Teoria generalizzata Teoria generalizzata

degli strumenti di misuradegli strumenti di misuraParte terzaParte terza

ANALISI DEI SISTEMI DI MISURAANALISI DEI SISTEMI DI MISURA

•Elementi a due porte o quadripolariElementi a due porte o quadripolari

•Valutazione degli errori per effetto di Valutazione degli errori per effetto di caricocarico

•Effetto di carico nel collegamento in Effetto di carico nel collegamento in cascata di più quadripolicascata di più quadripoli

•Riduzione di schemi a blocchiRiduzione di schemi a blocchi

•Grandezze di disturbo e riduzione dei Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effettiloro effetti

ELEMENTI A DUE PORTE O ELEMENTI A DUE PORTE O QUADRIPOLARIQUADRIPOLARI

T1

T4

T5T3T1 T2

Il quadripolo si può considerare costituito da un insieme di bipoli passivi collegati da una rete di interconnessioni, comunque complessa, e accessibile all'esterno mediante due terminali di ingresso e due di uscita

Elementi quadripolari

La rappresentazione più usata è quella in cui gli elementi sono caratterizzati dalla loro impedenza

PPi

Si

u

Su

S = Z P + Z P

S = Z P + Z P i 11 i 12 u

u 21 i 22 u

S Z P

Esprimendo le variabili di sforzo in funzione di quelle di portata si ha:

ovvero in forma sintetica:

Esplicitando le variabili di portata:

Oppure quelle di uscita rispetto a quelle d’ingresso:

P = Y S + Y S

P = Y S + Y S i 11 i 12 u

u 21 i 22 u

P Y S

S = C S + C P

P = C S + C P

u 11 i 12 i

u 21 i 22 i

Il significato dei termini della matrice delle impedenze:

Z S

P ; Z

S

P

Z SP

; Z SP

11i

i Pu=012

i

u Pi=0

21u

i Pu=022

u

u Pi=0

Nei sistemi lineari senza alcun generatore interno, vale il principio di reciprocità:

La matrice delle impedenze è dunque definita da tre parametri idipendenti.

e quindi:

S

P =

SP

i

u Pi=0

u

i Pu=0

Z Z12 21

Quadripolo a T

Z3

Z1 Z2

Z Z + Z

Z Z

Z Z + Z

11 1 3

12 3

22 2 3

Quadripolo a

Z3Z1

Z2

ZZ Z Z

Z + Z + Z

ZZ Z

Z + Z + Z

ZZ Z Z

Z + Z + Z

111 2 3

1 2 3

121 3

1 2 3

223 2 1

1 2 3

( )

( )

Quadripolo meccanico:

V

K1 K 2

KC1 C2

C

M 1 M 2

F2V 21 F1

Quadripolo meccanico:

K1 K 2

KC1 C2

C

M 1 M2

F2V2V1 F1

Z1

ZZ2

Schema ad impedenze

Z

Z21ZF

V

F V

1

1 2

2

K1

C2C1

M1

C

K K2

M2

F1 ,V1 F2 ,V2

usando le relazioni per lo schema a si ottiene la matrice delle impedenze:

Zi

M i C K1 2

1 1 1

Zi

M i C K2 2

2 2 2

Zi

i C K

V

V

Z Z

Z Z

F

F1

2

11 12

21 22

1

2

Z ZZ Z

Z Z Z12 212 1

1 2

ZZ Z Z

Z Z Z111 2

1 2

( )

ZZ Z Z

Z Z Z222 1

1 2

( )

Operando con impedenze di tipo meccanico si ricava la matrice delle impedenze meccaniche, che coincide con le ammettenze generalizzate:

F

F

Z Z

Z Z

V

V

1

2

11 12

21 22

1

2

Z F per V e V

Z F per V e V

Z F per V e V

11 1 1 2

12 2 1 2

22 2 1 2

1 0

1 0

0 1

( ) ,

( ) ,

( ) ,

K1

C1

M1

C

K

F1 ,V1 F2

V2 = 0

C2

C

K K2

M2

F1 F2 ,V2

V1 =0

Schema per il calcolo di Z11

K1

C1

M1

C

K

F1 ,V1 F2

V2 = 0

Z11= -i[(K+K1)/]+C1+C+ iM1

L'impedenza Z21 si ottiene invece come forza agente all'estremo "2" nella stessa condizione:

Z21=-iK/+C+iM1

K1

C1

M1

C

K

F1 ,V1 F2

V2 = 0

2

L'impedenza Z22 si ottiene bloccando l'estremo 1, (V1=0) pertanto lo schema equivalente è :

l'impedenza risulta dal parallelo delle impedenze meccaniche ed é pari a:

Z22= -i[(K+K2)/]+C2+C+iM2.

C2

C

K K2

M2

F1 F2 ,V2

V1 =0

In conclusione la matrice delle impedenze meccaniche è:

La matrice delle impedenze meccaniche è l’inversa della matrice delle impedenze generalizzate.

C

C

C C

C C

Valutazione degli errori per Valutazione degli errori per effetto di caricoeffetto di carico

QUADRO RIASSUNTIVO PER IL CASO STATICO

Per misure di grandezze statiche si fa riferimento all’energia e alla cedevolezza e rigidezza generalizzate

= -1

1 + C

C

u

g

es = -

1

1 + K

K

u

g

ep

m

Fk1 k2 A

B A

Kg

Km

Fgm B AF

km

k1

k2

x0

la rigidezza equivalente K vista dai morsetti di inserzione risulta dalla serie delle rigidezze K1 e K2

=-

1

1 + K

K

= -1

1 +

= -Ku

g

m

K K

K K K K1 2

1 2 1 2Km

+ +( )

KC K K

K K

gg

= = + =1 2

1 2

K K

K K+1 2

1 2

1 1

K K

K K2+1 2

1

Assumendo i seguenti valori numerici :

si ottiene = -0.038 ovvero pari a -3.8%

Nell’esempio il calcolo dell’effetto di carico permette la correzione a posteriori di dati di misura.

K kN mm = 60 /

K kN m= 4 001 . /

K kN m= 6 002 . /

Problema inverso:fissato il limite superiore all’effetto di carico si scelgono le impedenze degli strumenti in modo che l’effetto di carico sia trascurabile.

B Ak

1 C

dinamometro

C1

C2

m1

F

k2

km

B Akm

k1

k2

C

dinamometro

C1 C2

m1

F

Z2

Z1

Che va risolta rispetto a km

iZ

i c K m

Zi

i c K

11 1

21

22 2

Z Z Z

Zi

k

g

um

1 2

= -1

1 + Z

Z

-1

1 + Z

Zg

u

g

u

0 01.

L’effetto di inserzione dipende dalla frequenza.

Per il sistema precedente, assunti K1=K2=100 N/m, C1=C2=0.1 kg/s m=0.01 kg si ottiene l’andamento per Kd=K1 e Kd=10K1:

2

0.1 1 10 100 1 103

1 104

0

0.5

1

1.5

10

Effetto di carico nel Effetto di carico nel collegamento in cascata di più collegamento in cascata di più

quadripoliquadripoli

T1

T4

T5T3T1 T2

Si vuole analizzare l’effetto di carico in una rete qualsiasi

collegamento in cascata

P1

S1 S2

P3

S3

P 4

S4

P4P2

Perchè il quadripolo a valle non induca effetto di carico deve essere Pu2 = 0, ovvero Zu1<< Zi2 se il segnale è una variabile di sforzo.

Zu1 Zi2

L’accoppiamento di più trasduttori in generale porta alla scrittura di un sistema di equazioni:

S

1 1 1

1 2

1 2

2 2 2

S Z PP P

S SZ P

u i

u i

La relazione ingresso-ucita è una caratteristica del solo quadripolo

Perchè sia accettabile l’ipotesi di effetto di carico nullo, nel caso di variabili di sforzo, deve essere:

S Z P

S Z PS

S

Z

Zi i

u i

u

i

11

12

12

11

Z Zu n i n 1

La relazione ingresso-uscita globale per una rete di quadripoli si ottiene in modo relativamente semplice, in questo caso, con l’algebra degli schemi a blocchi

Riduzione di schemi a Riduzione di schemi a blocchiblocchi

Analisi funzionale:

Strumento = complesso di trasduttori elementari

Analisi del flusso di energia:

determinazione della relazione ingresso-uscita per i trasduttori.

Tramite l’algebra degli schemi a blocchi, si ricava la caratteristica globale dello strumento come risultante del contributo di ciascun componente.

Gli elementi fondamentali degli schemi a blocchi sono:

Blocco di elaborazione

Giunzione sommante

Derivazione

KGi Gu=KGi

+

+

G1

G2

G1 + G2

G1

G1

G1

Blocchi spostamento di un punto di prelievo segnale

Blocchi in serie

Blocchi in parallelo

K1K2

K1

K2

+

+ K1K2

g i g u

g i

g ug i gu

Kg i g u

g u

K

K

g ig u

g u

K1 2

g i g u

K

Spostamento di una giunzione somma a monte.

Spostamento di una giunzione somma a valle.

Kg i gu

gd

+

+ g gKi u

gd1/K

+

+

Kg i g u

g d

+

+ Kg i

g u+

+

gdK

retroazione positiva

retroazione negativa

Kg i gu

K2

+

+ K/(1-KK2)g i

g u

K/(1+K K2)g i

g uKg i gu

K2

+

-

Eliminazione di un anello di retroazione:

+

+1+5 i

-10 i10(1+0.1i )

riduzione blocchi in serie

Schema originario

(1+0.1i ) +

+1+5 i

-10 i10

-10 i1-(10 i) (1 5i )

10 (10.1 i )

100 1 01

1 10 1 5i i

i i

( . )

( )( )

riduzione della retroazione

forma finale.

Grandezze di disturbo e Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effettiriduzione dei loro effetti

Ingressi di disturbo Il trasduttore elementare può essere

sensibile a ingressi non desiderati.

L’uscita dipende da altre grandezze oltre che da quella da misurare:

SENSOREgi

gu

gd

gd

le grandezze di disturbo vengono suddivise in due categorie interferenti e modificanti:

a) grandezze di disturbo interferenti, con carattere additivosull’uscita.

g

K

Kd

gi gu

gd

++

Kg K gu i d d

b) grandezze di disturbo modificanti, con carattere moltiplicativoper la sensibilità.

gKd

gu

gd

i

1 K(1+Kd gd)K

g g K K gu i d d ( )1

Criteri per la riduzione degli errori dovuti ad ingressi di disturbo, in generale:

-buona progettazione,-correzione degli effetti indesiderati a posteriori

Effetti interferenti:-Filtraggio-Compensazione

Effetti modificanti:-Schermatura-Retroazione ad alto guadagno.

Filtraggio in frequenza:

ft f

Modulo

Modulo

f

Modulo disturbo

f

Filtro Passa Basso

segnale segnale filtrato

Compensazione

K

Kd

gi gu

gd

++

Kd

gd

-

Compensazione, ponte di Wheatstone

R

R

V

FF

Estensimetro dicomprensazione

Estensimetroattivo

T

T

V ER

R

R

R

R

RE

R

R

e t t e 0 0( )

Sovrapressionedovuta allo stelo

Pressionedovutaalla testa

P

x

Pressione diristagno

Pressionestatica

Posizione dell a presa dipressione statica

Pressionerisultante

V

V2 = K( Pr-Ps)

Retroazione ad alto guadagno:

K1g i K2

Kd1

gd1 gd2

Kd2

g u

g

g

u

i= K K1 2 = K1(1+ Kd1gd1) K2(1+ Kd2gd2)

Retroazione ad alto guadagno:

K1

Kr

gi gu-

+ K2 K3

Kd1

gd gd gd

Kd3Kd2

g

g

K K K

K K K K

K K K

K K K K Ku

i r r r

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 31

1

ANALISI DEI SISTEMI DI MISURAANALISI DEI SISTEMI DI MISURA

•Elementi a due porte o quadripolariElementi a due porte o quadripolari

•Valutazione degli errori per effetto di Valutazione degli errori per effetto di caricocarico

•Effetto di carico nel collegamento in Effetto di carico nel collegamento in cascata di più quadripolicascata di più quadripoli

•Riduzione di schemi a blocchiRiduzione di schemi a blocchi

•Grandezze di disturbo e riduzione dei Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effettiloro effetti

Esempio: effetti modificanti e interferenti della temperatura su un dinamometro ad estensimetri elettrici

T

T

T

T0

sensibilità nominale Sa

forza applicata, F

+

+

+

+

+

-

Sa+t

R/R

Se la variazione di temperatura è di 2°C e:

Sensibilità del dinamometro

sensibilità alla temperatura

coefficiente modificante

La variazione di resistenza:

SN

a 2 10 7

2 10 5

C

6 10 10 N C

R

RS T F Ta

Nel caso di una forza di 2000N si ottiene:

Se non si tiene conto dell’effetto della temperatura la misura di forza sarà :

R

RTi 2 10 2 4 10

5 5

SN

m 2 10 6 10 2 2 012 10

7 10 7,

F

R

R

S

R

R

S

S F

SNm

t

a

i

a

m

a

200 2012 2212