identidad y de encontrarse asimismo buscando apoyo en su grupo de pares. “Para el adolescente resulta muy importante pertenecer a un grupo de jóvenes como él y de seguir las reglas del grupo, por lo tanto si tiene que elegir entre las normas impuestas por los padres y las de grupo, se decidirá por las de su grupo, lo cual le crea conflictos no sólo con las figuras paternas, sino con la sociedad adulta en general” (Tarragona Roing, 2004, p15-16), estos conflictos internos por los que atraviesan los alumnos y la falta de entendimiento por parte del profesor, tomando así una actitud rígida y autoritaria en el salón de clases, trae como consecuencia que los alumnos no tengan un buen desempeño. Otro factor es la falta de buenos hábitos de estudio, lo cual se refleja en sus calificaciones, así como el cambio que tienen de la secundaria al bachillerato, lo cual les ocasiona un desequilibrio, ya que es un proceso que presenta cambios para los cuales algunos alumnos no están preparados. Además si agregamos que la Matemática es una ciencia abstracta y lógica, “los alumnos que todavía no han pasado de la fase operacional concreta, son incapaces de incorporar significativamente a sus estructuras cognoscitivas relaciones entre dos o más abstracciones “secundarias”, a menos que dispongan de apoyos empírico-concretos actuales o recientes” (Inhelder y Piaget, 1958, en Ausubel, 1976). Por otra parte, cabe mencionar que anteriormente en los cursos de matemáticas, los grupos estaban formados por aproximadamente 50 alumnos, para el ciclo escolar 2007-1 se hizo un cambio, los grupos de matemáticas I se dividieron a la mitad, buscando así un mejor rendimiento en los alumnos, teniendo algunas ventajas como son: una mayor atención hacia los alumnos, mejor control sobre su desempeño durante las clases, saber escucharlos, estimular su sentido de responsabilidad, etc. 1.2 Objetivo General:

• Mejorar el aprendizaje de los alumnos en un tema crucial como son los productos notables y la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Para ayudar a mejorar el aprendizaje se desarrollaron materiales didácticos que permitieran una mayor comprensión sobre los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado con una incógnita, que corresponde a la 5ª unidad de Matemáticas I, en el bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, en el plantel Azcapotzalco. Los productos notables, así como la factorización, desempeñan un papel muy importante en los cálculos algebraicos. No solamente para el curso de matemáticas I, vemos su aplicación en la resolución de ecuaciones de segundo grado; en el curso de matemáticas III, en las secciones cónicas correspondientes a la unidad IV, en el tema de parábola de la unidad V, entre otros temas. En términos generales la factorización es parte fundamental de la Matemática. Por lo que considero, que es importante tener cuidado en su desarrollo como consecuencia de que el manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas.

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1.3 Objetivos Particulares:

• Tomando como base el examen diagnóstico, identificar las deficiencias en los aprendizajes, así como conocer los antecedentes de los alumnos en cuanto a la materia.

• Desarrollar, con base a las deficiencias que se encuentre en los alumnos, un material de apoyo para el curso de matemáticas I, el cual estará elaborado a partir del modelo educativo del Colegio de Ciencias y Humanidades. El material didáctico versará sobre el tema de los productos notables y la factorización, así como la resolución de ecuaciones de segundo grado.

• Pilotear el material con tres o cuatro alumnos a fin de detectar posibles fallas en él y corregirlas.

• Aplicar el material a un grupo y analizar los resultados.

1.4 Hipótesis:

• El uso de materiales que busquen presentar de diferentes maneras los temas de productos notables y de factorización, así como la resolución de ecuaciones de segundo grado ayudarán a los alumnos a una mejor comprensión de ellos.

Para probar la hipótesis se realizarán pruebas estadísticas, para demostrar que el resultado de aplicar un instrumento diagnóstico (examen) a un grupo de estudiantes sin la exposición de cierto material didáctico, es menor a los resultados que se obtienen al aplicar el mismo examen, pero con el conocimiento del material didáctico al mismo grupo de estudiantes. La intención de los exámenes es para medir el nivel taxonómico de las preguntas como son: a) el nivel de conocimiento, b) el nivel algorítmico, c) el nivel de comprensión y d) el nivel de aplicación. Se medirán cada nivel a través de una serie de reactivos clasificados en los correspondientes niveles y en donde la ejecución de los alumnos en cada uno de ellos,

será registrado como 0 y 1, donde: el 0 corresponde a que la respuesta esta mal, si no lo

hizo o no lo termino; el 1 corresponde a que la respuesta esta correcta. Para el desarrollo del trabajo, debemos estar conscientes que existen tres variables primordiales, que debemos mencionar en forma explícita.

1. El tipo de material didáctico del que se haga uso (variable independiente). 2. La comprensión que tengan los alumnos de los temas, lo cual se reflejará en la

calificación que obtengan del examen (variable dependiente). 3. El profesor, lo cual considero que es la variable principal.

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CAPITULO II. MARCO TEÓRICO 2.1 Sistema de Bachillerato de la UNAM La educación es medio fundamental para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura. La misión de toda institución educativa es preparar a las nuevas generaciones para el mundo en que tendrán que vivir. Propiciar la adquisición de los conocimientos y las habilidades que los alumnos requieren para desempeñarse con eficiencia en una sociedad que cambia rápidamente. La matemática tiene una larga trayectoria unida al progreso de la humanidad y ha ocupado un lugar central en la educación a lo largo de la historia. Con los procesos de revisión y modificación de los planes y programas de estudios de la Escuela Nacional Preparatoria y del Colegio de Ciencias y Humanidades y su aprobación en 1996, el bachillerato de la UNAM avanzó de manera significativa en sus esfuerzos por mejorar la calidad de la educación que imparte. El progreso se manifiesta sobre todo en la actualización de los contenidos programáticos, en la propuesta de formas de enseñanza más dinámicas, en general en una estructura curricular más coherente con el logro del perfil de egreso deseado. Para dar atención a los avances del conocimiento, con frecuencia se incrementan los contenidos curriculares sin que éstos incidan en aspectos fundamentales de la formación de los alumnos; no hay la suficiente coherencia entre programas y finalidades educativas y, en general, no se ha contribuido de manera más eficaz para que los egresados de este ciclo se desempeñen con éxito en sus estudios de licenciatura y en la vida social y laboral. Lo anterior ha impulsado desde la década pasada, en prácticamente todos los países, un movimiento de reforma de este ciclo entre cuyos elementos destaca la identificación y definición explícita de los aprendizajes concretos a los que debe orientarse la educación en este nivel. Por ejemplo, la determinación de los Contenidos Básicos comunes de la Educación Polimodal en Argentina, los Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Media en Chile, las Enseñanzas Mínimas del Bachillerato en España, los Estándares Educativos Nacionales en los Estados Unidos y las reformas curriculares en Canadá y en Perú. En particular, en el bachillerato, la enseñanza de la matemática debe contribuir a consolidar los conocimientos y las habilidades para aplicarla a diversas situaciones problemáticas y a que el alumno la considere como algo propio y tenga confianza al emplearla, y sirva para formar en el alumno una mentalidad organizada y analítica. A partir de éstas en las que coinciden la Escuela Nacional Preparatoria y el Colegio de Ciencias y Humanidades, cuyos programas de estudios constituyeron un referente fundamental, es que se han formulado los desempeños correspondientes a matemática para el Núcleo de Conocimientos y Formación Básicos que debe proporcionar el Bachillerato de la UNAM (NCFB); es decir, lo que es esencial que aprendan los alumnos.

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En los desempeños propuestos se refleja la orientación que se propone para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en este nivel educativo:

• Favorecer la comprensión y la capacidad de aplicación de conceptos y procedimientos matemáticos esenciales.

• Promover la valoración, el interés y el gusto por la matemática como una ciencia

en constante desarrollo. El Colegio de Ciencias y Humanidades, junto con la Escuela Nacional Preparatoria, forma parte del bachillerato universitario con mayor demanda de la población estudiantil de México. 2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades El Colegio de Ciencias y Humanidades fue originado como una alternativa que venía a resolver diversos problemas, entre otros, la demanda educativa de nivel superior y medio superior, efecto de la explosión demográfica y de la generalización de las oportunidades de educación elemental y media, fruto del plan de 11 años. El Colegio de Ciencias y Humanidades es el resultado de una constante preocupación universitaria: impulsar por nuevos caminos la enseñanza y la investigación científica. Fue concebido como un plantel de nuevo tipo, que rebasando las limitaciones de la organización tradicional, abriera sus puertas al mayor número posible de estudiantes y reuniera la experiencia de diversas instituciones de educación superior, a fin de orientar adecuadamente al alumno en función del campo educacional. El Colegio de Ciencias y Humanidades dispone de un modelo educativo con el cual desarrolla un conjunto de experiencias de aprendizaje en su población estudiantil a través de una serie de políticas, programas y proyectos. (Prontuario del profesor, enero, 2002) Este modelo educativo se caracteriza por una serie de elementos estructurales que son:

• La noción de cultura básica. • La organización académica por áreas. • El alumno como actor de su formación. • El profesor como orientador en el aprendizaje.

“La función principal del modelo educativo es la de establecer lineamientos institucionales para organizar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje”. (Prontuario del profesor, enero, 2002) La noción de cultura básica. Éste es el contenido fundamental formativo que le ofrece el Colegio a sus alumnos. La cultura básica se encuentra plasmada en todas las asignaturas del plan de estudios, y se entiende como el conjunto de principios y elementos de saber y de hacer a través de cuya utilización pueda adquirir mayores y mejores conocimientos y prácticas. En consecuencia, la cultura básica se integra por las capacidades de:

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- Aprender a conocer. Acceso a la información y su organización: lectura de libros y textos.

- Aprender a hacer. La puesta en práctica de conocimientos: la experimentación en los laboratorios, la investigación y producción de textos en la clase-taller.

- Aprender a ser. La adquisición y ejercicio de los valores de la cultura contemporánea: respeto, tolerancia, solidaridad, etc.

- Aprender a aprender. Capacidad del alumno de seguir aprendiendo y asumirse como sujeto de cultura y educación.

La organización académica por áreas. El contenido de la cultura básica se organiza y distribuye en las diferentes materias que articulan las 4 áreas que definen la estructura curricular del CCH: el área de ciencias experimentales, de talleres, de histórico-sociales y de matemáticas. En su conjunto las áreas son grandes campos de conocimiento que fomentan una visión humanista de las ciencias y la naturaleza, así como una visión científica de los problemas del hombre y la sociedad. El alumno como actor de su formación. El bachillerato del Colegio se caracteriza por colocar en el centro de todas sus actividades, al alumno, su aprendizaje y su formación. Para ello se han diseñado políticas, programas y proyectos que tienen como eje organizacional este principio. Por lo tanto, el enfoque de las materias, las formas de trabajo en el salón de clases, los laboratorios, la formación de profesores y los mecanismos de gestión académica y administrativa de la institución toman a esta concepción del alumno como el referente para organizar sus actividades. El profesor como orientador en el aprendizaje. La institución concibe un modelo de docencia que, desarrollando y fortaleciendo las habilidades básicas de saber planear, instrumentar y evaluar las clases, sea capaz de orientar la adquisición de conocimientos de calidad, adapte materiales didácticos y realimente el aprendizaje de los estudiantes de manera cotidiana. 2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas La enseñanza de la Matemática en el bachillerato debe orientarse de manera tal que permita a los alumnos percibir a esta disciplina como una ciencia en constante desarrollo. El sentido del Área está determinado por el hecho de que el aprendizaje de la Matemática contribuye de diversas maneras al desarrollo de la personalidad del educando. (Prontuario del profesor, enero, 2002) Se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su aprendizaje, adquiera un desempeño satisfactorio en la comprensión y manejo de los contenidos de los cinco ejes temáticos (Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y Funciones) y desarrolle:

• El empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo (sistemático, especulativo y riguroso), particularmente de tipo analógico, inductivo y deductivo.

• La adquisición de aprendizajes de manera independiente. • La comprensión del significado de los conceptos, símbolos y procedimientos

matemáticos correspondientes al nivel bachillerato. • La capacidad para realizar análisis y establecer relaciones mediante la

identificación de semejanzas y el uso de analogías.

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• La capacidad para formular conjeturas, construir argumentos válidos y aceptar o refutar los de otros.

• La capacidad de aprender tanto de los aciertos como de los errores. • La habilidad en el manejo de estrategias de resolución de problemas. • La incorporación a su lenguaje y modos de argumentación habituales, de diversas

formas de expresión matemática (numéricas, tabulares, gráficas, geométricas y algebraicas)

• La aplicación de conocimientos en distintos ámbitos de su actividad, con actitudes de seguridad en sí mismo y de autoestima.

• El interés por la lectura y comprensión de textos científicos, tanto escolares como de divulgación.

• La valoración del conocimientos científico en todos los campos del saber. 2.1.3 Propósitos de la materia Dentro de los propósitos generales de Matemáticas I en relación con el tema de ecuaciones cuadráticas se tiene que:

• El alumno analizará las condiciones y relaciones que se establecen en el enunciado verbal de un problema y expresará las relaciones entre lo conocido y lo desconocido a través de una ecuación algebraica de segundo grado.

• Utilizará los métodos siguientes para resolver una ecuación cuadrática: factorización, completar a un trinomio cuadrado perfecto y uso de la fórmula general.

• Transformará una ecuación cuadrática a la forma adecuada para su resolución por un método específico.

• Identificará cuáles son los parámetros a, b y c, aún en ecuaciones “desordenadas” o incompletas y los sustituirá correctamente en la fórmula general.

• Efectuará las operaciones indicadas al aplicar la fórmula general, de modo que llegue a obtener las dos soluciones correctas.

• Sabrá que cuando en el radical se obtiene un número negativo, no existe ningún número real que satisfaga esta condición, por lo que se requiere entrar al terreno de otro tipo de números llamados complejos.

• Calculará el valor del discriminante acb 42− para conocer la naturaleza y el

número de soluciones. • Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que provienen.

En relación con actividades de generalización, el alumno comprenderá cómo se obtiene la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. 2.2 Enseñanza De manera general se define la enseñanza (Del latín. Vulg. Insignare, señalar) como: sistema y método de dar instrucción. Conjunto de conocimientos, principios, ideas, etc., que se enseñan a alguien. La palabra enseñanza puede ser definida desde diferentes puntos de vista, es decir, de la corriente educativa a la que se haga referencia.

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Para Chadwick y Rivera, 1990 la enseñanza consiste en crear las condiciones adecuadas para que se produzca el aprendizaje del alumno. Mientras que el aprendizaje es un cambio relativamente permanente que se produce en un aprendiz, debido a ejercitación, práctica, entrenamiento o experiencias y no a circunstancias tales como drogas, accidentes, maduración. Y al entrar ambos procesos en interacción dinámica, se produce lo que se llama “el proceso de enseñanza-aprendizaje”. Siendo conceptos paralelos y complementarios, es importante distinguir los términos de enseñanza y aprendizaje. 2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza Para Danilov el éxito de la enseñanza sólo puede lograrse si el contenido de la misma y los métodos empleados corresponden a los fines de la educación y a las peculiaridades de los alumnos, según su edad. La asimilación de conocimientos nuevos se inicia siempre por la percepción de las materias estudiadas, de los fenómenos o de las explicaciones del maestro. La percepción activa se verifica cuando en el alumno concurren determinados motivos. Todo ello caracteriza el proceso asimilativo. La creación de condiciones para que surjan dichos motivos constituye un importante elemento de la enseñanza.

“La asimilación de conocimientos por los alumnos rinde sus mayores frutos cuando existe una acertada organización de la enseñanza por el maestro” (Danilov, 1977, p.21)

El proceso de asimilación de conocimientos por los alumnos sigue dos caminos: a) el directo, éste se refiere cuando aquéllos pasan de la observación de los objetos, de los procesos y de los fenómenos estudiados, del análisis de las nociones concretas y de la experiencia vital que poseen, a las nociones y a los conceptos científicos, y b) el indirecto, éste se refiere a cuando los alumnos parten de los conceptos que poseen, de las palabras del maestro y del libro de texto, para crear en su mente un objeto, un fenómeno, formando un nuevo concepto de los objetos estudiados. Existe un estrecho nexo entre el camino directo de asimilación de conocimientos y el camino indirecto. La enseñanza constituye el camino y el medio fundamental de formación y de educación. Es decir, un grado de formación no se adquiere súbitamente, en un momento, sino como resultado de un período de enseñanza más o menos prolongado. Por otra parte Ausubel menciona que al diseñar un curriculum nuevo o al planear un segmento de un programa de enseñanza, es importante tener siempre en cuenta que “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya conoce”. Es decir, que la planeación de la enseñanza exige una estimación cuidadosa de los conceptos y destrezas que los alumnos poseen y que son relevantes para las nuevas tareas de aprendizaje. Se distinguen tres etapas en la acción didáctica: a) Planteamiento. En esta etapa se formulan los objetivos educativos y los planes de trabajo adaptados a los objetivos previstos. La formulación de un plan implica la toma de decisiones anticipada y la reflexión con anterioridad a la puesta en práctica.

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b) Ejecución. Posteriormente al planteamiento, el profesor pone en práctica los recursos y métodos didácticos, desarrollándose así el proceso de enseñanza. c) Evaluación. Es la etapa en la que se verifican los resultados obtenidos con la ejecución, materializándose en el proceso de evaluación. 2.3 Aprendizaje El aprendizaje (del latín. Apprenhendere) es el otro elemento fundamental del proceso y de manera común se define como: la adquisición de conocimientos por medio del estudio o de la experiencia. 2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje Para Ausubel todo el aprendizaje en el salón de clases puede ser situado a lo largo de dos dimensiones independientes: La dimensión repetición-aprendizaje significativo y la dimensión recepción-descubrimiento. En realidad, los dos tipos de aprendizaje pueden ser significativos: 1. Si el estudiante emplea una actitud de aprendizaje significativo, es decir, una disposición para relacionar de manera significativa el nuevo material de aprendizaje con su estructura existente de conocimiento, y 2. Si la tarea de aprendizaje en sí es potencialmente significativa, es decir, si consiste en un material razonable o sensible y si puede relacionarse de manera sustancial y no arbitraria con la estructura cognoscitiva del estudiante particular. En el aprendizaje por recepción, el contenido principal de la tarea de aprendizaje simplemente se le presenta al alumno. En el aprendizaje por descubrimiento, el contenido principal de lo que ha de aprenderse se debe descubrir de manera independiente antes de que se pueda asimilar dentro de la estructura cognoscitiva. En el aprendizaje por recepción (por repetición o significativo), el contenido total de lo que se va a aprender se le presenta al alumno en su forma final, se le exige sólo que internalice o incorpore el material (una lista de sílabas sin sentido, un poema, un teorema de geometría, etc.) que se le presenta de tal modo que pueda recuperarlo o reproducirlo en un momento posterior. En el aprendizaje por recepción y repetición, la tarea de aprendizaje, no es ni potencialmente significativa ni tampoco convertida en tal durante el proceso de internalización, por otra parte el aprendizaje por recepción puede ser significativo si la tarea o material potencialmente significativos son comprendidos en la estructura cognitiva previa del alumno.

“Gran parte de la confusión en las discusiones sobre el aprendizaje escolar se debe al no reconocer que los aprendizajes por repetición y significativo no son completamente dicotómicos. Aunque son cualitativamente discontinuos en términos de los procesos psicológicos que subyacen a cada uno de ellos, y que por lo mismo no pueden ser colocados en los polos opuestos del mismo continuo, existen tipos de aprendizaje de transición que comparten algunas de las propiedades de los aprendizajes antes mencionados (por ejemplo, el aprendizaje de representaciones o el

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aprendizaje de los nombres de los objetos, los eventos y los conceptos)”. (Ausubel, 1976, p. 34)

En términos generales lo anterior se puede representar de manera simplificada en la fig1. Aprendizaje Significativo Clarificación de las Enseñanza Investigación relaciones entre audiotutelar científica (música o los conceptos bien diseñada arquitectura nuevas) Conferencias o “Investigación” presentaciones de Trabajo escolar más rutinaria la mayor parte de en el laboratorio o producción intelectual los libros de texto Aprendizaje Tablas de Aplicación de fórmulas Soluciones a Por repetición Multiplicar para resolver problemas rompecabezas por ensayo y error Aprendizaje Aprendizaje por Aprendizaje por por recepción descubrimiento guiado descubrimiento autónomo Fig.1.1 Tomada de Ausubel 1976. Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento se hallan en un continuo separado del aprendizaje por repetición y el aprendizaje significativo. Se considera importante mencionar que “el aprendizaje por recepción, si bien fenomenológicamente más sencillo que el aprendizaje por descubrimiento, surge parodójicamente ya muy avanzado el desarrollo, y, especialmente en sus formas verbales puras más logradas, implica un nivel mayor de madurez cognoscitiva” (Ausubel, 1976, p. 36). 2.4 Concepciones sobre las Matemáticas La concepción que sobre las matemáticas se tenga, es muy importante ya que se determina en gran medida para la manera en como el docente concibe su trabajo. Cuando un profesor está frente a un grupo de alumnos, se manifiestan las siguientes dimensiones: conocimientos, habilidades y actitudes. Ya sea de manera consciente o inconsciente. De acuerdo a Sánchez y Santos (1994), la enseñanza tradicional, se considera, en línea de descendencia de una concepción objetal de la matemática, como si estuviese conformada por objetos que pre-existen a la actividad del sujeto cognoscente. Y como resultado de esta concepción, la enseñanza se ha confundido con una presentación de objetos. Y por otro lado se menciona que en el constructivismo, el conocimiento producido es siempre contextual, el sujeto le otorga una serie de significaciones que van

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determinando conceptualmente al objeto, es decir no hay una recepción pasiva del conocimiento, sino una participación activa del alumno ya que esto constituye parte integral de su proceso educativo. Y para tratar de comprender el mundo de sus experiencias, se dice que las personas hacen uso de representaciones. Las representaciones, se basan en una función muy importante del sistema cognitivo que es la función simbólica. Por ejemplo, dado un problema se puede representar de diferentes maneras. Generalmente los profesores buscan de alguna manera que sus alumnos entiendan, sin embargo esto no es un trabajo fácil. Ya que la mayoría de los alumnos consideran que las matemáticas son difíciles de entender.

”Para entender las matemáticas los alumnos necesitan formar representaciones internas, mentales, de los conceptos matemáticos y formar conexiones entre ellas. Los alumnos también necesitan formar conexiones entre estas representaciones internas y las representaciones externas, tales como materiales concretos que incorporen los conceptos matemáticos abstractos. Así mismo, necesitan formar conexiones entre las representaciones y los símbolos usados para denotar conceptos” (Hiebert y Carpenter, 1992, en Flores Peñafiel, 1994. p.79)

De acuerdo con Flores Peñafiel (1994), la manera para poder lograr que los alumnos entiendan matemáticas, no basta solo con una actitud pasiva del alumno sino que debe tener una actitud activa. También hace mención que la comunicación es muy importante para saber si el alumno ha logrado la comprensión de los conceptos y principios matemáticos. Es decir, la comprensión de un alumno se desarrolla al comunicar ideas en formación, así como tratar de entender las explicaciones de sus compañeros. Otro aspecto importante que señala para aprender matemáticas, es la reflexión sobre lo que hacen, es decir, el profesor no debe quedarse con la simple satisfacción si sus alumnos muestran entusiasmo al momento de realizar las actividades asignadas, sino que debe propiciar y lograr la reflexión por parte de los alumnos. Así los tres elementos acción, comunicación y reflexión son esenciales para entender las matemáticas y al mismo tiempo los tres contribuyen en la formación de un sistema de creencias y actitudes positivas con respecto a las matemáticas y lo que significa aprender matemáticas. Se pueden utilizar materiales concretos para desarrollar conceptos geométricos que puedan rotarse y moverse, esto permite a los alumnos evitar la formación de conceptos erróneos. También las representaciones concretas pueden ayudar a los alumnos de nivel medio a tener una mejor comprensión, por ejemplo, la representación de una expresión algebraica por medio de cuadrados y rectángulos. Así los objetos concretos ayudan al maestro a crear un ambiente propicio de aprendizaje, mientras que la manipulación de objetos para establecer relaciones entre conceptos matemáticos es más fácil y menos amenazador para la mayoría de los alumnos que el uso exclusivo de símbolos. Estas actividades permiten al alumno

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ver que las matemáticas no son sólo una serie de conocimientos generados por expertos y transmitidos por el profesor para ser recibidos por los alumnos. Al contrario, los alumnos pueden formarse la idea de que la matemática es un campo dinámico en constante expresión. Además “La participación de los niños en situaciones conflictivas tales como las discusiones, propicia el desarrollo de habilidades de toma de perspectiva, generando el crecimiento cognitivo” (Piaget 1932, en Flores Peñafiel, 1994, p.84). Materiales Didácticos El profesor desempeña un papel muy importante en el proceso de enseñanza-aprendizaje, los Principios y Estandares de Educación Matemática, NCTM, 2000 señala que, para que la enseñanza sea eficaz se requiere que los profesores favorezcan y fomenten un ambiente propicio para aprender a través de las decisiones que toman, las conversaciones que fomentan y el marco físico que crean. Las acciones del profesor animan al alumno a pensar, preguntar, resolver problemas y discutir sus ideas, estrategias y soluciones. Se considera que una de las medidas para el mejoramiento del aprendizaje consiste en los materiales didácticos, al respecto Ausubel, 1976 afirma que “Los factores más importantes que influyen en el valor de aprendizaje de los materiales didácticos radican en el grado en que estos materiales facilitan el aprendizaje significativo”. Además las estrategias de aprendizaje que se llevan a cabo en el salón de clases junto con el uso de materiales didácticos, apoyan la promoción de cambios conceptuales para que el aprendizaje sea significativo. Por lo tanto “Los objetivos de aprendizaje deben especificarse de tal manera que para el estudiante resulten evidentes los conceptos o principios que deben aprenderse, formulados en un lenguaje que facilite, por medio de ellos, el reconocimiento de los vínculos que existen entre lo que los alumnos ya saben y los conceptos o principios nuevos que deben aprender” (Ausubel, 1976, p.308). Con base a la información antes mencionada, los materiales didácticos deben ser elaborados de tal manera que los conceptos sean claros, las actividades sean interesantes y de una manera flexible, esto con la intención de que el aprendizaje sea agradable y significativo, ya que el uso de estos materiales ayuda a los alumnos a construir y reafirmar los conceptos que se desea que aprendan.

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CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO El presente trabajo muestra un análisis realizado a un grupo de 25 alumnos de primer semestre, en donde se recolectaron datos. Este trabajo se basa en una prueba sobre los contenidos del tema de ecuaciones de segundo grado correspondiente a matemáticas I, y se aplicó en la modalidad de pre test post test. El estudio se llevo a cabo en el Colegio de Ciencias y Humanidades plantel Azcapotzalco. Este trabajo fue realizado en dos fases: La primera fase consistió en la aplicación del instrumento diagnóstico (un examen que considerara los contenidos de la unidad) al inicio de la unidad, es decir, antes de aplicar el material didáctico. La segunda fase consistió en la aplicación del instrumento diagnóstico una vez que los alumnos ya habían trabajado con el material didáctico, es decir, al final de la unidad. El instrumento diagnóstico tuvo como finalidad evaluar el desempeño de los alumnos a lo largo de la unidad, así como conocer cuales son los conceptos que han sido significativos en el aprendizaje de los alumnos. 3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo

• Se elaboró un examen diagnóstico con un total de 15 reactivos (Anexo 1), con el cual se pretende identificar las deficiencias en los aprendizajes, así como conocer los antecedentes de los alumnos en cuanto al tema de ecuaciones de segundo grado.

• Se elaboró un cuestionario para los profesores, en el cual se informa la manera en como trabajan con los alumnos, el tema de ecuaciones de segundo grado (Anexo 4).

• Se elaboró un material didáctico sobre el tema de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado, con actividades de enseñanza aprendizaje, con la finalidad de mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje.

• Se elaboró una descripción sobre el desarrollo de la enseñanza de los productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado (material didáctico).

3.2 Descripción del instrumento diagnóstico El instrumento diagnóstico (examen) (Anexo1), se elaboró a partir de revisar el programa de estudios actualizado (PER) de la asignatura de Matemáticas I. De acuerdo a los temas de la unidad 5 se desarrollaron las preguntas, así mismo se tomaron algunos temas de la unidades anteriores, como ecuaciones lineales, funciones lineales, algunas operaciones con polinomios. También se desarrollaron preguntas sobre el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos (conocimientos previos), ya que se considera que son elementos básicos para poder conducirlos a la obtención de las reglas de los productos notables. También se elaboró una tabla de especificaciones (ver Tabla 1) donde se mencionan los contenidos de aprendizajes, así como el nivel taxonómico de la pregunta, esto nos ayuda a balancear los contenidos del examen. Tomado de la Taxonomía LMNSA (Matemáticas).

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Tabla 1. Tabla de Especificaciones

Contenidos de Aprendizajes Nivel Taxonómico Pregunta Inciso de la Pregunta

Cálculo de áreas Representación algebraica de áreas conocidas

Nivel de conocimiento 1

1 a) 1 b) 1 c) 1 d)

Desarrollo de Productos Notables: Factorización Binomio al cuadrado Binomios conjugados

Nivel algorítmico 2 2 a) 2 b) 2 c)

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Nivel de conocimiento 3 3

Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, por métodos algebraicos

Nivel algorítmico 4

4 a) 4 b) 4 c) 4 d) 4 e)

Operaciones con polinomios

Nivel algorítmico

5 6

5 6

Concepto de factorización

Nivel de comprensión 7 7

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas: Factorización de una ecuación cuadrática de la forma:

02 =++ cbxx

Nivel algorítmico 8 8

Resolución de una ecuación cuadrática de la forma:

02 =++ cbxax

Nivel algorítmico 9 10

9 10

Representación gráfica de una función lineal. Expresión de la forma:

bmxy +=

Nivel de comprensión 11 11

Representación de una función cuadrática. Expresión de la forma:

cbxaxy ++= 2

Nivel de comprensión 12 12

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Resolución de problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

Nivel de aplicación 13 14 15

13 14 15

Como se menciona anteriormente este instrumento diagnóstico se aplicó bajo la modalidad pre test post test, es decir, el mismo instrumento diagnóstico fue aplicado a los alumnos al inicio de la unidad, esto nos da una información muy valiosa ya que se puede explorar los conocimientos que traen los alumnos, una vez sabiendo esto, el profesor puede organizarse de una mejor manera para diseñar el ambiente de aprendizaje sobre todo en los temas que se tienen deficiencia. Al terminar el uso del material didáctico (Anexo 2), se les aplicó el mismo instrumento diagnóstico, esto con la finalidad de saber cuales son los conceptos que han sido significativos en el aprendizaje de los alumnos, y cuales tienen mayor dificultad. Se podrá hacer una comparación con el antes y después de haber aplicado el instrumento diagnóstico. Los resultados del instrumento diagnóstico se analizarán como respuestas correctas y respuestas incorrectas de manera individual. Así mismo se hará una comparación con el antes y despues de haber aplicado los examenes, y por último un análisis estadístico (prueba de hipótesis sobre diferencias de medias). 3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado. De acuerdo al programa de Matemáticas I, del Colegio de Ciencias y Humanidades referente a la unidad 5, se presenta de la siguiente manera: Matemáticas I. Unidad 5 Ecuaciones Cuadráticas. Propósitos: Profundizar, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones cuadráticas, en: el concepto mismo de ecuación, lo que significa que un número sea su solución, en la relación que existe entre grado de la ecuación y el número de soluciones. Mostrar el poder del Álgebra para encontrar tanto métodos alternos como generales de resolución.

Temática Aprendizajes Estrategias - Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

En relación con la actividad de resolución de problemas, el alumno: - Analizará las condiciones y relaciones que se establecen en el enunciado verbal de un problema y expresará las relaciones entre lo conocido y desconocido a través de

Con el propósito de que el alumno parta de lo que conoce, analice limitaciones de ello y explore nuevos caminos que lo lleven a que al final obtenga la formula general y aprecie sus ventajas, se recomienda la siguiente secuencia:

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- Resolución de ecuaciones cuadráticas de las formas:

02 =+ cax

dcax =+2

02 =+ bxax

( ) nmxa =+2

( )( ) 0=++ dcxbax

- Resolución de la ecuación cuadrática completa

02 =++ cbxax

a) Factorización b) Método de Completar Cuadrados c) Fórmula General - Análisis del discriminante

acb 42 −

a) El número i b) Raíces dobles c) Número y naturaleza de las ecuaciones de la ecuación

02 =++ cbxax

una ecuación algebraica de segundo grado - Reafirmara la estrategia general en la resolución de problemas de reducir un problema nuevo a otro que ya se sabe como resolver. - A partir del análisis del modelo algebraico de un problema, valorará el método algebraico de resolución que resulta más conveniente. Con relación a los conocimientos y destrezas propios del Tema, el alumno: - Utilizará los métodos siguientes para resolver una ecuación cuadrática: factorización, completar un trinomio cuadrado perfecto y uso de la fórmula general. - Transformará una ecuación cuadrática a la forma adecuada para su resolución por un método específico. - Identificará cuáles son los parámetros a , b y c , aún en ecuaciones “desordenadas” o incompletas y los sustituirá correctamente en la fórmula general. - Efectuará las operaciones indicadas al aplicar la fórmula general, de modo que llegue a obtener las dos soluciones correctas. - Sabrá que cuando en el radical se obtiene un número negativo, no existe ningún número real que satisfaga esta condición, por lo que se requiere entrar al terreno de otro tipo de números llamados complejos. - Calculará en valor del discriminante

acb 42 − para conocer la naturaleza

y el número de soluciones distintas. - Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que provienen.

- Enfrentar al estudiante a la solución de problemas que por su contexto o redacción lo lleven, con una alta probabilidad, a plantear ecuaciones de las siguientes formas:

dcax =+2 , ( ) nmx =±2

y

( ) nmxa =±2

de modo que con

la orientación del profesor puedan resolverlas por inversión de operaciones. - En alguno de los ejercicios con ecuaciones de la forma

( ) nmxa =±2

efectuar el

binomio al cuadrado y solicitar al estudiante que resuelva ahora la ecuación así escrita. - Plantear la revisión del método corto para elevar un binomio al cuadrado, así como la factorización del factor común y de un trinomio cuadrado perfecto. - Una vez trabajado con este método, apoyar al estudiante para que con actividades de generalización, llegue a la fórmula general de solución de una ecuación cuadrática. - En cuanto a la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de factorización, pueden ponerse los ejercicios en los que se tenga un producto de dos binomios igualado a cero y analizar cuándo esto es posible, haciendo notar que en cada caso la dificultad se reduce a resolver una ecuación lineal sencilla.

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En relación con actividades de generalización, el alumno: - Comprenderá cómo se obtiene la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Con base a la información antes mencionada, de acuerdo a mi criterio, considero agregar los temas de productos notables así como la factorización, esto con la finalidad de tener una mejor comprensión en la resolución de ecuaciones de segundo grado. Por lo que la propuesta didáctica consiste en una forma diferente de enseñar los productos notables bajo un enfoque geométrico, así como la factorización y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Además se pretende que el alumno logre desarrollar habilidad en las estrategias que debe seguir para resolver problemas específicos.

Temática Aprendizajes Estrategias

- Productos notables

Caso I. ( )2ba +

Caso II. ( )2ba −

Caso III. ( )( )baba +−

- Factorización Factorización de factores comunes. Factorización de trinomios: Trinomios de la forma

cbxx ++2 donde 0≠b ,

0≠c Trinomios de la forma

cbxax ++2 donde 1≠a ,

0≠b y 0≠c

- Se pretende que el alumno tenga una mejor comprensión de los productos notables. - Repasar algunas técnicas de factorización, las cuales serán empleadas en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Estas expresiones facilitan la resolución de diversos problemas: - Por medio de un enfoque geométrico ya que desempeñan un papel muy importante en los cálculos algebraicos. - Cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos. Estas actividades conducirán a los alumnos, a la obtención de las reglas de los productos notables. - En cuanto al tema de factorización, darles significado a los algoritmos de las operaciones, reforzando los métodos de factorización, - Se requiere suficientes actividades, para que el alumno ya no presente dificultades en el proceso de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Por lo tanto de acuerdo a lo señalado arriba y tomando en cuenta las sugerencias del programa de Matemáticas I, se elaboró el material didáctico (ver anexo 2). Más adelante se describe el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje.

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Evaluación La evaluación es una parte fundamental del proceso enseñanza-aprendizaje. Se considera como un proceso muy complejo, que abarca todo el acontecer del trabajo de un grupo escolar. La evaluación educativa “es una reflexión crítica sobre todo los factores que intervienen en el proceso didáctico, a fin de determinar cuáles pueden ser, están siendo o han sido los resultados del aprendizaje” (Carlos Rosales en Amengual, 1984, p.150). La evaluación se debe hacer con base a los objetivos que se han establecido, es decir, qué es lo que esperamos que los alumnos hayan aprendido y si alcanzaron estos objetivos, para esto desde el inicio del curso se observa a los alumnos como trabajan durante la clase, formular preguntas de los temas que se han visto, que los alumnos planteen sus dudas, hacer ejercicios en clase, tareas, exámenes orales, exámenes escritos, realicen mapas conceptuales, exposiciones, etc. Por lo que la evaluación se hace durante todo el curso, es decir es un proceso continuo y además reflexiva. De acuerdo a Lafourcade, la evaluación constituye una actividad que permitirá al docente:

a) Saber cuáles objetivos fueron cumplidos a través del ciclo didáctico proyectado. b) Intentar un análisis de las causas que pudieron haber motivado deficiencias en el

logro de las metas propuestas. c) Adoptar una decisión en relación a la causal que concurrió al logro parcial de los

objetivos previstos. d) Aprender de la experiencia y no incurrir, en el futuro, en los mismos errores.

Con base a la información antes mencionada se considera que la comprobación de los resultados de los aprendizajes lleva implícita una evaluación de todos los factores que contribuyeron a su realización. Para la propuesta didáctica se sugieren tres tipos de evaluación, las cuales se mencionan a continuación: Evaluación Diagnóstica Este tipo de evaluación se realiza previamente al desarrollo del proceso educativo, cualquiera que éste sea. Como resultado de la aplicación de instrumentos para la realización de esta interpretación de la evaluación diagnóstica, pueden obtenerse dos tipos de resultados: 1. Los que manifiestan que los alumnos son cognitivamente competentes y pueden, en consecuencia, ingresar sin ningún problema al curso correspondiente. 2. Aquellos otros en donde los alumnos demuestren no poseer las aptitudes cognitivas mínimas necesarias para abordar con éxito el curso, para lo cual se suelen a su vez tomar dos tipos de medidas:

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a) Modificar la programación impuesta en la medida que sea posible para que haya una mejor adecuación entre capacidad cognitiva y el programa escolar.

b) Que los alumnos participen en algún curso preliminar de carácter propedéutico o remedial, o que se les excluya del ingreso al ciclo educativo.

La segunda interpretación de la evaluación diagnóstica inicial, tiene importantes implicaciones pedagógicas. Dicha interpretación parte de la idea clásica de Ausubel (Ausubel, Novak y Hanesian, 1983) referida a la importancia de valorar los esquemas cognitivos de los alumnos a favor del logro de aprendizajes significativos. Hay que tomar en cuenta que los conocimientos previos que registren los alumnos al inicio de un ciclo, pueden asumir las siguientes tres formas distintas: 1. Conocimientos previos alternativos (“mi-concepción”, Carretero, 1993). 2. Conocimientos previos desorganizados y/o parcialmente relacionados con los nuevos que habrá de aprenderse. 3. Conocimientos previos pertinentes. Los tres tipos de conocimiento previo exigen estrategias didácticas distintas, y de cualquier manera es necesario que el profesor los identifique de alguna manera, para ayudarle al alumno a construir sobre ellos o con ellos los contenidos escolares. Por lo tanto diversas técnicas o procedimientos simples y complejos pueden utilizarse para efectuar la evaluación diagnóstica. Evaluación Formativa Esta forma de evaluación se realiza conjuntamente con el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que debe considerarse, más que las otras, como un proceso regulador, del proceso educativo. De acuerdo a Morán Oviedo, 2008, la evaluación del aprendizaje se conceptualiza como un proceso sistemático de valoración e interpretación de avances, logros y dificultades que se producen en el aprendizaje de los alumnos. Teniendo como finalidad orientar y mejorar su rendimiento, la labor del profesor en el proceso de enseñanza-aprendizaje, el currículum y el contexto, para brindar ayuda y asegurar la formación integral de los alumnos. Características de la evaluación formativa:

• Aplicarse a través de la realización del propio proceso didáctico, a lo largo del mismo.

• Su finalidad principal estriba en el perfeccionamiento del proceso didáctico en un momento en que todavía puede producirse.

• Trata de detectar el nivel de aprovechamiento del alumno en cada habilidad del aprendizaje y los tipos de errores que se dan en el mismo.

• Constituye una constatación permanente del nivel de aprendizaje de cada alumno en cada bloque temático o tema de trabajo, y que se puede realizar mediante distintos instrumentos o técnicas de evaluación.

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Además debe verse continuada mediante un adecuado tratamiento metodológico, que consistirá fundamentalmente en la presentación al alumno de la oportunidad de elección de vías alternativas de aprendizaje. Por lo tanto se considera que la evaluación de los aprendizajes es un proceso de análisis y reflexión de la práctica pedagógica, ya que permite al docente construir estrategias adecuadas y a los alumnos reflexionar sobre sus aprendizajes, sus obstáculos, sus errores, sus estrategias para aprender, así como autoevaluarse. Evaluación Sumativa La evaluación sumativa es la que se realiza al término de un proceso o ciclo educativo, por lo que está centrada en el producto final. Su finalidad consiste en certificar el grado en que las intenciones educativas han sido alcanzadas. A través de la evaluación sumativa el docente puede tener la certeza si los aprendizajes estipulados en las intenciones educativas fueron cumplidos según los criterios y las condiciones expresadas en ellas. Pero especialmente este tipo de evaluación, proporciona información que alcanzará conclusiones importantes sobre el grado de éxito y eficacia de la experiencia educativa global. Por su propia naturaleza, la evaluación sumativa atiende principalmente a los productos del aprendizaje como consecuencia del proceso de enseñanza global. 3.4 Características de la población Las edades de los alumnos de estas cuatro generaciones según datos estadísticos (Ingreso Estudiantil al CCH, 2002-2005) se ubican mayoritariamente en el rango de 15 años, es decir, resalta un porcentaje importante de alumnos menores de 15 años, que se ha ido incrementando en los últimos cuatro años. Una tercera parte de los estudiantes entra al CCH con 14 años o menos, sumados a quienes han completado los 15 años, es decir, los alumnos que ingresan al ciclo de bachillerato son muy jóvenes, lo cual requiere de atención, de supervisión permanente por parte de los padres en sus actividades escolares. Ya que estos se encuentran en una etapa formativa tanto en lo referente a su desarrollo físico como emocional. Así “La orientación hacia una educación interaccional, exige colaboración entre la escuela y la familia, a fin de evitar consecuencias desequilibradoras para los educandos y problemas de deficiencia y retrasos en el aprendizaje”, “El educador, por lo mismo deberá estar atento al ritmo de aprendizaje de cada alumno y, en especial, a su edad psicológica y afectiva”. (Fernandes, 1991, p.84). Es necesario que se establezca una buena interacción alumno-profesor, libertad interior, armonía afectiva, esto llevará a que los alumnos tengan un mejor aprovechamiento en su aprendizaje.

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3.5 Desarrollo de la enseñanza A continuación se describe el desarrollo de la enseñanza, la aplicación del material didáctico (Anexo 2). Cabe aclarar que la práctica docente esta influida por varios factores como menciona Díaz Barriga Frida, entre los que destacan:

• La trayectoria de vida del profesor. • El contexto socioeducativo en el que se desenvuelva. • El proyecto currícular en el que se ubique. • Las opciones pedagógicas que conozca o le exijan. • Las condiciones de la Institución.

Se puede hacer mención que la variable principal es el profesor, así se deberá conocer cuales son los conocimientos previos de los alumnos, que son capaces de aprender en un momento dado, observar su estilo de aprendizaje, sus hábitos de trabajo, sus actitudes. “Enseñar no es sólo proporcionar información, sino ayudar a aprender” (Maruny, 1989, en Díaz Barriga, 2002, p.2). A continuación, se muestra en la tabla 2, el desarrollo de las sesiones que se llevaron a cabo. Tabla 2. Desarrollo de las sesiones

No. de clase

No. de Sesión Tema Tiempo (Horas)

Clase 1

Aplicación del examen

diagnóstico 2 horas

Clase 2 Sesión 1 Productos notables 2 horas Clase 3 Sesión 1 Productos notables 1 hora

Clase 4 Sesión 1 y Sesión 2

Productos notables y factorización

2 horas

Clase 5 Sesión 2 factorización 2 horas

Clase 6 Sesión 3 y Sesión 4

Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

2 horas

Clase 7 Sesión 5 Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

2 horas

Clase 8 Sesión 5 y Sesión 6

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Análisis del discriminante

2 horas

Clase 9 Sesión 7 Proceso inverso 1 hora Clase 10 Resolución de problemas 2 horas

Clase 11 Aplicación del examen

diagnóstico 2 horas

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Clase1. (2 Horas) En esta sesión se inicia la aplicación de material didáctico (Anexo 2) que elaboré, a un grupo formado por 25 alumnos, correspondiente a Matemáticas I del primer semestre del Colegio de Ciencias y Humanidades. Considero importante iniciar el tema, aplicando a los alumnos un examen diagnóstico (instrumento diagnóstico) con lo cual se pretende saber con que conocimientos cuentan los alumnos al momento de iniciar el tema, de tal forma que se conozcan los antecedentes necesarios de los alumnos, así como poder identificar las deficiencias en los aprendizajes. Cabe aclarar que estas deficiencias en los aprendizajes se irán retomando y manejando en diferentes niveles a lo largo del desarrollo del tema. También se hizo mención en como se va a llevar a cabo la evaluación sobre este nuevo tema ya que se le harían algunas modificaciones, por una parte el trabajo en equipo sería más fuerte, por otra parte el trabajo individual disminuirá, habrá trabajo grupal. Por lo tanto, para la evaluación final se tomará en cuenta: trabajo en equipo, tareas individuales, trabajo extra-clase y un examen. Clase 2. (2 Horas) Sesión 1 Productos notables (ver Anexo 2) Objetivo: En esta sección 1 se pretende que los alumnos tengan una mejor comprensión de los productos notables por medio de un enfoque geométrico ya que desempeñan un papel muy importante en los cálculos algebraicos, además el manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas. Desarrollo: Inicié el tema con el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, el cual de alguna manera los alumnos están familiarizados con el tema, así que se hizo una revisión acerca del área de un cuadrado y de un rectángulo (Actividad 1). Se mostraron varias figuras (Actividad 2) (cuadrados y rectángulos) con esta actividad los alumnos encontraron el área de cada figura y posteriormente encontraron el área total de todas las figuras. Cabe aclarar que las dimensiones de las figuras están indicadas con números. Luego se mostraron figuras (Actividad 3) (cuadrados y rectángulos) donde sus dimensiones estaban combinadas, es decir se indican con números y letras, de igual manera habría que encontrar las áreas por separado y luego el área total de las figuras. Posteriormente se realizaron las actividades 4 y 5 modificando el ejercicio anterior, es decir, ahora dado un cuadrado al cual se le incrementa la longitud del lado, los alumnos calcularon el área del nuevo cuadrado. Cabe aclarar que estas actividades me conducirán a la obtención de las reglas de los productos notables. Por último se trabajaron las actividades 6 y 7 (ver sección 1)

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Las actividades mencionadas anteriormente se trabajaron primero de manera individual, luego de manera grupal y posteriormente algunos alumnos pasaron al pizarrón a resolverlo y entre todos se verificaron las respuestas. Algunos alumnos no tuvieron claro cómo calcular el área puesto que se confundieron con el perímetro. Así durante el transcurso de las actividades se fueron aclarando y resolviendo dudas expuestas por los alumnos. Se les dejó la siguiente tarea: De la actividad 3, hacer los ejercicios b) y c), y los ejercicios en los cuales primero tienen que desarrollar los cuadrados al binomio y luego completar el desarrollo de los cuadrados al binomio. Clase 3. (1 Hora) Comencé la clase revisando y recogiendo las tareas y pregunte a los alumnos si había dudas de los temas que se trabajaron la clase anterior. Mientras revisaba la tarea, los alumnos realizaron las actividades 8 y 9. Aclare algunas dudas y quienes estaban mal en su tarea les dije que la volvieran a hacer y la entregaran para la siguiente clase. Las actividades se hicieron por parejas, una vez terminadas las actividades se intercambiaron el material para revisarlas y a un lado tenían que poner la respuesta correcta en caso de que no la tuvieran, al final contaban el número de aciertos y sobre eso se les ponía una calificación, para esto los alumnos pasaron al pizarrón. Esta estrategia me pareció muy interesante porque los mismos alumnos se corregían entre si y además pudieron observar sus propios errores. El profesor simplemente los orientaba. Por último se les dejó la tarea, la actividad 10, y algunos ejercicios donde tenían que elaborar el producto de binomios conjugados y otros ejercicios sobre el proceso inverso. Y como tarea extraclase se les dejo que elaboraran un resumen de la sección 1. Clase 4. (2 Horas) En la primera hora de clase comencé revisando la tarea, igualmente se intercambiaron el material para que ellos mismos se calificaran, los alumnos pasaron al pizarrón a resolver los ejercicios, tuvieron algunas dudas en el desarrollo de la expresión ( )( )baba +− (Actividad 10) al momento de calcular el área. En los ejercicios sobre el producto de binomios conjugados los alumnos tuvieron algunas fallas, éstas fueron al momento de aplicar las leyes de los exponentes en la multiplicación, por lo que les hice énfasis sobre esto. Pero en general los alumnos resolvieron bien la tarea. En la otra hora de clase, se comenzó con el tema factorización (1 hora) Sesión 2. Factorización (ver Anexo 2) Objetivo: Repasar algunas técnicas de factorización, así como darle significado a los algoritmos de las operaciones y reforzar los métodos de factorización, los cuales serán empleados más adelante en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

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Desarrollo: Con la actividad 1 se pretende inducir a los alumnos al teorema fundamental de la aritmética. Para esto se formaron 5 equipos en el grupo y los alumnos realizaron las actividades 1 y 2 después de cierto tiempo cada equipo entregó su trabajo en hojas. Al revisarlas sucedió que tuvieron mal el desarrollo de la factorización completa, traté de que ellos mismos vieran sus errores. Se hizo lo siguiente: ¿Cómo podemos descomponer el 36? Sus respuestas fueron variadas algunos dijeron que 4x9, 18x2, 6x6, 3x12, 1x36, luego tome cada combinación que me dijeron por ejemplo: les pregunte ¿el 4 como lo podemos descomponer? A lo que contestaron 2x2, ¿el 9 como lo podemos descomponer? Y así sucesivamente se hizo con las diferentes representaciones del número 36, hasta que se llego a la factorización completa. Y así, después de estarlos indagando, llegaron a la conclusión de que la factorización completa se representa como un producto de factores primos. Con la actividad 2 no hubo problema. Posteriormente realizaron la actividad 3, esta actividad se trabajó por parejas y de igual manera se intercambiaron el material para revisarlo y calificarlo según las respuestas correctas e incorrectas, para esto los alumnos pasaron al pizarrón. Todo el tiempo les aclare sus dudas. Por último se les dejó la tarea que realizaran las actividades 4, 5 y 6. La actividad 6 se les pidió para entregar. Clase 5. (2 horas) De igual manera comencé la clase preguntando si había dudas del tema anterior, luego pase a revisar la tarea, mientras los alumnos por parejas trabajaron las actividades 7 y 8. Después de cierto tiempo otra vez intercambiaron su material tratando de que no fueran los mismos compañeros que habían calificado la vez anterior. Y así se revisaron las actividades tanto de la tarea como las que se trabajaron en clase. Aclarando que de un lado se pondría la respuesta correcta en caso de que la hubieran contestado mal. Los alumnos daban sus respuestas y entre todos se verificaba si estaba bien o mal y por qué. Algunos alumnos tuvieron dudas, cuando se les preguntaba en la actividad 4 sobre qué podían concluir con los signos. Con la actividad 8 los alumnos se dieron cuenta que no todo trinomio es factorizable en el conjunto de los enteros, y así con la participación de ellos y la orientación del profesor se llego a la conclusión de que para estar seguro de lo

anterior utilizamos la expresión acb 42 − para determinar si es cuadrado perfecto, siendo

esto último es posible aplicar esta regla. De manera general puedo decir que los alumnos tuvieron una actitud positiva al realizar las actividades. Por último se les dejó la tarea, que desarrollaran la actividad 9 y también se les dejó tarea extraclase que hicieran un resumen de la sección 2 del tema de factorización. Se les pidió entregar estas tareas.

28

Clase 6. (2 Horas) Sesión 3 Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita (ver Anexo 2) La primera hora de la clase, la comencé al igual que las anteriores preguntando si había dudas del tema anterior y luego recogí las tareas. Hubieron algunas dudas sobre cómo factorizar algunas expresiones de la actividad 9, las cuales fueron aclaradas. Luego se les pidió a unos alumnos que leyeran en voz alta unos problemas, los cuales dieron lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita, en estos problemas sólo se plantearon las ecuaciones sin resolverlas. El problema 1 dio como resultado una

ecuación cuadrática incompleta de la forma 02 =+ cax , el problema 2 y 3 dieron como

resultado ecuaciones cuadráticas completas. Les comenté a los alumnos que existen métodos para solucionar o resolver estas ecuaciones las cuales abordaríamos más adelante. Así que la siguiente hora de clase comenzamos a estudiar las ecuaciones cuadráticas incompletas. Sesión 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas (ver Anexo2) Objetivo: Reconocer las ecuaciones cuadráticas incompletas, transformar una ecuación cuadrática de forma particular a la forma adecuada para su resolución por un método específico. Desarrollo: Se trabajó por parejas las actividades 1, 2 y 3, mientras pasaba por las filas para observar como trabajaban y también para resolver las dudas que se les presentaban, aunque hice énfasis en que en el material se les plantearon algunos ejemplos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Luego los alumnos empezaron a pasar al pizarrón para resolver las actividades, esto con la finalidad de que ellos mismos pudieran ver sus resultados. Se hicieron comentarios sobre este tipo de ecuaciones cuadráticas. Con la actividad 3 hubo algo de confusión sobre todo en la manera en cómo se resuelve este tipo de ecuación, aunque solo se trabajaron 2 ejercicios. Puedo mencionar de manera general que todavía presentaron dificultades para hacer los despejes. Por último se les dejó la tarea, la actividad 4. Clase 7 (2 horas)

Sesión 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02 =++ cbxax (ver

Anexo2) Objetivo: Utilizar diferentes métodos como son la factorización, completando cuadrados y la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática completa. Desarrollo: Comencé la clase una vez más preguntando dudas de la tarea y se las recogí. Algunos alumnos me comentaron que si les podía hacer un resumen de las ecuaciones cuadráticas incompletas, ya que aunque tenían el material según ellos les hacía falta que yo explicará un poco más, yo creo que esto pasó porque desde que se inicio con el material didáctico trate de no hacer mucho uso del pizarrón y la mayoría de las veces

29

ellos lo utilizaban y yo simplemente los orientaba. Pero me comentaron que les gustaba más que yo les explicará. Por lo tanto, con la participación de los alumnos y el profesor se hizo en el pizarrón un breve resumen de las ecuaciones cuadráticas incompletas. Después se pusieron a trabajar con las actividades 1, 2 esto se realizó en parejas, mientras yo pasaba por las filas para revisar lo que ellos hacían y también para resolver sus dudas. Después de un rato comenzamos a revisar el trabajo, para esto pasaron al pizarrón al azar. En las actividades 1 y 2 no se tuvieron problemas. La actividad 3 como eran ejercicios similares se les dejó de tarea para que reforzarán lo que se había visto.

Luego dada la ecuación 0782 =−+ xx se les pidió que la factorizaran y después de un

rato los alumnos observaron que no se podía factorizar, así entonces les comente que había que utilizar otro método para poder factorizarla, por lo que se emplearía el método de completar cuadrados. Así que se pusieron a trabajar con las actividades 4, 5, 6 y 7. En esta sección ya no se intercambiaron el material, ahora yo pasaba a firmar su trabajo conforme iban terminando, cabe aclarar que algunos alumnos no se apuraron a los cuales no les firmaba. Una vez que termine de pasar por las filas entonces empezamos a revisar el trabajo y con la participación de los alumnos se verificaron sus propias respuestas. Algunos alumnos se confundieron cuando se hace el cambio de notación por ejemplo, la

ecuación cuadrática 022 =−− xx en lugar de escribir x , se escribe otra letra y además

de manera desordenada. 8692 +−= aa .

Por último se les dejó la tarea, la actividad 8, que consistía en resolver ecuaciones cuadráticas, empleando el método de completando cuadrados. Y como tarea extraclase hacer un resumen de lo que se vio en clase. Clase 8. (2 Horas) Esta vez comencé haciendo preguntas sobre lo que ya habíamos visto en clase. Luego recogí las tareas y por parejas realizaron las actividades 9 y 10. Luego de un rato se revisaron las actividades, en general no hubo problemas graves con estos ejercicios, algunos alumnos se confundieron con los signos al momento de utilizar la fórmula general. Para esto pasaron algunos alumnos al pizarrón, luego a otros alumnos se le preguntaba si estaba correcto o no y por qué. Y así sucesivamente. De tal manera que todo el grupo participó. La actividad 11 consistía en ejercicios similares a las actividades anteriores por lo que se les dejó de tarea, esto con la finalidad de reforzar el tema que se había visto en clase.

Posteriormente se comenzó con la Sesión 6. Análisis del discriminante acb 42 − (ver

Anexo 2) Aquí se les pidió a los alumnos que leyeran con calma y resolvieran la actividad 1 de manera individual. Luego comenzaron las preguntas hacia los alumnos, ¿un número negativo tiene raíz cuadrada?, si esto pasa ¿cómo se resuelve el problema?

30

Así los alumnos se dieron cuenta que para que la raíz cuadrada de un número negativo tenga significado, se introduce una unidad llamada, unidad imaginaria denotada por i . Cabe aclarar que sólo se hizo mención de los números complejos de una manera breve ya que así lo menciona el programa de estudios de matemáticas I. Se pusieron algunos ejemplos de los números complejos. Después por parejas trabajaron las actividades 2 y 3, para la actividad 3 se les pidió que llevaran hojas milimétricas, esto con la finalidad de que tuvieran una mejor precisión al momento de dibujar las gráficas. Se revisaron las actividades, de manera general no hubo problemas. En la actividad 3 se graficaron las ecuaciones cuadráticas de la actividad 2, para esto pasaron al pizarrón. Luego pregunté a los alumnos ¿qué observan en las gráficas?, ¿en qué puntos la gráfica corta al eje x?, a lo que los alumnos observaron y contestaron. Por último se quedaron de tarea las actividades 4 y 5. Y como tarea extraclase se les dejó hacer un resumen de las ecuaciones cuadráticas. Clase 9. (1 hora) Sesión 7. Proceso Inverso (ver Anexo 2) Se inicio la clase revisando la tarea y resolviendo dudas, algunos alumnos tuvieron dudas al momento de hacer el despeje y como consecuencia de ello, graficaron mal, así que la duda fue aclarada. Y después de estar indagando a los alumnos, llegaron a la conclusión de que una ecuación de segundo grado representa gráficamente una parábola. Posteriormente se realizó la actividad 1 de la sección 7, el proceso inverso, se les preguntó: ¿Se podrá construir la ecuación cuadrática dada las dos raíces?, si es posible, ¿cómo se haría esto? Los alumnos dieron varias respuestas algunas de ellas fueron: las dos raíces que nos dan se debe sustituir en la ecuación, por lo que les pregunte ¿en cuál ecuación, si no hay? Acuérdense que se está buscando la ecuación cuadrática. Otros dijeron que se debía formar dos binomios, pero ¿cómo los escribimos? Se mencionaron diferentes formas no muy correctas, hasta que un alumno dijo como se tiene 4

1=x

52

−=x se supone que ya esta despejada la x, entonces se escribe así ( )( )54 +− xx , luego otro alumno dijo: ah! ahora se multiplican para obtener la ecuación cuadrática buscada. Así que después de estar indagando a los alumnos se llego a la ecuación

cuadrática buscada 0202 =−+ xx y así sucesivamente en forma grupal se trabajaron los

otros ejercicios similares a este. Por último se les dejó de tarea que estudiaran todo el material ya que lo habíamos terminado, y que para la siguiente clase se haría una breve revisión de todo lo que se había visto. Y los que tuvieran tareas pendientes las entregaran para la siguiente clase. Clase 10. (2 Horas) Al comenzar la clase pregunté a los alumnos que si tenían dudas de algún tema especifico. Había dudas sobre las gráficas anteriores por lo que se trabajaron algunos ejercicios similares.

31

Luego se les pidió a los alumnos que se regresaran a la sección 3 del material (ver Anexo 2) para que resolvieran los problemas que ahí se les habían planteado, por el método que ellos quisieran. Posteriormente se les dejaron unos problemas que originaban ecuaciones de segundo grado, los cuales los alumnos resolvieron. Por último se les dejó de tarea que estudiaran para el examen final. Clase 11. (2 Horas) Esta fue la última clase con los alumnos, así que después de haber trabajado con el material se les aplicó el examen (instrumento diagnóstico) este fue el mismo que se les aplicó al inicio de la unidad. De manera general hubo disposición por parte de los alumnos para llevar a cabo la aplicación del material didáctico. También se hicieron cortes al final de cada sesión, después de cierto número de sesiones y al término del curso, de esta manera se llevo a cabo un registro sobre las actividades y tareas realizadas (ver anexo 3). Esto se hizo con la finalidad de que los alumnos tuvieran un control sobre su propio desempeño durante el curso. Se hicieron comentarios, algunas observaciones y así hubo alumnos que tenían que trabajar más en clase. Es importante hacerles ver que también ellos son responsables de su aprendizaje, así que cuando se termino de aplicar el material, se les pidió a los alumnos que se autoevaluaran, es un ejercicio interesante porque esto lleva a los alumnos a que hagan una reflexión sobre su propio aprendizaje, si cumplieron o no con el trabajo en clase. Además con la realización de este trabajo los alumnos se percataron de lo importante que es el tema de factorización, algunos alumnos comentaron que este tema fue bueno y además motivante, por ejemplo primero se trabajaron con ejercicios fáciles de factorizar, poco a poco se les fue aumentando el grado de dificultad, hasta llegar con ejercicios donde la factorización ya no es inmediata por lo que algunos alumnos comentaron “no se puede factorizar”. Este tipo de ejercicios llevo a los alumnos a tener una discusión grupal teniendo como objetivo encontrar la factorización, considero que este tipo de ejercicios es una manera de que el alumno comprenda el método de completar cuadrados en la resolución de una ecuación cuadrática.

Cabe mencionar que durante el transcurso de las clases, se notó que algunos alumnos todavía presentan problemas con el manejo de la aritmética, así como hacer despejes, la manipulación de símbolos. Sin embargo se trató de hacer énfasis en estos temas. El estar en el salón de clases frente a los alumnos y al observarlos se obtiene una gran información con respecto a su comportamiento, a sus actitudes, la manera en que desarrollan las actividades asignadas, la manera en como se relacionan con sus compañeros y la forma que tienen de comunicarse, esto permite conocerlos un poco más, así que fue una experiencia agradable tanto para mí como para los alumnos.

32

CAPITULO IV. ANÁLISIS Y RESULTADOS 4.1 Primera aplicación del instrumento En esta primera fase se aplicó el instrumento diagnóstico (examen) a un total de 25 alumnos, antes de iniciar la unidad correspondiente al tema de ecuaciones de segundo grado, bajo la modalidad de PRE TEST, en el CCH Azcapotzalco. Resultados del instrumento diagnóstico (examen) aplicado al inicio del tema de ecuaciones de segundo grado, en el CCH Azcapotzalco. No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

1 6.2 6 2 11 6 16 3.1 21 5

2 1.6 7 1.6 12 5 17 2.9 22 7.2

3 2.7 8 5.2 13 4.5 18 5 23 2

4 5.8 9 1.8 14 7.2 19 5.6 24 5

5 5 10 5 15 2.9 20 2.5 25 5.2

Pre Test

No. de Pregunta

Respuesta Correcta

Respuesta Incorrecta

Resp. % Correcta

Resp. % Incorrecta

P1.A 16 9 64% 36%

P1.B 18 7 72% 28%

P1.C 14 11 56% 44%

P1.D 12 13 48% 52%

P2.A 5 20 20% 80%

P2.B 4 21 16% 84%

P2.C 10 15 40% 60%

P3 13 12 52% 48%

P4.A 24 1 96% 4%

P4.B 19 6 76% 24%

P4.C 5 20 20% 80%

P4.D 19 6 76% 24%

P4.E 0 25 0% 100%

P5 11 14 44% 56%

P6 10 15 40% 60%

P7 9 16 36% 64%

P8 8 17 32% 68%

P9 1 24 4% 96%

P10 0 25 0% 100%

P11 19 6 76% 24%

P12 13 12 52% 48%

P13 16 9 64% 36%

P14 17 8 68% 32%

P15 0 25 0% 100%

Total 263 337 44% 56%

33

Gráfica 1. Respuestas correctas e incorrectas en la primera aplicación del instrumento. Gráfica 1.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Resp. Correcta 263

Resp. Incorrecta 337

1

Se puede observar que en esta primera aplicación del instrumento diagnóstico, los resultados no fueron muy favorables, ya que como lo muestra la gráfica el porcentaje de respuestas correctas fue del 44% mientras que el porcentaje de respuestas incorrectas fue del 56%, por lo que más de la mitad del grupo contestó incorrectamente. 4.2 Segunda aplicación del instrumento En esta segunda fase se aplicó a los 25 alumnos el mismo instrumento diagnóstico (examen), después de haber visto el tema de ecuaciones de segundo grado. Bajo la modalidad POST TEST, en el CCH Azcapotzalco. Resultados del instrumento diagnóstico (examen) aplicado después de haber trabajado con el material didáctico, el tema de ecuaciones de segundo grado. No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

1 9.5 6 5.6 11 9.1 16 5.6 21 6.6

2 5.2 7 2.5 12 7.2 17 8.5 22 9.5

3 6.2 8 7.2 13 6.8 18 9.5 23 5.4

4 8.9 9 6.4 14 9.5 19 7.9 24 7.7

5 8.3 10 8.3 15 7.9 20 4.7 25 8.1

34

Post Test

Preguntas Respuesta Correcta

Respuesta Incorrecta

Resp. % Correcta

Resp. % Incorrecta

P1.A 25 0 100% 0%

P1.B 25 0 100% 0%

P1.C 24 1 96% 4%

P1.D 25 0 100% 0%

P2.A 19 6 76% 24%

P2.B 18 7 72% 28%

P2.C 21 4 84% 16%

P3 22 3 88% 12%

P4.A 25 0 100% 0%

P4.B 20 5 80% 20%

P4.C 16 9 64% 36%

P4.D 21 4 84% 16%

P4.E 6 19 24% 76%

P5 18 7 72% 28%

P6 18 7 72% 28%

P7 19 6 76% 24%

P8 18 7 72% 28%

P9 18 7 72% 28%

P10 11 14 44% 56%

P11 23 2 92% 8%

P12 20 5 80% 20%

P13 18 7 72% 28%

P14 16 9 64% 36%

P15 1 24 4% 96%

Total 447 153 74.5% 25.5%

Gráfica 2. Respuestas correctas e incorrectas en la segunda aplicación del instrumento. Gráfica 2.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Resp. Correcta 447

Resp. Incorrecta 153

1

35

En la gráfica 2, se puede ver claramente que en la segunda aplicación del instrumento diagnóstico (examen) fue favorable, ya que el número de respuestas correctas aumento, así del 44% subio al 74.5%, se concluye que más de la mitad de los alumnos contestaron correctamente. Se presenta la siguiente tabla 1, que contiene los resultados obtenidos del instrumento diagnóstico (examen) aplicado a los alumnos bajo la modalidad pre test post test. Tabla 1

No.de Alumno

Pre Test Post Test

1 6.2 9.5

2 1.6 5.2

3 2.7 6.2

4 5.8 8.9

5 5.0 8.3

6 2.0 5.6

7 1.6 2.5

8 5.2 7.2

9 1.8 6.4

10 5.0 8.3

11 6.0 9.1

12 5.0 7.2

13 4.5 6.8

14 7.2 9.5

15 2.9 7.9

16 3.1 5.6

17 2.9 8.5

18 5.0 9.5

19 5.6 7.9

20 2.5 4.7

21 5.0 6.6

22 7.2 9.5

23 2.0 5.4

24 5.0 7.7

25 5.2 8.1

Promedio 4.2 7.3

Como se puede observar en los resultados obtenidos, una vez que los alumnos trabajaron con el material didáctico, se concluye lo siguiente: Los resultados fueron mejores, se tuvo un avance en el promedio de las calificaciones, en la aplicación del pre test se obtuvo un promedio de 4.2, mientras que en la aplicación del post test el promedio del grupo fue de 7.3 En la siguiente gráfica 3, se puede visualizar de una manera más clara, el avance que tuvieron los alumnos sobre su rendimiento.

36

Gráfica 3.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pre Test

Post Test

En la gráfica 3 se muestra los resultados de las calificaciones del instrumento diagnóstico bajo la modalidad pre test post test, se puede ver claramente el avance que tuvieron los alumnos de manera individual. Así por ejemplo el alumno No. 3 tuvo en la primera aplicación una calificación de 2.7 mientras que en los resultados en el post test obtuvo 6.2 sin embargo revisando el registro de las actividades de evaluación y las tareas realizadas (ver anexo 3), se puede deducir que su desempeño en el salón de clases fue mejorando y esto se ve reflejado en sus calificaciones. Así de manera general se puede concluir que los resultados de los alumnos fueron satisfactorios.

37

4.3 Comparación con los resultados obtenidos en el Pre test Post test Los resultados del instrumento diagnóstico se analizaron pregunta por pregunta representándolas por medio de gráficas, así mismo se hizo una comparación con la aplicación de Pre test Post test. Las preguntas del instrumento diagnóstico se pueden consultar en el anexo 1. Gráficas de la pregunta 1:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 16 9

B 18 7

C 14 11

D 12 13

1 2

En la gráfica de la pregunta 1, en el Pre test se puede observar que en la pregunta 1A solo el 64% de los alumnos contestaron correctamente, la pregunta 1B el 72% contestó correctamente, la pregunta 1C el 56% contestó correctamente, mientras que con la pregunta 1D el 48% contestó correctamente, lo cual demuestra que no tienen un concepto claro del área.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 25 0

B 25 0

C 24 1

D 25 0

1 2

Sin embargo en la gráfica del Post test se puede observar que hubo un alto incremento en el porcentaje, las preguntas 1A, 1B y 1D el 100% de los alumnos la contestaron correctamente, mientras que la pregunta 1C el 96%. Por lo tanto, después de haber estudiado el material didáctico, los alumnos demostraron que tienen una mejor comprensión del tema.

38

Gráficas de la pregunta 2:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 5 20

B 4 21

C 10 15

1 2

En los resultados de la gráfica del Pre test, se puede observar que la pregunta 2A el 20% de los alumnos contestó correctamente, en la pregunta 2B sólo el 16% y en la pregunta 2C el 40%. Por lo que la mayoría de los alumnos presentó dificultades en el desarrollo de los productos notables.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 19 6

B 18 7

C 21 4

1 2

En la gráfica del Post test los resultados obtenidos muestran un avance, ya que en la pregunta 2A el 76% contestó correctamente, en la pregunta 2B el 72% y en la pregunta 2C el 84%. Por lo que se puede concluir que los alumnos tuvieron una mejor comprensión en el desarrollo de los productos notables, después de haber trabajado con el material didáctico.

39

Gráficas de la pregunta 3:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 13

Resp. Incorrectas 12

1

En la gráfica del Pre test se puede observar que casi la mitad de los alumnos, 48% se confunden, cuando se les pregunta cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado, además tenían que justificar su respuesta.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 22

Resp. Incorrectas 3

1

Sin embargo en la gráfica del Post test los resultados obtenidos muestran un avance, es decir el 88% de los alumnos contestó bien. Por lo tanto la mayoría de los alumnos saben identificar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

40

Gráficas de la pregunta 4:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 24 1

B 19 6

C 5 20

D 19 6

E 0 25

1 2

En las preguntas 4A y 4D se tenía que encontrar la solución de ecuaciones lineales con una incógnita, por los resultados obtenidos se puede deducir que la mayoría de los alumnos no presentan mayor dificultad para resolver este tipo de ejercicios. En la gráfica del Pre test la pregunta 4A el 96% de la población contestó correctamente, mientras que en la gráfica del Post test los resultados fueron del 100%; en la pregunta 4D el 76% había contestado bien y se incremento al 84%. En las preguntas 4B, 4C y 4E se tenía que encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas sencillas. Sin embargo en la pregunta 4B no hubo gran diferencia en ambas aplicaciones, ya que la mayoría de los alumnos demuestran que tienen una comprensión en el desarrollo algebraico.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas Resp. Incorrectas

A 25 0

B 20 5

C 16 9

D 21 4

E 6 19

1 2

En la pregunta 4C en la gráfica del Pre test se muestra que la mayoría de los alumnos tuvieron dificultades al resolver este tipo de ecuación cuadrática, ya que las soluciones de esta ecuación no daban números reales, por lo que se tenía que hacer uso de los números complejos.

41

Sin embargo en los resultados de la gráfica del Post test se tiene un alto incremento en el porcentaje del 20% al 64% de respuestas correctas del total de la población, por lo tanto, los alumnos mostraron que tienen una mejor comprensión del tema. En los resultados de la pregunta 4E en ambas gráficas se puede observar que se mantuvo casi igual, antes y después de la aplicación de los exámenes, se puede concluir que los alumnos siguen teniendo dificultad al realizar este tipo de desarrollo algebraico. Gráficas de la pregunta 5:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 11

Resp. Incorrectas 14

1

En la gráfica del Pre test se puede analizar que en la pregunta 5 la mayoría de los alumnos presentó dificultades para realizar operaciones con polinomios, por las respuestas que dieron los alumnos hay confusión con las leyes de los exponentes a pesar que este tema se ve en la primera unidad de matemáticas I.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 18

Resp. Incorrectas 7

1

Los resultados en la gráfica del Post test no son lo que se esperaba, se tiene un incremento en los porcentajes del 44% al 72%, es aceptable pero no suficiente, por lo que hay que hacer énfasis en este tipo de ejercicios.

42

Gráficas de la pregunta 6:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 10

Resp. Incorrectas 15

1

En la gráfica del Pre test la mayoría de los alumnos contestaron incorrectamente, a pesar de que era una de las preguntas más fáciles, se tenía que realizar el producto de un polinomio, tanto en la pregunta anterior como en esta se puede concluir que los alumnos presentan dificultades con la aritmética.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 18

Resp. Incorrectas 7

1

En la gráfica del Post test se muestra un incremento en el porcentaje de las respuestas correctas del 40% al 72%. Aunque se presenta un aumento en las respuestas correctas, es importante hacer énfasis en el desarrollo de estas expresiones, ya que se esperaba que el 100% de los alumnos contestaran bien.

43

Gráficas de la pregunta 7:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 9

Resp. Incorrectas 16

1

En la pregunta 7 de la gráfica en el Pre test el 64% de los alumnos contestaron incorrectamente por lo que es importante hacer énfasis sobre lo que significa factorizar, ya que es un tema básico en matemáticas I y matemáticas III.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 19

Resp. Incorrectas 6

1

En la gráfica del Post test se tuvo un incremento alto, el 76% de la población contestó correctamente. La respuesta que dieron los alumnos en esta pregunta demuestra que la mayoría tiene una mejor comprensión del tema. Ya que con sus propias palabras describieron lo que para ellos significa factorizar.

44

Gráficas de la pregunta 8:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 8

Resp. Incorrectas 17

1

En la pregunta 8, se les pidió factorizar una ecuación de segundo grado, como se puede observar en la gráfica del Pre test la mayoría de los alumnos la contestaron incorrectamente, el 68% y sólo el 32% contestaron bien.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 18

Resp. Incorrectas 7

1

En la gráfica del Post test se tiene un alto porcentaje de respuestas correctas, el 72% de los alumnos contestaron correctamente, por lo que se demuestra que la mayoría no presenta dificultad.

45

Gráficas de la pregunta 9:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 1

Resp. Incorrectas 24

1

En la pregunta 9 se tenía que encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, utilizando el método que ellos quisieran. Sin embargo solamente un alumno contestó correctamente, mientras que la mayoría tuvo dificultad para resolverla.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 18

Resp. Incorrectas 7

1

En la gráfica del Post test los resultados muestran que el 72% de los alumnos contestaron correctamente, por lo que se puede deducir, que la gran mayoría ya no tuvo dificultad en el desarrollo algebraico para la resolución de este tipo de ecuaciones.

46

Gráficas de la pregunta 10:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 0

Resp. Incorrectas 25

1

En esta pregunta el 100% contestó incorrectamente como lo demuestra la gráfica del Pre test. A diferencia de la pregunta anterior, se les aumentó el grado de dificultad, se tenía que encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado, la cual se les dió en forma desordenada y además con diferente notación.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 11

Resp. Incorrectas 14

1

En la gráfica del Post test se esperaba que hubiera un alto porcentaje de respuestas correctas, sin embargo los resultados no fueron favorables, ya que menos de la mitad de los alumnos el 44% contestaron correctamente, por lo que se puede concluir que todavía presentan dificultades para resolver este tipo de ecuaciones, por lo que hay que hacer énfasis en los parámetros de la ecuación y en la manipulación de símbolos.

47

Gráficas de la pregunta 11:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 19

Resp. Incorrectas 6

1

La mayoría de los alumnos, 76% contestaron correctamente, lo cual indica que no les causó gran dificultad, solamente el 24% la contestó incorrectamente.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 23

Resp. Incorrectas 2

1

En la gráfica del Post test se tuvo un incremento alto en el porcentaje de respuestas correctas, 92%. Por lo que demuestra que los alumnos saben identificar la gráfica de una

función lineal de la forma bmxy += .

48

Gráficas de la pregunta 12:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 13

Resp. Incorrectas 12

1

En esta pregunta la mitad de los alumnos 52% contestó correctamente, aunque la otra mitad no supo identificar la gráfica de una función de segundo grado, como lo demuestra la gráfica del Pre test.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 20

Resp. Incorrectas 5

1

En la gráfica del Post test los resultados fueron favorables, el 80% de los alumnos contestó correctamente, se puede decir de manera general que los alumnos saben identificar la gráfica de una función cuadrática. Con la pregunta anterior y esta se puede concluir que los alumnos saben identificar tanto la gráfica de una función lineal como la gráfica de una función cuadrática.

49

Gráficas de la pregunta 13:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 16

Resp. Incorrectas 9

1

En la pregunta 13 se les planteó un problema sencillo, en la gráfica del Pre test se puede ver que más de la mitad de los alumnos 64%, supieron plantear y resolver el problema, por lo que no les causó gran dificultad.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 18

Resp. Incorrectas 7

1

En la gráfica del Post test, se esperaba mejores resultados, mientras que en la primera aplicación del examen el 64% de alumnos contestó bien, en la segunda aplicación solo el 72% del total de alumnos contestó bien. Por lo tanto, hay que proponer problemas de aplicación. Cabe aclarar que en este material no se dio énfasis a la resolución de problemas.

50

Gráficas de la pregunta 14:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 17

Resp. Incorrectas 8

1

Los resultados en ambas aplicaciones del examen se mantuvieron casi igual, por lo que se puede deducir que a los alumnos se les sigue dificultando la resolución de problemas, por las respuestas que dieron se puede observar que se les hace difícil formular la ecuación que represente el problema para poder resolverlo.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 16

Resp. Incorrectas 9

1

Por lo tanto, hay que poner mayor atención en la resolución de problemas que den lugar a ecuaciones de segundo grado. Aunque cabe aclarar que en el material trabajado no se tomó como parte principal la resolución de problemas.

51

Gráficas de la pregunta 15:

Pre Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 0

Resp. Incorrectas 25

1

En la pregunta 15 se les planteó un problema, que da lugar a una ecuación de segundo grado con una incógnita resuelto, donde los alumnos tenían que revisarlo y decir si estaba bien resuelto o no, en caso de que no, tenían que encontrar el error. Pero como lo muestra la gráfica del Pre test esta pregunta se les dificultó ya que por las respuestas que dieron algunos alumnos, resulta que estaba mal planteado pero no supieron encontrar el error.

Post Test

0

5

10

15

20

25

Resp. Correctas 1

Resp. Incorrectas 24

1

En la segunda aplicación como lo muestra la gráfica, se puede observar que no hubo cambios, es decir, se mantuvo igual antes y después, los resultados obtenidos se puede deber que a los alumnos se les dificulta la resolución de problemas, también puede ser que no se plantearon los ejercicios suficientes. Por lo tanto hay que hacer énfasis a la resolución de problemas que den lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Introducirlos poco a poco y a través de algunas técnicas lograr que haya una mejor comprensión.

52

4.4 Análisis Estadístico (Prueba de hipótesis sobre diferencias de medias) Con las calificaciones obtenidas en el instrumento diagnóstico (examen), que se les aplicó a un grupo de 25 alumnos, bajo la modalidad Pre Test Post Test, se presenta un análisis estadístico, el cual tiene como finalidad probar si hubo o no diferencia significativa entre los resultados obtenidos. TABLA (A): PRE TEST

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación

1 6.2 6 2 11 6 16 3.1 21 5

2 1.6 7 1.6 12 5 17 2.9 22 7.2

3 2.7 8 5.2 13 4.5 18 5 23 2

4 5.8 9 1.8 14 7.2 19 5.6 24 5

5 5 10 5 15 2.9 20 2.5 25 5.2

Promedio: 4.2 Desviación Estándar: 1.75997

TABLA (B): POST TEST

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación No.

Alumno Calificación

No. Alumno

Calificación

1 9.5 6 5.6 11 9.1 16 5.6 21 6.6

2 5.2 7 2.5 12 7.2 17 8.5 22 9.5

3 6.2 8 7.2 13 6.8 18 9.5 23 5.4

4 8.9 9 6.4 14 9.5 19 7.9 24 7.7

5 8.3 10 8.3 15 7.9 20 4.7 25 8.1

Promedio: 7.3 Desviación Estándar: 1.78528

En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla A) se obtuvo la media 2.41 =µ y

desviación estándar de 75997.11 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post

Test (ver tabla B) se obtuvo una media de 3.72 =µ y desviación estándar de

78528.12 =σ

De manera natural se presenta la siguiente interrogante: ¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio de las calificaciones obtenidas en los exámenes Pre Test Post Test? Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para

ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α y usando la

distribución de probabilidad t de Student.

53

A continuación planteamos las siguientes hipótesis:

210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios.

211 : µµ ≠H Sí hay una diferencia significativa entre los promedios.

Como la muestra es pequeña, para realizar todos los análisis utilizamos el siguiente estadístico:

N

XXt

2

21*

σ

−= donde

22

2

2

2

1

−

+=

N

NN σσσ y N es el total de la población

Sustituyendo los datos de la tabla A y B en la fórmula se obtienen lo siguiente:

8092239.148

)78528.1(25)75997.1(25 22

=+

=σ

Por lo tanto 8092239.1=σ

y 0579319.625/28092239.1

2.43.7* =−

=t

Por lo tanto 0579319.6*=t

Por otro lado si calculamos 2

1 α−t con 48 grados de libertad, es aproximadamente 2.684

(este resultado se obtuvo de la tabla t de Student y usando la interpolación).

Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que

0579319.6*=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se

acepta 1H .

Resultados del análisis: De acuerdo a los resultados obtenidos, se puede afirmar que sí hay diferencia significativa entre las medias de las calificaciones obtenidas en los exámenes. Esto prueba estadísticamente que los resultados de los examenes son mejores si primero se aplica el material didáctico a los alumnos, que si solamente se aplica el examen sin una enseñanza previa.

54

A continuación se presenta un análisis sobre los resultados obtenidos tabla 1, agrupando las preguntas por nivel taxonómico. Tabla 1. Tabla de Especificaciones

Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta Inciso de la pregunta

Cálculo de áreas Representación algebraica de áreas conocidas

Nivel de conocimiento 1

1 a) 1 b) 1 c) 1 d)

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Nivel de conocimiento 3 3

TABLA (C): PRE TEST

P1

No. de Alumno

A B C D P3 Total

1 1 1 1 1 0 4

2 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 1 1

4 1 1 1 1 0 4

5 1 0 0 0 0 1

6 0 0 1 0 1 2

7 1 0 0 0 0 1

8 1 1 0 1 1 4

9 0 0 0 0 0 0

10 1 1 0 1 1 4

11 1 1 1 1 1 5

12 1 1 1 0 1 4

13 0 1 1 1 1 4

14 1 1 1 1 1 5

15 0 1 1 0 1 3

16 0 1 0 1 0 2

17 0 0 0 0 1 1

18 1 1 1 0 0 3

19 1 1 1 1 0 4

20 1 1 0 0 0 2

21 1 1 1 0 0 3

22 1 1 1 1 0 4

23 1 1 0 0 1 3

24 0 1 1 1 1 4

25 1 1 1 1 1 5

Total de respuestas correctas 16 18 14 12 13

Total de respuestas incorrectas 9 7 11 13 12

Promedio: 2.92 Desviación Estándar: 1.55241

55

Nota: 1 = Está bien 0 = Está mal TABLA (D): POST TEST

P1 No. de Alumno A B C D

P3 Total

1 1 1 1 1 1 5

2 1 1 1 1 0 4

3 1 1 1 1 1 5

4 1 1 1 1 1 5

5 1 1 1 1 1 5

6 1 1 1 1 1 5

7 1 1 0 1 1 4

8 1 1 1 1 1 5

9 1 1 1 1 0 4

10 1 1 1 1 1 5

11 1 1 1 1 1 5

12 1 1 1 1 1 5

13 1 1 1 1 1 5

14 1 1 1 1 1 5

15 1 1 1 1 1 5

16 1 1 1 1 1 5

17 1 1 1 1 1 5

18 1 1 1 1 1 5

19 1 1 1 1 1 5

20 1 1 1 1 1 5

21 1 1 1 1 0 4

22 1 1 1 1 1 5

23 1 1 1 1 1 5

24 1 1 1 1 1 5

25 1 1 1 1 1 5

Total de respuestas correctas 25 25 24 25 22

Total de respuestas incorrectas 0 0 1 0 3

Promedio: 4.84 Desviación Estándar: 0.37416

En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla C) se obtuvo la media de 92.21 =µ y

desviación estándar de 55241.11 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post

Test (ver tabla D) mostraron una media de 84.42 =µ y una desviación estándar de

37416.02 =σ .

¿Existe una diferencia significativa entre el promedio de respuestas correctas entre los exámenes Pre Test Post Test?

56

Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para

ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α

A continuación planteamos las siguientes hipótesis:

210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios de respuestas correctas.

211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios de respuestas correctas.

Se procede como el caso anterior, sustituyendo directamente los datos de la tabla C y D

en la fórmula, se obtienen 890324.5*=t y 1524368.1=σ

Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que

890324.5*=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se

acepta 1H .

Resultados del análisis: Se concluye, que sí hay una diferencia significativa entre las medias de las respuestas correctas, referentes a las preguntas del nivel de conocimiento. Por lo tanto el nivel de conocimientos de los alumnos es significativamente mayor después de haber aplicado el material didáctico. Tabla 2. Tabla de Especificaciones

Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta Inciso de la pregunta

Desarrollo de productos notables: Factorización Binomio al cuadrado Binomios conjugados

Nivel algorítmico 2 2 a) 2 b) 2 c)

Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, por métodos algebraicos

Nivel algorítmico 4

4 a) 4 b) 4 c) 4 d) 4 e)

Operaciones con polinomios

Nivel algorítmico 5 6

5 6

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas: Factorización de una ecuación cuadrática de la forma:

02=++ cbxx

Nivel algorítmico 8 8

Resolución de una ecuación cuadrática de la forma:

02=++ cbxax

Nivel algorítmico 9 10

9 10

57

TABLA (E): PRE TEST P2 P4

No. de Alumno

A B C A B C D E P5 P6 P8 P9 P10 Total

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 6

2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2

3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2

4 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 6

5 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 7

6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

8 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 5

9 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3

10 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 5

11 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 7

12 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 6

13 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3

14 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 9

15 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3

16 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 4

17 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 4

18 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 6

19 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 6

20 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3

21 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 5

22 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 9

23 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

24 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 8

25 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4

Total de respuestas correctas

5 4 10 24 19 5 19 0 11 10 8 1 0

Total de respuestas incorrectas

20 21 15 1 6 20 6 25 14 15 17 24 25

Promedio: 4.64 Desviación Estándar: 2.37837

58

TABLA (F): POST TEST

P2 P4 No. de Alumno A B C A B C D E

P5 P6 P8 P9 P10 Total

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 6

3 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 7

4 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 12

5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 12

6 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5

7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

8 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 9

9 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 8

10 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 10

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 12

12 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11

13 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 7

14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

15 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 10

16 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 8

17 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 11

18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

19 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 10

20 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4

21 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 9

22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

23 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5

24 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 9

25 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 11

Total de respuestas correctas

19 18 21 25 20 16 21 6 18 18 18 18 11

Total de respuestas incorrectas

6 7 4 0 5 9 4 19 7 7 7 7 14

Promedio: 9.16 Desviación Estándar: 3.19739

En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla E) se obtuvo la media de 64.41 =µ y

desviación estándar de 37837.21 =σ . Por otra parte en la aplicación del Post Test (ver

tabla F) se obtuvo una media de 16.92 =µ y una desviación estándar de 19739.32 =σ .

¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio en la aplicación de los algoritmos en los exámenes Pre Test Post Test?

59

Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para

ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α

A continuación planteamos las siguientes hipótesis:

210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios del uso de los algoritmos.

211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios del uso de los algoritmos.

Se procede como el caso anterior, sustituyendo directamente los datos de la tabla E y F

en la fórmula, se obtienen 5567337.5*=t y 8759008.2=σ .

Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que

5567337.5*=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se

acepta 1H .

Resultados del análisis: Por lo tanto se concluye que sí hay una diferencia significativa entre las medias obtenidas en el uso de los algoritmos correspondientes a las preguntas de nivel algorítmico. Por lo que se deduce, el nivel algorítmico de los alumnos es significativamente mayor después de haber utilizado el material didáctico. Tabla 3. Tabla de Especificaciones

Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta Inciso de la pregunta

Concepto de factorización

Nivel de comprensión 7 7

Representación gráfica de una función lineal. Expresión de la forma:

bmxy +=

Nivel de comprensión 11 11

Representación de una función cuadrática. Expresión de la forma:

cbxaxy ++= 2

Nivel de comprensión 12 12

60

TABLA (G): PRE TEST TABLA (H): POST TEST

No. de Alumno

P7 P11 P12 Total

No. de Alumno

P7 P11 P12 Total

1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

2 0 0 1 1 2 0 1 1 2

3 0 1 1 2 3 1 1 1 3

4 0 1 1 2 4 1 1 1 3

5 1 1 0 2 5 1 1 0 2

6 0 0 1 1 6 1 1 1 3

7 1 1 0 2 7 0 1 0 1

8 1 1 0 2 8 1 1 1 3

9 0 1 0 1 9 0 1 1 2

10 1 0 1 2 10 1 1 1 3

11 0 1 0 1 11 1 1 1 3

12 0 1 1 2 12 0 1 0 1

13 1 1 0 2 13 1 1 1 3

14 0 1 1 2 14 1 1 1 3

15 1 0 0 1 15 1 0 1 2

16 0 0 1 1 16 0 0 1 1

17 0 1 0 1 17 1 1 1 3

18 1 1 0 2 18 1 1 1 3

19 0 1 1 2 19 1 1 1 3

20 0 1 0 1 20 1 1 1 3

21 0 1 1 2 21 1 1 0 2

22 1 1 1 3 22 1 1 1 3

23 0 1 0 1 23 0 1 1 2

24 0 0 0 0 24 1 1 1 3

25 0 1 1 2 25 1 1 0 2

Total de respuestas correctas

9 19 13

Total de respuestas correctas

19 23 20

Total de respuestas incorrectas

16 6 12

Total de respuestas incorrectas

6 2 5

Promedio: 1.64 Promedio: 2.48

Desviación Estándar: 0.7

Desviación Estándar: 0.71414

61

En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla G) se obtuvo una media de 64.11 =µ y

desviación estándar de 7.01 =σ . Por otra parte en la aplicación del Post Test (ver tabla

H) se obtuvo una media de 48.22 =µ y desviación estándar de 71414.02 =σ

¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio del nivel de compresión obtenida en los exámenes Pre Test Post Test? Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para

ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α

A continuación planteamos las siguientes hipótesis:

210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios del nivel de comprensión.

211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios del nivel de comprensión.

Sustituyendo los datos de la tabla G y H, en la fórmula se obtienen: 1151517.4*=t y

7216863.0=σ

Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que

1151517.4*=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se

acepta 1H .

Resultados del análisis: De acuerdo a los resultados obtenidos, sí hay una diferencia significativa entre las medias, con respecto a las preguntas del nivel de comprensión, después de haber aplicado el material didáctico. Por lo tanto el nivel de comprensión de los alumnos fue significativamente mayor.

62

Tabla 4. Tabla de Especificaciones

Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta Inciso de la pregunta

Resolución de problemas que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

Nivel de aplicación 13 14 15

13 14 15

TABLA (I): PRE TEST TABLA (J): POST TEST

No. de Alumno

P13 P14 P15 Total

No. de Alumno

P13 P14 P15 Total

1 1 1 0 2 1 1 1 0 2

2 1 0 0 1 2 0 1 0 1

3 1 1 0 2 3 0 0 0 0

4 1 1 0 2 4 1 1 0 2

5 1 1 0 2 5 1 0 0 1

6 0 1 0 1 6 1 1 0 2

7 0 0 0 0 7 0 0 0 0

8 1 1 0 2 8 1 0 0 1

9 0 1 0 1 9 1 1 0 2

10 1 0 0 1 10 1 1 0 2

11 1 1 0 2 11 1 1 0 2

12 0 0 0 0 12 0 1 0 1

13 1 1 0 2 13 1 1 0 2

14 1 1 0 2 14 1 1 0 2

15 0 0 0 0 15 1 1 0 2

16 0 1 0 1 16 0 0 0 0

17 1 1 0 2 17 1 1 0 2

18 1 0 0 1 18 1 1 0 2

19 1 1 0 2 19 1 0 0 1

20 0 0 0 0 20 0 0 0 0

21 1 1 0 2 21 0 0 1 1

22 1 1 0 2 22 1 1 0 2

23 0 1 0 1 23 1 0 0 1

24 0 0 0 0 24 1 1 0 2

25 1 1 0 2 25 1 1 0 2

Total de respuestas correctas

16 17 0

Total de respuestas correctas

18 16 1

Total de respuestas incorrectas

9 8 25

Total de respuestas incorrectas

7 9 24

Promedio: 1.32 Promedio: 1.4

Desviación Estándar: 0.80208

Desviación Estándar: 0.76376

63

En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla I) se obtuvo la media de 32.11 =µ y

desviación estándar de 80208.01 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post

Test (ver tabla J) se obtuvo una media de 4.12 =µ y desviación estándar de

76376.02 =σ .

¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio en la resolución de problemas obtenidas en los exámenes Pre Test Post Test? Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para

ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α .

A continuación planteamos las siguientes hipótesis:

210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios.

211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios.

Sustituyendo los datos de la tabla I y J se obtienen: 3538614.0*=t y 7993036.0=σ .

Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que

3538614.0*=t esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− , por lo que se acepta 0H .

Resultados del análisis: Por lo tanto, se puede observar que no hay una diferencia significativa entre las medias de las calificaciones obtenidas en la resolución de problemas. Se puede deducir, por los resultados obtenidos que los alumnos aún después de haber utilizado el material didáctico todavía presentan dificultades en la resolución de problemas.

64

CONCLUSIONES

Con base a los resultados obtenidos en este trabajo se menciona lo siguiente: Me parece importante resaltar que el ambiente del trabajo que se vivió dentro del salón de clases fue armonioso, ya que la relación alumno – profesor, trajo consigo una excelente retroalimentación y una buena interacción, esto nos permitió comprender una vez más que debemos romper las barreras que de alguna manera todavía se tienen en el salón de clases tradicional, por lo que considero que se debe dejar a un lado la rigidez y el autoritarismo, es decir enseñar las matemáticas de una manera flexible y pedagógica para tener una educación de calidad. Otro aspecto importante que me llamó la atención es con respecto a las actividades de enseñanza – aprendizaje, especificamente en el tema relacionado con los productos notables, ya que este fue uno de los que más les gustó a los alumnos por que se buscó la manera de hacer una vinculación entre el álgebra y la geometría, ya que por lo general solo se enseña el procedimiento algebraico y no se complementa su enseñanza con una representación geométrica, así, de esta manera, con los resultados obtenidos se observó que esto ayuda al alumno a comprender mejor las reglas de los productos notables. Por lo tanto desde mi punto de vista considero conveniente de ser posible, buscar ejercicios en los cuales a parte de dar una solución algebraica, permita al alumno visualizar el problema a través de algunas figuras geométricas. Además después de estudiar algunos métodos de factorización, así como la fórmula general, para la resolución de ecuaciones cuadráticas con una incógnita, ayudó a que los alumnos se dieran cuenta de que la factorización la pueden utilizar para simplificar una expresión algebraica para poder resolverla. Y también que al resolver una ecuación cuadrática empleando la fórmula general se encuentra automáticamente la factorización de la ecuación. Considero necesario aclarar que todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver empleando la fórmula general, sin embargo la resolución de ecuaciones de grado superior a cinco no pueden encontrarse utilizando la fórmula general o con alguna fórmula parecida, aquí es cuando la factorización toma gran importancia. Por lo que considero importante resaltar que el tema de factorización es parte fundamental para las matemáticas. El emplear diferentes métodos de factorización, sirvió para que los alumnos comprendieran la eficacia de conocer y utilizar estos métodos, por lo que en el instrumento diagnóstico (examen), en las preguntas relacionadas con este tema se les sugirió a los alumnos que resolvieran las ecuaciones cuadráticas por el método que quisieran y esto trajo como consecuencia que el alumno eligiera el método que más le convenía para obtener la respuesta adecuada, no se les exigió un método específico. Así mismo se observó que la participación activa de los alumnos, en el salón de clases, hicieron posible que las actividades no se tornarán aburridas, ya que al trabajar en parejas, en equipo o de manera grupal, facilitó el aprendizaje, además esta situacion

65

permitió propiciar la confianza entre los alumnos, por lo que se sintieron libres para expresar sus ideas. Otro aspecto importante fue el de llevar un control sobre las actividades realizadas en clases y el registro de las tareas que se hicieron, tanto por el aplicador como de los propios alumnos, esta información permitió a los alumnos conocer su propio desempeño durante el transcurso de este ejercicio, y al llevar ellos el control de su propio trabajo adquirieron cierta responsabilidad en su propia evaluación. Así algunos de ellos al percatarse por si mismos de sus bajas en sus evaluaciones se dieron la oportunidad de mejorar, prueba de ello son los resultados obtenidos en el capitulo IV, en donde el rendimiento de los alumnos fue satisfactorio. Por otro lado considero que es muy importante que entre los profesores exista un intercambio de experiencias pedagógicas y didácticas, de manera continua esto con la finalidad de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por último considero que de acuerdo a los resultados obtenidos en el análisis estadístico, se confirma la hipótesis del trabajo, ya que después de haber aplicado el material didáctico ayudó a los alumnos a que tuvieran una mejor comprensión en los temas. Por lo tanto los niveles taxonómicos de las preguntas en el instrumento diagnóstico (examen) referentes al nivel de conocimiento, el nivel algorítmico y el nivel de comprensión fueron significativamente mayores después de haber trabajado con el material didáctico. Sin embargo, con respecto al nivel de aplicación los resultados no fueron muy favorables ya que aún después de haber utilizado el material didáctico todavía presentaron dificultades en la resolución de problemas. Por lo tanto habrá que buscar otras alternativas para ayudar a los alumnos a superar estas dificultades. Por todo lo anterior, desde mi punto de vista los resultados finales son satisfactorios aunque no suficientes, por lo que es importante continuar con la busqueda de herramientas auxiliares aplicables al proceso de enseñanza-aprendizaje.

66

BIBLIOGRAFÍA

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67

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68

ANEXOS 1.- Instrumento diagnóstico (Examen) Sobre el tema de Ecuaciones Cuadráticas. 2.- Actividades de Enseñanza – Aprendizaje. 3.- Registro de las actividades y tareas realizadas. 4.- Cuestionario aplicado a los profesores sobre el tema de Ecuaciones Cuadráticas. 5.- Información recabada por los profesores de Matemáticas I. 6.- Opinión de los alumnos.

69

ANEXO 1

70

Examen diagnóstico Nombre: _______________________________________________________________ Grupo: _________ Edad: ___________ Fecha: _____________ 1. Escribe una expresión para calcular el área de las siguientes figuras

A = __________ A = __________ A = _________ A = __________ 2. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta

a) 12)4)(3( 2 −+=−+ xxxx ________________________________________________________________

b) 222)( baba +=+ ________________________________________________________________

c) 22))(( bababa +=−+ _________________________________________________________________ 3. Una ecuación de segundo grado ¿cuántas soluciones puede tener? Justifica tu respuesta. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 4. Encuentra el valor de x , en caso de no encontrarlo di porqué. a) 92 =+x

b) 0362 =−x

c) 0322 2 =+x d) 9)2(3 =−x

e) 9)2(3 2 =−x

71

5. El producto del siguiente polinomio ( )234 2 +xx es: 6. El producto del siguiente polinomio ( )( )3232 −+ xx es: 7. Describe con tus propias palabras lo que es factorizar. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

8. La factorización de la siguiente ecuación cuadrática 01032 =−+ xx es:

9. Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática 0286 2 =++ xx .

10. Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática 2253 aa =+ . 11. La gráfica de la siguiente función cuya regla de correspondencia 12 += xy es:

a) b)

c) d)

72

12. La gráfica de la siguiente función cuya regla de correspondencia 22xy = es:

a) b)

c) d)

Plantea y resuelve los siguientes problemas:

13. Se tiene un terreno de forma cuadrangular, cuya área mide 2361m . ¿Cuál es la longitud de sus lados? 14. La suma de dos números es 21 y la suma de sus cuadrados es 225. Encuentra los dos números.

73

15. Un alumno resolvió el siguiente problema, menciona si lo resolvió correctamente o no. Justifica tu respuesta. Un comerciante compró cierto número de vacas en $24000. Reservó 15 de ellas, vendiendo el resto en $20250, ganando $50 por vaca vendida. ¿Cuántas vacas compró y a qué precio compró y vendió? Datos: =n Número de vacas compradas =m El precio $ de cada una Entonces 24000=mn . Como reservo 15 vacas, las vacas vendidas fueron: 15−n al precio de 50+m pesos cada una, que dan: ( )( )5015 +− mn =20250. Obteniendo así el siguiente sistema de ecuaciones: 24000=mn …….. E1 202507505015 =−+− nmmn Restándolas 37507505015 =+− nm Por lo tanto: 600103 =− nm ……… E2 Resolviendo esta ecuación lineal con la primera del planteamiento, se obtiene:

despejando m de la E2: 3

10600 nm

+=

Sustituyendo m en la E1: 240003

10600=

+n

n

Simplificando se obtiene: 240003

10600 2

=+ nn

7200010600 2 =+ nn

07200060010 2 =−+ nn

Resolviendo la ecuación: 07200602 =−+ nn

2

3240060

2

28800360060

2

)7200)(1(4360060 ±=

+±=

−−±=n

2

18060 ±=

1202

180601 =

+=n 60

2

180602 −=

−=n

Por lo tanto, el comerciante compró 120 vacas.

3

)120(10600 +=m =

3

1800 = 60

Y vendió 105 vacas a $60 cada una.

74

ANEXO 2

75

Temática sobre las Actividades de Enseñanza y Aprendizaje Sección 1. Productos notables 1.1 Cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos. 1.2 Desarrollo de los productos notables.

1.2.1 Caso I ( )2ba +

1.2.2 Caso II ( )2ba −

1.2.3 Caso III ( )( )baba +− Sección 2. Factorización 2.1 Introducción. 2.2 Factorización de factores comunes. 2.3 Factorización de trinomios.

2.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2 donde 0≠b , 0≠c .

2.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2 donde 1≠a 0≠b , 0≠c . Sección 3. Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Sección 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas 4.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas de formas particulares

4.1.1 Ecuación cuadrática de la forma: 02 =+ cax .

4.1.2 Ecuación cuadrática de la forma: 02 =+ bxax .

4.1.3 Ecuación cuadrática de la forma: ( ) nmxa =+ 2.

Sección 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02 =++ cbxax

5.1 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax cuando 1=a por el método de factorización.

5.2 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax cuando 1≠a por el método de factorización.

5.3 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax por el método de completar cuadrados.

5.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2

5.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2 cuando 1≠a .

5.4 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax por la fórmula general

Sección 6. Análisis del discriminante acb 42 − 6.1 El número i .

6.2 Naturaleza de las soluciones de la ecuación 02 =++ cbxax . Sección 7. Proceso inverso

76

Actividades de Enseñanza y Aprendizaje Sección1. Productos notables Se presenta una manera de abordar el tema de algunos productos notables como son: el binomio al cuadrado, binomios conjugados por medio de un enfoque geométrico. Objetivo: El objetivo de esta sección es que tengas una mejor comprensión de los productos notables, ya que desempeñan un papel muy importante en los cálculos algebraicos, además el manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas. 1.1 Cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos Actividad 1 La siguiente figura, es un cuadrado de lado x. Encuentra su área:

A=_________________ Las siguientes figuras son rectángulos. Encuentra las áreas:

A= ______________ A=_______________ Recordarás que las unidades que se usan para medir áreas se llaman unidades cuadradas. Definición:

El área de un rectángulo es el producto de su base y su altura

Área = base x altura Estas dos longitudes la base y la altura son las dimensiones del rectángulo.

77

Ahora encontrarás las áreas de varios rectángulos, haciendo uso de la suma de polinomios. Actividad 2 Encuentra la suma de las áreas de los rectángulos. Para encontrar el área total de los rectángulos debes sumar las áreas individuales.

Área de R1 + Área de R2 + Área de R3 + Área de R4 ___________________________________________ Por lo tanto, el área total de los rectángulos es: _________________ Ahora se representarán con variables las longitudes de los siguientes rectángulos Actividad 3 Encuentra la suma de las áreas de los rectángulos.

Área de R1 + Área de R2 + Área de R3 + Área de R4 __________________________________________ __________________________________________ Recuerda agrupar los términos semejantes. Por lo tanto, el área total de los rectángulos es: _________________ Ejercicios: Encuentra la suma de las áreas de los siguientes rectángulos: a)

78

b)

c)

Actividad 4 Considera el siguiente rectángulo, el cual se incrementa una de sus dimensiones.

El área total será: _____________________ Actividad 5 Considera el siguiente cuadrado de longitud 4, en el cual se incrementa 2 unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado.

79

1.2 Desarrollo de los productos notables La multiplicación de ciertos factores binomiales se presentan con mucha frecuencia en la resolución de diversos problemas por lo que les llamamos productos especiales.

Productos Especiales

I. 2)( ba +

II. 2)( ba −

III. ))(( baba +−

1.2.1 Caso I. 2)( ba + Actividad 6

Observa el cuadrado grande. Su área es de 2)( yx +

El cuadrado se divide en cuatro pequeñas partes, las cuales se enumeran con 1, 2, 3 y 4. Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el área del cuadrado 1? _____________________________ 2. ¿Cuál es el área del rectángulo 2? _____________________________ 3. ¿Cuál es el área del cuadrado 3? _____________________________ 4. ¿Cuál es el área del rectángulo 4? _____________________________ 5. ¿Cuál es la suma de estas cuatro áreas? Desde luego recuerda agrupar términos semejantes. ________________________________________

6. ¿Qué puedes concluir acerca de la respuesta anterior y 2)( yx + ? _________________________________________

80

Actividad 7 a) Considera el siguiente cuadrado de longitud 3w, el cual se incrementa z unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado.

Por lo tanto, =+ 2)3( zw ______________________ b) Considera un cuadrado de lado x, el cual se incrementa 3 unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado. Dibuja la figura.

81

Otra forma de obtener el desarrollo de la expresión 2)( yx + es la siguiente:

Dada la expresión 2)( yx + ¿Qué indica el exponente 2? _____________________________________________

Por lo que 2)( yx + = ( ) ( ) Generalizando En general al multiplicar un binomio de la forma ba + por si mismo se obtiene: El cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Y se simboliza así: 222 2)( bababa ++=+ Ejemplos:

96)3()3)((2)()3( 2222 ++=++=+ xxxxx 22222 44)())(2(2)2()2( yxyxyyxxyx ++=++=+

164025)4()4)(5(2)5()45( 2222 ++=++=+ xxxxx 2222 1664)())(8(2)8()8( yyyyy ++=++=+

Ejercicios: Desarrolla los siguientes cuadrados al binomio.

a) 2)6( +x b) 2)53( +x c) 2)92( yx +

d) 2)16( +x e) 2)87( yx + f) 22 )( yx + Completa el desarrollo de los siguientes cuadrados al binomio:

a) 81______)9( 22 ++=+ xx

b) 36___________)( 22 ++=+ xx

c) ______80____________)4( 2 ++= xx

d) 169____________________)( 2 ++=a

e) 4________25)2(______ 22 ++=+ a

f) (_________) 1002022 ++= xx

82

1.2.2 Caso II. 2)( ba − Actividad 8 a) Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en 3 unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado.

Fig. 1ª La figura 1ª se puede descomponer de la siguiente manera:

= + - +

= 2x + 23 - 2 ( )x3

Por lo tanto, el área del nuevo cuadrado de lado ( )3−x es:

= 2x + 23 - 2 ( )x3 = 2x + 9 - x6

Ordenando se tiene: 2x - x6 + 9

b) Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en 8 unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado. Dibuja las figuras correspondientes.

83

Actividad 9 Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en y unidades. Encuentra el área del nuevo cuadrado.

El nuevo cuadrado tiene de lado: )( yx −

Por lo tanto: ))(()( 2 yxyxyx −−=− Se aplica propiedad distributiva = )()( yxyyxx −−−

= 22 yyxxyx +−− Se agrupan términos semejantes

= 22 2 yxyx +−

El área del nuevo cuadrado es: 22 2 yxyx +− Generalizando En general al multiplicar un binomio de la forma ba − por si mismo se obtiene: El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término:

Y se simboliza así: 222 2)( bababa +−=−

Ejemplos:

96)3())(3(2)3( 2222 +−=+−=− xxxxx 22222 44)())(2(2)2()2( yxyxyyxxyx +−=+−=−

2222 816)())(4(2)4()4( yyyyy +−=+−=− 22222 93025)3()3)(5(2)5()35( yxyxyyxxyx +−=+−=−

Realiza de manera geométrica el desarrollo de la actividad 9 (ver la actividad 8).

84

Ejercicios: Desarrolla los siguientes cuadrados al binomio.

a) 2)9( −x b) 2)37( −x c) 2)52( ba −

d) 2)16( −x e) 2)38( ba − f) 2

3

2

−x

g) 2

7

4

2

5

− ba

Completa el desarrollo de los siguientes cuadrados al binomio.

a) 49_______)7( 22 +−=− aa

b) 16_______81_____)9( 22 +−= xx

c) 25______________)( 22 +−= xx

d) ( ) 361222 +−= aa

e) ( ) 144729 22 +−= xx

f) 100______________)4( 2 +−=a

85

1.2.3 Caso III. ))(( baba +− Dibujar un cuadrado de longitud a (Fig 1)

El área del cuadrado de lado a es: 2a Fig 1 Quitarle al cuadrado de lado a (Fig 1), un cuadrado de lado b (Fig 2)

El área del cuadrado de lado b es: 2b Fig 2 Se corta la parte restante por la mitad (Fig 3)

Fig 3 Por último se reacomoda la figura 3

Fig 4

Y se puede observar (Fig 4) que: ( )( )bababa −+=− 22

86

El producto de los factores )( ba + y )( ba − es 22 ba − le llamamos diferencia de cuadrados, es decir, el resultado es la diferencia de dos términos cuadrados perfectos. Definición Se dice que un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número racional Definición Las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos se llaman números irracionales Generalizando

Producto de binomios conjugados

22))(( bababa −=+− Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de las raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados Nota: ))(())(( babababa −+=+− Ejercicio: Encuentra el producto de los siguientes binomios conjugados. a) (_______)1(_______))1)(1( +=−+ xxx

= _____________________ = _____________________ b) (_______)4(_______))4)(4( +=−+ xxx = ____________________ = ____________________ c) (______)(_______)2)2)(2( yxyxyx +=−+

= ____________________ = ____________________ Realiza el proceso inverso, es decir, factoriza las siguientes expresiones:

a) 492 −x b) 1442 −x c) 259 2 −x

d) 22 121yx − e) 812 −m f) 22 254 yx −

87

Aplica tus conocimientos: Con lo visto anteriormente desarrolla las siguientes expresiones:

a) 2)( cba ++

b) 2)( dcba +++

88

Sección 2. Factorización Objetivo: Repasar algunas técnicas de factorización, así como darles significado a los algoritmos de las operaciones y reforzar los métodos de factorización, los cuales serán empleados en la resolución de ecuaciones de segundo grado. 2.1 Introducción Al factorizar una expresión simplemente se escribe la expresión como un producto de sus factores. Hagamos lo siguiente: Actividad 1 Se tienen los siguientes números: 3 y 7 realiza el producto. _______ x ______ = _________ Ahora realiza el proceso inverso, es decir, se tiene el producto 21 , realiza la factorización: ________ = ______ x _______ Producto A estos números se les llama factores Realiza la factorización completa de 36: =36 __ ___ x _____ x ______ x ______ Definición Al proceso de escribir un número de expresiones algebraicas como el producto de otros números o expresiones algebraicas se llama factorización. Nota: Se dice que un número compuesto está completamente factorizado si se representa como un producto de factores primos. Escribe 120 en forma completamente factorizada 120 = ____________

89

El teorema fundamental de la aritmética Cada entero mayor que 1 puede ser primo o puede ser expresado de manera única, excepto por el orden de los factores, como un producto de factores primos. 2.2 Factorización de factores comunes Actividad 2 Encuentra el producto de las siguientes expresiones: a) )(3 yx + = _____ + ______

b) )2(4 ba − = ____ - _______

c) )2(3 +xx = ____ + _______ Generalizando

Cuando multiplicamos se tiene que: Cuando se factoriza se tiene que: acabcba +=+ )( )( cbaacab +=+

Se aplica la propiedad distributiva

Ahora realiza el proceso inverso de la actividad 2 a) ___________33 =+ yx

b) =− ba 84 ___________

c) =+ xx 63 2 __________ Que puedes concluir: ________________________________ Nota: Observa que para factorizar un binomio, se debe buscar un factor (en este caso a ) que sea común a todos los términos por lo que para tener una expresión completamente

factorizada se debe seleccionar el máximo factor común, nax . Máximo factor común de un polinomio

El término nax es el máximo factor común (MFC) de un polinomio si: • a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio • n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio

90

Ejemplos: Realiza la factorización por factor común

a) xx 324 2 + El mayor entero que divide a 4 y 32 es: 4 El mínimo exponente de x en todos los términos es:1 Por lo que el MFC es: x4

Por lo tanto: )8(4324 2 +=+ xxxx

b) 23 205 xx + El mayor entero que divide a 5 y 20 es: __________ El mínimo exponente de x en todos los términos es: ________ El MFC es: ________

Por lo tanto: ________205 23 =+ xx Actividad 3 Realiza las siguientes factorizaciones por factor común. 1. 153 +x 2. 3311 −y

3. 273 −− x

4. 42 255 xx −

5. 2426 aa −

6. 63 183 aa −−

7. xxx 963 23 ++

8. 234 1284 ttt +− 9. bbx 33 +

10. yxxy 284 −

11. 32 1648 mmm +−

12. 23 69 xx −

13. 54233 42 xyyxyx −−

91

2.3 Factorización de trinomios

Objetivo: Factorizar polinomios de la forma cbxx ++2 donde 1=a , y cbxax ++2 donde 1≠a Hemos visto que la factorización es el inverso de la multiplicación, ahora se va a usar los productos especiales (vistos en la sección 1) y se hará el proceso inverso para obtener algunos productos de factorización de igual utilidad. La factorización de trinomios se divide en dos casos:

1. Trinomios de la forma: cbxx ++2 donde 0≠b 0≠c

2. Trinomios de la forma: cbxax ++2 donde 1≠a , 0≠b y 0≠c

2.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2 donde 0≠b 0≠c Actividad 4 Se tiene los siguientes productos, complétalos: a) )3)(4( ++ xx = (______)4(______) +x = _________________

= 12______2 ++x El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12 es el producto de ____________ ¿Qué puedes decir de los signos? ____________________________________________________ b) (_______)4(_______))3)(4( +=−+ xxx

= _____________________

= 12______2 −+x El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12− es el producto de ____________ ¿Qué puedes decir de los signos? ____________________________________________________ c) (_______)4(________))3)(4( −=+− xxx = _____________________

= ____________2x El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12− es el producto de ____________ ¿Qué puedes decir de los signos? ____________________________________________________

92

d) __________________)3)(4( =−− xx = __________________ = ___________ +12 El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12 es el producto de ____________ ¿Qué puedes decir de los signos? ____________________________________________________ Generalizando

La multiplicación de los binomios es:

abxbaxbxax +++=++ )())(( 2 Para factorizar invertimos la ecuación

))(()(2 bxaxabxbax ++=+++

Como el trinomio es de la forma cbxx ++2 donde 0≠b 0≠c se tiene que:

• Cuando el signo del tercer término del trinomio o el término independiente c es positivo, los dos números tienen signos iguales al signo del término central del trinomio.

• Cuando el signo del tercer término del trinomio o el término independiente c es

negativo, los dos números tienen signos opuestos y el de mayor valor absoluto tiene el signo del término central del trinomio.

Actividad 5

Ejemplo1. Factoriza 862 ++ xx .

Solución: Se debe encontrar dos binomios cuyo producto sea 862 ++ xx . - Se busca una pareja de enteros cuyo producto sea 8 y cuya suma sea 6 - Como el signo del tercer término del trinomio es positivo ¿qué signos deben tener los números buscados? _________________________

Factores Suma 8, 1 4, 2

-Los enteros buscados son: ____ y ____

- Por lo tanto: 862 ++ xx = ______)______)(( xx - El resultado se comprueba multiplicando los binomios, verifícalo.

93

Ejemplo2. Factoriza 2082 −− xx Solución: - Se busca una pareja de números enteros cuyo producto sea 20− y cuya suma sea 8− - Como el signo del tercer término del trinomio es negativo ¿qué signos deben tener los números buscados? ______________________

Factores Suma

- Los números enteros buscados son: _____ y _____

- Por lo tanto: 2082 −− xx = ( ) ( ) - Verifica el resultado. Actividad 6 Factoriza

1. 672 ++ xx

2. 24102 ++ xx

3. 32122 +− aa

4. 122 +− aa

5. 1662 −+ tt

6. 4032 −− mm

7. 22 −− xx

8. bb 6272 −−

9. aa 10252 −+

10. 842 2 −− aa

11. 294536 aa +−−

12. aaxax 652 ++

94

2.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2 donde 1≠a , 0≠b y 0≠c Actividad 7 Se tienen los siguientes productos, complétalos a) (________)3(________)2)5)(32( +=−+ xxx = _______________________

= 15________2 2 −x b) (________)2(________)3)4)(23( −=+− xxx = _______________________ = _______________________ ¿Qué observas en los resultados? _______________________________________ Ahora se realizará el proceso inverso.

Ejemplo1: Factoriza 1572 2 −− xx Solución: - Encuentra el producto ac : 2=a y 15−=c por lo que =ac ________ - Encuentra dos enteros cuyo producto sea 30− y cuya suma sea 7− ¿qué signos deben tener los números buscados? _________________________

Factores Suma

- Los números buscados son: ______ y ______ - Utilizalos apropiadamente para escribir el término intermedio

1572 2 −− xx

151032 2 −−+ xxx - Se agrupan los términos en pares

)1510()32( 2 −−++ xxx - Se factoriza cada par )32(5)32( +−+ xxx

- Observa que )32( +x es el MFC

)5)(32( −+ xx

Por lo tanto: 1572 2 −− xx = )5)(32( −+ xx

95

Qué pasará si los números buscados que se utilizan para reescribir el término intermedio se colocan de la siguiente manera:

1572 2 −− xx

153102 2 −+− xxx Agrupa los términos en pares y resuelve. ¿La factorización está correcta? __________________ Qué puedes concluir: ___________________________ Realiza el proceso inverso del inciso b)

Factoriza 8103 2 −+ xx

96

Actividad 8

Factoriza 483 2 ++ xx - Se necesita realizar el producto ac : =a ____ =c _____ por lo que =ac ________ - Encuentra dos enteros cuyo producto sea ______ y cuya suma sea ______ ¿Qué signos deben tener los números buscados? _____________________

Factores Suma

- Los números buscados son: ______ y _____ - Utilizalos apropiadamente para reescribir el término intermedio

483 2 ++ xx

4________3 2 +x - Agrupa los términos en pares

)4(___________)3( 2 ++x - Factoriza cada par __________________ - Observa que ( ) es el MFC por lo que: ( ) ( )

Por lo tanto: 483 2 ++ xx = ( ) ( ) ¿Cómo puedes comprobar que la factorización esta correcta? ___________________ Realiza la comprobación

b) Factoriza 5156 2 −+ xx - Realiza el producto ac : =a ____ =c _____ por lo que =ac ________ - Encuentra dos enteros cuyo producto sea ______ y cuya suma sea ________ ¿Qué signos debe tener los números buscados? ________________________

Factores Suma

- Los números buscados son: ______________ - ¿Qué observaste? ______________________

Por lo tanto: 5156 2 −+ xx ________________

97

Nota:

No todo trinomio es factorizable en el conjunto de los enteros

Un trinomio de la forma cbxax ++2 es factorizable si existen dos enteros con producto ac y suma b .

Donde a es el primer número y c el último en la ecuación cbxax ++2 y b es el coeficiente de x .

Regla para verificar si el trinomio cbxax ++2 es factorizable

Hallar dos números cuyo producto sea ac

cbxax ++2 y cuya suma de los números debe ser b

Nota:

Cabe aclarar que para efectuar la factorización de un trinomio de la forma cbxax ++2 existen varios métodos. Actividad 9 Factoriza si es posible las siguientes expresiones.

1. 372 2 ++ xx

2. 8143 2 ++ xx

3. 6113 2 +− yy

4. 143 2 +− mm

5. 120 2 −+ yy

6. aa 698 2 ++−

7. 24154 tt +−

8. 41012 2 ++ yy

9. 865 2 −− tt

10. 231216 mm +−−

98

Sección 3. Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita Problema 1

Se tiene un terreno de forma cuadrangular, cuya área mide 2784m . ¿Cuál es la longitud de sus lados?

Solución: Dato conocido: área = 2784m Datos desconocidos: La longitud l .

Se puede relacionar los datos conocidos y desconocidos con la siguiente formula: 2lA =

2lA =

2784 l=

07842 =−l

La ecuación obtenida 07842 =−l es una ecuación cuadrática. Problema 2. Se juntan varios estudiantes para una excursión que cuesta $440. Pero al partir se suman dos más, lo que permite disminuir en $2 la cuota inicial por persona. ¿Cuántos eran al principio y cuál la cuota fijada? Solución: Sea x el número de estudiantes Sea c la cuota

Se establece la primera ecuación: cx

=440

……… E1

Pero al partir se suman dos estudiantes más y la cuota inicial se disminuye $2 por

persona por lo que se establece la siguiente ecuación: 22

440−=

+c

x …….. E2

Sustituyendo el valor de c de la E1 en la E2 se obtiene:

2440

2

440−=

+ xx

Se simplifica la ecuación, multiplicando ambos lados por )2( +xx

−+=

+

+ 2440

)2(2

440)2(

xxx

xxx

( ) ( )222440440 +−+= xxxx

xxxx 42880440440 2 −−+=

088042 2 =−+ xx

La ecuación que se obtiene 088042 2 =−+ xx es una ecuación cuadrática.

99

Problema 3. Varias personas alquilan un camión por $300; al cerrar el trato, tres se retiran y cada una de las restantes se ve obligada a pagar $5 más que lo convenido originalmente. ¿Cuál era la cuota convenida y cuántas las personas? Solución: Se representa con p el número de personas y m la cuota convenida.

La siguiente ecuación representa lo que corresponde antes de que se retiraran las tres

personas: mp

=300

….. E1

La siguiente ecuación representa lo que corresponde al retirarse las tres personas:

53

300+=

−m

p ….. E2

Sustituyendo el valor de m de la E1 en la E2 se tiene:

5300

3

300+=

− pp

Se simplifica la ecuación, se multiplica ambos lados de la ecuación por )3( −pp

−−

3

300)3(p

pp =

+− 5

300)3(p

pp

)3(5)3(300300 −+−= pppp

pppp 155900300300 2 −+−=

0900155 2 =−− pp

La ecuación que se obtiene 0900155 2 =−− pp es una ecuación cuadrática. A continuación se estudiarán varios métodos para la resolución de ecuaciones cuadráticas.

100

Sección 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas Objetivo: El objetivo de esta sección es reconocer las ecuaciones cuadráticas incompletas, transformar una ecuación cuadrática de forma particular a la forma adecuada para su resolución por un método específico.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: 02 =++ cbxax donde cba ,,

son constantes y 0≠a

2ax + bx + c = 0 Cuando la ecuación está escrita en esta forma se le llama forma estándar. término término término cuadrático lineal independiente La condición 0≠a es indispensable para tener una ecuación cuadrática o de segundo grado. 4.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas de formas particulares Se puede suponer que 0=b también 0=c , en tales casos se tendrán las siguientes ecuaciones:

1. Ecuaciones de la forma: 02 =+ cax donde 0=b

2. Ecuaciones de la forma: 02 =+ bxax donde 0=c

A estas ecuaciones cuadráticas se le llaman ecuaciones incompletas

4.1.1 Ecuación cuadrática de la forma: 02 =+ cax donde 0=b Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación 0364 2 =−x Solución: Se suma en ambos miembros 36 .

364 2 =x Se divide ambos miembros entre 4 .

92 =x Se extrae raíz cuadrada a ambos miembros.

3=x

3±=x Por lo tanto, las soluciones o las raíces de la ecuación son: 3,3 21 −== xx Comprobación:

101

Sustituyendo 31 =x en la ecuación dada Sustituyendo 32 −=x en la ecuación dada

036)3(4 2 =− 036)3(4 2 =−−

03636 =− 03636 =−

00 = 00 = Por lo tanto, 31 =x y 32 −=x si satisfacen la ecuación. Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación 5353 2 =+x

Solución: 553553 2 −=−+x Se resta en ambos miembros 5.

483 2 =x Se divide ambos miembros entre 3.

162 =x Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.

16=x

4±=x Por lo tanto, las soluciones o las raíces de la ecuación son: ,41 =x 42 −=x Realiza la comprobación con ambas soluciones. Actividad 1 Resuelve las ecuaciones dadas:

a) 0252 =−x

_____2 =x Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. =x _____ Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x Realiza la comprobación.

b) 01473 2 =−x

102

Generalizando

Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma 02 =+ cax donde 0≠a . El método de solución requiere el uso directo de la propiedad de la raíz cuadrada Propiedad de la raíz cuadrada.

Si A es un número positivo y Ax =2 , entonces Ax ±= ;

es decir, Ax = de donde: Ax = o Ax −=

4.1.2 Ecuación cuadrática de la forma 02 =+ bxax donde 0=c Para resolver este tipo de ecuación se utiliza la factorización por término común (visto en la sección 2). Ejemplo 3

Resuelve la ecuación 03612 2 =− xx Solución: Se obtiene el máximo factor común (MFC), es decir, el mayor entero que divide a 12 y 36 es 12 y el mínimo exponente de x en todos los términos es 1. Por lo tanto el MFC es x12 . ( ) 0312 =−xx Se iguala a cero ambos factores.

012 =x o 03 =−x Se despeja x en ambos casos. 0=x 3=x Por lo tanto, las raíces son: ,01 =x 32 =x Comprobación Sustituyendo 01 =x en la ecuación dada

( ) ( ) 003601222 =−

000 =− Sustituyendo 32 =x en la ecuación dada

( ) ( ) 03363122 =−

( ) 0108912 =−

0108108 =− 000 =−

103

Generalizando

Para resolver la ecuación de la forma 02 =+ bxax donde 0,0 ≠≠ ba se utiliza la factorización por término común.

02 =+ bxax ( ) 0=+ baxx Tenemos un producto igual a cero, lo que sólo es posible cuando uno de los factores vale cero, por lo tanto hay dos posibilidades: Caso 1. 0=x Por lo que es una solución. Caso 2. 0=+ bax De aquí se despeja x . bax −= Se resta b− en ambos miembros de la ecuación.

a

bx −= Se divide entre a en ambos miembros de la ecuación.

Por lo tanto, a

bx −= es otra solución.

En general si el producto de los factores es cero, al menos uno de esos factores debe ser cero. Principio del producto cero

Si 0=AB , entonces 0=A o 0=B (o ambos = cero) Actividad 2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 023 2 =+ xx El MFC es __________ _____ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores. _______ 0= ______ 0= Se despeja x en ambos factores. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x Realiza la comprobación.

104

b) xx 3819 2 −= El MFC es _______ ______ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores. _______ 0= _______ 0= Se despeja x en ambos factores. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x Realiza la comprobación.

c) aa 208 2 = El MFC es _______ ______ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores. _______ 0= _______ 0= Se despeja a en ambos factores. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =a ______2 =a Realiza la comprobación. ¿Qué tienen en común las raíces de las ecuaciones dadas en la actividad 2? ____________________________________________________________ Por lo tanto ¿qué puedes concluir de las raíces de las ecuaciones de la forma

02 =+ bxax en general? _____________________________________________________________

105

4.1.3 Ecuación cuadrática de la forma ( ) nmxa =+ 2

Actividad 3 Despeja x de las siguientes ecuaciones.

a) ( ) 105422 =−x

( ) 5542 =−x Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.

( ) 5542 =−x Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.

554 =−x Valor aproximado de la raíz.

523.24 +±≈x Se despeja x . _______≈x

Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 ≈x ______2 ≈x

b) ( ) 144242 =−x

Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x

106

Actividad 4 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas según sea el caso.

1. 0492 =−x

2. 0642 =−a

3. 0162 =+y

4. 0543 2 =−x

5. 09 2 =+ x

6. 082 =+ aa

7. 02 =+ xx

8. 2321 xx −=−

9. xx 44 2 =

10. aa 96 2 −=

11. ( ) 32422 =−x

12. ( ) 081932 =−−a

13. ( ) 072522 =−+m

14. ( ) 4152 =+x

107

Sección 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02 =++ cbxax Objetivo: El objetivo de esta sección es utilizar diferentes métodos como son: la factorización, completando cuadrados y la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática

completa 02 =++ cbxax .

5.1 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax cuando 1=a por el método de factorización

Ejemplo 1. 0862 =++ xx Resolver por factorización. Recuerda como se factoriza. Se buscan dos números que multiplicados den 8 y esos mismos números sumados den 6 . Los números buscados son: 4 y 2 ya que

624,824 =+=∗ (ver sección 2.3).

0862 =++ xx ( )( ) 024 =++ xx Se aplica el principio del producto cero, por lo que cada factor se iguala a cero. 04 =+x 02 =+x Se despeja x : 4−=x 2−=x Por lo tanto, las raíces son: 41 −=x 22 −=x Comprobación: Sustituyendo 41 −=x en la ecuación dada:

( ) ( ) 084642 =+−+−

082416 =+− 02424 =+− 00 = Sustituyendo 22 −=x en la ecuación dada:

( ) ( ) 082622 =+−+−

08124 =+− 01212 =+− 00 = Por lo tanto, las raíces encontradas sí satisfacen la ecuación.

108

Actividad 1 Completa y resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 02082 =−− xx La factorización es: ( ) ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores _________ 0= _________ 0= Se despeja x : Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =x ______2 =x Realiza la comprobación.

b) 036122 =+− aa La factorización es: ( ) ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores _________ 0= _________ 0= Se despeja a : Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =a _____2 =a Realiza la comprobación.

109

5.2 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax cuando 1≠a por el método de factorización

Ejemplo 2. 0483 2 =++ xx Resolver por factorización. Recuerda como se factoriza (ver sección 2.3 actividad 8) La factorización es: ( )( ) 0232 =++ xx Se igualan a cero ambos factores: 02 =+x 023 =+x Se despeja x : 2−=x _______=x

Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =x ______2 =x Realiza la comprobación. Actividad 2 Completa y resuelve las siguientes ecuaciones

a) 06113 2 =+− yy La factorización es ( ) ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores: _________ 0= _______ 0= Se despeja y : Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =y ______2 =y Realiza la comprobación.

110

La ecuación cuadrática completa de la forma 02 =++ cbxax La resolución por el método de factorización se resume de la siguiente manera:

• La ecuación debe estar en su forma estándar 02 =++ cbxax para factorizar. • Se igualan a cero ambos factores, obteniéndose dos ecuaciones lineales. • Por último, se resuelven ambas ecuaciones despejando x , obteniéndose así las

raíces de la ecuación. Actividad 3 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1. 022 =−− xx

2. 010252 =−+ aa

3. 01662 =−+ xx

4. 869 2 +−= aa

5. 8314 2 −−= xx

6. 3652 =− xx

7. 442 += xx

8. xx 1249 2 =+

9. 0972 2 =−+ yy

10. 523 2 −= xx

111

5.3 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax cuando 1=a por el método de completar cuadrados ¿Cuál es la factorización de la siguiente ecuación?

0782 =−+ xx Actividad 4 En cada una de las siguientes expresiones completa el número que hace falta, para que la ecuación sea válida.

a) ( ) _____105 22 ++=+ xxx

b) ( ) ______63 22 ++=+ xxx

c) ( ) ______147 22 +−=− xxx ¿Qué observas? ______________________________________________________________________ En cada una de las siguientes expresiones completa el número que hace falta para obtener un trinomio cuadrado perfecto.

a) ______82 ++ xx

b) _____202 ++ xx

c) ______122 +− xx Que puedes concluir _______________________________________________________________________ Nota

La expresión bxx +2 no es un cuadrado perfecto, sin embargo se puede convertir en un trinomio cuadrado perfecto, completando el cuadrado.

La expresión cuadrática de la forma bxx +2 se le agrega el término 42

22bb

=

para

convertirse en un trinomio cuadrado perfecto.

112

Actividad 5 En las siguientes expresiones completa el cuadrado.

a) xx 62 + ¿Qué se debe agregar para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto? ___________________________________________________________

_____62 ++ xx

962 ++ xx .

Por lo tanto, 962 ++ xx es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es: ( )23+x

b) xx 162 − ¿Qué se debe agregar para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto? ____________________________________________________________

______162 +− xx

La mitad de ______ es _____ y ( ) _________2 =

Por lo tanto, ______162 +− xx es un trinomio __________________ y su factorización

es: ( )2________ .

Generalizando

Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma bxx +2 , se le suma

el cuadrado de la mitad del coeficiente de x , es decir, sumar 2

2

b.

Así bxx +2 22

2

22

+=

++b

xb

bxx

113

5.3.1 Trinomios de la forma 02 =++ cbxax cuando 1=a Actividad 6 Resolver ecuaciones cuadráticas completas por el método de completar cuadrados.

a) 0782 =−+ xx -Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

7____82 =+ xx - Se completa en el primer miembro el trinomio cuadrado perfecto, sumándolo también al segundo miembro para no alterar la ecuación:

22

2

2

87

2

88

+=

++ xx

1671682 +=++ xx - Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:

( ) 2342 =+x

- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

( ) 2342 =+x

79.44 ±≈+x - Por último se despeja x para hallar las raíces: 79.479.41 ≈−≈x

479.4 −±≈x 79.8479.42 −≈−−≈x Por lo tanto, las raíces de la ecuación son: ,79.01 ≈x 79.82 −≈x

b) 0362 =−− xx - Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

−2x _____ = _______ - Se completa en el primer miembro el trinomio cuadrado perfecto, sumándolo también al segundo miembro para no alterar la ecuación:

( ) ( )222 ________________6 +=+− xx

___________________62 +=+− xx

114

- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:

( ) ________________2 =

- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad: - Se despeja x : Por lo tanto las raíces son: ,_____1 ≈x ______2 ≈x

c) 024142 =++ xx

115

5.3.2 Trinomios de la forma 02 =++ cbxax cuando 1≠a Actividad 7 Resolver ecuaciones cuadráticas completas por el método de completar cuadrados.

a) 01293 2 =−+ xx ¿Qué pasa cuando 1≠a ?

- Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de 2x , en este caso el coeficiente es 3.

3

0

3

1293 2

=−+ xx

0432 =−+ xx - Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

xx 32 + = 4 - Una vez hecho esto ¿qué sigue? _____________________________________________________________

( ) ( )222 ____________________ +=++x

4

9_________________2 +=+x

- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:

( ) ________________2 =

- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad: - Se despeja x : Por lo tanto, las raíces son: Nota

El método de completar cuadrados proporciona el conjunto solución de cualquier

ecuación de segundo grado

116

Actividad 8 Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completando cuadrados.

1. 0862 =−+ xx

2. 822 +−= aa

3. 04122 =−+ xx

4. 016122 2 =−+ xx

5. 132 2 −−= xx

6. 036123 2 =−+ aa

7. 0472 2 =+− mm

8. xx 482 −=+

9. 02205 2 =++ xx

10. 03 22 =++ aaxx

117

5.4 Resolución de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax por la fórmula general Objetivo: Deducirá cómo se obtiene la fórmula general para resolver ecuaciones

cuadráticas, escribir correctamente la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax en su forma estándar e identificar los parámetros a , b y c . Actividad 9 Deducir la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática.

02 =++ cbxax forma estándar de la ecuación cuadrática. Para llegar a la fórmula general, se empleará el uso del método de completar cuadrados.

- Se divide ambos miembros entre el coeficiente de 2x , en este caso es a :

aa

cbxax 02

=++

02 =++a

cx

a

bx

- Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

____2 +x = _____ - Se completa el trinomio cuadrado perfecto:

( ) ( )222 ______________ +=++ xa

bx

____________4

_____2

22 +=++

a

bx

- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:

( ) ________________2 =

- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

( )2

22

4

4_______

a

acb −=

________ ±= - Se despeja x : =x ______ ± _______

Por lo tanto, la fórmula general es: a

acbbx

2

42 −±−=

118

Formula cuadrática

Las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales

02 =++ cbxax están dadas por la fórmula cuadrática

a

acbbx

2

42 −±−=

Actividad 10 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general.

a) 010122 2 =+− xx Los parámetros son: =a _______ _______=b y ______=c Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x

b) 22 −−= xx La ecuación en su forma estándar es: _______________ Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general. ¿Qué sucede con la raíz? ___________________________________ ¿Cómo son las soluciones de la ecuación? ______________________ Por lo tanto, las raíces son: __________1 =x ___________2 =x

119

c) xx 32 2 = La forma estándar de la ecuación es: _________________ Los parámetros son: _______=a _______=b y _______=c Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x

d) 53 2 =x La forma estándar de la ecuación es: _________________ Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x

e) 532 2 +−=− tt La forma estándar de la ecuación es: _________________ Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general. Por lo tanto, las raíces son: _____1 =t ______2 =t

120

Actividad 11 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general.

1. 672 2 −=+ xx

2. 0652 =++ xx

3. 2313 tt −=

4. 724 2 −=t

5. 0246 2 =− xx

6. xx 215 2 +−=−

7. 832 =+ rr

8. 0253 2 =−+ rr

9. 2216 x=

10. 324 2 += tt

11. 523 2 −=− xx

121

Sección 6. Análisis del discriminante acb 42 − Objetivo: Conocerá los números complejos y sabrá que cuando en el radical se obtiene un número negativo, no tiene solución real por lo que se requiere hacer uso del número imaginario. 6.1 El número i Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación 012 =+x

12 −=x despejando x

1−=x ¿Qué observas? _____________________________________________ En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas. Los números imaginarios se crearon precisamente para que los números negativos tuviesen raíces cuadradas y todas las ecuaciones de segundo grado tengan solución. Para que la raíz cuadrada de un número negativo tenga significado, se introduce una

unidad llamada unidad imaginaria 1− denotada por i .

ix =−= 1

Por lo tanto 12 −=i Definición Los números imaginarios son todos los números de la forma bi , donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.

Con la propiedad de que: 12 −=i

Actividad 1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0252 =+x Por lo tanto, sus raíces imaginarias son: _____1 =x ______2 =x

122

b) 0982 2 =+x Por lo tanto, sus raíces imaginarias son: _____1 =x ______2 =x Nota: A estas raíces se les llama conjugadas, es decir, bia + su conjugado es bia − Definición Los números complejos se componen de todas las sumas bia + , donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.

bia + Parte real Parte imaginaria

Se llaman conjugados dos complejos que tienen idéntica la parte real, simétricos los coeficientes de i . Ejemplos de números complejos: i43+ , i27 +− , i14

123

6.2 Naturaleza de las soluciones de la ecuación 02 =++ cbxax Objetivo: Determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática

02 =++ cbxax , análisis del discriminante. ¿Cómo se podrá predecir la naturaleza de las soluciones de la ecuación? Actividad 2 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, aplicando la formula general:

a

acbbx

2

42 −±−=

a) 01543 2 =−− xx Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x Contesta lo siguiente: ¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble) o dos raíces imaginarias? _____________________________________________________

Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42 − El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero. ________________________________________________________

Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42 − y la naturaleza de las raíces de la ecuación. _________________________________________________________

124

b) 0882 2 =+− xx Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x Contesta lo siguiente: ¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble) o dos raíces imaginarias? _____________________________________________________

Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42 − El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero. ________________________________________________________

Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42 − y la naturaleza de las raíces de la ecuación. _________________________________________________________

c) 0234 2 =+− xx Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x Contesta lo siguiente: ¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble) o dos raíces imaginarias? _____________________________________________________

Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42 − El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero. ________________________________________________________

Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42 − y la naturaleza de las raíces de la ecuación. _________________________________________________________

125

Generalizando

La expresión acb 42 − se le llama discriminante

Dependiendo del valor del discriminante acb 42 − , de la ecuación cuadrática

02 =++ cbxax se tienen los siguientes casos:

Si acb 42 − > 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces reales Diferentes.

Si acb 42 − = 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces iguales (raíz doble).

Si acb 42 − < 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces imaginarias conjugadas. Actividad 3 Grafica las ecuaciones de la actividad 2 en hojas milimétricas, observa y anota las intersecciones que tienen las gráficas con el eje x Actividad 4 De las siguientes ecuaciones cuadráticas encuentra la naturaleza de las raíces.

1. 0962 =++ xx

2. 16 2 =+ xx

3. 0137 2 =+− xx

4. 1052 +−= mm Actividad 5

Resolver la ecuación ( ) ( ) 01121 2 =−−−+ xmxm . Contestar: ¿Qué valores debe tener m para que esta ecuación tenga sus dos raíces reales e iguales? ¿Cuál es, entonces, el valor común de las raíces?

126

Sección 7. Proceso Inverso Objetivo: Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que provienen. Hasta ahora se ha visto dada una ecuación cuadrática como encontrar sus raíces, para lo cual se ha empleado diferentes métodos. Ahora ¿se podrá construir la ecuación cuadrática dada las dos raíces? Actividad 1 a) Dadas las raíces: 41 =x 52 −=x construye la ecuación. Sugerencia: Recuerda el método de factorización, cuando se tiene el producto de dos factores lineales. Por lo tanto, la ecuación es: ________________

b) Dadas las raíces: 3

21 =x 22 =x construye la ecuación.

Por lo tanto, la ecuación es: __________________

c) Dadas las raíces: 31 −=x 5

32 =x construye la ecuación.

Por lo tanto, la ecuación es: __________________

127

Generalizando: Se tiene la siguiente ecuación 0))(( 21 =−− xxxxa donde 0≠a y 1x , 2x son raíces. Por lo que el producto de los factores es cero y como 0≠a no queda más que: 01 =− xx 02 =− xx

1xx = 2xx = Desarrollando la expresión 0))(( 21 =−− xxxxa

02112

2 =+−− xaxaxxaxxax

0)( 2121

2 =++− xaxxxxaax

[ ] 0)( 2121

2 =++− xxxxxxa Por lo tanto:

0))(( 21

2 =−−=++ xxxxacbxax donde 1x , 2x son raíces. Así que dada dos raíces de la ecuación cuadrática se podrá construir la ecuación.

128

ANEXO 3

129

Registro de las Actividades Desarrolladas

Sección 1 Sección 2 Sección

4 Sección

5 Sección

6 Sección

7

No. de

Alumno

Act. 6 y 7

Act. 8 y 9

Act. 10

Evaluación

Act. 1

Act. 2 y 3

Act. 4

Act. 5

Act.7

Evaluación

Evaluación

Evaluación

Evaluación

Evaluación

Evaluación

Final

1 10 9 5 8.0 7 5 9 10 10 8.2 10 9 10 10 9.2

2 4 9 3 5.3 7 8 3 5 6 5.8 10 6 4.5

3 8 5 2 5.0 7 6 10 9 7 7.8 10 10 10 10 8.8

4 10 9 7 8.7 7 4 10 10 8 7.8 10 10 10 10 9.4

5 9 9 9 9.0 7 4 10 10 9 8.0 10 10 10 10 9.5

6 9 5 3 5.7 6 10 9 8 10 8.6 10 9 10 7 8.4

7 6 8 4.7 7 9 9 9 7 8.2 3 1 10 9 6.0

8 3 10 3 5.3 6 10 10 9 7.0 3 5 10 10 6.7

9 6 7 5 6.0 6 9 6 8 7 7.2 10 5 5 5.5

10 7 9 3 6.3 7 10 10 9 9 9.0 10 9 10 7 8.6

11 9 9 9 9.0 7 10 10 10 8 9.0 10 10 10 10 9.7

12 4 8 6 6.0 7 7 9 10 7 8.0 10 10 7 7 8.0

13 5 1.7 10 10 8 7 7.0 7 8 10 5.6

14 8 9 8 8.3 7 10 10 10 9 9.2 10 10 10 10 9.6

15 8 9 7 8.0 7 6 10 10 10 8.6 10 10 10 10 9.4

16 5 1.7 8 8 8 7 6.2 3 6 6 3.8

17 10 9 8 9.0 7 9 9 10 7 8.4 10 10 10 10 9.6

18 9 9 9 9.0 6 10 10 10 10 9.2 10 10 10 10 9.7

19 10 9 8 9.0 7 5 8 9 9 7.6 7 9 10 7.1

20 6 10 5.3 7 9 9 9 9 8.6 7 6 8 6 6.8

21 7 2.3 7 5 10 7 10 7.8 10 9 10 6 7.5

22 10 3.3 10 9 9 10 7.6 10 10 10 7 8.0

23 3 4 2.3 6 6 9 9 7 7.4 7 6 3 4.3

24 9 10 6.3 7 4 9 8 3 6.2 3 6 6 10 6.3

25 10 10 7 9.0 7 5 8 8 9 7.4 10 8 9 7.2

Promedio grupal por cada actividad:

7.7 8.1 6.1 6.8 7.5 9.0 8.9 8.2 8.6 8.0 8.9 8.8

Promedio final del grupo: 8.0 Nota: Cabe aclarar que la sesión 3, se trabajo en clase de manera grupal, la actividad tuvo que ver con el planteamiento de problemas.

130

Registro de las Tareas

A continuación se presentan las tareas realizadas por los alumnos en cada sesión de trabajo.

Sección 1 Sección 2 Sección 4 Sección 5 Sección 6 Sección 7

No de Alumno

Áreas

Desarrollo de

Binomio

Act. 6

Act. 8

Act. 9

Resumen

sección 1

Resumen

Factorización

Act. 4 Ec.

Incompletas

Act. 3

Act. 8

Act. 11

Resumen Ec.

Cuadráticas

Act. 4 Gráfica y

Solución

Act. 1

Total de Tareas

1 * * * * * * * * * * 10

2 * * * * * * * * 8

3 * * * * * * * * * * * * 12

4 * * * * * * * * * * * * 12

5 * * * * * * * * * * 10

6 * * * * * * * * * * * 11

7 * * * * * * * * * * 10

8 * * * * * * * * 8

9 * * * * * 5

10 * * * * * * * * * * * * * * 14

11 * * * * * * * * * * * * * * * 15

12 * * * * * * * 7

13 * * * * * * * * 8

14 * * * * * * * * * * * * * * 14

15 * * * * * * * * * * * * * * * 15

16 * * * * * * * * 8

17 * * * * * 5

18 * * * * * * * * * * * * 12

19 * * * * * * * * * 9

20 * * 2

21 * * * * * * * * * * * * * * 14

22 * * * * * * * * * * * * * * 14

23 * * * * * * * * 8

24 * * * * * * * * * * 10

25 * * * * 4

Nota: El símbolo * significa que entregaron la tarea. Con la información obtenida con el cuadro de arriba se puede observar que en cuanto a las tareas, más de la mitad de los alumnos la realizaron.

131

ANEXO 4

132

Cuestionario

Tema: Ecuaciones de segundo grado en una variable

Nombre: _________________________________________ Fecha: _________ Plantel: __________________

1. ¿Cómo abordas tus estrategias para trabajar la unidad de ecuaciones de segundo grado en una variable? 2. ¿Cuáles son tus actividades de desarrollo en este tema? 3. ¿Consideras que el tema de factorización y productos notables es un tema que a los alumnos se les dificulta? ¿Por qué? 4. ¿Qué instrumentos de evaluación utilizas para la unidad de ecuaciones de segundo grado?

133

ANEXO 5

134

Información recabada por los profesores de Matemáticas I Se llevo a cabo una entrevista en forma de cuestionario (ver anexo 4) a tres profesores que imparten la materia de matemáticas y cada uno contestó 4 preguntas de manera individual. La entrevista tiene como finalidad conocer algunas de las estrategias que utilizan los profesores para trabajar con la unidad de ecuaciones de segundo grado, y cuáles son las actividades que emplean para el desarrollo de este tema. Que opinión tienen en cuanto a los temas de factorización y productos notables ya que a los alumnos se les dificulta; qué alternativas emplean para mejorar las dificultades que presentan los alumnos. Y por último que instrumentos de evaluación utilizan. A continuación se menciona la información obtenida por los profesores entrevistados. Profesor A Respuestas a las preguntas 1 y 2. Esta es de una manera concisa de cómo: abordar el tema y estrategias para desarrollar la unidad de ecuaciones de segundo grado en una incógnita. 1. Se inicia el desarrollo de esta unidad proponiendo problemas, cuyo planteamiento para su solución originen ecuaciones cuadráticas. Al proponer problemas para llevar a cabo lo anterior es importante considerar los siguientes aspectos metodológicos: Que el alumno:

- Lea y entienda bien el problema propuesto. - Identifique lo que desea saber. - Identifique la información o datos del problema. - Utilice literales para representar la incógnita (s). - Relacione la incógnita con los datos del problema. - De acuerdo a la característica del problema formule la ecuación que sirva para

resolverlo.

2. Ya determinada la ecuación existen varias interrogantes:

- ¿Qué forma (algebraica) tiene el problema? - ¿Conoces o recuerdas los métodos para resolver la ecuación cuadrática? - ¿Cuál es el método adecuado para resolver la ecuación?

3. Se deben seleccionar problemas que originen ecuaciones cuadráticas de la forma:

0) 2 =+ bxaxi 0) 2 =+ caxii y 0) 2 =++ cbxaxiii .

135

4. Se procede a aplicar los tres métodos de solución: Factorización, completando cuadrados y la fórmula general.

- Se sugiere aplicar cada uno de ellos para resolver la ecuación cuadrática obtenida en cada problema.

De esta manera el alumno aprenderá que al aplicar cualquiera de estos métodos obtendrá los mismos resultados.

5. Se resuelven diversas ecuaciones cuadráticas aplicando factorización y completando cuadrados. 6. Como el alumno ya ha realizado diversos ejemplos aplicando el método de completar

cuadrados, se debe proponer que resuelva la ecuación 02 =++ cbxax , aplicando este método. De entrada el alumno “manifiesta” dudas ¿cómo resolverla si los coeficientes no son numéricos? El profesor sugiere seguir los mismos procedimientos del método de completar cuadrados. ¡Sorpresa! Obtiene la fórmula cuadrática. 7. Resolver diversas ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general.

Se encontrarán raíces en las que el discriminante acb 42 − pueda ser positivo, cero o negativo. 8. Es importante tratar en el tema la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática. 9. Considero importante introducir el tema de los números complejos con respecto a su representación yix + o bia + . Explicar el significado de la i . 10. Proponer problemas que originen ecuaciones cuadráticas para que el alumno los plantee y resuelva (extra-clase). 11. Ejercicio. Resolver ecuaciones cuadráticas en las que el alumno aplique los métodos. Respuestas a las preguntas 3 y 4. Obviamente que el tema de productos notables siempre “ofrece” dificultades al alumno para su aprendizaje. Quiere memorizar. Pero para eliminar obstáculos se sugieren dos formas para su aprendizaje mediante ejemplos:

a) De tipo numérico. b) Áreas.

Por ejemplo:

?82 =

136

( )22 358 +=

( ) ( ) ( )( ) ( )2223352535 ++=+

93025 ++=

( ) 64352 =+ Que es lo mismo que 28 .

Se deben seleccionar ejercicios en los que obtenga áreas de figuras geométricas en las que combinas áreas de cuadrados con áreas de rectángulos. Por lo que respecta a la factorización, factorizar el trinomio de segundo grado implica algunas dificultades. Sin embargo se proponen casos para buscar eliminar estas dificultades.

Uso del discriminante acb 42 − en cbxax ++2 . Si acb 42 − es un cuadrado perfecto es posible encontrar los números que cumplan:

Dos números r y s tales que bsr =+ y csr =∗

Encontrados estos, se procede a factorizar o bien se aplica la fórmula general para factorizar. Nota: aunque esto a veces no es fácil. Los instrumentos para evaluación. Se propone un examen escrito que contenga:

a) Resolver 2 ecuaciones aplicando factorización. b) Resolver 2 ecuaciones aplicando completando cuadrados. c) Plantear y resolver un problema. d) Proponer una ecuación en la que el alumno diga qué tipo de raíces tiene (uso del

discriminante) que no la resuelva. Profesor B Respuestas a las preguntas 1 y 2 1. Para iniciar el tema, se utiliza un problema con la finalidad de resolver mediante cálculos aritméticos, para posteriormente plantear el problema usando una ecuación cuadrática. Posteriormente se usa la fórmula para resolverlo y se menciona que se resuelve por otras formas: factorización, completando cuadrados. 2. Continuando con el tema, se proponen otros problemas de simbolización de enunciados y se resuelve con la fórmula, la ecuación planteada. Se proponen ecuaciones en donde las soluciones son enteras, posteriormente racionales y finalmente con raíces irracionales. La ventaja de utilizar la fórmula y después factorización o completando cuadrados es que

al revisar el discriminante acb 42 − si resulta un número con raíz cuadrada exacta, aseguramos al alumno que es factorizable la ecuación dada, o en caso de tener por

137

resultado un número negativo se indica que la ecuación no es factorizable y las soluciones que tienen no son reales (imaginarias). Completando cuadrados. Esta manera de resolver ecuaciones las utilizo para resolver algunos ejemplos y después

deducir la fórmula a

acbbx

2

42 −±−= ; comparar con las otras formas de resolverlos.

También el método de completar cuadrados se utiliza cuando en la función cuadrática

( ) cbxaxxf ++= 2 se buscan las coordenadas del vértice (máximo o mínimo) o que

tenga la forma de la función ( ) ( ) khxdxf ++= 2.

3. Proponer ejercicios y resolverlos, después los alumnos resuelven algunos individualmente o en equipo, en esta actividad lo importante es realizar las comprobaciones de cada ecuación y aquí incluyo operaciones aritméticas en donde se puede utilizar calculadora, para soluciones irracionales. Respuestas a las preguntas 3 y 4 Con respecto al tema de factorización, lo que sucede es que a los alumnos se les dificulta utilizarlo, por tener la opción de resolver ecuaciones por fórmula, aunque debería aclararse que toda ecuación cuadrática es factorizable en los complejos, pero en este nivel se utilizan solamente las raíces enteras o racionales. En cuánto al tema de productos notables, considero que a los alumnos se les debe dar opciones para realizarlos (operaciones algebraicas) y hacer notar que utilizando las “reglas”, los cálculos son inmediatos y son utilizados en la reducción de expresiones algebraicas. Instrumentos de evaluación En ell tema de ecuación cuadrática la evaluación es la siguiente: La evalúo con las actividades realizadas en el salón de clases (solución de ejercicios individuales o en equipo) y ocasionalmente la aplicación de un examen individual, también considero la asistencia al curso y los apuntes del alumno. Profesor C Respuestas a las preguntas 1 y 2

- Iniciar el tema planteando varios problemas 3 o 4, de tal manera que se obtengan diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado y que los alumnos planteen el modelo.

- Posteriormente los alumnos deberán resolver las ecuaciones obtenidas sin utilizar la fórmula general.

- Así los alumnos se verán en la necesidad de factorizar. - Los alumnos grafican las ecuaciones y relacionan la ecuación con la función, es

decir, los ceros de la función con la solución de la ecuación.

138

Respuestas a las preguntas 3 y 4 Considero que los alumnos sí tienen dificultades con los temas productos notables y factorización. Cuando presentan dificultades con la aritmética, deben hacer muchas cuentas ya que utilizan mucho las calculadoras, además los alumnos traen malos hábitos, la manera en cómo esta estructurado el programa de estudios ya no los obligan a hacer ciertas cosas. Como dice Piaget es una estructura que está formada y no se puede construir sobre ella. Instrumentos de evaluación La manera en como se hace la evaluación es con los exámenes, la práctica diaria y las tareas. Por ejemplo, divido el pizarrón en 4 partes y paso a los alumnos a resolver ecuaciones y el profesor va haciendo anotaciones, los paso al azar. La evaluación es diaria, esto estimula el esfuerzo de los alumnos, además ayuda a detectar errores en ellos. El trabajo del profesor es ayudar al alumno a pensar, que le cueste un poco de trabajo pero que lo pueda resolver, buscar la manera de que sea como algo natural, así como crear la necesidad para aprender no por obligación. Se puede concluir que la información proporcionada por los tres profesores en cuanto a la enseñanza de las matemáticas está enfocada a los recursos individuales de cada profesor, de tal manera que la variable principal es el profesor, en cuanto a que cada uno tiene su propio método de aplicación para la enseñanza de la materia. Así cada profesor tiene su propio estilo, su creatividad, sus propias experiencias pedagógicas, sus recursos disponibles con los que cuenta, etcétera. Sin embargo la esencia es la misma ser mejores profesores, lo cual se verá reflejado en el proceso de aprendizaje de los alumnos.

139

ANEXO 6

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OPINIÓN DE LOS ALUMNOS A continuación se presenta las opiniones de los alumnos, ya que después de concluir las actividades de enseñanza – aprendizaje, se les preguntó de manera individual que escribieran sus comentarios acerca de como les pareció el material elaborado para la quinta unidad de la materia de Matemáticas I. Para esta actividad para identificar a los alumnos se les etiqueto en orden alfabético empezando por apellido. Así se les asignó un número del 1 hasta el 23. También se les pidió que hicieran una evaluación sobre el curso y sobre su desempeño en las clases. Así las preguntas fueron las siguientes:

A. Da una evaluación del curso. B. ¿Qué te pareció el material de la quinta unidad? Argumenta tu respuesta.

Cabe aclarar que las palabras son textuales de lo que escribieron los alumnos. Alumno1:

Respuesta A: En lo personal no me gustan las matemáticas, pero durante este semestre me di cuenta que en realidad no son tan aburridas y difíciles como creí que eran. Me gusto mucho la forma de trabajo y la manera en que la maestra explicaba cada ejercicio, además de la forma de calificar. Cuando comencé estaba segura que iban a ser más pesadas que en la secundaria, pero descubrí que no, al contrario se me hizo fácil y no tan aburrido. En general opino que el ambiente de trabajo fue agradable desde que el semestre comenzó hasta que termino. Además me resulto más fácil comprender algunos ejercicios, ya en la quinta unidad. Respuesta B: Pienso que fue muy buena idea trabajar así la quinta unidad, ya que fue una idea distinta, sinceramente me hubiera gustado que todas las unidades las hubiésemos trabajado de este modo, ya que me resulto aún más fácil, ya que el libro explicaba paso por paso cada ejercicio. Fue una manera más fácil y más rápida de aprendizaje. Alumno 2:

Respuesta A: Bien es un buen curso ya que repasamos algunos temas en los cuales quedan duda, con este curso es un reforzamiento de lo aprendido en la Secundaria. Además de tener buenos temas la explicación, el material ayuda bastante para el aprendizaje. Si me gusto estuvo bien todo el repaso y lo aprendido durante el semestre y lo que falta. Respuesta B: Además de ser un buen apoyo como material sirvió demasiado ya que las explicaciones están bien definidas y ejemplificadas, puede servir como repaso para el examen. Me ayudó demasiado y me va a ayudar para el examen gracias a las explicaciones y ejemplos que se encuentran.

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Alumno 3:

Respuesta A: Este primer semestre de matemáticas me pareció muy divertido, fue muy interesante. Las explicaciones de la profesora, fueron muy completas y exactas por lo cual las actividades no se tornaron aburridas. También me gusto, la paciencia que tuvo la profesora, para explicarnos y resolver las dudas de todos y cada uno de nosotros. Respuesta B: El material de esta unidad me pareció muy completo, las explicaciones están bien planteadas además las actividades son muy interesantes aunque se me dificultaron un poco. Alumno 4:

Respuesta A: En este bimestre evaluaría con un 9 a la materia de matemáticas ya que al inicio me pareció que era muy fácil la materia ya que la maestra explicaba muy bien las cosas a las que no les entendíamos. Pero al final de la cuarta unidad cuando nos dió el libro se me hizo un poco más difícil ya que a algunas cosas no les entendía bien y la maestra ya casi no explicaba. Respuesta B: Creo que con este material logramos aprender muchas cosas, o también las pudimos repasar, debido a que a muchos ya nos lo habían enseñado. También por partes se me hizo un poco difícil y confuso pero al final logre comprenderlo muy bien. En conclusión, creo que el material fue muy bueno para el aprendizaje de la materia. Alumno 5:

Respuesta A: El curso es muy bueno ya que todos participamos y aprendemos más aportando cosas. Además la profesora nos explica y si tenemos dudas podemos preguntar y nos explica hasta que resolvamos la duda. Me parece a veces que es un poco pesado porque todas las clases dejaba tarea y es así como aprendíamos más pero es lo único que no me gusto mucho. En cuanto a las explicaciones y la forma de dar clases creo que es muy buena técnica la que usa. Y eso del preguntar todas las clases sobre dudas de un tema anterior es muy bueno ya que el alumno aclara sus dudas. Mi evaluación sería un 9. Respuesta B: Este material yo considero que es excelente porque contiene una pequeña explicación y ejercicios y eso es muy bueno porque hace muy amena la clase, sin problemas de no entender. Algunos libros de álgebra son buenos pero aburren por su gran contenido y este es bueno porque tiene pequeño contenido y se entiende más fácilmente. Alumno 6:

Respuesta A: A mi el curso se me hizo muy bueno pues aprendí muchas cosas y recordé otros se me hizo algo difícil pero creo que me esmere, el curso se me hizo algo constructivo y aprendí más de lo que pensé aunque a veces algunas cosas se me dificultaron lo que se me hizo pesado fueron algunas tareas.

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Respuesta B: El material de la 5ª unidad al principio no me gusto mucho pues se me hacía imposible terminarlo pero después al leerlo y entender de lo que trataban los temas se me fue facilitando resolverlo, aunque algunas actividades o ejercicios se me complicaban trate de resolverlos y casi término el libro que al principio me pareció imposible de terminar, actividades como esta para mi son excelentes pues nos ayudan a nosotros los alumnos a comprender mejor los conceptos y o reafirmar y evaluar nuestro desempeño durante todo el semestre. Alumno 7:

Respuesta A: Me pareció un buen curso ya que si no le entendíamos a algunas cosas la maestra nos explicaba y creo muy bien. También creo que el curso fue bueno ya que los temas no fueron muy difíciles y las explicaciones fueron muy bien hechas por parte de la maestra. Lo que no me gusto fue que nos dieran hasta el último algunos temas ya que los vimos de prisa no le entendí muy bien. Respuesta B: Me pareció muy buen material ya que si tiene muy buenas explicaciones y ejercicios muy buenos para entenderlo mejor además con este librito es más fácil de hacer las cosas y entenderlo. Alumno 8:

Respuesta A: El curso me pareció muy bueno e interesante ya que explicaba cada tema ampliamente y resolvía las dudas de todo el salón aunque solo fuera una persona la que no entendiera y esto ayudaba a repasar a los que ya sabían el tema, todos los temas los aprendí aunque a la hora del examen quien sabe que pasaba que salía mal y yo lo resolvía como había explicado la maestra. Las tareas también estaban bien ya que era poca y al entregarla la revisábamos entre todos y aclarábamos dudas. La maestra era muy tolerante ya que no nos puso horario de llegada y en el salón nos dejaba hablar y platicar siempre y cuando hiciéramos la actividad y pusiéramos atención a la hora de clase. Fue un buen curso porque no fue exigente como yo pensaba pero si dejó una muy buena enseñanza y así aprendo mejor sin presión. Respuesta B: Me pareció un buen material porque viene especifico y bien explicado en cada punto a desarrollar lo único que no me gusto fueron las actividades para hacer en hojas ya que sería mejor que se resolviera en el libro pero esta chido. Alumno 9:

Respuesta A: El curso fue muy largo y pesado, yo vi que durante el semestre era difícil pasar pero me di cuenta de que no era así. Aprendí varias cosas que no sabia ahora ya se. Sinceramente el semestre se me complico no por esta materia sino por otra. Pero en esta aprendí algo aunque no pase 2 exámenes. Respuesta B: Me pareció que era algo difícil ya que trataba de las ecuaciones de segundo grado y a eso no le entiendo nada pero fui aprendiendo conforme a su contenido y creo que ya más o menos le entiendo. Alumno 10:

Respuesta A: En lo personal se me hizo algo pesado, pues me atrase y luego tuve que ponerme al corriente, otro motivo fue que la clase se me hacía muy pesada, pero pues si

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me gusto el semestre, en relación a los problemas algebraicos no se me hizo tan fácil, se me dificultó, ahora si los puedo hacer pero no todos. También creo que fue mucho trabajo y estuve confusa, sobre todo porque no fue un determinado tiempo para terminar el semestre. Respuesta B: Fue buen complemento y repaso a lo que no me acordaba y a lo que no le entendía. Lo que no me pareció es que hubo muy poco tiempo para resolverlo y se me hizo demasiado cansado de resolver. Estoy confundida con las ecuaciones cuadráticas, aparte de que fue muy rápido el tiempo en el que hicimos el material creo que no me di un tiempo para repasar. Alumno 11:

Respuesta A: Me gusto su técnica pero creo que dejaba mucha tarea, bueno no es que haya dejado mucha sino que cada vez que nos tocaba su clase nos dejaba tarea. Me gusto mucho esta clase porque usted nos explicaba muy bien los temas paso por paso para que aprendiéramos mejor. Respuesta B: Pues a mi si me gusto el material nadamás que en algunas definiciones venían confusas, pero en general estuvo bien y creo que con ese libro aprendimos más y fue una buena técnica para trabajar, aunque también algunos ejercicios venían confusos. Alumno 12

Respuesta A: En una escala del 1 al 10, yo le pondría un 9, ya que en cada unidad se fue explicando detalladamente, y si no entendía se volvía a explicar hasta que entendiera, el modo de atención fue amable y no nos confundía al explicar, pero, por otro lado, el curso fue muy tardado, haciendo que muchos nos aburriéramos, ya que solo teníamos que venir a esta clase o si acaso a alguna otra, pero casi siempre fue solo a esta, por ello yo le calificaría con un 9. Respuesta B: El material fue bueno y gustoso, ya que te explicaba como resolver las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, la explicación que te daba era buena y detallada, a modo que le entendiéramos, pero a veces, te confundía ya que no tenía los ejemplos muy claros, es decir, era con lenguaje algebraico y a veces no se entendía, pero de ahí en fuera, todo el material me pareció bueno y gustoso, porque a la mayoría de las explicaciones se le entendía y te explicaba a modo que le entendieras. Alumno 13:

Respuesta A: Me pareció bueno, sin embargo creo que los temas los comprendía en el momento, pero cuando se trataba de resolver los ejercicios, me costaba bastante trabajo, sin embargo el hecho de que nos explicara las cosas en el pizarrón fue de mucha utilidad. En cuanto a calificaciones creo que no saldré tan bien pero logre comprender varios temas por lo que creo que éste curso fue bueno pero creo que pude dar más, puesto que el material y las clases eran para aprovecharse. Respuesta B: Bastante bueno, puesto que sirve de apoyo por los ejemplos que trae es como una guía, además lo podemos practicar mediante los ejercicios y si tenemos dudas, las podemos consultar en las explicaciones que vienen en el cuadernillo.

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Alumno 14:

Respuesta A: Me pareció excelente ya que la maestra explica muy bien, realizamos varios ejercicios, además realiza la clase muy agradable ya que todos participamos y realizamos los ejercicios en el pizarrón y así saber si nuestra respuesta esta bien o mal y si esta mal nos dice en que nos equivocamos. Nos proporciona material de apoyo y así practicamos más nuestros conocimientos. Respuesta B: Es un material muy bien elaborado ya que te explica paso por paso como resolver los ejercicios te pone ejemplos y te realiza una buena explicación además de una clara conclusión. Alumno 15:

Respuesta A: Bueno, el curso de este semestre me pareció muy bueno y de muy buena calidad, ya que la maestra, sabe explicar muy bien los temas, los argumenta bien, pero lo que más me gusto, fue que tiene mucha paciencia con sus alumnos, ya que si alguien no le entiende, por lo mínimo que sea, la maestra le responde todas sus dudas. A mi en especial, me ayudó mucho, pues desde la primaria no me gustaban las matemáticas y en la secundaria casi y las odie, pero ahora, si bien no le tengo un gran amor, pero si me agrada más esta materia y más, por los ejercicios, me ponen a pensar y no me doy por vencida, hasta que los termino. Solo quiero darle las gracias a usted maestra, me ayudó a comprender cosas que no entendía y de verdad espero verla el próximo semestre, ya que su clase me gusto mucho y me cayó muy bien. Respuesta B: Me pareció muy bueno, ya que esos ejercicios me ayudaron a comprender todos los temas, entendí todo acerca de las ecuaciones, ya que esos temas no les entendía. Alumno 16:

Respuesta A: Bueno, el curso me pareció que estuvo bien porque supo explicar bien. Y también creo que tuvo mucha paciencia con todos para explicar todos los temas, en especial las ecuaciones lineales. Si hubo algunos temas que no les entendí pero creo que solo fue 1. Respuesta B: El material al principio estuvo fácil. En realidad si estuvo algo extenso pero no estuvo tan difícil. Solo que si hubo algunos temas que no se explicaban completamente o a veces no era lo mismo que se veía en clase. También puedo decir que entendí más a la explicación que se daba en clase que la que venía en el libro. Alumno 17

Respuesta A: Este es uno de los mejores cursos que he tomado, por la cantidad de temas nuevos que aprendí. Es un curso muy completo y me gusto mucho la actitud de la profesora ya que cuando no entendías algo te lo explicaba aún cuando tú fueras el único que no entendías. Otra cosa muy importante es el nivel de la profesora y la forma en la que preparaba sus clases.

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Respuesta B: Es un material muy completo y me ayudó a comprender y complementar los temas que no había entendido aún. Me hubiera gustado que tuviera más espacio para poder contestar todo en el libro. Este material ayudó mucho, ya que complementaba la clase. Alumno 18:

Respuesta A: Pues si me gusto la manera en que se dieron las clases, aunque hubo momentos en que la profesora iba muy acelerada y pues no era tan fácil por así decirlo hacer los ejercicios. Si hubo muy buena explicación, bien desarrollada, buenos ejemplos, los exámenes pues también nada fuera del otro mundo, aunque lo que no me agrado mucho fue lo de esta última unidad ya que pues fue así como de improvisto y ya muy así como que muy a la carrera y muy estresante en parte porque pues fue de que el libro se dió ya hasta casi lo último del semestre. Fuera de eso la clase se hizo muy didáctica, muchos de los que no entendían mejor pasaban a resolverlo y así mejor para darle más entendimiento a la clase. Respuesta B: Muy buen material. Tiene bien las definiciones muy concretas, bien resumidas, entendibles y aparte de todo es excelente calidad. Muy buen trabajo. Alumno 19:

Respuesta A: En lo personal me agrado la forma en que explicó el curso y como nos trato a cada uno, ya que nos tuvo mucha tolerancia, aunque al final el trabajo fue muy rápido. Respuesta B: Me pareció bueno, porque esta bien explicado: con ejemplos y definiciones. Las ecuaciones que ahí se presentan hicieron que desarrollara las habilidades para resolver y plantear ecuaciones. Alumno 20:

Respuesta A: El curso me pareció un poco difícil las cosas que vimos no lo eran tanto pero en los exámenes no salí muy bien. El curso estuvo bien a lo mejor si hubiera sacado mejores calificaciones estaría satisfecha con lo que hice se que si aprendí porque también fue como un repaso de lo que vi en tercero de secundaria pero diferente. La verdad no me se expresar mucho y no puedo poner por lo menos la mitad de la hoja pero para mi este curso fue difícil porque fue el primer semestre me costo trabajo adaptarme pero respecto a la materia creo que estuvo muy bien aunque me siento mal por los exámenes que aunque si sabia saque malas calificaciones. Respuesta B: Me pareció muy bien, la verdad la factorización a mi se me hace muy difícil pero leyendo bien pude entender. El cuadernillo esta bien, las instrucciones, los ejercicios se me hicieron un poco difíciles pero estuvo bien. Alumno 21:

Respuesta A: En general todo el curso me pareció atractivo, aunque en un principio no estaba bien acoplado a mis compañeros y a la maestra. Se me hizo un poco sencillo, ya que la mayoría de los temas vistos ya me los habían enseñado con anterioridad, pero de igual manera fueron interesantes.

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Del mismo modo, estudiamos temas que para mi eran desconocidos o no los recordaba muy bien. Una de las cosas que más me agrado fue el tema de las ecuaciones cuadráticas, pues lo entendí bien y rápido, lo que en realidad no me gusto fue la tarea, no porque haya sido muy pesada más bien fue porque no me gusta hacer tarea. También algo que me gusto fue el que nos separaran en dos secciones, así los maestros ponen más atención en cada alumno. Respuesta B: Fue bueno, solamente que lo realizamos muy rápido, y no es que no lo entendiera sino que teníamos que hacer tarea casi diario. El cuaderno con relación a los temas me agradó pues estaba muy bien explicado y de manera sencilla además de que abarco muchos temas. Puedo concluir que fue un material excelente pero no hay que hacerlo con tantas tareas. Alumno 22:

Respuesta A: El curso me pareció muy bueno, ya que aprendimos muchas cosas nuevas y algunas otras cosas que ya habíamos visto antes, pero nos sirvió para darles un repaso y de esta forma recordarlas y tener más práctica. Respuesta B: Me pareció que estaba muy bien explicado y daba muy buenos ejemplos y eran claros, ya que si seguías los pasos que se daban para resolver los ejercicios se podían hacer con facilidad. Este material del cuadernito me pareció muy bien elaborado ya que contenía ejercicios muy buenos. Alumno 23:

Respuesta A: En lo personal, a mi este curso me pareció muy bueno, ya que entendí muy bien todos los temas, gracias a la maestra que supo explicar muy bien, sin confundirme. Y las veces que no entendía muy bien la maestra me explicaba hasta que me quedara claro. Yo pienso que la maestra tiene mucho que ver con el aprendizaje, y para mi, la maestra es muy profesional y tiene mucha capacidad para explicar. Este curso me gusto mucho, ya que entendí bien matemáticas y me toco muy buena maestra. Respuesta B: El material de la 5ª unidad fue muy útil y bueno. Ya que te explica todo paso a paso, su objetivo y el procedimiento. Y lo bueno era que si no le entendías lo volvías a leer y comprendías los ejemplos. Además que ahorrábamos tiempo, aunque la maestra nos explicaba lo que nos parecía difícil. Pero fue un material bien elaborado, bien redactado y con muy buenos conocimientos y ejemplos.