teorema del flusso portata di una tubatura volume di fluido che attraversa una sezione della...
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TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Volume di fluido che attraversa una sezione della tubatura in un secondo.
Ma anche…prodotto della sezione S per la velocità V
PORTATA = S·V
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Se la superficie non è perpendicolare al vettore velocità il prodotto sarà maggiore, essendo
maggiore S; ma questo non è corretto perché, evidentemente, la quantità di fluido che
attraversa la tubatura è la stessa
BISOGNA MODIFICARE LA FORMULA
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
La definizione generale in questo caso è:
Dove n è il vettore perpendicolare alla superficie e avente modulo uguale a 1
(NORMALE)
PORTATA = S·V ·cosα
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA DI UNA TUBATURA
Se α=0 allora cosα =1 e la nuovadefinizione si riduce alla vecchia
TEOREMA DEL FLUSSO
LINEE DI…
FORZA…? VELOCITA’…?
TEOREMA DEL FLUSSO
PORTATA E FLUSSO
La definizione di portata si può estendere a tutti i campi vettoriali, cioè a quelli che si
possono rappresentare mediante linee di forza
Diventa un’operazione puramente matematica, che in qualche caso si può interpretare
fisicamente
IN QUESTO CASO PERO’ NON LA SICHIAMA PORTATA MA
FLUSSO
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Si dice flusso di un vettore attraverso una superficie il prodotto del vettore per la
superficie per il coseno dell’angolo compreso tra vettore e normale
Φ = S·V ·cosα
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Se però il campo non è uniforme la definizione si rivela del tutto insufficiente
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
In questo caso si divide la superficie in tanti piccolissimi pezzi indicati da un indice i che vale
1,2,3…fino ad esaurimento dei pezzettini…
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Si calcola il flusso su ciascun pezzettino:
Φi = Si ·Vi ·cosαi
TEOREMA DEL FLUSSO
FLUSSO DI UN VETTORE
Quindi si calcola il flusso totale come somma dei singoli flussi elementari di ciascun pezzettino
Ovvero, simbolicamente:
...coscoscos 222222111 vsvsvs
iii
n
i
vs cos1
TEOREMA DEL FLUSSO
QUANTO PICCOLO?
Quanto deve essere piccolo un pezzettino? In realtà deve essere infinitamente piccolo, ovvero
bisogna far tendere il numero delle divisioni all’infinito
iii
n
in
vsLim cos1
TEOREMA DEL FLUSSO
SUPERFICIE CHIUSA
Se la superficie è chiusa, come quella di una sfera, si parla di flusso attraverso una
superficie chiusa
TEOREMA DEL FLUSSO
IL FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
Il flusso del campo elettrico esprime una legge importantissima detta
Questa legge, di fatto, sostituisce la legge di Coulomb in quanto più adatta ad esprimere le
proprietà generali del campo elettrico, assieme a quella della circuitazione.
TEOREMA DI GAUSS
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Il campo elettrico si dice COULOMBIANO quando è prodotto da una carica elettrica Q molto
piccola, al limite puntiforme
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
In questo caso la forza che il campo esercita su una carica di prova q può essere espresso dalla
legge di Coulomb
24
1
r
qQF
o
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Non conviene però riferirsi alla forza, perché questa dipende dalla carica di prova che è solo uno strumento di misura, ma al campo elettrico
E che ne è indipendente
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANOPoiché per definizione:
La formula del CAMPO ELETTRICO COULOMBIANO è:
24
1
r
QE
o
q
FE
TEOREMA DEL FLUSSO
CAMPO COULOMBIANO
Inoltre, le linee di forza di un campo coulombiano sono raggi che escono dalla
carica Q, nel caso che essa sia positiva, o che vi entrano, nel caso sia negativa
PERCHE’ RIFERIRSI AL CAMPO COULOMBIANO?
Perché in questo caso la dimostrazione è particolarmente semplice
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE
Consideriamo una sfera di raggio r con, al centro, una carica Q
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONELe linee di forza sono ovunque perpendicolari
alla sfera, inoltre sulla sfera il campo è uniforme, quindi…
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONE…il flusso si calcola senza tante complicazioni
con la prima definizione
Φ= S·E
TEOREMA DEL FLUSSO
DIMOSTRATZIONEIl campo elettrico si calcola con la legge di
Coulomb, la superficie con la geometria
24
1
r
QE
o 24 rS
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSSMoltiplicando membro a membro:
E, semplificando…
224
4
1r
r
QSE
o
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSS… si ottiene il risultato:
o
Q
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSSSe nella superficie ci sono più cariche…
TEOREMA DEL FLUSSO
TEOREMA DI GAUSSAl posto di Q si prende la somma di tutte le Q
n
kk
osc QE
1
1)(