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FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA E.A.P QUÍMICA 07.1 FÍSICA II TEORIA ONDULATORIA Profesor: Raúl Reyes Alumno: Chamorro Asto Deyni Oswaldo

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Monografia de Fisica 2, FQIQ

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FACULTAD DE QUMICA E INGENIERA QUMICAE.A.P QUMICA 07.1FSICA II

TEORIA ONDULATORIA

Profesor: Ral ReyesAlumno: Chamorro Asto Deyni Oswaldo

Ciudad universitaria, 30 de septiembre de 2014

INTRODUCCINEl movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la Fsica. Sin duda alguna, la nocin ms intuitiva que tenemos del movimiento ondulatorio est asociada con las ondas producidas por el viento o alguna otra perturbacin sobre la superficie del agua. Omos un foco sonoro por medio de las ondas que se propagan en el aire o en cualquier otro medio material- y las vibraciones del propio foco constituyen una onda denominada onda estacionaria. Muchas de las propiedades de la luz se explican satisfactoriamente por medio de una teora ondulatoria, estando firmemente establecido hoy da que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las radiondas, las radiaciones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y la radiacin gamma.En este tema vamos a centrar nuestra atencin en las ondas que se propagan en los medios deformables o medios elsticos. Tales ondas, entre las que se encuentran las ondas sonoras ordinarias, pueden denominarse ondas mecnicas y se originan al desplazarse alguna porcin de un medio elstico de su posicin normal, inicindose as una oscilacin respecto a su posicin de equilibrio. Entonces, debido a las propiedades elsticas del medio material, la perturbacin original se transmite a las porciones de materia vecinas, y de stas a las siguientes, y as sucesivamente, de modo que la perturbacin se propaga por el medio, alcanzando a todas las porciones de ste, que quedarn sometidas a movimientos anlogos al del punto donde se inici la perturbacin. Obviamente, todos los puntos del medio no sern alcanzados simultneamente por la perturbacin, ya que sta se propaga con una velocidad finita que depende de las propiedades del medio, de modo que las partculas ms alejadas del origen de la perturbacin comenzarn a moverse con un cierto retraso. En definitiva, podemos decir que:la propagacin de una perturbacin en un medio constituye un movimiento ondulatorio.El movimiento ondulatorio transporta energa. Este transporte de energa, que puede tener lugar a distancias considerables, se realiza sin necesidad de desplazamiento de materia a gran distancia, ya que cada elemento del medio transmite energa a los elementos vecinos.Para que se propaguen las ondas mecnicas es necesario tener como soporte un medio material. Sin embargo, no es necesario tal medio para la propagacin de ondas electromagnticas, que pueden propasarse en el vaco, aunque tambin se propagan en los medios materiales. Las propiedades del medio material que determinan la velocidad de las ondas mecnicas en l son su elasticidad y su inercia. Todos los medios materiales poseen esas propiedades y en ellos pueden propagarse las ondas mecnicas. Es la elasticidad la que da lugar a las fuerzas restauradoras sobre cualquier elemento que se desplaza de su posicin de equilibrio; es la inercia la que determina la respuesta a esas fuerzas restauradoras.El trmino de onda, como tendremos ocasin de comprobar, se refiere a un modelo matemtico que sirve para interpretar de manera anloga fenmenos fsicos de naturaleza muy diferente. En este tema tratamos de los diferentes tipos de ondas que pueden existir. Haremos el estudio de las ondas cuya forma es senoidal y los parmetros que la caracterizan: velocidad de fase, nmero de ondas, longitud de onda, perodo, frecuencia, fase, amplitud, etc.

TEORIA ONDULATORIA1. CLASIFICACION DE LAS ONDAS

1.1. En funcin del medio en el que se propagan: Ondas mecnicas: las ondas mecnicas necesitan un medio elstico para propagarse. Las partculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a travs del medio. La velocidad puede ser afectada por algunas caractersticas del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecnicas tenemos las ondas elsticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad. Ondas electromagnticas: las ondas electromagnticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, por lo tanto puede propagarse en el vaco. Esto es debido a que las ondas electromagnticas son producidas por las oscilaciones de un campo elctrico, en relacin con un campo magntico asociado. 1.2. En funcin de su direccin: Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dimensin del espacio. Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos dimensiones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambin ondas superficiales. Ondas tridimensionales o esfricas: son ondas que se propagan en tres dimensiones. Las ondas tridimensionales se conocen tambin como ondas esfricas, porque sus frentes de ondas son esferas concntricas que salen de la fuente de perturbacin expandindose en todas direcciones1.3. En funcin del movimiento de sus partculas: Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partculas del medio se mueven o vibran paralelamente a la direccin de propagacin de la onda. Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partculas del medio vibran perpendicularmente a la direccin de propagacin de la onda.1.4. En funcin de su periodicidad Ondas peridicas: la perturbacin local que las origina se produce en ciclos repetitivos. Ondas no peridicas: la perturbacin que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caractersticas diferentes.

2. ELEMENTOS DE UNA ONDA SINUSOIDAL

Cresta: La cresta es el punto de mxima elongacin o mxima amplitud de onda; es decir, el punto de la onda ms separado de su posicin de reposo. Perodo (T): El periodo es el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de mxima amplitud al siguiente. Amplitud (A): La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Ntese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo. Frecuencia (f): Nmero de veces que es repetida dicha vibracin por unidad de tiempo. En otras palabras, es una simple repeticin de valores por un perodo determinado. Valle: Es el punto ms bajo de una onda. Longitud de onda : Es la distancia que hay entre el mismo punto de dos ondulaciones consecutivas, o la distancia entre dos crestas consecutivas. Nodo: es el punto donde la onda cruza la lnea de equilibrio. Elongacin (x): es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto de la onda y la lnea de equilibrio. Ciclo: es una oscilacin, o viaje completo de ida y vuelta.

3. RAPIDEZ DE PROPAGACIN DE UNA PERTURBACIN

El sonido, a diferencia de otras "perturbaciones" que se propagan en medios materiales, lo hace tridimensionalmente, es decir la "perturbacin" llega a cualquier punto del espacio.Por ser una onda mecnica, la rapidez de su propagacin depende del medio de propagacin elstico. La velocidad de propagacin de la perturbacin, depender de la proximidad de las partculas del medio y de sus fuerzas de cohesin. As, la velocidad de propagacin ser mucho mayor en los slidos que en los lquidos, y sobre todo, que en los gases.Por ejemplo a la presin normal de 1 atm y 20C, en un ambiente seco, la velocidad del sonido es de 5600 m/s en el acero, 1460 m/s en el agua y 340 m/s en el aire.

4. ONDAS SENOIDALES VIAJERAS

Una onda sinusoidal unidimensional es aquella para la cual las posiciones de los elementos del medio varan en forma sinusoidal. Son aquellas cuyo desplazamiento y funcin de la posicin est dado por: , para t= 0

, para cualquier t

4.1. ECUACIN GENERAL DE UNA ONDA SENOIDAL VIAJERAConsideraremos una forma de onda particular. Supongamos que en el tiempo t = 0 existe un tren de ondas determinado por:

El desplazamiento mximo es la amplitud de la curva sinusoidal, el valor del desplazamiento horizontal y es el mismo que en x que en x +, x + 2, etc. Conforme transcurre el tiempo, la onda viaja hacia la derecha con una velocidad de fase . Por lo tanto la ecuacin en el instante es:

Sabiendo que:,,La ecuacin se tornara de la siguiente manera:

Una onda sinusoidal que viaja hacia la derecha se puede expresar con una funcin de onda

5. ONDA VIAJERA EN UNA CUERDA TENSA

En lugar de permanecer en este marco de referencia, es ms conveniente elegir un marco de referencia inercial diferente que se mueva junto con el pulso con la misma rapidez que el pulso, de modo que el pulso est en reposo dentro del marco. Este cambio de marco de referencia se permite porque las leyes de Newton son vlidas en un marco estable o en uno que se mueva con velocidad constante. En el nuevo marco de referencia, todos los elementos de la cuerda se mueven hacia la izquierda, un elemento determinado inicialmente a la derecha del pulso se mueve hacia la izquierda,se eleva y sigue la forma del pulso, y luego contina movindose hacia la izquierda.El pequeo elemento de la cuerda de longitud s forma un arco aproximado de un crculo de radioR. En el marco de referencia mvil, el elemento sombreado se mueve hacia la izquierda con una rapidez . Este elemento tiene una aceleracin centrpeta igual a que la proporcionan loselementos de la fuerza cuya magnitud es la tensin en la cuerda. La fuerza acta a ambos lados del elemento y es tangente al arco. Las componentes horizontales de se cancelan y cada componente vertical acta radialmente hacia el centro del arco. Por eso, la fuerza radial total sobre el elemento es . Ya que el elemento es pequeo, es pequeo y por lo tanto se puede usar la aproximacin de ngulo pequeo . De este modo, la fuerza radial total es

El elemento tiene una masa Ya que el elemento forma parte de un crculo y subtiende a un ngulo 2 en el centro, y Al aplicar a este elemento la segunda ley de Newton en la direccin radial se obtiene

5.1. CLCULO DE LA RAPIDEZ DE UN PULSO EN UNA CUERDA

Un pulso es una onda de duracin relativamente corta que suponemos ser generada en un punto de la cuerda llamado foco. Supongamos una cuerda tensa, donde se genera un pulso propagndose de izquierda a derecha con velocidad v respecto a un sistema de referencia fijo X, Y(figura a) que en el instante t=0 est representado por la ecuacin. Supongamos un nuevo sistema coordenado X', Y' (figura b) que se mueve horizontalmente con la misma velocidad que el pulso.

En el nuevo sistema de referencia el pulso es estacionario, es decir, independiente del tiempo por tanto su ecuacin ser

Si congelamos la figura, podemos vincular en cualquier instante las coordenadas entre ambos sistemas, siendo el desplazamiento relativo:

Por tanto el desplazamiento de un punto de la cuerda en el sistema fijo y por ser igual al puede escribirse como:

El mismo razonamiento aplicado a un pulso si es que quisiramos representar a una onda que viajase hacia la izquierda tendramos que escribir la siguiente ecuacin:

5.2. POTENCIA Y ENERGA TRANSMITIDA EN UNA CUERDA TENSA

Sea una fuerza transversal:

La tensin en la cuerda es F; determina la tangente del ngulo formado por la direccin de F con la horizontal en el instante t en cuestin y, tomando en cuenta para desplazamientos pequeos, asumimos que esta cantidad es igual al seno del ngulo. La potencia consumida por la fuerza en x, o la energa que cruza por la posicin x por unidad de tiempo en la direccin positiva de x, es:

Suponga que la onda en la cuerda sinusoidal simple:

, donde es la amplitud de la cuerda sinusoidal

Entonces la magnitud de la pendiente en x es:

, donde t constante y la fuerza transversal es:

La velocidad transversal de una particular de la cuerda en x es:

, donde x es constante

Luego, la potencia transmitida a travs de la posicin x es:

6. ONDAS ESTACIONARIAS

Una onda estacionaria es un patrn de oscilacin con un contorno estacionario que resulta de la sobreposicin de dos ondas idnticas que viajan en direcciones opuestas

6.1. INTERPRETACIN DE LA ECUACION DE UNA ONDA ESTACIONARIA

Supongamos que tenemos dos bocinas una enfrente de otra y luego hacemos que emitan sonido a la misma frecuencia y amplitud. En esta situacin dos ondas idnticas viajan en direcciones opuestas en el mismo medio. Dichas ondas se combinan de acuerdo con el modelo de ondas en interferencia.Para esta situacin se consideran funciones de onda para dos ondas sinusoidales transversales que tengan la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajen en direcciones opuestas en el mismo medio:

Al sumar estas dos funciones da la funcin de onda resultante:

Usando la identidad trigonomtrica: . Obtenemos

Por tanto, la amplitud de la onda estacionaria es 2A, y la amplitud del movimiento armnico simple de cualquier partcula del medio vara de acuerdo con su posicin como 2A sen kx. Los puntos de amplitud cero (llamados nodos) ocurren en . Los puntos de amplitud mxima (llamados antinodos) ocurren en .

6.2. MODOS NORMALES DE VIBRACIN

Consideremos una cuerda tensa de longitud L que est fija en los dos extremos. Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas estacionarias mediante la superposicin de ondas incidentes y ondas reflejadas desde los extremos. Las ondas estacionarias en la cuerda vienen dadas por la expresin:

Dos nodos fijos son en los extremos de la cuerda, po lo tanto, para x = 0 y x = L :

En concecuencia, las longitudes de onda de los modos normales de vibracin, pueden expresarse de la siguiente forma:

Donde n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibracinEn contraste, un oscilador armnico, que slo tiene una partcula oscilante, tieneun solo modo normal y una sola frecuencia caracterstica. La cuerda fija en ambosextremos tiene un nmero infinito de modos normales, porque se compone de unnmero muy grande (efectivamente infinito) de partculas.

Otros sistemas oscilantesms complejos tambin tienen una infinidad de modos normales, aunque con patronesms complejos de modo normal que una cuerda

7. ONDAS SONORAS

Las ondas sonoras viajan a travs de cualquier medio material con una rapidez que dependede las propiedades del medio. A medida que las ondas sonoras viajan a travs del aire, loselementos del aire vibran para producir cambios en densidad y presin a lo largo de ladireccin del movimiento de la onda. Si la fuente de las ondas sonoras vibra sinusoidalmente,las variaciones de presin tambin son sinusoidales.Las ondas sonoras se dividen en tres categoras que cubren diferentes intervalos de frecuencia.1) Las ondas audibles se encuentran dentro del intervalo de sensibilidad del odo humano. 2) Las ondas infrasnicas tienen frecuencias por abajo delintervalo audible. 3) Las ondas ultrasnicas tienen frecuencias por arriba del alcance audible.

7.1. RAPIDEZ DE ONDAS SONORAS

La rapidez de las ondas sonoras en un medio depende de la compresibilidad y la densidaddel medio; si ste es un lquido o un gas y tiene un mdulo volumtrico B y densidad , la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es

7.2. INTENSIDAD, POTENCIA Y ENERGA DE LAS ONDAS SONORAS PERIDICAS

Consideremos un elemento de aire de masa y longitud enfrente de un pistn de rea A que oscila con una frecuencia . El pistn transmite energa a este elemento de aire enel tubo y la energa se propaga alejndose del pistn mediante la onda sonora. Para evaluar la rapidez de transferencia de energa en la onda sonora, evaluamos la energa cintica de este elemento de aire, que se somete a movimiento armnico simple. Podemos demostrar que la energa cintica en una longitud de onda de la onda sonora es

La energa potencial total para una longitud de onda tiene el mismo valor que la energa cintica total; por lo tanto, la energa mecnica total para una longitud de onda es

A medida que la onda sonora se mueve a travs del aire, esta cantidad de energa pasapor un punto determinado durante un periodo de oscilacin. Por tanto, la rapidez detransferencia de energa es

La intensidad I de una onda, se define como la rapidez a la cual la energa transportada por la onda se transfiere a travs de una unidad de rea A perpendicular a la direccin de viaje de la onda

BIBLIOGRAFIA

Serway. Fsica. Editorial McGraw-Hill (1992)Tipler P. A. Fsica. Editorial Revert (1994)Sears, Zemansky, Young. Fsica Universitaria. Editorial Fondo Educativo Interamericano (1986)