Teoria câmpului electromagnetic

CAPITOLUL 1 Introducere. Obiective. Scurt Istoric

1. Introducere. Obiective

Cursul de faţă este dedicat studenţilor din cadrul Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, specializarea Electromecanică, a cărei programă analitică prevede disciplina TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC şi reprezintă partea referitoare la câmpul electromagnetic din cadrul cursului de BAZELE ELECTROTEHNICII. Acesta poate fi utilizat, de asemenea, în mod selectiv, de studenţii de la specializarea Electromecanică Navală; tot în mod selectiv, manualul poate fi utilizat şi de studenţii de la specializările Navigaţie şi Exploatări portuare, care studiază disciplinele „Electrotehnică şi Maşini Electrice”, respectiv - „Electrotehnică Generală”.

Problema dificilă care a stat în faţa autorului a constatat în cuprinderea problematicii de bază a domeniului într-un număr de cursuri relativ limitat, astfel încât să poată fi asigurată o bază de studiu temeinică pentru numărul important de discipline de profil electric care se studiază în anii următori.

În cadrul acestui capitol introductiv se face o prezentare a întregului suport de curs/manual de BAZELE ELECTROTEHNICII, problemele tratate în cursul de faţă neputând să fie să fie rupte de problematica primei părţi – TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE. Pentru o bună înţelegere a fenomenelor abordate, capitolul 1 a fost dedicat axiomaticii disciplinei, respectiv prezentării principalelor legi ale Electrotehnicii şi a mărimilor de stare, adâncirea studiului acestora la nivelul tehnic necesar fiind făcută în cadrul regimurilor electromagnetice corespunzătoare.

În cele 7 capitole ale manualului se acoperă principalele elemente teoretice necesare pregătirii inginereşti a specialiştilor cu profilele menţionate mai înainte, un accent deosebit fiind pus pe interpretarea fizică a fenomenelor care sunt în spatele formulelor.

Aşa cum s-a arătat, în cadrul versiunii de faţă autorul a pus un accent deosebit pe înţelegerea fenomenelor fizice, pentru o mai uşoară asimilare a disciplinelor de profil electric şi electronic din anii următori, dar şi în scopul de a-l ajuta pe viitorul specialist să înţeleagă mai bine problemele cu care se confrunta în practică.

Ţinând seama de apariţia şi dezvoltarea impetuoasă, la începutul anilor ’70, a noului domeniu - Compatibilitate Electromagnetică, în cadrul capitolului 7 se face o scurtă introducere în acest domeniu, cei interesaţi putând a-şi completa documentarea din alte lucrări de specialitate, cum ar fi, de exemplu, titlurile [16] şi [17] din lista bibliografică); scopul acestei introduceri fiind acela de a oferi viitorilor specialişti un minim de cunoştinţe referitoare la acest domeniu interdisciplinar, de maximă actualitate, cu implicaţii majore în electronică, comunicaţii, mecatronică, tehnică de calcul, dar şi în electrotehnică, energetică, armament, sau în sănătatea organismului uman.

Ca menţiune specială precizăm că pentru redactarea subcapitolului 1.3 Scurt istoric. Contribuţii româneşti. Preocupări actuale, s-au utilizat, cu precădere, informaţii din lucrările Lecţii de Bazele Electrotehnicii, autori: Timotin, A., Hortopan, V., Ifrim, A., Preda, M., , Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970; Teoria modernă a câmpului electromagnetic şi aplicaţii, autori: Gavrilă, H., Centea, O., Editura All, Bucureşti, 1998; A doua revoluţie industrială. Microelectronica, automatica, informatica – factori determinanţi, autor Drăgănescu, M., Editura Tehnică, Bucureşti, 1980, Istoria electronicii şi

1

radiocomunicaţiilor în Romania (până la 1940), autor Teodorescu, H. N., Editura AIT Laboratories S.R.L., Bucureşti, 1997.

Manualul acoperă cerinţele de bază din domeniul Electrotehnicii, necesare înţelegerii fenomenelor specifice funcţionării şi exploatării echipamentelor şi instalaţiilor electrice navale şi portuare şi are ca obiect studiul fenomenelor electrice, magnetice şi electromagnetice din punct de vedere al aplicaţiilor tehnice (inginereşti) ale acestora - şi se bazează pe teoria macroscopică fenomenologică, fundamentată prin lucrările lui J.C. Maxwell şi H. Hertz. Mai concret, Electrotehnica desemnează acea ramură a tehnicii care asigură bazele teoretice ale proiectării, fabricării şi exploatării aparatelor, echipamentelor şi instalaţiilor electrice. Această teorie face abstracţie de structura microscopică a sistemelor fizice studiate, considerând corpurile ca fiind medii continue, macroscopice şi are un caracter fenomenologic deoarece studiază stările sistemelor fizice şi evoluţia lor în timp numai din punctul de vedere al fenomenelor care se produc, acordând acestora rolul principal în stabilirea legilor şi introducerea mărimilor fizice.

Sunt prezentate şi analizate elementele fundamentale de teoria câmpului electromagnetice şi teoria circuitelor electrice, în diferite regimuri de funcţionare (static, staţionar şi cvasistaţionar, variabil), precum şi implicaţiile acestora în practica inginerească.

Importanţa disciplinei este dată de gradul înalt de utilizare a energiei electrice în toate domeniile de activitate, aşa cum s-a arătat în subcapitolul 1.1., de asemenea - de posibilităţile nebănuite de conexiune ale domeniului Electrotehnicii cu alte domenii ale stiinţei, conducând la apariţia, în ultimii ani, a tot mai multe domenii interdisciplinare (cum sunt, de pildă, Electrochimia sau Compatibilitatea Electromagnetică).

Apreciindu-se rolul deosebit de important al instruirii asistate de calculator a viitorilor specialişti, a fost elaborat şi un manual de Sinteze şi teste, cu facilităţi de lucru interactiv şi nivele de dificultate graduală, care poate fi utilizat pentru fixarea şi aprofundarea cunoştinţelor de Electrotehnică.

Exemplele prezentate în prezentul manual au fost alese în scopul de a face mai accesibile metodele utilizate pentru rezolvarea problemelor.

Utilizarea energiei electrice în majoritatea domeniilor de activitate, precum şi diseminarea aplicaţiilor având la bază fenomenele electromagnetice într-o varietate extrem de largă au la bază calităţile deosebite ale acestui tip de energie şi anume:

transmiterea practic instantanee la distanţe oricât de mari, cu pierderi minime; distribuirea uşoară la utilizatori cu ajutorul reţelelor electrice; asigurarea unui număr nelimitat de funcţii - utilizator cu ajutorul circuitelor şi dispozitivelor specializate; calitatea de „resursă curată” din punct de vedere ecologic.Într-o caracterizare foarte generală, aplicaţiile Electrotehnicii (actual – Ingineria

Electrică) - domeniu care are ca obiect studiul sub raport tehnic/ingineresc al fenomenelor electromagnetice în scopul proiectării, fabricaţiei, exploatării, întreţinerii şi modernizării aparatelor, echipamentelor şi instalaţiilor electrice - pot fi împărţite în două categorii:

1. aplicaţii în curenţi tari – care vizează producerea, transmiterea, distribuţia şi utilizarea energiei electrice în instalaţiile de forţă şi iluminat;

2. aplicaţii în curenţi slabi – referitoare la comanda/telecomanda, controlul, protecţia măsurarea şi semnalizarea funcţionării instalaţiilor electrice.

Cele două tipuri de aplicaţii se regăsesc în mod obişnuit împreună în instalaţii, inclusiv pe nave, iar înţelegerea funcţionării unor astfel de instalaţii presupune înţelegerea fenomenelor electromagnetice care le guvernează.Prezentarea, interpretarea şi analizarea acestor fenomene din punct de vedere al aplicaţiilor lor inginereşti (domeniul Ingineriei Electrice) constituie obiectul cursului de faţă.

2

Scurt istoric

Unele fenomene de natură electrică şi magnetică au fost observate încă din antichitate. Astfel, electrizarea prin frecare a chihlimbarului („electron” – în limba greacă) a fost descrisă de Thales din Milet, în secolul VI î.e.n., iar magnetismul natural al oxidului de fier (magnetita) era cunoscut mai înainte, în Asia Mică. Studiul acestor fenomene s-a făcut, însă, mult mai târziu, în raport cu fenomenele mecanice, termice sau optice. Astfel, în Evul Mediu nu se poate vorbi decât de utilizarea busolei în navigaţie şi de constatarea că orice parte a unui magnet este tot un magnet.

Prima lucrare referitoare la electricitate şi magnetism apare însă abia în anul 1600.Este vorba de lucrarea „De magnete” („Despre magneţi”), al cărei autor a fost medicul

şi fizicianul englez W. Gilbert, cel care a pus bazele studiului experimental al fenomenelor electrice şi magnetice. Gilbert a introdus termenul electricitate, a studiat magnetismul terestru şi a observat, primul, că fierul încălzit la roşu îşi pierde proprietăţile magnetice.

Prima maşină de electrizare prin frecare este realizată de Otto von Guericke, la începutul sec. 18, iar, în 1731, Stephen Gray observă diferenţa dintre corpurile conductoare şi cele izolante. În 1745 este realizat primul condensator electric, sub forma buteliei de Leyda, explicarea acestuia fiind făcută de B. Franklin.

Tot în prima jumătate a secolului al XVIII –lea, americanul B. Franklin stabileşte natura electrică a descărcărilor atmosferice, inventează paratrăznetul (1752) şi introduce termenii electricitate pozitivă şi negativă. Se poate aprecia că lui i se datorează prima teorie unitară a electricităţii, bazată pe cunoştinţele de până atunci.

În 1778, Anton Brugmans descoperă diamagnetismul, descoperire care va rămâne mult timp uitată ca şi pierderea magnetismului fierului încălzit la roşu.În anul 1785, francezul Ch. - A. Columb stabileşte relaţiile de interacţiune dintre particulele încărcate cu electricitate şi, prin analogie, între polii magneţilor permanenţi, putând fi considerat, prin acestea, ca părinte al electrostaticii şi magnetostaticii. De menţionat că introducerea unităţii de măsură pentru sarcina electrică i se datorează lui Gauss.Descoperirea lui Coulomb avea să stimuleze dezvoltarea unui instrument matematic de mare utilitate în Electrotehnică - prin S. D. Poisson, G.Green şi C.F.Gauss – teoria potenţialului.

Acţiunea fiziologică a curentului electric (contracţia muşchilor unei broaşte la atingerea cu un cleşte realizat din două metale diferite) a fost experimentată de medicul italian Luigi Galvani, în anul 1792. Se descoperea astfel primul element galvanic, în care piciorul broaştei era simultan electrolit şi detector de curent. Tot lui i se datorează descoperirea potenţialelor de electrod care apar la contactul dintre un metal şi un electrolit, numite potenţiale galvanice (de exemplu, la contactul dintre un electrod de Cu sau Zn şi o soluţie slab acidă de H2SO4).

Italianul Alessandro Volta arata, în 1796, că într-un lanţ închis, format din conductoare metalice (de prima speţă) şi un conductor electrolitic (de speţa a doua) circulă curent electric, descoperind astfel curentul electric de conducţie şi prima sursă de curent - pila galvanică (1800). Acesteia i-a dat numele în cinstea descoperitorului potenţialelor galvanice, conaţionalul său, Luigi Galvani. Este vorba despre pila electrică pe principiul căreia funcţionează bateriile electrice bine-cunoscute. Tot Volta a pus în evidenţă diferenţele de potenţial care apar în mod natural la contactul dintre două metale diferite (şi care duc, cu timpul, la degradarea acestor metale în zona de contact), cunoscute sub numele de potenţiale Volta. În acelaşi timp, el a observat că într-un lanţ închis, format din metale diferite, aflate în aceleaşi condiţii fizice (de temperatură, presiune, umiditate etc.), nu circulă curent electric, deoarece se stabileşte un echilibru electric, care constă în egalizarea potenţialelor Volta.

3

În anul 1821, T.J. Seebeck observă că se poate obţine un curent electric şi într-un astfel de lanţ, dacă sudurile sunt supuse la temperaturi diferite.

Fenomenul de electroliză este descoperit, în anul 1797, de A. von Humboldt, iar în 1807, H. Davy reuşeşte să obţină separarea galvanică a metalelor alcaline, pregătind calea pentru descoperirea, în 1834, a legilor electrolizei, de către M. Faraday.

În 1887, S. Arrhenius emite celebra teorie a disociaţiei electrolitice, iar în 1889, W. Nernst explică natura t.e.m. imprimate.

Prima descoperire în domeniul electromagnetismului a fost făcută de fizicianul danez H. Oersted, în 1820, prin punerea în evidenţă a interacţiunii dintre un ac magnetic şi un conductor parcurs de curent electric. Este deosebit de important acest moment în evoluţia Electrotehnicii pentru faptul că pentru prima dată s-a evidenţiat că fenomenele electrice şi magnetice nu sunt distincte, ci într-o strânsă interacţiune. Astfel, primul electromagnet este realizat de către D. Arago şi Gay-Lussac, în anul 1820.

Tot în acelaşi an, fizicianul francez A. M. Ampere descoperă forţele electrodinamice dintre două conductoare parcurse de curenţi electrici de conducţie. Tot el stabileşte regula privitoare la sensul câmpului magnetic asociat curenţilor electrici şi enunţă teorema care-i poartă numele şi care constituie o particularizare a legii circuitului magnetic pentru curenţi staţionari. În 1821-1822, emite celebra ipoteză cu privire la cauza magnetismului, care constă în curenţii moleculari, conţinuţi în anumite domenii microscopice (ipoteză bazată pe analogia dintre câmpul magnetic al unui magnet permanent şi cel al unui solenoid parcurs de curent).

În acelaşi an, J. Biot, F. Savart şi P. Laplace studiază acţiunea unui câmp magnetic asupra unui conductor filiform parcurs de curent, situat la o distanţă comparabilă cu raza medie geometrică a circuitului, stabilind relaţia ce le poartă numele.

Anul 1826 este un an de referinţă pentru teoria circuitelor electrice, fiind anul în care Georg Simon Ohm descoperă legea care îi poartă numele: legea legăturii dintre tensiunea electrică (U) şi intensitatea curentului electric (I) pentru o porţiune de circuit neramificată şi pasivă.

În anul 1847, G.R. Kirchhoff, fizician german ca şi Ohm, stabileşte teoremele referitoare la circulaţia curenţilor electrici în circuitele ramificate.

Anul 1831 este un an de referinţă pentru domeniul electromagnetismului. Este anul în care englezul Michael Faraday descoperă legea inducţiei electromagnetice şi introduce noţiunea câmp+), noţiune care a permis explorarea corectă, în continuare, a fenomenelor electrice şi magnetice în stânsă interdependenţă; regula pentru determinarea sensului curentului indus fiind dată de E. H. Lenz, în anul 1833. În aceeaşi perioadă, Faraday emite ideea că fenomenele electromagnetice se transmit din aproape în aproape prin spaţiul/mediul dintre corpuri care devine, în acest caz, sediul câmpului electromagnetic, concept fundamental pentru apariţia şi dezvoltarea teoriei macroscopice fenomenologice a electromagnetismului (Maxwell). Tot Faraday formulează relaţiile cantitative ale legii electrolizei (1834). În anul 1843, J. P. Joule descoperă, împreună cu E. Lenz, legea efectelor electrocalorice (efecte calorice ale curentului electric).

Acumulatorul cu plumb – prima pilă electrică reversibilă - este descoperit, în anul 1860, de G.Plante. În anul 1851, H.D.Ruhmkorff descoperă bobina de inducţie, care a rămas multă vreme cel mai important mijloc de producere a tensiunilor înalte.

---------------------

Câmp electromagnetic : stare fizică a mediului înconjurător prin care se transmit acţiuni ponderomotoare (forţe şi cupluri) din aproape în aproape (prin contiguitate), diferit de câmpul newtonian, caracterizat prin acţiuni la distanţă într-un mediu numit eter (teorie depăşită).

Toate aceste acumulări cantitative, realizate până la jumătatea secolului al XIX- lea, impuneau un salt calitativ iminent. Acest salt este făcut începând cu anii 1863 – 1865, când

4

fizicianul englez James Clark Maxwell, pe baza descoperirilor de până atunci, în mod special ale lui Faraday, precum şi a cercetărilor şi ideilor proprii, pune bazele teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice, elaborând teoria macroscopică fenomenologică a câmpului electromagnetic pentru medii imobile. Această teorie a fost expusă în lucrarea „Tratat despre electricitate şi magnetism”, apărută în anul 1873. Maxwell a prevăzut (între anii 1862-1865) existenţa curentului de deplasare, precum şi existenţa şi propagarea la distanţă, din aproape în aproape, cu viteză foarte mare, dar finită (viteza luminii – în vid), a undelor electromagnetice, fenomen pus în evidenţă de germanul H. Hertz, în anul 1888, cu ajutorul celebrului său dispozitiv oscilator – rezonator. În ce priveşte transmiterea acţiunilor în câmpul electromagnetic, Maxwell le explică cu ajutorul tensiunilor maxwelliene, manifestate ca

tracţiuni în lungul liniilor de câmp (vezi ) şi ca presiuni normale pe acestea (vezi ), având aceeaşi intensitate. Părerea noastră este că de aici se trage dubla caracterizare a

câmpului (mult discutată şi astăzi) – atât prin intensităţile , manifestate în lungul liniilor

de câmp ca forţe ale câmpului, cât şi prin inducţiile sau densităţile liniilor de câmp, asimilate unor presiuni ale câmpului.

În anul 1865, J.C. Maxwell elaborează teoria electromagnetică a luminii, punând în evidenţă faptul că lumina are aceeaşi natură ca şi câmpul electromagnetic.

Împreună cu Maxwell, H. Hertz a dezvoltat ulterior teoria câmpului electromagnetic şi pentru medii în mişcare lentă (1890).

Formularea, în mod independent de către J.H. Poynting şi N. Umov, în 1884, a densităţii de putere transmisă de câmpul electromagnetic, cunoscută sub numele de vectorul Poynting - Umov, a validat conceptul transmiterii acţiunilor din aproape în aproape în câmpul electromagnetic; mai târziu, acest concept fiind utilizat de Plank la extinderea principiului inerţiei energiei, datorat lui Einstein, conform căruia oricărui flux de energie i se poate asocia un anumit impuls. Validarea practică este adusă de P. Lebedev, în 1899, prin măsurarea presiunii luminii – ca radiaţie electromagnetică – asupra corpurilor.

Dovezile în sprijinul revoluţionarei teorii a lui Maxwell nu au întârziat să apară. Astfel, în anul 1876, H. Rowland arată că efectele curenţilor de convecţie, produşi de corpurile în mişcare, sunt similare celor ale curenţilor de conducţie, iar W.C. Rontgen evidenţiază acelaşi lucru, în anul 1888, aceste experienţe celebre constituind o strălucită validare a legii circuitului magnetic, propusă de Maxwell.

Confirmarea cea mai strălucită a teoriei lui Maxwell avea să o aducă descoperirea de către H. Hertz, în anul 1888, a undelor electromagnetice, precum şi a fenomenelor de polarizaţie, reflexie, refracţie şi interferenţă a undelor. Mai mult, măsurând lungimea de undă şi viteza de propagare a undelor electromagnetice le găseşte, aşa cum a prezis Maxwell, egale cu cele ale luminii.

În baza teoriei lui Maxweel, între 1898 şi 1900, A.M. Lienard şi E. Wiechert validează, încă odată, propagarea cu viteză finită a acţiunilor câmpului, prin introducerea potenţialelor retardate.O altă categorie de descoperiri se referă la descărcările electrice în gaze şi efectele acestora. Asfel, razele catodice, purtătoare de sarcină negativă şi deviate de câmpul magnetic şi cel electric, sunt descoperite, în 1858, de J. Plucker, iar razele canal, complementare acestora – de Goldstein, în 1886; experienţele dovedind natura corpusculară a acestora. Legat de acestea, trebuie să evidenţiem descoperirea electronului, între 1895 şi 1900, ca particulă elementară constituentă a materiei, descoperire care a avut un impact major şi asupra evoluţiei ulterioare a electromagnetismului.

Existau, însă, şi probleme la care teoria lui Maxwell nu putea da răspunsuri satisfăcătoare. Astfel, unele proprietăţi de material care nu-şi găseau o explicaţie corespunzătoare în teoria lui Maxwell, cum ar fi polarizarea dielectricilor, magnetizarea

5

corpurilor, dispersia normală şi anormală a indicelui de refracţie, rotirea în câmp magnetic a planului de polarizaţie a luminii, despicarea în câmp magnetic a liniilor spectrale (efectul Zeeman, 1896), despicarea în câmp electric a liniilor spectrale (efectul Stark, 1913), au putut fi explicate pe baza noii teorii a lui J. Larmor şi H. A. Lorentz, numită teoria electronilor, în care se ţine seama de structura discretă (corpusculară) a substanţei, şi se extinde teoria macroscopică la scară microscopică, în vid. Mai mult, teoria electronilor a adus o contribuţie decisivă la clarificarea problemei dificile a sistemului de referinţă, dovada de necontestat a faptului că viteza luminii este aceeaşi în orice sistem de referinţă fiind adusă de celebra experienţă a lui A.A. Michelson de determinare a vitezei luminii.

Totuşi, o serie de probleme nu şi-au putut găsi un răspuns în teoria lui Maxwell, printre acestea numărându-se supraconductibilitatea, descoperită de H. K. Onnes, în 1908, prin care se arăta faptul că sub un prag de temperatură foarte scăzut unele metale îşi anulează practic rezistenţa, iar la o anumită temperatură, sub punctul critic, aplicarea unui câmp magnetic de o anumită intensitate poate readuce semiconductorul în starea normală de conductibilitate, sau feromagnetismul, care evidenţia faptul că fierul, nichelul, cobaltul, precum şi oxizi şi aliaje ale lor capătă, în câmp magnetic, o magnetizare mult mai intensă decât celelalte substanţe, magnetizarea lor depinzând de stările lor magnetice anterioare (histerezis magnetic – E. Warburg şi J.A. Ewing, 1880-1882); adăugându-se la acestea pierderea proprietăţilor magnetice ale fierului la o temperatură ridicată (cca 700 grade C), numită punctul Curie (P.J. Curie).

Soluţionarea unor astfel de probleme a fost făcută de fizica cuantică (W. Heisenberg, 1925), prin descoperirea spinului electronului (S. Goudsmit şi G.E. Uhlenbeck, 1925) şi a interacţiunii de schimb (W. Heitler şi Fritz London, 1927), aceste fenomene aparţinând domeniului particulelor elementare.În anul 1882, M. Duprez elaborează teoria transmisiei energiei electrice cu ajutorul liniilor de înaltă tensiune la distanţe mari, în c.c., moment care marchează apariţia Electroenergeticii.

Unul dintre paşii decisivi către trecerea la utilizarea curentului alternativ, pe lângă necesitatea reducerii pierderilor pe liniile de transport în c.c., a constat în formalizarea şi descoperirea transformatorului electric static (Gaulard şi Gibs, 1882). Se simţea, însă, nevoia imperioasă a unui motor de curent alternativ practic şi uşor de utilizat, soluţia teoretică fiind dată de N.Tesla (ing. american de origine croată), în 1888, prin formularea principiului câmpului magnetic învârtitor.

În fine, trebuie amintit şi faptul că de descoperirile Electrotehnicii au beneficiat şi noile ştiinţe, ca Electronica (Telecomunicaţiile, Radiocomunicaţiile, Electronica Industrială), Automatica, Cibernetica, desprinse tot din trunchiul acesteia şi devenind, cu timpul, ştiinţe de sine stătătoare.

Astfel, cercetările şi descoperirile teoretice din anii 1831 (inducţia electromagnetică, câmpul electromagnetic – M. Faraday), 1863 (prevederea teoretică a existenţei şi propagării undelor electromagnetice – J.C. Maxwell), 1888 (evidenţierea experimentală a propagării câmpului electromagnetic sub formă de unde – H. Hertz) au avut o contribuţie decisivă şi la apariţia Electronicii. Adăugând şi etapele pregătitoare privind:

- evidenţierea trecerii curentului electric prin vid (T. A. Edison,1883); - descoperirea electronului (J.J. Thomson, 1897), se poate considera că terenul era

pregătit pentru apariţia unuia dintre cele mai importante domenii ale tehnicii moderne.La dezvoltarea Electrotehnicii, principalul beneficiar al descoperirilor din domeniul

Electromagnetismului, au avut un rol deosebit descoperirile practice, printre care menţionăm:- descoperirea pilei galvanice ( A. Volta, 1800);- descoperirea arcului electric ( V.V. Petrov, 1802, H. Davy, 1812);- topirea electrică a metalelor (V.V. Petrov, 1802);- apariţia Electrochimiei, prin cercetările lui Davy asupra Electrolizei;

6

- galvanoplastia (acoperirile metalice cu ajutorul Electrolizei, Spencer şi B.S. Jacobi, 1838);- descoperirea şi studierea efectului termoelectric (T.J. Seebeck, 1821, J. Peltier 1834);- descoperirea electromagnetului (W.Sturgeon, 1823, J. Henry, 1831);- descoperirea şi perfecţionarea telegrafului electric (1834 - 1835, Samuel Morse; 1855, Hughes; Edison, 1874);- descoperirea acumulatorului cu plumb (G. Plante);- descoperirea bobinei de inducţie – primul dispozitiv pentru producerea de tensiuni înalte (H.D. Ruhmkorff);- instalarea primelor cabluri telegrafice submarine (Ch. Wheatstone, W. Thomson/lord Kelvin, 1857), prilej cu care W. Thomson constată deformarea (atenuarea şi dispersia) undelor la propagarea pe linii lungi, iar R. Kirchhoff (1857) şi, mai târziu, O Heaviside (1876) stabilesc ecuaţiile telegrafiştilor; - inventarea primelor motoare electrice (P. Barlow, 1822; Jacobi, 1834-1838;- inventarea primelor generatoare electrice (primul generator electric de c.c., M. Faraday, 1831; descoperirea primului generator de curent alternativ, N.C. Pixii şi Salvatore del Negro, 1832; înlocuirea magneţilor permanenţi cu electromagneţi, Page, 1838, Poggendorf, 1851);- inventarea primei maşini electrice cu excitaţie independentă (H.Wilde, 1866), perfecţionată mai târziu de W.Siemens şi Ch. Wheatstone, 1867, care vor folosi curentul indus în maşină pentru excitarea acesteia, obţinând maşinile cu excitaţie serie, respectiv derivaţie;- inventarea primelor maşini electrice moderne, ca motor şi generator în egală măsură, cu utilizare industrială (Z. Gramme, 1870; Heffner-Alteneck, 1872);- inventarea lămpii cu filament incandescent şi perfecţionările acesteia (Iablocikov, 1877; J. Swann şi I.N. Lodighin, 1872; Edison, 1878; I. Langmuir, Coolidge, 1910 – aceştia din urmă realizând becul cu filament de wolfram, dublu spiralat, introdus într-o atmosferă de gaz inert, aşa cum îl utilizăm astăzi);- construirea primei centrale electrice şi realizarea primei reţele de iluminat public (Edison, 1882, New York);- apariţia primelor reţele electroenergetice, în c.c., folosind ca generator maşina inventată de Gramme; - inventarea transformatorului electric static monofazat (Gaulard şi Gibbs, 1882); - construirea primei maşini reversibile de curent alternativ bifazat de către N.Tesla, în 1888, cu posibilitatea extinderii soluţiei la orice alt sistem de curent alternativ polifazat şi realizarea primelor reţele electroenergetice, în c.a. bifazat;- construirea primului generator de curent trifazic (1888), a motorului asincron trifazat (1889), a primului transformator trifazic (1891), şi a primei linii trifazate (1891) de către M.O. Dolivo-Dobrovolski;- perfecţionarea transformatorului trifazic, prin construirea circuitului său magnetic din pachete de tole pentru reducerea curenţilor turbionari, respectiv – a încălzirii (Westinghouse, 1890), precum şi cufundarea acestuia într-o cuvă cu ulei (Swinburne, 1890);- înlocuirea reţelelor electrice de transport a energiei electrice în c.c. şi c.a. bifazat cu reţele trifazate şi larga răspândirea acestora, cu avantaje deosebite pe linia producerii şi transportului energiei electrice în condiţii economice, la orice distanţă;- introducerea tracţiunii electrice (tramvaiul, 1881; locomotiva electrică, 1883; metroul, 1890);- apariţia cuptoarelor cu arc electric pentru minereuri (E. Stassano, 1898) şi oţeluri (P.Heroult, 1900);

7

- inventarea telefonului (G. Bell şi E. Gray, 1875);- apariţia Radiocomunicaţiilor, prin: construirea primelor receptoare de unde hertziene ( E.Branly, 1890 şi O.Lodge, 1894); inventarea antenei şi construirea primelor receptoare de mare putere (A.Popov,1894-1895), respectiv a primelor emiţătoare de mare putere (G. Marconi, 1896); realizarea primei transmisii la distanţă (50km) prin unde hertziene (G. Marconi, 1896).Punctăm, în continuare, principalii paşi practici în apariţia şi dezvoltarea Electronicii:

- în anul 1904, J. A. Fleming descoperă dioda cu vid, acest an putând fi considerat ca anul apariţiei Electronicii practice;- în anul 1907, Lee de Forest descoperă trioda cu vid, dispozitiv cu rol de amplificator şi comutator, care a condus la o dezvoltare fără precedent a Electronicii în următorii ani;

- în 1930 Hartley descoperă reacţia pozitivă, care stă la baza fenomenelor de amplificare;- E.H. Armstrong, recunoscut, în anii `20, ca cel mai important savant al timpului din domeniul radiocomunicaţiilor, inventează receptorul superheterodină (1918), detectorul cu super-reacţie (1922), transmisia radio cu modulaţie de frecvenţă (1933), şi, simultan, multiplexarea, descoperiri care aveau să revoluţioneze acest domeniu; - în 1948, Brattain, Bardeen şi Shockeley descoperă tranzistorul (trioda semiconductoare), deschizând larg porţile tehnologiilor microelectronice;- anul 1958 aduce descoperirea, de către firma Fairchaild, a circuitului integrat, component esenţial al dispozitivelor electronice moderne;- în anul 1971, M. E. Hoff ,de la firma Intel, descoperă microprocesorul, element de bază al microcalculatoarelor electronice moderne, în general a echipamentelor electronice programabile.Între preocupările actuale din domeniul Electrotehnicii se pot enumera cele legate de:- supraconductibilitate;- magnetohidrodinamică-studiul şi aplicaţiile comportării fluidelor electroconductoare (metal topit, plasmă) în câmp magnetic; - sursele neconvenţionale de energie electrică (soare, vânt, valuri);- maşinile electrice speciale (pas cu pas, cu rotor disc, liniare);- electronica de putere;- tehnica microundelor;- compatibilitatea electromagnetică (CEM).De asemenea, nu trebuie uitate cercetările şi aplicaţiile de graniţă între domenii, cum

sunt cele electrochimice, bioelectrice, biomagnetice ş.a.* *

*Cu toate că cercetările în domeniul Electromagnetismului din ţara noastră au apărut

mai târziu, respectiv în ultima sută de ani, odată cu organizarea învăţământului tehnic superior, specialiştii români au adus o contribuţie importantă la dezvoltarea Electrotehnicii, Şcoala românească de Electrotehnică, prin profesorii şi cercetătorii săi, căpătând o faimă şi o recunoaştere mondială.

Printre cei mai prestigioşi profesori români cu realizări remarcabile în domeniul Electrotehnicii menţionăm pe:

- Dragomir Hurmuzescu, întemeietorul învăţământului superior electrotehnic din România , pentru contribuţiile aduse în domeniile magnetostricţiunii, supraconductibilităţii metalelor, studiului proprietăţilor electrice ale razelor X;

- Ştefan Procopiu, pentru descoperirea momentului magnetic al electronului (1912-1913), simultan cu N. Bohr, de asemenea, pentru rezultatele cercetărilor efectuate în

8

domeniul electroliţilor, al electroforezei, precum şi pentru contribuţiile aduse la elaborarea teoriei moderne a electromagnetismului;

- Nicolae Vasilescu-Karpen, pentru contribuţiile aduse la teoria macroscopică a electromagnetismului, pentru teoria electronică modernă a lichidelor, precum şi pentru descoperirea cauzei care determină reacţia indusului la maşinile electrice;

- Augustin Maior, pentru realizările deosebite în domeniul transmisiei semnalelor prin curenţii de înaltă frecvenţă, precum şi pentru fundamentarea telefoniei multiple şi realizarea, pentru prima dată în lume, a unei transmisii multiple pe o linie telefonică (1905-1907);

- M. Konteschweller, pentru contribuţiile aduse la dezvoltarea radiofoniei şi la apariţia telecomenzii prin radio;

- Th.V. Ionescu, pentru realizările remarcabile în domeniul ionizării gazelor, precum şi pentru cercetările în domeniul propagării undelor radio; - Aretin Corciovei, pentru cercetările efectuate asupra corpurilor feromagnetice, precum şi pentru cele privind peliculele feromagnetice;

- Constantin Budeanu, Aurel Avramescu şi Ion S. Antoniu, pentru cercetările de avangardă în domeniul regimului deformant;

- Ion S. Gheorghiu, pentru elaborarea unei teorii generale a maşinilor electrice;- C.A. Parteni, pentru realizările privind proiectarea maşinilor de c.c. cu excitaţii

multiple şi asupra problemei comutaţiei;- T. Tănăsescu, pentru contribuţiile aduse la promovarea în ţara noastră şi dezvoltarea

telefoniei şi radiocomunicaţiilor, precum şi pentru promovarea şi dezvoltarea învăţământului Electronicii şi Telecomunicaţiilor;

- acad. Remus Răduleţ, fost preşedinte al Comisiei Electrotehnice Internaţionale, pentru contribuţiile deosebite la aprofundarea teoriei generale a câmpului electromagnetic, precum şi pentru formularea şi dezvoltarea unei teorii moderne a circuitelor electrice cu parametri tranzitorii. Tot remarcabilului om de ştiinţă i se datorează, în mare măsură, crearea unei şcoli de electrotehnică de reputaţie mondială [1], [2], [3], [5], .

2.Definitii.Clasificare3. Mărimi de stare primitive ale corpurilor şi câmpului. Mărimi de stare derivate ale

corpurilor şi câmpului. Unităţi de măsurăVom numi stare mulţimea datelor esenţiale ce caracterizează la un moment dat

comportamentul din punct de vedere electric şi/sau magnetic al corpurilor sau al câmpului electromagnetic.

Mărimile de stare sunt speciile de mărimi fizice care caracterizează stările corpurilor sau ale câmpului. Cu ajutorul mărimilor de stare se descriu acele proprietăţi ale sistemelor fizice care pot fi măsurate. Introducerea unei mărimi fizice implică:

- prezentarea unităţii sale de măsură;- indicarea procedeului de măsurare.

Pentru precizarea unităţilor de măsură se impune mai întâi alegerea sistemului de unităţi de măsură. În cadrul acestui curs, sistemul de unităţi de măsură utilizat este sistemul MKSA raţionalizat – partea pentru domeniul electromagnetismului a Sistemului Internaţional (SI). Pe scurt, se va spune că sistemul utilizat este S.I.Mărimile fizice se pot clasifica în funcţie de nivelul de referinţă în:

- mărimi primitive (de referinţă);- mărimi derivate.Mărimile primitive se definesc pe bază de experimentări. Mărimile derivate se

introduc cu ajutorul mărimilor primitive (indirect), fără a se apela la experienţă; uneori aceste mărimi se mai numesc şi „mărimi de calcul”.

9

Din punct de vedere al localizării în spaţiu, respectiv al modului de abordare a problemelor, se definesc:

- mărimi globale (integrale) – asociate unor regiuni (volume, suprafeţe, curbe); acestea permit o abordare globală a problemelor de circuit sau de câmp;

- mărimi locale (de punct, diferenţiale) – asociate unor puncte (volume/suprafeţe infinitezimale).

De exemplu, o abordare globală a unui câmp de vectori (câmpul electric, câmpul

magnetic, câmpul electromagnetic) într-un domeniuV∑ ¿

¿ din spaţiu se poate face cunoscând:

a. circulaţia vectorului câmp F de-a lungul oricărei curbe închise Γ :∮

Γ

F ds;

b. fluxul vectorului F prin suprafaţă închisă ∑ ¿ ¿ dusă în câmp : ∯∑ ¿ Fds

¿,

pe când o abordare locală se poate face cunoscând:

a. divergenţa vectorului F (div F );

b. rotorul vectorului F (rot F ), ambele în fiecare punct al domeniului V∑ ¿

¿.+)+)

Mărimile de stare utilizate în electrotehnică se împart în:1. mărimi primitive de stare ale corpurilor;2. mărimi primitive de stare ale câmpului electromagnetic;3. mărimi de stare derivate (ale corpurilor şi ale câmpului) .

3.1. Mărimile primitive de stare ale corpurilora. sarcina electrică adevărată q, mărime scalară introdusă pentru caracterizarea stării

de încărcare electrică a corpurilor;

b. momentul electric p , mărime vectorială introdusă pentru caracterizarea stării de polarizare electrică;

c. intensitatea curentului electric de conducţie i, mărime scalară pentru caracterizarea stării de conducţie electrică;

d. momentul magnetic m , mărime vectorială introdusă pentru caracterizarea stării de magnetizare (stare de polarizare magnetică) a corpurilor.

3.2. Mărimile primitive de stare ale câmpului electromagnetic în vid (practic şi în aer)

a. intensitatea câmpului electric în vid, EV (forţa câmpului);

b. inducţia magnetică (densitatea de flux magnetic) în vid, BV .

Introducerea mărimilor primitive de stare

- Introducerea mărimilor primitive q şi EV

Experienţa arată că forţa F exercitată de un câmp electric asupra unui mic corp de probă încărcat electric şi aflat în vid este dată de relaţia:

F=q EV (r )¿¿0

(1.5.1)

care introduce simultan mărimile primitive q (de stare a corpurilor) şi EV (de stare locală sau

punctuală a câmpului electromagnetic).

+)+) Facem precizarea că pentru ambele abordări mai este necesară cunoaşterea condiţiilor de frontieră, date prin

componentele normale (Fn )sau tangenţiale (F t ) ale câmpului de vectori (F ) în fiecare punct de pe frontiera

domeniului V Σ .

10

Forţa electrică F este ¿¿

0 după cum este orientată în acelaşi sens sau opus câmpului electric EV .

Sarcina electrică q este >0 când EV şi F au acelaşi sens (sunt omoparalele) şi este < 0 când

EV şi F sunt antiparalele.

Unităţile de măsură pentru q şi E în SI sunt:[q] = C (Coulomb);

[E ] = V/m (Volt/metru).

- Introducerea mărimii primitive pDacă se introduce un mic corp de probă izolator (dielectric), neîncărcat cu sarcină

electrică dar polarizat electric, aflat în vid, într-un câmp electrostatic exterior, asupra lui se exercită două tipuri de acţiuni:

- cupluri şi forţe (acţiuni ponderomotoare) - în câmpuri electrice neomogene (CP , FP );

- cupluri - în câmpuri electrice omogene (CP ).

Observaţie Un câmp electric neomogen este acela care depinde de distanţa faţă de sursă,

E=E(r ), pe când unul neomogen nu depinde de aceasta, având aceleaşi valori în regiunea studiată. În practică, se poate aprecia că un câmp electric omogen se găseşte între armăturile foarte apropiate ale unui condensator electric.Expresiile acestor cupluri şi forţe sunt:

(1.5.2)

FP=grad ( p , EV ) (1.5.3)

Măsurând pe FP sau CP şi cunoscând pe EV se pot determina componentele px , py , pz , ale

vectorului moment electric, p , din relaţiile:

Fx=px

∂ Evx

∂ x+ p y

∂Evy

∂ x+ pz

∂ Evz

∂ x¿ F y=px

∂Evx

∂ y+ p y

∂Evy

∂ y+ pz

∂Evz

∂ y¿ ¿¿¿ (1.5.4)

11

Fig.1.5.1 Momentul electric şi cuplul acestuia

Cuplul CP este un vector perpendicular pe vectorii p şi EV , cu sensul de rotaţie ca în figura

1.5.1.

Unitatea de măsură a momentului electric p în SI este:

[ p ] = 1C .m (Coulomb metru)

- Introducerea mărimii primitive BV

Se poate face în mai multe moduri:- cu ajutorul buclei de curent;- cu ajutorul forţei Laplace;- cu ajutorul forţei magnetice (Lorentz).

Luând în consideraţie cel de al treilea caz, forţa magnetică Fm , care acţionează asupra

unui corp de probă aflat în vid şi încărcat cu sarcină q, corp care se deplasează într-un câmp

magnetic cu viteza v , se poate determina experimental cu relaţia:

Fm=q (v×BV )(1.5.5)

Cunoscând sarcina q, viteza de deplasare a acesteia şi măsurând pe Fm se poate

determina BV - inducţia magnetică în vid, mărime dependentă numai de starea locală a

cîmpului magnetic în vid (figura 1.5.2).

Fig.1.5.2 Determinarea inducţiei magnetice Fig.3.2.2

Cum în produsul vectorial ordinea factorilor nu este fixată, experimental este necesară

o convenţie suplimentară pentru definirea lui BV şi anume: la deplasarea unui corp de probă

încărcat pozitiv, vectorii v ,BV şi

Fm formează un triedru drept.Unitatea de măsură a inducţiei magnetice în SI este :

[B ] = T (Tesla), unde 1T = 1Wb/m2. În practică se utilizează şi unitatea G (Gauss) – unitatea de măsură din sistemul

CGSem. neraţionalizat.Relaţia dintre G şi T este următoarea:

1G = 10-4T- Introducerea mărimii primitive i Intensitatea curentului electric de conducţie se poate introduce pe baza efectelor

mecanice ale curentului electric, respectiv pe baza forţei Δ F pe care o exercită în vid un

câmp magnetic BV asupra unui element de conductor Δl , parcurs de curent. Această forţă

este numită şi forţa Laplace şi are expresia:

12

(1.5.6)

Forţa Δ F îşi schimbă sensul odată cu schimbarea sensului inducţiei BV . Ea este

perpendiculară pe Δl şi BV , având tendinţa de a-l deplasa pe Δl în direcţia liniilor de câmp

(fig. 1.5.3).

Fig. 1.5.3 Forţa lui Laplace

Sensul de referinţă al curentului electric de conducţie din circuitele electrice este sensul convenţional pozitiv, respectiv sensul corespunzător mişcării ordonate a purtătorilor de sarcină electrică pozitivă. Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric în SI este:

[I] = 1A (Ampere )

- Introducerea mărimii primitive m

Momentul magnetic m se introduce pe consideraţii similare cu acelea privitoare la

introducerea momentului electric p (figura 1.5.4).

Fig. 1.5.4 Momentul magnetic m

Astfel, dacă într-un punct oarecare aflat în vid sub influenţa unui câmp magnetic de

inducţie BV se aduce un mic corp de probă feromagnetic, având o magnetizaţie oarecare,

asupra lui se vor exercita: - cupluri şi forţe, în cazul unui câmp magnetic neomogen/neuniform

13

- numai cupluri, în câmp magnetic omogen,conform relaţiilor:

Cm=m×BV ¿ ¿¿¿ (1.5.7)

Cunoscând pe BV şi măsurând forţa

Fm , se calculează m .

Unitatea de măsură a momentului magnetic m în SI este:

[m ] = 1A.m2 (Ampere.metru pătrat) Caracterizarea comportării câmpului electromagnetic în corpuri

Se face, cum s-a mai arătat, cu perechile de mărimi D şi E - pentru câmpul electric,

respectiv B şi H pentru câmpul magnetic, ţinând seama de relaţiile: D =ε E şiB =μ H .3.3. Mărimi de stare derivate

3.3.1. Mărimile de stare derivate ale câmpului electromagnetic în corpuri

a. perechea – intensitatea câmpului electric şi inducţia electrică (densitatea de flux

electric) D ;

b. perechea – inducţie magnetică B (densitatea de flux magnetic) şi intensitatea

câmpului magnetic H .3.3.2. Alte mărimi de stare derivate ale câmpului şi corpurilor utilizate în

electromagnetism

a. densitatea de volum a sarcinii electrice ρV , mărime scalară dată de relaţia:

ρV= limΔv→0

ΔqΔv=dq

dv(1.5.8)

având unitatea de măsură în SI:

[ρV ] =1 C/m3.

b. densitatea de suprafaţă (superficială) a sarcinii electrice ρS , mărime scalară dată de relaţia:

ρS= limΔv→0

ΔqΔA= dq

dA(1.5.9)

având unitatea de măsură în SI: [ρS ] =1 C/m2.

c. densitatea de linie (lineică) a sarcinii electrice ρl , mărime scalară dată de relaţia:

ρl= limΔv→0

ΔqΔS=dq

dS(1.5.10.)

având unitatea de măsură în SI: [ρl ] = 1C/m.

d. polarizarea electrică P , numită şi densitatea de volum a momentelor electrice p . Această mărime permite caracterizarea locală a stării de polarizare a corpurilor (izolatoare) masive şi se defineşte cu relaţia:

P= limΔv→0

ΔpΔv=dp

dv(1.5.11)

14

unde cu Δ P=∑

n

pi s-a notat suma vectorială a momentelor electrice dintr-un mic domeniu

de volum Δv al corpului izolator.

Unitatea de măsură în SI este: [P ] = 1C/m2.e. tensiunea electrică UAB, mărime scalară, definită în două puncte din câmpul electric

pe o curbă deschisă oarecare (C), ca integrala de linie (circulaţia) intensităţii câmpului electric între două puncte din câmp (fig. 1.5.5):

U AB=∫A

B

E⋅ds (1.5.12)

Fig. 1.5.5 Tensiunea electrică

Unitatea de măsură în SI este: [U] = 1V (Volt).

f. tensiunea electromotoare de contur, eΓ , mărime scalară definită în lungul unui contur închis (fig. 1.5.6) prin relaţia:

(1.5.13)

Fig. 1.5.6 Definirea t.e.m.pe contur închis

Unitatea de măsură în SI este: [e] = 1V (Volt)

g) fluxul electric printr-o suprafaţă în general deschisă ,Ψ SΓ , mărime scalară definită prin relaţia:

Ψ SΓ=∬SΓ

D⋅dA=∬SΓ

D⋅n⋅dA (1.5.14)

Cu D s-a notat vectorul inducţiei electrice (densitate de flux electric) prin suprafaţa

considerată, iar dA=n⋅dA elementul (vectorial) de arie orientat după normala exterioară n

la suprafaţa SΓ , ţinând seama de sensul de circulaţie pe curba închisă Γ (regula burghiului drept) (fig. 1.5.7).

15

Fig. 1.5.7 Definirea fluxului electric

h. densitatea de flux electric, D , mărime vectrorială definită cu ajutorul aceleaşi relaţii ca la lit. g.

Unităţile de măsură pentru fluxul electric şi inducţia electrică sunt:

[Ψ SΓ ] = 1C (Coulomb)

[D] = 1C/m2

Dacă suprafaţa corpului este închisă, relaţia de calcul a fluxului devine:

Ψ Σ=∯Σ

D⋅dA=∯Σ

D⋅n⋅dA

(1.5.15)

i. densitatea curentului electric de conducţie, J , mărime cu ajutorul căreia se caracterizează local starea electrocinetică a corpurilor conductoare. Relaţia de definiţie a lui J este:

i=∬SΓ

J⋅dA=∬SΓ

J⋅¿n⋅dA ¿ (1.5.16)

unde:

(1.5.17)

Unitatea de măsură în SI este: [J] = 1A/m2 (fig.1.5.8).

Fig,.1.5.8 Densitatea curentului electric de conducţie

16

Pentru conductoare filiforme, cum sunt cele utilizate în mod obişnuit în circuitele

electrice, vectorii J şi d A =n⋅dA sunt omoparaleli; ca urmare se poate scrie: J= i

A .

j. magnetizaţia, M , mărime vectorială ce permite caracterizarea stării locale de magnetizare a corpurilor masive (de regulă - feromagnetice). Se defineşte cu relaţia:

M= limΔv→ 0

ΔmΔv=d m

dv(1.5.18)

unde cu Δ m=∑

n

mi s-a notat suma vectorială a momentelor magnetice dintr-un mic domeniu

de volum Δv .Unitatea de măsură în SI este:

[M] = 1A/m

k. tensiunea magnetică, , între două puncte din câmpul magnetic sau ale unui circuit magnetic. Se defineşte cu relaţia:

(1.5.19)

care exprimă circulaţia vectorului intensitate câmp magnetic H de-a lungul unei curbe deschise (C) în câmp magnetic.

Unitatea de măsură în SI este:

[ ] =1 A (Amper) sau 1A.sp.(Amper spiră).

l. tensiunea magnetomotoare , , care se defineşte pe un contur închis în câmp magnetic cu relaţia:

(1.5.20)

Unitatea de măsură în SI este:

[ ] = 1A sau 1A.sp

m. fluxul magnetic ,φSΓ , printr-o suprafaţă în general deschisă, SΓ , care se sprijină pe curba

închisă Γ .Se defineşte prin relaţia:

φSΓ=∬

SΓ

B ¿dA=∬SΓ

B ¿n⋅dA (1.5.21)

Dacă suprafaţa este închisă atunci: φΣ=∯

Σ

B⋅dA (1.5.22)

Unitatea de măsură în SI este: [φSΓ ] = 1Wb (Weber).

n. capacitatea unui condensator electric, C. Se defineşte pe baza relaţiei: (1.5.23)

17

unde q este sarcina unei armături, iar - diferenţa de potenţial dintre armături.Mărimea C nu depinde de q şi de u, ci numai de raportul lor.Pe de altă parte capacitatea C este o mărime geometrică şi de material. De exemplu la

condensatorul plan:

C= εA

d .Unitatea de măsură în SI este: [C] = 1F (Farad).

o. inductivitatea proprie şi inductivitatea mutuală, Lj şi respectiv Lkj, mărimi cu ajutorul cărora se pune în evidenţă fenomenul de inducţie electromagnetică în circuite şi de cuplaj magnetic între circuite (fig.1.5.9).

Fig.1.5.9 Inductivităţi proprii şi mutuale

Aceste mărimi se definesc prin relaţiile:

LJ=φ j

I j

>0, (1.5.24), respectiv

LJK=φ jk

I K¿¿ 0

(1.5.25)

Unitatea de măsură în SI este: [L] = 1H (Henry). p. rezistenţa electrică, R, a unei porţiuni/laturi de circuit filiform, pasiv. Aceasta se defineşte prin relaţia (fig. 1.5.10):

(1.5.26)

Rezistenţa electrică este o mărime care depinde de natura materialului, de temperatură, presiune, precum şi de geometria materialului conductor:

(1.5.27)

Unitatea de măsură în SI este: [R] = 1Ω (Ohm).q. conductanţa electrică ,G, a unei porţiuni de circuit pasiv. Se defineşte cu relaţia:

Ca şi rezistenţa, conductanţa nu depinde, în circuitele liniare, de curent sau de

tensiune, ci numai de raportul lor.Unitatea de măsură în SI este:

[G] = 1S (Siemens) (1.5.28)

18

Capitolul 2. Legile generale şi de material. Regimuri electromagnetice. Medii electromagnetice

O lege este o relaţie analitică între mărimi fizice care descrie, sub forma cea mai generală, cunoştinţele despre fenomenele unui domeniu al naturii, la un moment dat. Legile sunt fundamentate pe experienţă, constituind rezultatul generalizării unui număr mare de încercări. S-ar putea spune că legile unui domeniu al ştiinţei constituie - făcând o paralelă cu Matematica – axiomele acestuia.

Legile se pot clasifica în:- legi generale - care nu conţin în expresiile lor mărimi de material/mediu, deci sunt

aplicabile în orice mediu;- legi de material - care conţin în expresiile lor şi mărimi de material / mediu şi la

aplicarea lor trebuie să se ţină seama de parametri constitutivi (ε , σ , μ ) ai acestuia. Teorema este un enunţ adevărat, care se poate deduce, prin demonstraţie, din alte adevăruri, presupuse cunoscute, cum ar fi legile. Regimurile electromagnetice sunt caracterizate prin unele sau altele din legile utilizate.

Regimuri electromagneticePrin regim electromagnetic de funcţionare se defineşte contextul în care variază în

timp mărimile electrice şi/sau magnetice. În Electrotehnică se întâlnesc următoarele regimuri de funcţionare:

Regimul static. Este regimul în care mărimile electrice sunt invariabile în timp (∂/∂ t=0 ) , nu au loc transformări energetice, conductoarele nu sunt parcurse de curent

electric de conducţie (J=0) şi sunt imobile (v=0 ).Exemple: regimul electrostatic, regimul magnetostatic.

Regimul staţionar. În acest regim mărimile de stare sunt invariabile în timp ( ∂ . ..∂ t=0 )

, au loc schimburi de energie cu mediul înconjurător, conductoarele sunt parcurse de curenţi de

conducţie (J≠0) , fiind imobile sau mobile.Exemple: regimul electrocinetic staţionar (regimul circuitelor de curent continuu).Regimul cvasistaţionar. Mărimile de stare variază suficient de lent în timp, astfel încât

curenţii de deplasare sunt neglijabili faţă de cei de conducţie, peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor electrice; conductoarele sunt imobile sau mobile. Este, în esenţă, tot un regim staţionar.Exemple: regimul de curent alternativ sinusoidal (monofazat sau trifazat).

Regimul variabil. În acest regim, mărimile de stare variază rapid în timp, au loc transformări energetice, conductoarele sunt parcurse de curenţi de conducţie, curenţii de deplasare şi cei de pierderi în dielectric nu mai pot fi neglijaţi, conductoarele putând fi imobile sau mobile.

Exemplu: regimul tranzitoriu.

Din punct de vedere al modificării în timp a formei mărimilor de stare, se deosebesc:

- regimuri permanente (exemplu: regimul electrocinetic staţionar, regimul permanent sinusoidal);

- regimuri variabile (exemplu: regimul tranzitoriu al circuitelor de curent continuu sau de curent alternativ).

19

Medii electromagneticeUn mediu electromagnetic constă în totalitatea caracteristicilor fizico – chimice ale

spaţiului în care au loc fenomenele studiate. Parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic, respectiv parametrii ce caracterizează complet din punct de vedere electric

şi/sau magnetic un material sau un mediu, sunt ε , μ ,σ / ρ , respectiv - permitivitatea electrică, permeabilitatea magnetică şi conductivitatea / rezistivitatea electrică.

Mediile electromagnetice se pot clasifica, după direcţia de susceptibilitate la acţiunea câmpului electromagnetic, în: a. medii izotrope – care au aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Astfel, un mediu dielectric, conductor sau magnetic este izotrop dacă sub acţiunea unui câmp (electric sau magnetic) se polarizează temporar în direcţia câmpului, oricare ar fi acestă direcţie; b. medii anizotrope – care au proprietăţi diferite pe diferite direcţii. Astfel, polarizaţia temporară şi magnetizaţia temporară depind de direcţia şi sensul câmpului exterior, în sensul că nu se produc decât pentru anumite direcţii (exemple: solide amorfe - pentru pct. a şi solide cristaline - pentru b).

După tipul polarizării sau magnetizării se deosebesc:

a. medii liniare – la care polarizaţia temporară sau magnetizaţia temporară sunt

proporţionale cu E , respectiv H . Altfel spus, ε şi respectiv μ nu depind de E , respectiv de H , fiind constante;

b. medii neliniare – la care nu se mai regăseşte această proporţionalitate. Între materialele neliniare pot fi exemplificate cele feroelectrice sau feromagnetice, caracterizate prin fenomenul de histerezis.

După uniformitatea structurii fizico-chimice se deosebesc:

a. medii omogene: conductoare, elemente de circuit, materiale izolatoare, vid-ul, spaţiul liber;

b) medii neomogene : surse electrice autonome (se spune că aceste surse – de exemplu acumulatoarele electrice - introduc neomogenităţi în circuit).

În continuare, vor fi prezentate legile generale şi cele de material ale Electromagnetismului.

2.1.1 Legea fluxului electric

Este o lege generală cu următorul enunţ: fluxul electric prin orice suprafaţă închisă Σeste proporţional cu sarcina electrică localizată în interiorul acelei suprafeţe.

Relaţia de definiţie a fluxului electric este:

ψ Σ=qΣ (2.1.1.1)

sau:

(2.1.1.2)

20

dacă sarcina electrică aflată în interiorul suprafeţei Σ este dată sub forma densităţii volumetrice. Aceaste relaţii exprimă forma integrală a legii fluxului electric.

Fluxul electric este, prin convenţie, pozitiv când liniile de câmp ies din suprafaţa Σ şi invers. Acest sens este corelat cu sensul normalei exterioare la suprafaţa Σ , respectiv cu

sensul lui

Dacă sarcina aflată în interiorul suprafeţei Σ este dată sub forma unor densităţii de sarcină diferite (de volum, de suprafaţă, de linie şi cu distribuţie punctuală), atunci membrul doi al relaţiilor (2.1.1.) se mai poate scrie sub forma:

Se consideră, pentru simplificare, sarcina electrică din interiorul suprafeţei Σ doar cu o distribuţie volumetrică, aşa cum este prezentată în fig. 2.1.1.2:

(2.1.2)

Pentru obţinerea formei locale, se aplică, mai întâi, teorema Gauss-Ostrogradski primului termen al relaţiei (2.1.1.2):

(2.1.3)

Înlocuind (2.1.2) şi pe (2.1.3 în (2.1.1.2), se obţine, înlăturând integralele:

div D=ρv(2.1.4.1)

respectiv - forma locală a legii fluxului electric.

Cum inducţia electrică este un vector de forma D=D (D x , D y , D z ) , relaţia de mai sus se mai poate scrie, în coordonate carteziene:

(2.1.4.2)

Aşadar, în fiecare punct al domeniului V Σ considerat (a se înţelege prin punct un domeniu infinitezimal), divergenţa vectorului inducţie electrică (productivitatea liniilor de câmp/flux electric – ca sens fizic) este egală cu densitatea volumetrică de sarcină (sau, altfel spus este dată/produsă de densitatea volumetrică de sarcină electrică).

Tub de linii de flux electricLiniile inducţiei electrice încep din regiunile cu sarcini electrice pozitive şi sfârşesc în

cele cu sarcini electrice negative. Un mic volum închis străbătut de liniile vectorului inducţiei electrice poartă numele de tub de linii de flux electric ( fig. 2.1.1).

21

Fig.2.1.1 Tub de linii de flux electric

Dacă se aplică legea fluxului electric la o suprafaţă Σ care delimitează o porţiune de tub de flux electric, se obţine:

= ct.

unde este fluxul la intrare, iar - fluxul la ieşire.

Cu alte cuvinte, fluxul electric are aceeaşi valoare în orice secţiune transversală a unui tub de flux electric, în interiorul căruia nu există sarcini electrice.

2.1.2 Legea polarizaţiei electrice temporare

Enunţul legii este următorul: sub acţiunea unui câmp electric exterior un corp izolator omogen şi izotrop se polarizează temporar în direcţia acestui câmp, astfel încât polarizaţia lui este proporţională cu intensitatea câmpului electric. Sub formă cantitativă legea se scrie:

Pt=ε0⋅χe⋅E (2.1.5)

unde: χe este o mărime de material adimensională, pozitivă şi se numeşte

susceptibilitate/susceptivitate electrică, iar ε 0 este permitivitatea electrică a vidului şi are

valoarea: ε 0=

1

4 π⋅9⋅109(F/m).

Mărimea χe nu depinde de E , dar depinde de temperatură, presiune, structura fizico -

chimică a materialului.

Este o lege de material ce caracterizează materialele izolatoare/dielectrice liniare (metalele nu se polarizează electric).

2.1.3 Legea legăturii dintre D , E şi PÎn orice moment şi în orice punct al unui corp izolator polarizat, inducţia electrică D

este suma dintre intensitatea câmpului electric multiplicată cu ε 0 şi polarizaţia P :

D=ε0 E+P (2.1.6)

22

Este o lege generală. Mărimile D ,E şi P sunt definite în acelaşi punct al corpului

izolator. Ţinând seama de faptul că polarizaţia P are o componentă temporară şi una

permanentă (P=Pt+PP) şi, cunoscând expresia lui Pt din (2.1.5), rezultă:

Cu notaţia: ε=ε 0⋅εr , se obţine:

D=ε E+Pp(2.1.7)

unde ε r este permitivitatea relativă a materialului/mediului – o mărime adimensională care

depinde de material, iar ε=ε 0⋅εr este permitivitatea absolută. Dacă PP =0 se obţine:

D=ε E (2.1.8)

relaţie valabilă în dielectricii (izolatorii) liniari. Această relaţie constituie legea polarizaţiei temporare sub forma tehnică.

Recunoaşterea izolatorilorSe face o clasificare a corpurilor în conductori şi izolatori după următorul criteriu: dacă un

corp neîncărcat electric este adus în contact cu unul încărcat (metalic sau metalizat) şi apoi lăsat liber nu este respins de acesta – corpul este un izolator; dacă însă este respins instantaneu, corpul este un conductor. Practic, un corp este considerat un bun izolant dacă el este respins după o durată de ordinul zilelor şi un bun conductor dacă durata este de ordinul fracţiunilor de microsecundă. Dacă durata este de ordinul fracţiunilor de secundă, corpul este un semiconductor.

Scurt comentariu cu privire la cei trei vectori ai câmpului electric D ,E şi PInducţia electrică D (densitate de flux electric, deplasare) este legată doar de sarcina

electrică liberă. Liniile de câmp ale lui D încep şi se termină pe sarcinile electrice libere.

Polarizaţia P este legată doar de sarcina de polarizaţie şi se poate reprezenta vectorial tot prin linii de câmp, care încep şi se sfârşesc pe sarcinile de polarizare.

Intensitatea câmpului electric E este legată de totalitatea sarcinilor prezente, fie

libere, fie de polarizare. Vectorul E este o mărime primitivă. Vectorii D şi P sunt mărimi derivate.

O prezentare sugestivă a relaţiei dintre cei trei vectori poate fi făcută în cazul unui condensator electric plan (fig. 2.1.2).

23

Fig. 2.1.2 Cei trei vectori ai câmpului electric D ,E şi P

Se observă, din figur 2.1.2 că D se defineşte numai de la sarcini libere de un semn la

cele de semn opus, pe când E se defineşte şi între sarcini libere şi sarcini de polarizare (acesta este sensul expresiei „ …este legat de...”).

M şi M’ sunt două puncte în spaţiul dintre armături (dielectric), caracterizate prin D=ε0 E

şi

respectiv prin D=ε0⋅E+P .

Observaţie:

Sensul vectorului de polarizaţie P din dielectric este acelaşi cu sensul vectorului E sub acţiunea căruia s-a produs polarizarea dielectricului (vezi polarizarea dielectricilor).

2.1.4 Legea fluxului magnetic

În orice moment fluxul magnetic prin orice suprafaţă închisă Σ este nul:

(2.1.9)

Este o lege generală. Legea fluxului magnetic exprimă, ca sens fizic, inexistenţa sarcinilor magnetice.

Conform acesteia, fluxul magnetic ce intră printr-o parte a suprafeţei Σ este egal cu cel care iese prin altă parte, în acelaşi moment, cu condiţia ca în interiorul suprafeţei să nu existe alte surse de câmp magnetic.

Relaţia (2.1.9) reprezintă forma generală (integrală) a legii. Pentru a obţine forma locală, se aplică teorema divergenţei (teorema Gauss - Ostrogradski) relaţiei (2.1.9) :

∯Σ

B⋅d A=∯VΣ

div B⋅dv=0

de unde rezultă:

div B=0 sau ∇ B=0 (2.1.10)

24

Ca urmare, inducţia magneticăB este un vector câmp solenoidal (fără surse,

rotaţional) de forma B=rot A sau B=∇×A .

Mărimea A se numeşte potenţial magnetic vector al câmpului magnetic, fără a avea o semnificaţie fizică; este o mărime de calcul.

Fluxul magnetic devine în acest caz:

Aplicând teorema lui Stokes relaţiei de mai sus, aceasta capătă forma:

(2.1.11)

Relaţia (2.1.11) este o altă expresie a legii fluxului magnetic, care arată că fluxul

magnetic are aceeaşi valoare prin orice suprafaţă deschisă SΓ care se sprijină pe un contur închis Γ . Fluxul magnetic depinde numai de conturul Γ şi nu de forma suprafeţei care se sprijină pe el.

Precizare

La calculul lui cu ∯

Σ

B⋅d A, este necesar să se cunoască valorile inducţiei B în

toate punctele suprafeţei Σ .

La calculul lui cu ∮ A⋅d s

, este suficient să se cunoască valorile lui A doar pe

conturul care limitează suprafaţa SΓ , deci rezolvarea problemei se simplifică.

2.1.5 Legea magnetizaţiei temporare

În fiecare punct dintr-un corp (metalic) izotrop şi omogen şi în fiecare moment, magnetizaţia temporară este proporţională cu intensitatea câmpului magnetic:

M t= χm H (2.1.12)

Este o lege de material ce caracterizează materialele liniare din punct de vedere magnetic (Cu, Al, Zn, Fe; acesta din urmă-numai pe porţiunea aproximativ liniară a caracteristicii de magnetizare).

Mărimea χm se numeşte susceptivitate magnetică şi este o mărime adimensională, pozitivă, care depinde de starea materialului (temperatură, presiune, deformare) şi parametri fizico-chimici.

Pentru materialele feromagnetice dependenţa este neliniară, deci nu se mai poate aplica relaţia (2.1.12), decât pe porţiuni aproximativ liniare în jurul punctului de funcţionare, pentru simplificarea calculelor. Materialele feromagnetice sunt materiale neliniare din punct de vedere magnetic.

25

În tehnică legea nu se utilizează sub această formă, ci combinată cu legea legăturii

dintre B ,M şi H (cap. 2.1.6), astfel:

B=μ0(H+M ) ; dar M=M t= χ m H

pentru materiale cu magnetizare liniară, deci:

B=μ0(H+ χm H )=μ0(1+ χ m)H .

Notând (1+ χm )=μr - permeabilitatea magnetică relativă a materialului, adimensională, se obţine:

sau:

(2.1.13)

unde:

μ=μ0⋅μr poartă numele de permeabilitate magnetică absolută, iar μ0 este permeabilitatea

magnetică a vidului: μ0=4 π⋅10−7 H/m. Pentru materialele diamagnetice (cum este, de

exemplu, aluminiul):

μr<1 ; χm<0

iar pentru cele paramagnetice (cum este, de exemplu, cuprul):

μr>1 ; χm>0

diferenţele în plus sau în minus faţă de 1 şi respectiv zero fiind nesemnificative. Se poate

spune că, practic, aceste materiale au μr=1 şi ca urmare μ≃μ0 , iar B=μ0 H

, ca în vid (sau aer).

Pentru aer se poate scrie, de asemenea, B=μ0⋅H

, deoarece μraer≃1 .

În cazul materialelor feromagnetice, μr >>1 şi atunci μ=μ0⋅μr , deci B=μ⋅H , şi,

în plus, μ=f (H )(caracteristica magnetică este neliniară).

Notă

Pentru a se putea utiliza, în proiectarea circuitelor magnetice ale aparatelor electrice,

maşinilor şi transformatoarelor, relaţia liniară (mai simplă) , se alege punctul de funcţionare al acestora pe porţiunea liniară a curbei de primă magnetizare, a ciclului de histerezis al materialului feromagnetic – cu alte cuvinte, se aleg valorile nominale pentru inducţia B şi pentru intensitatea câmpului H pe această porţiune.

26

2.1.6 Legea legăturii dintre B ,H şi M

În fiecare punct din câmp (unde există şi corpuri magnetizabile) şi în fiecare moment,

inducţia magnetică B este suma dintre câmpul magnetic H şi magnetizaţia M , înmulţite cu

permeabilitatea vidului, μ0 :

B=μ0(H+M ) (2.1.14)

Este o lege generală. Mărimile B ,H şi M sunt definite în acelaşi punct (mărimi de punct/diferenţiale).

Dacă se ţine seama de faptul că magnetizaţia totală M este dată de suma dintre

magnetizaţia temporară şi cea permanentă, M=M t+M p , şi se înlocuieşte magnetizaţia temporară cu expresia acesteia, relaţia de mai sus se mai poate scrie:

B=μ0 H+μ0 M t+μ0 M p=μ0 H+μ0 χm H+μ0 M p=μ0 (1+ χm)H+μ0 M p=¿ μ0 μr H+μ0 M p=μ H+μ0 M p .

Cu μr=1+ χ m s-a notat permeabilitatea relativă a materialului, adimensională, iar cu μ=μ0⋅μr - permeabilitatea sa absolută.

Dacă M p=0 , se obţine relaţia cunoscută pentru materialele liniare din punct de vedere magnetic, aşa după cum s-a arătat:

B=μ H (2.1.15)

care exprimă o altă formă a legii magnetizaţiei temporare, formă utilizată curent în tehnică (legea magnetizaţiei temporare sub forma tehnică).

În practică, pentru simplificarea calculelor circuitelor magnetice, (de exemplu, la proiectarea unui electromagnet), relaţia (2.1.15) se utilizează şi pentru materialele neliniare, alegând punctul de funcţionare al aparatelor (a se înţelege punctul de funcţionare al circuitelor magnetice respective) pe porţiunea aproximativ liniară a caracteristicii de magnetizare. Desigur, în cazul unor inducţii mai mari, respectiv a funcţionării în zona apropiată de saturaţie, această relaţie liniară nu mai poate fi aplicată, fiind utilizată caracteristica magnetică neliniară a materialului feromagnetic, respectiv ciclul de histerezis (B=B(H)).

2.1.7 Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm)

Este o lege de material, ce poate fi exprimată, de asemenea, sub forma locală sau integrală ( G.H. Ohm, 1826).

Forma locală: în orice punct dintr-un conductor aflat în stare de conducţie electrică (caracterizată prin mişcarea ordonată a purtătorilor de sarcină sub acţiunea unui câmp electric) şi în orice moment, suma dintre câmpul electric şi câmpul electric imprimat este egală cu produsul dintre densitatea curentului electric de conducţie şi rezistivitatea materialului. Relaţia corespunzătoare este:

E+E i=ρ⋅J (2.1.16)

respectiv:

27

J=σ (E+E i)(2.1.17)

Cu σ=1

ρ s-a notat conductivitatea materialului (S(Siemens)/m), iar cu ρ - rezistivitatea

acestuia (Ω⋅m ).

Câmpul electric E , la rândul său, este dat de relaţia:

(2.1.17.1)

unde Ec este intensitatea câmpului electric coulombian (de natură potenţială) produs de repartiţia instantanee a sarcinii electrice în conductoare sub acţiunea unui câmp electric (urmare a aplicării la borne a unei diferenţe de potenţial, de exemplu de la un acumulator), iar ES - intensitatea câmpului electric indus (solenoidal), produs de un flux magnetic variabil în timp, în conformitate cu legea inducţiei electromagnetice. Spre deosebire de câmpul coulombian, ale cărui linii de câmp sunt deschise, cu sensul (convenţional) de la sarcinile pozitive la cele negative, cel solenoidal are liniile de câmp închise (se mai numeşte şi

rotaţional). Cu Ei s-a notat intensitatea câmpului electric imprimat, un câmp electric fictiv, de natură neelectrică (dependent de temperatură, concentraţie, presiune, acceleraţie etc.) şi care se stabileşte în conductoarele neomogene (de exemplu, în circuite care conţin surse electrochimice, cum sunt acumulatoarele electrice, care întrerup omogenitatea conductoarelor), sau în conductoarele accelerate (cazul maşinilor electrice, care conţin şi

circuite în mişcare de rotaţie, pentru care sau ). Cu ajutorul ei se exprimă acţiuni neelectrice în limbaj de mărimi electrice.

Legea se referă, sub forma arătată, la conductoare liniare, izotrope şi neomogene. Pentru conductoare omogene (fără surse electrice) legea devine:

E=ρ J sau J=σ E (2.1.18)

În practica circuitelor electrice legea se utilizează cel mai des sub forma integrală. În acest scop, se integrează expresia locală a legii conducţiei electrice pentru o porţiune oarecare de circuit neramificat, constituit dintr-un conductor liniar şi izotrop, având rezistenţa electrică R, alimentat la borne cu o tensiune continuă şi conţinând şi o sursă electrică ei (o neomogenitate) (fig.2.1.3):

28

Fig. 2.1.3 Latură de circuit simplă, neramificată

∫1

2

(E+Ei )d s=∫1

2

ρ J d s=i∫1

2

ρdsA=R⋅i (2.1.19)

unde , este densitatea curentului electric de conducţie din circuit, i – intensitatea

curentului electric de conducţie, A – aria secţiunii transversale a conductorului; vectorii ,

şi sunt omoparaleli (fig. 2.1.3.). Cu R s-a notat expresia :

R=∫

1

2

ρdsA , (Ω )

ce reprezintă rezistenţa electrică a porţiunii de conductor/laturii 1 – 2.

Cum ρ şi A practic nu variază de-a lungul conductorului:

R= ρA∫1

2

ds=ρlA ,

(2.1.20)

unde l este lungimea conductorului între punctele 1 şi 2.

Calculând pe porţiuni integrala din membrul stâng, se obţine:

∫1

2

(E+Ei )d s=∫1

2

E d s+∫1

2

Ei ds=u f+ei

unde:

u f=∫1

2

E d s este tensiunea electrică în lungul firului, iar

e i=∫1

2

E i d s este t.e.m. a sursei din circuit. Ca urmare:

u f+ei=R .i

(2.1.21)

expresie care reprezintă forma integrală a legii conducţiei electrice.

În regim staţionar (curent continuu)ES=0 şi se poate scrie:

u f=∫1

2

E d s=∫1

2

(Ec+ES )d s=∫1

2

Ec d s=ub

deoarece integrala lui Ec nu depinde de drum (a se vedea teorema potenţialului electric).

Ca urmare, legea conducţiei electrice se poate scrie în regim staţionar:

29

e i±ub=R .i (2.1.22)

cu semnul (+) pentru cazul când se aplică regula de la receptoare (sensurile lui ub şi i faţă de

borne coincid) şi cu semnul (-) când se aplică regula de la generatoare (sensurile lui ub şi i faţă de borne nu coincid).

Dacă e i=0 , respectiv dacă latura de circuit este pasivă, se obţine:

ub=R . i (2.1.23)

expresie ce reprezintă legea lui Ohm, lege valabilă numai pentru laturi sau segmente de circuit pasive, neramificate, parcurse de curent electric de conducţie.

Notă

Măsurarea rezistenţei de izolaţie a cablurilor din instalaţiile electrice de j.t. se face cu megohmetrul, la tensiunea de cel puţin 500 V. Se determină atât rezistenţa de izolaţie a cablurilor faţă de pământ, cât şi între ele, valoarea acesteia trebuind să fie, în ambele cazuri, de min. 500 kΩ.

2.1.8 Legea transformării energiei în conductoare parcurse de curent electric de conducţie (legea Joule- Lenz)

Este o lege generală, care se enunţă astfel:

Puterea instantanee a câmpului electromagnetic transformată în căldură pe unitatea de volum a unui conductor parcurs de curent electric de conducţie este dată de produsul scalar dintre

intensitatea câmpului electric (E ) şi densitatea de curent (J ) , din conductor, în punctul (volumul infinitezimal) în care se calculează aceasta (această putere fiind transmisă circuitului care conţine conductorul de reţeaua de alimentare şi/sau de o sursă a acestuia). Forma locală a legii este următoarea:

(W/m2) (2.1.24)

În cazul conductoarelor liniare, izotrope şi omogene, fără surse, vectorii E şi J sunt

omoparaleli şi cum, conform legii conducţiei electrice E=ρ J , pentru aceste conductoare se obţine expresia:

p j=E⋅J= ρJ2=σE2>0 (2.1.25)

Mărimea p j se mai numeşte densitatea de volum a puterii transformate ireversibil în căldură prin efect Joule – Lenz, în conductor.

Dacă conductorul este neomogen (conţine surse de energie electrică, de tipul

acumulatorului electric), din legea conducţiei electrice E+E i=ρ J se determină

E=ρ J−Ei

30

Înlocuind pe E în relaţia lui p j se obţine:

p j= ρ⋅J 2−Ei⋅J=pR−pG(2.1.26)

În această relaţie:

pR=ρ⋅J 2>0

este partea din puterea electromagnetică primită de conductor de la reţea, în unitatea de timp, şi transformată ireversibil în căldură pe unitatea de volum a conductorului ( independent de sensul curentului), iar mărimea:

pG=Ei⋅J¿

¿0

este partea din puterea electromagnetică schimbată între sursa din latură (când această sursă

există) şi câmpul electromagnetic. În cazul în care pG >0, vectorii şi J sunt omoparaleli

(au acelaşi sens) şi pG este cedată de sursă şi primită de latură. În cazul în care pG <0, vectorii

şi J sunt antiparaleli şi pG este primită de sursă şi cedată de latură (cazul încărcării

unui acumulator de la reţea). În acest caz, în rel. (2.1.26) termenul intră cu semnul plus.

Sub formă integrală, legea se obţine integrând relaţia (2.1.24) pe întregul volum (V) al

unui conductor. Se obţine expresia puterii totale, ΡJ , cedate de câmpul electromagnetic unei laturi sau unui segment omogen de circuit (fig.2.1.4):

Fig.2.1.4 Segment de conductor

(W)(2.1.27)

unde:

- reprezintă puterea totală cedată de reţea şi/sau de sursele interne circuitului.

În cazul în care în latura de circuit receptoare există şi o sursă de t.e.m., ţinând cont de

ecuaţia laturii, , relaţia (2.1.19) devine:

PJ=R⋅i2−ei⋅i=PR−PG (2.1.28)

31

unde: PR=R⋅i2>0 corespunde transformării ireversibile a energiei electromagnetice în căldură prin efect Joule-Lenz, la nivelul întregii laturi de circuit;

PG=ei⋅i>0 corespunde transformării energiei chimice a sursei în energie electrică (sursa cedează energie), la nivelul întregii laturi de circuit;

PG=ei⋅i<0 corespunde transformării energiei electrice din conductor în energie chimică (sursa preia energie de la circuit, adică se încarcă).

Sensul puterii în latura de circuit (în conductorul aparţinând unei laturi de circuit) este dat de relaţia de sensuri dintre ei şi i:

- dacă e i şi i au acelaşi sens, atunci ΡG >0 şi sursa cedează energie laturii de circuit, deci latura este generatoare (fig. 2.1.5):

-

Fig. 2.1.5 Latură generatoare

- dacă e i şi i au sensuri opuse, atunci ΡG <0 şi sursa primeşte energie de la latură/circuit, deci latura este receptoare (consumatoare); este cazul încărcării unui acumulator (fig.2.1.6):

Fig. 2.1.6. Latură receptoare

2.1.9 Legea electrolizei (Faraday)

Această lege de material (M.Faraday, 1834) exprimă relaţia dintre masa unui element care se depune la unul din electrozii unei băi electrolitice (electrodul negativ/catod) şi intensitatea curentului electric de conducţie care trece prin baie: masa de substanţă care se

depune, în timpul Δt , la unul din electrozii unei băi electrolitice este proporţională cu sarcina electrică totală care trece prin baie şi echivalentul electrochimic al elementului supus electrolizei:

m= 1F0

⋅Aυ∫t

t+Δt

i⋅dt= 1F0

⋅Aυ⋅q (2.1.29)

unde: Α /υ este echivalentul chimic al substanţei depuse prin electroliză (υ este valenţa elementului);

32

q= ∫t

t+Δt

i⋅dt este sarcina electrică corespunzătoare curentului ce străbate baia;

FO este o constantă universală, numită constanta lui Faraday.

Unităţile de măsură ale acestor mărimi sunt:

gram – pentru m; gram/mol – pentru A;

Coulomb/echiv.gram – pentru FO .

Constanta FO nu depinde de natura electrolitului, fiind o constantă universală (FO =96.490 C/echiv.gram).

Electroliza se utilizează în tehnică pentru obţinerea unor metale de înaltă puritate (Cu, Al), pentru acoperirea unor metale cu straturi metalice subţiri (nichelare, cromare, argintare) sau pentru reproducerea electrolitică a formei unor obiecte (galvanoplastie).

2.1.10 Legea conservării sarcinii electrice

Este o lege generală. Pentru corpuri izolatoare este dată de rel. (2.1.30). Astfel, dacă se consideră o suprafaţă închisă Σ a unui corp izolator ( dielectric) electrizat, astfel încât aceasta să nu fie străbătută de curent electric de conducţie, se constată, experimental, că sarcina totală localizată în interiorul suprafeţei rămâne constantă:

qΣ=ct .(2.1.30)

Dacă însă suprafaţa Σ este străbătută şi de conductoare parcurse de curenţi electrici de conducţie, sarcina electrică variază în timp, conform interpretării fizice date acestor curenţi, expresia legii fiind dată de rel. (2.1.31).

Să considerăm, de exemplu, un condensator electric încărcat cu sarcina q, ale cărui armături se leagă printr-un conductor metalic (fig. 2.1.7). In interiorul conductorului potenţialul nu mai poate rămâne constant (armăturile au potenţiale diferite) şi echilibrul electrostatic nu se mai menţine la închiderea circuitului. În timpul regimului tranzitoriu de descărcare a condensatorului, prin conductor va trece un curent electric, care este egal cu viteza de scădere în timp a sarcinii de pe armăturile condensatorului.

Fig. 2.1.7 Descărcarea unui condensator electric

Generalizând problema, se poate enunţa legea conducţiei electrice sub formă integrală:

intensitatea iΣ a curentului electric de conducţie care iese dintr-o suprafaţa închisă Σ , ataşată conductoarelor parcurse de curent, este egală, în fiecare moment, cu viteza de scădere a

sarcinii qΣ , localizate în interiorul suprafeţei.

33

Relaţia de definiţie a legii este următoarea:

iΣ=−dqΣ

dt(2.1.31)

Convenţie: curentul iΣ este considerat pozitiv dacă iese din suprafaţa Σ şi negativ dacă

intră, fiind asociat, prin convenţie, cu sensul pozitiv al normalei la suprafaţa elementară d A=n⋅dA .Relaţia de mai sus poate fi pusă şi sub forma:

∬Σ

J⋅d A=− ddt∭

VΣ

ρV⋅dv (2.1.32)

Pentru forma locală a legii se aplică teorema Gauss – Ostrogradski membrului I al relaţiei (2.1.32):

∬Σ

J⋅d A=∭VΣ

div⋅J dv (2.1.33)

Ţinând seama de expresia din membrul drept al aceleiaşi relaţii, se obţine:

div J=−dρΣ

dt

(2.1.34)

Relaţia (2.1.34) reprezintă forma locală a legii conservării sarcinii electrice pentru circuite imobile.

Dacă mediul analizat este în mişcare (v≠0 ), în conductoare apare un curent suplimentar - curentul de convecţie, astfel încât legea sub forma integrală devine:

iΣ+iv=−dqΣ

dt(2.1.35)

2.1.11 Legea inducţiei electromagnetice (Faraday)

Este o lege generală şi se bazează pe fenomenul de inducţie electromagnetică (M. Faraday, 24 nov., 1831): variaţia în timp a fluxului magnetic ce străbate orice suprafaţă

deschisăSΓ care se sprijină pe conturul închis Γ produce o t.e.m. de contur eΓ , numită şi t.e.m. indusă/solenoidală, al cărei sens se opune cauzei care a produs-o (regula lui Lenz, 1834). Se poate scrie, ca urmare:

(2.1.36)

relaţie care exprimă forma integrală a legii inducţiei electromagnetice şi care se enunţă astfel:

tensiunea electromotoare de contur (eΓ ), produsă prin inducţie electromagnetică în lungul

34

unei curbe închise (Γ ), este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic (φSΓ ) prin orice

suprafaţă deschisă (SΓ ) ce se sprijină pe curba (Γ ) (fig.2.1.8). În fig.2.1.8 variaţia fluxului magnetic este scăzătoare, conform semnului minus din formula (2.1.36).

Punând cei doi membri ai relaţiei (2.1.36) se pun sub forma:

eΓ=∮Γ

E⋅d s

respectiv:

relaţia de mai înainte se mai poate scrie:

∮Γ

E⋅d s=− ddt∬

SΓ

B⋅¿d A ¿ (2.1.37)

În expresia legii inducţiei electromagnetice fluxul este un flux total. Dacă acest flux este produs de o bobină cu N spire, relaţia (2.1.36) devine:

(2.1.38)

unde φ f reprezintă fluxul fascicular, adică fluxul produs de o singură spiră a bobinei.

Fig. 2.1.8 Producerea tensiunii electromotoare induse

Cum, în general, un câmp electric E este de forma: E=Ec+E i+ES , unde :

Ec - câmpul coulombian, Ei - câmpul imprimat, Es - câmpul solenoidal/indus, iar ∮Γ

Ec⋅d s şi

∮Γ

E i⋅d s sunt nule în acest caz, rezultă că în expresia (2.1.37) câmpul E reprezintă numai

câmp indus sau solenoidal (E=Es ).

35

În cazul mai general, în care domeniul cuprins de este în mişcare cu viteza , membrul drept al relaţiei (2.1.37.) se descompune, pe baza noţiunii de derivată de flux, în doi termeni,

şi , unde:

eΓ t=−∬

SΓ

∂B∂ t

d A (2.1.39)

şi poartă numele de t.e.m. de transformare indusă, produsă prin variaţia în timp a fluxului magnetic prin spiră, iar:

eΓ m=∮

Γ

(v×B )d s (2.1.40)

şi poartă numele de t.e.m. de mişcare (de rotaţie sau translaţie), aceasta din urmă apărând în

cazul inducţiei B variabilă sau constantă în timp şi a circuitului (Γ ) în mişcare cu viteza .

În concluzie, t.e.m. eΓ t apare în cazul inducţiei B variabilă în timp şi a circuitului (Γ )

imobil, iar t.e.m. apare în cazul inducţiei B variabilă sau constantă în timp şi a circuitului (Γ ) mobil; prima fiind specifică funcţionării transformatoarelor electrice, iar cea de-a doua – maşinilor electrice rotative, unde conturul , materializat de spirele bobinelor, taie în mişcare liniile câmpului magnetic inductor.

Deducerea analitică a t.e.m. de mişcare (eΓ m )

Se consideră un element d s al circuitului (Γ ) în mişcare de translaţie cu viteza v (fig. 2.1.9).

Fig. 2.1.9 Elementul d s al circuitului (Γ ) în mişcare de translaţie

Într-un interval dt, acest element se deplasează pe distanţa v⋅dt descriind suprafaţa

elementară dA=(v×d s )dt . Calculând fluxul elementar prin această suprafaţă, respectiv:

dφ=B⋅d A=B( v×d s )dt , se obţine t.e.m. sub forma:

deΓ=−B(v×d s )=(v×B )d s De unde, integrând pe întregul circuit (Γ ), se obţine relaţia:

eΓ m=∮

Γ

(v×B )d s

(2.1.41)

Ţinând seama de expresiile lui eΓ t şi

eΓ m , legea inducţiei electromagnetice se mai poate scrie sub forma integrală dezvoltată:

36

eΓ=eΓ t+eΓ m

(2.1.42)

sau:

∮Γ

E⋅d s=−∬SΓ

∂B∂ t

d A+∮Γ

(v×B )d s (2.1.43)

Forma locală a legii pentru medii imobile are forma:

(2.1.44)

şi reprezintă cea de a doua ecuaţie a lui Maxwell. Legea inducţiei electromagnetice evidenţiază o primă legătură între câmpul electric şi cel magnetic: variaţia în timp a câmpului magnetic produce câmp electric solenoidal (cu linii de câmp închise, spre deosebire de câmpul electric produs de sarcinile electrce libere care este format din linii electrice deschise). Legea este generală, deoarece nu depinde de material; astfel, dacă curba este materializată de o spiră închisă, prin ea va circula un curent electric indus, corespunzător legii

conducţiei ; dacă spira este deschisă, la bornele ei se va putea măsura o tensiune electrică. Mai mult, liniile de câmp electric – închise, în acest caz - apar şi în aer, în absenţa unui mediu conductor.

2.1.12 Legea circuitului magnetic (Ampere-Maxwell, 1863-1865)

Este o lege generală, elaborată de Maxwell prin generalizarea teoremei lui Ampere,

care, sub forma integrală, se enunţă astfel: tensiunea magnetomotoare de-a lungul unui traseu închis, definit de o curbă Γ , care trece prin porţiuni de circuit magnetic şi prin

dielectric, este dată/produsă de suma dintre solenaţia curenţilor electrici de conducţie, ΘSΓ ,

prin orice suprafaţă SΓ care se sprijină pe curba Γ , şi viteza de creştere a fluxului electric prin acea suprafaţă (fig. 2.1.10):

umm Γ=ΘSΓ+dψ SΓ

dt(2.1.45)

Ţinând seama că um

mΓ=∮

Γ

H⋅d s;

ΘSΓ=∬SΓ

J⋅d A; iar

ψSΓ=∬SΓ

D⋅d A, relaţia (2.1.45)

devine:

∮Γ

H⋅d s=∬SΓ

J⋅d A+ ddt∬

SΓ

D⋅d A

(2.1.46)

37

Fig. 2.1.10 Producerea tensiunii magnetomotoare

Mai general, dacă mediul cuprins de este în mişcare, cu ajutorul noţiunii de derivată de flux se demonstrează că membrul drept al relaţiei de mai sus conţine, pe lângă

solenaţie (curentul de conducţie total), alţi trei termeni şi anume iD , iV , iRt . Astfel:

iD=∬SΓ

d Ddt

d A=∬SΓ

J D⋅d A (2.1.4.)

şi reprezintă curentul de deplasare, care apare în dielectrici în cazul inducţiei electrice

variabile în timp, curba Γ şi fiind imobile (cu J D=

d Ddt s-a notat densitatea curentului de

deplasare);

iv=∬SΓ

v⋅ρv⋅d A (2.1.48)

şi reprezintă curentul de convecţie, care apare în cazul deplasării cu viteza v a unui corp

metalic încărcat cu sarcină electrică, având repartiţia volumetrică ρv ;

iRt=∮

Γ

(D×v )d s (2.1.49)

şi reprezintă curentul Roentgen teoretic, care apare în cazul corpurilor izolatoare polarizate electric, aflate în mişcare. Ca urmare, expresia integrală dezvoltată a legii se mai poate scrie sub forma:

,

(2.1.50)

respectiv:

Punând:

iH=iD+iv+iRt(2.1.51)

se obţine, în final:

, (2.1.52)

unde iH poartă numele de curent hertzian.

38

Observaţie

Introdus, ca noţiune teoretică, de Maxwell, curentul de deplasare explică continuitatea curentului electric variabil în timp prin condensatoarele electrice din circuitele - de exemplu - de curent alternativ sinusoidal (fig. 2.1.11); de asemenea, contribuie la explicarea producerii şi propagării undelor electromagnetice în spaţiul liber.

Fig. 2.1.11 Curentul de conducţie şi cel de deplasare

În conductoare ( ) este important numai curentul de conducţie, i , curentul de deplasare fiind nul, iar în dielectricul condensatoarelor (mediu izolator) este important

curentul de deplasare, iD , curentul de conducţie fiind nul; evident, ei au aceeaşi valoare. Ca

urmare, pentru suprafaţa legea circuitului magnetic va conţine în membrul drept numai

termenul ΘSΓ :

; ΘSΓ=N⋅i

unde N este numărul de conductoare cuprins în SΓ , iar i – curentul total prin acestea; pentru

suprafaţa SΓ 2 , legea circuitului magnetic va conţine în membrul drept numai termenul iD :

iD=∬SΓ 2

d Ddt⋅d A

( iV şi iRt sunt nuli în medii imobile).

Forma locală a legii: se obţine din forma integrală (2.1.46) aplicând teorema lui Stokes primului membru:

rot H=J+∂ D

∂ t=J +J D

(2.1.53)

Această relaţie reprezintă prima ecuaţie a lui Maxwell şi pune în evidenţă, şi la nivel local, faptul că liniile (închise/rotaţionale/solenoidale) de câmp magnetic sunt produse în jurul conductoarelor parcurse de curent electric staţionar/variabil în timp (având densitatea J) , precum şi în jurul condensatoarelor parcurse de curent variabil în timp (având densitatea JD).

Legea circuitului magnetic evidenţiază o altă dependenţă dintre câmpul magnetic şi cel electric: variaţia în timp a unui câmp electric produce un câmp magnetic.

39

12u 21u

0q1 0q2

0q2

0q2

0q2 0q1

0q1

0q1

12F

12F

21F

21F

21F

21F

12F

12F

12u

12u

12u

21u

21u

21u

R

R

R

R

Legea inducţiei electromagnetice şi legea circuitului magnetic sunt două legi fundamentale ale fenomenelor electromagnetice, care pun în evidenţă intercondiţionările dintre câmpul electric variabil în timp şi câmpul magnetic variabil în timp şi au un rol esenţial în explicarea producerii şi propagării la distanţă a undelor electromagnetice.

2.2. Principalele teoreme ale fenomenelor electromagnetice

2.2.1 Teoreme specifice regimului electrostatic

Teorema lui CoulombAceastă teoremă (Ch.Aug.Coulomb, 1875) arată că forţa de interacţiune dintre două

mici corpuri de probă încărcate cu sarcinile q1 , respectiv q2 , imobile, aflate în vid la distanţa R una faţă de cealaltă, este dată de relaţia:

F12=1

4 πεo

⋅q1⋅q2

R2u12

(2.2.1)

undeε 0=

1

4 π 9⋅109( F

m) este, aşa după cum s-a mai arătat, permitivitatea electrică a vidului.

Experienţa arată că corpurile încărcate cu sarcini de acelaşi semn se resping, iar cele

încărcate cu sarcini de semne contrare se atrag. Dacă se notează cu u12 , respectiv u21 versorii distanţelor orientate de la corpul 1 la 2, respectiv de la 2 la 1, reprezentările vectoriale ale forţei de interacţiune dintre corpuri, numită şi forţa lui Coulomb, arată ca în fig. 2.2.1.

Scriind pe u12=

RR , relaţia (2.2.1) poate fi pusă şi sub forma:

F12=1

4 πεo

⋅q1⋅q2

R3R (2.2.2)

În modul, forţa devine:

|F12|≡F12=1

4 πεo

⋅q1⋅q2

R2(2.2.3)

Fig. 2.2.1 Forţa lui Coulomb

40

Teorema lui Gauss Teorema lui Gauss reprezintă un caz particular al legii fluxului electric şi se exprimă sub forma:

Ψ EΣ≡∯

Σ

Ev¿dA= 1ε o

¿qΣ(2.2.4)

Enunţ: Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă Σ , în vid, este

egal cu raportul dintre sarcina electrică qΣ din interiorul suprafeţei Σ şi permitivitatea

vidului, ε o . Pentru obţinerea relaţiei (2.2.4) se pleacă de la relaţia: Dv=εo Ev , valabilă în

vid, astfel încât legea fluxului electric devine:

∯Σ

Dv⋅dA=ε o∯Σ

Ev⋅dA=qΣ(2.2.4.')

de unde rezultă relaţia (2.2.4).

Teorema potenţialului electrostatic ( şi electric)Enunţ: În regim electrostatic circulaţia vectorului câmp electric de-a lungul oricărei

curbe închise Γ , dusă prin vid, este nulă:

∮Γ

EV⋅ds=0 (2.2.5.a)

Relaţia (2.2.5.a) reprezintă forma integrală a legii. Forma locală este dată de relaţia:

E=−gradV (2.2.5.b)

Teorema reprezintă un caz particular al legii inducţiei electromagnetice.

Consecinţele teoremei potenţialului electrostatic sunt următoarele:

a. În regim (câmp) electrostatic tensiunea electrică dintre două puncte nu depinde de drum.

Demonstraţie:

Fie două puncte, M şi N, într-un câmp electrostatic oarecare, în vid, şi două drumuri oarecare între aceste puncte (fig. 2.2.2).

Fig. 2.2.2 Consecinţa a

Se vede că cele două drumuri (C1 şi C2) constituie împreună drumul închis Γ :

41

C1∪C2=Γ

Relaţia (2.2.5.a.) se mai poate scrie sub forma:

de unde:

∫M C1

N

Ev⋅d s=−∫N C2

M

Ev¿ d s= ∫MC2

N

Ev ¿d s

b. Tensiunea electrică dintre două puncte aflate în câmp electrostatic este egală cu diferenţa potenţialelor celor două puncte.

Deoarece ∮Γ

Ev⋅d s=0, înseamnă că mărimea infinitezimală E⋅d s este o diferenţială totală.

Ca urmare se poate introduce o mărime scalară V, numită potenţial electric, astfel încât se

poate scrie: .

Semnul minus este introdus prin convenţie şi are semnificaţia fizică următoare: deplasarea unei sarcini unitare în lungul unei linii de câmp, în sens opus acesteia, de pe pământ (în general de la mare distanţă) spre sarcina sau distribuţia de sarcini care produce

câmpul, presupune învingerea forţei câmpului (E ). Integrând pe Ev⋅d s pe un drum oarecare între cele două puncte din câmp, se poate scrie:

∫M

N

Ev⋅d s=−∫M

N

dV=V M−V N=U MN(2.2.6)

sau:

U MN=V M−V N

Deşi U MN este o mărime scalară, se dă acesteia un sens pozitiv, prin convenţie, orientat de la primul indice către cel de-al doilea (fig. 2.2.3).

Fig. 2.2.3 Consecinţa b

42

Dacă se consideră că punctul M→M 0 , unde M 0 este situat la distanţă mare (M 0→∞ ) de punctul N (de regulă - pe pământ), atunci se poate aprecia că punctul N devine

practic acelaşi cu M în raport cu această distanţă (N→M ) şi, în aceste condiţii, se poate scrie:

∫M

N

Ev⋅d s=∫M 0

M

Ev⋅d s=V M0−V M

Punând V M 0

≡V 0 şi V M≡V se obţine, în final:

∫M 0

M

EV⋅¿ds=V 0−V ¿

sau:

V=V 0−∫M 0

M

Ev⋅d s (2.2.7)

Relaţia (2.2.7) constituie relaţia de definiţie a potenţialului electrostatic (V 0 este

potenţialul de referinţă, în mod obişnuit acesta fiind potenţialul pământului: V 0=0 ). Teorema este valabilă în regim electrostatic şi regim electrocinetic staţionar şi cvasistaţionar.

Observaţie

Relaţiile legate de cele două consecinţe a şi b sunt valabile atât în vid, cât şi în aer, după cum arată experienţa.

Teorema conservării componentelor normale ale inducţiei electriceEnunţ: La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate, Sd, care separă două medii

imobile, neîncărcată cu sarcină electrică (ρS=0 ), componentele normale

ale inducţiei electrice se conservă (trec în mod continuu dintr-un mediu în altul):

D1 n=D2n(2.2.8)

Demonstraţie

Se consideră o suprafaţă închisă Σ , de forma unui paralelipiped, având aria bazeiΔA

şi grosimea foarte mică (Δh→0 ), care înconjoară un punct oarecare M aflat pe suprafaţa Sd.

Se face o secţiune prin suprafaţa Σ cu un plan care conţine vectorii D1 , D2 şi punctul M∈Sd (fig. 2.2.4).

43

Fig. 2.2.4 Conservarea componentelor normale ale lui D

Normala n12 , orientată dinspre mediul 1 spre mediul 2 se consideră pozitivă, iar normala n21

se consideră negativă (n21=−n12 ). Ca urmare şi Δ A12=−Δ A21=−Δ A .

Aplicând legea fluxului electric suprafeţei închise Σ şi ţinând seama că fluxul prin suprafeţele laterale este practic nul, se obţine:

∯Σ

D⋅d A=D1⋅n21⋅ΔA+D2⋅n12⋅ΔA=D1cos α1 ΔA+D2cosα 2 ΔA=0;

n21⋅ΔA=−Δ A ;

n12⋅ΔA=Δ A .

De unde rezultă: D1 n=D2n .

Teorema conservării componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului electric

Enunţ: La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate, Sd, care separă medii imobile, componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului electric se conservă (trec continuu dintr-un mediu în celălalt) (fig. 2.2.5):

E1 t=E2 t (2.2.9)

Se consideră o curbă închisă Γ de formă dreptunghiulară, cu dimensiunea laterală Δh→0 ,

care include punctul M, aflată în acelaşi plan cu vectorii câmpului electric E1 şi E2 . Aplicând teorema potenţialului electric pe curba Γ , se poate scrie:

∮Γ

E d s=E1(−Δ s )+E2 (Δ s )=−E1⋅Δs⋅sin α 1+E2⋅Δs⋅sin α2=0;

de unde rezultă relaţia : (2.2.9.) .

Fig. 2.2.5 Conservarea componentelor tangenţiale ale lui E

Teorema refracţiei liniilor de câmp electric Enunţ: La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate, Sd, dintr-un mediu cu

permitivitate ε 1 într-un mediu cu permitivitate ε 2 , raportul dintre tangentele unghiurilor de

incidenţă α 1 şi de refracţie α 2 este egal cu raportul permitivităţilor celor două medii:

44

tgα 1

tgα 2

=ε1

ε2

(2.2.10)

Demonstraţie. Din teoremele anterioare se observă că:

D1 n=D2n ; D1cos α1=D2cos α2

E1 t=E2 t ; E1sin α1=E2sin α 2

(2.2.11)

Pe de altă parte, conform legii polarizaţiei temporare – forma tehnică, se pot scrie relaţiile:

D1=ε1 E1 ; D2=ε2 E2 (2.2.12)

deoarece mediile (1) şi (2) sunt omogene şi izotrope; rezultă relaţia (2.2.10).

Teorema energiei în câmpul electrostaticEnunţ: energia înmagazinată în câmpul electrostatic al unui sistem de n conductoare,

încărcate cu sarcinile q1 , q2 , . .. .. . . qn şi având potenţialele V 1 ,V 2 , .. . .. .. V n , este dată de semi-suma produselor dintre sarcini şi potenţiale, luate pentru fiecare conductor în parte.

Expresia formală a teoremei este:

W e=

12∑k=1

n

qk⋅V k(2.2.13)

De exemplu, energia înmagazinată în câmpul electric al unui condensator electric,

având armăturile încărcate cu sarcinile q1 =+ q , q2=−q şi potenţialele V 1 şi V 2 este:

W e=12(V 1⋅q−V 2⋅q )=

12

q⋅U (2.2.14)

Dacă se ţine seama de teorema capacităţii electrice, C= q

U , rezultă:

W e=12

C⋅U2=12⋅q2

C(2.2.15)

unde U=V 1−V 2 reprezintă tensiunea electrică la bornele condensatorului.

Expresia (2.2.13) reprezintă forma integrală a teoremei energiei.

Sub forma locală, aceasta se poate scrie:

we=12

D⋅E=12

E⋅E2 12⋅D2

E

(2.2.16)

unde cu we s-a notat densitatea de volum a energiei înmagazinată în câmpul electrostatic al sistemului de conductoare.

Pornind de la această densitate, energia câmpului electric mai poate fi scrisă sub forma:

W e=∭V

we⋅dV=12∭

V

D⋅¿E⋅dV ¿.

(2.2.17)

45

2.2.2 Teoreme specifice regimului electrocinetic staţionar şi cvasistaţionar Teorema potenţialului electric staţionar

Enunţ: În regim electrocinetic staţionar (regimul de curent continuu) şi cvasistaţionar (în practică – regimul de curent alternativ sinusoidal) circulaţia intensităţii câmpului electric este nulă de-a lungul oricărui contur închis (Γ ), oricum ar fi trasat acesta (prin conductoare sau, în parte prin conductoare şi în parte prin dielectrici):

∮Γ

E⋅d s=0 (2.2.18)

Rezultă că, în regim electrocinetic staţionar, ca şi în cazul regimului electrostatic,

circulaţia vectorului E nu depinde de curba de integrare şi, deci, că produsul E⋅d s este o diferenţială totală. Ca urmare, se poate defini, ca şi în cazul regimului electrostatic, o funcţie scalară numită potenţial electric, respectiv o diferenţă de potenţial, care poartă numele de tensiune electrică.

V P=V Po−∫Po

P

E⋅d s; U12=V 1−V 2

(2.2.19)

În figura (2.2.6) este prezentat un conductor în regim electrostatic (a) şi în regim electrocinetic (b).

În regim electrostatic potenţialul este constant în lungul conductorului, pe când în regim electrocinetic potenţialul variază de la un punct la altul al conductorului parcurs de curent.

Câmpul electric E este nul în interiorul conductorului aflat în regim electrostatic, dar este diferit de zero în interiorul conductorului parcurs de curent continuu, conform legii

conducţiei electrice (E+E i=ρ J ). La suprafaţa conductorului parcurs de curent electric, liniile de câmp electric sunt înclinate, această direcţie fiind rezultatul sumării vectoriale dintre

câmpul En , normal pe suprafaţa conductorului (produs de distribuţia de sarcină electrică

liberă de pe suprafaţă) şi Et , tangent la suprafaţa conductorului (egal cu câmpul din interior, E int , conform teoremei conservării componentelor tangenţiale la suprafaţa de separaţie dintre două medii diferite).

Fig. 2.2.6.a Conductor în regim electrostatic

Fig. 2.2.6.b Conductor în regim electrocinetic

Înclinările suprafeţelor echipotenţiale (Vi=ct , unde i=1,2,...n) sunt diferite în cele două regimuri, aşa cum se observă în figură (liniile de potenţial constant sunt perpendiculare pe vectorii câmp-electric).

Teorema continuităţii liniilor de curent electricEnunţ:

46

În regim electrocinetic staţionar liniile de curent (numite şi liniile câmpului vectorial al densităţii de curent) se conservă în cazul unui tub de curent, adică liniile care intră în tub sunt egale cu cele care ies din tub.

Sub altă formă teorema se enunţă astfel: intensitatea curentului electric care trece printr-o suprafaţă închisă (Σ ) este nulă, respectiv curentul care iese din suprafaţă este egal cu cel care intră; liniile de curent nu au început şi nici sfârşit, ele circulând numai pe contururi închise (fig. 2.2.7). Se poate scrie:

(2.2.20)

sau :

i1=i2 .(2.2.21)

Aici suprafaţa Σ s-a luat strâns în jurul segmentului de conductor analizat.

Fig.2.2.7 Continuitatea liniilor de curent electric de conducţie Teorema este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice, cu specificarea faptului că în regim staţionar i=ct., respectiv:

dqΣ

dt=0

Demonstraţie:Se observă din figură că :

,unde :

Σ=S1 U S2 U S lat .

Cum ∬S 1

J⋅d A=−i1 (datorită sensului normalei n1 la suprafaţa S1 ), iar:

∬S 2

J⋅d A=i2

şi:

∬Slat

J⋅d A=0,

(nlat şi J fiind perpendiculari), rezultă, ţinând cont de sensurile normalelor la suprafeţele S1

şi S2, că: −i1+i2=0 , respectiv i1=i2 .

2.2.3 Teoreme specifice regimului staţionar (şi cvasistaţionar) al câmpului magnetic

47

Teorema lui Ampere

Enunţ: Tensiunea magnetomotoare în lungul oricărui contur închis Γ , UmmΓ , în regim

staţionar este egală cu solenaţia ΘS Γ a curentului total de conducţie prin orice suprafaţă SΓ ,

care se sprijină pe curba Γ :

UmmΓ≡∮

Γ

H⋅d s=ΘS Γ(2.2.22)

unde:

ΘS Γ=∬

SΓ

J⋅d A=N⋅i (2.2.23)

Teorema este o consecinţă a legii circuitului magnetic pentru regimul staţionar, regim

în care curentul de deplasare în dielectric este nul (∂ψ SΓ /∂ t=0 ), şi serveşte la calculul circuitelor magnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice care funcţionează în acest regim (relee, electromagneţi, maşini electrice de c.c.).Test de autoevaluare

48