tema5 - compresión columnas

7/23/2019 Tema5 - Compresión Columnas

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Cátedra de Ingeniería RuralEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

1

Tema 5: COMPRESION-COLUMNAS

− Carga excéntrica en una barra corta.

− Núcleo de una sección. Caso de secciones rectangulares y circulares.

− Columnas largas. Fórmulas de Euler.

− Esbeltez, tensión crítica y longitud de pandeo.

− Curva de Euler.

− Fórmulas empíricas. Aplicación en la estructura metálica y hormigón de

forma conceptual.




2

CARGA EXCENTRICA EN UNA BARRA CORTA

La flecha debida a la flexión producida por la carga excéntrica

será despreciable comparada con la

excentricidad e.

h A6

1hb

6

1W 2 ⋅⋅=⋅⋅=

A

N=σ

h A

eN6

h A6

1

eN

W

M

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅==σ

⋅

±⋅=σh

e61

A

N




3

NUCLEO DE UNA SECCION

Es la región alrededor del c.d.g.de la sección dentro de la cual si se aplica

una carga de compresión P producirá compresión en toda la sección

A (m,n) es el punto de aplicación de la carga P

Los momentos de P respecto a los ejes OY y OZ serán P⋅n y P⋅m.

Aplicando el principio de superposición, la tensión en cualquier punto

de la sección transversal definido por las coordenadas (x, y), será:

( ) ( )

yz I

znP

I

ymP

A

P ⋅⋅+

⋅⋅+=σ

Igualando a cero el segundo miembro se obtiene la ecuación del lugar

geométrico de los puntos de tensión nula en la sección transversal:

( ) ( )0

I

znP

I

ymP

A

P

yz

=⋅⋅

+⋅⋅

+

0I

Azn

I

Aym1

A

P

yz

=

⋅⋅+

⋅⋅+⋅

Introduciendo las notaciones para los radios de giro r z y r y:

A

Ir z

z =

A

Ir

y

y =




4

0r

zn

r

ym1

2

y

2

z

=⋅

+⋅

+ → RECTA

Fibras longitudinales de la zona no rayada de la sección transversal →

COMPRESION

Fibras longitudinales de la zona rayada de la sección transversal → TRACCION

Las intersecciones u y v de las rectas con los ejes se determinan como sigue:

• Con OZ: y = 0 Obtenemos v

0r

zn1

2

y

=⋅

+ 1r

zn2

y

−=⋅

n

r vz

2

y−==

• Con OY: z = 0 Obtenemos u

0r

ym1

2

z

=⋅

+ 1r

ym2

z

−=⋅

m

r uy

2

z−==




5

NUCLEO DE UNA SECCION RECTANGULAR

Consideramos A

−−

2

h ,

2

b 0

I

z2

bP

I

y2

hP

A

P

yz

=⋅

⋅

−⋅

⋅

−=σ

0r 2

zb

r 2

yh1

2y

2z

=⋅

⋅−

⋅

⋅−

• Punto de corte con el eje OZ [y = 0] 1r 2

zb2

y

=⋅⋅

3

y bh12

1I ⋅⋅= hb A ⋅=

12

br

22

y =

6b

br 2z

2

y =⋅=

• Punto de corte con el eje OY [z = 0] 1r 2

yh2

z

=⋅⋅

3

z hb12

1I ⋅⋅= hb A ⋅=

12

hr

22

z =

6h

hr 2y

2

z =⋅=




6

NUCLEO DE UNA SECCION CIRCULAR

0W

M

A

P=−=σ

0

d A81

eP

A

P=

⋅⋅

⋅−

0d

e81

A

P=

⋅

±⋅

1d

e8 =⋅

→→ 8

de =

NUCLEO DE UNA SECCION EN I

El núcleo central es un rombo cuyas diagonales son3

b y

3

h




7

COLUMNAS LARGAS. FORMULAS DE EULER

yPMx ⋅=

IE

yP

IE

M

dx

yd2

2

⋅⋅

=⋅

=

SiIE

PK 2

⋅=

0yKdx

yd 2

2

2

=⋅+

(Ecuación diferencial homogénea)

La integración de esta ecuación diferencial es de la forma:

( ) ( )xKcosCxKsenCy 21 ⋅⋅+⋅⋅=




8


Para calcular las constantes de integración C1 y C2 :

En x = 0 → y = 0

0cosC0senC0 21 ⋅+⋅=

0C2 =

En x = l → y = 0

( )lKsenC0 1 ⋅⋅=

Esta condición se verifica si C1 = 0 y entonces la barra permanece recta.

También se cumple si:

( ) 0lKsen =⋅

K l n⋅ = ⋅ π, siendo n un nº entero.

lKlK

π=→π=⋅

2

2cr

lIE

P π=

⋅

2

2

cr l

IEP

⋅⋅π=

Carga crítica de Euler




9


( )yPMx −δ⋅=

IE

M

dx

yd2

2

⋅±=

Con la elección de los sentidos de los ejes que muestra la figura.

( )IEyP

IEM

dxyd 2

2

⋅−δ⋅=⋅+=

SiIE

PK 2

⋅=

δ⋅=⋅+ 22

2

2

KyKdx

yd

(Ecuación diferencial de coeficientes constantes)

21 yyy +=

• Solución general de la homogénea


• Solución particular de la completa

δ=2y

( ) ( ) δ+⋅⋅+⋅⋅=+= xKcosCxKsenCyyy 2121




10

Para calcular las constantes de integración C1 y C2 :

En x = 0 → y = 0

δ+⋅+⋅= 0cosC0senC0 21

δ−=2C

En x = 0 → 0dx

dy=

( ) ( )xKsenKCxKcosKC

dx

dy21 ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

0KC0 1 −⋅=

0C1 =

( )( )xKcos1y ⋅−⋅δ=

Para calcular la carga crítica se estudia x= l → y = δ

( )( ) ( )lKcoslKcos1 ⋅⋅δ−δ=⋅−⋅δ=δ

( ) 0lKcos =⋅⋅δ

( ) 0lKcos =⋅

2

nlK

π⋅=⋅ , siendo n un nº entero impar

( )l2K

2lK

⋅π

=→π

=⋅

( )2

2cr

l2IE

P

⋅π

=⋅

( )2

2

cr l2

IEP⋅ ⋅⋅π=




11


( ) yPxlQMx ⋅−−⋅=

( )IE

yPxlQ

IE

M

dx

yd2

2

⋅⋅−−⋅

=⋅

=

SiIE

PK 2

⋅=

( )P

xlQ

KyKdx

yd 22

2

2 −⋅

⋅=⋅+

21 yyy +=

• Solución general de la homogénea

( ) ( )xKsenCxKcosCy 211 ⋅⋅+⋅⋅=

• Solución particular de la completa

( )xlP

Qy 2 −⋅=

( ) ( ) ( )xlP

QxKsenCxKcosCyyy 2121 −⋅+⋅⋅+⋅⋅=+=

Para calcular las constantes de integración C1 y C2 se tiene en cuenta

que la tangente es nula en el empotramiento. Es decir, en x = 0

→ 0

dx

dy

=




12

( ) ( ) 0P

QxKcosKCxKsenKC

dx

dy21 =−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

PKQC2 ⋅

=

En el empotramiento el desplazamiento es nulo. Es decir, en x = 0 →y = 0

lP

Q0senC0cosC0 21 ⋅+⋅+⋅=

lP

QC1 ⋅−=

( ) ( ) ( )xlP

QxKsen

PK

QxKcosl

P

Qy −⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅−=

Para calcular la carga crítica, se observa que en la articulación el

desplazamiento es nulo. Es decir, en x = l y = 0

( ) ( ) ( )llP

QlKsen

PK

QlKcosl

P

Q0 −⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅−=

( ) ( ) 0lKcosllKsenK

1

P

Q=

⋅⋅−⋅⋅⋅

Si se alcanza la carga crítica Pcr existirá pandeo y el valor de Q será

distinto de 0. Así:

( ) ( ) 0lKcosllKsenK

1=⋅⋅−⋅⋅

( ) ( ) lKlKtag0llKtag

K

1⋅=⋅→=−⋅⋅

El valor mínimo para el que sucede ( ) 49.4lKlKtag =⋅=⋅

K l K l

⋅ = → =4 49 4 49

..

2cr

2

cr

l

IE2.20P

l

49.4

IE

P ⋅⋅=→

=

⋅

( )2

2

cr l7.0

IEP ⋅ ⋅⋅π=




13

ESBELTEZ, TENSION CRITICA y LONGITUD de PANDEO

2

K

2

cr l

IEP

⋅⋅π=

lK es la longitud de pandeo

lK = 2⋅l lK = l lK = 0.7⋅l lK = 0.5⋅l lK = l

2K

2cr

cr l A

IE

A

P

⋅⋅⋅π

=

=σ

Adoptando la notación r I

A= para el radio de giro:

2

K

2

cr

r

l

E

⋅π=σ

Tensión crítica de Euler

l

r K se denomina Relación de esbeltez




14

CURVA DE EULER

2K

2

cr

r

l

E

⋅π=σ

Haciendo σ σ p cr = , se obtiene un valor límite der

lK por debajo del cual

no es aplicable la fórmula de Euler. Este valor límite es el punto B y marca la

divisoria entre columnas cortas y columnas largas.

En acero estructural,

σ p = 2100 kg/cm

2, E=2100000 kg/cm

2,

100100r

l 2k ≈π⋅= .

Curva adoptada y curva obtenida experimentalmente para acero estructural.

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