Outline

TEORI BILANGAN(Kajian tentang aritmatika, sistem dan

representasi bilangan)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika FKIPPS. Sistem Informasi

University of JemberIndonesia

Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Outline

Outline

1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima

2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi

4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Outline

Outline

1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima

2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi

4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Outline

Outline

1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima

2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi

4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Outline

Outline

1 Keterbagian dan Bilangan PrimaKeterbagianBilangan Prima

2 GCD dan Algoritma EuclidisGreatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

3 Kekongruenan dan AplikasinyaKekongruenanAplikasi Kongruensi

4 Sistem dan Representasi BilanganSistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3

5 atau 13 = 2× 5 + 3

Algoritma Pembagian Bilangan Bulat

Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga

b = qa + r

dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.

Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3

5 atau 13 = 2× 5 + 3

Algoritma Pembagian Bilangan Bulat

Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga

b = qa + r

dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.

Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:135 = 2 + 3

5 atau 13 = 2× 5 + 3

Algoritma Pembagian Bilangan Bulat

Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka adatepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga

b = qa + r

dengan 0 ≤ r < a. Dalam hal ini q disebut hasil bagi dan radalah sisa pembagian bila b dibagi a.

Jika r = 0 maka dikatakan b habis dibagi a, atau b adalahkelipatan a, dan dinotasikan a|b

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiap a, b dan c bilangan bulat, maka1 a|0, 1|a dan a|a2 Jika a|b maka a|bc3 Jika a|b dan b|c maka a|c4 Jika a|b maka −a|b5 Jika a|b dan b|a maka a = b atau a = −b6 Jika ab|c maka a|b dan b|c7 Jika a|b dan a|c maka a|bx + cy , untuk suatu bilangan

bulat x dan y

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Definisi

Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima

Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit

Erastothenes

Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤

√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada

bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√

n, makan adalah bilangan prima”

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Definisi

Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima

Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit

Erastothenes

Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤

√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada

bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√

n, makan adalah bilangan prima”

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Definisi

Sebuah bilangan asli p kecuali 1 disebut prima jika pembagipositifnya adalah 1 dan p. Sebuah bilangan prima kecuali 1adalah komposit jika tidak prima

Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukankomposit

Erastothenes

Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima psehingga p|n dan p ≤

√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada

bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤√

n, makan adalah bilangan prima”

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

157 adalah2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangantersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakanbilangan prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√

221 adalah2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka 221 merupakanbilangan komposit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasilproduk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebihkecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikanmenggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses iniberakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilanganprima. Ekspresi ini disebut faktorisasi prima

Teorema Dasar Aritmatika

Faktorisasi prima dari sebuah bilangan asli yang lebih besardari 1 adalah tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktor.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KeterbagianBilangan Prima

Bilangan Prima

Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasilproduk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebihkecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikanmenggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses iniberakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilanganprima. Ekspresi ini disebut faktorisasi prima

Teorema Dasar Aritmatika

Faktorisasi prima dari sebuah bilangan asli yang lebih besardari 1 adalah tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktor.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Definisi

Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).

Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).

Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Definisi

Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).

Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).

Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Definisi

Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).

Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).

Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Definisi

Misal a dan b sembarang bilangan bulat tak negatif dankeduanya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilanganasli terbesar m sedemikian hingga m|a dan m|b. Ditulism = fpb(a, b) atau m = gcd(a, b).

Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b adalahbilangan asli terkecil n sedemikian hingga a|n dan b|n.Ditulis n = kpk(a, b) atau n = lcm(a, b).

Dua bilangan asli a dan b dikatakan coprime (atau relativeprima) jika fpb(a, b) = 1.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27, 45) = 9

gcd(15, 32) = 1

gcd(12, 18) = 6

lcm(12, 18) = 36

lcm(11, 18) = 198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b

1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b

1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b

1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasiprima. Misalnya untuk mendapatkan fpb dan kpk dari a dan b

1 Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing a dan b2 Untuk fpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 Untuk kpk , carilah faktor-faktor prima yang bersekutu danambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikanperpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12 = 22.3

18 = 2.32

fpb(12, 18) = 2.3 = 6

kpk(12, 18) = 22.32 = 36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktorprima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatanpersekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima denganpangkat terbesar?

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untuk x = am.bn.c dan y = ap.bq.Dan misalkan m > p dan q > n,

maka fpb(x , y) = ap.bn

Bukti: misal d adalah faktor persekutuan untuk x dan y .Jika d |ap maka d |am. Jika d |bn maka d |bq. Jika d |c0

maka d |c1

Dan d yang terbesar yang bersifat demikian adalah ap.bn

kpk(x , y) = am.bq.c

Bukti: misal k kelipatan persekutuan dari x dany .Jika am|k maka ap|k . Jika bq|k maka bn|k . Jika c1|kmaka c0|kDan k terkecil yang bersifat demikian adalah am.bq.c

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0, makaGCD(a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagianberikut:

a = q1b + r1; 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2; 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3; 0 < r3 < r2

...

rn−2 = qnrn−1 + rn; 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + 0

Maka rn, pembagi terakhir dari pembagian di atas yangmemberikan sisa 0 merupakan GCD(a, b).

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh

Tentukan GCD(4840, 1512).

Solusi

4840 = 3× 1512 + 304

1512 = 4× 304 + 296

304 = 1× 296 + 8

296 = 37× 8 + 0

Jadi GCD(4840, 1512) = 8.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh

Tentukan GCD(4840, 1512).

Solusi

4840 = 3× 1512 + 304

1512 = 4× 304 + 296

304 = 1× 296 + 8

296 = 37× 8 + 0

Jadi GCD(4840, 1512) = 8.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh

Tentukan GCD(4840, 1512).

Solusi

4840 = 3× 1512 + 304

1512 = 4× 304 + 296

304 = 1× 296 + 8

296 = 37× 8 + 0

Jadi GCD(4840, 1512) = 8.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukan fpb(2093, 836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukan fpb(2093, 836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukan fpb(2093, 836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukan fpb(2093, 836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukan fpb(2093, 836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:1 3024x + 2076y = 122 3024x + 2076y = 363 3024x + 2076y = 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c

1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis

2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali

3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c

1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis

2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali

3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c

1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis

2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali

3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untuk ax + by = c

1 Jika c = fpb(a, b) maka solusi didapat langsung darialgoritma Euclidis

2 Jika fpb(a, b)|c maka solusi didapat dari algoritma Euclidisdengan pengali

3 Jika c bukan kelipatan fpb(a, b) maka persamaan tidakpunya solusi bilangan bulat.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b

lcm(a, b) =ab

gcd(a, b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima

Contoh

kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080

8 = 914760

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b

lcm(a, b) =ab

gcd(a, b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima

Contoh

kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080

8 = 914760

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b

lcm(a, b) =ab

gcd(a, b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima

Contoh

kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080

8 = 914760

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Greatest Common DivisorAlgoritma Euclidis

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalubagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asli a dan b

lcm(a, b) =ab

gcd(a, b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitungan fpb dankpk menggunakan faktorisasi prima

Contoh

kpk(4840, 1512) = 4840×1512fpb(4840,1512) = 7318080

8 = 914760

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Definisi

Misalkan m bilangan asli. Dua bilangan bulat a dan b dikatakankongruen modulo m dan dinotasikan

a ≡ b mod m

jika m|a− b.

Atau secara ekivalen

a ≡ b mod m jika a dan b memberikan sisa yang sama setelahpembagian oleh m.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Definisi

Misalkan m bilangan asli. Dua bilangan bulat a dan b dikatakankongruen modulo m dan dinotasikan

a ≡ b mod m

jika m|a− b.

Atau secara ekivalen

a ≡ b mod m jika a dan b memberikan sisa yang sama setelahpembagian oleh m.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jika m adalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikanrelasi R dalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRb jika a ≡ b mod m

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a ≡ a mod m, untuk semua bilangan bulat a

Jika a ≡ b mod m maka b ≡ a mod m

Jika a ≡ b mod m dan b ≡ c mod m maka a ≡ c mod m

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelasekivalensi modulo m

Misalnya untuk relasi a ≡ b mod 4 maka kelas-kelas ekivalensiyang terjadi adalah:

E(0) = {...,−12,−8,−4, 0, 4, 8, 12, ...}E(1) = {...,−11,−7,−3, 0, 5, 9, 13, ...}E(2) = {...,−10,−6,−2, 0, 6, 10, 14, ...}E(3) = {...,−9,−5,−1, 0, 7, 11, 15, ...}

E(k) = {4n + k ; n ∈ Z}, k = 0, 1, 2, 3

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:1 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a + c ≡ b + d mod m2 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka

a− c ≡ b − d mod m3 Jika a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m maka ac ≡ bd mod m

Bukti sifat 3

Misal a ≡ b mod m dan c ≡ d mod m. Berarti m|a− b danm|c − d . Menggunakan sifat keterbagian, maka m|ac − bc danm|bc − bd . Sehingga m|ac − bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Masalah Kongruensi

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.

Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Masalah Kongruensi

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.

Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Masalah Kongruensi

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.

Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Masalah Kongruensi

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod mmemiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residumodulo m.

Tentukan solusi untuk1 9x + 5 ≡ 10 mod 112 18x + 13 ≡ 6 mod 23

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:

kedatangan pelanggan di suatu konter

seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:

kedatangan pelanggan di suatu konter

seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:

kedatangan pelanggan di suatu konter

seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangansecara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikianhingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untukdibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan randomdigunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikansebuah proses acak, misalnya:

kedatangan pelanggan di suatu konter

seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusiauntuk menyelenggarakan poling opini

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanyamembutuhkan sedikit bilangan saja?

Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangunsebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidakakan punya pola, tetapi dengan percobaan berulang-ulangdalam waktu relatif lama diharapkan keenam bilangan tersebutdapat tampil dengan frekuensi yang sama

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanyamembutuhkan sedikit bilangan saja?

Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangunsebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidakakan punya pola, tetapi dengan percobaan berulang-ulangdalam waktu relatif lama diharapkan keenam bilangan tersebutdapat tampil dengan frekuensi yang sama

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.

Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.

Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.

Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.

Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untukmenanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untukmenjalankan tugas tersebut.

Sebuah komputer merupakan sebuah deterministic device.Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yangsecara prinsip selalu dapat diprediksikan.

Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkankomputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksisecara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini padasebuah komputer disebut bilangan pseudo-random

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0, x1, x2, x3, ...

x0 disebut seed atau benih

Berbeda seed akan menghasilkan barisan yang berbeda,demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasiseed sebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan olehsistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal dengan seed ini, barisan dibangun menggunakansebuah formula rekursif: xi = f (xi−1), i = 1, 2, 3, ...

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Linear Congruential Method

membangun sebuah barisan bilangan pseudo-random darihimpunan {0, 1, 2, 3, ..., m − 1}. Aturan konstruksimenggunakan formula:

xi = axi−1 + c mod m

a dan c konstan. Jika c = 0 maka metode tersebut dinamakanmultiplicative congruential method.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

xi = axi−1 + c mod m

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

xi = axi−1 + c mod m

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

xi = axi−1 + c mod m

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

xi = axi−1 + c mod m

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

xi = axi−1 + c mod m

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, makabarisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalamhimpunan hingga dengan m elemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilihm yang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisansepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, makam juga harus semakin besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 1

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 4 dan c = 3dengan seed = 1

Solusi 1

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (4xi−1 + 3) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 7, 15, 15, ...

Setelah suku ke-3, suku berikutnya semuanya 15.

pemilihan a dan c disini kurang representatif

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 2

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 3 dan c = 7dengan seed = 1

Solusi 2

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (3xi−1 + 7) mod 16

Barisan yang didapat: 1, 10, 5, 6, 9, 2, 13, 14, 1, ...

Setelah suku ke-8, siklus akan berulang

pemilihan a dan c disini walaupun menghasilkan barisanyang lebih baik daripada contoh 1, tetapi tetap kurang ideal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Contoh 3

Gunakan metode kongruensi linier untuk membangun barisanbilangan pseudo-random modulo 16 dengan a = 5 dan c = 11dengan seed = 1

Solusi 3

Relasi rekurensi adalah: x0 = 1, xi = (5xi−1 + 11) mod 16

Barisan yang didapat:1, 0, 11, 2, 5, 4, 15, 6, 9, 8, 3, 10, 13, 12, 7, 14, 1, ...

Barisan memuat semua bilangan bulat dari 0 sampai 15

pemilihan a dan c disini telah menghasilkan barisanbilangan pseudo-random dengan panjang maksimal

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Dari ketiga simulasi terdahulu

1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.

2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).

3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m

4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Dari ketiga simulasi terdahulu

1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.

2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).

3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m

4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Dari ketiga simulasi terdahulu

1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.

2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).

3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m

4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Dari ketiga simulasi terdahulu

1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.

2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).

3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m

4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Dari ketiga simulasi terdahulu

1 Pemilihan a dan c akan mempengaruhi panjang barisanyang dihasilkan.

2 Pemilihan a dan c bukan merupakan pekerjaan yang trivial(sederhana).

3 Panjang maksimal barisan bilangan pseudo-random yangdapat dihasilkan dari himpunan modulo m adalah m

4 Sehingga untuk menghasilkan barisan bilanganpseudo-random yang lebih panjang diperlukan m yanglebih besar.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:

x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536

Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571

Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:

x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536

Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571

Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:

x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536

Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571

Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bangunlah 20 bilangan pseudo-random menggunakangenerator:

x0 = 2187, xi = (2187xi−1) mod 65536

Barisan yang didapat:64377, 21171, 32561, 38811, 10537, 41283, 42849,59819, 14297, 6867, 10385, 36539, 22409, 53091,45761, 5835, 47161, 52979, 62961, 4571

Catatan: 65536 = 216 sehingga sebuah generator dalambentuk ini merupakan pilihan natural pada sebuah mesinyang merepresentasikan bilangan bulat sebagai 16-bitstrings.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1

Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1

Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada kebanyakan aplikasi praktis, setiap bilangan yangdihasilkan dibagi dengan modulus m untuk menghasilkanbarisan bilangan pseudo-random yang didistribusikansecara merata antara 0 dan 1

Konversi barisan yang dihasilkan pada contoh 4, yaknidengan membagi masing-masing bilangan dengan 65536,menghasilkan barisan:0.982315, 0.323044, 0.496841, 0.592209, 0.160782,0.629929, 0.653824, 0.912766, 0.218155, 0.104782,0.158463, 0.557541, 0.341934, 0.810104, 0.698257,0.089035, 0.719620, 0.808395, 0.960709, 0.069748

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).

Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.

Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).

Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.

Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).

Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.

Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Encryption adalah proses mentranformasikan sebuahpesan sedemikian hingga tidak dapat terbaca olehseseorang yang tidak berhak (unauthorised person).

Decryption adalah proses yang diaplikasikan olehseseorang yang berhak terhadap pesan terenkripsi untukmendapatkan pesan asli.

Enkripsi digunakan apabila sebuah data penting harusditransmisikan melalui jaringan komputer; misalnyamengirimkan nomor kartu kredit melalui internet.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1

dari Y ke X

Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim

Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1

dari Y ke X

Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim

Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Jika X adalah himpunan pesan dan Y adalah himpunan pesanterenkripsi, maka enkripsi dapat dinyatakan sebagai fungsi fdari X ke Y , sedangkan dekripsi merupakan fungsi invers f−1

dari Y ke X

Secara logis, baik f maupun f−1 harus dirahasiakan, sebab jikaf dipublikasikan maka setiap orang akan dapat menentukanf−1 sehingga dapat mendekripsi tiap pesan yang dikirim

Ternyata dimungkinkan untuk mendesain sistem public keyencryption, dimana hanya f−1 saja yang perlu dirahasiakan.Hal ini dapat dilakukan dengan membuat proses penurunanf−1 dari f sangat sulit, bahkan oleh komputer yang palingpowerful sekalipun dalam batas waktu yang dimungkinkan.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

RSA Cryptosystem

Rivest, Shamir and Adleman membangun sistem pada1977

RSA saat ini digunakan pada banyak aplikasi: telepon,smart cards, komunikasi internet.

Dalam RSA Cryptosystem, dua bilangan prima besar(berdigit ratusan) yang dijaga kerahasiaannya, digunakanuntuk membangun sebuah kunci enkripsi dan sebuahkunci dekripsi.

Kunci enkripsi dipublikasikan, sementara kunci dekripsihanya diberikan kepada orang yang berhak.

Tanpa mengetahui dua bilangan prima tersebut, mustahiluntuk dapat menentukan kunci dekripsi.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System

1 Diawali 2 bilangan prima yang dijaga kerahasiannya,p = 17 dan q = 23

2 maka n = pq = 391 dan m = (p − 1)(q − 1) = 3523 Menentukan x dan y yang coprime terhadap m = 352 dan

xy ≡ 1 mod 352. Misal x = 29 maka didapat y = 85.4 x = 29 merupakan kunci enkripsi dan y = 85 merupakan

kunci dekripsi.5 x = 29 dan n = 391 dipublikasi, sedangkan y = 85 hanya

diberikan kepada authorised person

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System Lanjutan

1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka

f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan

mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System Lanjutan

1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka

f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan

mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System Lanjutan

1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka

f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan

mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System Lanjutan

1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka

f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan

mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

KekongruenanAplikasi Kongruensi

Public Key Cryptography

Simulasi RSA System Lanjutan

1 Fungsi enkripsi: f (a) = ax mod n2 Misalnya pesan a = 247, maka

f (247) = 24729 mod 391 = 365 mod 3913 pesan terenkripsi adalah = 3654 Pada proses dekripsi, orang yang berhak akan

mengaplikasikan kunci dekripsinya untuk memperolehpesan asli= a = 36585 mod 391, yang akan menghasilkanpesan asli a = 247 mod 391

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Himpunan bilangan

Sebutkan anggota himpunan bilangan:

asli

bulat

rasional

irrasional

riil

Bilangan riil

ditulis dalam sistem desimal sebagai string digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Sistem Desimal

merupakan contoh dari sebuah sistem bilangan posisionalsebab setiap digit memiliki nilai tempat yang tergantung padaposisinya. Misalnya

2345.67 = 2×103+3×102+4×101+5×100+6×10−1+7×10−2

Sistem Desimal

menggunakan basis 10 sebab masing-masing nilai tempatmerupakan perpangkatan dari 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Desimal

Sistem Desimal

merupakan contoh dari sebuah sistem bilangan posisionalsebab setiap digit memiliki nilai tempat yang tergantung padaposisinya. Misalnya

2345.67 = 2×103+3×102+4×101+5×100+6×10−1+7×10−2

Sistem Desimal

menggunakan basis 10 sebab masing-masing nilai tempatmerupakan perpangkatan dari 10

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.

Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.

Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.

1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1

+1× 2−2

= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.

Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.

Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.

1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1

+1× 2−2

= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.

Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.

Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.

1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1

+1× 2−2

= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.

Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.

Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.

1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1

+1× 2−2

= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Sistem Biner merupakan sistem bilangan posisional yangmenggunakan basis 2.

Jika sistem desimal menggunakan 10 digit desimal0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, maka sistem biner menggunakan 2digit biner (atau bits) 0 dan 1.

Sebuah bilangan biner dapat dievaluasi, dan dengandemikian dikonversikan ke desimal, dengan menulisnyadalam bentuk panjangnya.

1101.012 = 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1

+1× 2−2

= 8 + 4 + 1 + 0.25= 13.25

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi

Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);

Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;

Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi

Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);

Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;

Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi

Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);

Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;

Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi

Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);

Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;

Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Mengapa bilangan biner banyak muncul dalam komputasi

Dalam sistem komputasi digital, peralatan untukmenyimpan data atau informasi terdiri atas banyak elemenmemori, yang masing-masing memuat 1 dari 2 pernyataan(termagnetisasi atau tidak, on atau off);

Suatu data ditransmisikan di dalam komputer atau melaluisuatu network, biasanya dikodekan sebagai elemen signalyang mengindikasikan 1 dari 2 makna, ada atau tidaknyaaliran listrik;

Manipulasi data untuk performasi aritmatik dan komputasilainnya menggunakan digital sirkuit yang juga dioperasikandalam sistem biner.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Bilangan Biner

Representasi 0 - 20 dalam sistem biner dan desimal

Biner Desimal Biner Desimal0 01 1 1011 11

10 2 1100 1211 3 1101 13

100 4 1110 14101 5 1111 15110 6 10000 16111 7 10001 17

1000 8 10010 181001 9 10011 191010 10 10100 20

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?

Pola representasi biner

Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1

Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0

Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?

Pola representasi biner

Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1

Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0

Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?

Pola representasi biner

Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1

Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0

Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?

Pola representasi biner

Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1

Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0

Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Bagaimana mengkonversi sistem desimal ke sistem biner?

Pola representasi biner

Representasi biner bilangan ganjil berakhir dengan 1

Representasi biner bilangan genap berakhir dengan 0

Digit terakhir dalam representasi biner merupakan sisa setelahpembagian bilangan dengan 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.

Notasi

n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2

Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.

Notasi

n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2

Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Langkah pertama dalam melakukan konversi desimal ke bineradalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 untukmendapatkan hasil bagi dan sisa.

Notasi

n div 2 adalah hasil bagi jika n dibagi 2n mod 2 adalah sisa jika n dibagi 2

Bilangan biner yang didapat dengan menghapus bit palingkanan dari representasi biner dari n merupakan representasibiner dari n div 2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Algoritma konversi desimal ke biner

1 input n2 Repeat

1 Output n mod 22 n←− n div 23 until n = 0

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Misalnya n = 6

Step n Output1 6 -

2.1 6 02.2 3 -2.1 3 12.2 1 -2.1 1 12.2 0 -

Sehingga representasi biner dari 6 adalah 1102

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Misalnya n = 6

Step n Output1 6 -

2.1 6 02.2 3 -2.1 3 12.2 1 -2.1 1 12.2 0 -

Sehingga representasi biner dari 6 adalah 1102

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.

2 2713 16 13 01 10 1

Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa

2710 = 110112

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.

2 2713 16 13 01 10 1

Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa

2710 = 110112

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Biner

Konversikan bilangan desimal 27 ke representasi binernya.

2 2713 16 13 01 10 1

Pada kolom kanan dibaca dari bawah ke atas, memberikanjawaban bahwa

2710 = 110112

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Notasi

bnc menotasikan bagian bulat dari nfrac(n) menotasikan bagian pecahan dari n

Algoritma Konversi Pecahan Desimal ke Biner

1 input n, digit2 i ←− 03 Repeat

1 i ←− i + 12 m←− 2n3 output bmc4 n←− frac(m)5 until n = 0 atau i = digit

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.

32 20 641 280 561 120 24

Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:

0.3210 = 0.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.

32 20 641 280 561 120 24

Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:

0.3210 = 0.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Konversikan pecahan desimal 0.32 ke repersentasi binernyadengan 5 digit setelah titik.

32 20 641 280 561 120 24

Pada kolom kiri dibaca dari atas ke bawah, memberikan jawab:

0.3210 = 0.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan

Contoh kita sebelumnya menunjukkan

2710 = 110112

dan0.3210 = 0.01010...2

Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa

27.3210 = 11011.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan

Contoh kita sebelumnya menunjukkan

2710 = 110112

dan0.3210 = 0.01010...2

Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa

27.3210 = 11011.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Pecahan Desimal ke Biner

Jika sebuah bilangan memiliki bagian bulat dan bagianpecahan, maka setiap bagian bisa dikonversikan secaraterpisah dan hasilnya dikombinasikan

Contoh kita sebelumnya menunjukkan

2710 = 110112

dan0.3210 = 0.01010...2

Dengan mengkombinasikan keduanya maka didapat bahwa

27.3210 = 11011.01010...2

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Sistem Oktal dan Heksadesimal

Teknik yang dideskripsikan pada bagian terdahulu dapatdigeneralisasikan terhadap basis selain 2.

Pada basis 8 (sistem oktal), bilangan ditulis menggunakan8 digit oktal 0,1,2,3,4,5,6,7. Nilai tempat tiap digitmerupakan perpangkatan dari 8.

Contoh:374.28 = 3× 82 + 7× 81 + 4× 80 + 2× 8−1 = 252.2510

Pada basis 16 (Sistem Heksadesimal) dibutuhkan 16 digit:0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F. Nilai tempat untuk tiap digitmerupakan perpangkatan dari 16.

Contoh:E9C.816 = 14×162+9×161+12×160+8×16−1 = 3740.510

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?

Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner

Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.

Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?

Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner

Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.

Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?

Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner

Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.

Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?

Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner

Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.

Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

Mengapa sistem oktal dan heksadesimal sangat berguna?

Sistem biner sangat penting dalam komputasi, namunbilangan bulat yang besar membutuhkan banyak digitdalam representasi biner

Keuntungan dengan basis yang lebih besar, bilangandapat ditulis menggunakan digit yang lebih sedikit. Tetapisistem desimal kurang nyaman jika kita seringkali harusmengkonversinya ke sistem biner.

Dengan sistem oktal dan heksadesimal, kita dapatmenghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untukmengkonversinya ke sistem biner

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bilangan desimal ke oktal atau heksadesimal analogdengan konversi desimal ke biner; perbedaannya hanyapenggunaan 8 atau 16 sebagai pembagi atau pengali.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 275.437510 ke representasi oktal

Konversi bagian bulat

8 27534 34 20 4

Sehingga 27510 = 4238

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 275.437510 ke representasi oktal

Konversi bagian bulat

8 27534 34 20 4

Sehingga 27510 = 4238

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 275.437510 ke representasi oktal

Konversi bagian bulat

8 27534 34 20 4

Sehingga 27510 = 4238

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

4375 83 50004 0

Sehingga 0.437510 = 0.348

Mengkombinasikan hasilnya didapat:

275.437510 = 423.348

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

4375 83 50004 0

Sehingga 0.437510 = 0.348

Mengkombinasikan hasilnya didapat:

275.437510 = 423.348

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

4375 83 50004 0

Sehingga 0.437510 = 0.348

Mengkombinasikan hasilnya didapat:

275.437510 = 423.348

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal

Konversi bagian bulat

16 98561 93 130 3

Sehingga 98510 = 3D916

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal

Konversi bagian bulat

16 98561 93 130 3

Sehingga 98510 = 3D916

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversikan 985.7812510 ke representasi heksadesimal

Konversi bagian bulat

16 98561 93 130 3

Sehingga 98510 = 3D916

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

78125 1612 500008 0

Sehingga 0.7812510 = 0.C816

Mengkombinasikan hasilnya didapat :

985.7812510 = 3D9.C816

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

78125 1612 500008 0

Sehingga 0.7812510 = 0.C816

Mengkombinasikan hasilnya didapat :

985.7812510 = 3D9.C816

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Desimal ke Oktal atau Heksadesimal

Konversi bagian pecahan

78125 1612 500008 0

Sehingga 0.7812510 = 0.C816

Mengkombinasikan hasilnya didapat :

985.7812510 = 3D9.C816

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal

Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.

Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.

Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.

Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal

Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.

Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.

Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.

Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal

Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.

Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.

Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.

Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal

Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.

Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.

Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.

Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Konversi Biner ke Oktal atau Heksadesimal

Dengan menggunakan sistem oktal dan heksadesimal kitadapat menghindari problem digit yang banyak, sekaligusmendapatkan algoritma sederhana untuk konversi antarabiner dengan oktal dan heksadesimal.

Basis 2 dan 8 dideskripsikan sebagai basis yang berelasi,demikian juga dengan basis 2dan 16.

Untuk mengkonversi biner ke oktal, kelompokkan tiap 3 bitpada tiap sisi dari titik. Tiap grup 3 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasi oktal.

Untuk mengkonversi biner ke heksadesimal, kelompokkantiap 4 bit pada tiap sisi dari titik. Tiap grup 4 bit binerberkorespondensi dengan 1 digit dalam representasiheksadesimal.

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN

Keterbagian dan Bilangan PrimaGCD dan Algoritma Euclidis

Kekongruenan dan AplikasinyaSistem dan Representasi Bilangan

Sistem BilanganKonversi Antar Sistem Bilangan

Terima kasih

TERIMA KASIH

Antonius Cahya Prihandoko TEORI BILANGAN