teoria preferencji i jej alternatywy

Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru

Teoria preferencji i jej alternatywy

Dariusz ZawiszaInstytut Matematyki UJ

10 maj 2012

Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ



Racjonalność

Racjonalny decydent:I rzetelnie pozyskuje informacje i właściwie je interpretuje -decydent zna możliwe konsekwencje swoich decyzji,

I na podstawie dostępnych informacji porządkuje projekty,działania i inwestycje w celu maksymalizacji własnych korzyści.

I jest wolny od obciążeń emocjonalnych i norm etycznych.




Teoria oczekiwanej użyteczności

Zastosowania

Teoria dualna i jej zastosowania

Pozostałe teorie wyboru




Oznaczenia

(Ω,F ,P) - przestrzeń probablistyczna,

X - zbiór zmiennych losowych przyjmujących wartości w odcinku[0, 1] (zmienne opisujące wyniki różnych loterii lub zyski zinwestycji),

SX (z) := P(X > z) - funkcja przeżycia,

- relacja preferencji określona na zbiorze X porządkująca losowekorzyści z różnych inwestycji.




Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)

EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla

dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .

EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to

X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .





EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .

EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla



X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .





EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.

EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dladowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .


X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .








X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .







EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .

EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to

X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .








X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .




Twierdzenie o reprezentacji

TwierdzenieAksjomaty EU1 - EU5 są spełnione wtedy i tylko wtedy gdy istniejefunkcja u ciągła i niemalejąca na [0,1] taka, że

X Y ⇔ Eu(X ) ≤ Eu(Y ).




Funkcja u powinna być funkcją wklęsłą (malejące przyrostyposiadają interpretację ekonomiczną).




I Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności

Eu(X ) ≤ u(EX ).

I Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.




Funkcja użyteczności przykłady

I Funkcja HARA

u(x) =

xγγ , dla γ 6= 0, γ < 1,ln x , dla γ = 0.

I funkcja CARA

u(x) = 1− e−γx , γ > 0.

I funkcja kwadratowa

u(x) = ax − 12bx2, a, b > 0.




Wybór najlepszej strategii finansowej

rs - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa),

w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje,

r - stopa procentowa na lokacie,

rw := wrs + (1− w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmiennalosowa),

Ile powinno wynosić w?




Optymalna strategia c. d.

Odpowiedź:w∗ ∈ argmaxEu(rw ).

Warunek konieczny istnienia maksimum:

E[(rs − r)u′(rw )] = 0.




Model Markowitza

H. Markowitz [1952](Nagroda Nobla w 1990 ) zaproponowałoptymalizację portfela za pomocą maksymalizacji funkcji

L(w) := Erw −θ

2Var(rw ), θ > 0 - parametr awersji do ryzyka .




Równoważnik pewności

DefinicjaRównoważnikiem pewności nazywamy taką wielkość zysku, jakąmożna uzyskać bez ryzyka, a której użyteczność jest równaoczekiwanej użyteczności X . Innymi słowy równoważnik pewnościCX zmiennej losowej X spełnia warunek

u(CX ) = Eu(X ).

Korzystając z rozwinięcia Taylora

Eu(X ) ≈ u(EX ) +12u′′(EX )Var(X ),

Eu(X ) ≈ u(CX ) ' u(EX ) + u′(EX )(CX − EX ).




Stąd

Cx ≈ EX +12u′′(EX )

u′(EX )Var(X ).

DefinicjaNiech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności.Wtedy

α(x) := −u”(x)u′(x)

nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzykaArrowa-Pratta.




Składka ubezpieczeniowaw - majątek ubezpieczyciela,

X - strata spowodowana wypłatą ubezpieczenia,

H - składka ubezpieczeniowa,

Zakład ubezpieczeń powinien ustalić składkę H tak, aby

u(w) ≤ Eu(w − X + H).

Minimalny poziom składki powinien spełniać równanie

u(w) = Eu(w − X + H).

czyliw ≤ E(w − X + H)

iEX ≤ H.




Krytyka

I Nie można aksjomatyzować zachowań: ludzie pod wpływemstresu i strachu mogą podejmować decyzje inne od„racjonalnych”.

I H. Simon (Nagroda Nobla 1978) zwraca uwagę, żenapotykając różnorodne ograniczenia czasowe i technologiczneludzie nie są w stanie uzyskać i przetworzyć wszystkichinformacji istotnych dla danego problemu.

I Krytyka aksjomatów (najmocniej aksjomatu niezależności):eksperymenty socjologiczne i psychologiczne nie potwierdziłyzachowań zgodnych z teorią oczekiwanej użyteczności(paradoks Allaisa, paradoks Ellsberga)




Dual theory of choice

Yaari [1987] zmienił aksjomat niezależności otrzymującreprezentację liczbową relacji preferencji postaci.

X Y ⇔∫ 10g(P(X > x)

)dx ≤

∫ 10g(P(Y > x)

)dx .




Całka Choqueta

I Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka∫ +∞

0g(P(X > x)

)dx .

I Jeśli g(x) = x , to∫ +∞

0g(P(X > x)

)dx =

∫ +∞

0P(X > x)dx = EX .




Całka Choqueta dla zmiennych dyskretnychZmienna X przyjmuje wartości w zbiorze dyskretnymx0, x1, . . . , xn.0 = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn .P(X = xi ) = pi ,

s(xi ) := P(x > xi ) =∑nk=i+1 pk ,

s(xn) = 0, s(xk−1)− s(xk) = pk ,

g(0) = 0, g(1) = 1

∫ +∞

0g(P(X > x))dx =

n−1∑k=0

g(s(xk)

)(xk+1 − xk)

=n∑k=1

xk[g(s(xk−1)

)− g

(s(xk)

)].




Zdeformowane miary ryzyka-definicja

X - zmienna losowa reprezentująca stratę, lub płatności, którepowinny zostać dokonane.

DefinicjaZdeformowaną miarą ryzyka (distortion risk measure) wyznaczonąprzez funkcję rosnącą g (g(0) = 0, g(1) = 1), nazywamyfunkcjonał

ρg (X ) =

∫ 0−∞

[g(P(X > x))− 1]dx +

∫ +∞

0g(P(X > x))dx .




WłasnościI Monotoniczność

Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).

I Dodatnia jednorodność

ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.

I Niezmienniczość względem przesunięcia

ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.

I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)

ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).




Przykłady

I VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)

VaRα(X ) = supx |P(X > x) ≥ α = ρgα(X ),

gα(x) =

0, jeśli 0 ≤ x < α,

1, jeśli α ≤ x ≤ 1.

I CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)

CVaRα(X ) = E(X |X > VaRα(X )),

gα(x) = min(xα, 1).




Przykłady c. d.

I Potęgowa funkcja deformująca

gα(x) = xα, 0 < α < 1.

I Deformująca funkcja Giniego

gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.

I Deformacja Wanga

gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],

gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.




Rank dependent expected utility theory

I Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału

X →∫ +∞

0g[P(u(X ) > x

)]dx .

I Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne∫ +∞

0g[P(u(X ) > x

)]dx =

n∑k=1

u(xk)[g(s(xk−1)

)−g(s(xk)

)].




Teoria perspektyw

Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że

I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.

I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.

I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.




Teoria perspektyw c. d.Kierując się przedstawionymi przesłankami ustalono, że preferencjepowinny być oparte na funkcjonale

X =⇒ V+[(X − L)+]− V−[(X − L)−], gdzie

V+(X ) =

∫ +∞

0g+[P(u+(X ) > x

)]dx ,

V−(X ) =

∫ +∞

0g−[P(u−(X ) > x

)]dx ,

u+, u− są wklęsłymi i rosnącymi funkcjami na R+,

g+ wklęsła na [0, 1], g+(0) = 0, g+(1) = 1, g+(p) ≥ p,

g− wklęsła na [0, 1], g−(0) = 0, g−(1) = 1.Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ



Maxmin choice

Q - zbiór prawdopodobieństw wyznaczających zakres błędupopełnionego przy konstrukcji modelu.

Gilboa i Schmeidler [1989] zaproponowali relację opartą okryterium najgorszego możliwego scenariusza

X Y ⇐⇒ infQ∈Q

EQu(X ) ≤ infQ∈Q

EQu(Y ),

gdzie u jest funkcją użyteczności.




Funkcja kary

Macheroni et al. [2006] zaproponowali aksjomatykę dla relacji

X Y ⇐⇒ infQ∈Q

EQ[u(X )−α(Q|P)

]≤ infQ∈Q

EQ[u(Y )−α(Q|P)

],

gdzie α(Q|P) określa „odległość” dwóch prawdopodobieństw.




Literatura I

Gilboa I, Schmeidler D. Maxmin expected utility with

non-unique prior. J Math Econ 18 (1989), 141–153

Kahneman, D. and Tversky, A., (1979): Prospect theory: an

analysis of decision under risk, Econometrica, 47, 263-291.

Maccheroni,Fabio; Marinacci, Massimo; Rustchini, Aldo

Ambiguity aversion, Robustness, and Variational

Representation of Preferences Econometrica, Vol. 74, No. 6 (

2006), 1447-1498

Markowitz H. (1952) Portfolio selection. J Finance 7: 77–91




Literatura II

von Neumann, John; Morgenstern, Oskar Theory of Games

and Economic Behavior. Princeton University Press, Princeton,

New Jersey, 1944

Yaari, Menahem E. The dual theory of choice under risk.

Econometrica 55 (1987), no. 1, 95–115.




Dziękuję za uwagę.



teoria preferencji i jej alternatywy

Documents