temelji mehanike fluida (4,6 mb)

ZELJKO ANDREIC

TEMELJI MEHANIKE FLUIDA

RUDARSKO-GEOLOSKO-NAFTNI FAKULTETZAGREB 2014.

i

SVEUCILISNI E-UDZBENIKMANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

ii

Izdavac:Sveuciliste u Zagrebu

Rudarsko-geolosko-naftni fakultet

Urednik:Vesnica Garasic

Recenzenti:prof. dr. sc. Ranko Zugaj, dipl. in. grad.

prof. dr. sc. Nevenka Ozanic, dipl. in. grad.doc. dr. sc. Antonija Jaguljnjak Lazarevic, dipl. in. grad.

Lektor:prof. Ranko Zugaj

Naslovna stranica:Zeljko Andreic

Dio cjevovoda u tvornici vode, Botonega

Racunalna obrada teksta:Zeljko Andreic

Graficko uredenje, prijelom i e-tisak:Zeljko Andreic

Naklada:e-izdanje

ISBN: 978-953-6923-22-9

c© Sva prava pridrzava autorDatum zadnje promjene: sijecanj 22, 2014.

Odlukom Senata Sveucilista u Zagrebu, klasa 032-01/09-01/09, Urbroj 380-04/38-13-5 od16. listopada 2013. godine odobrava se udzbeniku pod naslovom Temelji mehanike fluida

autora dr. sc. Zeljka Andreica koristenje naziva sveucilisni e-udzbenik (ManualiaUniversitatis studiorum Zagrabiensis).

Kazalo

Kazalo vi

Popis slika x

Popis tabela xi

Popis simbola xiii

Predgovor 1

1 Uvod 31.1 Osnovna svojstva fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Gustoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Stlacivost fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Tlak para tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Povrsinska napetost tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Kapilarnost tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Anomalije vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Fluid u gibanju 132.1 Model kontinuuma i cestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Sile koje djeluju na cesticu fluida u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Eulerova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Eulerova jednadzba u kvazi-jednodimenzionalnom slucaju . . . . . . . 172.3.2 Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadzba za fluid u polju sile teze 18

3 Statika fluida 213.1 Staticka Eulerova jednadzba za polje sile teze . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Pascalov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Mjerenje tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Sile hidrostatskoga tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Hidrostatska sila na dno posude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Plutanje i ravnoteza plutajucih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1 Uzgon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

iv KAZALO

3.5.2 Plutanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Translacija i rotacija tekucine kao cjeline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.1 Horizontalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6.2 Vertikalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6.3 Koso ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6.4 Rotacija tekucine u otvorenoj posudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6.5 Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu . . . . . . 45

4 Kinematika fluida 494.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Eulerov (lokalni) pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Prikazivanje (vizualizacija) tecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1 Strujna cijev i strujno vlakno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Izvori i ponori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Potencijalno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.1 Osnovna potencijalna strujanja u 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) 615.1 Posebni oblici jednadzbe neprekidnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Stacionarno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.1.2 Tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.1.3 Kvazi-jednodimenzionalni slucaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Dimenzionalna analiza 676.1 Mali broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Primjer: brzina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Veliki broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.1 Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Stacionarno tecenje idealnoga fluida 717.1 Ravnoteza u smjeru okomitom na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Bernoullijeva jednadzba za idealne tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Stacionarno tecenje realnoga fluida 778.1 Bernoullijeva jednadzba za realne tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.1.1 Odredivanje gubitaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Tecenje kroz cijevi 819.1 Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 Gubici u cjevovodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.3 Laminarno tecenje kroz cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.1 Duljina formiranja laminarnoga toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.4 Vrtlozno (turbulentno) tecenje kroz cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.5 Profil brzine kod vrtloznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.6 Hidraulicka hrapavost i hidraulicka glatkost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.7 Koeficijent trenja hrapavih cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

KAZALO v

9.8 Lokalni gubici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.8.1 Ulazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.8.2 Dijafragme i sapnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.8.3 Suzenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.8.4 Prosirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.8.5 Venturijeva cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.8.6 Ventili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.8.7 Koljena i lukovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.8.8 Filteri i resetke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.8.9 Racve i spojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.8.10 Izlazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.8.11 Izlazna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.9 Zbrajanje otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10 Proracun jednostavnoga cjevovoda 11910.1 Poznato je v i d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.2 Poznato je Q i d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.3 Poznato je Q i v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.4 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.5 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.6 Poznato je Q i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.7 Prikazivanje energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.8 Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11 Istjecanje 13111.1 Istjecanje kroz mali otvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.2 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrsine tekucine . . . . . . . . . . . . . . . 13311.3 Istjecanje iz posude pod tlakom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.4 Istjecanje kroz veliki otvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.5 Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekucina ne miruje . . . . . . . . . . . . . 13611.6 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.7 Mlazovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.7.1 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.7.2 Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.7.3 Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12 Tecenje u otvorenim koritima 14312.1 Jednoliko tecenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

12.1.1 Veza koeficijenata trenja za cijev i za otvoreni tok . . . . . . . . . . . 14612.1.2 Protocna krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

12.2 Nejednoliko tecenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.3 Specificna energija presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.4 Preljevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

12.4.1 Preljev sa sirokim pragom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.4.2 Preljev prakticnoga profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.4.3 Slapiste i vodni skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Literatura 157

vi KAZALO

Indeks 158

Popis slika

1.1 Definicija gustoce homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno). . . . . 41.2 Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Dokazivanje tlaka pare tekucine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Povrsinska napetost tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Vaga za mjerenje povrsinske napetosti tekucine. . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Kapilarnost tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Shematski prikaz molekule vode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9 Gustoca vode u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Definicija cestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Definicija elementa puta (lijevo), povrsine (sredina) i volumena (desno). . . . 142.3 Elementarna cestica fluida nosena tokom fluida kroz prostor. . . . . . . . . . 152.4 izvod Eulerove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Kvazi 1-D Eulerova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Kvazi 1-D Eulerova jednadzva uz silu tezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Osnovni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . 233.3 Standardni Kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . . 233.4 Ilustracija Pascalovoga zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Princip rada barometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Princip rada piezometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Princip rada manometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.8 Manometar sa dvije tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.9 Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrzi tekucinu. . . . . . . . . . . . . 293.10 Ilustracija hidrostatskog paradoksa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.11 Hidrostatska sila na dno zatvorene posude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.12 Hidrostatska sila na ravnu bocnu stijenku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.13 Komponente hidrostatske sile na ravnu bocnu stijenku. . . . . . . . . . . . . 323.14 Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.15 Hidrostatska sila na stijenku cijevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.16 Sila na tijelo uronjeno u fluid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.17 Uzgon kod plutanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.18 Ravnoteza tijela koje pluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.19 Ravnoteza broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.20 Prevrtanje broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.21 Translacija tekucine kad je ubrzanje horizontalno. . . . . . . . . . . . . . . . 40

vii

viii POPIS SLIKA

3.22 Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekucine. . . . . . . . . . . . 413.23 Translacija tekucine kad je ubrzanje vertikalno. . . . . . . . . . . . . . . . . 423.24 Translacija tekucine kad je ubrzanje koso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.25 Rotacija tekucine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . . 433.26 Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.27 Oblik povrsine tekucine kod rotacije oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . . 453.28 Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . 463.29 Porast tlaka kod promjene smjera tecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1 Lagrangeov pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Eulerov pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Relativnost stacionarnosti 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Relativnost stacionarnosti 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Staza cestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6 Pojam strujnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.7 Geometrijska konstrukcija strujnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.8 Strujna cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.9 Strujno vlakno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.10 Graficko prikazivanje tecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.11 Profil brzine kod laminarnog tecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.12 Elementarni izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.13 Elementarni ponor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.14 Slaganje osnovnih strujanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Zakon neprekidnosti (izvod) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1 Ravnoteza toka okomito na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Bernoullijeva jednadzba za idealne tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3 Prakticni oblik Beornoullijeve j. za idealne tekucine . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1 Prakticni oblik Bernoullijeve jednadzbe za realne tekucine . . . . . . . . . . 78

9.1 Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 Reynoldsov pokus - male brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.3 Reynoldsov pokus - srednje brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.4 Reynoldsov pokus - srednje brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.5 Reynoldsov pokus - velike brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.6 Reynoldsov pokus - velike brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.7 Hidraulicki radijus cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.8 Analiza viskoznih gubitaka u cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.9 Viskozni gubici kod laminarnoga tecenja kroz cijev . . . . . . . . . . . . . . 889.10 Promjena koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.11 Profil brzine kod laminarnoga tecenja kroz cilindricnu cijev. . . . . . . . . . 909.12 Opci koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.13 Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev. . . . . . . . . . . . . 929.14 Brzina vrtloznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.15 Profil brzine vrtloznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.16 Komponente brzine vrtloznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

POPIS SLIKA ix

9.17 Brzna vrtloznog toka uz stijenku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.18 Karmanov 1/7-ki profil brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.19 Hidraulicki glatka stijenka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.20 Hidraulicki hrapava stijenka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.21 Moodyev dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.22 Lokalni gubitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.23 Ulazni gubitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.24 Ulazni gubitak 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.25 Ulazni gubitak 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.26 Dijafragma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.27 Sapnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.28 Naglo suzenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.29 Konfuzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.30 Naglo prosirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.31 Difuzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.32 Venturijeva cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.33 Koljena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.34 Izlazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.35 Izlazni otvori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.36 Izlazni gubitak horizontalne cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.37 Zbrajanje otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.38 Kirchofov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.39 Zbrajanje otpora 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.1 Pocetak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.2 Zavrsetak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . 12410.3 Zavrsetak crtanja energetske i piezometarske linije 2 . . . . . . . . . . . . . . 12410.4 Crtanje EL i PL kad se cjevovod izdize iznad pocetne kote . . . . . . . . . . 12510.5 Crtanje EL i PL za vertikalnu cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.6 Idealna pumpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.7 Realna pumpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.8 Pumpa u situaciji kad podize (usisava) vodu iz spremnika. . . . . . . . . . . 128

11.1 Istjecanje kroz mali otvor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.2 Kontrakcija mlaza kod istjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.3 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.4 Istjecanje iz posude pod tlakom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.5 Istjecanje kroz veliki otvor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.6 Istjecanje kad tekucina ne miruje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.7 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.8 Geometrija mlaza tekucine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.9 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.10Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.11Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.1 Bernoullijeva jednadzba za otvoreni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14312.2 Odredivanje hidraulickog radijusa za otvoreni tok. . . . . . . . . . . . . . . . 14412.3 Oblici slobodne povrsine kod nejednolikoga tecenja . . . . . . . . . . . . . . 148

x POPIS SLIKA

12.4 Opci izgled grafikona specificne energije presjeka. . . . . . . . . . . . . . . . 14912.5 Racun specificne energije presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.6 Ostrobridni preljev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.7 Potopljeni ostrobridni preljev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.8 Spustanje razine tekucine na preljevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.9 Preljev sa sirokim pragom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.10Preljev prakticnoga profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.11Slapiste i vodni skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Popis tabela

1 Simboli fizikalnih velicina i konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

9.1 Opci koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Hrapavost stijenke razlicitih vrsta cijevi (nove cijevi). . . . . . . . . . . . . . 1029.3 Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.4 Koeficijenti ulaznoga otpora za razlicite oblike ulaznih otvora. . . . . . . . . 1079.5 Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.6 Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu. . . . . . 1089.7 Koeficijenti gubitaka za naglo suzenje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.8 Koeficijenti gubitaka za konfuzor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.9 Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.10 Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila. . . . . . . . . . . 1139.11 Tipicni koeficijenti otpora za razne vrste filtera. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.1 Tipicne vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale. 146

xi

xii POPIS TABELA

Popis simbola

Tablica 1: Simboli fizikalnih velicina i konstanti koristeni u ovoj knjizi. Treba obratiti paznjuna to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati razlicito znacenje.

simbol dimenzija opis .

~a, a ms−2 ubrzanje

A m2 povrsina

b m sirina

c 1 koeficijent kontrakcije mlaza

C Newton-ov koeficijent otpora

C m1/2s−1 Chezy-ev koeficijent

Cp Jmol−1K−1 molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.)

CV Jmol−1K−1 molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.)

Cxy kgm2 centrifugalni moment inercije

CM centar mase (oznaka)

d m promjer

e 1 prirodni broj, 2,718281828

e m apsolutna hrapavosti stijenke cijevi

E Pa volumni modul elasticnosti

Ek J kineticka energija

FR Freude-ov broj

~F , F N sila

~g, g ms−2 9,80665 ms−2, ubrzanje sile teze

~G, G N tezina

h m dubina ( u tekucini)

H m tlacna skala visine (atmosferska fizika)

H Hvatiste sile (oznaka)

xiii


Hs m specificna energija presjeka

i, I 1 nagib (pad) dna korita

Ie 1 pad energetske linije (energetski gradijent)

I◦ 1 pad vodnog lica

Ip 1 piezometarski gradijent

k s−1m1/3 Stricker-ov koeficijent glatkosti

k◦ m3s−1 modul protoka

l, L m duljina, udaljenost

m kg masa

m 1 koeficijent prelijevanja

~M , M Nm moment sile

M◦ kg mol−1 molarna masa

~n vektor normale plohe

n sm−1/3 Manning-ov koeficijent hrapavosti

O m opseg

p Nm−2 tlak

pa, pat Nm−2 atmosferski tlak, 101 325 Pa

Q m3s−1 volumni protok

QM kgs−1 maseni protok

r, R m polumjer

~r, r m radijus-vektor, polozaj

R Jmol−1K−1 univerzalna plinska konstanta

Re 1 Reynolds-ov broj

Rh m hidraulicki radijus

xiv


T K, ◦C temperatura

t s vrijeme

T hvatiste tlacne sile (oznaka)

~v, v ms−1 brzina

vo ms−1 brzina zvuka

vtg ms−1 brzina tangencijalnog naprezanja

vtorr ms−1 Torricelli-jeva brzina (istjecanja)

V m3 volumen

x, y, z m Kartezijeve koordinate

α 1 Corioliss-ov koeficijent

β 1 koeficijent brzine

γ 1 Cp/CV

ζ, ξ 1 bezdimenzionalni koeficijent lokalnog gubitka

η 1 efikasnost

θ rad kut mocenja

λ 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi

λg 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidraulicki glatkih cijevi

λh 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja hidraulicki hrapavih cijevi

λlam 1 bezdimenzionalni koeficijent trenja cijevi za laminarno tecenje

µ Nm−2s, Pa·s apsolutni (dinamicki) koef. viskoznosti

µ 1 koeficijent istjecanja (ϕ · c)

ν m2s−1 kinematicki koef. viskoznosti

π 1 pi, 3,141592654

ρ kgm−3 gustoca tvari

σ Jm−2, Nm−1 povrsinska napetost

σ Nm−2 naprezanje u materijalu

τ Nm−2 smicno naprezanje

ϕ 1 koeficijent oblika presjeka (laminarno tecenje)

ϕ 1 koeficijent smanjenja brzine (istjecanje)

ω rads−1 kutna brzina

xv

Predgovor

Ova knjiga pokriva osnove mehanike fluida u opsegu u kojem se one iznose u istoimenomkolegiju na Rudarsko-geolosko-naftnom fakultetu Sveucilista u Zagrebu a pokrivaju i gradivokolegija Hidraulika koji se predaje na Geotehnickom fakultetu istog sveucilista. Knjiga jestrogo usmjerena na spomenute kolegije i potrebe tehnickih struka koje taj kolegij koristepa je teziste stavljeno na preglednost i razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni zarazumijevanje osnovnih jednadzbi mehanike fluida. Na isti je nacin pristupljeno empirijskimjednadzbama kojima ova disciplina obiluje. Smatram da je tako dobiven tekst koji ce studen-tima biti pregledniji i laksi za upotrebu. Nije mi bio cilj napisati sveobuhvatni pregled cijelediscipline pa sve one kojima je on potreban upucujem na dodatnu literaturu spomenutu nakraju knjige, a posebno na novu knjigu prof. Jovica.

Veliku zahvalnost dugujem prof. Ranku Zugaju, na njegovom strpljenju, predanostinastavi i dugim diskusijama koje smo vodili o mnogim dijelovima ove knjige.

1

2 POPIS TABELA

Glava 1

Uvod

Mehanika fluida bavi se problemima fizike plinova i tekucina. Naziv dolazi od engleske rijeci”fluid” koja u originalnom znacenju obuhvaca tekucine i plinove, a u fizici se odnosi na ”svesto tece” (u engl. literaturi za tekucinu se koristi rijec ”liquid” a za plin ”gas”). Fluid daklemoze biti i tekucina i plin, ali i njihova smjesa, i zrnata tvar kad se pri ”tecenju” ponasa naisti nacin kao i ostali fluidi i sl.

Krute tvari su sve tvari koje imaju vlastiti, prakticki nepromjenjivi oblik, bez obzira nanjihovu okolinu. Cestice krute tvari omedene su pravilnim ili nepravilnim plohama. Poddjelovanjem vanjskih sila oblik krutih tijela vrlo malo se mijenja (te se promjene vrlo cestomoze potpuno zanemariti).

Pod pojmom tekucina podrazumijevaju se tvari koje zauzimaju definirani volumen i kojemogu imati slobodne povrsine. Za razliku od krutih tijela tekucine reagiraju na svaku, pa inajmanju vansku silu i vrlo lako mijenjaju svoj oblik. Glavna sila koja na tekucine djelujena Zemlji je sila teza, pod cijim djelovanjem tekucina uvijek zauzima najnizi dio posude (tomoze biti i morsko dno!) u kojoj se nalazi. Tekucine su prakticki nestlacive.

Nasuprot tome, plinovi su tvari koje se sire sve dok ne zauzmu sav raspolozivi volumen.Plinovi su za razliku od tekucina lako stlacljivi i ne mogu imati slobodne povrsine.

Pojam zrnate tvari relativno je nov i obuhvaca mnostvo cestica krute tvari razlicitihvelicina (od sub-mikronskih dimenzija pa do dimenzija od par metara) u situacijama ukojima se te cestice zajedno gibaju slicno tekucini. Pojam smjesa opisuje sve mjesavinedviju ili vise gore opisanih tvari.

U vecini se slucajeva fluid giba kroz prostor. To se gibanje naziva tecenje ili strujanje(fluida). Opcenito se dijeli na dvije osnovne grupe:

• protjecanje je strujanje fluida izmedu krutih stijenki okolne tvari (cijevi, kanali i sl.)ili u slobodnom prostoru (vjetar, vodeni mlaz i sl.). Kod protjecanja fluid se fizickipomice kroz prostor.

• optjecanje je situacija u kojoj fluid miruje a kroz njega se giba neko tijelo koje jepotpuno ili djelomicno uronjeno u fluid (plovidba broda, let aviona, stup mosta i sl.).

• kombinacija protjecanja i optjecanja je najslozenija situacija u kojoj se giba ifluid i objekti u njemu (strujanje fluida kroz pokretne dijelove strojeva, primjericevjetrenjaca ili turbina).

3

4 GLAVA 1: UVOD

1.1 Osnovna svojstva fluida

1.1.1 Gustoca

Slika 1.1: Definicija gustoce homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno).

Gustoca tvari definira se kao masa tvari koja zauzima jedinicni volumen. Ako se pret-postavlja da je fluid nestlaciv, gustocu se nalazi jednostavnim dijeljenjem ukupne mase fluidas ukupnim volumenom koju fluid zauzima (slika 1.1, lijevo). U slucaju kada je fluid neho-mogen, gustoca je funkcija polozaja u prostoru (unutar volumena koji se razmatra) i dobivase kao granicna vrijednost omjera mase sadrzane u nekom malenom dijelu volumena ∆V itoga volumena, kada se matematicki pusti da se ∆V beskonacno smanjuje (slika 1.1, desno).

Opcenito za tekucine mozemo uzeti da su nestlacive, pa im je gustoca konstantna ucijelom prostoru (male promjene zbog promjena temperature se obicno takoder zanemaruju),dok za plinove moramo uzeti u obzir mogucnost da im se gustoca u vremenu i prostorumijenja. U najjednostavnijem slucaju, gustocu plina moze se opisati pomocu jednadzbeidealnog plina:

ρ =p

RTMo (1.1)

gdje je p tlak, T apsolutna temperatura, R univerzalna plinska konstanta i Mo molarna masaplina.

Osnovna SI jedinica za gustocu je kg/m3, no u praksi se koristi i stara jedinica g/cm3,a u zemljama engleskoga govornog podrucja jos uvijek se cesto koriste razlicite stare anglo-saksonske jedinice. Kao simbol za gustocu u racunima i formulama se gotovo standardnokoristi grcko slovo ρ.

U tehnickim znanostima se je do pojave SI sustava mjera umjesto gustoce koristilospecificnu tezinu tvari, koja je definirana kao tezina jedinicnog volumena te tvari. Uposljednje vrijeme njena upotreba je napustena jer njen tocan iznos ovisi o lokalnom ubrzanjusile teze. Odnos gustoce i specificne tezine dan je kao

γ =G

V=mg

V= ρg (1.2)

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 5

pri cemu je za specificnu tezinu koristen ustaljeni simbol γ.

1.1.2 Viskoznost

v=vo

v=0

v(y)

d

y

Slika 1.2: Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile.

Kod gibanja se izmedu molekula fluida javljaju sile otpora koje su po svojoj prirodi slicnesili trenja. No, za razliku od sile trenja koja se javlja na dodirnoj plohi dvaju tijela kojase medusobno gibaju, kod fluida se sila otpora javlja i u njegovoj unutrasnjosti, pa se zatoneki puta naziva i unutarnje trenje. Ono je toliko vazno za gibanje fluida da je dobilo i svojeposebno ime: viskoznost. Osnovna svojstva viskoznosti mogu se ustanoviti jednostavnimpokusom (slika 1.2) kod kojega se izmedu dvije ploce ulije tanki sloj tekucine. U pokusu semjeri sila potrebna da se gornja ploca pomice konstantnom brzinom (donja ploca miruje).Za gibanje gornje ploce stalnom brzinom vo potrebna je sila F . Rezultati mnostva pokusanapravljenih na ovaj nacin pokazuju da je sila F proporcionalna povrsini ploce A i gradijentubrzine, dv/dy:

F = µAdv

dy(1.3)

gdje je µ konstanta proporcionalnosti koju se naziva apsolutni ili dinamicki koefici-jent viskoznosti. Dimenzija dinamickog koeficijenta viskoznosti je

Nm2

ms−1

m

=Ns

m2= Pa s (1.4)

Nadalje, kao i u mehanici krutih tijela definirano je smicno naprezanje, τ , kao smicnasila po jedinici povrsine ploce:

τ =F

A(1.5)

pa se dolazi do relacije

6 GLAVA 1: UVOD

τ = µdv

dy(1.6)

Izmjeri li se sila potrebna za vucenje ploce konstantnom brzinom vo, moze se odreditidinamicki koeficijent viskoznosti:

µ =τdvdy

(1.7)

Problem ovdje predstavlja odredivanje gradijenta brzine. No, ako je sloj tekucine tanak,a brzina gibanja nije prevelika, mozemo si pomoci pretpostavkom da je raspodjela brzineunutar tekucine jednolika. Drugim rijecima, graf ovisnosti brzine v(y) o udaljenosti od donjeploce y je pravac, pa gradijent brzine postaje:

dv

dy=vod

(1.8)

a izraz za koeficijent viskoznosti se pojednostavi na:

µ =FAv◦d

(1.9)

Sve velicine koje ulaze u ovu formulu su lako mjerljive pa je ovo jedan od nacina na kojise pokusom moze odrediti koeficijent viskoznosti neke tekucine.

U racunima se, po potrebi, koristi i kinematicki koeficijent viskoznosti ν:

ν =µ

ρ[m2s−1] (1.10)

koji je ime dobio po tome sto u njegovu dimenziju ulaze samo osnovne kinematicke velicine(udaljenost i vrijeme).

Viskoznost fluida ovisi o temperaturi (kod plinova i o tlaku!) i redovito se s porastomtemperature smanjuje.

1.1.3 Stlacivost fluida

Za opisivanje stlacivosti fluida koristi se volumni modul stlacivosti, koji prestavlja omjerpromjene tlaka i time izazvane relativne promjene volumena fluida (promjena volumenaizrazena po jedinici volumena):

B =dp

−(dVV

) (1.11)

Negativni predznak uzima u obzir cinjenicu da se povecanjem tlaka volumen fluida sman-juje. Okrene li se ovu definiciju, promjena tlaka dp izaziva sljedecu promjenu volumena:

dV

V= −dp

B(1.12)

Ako su promjene tlaka malene, a volumni modul stlacivosti velik, moze se rezultirajucapromjena volumena zanemariti. To je slucaj kod tekucina. Za plinove je volumni modulstlacivosti znatno manji i uz to ovisi o termodnamickom procesu kojem je plin podvrgnut,pa se opcenito ne moze zanemariti. Primjerice u izotermnom procesu je:


B = p (1.13)

a u adijabatskom (γ je omjer toplinskih kapaciteta plina):

B = γp γ =Cp

CV

(1.14)

volumni modul stlacivosti tekucina obicno se odreduje iz brzine sirenja zvuka u tekucini:

B =v2oρ

(1.15)

1.1.4 Tlak para tekucine

pumpa

pat

pp > 0

T

Slika 1.3: Dokazivanje tlaka pare tekucine.

Stavi li se tekucinu u nepropusnu posudu i iz nje pumpom odstrani sav zrak, ustanovitce se da tlak u posudi nije nula, vec da zauzima neku minimalnu vrijednost koja ovisi otemperaturi i vrsti tekucine u posudi. Proucavanjem plina koji taj tlak stvara ustanovilo seda se radi o parama tekucine koja se u posudi nalazi, pa se zato ovaj tlak naziva tlak para.S porastom temperature tlak para naglo raste (slika 1.4). Kada tlak para postane jednakokolnom tlaku, tekucina pocinje vrijeti. Ovo objasnjava odavno poznatu cinjenicu da vodana visokim planinama (atmosferski tlak je znatno nizi nego u nizinima) vrije na temperaturiznatno nizoj od 100 oC.

8 GLAVA 1: UVOD

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

-20 0 20 40 60 80 100

Temperatura (oC)

Tla

k (

mB

ar)

Slika 1.4: Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi.

1.1.5 Povrsinska napetost tekucine

A

B

Slika 1.5: Objasnjenje povrsinske napetosti tekucine. Molekulu A koja se nalazi na povrsinitekucine susjedne molekule tekucine vuku prema dolje. Sile na molekulu B, koja se nalaziunutar tekucine, se medusobno ponistavaju.

Molekule se u tekucini medusobno privlace slabim silama, koje su dovoljne da molekuletekucine drze na okupu, ali ne i dovoljne da bi dovele do prelaska u kruto stanje. Pogleda lise neka nasunce izabrana molekula u tekucini (slika 1.5), moze se zakljuciti da je rezultantnasila, kojom sve okolne molekule djeluju na nju, jednaka nuli. No, za molekulu koja se nalazina povrsini tekucine, situacija je drugacija. Kako iznad nje nema drugih molekula, kojebi ju privlacile, ostaje samo djelovanje molekula oko i ispod nje, pa je rezultantna sila nanju usmjerena u unutrasnjost tekucine. Posljedica ove pojave je da tekucina uvijek zauzimaoblik sa najmanjom mogucom povrsinom. Za tekucine u posudama, rezervoarima i sl. ta jepovrsina (koja se naziva i slobodna povrsina) ravna, a ako je tekucina slobodna u prostoru(npr. kapljica kise u zraku), skuplja se u kuglu (uz zanemarivanje ostalih sila koje na nju


djeluju), jer kugla za dani volumen tekucine ima najmanju mogucu povrsinu.Teznja tekucina da maksimalno smanje granicnu povrsinu prema okolini naziva se povrsinska

napetost. Za opisivanje povrsinske napetosti koristi se koeficijent povrsinske napetosti defini-ran kao omjer rada ∆W potrebnoga da bi se povrsina tekucine povecala za ∆A:

σ =∆W

∆A[J/m2] (1.16)

F

F=mg

L

Slika 1.6: Vaga za mjerenje povrsinske napetosti tekucine.

Povrsinska napetost najcesce se odreduje posebnom vagom (slika 1.6). Dizanjem zicanogaokvira iz tekucine za malu velicinu ∆x, povecava se povrsina tekucine unutar okvira za:

∆A = 2∆xL (1.17)

Faktor ”2” u formuli 1.17 dolazi od toga sto sloj tekucine u okviru ima dvije strane.Vagom se mjeri silu F potrebnu da okvir bude u ravnotezi. Rad koji bi ta sila ucinila da seokvir pomakne za ∆x je:

∆W = F∆x (1.18)

pa se, iz poznate sile i dimenzija okvira, moze izracunati povrsinsku napetost tekucine:

σ =∆W

∆A=

F∆x

2L∆x=

F

2L[N/m] (1.19)

Iako na prvi pogled ovako dobivena dimenzija koeficijenta povrsinske napetosti mozezbuniti, sve je u najboljem redu jer je [N]=[J/m] sto nas vodi na ispravnu dimenziju koefi-cijenta povrsinske napetosti [J/m2]

1.1.6 Kapilarnost tekucine

Uroni li se u vodu tanku staklenu cjevcicu (promjera nekoliko milimetara ili manje), primijetice se da u njoj voda uzdize iznad okolne povrsine tekucine. Ova pojava, koja se nazivakapilarnost primjecuje se uvijek kad se tekucina nalazi u uskom prostoru, bez obzira nanjegov oblik. Radi se o ravnotezi sila adhezije i povrsinske napetosti (adhezija je naziv

10 GLAVA 1: UVOD

ϑ

h

2r

ϑ

h

moči ne moči

Slika 1.7: Ponasanje tekucine u uskim cjevcicama (kapilarama).

za medusobno privlacenje molekula tekucine i molekula stijenke tvari od koje je nacinjenacjevcica u opisanom pokusu). Kapilarnost se moze i teoretski proracunati, pa je tako zacjevcicu okrugloga presjeka visina dizanja tekucine u kapilari dana slijedecim izrazom:

h =2σ cosϑ

ρgr(1.20)

Kut ϑ naziva se kut mocenja. On je svojstvo para tvari koje cine kapilaru i tekucinu.Tako je za par tvari staklo-voda ϑ = 0o, a za par staklo-ziva ϑ = 140o. Ako je kut mocenjamanji od 90o, tekucina u kapilari se dize. Kaze se da takva tekucina moci stijenku kapilare.Tako voda moci vrlo mnogo tvari iz nase okolice. Ako je kut mocenja veci od 90o, razinatekucine u kapilari se spusta pa tekucina ne moci stijenku kapilare. Ziva je primjer tekucinekoja ne moci vecinu tvari.

Ako je presjek kapilare kruzan, oblik slobodne plohe tekucine u njoj dio je kugline plohe.Kod drugih oblika presjeka kapilare mijenja se i oblik slobodne plohe i visina dizanja, alifunkcionalna ovisnost opisana jednadzbom 1.20 ostaje sacuvana, tako dugo dok se presjekkapilare po visini ne mijenja.

1.1.7 Anomalije vode

Molekula vode po mnogo cemu je izuzetna i pokazuje kemijska i fizikalna svojstva koja su naprvi pogled u suprotnosti sa jednostavnim kemijskim i fizikalnim zakonitostima. Odstupanjasvojstava vode od uobicajenih pravila nazivaju se anomalije vode. Ovdje ce se navesti nekenajvaznije:

• Atom kisika je izuzetno elektronegativan, pa se elektroni koji tvore kemijske vezeizmedu njega i vodikovih atoma zadrzavaju u njegovoj blizini. Time molekula postajepolarna, tj. ima znacajan elektricki dipolni moment.

• Molekule vode medusobno se povezuju natprosjecno jakim vodikovim vezama kojebitno utjecu na svojstva vode.


O

H H

+ +

Slika 1.8: Shematski prikaz molekule vode.

• Taliste i vreliste vode izuzetno je visoko, sto je posljedica jakih vodikovih veza izmedumolekula vode. Jednostavni kemijski racun koji te veze zanemaruje predvida vrelistena -80oC!

• Voda je izuzetno dobro otapalo. U njoj se u vecoj ili manjoj mjeri otapaju najrazlicitijetvari.

• Toplinski kapacitet vode je izuzetno visok, cak 4175 J/kgK.

• Prilikom smrzavanja volumen vode se povecava. Zato led pliva na vodi, rijeka i jezerazamrzavaju se odozgo prema dolje pa voda u dubini ostaje tekuca. To omogucavaprezivljavanje vodenih organizama i kad je povrsina zamrznuta.

• Gustoca vode najveca je na 4oC a daljnjim hladenjem voda se rasteze (slika 1.9).

4

900

920

940

960

980

1000

1020

-20 0 20 40 60 80 100

Temperatura (oC)

Gu

stoć

a (

kg

m-3

)

Slika 1.9: Gustoca vode u ovisnosti o temperaturi.

12 GLAVA 1: UVOD

Glava 2

Fluid u gibanju

2.1 Model kontinuuma i cestice fluida

Prije nego sto se krene sa proucavanjem ponasanja fluida u realnim uvjetima, podsjetit cese na najosnovnije idealizacije i pojednostavljenja koja se koriste da bi se lakse razumjelokako se fluid ponasa. To je u prvom redu model kontinuuma na kojem se zasniva mehanikakontinuuma. Pojam kontinuuma zasniva se na ideji da se tvar moze dijeliti na sve manje idijelove, a da pritom svojstva tvari ostaju nepromijenjena. Mi danas znamo da je to netocnojer se svaka tvar sastoji od atoma i molekula koje pretstavljaju najmanju mogucu cesticu tetvari. Pritom molekula (u rjedem slucaju atom) pokazuje ista kemijska svojstva kao i vecakolicina te tvari. Nazalost, moderna fizika je pokusima pokazala, a teorijom i u dobrom dijeluobjasnila, da to ne vrijedi za fizikalna svojstva te iste tvari. Naime, kad velicina cesticetvari postane manja od mikrometra pocinju se pokazivati efekti i pojave koje vece cestice nepokazuju. Ovo moderno podrucje naziva se razlicitim imenima (mezofizika, nanofizika i sl.)a bavi se svojstvima cestica cije velicine se krecu od nekoliko molekula do otprilike jednogamikrometra.

m m m

Slika 2.1: Cestica fluida je vrlo mala a njezin oblik ne mora biti stalan, ali masa te cesticemora biti sacuvana (nepromjenjiva).

Sto se tice mehanike fluida, dimenzije cestica i pojava sa kojima se ona bavi su mno-gostruko vece od gore spomenutih, pa se efekti atomske strukture tvari mogu zanemariti. Toomogucava da se fluid promatra kao kontinuum, sto poprilicno pojednostavljuje matematickialat koji je potreban za opis njegova ponasanja. Pritom se ipak ne smije zaboraviti da velicine

13

14 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU

objekata i duljine preko kojih dolazi do primjetne promjene fizikalnih varijabli kojima seopisuje odredeni problem moraju biti znatno vece od dimenzija molekula koje proucavanifluid tvore, odnosno vece od mikrometra u opcem slucaju.

U pojednostavljenju mehanike kontinuuma definira se cesticu fluida kao vrlo malu cesticu,ciji oblik ne mora biti stalan, ali se zahtijeva da masa takove cestice bude konstantna (ne-promjenjiva).

dz

dy

dx

dV

dx

dy dAds

Slika 2.2: Definicija elementa puta (lijevo), povrsine (sredina) i volumena (desno).

Isto tako se koristi infinitezimalno male duzine, povrsine ili volumene, koje nazivamo ielementima duzine (povrsine ili volumena), a definira ih se kao infinitezimalno malu duzinu,povrsinu ili volumen. Kod duzine se koristi oznaku ds jer vrlo cesto probleme na dvodimen-zionalnim ili trodimenzionalnim krivuljama promatramo kao jednodimenzionalni problem,a u tom slucaju element duzine najcesce nije u smjeru x-osi. Za razliku od toga elementpovrsine obicno se definira tako da mu stranice leze u smjeru koordinatnih osi, pa tu koris-timo uobicajene oznake dx i dy, a na isti se nacin onda definira i element volumena. Osimmatematicke jednostavnosti, prednost definiranja elemenata povrsine odn. volumena takoda su im stranice paralelne koordinatnim osima je da je onda povrsina (volumen) takvogaelementa jednostavno:

dA = dx · dy (2.1)

odnosno:

dV = dx · dy · dz = dA · dz (2.2)

2.2 Sile koje djeluju na cesticu fluida u gibanju

Na slici 2.3 je prikazana elementarna cestica fluida koju tok fluida nosi kroz prostor. Pritomje brzina gibanja cestice opisana funkcijom ~v(x, y, z, t), a gibanje se odvija po putu ~s. Uanalizi njenoga gibanja polazi se od drugoga Newtonovog aksioma:

~F = m~a = md~v

dt(2.3)

Aksiom 2.3 primijeni se na elementarnu cesticu, a analiza se radi tako da masu te cesticedrzimo konstantnom. Ako je masa elementarne cestice oznacena sa dm, moze se pisati:

2.3: EULEROVA JEDNADZBA 15

x

y

z

dy

dx

dz

s

v

Slika 2.3: Elementarna cestica fluida nosena tokom fluida kroz prostor.

d~F = dmd~v

dt(2.4)

gdje je d~v/dt ukupno ubrzanje cestice. Ono se u mehanici fluida naziva i materijalnoili supstancijalno ubrzanje. Kako se kod ukupnoga ubrzanja radi o potpunom diferencijalu,moze ga se razdvojiti na prostorni i vremenski dio:

d~v

dt=∂~v

∂t+∂~v

∂~r

∂~r

∂t(2.5)

Prvi clan desne strane jednadzbe 2.5 naziva se lokalno ubrzanje. On opisuje ubrzanjekoje cestica fluida dobija relativno prema okolnim cesticama. Postoji li ovaj clan, radi se onestacionarnom tecenju.

Drugi se clan naziva konvektivno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje cestica dobija zbogstrujanja fluida kao cjeline.

2.3 Eulerova jednadzba

Gibanje fluida posljedica je raznih sila koje na fluid djeluju. Te sile su najcesce:

• sile tlaka. Tlak u fluidu nastaje usljed njegove vlastite tezine ili vanjskih sila, akarakteristicno za njega je da djeluje uvijek okomito na plohu na kojoj ga se promatra.

• masene sile. Masene sile su one sile koje su proporcionalne masi na koju djeluju. Umasene sile se ubrajaju sila teza odn. gravitacija i inercijske sile (centrifugalna sila,Coriolisova sila i sl.).

• viskozne sile ili sile unutarnjega trenja u fluidu.

• elasticne sile koje dolaze od kompresibilnosti fluida i uglavnom su vazne samo kodkompresibilnih fluida (plinovi).


Ove sile djeluju na cijeli fluid, no da bismo mogli donijeti barem najosnovnije zakljucke orezultatima tog djelovanja moramo se za pocetak ograniciti na malenu cesticu fluida. Nekaona ima oblik kvadra stranica dx, dy i dz, koje cemo radi jednostavnosti smjestiti u smjerovekoordinatnih osi (slika 2.4).

Masa razmatrane cestice fluida je:

dm = ρdxdydz (2.6)

i nju ce se u daljnjem razmatranju drzati konstantnom. Na nju djeluju tlacne sile (uvijekokomito na odgovarajuce plohe kvadra) i sile mase, sa hvatistem u sredistu kvadra. Masenesile opisuje se ubrzanjem koje one proizvode, pa je:

~am =~F

m(2.7)

gdje je ~F ukupna sila koja djeluje na kvadar. Kako je masena sila po definiciji propor-cionalna masi, u gornjoj definiciji ostaje samo ubrzanje koja ona proizvodi, bez potrebe dauopce bude poznata masa kvadra.

Naprimjer, za silu tezu je:

~F = −mg~k (2.8)

pa je za nju:

~am =−mg~km

= −g~k (2.9)

x

y

z

dy

dx

dz

F

1

2

p1

p2

Fx

Slika 2.4: Sile koje u x-smjeru djeluju na elementarni volumen fluida.

Pogledajmo sada ravnotezu sila za nasu cesticu fluida. Sile koje na nju djeluju pritomse rastavlja na komponente pa gleda ravnotezu za svaku komponentu posebno. Za x smjertako nalazimo (slika 2.4):


max = p2dydz + Fx − p1dydz (2.10)

no, masa razmatrane cestice dana je jedn. 2.6, a masena sila u jedn. 2.7. Uz to, tlaktreba razviti u Taylorov red i zadrzati samo prvi clan:

p2 = p1 +∂p

∂xdx (2.11)

Uvrstavanjem u jedn. 2.10 i sredivanjem dobije se:

amxρdxdydz −∂p

∂xdxdydz − ρdxdydzax = 0 (2.12)

gdje je amx ubrzanje koje izaziva masena sila, a ax ukupno ubrzanje cestice fluida. Daljn-jim kracenjem i preslagivanjem uz cinjenicu da je:

ax =dvxdt

(2.13)

dobije se na kraju x-komponenta Eulerove jednadzbe:

1

ρ

∂p

∂x= amx −

dvxdt

(2.14)

a na isti nacin dobije se i ostale dvije komponente (y,z):

1

ρ

∂p

∂y= amy −

dvydt

(2.15)

1

ρ

∂p

∂z= amz −

dvzdt

(2.16)

Konacno, ove tri jednadzbe moze se objediniti u vektorskom zapisu kao:

1

ρ~grad(p) = ~am −

~v

dt(2.17)

ili

1

ρ~∇(p) = ~am −

~v

dt(2.18)

2.3.1 Eulerova jednadzba u kvazi-jednodimenzionalnom slucaju

Cestica fluida na svom putu kroz prostor opisuje putanju koja se moze prikazati kontinuira-nom krivuljom. Znade li se kako ta krivulja izgleda, moze se polozaj cestice fluida na njojopisati samo s jednom varijablom, koja pretstavlja put prevaljen po toj krivulji kao fumkcijuvremena. Zato se ovakav slucaj naziva kvazi-jednodimenzionalnim.

U jednoj dimenziji Eulerova jednadzba postaje

1

ρ

dp

ds= am −

dv

dt(2.19)

U kvazi-jednodimenzionalnom slucaju mora se biti oprezan jer ubrzanje ne mora biti usmjeru putanje cestice. Prema tome, u ovom slucaju am je komponenta ubrzanja masenesile u smjeru putanje cestice fluida.


x

z s

a

as

ds

ao

Slika 2.5: Cestica fluida ”zamrznuta” u jednom vremenskom trenutku. Krivulja ~s pret-stavlja put te cestice u prostoru. Radi jednostavnosti je prikazan dvodimenzionalan slucajgibanja cestice.

2.3.2 Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadzba za fluid u poljusile teze

U slucaju sile teze, ubrzanje je konstantno (g=9,81 ms−1) i usmjereno vertikalno premadolje. Ako je α kut koji tangenta na krivulju, po kojoj se cestica giba, zatvara s vertikalom,komponenta ubrzanja u smjeru krivulje je g cosα. Pritom treba paziti da li se cestica ubrzava(komponenta je u smjeru gibanja cestice) ili se usporava (komponenta ubrzanja je suprotnasmjeru gibanja cestice). U situaciji sa slike 2.6, sila teza usporava cesticu fluida, pa je:

am = −g cosα (2.20)

i Eulerova jednadzba postaje:

1

ρ

dp

ds= −g cosα− dv

dt(2.21)

Diferencijal brzine moze se rastaviti na lokalni i konvektivni dio:

d~v

dt=∂v

∂t+∂v

∂s

∂s

∂t(2.22)

sto, uz uvazavanje cinjenice da je ∂s/∂t = v, daje:

1

ρ

dp

ds= −g cosα−

(∂v

∂t+ v

∂v

∂s

)(2.23)

Primijeti li se sada jos da je:

cosα =dz

ds(2.24)


x

z s

g

ds

gcosαα

Slika 2.6: Gibanje cestice fluida po krivulji ~s uz djelovanje ubrzanja sile teze, g. Po dogovorusmjer sile teze definiran je kao smjer -z osi pa se zato na ovom dvodimenzionalnom prikazukoriste osi z i x.

pa se, uz prebacivanje svih clanova na lijevu stranu i mnozenje sa ds dolazi do kvazi-jednodimenzionalne Eulerove jednadzbe za fluid u polju sile teze:

1

ρdp+ gdz +

∂v

∂tds+ vdv = 0 (2.25)

Integracijom se moze dobiti i integralni oblik jednadzbe 2.25:

v2

2+∫ dp

ρ+ gz +

∫ ∂v

∂tds = konst. (2.26)

Glava 3

Statika fluida

Statika je u fizici disciplina koja se bavi proucavanjem tijela u stanju mirovanja. To znacida brzine i ubrzanja ne postoje, sto je matematicki formulirano kao:

~v = 0 ~a = 0 (3.1)

Uvrsti li se ovaj uvjet u Eulerovu jednadzbu 2.18, dobije se Eulerova jednadzba za fluidu mirovanju:

~∇(p) = ρ~am (3.2)

Ili pisano po komponentama:

∂p

∂x= ρamx (3.3)

∂p

∂y= ρamy (3.4)

∂p

∂z= ρamz (3.5)

3.1 Staticka Eulerova jednadzba za polje sile teze

U realnim situacijama najcesce je jedina masena sila koja djeluje na fluid, sila teza. Do-govorno je u takovim problemima Kartezijev koordinatni sustav postavljen tako da je xyravnina horizontalna a +z os pokazuje prema gore (vertikalno), suprotno smjeru djelovanjasile teze. To znaci da je:

~am = −g~k (3.6)

odnosno:

amx = amy = 0 amz = −g (3.7)

pa je uvrstavanjem u skalarni oblik Eulerove jednadzbe za fluid u mirovanju:

∂p

∂x=∂p

∂y= 0 (3.8)

21

22 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA

i:

∂p

∂z= −ρg (3.9)

To znaci da je tlak u fluidu koji miruje konstantan na vodoravnoj (xy) ravnini. Isto tako,kako se tlak mijenja samo u z smjeru (jednadzba 3.9!) parcijalna derivacija po z postajejednaka punoj derivaciji pa se jednadzbu 3.9 moze prepisati kao:

dp

dz= −ρg (3.10)

Nakon mnozenja sa dz i formalne integracije dobije se jednadzba staticke ravnoteze zafluid:

p = −∫ρgdz (3.11)

Ova jednadzba je rjesiva ako je poznato kako gustoca ovisi o z. Za slucaj tekucine(uz pretpostavku potpune nestlacivosti) ρ je konstantan, pa se dobije poznata jednadzbahidrostaticke ravnoteze za tekucinu:

p = −ρgz (3.12)

Konstanta integracije je odabrana tako da z=0 odgovara slobodnoj povrsini tekucine(slika 3.1).

x

+z

0

g

-z

Slika 3.1: Kartezijev koordinatni sustav sa polozajem referentne ravnine. Smjer ubrzanjasile teze je naznacen vektorom ~g.

Da se izbjegne negativan predznak (koji dolazi od toga da je ubrzanje sile teze usmjerenou -z smjeru), u praksi se ponekad koristi dubina h, koja se mjeri od najvise tocke koja nasu nekom problemu zanima (obicno povrsina tekucine) prema dolje (h = −z) pa jednadzbahidrostatske ravnoteze za tekucinu postaje

3.1: STATICKA EULEROVA JEDNADZBA ZA POLJE SILE TEZE 23

x

+h

0 0

g

-h

Slika 3.2: Nestandardni Kartezijev koordinatni sustav koji umjesto visine z koristi dubinuh, s polozajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teze je naznacen vektorom ~g.

p = ρgh (3.13)

Horizontalna (xy) ravnina u kojoj lezi ishodiste tako postavljenoga koordinatnog sustavanaziva se referentna ravnina i na skicama se oznacava sa 0–0 (slika 3.2), i najcesce se podudarasa slobodnom povrsinom tekucine.

x

z

0 0

g

Slika 3.3: Najcesce koristen Kartezijev koordinatni sustav koji referentnu ravninu postavlja unajnizu tocku problema. Smjer ubrzanja sile teze je naznacen vektorom ~g. Zbog prakticnostiu racunanju ovaj se koordinatni sustav najcesce koristi.

U praksi se medutim uglavnom koristi bolji nacin izbjegavanja negativnoga predznaka, ato je, da se referentna ravnina postavi u ili ispod najnize tocke analiziranoga sistema. Kodmanjih proracuna referetna ravnina stavlja se u najnizu tocku problema (slika 3.3), a kodvecih, pogotovo ako su u cjelo razmatranje ukljucene i druge struke, kao z koordinata koristi


se nadmorska visina. U tom slucaju z koordinata poprima samo pozitivne vrijednosti(iako se kod koristenja nadmorske visine mogu pojaviti negativne vrijednosti, primjerice akose radi o depresijama, busotinama ili objektima ispod razine morske povrsine.

3.2 Pascalov zakon

Zamislimo si da imamo neku tekucinu u stanju mirovanja (slika 3.4). U njoj se proizvoljnoodaberu dvije tocke, T1 i T2. Ukupni hidrostatski tlakovi u njima su:

p1 = pa + ρgh1 i p2 = pa + ρgh2 (3.14)

Njihova razlika je:

∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) (3.15)

xh

0 0

g T1

T2

pa

h1 h2

Slika 3.4: Ilustracija Pascalovoga zakona. Dode li do bilo kakve promjene tlaka u proizvoljnojtocci T1, mora se i u svakoj drugoj proizvoljnoj tocci T2 tlak promijeniti za isti iznos da biravnoteza ostala sacuvana. U protivnom bi doslo do pomicanja (tecenja) tekucine, sto sekosi sa pretpostavkom da je ona u stanju mirovanja.

Ako se sad, iz bilo kojega razloga, tlak u tocki T1 promijeni za neki iznos ∆pT1, a tlaku tocki T2 za ∆pT2, a zelimo da tekucina ostane u stanju mirovanja, razlika tlakova ∆p sene smije promijeniti (u protivnom Eulerova jednadzba hidrostatike vise nije zadovoljena)!.Neka su novi tlakovi:

p1 = pv + ρgh1 + ∆pT1 i p2 = pv + ρgh2 + ∆pT2 (3.16)

Njihova je razlika sad:

∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) + (∆pT2 −∆pT1) (3.17)

3.3: MJERENJE TLAKA 25

Ako se ta razlika ne smije promijeniti, mora biti:

(∆pT2 −∆pT1) = 0 odnosno ∆pT2 = ∆pT1 (3.18)

Drugim rijecima, svaka promjena tlaka u nekoj tocki tekucine se u istom iznosu prenosikroz cijeli volumen te tekucine. Ova cinjenica se naziva Pascal-ov zakon i ima vrlo velikuprimjenu u svim vrstama hidraulickih strojeva.

3.3 Mjerenje tlaka

hpa pa

Slika 3.5: Princip rada barometra.

Najjednostavniji uredaj za mjerenja atmosferskog tlaka je barometar . On se sastoji odstaklene cijevi koja je s gornje strane zatvorena. Cijev se potpuno napuni tekucinom i privre-meno zatvori. Nakon toga se okrene, uroni u posudu koja je napunjena istom tekucinom i cepse ukloni. Kod toga se tekucina u cijevi spusti, a iznad nje ostaje prazan prostor (vakuum).Nakon uspostavljanja ravnoteze stupac tekucine u cijevi je u ravnotezi sa atmosferskimtlakom pa. Kako je tlak u praznom prostoru u cijevi iznad tekucine 0 (uz zanemarivanjetlaka para tekucine!), jednadzba ravnoteze glasi:

pa = ρgh (3.19)

Kako su ubrzanje sile teze i gustoca tekucine poznati, mjerenjem visine stupca tekucineu cijevi moze se izravno odrediti atmosferski tlak pa. Kao tekucina se najcesce koristi zivajer je zbog njezine visoke gustoce stupac tekucine razumne visine od oko 760 mm. Uz to jetlak para zive na temperaturama koje se pojavljuju u prirodi zanemariv. Postoje i primjerikoristenja drugih tekucina, najcesce vode, no takovi barometri su nezgrapni zbog velikevisine (oko 10 m) i potrebe za korekcijama zbog tlaka para tekucine koje ovise o vanjskojtemperaturi.


Ovaj je instrument davne 1643. godine predlozio talijanski znanstvenik Evangelista Tor-ricelli, pa se on po njemu cesto puta naziva i Torricellijev barometar, a do nedavno je uupotrebi bila i jedinica za tlak koja se nazivala 1 Torr. Ona je bila jednaka tlaku kojegstvara stupac zive visine 760 mm. Danas se umjesto ove jedinice koristi jedinica Bar, pricemu vrijede ove relacije:

1 Bar = 105 Pa 1 mBar = 100 PaU meteorologiji se koristi i tzv. standardna atmosfera srednji atmosferski tlak na

morskoj povrsini uz temperaturu od 0 ◦C. Standardna atmosfera jednaka je tlaku od 101325 Pa. Atmosferski tlak mijenja se iz trenutka u trenutak i ovisi o mnogim faktorima:nadmorskoj visini, temperaturi, vlaznosti, meteoroloskim uvjetima i dr. Najizrazenije jeopadanje tlaka s nadmorskom visinom. U najjednostavnijem modelu (izotermna atmosfera)atmosferski tlak eksponencijalno opada s nadmorskom visinom:

p(z) = p(0)e−zH (3.20)

Konstanta H naziva se tlacna skala visine i iznosi 7,4 km. Ako je nadmorska visina mala(z � H) jednadzba (3.20) se moze pojednostaviti:

p(z) = p(0)(1− z

H) (3.21)

Odnosno, atmosferski tlak se smanjuje za 1 mBar svakih 7,4 metra visine. Na osnoviovoga zakona nekad su se odredivale visine planinskih vrhunaca, a i danas ga koriste am-aterski visinomjeri koji rade na principu mjerenja tlaka.

h

p

h

pa pa

Slika 3.6: Princip rada piezometra. Kod piezometra je nuzno da je cijev piezometra okomitana cijev u kojoj se tlak mjeri, te da cijev piezometra NE ulazi u tu cijev. Piezometarski tlakuvijek se mjeri od osi cijevi.

Za mjerenja malih tlakova koristi se piezometar. Radi se o cijevi promjera vecega od 1cm (da se izbjegnu problemi s kapilarnim dizanjem razine tekucine!) okomito montiranojna cijev ili rezervoar u kojem se mjeri tlak. Okomitost piezometra posebno je bitna akose tekucina u cijevi giba jer kod koso postavljenoga piezometra dolazi do krivih ocitanja

3.3: MJERENJE TLAKA 27

zbog doprinosa dinamickoga tlaka. Tekucina iz cijevi ujedno sluzi i kao mjerna tekucina.Piezometarska cijev je cesto puta prozirna radi laksega ocitanja visine stupca tekucine, kojise uvijek mjeri prema osi (sredini) cijevi. Kako je gornji kraj piezometarske cijevi otvoren,piezometar mjeri relativni tlak tekucine u cijevi prema atmosferskom tlaku. Znade li sevisina stupca tekucine z, piezometarski tlak je dan izrazom:

p = ρgh (3.22)

Ne zaboravimo da je piezometarski tlak relativan. Apsolutni tlak u cijevi je naravno

paps = ρgh+ pa (3.23)

h

pa

p

Slika 3.7: Manometar je varijacija piezometra. Cesto se koristi kad je potrebno mjeriti tlakplina. I ovdje je nuzno da je cijev manometra bude okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri.

Varijacija piezometra kod koje je mjerna cijev montirana bocno na cijev u kojoj se mjeritlak naziva se manometar. Manometar omogucava i mjerenje tlakova plinova i podtlaka (tlaknizi od atmosferskoga naziva se podtlak) u cijevi.


h2

pa

h1

p

Slika 3.8: Manometar sa dvije tekucine. Ako je u cijevi manometra gusca tekucina (npr.ziva ili sl. ), mogu se mjeriti veci tlakovi.

Ukoliko se u cijev manometra ulije tekucina velike gustoce (ziva ili sl.), moguce je mjeritii vece tlakove (do oko 1 bara). Racun tlaka nesto je slozeniji jer imamo posla sa stupcimadvije razlicite tekucine:

p = ρ2gh2 − ρ1gh1 (3.24)

gdje je ρ1 gustoca fluida u cijevi, a ρ2 gustoca mjerne tekucine.Za tlakove vece od oko 1 bara koriste se mehanicki ili elektronicki tlakomjeri.

3.4 Sile hidrostatskoga tlaka

Silama hidrostatskoga tlaka nazivaju se sile koje su posljedica djelovanja statickoga tlaka flu-ida na tijela u i oko fluida. Kod plinova je zbog malene gustoce doprinos hidrostatskoga tlakazanemariv pa je tlak u otvorenoj posudi ispunjenoj plinom jednak tlaku okolne atmosfere, atlak u zatvorenoj posudi u svim njezinim tockama jednak.

3.4.1 Hidrostatska sila na dno posude

Zamislimo si posudu ravnoga dna u kojoj se nalazi tekucina dubine h. Kako je posuda sgornje strane otvorena, na povrsini tekucine tlak je jednak atmosferskom tlaku pa, a relativnihidrostatski tlak na dnu posude je:

p = ρgh (3.25)

gdje je ρ gustoca tekucine a h njezina dubina. Nadalje, ako je ukupna povrsina dnaposude A, sila koja djeluje na dno je jednostavno umnozak tlaka i povrsine:

F = pA = ρghA (3.26)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 29

A

h

F

pa

pa

Slika 3.9: Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrzi tekucinu.

a sila je u smjeru vanjske normale na dno. Ova sila uopce ne ovisi o kolicini tekucineu posudi, vec samo o njenoj dubini. Imaju li posude razlicitih oblika istu povrsinu dna, iako su napunjene tekucinom do iste dubine, sila na dno ce u svakoj posudi biti ista. Ovoje na prvi pogled zbunjujuce jer je ocito tezina tekucine u svakoj posudi drugacija, pa cemedusobno vaganje bilo koje dvije razlicite posude ocito pokazati neravnotezu! Ovaj pokusnaziva se hidrostatski paradoks, a objasnjenje mu je skriveno u silama koje se kroz stijenkeposuda prenose u smjeru u kojem se stijenka proteze. Stijenke posuda su krute pa moguprenositi takve sile. Ukupni zbroj (tj. integral) komponente sile na stijenke posude premadolje uvijek je jednak tezini tekucine u posudi, a horizontalna komponenta je uvijek 0!

A

h

F1

F2

m1

m2

m1=m

2!

Slika 3.10: Ilustracija hidrostatskog paradoksa.


A

h

F

pu

pa

Slika 3.11: Hidrostatska sila na dno zatvorene posude.

Ako je posuda zatvorena, rezultantnu silu na dno mora se racunati uz pomoc razlikeapsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak (tlak plina iznad tekucine)ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak po:

po = ρgh+ pu (3.27)

a s donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak pa. Njihova razlika je (ovitlakovi djeluju u medusobno suprotnim smjerovima!):

p = ρgh+ po − pa (3.28)

pa je rezultantna sila na dno zatvorene posude:

F = pA = (ρgh+ po − pa)A (3.29)


3.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke

α

da=dxdy

dF

y

x

h

F

M

pa

pa

Slika 3.12: Hidrostatska sila na ravnu bocnu stijenku.

I ovdje cemo se baviti relativnim tlakom, jer jednaki atmosferski tlak djeluje na slobodnupovrsinu tekucine i na vanjsku plohu stijenke.

Prije pocetka samog racuna postavimo si koordinatni sustav. To se ucini tako da sekoordinatni sustav stavi u ravninu stijenke. x-os neka ide u horizontalnom smjeru, a y-osneka ide ”prema dolje” po plohi jer se tako izbjegava predznak ”-” u racunu hidrostatskogatlaka. I na kraju, ishodiste se postavi tako da se nalazi na slobodnoj povrsini tekucine.

Pogledajmo sad neki proizvoljni element povrsine stijenke dA = dxdy, koji se nalazi nadubini h. Sila koja djeluje na taj element povrsine je:

dF = pdA = ρghdxdy (3.30)

Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stijenku prema van, a kako se radi o ravnojplohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, pa se ukupnu silu moze naci zbrajanjem sila kojedjeluju na sve elemente plohe:

F =∫Aρghdxdy =

∫ x2

x1

∫ ymax

0ρghdxdy (3.31)

Da se ovaj dvostruki integral moze rijesiti, mora se povezati dubina u tekucini s koordi-natom y na stijenci. Iz slike 3.12 vidi se da je:

h = y sin(α) (3.32)

pa nalazimo:

F =∫Aρghdxdy =

∫ x2

x1

∫ ymax

0ρgy sin(α)dxdy (3.33)


Pogledajmo prvo jednostavniji slucaj kad je bocna stijenka pravokutnoga oblika. U tomslucaju integral po osi x daje jednostavno ukupnu sirinu plohe koju cemo oznaciti sa l paimamo:

F = ρgl sin(α)∫ ymax

0ydy (3.34)

sto lako rijesimo do kraja:

F = ρgl sin(α)y2max

2(3.35)

Da ponovimo, l je ovdje sirina plohe u horizontalnom smjeru a ymax je visina plohe podtekucinom (mjereno po plohi, dakle koso!). Kako je povrsina plohe jednaka umnosku lymax,i kako je y koordinata geometrijskoga tezista plohe yT = ymax/2 jednadzba (3.34) postaje:

F = ρg sin(α)AyT (3.36)

yT sin(α) = hT je dubina na kojoj se ispod povrsine tekucine nalazi teziste plohe, pa sena kraju dolazi do jednadzbe:

F = ρghTA (3.37)

Sila na kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ona stoji, uz uvjet da je njezino tezisteuvijek na istoj dubini.

α

y

x

M

F

Fv

Fh

α

Slika 3.13: Komponente hidrostatske sile na ravnu bocnu stijenku.

Preostaje jos odrediti hvatiste ove sile te njenu horizontalnu odn. vertikalnu komponentu.Hvatiste se nalazi u tocci u kojoj su zadovoljeni uvjeti ravnoteze sila, sto znaci da u toj tocciukupni moment tlacne sile preko cijele plohe mora iscezavati. Sto se tice horizontalnogasmjera, situacija je jednostavna: kako tlacne sile ovise samo o y-koordinati (dubini), hvatisteje na y-simetrali plohe:

Hx =l

2(3.38)


Da bismo nasli y-koordinatu hvatista, polazimo od uvjeta ravnoteze momenta u y-smjeru.Pri tome se treba sjetiti da je moment sile umnozak okomite komponente sile i njezineudaljenosti od tocke za koju se moment racuna, u ovom slucaju dakle od hvatista sile:

dM = dF (y −Hy)dy (3.39)

Iz gornje diskusije jasno je da ukupni moment racunat preko cijele plohe mora iscezavatipa je: ∫ ymax

0dF (y −Hy)dy = 0 (3.40)

uz dF = ρg sinαdAy i kracenje konstanti ostaje:∫ ymax

0y(y −Hy)dy = 0 (3.41)

s rjesenjem:

Hy =2

3ymax (3.42)

Hvatiste tlacne sile nije u tezistu plohe, vec se nalazi ispod njega!Tlacna sila okomita je na plohu, pa se njene komponente lako nadu (slika 3.13):

Fv = F cosα = ρghtA cosα (3.43)

gdje je ht dubina na kojoj se nalazi teziste plohe. Kako je htA cosα ukupni volumenstupca tekucine koji se nalazi iznad plohe, vertikalna komponenta tlacne sile jednaka jetezini tekucine iznad plohe.

Fh = F sinα = ρghtA sinα (3.44)

Kako je A sinα povrsina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, horizontalna komponentatlacne sile jednaka je umnosku tlacne sile i povrsine vertikalne projekcije plohe.

Ako je ravna ploha proizvoljnoga oblika pokazuje se da svi gornji zakljucci i dalje vri-jede. Koordinate hvatista sile i u ovom slucaju nalazimo integracijom preko plohe (sad su tiintegrali naravno nesto slozeniji zbog proizvoljnoga oblika plohe):

Hx =Cxy

Ayt(3.45)

gdje je Cxy centripetalni moment s obzirom na osi x i y:

Cxy =∫Axydxdy (3.46)

i

Hy =IxAyt

+ yt (3.47)

gdje je Ix moment tromosti plohe za x-os:

Ix =∫Ay2dxdy (3.48)

za najcesce oblike ploha obje ove velicine su sabrane u raznim prirucnicima (mehanika,strojarstvo i sl.).


3.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke

dA

n

p

dA

Slika 3.14: Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. Tekucina se nalazi u spremnikunepravilnoga oblika, prikazanome u presjeku (lijevo). Element povrsine spremnika sa sm-jerom vanjske normale prikazan je na desnoj strani.

Zakrivljene stijenke mora se podijeliti na elementarne povrsine, pa vektorski zbrojiti silekoje na njih djeluju. Sila na jednu elementarnu povrsinu je:

~dF = pdA~n (3.49)

gdje je ~n jedinicni vektor okomit na jedinicnu plohu dA. U dijelu literature takva orijen-tirana ploha se oznacava vektorskim simbolom ~dA a pritom je ~dA = dA~n.

Ako jedinicni vektor ~n s koordinatnim osima zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) jedinicnu

silu ~dF moze se raspisati po komponentama kao:

dFx = ρghdA cos (n, x)

dFy = ρghdA cos (n, y)

dFz = ρghdA cos (n, z)

(3.50)

Medutim, dA cos (n, x) = dAx je projekcija elementarne povrsine dA na yz ravninu, paje:

dFx = ρghdAx

dFy = ρghdAy

dFz = ρghdAz

(3.51)

odnosno:


Fx = ρg∫hdAx

Fy = ρg∫hdAy

Fz = ρg∫hdAz

(3.52)

Rjesenja integrala za horizontalne komponente tlacne sile su

Fx = ρghTxAx

Fy = ρghTyAy

(3.53)

gdje su hTx i hTy koordinate tezista projekcije plohe A na yz odn. xz ravninu, a Ax i Ay

su povrsine odgovarajuce projekcije. Ovo znaci da je horizontalna tlacna sila na zakrivljenupovrsinu jednaka tlacnoj sili koja bi djelovala na projekciju te povrsine na vertikalnu ravninukoja je okomita na smjer djelovanja tlacne sile. Isti ovaj zakljucak dobije se kod analize sila naravnu plohu, sto jos jednom potvrduje ispravnost ovoga racuna jer je ravna ploha specijalnislucaj zakrivljene plohe.

Posvetimo sad malo paznje vertikalnoj komponenti tlacne sile:

Fz = ρg∫hdAz (3.54)

hdAz je volumen stupca tekucine iznad elementarne povrsine dA, pa integral ove velicinepredstavlja volumen tekucine koja se nalazi iznad plohe A. Prema tome, vertikalna kompo-nenta tlacne sile jednaka je tezini tekucine koja se nalazi iznad te plohe:

Fz = ρgV (3.55)

3.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi

p

φD

dz

s s

TT

dz

Slika 3.15: Hidrostatska sila na stijenku cijevi.


Tlak fluida djeluje okomito na stijenku cijevi. Ako si zamislimo da smo cijev uzduznoprerezali na dvije jednake polovice, tlacna sila ce te dvije polovice htjeti razmaknuti. Akopromatramo prsten malene visine dz, onda je ukupna tlacna sila na jednu njegovu polovicujednaka umnosku tlaka i povrsine umocenog presjeka plohe kojom je cijev presjecena:

dFx = pdzD (3.56)

Tom razmicanju odupire se napetost u stijenci cijevi, koja je jednaka:

dT = sσdz (3.57)

gdje je σ naprezanje materijala stijenke. Kako se poluprstenovi spajaju na dva mjesta,mora biti:

dFx = 2dT (3.58)

Izjednacavanjem se dobije:

σ =pD

2s(3.59)

Ako je najvece dopusteno naprezanje materijala stijenke σdop, onda za dani tlak p mini-malna debljina stijenke cijevi s mora biti:

s =pD

2σdop(3.60)

Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi. Formula vrijedi za cijevi s tankomstijenkom (ako je s < 0, 1D).

Za dugu cijev koja je zatvorena na krajevima, slicnim postupkom se nalazi da je uzduznonaprezanje materijala stijenke:

σu = 0, 5σ (3.61)

3.5 Plutanje i ravnoteza plutajucih tijela

3.5.1 Uzgon

Neka je unutar fluida ocrtana zatvorena ploha proizvoljna oblika. Ta je ploha ispunjenafluidom pa se moze govoriti o nekom ”tijelu” omedenom tom plohom. To se tijelo ocitonalazi u ravnotezi. Stoga je ukupna tlacna sila koja djeluje na bilo koji vertikalni presjektoga tijela jednaka nuli. Isto tako, zbog uvjeta ravnoteze vertikalne sile koje djeluju na totijelo moraju se ponistiti. No, u vertikanom smjeru na zamisljeno tijelo djeluju dvije sile:tezina tijela koja ga vuce prema dolje i rezultantna vertikalna komponenta tlacne sile kojadjeluje prema gore. Te se dvije sile moraju ponistiti, pa je ocito:∫

Ap ~dA = ρV g (3.62)

gdje je ρ gustoca fluida, a V volumen zamisljenoga tijela.

3.5: PLUTANJE I RAVNOTEZA PLUTAJUCIH TIJELA 37

Fu

G

Slika 3.16: Sila na tijelo uronjeno u fluid.

Ako se sad iz unutrasnjosti te plohe izvadi fluid, pa se nastali volumen ispuni nekomdrugom tvari gustoce ρT , situacija u okolnom fluidu nece se promijeniti. To znaci da ce natijelo i dalje djelovati vertikalna komponenta tlacne sile u istom iznosu kao i ranije, dakle:

Fu = ρV g (3.63)

Ova sila naziva se uzgon, a pravilo da je uzgon jednak tezini istisnute tekucine se ponjegovom otkrivacu naziva Arhimed-ov zakon.

No, iako se uzgon nije promijenio, tezina tijela se promijenila jer je ona sad:

GT = ρTV g (3.64)

pa na tjelo u vertikalnom smjeru djeluje ukupna rezultantna sila:

R = Fu −G = gV (ρ− ρT ) (3.65)

Ako je gustoca tijela veca od gustoce fluida, ukupna sila je negativna (djeluje prema dolje)i tijelo tone. Ako je pak gustoca tijela manja od gustoce fluida, ukupna sila je pozitivna(djeluje prema gore) i tijelo izranja. Tijelo je u ravnotezi sa okolnim fluidom samo ako jeukupna sila jednaka nuli, tj. ako je ρ = ρT .

Recimo jos na kraju samo to da kod tijela koja plivaju na povrsini tekucine (tzv. djelomicnouronjena tijela) uzgon i dalje proizvodi volumen istisnute tekucine, sto znaci da uzgon dolazisamo od onoga dijela tijela koji je uronjen u tekucinu.

3.5.2 Plutanje

Kod tijela cija srednja gustoca je manja od gustoce fluida u koji su uronjena, sila uzgonaveca je od njihove tezine pa se tijelo dize prema gore. Ako je tijelo u zraku (baloni i sl.)dizat ce se sve dok se uzgon, koji s visinom opada zbog smanjenja gustoce zraka, ne izjednacis tezinom tijela. Ako je tijelo uronjeno u tekucinu (plovila, led, drvo i sl.), dici ce se sve do


Vi

Vu

ρ

ρt

Slika 3.17: Uzgon kod plutanja. Sili uzgona doprinosi samo dio tijela koji je uronjen utekucinu (Vu), dok tezina tijela ostaje nepromijenjena.

njegove povrsine tako da dio tijela izviri iznad nje. Kako uzgon ovisi o volumenu istisnutetekucine, njega proizvodi samo dio volumena tijela koji je ispod povrsine tekucine pa se nataj nacin uspostavlja ravnoteza uzgona i tezine tijela. Kaze se da tijelo pluta na povrsinitekucine. Jednadzba ravnoteze u tom slucaju glasi:

G = U G = ρtV g U = ρVug (3.66)

G

UU

G

G

U

Slika 3.18: Ravnoteza tijela koje pluta: lijevo labilna ravnoteza, sredina stabilna ravnotezai desno indiferentna ravnoteza.

Ravnoteza tijela koje pluta zaseban je problem. Ako se hvatiste tezine tijela nalaziiznad hvatista sile uzgona, tijelo je u labilnoj ravnotezi. I najmanje naginjanje tijela iz

3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUCINE KAO CJELINE 39

ravnoteznoga polozaja dovodi do prevrtanja tijela. Ako se pak, hvatiste tezine tijela nalazi is-pod hvatista sile uzgona, tijelo je u stabilnoj ravnotezi. Kod naginjanja tijela iz ravnoteznogapolozaja stvoreni moment sile (najbolje je gledati moment koji stvara sila uzgona oko tezistatijela) vraca tijelo u ravnotezni polozaj.

Ako se hvatiste tlacne sile poklopi s tezistem tijela, dolazi do stanja tzv. labilne ravnoteze.Bez obzira kako se tijelo postavi ono je uvijek u ravnotezi!

Problem ravnoteze plutajucih tijela dodatno je zakompliciran time, sto se kod zakretanjatijela mijenja oblik uronjenoga volumena pa se time pomice hvatiste sile uzgona. Tako jemoguce da tijelo bude u stabilnoj ravnotezi cak i ako je teziste iznad hvatista sile uzgona.Ova je situacija ilustrirana na slici 3.19 za slucaj tijela (npr. broda) pravokutnoga poprecnogpresjeka. Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomice se teziste istisnute vode (tj. hvatistesile uzgona!) udesno i prema dolje. Istovremeno teziste se pomice lagano ulijevo, pa nastalimoment sila ispravlja brod. Ovo je pozeljna situacija i obicno je zadovoljena kada je brodpravilno opterecen (natovaren).

G U

Slika 3.19: Ravnoteza broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila vraca brod u ravnoteznipolozaj iako je teziste iznad hvatista sile uzgona. To je posljedica premjestanja hvatistasile uzgona kod naginjanja u desnu stranu dok istovremeno teziste biva lagano pomaknutoulijevo.

Kad je brod prazan, izdize se iz vode i teziste mu postaje previsoko (slika 3.20). Kodnaginjanja broda na desnu stranu, pomicanje hvatista sile uzgona udesno je znatno manje,a istovremeno se teziste broda znatno pomice ulijevo. U ovom slucaju nastali moment silaprevrce brod. Situacija je tipicna za nenatovarene teretne brodove i tankere. Da bi seizbjegla nestabilnost praznoga broda, cesto puta se on opterecuje upumpavanjem vode uprazne tankove (tzv. balastna voda) cime se spusta teziste broda. Slicna se situacija mozedogoditi i kod natovarenog broda ako teret sklizne u stranu naginjanja broda. Pravilnakonstrukcija i upotreba brodova znanost je za sebe!

3.6 Translacija i rotacija tekucine kao cjeline

Translacija i rotacija tekucine kao cjeline takvo je gibanje tekucine kod kojega nema rela-tivnoga pomaka izmedu cestica tekucine, tj. cijeli se volumen tekucine giba kao kruto tijelo.


G

U

Slika 3.20: Prevrtanje broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila prevrce brod. Situacijaje tipicna za nenatovarene teretne brodove i tankere.

Ovo je tipicna situacija za tekucine koje se prenose u rezervoarima, bocama i sl. U ovakvimsituacijama i dalje su primjenjivi zakoni statike.

Ukoliko se tekucina giba jednolikom brzinom (jednolika translacija), nema ubrzanja, pase tekucina ponasa isto kao da miruje.

Ako postoji vanjsko ubrzanje tekucina osjeca inercijsku silu koja je reakcija na to ubrzanje.Ubrzanje inercijske sile (III Newton-ov aksiom) je iste velicine, ali suprotnoga smjera odubrzanja sile koja ju izaziva. Ubrzanje inercijske sile se vektorski zbraja s g i tekucina kaocjelina prelazi u novo stanje ravnoteze za koje i dalje vrijede zakoni statike.

3.6.1 Horizontalno ubrzanje

g

a

r

r

ϕ ϕ

ai=-a

Slika 3.21: Translacija tekucine kad je ubrzanje horizontalno.

Ako se tekucina ubrzava horizontalno (slika 3.21), ubrzanje inercijske sile takoder jehorizontalno, ali u suprotnom smjeru. Kada se ono zbroji s ubrzanjem sile teze, rezultatantnoubrzanje tekucine usmjereno je koso prema dolje:


~r = ~ai + ~g r =√a2i + g2 (3.67)

Povrsina tekucine se postavlja okomito na smjer tog ubrzanja. Kut prema horizontalipod kojim povrsina stoji lako nademo iz grafikona sila:

tanϕ =aig

(3.68)

Zakon hidrostatskoga tlaka vrijedi i ovdje, ali se u njemu umjesto ubrzanja sile teze javljarezultantno ubrzanje, r, a dubina d se mjeri u smjeru okomice na povrsinu (slika 3.22):

p = ρrd (3.69)

d

ϕ

Slika 3.22: Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekucine.

3.6.2 Vertikalno ubrzanje

Kada se tekucina ubrzava u vertikalnom smjeru (slika 3.23), ubrzanje inercijske sile takoderje vertikalno i moze se skalarno zbrojiti sa ubrzanjem sile teze (paziti na smjer inercijskogaubrzanja i odgovarajuci predznak!). Rezultantno ubrzanje koje tekucina osjeca ostaje uvertikalnom smjeru a povrsina tekucine i dalje je horizontalna. Za ovaj je slucaj:

r = g + ai (3.70)

p = ρrh (3.71)

3.6.3 Koso ubrzanje

Kod ubrzanja u proizvoljnom (kosom) smjeru prvo se postavimo u vertikalnu ravninu ukojoj je vektor ubrzanja. U njoj se inercijsko ubrzanje rastavlja na vertikalnu i horizontalnukomponentu (slika 3.24) i primjenjuje se malo prije izvedene zakljucke. Prvo vertikalnu


r

g

a

h

ai

Slika 3.23: Translacija tekucine kad je ubrzanje vertikalno.

g+ap

ao

r

r

ϕ ϕ

ao

apai

Slika 3.24: Translacija tekucine kad je ubrzanje koso.

komponentu inercijskoga ubrzanja zbrojimo sa g, a onda se preko grafikona sila odredi smjerukupnog ubrzanja i nagib plohe fluida:

r =√a2o + (g + ap)2 tanϕ =

aog + ap

(3.72)

3.6.4 Rotacija tekucine u otvorenoj posudi

Rotacija tekucine u posudi moze se obuhvatiti zakonima statike, ako je rotacija jednolika(kutna brzina rotacije je konstantna). U tom se slucaju nakon nekoga vremena uspostaviravnotezno stanje u kojem cijeli volumen tekucine rotira zajedno s posudom. Kod togapovrsina tekucine zauzima parabolicni oblik, koji je posljedica djelovanja centrifugalne silekoju ima tekucina zbog rotacije (slika 3.25).

Radi jednostavnosti ovdje se proucava samo slucaj kada se rotacija odvija oko vertikalneosi koja se podudara s osi cilindricne posuda u kojoj se fluid nalazi. Ubrzanje centrifugalnesile dano je poznatim izrazom:


x

y

z

ω=konst.

00

Slika 3.25: Rotacija tekucine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi.

acs = rω2 (3.73)

Da bi se moglo racun napraviti u Kartezijevom koordinatnom sustavu, mora se toubrzanje rastaviti na komponente (slika 3.26) i dodati ga ubrzanju sile teze.

Komponente ubrzanja tekucine su sada:

ax = xω2

ay = yω2

az = −g

(3.74)

Polazi se od staticke Eulerove jednadzbe (3.3-3.5) cije se tri komponente prvo zbroje:

dp = ρ(axdx+ aydy + azdz) (3.75)

Sada se uvrsti komponente ubrzanja koje dolaze od rotacije i od sile teze:

dp = ρ(ω2xdx+ ω2ydy − gdz) (3.76)

Ovu jednadzbu moze se formalno integrirati da se odredi tlak:

p = ρω2x2

2+ ρω2y

2

2− ρgz + c (3.77)

Ovaj rezultat malo uredimo:

p = ρω2

2(x2 + y2)− ρgz + c (3.78)

Konstantu c nademo iz cinjenice da u ishodistu tlak mora biti jednak atmosferskom(p = pa):


x

y

r

rω2

ax

ay

O

Slika 3.26: Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekucine oko vertikalne osi. Slika shematskiprikazuje pogled na rotirajucu tekucinu odozgo.

c = pa (3.79)

Nadalje, i na cijeloj slobodnoj plohi je tlak jednak atmosferskom, sto daje sljedecurelaciju:

pa = ρω2

2(x2 + y2)− ρgz + pa (3.80)

odakle se sredivanjem dolazi do jednadzbe slobodne plohe:

z =ω2

2g(x2 + y2) =

ω2

2gr2 (3.81)

Ovo je jednadzba rotacijskoga paraboloida, s vertikalnom osi i tjemenom u ishodistu!U presjeku (slika 3.27) vidi se parabola, i definira se visina spustanje nivoa tekucine naosi rotacije (=sredina posude!), hC i visinu podizanja tekucine na rubu posude, hR. Njihse nalazi iz uvjeta sacuvanja ukupnoga volumena tekucine (volumen dijela tekucine koji seizdigao iznad nivoa tekucine u situaciji kad ona ne rotira, mora biti jednak volumenu prostorakoji tekucina u rotaciji oslobodi uz os posude):

R2πh◦ = R2π(h◦ − hC) +R2π(hR + hC)− 1

2R2π(hR + hC) (3.82)

Tu se skoristi cinjenica da je volumen rotacijskoga paraboloida jednak polovici volumenaopisanoga valjka:

Vpar =1

2Vcil =

1

2hR2 (3.83)

pa je na kraju:


R

hR

h0 (visina bez rotacije)

hC

Slika 3.27: Oblik povrsine tekucine kod rotacije oko vertikalne osi.

hR = hC (3.84)

Kako je:

zmax = hR + hC (3.85)

moze se postaviti i sljedecu relaciju (zmax smo mjerili od tjemena rotacionog paraboloidaa ne od razine tekucine u posudi bez rotacije!):

hR = hC =1

2zmax (3.86)

3.6.5 Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi

Ako je posuda zatvorena i u cijelosti ispunjena tekucinom, nema mjesta za promjenu oblikadodirne plohe tekucine i okoline. No, i u ovom slucaju, zbog rotacije, dolazi do porasta tlakazbog djelovanja centrifugalne sile, a analognim izvodom se dobije da je (vidi sliku 3.28) onopisan slijedecim jednadzbama:

phr = ph + ρω2r2

2g(3.87)

∆p = ρω2r2

2g(3.88)

3.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu

U svim situacijama kod koje dolazi do promjene smjera toka fluida, javljaju se porastitlakova u fluidu slicni onima kod rotacije fluida. Primjerice u cjevovodu se opaza porasttlaka na vanjskoj stijenci lukova, koljena i drugih elemenata koji mijenjaju smjer toka fluida.


ω=konst.

rph phr

Slika 3.28: Rotacija tekucine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi.

Kako se svakoj takvoj promjeni smjera moze pridruziti lokalni polumjer zakrivljenosti stazecestica fluida, jasno je da se ovakvim problemima moze pristupiti na nacin koji se koristikod opisivanja efekata rotacije tekucine u posudi.


Slika 3.29: Porast tlaka kod promjene smjera tecenja moze se objasniti silama kod rotacijetekucine.

Glava 4

Kinematika fluida

Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi gibanjima fluida. Kinematika pri tom samoproucava gibanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog gibanja. Fluid sesmatra kontinuumom i koristi se pojam cestice fluida, koja je definirana kao maleni volumenfluida konstantne mase.

Postoje dva pristupa opisivanju gibanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristupte Eulerov (ili lokalni) pristup. Kod Lagrangeovog pristupa gibanje se proucava vezuci seza cesticu fluida, a kod Eulerovoga pristupa gibanje je promatrano iz neke fiksne tocke uprostoru.

4.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup

x

y

z

R(t1)

v

v

v

R(t2)

R(t3)

Slika 4.1: Kod Lagrangeovoga pristupa problemima gibanja fluida vezemo se za nekuproizvoljnu cesticu fluida i s njom ”putujemo” kroz prostor.

Kod Lagrangeovog pristupa problemima gibanja fluida veze se na neku proizvoljnu cesticufluida i prati se njeno gibanje kroz prostor. Sama cestica pri tome je odredena svojimpolozajem u nekom pocetnom vremenu to:

~R(t) = ~f(~R(t◦), t) (4.1)

49

50 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA

Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih velicina na mjestu na kojem se u tomtrenutku cestica nalazi. Drugim rijecima, putuje se kroz prostor zajedno s tom cesticomfluida. Svaka fizikalna velicina vezana uz tecenje onda je neka funkcija trenutnog polozajacestice i vremena. Primjerice brzinu se moze izraziti kao vektorsku funkciju oblika:

~v = ~g(~R(~R(t◦), t)) (4.2)

Ovaj kompleksni opceniti izraz za brzinu daje za naslutiti veliki nedostatak Lagrangeovogapristupa: veliku matematicku kompleksnost formulacije problema. Ne samo da je ~v funkcija4 varijable (3 polozajne i vremena) nego je vremenski promjenjivi radijus-vektor cestice uargumentu te funkcije. Kako se trenutni polozaj nekoga tijela nalazi integracijom brzinepo vremenu, bit ce sasvim jasno koliko kompleksno moze biti rjesavanje problema u ovojformulaciji. Iz ovog razloga ce se u ovom tekstu koristiti iskljucivo Eulerov pristup problemugibanja fluida.

4.2 Eulerov (lokalni) pristup

x

y

z

RM

Mv

Slika 4.2: Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida vezemo se za neku proizvoljnutocku prostora i promatramo kako se fluid kroz nju giba.

Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veze se na neku proizvoljnu, nepomicnutocku prostora i promatra se kako se fluid kroz nju giba. Matematicki je problem sad znatnojednostavniji jer je polozaj te tocke konstanta (doduse vektorska):

~RM(t) = ~RM(to) = ~RM (4.3)

Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih velicina na mjestu tocke M . Drugimrijecima, promatra se kako fluid struji kroz tu nepomicnu tocku. Svaka fizikalna velicinavezana uz tecenje u ovom je slucaju funkcija radijus-vektora te tocke i vremena. Primericebrzinu se moze izraziti kao vektorsku funkciju oblika:

~v = ~f( ~RM , t) (4.4)

4.2: EULEROV (LOKALNI) PRISTUP 51

Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s ko-jom je matematicki mnogo lakse raditi nego sa implicitnim funkcijama karakteristicnim zaLagrange-ov pristup. Ako dozvolimo da je polozaj tocke ~RM u prostoru proizvoljan, i radipreglednosti ga opisemo radijus-vektorom ~R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinatei vremena, primerice:

~v = ~v(x, y, z, t) (4.5)

vx = vx(x, y, z, t)

vy = vy(x, y, z, t)

vz = vz(x, y, z, t)

(4.6)

Trenutni iznos brzine i njezin smjer nalazimo upotrebom poznatih relacija vektorskematematike:

v =√v2x + v2y + v2z (4.7)

~v◦ =vxv~i+

vyv~j +

vzv~k (4.8)

R(t)

Slika 4.3: Za opazaca na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slikakoju vidi s vremenom mijenja (brod mijenja svoj polozaj u prostoru).

Ukoliko se trenutni iznos brzine ili njezin smjer u danoj tocki prostora s vremenommijenjaju, kaze se da je takvo tecenje nestacionarno. U suprotnom slucaju tecenje jestacionarno. Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego mozeovisiti o izboru koordinatnoga sustava u kojem se dani problem proucava. Ako je moguce,koordinatni sustav bira se tako da je u njemu problem stacionaran (v. slike 4.3 i 4.4).


Slika 4.4: Za opazaca na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jerse slika koju vidi s vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).

4.3 Prikazivanje (vizualizacija) tecenja

t=t1

t=t2

t=t3

t=t4

t=t5

itd...

Slika 4.5: Ako se zabiljezi putanja koju neka odredena cestica fluida opise prilikom svogagibanja kroz prostor dobit ce se glatka krivulja koju nazivamo staza cestice fluida.

Zamislimo si da smo na neki nacin obiljezili jednu odabranu cesticu fluida. Ako biljezimonjen polozaj kao funkciju vremena, dobit cemo prostornu krivulju koja se naziva staza(putanja) cestice u prostoru (vidi sliku 4.5).

S druge strane, ako u neku tocku toka ubacujemo obiljezivac (marker), pa u nekomvremenskom trenutku zabiljezimo trag koji taj obiljezivac ostavlja, opet ce se dobiti nekaglatka prostorna krivulja (vidi sliku 4.6). U praksi se u tok tekucine ubacuje boja ili sitnecestice neke krute tvari, a u tok plina dim ili vodena para. Ovako dobivena krivulja naziva sestrujnica i ona prikazuje smjer gibanja mnostva cestica u jednom odredenom vremenskomtrenutku. Pritom je svaka sljedeca cestica na vektoru brzine one prethodne (vidi sliku 4.7).

4.3: PRIKAZIVANJE (VIZUALIZACIJA) TECENJA 53

Promjenom tocke u koju ubacujemo marker, mijenja se i strujnica i njezin oblik, u tokudakle postoji mnostvo (matematicki gledano, beskonacno mnostvo) strujnica.

čestica A B C D E itd...

Slika 4.6: Ako se u jednom trenutku obiljezi polozaje mnogo cestica fluida, a pri tom jesvaka slijedeca cestica u smjeru vektora brzine one prethodne, dobit ce se glatka krivuljakoju nazivamo strujnica.

Slika 4.7: Zamisljeni postupak konstrukcije strujnice. Sljedeca cestica fluida koja pripadastrujnici je na vektoru brzine prethodne cestice.

Iz same definicije strujnice, ali i iz prakticnih pokusa koji ocrtavaju njezin oblik jasno jeda je trenutna brzina neke cestice na strujnici u smjeru tangente na tu strujnicu u tocki ukojoj se u taj tren cestica nalazi. Nadalje, pokusi pokazuju da kod nestacionarnoga tecenjastrujnice stalno mijenjaju svoj polozaj i oblik, dok su kod stacionarnoga toka uvijek iste inepomicne. Matematicki se moze pokazati da se u slucaju stacionarnoga toka strujnice istaze cestica medusobno podudaraju. Kod nestacionarnoga tecenja one su uvijek razlicite.

Koncept strujnice izuzetno je vazan jer omogucava vizualizaciju jednoga od glavnihparametara toka: smjera lokalne brzine. Ako je to potrebno, i iznos brzine moze se prikazati


na istoj slici tzv. ekvipotencijalnim plohama o kojima ce vise rijeci biti kod potencijalneteorije tecenja.

4.3.1 Strujna cijev i strujno vlakno

A'

A

Slika 4.8: Kod stacionarnoga toka sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A, prolaze ikroz plohu A′ i u prostoru zauzimaju cjevasti volumen koji se naziva strujna cijev.

Kod laminarnoga toka se vidjelo, a kasnije i teoretski provjerilo za sve stacionarne tokove,da sve strujnice koje prolaze kroz neku povrsinu ostaju udruzene, i da je njihov presjek ubilo kojoj tocki niz tok takoder neprekinuta povrsina. To je dovelo do definicije strujnecijevi: strujna cijev je cjevasti oblik koji tvore sve strujnice koje prolaze kroz neku plohuA. Pokazuje se da sve te strujnice prolaze kroz plohu A′ koja se moze nalaziti bilo gdje niztok od plohe A. Ta ploha moze imati razlicitu povrsinu i oblik od plohe A, ali i dalje kroznju prolaze sve (i samo te!) strujnice koje prolaze kroz plohu A. Strujnica koja prolazi krozsredinu (matematicko teziste) plohe A naziva se os strujne cijevi.

U teoretskim racunima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevikod koje je povrsina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike povrsineA, obicno i oznacava s dA. Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih velicinakojima se dani tok opisuje na infinitezimalno maloj povrsini dA konstantne, sto omogucavaizvodenje teorijskih proracuna.

4.4 Izvori i ponori

Po jednadzbi kontinuiteta masa fluida je sacuvana, tj. ne moze niti nastati, ni nestati. Iakoje to strogo gledano tocno, neki puta je jednostavnije u teorijsko razmatranje ukljuciti imogucnost da masa fluida nastaje ili nestaje iz sustava koji se analizira. U tim slucajevimane radi se o stvarnom kreiranju ili unistavanju fluida, vec o tome da fluid na nekom mjestumoze ulaziti u sustav koji se proucava, a na drugom iz njega izlaziti. Primjerice, ako seproracunava neki cjevovod, nije vazno kako i odakle dolazi tekucina koja u cjevovod ulazi,kao ni to kamo ona odlazi kada na drugom kraju cjevovoda iz njega izade. Mjesta na kojimafluid ulazi u sustav nazivaju se zajednickim imenom izvori a mjesta na kojima fluid sustav

4.5: POTENCIJALNO STRUJANJE 55

dA'dA

Slika 4.9: Ako se presjek strujne cijevi smanji na infinitezimalno malu povrsinu dA, dobit cese tzv. strujno vlakno.

napusta ponori. U teoriji se najcesce koriste elementarni (tockasti) izvori, tj. izvori u kojimafluid izlazi iz jedne tocke u prostoru. Iako je fizikalno ovo nerealno, matematicki je punolakse raditi sa takvim elementarnim izvorima, a stvarne izvore se onda slaze od beskonacnogabroja elementarnih izvora rasporedenih tako da oponasaju realni izvor.

Elementarni izvor je tzv. singularna tocka (zbog nepostojanja konacne povrsine takvogaizvora, brzina istjecanja je u njemu beskonacna, zato naziv singularitet) i za njega jednadzbakontinuiteta ne vrijedi, odn. mora ju se modificirati da bi ukljucila i tocke prostora u kojimapostoje izvori ili ponori.

Volumen fluida koji u jedinici vremena izade iz izvora naziva se izdasnost izvora, Q:

Q =dVfluiddt

(4.9)

slicno, masena izdasnost izvora je:

QM = ρQdt (4.10)

da bi se novostvorenu masu moglo uzeti u obzir u jednadzbi kontinuiteta, mora senjenoj desnoj strani (koja je u slucaju striknog ocuvanja mase jednaka nuli) dodati gustocunovostvorene mase (masu stvorenu po jedinici volumena i u jedinici vremena). Ona je jed-naka:

dm

dV dt=QM

dV=ρQ

dV(4.11)

pa modificirana jednadzba kontinuiteta sad ovako izgleda:

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~v) =

ρQ

dV(4.12)

4.5 Potencijalno strujanje

Strujanje fluida za koje se brzina moze prikazati kao gradijent neke skalarne funkcije naziva sepotencijalno strujanje , a skalarna funkcija iz koje se brzina izvodi naziva se potencijalnafunkcija:

~v(~r) = ∇[U(~r)] (4.13)


Ovakva strujanja mnogo se lakse analiziraju jer se umjesto vektorske funkcije u rjesavanjuproblema trazi skalarna funkcija, sto je mnogo jednostavnije. Kad se nade potencijalnafunkcija, brzina se iz nje lako nade preko gornje formule. Srecom se mnoga strujanja uprirodi barem u nekim svojim dijelovima mogu opisati kao potencijalna strujanja.

4.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D)

Vec je napomenuto da je rjesavanje problema u dvije dimenzije mnogo jednostavnije odrjesavanja problema u tri dimenzije, pa se mnoga stvarna strujanja aproksimiraju slicnimstrujanjima u dvije dimenzije. Teorijska razmatranja pokazuju da je to moguce ako suzadovoljeni sljedeci uvjeti:

• fluid je neviskozan.

• fluid je nestlaciv.

• strujanje je stacionarno.

• strujanje je potencijalno.

2D strujanja imaju i tu prednost da se graficki lako mogu prikazati. U tu svrhu koristese strujnice i ekvipotencijalne plohe, a smjer strujanja nalazi se u ravnini papira (crteza).Ekvipotencijalne plohe su (kao i kod elektriciteta ili gravitacije) plohe koje spajaju sve tockeistog potencijala, i uvijek su okomite na strujnice (slika 4.10).

ekvipo

tenc

ijaln

e pl

ohe

strujnice

Slika 4.10: Graficko prikazivanje strujnica (pune linije) i ekvipotencijalnih ploha (crtkanelinije) za 2D tok. Strujanje se uvijek odvija u ravnini skice.

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) 57

4.6.1 Osnovna potencijalna strujanja u 2D

Najjednostavnije potencijalno strujanje je jednoliko strujanje. Kod njega je brzina kon-stantna u svim tockama prostora:

∂~v

∂~r= 0 (4.14)

No, to ujedno znaci da je tok beskonacno velik, pa samo za sebe jednoliko strujanje nemaveci znacaj. Koristi se medutim kod problema optjecanja, gdje se radi pojednostavljenjauzima da objekt miruje, a fluid struji oko njega. Jednoliko protjecanje onda prikazuje poljebrzina na vrlo velikim udaljenostima od objekta. Jednoliko strujanje prikazuje se paralelnimstrujnicama istog razmaka.

U stvarnosti zbog viskoznosti i s njome povezanoga otpora strujanju, u blizini rubovatoka uvijek postoji raspodjela brzina. Kod te raspodjele je brzina na granici fluida i okolnog(krutoga) sretstva uvijek 0, a prema sredini toka raste na jednostavniji ili slozeniji nacin(npr. v. sliku 4.11.).

v

Slika 4.11: Brzine laminarnog toka u cijevi imaju parabolicni profil. U 2D slucaju cijev sezamjenjenjuje paralelnim plocama koje stoje okomito na ravninu toka.

Elementarni izvor u 2D slucaju u stvari je linija okomita na ravninu toka (koja je po do-govoru x-y ravnina). Izdasnost izvora daje se po jedinici duljine te linije, pa je 2D dimenzijaizdasnosti m3s−1/m = m2s−1 o cemu treba voditi racuna kod koristenja 2D modela.

U blizini samog elementarnog izvora brzina je radijalna i u svim smjerovima jednaka(simetrija!). Za brzinu toka na udaljenosti r od izvora uz pomoc jednadzbe kontinuitetadaje se sljedeci izraz:

v(r) =QL

2rπ(4.15)

Brzina u blizini izvora opada linearno sa udaljenoscu od izvora (u 3D slucaju je ovisnostkvadraticna!). Strujnice izvora izlaze iz izvora i radijalno se sire u svim smjerovima (slika4.12.).

U slucaju ponora fluid se giba prema njemu, strujnice ulaze u njega a izdasnost je nega-tivna i opisuje koliko fluida u jedinici vremena ponor proguta. Brzina je:

v(r) = −|QL|2rπ

(4.16)


v v

Slika 4.12: U blizini elementarnoga izvora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka iusmjerena je radijalno od tocke izviranja.

usmjerena prema ponoru. Strujnice ponora ulaze u njega iz svih smjerova (slika 4.13.).Kako je brzina prikazana vektorskim poljem, razna se strujanja mogu vektorski zbrajati

ili oduzimati. Mnoge matematicki vrlo kompleksne probleme moguce je tako u 2D slucajurijesiti grafickim metodama koje se oslanjaju na pravila vektorske algebre (v. sliku 4.14.).

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) 59

v v

Slika 4.13: Kod elementarnoga ponora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka, ali jeusmjerena radijalno prema tocki poniranja.

Slika 4.14: Vektorska se polja mogu zbrajati po pravilima vektorskoga racuna, pa se osnovnastrujanja koriste za prikazivanje mnogih slozenih strujanja u stvarnosti. Pritom se stvarnostrujanje (u ovom slucaju prikazano vektorima brzine strujanja) prikazuje kao vektorski zbrojnekoliko osnovnih strujanja.

Glava 5

Zakon neprekidnosti (kontinuiteta)

Promatra se neki fluid u gibanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se infinitezimalo malenivolumen u obliku kvadra koji nepomicno stoji u toku fluida (slika 5.1). Stranice togamalenog volumena postavit ce se u smjeru koordinatnih osi i oznaciti ih sa dx, dy i dz.

x

y

z

v1x

v2x

dy

dx

dz1

2

ρ = ρ(x,y,z)

v = v(x,y,z)

Slika 5.1: Maleni volumen u toku fluida. Brzina strujanja opisana je vektorom ~v a gustocafluida funkcijom ρ.

Brzinu fluida opisat ce se sa vektorskom funkcijom ~v(x, y, z), a lokalnu gustocu fluidafunkcijom ρ(x,y,z), pri cemu treba imati na umu da ta gustoca ne mora biti konstantna.U prvom koraku brzina ~v ce se rastaviti na njezine komponente ~vx, ~vy i ~vz. Nakon togatreba pogledati sto se dogada sa x-komponentom brzine, ~vx. Ona je okomita na prednju(1) i straznju plohu (2) razmatronoga volumena. Velicinu x-komponente brzine na plohi 1oznacit ce se s ~v1x a njenu velicinu na plohi 2 s ~v2x. Ako je razmak izmedu te dvije plohe(= dx!) malen, moze se x komponenta brzine razviti u Taylorov red pa odbaciti vise clanove:

v2x = v1x +∂vx∂x

dx (5.1)

pri cemu se koristi cinjenica da je:

61

62 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)

~vx = vx ·~i (5.2)

Na isti se nacin nalazi i gustoca fluida:

ρ2 = ρ1 +∂ρ

∂xdx (5.3)

Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomicni volumen. U nekom infinitezimalnom malenomvremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen ude volumen fluida koji je jednakumnosku povrsine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog vremena:

V1 = dAv1xdt = dydzv1xdt (5.4)

y i z komponente brzine su paralelne sa spomenutom plohom pa ne doprinose toku fluidakroz plohu 1! Sada se uz pomoc gustoce odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 usla uelementarni volumen:

m1x = ρ1V1 = ρ1dydzv1xdt (5.5)

Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izasla masa fluida:

m2x = ρ2V2 = ρ2dydzv2xdt (5.6)

Razlika ove dvije jednadzbe predstavlja masu fluida koja je u x-smjeru izasla iz elemen-tarnoga volumena:

dmx = m2x −m1x = ρ2dydzv2xdt− ρ1dydzv1xdt (5.7)

sredivanjem i uvrstavanjem jednadzbi 5.1 i 5.3 dobija se sljedeci izraz:

dmx =

(vx∂ρ

∂x+ ρ

∂vx∂x

)dV dt (5.8)

Na isti nacin je gubitak mase u y i z smjerovima opisan izrazima:

dmy =

(vy∂ρ

∂y+ ρ

∂vy∂y

)dV dt (5.9)

i

dmz =

(vz∂ρ

∂z+ ρ

∂vz∂z

)dV dt (5.10)

Ukupni gubitak mase iz elementarnoga volumena dV zbroj je gubitaka po pojedinimsmjerovima:

dm = dmx + dmy + dmz (5.11)

Medutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeniza dm, to se mora odraziti u smanjenju gustoce fluida u elementarnom volumenu dV jer jemasa fluida sacuvana:

dm = −∂ρ∂tdV dt (5.12)

5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADZBE NEPREKIDNOSTI 63

Izjednacavanjem jednadzbi 5.11 i 5.12 i sredivanjem izlazi:

vx∂ρ

∂x+ vy

∂ρ

∂y+ vz

∂ρ

∂z+ ρ

(∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

)= −∂ρ

∂t(5.13)

Izraz na lijevoj strani gornje jednadzbe pretstavlja masu fluida koja je izasla iz jedinicnogvolumena u jedinici vremena i naziva se divergencija toka mase. Jednadzbu 5.13 mozemomnogo jednostavnije zapisati u vektorskom obliku kao

∂ρ

∂t+ div(ρ~v) = 0 (5.14)

sto se neki puta pise i na ovaj nacin:

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~v) = 0 (5.15)

Simbol ~∇ naziva se nabla i pretstavlja tzv. diferencijalni vektorski operator

~∇ =∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k (5.16)

Jednadzba 5.13 (5.14 odn. 5.15) je opca jednadzba kontinuiteta (sacuvanja mase).

5.1 Posebni oblici jednadzbe neprekidnosti

5.1.1 Stacionarno strujanje

U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom slucajugustoce) iscezavaju pa se jednadzba neprekidnosti pojednostavi:

div(ρ~v) = 0 (5.17)

5.1.2 Tekucine

Gustoca tekucina je prakticki konstantna pa se njene malene promjene u realnim stuaci-jama potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (ρ=konst. !), jednadzba neprekidnostipostaje

div(~v) = 0 (5.18)

i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustoca i u vremenu konstantna!) istacionarna strujanja.

5.1.3 Kvazi-jednodimenzionalni slucaj

U jednodimenzionalnom ogranicenju element volumena prelazi u element duzine, a elementpovrsine iscezava. Jednadzba 5.14 postaje

ρ∂v

∂x+ v

∂ρ

∂x= 0 (5.19)


U slucaju tekucine jednadzba (5.19) prelazi u:

ρ∂v

∂x= 0 (5.20)

s implikacijom da je v =konst. Ovo ne odgovara niti jednom realnom slucaju, pa kadase govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se odvijasamo u smjeru x-osi. To znaci da vy i vz komponente brzine iscezavaju u cijelom prostoru.U tom slucaju elementarna povrsina dA = dydz je uvijek okomita na brzinu a u vremenu dtkroz nju protekne masa fluida:

dm = dAvρdt (5.21)

Podijeli li se jednadzbu (5.12) sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida:

QM =dm

dt= dAvρ (5.22)

Kako je dA maleno, brzina i gustoca fluida na cijeloj toj povrsini su prakticki konstantni,pa se moze reci da je:

QM = konst. (5.23)

Kod toga se cesto umnozak:

dAv = dAdx

dt=dV

dt= Q (5.24)

naziva volumnim protokom fluida, Q.

Tako dugo dok je dA maleno, izvedeni zakljucci su ispravni i govori se o toku u strujnomvlaknu. Medutim, ako se gleda tok konacnih poprecnih dimenzija, gustoca i brzina prekopoprecnoga presjeka toka A ne moraju biti konstantni. Situacija se rjesava tako da se brzinui gustocu stvarnog toka usrednjava preko povrsine A i tako dobivene srednje vrijednostiuvrstava u jedn. 5.22. Ona u tom slucaju prelazi u:

QM =dm

dt=∫AvρdA = vρA = konst. (5.25)

gdje su v i ρ srednje vrijednosti brzine i gustoce preko povrsine A.

Jednadzba (5.25) pokazuje da je u 1D slucaju maseni protok konstantan po cijelomtoku. Kao sto je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnomtoku, dakle o toku koji se odvija u smjeru neke krivulje pa je za njegov opis dovoljna jednakoordinata (obicno put prevaljen po krivulji) pri cemu sama krivulja moze opisivati vrlozamrseni put u stvarnom prostoru. Primjer upotrebe ove aproksimacije je tecenje krozcjevovode koje tretiramo upravo na ovaj nacin. Kod toga se jednadzba (5.25) raspisuje zadva mjesta u toku, koja se oznacavaju brojevima 1 i 2, a znak srednje vrijednosti iznadsimbola brzine i gustoce se ispusta:

QM = A1v1ρ1 = A2v2ρ2 (5.26)

Treba zapamtiti da u gornjem slucaju v i ρ pretstavljaju srednje vrijednostiodgovarajucih fizikalnih velicina!

5.1: POSEBNI OBLICI JEDNADZBE NEPREKIDNOSTI 65

U slucaju tekucine jedn. (5.26) se dodatno pojednostavi na:

A1v1 = A2v2 = Q = konst. (5.27)

pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok medusobno su pro-porcionalni:

QM = ρQ (5.28)

Glava 6

Dimenzionalna analiza

Dimenzionalna analiza fizikalna je metoda za pronalazenje funkcionalnoga oblika raznihfizikalnih zakona koristenjem analize dimenzije fizikalne velicine koja se tim zakonom opisuje.Ona se zasniva na principu homogenosti. Taj princip govori da svi clanovi jednadzbe kojaopisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije.

Uz princip homogenosti dimenzionalna analiza oslanja se i na princip analiticnostiprema kojem se svaka pojava moze opisati nekom analitickom funkcijom oblika:

f(x1, x2, ..., xn) = 0 (6.1)

x1, x2, ..., xn su fizikalne velicine o kojima ta pojava ovisi. Prednost dimenzionalne anal-ize je da se relativno jednostavnim postupkom nalazi rjesenje vrlo kompleksnih fizikalnihodnosa. Nedostatak joj je da ne moze dati iznos konstante proporcionalnosti u jednadzbikoja opisuje analiziranu pojavu (mnozenje gornje jednadzbe bilo kojom konstantom ne mi-jenja je!). Nadalje, dimenzionalna analiza zahtijeva dobro poznavanje pojave koja se analizirai velicina o kojima ona ovisi. U protivnom je dobiveni izraz neupotrebiv.

Ovisno o broju fizikalnih velicina xi o kojima ovisi analizirana pojava, postoje dva pris-tupa rjesavanju problema dimenzionalnom analizom. Ako je broj tih velicina malen (najvise3-4), jednadzbu (6.1) se rjesava izravno, a ako je broj varijabli veci koristimo se tzv. π-teoremom o kojemu ce biti vise rijeci kasnije.

6.1 Mali broj fizikalnih varijabli

Jednadzbu (6.1) prvo se prepise u eksplicitni oblik, npr. za slucaj 4 fizikalne varijable:

x4 = f(x1, x2, x3) (6.2)

x4 je ovdje zavisna fizikana varijabla koja ovisi o tri nezavisne varijable x1, x2 i x3!Poznato je (princip homogenosti) da dimenzije lijeve i desne strane ove jednadzbe morajubiti jednake, pa se u sljedecem koraku umjesto same velicine x4 u lijevu stranu jednadzbeuvrstava njena fizikalna dimenzija, [x4], a u desnu stranu dimenzije varijabli x1, x2 i x3, alipotencirane na neke zasad nepoznate potencije a, b i c:

[x4] = [x1]a[x2]

b[x3]c (6.3)

67

68 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA

6.1.1 Primjer: brzina zvuka

Zvuk je mehanicki poremecaj (titranje) koji se siri kroz tvar. Poznato je da su promjenetlaka kod zvuka malene i da se zvuk kroz homogenu tvar siri konstantnom brzinom. Iz teorijetitranja takoder se moze vidjeti da je brzina reakcije tvari na neki poremecaj proporcionalnamodulu elasticnosti (Youngov modul, E). S druge strane, tromost pomaknutoga dijelatvari proporcionalna je njezinoj gustoci, ρ. Koristeci ove podatke, slaze se pretpostavljenajednadzba za brzinu zvuka:

v0 = BExρy (6.4)

Tu je B bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, koju dimenzionalna analiza nemoze odrediti. x i y su racionalni brojevi. U iducem se koraku u ovu jednadzbu na mjestofizikalnih velicina uvrstavaju njihove dimenzije:

[v0] = lt−1 [ρ] = ml−3 [E] = ml−1t−2 (6.5)

Ovdje m oznacava masu, l duzinu a t vrijeme. Nakon tog uvrstavanja dobije se dimen-ziona jednadzba:

lt−1 = (ml−3)x(ml−1t−2)y (6.6)

nju se prvo sredi tako da se grupiraju eksponenti pojedinih osnovnih velicina:

lt−1 = mx+yl−(x+3y)t−2x (6.7)

Sad se upotrijebi princip homogenosti: eksponenti osnovnih fizikalnih velicina moraju naobje strane jednadzbe biti jednaki. To sad daje odvojene jednadzbe za eksponente x i y:

x+ y = 0 − x− 3y = 1 2x = 1 (6.8)

S rjesenjem:

x =1

2y = −1

2(6.9)

Cinjenica da je rjesenje jednoznacno, ukazuje da je dimenzionalna jednadzba formalnodobro postavljena (nije zaboravljena neka bitna fizikalna velicina, a nije ni uvrstena nekanebitna). U zadnjem koraku ovako dobivene koeficijente vraca se u pocetnu jednadzbu (6.4)cime se dobije opceniti izraz za brzinu zvuka:

v0 = B

√E

ρ(6.10)

Tocnost ovako izvedena zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Zatekucine se tako nalazi da je B = 1 a za plinove B = γ (omjer toplinskih kapaciteta plina,Cp/CV ).

Kod ovoga postupka postoji mogucnost da rjesenje eksponenata nije jednoznacno. Uslucaju da jednadzbe dadu manji broj rjesenja, moze se probati sloziti jednadzba u kojojclanovi imaju sve dozvoljene (iste dimenzije!) kombinacije eksponenata, npr. :

v0 =∑i

BiExiρyi (6.11)

6.2: VELIKI BROJ FIZIKALNIH VARIJABLI 69

Neki od clanova mogu se ukloniti uz pomoc fizikalnih argumenata, za sto je potrebnomnogo iskustva i znanja. Ako se pak kao rjesenje dobije cijela familija raznih eksponenata,to znaci da pocetna jednadzba nije dobro postavljena, tj. da u njoj nedostaje neka bitnafizikalna velicina.

6.2 Veliki broj fizikalnih varijabli

U slucaju veceg broja fizikalnih velicna potrebnih za opisivanje neke fizikalne pojave koristese tzv. π teorem (Vaschy-Buckinghamov teorem) kojeg ovdje necemo dokazivati:

π teorem: Izraz f(xi) = 0 ne smije ovisiti o sustavu mjernih jedinica. Drugimrijecima f je bezdimenzionalna funkcija!

Odatle slijedi da se f moze napisati kao:

Φ(π1, π2, ..., πn) = 0 (6.12)

gdje su πi bezdimenzionalni monomi slozeni od varijabli xi. Uvodenje ovakvih monomasmanjuje broj argumenata funkcije Φ za broj osnovnih fizikalnih velicina koje su potrebneza opisivanje danog problema (obicno 2-3, neki puta i vise!). S druge strane, postupak jeosjetljiv i cesto puta nepregledan pa ga je bolje prepustiti strucnjacima koji se bave ovimpodrucjem, te prihvatiti zakljucke do kojih su oni dosli (npr. sljedeci primjer).

6.2.1 Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid

Ovo je vrlo slozen fizikalni problem koji teorijski ni izdaleka nije rijesen. Zbog toga sei danas koeficijenti otpora odreduju eksperimentalno, a opci oblik zakona otpora dobivendimenzionalnom analizom koristi se kao podloga za funkcionalni oblik eksperimentalno do-bivenih podataka.

Mnostvo pokusa pokazuje slijedece opce cinjenice: otpor koji tijelo osjeca pri gibanjukroz fluid ovisi o gustoci fluida, ρ, brzini gibanja tijela, v i nekoj karakteristicnoj dimenzijitijela, l. Nadalje je jasno da otpor ovisi i o viskoznosti fluida, µ. Otpor cemo pretstavitisilom F koju tijelo osjeca pri gibanju kroz fluid. Funkcija f je dakle oblika:

f(F, ρ, l, v, µ) = 0 (6.13)

Vidi se da funkcija f ima 5 argumenata, od kojih su tri (ρ, l i v) osnovne fizikalne velicine,a dvije (F i µ) izvedene. Prema π teoremu je u funkciji Φ 5-3=2 monoma:

Φ(π1, π2) = 0 (6.14)

Svaki od ta dva monoma slaze se od jedne izvedene velicine i kombinacije svih osnovnih(u ovo slucaju 3) velicina:

π1 = Fρx1ly1vz1 π2 = µρx2ly2vz2 (6.15)

U slijedecem koraku radi se zasebna dimenzionalna analiza za svaki od ovih monoma:

m0l0t0 = (mlt−2)(ml−3)x1ly1(lt−1)z1 (6.16)

70 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA

m0l0t0 = (l2t−1)(ml−3)x2ly2(lt−1)z2 (6.17)

rjesenje prvoga monoma je x1 = −1, y1 = −2 i z1 = −2, pa je:

π1 =F

ρl2v2=

F

ρAv2(6.18)

slicno, rjesenje drugoga monoma je x2 = 0, y2 = −1 i z2 = −1, pa je:

π2 =µ

lv=

1

Re

(6.19)

Funkcija Φ je ovoga oblika:

Φ(F

ρAv2,

1

Re

) = 0 (6.20)

Pa izraz za silu (trazeni izraz za otpor tijela!) ima oblik:

F = ρAv2f(Re) (6.21)

Ako se stavi da je C(Re) = 2f(Re), dobija se poznata Newtonova formula za otpor tijela:

F =1

2CρAv2 (6.22)

Koeficijent C ovisi o Re i obliku tijela i odreduje se eksperimetalno.

Glava 7

Stacionarno tecenje idealnoga fluida

Idealni fluid je svaki fluid koji ne pruza nikakav otpor tecenju. Viskoznost takvoga fluidane postoji, a ova se idealizacija cesto puta koristi u jednostavnim racunima i u situacijamakada gubici zbog unutarnjega trenja tekucine nisu veliki. Za idealni fluid vrijedi Eulerovajednadzba koju je mnogo lakse rijesiti od jednadzbi za realne tekucine (tzv. Navier-Stokesovejednadzbe) Uz to u najvecem dijelu problema iz prakse, fluid tece stacionarno u polju sileteze. Zato se analizu pocinje sa Eulerovom jednadzbom za polje sile teze (kvazi-1D oblik):

v2

2+∫ dp

ρ+ gz +

∫ ∂v

∂tds = konst. (7.1)

Kad je tecenje stacionarno, zadnji clan lijeve strane otpada (jednak je nuli), pa se dolazido kvazi1D Euler-ove jednadzbe za stacionarno tecenje:

v2

2+∫ dp

ρ+ gz = konst. (7.2)

Nadalje, ako se zanemari stlacljivost fluida (uglavnom tekucine, i plinovi ako su prom-jene tlaka i temperature malene), gustoca je konstantna sto omogucava formalnu integracijugornje jednadzbe, s rezultatom:

v2

2+p

ρ+ gz = konst. (7.3)

Ova jednadzba naziva se Bernoullijeva jednadzba. Ona vrijedi za stacionarno strujanjenestlacivoga fluida i jedna je od najvise koristenih jednadzbi mehanike fluida. Ona rjesavaslucajeve u mehanici fluida kada se strujanje fluida moze tretirati kao kvazi-jednodimenzionalno.Pogledajmo stoga malo detaljnije znacenje pojedinih clanova ove jednadzbe. Prvi clan je:

v2

2(7.4)

a ako njegova dimenzija u stvari odgovara dimenziji gustoce energije i predstavlja energijujedinicne mase fluida:

m2s−2 = m2s−2kg

kg=

Nm

kg=

J

kg(7.5)

Kako se ova gustoca izvodi iz brzine, radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog brzinekojom se giba (kineticka energija). Drugi clan Bernoullijeve jednadzbe je:

71

72 GLAVA 7: STACIONARNO TECENJE IDEALNOGA FLUIDA

p

ρ(7.6)

koji po principu homogenosti takoder mora imati dimenzije gustoce energije:

Pa

kgm−3=

Nm−2

kgm−3=

Nm

kg=

J

kg(7.7)

pri cemu je upotrebljena osnovna dimenzija Newtona kao jedinice za silu:

N = kgms−2 (7.8)

Ovaj dio energije dolazi od tlaka u fluidu, pa pretstavlja tzv. unutarnju energiju fluida.I na kraju, treci clan je:

gz (7.9)

Dimenzija ovog clana je m2s−2 kao i dimenzija prvoga clana pa se i kod njega ociglednoradi o gustoci energije. U ovom slucaju radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog svojegapolozaja u polju sile teze (tzv. potencijalna energija).

Pogledajmo sad cijelu Bernoullijevu jednazbu. Njezina lijeva strana zbroj je tri gustocerazlicitih vrsta energije (kineticke, unutarnje i potencijalne) a desna strana je konstana. Ovakonstanta je ukupna gustoca energije fluida, sto znaci da je gustoca ukupne enrgije fluidakonstantna. Bernoullijeva jednadzba izrice zakon sacuvanja energije za nestlacivi fluid!

7.1 Ravnoteza u smjeru okomitom na strujnicu

r

α

dA

vp

Slika 7.1: Sile koje djeluju na cesticu fluida u smjeru okomitom na strujnicu. Kod sta-cionarnog tecenja ove sile se moraju medusobno uravnoteziti.

Kod stacionarnoga tecenja sile koje djeluju na cesticu fluida okomito na strujnicu semoraju medusobno uravnoteziti jer se strujnica u vremenu ne mijenja. Radi jednostavnosti

7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA IDEALNE TEKUCINE 73

je na slici 7.1 pretpostavljeno strujno vlakno kvadraticnoga presjeka i strujna cestica u oblikumalena kvadra. Na bocne plohe strujne cestice djeluje tlak, centrifugalna sila i komponentasile teze u smjeru normale odgovarajuce plohe. Ako je tlak na donju plohu p, onda je tlakna gornju plohu:

p+∂p

∂ndn (7.10)

Komponenta sile teze u smjeru normale plohe je dmg cosα, pa je ravnoteza sila za gornjui donju plohu opisana sljedecim izrazom:

pdA−(p+

∂p

∂ndn

)dA+ dm

v2

r+ dmg cosα = 0 (7.11)

Kako je masa cestice fluida dm = ρdAdn izraz prelazi u:

−∂p∂ndndA+ dAdnρ

v2

r− dAdnρg ∂z

∂n= 0 (7.12)

a nakon sredivanja ostaje:

dpn = ρv2

rdn− ρgdz (7.13)

Ukupna promjena tlaka okomito na smjer strujanja sastoji se od dva dijela (dva clanadesne strane jednadzbe), od kojih se prvi naziva dinamicki doprinos, a drugi staticki. Di-namicki doprinos promjeni tlaka dolazi od zakrivljenosti strujnice i s time povezane inerci-jske centrifugalne sile. Staticki doprinos je jednostavno promjena hidrostatickoga tlaka zbogpromjene dubine u fluidu (dz). Kad strujanja nema, ili je strujnica ravna (r =∞) dobije seod prije poznata jednadzba hidrostaticke ravnoteze:

dpn = −ρgdz (7.14)

S druge strane, ako se strujanje odvija u horizontalnoj ravnini, nema promjene hidrostatskogatlaka pa drugi clan iscezava:

dpn = ρv2

rdn (7.15)

Ova jednadzba naziva se jednadzba radijalne ravnoteze toka i od velike ja vaznosti u 2Dproracunima tecenja. U slucajevima kad strujnice postanu koncentricne kruznice (vrtlozi)ova jednadzba dodatno se pojednostavi:

dpn = ρv2

rdr (7.16)

7.2 Bernoullijeva jednadzba za idealne tekucine

Bernoullijeva jednadzbu za nestlacivi fluid pomnozi se s g:

v2

2g+

p

ρg+ z = z◦ (m) (7.17)


Lako se provjeri da svi clanovi sad imaju dimenzije duljine. Shodno tome oni se nazivajuvisine:

v2/2g je brzinska visinap/ρg je tlacna visinaz je geodetska visinaz◦ je visina energetskog horizonta (visina energetske linije)

Drugim rijecima, zbroj brzinske visine, tlace visine i geodetske visine jednak je (kon-stantnoj) visini energetskog horizonta. Nadalje, zbroj tlacne i geodetske visine naziva sepiezometarska visina. To je visina do koje se podize tekucina u piezometru, pa ovajpojam ima veliko prakticno znacenje, jer se piezometarska visina moze izravno mjeriti.

I ovaj oblik Bernoullijeve jednadzbe opisuje sacuvanje ukupne energije tekucine, iako jeon skriven (svi clanovi imaju dimenziju duzine). No, spretnim raspisivanjem te dimenzijenalazi se:

m = mN

N=

J

N=

J

G◦G◦ = kg · 1 g (7.18)

Pojedini clanovi predstavljaju dakle odgovarajuce energije izrazene po tezini jedinicnemase tekucine. Ovaj se oblik Bernoullijeve jednadzbe u praksi najcesce koristi jer se piezometarskavisina moze jednostavno i izravno mjeriti, a slicno je i sa ostalim visinama koje ulaze u ovajoblik Bernoullijeve jednadzbe. Kod koristenja Bernoullijeve jednadzbe za rjesavanje prob-lema u praksi promatraju se dvije pogodno odabrane tocke na strujnici. Kako je i gustocatekucine i energetska vsina konstantna, raspisivanje Bernoullijeve jednadzbe za te dvije tockei izjednacavanje lijevih strana daje prakticni oblik Bernoullijeve jednadzbe:

v212g

+p1ρg

+ z1 =v222g

+p2ρg

+ z2 (7.19)

1 i 2 su bilo koje dvije tocke na (istoj!) strujnici. U ovoj cinjenici je sakriven i na-jveci problem Bernoullijeve jednadzbe: ona vrijedi samo za jednu tocno odredenu strujnicu,a najcesce se ne zna tocan tok te strujnice kroz prostor! Ovaj se problem u praksi zane-maruje (inace se ne bi mogla koristiti Bernoullijeva jednadzba) a racun se radi sa srednjimvrijednostima velicina koje u Bernoullijevu jednadzbu ulaze. Mnostvo teoretskih i eksper-imentalnih istrazivanja pogreske koja se takovim nacinom racunanja radi pokazalo je danajvecu pogresku unosi upotreba srednje vrijednosti brzine. Zato treba doci do priblizneocjene velicine te pogreske. Pritom se krece od toka kineticke energije kroz strujno vlakno:

dEk

dt=dm

dt

v222

(7.20)

pri cemu je protok mase opisan sa:

dm

dt= ρ

dV

dt= ρ

dAv

dt(7.21)

spajanjem ove dvije jednadzbe izlazi:

dEk

dt=ρ

2v3dA (7.22)

7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA IDEALNE TEKUCINE 75

Za cijeli presjek toka ovaj izraz mora se integrirati preko povrsine presjeka toga toka:

d

dt(Ek) =

ρ

2

∫Av3dA (7.23)

Provede li se li ovu integraciju sa srednjom vrijednosti brzine (koja je konstanta!) dobijese:

d

dt(Ek) =

ρ

2v3A (7.24)

matematicki se moze pokazati da je integral sa pravom vrijednoscu brzine uvijek veci odrezultata dobivenoga srednjom vrijednosti brzine:∫

Av3dA > v3A (7.25)

a omjer koji opisuje razliku ova dva rezultata:

α =

∫A v

3dA

v3A> 1 (7.26)

naziva se Coriolissov koeficijent. Zeli li se izbjeci pogreske nastale upotrebom srednjihvrijednosti u Bernoullijevoj jednadzbi mora se njezine brzinske clanove popraviti upotrebomovoga koeficijenta:

αv2

2g+

p

ρg+ z = z◦ (7.27)

odnosno, u prakticnom obliku:

α1v212g

+p1ρg

+ z1 = α2v222g

+p2ρg

+ z2 (7.28)

sto naravno pretpostavlja da je njegova vrijednost barem priblizno poznata. Ako nije,ostaje da se pretpostavi δ = 1 i na neki drugi nacin pokusa ocijeniti ucinjenu pogresku.

U slucaju kad se strujanje zaustavi Bernoullijeva jednadzba prelazi u jednadzbu hidrostatskeravnoteze:

p = ρg(z◦ − z) (7.29)

Slika 7.2 zorno prikazuje znacenje pojedinih clanova Bernoullijeve jednadzbe za idealnetekucine. I energetska i geodetska visina mjere se od tzv. referentne ravnine koja se obicnopostavlja kroz ili ispod najnize tocke. Time je osigurano da su te visine u svim tockama prob-lema pozitivne. Standardna referentna ravnina je ploha geoida koja predstavlja zamisljensrednju razinu morske povrsine, a visine mjerene prema njoj nazivaju se nadmorske visine.Kako je za idealnu tekucinu ukupna energija sacuvana, energetska linija je horizontalna, navisini zo, sa koje pocinje tok tekucine.

Kao sto je to vec napomenuto, za racun se uzima srednje vrijednosti velicina za os strujnecijevi za koju se rjesava Bernoullijeva jednadzba. Kako se hidrostatski tlak pojavljuje naobje strane prakticne Bernoullijeve jednadzbe, moze ga se izrazavati kao apsolutni ili kaorelativni tlak, jer se konstatna razlika medu njima krati, ali u tome se treba biti konzistentan.Za rjesavanje prakticnih problema koristi se prakticni oblik Bernoullijeve jednadzbe za dvijepogodno odabrane tocke na osi strujne cijevi (slika 7.3). Prva se tocka obicno bira tako da se


0 0

energetska linija

zo

z

piezometarska linija

Slika 7.2: Graficki prikaz Bernoullijeve jednadzbe za idealne tekucine. Sve visine vezu se zaos strujne cijevi.

0 0

z1

zo

z2

1 2

Slika 7.3: Graficki prikaz prakticnoga oblika Bernoullijeve jednadzbe za idealne tekucine.Jednadzbu se postavlja za dvije tocke (1 i 2) na osi strujne cijevi, odn. za odgovarajuceravnine presjeka toka, ravninama kroz te dvije tocke.

za nju znaju vrijednosti svih relevantnih visina, pa se onda uz pomoc prakticne Bernoullijevejednadzbe nalaze vrijednosti tih velicina u drugoj tocki. Tu je cesto puta uz Bernoullijevujednadzbu potrebno koristiti i jednadzbu kontinuiteta, radi odredivanja srednje brzine tokau drugoj tocki. Cijeli se postupak u toku rjesavanja postavljenoga problema cesto ponavljamnogo puta za razlicite tocke toka.

Glava 8

Stacionarno tecenje realnoga fluida

U mnogim realnim situacijama nije moguce zanemariti viskoznost fluida koji tece. Zbogviskoznosti dolazi do trenja izmedu cestica fluida i okolnih objekata, kao i izmedu poje-dinih cestica fluida, sto kao i kod trenja krutih objekata rezultira stvaranjem topline igubitkom dijela energije fluida. Mnogobrojni pokusi, uglavnom bazirani na originalnomNewton-ovom pokusu pokazali su da se viskozna sila moze prikazati kao umnozak tangenci-jalnoga naprezanja i (tangencijalne) povrsine na koju to naprezanje djeluje:

Fvis = τA (8.1)

U slucaju da se radi o cestici fluida, viskozna slika djeluje na njeno bocno oplosje dA =dOds pa je viskozna sila opisana sa:

dFvis = τdOds (8.2)

da bi gubitak energije zbog ove viskozne sile pretvorio u gubitak energetske visine, morase rad koji ta sila ucini na putu ds podijeliti s tezinom cestice ρgdV :

dhvis =dFvisds

ρgdAds=dFvis

ρgdA(8.3)

Prema tome, posljedica viskoznosti fluida je gubitak energije fluida. Ovaj gubitak odvijase u smjeru tecenja pa se energija realne tekucine uvijek smanjuje u smjeru u kojem se tokodvija.

8.1 Bernoullijeva jednadzba za realne tekucine

Viskozne gubitke energije kod tecenja realnih tekucina najcesce se opisuje ukupnim gubitkomnastalim izmedu dva presjeka toka, koji se, izrazen kao gubitak energetske visine, dodajedesnoj strani prakticnoga oblika Bernoullijeve jednadzbe:

v212g

+p1ρg

+ z1 =v222g

+p2ρg

+ z2 + ∆H (8.4)

Ovaj gubitak uvijek je veci od nule (trenje uvijek pretvara dio raspolozive energije utoplinu) pa je u presjeku 2 ukupna energetska visina tekucine smanjena za iznos gubitaka∆H. kod realnih tekucina ukupna energija tekucine se u smjeru toka stalno

77

78 GLAVA 8: STACIONARNO TECENJE REALNOGA FLUIDA

0 0

z1

zo

z2

1 2

E

∆H

z

Slika 8.1: Graficki prikaz prakticnoga oblika Bernoullijeve jednadzbe za realne tekucine.Ukupni gubici energije nastali izmedu presjeka 1 i 2 opisuju se smanjenjem energetske visineza visinu gubitaka ∆H.

smanjuje!. Gore navedeni oblik Bernoullijeve jednadzbe naziva se Bernoullijeva jednadzbaza realne tekucine.

8.1.1 Odredivanje gubitaka

Bernoullijeva jednadzba za realne tekucine omogucava nam i prakticno odredivanje gubitaka.Pritom se mora osigurati da je tecenje stacionarno (=konstantan protok kroz cjevovod). Namjestima 1 i 2 se prvo izmjeri piezometarske visine hp:

hp =

(z +

p

ρg

)(8.5)

Nakon toga se pomocu jednadzbe kontinuiteta odredi srednje brzine toka na tim mjestima(uz pretpostavku da je poznat protok kroz cjevovod, a koji se lako moze izmjeriti):

v1A1 = v2A2 = Q (8.6)

a onda se, uz pomoc Bernoullijeve jednadzbe za realne tekucine, odredi gubitak energetskevisine:

∆H =

(v212g

+p1ρg

+ z1

)−(v222g

+p2ρg

+ z2

)(8.7)

jednadzbu (8.7)moze se pojednostaviti uvrstavanjem izmjerenih piezometarskih visina:

∆H =

(v212g

+ hp1

)−(v222g

+ hp2

)(8.8)

Kod stvarnih mjerenja ove vrste najcesce se koriste cijevi konstantnoga presjeka, jer jeu tom slucaju srednja brzina toka svugdje jednaka, a gubici se nalaze vrlo jednostavno kaorazlika izmjerenih piezometarskih visina:

8.1: BERNOULLIJEVA JEDNADZBA ZA REALNE TEKUCINE 79

∆H = hp1 − hp2 (8.9)

Gubitak energetske visine izrazen po jedinici duljine toka naziva se energetski gradijentili energetski pad:

Ie =∆H

l(8.10)

gdje je l duzina toka na kojoj nastaje gubitak h1,2. Slicno, gubitak piezometarske visineizrazen po jedinici duljine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulickigradijent:

Ip =hp1 − hp2

l= tanα (8.11)

koji se cesto puta izrazava i kao tangens kuta nagiba piezometarske linije prema horizon-tali (α).

80 GLAVA 8: STACIONARNO TECENJE REALNOGA FLUIDA

Glava 9

Tecenje kroz cijevi

9.1 Reynoldsov pokus

v

Slika 9.1: Reynoldsov pokus. U tok tekucine (plavo) u horizontalnoj cijevi ubacuje se tankastruja obojene tekucine (crveno). Polozaj mjesta ubacivanja na presjeku cijevi moze se mijen-jati pomicanjem sustava za ubacivanje. Brzina tecenja regulira se otvaranjem ili zatvaranjemventila na kraju cijevi.

Teorijsko proracunavanje viskoznih gubitaka se pokazalo izuzetno kompleksnim, i mnogiproblemi ni do danas nisu rijeseni na zadovoljavajuci nacin. Zbog toga se ovaj dio mehanikefluida i danas oslanja na rezultate iscrpnih pokusa i empirijske jednadzbe izvedene na osnovinjih. Prakticne probleme tecenja realnih tekucina i danas najbolje ilustrira Reynoldsov pokuskoji je prvi ukazao na promjenjivu prirodu tecenja, u ovisnosti o njegovoj brzini. Pokus jeu osnovi vrlo jednostavan (v. sliku 9.1). U tok tekucine u dugoj, horizontalnoj i, radimogucnosti opazanja, prozirnoj cijevi na njegovom se pocetku ubacuje tanki mlaz obojenetekucine. Protok se regulira otvaranjem i zatvaranjem ventila na kraju cijevi, a konstantniulazni tlak osigurava se odrzavanjem konstantne razine tekucine u rezervoaru. Tanki mlazobojene tekucine slijedi strujnicu na koju je ubacen i omogucava pracenje njezinoga oblikapo duzini cijevi.

81

82 GLAVA 9: TECENJE KROZ CIJEVI

Kod malih brzina tecenja pokus je dao ocekivani rezultat: strujnica je ravna i paralelnas osi cijevi. Njezin oblik ne ovisi o polozaju strujnice unutar presjeka cijevi (slika 9.2).

v

Slika 9.2: Kod malih brzina tecenja Reynoldsov pokus pokus pokazuje da je strujnica ravnai paralelna s osi cijevi. Njen oblik ne ovisi o polozaju strujnice unutar presjeka cijevi.

Slika strujnica nadalje pokazuje da se cestice tekucine medusobno ne mijesaju vec tekujedna pored druge. Preslikano na kruzni presjek cijevi, tekucina tece u slojevima (lamelama),pa se ovakav tok naziva laminarni tok.

No, vec i sa malim povecanjem brzine toka strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilnai pocinje titrati, tj. mijenjati svoj polozaj u vremenu (v. sliku 9.3). Pri tome slika strujanjau blizini stijenke cijevi i dalje ostaje nepromijenjena, tj. laminarna (v. sliku 9.4). Vremenskapromjenjivost strujnice ukazuje na to da tok vise nije stacionaran, o cemu ce kasnije biti viserijeci. Ovaj nacin tecenja naziva se prijelazni rezin (prijelazni tok).

v

Slika 9.3: Kod nesto vecih brzina tecenja strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna ipocinje mijenjati svoj oblik i polozaj unutar toka.

9.1: REYNOLDSOV POKUS 83

v

Slika 9.4: Istovremeno, strujnice u blizini stijenke cijevi i dalje ostaju nepromijenjene.

Daljnje povecavanje brzine izaziva sve brze promjene oblika strujnice i to u cijelom pres-jeku toka (v. slike 9.5 i 9.6). Vrlo brzo, u smjeru toka, strujnica se gubi i tekucina je jedno-liko obojena sto nam govori da dolazi do medusobnog mijesanja cestica tekucine. Detaljnijipokusi, uz upotrebu brzih kamera i posebnih tehnika pracenja cestica tekucine, pokazuju dau toku postoje jaka vrtlozenja, pa se ovaj nacin tecenja naziva vrtlozni ili turbulentnitok.

v

Slika 9.5: Kod jos vecih brzina strujanja dolazi do jakoga i brzog promjena oblika strujnicei vrlo brzo i do potpunoga mijesanja tekucine.

Na osnovi mnogo pokusa sa cijevima razlicitih promjera i uz razlicite brzine tecenja,Reynolds je empirijski ustanovio da je slika tecenja dva razlicita toka prakticki ista, ako jeomjer umnoska brzine i promjera cijevi sa koeficijentom viskoznosti tekucine za oba toka isti.Taj se omjer danas naziva Reynoldsov broj i definiran je kao:


v

Slika 9.6: Slika mijesanja je kod vecih brzina ista u cijelom presjeku cijevi, sve do njezinestijenke.

Re =vd

ν(9.1)

Rezultati pokusa su nadalje pokazali da je tok laminaran ako je Re < 2320, da je uprijelaznom rezimu ako je Re ∼ 2320, te da je vrtlozan ako je Re veci od 2320. Za cijevi cijipresjek nije okrugao, koristi se tzv. hidraulicki radijus koji je definiran kao omjer presjekatoka i opsega tog presjeka (v. sliku 9.7):

O

A

Slika 9.7: Hidraulicki radijus cijevi proizvoljnoga oblika presjeka omjer je povrsine presjekaunutarnjeg otvora cijevi i njegovoga opsega.

Rh =A

O(9.2)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU 85

Za okruglu cijev je hidraulicki radijus jednak polovici fizickoga polumjera cijevi, o cemuitekako treba voditi racuna! Ova nespretna razlika posljedica je povijesnog razvoja strukei danas ju je prakticki nemoguce ispraviti. Kod upotrebe strucne literature treba pripazitijer manji broj autora Reynoldsov broj nestandardno definira tako da hidraulicki radijusokrugle cijevi bude jednak njenom fizickom polumjeru. U ovom tekstu koristi se iskljucivostandardna definicija Reynoldsovog broja i hidraulickog polumjera.

Rh =R2π

2Rπ=R

2(9.3)

9.2 Gubici u cjevovodu

Cjevovod je sklop cijevi, ventila, racvi i ostalih elemenata cijevne armature kroz koji tecetekucina. I nadalje cemo se drzati zahtjeva da je tok kroz cjevovod stacionaran a tekucinanestlaciva. Prvi korak u teoretskoj analizi gubitaka u cjevovodu bit ce analiza jednadzbe zagubitke izvedene iz Bernoullijeve jednadzbe:

∆H =α1v

21 − α2v

22

2g+p1 − p2ρg

+ (z1 − z2) (9.4)

Ako Coriollisov koeficijent ne ovisi o brzini, sto je ispunjeno u najvecem broju stvarnihsituacija, prvi je clan ove jednadzbe u potpunosti odreden geometrijom cjevovoda (prekojednadzbe kontinuiteta!), pa on ne moze biti izvor gubitaka. Gubici se dakle moraju manife-stirati u smanjenju sume zadnja dva clana, tj. u smanjenju piezometarske visine. To postajejos ocitije ako se ogranicimo na analizu cijevi konstantnoga promjera. Brzine su tada svugdjeiste, pa se jednadzba gubitaka pojednostavi na:

∆H =p1 − p2ρg

+ (z1 − z2) = hp1 − hp2 (9.5)

Kod mjerenja otpora u cijevima, one se najcesce postavljaju vodoravno, pa i zadnji clanotpada:

∆H =p1 − p2ρg

(9.6)

Gubici zbog viskoznosti strujanja u cjevovodu dovode do pada hidrostatskoga tlaka u sm-jeru strujanja. Vidjet cemo kasnije da osiguravanje dovoljnoga tlaka na izlasku iz cjevovoda(kod zadanoga maksimalnog protoka) jedan od najvaznijih zadataka konstruktora cjevovoda,koji u najvecom mjeri odreduje dimenzije cijevnih elemenata.

Pogledajmo sad malo detaljnije tok u nekom malom dijelu horizontalne cijevi (v. sliku9.8). Za cesticu tekucine odabran je volumen omeden dvjema bliskim poprecnim presjecimacijevi, razmaknutima za dl. Na cesticu djeluju tlacne sile i sila viskoznoga trenja na stijencicijevi, pa je jednadzba ravnoteze sila:

pA = τOdl + (p+ dp)A (9.7)

sto nakon sredivanja prelazi u izraz za smanjenje tlaka u cijevi:

−dp = τdlO

A=

τ

Rh

dl (9.8)


v

p p+dp

τ

τ

dl

Slika 9.8: Odabir cestice fluida za analizu viskoznih gubitaka u cijevi i sile koje na tu cesticudjeluju.

Kad bi se moglo odrediti iznos smicnoga naprezanja na stijenci cijevi τ , mogla bi se rijesitijednadzbu (9.8). Pokazalo se da to uopce nije trivijalno, pa cemo se posluziti dimenzionalnomanalizom. Pretpostavi li se da je:

τ = f(ν, ρ, v, Rh) (9.9)

na osnovi cega se dalje pretpostavi da je:

τ = kνρxvyRzh (9.10)

Ovdje se dodatno pretpostavlja da je smicno naprezanje proporcionalno koeficijentuviskoznosti, inace bi se dobile tri dimenzione jednadzbe za cetiri nepoznanice, sto se nemoze jednoznacno rijesiti. Raspisivanje dimenzionalne jednadzbe daje:

ML−1T−2 = (L2T−1)(ML−3)x(LT−1)z (9.11)

a nakon sredivanja:

ML−1T−2 = MxL2−3x+y+zT−1−y(LT−1)z (9.12)

Odatle se nalazi:

x = 1 y = 1 z = −1 (9.13)

i

τ = kνρv

Rh

(9.14)

Uz upotrebu hidraulickog radijusa i Reynoldsovoga broja, odn. njihove veze

ν

Rh

=4v

Re

(9.15)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU 87

jedn. (9.14) postaje:

τ = k4

Re

ρv2 =8k

Re

ρv2

2(9.16)

Ovo se uvrsti u jednadzbu za pad tlaka (9.8), kojoj se promijeni predznak:

dp = − τ

Rh

dl = − 8k

RhRe

ρv2

2dl (9.17)

Integracijom ovoga izraza po duljini cijevi dolazi se do izraza za ukupni pad tlaka na tojduljini:

∆p = −λ l

4Rh

ρv2

2(9.18)

Ovdje se uvede konstanta:

λ =32k

Re

(9.19)

koja se naziva bezdimenzionalni koeficijent trenja (koeficijent otpora strujanju) u ravnojcijevi. Ako se ogranicimo na okrugle cijevi, 4Rh = d, gdje je d fizicki promjer cijevi, pajednadzba 9.8 postaje:

∆p = −λ ld

ρv2

2(9.20)

ili, izrazeno u energetskim visinama:

∆H = λl

d

v2

2g(9.21)

ovo je Darcy-Wiessbachova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa njom, isvi drugi gubici u dijelovima cjevovoda se prikazuju kao:

∆H = ζv2

2g(9.22)

gdje je ζ bezdimenzionalni koeficijent otpora (koeficijent gubitka energije) za odgovarajucidio cjevovoda.


9.3 Laminarno tecenje kroz cijevi

Laminarno tecenje u stvarnosti se javlja samo kod vrlo malih brzina strujanja (gravitacijskipobudena strujanja, ako brzina nije prevelika), strujanja u kapilarama, kroz tkanine i filtere,kod procjedivanja podzemnih voda i kod tecenja viskoznih tekucina (med, lava, katran ismole). U svim drugim slucajevima realni fluidi teku vrtlozno.

Problem laminarnoga tecenja jedini se dade matematicki u cijelosti tocno opisati, pa serjesenja problema za laminarno strujanje cesto koriste kao predlosci za rjesavanje problemau turbulentnom rezimu. I ovdje ce se analizu zapoceti od strujanja u cilindricnoj cijevi, alice se drugacije odabrati cesticu fluida: uzet ce se da ona ima oblik cilindra, koaksijalnoga sosi cijevi i duzine l jednake razmaku dviju ravnina presjeka toka izmedu kojih se racunajugubici (slika 9.9).

v p1

τ

τ

1 2

l

p2

Slika 9.9: Odabir cestice fluida za analizu viskoznih gubitaka kod laminarnoga tecenja krozcijev.

Tangencijalno naprezanje na bocnoj plohi cestice odredujemo uz pomoc Newtonovogzakona za tangencijalno naprezanje:

τ = ρνdv

dy(9.23)

Kako analizirani problem ima rotacionu simetriju s obzirom na os cijevi, naprezanje je istou svim tockama oboda cilindra koji predstavlja razmatranu cesticu, pa je ukupna viskoznasila na cesticu:

Ft = τA = 2πrlτ (9.24)

kao i prije, viskozna sila je u ravnotezi sa razlikom tlacnih sila na baze cestice:

Ft = Fp (9.25)

pri cemu je razlika tlacnih sila:

Fp = (p1 − p2)AB = ∆pr2π (9.26)

9.3: LAMINARNO TECENJE KROZ CIJEVI 89

Izjednacavanje slika daje sljedeci izraz:

∆pr2π = 2πrlµdv

dy(9.27)

koji nakon sredivanja postaje

∆pr = lµdv

dy(9.28)

y

r

R

Slika 9.10: Promjena koordinatnog sustava koja olaksava koristenje rotacione simetrije.

Da bi se olaksao daljnji racun, promijeniti ce se koordinatni sustav, i to tako da seishodiste spusti na donju stijenku cijevi. Kod toga x-koordinata ostaje nepromjenjena, aveza izmedu nove y-koordinate i udaljenosti od osi cijevi je:

y = R− r dy = −dr (9.29)

Ovom promjenom koordinata izraz (9.28) postaje:

∆pr = −2lµdv

dr(9.30)

Njega ce se upotrijebiti da se nade brzinu strujanja u ovisnosti o koordinati y, a da se topostigne, prvo ga treba presloziti tako da se dobije izraz za derivaciju brzine:

dv

dr= −∆pr

2lµ(9.31)

koji se onda integrira preko povrsine presjeka toka, pri cemu se ne smije zaboraviti da jebrzina ista u svim tockama jednako udaljenim od osi cijevi (simetrija!):

v = −∆p

2lµ

∫ R−r

Rrdr =

∆p

4lµ(R2 − r2) (9.32)

Ovo je Hagen-Poiseullov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalnabrzina je na osi cijevi (r = 0) i iznosi:


vmax =∆p

l

R2

4µ(9.33)

a odnos brzine na polumjeru r prema maksimalnoj brzini je kvadratican:

v

vmax

= 1−(r

R

)2

(9.34)

R-R r

v

vmax

Slika 9.11: Profil brzine kod laminarnoga tecenja kroz cilindricnu cijev.

Profil brzine je parabolicnoga oblika i prikazan je na slici 9.11. Kako je brzina u svimtockama presjeka toka ovime poznata, moze se naci i ukupni protok tekucine kroz cijev:

Q =∫ R

02πrvdr (9.35)

odnosno:

Q = R2π

(R2∆p

8µl

)(9.36)

Ranije se protok vezao za srednju brzinu:

Q = R2πv (9.37)

pa se izjednacavanjem nalazi:

v =Q

R2π=

∆p

l

R2

8µ(9.38)

ili, jednostavnije:

v =vmax

2(9.39)

9.3: LAMINARNO TECENJE KROZ CIJEVI 91

Omjer srednje i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine β:

β =v

vmax

= 0, 5 (9.40)

i za laminarno tecenje β = 0, 5. Iz brzine mozemo tocno odrediti i Coriollisov koeficijentδ:

α =

∫A v

3dA

v3A= 2 (9.41)

i ocigledno je da se on kod laminarnoga strujanja ne smije zanemariti. Na kraju seokretanjem izraza za srednju brzinu nalazi i viskozni gubitak:

∆p =l

R28µv (9.42)

ili, izrazen kao gubitak energetske visine:

∆h =l

R28νv

g(9.43)

Usporedivanjem ovog izraza s opcim izrazom za viskozne gubitke u cijevima (9.20) dolazise do izraza za bezdimenzionalni koeficijet trenja za laminarno tecenje u cijevima:

λlam =64

Re

(9.44)

U slucaju proizvoljnog oblika presjeka cijevi dolazi se do slicnih relacija, a opci laminarnikoeficijent trenja moze se izraziti kao:

λlam = ϕλlam,cijev (9.45)

gdje konstanta ϕ ovisi o geometrijskom obliku presjeka cijevi. Primjerice za cijevi pra-vokutnoga presjeka koeficijent ϕ prikazan je na slici 9.12, koeficijenti za neke posebneslucajeve tabelirani su u tablici 9.1.

Tablica 9.1: Konstanta ϕ opcega laminarnog koeficijenta trenja za razne oblike pravokutnogapresjeka cijevi.

slucaj ϕ

kruzni presjek 1

paralelne ploce 1,5

kvadratni presjek 0,89

pravokutni presjek 1:0,44 1,00


0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

b/a

ϕϕ ϕϕ

Slika 9.12: Konstanta ϕ opcega laminarnog koeficijenta trenja za razlicite oblike pra-vokutnoga presjeka cijevi. a i b su stranice presjeka, a konstanta opcega laminarnog ko-eficijenta trenja ovisi samo o njihovom omjeru, a/b.

Llam

Slika 9.13: Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev.

9.3.1 Duljina formiranja laminarnoga toka

Laminarni (parabolicni) profil brzine ne uspostavlja se odmah na mjestu ulaska tekucine ucijev, vec je za njegovo formiranje potrebna odredena duzina toka. Pokusima je odredenoda je ta duzina priblizno:

Llam = 0, 065dRe (9.46)

9.4: VRTLOZNO (TURBULENTNO) TECENJE KROZ CIJEVI 93

9.4 Vrtlozno (turbulentno) tecenje kroz cijevi

t

v

v

Slika 9.14: Kod vrtloznog toka brzina se u svakoj tocki toka nepravilno mijenja i po iznosui po smjeru. Zato se umjesto trenutne brzine v, koristi njena srednja vrjednost u vremenu,v. Vrtlozni je tok u svojoj biti nestacionaran.

Tecenje u prirodi obicno se odvija s tako velikim brzinama da je tok uglavnom vrtlozan.Primjerice za vodu koja tece kroz vodovodne cijevi, prijelaz iz laminarnoga u vrtlozni rezimtoka dogada se vec kod brzina od oko 0,1 cms−1 (cijev promjera 25 mm). Veliki problempri analizi vrtloznoga rezima tecenja predstavlja nepostojanje stalnih strujnica, sto zornopokazuje i ranije opisani Reynoldsov pokus. Strujnice kod vrtloznoga toka su nepravilne,vremenski promjenjive, te medusobno izmijesane i zapetljane. To prakticki onemogucavaanaliticko rjesavanje jednadzbi koje opisuju vrtlozni rezim toka. Da bi se ipak moglo docido kakvih-takvih zakljucaka o ponasanju fluida u ovom rezimu, koristi se vremensko usred-njavanje fizikalnih velicina koje taj tok opisuju. Tako se umjesto trenutne vrijednosti brzineu nekoj tocki toka (slika 9.14) koristi vremenski usrednjena brzina:

~v =1

T

∫ T

0~vdt (9.47)

odnosno, po komponentama:

vx = 1T

∫ T0 vxdt

vy = 1T

∫ T0 vydt

vz = 1T

∫ T0 vzdt

(9.48)

Usrednjavanje po vremenu uklanja vremensku ovisnost usrednjene velicine, (srednja vri-jednost ne ovisi o vremenu!) pa tako nestacionarni problem prelazi u stacionarni (slika 9.15).Naravno, kod koristenja srednjih vrijednosti gubi se informacija o trenutnim vremenskim (iliprostornim vrijednostima, ako se usrednjavanje vrsi preko prostornih dimenzija) vrijednos-tima usrednjene velicine, sto uglavnom nije od presudne vaznosti. Kod proracuna nekogacjevoda uglavnom nas zanima protok koji taj cjevovod mora omoguciti, za sto su dovoljnesrednje vrijednosti brzine, a trenutne brzine toka u pojedinim tockama toka nisu bitne.


vx

vx

vx

t=t1

t=t2

usrednjeno

Slika 9.15: Trenutni profil brzine po presjeku toka (radi jednostavnosti prikazana je samox-komponenta brzine) vremenski je promjenjiv. Usrednjavanjem se dolazi do srednje vri-jednosti brzine, a kaze se da je vrtlozni tok stacionaran ako je profil te srednje vrijednostikonstantan.

Problem vrtloznoga tecenja svodi se dakle na potrebu da se pronade raspodjela srednjevrijednosti brzine na povrsini presjeka toka. Pogledajmo stoga jednu cesticu fluida u blizinistijenke cijevi (slika 9.16).

yy1

y2

x

vx(y1)

vx(y1)vx(y2)

Slika 9.16: U vrtloznom toku cestica fluida ima i komponente brzine okomite na smjer toka.Na slici je prikazana jedna cestica u trenutku kad ju vrtlozenje nosi od stijenke cijevi premanjezinoj sredini.

Kao prvo, postavit ce se koordinanti sustav tako da mu x-os pokazuje u smjer toka,paralelno sa stijenkom cijevi, te da y-os pokazuje prema osi cijevi. Ishodiste ce se staviti nasamu stijenku cijevi. Nakon toga odabere se neka proizvoljna cestica fluida u blizini stijenkecijevi, na udaljenosti y1 od nje. Neka ta cestica ima x-komponentu brzine vx(y1). Vrtlog cenakon nekoga vremena tu cesticu odnijeti na udaljenost y2 od stijenke cijevi. Brzina toka natoj udaljenosti od stijenke cijevi veca je jer se cestica sad nalazi blize osi cijevi. Uz pomocrazvoja u red brzinu na ovom mjestu povezujemo sa brzinom na mjestu sa kojeg je cesticakrenula:

vx(y2) = vx(y1) + ∆ydvxdy

(9.49)

9.4: VRTLOZNO (TURBULENTNO) TECENJE KROZ CIJEVI 95

gdje je:

∆y = y2 − y1 (9.50)

Zbog inercije cestica tezi zadrzavanju svoje pocetne brzine, pa je sporija od okolnogafluida. Naravno da ce se razlika brzine ponistiti zbog djelovanja viskoznih sila, pa ce cesticabiti ubrzana na brzinu okolnog fluida. Pri tome okolni fluid to ubrzanje osjeca kao silu kojase odupire njegovom toku. U iducem ce se koraku pokusati odrediti iznos te sile.

Neka je y-komponenta brzine koja promatranu cesticu nosi prema sredini toka vy. Akona mjestu gdje se cestica nalazi tok se presijece ravninom okomitom na y-os, cestica ce zbogpostojanja y-komponente brzine proci kroz tu ravninu. Ako na taj nacin u nekom kratkomvremenu dt kroz tu ravninu prema osi cijevi prode masa fluida dmy, maseni protok kroz turavninu (dakle protok u y-smjeru) ce biti:

dQM =dmy

dt= dAvyρ (9.51)

Zbog ubrzavanja na brzinu vx(y2) dolazi do promjene kolicine gibanja:

d(mv)

dt= dF =

dmy

dt[vx(y2)− vx(y1)] (9.52)

No, iz jednadzbe (9.49) se vidi da je razlika brzina na desnoj strani upravo jednaka:

vx(y2)− vx(y1) = ∆ydvxdy

(9.53)

pa je nastala sila jednaka:

dF = dAvyρ∆ydvxdy

(9.54)

Tangencijalno naprezanje koje zbog ove sile nastaje odreduje se dijeljenjem sile sa povrsinomna kojoj ona djeluje:

τturb =dF

dA= vyρ∆y

dvxdy

(9.55)

Nadalje, zbog zakona kontinuiteta (sacuvanja mase), mora ukupni tok u y-smjeru isceznuti,sto znaci da se na nekim mjestima u toku fluid u y-smjeru giba i od osi cijevi prema stijenci.Rezultati mnostva pokusa pokazuju da su kod vrtloznih gibanja putanje cestica fluida pri-blizno kruzne, pa tako istovremeno na jednom mjestu vrtloga neka masa fluida ide premastijenci, a na drugoj strani vrtloga ista masa fluida se udaljava od nje. Ako je gibanjekruzno, srednje vrijednosti x i y komponenti brzine su jednake (radi se sa apsolutnim vri-jednostima komponenti), pa se pretpostavi da to priblizno vrijedi i za opcenitiji slucaj. Ovapretpostavka omogucava da se nade srednja vrijednost brzine vy. Da bi se vidjelo kruzenjecestice u vrtlozenju, mora se gibati zajedno sa fluidom, dakle brzinom vx(y1). To znaci da jesrednja vrijednost x-komponente brzine kruzenja jednaka vx(y2) − vx(y1), a po prethodnimzakljuccima je ona jednaka srednjoj vrijednosti y-komponente brzine:

vy = vx(y2)− vx(y1) = ∆ydvxdy

(9.56)


S pomocu ovog izraza moze se eliminirati y-komponentu brzine iz razmatranja, pa izrazza tangencijalno naprezanje postaje:

τturb = ρ(∆y)2(dvxdy

)2

(9.57)

Kako ce se od sada pa do kraja ovog racuna upotrebljavati iskljucivo srednje vrijednostibrzina, ispustit ce se oznaku za usrednjavanje da bi jednadzbe bile preglednije. Drugimrijecima, simbol v ce od sada oznacavati srednju brzinu (vremenski usrednjenu, a ona se idalje moze mijenjati preko presjeka toka).

Razmatranje se nastavlja uzimajuci u obzir gornju napomenu. Kao prvo, umnozak:

∆y

(dvxdy

)= vtg (9.58)

ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina tangencijalnoga naprezanja. Priv-idna zato, sto se ne radi o nekoj izravno mjerljivoj brzini, vec o matematickoj konstrukcijikoja ima dimenziju (a donekle i ulogu) brzine kod razmatranja tangencijalnoga naprezanjau slucaju vrtloznoga toka. Izraz za tangencijalno naprezanje postaje:

τturb = ρv2tg (9.59)

Iako izgleda da se rijesio problem tangencijalnoga naprezanja, to je samo na prvi pogledtako. Jos uvijek se naime ne zna vrijednost ∆y koja odreduje iznos prividne brzine tangen-cijalnoga naprezanja. Teoretski se ovu velicinu nije uspjelo odrediti, pa se mora posegnuti zarezultatima pokusa, koji se obicno izrazavaju u obliku tzv. iskustvenih (empirijskih) for-mula. Iskustvene formule su funkcionalne ovisnosti fizikalnih velicina dobivene trazenjemfunkcija i njihovih koeficijenata koje najbolje odgovaraju eksperimentalno dobivenim po-dacima. One dobro opisuju opazeno, ali nemaju teorijske podloge pa se ne zna sve fizikalnezakonitosti i procese koji do njih dovode. No, za prakticnu upotrebu, posebno u tehnickimznanostima, iskustvene formule su vrlo korisne i cesto puta nezaobilazne. Da se vratimonasem problemu, jedna od najcesce koristenih iskustvenih relacija za prividnu brzinu tan-gencijalnoga naprezanja je Prandtlova relacija:

∆y = ky (9.60)

pri cemu je pokusima utvrdeno da se k uglavnom krece izmedu 0,36 i 0,42. U teorijskimracunima stoga se uglavnom koristi vrijednost k = 0, 40 (1/k = 2, 5) pa ce se i ovdje koristititu vrijednost.

9.5 Profil brzine kod vrtloznog toka

Kombiniranjem Prandtlove relacije (9.60) i izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja(9.58) dobije se:

vtg = kydv

dy(9.61)

sto preslagivanjem i upotrebom vrijednosti k = 0, 40 daje:

dv

dy= 2, 5vtg (9.62)

9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA 97

odnosno, nakon integracije:

v

vtg= 2, 5 ln y + C (9.63)

Nazalost, detaljnija analiza gornje jednadzbe pokazuje da ona ne moze biti tocna. Naimeza stijenku cijevi (y=0!) gdje brzina toka mora biti jednaka nuli, gornji izraz daje beskonacnubrzinu i to u negativnom smjeru! Problem je u tome da se tijekom dosadasnjege razmatranjaradilo kao da turbulentni tok postoji sve do same stijenke. I pokusi i fizikalni argumentigovore nam da to ne moze biti tocno. Naime zbog viskoziteta se fluid na stijenci ”lijepi” zanju, pa uz samu stijenku brzina toka mora biti jako mala, sto znaci da ce tecenje uz stijenkubiti laminarno (Reynoldsov broj je uz stijenku vrlo malen). Tek sa udaljavanjem od stijenkemoze se ocekivati da ce povecanje brzine dovesti do postupnog razvoja vrtloznoga toka, stose detaljnim pokusima zaista i potvrdilo. Stvarna je situacija ilustrirana na slici 9.17.

laminarni profil

vrtložni profil

v

y

zona miješanja

A

B

C

yo

granični laminarni sloj

vrtložni tok

Slika 9.17: Odredivanje brzine vrtloznoga toka u blizini stijenke cijevi.

Uz samu stijenku, prema tome, uvijek postoji sloj fluida koji tece laminarno. Taj slojnaziva se granicni laminarni sloj. Izvan tog sloja strujanje lagano prelazi u vrtlozno, unutarsloja koji se naziva zona mijesanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtlozni tok. Ulaminarnom granicnom sloju profil brzine je parabolican, ali se moze aproksimirati pravcem,jer je debljina granicnog sloja daleko manja od polumjera cijevi. S druge strane, u vrtloznomdijelu toka profil brzine je logaritamski. Taj profil u blizini stijenke sijece y-os u tocki you kojoj vrtlozna brzina iscezava. Rjesenje problema sa negativnim vrijednostima koje uzstijenku daje izraz (9.63) je da od stijenke do tocke B, u kojoj se ova dva profila brzinesijeku, koristi laminarni profil brzine, a od tocke B pa sve do osi cijevi vrtlozni. U stvarnostije taj prijelaz postupan (nema loma u profilu brzine koji u ovom modelu imamo u tocki B)i prikazan je crtkanom krivuljom koja ide od tocke A do tocke C. Za racun je pretpostavkaipak dovoljno dobra, pe se nece ici u dodatnu komplikaciju konstrukcije glatke krivulje kojapovezuje tocke A i C. Iz cinjenice da izraz (9.63) iscezava u tocki yo odredi se konstantaintegracije:

C = −2, 5 ln y◦ (9.64)


pa je:

v

vtg= 2, 5 ln

y

y◦(9.65)

Ni tocku yo nije moguce odrediti teorijski, pa se opet mora upotrijebiti iskustveni izrazza nju. Tako je za cijevi s glatkim stijenkama (stijenke se smatra glatkima ako je njihovahrapavost toliko mala da ne utjece na tok u cijevi, o cemu ce biti vise rijeci nesto kasnije)yo dan pribliznim izrazom (autor: Nikuradze):

y◦ ≈0, 108ν

vtg(9.66)

Tu je ν kinematicki koeficijent viskozosti fluida. Izraz za brzinu time postaje:

v

vtg= 2, 5 ln

yvtgν

+ 5, 56 (9.67)

a nepoznata je jos brzina tangencijalnoga naprezanja. Da se nekako dode do nje, oznacise prvo maksimalna brzina toka sa vmax. Kako se zna da je brzina toka maksimalna u osicijevi (tj. za y = R, gdje je R polumjer cijevi) moze se iz izraza (9.67) napisati:

vmax = vtg

(2, 5 ln

Rvtgν

+ 5, 56)

(9.68)

v = vtg

(2, 5 ln

yvtgν

+ 5, 56)

(9.69)

Oduzimanjem (9.69) od (9.68) dolazi se konacno do formalnog izraza za profil brzine (ukojem je vtg jos nepoznat):

v = vmax − 2, 5vtg lnR

y(9.70)

I ovaj izraz ima problem da uz stijenku cijevi brzina ide u minus beskonacno. No, kakoje tocka (yo) u kojoj brzina vrtloznoga strujanja postaje nula vrlo blizu stijenci cijevi, to cese u iducem koraku zanemariti. Uz pomoc ovog izraza za brzinu formalno ce se izracunatiprotok kroz cijev, pri cemu se treba ograniciti na cijev kruznoga presjeka. U tom je slucajuprotok kroz cijev:

Q = 2π∫ R

0v(R− y)dy (9.71)

Uvrstavanjem izraza za brzinu (9.70) i integracijom konacno je:

Q = πR2(vmax−

15vtg

4

)(9.72)

Srednja brzina tecenja (u ovom slucaju brzina toka usrednjena preko povrsine presjekacijevi!) nalazi se iz definicije protoka:

v =Q

A= vmax − 3, 75vtg (9.73)

Gubici i koeficijent trenja cijevi vezani su izrazom (jedn. 9.18):

9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA 99

∆p = −λ l

4Rh

ρv2

2(9.74)

No s druge strane, gubici i smicno naprezanje na stijenci takoder su u vezi preko (9.8):

−dp = τdlO

A=

τ

Rh

dl (9.75)

pa uz ogranicenje za okrugli presjek cijevi (uz pomoc kojega se doslo i do izraza za srednjubrzinu!) je :

λ = 8τ

ρv2(9.76)

Ukupno naprezanje na stijenci cijevi, τ , zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i napreza-nja u vrtloznom dijelu toka. No, kako je laminarni sloj vrlo tanak, a brzine u njemumale, moze se doprinos laminarnoga naprezanja zanemariti i ukupno naprezanje izjednacitis vrtloznim naprezanjem. Uz ovu pretpostavku i definiciju prividne brzine tangencijalnoganaprezanja (9.58) dolazi se konacno i do izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja:

vtg = 0, 353v√λ (9.77)

Pomocu ovoga izraza relacije konacno se moze naci veza izmedu srednje i maksimalnebrzine:

v =vmax

1 + 1, 326√λ

(9.78)

te koeficijent brzine:

β =v

vmax

=1

1 + 1, 326√λ

(9.79)

Coriollisov koeficijent:

α = 1 + 2, 7λ (9.80)

a na kraju i profil brzine kod vrtloznoga strujanja kroz cijev:

v = v[1 +√λ(

1, 326 + 2, 04 logy

R

)](9.81)

Provjera pokusima pokazuje da ovaj teorijski profil odgovara onom koji se opaza ustvarnosti, a uz manje promjene koeficijenata slaganje je jos bolje:

v = v[1 +√λ(

1, 435 + 2, 15 logy

R

)](9.82)

Napominje se da male korekcije koeficijenata popravljaju netocnosti koje su se u teoret-skom racunu napravile zanemarivanjem malih doprinosa i aproksimacijama pojedinih izrazaiskustvenim formulama.

Preko raspodjele brzine, protoka i veze prosjecne i maksimalne brzine vrtloznoga tokadolazi se i do izraza za koeficijent trenja glatke cijevi (glatkoca stijenke je bila jedna odpretpostavki pod kojima su se izvele sve dosadasnje formule!):


1√λg

= 2 log

Re

√λg

2, 51

(9.83)

Ovo je tzv. Prandtl-Karmanova formula. Njezin veliki nedostatak je da se mora rjesavatiiterativno, pa se u praksi cesto puta zamjenjuje jednostavnijom Blasiusovom formulom:

λg = 0, 3164R− 1

4e (9.84)

koja vrijedi ako je Re < 105. Uvrstimo li Blasiusovu formulu u izraz za profil brzine(9.81), dobija se vrlo jednostavan izraz za profil brzine:

v = vmax

(y

R

) 17

(9.85)

R-Rr

v

vmax

Slika 9.18: Karmanov 1/7-ki profil brzine. Za usporedbu je crtkan naznacen i parabolicniprofil laminarnoga strujanja.

Ovaj izraz za profil brzine naziva se i Karmanov 1/7-ki zakon. On je prikazan na slici(9.18). U usporedbi s laminarnim tokom, moze se odmah zakljuciti da je profil brzinevrtloznoga toka znatno ravniji, tj. u najvecem dijelu presjeka brzina toka vrlo malo odstupaod maksimalne, a naglo se smanjuje tek u blizini stijenke cijevi. Upotrebom Karmanovazakona moze se dobiti i jednostavnije izraze za koeficijent brzine i Coriolissov koeficijent:

βg ≈ 0, 84± 0, 04 αg ≈ 1 (9.86)

Prema tome kod vrtloznog toka Coriolissov koeficijent u Bernoullijevoj jednadzbi slo-bodno se moze zanemariti. Napominje se da je za formiranje vrtloznog toka, slicno kao i kodlaminarnog toka, potrebna odredena duzina toka. Za vrtlozni tok pokusima je ustanovljenoda je ona obicno 25 do 40 promjera cijevi kroz koju se tok odvija:

Lturb ≈ 25d− 40d (9.87)

9.6: HIDRAULICKA HRAPAVOST I HIDRAULICKA GLATKOST 101

9.6 Hidraulicka hrapavost i hidraulicka glatkost

e

llam

Slika 9.19: Kod hidraulicki glatke cijevi neravnine (hrapavost) stijenke (e) znatno su manjeod debljine granicnoga laminarnog sloja (llam).

Stijenka cijevi nikada nije idealno glatka, vec posjeduje manju ili vecu hrapavost. Ova hra-pavost posljedica je nacina izrade cijevi a najvise ovisi o materijalu stijenke. Kod cijevi kojesu dugo u upotrebi korozija i abrazija stijenke moze znatno promijeniti hrapavost stijenke.Ako je debljina granicnoga laminarnog sloja dovoljno velika, turbulenta jezgra toka neceosjetiti posljedice te hrapavosti. U takvom slucaju kaze se da je cijev hidraulicki glatka(slika 9.19). Pokusi pokazuju da debljina granicnoga laminarnog sloja ovisi o Reynoldsovombroju i redovito se smanjuje s njegovim povecanjem. Tako je pokusima na glatkim cijevimaustanovljeno da je debljina granicnog laminarnog sloja priblizno dana sljedecim izrazom:

llam = 6, 3d

R78e

(9.88)

gdje je d promjer cijevi. Tipicna velicina hrapavosti stijenke razlicitih vrsta cijevi danaje u tablici 9.4.

Pokusi s hrapavim cijevima znatno su tezi jer hrapavost stijenke moze imati razliciteoblike. Zbog toga se cak i kod iste visine neravnina stijenke rezultati mogu znatno razlikovati,ovisno o tome kako te neravnine izgledaju, te kako su rasporedene po stijenci cijevi. Noopci je zakljucak vidljiv i iz formule (9.88): s povecanjem Reynoldsovog broja (sto za danucijev znaci povecanje brzine toka), debljina granicnoga laminarnog sloja se smanjuje. Toznaci da ce se kod neke brzine debljina granicnoga laminarnog sloja toliko smanjiti da cenajvece neravnine stijenke poceti izvirivati iz njega i tako utjecati na turbulentnu jezgru toka.Opcenito se smatra da se cijev moze smatrati hidraulicki glatkom, ako je visina neravninamanja od jedne cetvrtine debljine granicnoga laminarnog sloja:

llam > 4e (9.89)

Ako je pak visina neravnina stijenke veca od dvije debljine granicnoga laminarnog sloja,cijev se naziva hidraulicki hrapavom (slika 9.20):


Tablica 9.2: Hrapavost stijenke razlicitih vrsta cijevi (nove cijevi).

vrsta cijevi e (mm)

staklene <0,001

bakrene, plasticne 0,01

celicne valjane 0,1

celicne lijevane 0,5

betonske 2

llam <e

2(9.90)

Slika 9.20: Kod hidraulicki hrapave stijenke debljina granicnoga laminarnog sloja znatno jemanja od visine neravnina stijenke.

Nalazi li se odnos debljine granicnoga laminarnog sloja i visine neravnina stijenke izmeduova dva granicna slucaja, govori se o tzv. prijelaznom podrucju (rezimu).

9.7 Koeficijent trenja hrapavih cijevi

Za hidraulicki hrapave cijevi pokusi i teorija daju slicne rezultate. Kao prvo, pokazuje seda koeficijent trenja ovisi samo o omjeru e/d, tj. o tzv. relativnoj hrapavosti. Sam koeficijettrenja opisuje se Nikuradzeovom formulom:

1√λh

= 2 log

(3, 715

d

e

)(9.91)

9.7: KOEFICIJENT TRENJA HRAPAVIH CIJEVI 103

Tablica 9.3: Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima.

vrsta toka kriterij

laminarni Re < 2300

turbuletni, glatki 2300 < Re <12de

turbuletni, prijelazni 12de< Re < 500d

e

turbuletni, hrapavi Re > 500de

odnosno

λh =1

4[log

(3, 175d

e

)] (9.92)

koja vrijedi ako je e > 6l.Nikuradzeova formula pokazuje da je za danu cijev (e/d je konstantan) u hrapavom

rezimu koeficijent trenja konstantan, a ukupni gubici proporcionalni su kvadratu srednjebrzine toka:

∆hh = λhl

d

v2

2g(9.93)

U prijelaznom podrucju situacija je znatno slozenija jer koeficijent trenja ovisi i o Reynoldsovombroju i o relativnoj hrapavosti, pa se za izracun koeficijenta trenja koriste iskustvene formule,od kojih je najpoznatija Colebrook-Whiteova formula:

1√λh

= −2 log

(2, 51

Re

√λ

+e

3, 715d

)(9.94)

Njezina velika prednost je ta da ona vrijedi za sve rezime turbulentnog toka, a odstupanjaod eksperimentalnih mjerenja su manja od nekoliko postotaka. Nazalost, ona je iterativna,pa se umjesto nje vrlo cesto koriste razne pojednostavljene formule ili Moodyev dijagramu kojem su graficki prikazani koefcijenti trenja izracunati na osnovi analize tada dostupnihpodataka koju je izveo Moody.

Da bi se jednim grafikonom prikazalo cijelo podrucje Reynoldsovih brojeva koje se po-javljuje u praksi, Moodyev dijagram je crtan u log-log skali. U grafikon je ucrtana familijakrivulja ciji parametar je relativna hrapavost, e/d. Kod odredivanja koeficijenta trenja uzpomoc ovog grafikona potrebno je prvo odrediti Reynolds-ov broj za dani slucaj. Nakontoga se odabire krivulja koja odgovara relativnoj hrapavosti cijevi za koju se trazi koefici-jent trenja, i s nje se, za odredenu vrijednost Reynoldsovoga broja sa osi ordinata ocitavapripadajuca vrijednost koeficijenta trenja.

Preostalo je jos samo da se postavi kriterije za odredivanje o kojoj vrsti tecenja se u danomslucaju radi. Onaj za laminarno tecenje poznat je od ranije, a ostali su postavljeni na osnoviusporedbe debljine granicnoga laminarnog sloja i relativne hrapavosti cijevi. Rezultati susazeti u tablici 9.3.


Slika 9.21: Moodyev dijagram (preuzeto od R. Zugaj, Hidrologija). Na apscisi je nanesenReynoldsov broj, a na ordinati koeficijent trenja. Parametar krivulja u grafu je relativnahrapavost, e/d, na ovom dijagramu oznacena kao ε/D.

9.8: LOKALNI GUBICI 105

9.8 Lokalni gubici

Lokalni gubici su svi gubici koji nastaju na razmjerno maloj udaljenosti zbog promjenapresjeka ili smjera toka u cijevima. Njih izazivaju elementi cijevne armature, primjericekoljena, ventili, suzenja i prosirenja, itd. S obzirom na malu udaljenost na kojoj se ti gubicidogadaju, za potrebe proracunavanja ukupnih gubitaka tretira ih se kao da nastaju tocnona mjestu gdje se dani element armature (tocnije, njegova sredina) nalazi. Drugim rijecima,u takvom racunu zanemaruje se duljina lokalnoga elementa. Analogno formuli za gubitkeu cijevima, lokalne gubitke opisuje se produktom koeficijenta lokalnoga otpora ζ i kvadratabrzine:

∆hl = ζv2

2g(9.95)

v1

v2

A1

A2

Slika 9.22: Na mjestima lokalnih gubitaka najcesce dolazi do promjene brzine toka. Zaracunske potrebe uzima se da se brzina v1 skokovito mijenja u brzinu v2 u sredini elementakoji izaziva lokalni gubitak (crtkana linija). To fizikalno nije moguce, i u stvarnosti sepromjena brzine odvija glatko i postupno na duzini toka koja je nekoliko puta veca oddimenzije samoga lokalnog elementa, ali ovu slozenost se kod racunanja zanemari s obziromna veliku duljinu cijevi u odnosu na duljinu samog lokaliteta.

Kako kod lokalnih gubitaka obicno dolazi do promjene srednje brzine toka, mora se znatina koju brzinu se koeficijent lokalnoga otpora veze: na brzinu toka ispred samoga elementakoji taj gubitak izaziva, ili na brzinu iza njega (slika 9.22). Ako se koeficijent lokalnogagubitka odnosi na brzinu ispred samoga elementa, oznacen je indeksom 1, a ako se odnosina brzinu iza, dobija indeks 2. U slucajevima kad je jedna od ovih brzina toliko mala da sezanemaruje, odnosi se koeficijent lokalnoga gubitka uvijek na onu brzinu koja ne iscezava, aindeks se cesto ispusta. Tako primjerice kod utjecanja tekucine u cijev iz velikoga spremnikaje brzina tekucine u samom spremniku zanemariva (to je brzina ispred ulaznog otvora ucijev) pa se za taj slucaj uvijek navodi koeficijent lokalnoga gubitka za brzinu u cijevi (izamjesta nastanka lokalnoga gubitka). U skladu s gore navedenim, lokalne gubitke racuna sena sljedeci nacin:

∆hl = ζ1v212g

= ζ2v222g

(9.96)


Redovito se za racun uvijek koriste koeficijenti lokalnog gubitka i brzine iza mjesta nakojem taj gubitak nastaje. Koeficijente lokalnih gubitaka teorijski je uglavnom vrlo teskoodrediti, pa se koriste eksperimentalno izmjereni koeficijenti koji su obicno tabelirani urazlicitim tehnickim prirucnicima, a cesto puta ih navode i proizvodaci elemenata armatureza svoje elemente. Napominje se na kraju da koeficijenti lokalnoga otpora vrijede za izoliranielement, tj. za element ispred i iza kojeg se nalazi ravna cijev duga barem 5-10 duljinasamoga razmatranoga elementa. Nalaze li se dva elementa blize jedan drugome, dolazi domedudjelovanja medu njima i tu se koeficijent otpora za oba elementa zajedno moze odreditisamo pokusom. Slijedi pregled koeficijenata otpora za najcesce koristene elemente cijevnearmature.

9.8.1 Ulazni otvori

v2

Slika 9.23: Fluid u cjevovod obicno ulazi iz nekog spremnika, koji je tako velik da se brzinatecenja u njemu moze slobodno zanemariti. Spremnik osim sto sluzi cuvanju potrebne zalihefluida, ujedno osigurava i konstantan tlak na ulazu u cjevovod.

Fluid u cjevovod najcesce dolazi iz nekoga spremnika. Funkcija takvoga spremnika naulazu cjevovoda je dvojaka: da osigura dovoljnu kolicinu fluida za neprekidan rad cjevovoda(ulaz u spremnik moze imati promjenjiv dotok) te da osigura razmjerno konstantan tlak naulazu u cjevovod. Koeficijent gubitka za ulazni otvor jako ovisi o tome na koji je nacin cijevspojena na spremnik, tj. kako izgleda rub ulaznoga otvora. U najjednostavnijem slucaju,kada je rub ostar, ulazni gubitak je razmjerno velik, a moze se znatno smanjiti zaobljavan-jem rubova ulaznoga otvora (slika 9.24). Umetanje ulazne cijevi u unutrasnost spremnika(primjerice kada se na njen kraj jos dodatno ugradi zastitna mrezica) znatno povecava ulaznegubitke (slika 9.25).


v2

Slika 9.24: Zaobljavanje rubova ulaznoga otvora tako da slijede oblik strujnica fluida kojiulazi u cijev moze znatno smanjiti ulazne gubitke. Na ovaj nacin se koeficijent ulaznogaotpora moze smanjiti ispod 0,01. Potreban oblik zaobljenja moze se naci u tehnickimprirucnicima.

v2

Slika 9.25: Umetanje ulazne cijevi u unutrasnjost rezervoara povecava koeficijent ulaznogaotpora na 1,0. Stavlja li se na ulaz cijevi jos i zastitna mrezica ili resetka, koeficijent ulaznogaotpora moze biti i znanto veci od 1,0.

Tablica 9.4: Koeficijenti ulaznoga otpora za razlicite oblike ulaznih otvora.

oblik otvora ζ2

ostar rub, na stijenci spremnika 0,5

zaobljen rub (R=0,05D), na stijenci spremnika 0,22

zaobljen rub (R=0,2D), na stijenci spremnika 0,03

zaobljen rub, slijedi strujnicu, na stijenci spremnika 0,01

ostar rub, ulazna cijev u spremniku 1


9.8.2 Dijafragme i sapnice

A1 A

2

Slika 9.26: Dijafragma je ravna metalna ploca sa okruglom rupom u sredini koja se stavljau tok.

Dijafragme se stavljaju u tok na mjestu gdje je lokalno potrebno povecati brzinu toka.Smanjivanje presjeka toka znatno povecava gubitke pa dolazi i do ogranicavanja protoka.Dijafragma se opisuje omjerom povrsine slobodnoga otvora i ukupne povrsine presjeka tokaispred dijafragme:

m =A2

A1

(9.97)

Tablica 9.5: Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu.

m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0 0,44 0,2

Dijafragme zbog vrtlozenja uz ostre rubove otvora proizvode velike gubitke. Zato seumjesto njih cesto puta koriste sapnice. Kod sapnica su rubovi otvora zaobljeni tako dasu gubici sto je moguce manji. Postoji nekoliko oblika zaobljenja, no najcesce se korististandardizirani oblik koji se po standardu unutar kojeg je opisan naziva sapnica po ISOstandardu (slika 9.27).

Tablica 9.6: Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu.

m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0


A1 A

2

Slika 9.27: Sapnica je dijafragma s posebno zaobljenim (fino hidraulicki oblikovanim)rubovima kako bi se gubici sveli na minimum.

9.8.3 Suzenja

A1 ,v1

As ,vs

Slika 9.28: Naglo suzenje izaziva jako vrtloznje na mjestu suzenja i tzv. kontrakciju (suzenje)mlaza kod koje je presjek stvarnoga toka manji od fizickoga presjeka cijevi.

U slucaju nagloga suzenja dolazi do jakoga vrtloznja na mjestu suzenja. Zbog ostrihkuteva rubne strujnice ne mogu slijediti oblik suzenja i odvajaju se od stijenke, a u prostoruizmedu stijenke i rubne strujnice dolazi do jakoga vrtlozenja ili cak i kavitacije (kavitacija jepojava nagloga isparavanja tekucine na mjestima gdje je ukupni apsolutni tlak toliko malida je usporediv s tlakom para tekucine). To su obicno mjesta gdje je brzina toka velika ilise naglo mijenja. Kavitacija izaziva velike sile i ubrzanu eroziju stijenki cijevi pa se moraizbjeci ako je to ikako moguce. Naime, na mjestu gdje je apsolutni tlak toliko nizak da jeusporediv s tlakom para tekucine dolazi do isparavanja i stvaranja mjehurica pare. Kadtakav mjehuric nosen strujanjem dode na mjesto veceg tlaka, naglo se zgusnjava i ponovnopretvara u tekucinu. To dovodi do vrlo velikih promjena tlaka na tom mjestu (tlacni udarreda velicine 104 Bar) koji erodira i najcvrsce materijale.

Kod ostrih rubova prijelaza uvijek se javlja i tzv. kontrakcija mlaza, tj. presjek stvarnogtoka manji od fizickog presjeka cijevi. Kontrakcija mlaza opisuje se koeficijentom kontrakcijec:


A1

A2

ϕ

Slika 9.29: Konfuzor je konicni dio cijevi sa vrsnim kutem φ manjim od 60o.

c =As

A2

(9.98)

Koeficijent kontrakcije mlaza obicno se ne moze tocno proracunati pa se koeficijent gu-bitaka odreduje eksperimentalno.

Kod proracuna brzine u kontrahiranom mlazu, faktor kontrakcije ulazi u racun prekojednadzbe kontinuiteta, ali se ne vidi u koeficijentu otpora jer je on vezan za brzinu, a nepresjek. Medutim, u dijelu literature se faktor kontrakcije ukljucuje u koeficijent otpora, pakod koristenja literature na to treba obratiti pozornost. U slucaju da je faktor kontrakcijeukljucen u faktor otpora, racun brzine provodi se kao da kontrakcije nema (drugim rijecima,racuna se brzina u cijevi dovoljno daleko nizvodno od mjesta promjene presjeka, kad tokopet ispunjava cijelu cijev).

Tablica 9.7: Koeficijenti gubitaka za naglo suzenje.

m 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8

ζ1 41 9,4 1,8 0,54 0,16

Otupljivanje ostrih rubova suzenja smanjuje gubitke i do 50%, a zaobljavanje i do 75%.Da bi se izbjegli gubici kod suzenja cijevi, izraduju se tzv. postupna suzenja (konfuzori).

Radi se o konusnom dijelu cijevi sa malim vrsnim kutem. Kod konfuzora gubici dolaze samood trenja pa su jako maleni. Kod malih kutova (ispod 30o) ih se u cjelosti zanemaruje. Akoje kut veci od 60o prijelaz se vise ne moze smatrati postupnim.


Tablica 9.8: Koeficijenti gubitaka za konfuzor.

φ 30o 45o 60o

ζ2 0,02 0,04 0,07

9.8.4 Prosirenja

A1 ,v1 A2 ,v2

Slika 9.30: Naglo prosirenje takoder izaziva jako vrtloznje na mjestu prosirenja.

Kod nagloga prosirenja hidraulicki gubici su prilicno veliki. No, u ovom slucaju, njihje moguce tocno teorijski proracunati pa se gubici kod nagloga prosirenja nazivaju Bourda-Carnotovi gubici. Oni se mogu izracunati uz pomoc Bourda-Carnotove formule:

∆hl =(∆v)2

2g(9.99)

gdje je ∆v = v1 − v2 promjena brzine do koje dolazi kroz prolaska kroz prosirenje.Koeficijenti gubitaka takoder se mogu tocno izracunati:

ζ1 =(A1

A2− 1

)2ζ2 =

(A2

A1− 1

)2 (9.100)

Kao i kod suzenja, gubici se smanjuju izradom postepenih prosirenja, koji se nazivajudifuzori. Tu je problem da kod kuteva vecih od oko 30o dolazi do odvajanja toka od stijenkei nagloga povecanja gubitaka, pa su difuzori obicno prilicno dugi. Za proracun gubitakakoriste se eksperimentalno dobivene priblizne formule:

LA2−A1

≈ 4...8 ζ1 ≈ (0, 4...0, 25)[1−

(A1

A2

)2]L

A2−A1> 8 ζ1 ≈ (0, 2)

[1−

(A1

A2

)2] (9.101)

u kojima je L duzina difuzora.


A1 A

2

ϕ

L

Slika 9.31: Difuzor je konicni dio cijevi sa vrsnim kutem φ manjim od 30o, a opisuje sesvojom duzinom i vrsnim kutem.

A1 ,v1 A2 ,v2

Slika 9.32: Venturijeva cijev kombinacija je konfuzora i difuzora i sluzi za lokalno povecanjebrzine toka.

9.8.5 Venturijeva cijev

Ako je na nekom mjestu potrebno povecati brzinu toka, npr. radi mjerenja protoka, ilisnizenja tlaka, koristi se Venturi-jeva cijev. Koeficijent gubitaka i ovdje se odreduje pokusima,a neki primjeri navedeni su u tablici 9.9.

9.8.6 Ventili

Ventilima se regulira protok ili potpuno zatvaraju/otvaraju pojedine grane cjevovoda. Kakose radi o elementima slozene geometrije i kod njih se koeficijenti otpora moraju odreditipokusima. Oni se za odredenu vrstu/tip ventila prikazuju graficki ili tabelarno u ovisnostio nekom parametru koji opisuje koliko je taj ventil otvoren (obicno omjer otvorene i cijelepovrsine presjeka toka na mjestu ventila). Za racun su obicno najvazniji minimalni gubici,koji nastaju kad je ventil potpuno otvoren, a oni znatno ovise o konstrukciji ventila.


Tablica 9.9: Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev.

m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

ζ1 17 7 3 2 1 0,5 0,3

Tablica 9.10: Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila.

tip konstrukcije ζ1

standardni ventil za vodu (slavina) 0,6-3,9

zasun 0,05

kuglasti ventil 0,05-0,1

9.8.7 Koljena i lukovi

ζζζζ1= 1,4 ζζζζ1= 1,2

Slika 9.33: Ostra koljena (izrada od zavarenih cijevi) se izbjegavaju zbog vecih gubitaka,pa se u izradi cjevovoda uglavnom koriste zaobljena koljena. Upotrebom lukova (koljena savelikim polumjerom zakrivljenosti) moze se koeficijent gubitaka smanjiti do oko 0,2.


9.8.8 Filteri i resetke

Za uklanjanje krutih cestica iz toka fluida sluze filteri i resetke u razlicitim izvedbama.Oni uglavnom sluze za zastitu cjevovoda i uredaja prikljucenih na njega od tih cestica, iliprociscavanju samog fluida kad je to potrebno (npr. uklanjanje prasine iz zraka u sustavuklimatizacije). Vecina tih elemenata izaziva vrlo velike gubitke kao sto je to vidljivo iz tablice9.11.

Tablica 9.11: Tipicni koeficijenti otpora za razne vrste filtera.

tip konstrukcije ζ1

zastitna resetka) 0,1-2,5

rijetko platno (gaza) 2-25

gusto tkanje (platno) ili filter papir 100-800

9.8.9 Racve i spojnice

Kod grananja ili spajanja tokova takoder dolazi do gubitaka. U oba slucaja gubici oviseo kutu racvanja (spajanja) i presjecima toka ispred i iza grananja. Pokusi pokazuju da sukoeficijenti gubitaka kod racvanja obicno izmedu 0,5 i 1,5 a kod spajanja iznedu 0,05 i 3.

9.8.10 Izlazni otvori

Kod izlaznih otvora se u vecoj ili manjoj mjeri primijecuje kontrakcija mlaza, a ukupnigubici ovise o obliku samoga otvora. Neki od tipicnih slucajeva (svi pretpostavljaju otvorekruznoga presjeka!) prikazani su na sljedecim slikama:

ζζζζ1=0 (c=1)

v1

v1

Slika 9.34: Ovisno o obliku i izvedbi izlaznoga otvora, gubici na njemu mogu biti razliciti.U slucajevima s ove slike oni su zanemarivi.


v1

ζζζζ1=1,8 (c∼0,6)

v1

ζζζζ1=0,5 (c∼0,8)

6-10R

v1

ζζζζ1=0,1 (c∼0,95)

Slika 9.35: Kod otvora na samoj stijenci spremnika, ili kratkih izlaznih cijevi, lokalni gubicimogu biti znatni, a kontrakcija mlaza je uvijek prisutna.

9.8.11 Izlazna energija

Na kraju cjevovoda fluid najcesce slobodno istjece u okolni prostor. Preostala energija kojuon sa sobom nosi s gledista cjevovoda takoder predstavlja gubitak koji se naziva izlaznaenergija. Kako fluid kod napustanja cjevovoda sa sobom odnosi ukupnu preostalu energiju,uz uvjet da se istjecanje odvija na atmosferskom tlaku, gubitak za cjevovod je jednak tojenergiji:

∆hi =v2i2g

(9.102)

Izlazni gubitak uvijek se veze na brzinu na mjestu istjecanja, pa je koeficijent gubitaka(za brzinu ispred, tj. ζ1) jednak 1, a Bernoullijeva jednadzba za cijeli sustav (istjecanje uokolnu atmosferu!) glasi

v2ul2g

+pulρg

+ zul =v2iz2g

+ ziz + ∆hu (9.103)

To znaci da na ulazu u cjevovod mora postojati energetska visina jednaka ukupnimgubicima u sustavu:

∆hu =v2ul2g− v2iz

2g+pulρg

+ zul − ziz (9.104)

Ova energija jednaka je tlacnoj visini na ulazu (ako tekucina ulazi u cjevovod iz sprem-nika), nadtlaku u zatvorenom spremniku ili ulaznom tlaku koji proizvodi neki uredaj, npr.pumpa i sl.

Primjerice, kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izlazna brzina jednaka je ulaznoj,pa je ulazna energetska visina jednaka tlacnoj visini na ulazu (slika 9.36):

∆hu =pulρg

(9.105)


vul viz

Slika 9.36: Kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izracun izlaznih gubitaka vrlo jejednostavan.

9.9 Zbrajanje otpora

λλλλ1,l1,r1

λλλλ2,l2,r2 λλλλ3,l3,r3ζζζζ1

ζζζζ2

A1 ,v1 A2 ,v2 A3 ,v3

Slika 9.37: Otpori pojedinih dijelova cjevovoda su aditivni, tj. zbrajaju se kako idemo usmjeru toka.

Ukupni otpor cjevovoda jednak je zbroju svih otpora njegovih dijelova, a suma se obicnorazdvaja na sumu svih gubitaka u cijevima i na sumu svih lokalnih gubitaka:

∆hu =∑i

λili

2ri

v2i2g

+∑j

ζjv2j2g

(9.106)

Grananja i spajanja cjevovoda pretstavljaju dodatnu slozenost. U takvim situacijamamora se racunati ukupni otpor svake pojedine grane, a onda se ukupni otpori zbrajaju uskladu s Kirchofovim zakonom zbrajanja za paralelne otpore:

1

∆hu=∑i

1

∆hi(9.107)

Kod proracuna otpora cjevovoda u kojem postoji grananje/spajanje, prvo se racunaukupni otpor do mjesta grananja, a zatim ukupni otpori pojedinih grana. Nakon toga seprimjenom Kichofova zakona izracuna zajednicki otpor svih grana koji se pribraja ukupnomotporu cjevovoda ispred mjesta grananja. Tako se postupa u svakoj tocki grananja ili spa-janja, a postupak moze biti vrlo slozena. Danas se slozeniji problemi ovog tipa rjesavajuupotrebom racunalnih programa.

9.9: ZBRAJANJE OTPORA 117

∆h1

∆h2

Slika 9.38: Ukupni otpori pojedinih grana cjevovoda moraju se zbrajati po Kirchofovomzakonu.

∆h3∆h1

ukupni otpor grana=∆h2

∆h4

Slika 9.39: Ukupni otpor svih grana cjevovoda se nakon njegovoga izracuna po Kirchofovomzakonu pribraja otporu dijela cjevovoda ispred mjesta grananja.

Glava 10

Proracun jednostavnoga cjevovoda

Pod jednostavnim cjevovodom podrazumijeva se cjevovod bez grananja ili spajanja cijevi(cjevovod koji u cjelini ima samo jednu granu). Kod slozenih cjevovoda (cjevovodi s visegrana) proracun je slozeniji i odvija se uz primjenu Kirchoffovog zakona i, zbog slozenosti, svevise koristenjem odgovarajucih racunalnih programa. Pri tome se svaka grana zasebno moraproracunati kao jednostavni cjevovod, uz dodatno odredivanje brzina, odn. protoka u svimgranama pomocu Kirchoffovog zakona. I proracavanje jednostavnih cjevovoda znade bitislozeno i sporo, a posebnu pozornost treba posvetiti tocnom racunanju jer se greska ucinjenana jednom mjestu odrazava na cijeli racun i na kraju obicno dovodi do krivih rezultata. Tose posebno odnosi na slucajeve kad se proracun ili neki njegov dio mora raditi iterativno.

Svaki proracun jednostavnoga cjevovoda pocinje od njegove geometrije (nacrta) za kojuse smatra da je poznata. Drugim rijecima, polozaj i duzine cijevi u prostoru, mjesta gdjese nalaze elementi cijevne armature i njihove karakteristike su poznate. Uz to se mora znatiuvjete na ulazu u cjevovod, sto se obicno svodi na poznavanje ulaznoga tlaka (ili visinetekucine u spremniku na koji je cjevovod prikljucen). Isto tako mora se znati i uvjete naizlazu iz cjevovoda (istjecanje u okolni prostor, istjecanje ispod povrsine tekucine ili nekidrugi nacin istjecanja). Tek kada su nam ovi podaci poznati, pristupa se samom proracunu,za koji su potrebne sljedece zakonitosti:

jednadzba kontinuiteta:

Q = vA = vπd2

4= konst. (10.1)

Bernoullijeva jednadzba:

v212g

+p1ρg

+ z1 =v222g

+p2ρg

+ z2 + hg (10.2)

jednadzba gubitaka:

hg =∑j

(λjljdj

+∑i

ζji

)v2j2g

(10.3)

119

120 GLAVA 10: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Colebrook-Whiteova formula (ili Moodyev dijagram):

1√λh

= −2 log

(2, 51

Re

√λ

+e

3, 715d

)(10.4)

i tablice lokalnih gubitaka.

Vec iz ovoga nabrajanja jasno je da je potrebno pozvati mnostvo podataka o cjevovodu.Pogleda li se nabrojene jednadzbe i dijagram malo detaljnije, moze se vidjeti da u racunulazi 10 razlicitih varijabli:

Rei, Q, vi, di, li, hg, λi, ζi, ei/di i ν

Pritom su neke od ovih velicina meduovisne, sto svakako dodatno otezava racun. Tose posebno odnosi na koeficijente otpora λi, koji ovise o Reynoldsovom broju i relativnojhrapavosti cijevi e/di, pa se za njihov proracun mora znati brzina toka. Ukupnu duzinucjevovoda smatra se poznatom, jer je odredena uvjetima projekta, no duzine i polozajipojednih dijelova cijevi ne moraju biti unaprijed zadane. Nadalje, od varijabli Q, vi, di, ihg mora se znati barem dvije da bi se moglo izracunati preostale. Ovisno o tome, koje suod njih poznate, proracun se moze odvijati na sest razlicitih nacina, opisanih u poglavljima11.1-11.6.

10.1 Poznato je v i d

Za ovaj slucaj dovoljno je znati brzinu u jednoj tocci cjevovoda te promjer cjevovoda na tommjestu. Protok je konstantan i odmah se moze odrediti:

Q = vπd2

4(10.5)

Nakon toga se preko jednadzbe kontinuiteta racunaju brzine u ostalim dijelovima cjevovoda,a iz brzina i Reynoldsovi brojevi:

Re =vd

ν(10.6)

Slijedi odredivanje relativne hrapavosti (obicno iz tablica, uz poznavanje vrste cijevi),racun koeficijenata linearnih gubitaka (ili njihovo ocitanje iz Moodyeva dijagrama) i nakraju racunanje ukupne visine gubitaka hg. Kad su svi ovi podaci poznati, moze se jos nanacrtu cjevovoda graficki prikazati tok energetske i pijezometarske linije i time je postupakproracuna u potpunosti zavrsen.

10.2 Poznato je Q i d

I ovaj slucaj je relativno jednostavan. Prvo se iz protoka odredi brzina:

v =4Q

πd2(10.7)

a dalje se racun provodi na isti nacin kao i u prethodnom slucaju.

10.3: POZNATO JE Q I V 121

10.3 Poznato je Q i v

Brzina je u ovom slucaju obicno zadana kao minimalna, maksimalno dozvoljena ili najpo-voljnija. U prvom koraku iz protoka odredi se promjer cijevi:

d =

√4Q

πv(10.8)

Nakon toga se iz tehnickih tablica odabere prvi veci standardni promjer cijevi, izracunabrzinu za taj promjer i dalje se racun provodi kao i u prvom slucaju.

10.4 Poznato je d i hg

Ovaj je problem znatno slozeniji od prethodnih i to zato sto gubici ovise o brzini. To senajbolje vidi ako se brzina izrazi preko poznatih podataka:

v = −2 log

(2, 51ν

d

√l + le2gdhe

+ed

3, 71

)√2gdhgl + le

(10.9)

ovdje je le tzv. ekvivalentna duzina lokalnih gubitaka:

le =d

λ

∑ζ (10.10)

Ekvivalentna duzina lokalnih gubitaka je zamisljena duzina cijevi u kojoj su linearnigubici jednaki zbroju svih lokalnih gubitaka. Ovdje se dodatno pretpostavlja da su sve cijevicjevovoda istoga promjera. U suprotnom je izraz za brzinu slozeniji, jer u njega ulaze brzineu pojedinim dijelovima cjevovoda, koje se preko jednadzbe kontinuiteta moraju medusobnopovezati (obicno se sve brzine izrazavaju preko ulazne ili izlazne brzine).

Nadalje, he je ulazna energija za koju se uzima da je jednaka ukupnim gubicima hg ukoje se mora uracunati i izlazna energija.

Kako se brzina ne zna, ne moze se odrediti niti gubitke, pa se gornja jednadzba za brzinumora rjesavati iterativno. U prvom koraku iteracije zanemare se lokalni gubici, pa se brzinaodredi pomocu pribliznoga izraza:

v1 =(

5, 04− 8, 86 loge

d

)√dhgl

(10.11)

Uz pomoc brzine v1 racuna se ekvivalentna duzina lokalnih gubitaka, uvrstava je se utocan izraz za brzinu i racuna novu vrijednost brzine, v2. S njom se ponovno racuna ekviva-lentna duzina lokalnih gubitaka te brzina v3, itd. Nakon nekoliko koraka dobivene vrijednostibrzine ce biti sve blize jedna drugoj, a racun se prekida kada se postigne dovoljna tocnost,obicno dvije tocne znamenke. Ovakav postupak racunanja naziva se iteriranje, a osim sto jedugotrajan, u sebi skriva i opasnost divergencije, tj. sve vecega rasipavanja dobivenih vrijed-nosti brzina. U tom slucaju mora se iteriranje zapoceti nekom drugom pocetnom vrijednostibrzine v1. Danas se ovakvi postupci prepustaju racunalnim programima, ali korisnik moradobro poznavati i nacin na koji koristeni racunalni program radi, a i problematiku tecenjakroz cjevovode, da bi mogao ocijeniti je li je dobiveni rezultat realan. U suprotnom se lakomoze dogoditi da se prihvati potpuno besmisleni rezultat koji je racunalo izbacilo, sa svimposljedicama koje iz toga mogu proizaci.


10.5 Poznato je d i hg

Ovdje se treba ograniciti na jednostavniji slucaj kada su sve cijevi cjevovoda istoga promjera.Izraz za promjer cijevi je onda:

d =

(λ+

d

l

∑i

ζi

)l + lehg

v2

2g(10.12)

Kao i u prethodnom slucaju, ovaj se izraz mora iterirati. Iteraciju se zapocinje zane-marivanjem lokalnih gubitaka i uz λ = 0, 02. Promjer izracunat na ovaj nacin upotrijebi seza odredivanje Reynoldsovoga broja, relativne hrapavosti i svih gubitaka, s kojima se ondaponavlja racunanje promjera i na taj nacin se iterira jednadzba 10.12. Kad se tako odredipromjer cijevi, izracuna se protok:

Q = vπd2

4(10.13)

cime se zavrsava racun.

10.6 Poznato je Q i hg

Opet se treba ograniciti na slucaj kad su sve cijevi istoga promjera. Izraz za promjer cijevije u ovom sluacaju:

d =5

√√√√√8l(λ+ d

l

∑i

)Q2

gπ2hg(10.14)

a iteriranje se zapocinje s pocetnom vrijednosti:

d1 = 0, 278 5

√√√√ lQ2

hg(10.15)

Na kraju jos ostaje odrediti brzinu:

v =4Q

πd2(10.16)

i po potrebi pojedine gubitke.

10.7 Prikazivanje energetske i piezometarske linije

Cesto je potrebno u shemu ili nacrt cjevovoda ucrtati energetsku i piezometarsku liniju. Akoje proracun cjevovoda napravljen, na raspolaganju su svi potrebni podaci, u protivnom ih semora izracunati. Crtanje zapocinje ucrtavanjem referentne ravnine. Kod istjecanja u okolnuatmosferu referentna ravnina postavlja se kroz srediste izlaznoga otvora, a kod istjecanjaispod povrsine tekucine na povrsinu tekucine u koju se istjecanje odvija. U nastavku se svecrta s obzirom na os cjevovoda jer se u racunu tecenje tretira kao jednodimenzionalno, kakoje to vec ranije prodiskutirano.

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE 123

0 0

hlok1

hcjev1v2/2g

EL

PL

he

v=0, p=0

p/ρg

Slika 10.1: Pocetak crtanja energetske i piezometarske linije kad tekucina ulazi u cjevovod izspremnika. Na ulazu cjevovoda nalazi se zastitna kosara, u cije gubitke je uracunat i gubitakulaznoga otvora.

Apscisa grafikona odgovara udaljenosti od pocetka cjevovoda, a ordinata geodetskojvisini. Radi preglednosti mjerilo ordinate je cesto puta drugacije od mjerila apscise, o cemutreba voditi racuna. Ukoliko se ne raspolaze skicom cjevovoda, prvo ce se izraditi takvaskica. Nakon toga se pocinje s ucrtavanjem energetske linije, pocevsi od ulaza u cjevovod iiduci prema njegovu kraju. Visina energetske linije jednaka je visini tekucine u spremnikuiz kojeg tekucina ulazi u cjevovod (slika 10.1), a ako se radi o zatvorenoj posudi, mora se tojvisini dodati nadtlak koji u njoj vlada. Na ulazu u cjevovod energetska linija skokovito padaza iznos ulaznih gubitaka, a nakon toga se pravocrtno spusta uz cijev do iduceg lokalnogagubitka. Na mjestu ispred toga gubitka energetska linija niza je za iznos lineranih gubitakau cijevi. Slijedi skokovito smanjenje energetske linije za iznos lokalnoga gubitka, itd. sve dokraja cjevovoda. Na izlazu iz cjevovoda energetska linija je za iznos izlazne energije iznadosi izlaznoga otvora i na mjestu izlaznoga otvora skokovito pada na nju (slika 10.2). Trebazapaziti da energetska linija za realnu tekucinu uvijek pada od ulaza prema izlazu cjevovoda.

Kad je ucrtana energetska linija, nastavlja se s ucrtavanjem piezometarske linije. Ona jeza iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa se uz pomoc podataka o brzinama u po-jedinim dijelovima cjevovoda prvo (ako vec nije), odredi brzinske visine, a onda pristupa cr-tanju piezometarske linije. Kao i kod energetske linije, pocinje se od ulaza. Brzina u ulaznomspremniku toliko je mala da ju se moze zanemariti, pa je tu visina piezometarske linije jed-naka visini energetske. Kod ulaznoga otvora dolazi do skokovita spustanja piezometarskelinije za brzinsku visinu (za koju se uzima brzinu u cijevi iza otvora, tj. zanemaruje se pos-tupne promjene brzine oko samoga ulaznog otvora. Piezometarska visina za cijev je za iznosbrzinske visine ispod energetske linije, pa je piezmetarska linija paralelna s energetskom, analazi se za iznos brzinske visine ispod nje.

Ako se dio cjevovoda izdize iznad povrsine tekucine u ulaznom spremniku, u tom dijelucjevovoda dolazi do podtlaka. Da bi se izbjegla pojava negativnih vrijednosti u racunu ina skici, proracun ovakvih cjevovoda radi se s apsolutnim tlakovima. To znaci da se svevisine povecavaju za visinu atmosferskoga tlaka, izrazenu u visini stupca tekucine koja strujicjevovodom (slika 10.4):


0

EL

PL

he

v2/2ghiz

0

Slika 10.2: Zavrsetak crtanja energetske i piezometarske linije u slucaju istjecanja u okolnuatmosferu.

0 0

EL

PL hizv2/2g

v

he

Slika 10.3: Zavrsetak crtanja energetske i piezometarske linije u slucaju istjecanja ispodpovrsine tekucine.

hat =patρtekg

(10.17)

Za vodu i atmosferski tlak na povrsini mora je visina atmosferskog tlaka hat = 10, 32 m.Dogodi li se da apsolutni tlak u nekom dijelu cjevovoda padne ispod tlaka para tekucine,dolazi do spontanoga isparavanja tekucine i pojave mjehura pare (kavitacija). Kavitacijadovodi do prekida normalnoga tecenja kroz cijevi a uz to moze izazvati i velika ostecenjacjevovoda, pa se takav pad tlaka mora izbjeci pod svaku cijenu npr. povecavanjem presjekacijevi na kriticnom mjestu, ili spustanjem izdignutoga dijela cijevovoda na nizu razinu).Tlak para vode na sobnoj temperaturi je oko 40 mBar (hp = 0, 4 m), no kod lako hlapljivihtekucina treba biti znatno oprezniji kod proracunavanja cjevovoda. Pokusi pokazuju da ustvarnosti do kavitacije dolazi i kada je apsolutni tlak veci od tlaka para, pa se za donjudozvoljenu granicu za vodu uzima hmin = 2− 3 m.

Poseban problem predstavlja prikazivanje energetske i piezometarske linije za vertikalne

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE 125

pa /ρg

pa /ρgzk

v2/2g

∆z

pmin

z0

v

Slika 10.4: Crtanje energetske i piezometarske linije kad se cjevovod izdize iznad povrsinetekucine u spremniku. Minimalni tlak pmin (uz isti presjek cijevi) javlja se na mjestu na-jvecega izdignuca.

dijelove cjevovoda. Kod takvih cijevi energetska i piezometarska linija padaju zajedno poosi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stojipod kutem od 45o i sluzi kao referetna linija prema kojoj se konstruiraju energetska i pije-zometarska linija (slika 10.5). I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi. Alternativno setaj dio cjevovoda moze prikazati na posebnom grafikonu na kojem apscisa predstavlja duljinucijevi po vertikalnoj osi, a ordinata visinu energetske odn. pijezometarske linije. Ako je ver-tikani dio cjevovoda predug, zbog stalnoga povecanja brzine, isto tako dolazi do kavitacijei odvajanja toka od stijenke cijevi, pa se na takve cjevovode ne mogu primijeniti metoderacunanja za cijevi ispunjene tekucinom.


0 0

v,Q

he

h1

d

pa /ρg

he

45o

p=pa

p=0

hiz

hul+hcjv2/2g

hv,ul

pmin

1

2

Slika 10.5: U slucaju vertikalne cijevi (ispustni sahtovi, kanalizacijske cijevi u zgradama isl.) energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati.Zato se moze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45o i sluzi kao referetnalinija prema kojoj se crtaju EL i PL. I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi.

10.8: PUMPE 127

10.8 Pumpe

v v

EL

EL

hp

Slika 10.6: Idealna pumpa na mjestu gdje je ugradena podize energiju tekucine (energetskuliniju) za energetsku visinu pumpe hp.

Kada je potrebno povecati energiju tekucine koriste se pumpe. Pumpa dodaje energijutekucini, ali ne mijenja njen protok (jednadzba kontinuiteta). Za potrebe proracuna koristise tzv. idealna pumpa. Za nju se uzima da na mjestu gdje se nalazi podize energetskuvisinu za vrijednost koja se naziva energetska visina pumpe (slika 10.6). U stvarnosti uzenergetsku visinu pumpe, mora se paziti i na nacin na koji je pumpa ugradena u cjevovod(slika 10.7).

hp

ht

hu

Slika 10.7: Realna pumpa. Kod nje je situacije nesto slozenija, i energetska visina pumpe hpopisuje se kao zbroj energetske visine hu koju pumpa dodaje na usisnoj strani i energetskevisine ht koju dodaje na tlacnoj strani. O konstrukciji pumpe ovisi kolike su te visine, odn.u kojim granicama trebaju biti, da bi pumpa ispravno djelovala.

Kod svake stvarne pumpe razlikuje se usisna strana i tlacna strana. Pumpa uvlacitekucinu s usisne strane, podize energiju tekucine za visinu hu, i istiskuje tekucinu istom


brzinom na tlacnoj strani dalje u cjevovod. Tekucina izlazi iz pumpe sa energetskom visinompovecanom za energetsku visinu pumpe hp. Ukupno povecanje energetske visine je prematome hu + hp. Ovisno o konstrukciji pumpe, visina za koju pumpa moze podici tekucinu nausisnoj strani moze biti razlicita. Neke konstrukcije pumpi zahtijevaju nadtlak na usisnojstrani (tada se visina usisavanja hu navodi kao negativna). U svakom slucaju, na usisnojstrani ne smije se dogoditi da apsolutni tlak padne ispod tlaka para tekucine jer ce doci doprekida toka i pumpa nece moci pumpati. Na to posebno treba paziti kada se na usisnojstrani voda uzima iz spremnika (slika 10.8).

hs

hv

he

hm

vul

Slika 10.8: Pumpa u situaciji kad podize (usisava) vodu iz spremnika.

Visina podizanja koju pumpa savladava na usisnoj strani (hs), jednaka je zbroju visinepumpe (obicno njene osovine) iznad povrsine tekucine, visini gubitaka koji nastaju u usisnojcijevi i brzinske visine na usisnoj strani, odnosno:

hs = hm + he + hv (10.18)

Ovisno o konstrukciji pumpe, postoji maksimalna moguca visina usisavanja, koja je danaslijedecim izrazom:

hsmax =pat − ppρtekg

− hul +v2ul2g

(10.19)

gdje je pat okolni tlak (obicno atmosferski), pp je tlak para tekucine (na njega trebaobratiti posebnu pozornost kod lakohlapivih tekucina), hul je minimalni ulazni tlak potrebanda bi pumpa mogla raditi. On ovisi o konstrukciji pumpe a kod nekih vrsta pumpi moze bitii veci od atmosferskog tlaka (potreban je nadtlak na ulazu pumpe). Brzinska visina dodajese u ovaj proracun zato jer ju proizvodaci uracunavaju u minimalni ulazni tlak pumpe. Uslucaju da pumpa povlaci vodu iz spremnika, maksimalna visina pumpe iznad vode nalazise kombiniranjem jednadzbi (10.18) i (10.19) kao:

hm,max =pat − ppρtekg

− hul − he (10.20)

10.8: PUMPE 129

Na kraju, bez ulazenja u detalje, minimalna snaga motora koji pokrece pumpu dana jesljedecim izrazom:

Pmin =ρtekgQhpηmηp

(10.21)

gdje je hp ukupna energetska visina pumpe, Q je protok tekucine, ηm je efikasnost motoraa ηp efikasnost pumpe.

Glava 11

Istjecanje

U mnogim prilikama tekucina iz nekoga spremnika slobodno istjece u okolni prostor, biloda se radi o otvoru na samoj stijenci spremnika ili o kratkoj izlaznoj cijevi. Sve takvesituacije obuhvacene su zajednickim nazivom: istjecanje. Najcesce se istjecanje odvija ustacionarnim uvjetima (razina tekucine u spremniku odn. tlak iznad tekucine u zatvorenojposudi su konstantni). Ovisno o velicini otvora, govori se o istjecanju kroz male odn. istje-canju kroz velike otvore. Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko malen dase moze uzeti da je hidrostatski tlak na cijeloj njegovoj povrsini jednak.

11.1 Istjecanje kroz mali otvor

pa

pa

B

A

0 0

h

Slika 11.1: Istjecanje kroz mali otvor.

Kod istjecanja kroz male otvore smatra se da je otvor toliko mali da se moze zanemaritipromjena hidrostatskoga tlaka preko njegove povrsine. Drugim rijecima, ako je otvor nadubini h, a najveca dimenzija u vertikalnom smjeru mu je a, mora biti h >> a. Zamisljenustrujnicu konstruira se od povrsine tekucine, do sredista izlaznoga otvora. Referentnu ravn-inu takoder se postavlja kroz sredinu izlaznoga otvora. Bernoullijeva jednadzba je za tajslucaj:

paρg

+v2A2g

+ h =paρg

+v2B2g

+ 0 (11.1)

131

132 GLAVA 11: ISTJECANJE

Nadalje, uzima se da je rezervoar toliko velik da se brzinu tecenja na povrsini tekucinemoze zanemariti (vA ≈ 0). Uz ovu pretpostavku je izraz za brzinu istjecanja:

vB =√

2gh (11.2)

Do ove formule je dosao vec Torricelli, pa se ona po njemu cesto naziva Torricellijevaformula za brzinu istjecanja. Zanimljivo je da je Torricellijeva brzina jednaka brzini padanjatijela sa visine h u polju sile teze. U gornjem racunu zanemareni su gubici na izlaznomotvoru:

∆hg = ζv2B2g

(11.3)

Uzme li se i njih u obzir, Bernoullijeva jednadzba postaje

h =v2B2g

+ ∆hg (11.4)

sto za brzinu istjecanja daje:

vB =

√2gh

1 + ζ(11.5)

Kod realne tekucine brzina istjecanja je nesto manja od Torricellijeve brzine. Ovdje secesto umjesto koeficijenta lokalnoga gubitka koristi koeficijent smanjenja brzine:

ϕ =

√1

1 + ζ(11.6)

zato sto uz njega izraz za brzinu postaje jednostavno:

vB = ϕvTorr (11.7)

gdje je vTorr Torricellijeva brzina istjecanja. Koeficijent smanjenja brzine odreduje seeksperimentalno, a pravilnim zaobljenjem rubova izlaznoga otvora moze se postici ϕ = 0, 98.

Kod ovakvog istjecanja opaza se smanjenje presjeka mlaza nakon izlaska iz izlaznogaotvora; tzv. kontrakcija mlaza (slika 11.2). Ova pojava opisuje se koeficijentom kon-trakcije c:

c =As

A(11.8)

Kao i koeficijent smanjenja brzine, koeficijent kontrakcije odreduje se pokusima. Kodracunanja protoka, mora se uzeti u obzir i kontrakcija mlaza i smanjenje brzine zbog gubitaka,pa izraz za protok postaje:

Q = vA = ϕvTorrcA (11.9)

Zbog prakticnosti se uvodi koeficijent istjecanja koji je definiran kao umnozak koefi-cijenta kontrakcije i koeficijenta smanjenja brzine:

µ = ϕc (11.10)

Uz upotrebu koeficijenta istjecanja izraz za protok (11.9) postaje:

11.2: ISTJECANJE KROZ MALI OTVOR ISPOD POVRSINE TEKUCINE 133

Slika 11.2: Kontrakcija mlaza kod istjecanja: presjek mlaza tekucine manji je od presjekaizlaznoga otvora.

Q = µA√

2gh (11.11)

a prednost ovakva izraza je da se koeficijent istjecanja lako dade izravno mjeriti. Vri-jednosti koeficijenta istjecanja navode se u ovisnosti o obliku otvora u raznim tehnickimprirucnicima. Primjerice za okrugli otvor ostrih rubova koeficijent istjecanja je c = 0, 61.

11.2 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrsine tekucine

pa

pa

B

A

0 0

hA

hB

Slika 11.3: Istjecanje kroz mali otvor u slucaju kada se on nalazi ispod povrsine tekucine.

Ako je otvor kroz koji tekucina istjece ispod povrsine okolne tekucine, na desnoj straniBernoullijeve jednadzbe javlja se i hidrostatski tlak okolne tekucine na mjestu istjecanja.Bernoullijeva jednadzba u tom slucaju izgleda ovako:


paρg

+v2A2g

+ hA =pBρg

+v2B2g

+ 0 (11.12)

No, tlak na mjestu otvora je:

pB = pa + ρghB (11.13)

pa za Torricellijevu brzinu vrijedi izraz:

vTorr =√

2g(hA − hB) (11.14)

Kod realne tekucine i u ovom slucaju mora se uzeti u obzir koeficijent smanjenja brzinei koeficijent istjecanja a izrazi za brzinu (11.14) i protok (11.9) ostaju nepromijenjeni.

11.3 Istjecanje iz posude pod tlakom

patm

pp

B

A

0 0

h

Slika 11.4: Istjecanje iz posude pod tlakom.

Ako se tekucina nalazi u zatvorenoj posudi pod tlakom, taj se tlak javlja na lijevoj straniBernoullijeve jednadzbe (i dalje se pretpostavlja mali otvor!):

patm + ∆p

ρg+v2A2g

+ h =patmρg

+v2B2g

+ 0 (11.15)

pri cemu se apsolutni tlak u posudi izrazava kao zbroj atmosferskoga i relativnog tlaka(patm + ∆p). Za Bernoullijevu brzinu se dobije nesto slozeniji izraz:

vB =

√√√√2g

(h+

∆p

ρg

)(11.16)

11.4: ISTJECANJE KROZ VELIKI OTVOR 135

11.4 Istjecanje kroz veliki otvor

pa

pa

B

A

hB

pa

h2

h1

Slika 11.5: Istjecanje kroz veliki otvor.

Kod velikoga otvora mora se uzeti u obzir ovisnost hidrostatskoga tlaka o dubini. Takoje za gornji rub otvora hidrostatski tlak manji, nego za donji. Opcenito, promatra li se nekustrujnicu koja prolazi kroz tocku B unutar velikoga otvora, bit ce brzina istjecanja u njojveca od brzine istjecanja za gornji rub otvora, a manja od brzine istjecanja za donji rubotvora:

vB ≈√

2ghB (11.17)

Izraz (11.17) je priblizan, jer se pretpostavlja da je vanjski tlak u tocki B jednak atmos-ferskom. U stvarnosti se ovaj tlak razlikuje od atmosferskoga za doprinos radijalnoga tlaka,koji dolazi od zakrivljenosti strujnice, ali je on uglavnom razmjerno malen pa se u jednos-tavnim racunima ovoga tipa on zanemaruje. No, promjenu brzine istjecanja po visini otvorane moze se zanemariti, pa se protok mora odrediti integracijom preko povrsine otvora. U tusvrhu se prvo odredi protok koji odgovara uskoj horizontalnoj povrsini unutar otvora kojase nalazi na dubini h, a visoka je dh (sirina otvora na tom mjestu neka je b):

dQ = µb√

2ghdh (11.18)

Ukupni protok je integral preko cijele povrsine otvora, u ovom slucaju od dna do vrhaotvora:

Q =∫ h2

h1

dQ (11.19)

Pritom se mora uzeti o obzir ovisnost sirine otvora o dubini h. U najjednostavnijemslucaju, kad je otvor pravokutan, ukupni protok kroz njega je:

Q =2

3cb√

2g(h

322 − h

321

)(11.20)


11.5 Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekucina ne

miruje

pa

B

A

0 0

hpa

vA

vB

Slika 11.6: Istjecanje u slucaju kad tekucina ispred otvora ne miruje.

Ako tekucina ispred otvora ne miruje, javlja se na desnoj strani Bernoullijeve jednadzbei brzinski clan:

paρg

+v2A2g

+ h =paρg

+v2B2g

+ 0 (11.21)

a izraz za Toricellijevu brzinu postaje:

vB =√

2gh+ v2A (11.22)

U slucaju velikoga otvora protok se opet odreduje integracijom preko provrsine otvora.Tako se primjerice za pravokutni otvor dolazi do slijedeceg izraza:

Q =2

3cb√

2g

(h2 +v2A2g

) 32

−(h1 +

v2A2g

) 32

(11.23)

11.6: NESTACIONARNO ISTJECANJE 137

11.6 Nestacionarno istjecanje

h

Qd

A

S

Qvan

Slika 11.7: Istjecanje iz spremnika koji se istovremeno i puni. Protok sa kojim tekucina ulaziu spremnik je Qd, protok sa kojim istjece iz spremnika je Qvan, h je trenutna dubina tekucineu spremniku, S povrsina presjeka spremnika i A povrsina presjeka izlaznog otvora.

Ako se neki od clanova koji ulaze u Bernoullijevu jednadzbu mijenja, istjecanje postajenestacionarno. Primjerice, zbog istjecanja moze doci do smanjenja razine tekucine u sprem-niku, pa se tlacna visina s vremenom smanjuje. Ukoliko su promjene spore, moze se i daljerjesenje traziti uz pomoc izraza za stacionarno istjecanje, ali se mora imati na umu da su sadvelicine koje u te izraze ulaze, vremenski promjenljive. Kao primjer se daje slucaj spremnikakoji se prazni kroz otvor na dnu, a istovremeno u njega iz neke cijevi dotjece tekucina (slika11.7).

Protok kroz rupu na dnu spremnika dan je od prije poznatim izrazom:

Qvan = αA√

2gh (11.24)

Treba primijetiti da u ovom slucaju on ovisi o trenutnoj dubini tekucine u spremniku.Neka istovremeno u spremnik dotjece tekucina sa protokom Qd, za koji ce se pretpostavitida je konstantan. Vremenom ce se razina tekucine u spremniku tako dugo mijenjati, dok seulazni i izlazni protoci ne izjednace. Ravnoteznu dubinu nalazi se izjednacavanjem ova dvaprotoka:

Qd = Qvan → h◦ =Q2

d

2g(µA)2(11.25)

Ako je pocetna dubina veca od ravnotezne, ona ce se vremenom smanjivati dok ne dosegneravnoteznu vrijednost, a ako je bila manja, razina ce rasti do ravnotezne vrijednosti. Vri-jeme potrebno da se razina tekucine promijeni s h1 na h2 odredi se pomocu cinjenice da jesmanjenje volumena tekucine u spremniku u nekom vremenu dt jednaka razlici volumenatekucine koja istekne iz spremnika i volumena tekucine koja u istom tom vremenu dotece unjega (jednadzba sacuvanja volumena tekucine).


Sdh = Qddt− µA√

2ghdt (11.26)

cijom se integracijom dobija trazeno vrijeme:

t1,2 =1

µA√

2g

∫ h2

h1

S(h)dh√h◦ −

√h

(11.27)

Da bi se rijesio ovaj integral, mora se znati kako povrsina presjeka spremnika S ovisi odubini h. Ako je posuda prizmaticnoga oblika (ukljucujuci i oble oblike), S je konstantan irjesenje se lako nade:

t1,2 =2S

µA√

2g

(√h1 −

√h2 +

√h◦ ln

√h◦ −

√h1√

h◦ −√h2

)(11.28)

Prekine li se u nekom trenutku dotok tekucine u spremnika, dolazi do njegova praznjenja.Vrijeme potrebno da se razina tekucine spusti s h1 na h2 odreduje se uvrstavanjem ho = 0 ugornji izraz:

t1,2 =2S

µA√

2g

(√h1 −

√h2

)(11.29)

I na kraju, vrijeme potrebno da se spremnik potpuno isprazni je:

to =2S√h1

µA√

2g(11.30)

Ovo vrijeme dva je puta duze od vremena potrebnoga da isti volumen tekucine istece izspremnika ako se dubinu h1 drzi konstantnom.

11.7 Mlazovi

hmax

lmax

vo α

Slika 11.8: Geometrija mlaza tekucine.

Mlaz je struja tekucine potpuno omedena slobodnom povrsinom. U mlazu se fluid slo-bodno giba prostorom i podvrgnut je samo sili tezi i silama trenja s okolinom, koje su cestozanemarive. To znaci da se cestice telucine u mlazu gibaju kao nezavisna kruta tijela, pa

11.7: MLAZOVI 139

za njih vrijede zakoni gibanja materijalne tocke (kosi hitac), koje ce se ovdje sazeto navesti.Ako je pocetna brzina mlaza ~v0:

~v0 = vx0~i+ vy0~j (11.31)

uz zanemarivanje otpora zraka njezine komponente su:

vx = vx0 vy = vy0 − gt (11.32)

a koordinate cestice fluida u mlazu, koji je trenutku t = 0 izasao iz cijevi su:

x = vx0t y = vy0t−gt2

2(11.33)

Cestica ce u tjeme putanje doci nakon vremena:

tm =vy0g

(11.34)

i dosegnuti ce visinu:

hmax =v2y02g

(11.35)

Ukupno vrijeme leta (uz pretpostavku horizontalne podloge): je

tlet = 2tm (11.36)

a domet mlaza (mjesto gdje mlaz udara u podlogu) je:

lmax =2vx0vy0g

(11.37)

Izraze li se komponente brzine preko pocetnoga kuta koji mlaz zatvara s horizontalom:

vx0 = v0 cosα vy0 = v0 sinα (11.38)

izraz za domet postaje:

lmax =v20g

sin 2α (11.39)

odakle se vidi da se maksimalni domet mlaza postize kad je kut α=45o. Omjer dometa imaksimalne visine mlaza je:

lmax

hmax

= 4vx0vy0

= 4 cotα (11.40)

Napominje se da u stvarnosti mlazevi dostizu do 3/4 teorijske visine, odn. dometa.


11.7.1 Horizontalni mlaz

ht

hm

Slika 11.9: Horizontalni mlaz - istjecanje iz spremnika na postolju.

Kod horizontalnoga mlaza, primjerice istjecanja iz spremnika na postolju (slika 11.9)brzina istjecanja je:

vx0 =√

2ght (11.41)

domet mlaza:

lmax = 2√hthm (11.42)

i vrijeme leta:

tmax =√

2ghm (11.43)

11.7: MLAZOVI 141

11.7.2 Vertikalni mlaz prema dolje

h

ht

Slika 11.10: Vertikalni mlaz - istjecanje kroz dno spremnika.

U slucaju vertikalnoga mlaza prema dolje, tekucina se padanjem pod djelovanjem sileteze ubrzava, pa zbog sacuvanja protoka dolazi do smanjenja presjeka mlaza. Nakon nekevisine padanja dolazi do raspadanja mlaza na vece ili manje cestice tekucine, nakon cegase na takav mlaz vise ne moze primijeniti izraze izvedene za homogenu tekucinu. Zato severtikalni mlazevi kada god je to moguce izbjegavaju.


11.7.3 Vertikalni mlaz prema gore

hmax

Slika 11.11: Vertikalni mlaz - vodoskok.

Ako je mlaz usmjeren vertikalno prema gore (vodoskok) dolazi do usporavanja cesticatekucine i na kraju do njihovoga potpunoga zaustavljanja. Nakon toga cestice pocinju padatiprema dolje, mlaz se raspada i otpor zraka postaje znacajan faktor u njihovu usporavanju.Ako je tlak kojim se tekucina na izlazu iz cijevi tlaci prema gore po, teorijska visina dosegamlaza je:

hmax =p0ρg

(11.44)

uz pocetnu brzinu:

v0 =

√2p0ρ

(11.45)

Glava 12

Tecenje u otvorenim koritima∆h (h1,2)

zp

0 0

z1

zo

z2

1 2

zE

z

0 0

z1

zo

z2

zE

zp

z

∆h (h1,2)

Slika 12.1: Bernoullijeva jednadzba za cijev pod tlakom (gore) i otvoreni tok (tecenje saslobodnim vodnim licem, dolje).

Kod tecenja u otvorenim koritima, bilo da se radi o prirodnim tokovima, ili umjetnoizradenim kanalima, tekucina s gornje strane granici s okolnom atmosferom. Ploha kojapredstavlja tu granicu vrlo priblizno je ravna i naziva se slobodna povrsina. Na slobodnojpovrsini hidrostatski tlak je u ravnotezi s atmosferskim, pa je piezometarska linija jednakaliniji slobodne povrsine fluida (opcenito trodimenzionalne plohe). U ovoj cinjenici skriva sei bitna razlika prema tecenju kroz cijevi: kod toka u otvorenim koritima razina tekucinese slobodno mijenja, pa se mijenja i hidraulicki radijus. To znaci da koeficijent otpora(vidi turbulentni tok u hidraulicki hrapavom rezimu) ovisi o dubini toka. Kod cijevi je onkonstantan.

Nadalje, trenje izmedu atmosfere i slobodne plohe je vrlo malo i uglavnom se mozezanemariti, tako da otporu tecenju doprinosi samo dio korita ispod povrsine tekucine (tzv.moceni dio korita).

Treba se podsjetiti nacina na koji se rjesavalo Bernoullijevu jednadzbu za cijevi (slika12.1). Tok kroz cijev pod tlakom je prikazan kao strujna cijev koja u cjelosti ispunjava

143

144 GLAVA 12: TECENJE U OTVORENIM KORITIMA

unutrasnjost cijevi. Geodetska linija podudara se s osi cijevi, a piezometarska i energetskalinija nalaze se iznad nje, uvijek iznad same cijevi. Gubici izmedu dva presjeka jednaki suukupnom padu energetske linije izmedu njih.

Kod otvorenoga toka geodetska linija prolazi dnom korita, a piezometarska linija se po-dudara s povrsinom tekucine (jer je kod nje, kao i u piezometru, tlak na povrsini tekucinejednak okolnom tlaku). Kao i prije, energetska linija je za brzinsku visinu iznad povrsinetekucine, a gubici se definiraju na isti nacin kao i kod cjevovoda pod tlakom: kao padenergetske linije.

O

A

L

Slika 12.2: Odredivanje hidraulickog radijusa za otvoreni tok.

Kao i kod toka pod tlakom u cjevovodima, hidraulicki radijus definira se kao omjerpovrsine presjeka toka i njegova opsega. No, kod otvorenih tokova u opseg se ne uracunavaslobodna ploha jer na njoj trenje prakticki ne postoji. Opseg toka je kod otvorenoga tokadakle jednak omocenom dijelu korita.

Padovi dna korita, slobodne povrsine te piezometarske i energetske linije su kod otvorenihtokova uglavnom mali (reda velicine promila) i polagano se mijenju, i za njih se koristestandardizirane oznake:

pad dna korita:

I =z1 − z2L

(12.1)

pad vodnoga lica (= slobodna povrsina, = piezometarska linija):

I0 =zh1 − zh2

Lzh1 = h1 + z1 zh2 = h2 + z2 (12.2)

pad energetske linije:

IE =H1 −H2

L=

∆h

L(12.3)

L je udaljenost izmedu dva presjeka u kojima se promatra odgovarajuce velicine. Ovipadovi vrlo cesto se izrazavaju u promilima, o cemu kod prakticnih racuna treba voditi brigu.

12.1: JEDNOLIKO TECENJE 145

12.1 Jednoliko tecenje

Kod jednolikoga tecenja hidraulicke karakteristike toka jednake su po cijeloj njegovoj duzini(hidraulicke karakteristike su presjek toka, nagib dna i koeficijent trenja). U tom slucajusu i protok te srednja brzina konstantni, a energetska linija postaje paralelna sa slobodnompovrsinom i dnom korita. To znaci da su i odgovarajuci padovi, srednje brzine i proticajnipresjeci medusobno jednaki:

I = I0 = IE

v1 = v2 = v

A1 = A2 = A

(12.4)

pa je prema tome:

Q = const. (12.5)

Dubina vodotoka kod koje je tecenje jednoliko naziva se normalna dubina, ho.Pogledajmo sad situaciju kod jednolikog tecenja detaljnije. Sila trenja je (uz pretpostavku

da su stijenke korita svugdje jednako hrapave, sto se podrazumijeva pod zahtjevom da tecenjebude jednoliko) jednako rasporedena po cijeloj omocenoj povrsini korita, pa se moze pisati:

Ft = kρv2

2OL (12.6)

gdje je k konstanta proporcionalnosti (koeficijent otpora). Ukupni gubitak energije je,kao i kod cjevovoda:

∆h =Ft

ρgA(12.7)

odnosno:

∆h = kv2

2g

L

Rh

(12.8)

Ako se zna da je ∆h = IEL (za jednoliki tok), preslagivanjem gornjeg izraza dobiva sebrzina toka:

v =

√2g

k

√RhIE = C

√RhIE (12.9)

Ovo je Chezyeva formula (odredio ju je A. Chezy 1769. pokusima), i ocito je:

C =

√2g

k(12.10)

Dosta dugo smatralo se da je Chezyev koeficijent C konstanta, no pokazalo se da Czapravo ovisi o relativnoj hrapavosti korita i Reynoldsovom broju. Danas se C odredujepomocu nekoliko aproksimativnih formula, od kojih se najcesce koriste Mannigova formula,koja daje vrlo dobru aproksimaciju Chezyeva koeficijenta:

C =1

nR

16h (12.11)


Tablica 12.1: Tipicne vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale.

dno korita n [sm−1/3] k [s−1m1/3]

vrlo glatko 0,009 110

beton 0,014 70

zemlja 0,028 35

erodirani zemljani kanal >0,04 <25

n [sm−1/3] je Manningov koeficijent hrapavosti.te Stricklerova formula:

C = kR16h (12.12)

gdje je k [s−1m1/3] Stricklerov koeficijent glatkosti. Ocito je:

k =1

n(12.13)

Potrebno je poznavati obje formule zato jer neke tablice navode Manningove koeficijente,a neke Stricklerove. Tipicne vrijednosti ovih koeficijenata dane su u tablici 12.1.

Uz pomoc Manningove (Stricklerove) formule dolazi se i do izraza za srednju brzinu tokaprema Manningu:

v =1

nR

23h

√IE (12.14)

odnosno, prema Strickleru:

v = KR23h

√IE (12.15)

12.1.1 Veza koeficijenata trenja za cijev i za otvoreni tok

Zanimljivo je usporediti pad energetske linije prema Chezyevoj formuli za koeficijent trenjaotvorenoga toka:

IE =v2

C2Rh

(12.16)

i pad energetske linije prema Darcy-Wiesbachovoj formuli za koeficijent trenja cijevi(okrugla cijev; IE = ∆h/L):

IE =λ

4Rh

v2

2g(12.17)

Izjednacavanjem se nalazi da izmedu Chezyevoga koeficijenta i koeficijenta trenja cijevipostoji sljedeca veza:

C =

√8g

λ(12.18)

12.1: JEDNOLIKO TECENJE 147

ili

λ =8g

C2(12.19)

sada se jos C izrazi preko Manningove formule pa se za koeficijent trenja cijevi nalazi:

λ =8gn2

R13h

(12.20)

No, kod cijevi kruznog presjeka je Rh = d/4 pa je na kraju:

λ =125n2

3√d

(12.21)

Ovo je tzv. Manningova formula za koeficijent trenja cijevi. Radi svoje jednostavnostivrlo cesto se koristi u praksi. Manningova formula vrijedi za hidraulicki hrapave cijevi, arezultati koje ona daje unutar su pogreske koju netocnosti u poznavanju hrapavosti cijeviizazivaju kod Colebrook-Whiteove formule (da ne bude zabune, ni Manningov koeficijenthrapavosti n za danu situaciju nije sasvim tocno poznat).

12.1.2 Protocna krivulja

Protocna krivulja prikazuje ovisnost protoka o dubini toka (vodostaju). Uz pomoc Chezyjeveformule za srednju brzinu lako se dolazi do izraza za protok:

Q = Av = AC√RhIE = ko

√IE (12.22)

a velicina ko:

k0 = AC√Rh (12.23)

radi toga jer ima dimenziju protoka, naziva se modul protoka. Protocna krivuljaodreduje se racunanjem protoka za razlicite dubine toka, i obicno se definira analiticki iprikazuje graficki. Opceniti analiticki izraz za protocnu krivulju ne moze se odrediti zatosto je protok odreden sa dvije velicine koje ovise o dubini toka na razlicite nacine: povrsinipresjeka toka i hidraulickom radijusu, a te ovisnosti su za svaki presjek korita drugacije.Upotrebom Manningove formule, izraz za modul protoka pojednostavljuje se i glasi:

k0 =1

nAR

23h (12.24)

Kod proracunavanja prtocne krivulje prvo se, za razlicite dubine vodotoka, izracunajuhidraulicke karakteristike korita (A, O i Rh), a nakon toga se racuna modul protoka i samprotok.

Kod prirodnih tokova tecenje najcesce nije jednoliko pa se IE ne mjeri. Protocna krivuljaodreduje se preko mjerenja raspodjele brzine po presjeku toka, iz cega se racunaju srednjebrzine toka, te protok.


12.2 Nejednoliko tecenje

Ako tok nije jednolik, hidraulicke karakteristike toka mijenjaju se po njegovoj duljini. Dubinatoka (vodno lice) se takoder stalno mijenja, a energetska linija zbog energetskih gubitakastalno opada. S druge strane, dubina toka na nekim mjestima se moze i povecavati. Kodnejednolikoga toka opcenito postoje dva moguca oblika slobodne povrsine: uspor i depresija(slika 12.3). Kod uspora dolazi do usporavanja toka (smanjenja brzine) i povecanja dubinetoka. Dubina toka veca je od normalne. Uzroci uspora mogu biti razliciti, a uglavnom seradi o preprekama u toku, promjeni presjeka korita ili smanjenju pada dna korita.

h0

I

h0

I1

I2

Slika 12.3: Oblici slobodne povrsine kod nejednolikoga tecenja: uspor (gore) i depresija(dolje).

U slucaju depresije dolazi do povecanja brzine toka a dubina se smanjuje ispod normalne.Uzroci depresije su obicno povecanja pada dna korita.

Proracun nejednolikoga toka uglavnom je slozeniji od proracuna jednolikoga toka. Ako supromjene hidraulickih parametara toka postupne, tok se naziva postupno (sporo) promjenjivitok, a proracun se odvija tako, da se cijelu duljinu toka dijeli na dijelove unutar kojih semoze uzeti da je tok priblizno jednolik. Za svaki takav dio uzima se da je Chezyev koeficijentnepromjenjiv (iako svaki dio ima svoju vrijednost tog koeficijenta) pa se tako na pojedineodsjecke primjenjuje poznate relacije za jednoliki tok. Proracun se pocinje od dijela za kojise zna vodostaj i protok, a sljedece (ili prethodne) odsjecke se onda proracunava uz pomocBernoullijeve jednadzbe i jednadzbe kontinuiteta, pri cemu je cesto puta potrebno koristitiiterativne ili graficke metode racunanja.

12.3: SPECIFICNA ENERGIJA PRESJEKA 149

12.3 Specificna energija presjeka

Energija koju jedinicna masa fluida posjeduje, mjereno prema dnu toka, naziva se specificnaenergija presjeka:

Hs = h+ αv2

2g(12.25)

Coriolissov koeficijent se za otvorene tokove krece izmedu 1,0 i 1,1 pa ga cesto ne trebauvoditi u racun. Specificna energija presjeka se racuna za razlicite dubine toka h, pri cemu seprotok drzi konstantnim. Iz dobivenih rezultata se crta krivulja specificne energije presjeka(slika 12.4).

h

Hs

45o

Hs=f(h)

H0

hc

h

αv2/2g

Hs=h

Slika 12.4: Opci izgled grafikona specificne energije presjeka.

Dubina toka hc za koju je specificna energija presjeka minimalna naziva se kriticna du-bina. Tok kod kriticne dubine naziva se kriticni tok. Ako je dubina toka veca od kriticne,brzina toka je malena, dominira potencijalna energija fluida a takav tok se naziva mirni tok.Ako je pak dubina manja od kriticne, brzina toka je velika i dominira kineticka energijafluida, a takav se tok naziva siloviti tok.

Razmatrimo detaljnije situaciju u nekom presjeku toka (slika 12.5). Ako se dubina tokah poveca za diferencijalno malu vrijednost dh, povrsina presjeka toka povecat ce se za dA =b(h)dh, gdje je b(h) sirina toka kod dubine h. Drugim rijecima, promjena povrsine presjekatoka sa dubinom je:

dA

dh= b(h) (12.26)

S druge strane, specificna energija presjeka je:

Hs = h+ αv2

2g= h+ α

Q2

2gA2(12.27)

ako se brzina v izrazi preko omjera protoka i povrsine presjeka toka. Promjena specificneenergije s dubinom toka je:


b(h)

h

dh

A

dA

Slika 12.5: Racun specificne energije presjeka u ovisnosti o dubini toka.

dHs

dh= 1− αQ2

g

dA

A3dh(12.28)

sto uz upotrebu izraza (12.26) daje:

dHs

dh= 1− αQ2

gA3b = 1− Π (12.29)

Bezdimenzionalna velicina Π naziva se parametar kineticnosti toka:

Π =αQ2

gA3b (12.30)

U slucaju da je tok kritican, specificna energija toka je minimalna pa njezina derivacijamora iscezavati, iz cega slijedi da je u tom slucaju Π = 1. Uz zanemarivanje Coriollisovakoeficijenta (stavi se α = 1), slijedi da je za kriticni tok omjer:

v2cghc

= 1 (12.31)

Bezdimenzionalni izraz:

Fr =v2

gh(12.32)

naziva se Froudeov broj. Ovdje je h (srednja) dubina toka. Froudeov broj se koristi zaodredivanje vrste toka. Lako se vidi da je za Fr < 1 tok miran, za Fr = 1 kritican, a zaFr > 1 silovit.

12.4: PRELJEVI 151

12.4 Preljevi

gornja voda

donja voda

kruna preljeva

Slika 12.6: Ostrobridni preljev.

Preljev je prepreka u koritu preko koje se tekucina preljeva. Nanjednostavniji preljev jezid sagraden popreko na tok (slika 12.6). Ovakav preljev naziva se ostrobridni preljev.Vrh zida naziva se kruna preljeva, koja je u ovom slucaju ostri (hidraulicki) gornji rub zida.Preljev dijeli tok tekucine na gornju vodu (tok ispred preljeva) i donju vodu. Ako tok donjevode ne utjece znacajno na tok gornje vode, kaze se da je preljev nepotopljen. U suprotnomslucaju (slika 12.7) govori se o potopljenom preljevu. U tom slucaju razina donje vode jebliska ili je cak i visa od krune preljeva. Za odredivanje je li preljev potopljen ili ne, mozese koristiti sljedeci kriterij:

s < 0, 7hp (12.33)

Ako je ovaj uvjet zadovoljen, preljev je nepotopljen, a u suprotnom se radi o potopljenompreljevu.

h

hphd

s

Slika 12.7: Potopljeni ostrobridni preljev.

Kod racunanja protoka preljeva koristi se izraz za protok kroz veliki otvor, u kojem jevisina gornjega ruba otvora jednaka razini tekucine (h1 = 0) pa se tako dobije Polenijevaformula za protok preko preljeva:


Q =2

3cb√

2g(h0)32 (12.34)

µ je koeficijent kontrakcije mlaza (ovdje u vertikalnom smjeru), b je sirina krune preljeva,a h dubina tekucine na preljevu. Zbog spustanja razine tekucine na mjestu preljeva, visinavode iznad krune preljeva mora se mjeriti ispred preljeva, barem na udaljenosti od 4-5 dubinaod preljeva (slika 12.8). Snizenje razine tekucine na kruni preljeva moze biti do 0,15 visinepreljevnoga mlaza.

h

5h

b

0,15h

Slika 12.8: Spustanje razine tekucine na preljevu. Zbog toga se dubina tekucine na preljevumjeri na udaljenosti od 4-5 h iza krune preljeva.

Polenijeva formula zanemaruje bocnu kontrakciju preljevnoga mlaza, sto je uglavnomopravdano, jer je sirina korita uglavnom mnogostruko veca od dubine toka, pa relativnomaleno bocno suzenje nema bitan utjecaj na protok. Suprotno tome, kontrakcija u ver-tikalnom smjeru ne smije se zanemariti, i opisuje se koeficijentom kontrakcije mlaza c. Udijelu literature koristi se umjesto koeficijenta kontrakcije mlaza Bazinov koeficijent kon-trakcije koji vrijedi samo za ostrobridni preljev:

m =2

3c (12.35)

sto pojednostavljuje izraz za protok:

Q = mb√

2g(h0)32 (12.36)

Bazin-ov koeficijent kontrakcije racuna se po empirijskoj formuli:

m = m0

1 + 0, 55

(h

h+ hp

)2 (12.37)

gdje je:

m0 = 0, 405 +0, 003

h(12.38)

12.4: PRELJEVI 153

pri cemu h mora biti izrazen u metrima. Kod proracunavanja potopljenoga ostrobridnogpreljeva Bazinov koeficijent kontrakcije se jos dodatno mnozi s Bazinovim koeficijentompotopljenosti:

σ = 1, 05

(1 + 0, 2

h

hp

)3

√h− hdh

(12.39)

12.4.1 Preljev sa sirokim pragom

h

hp

hd

ELhv hc

h0

Slika 12.9: Preljev sa sirokim pragom u stvari je siroka ploca na dnu korita.

Ako je kruna preljeva siroka, govori se o preljevu sa sirokim pragom. Kod ovakvoga prel-jeva visina samoga preljeva znatno je manja od njegove sirine. Ovakav preljev je nepotopljen,ako je dubina vode na njemu manja od kriticne dubine, dakle ako je zadovoljen uvjet (slika12.9):

hd < hc (12.40)

Za proracun nepotopljenoga preljeva sa sirokim pragom koriste se iskustvene formuleBerezinskijeva:

Q = mb√

2gh320 (12.41)

gdje se koeficijent preljeva racuna po slijedecim izrazima:

0, 6 <hph< 2, 5 m = 1, 973− 0, 222

hph

(12.42)

2, 5 <hph< 10 m = 1, 706

1 + 1, 30hp

h

1 + 1, 63hp

h

(12.43)


12.4.2 Preljev prakticnoga profila

hhv

hp

Slika 12.10: Preljev prakticnoga profila slijedi donju strujnicu u mlazu tekucine. Potrebanoblik presjeka proracunava se numericki, pa se kod gradnje koriste unaprijed definirani oblici.

Da se izbjegne nastajanje podtlaka ispod mlaza tekucine koji se prelijeva preko preljeva,izraduju se preljevi prakticnoga profila kod kojih oblik preljeva na strani donje vodeslijedi donju strujnicu tekucine (slika(12.10). Potreban oblik preljeva je standardiziran imoze se naci u raznim tehnickim prirucnicima. Proracun preljeva prakticnoga profila radise po Polenijevoj formuli, a odgovarajuci koeficijenti prelijevanja definiraju se redovito naosnovi dijagrama iz strucne literature.

12.4.3 Slapiste i vodni skok

h2

v1v2

h1ho

0

0

1

1

2

2

Slika 12.11: Presjek kroz slapiste i vodni skok koji nastaje iza njega. Energetska linijaucrtana je crtkano.

Slapiste je dio hidrotehnicke gradevine na kojem se disipira energija oslobodena prilikomprelijevanja vode preko preljeva. Naime, preljevni mlaz ima dovoljnu brzinu da tece silovito,sto na dnu toka izaziva velika naprezanja u materijalu podloge, pa se tezi tome da se siloviti

12.4: PRELJEVI 155

tok na samoj gradevini prevede u mirni. Mjesto gdje dolazi do usporavanja silovita toka iprelaska u mirni tok naziva se vodni skok (hidraulicki skok). U ovom slucaju razlikuje sedvije karakteristicne dubine: prva konjugirana dubina h1 u silovitom toku ispred vodnogaskoka te druga konjugirana dubina h2 iza vodnoga skoka. Sam vodni skok moze biti poto-pljen. Tada je dubina mirne vode hm veca od druge konjugirane dubine h2. U suprotnomslucaju kaze se da je vodni skok odbacen: on se tada javlja na nekoj udaljenosti od gradevine.Ako se vodni skok nalazi na granici izmedu ova dva slucaja, govori se o kriticnom (nestabil-nom) stanju. U praksi se tezi potapanju vodnoga skoja jer je tada moguce ostvariti kraceslapiste.

Proracun vodnoga skoka zapocinje postavljanjem Bernoullijeve jednadzbe za presjeke 0-0i 1-1 (slika 12.11) jer je energetska visina u presjeku 0-0 (ho) poznata:

h0 = h1 +v212g

+ ζv212g

(12.44)

U daljnjem racunu pretpostvalja se pravokutni presjek korita, sirine b, pa je:

v1 =Q

bh1(12.45)

sto se uvrsti u Bernoulli-jevu jednadzbu:

h0 = h1 + (ζ + 1)Q2

2gh21(12.46)

uz:

ϕ =1√

1 + ζ(12.47)

je:

h1 =Q

ϕ√

2g(h0 − h1)(12.48)

ϕ se uglavnom krece izmedu 0,95 i 1,0 pa se cesto puta zanemaruje. Druga konjugiranadubina, h2, se nalazi uz pomoc ravnoteze sila u presjecima 1-1 i 2-2. Pri tome je ukupnatlacna sila dana kao:

P =ρg

2h2 (12.49)

a ukupna sila nastala zbog gibanja tekucine (dinamicki tlak) kao:

F = ρQv

h= ρ

Q2

b2h(12.50)

Izjednacavanje ovih sila u presjecima 1-1 i 2-2 daje:

P1 + F1 = P2 + F2 (12.51)

odnosno:

1

2

(h22 − h21

)=Q2

b2g

(1

h1− 1

h2

)(12.52)


Protok se izrazi preko brzine i dubine u presjeku 1-1:

Q = v1bh1 (12.53)

pa se nakon sredivanja dolazi do izraza za drugu konjugiranu dubinu:

h2 =

√√√√1 + 8

v21gh1− 1

(12.54)

razlomak ispod korjena je Froudeov broj, Fr:

Fr1 =v21gh1

(12.55)

pa se vidi da druga konjugirana dubina ovisi o Froudeovom broju:

h2 =(√

1 + 8Fr1 − 1)

(12.56)

Duzina vodnoga skoka procjenjuje se iskustvenim izrazom (Smetana 1933):

Ls = 6(h2 − h1) (12.57)

a za potrebnu duzinu slapista uzima se 10% veca duzina (Jovic 1977):

Lslp = 1, 1Ls (12.58)

Literatura

[1] Agroskin, I. I., Dmitrijev, G. T., Pikalov, F. I. Hidraulika, Tehnicka knjiga, Zagreb1973.

[2] Bollrich, G. Technische Hydromechanik Band 1, Verlag Bauwesen, Berlin 2000.

[3] Shaughnessy, E. J. Jr., Katz, I. M., Scaffer, J. P. Introduction to fluid mechanics,Oxford University Press, New York 2005.

[4] Jovic, V. Osnove hidromehanike, Element, Zagreb 2006.

[5] Tavoularis, S. Measurement in fluid mechanics, Cambridge University Press, Cam-bridge UK 2005.

[6] Chow, V.T. Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, Singapure 1986.

[7] Cavlek, E. Hidraulika, Geodetski fakultet Sveucilista u Zagrebu 1975.

[8] Fancev, M. Mehanika Fluida, Tehnicka Enciklopedija, Svezak 8, Jugoslavenski Lek-sikografski zavod, Zagreb, str. 67-173, 1982.

[9] Pecornik, M. Tehnicka mehanika fluida, Skolska knjiga, Zagreb, 1985.

[10] Pecornik, M. Zbirka zadataka iz mehanike fluida, Skolska knjiga, Zagreb, 1995.

[11] Tanguy, J.-M., ed. Environmental Hydraulics, Vol. 1, Wiley, Hoboken, USA, 2010.

157

Indeks

π teorem, 69cestica fluida, 14

anomalije vode, 10apsolutni koeficijent viskoznosti, 5Arhimedov zakon, 37atmosfera, standardna, 26

barometar, 25Bazinov koeficijent kontrakcije, 152Bernoullijeva jednadzba, 71

za idealnu tekucinu, 73za realnu tekucinu, 77

bezdimenzionalni monom, 69Blasiusova formula, 100

Chezyeva formula, 145cjevovod

definicija, 85jednadzba gubitaka, 85

Colebrook-Whiteova formula, 103Coriolissov koeficijent, 75

depresija, 148dimenzionalna analiza, 67dinamicki koeficijent viskoznosti, 5duljina formiranja laminarnog toka, 92

ekvivalentna duzina lokalnih gubitaka, 121Eulerov pristup, 50Eulerova jednadzba, 15

kvazi 1-D, 17

Froudeov broj, 150

gubiciDarcy-Wiessbachova formula, 87odredivanje, 78

gustoca, 4

Hagen-Poiseullov zakon, 89hidraulicka glatkost, 101

hidraulicki radijusotvoreni tok, 144

hidrostatska siladno posude, 28ravne stijenke, 31stijenka cijevi, 36zakrivljena stijenka, 34

hidrostatski paradoks, 29hidrostatski tlak

dno zatvorene posude, 30sile, 28

hrapavoststjenka cijevi, 101

idealni fluid, 71istjecanje, 131

koeficijent istjecanja, 132koeficijent kontrakcije, 132koeficijent smanjena brzine, 132mali otvor, 131mali otvor ispod povrsine tekucine, 133nestacionarno, 137posuda pod tlakom, 134Torricellijeva brzina, 132veliki otvor, 135veliki otvor ispred kojeg tekucina ne

miruje, 136izlazna energija, 115izvori, 54

jednoliko tecenje, 145

kapilarnost, 10Karmanov 1/7-ki zakon, 100kinematicki koeficijent viskoznosti, 6kinematika fluida, 49Kirchofov zakon, 116koeficijent brzine, 91koeficijent istjecanja, 132koeficijent kontrakcije, 132koeficijent smanjena brzine, 132

158

INDEKS 159

koeficijent trenjadefinicija, 87Hagen-Poiseullov zakon, 89hidraulicki hrapava cijev, 102laminarno tecenje, 91

kut mocenja, 10

Lagrangeov pristup, 49laminarno tecenje, 88lokalni gubici, 105

difuzor, 111dijafragma, 108filter, 114izlazna energija, 115izlazni otvor, 114konfuzor, 110luk, 113prosirenje, 111racva, 114resetka, 114sapnica, 108spojnica, 114suzenje, 109ulazni otvor, 106ventil, 113ventili, 112Venturijeva cijev, 112

Manningov koeficijent hrapavosti, 146Manningova formula, 145Manningova formula za koeficijent trenja

cijevi, 147manometar, 27mlaz, 138

horizontalni, 140vertikalni prema dolje, 141vertikalni prema gore, 142

model kontinuuma, 13Moodyev dijagram, 103

nejednoliko tecenje, 148depresija, 148uspor, 148

nestacionarno istjecanje, 137Newton-ov pokus, 5Nikuradzeova formula, 102normalna dubina, 145

optjecanje, 3

paddno korita, 144energetska linija, 144vodno lice, 144

Pascal-ov zakon, 24piezometar, 26plutanje, 37

indiferentna ravnoteza, 39labilna ravnoteza, 39stabilna ravnoteza, 39

Polenijeva formula, 152ponori, 54potencijalno strujanje, 55povrsinska napetost, 9Prandtl-Karmanova formula, 100Prandtlova relacija, 96preljev, 151

Bazinov koeficijent kontrakcije, 152formule Berezinskijeva, 153Polenijeva formula, 152prakticnoga profila, 154sa visokim pragom, 153

prikazivanje energetske linije, 122prikazivanje piezometarske linije, 122princip analiticnosti, 67princip homogenosti, 67proracun jednostavnoga cjevovoda, 119protjecanje, 3protocna krivulja, 147pumpa, 127

Reynoldsov pokus, 81rotacija tekucine

otvorena posuda, 42zatvorena posuda, 45

slapiste, 154Smetanaov izraz, 156specificna energija presjeka, 149specificna tezina, 4staza cestice, 52Stricklerov koeficijent glatkosti, 146Stricklerova formula, 146strujna cijev, 54strujnica, 52strujno vlakno, 54

tecenje u otvorenim koritima, 143

160 INDEKS

tlacna skala visine, 26tlak para, 7Torricellijeva brzina, 132translacija tekucine

horizontalno ubrzanje, 40koso ubrzanje, 41vertikalno ubrzanje, 41

turbulentno tecenje, 93

uspor, 148uzgon, 36

Vaschy-Buckinghamov teorem, 69viskoznost, 5vodni skok, 154volumni modul stlacivosti, 6vrtlozno tecenje, 93

Coriollisov koeficijent, 99koeficijent brzine, 99profil brzine, 96

zakon kontinuiteta, 61zakon neprekidnosti, 61zbrajanje otpora, 116

temelji mehanike fluida (4,6 mb)

Documents