teoría - movimiento parabólico - circular
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Prof. Pedro Eche Querevalú
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5to de Secundaria
2012
Contenido Temático
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Evaluación
Bibliografía
Créditos
Presentación
Inicio
La circunferencia y parábolas son curvas que tienen una
gran importancia en la Física y se ajustan a la
descripción y a la representación matemática de
muchos fenómenos naturales.
Estas curvas tienen presencia e importancia en nuestra
vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o
no seamos conscientes de ello, tenemos muchas
circunferencias y parábolas a nuestro alrededor.
Hace poco se inauguró el parque de “Las aguas”, en el
parque de la reserva de nuestra ciudad de Lima, aquí
podemos observar como el agua producto de la
aplicación de una fuerza ejercida sobre ella, y la fuerza
gravitatoria forman hermosas figuras geométricas, entre
ellas apreciamos hermosas parábolas.
Presentación
Inicio
MOVIMIENTO PARABÓLICO
PARABÓLA
CARACTERISTICAS
MOVIMIENTO CIRCULAR
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES
ELEMENTOS MOVIMIENTO CIRCULAR
EJERCICIOS Y PROBLEMA
Contenido Temático
Inicio
MOVIMIENTO PARABÓLICO
La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un
movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Un MRU horizontal de velocidad VOx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial VOy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más
antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la
aceleración de la gravedad.
Ejemplos:
Cuando una pelota es lanzada horizontalmente sobre una mesa y sale fuera de está, el
movimiento que describe en el aire es curvilíneo.
Si lanzamos una pelota en forma oblicua (con determinado ángulo) por el aire, la
trayectoria que describe también es curvilínea, un estudio detallado nos llevará a la
conclusión que estas trayectorias corresponden a parábolas.
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Inicio
Composición del movimiento parabólico
Galileo demostró que este tipo de movimiento se puede considerar compuesto de:
1°) Un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección horizontal.
2°) Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección vertical, similar a un lanzamiento vertical con aceleración de gravedad "g".
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Inicio
MOVIMIENTO PARABÓLICO
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y = altura máxima
Vfymax = 0
VOy=VO.sen
v1x
v1y
VOx=VO.cos
vO
v1
vx
v2x
v2y v2
vOy
vOx
vR
Distancia horizontal recorrida
R = Vxtvuelo
y
x
-g
O
Inicio
MOVIMIENTO PARABÓLICO
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Inicio
MOVIMIENTO PARABÓLICO
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La existencia de la fuerza de la gravedad modifica la trayectoria.
Supongamos que disparamos con distintas inclinaciones respecto a la
horizontal. La citada fuerza actúa verticalmente hacia el centro de la tierra y
produce una aceleración constante de 9,81 m/s2. El resultado de la
composición de ambos movimientos es una trayectoria parabólica como la de
la imagen.
Inicio
También conocido como movimiento Semi-parabólico.
Imaginemos que lanzamos una pelota horizontalmente desde el borde de un edificio.
Observemos que la pelota se mueve simultáneamente en línea vertical y en línea
horizontal. Podemos estudiar este movimiento como la composición de dos
movimientos rectilíneos.
<<REGRESAR
X
V
0
h 0
Y
alcance
r
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Inicio
El cuerpo se mueve horizontalmente porque fue lanzado en esa dirección. Si
despreciamos los efectos del aire, la velocidad del lanzamiento horizontalmente no
tiene por qué alterarse, por lo tanto permanece constante.
Se concluye que:
“En la horizontal la pelota recorre distancias iguales en intervalos de tiempos
iguales”
En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU.
Oxx
x
vv
donde
tvx
1............. Donde:
x= desplazamiento
V =velocidad o rapidez
t = tiempo
Alcance.
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Inicio
En esta dirección, el cuerpo está en caída libre a partir del reposo; esto significa que:
“en la vertical la pelota cada segundo que cae recorre distancias cada vez más
grande”. Estas distancias siguen la serie propuesta por Galileo: 5 m, 15 m, 25 m …
En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones de la caída libre.
2
2
/8,9
:
2.........2
1
smg
donde
tgy
Donde:
g= aceleración de la gravedad
t = tiempo
Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la
trayectoria, que corresponde a un segmento de parábola.
2
2.
2x
V
gy
x
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Inicio
Propiamente el movimiento parabólico, llamado también tiro parabólico.
Imaginemos que lanzamos una pelota hacia arriba en forma oblicua. La trayectoria
que describe la pelota es una curva. Vamos a estudiar este movimiento como la
composición de dos movimientos rectilíneos, como lo hemos visto en el lanzamiento
horizontal.
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Inicio
El cuerpo se mueve horizontalmente porque la velocidad de lanzamiento tiene un
componente horizontal. Si despreciamos los efectos del aire, el componente
horizontal de la velocidad permanece constante, por lo tanto:
“En la componente horizontal la pelota recorre distancias iguales en tiempos
iguales”
En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU.
)1.......(.tvx xDonde:
Vx = VOx .cos (velocidad
horizontal) es el componente
horizontal de la velocidad inicial de
lanzamiento.
Alcance.
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Inicio
En esta dirección, el componente vertical de la velocidad está afectado por la
aceleración gravitatoria, por lo tanto:
En la componente vertical la pelota realiza un MRUV retardado en la subida y
un MRUV acelerado en la caída, independientemente de su avance horizontal.
En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones del MRUV.
...
/8,9
:
)2.......(.2
1.
2
2
senVV
smg
donde
tgtVy
OyOy
Oy
(velocidad vertical) es el componente vertical de la velocidad
inicial del lanzamiento
Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la
trayectoria, que corresponde a una parábola completa.
2
22.
cos2.tan x
V
gxy
O
Inicio
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante
de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una
recta (llamada eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
Partes:
Inicio
1.- Una pelota es pateada desde el suelo lanzándola con una velocidad de 20 m/s formando 53° con respecto a la horizontal. Calcula su posición y velocidad luego de 3s.
RESOLUCIÓN:
EJEMPLO:
1.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial.
smsensmV
smsmV
iy
ix
/16)5
4).(20(53)/20(
/12)5
3).(20(53cos)/20(
2.- Calculamos la posición luego de 3 s.
my
ssmssmy
tgtVy
mssmtVx
iy
ix
9,3
)3)(/8,9(2
1)3)(/16(
2
1.
36)3)(/12(.
22
2
3.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial luego de 3 s.
smV
ssmsmV
tgVV
smVV
y
y
iyy
ixx
/4,13
)3)(/8.9()/16(
.
/12
3
23
3
3
4.- Calculamos el valor de la velocidad resultante luego de 3 s.
smV
V
/18
)4,13()12(
3
223
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Inicio
2.- Desde una mesa de 1,6 m de alto se lanza una moneda con una velocidad horizontal de 7 m/s. Calcula el tiempo que demora en caer y la distancia horizontal que recorre desde el filo de la mesa.
RESOLUCIÓN
Datos
2/8,9
/7
6,1
smg
smV
my
x
sttsmmtgy7
4)/8,9(
2
16,1.
2
1 222
1.- Calculamos el tiempo de caída 2.- Calculamos la distancia horizontal
mxssmxtVxx
4)7
4)(/7(.
Rpta.- El tiempo que demora em caer es 4/7 s y la distancia que recorre (alcance) la moneda es +4m
EJEMPLO:
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR En la figura se muestra el movimiento giratorio de la rueda de Chicago. Si tomamos un punto cualquiera de la rueda, observamos que describe una trayectoria circunferencial, por lo que decimos que realiza un movimiento circular. En nuestra vida diaria muchos objetos se mueven circularmente: las aspas de un ventilador, las manecillas del reloj, un CD Rom, las ruedas de los autos, de las bicicletas, y muchos otros objetos.
Entonces definimos Movimiento circular como aquél realizado en un plano por un móvil cuya trayectoria es una circunferencia.
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS
“Es todo cuerpo que describe el movimiento”
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS
Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS
“Es la porción de la trayectoria circular generada por el movimiento del móvil en un intervalo de tiempo”
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS
“Es el ángulo central generado por el movimiento del móvil en un cierto intervalo de tiempo”
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Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) “Es aquel movimiento realizado en un plano donde el móvil describe una circunferencia pero su rapidez permanece constante”
Cuando un móvil gira con una rapidez angular constante, decimos que el movimiento que describe es circular uniforme. En este movimiento la rapidez angular media es igual que la rapidez angular instantánea , por lo tanto se cumple:
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m
t
Donde:
Posición angular
Velocidad angular
Tiempo t
Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME(MCU)
Se denomina rapidez angular media al cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo (t) empleado en su giro.
En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo . El móvil se habrá desplazado en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.
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En el SI de unidades la rapidez angular se mide en radianes por segundo (rad/s)
m
tm
'
Inicio
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES
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rat
r
t
vrv
mmmm.
..
rvt
r
t
LrL
mm.
..
Donde:
Desplazamiento angular
Rapidez angular
Rapidez lineal v
Aceleración angular
Tiempo t
Longitud de arco L
Radio r
En el movimiento circular, el desplazamiento angular está relacionado con la
longitud de arco L que recorre el móvil. Entonces podemos relacionar la rapidez
angular con la rapidez lineal o tangencial “v” y la aceleración angular con la
aceleración lineal o tangencial “a”
Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
Cuando un móvil gira con una aceleración angular constante, es decir, cuando su rapidez angular cambia uniformemente con el tiempo, decimos que el movimiento que describe es circular uniformemente variado. En este movimiento la aceleración angular media es igual que la aceleración instantánea . Las ecuaciones en este movimiento son muy similares a las que hemos visto en el MRUV.
CONTINUA>>
m
t
tt
t
i
i
i
i
.2
.2
1.
.2
.
2
22
Donde:
Posición angular
Velocidad angular
Aceleración angular
Tiempo t
Inicio
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
Durante el movimiento circular del cuerpo, la rapidez angular media puede variar con el tiempo, es decir, el cuerpo puede ir incrementando o disminuyendo su rapidez de giro; este cambio se mide con la aceleración angular media.
Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado w=w' - w en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.
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t
Inicio
3.-Un péndulo cónico, como muestra en la figura, tiene una esfera que gira con rapidez angular constante. Calcular la rapidez angular si se sabe que la esfera da 10 vueltas en 20 s.
Resolución:
= Posición angular
T= 20 s.
Calculamos la rapidez angular
t
EJEMPLO:
s
rad
20
)2(10
srad /14.3Rpta.- La rapidez angular es
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Inicio
4.- Una rueda de 2 m de diámetro gira con rapidez angular de 12 rad/s. ¿Cuánto ha recorrido la rueda en 10 s?
EJEMPLO:
Resolución:
El recorrido longitudinal de la rueda es igual a la longitud del arco recorrido por
un punto de su periferia.
Diámetro d = 2r 2 = 2 r r = 1 m
mL
mssradL
rtrL
120
)1)(10)(/12(
...
Rpta.- La rueda ha recorrido 120 m
rtL ..
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Inicio
5.- Un disco compacto acelera desde el reposo con una aceleración angular =6rad/s2. Calcula la longitud (en km) que habrá recorrido un punto de la periferia del disco de radio 6 cm, durante 10 minutos.
EJEMPLO:
Resolución:
1.- Calculamos el desplazamiento angular
rad
ssrad
tti
1080000
600/62
1
.2
1.
22
2
2.- Calculamos la longitud de arco L:
kmL
mL
mradL
rL
8,64
64800
)06,0)(1080000(
.
Rpta.- La longitud que ha recorrido el disco es 64,8 km.
Inicio
Actividades interactivas
Recursos
Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas
lúdicas
Inicio
Créditos Concepto movimiento parabólico
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabo
lico.htm
Movimiento parabólico
http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/leccion6/6.1.htm
Movimiento de proyectiles
http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm
Movimiento de proyectiles simulador aplle
http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Tiro/Tiro.htm
Movimiento parabólico (simulador)
http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_newton/html7/tiro_parabolico.htm
Movimiento circular
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm
Simulador Movimiento circular uniforme
http://www.walter-fendt.de/ph14s/circmotion_s.htm
Imagen de rueda
http://fotos.diariosur.es/200907/movimiento_circular-640x640x80-1.jpg
Movimiento circular: MCU – MCUV
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular/circular.xhtml
Simulador MCU
http://www.aprendebrasil.com.br/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm/
CACM/popcacm_esp.asp?URL=/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm
/Esp/sco010/index.htm?e=27&q=1&d=1
Ejemplo MCU: el ventilador
http://www.educ.ar/educar/site/educar/Gira,%20gira%20el%20ventilador.html?
uri=urn:kbee:4c809710-360e-11dc-81e7-00163e000024&page-
uri=urn:kbee:ff9221c0-13a9-11dc-b8c4-0013d43e5fae
Imagen paseo de aguas
http://www.miguelparedesharo.com/wp-content/uploads/2009/10/c6.jpg
Imagen de paseo de aguas 2
http://img.webdelanovia.com/wp-
content/uploads/2008/03/Circuito%20magico%20de%20las%20aguas%20Parque%20de%20la
%20Reserva%204.JPG
Pendiente
http://www.educaplus.org/movi/3_1pendiente.html
Ciencia Tecnología y Ambiente 5
Manual del docente
Editorial Santillana.