tese m. - ana filipa lourenço dionísio

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  • ANA FILIPA LOURENO DIONSIO

    A Matemtica no primeiro livro do Della Pittura

    Universidade de Coimbra Departamento de Matemtica

    2003

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    Agradecimentos

    Doutora Helena Albuquerque pela sugesto do tema, pelo apoio, pela crtica e pelos conselhos dados sempre com o objectivo de melhorar. Ao Doutor Vtor Murtinho por todos os esclarecimentos prestados neste domnio e por todas as obras emprestadas sem as quais no teria sido possvel a redaco de algumas partes. Aos meus queridos pais, Silvia e ao Lus pelo apoio e incentivo manifestado, pela pacincia que demonstraram ter comigo quando o trabalho corria menos bem, pela compreenso dos inmeros momentos em que estive ausente, pela colaborao na leitura das vrias verses e pelas sugestes realizadas. Ao Doutor Carlos S pela simpatia em me facultar o seu estudo sobre Histria da Geometria Projectiva mesmo sem me conhecer pessoalmente. Ao Pai do Cu a quem dou graas de todo o meu corao por ouvir pacientemente as minhas preces, proporcionando-me momentos de verdadeira inspirao divina. Bina, ao Joo e petite Cline pela simpatia e disposio em encontrarem alguns preciosos livros para a composio desta dissertao. Aos meus colegas, em especial Ema e Conceio, pela compreenso demonstrada durante este perodo de mestrado em que fui de alguma forma poupada em algum trabalho. Uma palavra amiga para a Nisa que convidando-me a apanhar um pouco de ar fresco, por vezes em alturas cruciais, permitiu desanuviar o espirto e retomar o trabalho com uma melhor disposio. Clara Arajo por algumas tradues do francs. Carla Cordeiro pela ajuda na reviso final do texto. E.... a todos os que permanecendo annimos tambm muito contriburam para que este sonho se realizasse. Obrigada a todos pela vossa amizade!

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    S todo em cada coisa. Pe quanto s no mnimo que fazes. Assim em cada lago a lua toda brilha, porque alta vive.

    Fernando Pessoa (Ricardo Reis)

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    ndice

    Introduo ........................................................................................................................... 6

    Captulo 0: A Matemtica no primeiro livro do Della Pittura ...................................... 12

    Parte I ........................................................................................................... 14

    1. Definio de ponto, linha e superfcie .................................................... 14 2. Qualidades de uma superfcie ................................................................ 14

    2.1. Qualidades que podem alterar a superfcie ................................... 14 2.2. Qualidades que no alteram a superfcie ....................................... 15

    2.2.1. O stio ................................................................................... 16 2.2.2. A luz ..................................................................................... 20

    3. Superfcies equidistantes e colineares .................................................... 22 4. Tringulos semelhantes .......................................................................... 22 5. Superfcies no equidistantes ................................................................. 24

    Parte II .......................................................................................................... 25

    Captulo 1: Correco e evoluo dos conceitos matemticos presentes no Libro I ... 34

    1. Ponto, recta e plano ................................................................................ 37 2. O crculo ................................................................................................. 40 3. Outras superfcies ................................................................................... 43 4. ngulos e sua classificao .................................................................... 48 5. Tringulos semelhantes .......................................................................... 51

    Captulo 2: Dos enganos do olhar Perspectiva Linear ............................................... 61

    1. A Herana Helnica ................................................................................ 63

    1.1. A viso para os filsofos: o fogo do olhar .................................... 63 1.2. Lottica euclidiana ......................................................................... 66 1.3. A perspectiva vitruviana e a rejeio de um quantum continuum . 88 1.4. Cladio Ptolomeu, ptica e Geografia ......................................... 91 1.5. Galeno: anatomia versus geometria ............................................... 97

    2. O contributo rabe .................................................................................. 98 2.1. Al-Kindi, um discpulo de Euclides .............................................. 99 2.2. Avicena e o renascer da teoria intromissionista .......................... 104 2.3. Alhazen, o prodgio da ptica ..................................................... 105

    3. O triunfo da Igreja ................................................................................ 111 4. A luz por entre as sombras ................................................................... 121 5. Rinascitta .............................................................................................. 125

    Captulo 3: A captura do infinito ............................................................................... 138

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    Apndice: A inverso kepleriana e a justificao matemtica dos enganos do olhar ......... 156

    Bibliografia ...................................................................................................................... 168

    Origem das ilustraes ................................................................................................... 175

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    Introduo

    Segundo Jurgis Baltrusaitis, a perspectiva uma cincia que fixa as dimenses exactas das formas e a sua posio no espao, sendo ao mesmo tempo uma arte da iluso que as recria. A sua histria no s uma histria do realismo artstico tambm a histria de um sonho1. E o que a vida? Uma iluso, uma sombra, uma fico. Pois toda a vida sonho e os sonhos, sonhos so2. Os sonhos so bssolas de vontade que, como dizia o poeta, nos comandam a vida, e foi de facto a colossal vontade de desvelar este sonho que nos comandou nos ltimos dois anos. Oxal as cartas seguidas nos tenham conduzido a bom porto e possamos partilhar com todos os que se interessam pela aplicao da matemtica arte, o nascimento de uma filha da Geometria a Perspectiva. Para saciar a curiosidade, levantemos uma pequena ponta do longo manto que envolve calorosamente este rebento geomtrico. Tudo teve incio nesse perodo da histria conhecido como Idade Talssica. Nos primrdios desta idade do mar os intelectuais marcavam presena junto s margens do Nilo, Tigre e Eufrates. O primeiro destes rios atravessa um pas de descendncia faranica, as suas guas banham papiros onde repousa o saber deixado pelos eruditos. No meio deles certamente jaz um texto que a histria perdeu e que Proclo atribui ao primeiro verdadeiro matemtico, Tales de Mileto. O seu prestgio deve-se essencialmente a uma encenao realizada com o intuito de calcular a altura do imponente tmulo faranico, que hoje carto de visita da localidade de Giz. Por estes lados germinaram os primeiros elementos da geometria o ponto, cintilante como um diamante na interseco dos raios de sol, a linha sada do prprio astro, o ngulo de sombra, a superfcie, brilhante ou sombria, crculo, tringulo, quadrado...nascem ali como formas ideais na treva e na claridade, no meio das prprias coisas, no mundo tal como ele , reais como raios de luz, franjas de sombra, e como as suas orlas comuns3. Aproveitando tamanha ddiva, Tales cria uma cena teatral onde o Sol, a Pirmide e a areia desrtica so os protagonistas. O Sol de R encontra nos seus raios linhas contnuas, que ao intersectarem o monumento egpcio e um basto de altura propcia, delimitam uma apurada definio de tringulos. As sombras projectadas podem mudar consoante a estrela divina esteja mais ou menos afastada do gnmon, mas a relao que entre elas existe permanece invarivel permitindo descobrir o segredo do Fara a altura inacessvel. Com esta encenao conhecemos claramente do volume o que escrevem ou descrevem as sombras projectadas, as informaes transportadas na areia por um raio de Sol depois de ser interceptado pelas arestas e pelo cume do prisma opaco. Que nome dar a esta geometria? Uma perspectiva, uma arquitectura, uma fsica, uma ptica? 4 A cena de Tales atravessa o Mediterrneo. Plato contempla-a e com ela decora o fundo da sua caverna. Mais uma vez o volume escreve a sua sombra numa parede plana, explicando ao filsofo grego que um volume pode ser expresso pelas suas projeces exigindo apenas um ponto de vista e um desenho numa superfcie plana. Mas esta encenao ou cenografia platnica encontra em Euclides de Alexandria um espectador atento, e como fruto de uma brilhante observao resulta uma fenomenal compilao de teoremas, Lottica, justificando matematicamente os enganos e desenganos do olhar. Foi esta tentativa euclidiana de analisar geometricamente as iluses originadas pela

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    cenografia, que conduziu alguns dos seus tradutores a substiturem o ttulo original desse tratado por Perspectiva. Porm, a herana helnica revela-nos que tambm o astrnomo Cladio Ptolomeu apresentou importantes contributos para este domnio. Por estranho que parea, o principal deles encontra-se na sua Geografia, onde se menciona um mtodo cartogrfico que se assemelha a uma