7.8 Forma eksponenciale e serive Furie Seria Furie shpesh shprehet në formën e saj eksponenciale. Avantazhi i formës eksponenciale është se ne kemi nevojë të llogarisim thjeshtë vetëm një integral dhe jo dy integrale si në rastin e serisë trigonometrike, ku duhej të llogarisnim një integral për llogaritjen e an-ve dhe një integral per të llogaritur koeficientet bn. Për më tepër, integrimi ne shumicën e këtyre rasteve është i thjeshtë.

Forma eksponenciale është derivuar nga forma trigonometrike duke zëvendësuar

në sinjalin f(t). Për rrjedhojë:

Duke grupuar termat me eksponente të njejtë përftojmë:

Termat e (7.91) në kllapa janë zakonisht të treguara si:

Kështu (7.91) shkruhet si:

Duhet të kujtojmë se koeficientët Ci, me përjashtim të C0, janë komplekse dhe ndeshen në çifte të konjuguara komplekse siç është:

Ne mund të derivojmë një shprehje të përgjithshme për koeficientët kompleks Cn, duke shumëzuar dy anët e (7.95) me e-jnωt dhe duke integruar mbi një periodë, siç bëmë në derivimin e koeficientëve an dhe bn për formën trigonometrike. Pastaj, me ω=1:

Vërejmë që të gjithë integralet në anën e djathtë të shprehjes (7.97) janë zero me përjashtim të integralit të fundit. Kështu:

ose

dhe, në përgjithësi, për ω≠1,

ose:

Ne mund të derivojmë serinë trigonometrike Furie nga seria eksponenciale nga mbledhja dhe zbritja e koeficienteve Cn dhe C-n të formës eksponenciale. Kështu nga (7.92) dhe (7.93) ,

ose

Në mënyrë te ngjashme:

ose

7.9 Simetria në serinë eksponenciale Furie Meqënëse koeficientët e serisë Furie ne formën eksponenciale paraqiten si numra kompleks, mund te perdorim vetitë e mëposhtme nga 9.7.1 deri tek 9.7.5 për të përcaktuar simetrinë e serisë eksponenciale Furie.

7.9.1 Funksionet çift

Për funksionet çift, të gjithë koeficientët Ci janë real. Kujtojmë nga (7.92) dhe (7.93) që:

dhe

Meqënëse funksionet çift nuk kanë terma sinusoidal, koeficientët bn në (7.104) dhe (7.105) janë zero. Si përfundim edhe C-n edhe Cn janë reale.

7.9.2 Funksionet tek

Për funksionet tek, të gjithë koeficientët Ci janë imagjinare. Meqënëse funksionet tek nuk kanë terma kosinusoidal, koeficientët në (7.104) dhe (7.105) janë zero. Si përfundim edhe C-n edhe Cn janë imagjinare.

7.9.3 Simetria gjysmëvalore

Nëse ka simetri gjysmëvalore, Cn=0 për n=cift. Kujtojmë nga seria trigonometrike Furie që nëse ka simetri gjysmëvalore atëherë të gjitha harmonikat çifte janë zero. Kështu që në (7.104) dhe (7.105) koeficientët an dhe bn janë të dy zero për n=çift, dhe kështu, që të dy C-n dhe Cn janë gjithashtu zero për n=çift.

7.9.4 Pa simetri

Nëse nuk ka simetri atëhere f(t) është kompleks. Kjo është evidente nga 7.9.1, nga 7.9.2 dhe relacionet (7.104) e (7.105).

7.9.5 Lidhja ndermjet C-n dhe Cn*

C-n = Cn* gjithmonë. Kjo është evidente nga (7.104) dhe (7.105).

Shembulli 7.3

Llogarit serinë eksponenciale Furie për valën katërkëndore të paraqitur ne Figurën 7.33 më poshtë. Supozo ω=1.

Figura 7.33. Forma e valës për shembullin 3.7

Zgjidhje:

Kjo është e njejta formë valore si në nënndarjen 7.4.1, dhe siç e dimë, është një funksion tek, ka simetri gjysmëvalore dhe komponentja e tij DC është zero. Kështu koeficientët Cn do të jenë imagjinare, Cn=0 për n=çift dhe C0=0. Duke perdorur (7.99), me ω=1, ne marrim:

dhe për n=0,

siç pritej.

Për n≠0,

Për n=çift, e-jnπ=1; kështu,

siç pritej.

Për n=tek, e-jnπ=-1. Pra,

Duke përdorur (7.94), kjo është:

arrijmë në serinë eksponenciale Furie për formën katerkëndore me simetri tek si:

Shenja minus (-) në dy termat e para brenda kllapave rezulton nga fakti që C-n = Cn*

. Për shembull, meqë C3=2A/j3π, shihet që C-3=C*3=-2A/j3π. Ne vërejmë që f(t) është

qartësisht imagjinare, siç pritej, meqenëse forma e valës është tek.

Për të provuar që (7.109) lart dhe (7.22) janë e njejta gjë, ne grupojmë dy termat brenda kllapave në (7.109) për të cilat n=1; kjo do të prodhojë frekuencën themelore sinωt.

Pastaj, ne grupojmë dy termat për të cilët n=3 dhe kjo do të prodhojë harmonikën e trete sin3ωt, e kështu me radhë.

7.10 Spektra lineare Kur njihen seritë Furie, është e dobishme të paraqiten në diagram amplitudat e harmonikave ne nje shkallë frekuence që tregon harmonikën e parë (frekuencën themelore), dhe harmonikat më të larta shumëzuar me amplituden kryesore. Një paraqitje e tillë grafike është e njohur si spektrumi linear dhe tregon vijat spektrale që do të shfaqeshin nga analiza spektrore*.

Figura 7.34 tregon spektrumin linear të valës katërkëndore në nënndarjen 7.4.1.

Figura 7.34. Spektrumi linear për formën e valës katërkëndore

Figura 7.35 tregon spektrumin linear për drejtuesin gjysmëvalor në nënndarjen 7.4.4.

Figura 7.35 Spektrumi linear per drejtuesin gjysmëvalor

Spektrat linear të formave të tjera valore mund të ndërtohen lehtë nga seria Furie.

Shembulli 7.4

Llogarit serinë eksponenciale Furie për formën e valës në Figurën 7.36 dhe paraqit grafikisht spektrin e saj linear. Supozo ω=1.

Zgjidhje:

Ky puls rekurrent drejtkëndësh përdoret gjerësisht në sistemet e komunikimit dixhital. Për të përcaktuar sa besnikërisht do të transmetohen pulse të tilla, është e nevojshme të njihen komponentet e frekuencave.

Figura 7.36. Forma e valës për shembullin 7.4

Siç tregohet në figurën 7.36, kohezgjatja e pulsit është T/k. Kështu, intervali i përsëritjes (perioda) T, është k shumëzuar me kohëzgjatjen e pulsit. Me fjalë të tjera, k është raporti i përsëritjes së pulsit shumëzuar me secilin puls. Për këtë shembull komponentet e serive eksponenciale Furie gjenden nga

Vlera e mesatares (komponentes DC) gjendet duke lënë n=0. Pastaj, nga (7.110) marrim

ose

Për vlerat e n ≠0, integrimi i (7.110) prodhon

ose

dhe kështu,

Relacioni i (7.113) ka formën sinx/x, dhe spektrat linear tregohen nga figurat 7.37, 7.38 dhe 7.39, respektivisht për k=2, k=5 dhe k=10 duke përdorur skriptet e MATLAB si më poshtë :

fplot('sin(2.*x). / (2.*x)', [−4 4 −0.4 1.2]) fplot('sin(5.*x). / (5.*x)', [−4 4 −0.4 1.2]) fplot('sin(10.*x). / (10.*x)', [−4 4 −0.4 1.2])

Figura 7.37. Spektri linear i (7.113) për k=2

Figura 7.38. Spektri linear i (7.113) për k=5

Figura 7.39. Spektri linear i (7.113) per k =10

Vijat spektrale janë të ndara nga distanca 1/k dhe keshtu, kur k zmadhohet, vijat afrohen me njëea tjetrën ndersa vijat shtyhen menjane kur k behet më e vogël.

Shembulli 7.5

Përdor rezultatin e shembullit 7.4 për të llogaritur serinë eksponenciale Furie të vargut të implulsit njësi Aδ(t±2πn) siç tregohet në Figurën 7.40.

Zgjidhje:

Nga lidhja (7.112),

Figura 7.40. Vargu i impulsit për shembullin 7.4

Dhe gjerësia e pulsit është përcaktuar si T/k, që këtu është:

Pastaj, le të prezantojmë vargun impuls të figurës 7.40, si një puls rekurrent me amplitudë

siç tregohet në figurën 7.41.

Figura 7.41. Pulsi rekurrent me amplitudë A=1/(2π/k)

Nga zëvendësimi i (7.116) në (7.114), ne marrim

dhe si π/k 0, ne vërejmë nga Figura 7.41, që secili puls rekurrent bëhet nje impuls njësi dhe numri total i pulseve reduktohet ne nje varg impulsi njësi. Për më

tepër, duke kujtuar se lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥

= 1, ne shohim se (7.117) reduktohet në Cn=1/2π, pra, gjithë koeficientët e serisë eksponenciale Furie kanë të njëjtën amplitudë dhe kështu,

Seria e (7.118) zbulon që spektri linear i vargut të impulsit të figurës 7.40, konsiston nga një varg i amplitudave , dhe janë harmonika te baraslarguara të treguar në figurën 7.42

Figura 7.42. Spektrumi linear për shembullin 7.5

Meqënëse keto linja spektrale zgjerohen nga −∞ në +∞, gjerësia e brezit arrin në infinit.

Le të konsiderojmë vargun e pulseve rekurrente te treguara në Figurën 7.43.

Figura 7.43. Pulsi rekurrent me T∞

Tani, le të supozojmë që pulset në të majtë dhe në të djathtë të qendrës zero, bëhen pak e më pak frekuent; ose në fjalë të tjera, perioda T arrin në infinit. Në këtë rast, kemi vetëm një puls në të majtë (rreth qendrës zero). Kur T∞ , frekuenca themelore qaset tek zero, pra, ω0 kur T qaset në infinit. Prandaj, diferenca midis frekuencave në mes harmonikave të vijueshme bëhet më e vogël. Në këtë rast,vijat ne spektrumin linear bëhen një spektër i vazhdueshëm. Kjo formon bazat e transformimit Furie të cilin do ta studiojmë në kapitullin tjetër.

7.11 Llogaritja e vlerave efektive (RMS) nga seritë Furie Vlera RMS e një forme vale që përbehet nga sinusoida me frekuenca të ndryshme, është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të vlerave efektive (RMS) të secilës sinusoidë. Kështu, nëse

ku I0 prezanton një rrymë konstante, dhe I1, I2, ..., IN prezanton amplitudat e sinusoidave, vlera RMS e i gjendet nga

ose

Prova e (7.120) bazohet në teoremën e Parsevalit; ne do ta shpallim këtë teoremë në kapitullin tjetër. Një përshkrim i përmbledhur i provës së (7.120) vijon.

Kujtojmë që vlera RMS (efektive) e një funksioni, e tillë si rryma i(t), është e përcaktuar si:

Zëvendësimi i (7.119) në (7.122), do të prodhojë termat I02, I1m2[cos(ω1t-θ)]2, dhe të tjerë terma të ngjashëm që përfaqesojnë rendin e lartësisë së harmonikave. Rezultati do të përmbajë gjithashtu produktet e funksioneve kosinusoidale të shumëzuara nga një konstante, ose trema të tjerë kosinusoidal të frekuencave të ndryshme harmonike. Por siç e dimë, nga parimi i ortogonalitetit, integrimi i (7.122), do të prodhojë të gjithë termat zero me përjashtim të termave të katrorëve kosinusoidal, për secilën harmonikë, do të jetë

Si në (7.121).

Shembulli 7.6

Konsidero formën e figurës 7.44.

Figura 7.44. Forma e valës për shembullin 7.6

Gjej vlerën IRMS për këtë formë vale duke aplikuar :

a) Relacionin (7.122) b) Relacionin (7.121)

Zgjidhje:

a) Nga inspektimi, perioda është T=2π siç tregohet në figurën 7.45.

Figura 7.45. Forma e Valës për shembullin 7.6 që tregon perioden T=2π

Pastaj,

ose IRMS=1.

b) Në nënndarjen 7.4.1, ne gjetëm që forma e dhënë e valës mund të shkruhej si

dhe siç e dimë, vlera efektive e një sinusoide është një numër real i pavarur nga frekuenca dhe nga këndi i fazës, dhe është i barabartë me 0.707 shumëzuar me vlerën e saj maksimale, pra, IRMS=0.707Imax. Pastaj forma (7.121) dhe (7.124),

Ky është një përafrim i mirë tek njësia, duke konsideruar që harmonikat e larta janë neglizhuar.

Ushtrimi nr.1

Llogaritni 5 komponentet e para të serisë trigonometrike Furie për formën e valës së treguar më poshtë. Supozoni ω=1.

Zgjidhje:

Ky është një funksion çift; kështu seria konsiston vetëm në terma kosinusoidal. Nuk ka simetri gjysmë-valore dhe mesatarja (e komponentes DC) nuk është zero. Ne do të integrojmë nga 0 në π dhe shumëzojmë me 2. Pra:

Nga tabelat e integraleve:

dhe kështu (1) bëhet

dhe meqenëse sinntπ = 0 për të gjithë numrat n,

Nuk mund të vlerësojmë mesataren (1/2)a0 nga (2); ne duhet te perdorim (1). Pra, për n=0,

ose

Ne vërejmë nga (2) që për n = çift, an = çift = 0. Kështu, për n = 1, 𝑎1 = −4𝐴𝜋2

, për n = 3,

𝑎3 = − 4𝐴32𝜋2

, për n = 5, 𝑎5 = − 4𝐴52𝜋2

, për n=7, 𝑎7 = − 4𝐴72𝜋2

e kështu me radhë.

Pra: