UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Curso Técnico do Petróleo

Disciplina de Termodinâmica

Professor Jeferson Avila Souza

1º semestre de 2004

1. Diagramas de Equilíbrio

1.1. Os estados de agregação da matéria

Há três estados de agregação da matéria, classicamente considerados: sólido, líquido e

gasoso (gás ou vapor).

O estado sólido é caracterizado por uma elevada força de coesão entre as moléculas,

garantindo forma e volume bem definidos.

No estado líquido, a substância apresenta volume definido, mas forma variável (do

recipiente), em virtude de as forças de coesão entre as moléculas serem menos intensas.

No estado gasoso, as forças de coesão são praticamente inexistentes, fazendo com que

em volume nem forma sejam definidos. Nesse estado, a substância se distribui por todo o

espaço disponível.

O estado de agregação em que uma substância pura se apresenta depende das

condições de pressão e de temperatura a que está submetida. Por exemplo, sob pressão normal

(1 atm), a água está no estado sólido (gelo) em temperaturas inferiores a 0ºC, no estado

líquido entre 0ºC e 100ºC e no estado gasoso em temperaturas superiores a 100ºC.

1.2. Diagrama de estado

Em vista do exposto, concluímos que há vários pares de valores de pressão e

temperatura em que a substância está no estado sólido, outros pares que correspondem ao

estado líquido e outros ainda correspondendo ao estado gasoso.

Assim, se considerarmos um sistema cartesiano, representado a pressão p em

ordenadas e a temperatura T em abscissa, o plano definido pelos dois eixos ficará dividido em

três regiões correspondentes aos três estados de agregação (Fig. 1)

P

0 T

estado gasoso

estado líquidoestado

sólido

2

3

1

Fig. 1 – Diagrama de estado

As três regiões do diagrama (estados sólido, líquido e gasoso) da Fig. 1 são limitadas

por três curvas:

curva de fusão: entre as regiões dos estados sólido e líquido;

curva de vaporização: entre as regiões dos estados líquido e gasoso;

curva de sublimação: entre as regiões dos estados sólido e gasoso.

1.3. Mudanças de fase

Considere, na Fig. 2, a situação da substância caracterizada pela pressão p e pela

temperatura t. O estado de agregação é sólido. Se alterarmos a temperatura e a pressão isolada

ou simultaneamente, será possível cruzar uma das curvas limítrofes antes referidas, como

inçam as setas. Dizemos então que, em cada uma das passagens, a substância sofreu uma

mudança de estado.

P

0 T

gasoso

líquido

sólido

P

T (°C)

Fig. 2 – Diagrama de estado (mudança de estado)

Conforme os estados de agregação entre os quais ocorre a transição, podemos

reconhecer as seguintes mudanças de estado:

fusão

sublimação (inversa)

solidificação

vaporização

condensação

sublimação (direta)

Líquido GasosoSólido

Fig. 3 – Esquema de mudança de estado

Se mantivermos a pressão constante e variarmos a temperatura, ao ser atingida a

temperatura de mudança de estado, durante o processo de transição a temperatura

permanecerá constante, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a

mudança.

De modo idêntico, se mantivermos constante a temperatura e variarmos a pressão, ao

ser alcançada a pressão de mudança de estado, o valor dessa não se modificará durante a

transição, havendo coexistência dos dois estados entre os quais está ocorrendo a mudança.

Consideramos, por exemplo, uma substância no estado líqudio sob pressão p’ e

temperatura T’. Na Fig. 4a, representamos uma vaporização sob pressão constante: Tv é a

temperatura de vaporização na pressão considerada. Na Fig. 4b está representada uma

vaporização sob temperatura constante: pv é a pressão de vaporização na temperatura

considerada.

A vaporização considerada nos exemplos, que ocorre sob condições bem definidas, é

denominada vaporização típica, sendo também chamada de ebulição. A vaporização

espontânea, que acontece sob quaisquer condições, passando a substância do estado líquido

para o estado gasoso em virtude da agitação molecular, é denominada evaporação.

Como, durante a mudança de estado, coexistem os dois estados entre os quais há a

mudança, cada ponto de uma curva é representativo de uma condição em que coexistem dois

estados da substância. Assim, um ponto da curva de fusão representa uma condição de

coexistência dos estados sólido e líquido. Cada ponto da curva de vaporização é

representativo da coexistência dos estados líquido e gasoso.

P

0 T (°C)

gasoso

líquido

sólido

P

0 T (°C)

gasoso

líquido

sólido

Fig. 4 – Exemplos de mudança de estado

O ponto comum às três curvas é denominado ponto triplo ou tríplice da substância,

sendo representativo da condição de pressão e temperatura em que coexistem os três estados

de agregação.

Tabela 1: Ponto triplo de algumas substâncias

Água 0.006 atm 0.01 ºC

Dióxido de carbono (CO2) 5.10 atm -56.6 ºC

Nitrogênio (N2) 0.131 atm -209 ºC

1.4. Temperatura e pressão de mudança de fase

Analisando o diagrama de estado da maioria das substâncias Fig. 5, notamos que,

quanto mais alta é a pressão exercida sobre uma substância, tanto mais elevada torna-se a

temperatura de mudança de estado, seja a fusão, a vaporização ou a sublimação.

Por exemplo, como indicado na Fig. 5, quando a pressão atuante é p1, a fusão ocorre

na temperatura T1; sob pressão p2 a fusão ocorre na temperatura T2. Assim, o enxofre se funde

a 107 ºC quando sob pressão de 1 atm; se a pressão for aumentada para 519 atm, a

temperatura de fusão passa a ser 135.2 ºC.

Faz exceção a essa regra a fusão de algumas substâncias, como a água, o ferro, o

antimônio e o bismuto. A temperatura de fusão dessas substâncias decresce quando é

aumentada a pressão.

A vaporização e a sublimação das substâncias citadas obedecem à regra geral.

Portanto, para todas as substâncias, a temperatura de vaporização (ebulição) Teb e a

temperatura de sublimação Tsubl aumentam com o aumento da pressão p.

Quanto à temperatura de fusão, Tf, ela aumenta quando a pressão p aumenta para a

maioria das substâncias. Entretanto, para um pequeno grupo de substâncias (água, ferro,

bismuto, etc.), a temperatura de fusão diminui com o aumento da pressão.

P

0 T

gasoso

líquido

sólido

P1

T1 T2

Fig. 5 – Diagrama de mudança de estado da maioria das substâncias

Na Fig. 6, representamos o diagrama de estado dá água. Note que, sob pressão normal

(1 atm), a fusão do gelo ocorre a 0ºC. Quando submetido à pressão de 8 atm, o gelo sofre

fusão a -0.06 ºC.

P (atm)

0 T (°C)

gasoso

líquido

sólido

1

-0.06

8

0

Fig. 6 – Diagrama de estado da água

Essa diferente influência da pressão sobre o ponto de fusão é decorrente de como varia

o volume da substância durante a mudança de estado.

A maior parte das substâncias sofre fusão com aumento de volume. A elevação de

pressão, aproximando as moléculas, dificulta então essa mudança de estado, fazendo com que

ela ocorra numa temperatura mais alta.

As exceções (água, ferro, bismuto, etc.) sofrem fusão com diminuição de volume.

Então, o aumento na pressão, aproximando as moléculas, favorece a mudança de estado, que

ocorre, por conseguinte, numa temperatura mais baixa.

Resumindo a influência da pressão na temperatura de fusão, temos:

Substâncias que se dilatam na fusão (maioria)

P ↑ Tf ↑

Substâncias que se contraem na fusão (exceções)

P ↑ Tf ↓

1.5. Temperatura crítica. Gás e vapor

A vaporização e a condensação não ocorrem acima de certa temperatura característica

de cada substância, denominada temperatura crítica (Tc). Isso significa que, em temperatura

superior à temperatura crítica (T > Tc), a substância está sempre no estado gasoso, qualquer

que seja a pressão a que esteja submetida. Faz-se então a distinção entre vapor e gás.

Uma substância no estado gasoso é vapor enquanto sua temperatura for igual ou

inferior à temperatura crítica. O vapor pode ser condensado por aumento de pressão, mantida

constante a temperatura (Fig. 7, seta I).

Uma substância no estado gasoso é gás enquanto sua temperatura for superir à

temperatura crítica (T < Tc). O gás não pode ser condensado por aumento de pressão, mantida

constante a temperatura (Fig. 7, seta II).

P

0 T

gas

líquidosólido c

Tc

vapor

I II

Fig. 7 – Transformação do estado de vapor para o líquido

Por exemplo, o dióxido de carbono (CO2) tem temperatura crítica igual a 31ºC. Assim,

o CO2 é vapor em temperatura igual ou inferior a 31ºC. Se a temperatura for maior que 31ºC,

o CO2 é um gás.

Resumindo, para cada substância:

T ≤ Tc – vapor: condensa-se por simples aumento de pressão

T > Tc gás: Não se condensa pro simples aumento de pressão

O ponto da curva de vaporização que corresponde á temperatura crítica é denominado

ponto crítico e representado por C na Fig. 7.

1.1.1 Pressão máxima de vapor

Consideremos um recipiente cilíndrico provido de um êmbolo que pode movimentar-

se livremente. No interior desse cilindro encontram-se, em equilíbrio, o estado líquido e o

estado gasoso (vapor) de uma substância pura (Fig. 8). Seja T a temperatura do sistema.

Essa situação é necessariamente representada, no diagrama de estado da substância,

por um ponto da curva de vaporização (Fig. 9). Realmente, os pontos dessa curva são

representativos de condições de pressão e temperatura em que coexistem os estados líquido e

gasoso.

A pressão F exercida pelo vapor na referida situação de equilíbrio é denominada

pressão máxima de vapor da substância à temperatura T.

(a)

(b)

(c)

Fig. 8 – Recipiente com liquido e gás saturados

Observe que essa pressão é realmente máxima para o vapor, pois na temperatura T, em

pressões maiores, só pode existir o estado líquido. O vapor pode exercer pressões menores

que a máxima, mas, nessas condições, ele não poderá estar em presença do líquido (vapor

seco).

P

P

Tc T (°C)

T

C

Gás

Vapor

Líquido

0 T

Fig. 9 – Curva de vaporização

O vapor em presença do líquido, exercendo a pressão máxima F, costuma ser

denominado vapor saturado (Fig. 8). Se o volume oferecido ao vapor saturado for diminuído

isotermicamente, ele se converterá parcialmente em líquido (condensação) (Fig. 8b), para

continuar a exercer a mesma pressão: como ainda há coexistência dos dois estados, não

podem se alterar as condições de pressão e temperatura (Fig. 9). Se o volume oferecido ao

vapor saturado for aumentado (Fig. 8c), mantendo-se a temperatura, o líquido se converterá

parcialmente em vapor (vaporização), de modo a manter a pressão no valor F.

Em conclusão é possível afirmar que: A pressão máxima de vapor não depende do

volume oferecido ao vapor saturado.

Observando-se o diagrama de estado da substância na Fig. 10, percebe-se que a cada

valor de temperatura corresponde um valor diferente para a pressão máxima de vapor. Quanto

mais elevada a temperatura, tanto mais alto o valor da pressão máxima de vapor.

Logicamente, o mais elevado valor de pressão máxima é o que corresponde à temperatura

crítica Tc, sendo denominada pressão crítica.

Concluí-se que: para cada substância, a pressão máxima de vapor é função exclusiva

da temperatura.

P

Pc

P’’P’P

T’T’’Tc T (°C)

T

C

Gás

Vapor

Líquido

0 T

Fig. 10 – Curva de saturação

1.6. Mudanças de estado em um diagrama P-V

É necessário sermos capazes de determinas vários tipos de mudança de estado (não

confundir com mudança de fase) em um diagrama P-V. Abaixo são mostrados quatro

exemplos:

P

V

1

2

34

1. Mudança de Pressão e Temperatura a volume constante é uma transformação isovolumétrica

2. Mudança de volume e temperatura a pressão constante é uma transformação isobárica;

3. Mudança de pressão e volume a temperatura constante, é uma transformação isotérmica;

4. Mudança na pressão e no volume em um recipiente isolado (sem aquecimento ou resfriamento), é uma transformação adiabática

1.7. Diagramas de estado de Andrews

Podemos melhor compreender a dependência entre os estados da matéria e as

condições de temperatura e pressão, analisando os diagramas de P = f(T) e P = f(V) para uma

certa substância.

Temp (°C)

Pres

são

(Bar

)

Volume 100 120 400-20 37480

1.0

221

0.06030.5

374 °C120 °C

100 °C

400 °C

Ponto crítico

Fig. 11 – Diagramas de Andrews (água)

Vamos imaginar um recipiente com água sob pressão igual a 1.0 atm. A 60ºC ela está

no estado líquido com vapor saturado na superfície. A 120ºC ela será gasosa, ou estado de

vapor e a –10ºC, na fase sólida, com vapor saturado na superfície. Mas a 400ºC ela será um

gás pois mesmo sob pressões elevadas se tornará um vapor saturado com fase líquida.

Podemos então redesenha os diagramas de uma maneira mais límpida, como segue:

Temp (°C)

Pres

são

(Bar

)

Volume 3740.01

221

0.0603

374 °C

Ponto crítico

gás

vapornão saturado

líquido

vapor saturado

Ponto crítico

líquido

vapor nãosaturado

sólidogás

Fig. 12 – Diagrama de Andrews

Observe bem o ponto T (ponto triplo). Nestas condições a água poderá estar

solidificando ou fundindo simultaneamente acompanhada de ebulição ou liquefação. Sob

temperaturas mais baixas (-20ºC, por exemplo) e sob pressões inferiores a 603 Pa a água não

poderá existir na fase líquida. Qualquer mudança de estado, nestas condições será apenas uma

sublimação. Dessas afirmações podemos deduzir que:

Toda substância tem um único ponto tríplice e um único ponto crítico

Sob temperatura superior á crítica qualquer substância será um gás;

Para ocorrer sublimação, a temperatura devera ser inferior à temperatura tríplice e sob

pressão inferior à pressão tríplice.

A Tabela 2 mostra os pontos tríplices e críticos de algumas substâncias.

Tabela 2: Pontos críticos e tríplices

Pressão no ponto Tríplice (Pa)

Temperatura no ponto Tríplice (ºC)

Pressão crítica (Bar)

Temperatura critica (ºC)

Água 603 0.01 221 374 CO2 5.18 x 105 -56.6 73.9 31 O2 150 -218 50.3 -119 N2 0.14 x 105 -210 33.9 -147

1.8. Tabelas de saturação

Tabelas de saturação são tabelas que listam algumas propriedades físicas para os

estados de liquido e vapor saturados. Estes valores são denotados pelos sub-índices f e g

(fluido e gás, respectivamente). Estas tabelas podem ser de dois tipos:

as que listam a temperatura na primeira coluna e a respectiva pressão de saturação na

segunda coluna; ou

a pressão na primeira coluna e a temperatura de saturação na segunda coluna

Em ambos os casos a terceira e a quarta coluna trazem a o volume específico de

liquido saturado (vf) e o volume de gás saturado (vg).

Pre

ssão

Volume

Ponto crítico

Vapor saturadoLíquido saturado

Líquido

vgvf

v > vgv < vf v < v < vf g

Isoterma

Fig. 13 – Representação de vg e vf no diagrama de Andrews

O volume específico de uma mistura de líquido e vapor pode ser determinado com o

auxilio destas tabelas de saturação. O volume total da mistura é a soma dos volumes das fases

de liquido e vapor

[ ]3m vapliq ∀+∀=∀

(1)

o volume específico pode ser obtido dividindo-se esta equação pela massa total da

mistura m

[ ][ ]kgm

mmm

v vapliq3∀

+∀

=∀

=

(2)

Como a fase líquida é na verdade líquido saturado e a fase de vapor é vapor saturado

=∀

=∀

gvaporvapor

fliqliq

vm

vm

(3)

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), obtemos

gvapor

fliq v

m

mv

m

mv

+

=

(4)

Vamos também definir o titulo da mistura como sendo a razão entre a massa de vapor

e a massa total do sistema, assim

vaporliquido

vapor

mm

mx

+=

(5)

O volume específico da mistura pode ser então determinado por

( ) ( ) [ ][ ]kgm

vvxvxvvxv fgfgf

3

1 −+=+−=

(6)

Exemplo 1: Considere um sistema de duas fases (líquido-vapor) de água a 100 ºC e

título de 0.9. Determine o volume específico da mistura

Das tabelas de saturação para água a 100ºC

- vf = 1.0435× 10 -3 m3/kg

- vg = 1.673 m3/kg

assim

v = vf + x(vg – vf)

v = 1.0435×10 -3 m3/kg + 0.9(1.673 m3/kg – 1.0435×10-3 m3/kg)

v = 1.506 m3/kg

Exemplo 2: Determine o título e a temperatura de saturação para uma mistura (de

água) de líquido e vapor.

P = 5 bars

V = 0.5 m3/kg

Da tabela de saturação para a água com entrada de pressão, determinamos:

Tsat = 151.9 ºC

vf = 0.3749 m3/kg

vg =1.0926 m3/kg

sabendo que ( ) vvxvv fgf −+=

( )fgf vvxvv −=−

( )( )fg

f

vv

vvx

−

−=

( )( ) vaporde massa de %7.45457.0

103749.00926.1

103749.05.0x 3

3

==×−

×−= −

−

Conceitos Básicos sobre gases Para este estudo não vamos fazer distinção entre gás e vapor, desta forma neste

capítulo, o estado gasoso (gás ou vapor) será sempre referido como gás.

1.9. Pressão dos gases

Suponha uma seringa de injeção que contém somente um gás e que a sua

agulha esteja entupida. As partículas do gás estão em contínuo movimento (agitação

térmica) e além de colidirem entre si, chocam-se contra as paredes do recipiente.

Durante as colisões surgem forças (forças de impacto) atuando sobre toda a superfície

interna da seringa. Ora, tais forças estão associadas a uma pressão de dentro para fora

tanto maior quanto maior for a temperatura do gás.

É possível aumentar a pressão sem aumentar a temperatura. Comprimindo o

gás na seringa, as mesmas partículas estarão colidindo com a mesma intensidade

contra uma superfície interna menor. Isto equivale a dizer que a pressão estará

aumentando com a redução de volume (Fig. 1b).

Como há uma dependência do tipo proporção inversa, podemos linealizar o

diagrama conforme mostrado na Fig. 1c.

P

T

P

V

P

1/V(a) (b) (c)

Fig. 1– Pressão de um gás

1.10. Gás perfeito

É uma substância gasosa idealizada onde suas propriedades termodinâmicas

(pressão, temperatura, etc...) podem ser relacionadas através da seguinte equação

nRTP =∀ (1)

onde p é a pressão, ∀ é o volume, n o número de mols, R a constante universal

dos gases e T a temperatura na escala absoluta.

Se um gás estiver sobre pressão não muito alta e temperatura não muito baixa

(estes valores de pressão e temperatura variam de acordo com o gás) ele terá um

comportamento de um gás perfeito e será chamado de gás ideal.

A constante universal dos gases R, é uma constante de proporcionalidade cujo

valor é dado por

kmollatm

KmolJ

R××

=×

= 082.0317.8 (2)

Conceito de mol de um gás ou vapor

A quantidade de uma substância pode ser dada em função do seu número de

mols, que é uma unidade do sistema internacional. Um mol, de qualquer substância, é

a quantidade desta substância que contém tantas entidades elementares (átomos,

moléculas, íons, elétrons, outras partículas, ou grupos destas partículas) quanto 12

gramas de carbono-12, o qual contém 6.023×1023 partículas. A massa molecular (M)

de uma substância é o número de gramas por mol desta substância, assim, a massa

molecular do carbono-12 é 12 g/mol.

A massa molecular de uma substância pode ainda ser expressa em kmol,

kgmol, gmol ou lbmol, as quais são relacionadas entre si de acordo com a tabela

abaixo.

1 mol = amostra contendo 6.02253××1023 entidades elementares (ex: moléculas)

1 mol = 1 gmol 1 mol = 10-3 kmol kmol = Kgmol 1 mol =

6.4531

lbmol

O número de mols de uma substância, n, é obtido dividindo-se a massa pela

massa molecular desta substância, assim

Mm

n = (3)

onde n é o número de mols, m a massa e M a massa molecular.

A quantidade de 6.023×1023 entidades é conhecida como número de Avogadro

e representado pelo símbolo N. Assim, podemos afirmar que 1 mol de uma substância

corresponde a 6.023×1023 partículas desta substância.

É bom lembrar que a massa de um mol de substância tem um valor que pode

ser encontrado a partir da fórmula química e da massa atômica (em gramas) fornecida

pela tabela periódica.

Ex:

H2 ⇒ 2 × (1×10-3) kg

O2 ⇒ 2 × (16×10-3) kg

CO2 ⇒ 1 × (12×10-3) + 2 × (16×10-3) kg

Observações:

na Eq. (1) a temperatura precisa ser sempre em uma escala absoluta; Kelvin

(K) ou Rankine (R). A relação entre graus Fahrenheit e Rankine é:

T (R) = T(ºF) + 469.67

se tivermos uma mistura de substâncias gasosas que não reagem entre si o

número de mols é dado pela soma dos números de mols de cada componente da

mistura:

...321 +++= nnnn (4)

se houver reação química entre os componentes devemos somar apenas os

números de mols resultantes da reação, o que pode ser facilmente observado na

equação da reação química a seguir:

2222 21

OOHOH +=+ (5)

Exemplo 1: Calcule o número de mols contido em 128g de O2 (oxigênio).

Da tabela periódica determinamos que a massa molecular do O2 é 32 g/mol

(2×16 g/mol), assim

molsmolgg

n 432

128==

Exemplo 2: Qual a massa de uma molécula de O2?

Sabendo-se que MO2 = 32 g/mol, e que 1 mol é igual a 6.023×1023

moléculas, podemos concluir que

1 molécula tem 2310023.61×

mols = n,

da expressão Mm

n = podemos determinar a massa de uma molécula de O2 da

seguinte forma

g10312.5mol

g32mol

10023.6

1nMm 23

Mn

23−×=×

×==

32144 344 21

1.11. Equação de Clapeyron

Vimos que a pressão de um gás é diretamente proporcional à temperatura

absoluta (Fig. 1a) e inversamente proporcional ao volume (Fig. 1c).

Podemos portanto, traçar um gráfico envolvendo as três grandezas, que são as

variáveis de estado (p, ∀ e T) – pois a pressão é proporcional diretamente à razão

T/V.

Se traçarmos diagramas P-∀para quantidades variáveis de um gás, teremos

uma família de curvas conforme as obtidas na Fig. 2a.

P

T/V

n1

n2

n3

(a)

P

T/V

E 0

E 1

(b)

Fig. 2– Diagrama P-(T/∀)

A equação de cada uma das retas pode ser escrita como sendo

axy = ou ∀=

T.constP (6)

O coeficiente angular da reta é obtido experimentalmente, lembrando que 1

mol de qualquer substância gasosa apresenta nas condições normais de temperatura e

pressão:

pressão ⇒ 1 atm = 105 Pa

Temperatura absoluta ⇒ 0 ºC = 273.15 K

Volume de 1 mol = 22.4 l = 22.4 × 10-3 m3

Portanto, para 1 mol teremos a constante, aqui representada por R e

denominada de constante dos Gases Perfeitos, que como visto na Eq. (2) é

aproximadamente molKmPa

⋅⋅ 3

13.8 . A equação de Clapeyron, na forma generalizada para

n mols, é dada então pela equação (1).

Observando o diagrama da Fig. 2b para um certo número de mols de uma

substância gasosa pura, vamos nos fixar nos dois pontos assinalados E0 e E1. E0

corresponde a um estado que chamaremos de inicial e que corresponde as variáveis de

estado P0, ∀0 e T0. Quando a massa gasosa assume o estado E1 dizemos que ocorreu

uma “transformação” e as variáveis de estado serão P1, ∀1 e T1. Reescrevendo a Eq.

(1) da seguinte maneira

nRT

P=

∀ (7)

podemos escrever para o estado 0

nRT

P=

∀

0

00 (8)

da mesma forma para o estado 2

nRT

P=

∀

1

11 (9)

Como R é uma constante e n não varia, pois estamos considerando uma

substância que não sofre reação química durante a transformação, ou seja o número de

mols permanece constante podemos escrever

constante1

11

0

00 ==∀

=∀

nRT

PT

P (10)

Exemplo 3: Um pneu de automóvel contém ar sob pressão absoluta igual a 3

atm e temperatura igual a 27 ºC. Com o movimento do veículo, sua temperatura passa

para 57 ºC e o volume aumenta em 5%. Qual sua nova pressão?

P0 = 3 atm

T0 = (27 + 273.15) K T1 = (57 + 273.15) K

∀0 = ∀ ∀1 = 1.05∀

sabendo-se que 1

11

0

00

TP

TP ∀

=∀

podemos escrever

( )

K15.330

m05.1P

K15.300

matm3 31

3 ∀××=

∀×

assim temos P1 = 3.143 atm

1.12. Diagrama de Clapeyron

É muito útil estudar as evoluções gasosas em um diagrama do tipo P-∀. A Fig.

3a nos mostra algumas transformações isotérmicas de uma mesma quantidade de gás.

É relativamente fácil observar que cada uma das isotermas representam evoluções sob

temperaturas diferentes em que T1 < T2 < T3.

A Fig. 3b mostra

a ⇒ transformação isobárica (pressão constante)

b ⇒ transformação isotérmica (temperatura constante)

c ⇒ transformação isovolumétrica (volume constante)

d ⇒ transformação adiabática (sem troca de calor)

T T T1P

V

2 3

(a)

T T T1 T4P

a

b

d

c

V V V

P

P3

2

1

P

2 3 V

1

2 3

(b)

Fig. 3– Diagrama de Clapeyron

Quando a transformação não apresenta nenhuma das características já citadas,

ela é denominada de transformação geral.

1.13. Transformação politrópica

Suponha uma seringa de injeção na qual podemos efetuar uma compressão

súbita que impeça, dada a rapidez do evento, as trocas de calor. Como é realizado um

trabalho de compressão, a energia interna da massa de gás aumenta. Tal fato provoca

então um aumento na temperatura do gás. No caso de uma expansão sem troca de

calor ocorrerá então uma diminuição na temperatura. Tal transformação é chamada de

adiabática (sem troca de calor) Esta transformação é regida pela seguinte equação de

estado.

αα1100 ∀=∀ PP (11)

onde α é o coeficiente politrópico da transformação.

Exemplo 4: O pistão de um compressor de ar em volume máximo igual a 0.3

litros e em funcionamento cíclico é reduzido para 0.03 litros. O ar é admitido no

processo sob pressão de 1 atm e com uma temperatura igual a 27 ºC. Como o processo

de compressão é muito rápido, podemos admitir que não há troca de calor entre o

pistão e o meio, considerando assim a transformação adiabática. O coeficiente

politrópico vale 1.4. Determine então a pressão do ar comprimido e sua temperatura

em ºC.

∀0 = 0.3×10-3 m3 ∀1 = 0.03×10-3 m3

P0 = 1 atm

T0 = 300.15 K

α = 1.4

sabendo-se que αα1100 ∀=∀ PP , podemos determinar P1

( )

1192510030

103013

3

1

001 .

..P

P =×××

=∀∀

= −

−

α

α

atm

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