Tese M. - Ana Filipa Lourenço Dionísio

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  • ANA FILIPA LOURENO DIONSIO

    A Matemtica no primeiro livro do Della Pittura

    Universidade de Coimbra Departamento de Matemtica

    2003

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    Agradecimentos

    Doutora Helena Albuquerque pela sugesto do tema, pelo apoio, pela crtica e pelos conselhos dados sempre com o objectivo de melhorar. Ao Doutor Vtor Murtinho por todos os esclarecimentos prestados neste domnio e por todas as obras emprestadas sem as quais no teria sido possvel a redaco de algumas partes. Aos meus queridos pais, Silvia e ao Lus pelo apoio e incentivo manifestado, pela pacincia que demonstraram ter comigo quando o trabalho corria menos bem, pela compreenso dos inmeros momentos em que estive ausente, pela colaborao na leitura das vrias verses e pelas sugestes realizadas. Ao Doutor Carlos S pela simpatia em me facultar o seu estudo sobre Histria da Geometria Projectiva mesmo sem me conhecer pessoalmente. Ao Pai do Cu a quem dou graas de todo o meu corao por ouvir pacientemente as minhas preces, proporcionando-me momentos de verdadeira inspirao divina. Bina, ao Joo e petite Cline pela simpatia e disposio em encontrarem alguns preciosos livros para a composio desta dissertao. Aos meus colegas, em especial Ema e Conceio, pela compreenso demonstrada durante este perodo de mestrado em que fui de alguma forma poupada em algum trabalho. Uma palavra amiga para a Nisa que convidando-me a apanhar um pouco de ar fresco, por vezes em alturas cruciais, permitiu desanuviar o espirto e retomar o trabalho com uma melhor disposio. Clara Arajo por algumas tradues do francs. Carla Cordeiro pela ajuda na reviso final do texto. E.... a todos os que permanecendo annimos tambm muito contriburam para que este sonho se realizasse. Obrigada a todos pela vossa amizade!

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    S todo em cada coisa. Pe quanto s no mnimo que fazes. Assim em cada lago a lua toda brilha, porque alta vive.

    Fernando Pessoa (Ricardo Reis)

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    ndice

    Introduo ........................................................................................................................... 6

    Captulo 0: A Matemtica no primeiro livro do Della Pittura ...................................... 12

    Parte I ........................................................................................................... 14

    1. Definio de ponto, linha e superfcie .................................................... 14 2. Qualidades de uma superfcie ................................................................ 14

    2.1. Qualidades que podem alterar a superfcie ................................... 14 2.2. Qualidades que no alteram a superfcie ....................................... 15

    2.2.1. O stio ................................................................................... 16 2.2.2. A luz ..................................................................................... 20

    3. Superfcies equidistantes e colineares .................................................... 22 4. Tringulos semelhantes .......................................................................... 22 5. Superfcies no equidistantes ................................................................. 24

    Parte II .......................................................................................................... 25

    Captulo 1: Correco e evoluo dos conceitos matemticos presentes no Libro I ... 34

    1. Ponto, recta e plano ................................................................................ 37 2. O crculo ................................................................................................. 40 3. Outras superfcies ................................................................................... 43 4. ngulos e sua classificao .................................................................... 48 5. Tringulos semelhantes .......................................................................... 51

    Captulo 2: Dos enganos do olhar Perspectiva Linear ............................................... 61

    1. A Herana Helnica ................................................................................ 63

    1.1. A viso para os filsofos: o fogo do olhar .................................... 63 1.2. Lottica euclidiana ......................................................................... 66 1.3. A perspectiva vitruviana e a rejeio de um quantum continuum . 88 1.4. Cladio Ptolomeu, ptica e Geografia ......................................... 91 1.5. Galeno: anatomia versus geometria ............................................... 97

    2. O contributo rabe .................................................................................. 98 2.1. Al-Kindi, um discpulo de Euclides .............................................. 99 2.2. Avicena e o renascer da teoria intromissionista .......................... 104 2.3. Alhazen, o prodgio da ptica ..................................................... 105

    3. O triunfo da Igreja ................................................................................ 111 4. A luz por entre as sombras ................................................................... 121 5. Rinascitta .............................................................................................. 125

    Captulo 3: A captura do infinito ............................................................................... 138

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    Apndice: A inverso kepleriana e a justificao matemtica dos enganos do olhar ......... 156

    Bibliografia ...................................................................................................................... 168

    Origem das ilustraes ................................................................................................... 175

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    Introduo

    Segundo Jurgis Baltrusaitis, a perspectiva uma cincia que fixa as dimenses exactas das formas e a sua posio no espao, sendo ao mesmo tempo uma arte da iluso que as recria. A sua histria no s uma histria do realismo artstico tambm a histria de um sonho1. E o que a vida? Uma iluso, uma sombra, uma fico. Pois toda a vida sonho e os sonhos, sonhos so2. Os sonhos so bssolas de vontade que, como dizia o poeta, nos comandam a vida, e foi de facto a colossal vontade de desvelar este sonho que nos comandou nos ltimos dois anos. Oxal as cartas seguidas nos tenham conduzido a bom porto e possamos partilhar com todos os que se interessam pela aplicao da matemtica arte, o nascimento de uma filha da Geometria a Perspectiva. Para saciar a curiosidade, levantemos uma pequena ponta do longo manto que envolve calorosamente este rebento geomtrico. Tudo teve incio nesse perodo da histria conhecido como Idade Talssica. Nos primrdios desta idade do mar os intelectuais marcavam presena junto s margens do Nilo, Tigre e Eufrates. O primeiro destes rios atravessa um pas de descendncia faranica, as suas guas banham papiros onde repousa o saber deixado pelos eruditos. No meio deles certamente jaz um texto que a histria perdeu e que Proclo atribui ao primeiro verdadeiro matemtico, Tales de Mileto. O seu prestgio deve-se essencialmente a uma encenao realizada com o intuito de calcular a altura do imponente tmulo faranico, que hoje carto de visita da localidade de Giz. Por estes lados germinaram os primeiros elementos da geometria o ponto, cintilante como um diamante na interseco dos raios de sol, a linha sada do prprio astro, o ngulo de sombra, a superfcie, brilhante ou sombria, crculo, tringulo, quadrado...nascem ali como formas ideais na treva e na claridade, no meio das prprias coisas, no mundo tal como ele , reais como raios de luz, franjas de sombra, e como as suas orlas comuns3. Aproveitando tamanha ddiva, Tales cria uma cena teatral onde o Sol, a Pirmide e a areia desrtica so os protagonistas. O Sol de R encontra nos seus raios linhas contnuas, que ao intersectarem o monumento egpcio e um basto de altura propcia, delimitam uma apurada definio de tringulos. As sombras projectadas podem mudar consoante a estrela divina esteja mais ou menos afastada do gnmon, mas a relao que entre elas existe permanece invarivel permitindo descobrir o segredo do Fara a altura inacessvel. Com esta encenao conhecemos claramente do volume o que escrevem ou descrevem as sombras projectadas, as informaes transportadas na areia por um raio de Sol depois de ser interceptado pelas arestas e pelo cume do prisma opaco. Que nome dar a esta geometria? Uma perspectiva, uma arquitectura, uma fsica, uma ptica? 4 A cena de Tales atravessa o Mediterrneo. Plato contempla-a e com ela decora o fundo da sua caverna. Mais uma vez o volume escreve a sua sombra numa parede plana, explicando ao filsofo grego que um volume pode ser expresso pelas suas projeces exigindo apenas um ponto de vista e um desenho numa superfcie plana. Mas esta encenao ou cenografia platnica encontra em Euclides de Alexandria um espectador atento, e como fruto de uma brilhante observao resulta uma fenomenal compilao de teoremas, Lottica, justificando matematicamente os enganos e desenganos do olhar. Foi esta tentativa euclidiana de analisar geometricamente as iluses originadas pela

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    cenografia, que conduziu alguns dos seus tradutores a substiturem o ttulo original desse tratado por Perspectiva. Porm, a herana helnica revela-nos que tambm o astrnomo Cladio Ptolomeu apresentou importantes contributos para este domnio. Por estranho que parea, o principal deles encontra-se na sua Geografia, onde se menciona um mtodo cartogrfico que se assemelha a uma projeco estereogrfica, servindo de inspirao para os artistas renascentistas representarem uma superfcie tridimensional numa a duas dimenses. Contudo, Ptolomeu escreve tambm uma ptica seguindo algumas ideias euclidianas, mas sendo pioneiro na abordagem da anatomia ocular, por considerar imprescindvel para a interpretao do mecanismo da viso, a constituio do olho. A estas ideias ptolemaicas juntam-se os homens da medicina dos quais se destaca Galeno que, por meio de disseces do rgo da viso, concebe um modelo da sua constituio seguido sculos a fio. Com o declnio da Academia de Alexandria e o grito de guerra lanado por Maom, a armada rabe invade o mundo expandindo-se em vrias direces. O povo rabe apodera-se dos tesouros gregos e mostra a sua admirao, pois no s os elogia como prossegue os seus estudos. O contributo rabe para esta cincia deve-se fundamentalmente a Alhazen, explicando detalhadamente no seu Kitab o mecanismo da viso. O impacto alcanado por esta obra no Ocidente de tal modo forte que ao fim de pouco tempo, j se encontrava no seio dos eruditos eruditos estes que na sua maioria dedicavam a sua vida a Deus. Na verdade, foi o saber apangio da Igreja, a fonte essencial de toda a luz que alumiava a Europa naqueles tempos de belicosa actividade5. Apesar de se supor, erradamente, que neste perodo se deu um entorpecimento intelectual, eclipsando-se assim totalmente a inteligncia, foi durante este mesmo tempo que reluziram com maior ou menor intensidade os lampejos do talento6, sendo estes clares percursores de uma nova alvorada intelectual7. Das trevas da meia-idade romperam raios de luz iluminando os horizontes intelectuais, dos quais se destacam nomes como Robert Grosseteste, Alberto Magno, Roger Bacon, John Pecham e Vitlio. No que diz respeito ptica, e embora seguissem profundamente o tratado de Alhazen, estes trs ltimos redigiram importantes textos. Enquanto a cincia dilata as fronteiras do visvel, do observvel, florescem igualmente as pesquisas que, explorando os limites do olho humano, tendem a dar s imagens fixas da pintura o movimento e a vida8. este dom ilusionista que, na alvorada do sculo XIV desabrocha das magnficas obras de um humilde pastor Giotto di Bondone, que faz renascer uma arte adormecida h sculos. Encontrando na me natureza a sua musa inspiradora, Giotto procura exprimir as novas formas a descobertas de maneira a fazer crer que o que no , parea9. Encantados com as obras do pastor, os pintores desta poca tentam incutir este esprito ilusionista nos seus trabalhos, fazendo-o muitas vezes empiricamente. Percorrendo, mais uma vez, a grande rvore da prdica religiosa10, chegamos ao Renascimento onde a Igreja tambm ser triunfante. Neste perodo da histria inicia-se uma manifesta transio de esprito, procurando-se transpor as concepes criadas na poca medieval. Dando conta dos erros cometidos pelos pintores e tentando suscitar uma nova compreenso da identidade do artista, da definio de arte e do seu lugar na sociedade, surge em 1435 pelas mos em concha de um sacerdote genovs, Leon Battista Alberti11, um sermo artstico oferecido a todos os que pretendessem elevar o digno oficio de pintor. Della Pittura revolucionou o estilo artstico vigente h sculos, tornando Alberti um dos responsveis pela mudana substancial que ocorreu na arte em Itlia no sculo XV. O referido tratado albertiano mereceu duas verses, a primeira em latim dedicada

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    a Giovan Francesco, ilustrssimo prncipe de Mantua, e a segunda em italiano homenageando o arquitecto Filippo Brunelleschi; porm no sabemos precisar quanto tempo decorreu entre as duas publicaes. Os trs livros que compem a obra seguem o esquema clssico de um tratado isaggico no primeiro dos livros mencionam-se os elementos (rudimenta), no segundo aborda-se a arte (ars) e no terceiro o artista (artifex) como clarificam as palavras do autor dirigidas ao seu amigo Pippo: Vers trs livros: o primeiro todo matemtico, nascendo das razes da natureza esta lendria e nobrssima arte. No segundo livro coloco na mo do artista a arte, distinguindo as suas partes e demonstrando tudo. No terceiro instruo o artista como pode e deve alcanar a perfeio na arte e no conhecimento de toda a pintura. 12 Infelizmente nestes dois anos de mestrado apenas nos foi possvel analisar o primeiro destes trs livros, no qual Alberti comea por socorrer-se desse clssico manual da geometria que so os Elementos, para dizer o que entende por ponto, linha, ngulo e outros termos geomtricos mencionados por Euclides, mas de um modo acessvel aos pintores. Aps as definies, recupera o essencial da ptica da Antiguidade e da poca medieval, tambm conhecida como perspectiva naturalis, para criar um mtodo que constitui uma perspectiva artificialis onde a sistematizao matemtica da teoria da viso aplicada ao problema da representao, proporciona a inveno da construzione legittima como um mtodo exacto para corrigir as aproximaes empricas que os artistas realizavam.13 Com o sacerdote genovs o plano de representao pictrico, a veduta como lhe chama, resulta de uma interseco com a pirmide visual, apresentando-se ao longo deste livro critrios estruturais que permitem construir essa janela, quaisquer que sejam os objectos a representar num espao dado. O r...

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