TEMEL MATEMATİKSINIF ÖĞRETMENLİĞİ

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ

ÖABT2015

ÖABT

Soruları yakalayankomisyon tarafından

hazırlanmıştır.

Soruları yakalayankomisyon tarafından

hazırlanmıştır.

Konu AnlatımıÖzgün Sorular

Ayrıntılı ÇözümlerTest StratejileriÇıkmış Sorular

Komisyon

ÖABT Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik

ISBN 978-605-318-027-2

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

1. Baskı: Ocak 2015, Ankara

Proje-Yayın Yönetmeni: Demet TamerTürkçe Redaksiyon: Şafak Tangıç

Dizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Kutlu

Kapak Tasarımı: Gürsel AvcıBaskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti.

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/AYenimahalle/ANKARA

(0312 394 55 90)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No:13987

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT Sınıf Öğretmenliği kapsamına giren Temel Matematik dersi konu anlatımlı kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Sınıf Öğretmenliği Temel Matematik" adlı yayınımız Kamu Perso-nel Seçme Sınavı (KPSS) Sınıf Öğretmenliği Alan Bilgisi Dersi Temel Matematik bölümün-deki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın tara-ması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT’de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedefl enmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açık-lamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerile-rinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

iv

SINIF ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

ÖABT SINIF ÖĞRETMENLİĞİ, 50 sorudan oluşmakta ve Sınıf Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Temel Matematik, Genel Biyoloji, Genel Fizik, Genel Kimya, Türk Dili, Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı, Çocuk Edebiyatı, Uygarlık Tarihi, Türk Tarihi ve Kültürü, Genel Coğrafya, Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Sınıf Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Sayısı

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Temel Matematik

b) Genel Biyoloji

c) Genel Fizik

d) Genel Kimya

e) Türk Dili

f) Cumhuriyet Dönemi Türk Edebiyatı

g) Çocuk Edebiyatı

h) Uygarlık Tarihi

i) Türk Tarihi ve Kültürü

j) Genel Coğrafya

k) Türkiye Coğrafyası ve Jeopolitiği

% 12

% 6

% 6

% 6

% 12

% 6

% 6

% 6

% 6

% 6

% 8

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013 - 2014 ÖABT Sınıf Öğretmenliği Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

v

1. BÖLÜM: KÜMELERKümelerin Gösterilişi................................................3

1. Ortak Özellik Yöntemi ......................................3

2. Liste Yöntemi ...................................................3

3. Venn Şeması Yöntemi: ....................................3

4. Boş Küme ........................................................3

5. Alt Küme ..........................................................3

Evrensel Küme ........................................................5

Kümenin Tümleyeni .................................................5

Özellikler ..............................................................5

Kümelerin Kesişimi ..................................................5

Kümelerin Birleşimi ..................................................6

Kesişim ve Birleşimin Özellikleri ..........................6

İki Küme Farkı .........................................................6

Özellikler ..............................................................7

Çözümlü Test ..........................................................8

Çözümler ...............................................................10

2 BÖLÜM: SAYILARRakam ...................................................................15

Sayı .......................................................................15

Doğal Sayılar .....................................................15

Tam sayılar.........................................................16

Rasyonel Sayılar ................................................16

İrrasyonel (Rasyonel Olmayan) Sayılar .............16

Tek ve Çift Sayılar ..............................................16

Pozitif ve Negatif Sayılar ....................................17

Ardışık Sayılar....................................................17

Asal Sayılar ...........................................................18

Asal Çarpanlarına Ayırma ..................................18

Aralarında Asal Sayılar ......................................18

Çözümlü Test ........................................................20

Çözümler ...............................................................22

3. BÖLÜM: BASAMAK VE TABAN ARİTMETİĞİTaban Aritmetiği .....................................................27

10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir Tabanda Yazılması ...........................................28

Herhangi Bir Tabandaki Sayının Başka Bir Tabanda Yazılımı ...................................28

a Tabanındaki Sayının an Tabanındaki Yazılımı ..........................................28

İÇİNDEKİLER

Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler .......................29

Çözümlü Test ........................................................30

Çözümler ...............................................................32

4. BÖLÜM: BÖLME, BÖLÜNEBİLME,OBEB - OKEK

Bölme ve Kalan Özellikleri .....................................37

Bölünebilme Kuralları ............................................37

2 ile Bölünebilme................................................37

3 ile Bölünebilme................................................37

4 ile Bölünebilme................................................37

5 ile bölünebilme ................................................38

7 ile Bölünebilme................................................38

8 ile Bölünebilme................................................38

9 ile Bölünebilme................................................38

11 ile Bölünebilme ..............................................38

OBEB - OKEK .......................................................39

Çözümlü Test ........................................................41

Çözümler ...............................................................43

5. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELERÜslü İfadeler ..........................................................47

Üslü İfadelerin Özellikleri ...................................47

Köklü İfadeler.........................................................49

Özellikler ............................................................49

Çözümlü Test ........................................................52

Çözümler ...............................................................54

6. BÖLÜM: ORAN - ORANTIOran ......................................................................59

Orantı.....................................................................59

Özellikler ............................................................59

Orantı Çeşitleri.......................................................60

1. Doğru Orantı ..................................................60

2. Ters Orantı .....................................................60

3. Bileşik Orantı..................................................60

Aritmetik Ortalama .................................................61

Geometrik Ortalama ..............................................61

Harmonik Ortalama ...............................................61

Dördüncü Orantılı ..................................................61

Çözümlü Test ........................................................62

Çözümler ...............................................................64

vi

7. BÖLÜM: ÇARPANLARINA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER

Dağılma Özelliği ....................................................69

Ortak Çarpan Parantezine Alma............................69

Gruplandırma ........................................................69

Özdeşlikler .............................................................69

1. İki Kare Farkı..................................................69

2. Tam Kare........................................................70

3. Küp Açılımı.....................................................70

4. İki Küp Toplamı ve Farkı ................................70

5. Üç Terimli İfadeler ..........................................71

Sadeleştirme..........................................................71

Çözümlü Test ........................................................72

Çözümler ...............................................................74

8. BÖLÜM: BİRİNCİ DERECEDEN BİRBİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri...............................................79

1) Yok Etme Metodu ..........................................79

2) Yerine Koyma Metodu ...................................80

Çözümlü Test ........................................................81

Çözümler ...............................................................83

9. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENDENKLEM VE EŞİTSİZLİK

İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Bulunması .............................................87

1) Çarpanlara Ayırma Yöntemi ..........................87

2) Diskriminant Yöntemi .....................................87

İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ..................88

Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemin Yazılımı ................................................89

II. Dereceden Eşitsizlikler ......................................89

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ..90

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....90

Tablo Çizimi ...........................................................91

Eşitsizlik Sistemleri ............................................93

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemi Çözmeden Köklerin İşaretinin İncelenmesi ..........94

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli DenkleminKöklerinin Bir Reel Sayı ile Karşılaştırılması .........95

Çözümlü Test ........................................................96

Çözümler ...............................................................98

10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDENFONKSİYONLAR

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiği (Parabol) ..................................................103

A. Fonksiyonun Tepe Noktası ..........................103

B. Fonksiyonun Eksenleri Kestiği Noktalar ......104

C. Genel Parabol Grafiği ..................................104

Grafiği Verilen Parabolünün Denkleminin Bulunması ...................................106

Çözümlü Test ......................................................107

Çözümler ............................................................. 111

11. BÖLÜM: BAĞINTI VE FONKSİYON

Sıralı İkili .............................................................. 115

Sıralı İkililerin Eşitliği ........................................ 115

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı ........................... 115

Kartezyen Çarpımının Özellikleri ..................... 116

Analitik Düzlem (Dik Koordinat Sistemi) .............. 116

Bağıntı ................................................................. 117

Bağıntı Sayısı................................................... 117

Bağıntının Tersi ................................................ 118

Bağıntının Grafiği ............................................. 119

Bağıntının Özellikleri ........................................ 119

Denklik ve Sıralama Bağıntısı .............................122

Fonksiyon ............................................................123

Fonksiyonun Grafiği .........................................125

Fonksiyon Çeşitleri...........................................126

Fonksiyon Sayısı..............................................128

Bir Fonksiyonun Tersi.......................................128

Fonksiyonların Bileşkesi ..................................131

Fonksiyonlarda Dört İşlem ...............................133

Permütasyon Fonksiyon .................................133

Tek ve Çift Fonksiyon .......................................133

İki Fonksiyonun Birbiri Cinsinden Ifadesi ........134

Grafik Okuma ......................................................135

Çözümlü Test ......................................................136

Çözümler .............................................................138

vii

12. BÖLÜM: İŞLEM VE ÖZELLİKLERİİşlem ....................................................................143

İşlemin Özellikleri.................................................143

a) Kapalılık Özeliği ...........................................143

b) Değişme Özelliği ..........................................144

c) Birleşme Özelliği ..........................................144

d) Dağılma Özelliği...........................................145

e) Birim (Etkisiz) Eleman ..................................145

f) Ters eleman ..................................................145

g) Yutan Eleman ..............................................146

Grup.....................................................................147

Çözümlü Test ......................................................148

Çözümler .............................................................150

13. BÖLÜM: ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

Parçalı Fonksiyonlar ............................................155

Dört İşlem ............................................................155

Bir Fonksiyonun Tersini Bulma ............................155

Parçalı Fonksiyonların Grafiği .............................156

Mutlak Değer Fonksiyonu ....................................158

Mutlak Değer Fonksiyonunun Özellikleri..........158

Mutlak Değer Fonksiyonun Grafiği...................159

İşaret (Signum) Fonksiyonu.................................159

Tam Değer Fonksiyonu........................................162

Tam Değer Fonksiyonunun Özellikleri .............162

Tam Değer Fonksiyonunun Grafiği ..................165

Çözümlü Test ......................................................167

Çözümler .............................................................169

14. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ

Yönlü Açılar .........................................................173

Birim Çember .......................................................173

Açı Ölçü Birimleri .................................................173

Derece .............................................................173

Grad .................................................................173

Radyan.............................................................173

Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi ....173

Esas Ölçü.........................................................174

Trigonometrik Fonksiyonlar .................................175

I. Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları ....................175

Dar Açıların Sinüs ve Kosinüsleri.....................176

II. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları ..............176

III. Sekant ve Kosekant Fonksiyonları..............176

Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri ..........177

Trigonometrik Oranlardan Biri VerildiğindeDiğerlerinin Bulunması ........................................182

Üçgende Bazı Trigonometrik Teoremler ..............182

1) Kosinüs Teoremi ..........................................182

2) Sinüs Teoremi ..............................................183

3) Tanjant Teoremi ...........................................184

Toplam ve Fark Formülleri ...............................184

Yarım Açı Formülleri ........................................185

3a'nın Trigonometrik Oranları ..........................187

Dönüşüm Formülleri.........................................187

Ters Dönüşüm Formülleri .................................188

Çözümlü Test ......................................................189

Çözümler .............................................................191

15. BÖLÜM: GEOMETRİK KAVRAMLAR

Geometrik Kavramlar...........................................195

Tanımsız Kavramlar .........................................195

Açılar ...................................................................195

Açının Ölçüsü...................................................195

Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler ..................195

Açı Ölçü Birimleri .............................................195

Derecenin Alt Birimleri .....................................196

Açı Çeşitleri ......................................................196

Dar Açı .............................................................196

Dik Açı..............................................................196

Geniş Açı .........................................................196

Doğru Açı .........................................................196

Tam açı ............................................................196

Komşu Açılar....................................................196

Tümler Açılar....................................................197

Bütünler Açılar .................................................197

Ters Açılar ..............................................................

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenİle Yaptığı Açılar ...............................................197

Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen İle Meydana Getirdiği Açılar..................................198

viii

Kenarları Paralel Açılar ....................................198

Kenarları Dik Açılar ..........................................199

Üçgenler ..............................................................200

Üçgen Çeşitleri ....................................................200

Açılarına Göre Üçgenler ..................................200

Kenarlarına Göre Üçgenler ..............................200

Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar .............201

Yükseklik ..........................................................201

Açıortay ............................................................201

Kenarortay .......................................................201

Üçgende Açılar İle İligili Özellikler .......................202

Dik Üçgen ........................................................204

Pisagor Teoremi ...............................................204

Öklid Bağıntıları ...............................................205

Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ...............206

Açılarına Göre Dik Üçgenler ............................207

Üçgende Açıortay Teoremleri ..............................208

İç Açıortay Teoremi ..........................................208

Dış Açıortay Teoremi........................................209

Üçgende Kenarortay Teoremleri ..........................209

Ağırlık Merkezi .................................................209

Kenarortay Bağıntıları ...................................... 211

İkizkenar Üçgen ................................................... 211

Eşkenar Üçgen ....................................................213

Üçgende Alan ......................................................215

Üçgende Benzerlik ..............................................218

Açı - Açı - Açı Benzerlik Kuralı .........................218

Tales Teoremi ...................................................219

Temel Orantı Teoremi.......................................219

Ters Orantılı Uzunluk Bağıntısı ........................220

Çapraz Tales Teoremi ......................................220

Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Kuralı ................220

Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Kuralı............221

Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................222

Üçgen Eşitsizliği ...............................................222

Çözümlü Test - 1..................................................225

Çözümlü Test - 2..................................................227

Çözümler - 1 ........................................................229

Çözümler - 2 ........................................................232

Cevaplı Test - 1....................................................235

Cevaplı Test - 2....................................................237

16. BÖLÜM: ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER

Çokgenler ............................................................241

Dışbükey ve İçbükey Çokgenler ......................241

Düzgün Çokgenler ...............................................242

Dörtgenler ............................................................245

Dörtgenlerde Alan................................................246

Paralelkenar ........................................................246

Paralelkenarda Alan.........................................247

Paralelkenarda Alan Özellikleri ........................248

Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler .......249

Eşkenar Dörtgen..................................................249

Dikdörtgen ...........................................................250

Kare .....................................................................251

Yamuk ..............................................................252

İkizkenar Yamuk ...............................................253

Dik Yamuk ...........................................................255

Deltoid .................................................................255

Çözümlü Test .......................................................256

Çözümler .............................................................258

Cevaplı Test - 1....................................................260

17. BÖLÜM: ÇEMBER VE DAİRE

Çemberde Açı......................................................265Çemberde Yardımcı Elemanlar ........................265

Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ......................266

Merkez Açı .......................................................266

Çevre Açı .........................................................266

Teğet Kiriş Açı ..................................................267

İç Açı ................................................................268

Dış Açı .............................................................268

Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ............................269Kirişler Dörtgeni ...................................................269Çemberde Uzunluk ..............................................269Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ..............269Kuvvet Ekseni ......................................................271İki Çember Ortak Teğetleri ...................................272İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................273Üçgenin Çemberleri .............................................274

Üçgenin İç Teğet Çemberi................................274

Üçgenin Dış Teğet Çemberi .............................274

Teğetler Dörtgeni .................................................275

ix

Dairede Alan ........................................................275Dairenin Alanı ve Çevresi ................................275Daire Diliminin Alanı.........................................275Çember Yayının Uzunluğu ...............................275

Daire Kesmesinin Alanı .......................................276Daire Halkasının Alanı .........................................276Çemberde Benzerlik ............................................277Cevaplı Test .........................................................278

18. BÖLÜM: DOĞRU VE NOKTA ANALİTİĞİ

Noktanın Analitik İncelenmesi .............................283

Analitik Düzlem ....................................................283İki Nokta Arasındaki Uzaklık ................................284Bir Doğru Parçasının Orta NoktasınınKoordinatlarının Bulunması .................................285

Paralelkenarın Köşe NoktalarınınKoordinatlarının Bulunması .................................285

Doğrusal Noktalar ................................................285

Doğrusal Olmayan Noktalar ................................286

Doğrunun Analitik İncelenmesi ............................288

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ........................288Doğru Grafiğinin Çizimi........................................290

Doğrunun Denklemleri .........................................290

Özel Doğrular ......................................................292

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................292Doğru Demeti ......................................................294Simetriler .............................................................295

Noktanın Simetriği............................................295Doğrunun Simetriği ..........................................298

Eşitsizlikler ...........................................................299

Cevaplı Test .........................................................301

19. BÖLÜM: KATI CİSİMLER

Prizma .................................................................305Dikdörtgenler Prizma .......................................306Küp...................................................................307Silindir ..............................................................307Dönel Silindir ....................................................308

Piramit .................................................................309Düzgün Piramit ................................................309Kesik Piramit ....................................................310

Koni .....................................................................310Küre ..................................................................... 311Cevaplı Test .........................................................312

20. BÖLÜM: ÇEMBER ANALİTİĞİ

Çember Denklemi ................................................317

Genel Çember Denklemi .....................................318

Teğet ve Normal Denklemleri ..............................319

Doğru İle Çemberin Birbirine Göre Durumları .....319

Nokta İle Çemberin Birbirine Göre Durumları ......319

Çembere Göre Kuvvet .........................................320

İki Çemberin Birbirine Göre Durumları ................320

Çözümlü Test .......................................................321

Çözümler .............................................................322

Cevaplı Test .........................................................323

21. BÖLÜM: KONİKLER

Elips .....................................................................327

Elipsin Denklemi ..............................................327Elipsin Parametresi ..........................................327Elipsin Dış Merkezi ve Basıklığı .......................328Elipsin Doğrultmanları ......................................328Elipsin Alanı .....................................................328

Parabol ................................................................328

Parabolün Denklemi.........................................329Hiperbol ...............................................................329

Hiperbolün Denklemi........................................330Hiperbolün Parametresi ...................................330İkizkenar Hiperbol ............................................331Hiperbolün Doğrultmanları ...............................331Hiperbolün Dış Merkezliği ................................331

Çözümlü Test .......................................................332

Çözümler .............................................................333

KAYNAKLAR........................................................336

1. BÖLÜMKÜMELER

3

KÜMELER

Küme kavramının tanımı olmamakla beraber, küme de-nilince, belli (iyi tanımlanmış) ögelerden meydana gelmiş anlamlı nesneler topluluğuna küme denir.

Bir kümeyi meydana getiren ögelerin her birine kümenin elemanı denir ve "! " sembolü ile gösterilir. Kümeye ait ol-mayan elemanlar "∉" elemanı değil sembolü ile gösterilir.

Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

Küme içerisinde tekrarlı eleman bulunmaz. Kümenin elemanlarının, küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.

Kümelerin Gösterilişi

1. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarının ortak özelliklerini belirterek, küme ifade edilir.

Örnek

i. A kümesi, mutlak değerce 6'dan küçük tam sayıların kümesi ise

A x: x 6,x Z1 != $ .

ii. B kümesi, ardışık tek sayıların kümesi ise,

B x: x 2n 1,n Z!= = -$ . ile gösterilir.

2. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları, { } sembolünün içine birbirinden vir-gülle ayrılarak yazılır.

Örnek

A kümesi bir basamaklı tek doğal sayılar ise A 1,3,5,7,9= $ . ile gösterilir.

3. Venn Şeması Yöntemi:

Kümenin elemanları, kapalı bir eğri içinde, elemanların yanına nokta konularak yazılır.

Örnek

A kümesi, rakamların oluşturduğu kümesi ise

A

.0

.3

.1

.4

.6 .7

.5

.2

.9

.8

şeklinde gösterilir.

4. Boş Küme

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, $ . veya ∅ şeklinde gösterilir.

Örnek

A x:x 4 0, x R2!= + =' 1 kümesi x2 + 4 > 0 olduğundan

boş kümedir.

A = $ . veya A ,s A 0Q= =` j 'dır.

5. Alt Küme

A ve B iki küme olmak üzere, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir veya A kümesi B kümesini kapsar denir.

B A veya A B1 2 şeklinde gösterilir.

:1 alt küme sembolü

:2 kapsar sembolü

Örnek

i.

A

B

.a

.1

.2

.3

.b A B1 'dir.

ii. A 1,2,3= $ . kümesinin alt kümeleri

, , , , , , , , , , , ,1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3$ $ $ $ $ $ $ $. . . . . . . . olmak

üzere, 8 tanedir.

i. Her küme kendisinin alt kümesidir. A A1

ii. Boş küme, her kümenin alt kümesidir. AQ 1

Not

4

Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

Örnek

A a,1, 1 ,2, 1,2 , ,7Q= ' $ $. . 1

kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

A) 16 B) 32 C) 64

D) 128 E) 256Çözüm

A kümesi 7 elemanlı bir küme olduğundan alt küme sayısı 27=128'dir

Cevap D

Örnek

A 1,2,3,4,5,6= $ .

kümesinin, alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elemanı bulunur, 2 elemanı bulunmaz?

A) 8 B) 16 C) 24

D) 32 E) 48Çözüm

Alt kümelerin içinde 2 elemanın bulunması istenmi-yorsa 2 kümeden atılır, 1 elemanı bulunacak ise 1 kü-meden çekilir ve kalan , , ,3 4 5 6$ .elemanları ile 24=16 tane alt küme yazılır. Bu alt kümelerin içine 1 elemanı dâhil edildiğinde, alt küme sayısı değişmez. O hâlde 16 alt kümede 1 bulunur, 2 bulunmaz

Cevap B

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kü-melerinin sayısı n'in r'li kombinasyo-nu ile bulunur. n'in r'li kombinasyonu

C n,r rn

n r ! r!n!

:= =

-` c

`j m

j'dir.

i. 0n

nn 1= =c cm m

ii. 1n

n 1n n= - =c cm m

iii. rn

kn n r k veya r k'dir&= = + =c cm m

iv. 0n

1n

2n ... n

n 2 'dirn+ + + + =c c c cm m m m

v. n 1r 1

n 1r

nr

--

+-

=e e eo o o

Not

Örnek

A a,b,c,d,e= $ .

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur?

A) 24 B) 18 C) 12

D) 8 E) 6Çözüm

a elemanı alt kümelerde bulunacak ise a kümeye yer-leştirilir ve diğer 4 elemandan a nın yanına herhangi 2 eleman seçilir.

a, ,- -$ . , , ,b c d e$ .

24

2! 2!4!

2 224 6'dı .r

: := = =e o

Cevap E

Örnek

A = {a, b, c, d, e}

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur, b bulunmaz?A) 24 B) 18 C) 12 D) 6 E) 3

Çözüm

Alt kümelerde a bulunacak, b bulunmayacak ise a kü-meye yerleştirilip b kümeden atıldığında kalan 3 ele-mandan a nın yanına 2 eleman seçilir.

a, ,- -$ . , ,c d e$ .

23

2! 1!3

26 3

:= = =e o tür.

Cevap E

Özalt Küme

Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

Örnek

A a,b= $ . kümesinin özalt kümeleri; , ,a b Q$ $. . olmak üzere 3 tanedir.

5

Özalt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2 1'dirn -

Örnek

Bir kümenin alt kümelerinin ve özalt kümeleri-nin eleman sayıları toplamı 31 oduğuna göre, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

Çözüm

Küme n elemanlı olsun.

O hâlde 2 2 1 31 2 2 32

2 16n 4

n n n

n&

&

&

:+ - = =

==

` j

tür.

4 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı

24

2! 2!4!

424 6'dır.

:= = =e o

Cevap B

Evrensel KümeTüm kümeleri kapsayan ve üzerinde işlem yapılabilen en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.

Örnek

A B E

C

Kümenin TümleyeniA kümesi, E evrensel kümesinin alt kümesi olsun. Evren-sel kümeye ait olup, A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir ve , ,A A Acý ile gösterilir.

A x:x E ve x Aıg!= $ . ile gösterilir.

AA'

E

Özellikler

1. EıQ=

2. EıQ =

3. A Aı ı =` j

4. A A Eı, =

5. A Aı+ Q=

6. A B B Aý ý&1 1

7. s A s A s Eı+ =` ` `j j j

Örnek

A EB

.a .c .f

.g

.h.d

.e

.b

Aı={f,g,h}Bı={c,d,e,f,g,h}

' ý .A B ve B A d rý ý1 1

Kümelerin Kesişimi

A ve B iki küme olmak üzere, A'nın ve B'nin ortak ele-manlarının oluşturduğu kümeye A kesişim B kümesi de-nir ve A B+ ile gösterilir.

A B x:x A ve x B dir.+ ! != $ .

A B+ A B A'dır.+ =

A

A

B B

A ile B'nin kesişimi boş küme ise A ile B'ye ayrık kümeler denir.

A B A ileB&+ Q= ayrık kümelerdir.

Not

A B

A B+ Q= A ile B ayrık küme

6

Kümelerin Birleşimi

A ve B iki küme olmak üzere, bu iki kümenin elemanla-rının oluşturduğu yeni kümeye A ile B nin birleşimi denir ve A B, ile gösterilir.

A B x:x A veya x B 'dir., ! != $ .

A B, A B B'd r.i, =

ABA B

Kesişim ve Birleşimin Özellikleri1. Kesişim ve birleşimin değişme özelliği vardır.A B B AA B B A'dır.+ +

, ,

==

2. Kesişim ve birleşimin birleşme özelliği vardır.

A B C A B C

A B C A B C'dir.

+ + + +

, , , ,

=

=

`

`

`

`

j

j

j

j

3. Kesişim ve birleşimin birbiri üzerine dağılma özelliği vardır.

A B C A B A C

A B C A B A C 'dir.

+ , + , +

, + , + ,

=

=

`

`

`

`

`

`

j

j

j

j

j

j

4. De Morgan kuralı

A B A B

A B A B dır.

ı ı ı

ı ı ı

+ ,

, +

=

=

`

`

j

j

5. A , A E A , A A AA A , A E E , A A A+ + +

, , ,

Q Q

Q

= = == = =

6. s A B s A s B s A B, += + -` ` ` `j j j j

7.

s A B C s A s B s C s A B s A C

s B C s A B C

, , + +

+ + +

= + + - -

- +

`

`

` `

`

` ` `j j

j

j j

j

j j

Örnek

A A B A Bý ý ý+ + , +` j; 8E B

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?A) A B) B C) Q D) E E) Aı

Çözüm

A A B A B A A B A B

A A A B A B

A B A B

B A AB EB'dir

ı ı ı ı ı

ı ı

ı

ı

+ + , + + , , +

+ , + + +

, + , +

+ ,

+

Q

=

=

=

===

` `

c`

`

`

c `

`

`

`

`j j

j

j

j

j

j

m

m

j

j

j; E

Cevap B

Örnek

Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya Türkçe dersinden geçmişlerdir. Matematikten geçenler sınıfın %60, türkçeden geçenler sınıfın %80 i olduğuna göre, her iki dersten geçenler sınıfın yüzde kaçıdır?A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

Çözüm

Sınıfın tamamı 100x olsun.

Matematikten geçenler %60 & 60x

Türkçeden geçenler %80 & 80x'dir.

s M T s M s T s M T

100x 60x 80x s M T

s M T 40x'dir.&

, +

+

+

= + -

= + -

=

`

`

` `

`

`j

j

j j

j

j

O hâlde sınıfın %40'ı her iki dersten de başarılıdır.

Cevap E

İki Küme FarkıA ve B iki küme olmak üzere, A kümesine ait olup B kü-mesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve A\B veya A − B ile gösterilir.

A B x:x A ve x B dir.= g!= $ .

A B= B A= B A=

ABA B

7

Özellikler

1. A B A Bı= +=

2. s A B s A B s B A s A B dir., = = += + +` ` ` `j j j j

3. A B B A A B simetrik fark= , = 3=` ` `j j j

Örnek

A B C

.a

.b.c

.d .g

.e .h.f

Yukarıdaki şekle göre, s B A B C= + =` `c j jmkaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Çözüm

B A d,e, f

B C c,d,e

B A B C d,e dir.

=

=

= + =

=

=

=` `j j

$

$

$

.

.

.

O hâlde s B A B C 2= + = =c` `j jm bulunur.

Cevap E

Örnek

A a,b,c ve B a,b,c,d,e, f= =$ $. . kümeleri veriliyor.Buna göre, B A= kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

Çözüm

B A d,e, f= = $ . dir. s B A 3= =` j ise bu kümenin 2 ele-

manlı alt küme sayısı 23

2!1!3! 3= =e o bulunur.

Cevap C

Örnek

A B Bý

= +` j; E kümesinin eşiti aşağıdakilerden

hangisidir?

A) A B) B C) ∅ D) E E) A

Çözüm

A B A B dir.

A B B A B

A B B B B dirA

dir.

A B B E bulunur.

Bı ı

ı ı

ı

ı= +

= + + +

+ + +

+

= +

Q

Q

Q

Q

=

=

= ===

= =

`

c`

`

` `

j

j m

j

j j

Cevap D

Örnek

s A B 2s B A 3s A B= = += =` ` `j j j

olmak üzere, s A B 22, =` j ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 18

Çözüm

s A B s B A s A B2 3k k k6 3 2

= += =` ` `j j j1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44

s A B ( ) ( )

22 6k 3k 2k11k 22 k dir.

s B A s A B2 3k k3 2

&

, $ = $ +=

= + += =

=` j1 2 344 44>

O hâlde s A s A B s A B= += +` ` `j j j

6k 2k8k16 bulunur.

= +==

Cevap D

8

1. A a,b, c , d ,Q= ' $ $. . 1

kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) a A1$ . B) d A1$' .1 C) ,a c A1$' .1

D) b A1 E) s A 5=` j

2. A kümesinin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 96 arttığına göre, A kümesinin ele-man sayısı kaçtır?A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

3. Özalt küme sayısı 31 olan bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

4. A a,b,c,d,e= $ .

kümesinin alt kümelerinin kaçında a elemanı bulunur?A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

5. A a,b,c,d,e, f= $ .

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında a bulunur, b bulunmaz?A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 20

6. A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı 4 ele-manlı alt küme sayısına eşit ise A kümesi kaç elemanlıdır?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

7. 5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?A) 5 B) 10 C) 12 D) 16 E) 24

8. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

A B A Bý

= , ,` `j j

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?A) Aı B) Bı C) A D) B E) ∅

ÇÖZÜMLÜ TEST