teorija skupova - fpmoz.ba · pdf filesadrµzaj 1 aksiomatski pristup teoriji skupova 2...

Teorija skupova

doc.dr.sc. Nikola Koceic Bilan

() 2009. 1 / 115

Sadrµzaj

1 Aksiomatski pristup teoriji skupova2 Kartezijev produkt, relacije, funkcije3 Kardinalni brojevi4 Ure�eni skupovi5 Dobro ure�eni skupovi, redni brojevi i brojevni razredi

Literatura

P. Papic, Teorija skupova, HMD, Zagreb, 1999.

Vilenkin�Priµce o skupovima

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

1 Aksiomatski pristup teoriji skupova

2 Kartezijev produkt, relacije, funkcije3 Kardinalni brojevi4 Ure�eni skupovi5 Dobro ure�eni skupovi, redni brojevi i brojevni razredi

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

1 Aksiomatski pristup teoriji skupova2 Kartezijev produkt, relacije, funkcije

3 Kardinalni brojevi4 Ure�eni skupovi5 Dobro ure�eni skupovi, redni brojevi i brojevni razredi

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

1 Aksiomatski pristup teoriji skupova2 Kartezijev produkt, relacije, funkcije3 Kardinalni brojevi

4 Ure�eni skupovi5 Dobro ure�eni skupovi, redni brojevi i brojevni razredi

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

1 Aksiomatski pristup teoriji skupova2 Kartezijev produkt, relacije, funkcije3 Kardinalni brojevi4 Ure�eni skupovi

5 Dobro ure�eni skupovi, redni brojevi i brojevni razredi

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

Literatura

() 2009. 2 / 115

Sadrµzaj

Literatura

() 2009. 2 / 115

Osnivaµc teorije skupova G. Cantor, radovi 1871.�1883.Poseban zamah razvoju teorije dao je Bertrand Russell otkricemparadoksa. To je rezultiralo razvojemaksiomatske teorije skupova:1. prvi prijedlog aksiomatizacije: E. Zermelo, 1908.(Zermelo je dokazao da se svaki skup moµze dobro urediti. Nakon velikihkritika Zermelo jeeksplicirao aksiome koje je koristio)2. A. Fraenkel, 1922. precizira shemu aksioma separacije3. Fraenkel i Skolem predlaµzu shemu aksioma zamjene4. J. von Neumann eksplicira aksiom regularnosti i de�nira ordinale1938. K. Gödel dokazao relativnu konzistentnost raznihaksiomatizacija1963. P. Cohen dokazao nezavisnost hipoteze kontinuumanovi aksiomi teorije skupova (aksiom determiniranosti; ...)

() 2009. 3 / 115

Osnovno pitanje ovog kolegija je:�to je skup?U naivnoj teoriji skupova odgovor je jednostavan:Skup je primitivan pojam, i kao takav se ne de�nira.Smatramo da vec imamo izgradenu intuiciju o pojmu skupa.Skup je kolekcija objekata koji zajedno µcine cjelinu.Na takvom nede�niranom i vrlo nejasnom pojmu skupa Cantor je izgradioveliki dio teorije skupova.Pote�koce koje su se pri tome javile (paradoksi i nerje�ivi problemi �otome cemo kasnije) poku�alesu se izbjeci na razne naµcine (teorija tipova; teorija klasa, ...).No, te�ko je prevladati te�koce ako vec na samom poµcetku imamo klimavetemelje.Teorija skupova se mora graditi kao i svaka druga matematiµcka teorija �zadavanjem aksioma.

() 2009. 4 / 115

U svojim istraµzivanjima tvorac teorije skupova Cantor nije se eksplicitnopozivao na neke aksiomeo skupovima.Medutim, analizom njegovih dokaza moµze se zakljuµciti da se skoro sviteoremi koje je on dobiomogu izvesti iz sljedeca tri aksioma:1. aksiom ekstenzionalnostiDva skupa su jednaka ako imaju iste elemente.2. princip komprehenzijeZa unaprijed dano svojstvo P (x) postoji skup µciji su elementi ba�oni kojiimaju to svojstvo,tj. fx j P(x)g je skup.3. aksiom izboraZa svaki neprazan skup postoji bar jedna funkcija µciji su orginali nepraznipodskupovi togskupa, a slika su elementi orginala.

() 2009. 5 / 115

Kada je teorija vec postala priznata u matematiµckom svijetu pojavili su separadoksi �ne�to �tose nikad prije nije dogodilo. (Paradoks nije isto �to i kontradikcija.Paradoks je tvrdnja µciji je dokazlogiµcki neupitan, ali je intuitivno sama tvrdnja vrlo upitna.)Navedimo Russellov paradoks.Russellov paradoks: R = fx j x je skup i x /2 xg nije skup.Pretpostavimo da je R skup. Tada moµzemo postaviti pitanje vrijedi liR 2 R (ako R nije skup tada odmahimamo R /2 R). Pretpostavimo prvo da vrijedi R 2 R. To znaµci da je Relement skupa R, pa ispunjavasvojstvo koje ispunjavaju svi njegovi elementi, tj. x /2 x , odnosno za R toznaµci R /2 R. Time smo izpretpostavke R 2 R dobili R /2 R, tj. dobili smo kontradikciju.Zakljuµcujemo da mora vrijediti R /2 R.No, tada R ispunjava de�nicijski uvjet za skup R. To znaµci da je R jedanelement skupa R, odnosno imamoR 2 R. Opet smo dobili kontradikciju. Zakljuµcujemo da pretpostavka daje R skup vodi na kontradikciju,tj. kolekcija R nije skup.() 2009. 6 / 115

Moµzemo postaviti pitanje jesu li sljedece kolekcije skupovi:fx j postoji bijekcija izmedu skupa x i skupa N} (nije skup)fx j x je diferencijabilna realna funkcija na skupu R} (to je skup)fx j x je skup takav da 8y8z(y 2 z 2 x ) y 2 z)g (nije skup)fx j postoji binarna operacija � takva da je (x , �) grupag (nije skup)Nadalje cemo sve kolekcije objekata nazivati klase. Intuitivno, klasa x jeskup ako postoji klasa ytakva da vrijedi x 2 y . Klase koje nisu skupovi nazivaju se prave klase.Zakljuµcak nakon paradoksa: mi nemamo dobru intuiciju �to je skup, tj.princip komprehenzije nevrijedi opcenito. Moramo pronaci kriterije �to moµze biti de�nicijski uvjetkada koristimo principkomprehenzije.Zapravo, ne smijemo graditi neki skup pomocu skupova koji nisu jo�izgradeni � to se upravo dogada primjenom principa komprehenzije. Toznaµci da skupove moramo graditi po nivoima.

() 2009. 7 / 115

Prije nego �to uvedemo aksiome Zermelo�Fraenkelove teorije skupova kojice opisivati �to suskupovi treba naglasiti da njima µzelimo izgraditi teoriju koja bi na nekinaµcin bila temelj matematike.Prije strogih de�nicija moramo upozoriti na neke (lo�e) navike u veziskupova:Obiµcno se skupovi zami�ljaju kako nekakva kolekcija �atoma�, tj. µclanovakoji nemajunikakvih dijelova.To znaµci da bi na poµcetku izgradnje teorije skupova morali pretpostavitiegzistenciju nekihatoma ili praelemenata. No, moµze se pokazati da to nije nuµzno. Dovoljnoje pretpostaviti dapostoji skup koji nema niti jednog elementa, tj. prazan skup. Upravo jeprazan skup jedini�atom�koji cemo koristiti prilikom izgradnje teorije skupova.Lo�a navika je takoder te�ko prihvacanje da skupovi mogu biti elementidrugih skupova.Sjetimo se npr. pojma partitivnog skupa.

() 2009. 8 / 115

Zermelo-Fraenkelov aksiomatski sustav

U aksiomatskoj teoriji se skup kao temeljni pojam ne de�nira, a nede�nira se ni temeljna operacija "biti element". Ti pojmovizadavoljavaju odre�eni sustav aksioma koji se biraju da se njimaizraµzavaju neka svojstva koja su u skladu s na�im intuitivnimshvacanjem nede�niranih pojmova. Uvedeni pojmovi, aksiomi ide�nicije tvore temelj teorije skupova koja se dalje izgra�uje nepozivajuci se vi�e na intuiciju.

Aksiom rasprostranjenosti (ekstenzionalnosti). Dva su skupajednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

(8x) (8y) ((8z) (z 2 x , z 2 y), x = y)

Aksiom o postojanju praznog skupa. Postoji skup koji nema nitijednog elementa

(9y) (8x) (x /2 y)

Prazan skup je jedinstven

() 2009. 9 / 115

U aksiomatskoj teoriji se skup kao temeljni pojam ne de�nira, a nede�nira se ni temeljna operacija "biti element". Ti pojmovizadavoljavaju odre�eni sustav aksioma koji se biraju da se njimaizraµzavaju neka svojstva koja su u skladu s na�im intuitivnimshvacanjem nede�niranih pojmova. Uvedeni pojmovi, aksiomi ide�nicije tvore temelj teorije skupova koja se dalje izgra�uje nepozivajuci se vi�e na intuiciju.Aksiom rasprostranjenosti (ekstenzionalnosti). Dva su skupajednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

(8x) (8y) ((8z) (z 2 x , z 2 y), x = y)

(9y) (8x) (x /2 y)

() 2009. 9 / 115

(8x) (8y) ((8z) (z 2 x , z 2 y), x = y)

(9y) (8x) (x /2 y)

() 2009. 9 / 115

(8x) (8y) ((8z) (z 2 x , z 2 y), x = y)

(9y) (8x) (x /2 y)

() 2009. 9 / 115

Tvorba novih skupova

Aksiom para. Ako su A i B skupovi, postoji skup kojemu su jedinielementi A i B

(8x) (8y) (9z) (8u) (u 2 z ) (u = x _ u = y))

Aksiom izbora podskupova (speci�kacije). Ako je A zadan skup,a P (x) neka je izjavna funkcija takva da za x 2 A, P (x) ima smisla(tj. P (x) je istinito ili laµzno). Tada postoji skup B kojemu suelementi oni i samo oni elementi x 2 A za koje je P (x) istinito

B = fx 2 A j P (x)g

() 2009. 10 / 115

Tvorba novih skupova

Aksiom para. Ako su A i B skupovi, postoji skup kojemu su jedinielementi A i B

(8x) (8y) (9z) (8u) (u 2 z ) (u = x _ u = y))

Aksiom izbora podskupova (speci�kacije). Ako je A zadan skup,a P (x) neka je izjavna funkcija takva da za x 2 A, P (x) ima smisla(tj. P (x) je istinito ili laµzno). Tada postoji skup B kojemu suelementi oni i samo oni elementi x 2 A za koje je P (x) istinito

B = fx 2 A j P (x)g

() 2009. 10 / 115

Relacija sadrµzavanja (inkluzija)

De�nitionNeka su A i B skupovi; kaµzemo da je A sadrµzanu u B ili da je A podskupskupa B, i pi�emo A � B, ako je svaki element skupa A ujedno i elementskupa B. Ako je A � B i A 6= B tada kaµzemo da je A pravi podskup od Bi pi�emo A � B.

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:

1 A � A (re�eksivnost);2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).

Aksiom partitivnog skupa. Za svaki skup A postoji partitivni skupP (A) kojemu su elementi svi podskupovi skupa A.

(8x) (9y) (8z) (z 2 y , z � x)µCesto se za skup µciji su elementi neki skupovi (poput partitivnogskupa) koristi izraz mnoµzina skupova.

() 2009. 11 / 115

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:

1 A � A (re�eksivnost);2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).

() 2009. 11 / 115

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:1 A � A (re�eksivnost);

2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).

() 2009. 11 / 115

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:1 A � A (re�eksivnost);2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);

3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).Aksiom partitivnog skupa. Za svaki skup A postoji partitivni skupP (A) kojemu su elementi svi podskupovi skupa A.

() 2009. 11 / 115

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:1 A � A (re�eksivnost);2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).

() 2009. 11 / 115

Relacija sadrµzavanja ima ova svojstva:1 A � A (re�eksivnost);2 A � B i B � A) A = B (antisimetrija);3 A � B i B � C ) A � C (tranzitivnost).

() 2009. 11 / 115

Po aksiomu para i aksiomu praznog skupa je f∅,∅g = f∅g skup (skupkoji se sastoji od praznog skupa), tako�er i po aksiomu partitivnog skupavrijedi P (∅) = f∅g . Po aksiomu para je i f∅, f∅gg skup. VrijediP (f∅, f∅gg) = f∅, f∅g , ff∅gg , f∅, f∅ggg.

() 2009. 12 / 115

Operacije na skupovima

Aksiom unije. Za svaki skup skupova S postoji skup S koji se sastojiod onih i samo onih elemenata koji su elementi u barem jednomskupu iz S .

(8x) (9y) (8z) (z 2 y , (9t) (t 2 x ^ z 2 t))

Skup S nazivamo unijom skupa S i oznaµcavamo S = S S iliS =

S fX j X 2 Sg ili S = SX2S

S = fx j postoji X 2 S i x 2 Xg

TheoremAko su X1, ...,Xn skupovi, onda postoji skup fX1, ...,Xng za svaki n 2 N.

() 2009. 13 / 115

(8x) (9y) (8z) (z 2 y , (9t) (t 2 x ^ z 2 t))

() 2009. 13 / 115

(8x) (9y) (8z) (z 2 y , (9t) (t 2 x ^ z 2 t))

() 2009. 13 / 115

De�nitionNeka je S skup skupova. Presjek skupa S je skup P koji se sastoji od onihi samo onih elemenata koji su elementi u svakom skupu iz S . Presjekskupa S oznaµcavamo P = T S ili P = T fX j X 2 Sg ili P = T

X2SX .

P = fx j x 2 X za svaki X 2 Sg .

De�nitionRazlika ili diferencija skupova A i B, u oznaci AnB, je skup svih onihelemenata skupa A koji nisu elementi skupa B.

AnB = fx j x 2 A^ x /2 Bg .

() 2009. 14 / 115

De�nitionNeka je S skup skupova. Presjek skupa S je skup P koji se sastoji od onihi samo onih elemenata koji su elementi u svakom skupu iz S . Presjekskupa S oznaµcavamo P = T S ili P = T fX j X 2 Sg ili P = T

X2SX .

P = fx j x 2 X za svaki X 2 Sg .

De�nitionRazlika ili diferencija skupova A i B, u oznaci AnB, je skup svih onihelemenata skupa A koji nisu elementi skupa B.

AnB = fx j x 2 A^ x /2 Bg .

() 2009. 14 / 115

Ako su svi skupovi koji se pojavljuju u nekom razmatranju podskupovinekog skupa U onda taj skup nazivamo univerzalnim skupom(univerzum). U tom sluµcaju za skup A � U de�niramo komplementskupa A, u oznaci Ac ili cA, kao skup

Ac = UnA.

Ne postoji apsolutni univerzum

() 2009. 15 / 115

Ako su svi skupovi koji se pojavljuju u nekom razmatranju podskupovinekog skupa U onda taj skup nazivamo univerzalnim skupom(univerzum). U tom sluµcaju za skup A � U de�niramo komplementskupa A, u oznaci Ac ili cA, kao skup

Ac = UnA.

Ne postoji apsolutni univerzum

() 2009. 15 / 115

Algebra skupova

1 A[ B = B [ A, A\ B = B \ A (komutativnost)

2 A[ (B [ C ) = (A[ B) [ C , (A\ B) \ C = A\ (B \ C )(asocijativnost)

3 A\ (B [ C ) = (A\ B) [ (A\ C ) ,A[ (B \ C ) = (A[ B) \ (A[ C ) (distributivnost)

4 A[ A = A, A\ A = A (idempotentnost)5 (A[ B)c = Ac \ Bc , (A\ B)c = Ac [ Bc (De morganovi zakoni)6 A[∅ = A, A[U = U7 A[ Ac = U, A\ Ac = ∅8 ∅c = U, Uc = ∅

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

1 A[ B = B [ A, A\ B = B \ A (komutativnost)2 A[ (B [ C ) = (A[ B) [ C , (A\ B) \ C = A\ (B \ C )(asocijativnost)

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

4 A[ A = A, A\ A = A (idempotentnost)

5 (A[ B)c = Ac \ Bc , (A\ B)c = Ac [ Bc (De morganovi zakoni)6 A[∅ = A, A[U = U7 A[ Ac = U, A\ Ac = ∅8 ∅c = U, Uc = ∅

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

4 A[ A = A, A\ A = A (idempotentnost)5 (A[ B)c = Ac \ Bc , (A\ B)c = Ac [ Bc (De morganovi zakoni)

6 A[∅ = A, A[U = U7 A[ Ac = U, A\ Ac = ∅8 ∅c = U, Uc = ∅

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

4 A[ A = A, A\ A = A (idempotentnost)5 (A[ B)c = Ac \ Bc , (A\ B)c = Ac [ Bc (De morganovi zakoni)6 A[∅ = A, A[U = U

7 A[ Ac = U, A\ Ac = ∅8 ∅c = U, Uc = ∅

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

4 A[ A = A, A\ A = A (idempotentnost)5 (A[ B)c = Ac \ Bc , (A\ B)c = Ac [ Bc (De morganovi zakoni)6 A[∅ = A, A[U = U7 A[ Ac = U, A\ Ac = ∅

8 ∅c = U, Uc = ∅

() 2009. 16 / 115

Algebra skupova

() 2009. 16 / 115

ExerciseDokaµzite jednakost

1 An (B [ C ) = (AnB) \ (AnC ) .2 An (B \ C ) = (AnB) [ (AnC ) .3 P (A\ B) = P (A) \ P (B) .4 P (A[ B) = fA1 [ B1 j A1 2 P (A) ^ B1 2 P (B)g .

() 2009. 17 / 115

ExerciseDokaµzite:

1 A[ B � C , A � C ^ B � C2 (AnB) [ B = A, B � A3 A � B ) A[ C � B [ C4 A � B ) (CnB) � (CnA)5 A � B ) (AnC ) � (BnC )6 A[ B = A\ B , A = B

() 2009. 18 / 115

Aksiom supstitucije

Aksiom supstitucije (Fraenkel 1922.) Neka je A skup i P (x , y)izjavna funkcija dviju varijabli. Ako za svaki x 2 A postoji jedinstveniy takav da je P (x , y) istinito, onda postoji skupB = fy j 9x (x 2 A^ P (x , y))g .

Intuitivno aksiom zamjene kaµze ako je na skupu A de�nirano nekopridruµzivanje f koje svakom elementu a 2 A pridruµzi skup f (a) ondaje B = ff (a) j a 2 Ag tako�er skup. Naravno, ako razliµcite elementea i a0 zamjenimo istim skupom, tj. ako je f (a) = f (a0) za a 6= a0,onda takav skup smatramo jednim elementom (koji se ne ponavlja)skupa B

() 2009. 19 / 115

Aksiom supstitucije

Aksiom supstitucije (Fraenkel 1922.) Neka je A skup i P (x , y)izjavna funkcija dviju varijabli. Ako za svaki x 2 A postoji jedinstveniy takav da je P (x , y) istinito, onda postoji skupB = fy j 9x (x 2 A^ P (x , y))g .Intuitivno aksiom zamjene kaµze ako je na skupu A de�nirano nekopridruµzivanje f koje svakom elementu a 2 A pridruµzi skup f (a) ondaje B = ff (a) j a 2 Ag tako�er skup. Naravno, ako razliµcite elementea i a0 zamjenimo istim skupom, tj. ako je f (a) = f (a0) za a 6= a0,onda takav skup smatramo jednim elementom (koji se ne ponavlja)skupa B

() 2009. 19 / 115

Indeksirani sustav skupova (familija skupova)

Neka je A zadan skup skupova. µCesto je korisno da se pojedini elementiskupa A me�usobno razlikuju pomocu indeksa i koji su elementi nekogskupa I . Kaµze se tada da je A skup skupova kojemu je I indeksni skup ipi�e se A = fAi j i 2 Ig .Primijetimo da svaki skup moµzemo drµzati skupom indeksa. Opcenitijipojam od indeksiranog skupa skupova je pojam sustava (familije)skupova koji se sastoji od svih skupova Ai , i 2 I , pri µcemu se isti skup ukolekciji moµze ponavljati s razliµcitim indeksima. De�niranjem pojmafunkcije, sustav skupova moµzemo uvesti kao ure�eni par (A, f ) , gdje je Askup skupova, I neki skup i f : I ! A f (i) = Ai , i 2 I , neka surjekcija.Samo ako je f injekcija familija (A, f ) je skup. Familiju (A, f ) jo�oznaµcujemo (Ai j i 2 I ) .Uniju i presjek familije (Ai j i 2 I ) oznaµcujemo sa

Si2IAi i

Ti2IAi i

de�niramo kao unijuSA i presjek

TA pripadnog skupa skupova.

() 2009. 20 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

1 A[ Si2IAi =

Si2I(A[ Ai ) , A\

Ti2IAi =

Ti2I(A\ Ai )

2 A\ Si2IAi =

Si2I(A\ Ai ) , A[

Ti2IAi =

Ti2I(A[ Ai )

3Si2IAi [

Si2IBi =

Si2I(Ai [ Bi )

4Ti2IAi \

Ti2IBi =

Ti2I(Ai \ Bi )

�Ti2IAi

�c=Si2IAci

�Si2IAi

�c=Ti2IAci

7S(A[ B) = SA[SB

() 2009. 21 / 115

ExerciseDokaµzite:

Si2IAij =

Sj2JAij

Ti2IAij =

Tj2JAij

3 Bn Ti2IAi =

Si2I(BnAi )

4 Bn Si2IAi =

Ti2I(BnAi )

5 P�Ti2IAi

�=Ti2IP (Ai )

6 P�Si2IAi

�Si2IBi j Bi 2 P (Ai ) , 8i 2 I

ExerciseDokaµzite da je

Tj2JAij �

Si2IAij . Vrijedi li obrat?

() 2009. 22 / 115

Aksiom beskonaµcnosti

De�nitionNeka je T skup. Skup T+ = T [ fTg naziva se sljedbenik skupa T .

Aksiom beskonaµcnosti Postoji skup A koji sadrµzi prazan skup isadrµzi sljedbenika svakog svoga elementa.

De�nitionSkup A µciji elementi su skupovi nazivamo induktivnim ako sadrµzi prazanskup i sadrµzi sljedbenika svakog svog elementa.

TheoremPresjek bilo kojeg nepraznog skupa S induktivnih skupova je induktivanskup.

TheoremPostoji najmanji induktivan skup.

() 2009. 23 / 115

Skup prirodnih brojeva

Najmanji induktivni skup ω se sastoji od elemenata

0 := ∅

1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

Princip matematiµcke indukcije Neka je S podskup skupa ω sasvojstvom 0 2 S i da iz n 2 S slijedi n+ 2 S , onda je S = ω.

() 2009. 24 / 115

0 := ∅1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g

2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

() 2009. 24 / 115

0 := ∅1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg

3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

() 2009. 24 / 115

0 := ∅1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �

Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

() 2009. 24 / 115

0 := ∅1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

() 2009. 24 / 115

0 := ∅1 := 0+ = ∅ [ f∅g = f∅g2 = 1+ = f∅g [ ff∅gg = f∅, f∅gg3 := 2+ = f∅, f∅gg [ ff∅, f∅ggg = f∅, f∅g , f∅, f∅ggg � � �Skup ωn f0g cemo nazivati skup prirodnih brojeva i oznaµcavati sa N

() 2009. 24 / 115

De�nitionSkup A µciji elementi su skupovi nazivamo tranzitivnim ako je svaki elementelementa skupa A i sam element skupa A tj.

(8x) (8a) (x 2 a ^ a 2 A) x 2 A) .

TheoremSkup A je tranzitivan akko za svaki a 2 A slijedi a � A.

TheoremSkup A je tranzitivan akko je

SA � A

TheoremAko je skup A tranzitivan onda je

SA+ = A

() 2009. 25 / 115

(8x) (8a) (x 2 a ^ a 2 A) x 2 A) .

SA � A

SA+ = A

() 2009. 25 / 115

(8x) (8a) (x 2 a ^ a 2 A) x 2 A) .

SA � A

SA+ = A

() 2009. 25 / 115

(8x) (8a) (x 2 a ^ a 2 A) x 2 A) .

SA � A

SA+ = A

() 2009. 25 / 115

TheoremSvaki element skupa ω, tj. svaki prirodan broj ukljuµcujuci i 0 je tranzitivanskup.

TheoremSkup ω je tranzitivan

CorollarySvaki prirodan broj je skup nekih prirodnih brojeva

() 2009. 26 / 115

Theorem (Peanovi aksiomi)Skup ω udovoljuje ovim svojstvima:(i) 0 2 ω;(ii) Ako je n 2 ω onda je i n+ 2 ω;(iii) Ne postoji niti jedan x 2 ω takav da je x+ = 0;(iv) Ako S � ω ima svojstvo da je 0 2 S i da iz n 2 S slijedi n+ 2 S,onda je S = ω;(v) Ako je m, n 2 ω i m+ = n+, onda je m = n.

Posljedica svojstva (iv) matematiµcke indukcijeAko je P (n) izjavna funkcija µcije podruµcje de�nicije je skup ω, i akoje S = fn 2 ω j P (n)g, tada ako je 0 2 S i ako iz n 2 S slijedin+ 2 S onda je S = ω.

() 2009. 27 / 115

Aksiom izbora

Aksiom izbora Za svaki skup A elementi kojeg su me�usobnodisjunktni skupovi Aα postoji barem jedan skup B koji sadrµzi jedan isamo jedan element svakog od skupova Aα.

(8x) (9y) (8z) (z 2 x ) (9w) (8r) ((r 2 y \ z), r = w))

Iako je aksiom savr�eno intuitivno jasan za sluµcaj konaµcnog skupa,njegova speci�µcnost i kontroverznost koja je izazvala mnogo raspravaje u tome �to on omogucuje i izbor po jednog elementa iz beskonaµcnomnogo skupova µcak i u sluµcaju kad nije jasno kako izvr�iti konkretanizbor.

K. Gödel (1938-1940.) dokazuje da aksiom izbora ne moµze dovesti doproturjeµcja ako vec nije postojalo proturjeµcje i bez njega

() 2009. 28 / 115

Aksiom izbora

(8x) (9y) (8z) (z 2 x ) (9w) (8r) ((r 2 y \ z), r = w))

() 2009. 28 / 115

Aksiom izbora

(8x) (9y) (8z) (z 2 x ) (9w) (8r) ((r 2 y \ z), r = w))

() 2009. 28 / 115

Ovaj aksiom, koliko god izgledao oµcigledan, predmet je brojnih diskusija.Problem je u µcinjenici da on garantira egzistenciju skupa koji nastajeizborom po jednog elementa iz svakog elementa kolekcije C, ali bezikakvog pravila koje govori kako taj izbor izvr�iti. Situacija je jednostavnaukoliko kolekcija C sadrµzi konaµcno, pa µcak i prebrojivo mnogo skupova, alikod kolekcija sa neprebrojivo mnogo elemenata mogu nastati ozbiljniproblemi, koji vode ka bizarnim zakljuµccima koji se opiru intuiciji.

() 2009. 29 / 115

Na primjer neka je �� V �Vitalijeva relacija (x � V y ako i samo ako jex � y 2 Q). Kako je ovo relacija ekvivalencije u R, postojikvocijentni-skup R/� V . Elementi ovog skupa su podskupovi od R, iprema tome µcine jednu kolekciju podskupova od (nije te�ko pokazati daova kolekcija ima neprebrojivo mnogo elemenata). Prema aksiomu izbora,iz svakog elementa te kolekcije, moguce je izdvojiti po jedan element, iformirati novi skup. Takav skup naziva se Vitalijev skup. Ovaj skup jede�niran samo egzistencijalno, s obzirom da ne postoji nikakav efektivanpostupak koji bi precizirao koji elementi skupa ulaze u sastav Vitalijevogskupa, a koji ne.

() 2009. 30 / 115

Vitalijev skup je najprostiji primjer skupa koji posjeduje bizarna svojstva.Na primjer, njemu nije mogucepridruµziti ikakvu mjeru duljine koja bi zadovoljavala neka osnovnasvojstva koju duljina skupa toµcaka mora intuitivno zadovoljavati (poputsvojstva da se duljina skupa nesmije promijeniti prilikom njegove translacije, i da duljina unije vi�edisjunktnih skupova mora bitijednaka zbroju duµzina svakog od njih).

() 2009. 31 / 115

Aksiom izbora omogucava jo�bizarnija izvo�enja. Na primjer, pozivajucise na aksiom izbora,moguce je dokazati mogucnost rastava kugle na pet dijelova (vrlokompliciranih), koji se mogu samopomocu translacija i rotacija u prostoru sklopiti tako da formiraju dvijekugle identiµcne veliµcine kao i poµcetna kugla (i da pri tome ne nedostajeniti jedna toµcka)! Ova bizarnost poznata je pod nazivom Banach-Tarskijevparadoks, iako se ne radi o paradoksu u pravom smislu rijeµci, s obzirom daon ne dovodi ni do kakve logiµcke kontradikcije, vec samo protivrjeµcizdravom razumu.

() 2009. 32 / 115

Naravno, dokaz je µcisto egzistencijalan, odnosno da ne daje nikakvukonstruktivnu mogucnost da se izvr�i rastav (dijelovi na koje se kuglarastavlja sami su po sebi bizarni u smislu da im je nemoguce pridruµzitivolumen, kao �to Vitalijevom skupu nije moguce pridruµziti duµzinu).Bizarnosti poput navedene doveli su do veoma ozbiljnih razmi�ljanja da seaksiom izbora odbaci kao neosnovan, �to opet protivrjeµci zdravom razumu(s obzirom da on sam djeluje toliko logiµcan). Do danas nije postignutkonsenzus �ta napraviti po ovom pitanju.

() 2009. 33 / 115

Aksiom regularnosti

Aksiom regularnosti (von Neumann 1925.) Svaki neprazan skup Aima barem jedan element a tako da A i a nemaju zajedniµckogelementa

(8x) (x = ∅ _ ((9y) (y 2 x) ^ (8z) (z 2 x ) z /2 y)))

Po aksiomu regularnosti ne postoje skupovi koji bi sadrµzavali samisebe kao element (ne postoji skup svih skupova). Zaista ako je Xskup sa svojstvom X 2 X , tada bi za skup fXg jedini element bioskup X µciji presjek sa fXg bi bio neprazan (u presjeku je makar X ,X 2 X i X 2 fXg).Sliµcno ako su A i B skupovi tada ne moµze biti i A 2 B i B 2 A.Naime, tada je i fA,Bg skup za kojeg vrijedi A\ fA,Bg 6= ∅ iB \ fA,Bg 6= ∅

TheoremNe postoji skup A = fan j n 2 ωg takav da, za svaki n 2 ω, an+1 2 an.

() 2009. 34 / 115

Aksiom regularnosti

(8x) (x = ∅ _ ((9y) (y 2 x) ^ (8z) (z 2 x ) z /2 y)))

Po aksiomu regularnosti ne postoje skupovi koji bi sadrµzavali samisebe kao element (ne postoji skup svih skupova). Zaista ako je Xskup sa svojstvom X 2 X , tada bi za skup fXg jedini element bioskup X µciji presjek sa fXg bi bio neprazan (u presjeku je makar X ,X 2 X i X 2 fXg).

Sliµcno ako su A i B skupovi tada ne moµze biti i A 2 B i B 2 A.Naime, tada je i fA,Bg skup za kojeg vrijedi A\ fA,Bg 6= ∅ iB \ fA,Bg 6= ∅

() 2009. 34 / 115

Aksiom regularnosti

(8x) (x = ∅ _ ((9y) (y 2 x) ^ (8z) (z 2 x ) z /2 y)))

() 2009. 34 / 115

Aksiom regularnosti

(8x) (x = ∅ _ ((9y) (y 2 x) ^ (8z) (z 2 x ) z /2 y)))

() 2009. 34 / 115

Ovi aksiomi poznati su kao Zermelo-Fraenkelovi aksiomi (uz prihvacanjeaksioma izbora ovaj sustav aksioma oznaµcavamo ZFC). Formulacijaaksioma speci�kacije, koja je restriktivnija od sliµcnog aksioma(komprehenzije) u naivnoj teoriji skupova, uklanja brojne paradokse(poput, recimo, Russelovog paradoksa). Dalje, aksiom regularnosti nedozvoljava da se kolekcije objekata koje mogu dovesti do paradoksalnihsituacija uopce smatraju skupovima. Treba napomenuti da su uZermelo-Fraenkelovoj aksiomatskoj teoriji skupova uklonjeni poznatiparadoksi, ali nema garancije da se novi paradoksi nece pojaviti. Mada jeZermelo-Fraenkelova teorija skupova uklonila oµcigledne paradokse naivneteorije skupova, ona posjeduje i svoje nedostatke.

() 2009. 35 / 115

Prvo, aksiomi speci�kacije i zamjene oslanjaju se na pojam predikata kaoelementarnog pojma, �to nije sasvim korektno. Drugo, ova teorija skupovapotpuno zabranjuje da se govori o izvjesnim kolekcijama objekata kaoskupovima. Pored kolekcija kao �to su �kolekcija svih skupova koji nesadrµze sami sebe kao element� i �kolekcija svih skupova�, koje ne mogupostojati kao skupovi, aksiom regularnosti ne dozvoljava ni da govorimo o�skupu svih jednoµclanih skupova� (kada bi postojao takav skup, nazovimoga S, morao bi kao svoj element sadrµzavati jednoµclani element {S}, �to jeponovo referiranje na samog sebe), �skupu svih funkcija�, �skupu svihkardinalnih brojeva�, itd.

() 2009. 36 / 115

Dalje, globalne odnose poput �biti jednak�, �biti podskup�, �bitiekvipotentan�, koje intuitivno doµzivljavamokao relacije, ne moµzemo opcenito tretirati kao relacije, jer je sporno ukojem skupu bi tiodnosi trebali predstavljati relacije. Naime, oµcigledno je da bi odnos �bitijednak� trebao biti relacija u�skupu svega�, dok bi odnosi �biti podskup� i �biti ekvipotentan� trebalibiti relacije u �skupu svihskupova�, a takve tvorevine ne mogu postojati premaZermelo-Fraenkelovoj teoriji skupova.

() 2009. 37 / 115

Opisani nedostaci otklonjeni su u reviziji teorije skupova koju su izvr�ili J.Von Neumann, P.Bernays i K. Gödel, i koja je stoga poznata kao VonNeumann-Bernays-Gödelova aksiomatska teorijaskupova. U ovoj teoriji skupova, kao osnovni pojam umjesto pojma skupauzima se pojam klase.Dopu�ta se da neke klase mogu biti elementi drugih klasa, i takve klase senazivaju skupovi, dok nekeklase ne mogu biti elementi drugih klasa, i one se nazivaju prave klase(engl. proper classes). Intuitivno,prave klase su kolekcije koje su toliko velike da je nedopustivo njihovoulaganje u druge kolekcije kaonjihovih elemenata (bolje reµceno, prave klase ne mogu biti elementiniµcega). Operacije s pravimklasama su znatno ograniµcenije nego operacije sa skupovima, sve sa ciljemda se izbjegnu paradoksi.

() 2009. 38 / 115

Tako, uvo�enjem pojma klase moµzemo govoriti o �klasi svih skupova kojine sadrµze sami sebe kao svojelement� (s obzirom da je to prava klasa, ona ne moµze biti element nekedruge klase, tako da je pitanjeda li je ona sama sebi element besmisleno, µcime je izbjegnut Russelovparadoks), �klasi svih skupova�,�klasi svih jednoµclanih skupova�, �klasi svih kardinalnih brojeva�, itd. bezobzira �to su takve kolekcijenedopustive kao skupovi. Uvo�enje pojma klasa znatno povecava izraµzajnumoc teorije skupova, bezopasnosti da do�e do paradoksalnih situacija. Jo�je mnogo otvorenihpitanja u teoriji skupova, tako da je do danas predloµzeno jo�nekolikoraznih revizija teorije skupova, od kojih svaka otklanja neke od dilema, alipo pravilu uvodi neke nove.

() 2009. 39 / 115

Kartezijev produkt

De�nitionSkup ffxg , fx , ygg nazivamo ure�enim parom s prvim elementom x i sdrugim y i oznaµcavamo ga (x , y) .

Proposition

Ure�eni par (x , y) jednak je ure�enom paru (u, v) ako i samo ako je x = ui y = v .

Proposition

Neka su X i Y neprazni skupovi. Tada je klasa svih (x , y) , x 2 X , y 2 Y ,tako�er skup. Taj se skup naziva Kartezijev produkt skupova X i Y ioznaµcava se X � Y .

Ako je X = ∅ ili Y = ∅ tada je (de�niramo) X � Y = ∅

() 2009. 40 / 115

Kartezijev produkt

Proposition

() 2009. 40 / 115

Kartezijev produkt

Proposition

() 2009. 40 / 115

Kartezijev produkt

Proposition

() 2009. 40 / 115

PropositionNeka su X ,Y i Z skupovi. Vrijedi

X � (Y [ Z ) = (X � Y ) [ (X � Z )

(X [ Y )� Z = (X � Z ) [ (Y � Z )(XnY )� Z = (X � Z ) n (Y � Z )X � (Y nZ ) = (X � Y ) n (X � Z )

() 2009. 41 / 115

X � (Y [ Z ) = (X � Y ) [ (X � Z )(X [ Y )� Z = (X � Z ) [ (Y � Z )

(XnY )� Z = (X � Z ) n (Y � Z )X � (Y nZ ) = (X � Y ) n (X � Z )

() 2009. 41 / 115

X � (Y [ Z ) = (X � Y ) [ (X � Z )(X [ Y )� Z = (X � Z ) [ (Y � Z )(XnY )� Z = (X � Z ) n (Y � Z )

X � (Y nZ ) = (X � Y ) n (X � Z )

() 2009. 41 / 115

X � (Y [ Z ) = (X � Y ) [ (X � Z )(X [ Y )� Z = (X � Z ) [ (Y � Z )(XnY )� Z = (X � Z ) n (Y � Z )X � (Y nZ ) = (X � Y ) n (X � Z )

() 2009. 41 / 115

ExerciseDokaµzite:

1 A � B ^ C � D , A� C � B �D2 (A\ B)� (C \D) = (A� C ) \ (B �D)3 (A� B) [ (C �D) � (A[ C )� (B [D)4 (A[ B)� (C [D) = (A� C ) [ (B � C ) [ (A�D) [ (B �D)5

Ak �St2T

(k ,t)2K�T(Ak � Bt )

Ak �Tt2T

(k ,t)2K�T(Ak � Bt )

() 2009. 42 / 115

Binarna relacija

De�nitionNeka su X i Y skupovi. Dvoµclana (binarna) relacija iz skupa X u Y jesvaki podskup R � X � Y .Ako je Y = X i R � X � X kaµzemo krace da je R dvoµclana relacija naskupu X .

Uobiµcajno je pisati xRy umjesto (x , y) 2 R i µcitati "x je u relaciji sa y".Domenom ili lijevim podruµcjem relacije R � X � Y nazivamo skupD1 (R) = fx 2 X j 9y 2 Y (x , y) 2 Rg

Kodomenom ili desnim podruµcjem relacije R � X � Y nazivamo skupD2 (R) = fy 2 Y j 9x 2 X (x , y) 2 Rg

() 2009. 43 / 115

Binarna relacija

De�nitionNeka su X i Y skupovi. Dvoµclana (binarna) relacija iz skupa X u Y jesvaki podskup R � X � Y .Ako je Y = X i R � X � X kaµzemo krace da je R dvoµclana relacija naskupu X .

Uobiµcajno je pisati xRy umjesto (x , y) 2 R i µcitati "x je u relaciji sa y".Domenom ili lijevim podruµcjem relacije R � X � Y nazivamo skupD1 (R) = fx 2 X j 9y 2 Y (x , y) 2 RgKodomenom ili desnim podruµcjem relacije R � X � Y nazivamo skupD2 (R) = fy 2 Y j 9x 2 X (x , y) 2 Rg

() 2009. 43 / 115

De�nitionNeka su X , Y i Z skupovi, R � X � Y i S � Y � Z . Kompozicijomrelacija R i S nazivamo relacijuS � R = f(x , z) j 9y 2 Y , (x , y) 2 R ^ (y , z) 2 Sg � X � Z .

ExercisePokaµzite da za svake dvije relacije R � X � Y i S � Y � Z vrijediD1 (S � R) � D1 (R) i D2 (S � R) � D2 (S)

ExercisePokaµzite da za svake dvije relacije R � X � Y i S � Y � Z vrijediS � R 6= ∅ , D2 (R) \D1 (S) 6= ∅.

() 2009. 44 / 115

De�nitionNeka je R � X � Y . Inverznom relacijom relacije R nazivamo relacijuR�1 = f(y , x) j (x , y) 2 Rg � Y � X .

PropositionNeka je R � X � Y , S � Y � Z i T � Z �W . Tada vrijedi

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)

3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )

5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

1 (S � R)�1 = R�1 � S�1

2 (T � S) � R = T � (S � R)3 (R [ S)�1 = R�1 [ S�1, (R \ S)�1 = R�1 \ S�1

4 (R [ S) � T = (R � T ) [ (S � T )5 (R \ S) � T � (R � T ) \ (S � T )

6�R�1

��1= R, (X � Y )�1 = Y � X

() 2009. 45 / 115

De�nitionZa relaciju R � X � X kaµzemo da je

re�eksivna ako je ∆ = f(x , x) j x 2 Xg � R

antire�eksivna ako je ∆ \ R = ∅simetriµcna ako je R�1 = R

antisimetriµcna ako je R \ R�1 � ∆tranzitivna ako je R � R � Rasimetriµcna ako je R \ R�1 = ∅povezana ako je X � X = R [ R�1 [ ∆ekvivalencija ako je re�eksivna, simetriµcna i tranzitivna

() 2009. 46 / 115

re�eksivna ako je ∆ = f(x , x) j x 2 Xg � Rantire�eksivna ako je ∆ \ R = ∅

simetriµcna ako je R�1 = R

() 2009. 46 / 115

re�eksivna ako je ∆ = f(x , x) j x 2 Xg � Rantire�eksivna ako je ∆ \ R = ∅simetriµcna ako je R�1 = R

() 2009. 46 / 115

antisimetriµcna ako je R \ R�1 � ∆

tranzitivna ako je R � R � Rasimetriµcna ako je R \ R�1 = ∅povezana ako je X � X = R [ R�1 [ ∆ekvivalencija ako je re�eksivna, simetriµcna i tranzitivna

() 2009. 46 / 115

antisimetriµcna ako je R \ R�1 � ∆tranzitivna ako je R � R � R

asimetriµcna ako je R \ R�1 = ∅povezana ako je X � X = R [ R�1 [ ∆ekvivalencija ako je re�eksivna, simetriµcna i tranzitivna

() 2009. 46 / 115

antisimetriµcna ako je R \ R�1 � ∆tranzitivna ako je R � R � Rasimetriµcna ako je R \ R�1 = ∅

povezana ako je X � X = R [ R�1 [ ∆ekvivalencija ako je re�eksivna, simetriµcna i tranzitivna

() 2009. 46 / 115

antisimetriµcna ako je R \ R�1 � ∆tranzitivna ako je R � R � Rasimetriµcna ako je R \ R�1 = ∅povezana ako je X � X = R [ R�1 [ ∆

ekvivalencija ako je re�eksivna, simetriµcna i tranzitivna

() 2009. 46 / 115

ExerciseNa skupu svih ljudi zadana je relacija R pravilom: osoba A R osoba B akoje osoba A vi�a ili jednake visine kao osoba B. Ispitajte svojstva te relacije.

ExerciseNa skupu svih gra�ana R.H. zadana je relacija: osooba A je u relaciji sosobom B ako je MBG osobe A manji ili jednak od MBG osobe B.Ispitajte svojstva te relacije. Kakvu relaciju dobijemo ako umjesto manji ilijednak stavimo samo manji?

ExerciseNeka je X =

Sλ2Λ

Aλ, gdje je fAλ j λ 2 Λg mnoµzina me�usobnodisjunktnih skupova. Neka je � binarna relacija na X za koju jex � y , (9λ 2 Λ) x , y 2 Aλ. Ispitajte svojstva ove relacije.

() 2009. 47 / 115

ExerciseNeka je X =

Sλ2Λ

() 2009. 47 / 115

ExerciseNeka je X =

Sλ2Λ

() 2009. 47 / 115

Funkcija

De�nitionFunkcija ili preslikavanje de�nirana na skupu X s vrijednostima u skupu Yje relacija f � X � Y takva da vrijedi(8x 2 X ) (9y 2 Y ) (x , y) 2 f i(8x 2 X ) (8y1, y2 2 Y ) ((x , y1) 2 f ^ (x , y2) 2 f ) y1 = y2)

Funkciju f � X � Y oznaµcavamo sa f : X ! Y a umjesto xfypi�emo f (x) = y .

Klasu svih funkcija na skupu X s vrijednostima u Y (ili krace izme�uX i Y ) oznaµcujemo sa Y X = ff j f : X ! Y g . Buduci jef � X � Y to je f 2 P (X � Y ) , pa je po askiomu speci�kacije Y X ,kao podskup skupa P (X � Y ), tako�er skup

() 2009. 48 / 115

Funkcija

() 2009. 48 / 115

Funkcija

() 2009. 48 / 115

Formalno gledajuci postoji jedinstvena funkcija f : ∅ ! Y (tzv.prazna funkcija) tj. relacija f = ∅ � ∅� Y koja udovoljujede�nicijskom uvjetu funkcije.

Ne postoji niti jedna funkcija f : X ! ∅ tj. relacija f � X �∅ = ∅koja udovoljuje de�nicijskom uvjetu (8x 2 X ) (9y 2 ∅) (x , y) 2 f

() 2009. 49 / 115

Formalno gledajuci postoji jedinstvena funkcija f : ∅ ! Y (tzv.prazna funkcija) tj. relacija f = ∅ � ∅� Y koja udovoljujede�nicijskom uvjetu funkcije.

Ne postoji niti jedna funkcija f : X ! ∅ tj. relacija f � X �∅ = ∅koja udovoljuje de�nicijskom uvjetu (8x 2 X ) (9y 2 ∅) (x , y) 2 f

() 2009. 49 / 115

De�nitionZa funkciju f : X ! Y kaµzemo da je

injekcija ako

(8x1, x2 2 X ) (8y 2 Y ) ((x1, y) 2 f ^ (x2, y) 2 f ) x1 = x2)

surjekcija (8y 2 Y ) (9x 2 X ) (x , y) 2 fbijekcija ako

(8y 2 Y ) (9x 2 X ) (8x 0 2 X ) ((x , y) = (x 0, y) 2 f ) x = x 0)

Proposition

Neka je f : X ! Y funkcija i f �1 � Y � X inverzna relacija od f . f �1 jefunkcija akko je f bijekcija.

() 2009. 50 / 115

injekcija ako

(8x1, x2 2 X ) (8y 2 Y ) ((x1, y) 2 f ^ (x2, y) 2 f ) x1 = x2)

(8y 2 Y ) (9x 2 X ) (8x 0 2 X ) ((x , y) = (x 0, y) 2 f ) x = x 0)

Proposition

() 2009. 50 / 115

injekcija ako

(8x1, x2 2 X ) (8y 2 Y ) ((x1, y) 2 f ^ (x2, y) 2 f ) x1 = x2)

surjekcija (8y 2 Y ) (9x 2 X ) (x , y) 2 f

bijekcija ako

(8y 2 Y ) (9x 2 X ) (8x 0 2 X ) ((x , y) = (x 0, y) 2 f ) x = x 0)

Proposition

() 2009. 50 / 115

injekcija ako

(8x1, x2 2 X ) (8y 2 Y ) ((x1, y) 2 f ^ (x2, y) 2 f ) x1 = x2)

(8y 2 Y ) (9x 2 X ) (8x 0 2 X ) ((x , y) = (x 0, y) 2 f ) x = x 0)

Proposition

() 2009. 50 / 115

injekcija ako

(8x1, x2 2 X ) (8y 2 Y ) ((x1, y) 2 f ^ (x2, y) 2 f ) x1 = x2)

(8y 2 Y ) (9x 2 X ) (8x 0 2 X ) ((x , y) = (x 0, y) 2 f ) x = x 0)

Proposition

() 2009. 50 / 115

PropositionNeka je f � X �Y , a g � Y � Z i g � f � X � Z kompozicija relacija f ig . Ako su f i g funkcije onda je i g � f funkcija.

PropositionNeka su f : X ! Y , g : Y ! Z i h : Z ! W funkcije. Tada jeh � (g � f ) = (h � g) � f .

Proposition

Neka je f : X ! Y funkcija i idX := ∆ (X � X ) , idY = ∆ (Y � Y )funkcije identitete.Tada je f � idX = f i idY � f = f .

De�nitionSlika skupa A � X pri funkciji f : X ! Y je skupf (A) = fy 2 Y j 9x 2 A^ f (x) = yg . Praslika skupa B � Y pri funkcijif je skup f �1 (B) = fx 2 x j f (x) 2 Bg

() 2009. 51 / 115

Proposition

() 2009. 51 / 115

Proposition

() 2009. 51 / 115

Proposition

() 2009. 51 / 115

ExerciseNeka je f : X ! Y funkcija i (Aλ j λ 2 Λ) familija podskupova Aλ � X .Dokaµzite da je

f� S

λ2ΛAλ

Sλ2Λ

f (Aλ)

f� T

λ2ΛAλ

�� T

λ2Λf (Aλ) .

ExerciseNeka su f : X ! Y i g : Y ! Z funkcije i E � Z . Dokaµzite da je(gf )�1 (E ) = f �1g�1 (E ) .

() 2009. 52 / 115

f� S

λ2ΛAλ

Sλ2Λ

f (Aλ)

f� T

λ2ΛAλ

�� T

λ2Λf (Aλ) .

() 2009. 52 / 115

f� S

λ2ΛAλ

Sλ2Λ

f (Aλ)

f� T

λ2ΛAλ

�� T

λ2Λf (Aλ) .

() 2009. 52 / 115

f� S

λ2ΛAλ

Sλ2Λ

f (Aλ)

f� T

λ2ΛAλ

�� T

λ2Λf (Aλ) .

() 2009. 52 / 115

ExerciseNeka je f : X ! Y funkcija i A,B � X i C ,D � Y . Dokaµzitef (AnB) � f (A) nf (B)f �1 (C [D) = f �1 (C ) [ f �1 (D)f �1 (C \D) = f �1 (C ) \ f �1 (D)f �1 (CnD) = f �1 (C ) nf �1 (D)A � f �1 (f (A))f�f �1 (C )

�= C \ f (X ) � C

() 2009. 53 / 115

De�nition

Neka je f 2 Y X . Kaµzemo da je fmonomor�zam ako

�8g1, g2 2 XZ

�(fg1 = fg2 ) g1 = g2)

epimor�zam ako�8g1, g2 2 ZY

�(g1f = g2f ) g1 = g2)

bimor�zam ako je f monomor�zam i epimor�zam

izomor�zam ako�9g 2 XY

�g � f = idX f � g = idY

(idX := ∆ (X � X ) , idY = ∆ (Y � Y ))

() 2009. 54 / 115

De�nition

�8g1, g2 2 XZ

�(fg1 = fg2 ) g1 = g2)

�(g1f = g2f ) g1 = g2)

(idX := ∆ (X � X ) , idY = ∆ (Y � Y ))

() 2009. 54 / 115

De�nition

�8g1, g2 2 XZ

�(fg1 = fg2 ) g1 = g2)

�(g1f = g2f ) g1 = g2)

(idX := ∆ (X � X ) , idY = ∆ (Y � Y ))

() 2009. 54 / 115

De�nition

�8g1, g2 2 XZ

�(fg1 = fg2 ) g1 = g2)

�(g1f = g2f ) g1 = g2)

(idX := ∆ (X � X ) , idY = ∆ (Y � Y ))

() 2009. 54 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X . Tada vrijedi1 f je monomor�zam akko je injekcija

2 f je epimor�zam akko je surjekcija3 f je bimor�zam akko je bijekcija4 f je izomor�zam akko je bijekcija

() 2009. 55 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X . Tada vrijedi1 f je monomor�zam akko je injekcija2 f je epimor�zam akko je surjekcija

3 f je bimor�zam akko je bijekcija4 f je izomor�zam akko je bijekcija

() 2009. 55 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X . Tada vrijedi1 f je monomor�zam akko je injekcija2 f je epimor�zam akko je surjekcija3 f je bimor�zam akko je bijekcija

4 f je izomor�zam akko je bijekcija

() 2009. 55 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X . Tada vrijedi1 f je monomor�zam akko je injekcija2 f je epimor�zam akko je surjekcija3 f je bimor�zam akko je bijekcija4 f je izomor�zam akko je bijekcija

() 2009. 55 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X i g 2 ZY . Ako je g � f monomor�zam onda je fmonomor�zam. Ako je g � f epimor�zam onda je g epimor�zam.

TheoremKompozicija injekcija je injekcija. Kompozicija surjekcija je surjekcija.Kompozicija bijekcija je bijekcija.

() 2009. 56 / 115

Theorem

Neka je f 2 Y X i g 2 ZY . Ako je g � f monomor�zam onda je fmonomor�zam. Ako je g � f epimor�zam onda je g epimor�zam.

TheoremKompozicija injekcija je injekcija. Kompozicija surjekcija je surjekcija.Kompozicija bijekcija je bijekcija.

() 2009. 56 / 115

De�nitionNeka je (Aα j α 2 S) neprazna familija nepraznih skupova i neka jeA =

Aα. Funkcija f : S ! A sa svojstvom da je, za svaki α 2 S ,

f (α) 2 Aα naziva se funkcija izbora.

Theorem (Teorem o postojanju funkcije izbora)

Za svaku nepraznu familiju nepraznih skupova (Aα j α 2 S) postojifunkcija izbora.

TheoremAksiom izbora je ekvivalentan Teoremu o postojanju funkcije izbora.

() 2009. 57 / 115

De�nitionNeka je (Aα j α 2 S) neka familija skupova. Kartezijev produkt te familijeskupova je skup svih funkcija f : S ! S

α2SAα sa svojstvom da je, za svaki

α 2 S , f (α) 2 Aα, a oznaµcavamo ga sa ∏α2S

Kartezijev produkt ∏α2S

Aα po aksiomu speci�kacije zaista skup, a po

aksiomu izbora je neprazan µcim je Aα 6= ∅ za svaki α 2 A. µClanoveovog produkta f 2 ∏

α2SAα, ako je f (α) = xα, α 2 A, cemo oznaµcavati

sa (xα j α 2 S)

Proposition

Neka je S = f1, 2g dvoµclani skup i (Xα j α 2 S) familija skupova. Tada jeskup ∏

α2SAα izomorfan skupu A1 � A2.

Ako je S = f1, ..., kg konaµcan skup onda obiµcno ovaj produktoznaµcavamo sa A1 � � � � � Ak .

() 2009. 58 / 115

sa (xα j α 2 S)

Proposition

() 2009. 58 / 115

sa (xα j α 2 S)

Proposition

() 2009. 58 / 115

sa (xα j α 2 S)

Proposition

() 2009. 58 / 115

ExerciseDokaµzite

∏t2T

Akt = ∏t2T

ExerciseDokaµzite

Tj2JAij =

Tf 2J I

Si2IAif (i ).

() 2009. 59 / 115

Ekvipotentni skupovi i kardinalni broj

De�nitionReci cemo da je skup X ekvipotentan skupu Y ako postoji bijekcijaf : X ! Y i pi�emo X � Y .

Odnos "biti ekvipotentan" ima svojstvo ekvivalentnosti

Example

Skup N i 2N = f2n j n 2 Ng su ekvipotentni jer je f : N ! 2Nf (n) = 2n bijekcija.

De�nitionKaµzemo da skupovi X i Y imaju isti kardinalni broj i pi�emokardX = kardY ako su X i Y ekvipotentni. Kaµzemo da je kardX manjiili jednak kardY i pi�emo kardX � kardY ako postoji podskup Y 0 � Ytakav da je kardX = kardY 0. Ako je kardX � kardY ikardX 6= kardY pi�emo kardX < kardY .

() 2009. 60 / 115

Example

() 2009. 60 / 115

Example

() 2009. 60 / 115

Example

() 2009. 60 / 115

PropositionPostoji injekcija f : X ! Y akko je kardX � kardY .

ExerciseAko je X � Y dokaµzite da je onda cardX � cardY .

PropositionNeka su X , Y i Z skupovi. Vrijede sljedece tvrdnje(i) kardX � kardX(ii) kardX = kardY ) kardX � kardY(iii) kardX � kardY ^ kardY � kardZ ) kardX � kardZ

() 2009. 61 / 115

Theorem (Cantor-Bernstein)

Ako je kardX � kardY i kardY � kardX onda je kardX = kardY .

LemmaNeka je X skup i P (X ) njegov partitivni skup. Ako je f : P (X )! P (X )uzlazna funkcija, tj. za svaki A,B 2 P (X ) A � B slijedi f (A) � f (B) ,tada f ima svojstvo �ksne toµcke, tj. postoji K 2 P (X ) f (K ) = K .

ExercisePokaµzite da skup X = [0, 3] i Y = [0, 1] [ [2, 3] imaju isti kardinalni broj.

CorollaryNeka su X , Y i Z skupovi za koje vrijedi X � Y � Z . Ako jekardX = kardZ onda je kardX = kardY = kardZ .

() 2009. 62 / 115

Beskonaµcan i konaµcan skup

De�nitionReci cemo da je X beskonaµcan skup ako je kard (X [ fXg) = kardX . Uprotivnom kaµzemo da je X konaµcan skup.

ExampleSkupovi ∅ i f∅g su konaµcni. Skup N je beskonaµcan. Zaista skupω = N0 = N[ f0g � N[ fNg je ekvipotentan skupu N, buduci jef : ω ! N f (n) = n+ 1 bijekcija.

TheoremSkup X je beskonaµcan akko je ekvipotentan svom pravom podskupu.

CorollarySkup X je konaµcan akko je svaka injekcija f : X ! X ujedno i surjekcija.

() 2009. 63 / 115

ExerciseDokaµzite da ekvipotentnost me�u skupovima µcuva svojstvo "biti(bes)konaµcan"

TheoremAko je A beskonaµcan skup i X � A, onda je i X beskonaµcan. Ako je Akonaµcan skup i X � A, onda je i X konaµcan.

TheoremZa svaki n 2 N neka je An = f1, 2, ..., ng � N. Svaki An je konaµcan skup.

CorollaryZa n 6= m, An i Am nisu ekvipotentni.

CorollarySvaki konaµcan skup je ili ∅ ili je ekvipotentan nekom An, n 2 N.

() 2009. 64 / 115

TheoremSkup X je beskonaµcan akko postoji injekcija f : N ! X .

Uvedimo oznaku @0 (alef nula) za kardinalni broj svakog skupa koji jeekvipotentan skupu N, tj. kard N = @0Uvedimo oznaku kardAn = n i kard ∅ = 0

Tada je 0 < 1 < 2 < � � � < @0

Theorem

Ako je X skup i 2X = fϕ j ϕ : X ! f0, 1gg . Tada jekard 2X = kardP (X ) .

() 2009. 65 / 115

Uvedimo oznaku @0 (alef nula) za kardinalni broj svakog skupa koji jeekvipotentan skupu N, tj. kard N = @0

Uvedimo oznaku kardAn = n i kard ∅ = 0

Tada je 0 < 1 < 2 < � � � < @0

Theorem

() 2009. 65 / 115

Tada je 0 < 1 < 2 < � � � < @0

Theorem

() 2009. 65 / 115

Tada je 0 < 1 < 2 < � � � < @0

Theorem

() 2009. 65 / 115

Tada je 0 < 1 < 2 < � � � < @0Theorem

() 2009. 65 / 115

Theorem

Za svaki skup X vrijedi kardX < kard�2X�.

() 2009. 66 / 115

Prebrojivi skupovi

De�nitionKaµzemo da je skup X prebrojiv ako je X � N tj. kardX = @0.

Ako je X prebrojiv onda postoji bijekcija f : N ! X . Oznaµcimo lif (i) = xi , i 2 N, tada je X = fx1, x2, ..., xn, ...g

TheoremSvaki podskup prebrojivog skupa je ili konaµcan ili prebrojiv.

TheoremSvaki beskonaµcni skup X sadrµzi prebrojiv skup A.

() 2009. 67 / 115

Prebrojivi skupovi

() 2009. 67 / 115

Prebrojivi skupovi

() 2009. 67 / 115

Prebrojivi skupovi

() 2009. 67 / 115

TheoremAko je X beskonaµcan skup, a Y konaµcan ili prebrojiv onda jekard (X [ Y ) = kardX .

CorollaryUnija konaµcnog broja prebrojivih skupova je prebrojiv skup

LemmaSkup N�N je prebrojiv.

TheoremDirektni produkt dvaju prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

CorollaryDirektni produkt od konaµcno mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

() 2009. 68 / 115

CorollaryUnija od prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

PropositionSkup Z cijelih brojeva i Q racionalnih brojeva su prebrojivi.

TheoremNeka je X prebrojiv skup. Tada je skup svih konaµcnih nizova u X prebrojiv.

TheoremNeka je X prebrojiv skup. Skup svih konaµcnih podskupova od X jeprebrojiv.

() 2009. 69 / 115

Proposition

Skup R realnih brojeva ekvipotentan je proizvoljnom intervalu (a, b) � R.

TheoremSkup R nije prebrojiv.

Uvedimo oznaku c (kontinuum)za kardinalni broj svakog skupa koji jeekvipotentan skupu R, tj. kard R = c

CorollaryVrijedi @0 < c.

Corollary

Vrijedi kard (a, b] = kard [a, b) = kard [a, b] = c, za svaki a, b 2 R.

() 2009. 70 / 115

Proposition

Corollary

() 2009. 70 / 115

Proposition

Corollary

() 2009. 70 / 115

Proposition

Corollary

() 2009. 70 / 115

Proposition

Corollary

() 2009. 70 / 115

Proposition

Neka je A � A0 i B � B 0. Tada je AB � A0B 0 .

De�nition

Neka je a = kardA i b = kardB. Kardinalni broj skupa AB oznaµcavamosa ab .

Primjerice 2@0 = kard f0, 1gN

Theorem

Vrijedi 2@0 = c.

() 2009. 71 / 115

Proposition

De�nition

Theorem

Vrijedi 2@0 = c.

() 2009. 71 / 115

Proposition

De�nition

Theorem

Vrijedi 2@0 = c.

() 2009. 71 / 115

Proposition

De�nition

Theorem

Vrijedi 2@0 = c.

() 2009. 71 / 115

Hipoteza kontinuuma

Oµcito za svaki beskonaµcni podskup S � R vrijedi @0 � kard S � c

Postoji li beskonaµcni skup S � R takav da je @0 < kard S < c jepitanje koje je dugo vremena zaokupljalo matematiµcare

Buduci se nije mogao pronaci takav skup to je Cantor postaviohipotezu kontinuuma tj. hipotezu da takav skup ne postoji

Hilbert je 1900 istaknuo ovu hipotezu kao najvaµzniji problemsljedeceg stoljeca

K. Gödel je dokazao da hipoteza kontinuuma ne moµze dovesti doproturjeµcja u teoriji skupovi ako vec nije postojalo proturjeµcje i beznjega (on je zapravo poku�avao dokazati je li hipoteza toµcna ili nije)

P. Cohen je 1963. je rije�io ovaj problem tako �to je pokazao da jehipoteza neovisna o ostalim aksiomima teorije skupova, tj. dodamo lihipotezu kontinuuma aksiomima ili pak njenu negaciju teorija skupovace ostati neproturjeµcna

() 2009. 72 / 115

Hipoteza kontinuuma

Oµcito za svaki beskonaµcni podskup S � R vrijedi @0 � kard S � cPostoji li beskonaµcni skup S � R takav da je @0 < kard S < c jepitanje koje je dugo vremena zaokupljalo matematiµcare

() 2009. 72 / 115

Hipoteza kontinuuma

() 2009. 72 / 115

Hipoteza kontinuuma

() 2009. 72 / 115

Hipoteza kontinuuma

() 2009. 72 / 115

Hipoteza kontinuuma

() 2009. 72 / 115

Proposition

Neka je A\ B = ∅ i A0 \ B 0 = ∅, te neka je A � A0 i B � B 0. Tada jeA[ B � A0 [ B 0 i A� B � A0 � B 0.

De�nitionNeka su A i B disjunktni skupovi i neka je a = kardA i b = kardB. Tadade�niramo oznake

a+ b = kard (A[ B)a � b = kard (A� B)

() 2009. 73 / 115

Proposition

() 2009. 73 / 115

Proposition

a+ b = kard (A[ B)

a � b = kard (A� B)

() 2009. 73 / 115

Proposition

() 2009. 73 / 115

TheoremNeka su a, b i c kardinalni brojevi. Tada je

1 a+ b = b+ a i a � b = b � a

2 a+ (b+ c) = (a+ b) + c i a � (b � c) = (a � b) � c3 a � (b+ c) = ab+ ac4 ab+c = abac

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

1 a+ b = b+ a i a � b = b � a2 a+ (b+ c) = (a+ b) + c i a � (b � c) = (a � b) � c

3 a � (b+ c) = ab+ ac4 ab+c = abac

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

1 a+ b = b+ a i a � b = b � a2 a+ (b+ c) = (a+ b) + c i a � (b � c) = (a � b) � c3 a � (b+ c) = ab+ ac

4 ab+c = abac

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

1 a+ b = b+ a i a � b = b � a2 a+ (b+ c) = (a+ b) + c i a � (b � c) = (a � b) � c3 a � (b+ c) = ab+ ac4 ab+c = abac

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

5 (ab)c = acbc

6�ab�c= abc

() 2009. 74 / 115

CorollaryNeka je a proizvoljni kardinalni broj. Tada vrijedi

1 a+ 0 = a

2 1 � a = a3 0 � a = 04 a1 = a5 1a = 1

() 2009. 75 / 115

1 a+ 0 = a2 1 � a = a

3 0 � a = 04 a1 = a5 1a = 1

() 2009. 75 / 115

1 a+ 0 = a2 1 � a = a3 0 � a = 0

4 a1 = a5 1a = 1

() 2009. 75 / 115

1 a+ 0 = a2 1 � a = a3 0 � a = 04 a1 = a

5 1a = 1

() 2009. 75 / 115

1 a+ 0 = a2 1 � a = a3 0 � a = 04 a1 = a5 1a = 1

() 2009. 75 / 115

CorollaryNeka je λ proizvoljni beskonaµcni kardinalni broj, tj. λ = kardA i A jebeskonaµcan. Tada je

1 λ+ n = λ, za svaki n 2 N

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

4 @0 � @0 = @05 c � c = c6 cn = c, za svaki n 2 N.

() 2009. 76 / 115

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

() 2009. 76 / 115

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

() 2009. 76 / 115

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

4 @0 � @0 = @0

5 c � c = c6 cn = c, za svaki n 2 N.

() 2009. 76 / 115

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

4 @0 � @0 = @05 c � c = c

6 cn = c, za svaki n 2 N.

() 2009. 76 / 115

2 λ+ @0 = λ

3 @0 � n = @0, za svaki n 2 N

() 2009. 76 / 115

TheoremAko su a, b i c proizvoljni kardinalni brojevi, tada vrijedi

1 a � b ) a+ c � b+ c

2 a � b ) a � c � b � c3 a � b ) ac � bc4 a � b ) ca � cb

() 2009. 77 / 115

1 a � b ) a+ c � b+ c2 a � b ) a � c � b � c

3 a � b ) ac � bc4 a � b ) ca � cb

() 2009. 77 / 115

1 a � b ) a+ c � b+ c2 a � b ) a � c � b � c3 a � b ) ac � bc

4 a � b ) ca � cb

() 2009. 77 / 115

1 a � b ) a+ c � b+ c2 a � b ) a � c � b � c3 a � b ) ac � bc4 a � b ) ca � cb

() 2009. 77 / 115

CorollaryVrijede sljedece jednakosti kardinalnih brojeva

1 n � c =@0 � c = c, za svaki n 2 N

2 cn= c

3 n@0 = @@00 = c@0 = c, za svaki n 2 N, n � 24 nc = @c0 = cc = 2c, za svaki n 2 N, n � 2.

() 2009. 78 / 115

1 n � c =@0 � c = c, za svaki n 2 N

2 cn= c

() 2009. 78 / 115

1 n � c =@0 � c = c, za svaki n 2 N

2 cn= c

3 n@0 = @@00 = c@0 = c, za svaki n 2 N, n � 2

4 nc = @c0 = cc = 2c, za svaki n 2 N, n � 2.

() 2009. 78 / 115

1 n � c =@0 � c = c, za svaki n 2 N

2 cn= c

() 2009. 78 / 115

Oznaµcimo sa f kardinalni broj svakog skupa ekvipotentnog sa RR, tj.f = kard RR

CorollaryZa svaki n 2 N vrijedin+ f = @0 + f = c+ f = f+ f = f

() 2009. 79 / 115

ExerciseDokaµzite da je c+ c = c i n � f = f.

ExerciseIspitajte kardinalnost skupa koji je unija prebrojivo mnogo skupovakardinalnosti c.

Exercise

Ispitajte kardinalnost skupa[a2A

Xa i skupa ∏aeA

Xa, gdje je kardXa = c i

kardA = c.

ExerciseDokaµzite da je skup svih konaµcnih nizova u R kardinalnosti c.

ExerciseDokaµzite da je skup svih konaµcnih podskupova od R kardinalnosti c.

() 2009. 80 / 115

Exercise

Xa i skupa ∏aeA

kardA = c.

() 2009. 80 / 115

Exercise

Xa i skupa ∏aeA

kardA = c.

() 2009. 80 / 115

Exercise

Xa i skupa ∏aeA

kardA = c.

() 2009. 80 / 115

Exercise

Xa i skupa ∏aeA

kardA = c.

() 2009. 80 / 115

ExerciseIspitajte kardinalnost skupa svih nizova u R i u Z, te skupa svih funkcija: R ! N.

ExerciseIzraµcunajte kardinalnost skupa svih polinoma s racionalnim koe�cijentima.

ExerciseIzraµcunajte kardinalnost skupa algebarskih i skupa transcedentnih brojeva,te skupa prostih brojeva.

ExerciseOdredite broj svih pravaca i nizova toµcaka u ravnini.

ExercisePokaµzite da je kardinalnost skupa svih toµcaka na kruµznici i u krugu jednakc.

() 2009. 81 / 115

Ure�eni skupovi

De�nitionNeka je X neprezni skup i R � X � X binarna relacija na X . Ako je Rre�eksivna, antisimetriµcna i tranzitivna onda se ure�eni par (X ,R) naziva(parcijalno ili djelomiµcno) ure�eni skup i umjesto R obiµcno pi�emo � .Ako je x 6= y i x � y tada pi�emo x < y . Za ure�eni skup kaµzemo da jetotalno (linearno ili potpuno) ure�en skup (jo�kaµzemo i lanac) ako zasvaki x , y 2 X vrijedi x � y ili y � x .

(P (X ) ,�) je ure�en, ali nije totalno ure�en skup

ExerciseNeka su Ri , i 2 I relacije potpunog ure�aja na skupu A. Ispitajte je li jeR =

Ti2IRi relacija parcijalnog, odnosno potpunog ure�aja na A.

() 2009. 82 / 115

Ure�eni skupovi

() 2009. 82 / 115

Ure�eni skupovi

() 2009. 82 / 115

De�nitionNeka su X i Y ure�eni skupovi. Za funkciju f : X ! Y kaµzemo da jeuzlazna (rastuca) ako za svaki x , x 0 2 X x � x 0 slijedi f (x) � f (x 0) .

ExerciseDokaµzite da je identiteta uzlazna funkcija. Dokaµzite da je kompozicijauzlaznih funkcija tako�er uzlazna.

ExerciseNeka je X skup svih rijeµci hrvatskog jezika s leksikografskim ure�ajem.Ispitajte je li je funkcija f : X ! N koja svakoj rijeµci pridruµzuje duljinu(broj slova od kojih se sastoji) rastuca.

() 2009. 83 / 115

De�nitionIzomor�zam ure�enih skupova ili sliµcno preslikavanje je uzlaznopreslikavanje f : X ! Y takvo da postoji uzlazno preslikavanje g : Y ! Xi gf = idX i fg = idY .

TheoremNeka je X potpuno ure�en skup i Y ure�eni skup. Tada je svaka uzlaznabijekcija f : X ! Y izomor�zam ure�enih skupova.

De�nitionNeka su X i Y ure�eni skupovi. Kaµzemo da su X i Y sliµcni ako postojiizomor�zam f : X ! Y ure�enih skupova i pi�emo X � Y .

TheoremNeka je (X ,�) ure�eni skup. Tada postoji ure�eni skup Y � (P (X ) ,�)takav da su X i Y sliµcni.

() 2009. 84 / 115

TheoremNeka su X i Y sliµcni ure�eni skupovi. Ako je X totalno ure�en onda je i Ytotalno ure�en.

De�nitionNeka je X ure�en skup i x0 2 X . Kaµzemo da je x0 minimum (maksimum)skupa X i pi�emo x0 = minX (x0 = maxX ) ako je x0 � x (x � x0) zasvaki x 2 X . Kaµzemo da je x0 minimalni (maksimalni) element skupaX , ako za svaki x 2 X , iz x � x0 (x0 � x) proizlazi x = x0.

ExerciseDokaµzite da je minimum (maksimum) ure�enog skupa, ako postoji,jedinstven i da je tako�er minimalni (maksimalni) element.

ExerciseAko je X potpuno ure�en skup, onda je svaki njegov minimalni(maksimalni) element ujedno i minimum (maksimum).

() 2009. 85 / 115

TheoremNeka je X konaµcan potpuno ure�en skup. Tada postoje i minimum imaksimum skupa X .

TheoremNeka su X i Y potpuno ure�eni ekvipotentni konaµcni skupovi. Tada su X iY sliµcni.

De�nitionKaµzemo da je x0 2 X donja (gornja) me�a podskupa A � X ako, zasvaki x 2 A, x0 � x (x � x0).

Donja (gornja) me�a skupa A koja pripada skupu A je minimum(maksimum) skupa A

() 2009. 86 / 115

De�nitionNeka je X ure�en skup i A � X . Ako postoji, maksimum (minimum)skupa svih donjih (gornjih) me�a od A oznaµcavamo sa inf A (supA) inazivamo in�mum (supremum) skupa A.

ExerciseAko postoji inf A (supA) on je jedinstven

() 2009. 87 / 115

De�nitionNeka je X ure�en skup i A � X . Ako postoji, maksimum (minimum)skupa svih donjih (gornjih) me�a od A oznaµcavamo sa inf A (supA) inazivamo in�mum (supremum) skupa A.

ExerciseAko postoji inf A (supA) on je jedinstven

() 2009. 87 / 115

ExamplePodskup A = h1, 2i ure�enog skupa X = h1, 2i [ h3, 4i sa standardnimure�ajem u R ima beskonaµcno mnogo gornjih me�a ali nema supremuma inema niti jednu donju me�u.

ExerciseNeka je X ure�en skup i A � X . Ako je a0 = minA (a0 = maxA) onda jea0 = inf A (a0 = supA).

ExerciseZadan je skup X = fp, q, r , sg iR = f(p, p) , (q, q) , (s, s) , (r , r) , (p, q) , (p, r) , (r , s) , (p, s)g � X � X.Ispitajte je li je (X ,R) parcijalno ure�en skup, odnosno je li je potpunoure�eni skup. Imali taj skup minimum, minimalni element, maksimum,maksimalni element? Odredite in�mum i supremum (ako postoje)podskupa fq, sg.

() 2009. 88 / 115

TheoremNeka su (X ,�) i (Y ,�) sliµcni skupovi i f : X ! Y izomor�zam. Tadapreslikavanje f ima sljedeca svojstva

1 Ako je A lanac u X onda je i f (A) lanac u Y .

2 Ako je x0 maksimalni (minimalni) element skupa X onda je je f (x0)maksimalni (minimalni) element skupa Y .

3 Ako je x0 = maxX (x0 = minX) onda je f (x0) = maxY(f (x0) = minY ).

4 Ako je A � X ome�en podskup u X , onda je f (A) ome�en podskupu Y .

5 Ako postoji supremum (in�mum) podskupa A � X , onda postojisupremum (in�mum) podskupa f (A) � Y .

() 2009. 89 / 115

1 Ako je A lanac u X onda je i f (A) lanac u Y .2 Ako je x0 maksimalni (minimalni) element skupa X onda je je f (x0)maksimalni (minimalni) element skupa Y .

() 2009. 89 / 115

Redni tip

De�nitionZa svaka dva sliµcna, potpuna ure�ena skupa (X ,�X ) i (Y ,�Y ) kaµzemoda imaju isti redni tip i pi�emo tX = tY .

Buduci su svaka dva konaµcna, ekvipotentna, potpuno ure�ena skupasliµcna, to za redni tip svakog potpuno ure�enog skupa s n elemenatakoristimo oznaku n, tj. redni tip potpuno ure�enog konaµcnog skupaidenti�ciramo s kardinalnim brojem. Stavljamo t∅ = 0.

Redni tip skupa ω oznaµcavamo sa tω := ω. Oµcito je tN = tω = ω

Redni tip skupa �N = f�n j n 2 Ng oznaµcavamo sa t (�N) = ω�.Svaki potpuno ure�eni skup rednog tipa ω� nazivamo regresijom.

Example

Oµcito je ω 6= ω�, tZ 6= ω,ω� i t ((0, 1)) 6= t ([0, 1])

() 2009. 90 / 115

Redni tip

Example

() 2009. 90 / 115

Redni tip

Example

() 2009. 90 / 115

Redni tip

Example

() 2009. 90 / 115

Redni tip

Example

() 2009. 90 / 115

De�nitionNeka je (X ,�) potpuno ure�en skup. Kaµzemo da je X gust ako za svakia, b 2 X , a < b, postoji c 2 X takav da je a < c < b.

De�nitionNeka je (X ,�) potpuno ure�eni skup. Svaka particija skupa X na dvaneprazna, disjunktna podskupa A i B sa svojstvom da je, za svaki a 2 A ib 2 B, a < b naziva se prerezom u skupu X .

Mogu nastupiti sljedeca 4 sluµcaja prereza

1 A ima maksimum, a B ima minimum. Ovakav prerez nazivamo skok(primjerice svaki prerez u N je skok)

2 A ima maksimum, a B nema minimum3 A nema maksimum, a B ima minimum4 A nema maksimum, a B nema minimum

() 2009. 91 / 115

2 A ima maksimum, a B nema minimum

3 A nema maksimum, a B ima minimum4 A nema maksimum, a B nema minimum

() 2009. 91 / 115

2 A ima maksimum, a B nema minimum3 A nema maksimum, a B ima minimum

4 A nema maksimum, a B nema minimum

() 2009. 91 / 115

Za prva 3 sluµcaja kaµzemo da je prerez de�niran elementom iz X , a u4. sluµcaju kaµzemo da je de�niran prezninom u X

Ako je skup gust onda nema skokova

Skup Q je gust a njegov redni tip oznaµcujemo sa tQ = η

De�nitionZa potpuno ure�eni skup koji nema skokova ni praznina kaµzemo da jeneprekidan skup,

Skup Q nije neprekidan, a skup R je neprekidan i njegov redni tipoznaµcujemo a tR = λ. Oµcito je λ 6= η

() 2009. 92 / 115

De�nitionNeka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) disjunktni potpuno ure�eni skupovi. Rednaunija, u oznaci hX [ Y i je potpuno ure�en skup (X [ Y ,�) s ure�ajemde�niranim na sljedeci naµcin:

ako je z , z 0 2 X , i z �X z 0, onda je z � z 0

ako je z , z 0 2 Y , i z �Y z 0, onda je z � z 0

ako je z 2 X i z 0 2 Y , onda je z � z 0.

Neka su X i Y disjunktni potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β.Sumu rednih tipova, α+ β, de�niramo kao redni tip redne unijehX [ Y i .Ne vrijedi komutativnost zbrajanja rednih tipova (npr.ω+ 1 6= 1+ω), ali vrijedi asocijativnost

() 2009. 93 / 115

Neka su X i Y disjunktni potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β.Sumu rednih tipova, α+ β, de�niramo kao redni tip redne unijehX [ Y i .

Ne vrijedi komutativnost zbrajanja rednih tipova (npr.ω+ 1 6= 1+ω), ali vrijedi asocijativnost

() 2009. 93 / 115

Neka je f(Bi ,�i ) j i 2 Ig mnoµzina potpuno ure�enih u parovimadisjunktnih skupova Bi , i 2 I , takav da je indeksni skup I potpunoure�eni skup. Redna unija

�Si2IBi

�ovog sustava ure�enih skupova je

potpuno ure�en skup de�niran na sljedeci naµcin:

ako je z , z 0 2 Bi , i z �i z 0, onda je z � z 0

ako je z 2 Bi i z 0 2 Bi 0 i i < i 0, onda je z � z 0.

() 2009. 94 / 115

�Si2IBi

() 2009. 94 / 115

�Si2IBi

() 2009. 94 / 115

Neka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) potpuno ure�eni skupovi. Na kartezijevprodukt X � Y uvodimo potpuni ure�aj � kojeg, nazivamoleksikografskim ure�ajem, na sljedeci naµcin:

(x1, y1) � (x2, y2) ako je x1 < x2 ili je x1 = x2 i y1 � y2.Neka su X i Y potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β. Umnoµzakrednih tipova, α � β, de�niramo kao redni tip skupa B � A ure�enogleksikografskim ure�ajem α � β = t (B � A) .Za mnoµzenje rednih tipova vrijedi asocijativnost ali ne vrijedikomutativnost (npr. ω2 = ω+ω 6= ω = 2ω)

Za mnoµzenje rednih tipova ne vrijedi distributivnost prema zbrajanju(npr. (ω+ 1) 2 = ω2+ 1)

() 2009. 95 / 115

Neka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) potpuno ure�eni skupovi. Na kartezijevprodukt X � Y uvodimo potpuni ure�aj � kojeg, nazivamoleksikografskim ure�ajem, na sljedeci naµcin:(x1, y1) � (x2, y2) ako je x1 < x2 ili je x1 = x2 i y1 � y2.

Neka su X i Y potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β. Umnoµzakrednih tipova, α � β, de�niramo kao redni tip skupa B � A ure�enogleksikografskim ure�ajem α � β = t (B � A) .Za mnoµzenje rednih tipova vrijedi asocijativnost ali ne vrijedikomutativnost (npr. ω2 = ω+ω 6= ω = 2ω)

() 2009. 95 / 115

Neka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) potpuno ure�eni skupovi. Na kartezijevprodukt X � Y uvodimo potpuni ure�aj � kojeg, nazivamoleksikografskim ure�ajem, na sljedeci naµcin:(x1, y1) � (x2, y2) ako je x1 < x2 ili je x1 = x2 i y1 � y2.Neka su X i Y potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β. Umnoµzakrednih tipova, α � β, de�niramo kao redni tip skupa B � A ure�enogleksikografskim ure�ajem α � β = t (B � A) .

Za mnoµzenje rednih tipova vrijedi asocijativnost ali ne vrijedikomutativnost (npr. ω2 = ω+ω 6= ω = 2ω)

() 2009. 95 / 115

Neka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) potpuno ure�eni skupovi. Na kartezijevprodukt X � Y uvodimo potpuni ure�aj � kojeg, nazivamoleksikografskim ure�ajem, na sljedeci naµcin:(x1, y1) � (x2, y2) ako je x1 < x2 ili je x1 = x2 i y1 � y2.Neka su X i Y potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β. Umnoµzakrednih tipova, α � β, de�niramo kao redni tip skupa B � A ure�enogleksikografskim ure�ajem α � β = t (B � A) .Za mnoµzenje rednih tipova vrijedi asocijativnost ali ne vrijedikomutativnost (npr. ω2 = ω+ω 6= ω = 2ω)

() 2009. 95 / 115

Neka su (X ,�X ) i (Y ,�Y ) potpuno ure�eni skupovi. Na kartezijevprodukt X � Y uvodimo potpuni ure�aj � kojeg, nazivamoleksikografskim ure�ajem, na sljedeci naµcin:(x1, y1) � (x2, y2) ako je x1 < x2 ili je x1 = x2 i y1 � y2.Neka su X i Y potpuno ure�eni skupovi, tX = α i tY = β. Umnoµzakrednih tipova, α � β, de�niramo kao redni tip skupa B � A ure�enogleksikografskim ure�ajem α � β = t (B � A) .Za mnoµzenje rednih tipova vrijedi asocijativnost ali ne vrijedikomutativnost (npr. ω2 = ω+ω 6= ω = 2ω)

() 2009. 95 / 115

TheoremNeka su X i Y potpuno ure�eni prebrojivi skupovi koji su gusti i nemaju niminimuma ni maksimuma. Tada su X i Y izomorfni.

CorollaryNeka je X prebrojiv, gust, potpuno ure�en skup bez minimuma imaksimuma. Tada je X izomorfan skupu Q, tj. tX = η.

TheoremNeka su X i Y potpuno ure�eni skupovi koji nemaju ni minimum nimaksimum, koji imaju prebrojivi gusti podskup i µciji svaki neprazni odozgoome�eni podskup ima supremum. Tada su X i Y izomorfni.

TheoremNeka je X potpuno ure�eni skup koji nema ni minimuma ni maksimuma,koji ima prebrojivi gusti podskup i µciji svaki neprazni odozgo ome�enipodskup ima supremum. Tada je X izomorfan skupu R, tj. tX = λ.

() 2009. 96 / 115

Dobro ure�eni skupovi

De�nitionNeka je X potpuno ure�eni skup. Kaµzemo da je X dobro ure�en akosvaki njegov neprazni podskup ima minimum.

Example

Skup N i skupovi hN[ f∅gi iN[

� n�1n j n 2 N

�su dobro ure�eni, a

Z i [0, 1] nisu dobro ure�eni jer imaju regresije za podskup (ure�aj na svimskupovima je standardan).

() 2009. 97 / 115

Dobro ure�eni skupovi

De�nitionNeka je X potpuno ure�eni skup. Kaµzemo da je X dobro ure�en akosvaki njegov neprazni podskup ima minimum.

Example

Skup N i skupovi hN[ f∅gi iN[

� n�1n j n 2 N

�su dobro ure�eni, a

Z i [0, 1] nisu dobro ure�eni jer imaju regresije za podskup (ure�aj na svimskupovima je standardan).

() 2009. 97 / 115

ExerciseRedna unija dva dobro ure�ena skupa je dobro ure�en skup.

TheoremNeka je X potpuno ure�eni skup. X je dobro ure�en akko ne sadrµziregresiju tj. nikakav podskup A � X takav da je tA = ω�.

TheoremNeka je X dobro ure�eni skup. Ako je f : X ! X uzlazno preslikavanjetada za svaki x 2 X vrijedi x � f (x) .

() 2009. 98 / 115

De�nitionNeka je X dobro ure�eni skup i a 2 X . skup Xa = fx 2 X j x < agnazivamo poµcetnim komadom skupa X .

TheoremNe postoji izomor�zam izme�u dobro ure�enog skupa i njegovog poµcetnogkomada.

TheoremNeka je X dobro ure�eni skup i Xa i Xb razliµciti poµcetni komadi od X .Tada Xa i Xb nisu sliµcni.

TheoremPostoji najvi�e jedan izomor�zam izme�u dobro ure�enih skupova X i Y .

CorollaryAko je X dobro ure�eni skup i f : X ! X izomor�zam. Tada je f = 1X .

() 2009. 99 / 115

Princip trans�nitne indukcije

TheoremNeka je S dobro ure�en skup i A � S , sa svojstvom da je

(8x 2 S) ,Sx � A) x 2 A.

Tada je A = S .

Princip trans�nitne indukcije osigurava "bazu trans�nitne indukcije".Naime, ako skup A ima gornje svojstvo. Tada za x0 = minS vrijediSx0 = ∅, pa je Sx0 � A �to povlaµci x0 2 A.

Example

Neke je A dobro ure�eni skup i F = (Xα j α 2 A) familija skupova.Dokaµzite da postoji familija skupova F 0 = (X 0α j α 2 A) takva da jeSX2F

X 02F 0X 0, X 0α � Xα, za svaki α 2 A, i X 0α \ Xβ = ∅, za svaki

α, β 2 A, α 6= β.

() 2009. 100 / 115

Princip trans�nitne indukcije

TheoremNeka je S dobro ure�en skup i A � S , sa svojstvom da je

(8x 2 S) ,Sx � A) x 2 A.

Tada je A = S .

Princip trans�nitne indukcije osigurava "bazu trans�nitne indukcije".Naime, ako skup A ima gornje svojstvo. Tada za x0 = minS vrijediSx0 = ∅, pa je Sx0 � A �to povlaµci x0 2 A.

Example

Neke je A dobro ure�eni skup i F = (Xα j α 2 A) familija skupova.Dokaµzite da postoji familija skupova F 0 = (X 0α j α 2 A) takva da jeSX2F

X 02F 0X 0, X 0α � Xα, za svaki α 2 A, i X 0α \ Xβ = ∅, za svaki

α, β 2 A, α 6= β.

() 2009. 100 / 115

Redni broj

De�nitionNeka je X dobro ure�en skup. Rednim brojem skupa X nazivamo rednitip tX .

ExampleRedni tip ω je redni broj, dok ω�, η i λ nisu.

De�nitionNeka su α i β redni brojevi. Kaµzemo da je α manji od β i pi�emo α < βako je α = tA, β = tB i A je sliµcan nekom poµcetnom komadu skupa B.

() 2009. 101 / 115

Redni broj

() 2009. 101 / 115

Redni broj

() 2009. 101 / 115

PropositionNeka su α, β i γ redni brojevi takvi da je α < β i β < γ. Tada je α < γ.

Neka je α redni broj. Oznaµcimo saW (α) = fβ j β je redni broj manji od αg skup svih rednih brojevamanjih od α. W (α) je zaista skup po aksiomu izbora, partitivnogskupa, speci�kacije i supstitucije.

W (0) = ∅, W (n) = f0, 1, ..., n� 1gW (ω) = f0, 1, 2....g

() 2009. 102 / 115

W (0) = ∅, W (n) = f0, 1, ..., n� 1gW (ω) = f0, 1, 2....g

() 2009. 102 / 115

W (0) = ∅, W (n) = f0, 1, ..., n� 1g

W (ω) = f0, 1, 2....g

() 2009. 102 / 115

W (0) = ∅, W (n) = f0, 1, ..., n� 1gW (ω) = f0, 1, 2....g

() 2009. 102 / 115

TheoremAko je α redni broj. Tada je W (α) dobro ure�en skup i tW (α) = α.

TheoremZa svaka dva redna broja α i β, vrijedi toµcno jedna relacija α < β, α = βili β < α.

TheoremSvaki skup rednih brojeva je dobro ure�en skup.

TheoremAko je α redni broj, tada je α+ 1 redni broj veci od α i izme�u α i α+ 1nema niti jednog rednog broja.

() 2009. 103 / 115

TheoremNeka je fBi j i 2 Ig mnoµzina dobro ure�enih u parovima disjunktnihskupova Bi , i 2 I , takav da je indeksni skup I dobro ure�eni skup. Rednaunija

�Si2IBi

�ovog sustava ure�enih skupova je dobro ure�en skup.

Neka je I dobro ure�eni indeksni skup i fαi j i 2 Ig neka familijarednih brojeva αi . Tada, postoji sustav fBi j i 2 Ig dobro ure�enih uparovima disjunktnih skupova Bi , i 2 I gdje je αi = tBi , i 2 I .De�niramo sumu ∑

i2Iαi svih rednih brojeva iz ove familije kao redni

broj koji je redni tip skupa�Si2IBi

�, tj. γ = ∑

i2Iαi = t

��Si2IBi

��.

TheoremZa svaki skup rednih brojeva postoji redni broj koji je veci od svakogrednog broja iz tog skupa.

() 2009. 104 / 115

�Si2IBi

�, tj. γ = ∑

i2Iαi = t

��Si2IBi

��.

() 2009. 104 / 115

�Si2IBi

�, tj. γ = ∑

i2Iαi = t

��Si2IBi

��.

() 2009. 104 / 115

Theorem

Umnoµzak rednih brojeva α i β se moµze prikazati u obliku αβ = ∑ξ<β

αξ , pri

µcemu je αξ = α za svaki ξ < β.

Iz prethodnog teorema slijedi ω1 = ω, ω2 = ω+ω...

() 2009. 105 / 115

Theorem

Umnoµzak rednih brojeva α i β se moµze prikazati u obliku αβ = ∑ξ<β

αξ , pri

µcemu je αξ = α za svaki ξ < β.

Iz prethodnog teorema slijedi ω1 = ω, ω2 = ω+ω...

() 2009. 105 / 115

BURALI-FORTIJEV PARADOKS Svi redni brojevi ne tvore skup.

Ako bi W bio skup svih rednih brojeva, tada je on dobro ure�en, panjegov redni tip oznaµcimo sa tW = α. Buduci je α redni broj to jeα 2 W . No, kako vrijedi tW (α) = α to slijedi da je W sliµcan svompoµcetnom komadu �to je nemoguce.

() 2009. 106 / 115

BURALI-FORTIJEV PARADOKS Svi redni brojevi ne tvore skup.Ako bi W bio skup svih rednih brojeva, tada je on dobro ure�en, panjegov redni tip oznaµcimo sa tW = α. Buduci je α redni broj to jeα 2 W . No, kako vrijedi tW (α) = α to slijedi da je W sliµcan svompoµcetnom komadu �to je nemoguce.

() 2009. 106 / 115

Neka je A neki skup rednih brojeva. Tada razlikujemo dva sluµcaja:

1 A ima svoj maksimum β, pa je redni broj β+ 1 veci od svakogelementa iz A. Tada je β neposredni prethodnik od β+ 1. Za svakiredni broj α koji ima neposrednog prethodnika u W (α), tj. koji semoµze napisati u obliku α = β+ 1, kaµzemo da je redni broj prve vrste

2 A nema maksimum. Tada najmanji redni broj ξ koji je veci od svakogrednog broja iz A ima svojstvo da za svaki α 2 A, postoji α0 2 Atakav da je α < α0 < ξ, tj. ξ nema svog neposrednog sljedbenika.Ovakav broj zaista postoji

ξ = min�

β 2 W��

∑α2A

�+ 1

�j β < α (8α 2 A)

Svaki redni broj ξ koji nije prve vrste, tj. nema neposrednogprethodnika u W (ξ), nazivamo graniµcnim rednim brojem.

Ako je ξ graniµcni redni broj tada je ξ = sup fα j α < ξg

() 2009. 107 / 115

ξ = min�

β 2 W��

∑α2A

�+ 1

�j β < α (8α 2 A)

() 2009. 107 / 115

ξ = min�

β 2 W��

∑α2A

�+ 1

�j β < α (8α 2 A)

() 2009. 107 / 115

ξ = min�

β 2 W��

∑α2A

�+ 1

�j β < α (8α 2 A)

() 2009. 107 / 115

Primjerice ω je graniµcni redni broj, a n i ω+ 1 su redni brojevi 1.vrste

Vrijedi ω2 = sup fω+ n j n 2 Ngω2 := ωω = sup fωn j n 2 Ngωω := sup fωn j n 2 Ng

() 2009. 108 / 115

Vrijedi ω2 = sup fω+ n j n 2 Ng

ω2 := ωω = sup fωn j n 2 Ngωω := sup fωn j n 2 Ng

() 2009. 108 / 115

Vrijedi ω2 = sup fω+ n j n 2 Ngω2 := ωω = sup fωn j n 2 Ng

ωω := sup fωn j n 2 Ng

() 2009. 108 / 115

Vrijedi ω2 = sup fω+ n j n 2 Ngω2 := ωω = sup fωn j n 2 Ngωω := sup fωn j n 2 Ng

() 2009. 108 / 115

Potenciju αβ de�niramo pomocu trans�nitne indukcije na sljedecinaµcin

Ako je β redni broj prve vrste stavljamo α0 = 1 i αβ = αβ�1α

Ako je β graniµcni redni broj de�niramo αβ = sup�

αξ j ξ < β

() 2009. 109 / 115

αξ j ξ < β

() 2009. 109 / 115

αξ j ξ < β

() 2009. 109 / 115

Brojevni razredi

Neka je α neki redni broj i A skup takav da je α = tA. De�niramokardinalni broj rednog broja α kao kardinalni broj njegovareprezentanta tj.

kard α = kardA

Primijetimo da je kard α = kardW (α) .

Primjerice kard n = n, kard ω = kard N = @0,kard (ω+ 2) = kard (N[ f1, 2g) = @0.Neka je κ neki beskonaµcni kardinalni broj. Klasu svih rednih brojeva αtakvih da je kard α = κ oznaµcujemo sa Z (κ) i nazivamo brojevnimrazredom. Brojevni razred Z (κ) je skup. Naime, ako je S dobroure�eni skup, t (S) = α, takav da je kard S = κ (takav postoji poZermelovom teoremu), onda je i P (S) dobro ure�eni skupkardinalnosti 2κ > κ. No, to znaµci da je α < β = t (P (S)) . Buducije W (β) skup, to je po aksiomu speci�kacije i Z (κ) skup.

() 2009. 110 / 115

Brojevni razredi

kard α = kardA

Primjerice kard n = n, kard ω = kard N = @0,kard (ω+ 2) = kard (N[ f1, 2g) = @0.

Neka je κ neki beskonaµcni kardinalni broj. Klasu svih rednih brojeva αtakvih da je kard α = κ oznaµcujemo sa Z (κ) i nazivamo brojevnimrazredom. Brojevni razred Z (κ) je skup. Naime, ako je S dobroure�eni skup, t (S) = α, takav da je kard S = κ (takav postoji poZermelovom teoremu), onda je i P (S) dobro ure�eni skupkardinalnosti 2κ > κ. No, to znaµci da je α < β = t (P (S)) . Buducije W (β) skup, to je po aksiomu speci�kacije i Z (κ) skup.

() 2009. 110 / 115

Brojevni razredi

kard α = kardA

Primjerice kard n = n, kard ω = kard N = @0,kard (ω+ 2) = kard (N[ f1, 2g) = @0.Neka je κ neki beskonaµcni kardinalni broj. Klasu svih rednih brojeva αtakvih da je kard α = κ oznaµcujemo sa Z (κ) i nazivamo brojevnimrazredom. Brojevni razred Z (κ) je skup. Naime, ako je S dobroure�eni skup, t (S) = α, takav da je kard S = κ (takav postoji poZermelovom teoremu), onda je i P (S) dobro ure�eni skupkardinalnosti 2κ > κ. No, to znaµci da je α < β = t (P (S)) . Buducije W (β) skup, to je po aksiomu speci�kacije i Z (κ) skup.

() 2009. 110 / 115

De�nitionPrvim brojevnim razredom Z1 nazivamo skup svih konaµcnih rednih brojeva.Z1 = fn j n 2 N0g .Drugim brojevnim razredom Z2 nazivamo brojevni razred Z (@0) .

Oµcito je kardZ1 = @0Prvi redni broj veci od svakog n je ω. minZ2 = ω

TheoremZa svaki konaµcan ili prebrojiv skup rednih brojeva S iz Z2, prvi redni brojkoji dolazi iza svih elemenata iz S tako�er je redni broj iz Z2.

TheoremAko je α 2 Z2 graniµcni redni broj, onda postoji strogo rastuci nizfαn j n 2 Ng rednih brojeva takvih da je αn < α, tako da jeα = sup fαn j n 2 Ng

Z2 = fω,ω+ 1, ...,ω+ n, ...,w2,ω2+ 1, ...,ω2+ n, ...,ω3,ω3+ 1, ...,ωn, ...,ω2,ω2 + 1, ...,ωn, ...,ωω, ...,ωωω

, ...g

() 2009. 111 / 115

Oµcito je kardZ1 = @0

Prvi redni broj veci od svakog n je ω. minZ2 = ω

, ...g

() 2009. 111 / 115

, ...g

() 2009. 111 / 115

, ...g

() 2009. 111 / 115

, ...g

() 2009. 111 / 115

, ...g() 2009. 111 / 115

TheoremSkup svih prebrojivih rednih brojeva nije prebrojiv, tj. kardZ2 > @0.

Kardinalni broj od Z2 oznaµcujemo sa @1, a najmanji redni broj koji jeveci od svih rednih brojeva iz Z2 oznaµcujemo sa ω1.

ω1 je prvi neprebrojivi redni broj i to je minimum brojevnog razredaZ3 koji se sastoji od svih rednih brojeva kardinalnosti @1. VrijediW (ω1) = Z1 [ Z2, t (Z1 [ Z2) = tZ2 = ω1, kard ω1 = @1.

TheoremNe postoji kardinalni broj κ takav da je @0 < κ < @1.

() 2009. 112 / 115

Neka je κ beskonaµcni kardinalni broj. Najmanji redni broj brojevnograzreda Z (κ) nazivamo inicijalnim rednim brojem.

Minimalni (inicijalni) redni broj razreda Z1 je 0, inicijalni redni brojrazreda Z2 je ω, inicijalni redni broj razreda Z3 je ω1, inicijalni rednibroj razreda Z4 je ω2 = sup fα j α 2 Z3gkardinalni broj inicijalnog rednog broja ω je @0 = kardW (ω) ,kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω1 oznaµcujemo sa@1 = kardW (ω1) = kardZ2kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω2 oznaµcujemo sa@2 = kardW (ω2) = kardZ3kardinalni broj inicijalnog rednog broja ωξ oznaµcujemo sa@ξ = kardW

�ωξ

�= kardZ3

() 2009. 113 / 115

Neka je κ beskonaµcni kardinalni broj. Najmanji redni broj brojevnograzreda Z (κ) nazivamo inicijalnim rednim brojem.Minimalni (inicijalni) redni broj razreda Z1 je 0, inicijalni redni brojrazreda Z2 je ω, inicijalni redni broj razreda Z3 je ω1, inicijalni rednibroj razreda Z4 je ω2 = sup fα j α 2 Z3g

kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω je @0 = kardW (ω) ,kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω1 oznaµcujemo sa@1 = kardW (ω1) = kardZ2kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω2 oznaµcujemo sa@2 = kardW (ω2) = kardZ3kardinalni broj inicijalnog rednog broja ωξ oznaµcujemo sa@ξ = kardW

�ωξ

�= kardZ3

() 2009. 113 / 115

Neka je κ beskonaµcni kardinalni broj. Najmanji redni broj brojevnograzreda Z (κ) nazivamo inicijalnim rednim brojem.Minimalni (inicijalni) redni broj razreda Z1 je 0, inicijalni redni brojrazreda Z2 je ω, inicijalni redni broj razreda Z3 je ω1, inicijalni rednibroj razreda Z4 je ω2 = sup fα j α 2 Z3gkardinalni broj inicijalnog rednog broja ω je @0 = kardW (ω) ,kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω1 oznaµcujemo sa@1 = kardW (ω1) = kardZ2

kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω2 oznaµcujemo sa@2 = kardW (ω2) = kardZ3kardinalni broj inicijalnog rednog broja ωξ oznaµcujemo sa@ξ = kardW

�ωξ

�= kardZ3

() 2009. 113 / 115

Neka je κ beskonaµcni kardinalni broj. Najmanji redni broj brojevnograzreda Z (κ) nazivamo inicijalnim rednim brojem.Minimalni (inicijalni) redni broj razreda Z1 je 0, inicijalni redni brojrazreda Z2 je ω, inicijalni redni broj razreda Z3 je ω1, inicijalni rednibroj razreda Z4 je ω2 = sup fα j α 2 Z3gkardinalni broj inicijalnog rednog broja ω je @0 = kardW (ω) ,kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω1 oznaµcujemo sa@1 = kardW (ω1) = kardZ2kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω2 oznaµcujemo sa@2 = kardW (ω2) = kardZ3

kardinalni broj inicijalnog rednog broja ωξ oznaµcujemo sa@ξ = kardW

�ωξ

�= kardZ3

() 2009. 113 / 115

Neka je κ beskonaµcni kardinalni broj. Najmanji redni broj brojevnograzreda Z (κ) nazivamo inicijalnim rednim brojem.Minimalni (inicijalni) redni broj razreda Z1 je 0, inicijalni redni brojrazreda Z2 je ω, inicijalni redni broj razreda Z3 je ω1, inicijalni rednibroj razreda Z4 je ω2 = sup fα j α 2 Z3gkardinalni broj inicijalnog rednog broja ω je @0 = kardW (ω) ,kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω1 oznaµcujemo sa@1 = kardW (ω1) = kardZ2kardinalni broj inicijalnog rednog broja ω2 oznaµcujemo sa@2 = kardW (ω2) = kardZ3kardinalni broj inicijalnog rednog broja ωξ oznaµcujemo sa@ξ = kardW

�ωξ

�= kardZ3

() 2009. 113 / 115

Lemma (Zornova lema)Ako je X ure�eni skup u kojem svaki lanac ima gornju me�u. Tada X imabarem jedan maksimalni element.

Theorem (Zermelov teorem)Svaki se skup moµze dobro urediti.

TheoremVrijedi sljedeci zatvoreni sustav implikacija:

A. izbora =) Tm. o fja. izbora* +Zermelov teorem (= Zornova lema

Zornovu lemu je dokazao K. Kuratowski 1922., a M. Zorn je 1935.pokazao njenu esencijalnu ulogu u mnogim dokazima.Zermelov teorem je dokazao 1904. e: Zermelo. Ovaj teorem je, sliµcnoaksiomu izbora, egzistencijalne prirode, a ne konstruktivne.

() 2009. 114 / 115

Zornovu lemu je dokazao K. Kuratowski 1922., a M. Zorn je 1935.pokazao njenu esencijalnu ulogu u mnogim dokazima.

Zermelov teorem je dokazao 1904. e: Zermelo. Ovaj teorem je, sliµcnoaksiomu izbora, egzistencijalne prirode, a ne konstruktivne.

() 2009. 114 / 115

Neposredna posljedica Zermelovog teorema je postojanje brojevnihrazreda. Sada svakoj kardinalnosti κ moµzemo pridruµziti i (κ) inicijalniredni broj iz brojevnog razreda Z (κ) . Oµcito jeκ1 � κ2 , i (κ1) � i (κ2)

TheoremSvaka dva kardinalna broja su usporediva.

TheoremSvaki skup kardinalnih brojeva je dobro ure�en.

Smijemo smatrati da je svaki kardinalni broj κ jednak @ξ odnosnojednak kardinalnom broju brojevnog razreda Z (κ) . Cantorovahipoteza se sada moµze izreci kao

2@0 = @1.

() 2009. 115 / 115

2@0 = @1.

() 2009. 115 / 115

2@0 = @1.

() 2009. 115 / 115

2@0 = @1.

() 2009. 115 / 115

teorija skupova - fpmoz.ba · pdf filesadrµzaj 1 aksiomatski pristup teoriji skupova 2...

Documents