SIMULACIONSIMULACION MONTE CARLO MONTE CARLO CON MS EXCEL CON MS EXCEL

RODRIGO PEREZ PEÑARODRIGO PEREZ PEÑA

Sesión 1. Fundamentos de probabilidad para simulación.Duración 3 horas.Variables aleatorias.Distribuciones de probabilidad.Ley de los grandes números.Teorema del límite central.Principios de la simulación MonteCarlo.Sesión 2. Números aleatorios.Duración 3 horas.Que son los números aleatorios y pseudo-aleatoriosGeneración de números aleatorios en Excel.Generación de forma dinámica.Generación de forma estática.Ejercicios.Sesión 3.  Herramientas para simulación.Duración 3 horas.Un problema básico de simulación. Taller.Interpretación de resultados de la simulación. Sesión 4.Duración 3 horas.Herramientas adicionales a Excel para simulación MonteCarlo.Sesión 5.Duración 4 horas.Ejercicios de simulación con Excel aplicado a Finanzas. Taller.Interpretación de resultados de la simulación. 

Que es la simulación Monte Que es la simulación Monte Carlo?Carlo?• Método computacional usado para estudiar el Método computacional usado para estudiar el

comportamiento de sistemas matemáticos, comportamiento de sistemas matemáticos, físicos o de cualquier índole, a partir del uso de físicos o de cualquier índole, a partir del uso de muestreo estadístico, números aleatorios y muestreo estadístico, números aleatorios y pseudo-aleatorios.pseudo-aleatorios.

• Es iterativo -> requiere cálculos por computador.Es iterativo -> requiere cálculos por computador.

• Las técnicas de Monte Carlo pueden ser usadas Las técnicas de Monte Carlo pueden ser usadas para encontrar soluciones aproximadas a para encontrar soluciones aproximadas a problemas cuantitativos, con o si incertidumbre.problemas cuantitativos, con o si incertidumbre.

OrígenesOrígenesSe atribuye a Stanislaw Ulam, matemático polaco Se atribuye a Stanislaw Ulam, matemático polaco

que trabajo para John von Neumann en el que trabajo para John von Neumann en el proyecto Manhattan durante la segunda guerra proyecto Manhattan durante la segunda guerra mundial y contribuyo junto con Edward Teller en mundial y contribuyo junto con Edward Teller en el diseño de la bomba de Hidrogeno en 1951. el diseño de la bomba de Hidrogeno en 1951.

Ulam no inventó el muestreo estadístico, pero Ulam no inventó el muestreo estadístico, pero reconoció la el potencial de los computadores reconoció la el potencial de los computadores electrónicos para automatizar el proceso. electrónicos para automatizar el proceso. Trabajando con John von Neuman y Nicholas Trabajando con John von Neuman y Nicholas Metropolis, desarrollo algoritmos de Metropolis, desarrollo algoritmos de implementación y exploró formas de convertir implementación y exploró formas de convertir problemas no aleatorios en formas aleatorias para problemas no aleatorios en formas aleatorias para ser solucionados via muestréo estadístico.ser solucionados via muestréo estadístico.

Ulam y Metropolis publican el primer paper en 1949.Ulam y Metropolis publican el primer paper en 1949.

En este curso, usaremos la simulación En este curso, usaremos la simulación Monte Carlo para el tratamiento de Monte Carlo para el tratamiento de problemas y modelos con problemas y modelos con incertidumbre.incertidumbre.

Partiremos de modelos matemáticos Partiremos de modelos matemáticos que describan un problema o situación que describan un problema o situación y a los cuales se les incorporarán y a los cuales se les incorporarán componentes probabilisticos.componentes probabilisticos.

Hay dos componentes que pueden Hay dos componentes que pueden generar aleatoriedad en un modelo. generar aleatoriedad en un modelo. •RiesgoRiesgo: es un efecto aleatorio propio : es un efecto aleatorio propio del sistema bajo análisis. Se puede del sistema bajo análisis. Se puede reducir alterando el sistema.reducir alterando el sistema.•IncertidumbreIncertidumbre es el nivel de ignorancia es el nivel de ignorancia del evaluador acerca de los parámetros del evaluador acerca de los parámetros que caracterizan el sistema a modelar. Se que caracterizan el sistema a modelar. Se puede reducir a veces con mediciones puede reducir a veces con mediciones adicionales o mayor estudio, o consulta a adicionales o mayor estudio, o consulta a expertos. expertos. •LaLa Variabilidad TotalVariabilidad Total es la es la combinación de riesgo e incertidumbre.combinación de riesgo e incertidumbre.

Tanto el riesgo como la incertidumbre Tanto el riesgo como la incertidumbre se describen mediante variables se describen mediante variables aleatorias que hacen parte de las aleatorias que hacen parte de las variables presentes en el modelo.variables presentes en el modelo.

Para que queremos Para que queremos modelar la variabilidad?modelar la variabilidad?

El riesgo no es algo que se El riesgo no es algo que se "sufre", el riesgo es algo que "sufre", el riesgo es algo que se puede administrar.se puede administrar.

Administración del Administración del RiesgoRiesgo1.1. Negociar las variables negociablesNegociar las variables negociables

2.2. Buscar más informaciónBuscar más información

3.3. Aumentar el compromiso Aumentar el compromiso

4.4. Tomar precauciones adicionalesTomar precauciones adicionales

5.5. Compartir el riesgoCompartir el riesgo

6.6. Transferir el Transferir el riesgoriesgo

7.7. Formular planes de contingenciaFormular planes de contingencia

8.8. No tomar medidas, asumir el riesgoNo tomar medidas, asumir el riesgo

9.9. Cancelar el proyectoCancelar el proyecto

Simulación Monte CarloSimulación Monte Carlo• 1. Diseñar el modelo matemático que representa 1. Diseñar el modelo matemático que representa

el problema con incertidumbre.el problema con incertidumbre.

• 2. Especificar distribuciones de probabilidad para 2. Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.las variables aleatorias relevantes.

• 3. Incluir posibles dependencias entre variables.3. Incluir posibles dependencias entre variables.

• 4. Muestrear valores de las variables aleatorias.4. Muestrear valores de las variables aleatorias.

• 5. Calcular el resultado del modelo según los 5. Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo y registrar el resultado.valores del muestreo y registrar el resultado.

• 6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener 6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener una muestra estadísticamente representativa.una muestra estadísticamente representativa.

• 7. Obtener la distribución de frecuencias del 7. Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones.resultado de las iteraciones.

• 8. Calcular media, desvío y curva de percentiles 8. Calcular media, desvío y curva de percentiles acumulados.acumulados.

Analisis de escenariosAnalisis de escenarios

Debido a que la simulación monte carlo Debido a que la simulación monte carlo involucra la generación de un numero involucra la generación de un numero alto de escenarios, también puede ser alto de escenarios, también puede ser entendida como una forma mas entendida como una forma mas completa de realizar análisis de completa de realizar análisis de escenarios o análisis What-ifescenarios o análisis What-if

Fundamentos de Fundamentos de probabilidad para probabilidad para simulación.simulación.

•Variables AleatoriasVariables Aleatorias•Distribuciones de Distribuciones de

probabilidadprobabilidad•Ley de los grandes números.Ley de los grandes números.•Teorema del límite central.Teorema del límite central.

Fundamentos de Fundamentos de probabilidad para probabilidad para simulación.simulación.

•Variables AleatoriasVariables Aleatorias•Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad•Ley de los grandes números.Ley de los grandes números.•Teorema del límite central.Teorema del límite central.

Variables AleatoriasVariables Aleatorias

• Una Variable aleatoria X es una Una Variable aleatoria X es una función cuyos valores son números función cuyos valores son números reales y dependen del “azar”.reales y dependen del “azar”.

• Para caracterizar las variables Para caracterizar las variables aleatorias se utilizan las aleatorias se utilizan las distribuciones de probabilidad.distribuciones de probabilidad.

Fundamentos de Fundamentos de probabilidad para probabilidad para simulación.simulación.

•Variables AleatoriasVariables Aleatorias

•Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidad

•Ley de los grandes números.Ley de los grandes números.•Teorema del límite central.Teorema del límite central.

Distribución de Distribución de probabilidadprobabilidad

• Una distribución de probabilidad Una distribución de probabilidad describe el describe el rango de valoresrango de valores que que puede tomar una puede tomar una variablevariable aleatoria aleatoria y la y la probabilidad asignada a probabilidad asignada a cada valorcada valor o rango de valores. o rango de valores.

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidadDiscretasDiscretas

• Una variable aleatoria representada Una variable aleatoria representada mediante una distribución discreta de mediante una distribución discreta de probabilidad puede tomar un valor de probabilidad puede tomar un valor de entre un conjunto de valores, cada uno entre un conjunto de valores, cada uno de los cuales tiene asignada una de los cuales tiene asignada una determinada probabilidad de determinada probabilidad de ocurrencia.ocurrencia.

• Ejemplos: Binomial, Geométrica, Ejemplos: Binomial, Geométrica, Poisson, Discreta.Poisson, Discreta.

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidadContinuasContinuas

•Una variable aleatoria representada Una variable aleatoria representada mediante una distribución continua mediante una distribución continua de probabilidad puede tomar de probabilidad puede tomar cualquier valor dentro de un rango cualquier valor dentro de un rango determinado.determinado.

•Ejemplos: Normal, Lognormal, Ejemplos: Normal, Lognormal, Uniforme, Triangular, HistogramaUniforme, Triangular, Histograma

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidadNo LimitadasNo Limitadas La variable aleatoria puede La variable aleatoria puede

tomar valores entretomar valores entre +infinito +infinito y y –infinito –infinito (ejemplos: Normal, Logística).(ejemplos: Normal, Logística).

LimitadasLimitadas Los valores de la variable Los valores de la variable aleatoria quedan confinados entre dos aleatoria quedan confinados entre dos valores extremos (ejemplos: Binomial, valores extremos (ejemplos: Binomial, Beta, Uniforme, Triangular, Beta, Uniforme, Triangular, Histograma).Histograma).

Parcialmente LimitadasParcialmente Limitadas Los valores de la Los valores de la variable aleatoria quedan limitados en variable aleatoria quedan limitados en uno de los extremos de la distribución uno de los extremos de la distribución (ejemplos: Poisson, Exponencial).(ejemplos: Poisson, Exponencial).

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidadParamétricasParamétricas

• La distribución de probabilidad se ajusta a La distribución de probabilidad se ajusta a la la descripción matemáticadescripción matemática de un de un proceso aleatorio que cumple con proceso aleatorio que cumple con determinados determinados supuestos teóricossupuestos teóricos..

• Los parámetros que definen la distribución Los parámetros que definen la distribución en general no guardan relación intuitiva en general no guardan relación intuitiva con la forma de la distribución.con la forma de la distribución.

• Ejemplos: Normal, Lognormal, Ejemplos: Normal, Lognormal, Exponencial, Beta.Exponencial, Beta.

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidadNo ParamétricasNo Paramétricas

• Los parámetros que se usan para Los parámetros que se usan para definir estas distribuciones definir estas distribuciones describen describen la formala forma de la distribución. de la distribución.

• No se apoyan en una teoría que No se apoyan en una teoría que describa el proceso de generación de describa el proceso de generación de valores aleatorios.valores aleatorios.

• Ejemplos: Triangular, Histograma, Ejemplos: Triangular, Histograma, General, Uniforme, AcumuladaGeneral, Uniforme, Acumulada

Distribuciones de Distribuciones de probabilidadprobabilidad

SubjetivasSubjetivas

• El uso de estas distribuciones de El uso de estas distribuciones de probabilidad es la única alternativa para probabilidad es la única alternativa para describir una variable aleatoria cuando:describir una variable aleatoria cuando:– 1. No hay una base de antecedentes.1. No hay una base de antecedentes.– 2. Los datos del pasado no son relevantes.2. Los datos del pasado no son relevantes.– 3. Los datos son escasos y no cubren todo el 3. Los datos son escasos y no cubren todo el

rango de posibles valores.rango de posibles valores.– 4. Es demasiado caro generar datos.4. Es demasiado caro generar datos.– 5. Generar valores llevaría demasiado tiempo5. Generar valores llevaría demasiado tiempo

DISTRIBUCIONES NO DISTRIBUCIONES NO PARAMETRICASPARAMETRICAS

UniformeUniforme

• Todos los valores dentro del rango factible Todos los valores dentro del rango factible tienen la misma densidad de probabilidad.tienen la misma densidad de probabilidad.

• Parámetros : Uniform Parámetros : Uniform ((minmin,,maxmax))

• Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de los valores de todas las demás distribuciones los valores de todas las demás distribuciones de probabilidad en el muestreo aleatorio.de probabilidad en el muestreo aleatorio.

• Es una aproximación muy cruda para usar Es una aproximación muy cruda para usar como estimación de la incertidumbre percibida como estimación de la incertidumbre percibida de un parámetrode un parámetro

TriangularTriangular

• Aplicaciones: estimar subjetivamente Aplicaciones: estimar subjetivamente la distribución de la variable aleatoria la distribución de la variable aleatoria cuando todo lo que puede precisarse cuando todo lo que puede precisarse de la misma es el valor mínimo, el de la misma es el valor mínimo, el valor más probable y el valor valor más probable y el valor máximo.máximo.

• Parámetros: TriangParámetros: Triang ((min, +prob, min, +prob, maxmax))

Triangular Triangular (cont.)(cont.)

• Sus propiedades estadísticas se derivan de su Sus propiedades estadísticas se derivan de su forma, no de una teoría subyacente.forma, no de una teoría subyacente.

• Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto a geometrías posibles.en cuanto a geometrías posibles.

• La forma de la distribución usualmente lleva a La forma de la distribución usualmente lleva a sobreestimar la densidad de las colas y a sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la densidad en el “tronco” de la subestimar la densidad en el “tronco” de la distribución.distribución.

HistogramaHistograma

• Aplicaciones: representar la forma de la Aplicaciones: representar la forma de la distribución de una serie de datos o la distribución de una serie de datos o la opinión de un experto acerca de la forma opinión de un experto acerca de la forma de la distribución de una variable.de la distribución de una variable.

• Parámetros: HistogramParámetros: Histogram (min, max, (min, max, {p{pii})})

• Todos los intervalos de la distribución Todos los intervalos de la distribución tienen el mismo “ancho”.tienen el mismo “ancho”.

Histograma

DiscretaDiscreta

Aplicaciones: Aplicaciones: • 1. Describir una variable aleatoria que puede 1. Describir una variable aleatoria que puede

tomar uno de entre un conjunto de valores tomar uno de entre un conjunto de valores discretos.discretos.

• 2. Describir probabilidades condicionales para 2. Describir probabilidades condicionales para distintos estados de la naturaleza, donde cada distintos estados de la naturaleza, donde cada estado de la naturaleza tiene una probabilidad de estado de la naturaleza tiene una probabilidad de ocurrencia p.ocurrencia p.

• 3. Armar distribuciones de probabilidad 3. Armar distribuciones de probabilidad compuestas a partir de la opinión de dos o más compuestas a partir de la opinión de dos o más expertos, donde a la opinión de cada experto se expertos, donde a la opinión de cada experto se le otorga una ponderación ple otorga una ponderación p..

• Parámetros: DiscreteParámetros: Discrete ({x ({xii},{p},{pii})})

Discreta

DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES PARAMETRICASPARAMETRICAS

NormalNormal

• Aplicaciones: una variedad de Aplicaciones: una variedad de situaciones, como se desprende del situaciones, como se desprende del Teorema Central del Límite.Teorema Central del Límite.

• Es útil en finanzas pues la suma o Es útil en finanzas pues la suma o diferencia de distribuciones Normales diferencia de distribuciones Normales resulta también en una distribución resulta también en una distribución Normal con parámetros que pueden ser Normal con parámetros que pueden ser determinados a partir del TCL.determinados a partir del TCL.

• Parámetros: Normal Parámetros: Normal ((mu,sigmamu,sigma))

Normal

• La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, son continuas y se distribuyen según la distribución de probabilidad Normal, que tiene la siguiente expresión analítica :

• Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ

es su desviación típica.

2

2

1

2

1),,(

x

exf

La distribución de probabilidad Normal, tiene forma de campana

Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media : μ y desviación típica : σ, la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área teñida de rojo en la siguiente figura

Normal

Esta probabilidad analíticamente se puede calcular así:

Como el cálculo de esta integral es laborioso, para calcular el área se realiza el siguiente cambio de variable:

b

a

x

ebXap

2

2

1

2

1)(

Este cambio origina una distribución Este cambio origina una distribución normal estándar de media normal estándar de media μ = 0μ = 0 y y desviación típica desviación típica σ = 1σ = 1 cuya función cuya función de densidad es : de densidad es :

Estimación Estimación subjetiva de los subjetiva de los parámetros de parámetros de una Normaluna Normal

• Media: Valor más probableMedia: Valor más probable

• Desvío: el intervalo +/- 2*sigma Desvío: el intervalo +/- 2*sigma contiene el 95% de los valores, por lo contiene el 95% de los valores, por lo tanto:tanto:

Sigma: (máximo - más probable) / 2 Sigma: (máximo - más probable) / 2

LognormalLognormal

• Aplicaciones: modelar variables que son el Aplicaciones: modelar variables que son el productoproducto de una cantidad de otras variables de una cantidad de otras variables aleatorias que ocurren naturalmente.aleatorias que ocurren naturalmente.

Generalmente brinda una buena representación Generalmente brinda una buena representación de variables que se extienden de 0 a +inf y de variables que se extienden de 0 a +inf y que tienen un sesgo positivo.que tienen un sesgo positivo.

• Parámetros: Lognormal (Parámetros: Lognormal (mu,sigmamu,sigma))

Se usan como parámetros la media aritmética y Se usan como parámetros la media aritmética y el desvío standard de los datos disponibles.el desvío standard de los datos disponibles.

Condiciones Condiciones subyacentes de una subyacentes de una distribución distribución LognormalLognormal

• La variable aleatoria puede tomar valores La variable aleatoria puede tomar valores que aumentan sin límites pero no puede que aumentan sin límites pero no puede tomar valores negativos.tomar valores negativos.

• La variable aleatoria tiene un sesgo La variable aleatoria tiene un sesgo positivo (modo < media) con la mayor positivo (modo < media) con la mayor parte de los valores cerca del límite parte de los valores cerca del límite inferior.inferior.

• El logaritmo natural de la variable se El logaritmo natural de la variable se ajusta a una distribución Normal.ajusta a una distribución Normal.

Distribuciones de Distribuciones de probabilidad para probabilidad para Procesos estocasticos Procesos estocasticos DiscretosDiscretos

• Un Proceso Discreto se caracteriza por Un Proceso Discreto se caracteriza por una probabilidad una probabilidad pp de ocurrencia de un de ocurrencia de un evento discreto en cada prueba.evento discreto en cada prueba.

BinomialBinomial

• Aplicaciones: estimar la distribución de Aplicaciones: estimar la distribución de la cantidad la cantidad ss de ocurrencias de ocurrencias de un de un evento enevento en n n pruebas, cuando hay una pruebas, cuando hay una probabilidad probabilidad pp de ocurrencia del evento de ocurrencia del evento en cada prueba.en cada prueba.

• Parámetros: BinomialParámetros: Binomial (n,p) (n,p)

• Para Para nn>30 o cuando>30 o cuando p p es alta, la es alta, la distribución Binomial puede ser distribución Binomial puede ser aproximada por una distribución Normal aproximada por una distribución Normal ((((npnp),(),(npqnpq))1/21/2).).

Condiciones Condiciones subyacentes a subyacentes a una distribución una distribución BinomialBinomial• En cada prueba sólo hay dos resultados En cada prueba sólo hay dos resultados

posiblesposibles

• Las pruebas son independientes (lo que Las pruebas son independientes (lo que ocurre en la primera prueba no afecta a la ocurre en la primera prueba no afecta a la segunda, y sucesivamente).segunda, y sucesivamente).

• La probabilidad de ocurrencia del evento La probabilidad de ocurrencia del evento se mantiene constante a través de las se mantiene constante a través de las pruebas (no hay un proceso de pruebas (no hay un proceso de aprendizaje)aprendizaje)

GeométricaGeométrica• Aplicaciones: estimar la cantidad Aplicaciones: estimar la cantidad nn de de

pruebas necesarias hasta la ocurrencia pruebas necesarias hasta la ocurrencia del primer evento, cuando la probabilidaddel primer evento, cuando la probabilidad p p de ocurrencia de un evento se mantiene de ocurrencia de un evento se mantiene constante en el tiempo.constante en el tiempo.

• Parámetros: n =Parámetros: n = 1 + Geometric 1 + Geometric (p) (p)

• La distribución Geométrica es análoga a la La distribución Geométrica es análoga a la distribución Exponencial: Geométrica se distribución Exponencial: Geométrica se aplica a variables discretas, Exponencial aplica a variables discretas, Exponencial se aplica a variables continuas. se aplica a variables continuas.

Condiciones Condiciones subyacentes de subyacentes de una distribución una distribución GeométricaGeométrica

• La cantidad de eventos no está La cantidad de eventos no está prefijada.prefijada.

• Se continúa con las pruebas hasta Se continúa con las pruebas hasta lograr el primer éxito.lograr el primer éxito.

• La probabilidad de éxito La probabilidad de éxito pp es es constante a través de las pruebas.constante a través de las pruebas.

Binomial Binomial NegativaNegativa

• Aplicaciones: estimar la distribución Aplicaciones: estimar la distribución de la cantidadde la cantidad n n de pruebas hasta de pruebas hasta que ocurran que ocurran ss eventos, cuando la eventos, cuando la probabilidadprobabilidad p p de ocurrencia de un de ocurrencia de un evento es constante en el tiempo.evento es constante en el tiempo.

• Parámetros: n =Parámetros: n = s s + Negbin + Negbin (s,p)(s,p)

ss es el parámetro que le da la forma a es el parámetro que le da la forma a la distribución.la distribución.

Condiciones Condiciones subyacentes de subyacentes de una distribución una distribución Binomial NegativaBinomial Negativa• La cantidad de pruebas no está La cantidad de pruebas no está

prefijada.prefijada.

• Se continúa con las pruebas hasta Se continúa con las pruebas hasta que se observa la cantidad de que se observa la cantidad de eventos (s) buscada.eventos (s) buscada.

• La probabilidad de éxito La probabilidad de éxito pp es es constante de prueba a prueba.constante de prueba a prueba.

DistribuciónDistribución Hipergeométrica Hipergeométrica

• Al igual que la distribución Binomial, esta Al igual que la distribución Binomial, esta distribución describe la cantidad de distribución describe la cantidad de ocurrencias de un evento en una ocurrencias de un evento en una cantidad de pruebas.cantidad de pruebas.

• La diferencia con la distribución Binomial La diferencia con la distribución Binomial es que a medida que se avanza con las es que a medida que se avanza con las pruebas cambia la probabilidad de pruebas cambia la probabilidad de ocurrencia del evento: pruebas sin ocurrencia del evento: pruebas sin reemplazo.reemplazo.

Condiciones Condiciones subyacentes de subyacentes de una distribución una distribución HipergeométricHipergeométricaa• La cantidad total de elementos de una La cantidad total de elementos de una

población es finita.población es finita.

• La muestra representa una porción de la La muestra representa una porción de la población.población.

• La probabilidad de ocurrencia del evento La probabilidad de ocurrencia del evento en la población es conocida y cambia en la población es conocida y cambia ligeramente luego de cada prueba. ligeramente luego de cada prueba.

Distribuciones de Distribuciones de probabilidad para probabilidad para Procesos ContinuosProcesos Continuos

Un Proceso Continuo se caracteriza por un Un Proceso Continuo se caracteriza por un Intervalo Medio de Intervalo Medio de TiempoTiempo entre Eventos entre Eventos ((betabeta).).

Estimación del Intervalo Estimación del Intervalo Medio de Tiempo entre Medio de Tiempo entre Eventos (Eventos (betabeta))• betabeta es el intervalo de exposición es el intervalo de exposición

promedio entre promedio entre nn eventos observados. eventos observados.• El verdadero valor de beta puede ser El verdadero valor de beta puede ser

estimado a partir de estimado a partir de nn eventos eventos observados valiéndose del TCL:observados valiéndose del TCL:

• betabeta = Normal ( = Normal (t,sigma/(n-1)t,sigma/(n-1)1/21/2))t t = promedio de los n-1 intervalos contiguos= promedio de los n-1 intervalos contiguos

sigmasigma = desvío standard de los t = desvío standard de los tii intervalos. intervalos.

• La precisión de la estimación de La precisión de la estimación de beta beta aumenta a medida que aumentaaumenta a medida que aumenta n. n.

PoissonPoisson

• Aplicaciones: estimar la cantidad Aplicaciones: estimar la cantidad NN de de ocurrencias de un evento en un ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempointervalo de tiempo T T cuando el cuando el tiempo medio entre eventos sucesivos tiempo medio entre eventos sucesivos ((betabeta) se ajusta a un proceso tipo ) se ajusta a un proceso tipo Poisson.Poisson.

• Parámetros: N = Poisson (Parámetros: N = Poisson (lambda * tlambda * t))

lambdalambda = 1 / = 1 / betabeta• LambdaLambda se puede interpretar como la se puede interpretar como la

cantidad promedio de ocurrencias del cantidad promedio de ocurrencias del evento por unidad de exposición.evento por unidad de exposición.

Condiciones Condiciones subyacentes a subyacentes a una distribución una distribución PoissonPoisson

• La cantidad de eventos por unidad de La cantidad de eventos por unidad de exposición no está limitada a un valor exposición no está limitada a un valor discreto.discreto.

• Los eventos son independientes entre sí Los eventos son independientes entre sí (el número de eventos en un intervalo de (el número de eventos en un intervalo de exposición no afecta al número de eventos exposición no afecta al número de eventos en otro intervalo de exposición).en otro intervalo de exposición).

• La cantidad promedio de eventos se La cantidad promedio de eventos se mantiene constante de intervalo a mantiene constante de intervalo a intervalo.intervalo.

ExponencialExponencial

• Aplicaciones: estimar la distribución del Aplicaciones: estimar la distribución del (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un evento que tiene una probabilidad de evento que tiene una probabilidad de ocurrencia ocurrencia pp constante por unidad de constante por unidad de (tiempo). (tiempo).

• Parámetros: Expon (Parámetros: Expon (betabeta))

• Si la probabilidadSi la probabilidad p p de ocurrencia del evento de ocurrencia del evento es constante a través del tiempo, la es constante a través del tiempo, la estimación del tiempo que medie hasta la estimación del tiempo que medie hasta la ocurrencia del próximo evento es ocurrencia del próximo evento es independiente del tiempo que haya independiente del tiempo que haya transcurrido desde la última ocurrencia.transcurrido desde la última ocurrencia.

GammaGamma

• Aplicaciones: estimar la distribución del Aplicaciones: estimar la distribución del (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de (tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un evento n veces cuando el evento un evento n veces cuando el evento tiene una probabilidad de ocurrencia tiene una probabilidad de ocurrencia pp constante por unidad de (tiempo). constante por unidad de (tiempo).

• Parámetros: Gamma (n, Parámetros: Gamma (n, betabeta))

BetaBeta

• Aplicaciones: estimar la probabilidad de Aplicaciones: estimar la probabilidad de ocurrenciaocurrencia p p de un evento, a partir de la de un evento, a partir de la observación deobservación de s s eventos eneventos en n n pruebas.pruebas.

• Parámetros: BetaParámetros: Beta (alfa1,alfa2) (alfa1,alfa2)alfa 1 : s+1alfa 1 : s+1 alfa2: n-s+1alfa2: n-s+1

• La distribución Beta puede tomar muchas La distribución Beta puede tomar muchas formas, según los valores deformas, según los valores de alfa1 alfa1 yy alfa2 alfa2..

• A medida que aumenta A medida que aumenta nn, se gana , se gana precisión en la estimación deprecisión en la estimación de p p (la (la distribución de distribución de pp se comprime) se comprime)

Dada la gran variedad de formas que puede Dada la gran variedad de formas que puede asumir según los valores asignados a los asumir según los valores asignados a los parámetros, la distribución Beta también se parámetros, la distribución Beta también se usa para describir datos empíricos.usa para describir datos empíricos.

• Si los valores de ambos parámetros son Si los valores de ambos parámetros son iguales, Beta es simétrica.iguales, Beta es simétrica.

• Si alfa1 es menor que alfa2, la distribución Si alfa1 es menor que alfa2, la distribución está sesgada hacia la derecha.está sesgada hacia la derecha.

• Si alfa1 es mayor que alfa2, la distribución Si alfa1 es mayor que alfa2, la distribución está sesgada hacia la izquierdaestá sesgada hacia la izquierda

Fundamentos de Fundamentos de probabilidad para probabilidad para simulación.simulación.

•Variables AleatoriasVariables Aleatorias•Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad

•Ley de los grandes Ley de los grandes números.números.

•Teorema del límite central.Teorema del límite central.

Ley de los Grandes Números Ley de los Grandes Números (desigualdad de Tschebycheff)(desigualdad de Tschebycheff)

• Cuanto mayor sea el tamaño de la Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, mayor será el ajuste entre la muestra, mayor será el ajuste entre la distribución muestral y la distribución distribución muestral y la distribución teórica sobre la que se basa la muestra.teórica sobre la que se basa la muestra.

• la frecuencia relativa de los resultados de la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad , cuando el precisamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces experimento se realiza muchas veces

Ley de los Grandes Ley de los Grandes Números (desigualdad de Números (desigualdad de Tschebycheff)Tschebycheff)

Ver simulación del experimento

Fundamentos de Fundamentos de probabilidad para probabilidad para simulación.simulación.

•Variables AleatoriasVariables Aleatorias•Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad•Ley de los grandes números.Ley de los grandes números.

•Teorema central del Teorema central del límite.límite.

Teorema Central del Teorema Central del Límite (TCL)Límite (TCL)

• La media muestral de un conjunto de La media muestral de un conjunto de nn variables muestreadas en forma variables muestreadas en forma independiente a partir de una misma independiente a partir de una misma distribucióndistribución f(x) f(x) se ajusta a una distribución se ajusta a una distribución aprox. Normal con los siguientes parámetros:aprox. Normal con los siguientes parámetros:

x = Normal ( mu, sigma / nx = Normal ( mu, sigma / n1/21/2 ) )

• En otras palabras, la distribución del En otras palabras, la distribución del promedio de un conjunto de variables promedio de un conjunto de variables aleatorias depende tanto de la cantidad de aleatorias depende tanto de la cantidad de variables aleatorias promediadas como de la variables aleatorias promediadas como de la incertidumbre aportada por cada variable.incertidumbre aportada por cada variable.

Teorema Central del Teorema Central del Límite (cont.)Límite (cont.)

• La La sumasuma de de nn variables aleatorias variables aleatorias independientes da como resultado una independientes da como resultado una distribución aproximadamente distribución aproximadamente NormalNormal, sin importar la forma de la , sin importar la forma de la distribución de las variables sumadas.distribución de las variables sumadas.

• El El productoproducto de de nn variables aleatorias variables aleatorias independientes da como resultado una independientes da como resultado una distribución aproximadamente distribución aproximadamente LognormalLognormal, independientemente de , independientemente de la forma de la distribución de las la forma de la distribución de las variables intervinientes.variables intervinientes.

Teorema Central del Teorema Central del Límite (cont.)Límite (cont.)

Ver simulación del experimento

Simulación Monte CarloSimulación Monte Carlo• 1. Diseñar el modelo matemático que representa 1. Diseñar el modelo matemático que representa

el problema.el problema.

• 2. Especificar distribuciones de probabilidad para 2. Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.las variables aleatorias relevantes.

• 3. Incluir posibles dependencias entre variables.3. Incluir posibles dependencias entre variables.

• 4. Muestrear valores de las variables aleatorias.4. Muestrear valores de las variables aleatorias.

• 5. Calcular el resultado del modelo según los 5. Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo y registrar el resultado.valores del muestreo y registrar el resultado.

• 6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener 6. Repetir el proceso iterativamente hasta tener una muestra estadísticamente representativa.una muestra estadísticamente representativa.

• 7. Obtener la distribución de frecuencias del 7. Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones.resultado de las iteraciones.

• 8. Calcular media, desvío y curva de percentiles 8. Calcular media, desvío y curva de percentiles acumulados.acumulados.