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Departamento de Didáctica de la Matemática
Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Granada
Tesis Doctoral
ESTIMACIÓN EN CÁLCULO CON NÚMEROSDECIMALES: DIFICULTAD DE LAS TAREAS YANÁLISIS DE ESTRATEGIAS Y ERRORES CON
MAESTROS EN FORMACIÓN
Carlos de Castro Hernández
GRANADA, 2012
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Departamento de Didáctica de la MatemáticaFacultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Granada
ESTIMACIÓN EN CÁLCULO CON NÚMEROSDECIMALES: DIFICULTAD DE LAS TAREAS YANÁLISIS DE ESTRATEGIAS Y ERRORES CON
MAESTROS EN FORMACIÓN
Tesis Doctoral que presentaCARLOS DE CASTRO HERNÁNDEZ
Fdo.: Carlos de Castro Hernández
Vo B
o del director V
o B
o del director
Fdo.: Dr. D. Enrique Castro Martínez Fdo.: Dr. D. Isidoro Segovia Álex
GRANADA, 2012
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Este trabajo de tesis doctoral ha sido realizado dentro del proyecto
EDU2009-11337 "Modelización y representaciones en educación
matemática'', financiado por el Plan Nacional de I+D+I del Ministerio de
Ciencia e Innovación (España) y cofinanciado con fondos FEDER de la
Comunidad Europea.
El estudio se enmarca en el seno del grupo de investigación Didáctica de
la Matemática. Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada, del
Plan Andaluz de Investigación de la Junta de Andalucía (FQM0193).
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A Marisa, la de siempre
A mis padres, Jesús y Aurora
Y a Lourdes, mi hija
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AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Enrique Castro Martínez y al Dr.
Isidoro Segovia Álex, directores de la presente tesis doctoral, por su paciencia
en el seguimiento de un largo proceso de formación investigadora y de
culminación del trabajo de investigación. Su disponibilidad siempre que hacía
falta, su apoyo, aliento, su comprensión y sus orientaciones me han mantenido
en el esfuerzo. Sus investigaciones sobre problemas de estructura multiplicativa
y sobre estimación inspiraron la mía a partes iguales.
Gracias a todos los miembros del Grupo de Pensamiento Numérico Algebraico
(PNA), perteneciente a la Sociedad Española de Investigación en Educación
Matemática (SEIEM). Las investigaciones que se han desarrollado en el seno de
dicho grupo han contribuido decisivamente en mi formación investigadora a lo
largo de los últimos años. Las distintas reuniones del Grupo PNA, desde
Palencia (2001), en la que realicé mi primera presentación, previa a la lectura
de la memoria de tercer ciclo, hasta la última, celebrada en Granada (2011),
han posibilitado el debate y el progresivo afinamiento de muchas de las ideas
que se aportan en esta tesis.
Gracias a todos los profesores del Departamento de Didáctica de las
Matemáticas de la Universidad de Granada, por la formación que me han dado.
Mirando atrás, ir a Granada a estudiar fue el mayor acierto. Los méritos que
pueda tener el presente trabajo de investigación, así como los futuros, deberán
atribuirse en gran medida a los que han sido (y seguirán siendo) mis maestros.
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A María Paz Bujanda Jáuregui, gracias a la cual me incliné por la Especialidad
de Didáctica de las Matemáticas, cuando estudiaba la Licenciatura en
Matemáticas, y a D. Miguel de Guzmán Ozámiz, que me recomendó realizar el
doctorado en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad
de Granada. Las opciones fundamentales que tomé, orientado por ellos, han
sido decisivas en mi vida.
Al Doctor D. Leopoldo Gonzalo, sin cuyo apoyo y amistad, seguramente no
hubiese tenido ocasión de dedicarme a la enseñanza universitaria, ni se me
hubiera ocurrido hacer un doctorado.
A mis padres, Jesús y Aurora, que siempre han confiado en mí, me han
apoyado y ayudado en todo, a los que tanto tengo que agradecer…
Y, finalmente (que significa aquí ‘hasta el final’), un agradecimiento que no
acabe nunca para Marisa y para Lourdes -“Papá está haciendo tesis”-, las más
perjudicadas por el tiempo dedicado durante tantos años a la investigación
hasta ver concluido este trabajo. Espero saber recompensarlas con acierto por
su generosidad, y por todos los sacrificios que han hecho por mí. Como en el
cuento de la Oveja Selma, si alguien me pregunta alguna vez qué es el amor, y
no sé darle una respuesta teórica, tendré que contarle la historia de Marisa.
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ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1. Planteamiento del problema.............................................................1
1. Introducción: Origen y delimitación del problema a investigar.............2
1.1. Un problema docente en el inicio..............................................2
1.2. Del problema docente al problema inicial de investigación... .5
1.3. El problema de investigación definitivo....................................6
2. La estimación en cálculo: aspectos fundamentales para la investigación
...............................................................................................................7
2.1. La estimación como campo de estudio......................................7
2.2. Estimación y resolución de problemas......................................8
2.3. Justificación del interés de la investigación.............................10
2.4. Estimación y aproximación......................................................15
2.5. La estimación y el valor matemático del control....................17
2.6. Procesos, destrezas y estrategias en la estimación...................18
2.7. Modelo cognitivo-metacognitivo para la estimación..............21
3. Objetivos de la investigación..................................................................27
Capítulo 2. Fundamentos teóricos........................................................................29
1. Estrategias en Matemáticas.....................................................................29
1.1. Procedimientos en Matemáticas: Destrezas, algoritmos,
heurísticos y estrategias............................................................30
1.1.1. Procedimientos..............................................................30
1.1.2. Destrezas........................................................................31
1.1.3. Algoritmos.....................................................................32
1.1.4. Heurísticos.....................................................................35
1.1.5. Estrategias......................................................................36
1.1.6. Nivel de generalidad en la consideración de las
estrategias......................................................................38
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2. El error en el aprendizaje de las Matemáticas........................................38
2.1. Significados, términos afines, y metáforas para el error.........39
2.2. Error e incertidumbre...............................................................41
2.3. Error e ignorancia.....................................................................42
2.4. Algunas cuestiones sobre el error desde la epistemología......43
2.5. Aspectos cognitivos del error...................................................48
2.5.1. Mecanismos productores de errores..............................48
2.6. ‘Misconceptions’ y errores........................................................50
2.7. El error como resultado de un ‘tipo’ de pensamiento.............52
2.7.1. Procepto, pensamiento proceptual y cristalización... .54
2.7.2. La división proceptual...................................................56
2.7.3. Implicaciones didácticas del modelo y propuestas para
abordar el problema......................................................56
2.8. El error resultado de un obstáculo...........................................58
2.9. El error en la escuela.................................................................60
2.9.1. Error, culpa y atribución de responsabilidad...............60
2.9.2. Error y evaluación.........................................................63
2.10. Enfoques en Didáctica de las Matemáticas para aprender de
los errores..................................................................................64
2.10.1. Un modelo de enseñanza a partir del error: La
enseñanza diagnóstica...................................................65
2.10.2. La investigación matemática a partir del error: El
trabajo de Raffaella Borasi............................................67
2.10.3. El error dentro de los “organizadores del currículo”. .69
2.11. Algunas investigaciones sobre errores.....................................70
2.12. Algunas ideas sobre el error provenientes del ámbito del
cálculo........................................................................................76
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2.12.1. Presencia en trabajos clásicos de errores con decimales
y fracciones....................................................................76
3. Dificultad y dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas.............79
3.1. La concepción psicométrica de la dificultad...........................80
3.2. La dificultad como complejidad...............................................81
3.3. La dificultad en el encuentro del alumno con la tarea...........84
3.4. Dificultad en PISA (2003)........................................................86
3.5. Conclusiones sobre la dificultad en matemáticas....................87
4. Algunos resultados sobre números decimales........................................88
4.1. Algunos aspectos sobre la enseñanza de los números
decimales...................................................................................89
4.2. Los trabajos de la década 1980-1990 sobre números decimales
en la resolución de problemas..................................................92
4.3. Ideas equivocadas de maestros en formación sobre
multiplicación y división con decimales.................................93
4.4. El sentido numérico, el efecto de la alteración de los datos en
el resultado de una operación y la estimación en cálculo.......99
4.5. Relaciones entre el conocimiento conceptual y procedimental
en tareas de estimación en cálculo.........................................104
Capítulo 3. La estimación en cálculo: Revisión de la literatura........................109
1. La estimación en cálculo, antes de 1976...............................................111
2. El periodo ‘dorado’ en la investigación sobre estimación en cálculo
(1976-1994): Los trabajos de Reys, Sowder y Schoen....................117
2.1. La habilidad de estimar y los factores relacionados con el
rendimiento en estimación.....................................................117
2.2. Estrategias y procesos de estimación.....................................122
2.3. Enseñanza de la estimación en cálculo..................................128
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2.4. Evaluación de la estimación...................................................141
2.5. Desarrollo de conceptos y destrezas de la estimación...........145
2.6. La habilidad de estimar de los maestros en formación.........148
2.7. Dificultad de los ítems en pruebas de estimación en función
del tipo de número..................................................................150
2.8. Estimación de multiplicaciones y divisiones con números
decimales menores que uno...................................................152
3. Las aportaciones desde la Psicología a la investigación sobre estimación
en cálculo (1992-2011): Los trabajos de Dowker, Lemaire, Siegler y
Hogan................................................................................................157
3.1. Los trabajos de Dowker y colaboradores...............................158
3.2. Los trabajos de Lemaire y colaboradores...............................159
3.3. Los trabajos de Siegler y colaboradores.................................163
3.4. Los trabajos de Hogan y colaboradores..................................168
3.5. Resumen del enfoque psicológico en la investigación sobre
estimación...............................................................................172
4. La investigación sobre estimación en el periodo (1994-2011) dentro de
la Educación Matemática.................................................................174
4.1. La investigación sobre estimación en lengua española.........195
Capítulo 4. Marco metodológico y diseño de la investigación.........................199
1. Marco metodológico..............................................................................199
1.1. Informes verbales....................................................................199
1.1.1. Aspectos didácticos de los informes verbales............203
1.1.2. La opción elegida sobre los informes verbales en esta
investigación................................................................204
1.2. Estudios de réplica..................................................................207
2. Diseño de la investigación.....................................................................212
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2.1. Caracterización de la investigación.......................................212
2.2. Hipótesis de la investigación..................................................215
2.3. Participantes............................................................................216
2.3.1. El periodo de instrucción sobre estimación...............218
2.4. Variables de la investigación..................................................221
2.4.1. Variables independientes............................................221
2.4.2. Variables dependientes...............................................222
2.4.3. Variables controladas..................................................224
2.5. Instrumentos...........................................................................224
2.5.1. La prueba de estimación.............................................225
2.5.2. Composición de la prueba..........................................226
2.5.3. Procedimiento de aplicación......................................228
2.5.4. Fiabilidad.....................................................................229
2.5.5. Validez.........................................................................234
2.6. Las entrevistas.........................................................................236
2.6.1. Materiales utilizados en la entrevista.........................236
2.6.2. Selección de sujetos para la entrevista.......................236
2.6.3. Forma de conducir la entrevista.................................237
2.6.4. Fiabilidad de la codificación de los datos de la
entrevista.....................................................................237
Capítulo 5. Análisis de datos cuantitativos: La prueba de estimación..............241
1. Introducción...........................................................................................241
1.1. Algunos resultados generales de la aplicación de la prueba de
estimación...............................................................................241
1.2. Técnicas estadísticas empleadas.............................................244
1.3. Hipótesis estadísticas..............................................................245
1.4. Comprobación de los supuestos del análisis..........................246
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2. Resultados generales del análisis de varianza para la variable
dependiente puntuación..................................................................250
3. Estudio de la influencia del factor operación sobre la variable
dependiente puntuación..................................................................257
3.1. Influencia de la operación sobre la puntuación en función del
curso........................................................................................259
3.2. Influencia de la operación sobre la puntuación en función de
la variable mitad......................................................................262
3.3. Influencia del “tipo de operación” sobre la “puntuación”, en
función del “tipo de número”.................................................265
3.3.1. Interacción entre las variables operación y número en
función del curso.........................................................271
3.3.2. Interacción entre las variables operación y número en
función de la mitad de la prueba................................276
4. Estudio del efecto del factor número sobre la variable dependiente
puntuación........................................................................................279
4.1. Influencia de la variable número sobre la puntuación en
función del curso....................................................................281
4.2. Influencia de la variable número sobre la puntuación en
función de la variable mitad...................................................283
4.3. Influencia del “tipo de número” sobre la “puntuación”, en
función del “tipo de operación”.............................................287
4.3.1. Interacción entre las variables número y operación en
función del curso.........................................................291
4.3.2. Interacción entre las variables número y operación en
función de la mitad de la prueba de estimación........294
4.3.3. Interacción entre las variables número y curso en
-
función de la mitad de la prueba de estimación........295
5. Estudio de la influencia de otros factores sobre la puntuación...........298
5.1. Influencia de la variable curso sobre la puntuación.............298
5.2. Fiabilidad de la prueba: Influencia de la variable mitad sobre
la puntuación...........................................................................301
5.3. Análisis individual de los ítems de la prueba de estimación 303
6. Resultados del análisis de varianza para la variable dependiente tiempo
de respuesta.......................................................................................306
6.1. Resultados generales del análisis de varianza para la variable
dependiente tiempo de respuesta...........................................308
6.2. Estudio de la influencia del factor operación sobre la variable
dependiente tiempo de respuesta...........................................309
6.3. Estudio de la influencia del factor tipo de número sobre la
variable dependiente tiempo de respuesta............................311
6.4. Estudio de la influencia de la interacción entre los factores
operación y número sobre la variable dependiente tiempo de
respuesta..................................................................................313
6.5. Estudio de la influencia del factor ‘Curso’ sobre la variable
dependiente ‘Tiempo de respuesta’........................................315
6.6. Relación entre la puntuación media de los sujetos y su tiempo
medio de respuesta..................................................................318
6.7. Relación entre la puntuación media de los ítems y su tiempo
medio de respuesta..................................................................318
Capítulo 6. Análisis de destrezas, conocimientos y procesos metacognitivos y
estrategias.......................................................................................321
1. Destrezas implicadas en los procesos de estimación............................322
1.1. Cifras significativas y orden de magnitud de un número.....323
-
1.2. Modo de determinar las cifras del resultado.........................324
1.2.1. Hechos Numéricos (HN).............................................324
1.2.2. Algoritmo (ALG).........................................................326
1.2.3. Fracciones (FRA).........................................................327
1.2.4. Algoritmo Alternativo (ALT).....................................328
1.3. Modo de operar la coma decimal...........................................329
1.3.1. Multiplicación por potencias de diez (Coma 1).........330
1.3.2. Aplicación de una destreza de aproximación (Coma 2)
......................................................................................333
1.3.3. Sustitución de un decimal por una fracción (Coma 3)
......................................................................................334
2. Resultados del análisis de conocimientos y procesos metacognitivos 336
2.1. Conocimiento metacognitivo.................................................336
2.1.1. Conocimiento metacognitivo de persona (MKP)......336
2.1.2. Conocimiento metacognitivo de persona y tarea
(MKPT) .......................................................................337
2.1.3. Conocimiento metacognitivo de tarea (MKT)...........339
2.1.4. Conocimiento metacognitivo de tarea y estrategia
(MKTS) .......................................................................340
2.2. Control metacognitivo: Monitorización..................................341
2.2.1. Pensar que hay un error en la representación del
problema (MMER)......................................................342
2.2.2. Pensar que hay un error en la ejecución de una
estrategia (MMES).......................................................343
2.2.3. Pensar que se ha cometido un error en la estimación
final (MMEG)..............................................................345
2.2.4. Evaluación del estado actual de la persona (MMP)...346
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2.2.5. Evaluación de la aplicación de una estrategia (MMS)
......................................................................................347
2.3. Control metacognitivo: Regulación.......................................350
2.3.1. Cambio en la destreza de aproximación (MRC1)......351
2.3.2. Cambio en el grado de aproximación (MRC2) .........353
2.3.3. Cambio en la forma de operar la coma decimal (MRC3)
......................................................................................354
2.3.4. Cambio en el modo de determinar las cifras del
resultado (MRC4)........................................................356
2.3.5. Cambio de orden en la operación (MRC5) ...............357
2.3.6. Repetición de los números que intervienen en un
cálculo (MRRN)..........................................................358
2.3.7. Repetición de un cálculo (MRRC).............................359
2.3.8. Repetición del ajuste del valor posicional (MRRA). .360
2.3.9. Repetición global de todo el proceso de estimación
empleando el mismo enfoque (MRRG).....................362
3. Análisis de estrategias de estimación ...................................................364
3.1. Estrategias 'básicas' de estimación.........................................368
3.1.1. Primeros dígitos..........................................................368
3.1.2. Fracciones....................................................................375
3.1.3. Algoritmo alternativo.................................................378
3.2. Configuraciones de las redes sistémicas que no corresponden a
estrategias de estimación........................................................382
3.2.1. La imitación del algoritmo escrito.............................383
3.2.2. Adivinación (no educada)...........................................388
3.2.3. La renuncia a resolver.................................................392
3.3. Las frecuencias en el uso de las estrategias............................393
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Capítulo 7. Análisis de errores e imprecisiones.................................................395
1. Un esquema para la clasificación de los errores en tareas de estimación
...........................................................................................................395
1.1. Marco teórico de Hiebert y Wearne (1986) para las
operaciones con números decimales......................................396
1.2. Relación del marco para el análisis de errores con el modelo
RTC..........................................................................................397
2. Resultados del análisis de errores..........................................................400
2.1. Errores en la fase de interpretación.......................................401
2.1.1. Error en la sustitución (SU)........................................401
2.1.2. Imprecisión en la destreza de aproximación (IA).....405
2.1.3. Estimación con datos u operación diferentes de los
propuestos (DI)............................................................407
2.1.4. Error en la traducción por cambio de operación (TO)
......................................................................................410
2.1.5. Error en la traducción por cambio de orden en los
datos (TD) ...................................................................412
2.1.6. Error en el sentido de la compensación previa al
cálculo (CO).................................................................413
2.1.7. Imprecisión en la intensidad de la compensación
previa al cálculo (CI)...................................................415
1.1. Errores en la fase de ejecución...............................................416
1.1.1. Error en la imitación del algoritmo escrito (IA)........417
1.1.2. Error en la recuperación de un hecho numérico (HN)
......................................................................................420
1.1.3. Error en el conteo de los ceros (PV1) .......................422
1.1.4. Omisión de los ceros en el ajuste del valor posicional
-
(PV2)............................................................................425
1.1.5. Error de falta de recuperación de la coma decimal
(PV3) ...........................................................................426
1.1.6. Error por falta de coordinación entre la destreza de
aproximación y las reglas para operar el punto decimal
(PV4) ...........................................................................427
1.1.7. Recuperación impropia de la coma decimal en la
división (PV5)..............................................................429
1.1.8. Error de operar la coma decimal en la división como en
la multiplicación (PV6) ..............................................432
1.1.9. Error en la determinación del valor posicional de la
primera cifra del cociente (PV7)................................433
1.1.10. Error de 0,0 en lugar de 0, en la división (PV8) .......435
1.2. Errores en la fase de evaluación.............................................437
1.2.1. Otros errores, imprecisiones, y 'fallos' (OT) .............440
1.3. Resumen sobre los errores encontrados en este trabajo.......444
1.4. Cálculo de κ, como medida de concordancia entre los dos
codificadores...........................................................................447
Capítulo 8. Conclusiones e implicaciones..........................................................453
1. Conclusiones sobre el análisis de datos cuantitativos..........................454
1.1. Dificultad de las tareas de estimación según el tipo de
operación.................................................................................454
1.2. Dificultad de las tareas de estimación según el tipo de número
.................................................................................................458
2. Valoración del modelo de estrategias...................................................460
3. Valoración del modelo de errores en estimación en comparación con
investigaciones anteriores................................................................464
-
3.1. Un trabajo pionero sobre errores en estimación: Levine (1980)
.................................................................................................465
3.1.1. Ausencia de consideración de errores en la fase de
evaluación....................................................................479
3.2. Los errores en estimación en Pañellas (2004).......................481
3.2.1. Análisis de tipos de errores en Pañellas.....................483
3.2.2. Análisis de las categorías de error en Pañellas (2004)
......................................................................................488
3.3. Errores en estimación versus errores en cálculo mental: El
trabajo de Gómez (1995).........................................................494
3.4. Errores en estimación y cálculo mental en otras
investigaciones........................................................................498
4. Implicaciones para la investigación......................................................501
4.1. La evaluación de la estimación...............................................501
4.2. Las dificultades en estimación y las 'redes de dificultades'...506
5. Sugerencias finales e implicaciones para la docencia..........................512
5.1. Sugerencias finales para la docencia......................................512
5.2. Implicaciones para la docencia...............................................517
Referencias .........................................................................................................521
Apéndice A: Tablas de datos de la prueba de estimación.................................555
Apéndice B: Programas de las asignaturas.........................................................581
Apéndice C: Tablas de datos de la entrevista.....................................................591
Apéndice D: Transcripción de las entrevistas....................................................595
1.Transcripción..........................................................................................595
Apéndice E: Análisis individual de los ítems de la prueba de estimación.......657
Apéndice F: Análisis de dificultades semióticas................................................701
1.1. Aspectos semióticos de los procesos de estimación...............702
-
1.2. Un ejemplo de análisis semiótico...........................................705
1.3. Resultados del análisis de dificultades semióticas.................707
1.3.1. Dificultad semiótica 1: Producción de expresiones que
mezclan registros como resultado de una conversión
incompleta...................................................................707
1.3.2. Dificultad semiótica 2: Confusión de “dividir un
número por una fracción” con “aplicar la fracción
como operador al número”.........................................709
1.3.3. Dificultad semiótica 3: Particularización del significado
de un paso del algoritmo de la división......................711
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ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1. Aspecto de una pantalla del programa de estimación......................3
Figura 1.2. Pantalla de evaluación del programa de estimación........................4
Figura 1.3. La metacognición como conocimiento y control metacognitivos 24
Figura 2.1. Fuentes de dificultades y errores en matemáticas (Cockburn, 1999)
...........................................................................................................83
Figura 3.1. Comparación de estimaciones (Star y Rittle-Johnson, 2009, p. 413)
.........................................................................................................194
Figura 5.1. Puntuaciones medias por tipo de operación.................................258
Figura 5.2. Puntuación en función del tipo de operación y curso.................260
Figura 5.3. Puntuación en función del tipo de operación y curso: diagrama de
barras..............................................................................................261
Figura 5.4. Puntuación en función del tipo de operación y mitad del test.. .264
Figura 5.5. Puntuación en función del tipo de operación y mitad del test:
Diagrama de barras........................................................................264
Figura 5.6. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número.
.........................................................................................................266
Figura 5.7. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número.
.........................................................................................................268
Figura 5.8. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Curso 1............................................................................................274
Figura 5.9. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Curso 2............................................................................................274
Figura 5.10. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Curso 3............................................................................................275
-
Figura 5.11. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Curso 4............................................................................................275
Figura 5.12. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Curso 5............................................................................................276
Figura 5.13. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Ítems impares.................................................................................278
Figura 5.14. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:
Ítems pares......................................................................................278
Figura 5.15. Puntuación media en función del tipo de número......................280
Figura 5.16. Puntuación en función del tipo de número y curso: Diagrama de
barras..............................................................................................282
Figura 5.17. Puntuación en función del tipo de número y curso....................283
Figura 5.18. Puntuación en función del tipo de número y de la mitad de la
prueba.............................................................................................285
Figura 5.19. Puntuación en función del tipo de número y de la mitad de la
prueba: Diagrama de barras...........................................................286
Figura 5.20. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Diagrama de barras........................................................................288
Figura 5.21. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación.
.........................................................................................................288
Figura 5.22. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Curso 1............................................................................................291
Figura 5.23. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Curso 2............................................................................................292
Figura 5.24. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Curso 3............................................................................................292
Figura 5.25. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
-
Curso 4............................................................................................293
Figura 5.26. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Curso 5............................................................................................293
Figura 5.27. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Ítems impares.................................................................................294
Figura 5.28. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:
Ítems pares......................................................................................295
Figura 5.29. Puntuación en función del tipo de número y curso: Ítems impares.
.........................................................................................................297
Figura 5.30. Puntuación en función del tipo de número y curso: Ítems pares.
.........................................................................................................297
Figura 5.31. Puntuación media en la prueba de estimación por curso............299
Figura 5.32. Puntuación media en función del curso y de la mitad del test.. .301
Figura 5.33. Puntuación media para cada ítem de la prueba de estimación....304
Figura 5.34. Medias de los tiempos de respuesta para cada ítem de la prueba.
.........................................................................................................308
Figura 5.35. Medias de los tiempos de respuesta para cada tipo de operación.
.........................................................................................................310
Figura 5.36. Medias de los tiempos de respuesta para cada tipo de número.. .312
Figura 5.37. Tiempo medio de respuesta en función del tipo de operación y
número...........................................................................................314
Figura 5.38. Tiempo medio de respuesta en función del tipo de número y
operación........................................................................................314
Figura 5.39. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de operación y el
curso................................................................................................316
Figura 5.40. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de número y el
curso................................................................................................317
-
Figura 5.41. Gráfico de nube de puntos correspondiente a las puntuaciones
medias de cada alumno y a sus tiempos medios de respuesta......318
Figura 5.42. Gráfico de nube de puntos correspondiente a las puntuaciones
medias de los ítems y a los tiempos medios de respuesta de cada
ítem.................................................................................................319
Figura 6.1. Operación de la coma decimal multiplicando por potencias de
diez..................................................................................................331
Figura 6.2. Operación de la coma decimal aplicando destrezas de
aproximación..................................................................................334
Figura 6.3. Operación de la coma decimal sustituyendo por fracciones.......334
Figura 6.4. Forma de operar la coma decimal.................................................335
Figura 6.5. Red sistémica para las estrategias de estimación..........................367
Figura 6.6. Configuración para la estrategia de “primeros dígitos”................369
Figura 6.7. Ejemplo, en un libro de texto, de la estrategia “primeros dígitos”,
sin sustitución................................................................................372
Figura 6.8. Aplicación de la estrategia en una situación diferente................372
Figura 6.9. Configuración para la estrategia de “fracciones”..........................378
Figura 6.10. Configuración para la estrategia de “algoritmo alternativo”.......381
Figura 6.11. Configuración correspondiente a la “imitación del algoritmo
escrito”............................................................................................383
Figura 6.12. Configuración correspondiente a una “adivinación”...................391
Figura 6.13. Configuración correspondiente a una “renuncia a resolver”.......393
Figura 7.1. Red sistémica para los procesos de estimación, adaptada para los
errores.............................................................................................399
Figura 7.2. Ejecución incorrecta (izquierda) y correcta (derecha) del
algoritmo........................................................................................418
Figura 7.3. Error en el algoritmo de la división..............................................419
-
Figura 7.4. Red sistémica para el análisis de errores con categorías de errores.
.........................................................................................................447
Figura 8.1. Representación de la operación ¾ ÷ 1/6 con sectores circulares.
.........................................................................................................516
Figura E.1. Estimaciones para el ítem 1...........................................................659
Figura E.2. Estimaciones para el ítem 2...........................................................661
Figura E.3. Ejecuciones correcta e incorrecta del algoritmo de 968 ÷ 24......662
Figura E.4. Estimaciones para el ítem 3...........................................................663
Figura E.5. Algoritmos correcto e incorrecto para 354 ÷ 88...........................664
Figura E.6. Estimaciones para el ítem 4...........................................................665
Figura E.7. Algoritmo de 86 ÷ 222...................................................................666
Figura E.8. Estimaciones para el ítem 5...........................................................667
Figura E.9. Algoritmo de 36 ÷ 258...................................................................668
Figura E.10. Estimaciones para el ítem 6...........................................................669
Figura E.11. Estimaciones para el ítem 7...........................................................670
Figura E.12. Estimaciones para el ítem 8...........................................................672
Figura E.13. Algoritmo de 85,9 ÷ 3,32...............................................................673
Figura E.14. Estimaciones para el ítem 9...........................................................674
Figura E.15. Algoritmo de 96,2 ÷ 6,25...............................................................675
Figura E.16. Estimaciones para el ítem 10.........................................................675
Figura E.17. Algoritmo de 9,88 ÷ 25,6. .............................................................676
Figura E.18. Estimaciones para el ítem 11.........................................................677
Figura E.19. Algoritmo de 8,85 ÷ 42,6...............................................................678
Figura E.20. Estimaciones para el ítem 12.........................................................679
Figura E.21. Estimaciones para el ítem 13.........................................................681
Figura E.22. Estimaciones para el ítem 14.........................................................682
Figura E.23. Algoritmo de 0,962 ÷ 0,25.............................................................683
-
Figura E.24. Estimaciones para el ítem 15.........................................................684
Figura E.25. Algoritmo de 0,747 ÷ 0,35.............................................................685
Figura E.26. Estimaciones para el ítem 16.........................................................686
Figura E.27. Algoritmo de 0,37 ÷ 0,543.............................................................687
Figura E.28. Estimaciones para el ítem 17.........................................................688
Figura E.29. Algoritmo de 0,63 ÷ 0,785.............................................................689
Figura E.30. Estimaciones para el ítem 18.........................................................689
Figura E.31. Estimaciones para el ítem 19.........................................................691
Figura E.32. Estimaciones para el ítem 20.........................................................693
Figura E.33. Algoritmo de 0,46 ÷ 0,066.............................................................694
Figura E.34. Estimaciones para el ítem 21.........................................................695
Figura E.35. Algoritmo de 0,68 ÷ 0,024.............................................................696
Figura E.36. Estimaciones para el ítem 22.........................................................697
Figura E.37. Algoritmo de 0,059 ÷ 0,23.............................................................698
Figura E.38. Estimaciones para el ítem 23.........................................................699
Figura E.39. Algoritmo de 0,086 ÷ 0,42.............................................................700
Figura E.40. Estimaciones para el ítem 24.........................................................700
Figura 7.1. Registros de algoritmos..................................................................705
Figura 7.2. Análisis semiótico de un fragmento de transcripción de De Castro
y otros (2002).................................................................................706
-
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1. Traducciones de ‘misconceptions’ en NCTM (2003).....................51
Tabla 2.2. Obstáculos pensamiento vs. Obstáculos contenido (Bachelard,
1938).................................................................................................59
Tabla 2.3. Taxonomía de usos de errores como trampolines para la
indagación........................................................................................68
Tabla 2.4. Los dos algoritmos y sus características correlativas......................75
Tabla 2.5. Orientaciones para la enseñanza de los números decimales en
Educación Primaria (Adaptadas de Empson y Levi, 2011, pp. 174-
179)...................................................................................................91
Tabla 3.1. Ejemplos de ítems emparejados de estimación y cálculo.............178
Tabla 4.1. Aspectos de réplica en el origen de la investigación....................209
Tabla 4.2. Características de los cursos participantes....................................217
Tabla 4.3. Prueba de estimación.....................................................................225
Tabla 4.4. Tareas de estimación clasificadas por tipo de operación y tipo de
número...........................................................................................225
Tabla 4.5. Análisis de las tareas de estimación empleadas en la prueba.......230
Tabla 5.1. Puntuaciones para cada ítem de la prueba de estimación...........242
Tabla 5.2. Respuestas acabadas en cero para cada ítem de la prueba...........242
Tabla 5.3. Medias de los tiempos de respuesta, y tiempos mínimo y máximo
(en segundos), para los ítems de la prueba de estimación............243
Tabla 5.4. Pruebas de normalidad..................................................................246
Tabla 5.5. Prueba de esfericidad de Mauchly................................................247
Tabla 5.6. Estadísticos descriptivos para puntuaciones correspondientes a
cada ítem de la prueba...................................................................248
-
Tabla 5.7. Prueba de Box sobre la igualdad de las matrices de covarianza. .249
Tabla 5.8. Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas error.....249
Tabla 5.9. Análisis de varianza. Pruebas de efectos intra-sujetos.................251
Tabla 5.10. Contrastes multivariados para la prueba de estimación...............252
Tabla 5.11. Pruebas de los efectos inter-sujetos..............................................253
Tabla 5.12. Prueba de contrastes intrasujetos (comparación de cada nivel con
el último)........................................................................................254
Tabla 5.13. Prueba de contrastes intrasujetos (comparación de cada nivel con
el siguiente)....................................................................................256
Tabla 5.14. Medias de las puntuaciones por tipo de operación......................258
Tabla 5.15. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
operación”.......................................................................................258
Tabla 5.16. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según el tipo de
operación y el curso.......................................................................259
Tabla 5.17. Comparaciones por pares para los niveles de la variable
“operación” para cada curso..........................................................262
Tabla 5.18. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la
variable ‘mitad’ (ítems pares o impares).......................................263
Tabla 5.19. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
operación” para cada mitad de la prueba (ítems pares o impares)
.........................................................................................................265
Tabla 5.20. Medias de las puntuaciones según el tipo de operación y el tipo de
número...........................................................................................266
Tabla 5.21. Comparaciones por pares para los niveles de la variable ‘tipo de
operación’ para cada ‘tipo de número’..........................................266
Tabla 5.22. Medias para las combinaciones de niveles de las variables Número
por Operación para cada Curso.....................................................271
-
Tabla 5.23. Medias de las puntuaciones según el tipo de número, el tipo de
operación y la mitad del test (ítems pares o impares)..................277
Tabla 5.24. Medias de las puntuaciones por tipo de número..........................279
Tabla 5.25. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
número”..........................................................................................280
Tabla 5.26. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según el tipo de
número y el curso..........................................................................282
Tabla 5.27. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
número” para cada curso...............................................................284
Tabla 5.28. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación
correspondientes a cada mitad de la prueba de estimación (ítems
pares o impares).............................................................................285
Tabla 5.29. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
número” para cada mitad de la prueba (ítems pares o impares). .287
Tabla 5.30. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “número”
para cada operación.......................................................................289
Tabla 5.31. Medias de las puntuaciones según el tipo de operación, el tipo de
número y la mitad del test (ítems pares o impares).....................294
Tabla 5.32. Puntuación media para la variable Número, para cada Curso y
Mitad del test..................................................................................296
Tabla 5.33. Características de los cursos participantes....................................298
Tabla 5.34. Media de las puntuaciones por curso............................................299
Tabla 5.35. Comparaciones por pares para las medias de la variable ‘Curso’.300
Tabla 5.36. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la mitad
del test (ítems pares o impares) para cada curso...........................300
Tabla 5.37. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la mitad
del test (ítems pares o impares).....................................................302
-
Tabla 5.38. Comparaciones por pares para las medias de la variable Mitad. .302
Tabla 5.39. Medias de las puntuaciones para cada ítem de la prueba de
estimación.......................................................................................303
Tabla 5.40. Prueba de contrastes intrasujetos..................................................305
Tabla 5.41. Medias de los tiempos de respuesta para cada ítem de la prueba de
estimación.......................................................................................307
Tabla 5.42. Análisis de varianza correspondiente a la variable dependiente
“tiempo de respuesta” para la prueba de estimación....................309
Tabla 5.43. Medias de los tiempos de respuesta por tipo de operación..........310
Tabla 5.44. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
operación”.......................................................................................311
Tabla 5.45. Medias de los tiempos de respuesta por tipo de número.............311
Tabla 5.46. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de
número”..........................................................................................312
Tabla 5.47. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de operación y el
tipo de número...............................................................................313
Tabla 5.48. Medias de los tiempos de respuesta por curso..............................315
Tabla 5.49. Estadísticos descriptivos de la variable Tiempo de respuesta según
el tipo de operación y el curso.......................................................316
Tabla 5.50. Estadísticos descriptivos de la variable Tiempo de respuesta según
el tipo de número y el curso..........................................................317
Tabla 6.1. Diferentes niveles de generalidad para las estrategias de
estimación.......................................................................................366
Tabla 7.1. Resumen de los errores en estimación..........................................444
Tabla 7.2. Matriz de confusión para dos codificadores.................................449
Tabla 8.1. Diferentes niveles de generalidad para las estrategias de
estimación.......................................................................................461
-
Tabla 8.2. Análisis de estimaciones puntuadas con un cero en la prueba....503
Tabla A.1. Estimaciones de los estudiantes para las tareas de estimación de la
prueba.............................................................................................556
Tabla A.2. Puntuaciones de los estudiantes para las tareas de estimación de la
prueba.............................................................................................562
Tabla A.3. Puntuaciones medias empleadas para el análisis de varianza......565
Tabla A.4. Tiempos de respuesta en segundos para las tareas de estimación de
la prueba.........................................................................................568
Tabla A.5. Medias de los tiempos de respuesta en segundos del análisis de
varianza con el tiempo de respuesta como variable dependiente
.........................................................................................................574
Tabla A.6. Órdenes en que han aparecido las tareas de estimación a cada
sujeto en la prueba de estimación.................................................577
Tabla C.1. Estimaciones de los alumnos en los ítems empleados en la
entrevista: Ítems impares...............................................................591
Tabla C.2. Estimaciones de los alumnos en los ítems empleados en la
entrevista: Ítems pares...................................................................592
Tabla C.3. Tiempos de respuesta en segundos para los ítems impares
empleados en la entrevista............................................................592
Tabla C.4. Tiempos de respuesta en segundos para los ítems pares empleados
en la entrevista...............................................................................593
Tabla C.5. Orden de administración de los ítems impares empleados en la
entrevista........................................................................................593
Tabla C.6. Orden de administración de los ítems pares empleados en la
entrevista........................................................................................594
Tabla E.1. Análisis previo del ítem 1..............................................................658
Tabla E.2. Análisis previo del ítem 2..............................................................660
-
Tabla E.3. Análisis previo del ítem 3..............................................................662
Tabla E.4. Análisis previo del ítem 4..............................................................664
Tabla E.5. Análisis previo del ítem 5..............................................................666
Tabla E.6. Análisis previo del ítem 6..............................................................668
Tabla E.7. Análisis previo del ítem 7..............................................................670
Tabla E.8. Análisis previo del ítem 8..............................................................671
Tabla E.9. Análisis previo del ítem 9..............................................................673
Tabla E.10. Análisis previo del ítem 10............................................................674
Tabla E.11. Análisis previo del ítem 11............................................................676
Tabla E.12. Análisis previo del ítem 12............................................................678
Tabla E.13. Análisis previo del ítem 13............................................................680
Tabla E.14. Análisis previo del ítem 14............................................................681
Tabla E.15. Análisis previo del ítem 15............................................................683
Tabla E.16. Análisis previo del ítem 16............................................................685
Tabla E.17. Análisis previo del ítem 17............................................................687
Tabla E.18. Análisis previo del ítem 18............................................................688
Tabla E.19. Análisis previo del ítem 19............................................................690
Tabla E.20. Análisis previo del ítem 20............................................................692
Tabla E.21. Análisis previo del ítem 21............................................................694
Tabla E.22. Análisis previo del ítem 22............................................................695
Tabla E.23. Análisis previo del ítem 23............................................................697
Tabla E.24. Análisis previo del ítem 24............................................................699
-
RESUMEN
Estudio transversal con una parte cuantitativa (diseño factorial de medidas
repetidas) en que se analiza la dificultad relativa de tareas de estimación en
cálculo, dependiendo de la operación -multiplicación, división A (dividendo
mayor que divisor), y división B (dividendo menor que divisor)- y número
(naturales, decimales mayores que 1, decimales menores que 1 pero mayores
que 0,1, y decimales menores que 0,1). En la parte cualitativa, con entrevista
semiestructurada, se analizan conocimientos y procesos metacognitivos,
estrategias y errores al estimar.
Participan 131 estudiantes de magisterio; 108 del CSEU La Salle (Universidad
Autónoma de Madrid) y 23 de la Facultad de Educación (Universidad de
Granada). Se administra una prueba de estimación a los participantes.
Resultados: tareas con decimales menores que 0,1 son significativamente más
difíciles que las demás; con decimales menores que 1, más difíciles que con
naturales o decimales mayores que 1; las divisiones B, más difíciles que las
divisiones A.
El estudio cualitativo, a través de entrevistas, muestra en la estimación tres
estrategias básicas: Primeros dígitos, fracciones, y algoritmo alternativo;
actuaciones no consideradas estrategias: Imitación del algoritmo escrito,
adivinación, y renuncia a resolver; y 17 tipos de error: 6 en fase de
interpretación, 10 en la ejecución (8 ajustando el valor posicional), y uno en
fase de evaluación.
Como conclusión, la dificultad fundamental al estimar con decimales radica en
los propios decimales. Entre los errores al estimar, destacan los producidos al
operar la coma decimal. Como campo para futuras investigaciones, se propone
la evaluación de la estimación.
-
PRESENTACIÓNPRESENTACIÓNPRESENTACIÓNPRESENTACIÓN
El trabajo que aquí se presenta es la Memoria de TESIS DOCTORAL realizada
por Carlos de Castro Hernández para optar al grado de Doctor en Matemáticas
con especialidad en Didáctica de la Matemática, bajo la dirección de los
doctores Enrique Castro Martínez e Isidoro Segovia Álex, del Departamento de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
El contenido del trabajo, resumido en el apartado anterior, está organizado en
capítulos como se indica a continuación. En el capítulo 1 se explica el origen y
la evolución que ha seguido el problema de investigación hasta su definitivo
planteamiento. Después, se tratan algunos aspectos de la estimación que
resultarán importantes para abordar el problema de investigación, como el
grado de aproximación o la precisión de las estimaciones. Se justifica el interés
de la investigación haciendo referencia a documentos curriculares. El capítulo
concluye con los objetivos de la investigación.
El capítulo 2, dedicado a los fundamentos teóricos, está centrado en detallar las
opciones que se han tomado acerca de los términos clave en la presente
investigación. Así, se dedica un espacio considerable a las estrategias en
matemáticas, al error en el aprendizaje de las matemáticas, a las dificultades y,
finalmente, al aprendizaje de los decimales.
El capítulo 3 está dedicado a hacer una completa revisión sobre investigaciones
en estimación dividida en tres periodos: La estimación, antes de 1976, el
periodo ‘dorado’ de investigación sobre estimación (1976-1994), y el periodo
posterior (1994-2011).
El capítulo 4 presenta el marco metodológico y el diseño de la investigación.
En él se caracteriza la investigación, se proponen las hipótesis, se describe el
método, con los participantes, el periodo de instrucción sobre estimación, y los
instrumentos (prueba de estimación y entrevistas), así como el modo de
-
administración de los mismos y detalles relativos a fiabilidad y validez.
El capítulo 5 constituye la parte cuantitativa del estudio. En él se describen,
analizan e interpretan los resultados de la aplicación de la prueba de
estimación. Tras el planteamiento de las técnicas estadísticas, con sus hipótesis
estadísticas y la comprobación de los supuestos del análisis, se estudia primero
la influencia de los factores ‘tipo de operación’, ‘tipo de número’, y ‘curso’ sobre
la variable dependiente ‘puntuación’, así como sus posibles interacciones. El
último apartado del capítulo está dedicado al estudio de la variable dependiente
‘tiempo de respuesta’.
El capítulo 6 comienza la parte cualitativa de la investigación. Está dividido en
tres partes que tratan, respectivamente, el estudio de las destrezas de
estimación, los conocimientos y procesos metacognitivos y, finalmente,
basándonos en estos elementos anteriores, se pasa al estudio de las estrategias
de estimación. En el capítulo 7 se realiza el análisis de errores e imprecisiones
en la estimación, que completa el análisis cualitativo de la tesis y complementa
los resultados descritos en el capítulo 5 de la prueba de estimación.
El capítulo 8, con las conclusiones e implicaciones, cierra el cuerpo del
presente trabajo, realizando una revisión global sobre el proceso de
investigación. Tras las conclusiones, se proponen dos temas de investigación
que han ido surgiendo a lo largo del trabajo y ofrecen interés de cara a estudios
futuros: Las redes de dificultades y errores, y la evaluación de la estimación. El
capítulo finaliza con una reflexión sobre las implicaciones para la docencia.
Para finalizar, tras el preceptivo apartado de referencias, seis apéndices
completan el trabajo: El Apéndice A incluye las tablas de datos de la prueba de
estimación, con las estimaciones dadas por los participantes para cada ítem de
la prueba, sus correspondientes puntuaciones y tiempos de respuesta, y los
órdenes en que aparecieron los ítems al administrar la prueba a cada
-
estudiante. El Apéndice B recoge los programas de las asignaturas que cursaron
algunos de los cinco grupos de alumnos participantes (en particular, todos los
alumnos seleccionados para las entrevistas). Dentro de dichas asignaturas, se
desarrolló el periodo de instrucción sobre estimación que siguieron una parte
de los participantes. Los Apéndices C y D están dedicados a suministrar toda la
información relativa a las entrevistas, con los datos (estimaciones, tiempos de
respuesta, órdenes) correspondientes a las respuestas de los alumnos y las
transcripciones completas de las entrevistas que incluyen los protocolos de
pensar en voz alta de los participantes al realizar sus estimaciones. En cuanto al
Apéndice E, podría haber constituido otro capítulo de la tesis, pero se ha
optado finalmente por introducirlo como material complementario. En él
aparece un análisis de cada uno de los ítems de la prueba de estimación,
estudiando las estimaciones dadas por los alumnos e incluyendo reflexiones
importantes sobre el uso del porcentaje de error para evaluar la estimación, e
incluso para decidir sobre la precisión de las estimaciones. El análisis individual
de cada ítem ofrece ideas interesantes para formular nuevas hipótesis de cara a
futuros estudios; en especial, sobre la evaluación de la estimación.
Por último, el apéndice F está dedicado al análisis de las dificultades semióticas.
Este aspecto de las dificultades queda abierto para futuras investigaciones, al
igual que el tema de las redes de dificultades y errores.
-
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
El trabajo de investigación que aquí se presenta tiene por título “Estimación en
cálculo con números decimales: Dificultad de las tareas y análisis de estrategias
y errores con maestros en formación”. Este primer capítulo comienza con una
reseña sobre el nacimiento, evolución, y progresivo refinamiento que ha
experimentado el problema de investigación hasta llegar a su definición final.
A continuación, se procede a revisar algunos aspectos relacionados con la
estimación, que tienen especial interés para el trabajo de investigación que aquí
se desarrolla. Comenzaré con la idea de estimación, en sus diversas variantes,
considerando la estimación dentro del campo de la resolución de problemas y
del sentido numérico, y justificando el interés de investigar en este campo.
Después me centraré en dos aspectos clave: la relación que se establece entre la
estimación y el valor matemático del control, relación que se materializa a
través del porcentaje de error de una estimación y, por otra parte, en aquellas
destrezas (como las de aproximación, con sus diferentes grados de
aproximación y las de ajuste del valor posicional) que resultan clave para
entender los procesos metacognitivos y las estrategias que serán estudiados en
el capítulo 6 de este trabajo. La revisión que se hace sobre la estimación no es
exhaustiva. En este sentido, se remite al lector interesado en revisar otros
aspectos de la estimación a los trabajos: De Castro (2002a), D’Hainaut (1978),
Segovia, Castro, Castro y Rico (1989) o Schoen y Zweng (1986). Este primer
capítulo concluirá con la exposición de los objetivos de la investigación.
-
Estimación en cálculo con números decimales
1. INTRODUCCIÓN: ORIGEN Y DELIMITACIÓN DEL
PROBLEMA A INVESTIGAR
El problema de investigación surge dentro de los cursos de doctorado del
Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Posteriormente, ha ido evolucionando dentro del ámbito del Grupo de
Pensamiento Numérico y Algebraico (PNA), perteneciente a la Sociedad
Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).
1.1. 1.1. 1.1. 1.1. Un problema docente en el inicioUn problema docente en el inicioUn problema docente en el inicioUn problema docente en el inicio
En principio, la opción por el campo de la estimación en cálculo, surge del
descubrimiento de la estimación, como contenido matemático1 para la
enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria y, en consecuencia,
como contenido de la formación inicial matemático-didáctica de los maestros.
La lectura de los trabajos de Segovia (1986), Segovia (1996), Segovia (1997), y
Segovia, Castro, Castro y Rico (1989), realizada durante los cursos de doctorado
en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Granada, fue canalizando mi interés hacia el ámbito de la estimación.
En aquel momento, se me planteaba un problema docente2: ¿Cómo incluir la
enseñanza de la estimación dentro de la asignatura de ‘Matemáticas y su
Didáctica’? El problema, planteado en términos ingenuos, era: Supuesto que los
alumnos tienden a estudiar menos (o a no estudiar) aquellos contenidos que
1Como estudiante, nunca había estudiado estimación, y desconocía que la estimación estuviese
incluida en el currículo de matemáticas de la Educación Primaria.
2 Dado que simultaneaba los cursos de doctorado con mi trabajo como profesor de las
asignaturas de Didáctica de las Matemáticas, en las titulaciones de Magisterio que se imparten
en el Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle (Centro privado adscrito a la
Universidad Autónoma de Madrid).
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
2
-
Capítulo 1. Planteamiento del problema
saben que no se evalúan, ¿cómo puedo hacer para evaluar la estimación, de
modo que pueda incluirla, y sea estudiada por los alumnos, en la asignatura de
Matemáticas y su Didáctica?
La respuesta a aquel problema docente consistió en la elaboración de un
programa de ordenador para la evaluación de la estimación3 (Figuras 1.1 y 1.2).
Los alumnos podían llevarse el programa4 a casa y trabajar con él. El programa
solicitaba 20 estimaciones y contenía 5 multiplicaciones, 5 divisiones, 2 sumas
de 4 números cada una, un problema de paso de euros a pesetas, otro de paso de
pesetas a euros, 3 problemas de porcentajes y 3 problemas de regla de tres (ver
ejemplos de tareas en la Figura 1.2). Cada vez que se ejecutaba el programa, los
números que aparecen en las operaciones y las cantidades de los problemas
variaban aleatoriamente, dentro de ciertos márgenes, mientras que el texto de
los problemas se mantenía inalterado.
Figura 1.1. Aspecto de una pantalla del programa de estimación
Después de haber contestado las 20 preguntas, aparecía una pantalla de
evaluación que permitía a los alumnos disponer de: los problemas propuestos,
sus propias estimaciones, el porcentaje de error de cada estimación, la
3 Dicho programa, diseñado con Excel, está descrito en De Castro (2002), en el apéndice E (pp.
307-310).
4Al estar elaborado con Excel el programa de estimación, prácticamente todos los alumnos
podían utilizarlo en su casa o practicar con él en el aula de ordenadores del Centro.
Carlos de Castro Hernández
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Estimación en cálculo con números decimales
puntuación correspondiente a la estimación5, el tiempo de respuesta en
segundos, y las calificaciones en aproximación, rapidez y la calificación media,
que trataba de valorar globalmente su destreza en la estimación (Figura 1.2).
Figura 1.2. Pantalla de evaluación del programa de estimación
La calificación media que se daba a los alumnos en la prueba era una media
ponderada que tenía en cuenta la rapidez y la precisión de la estimación. Los
alumnos, a través de la práctica con el programa, tendían a buscar un buen
equilibrio entre estos dos aspectos, con la información que les daba la prueba
de estimación.
Después de practicar con el programa de estimación fuera del aula, los alumnos
realizaban una (o varias pruebas) con el mismo programa en el aula de
5 Siguiendo el sistema de puntuación de Levine (1982): tres puntos, si el porcentaje de error es
menor o igual que el 10%; dos puntos, si el porcentaje de error es mayor que el 10% y menor o
igual que el 20%; un punto, si el porcentaje de error estaba entre el 20% y el 30%; cero puntos,
si el porcentaje de error era superior al 30%.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
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Capítulo 1. Planteamiento del problema
ordenadores del Centro. Los alumnos podían repetir su prueba cuantas veces
quisieran. Al final recibían como calificación en estimación la mediana de las
diferentes calificaciones obtenidas en las pruebas realizadas.
La calificación en estimación era tenida en cuenta como una de las notas de la
asignatura que, junto a las de los exámenes (parcial y final), y las de otros
trabajos propuestos, configuraban la evaluación de la asignatura.
1.2. 1.2. 1.2. 1.2. Del problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigación
La preceptiva elaboración de la Memoria de Tercer Ciclo (De Castro, 2002),
dentro de los cursos de doctorado, supuso la transformación del problema
docente en un problema de investigación. En ese momento, junto con los
trabajos de estimación citados en el apartado anterior, resultaron especialmente
relevantes las investigaciones del profesor Enrique Castro Martínez sobre
problemas de estructura multiplicativa (Castro, 1991; Castro, 1995; y Castro y
Castro, 1996). Algunos de los resultados, descritos en la revisión de la literatura
en estos dos trabajos, hacían referencia a las dificultades que experimentaban
alumnos de distintas edades, en el ámbito de la resolución de problemas,
cuando en éstos aparecían números decimales menores que uno. Esta
problemática había sido también descrita en trabajos sobre estimación en
cálculo (Levine, 1980 y 1982; Markovits y Sowder, 1994; y Morgan, 1989 y
1990). En esta situación, el objetivo principal de la Memoria de tercer ciclo fue
“estudiar la dificultad relativa de tareas de estimación de multiplicación y
división en función del tipo de número (natural, decimal mayor que uno, o
decimal menor que uno) que en ellas aparecía” (De Castro, 2002). En este
estudio piloto se utiliza el Test de Levine (1980, 1982) y se confirma la
hipótesis inicial de que estimar con números decimales menores que uno es
significativamente más difícil que estimar con decimales mayores que uno o
con números naturales.
Carlos de Castro Hernández
5
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Estimación en cálculo con números decimales
1.3. 1.3. 1.3. 1.3. El problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivo
Los resultados obtenidos en el estudio piloto (De Castro, 2002) sugirieron
profundizar en esa línea de investigación, diseñando una prueba de estimación
específica6 para abordar los nuevos objetivos del estudio. En este momento de
la evolución del problema de investigación, se añadieron dos distinciones que
prometían ofrecer importantes resultados: En primer lugar, se diferencia entre
la división de un número por otro menor, y la división de un número por otro
mayor, siendo esta última más difícil de conceptualizar, según la revisión de la
literatura efectuada. En segundo lugar, se distingue, dentro de los decimales
menores que uno, entre los mayores y los menores de 0,1. Los decimales
menores que 0,1, podían producir una dificultad añadida por no resultar tan
'familiares', por aumentar la complejidad de los cálculos, etc.
Además de estas distinciones que guiaron el diseño del test definitivo, en De
Castro (2002) se había realizado un análisis de estrategias de estimación. Para
completar el estudio actual, pareció interesante profundizar en el análisis de las
estrategias de estimación, incorporando previamente a estas el análisis de
conocimientos y procesos metacognitivos y, además, añadir el análisis de
errores en estimación, que proporcionara una visión complementaria a la
puesta de manifiesto por el análisis estadístico sobre la dificultad de las tareas
de estimación en función del tipo de operación y del tipo de número. También
se decidió incluir un análisis de dificultades semióticas para ejemplificar con
ellas la diferencia teórica establecida aquí entre la dificultad y el error. Todos
estos aspectos tratados en la investigación aparecen detallados al final del
presente capítulo, en los objetivos de la investigación.
6 Como se ha comentado, en De Castro (2002) se utiliza el Test de Levine (1980, 1982). Esta
prueba contiene todos los tipos de número y de operaciones de interés para una primera
aproximación al problema, pero no estaba diseñada a propósito para el mismo.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
6
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Capítulo 1. Planteamiento del problema
2. LA ESTIMACIÓN EN CÁLCULO: ASPECTOS
FUNDAMENTALES PARA LA INVESTIGACIÓN
Voy a comenzar por delimitar el ámbito de estudio de la estimación y a
considerar su inclusión dentro de la intersección de dos campos de
investigación: la resolución de problemas y el sentido numérico. Después se
justificará el interés actual de realizar una investigación sobre estimación,
haciendo referencia a varios documentos curriculares de actualidad y con gran
relevancia internacional. Luego, introduciré la distinción clave entre
estimación y aproximación, para después considerar los procesos de estimación,
y las destrezas que intervienen en la estimación como los 'ingredientes' de las
estrategias. Se finalizará con la exposición acerca del modelo cognitivo-
metacognitivo, basado en las fases de resolución de problemas y en el modelo
RTC de Reys y otros (1982), como base para el análisis cualitativo que se
realizará en los capítulos 6 y 7.
2.1. 2.1. 2.1. 2.1. La estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudio
La definición general de estimación que asumo como punto de partida es la de
Segovia, Castro, Rico y Castro (1989): "Juicio sobre el valor del resultado de una
operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de
circunstancias individuales del que lo emite" (p. 18). Dentro de la estimación,
Segovia (1997, p. 18) y Segovia y otros (1989, p. 15) diferencian entre la
estimación en cálculo, referida a "las operaciones aritméticas y a los juicios que
pueden establecerse sobre sus resultados" y a la estimación en medida, referida
a su vez a "los juicios que pueden establecerse sobre el valor de una
determinada cantidad o bien la valoración que puede hacerse sobre el resultado
de una medida". Segovia (1997) distingue, dentro de la estimación en medida,
Carlos de Castro Hernández
7
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Estimación en cálculo con números decimales
para el caso de las magnitudes discretas, la estimación de la numerosidad de
cantidades discretas, aspecto sobre el cual versa su investigación. Parece haber
acuerdo en esta división dentro de la estimación. Hogan y Brezinski (2003)
elaboraron pruebas para medir la habilidad en estos tres tipos de estimación y
encontraron una correlación positiva entre las puntuaciones de la estimación
en medida (de cantidades continuas) y la estimación de numerosidades y, por
otro lado, y sin correlación positiva con ellas, la habilidad de estimar resultados
de cálculos, que sí mostraba correlación positiva con el razonamiento
cuantitativo y la habilidad en el manejo de números.
En esta investigación, centrada en la estimación en cálculo, considero esta
dentro del campo de la resolución de problemas y fuertemente vinculada al
sentido numérico (De Castro, 2002; Segovia y otros, 1989), como se verá en el
próximo apartado.
2.2. 2.2. 2.2. 2.2. Estimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemas
En la investigación que se presenta, se trata de estudiar la actuación de
estudiantes de magisterio ante tareas de estimación del tipo: 9,88 ÷ 25,6. En el
momento de buscar un marco apropiado para considerar este tipo de tareas,
podría optarse en principio por considerar las tareas de estimación dentro del
ámbito del estudio de algoritmos del cálculo o dentro de un marco más amplio.
Al ser las operaciones planteadas para estimar, multiplicaciones y divisiones de
números, fuera de cualquier contexto práctico, podría parecer más correcto
enfocar la estimación dentro del ámbito de los algoritmos. Sin embargo, la
revisión de la literatura sobre estimación hace apuntar lo contrario: Considerar
la estimación dentro del campo de la resolución de problemas. En este sentido,
Markovits (1987) indica que, incluso cuando una aproximación por medio de
algoritmos es la más adecuada para dar una estimación, “podría haber varios
algoritmos diferentes apropiados para resolver problemas aparentemente
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada
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Capítulo 1. Planteamiento del problema
similares […] y la elección del algoritmo requiere juicio y decisión” (p. 94).
Por otra parte, la relación entre la estimación en cálculo y la resolución de
problemas ha sido puesta de manifiesto por varios investigadores en el campo
de la Educación Matemática (Rubenstein, 1982). Por ejemplo, O’Daffer7 (1979)
y Polya (1965)8 piensan que tratar de dar una estimación para la solución de un
problema puede servir de motivación a los alumnos para buscar la respuesta
exacta. La estimación también aparece en el modelo de