tema3-cuerpo elástico

Tema 3: Cuerpo Elástico

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Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

Tema 3 : CUERPO ELÁSTICO

LP

LE LFi LFf

LR σ

ε O

F


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3.1.- INTRODUCCIÓN La experiencia nos enseña que todo cuerpo bajo la acción de las fuerzas aplicadas, se deforma y que al suprimir éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial. Esta propiedad que poseen todos los cuerpos, en mayor o menor grado, se denomina ELASTICIDAD. Dependiendo del material del que estén hechos los cuerpos, se tendrá que unos cuerpos se comportarán más elásticos que otros y a su vez, para un cuerpo de un material determinado, dependiendo de la magnitud de las fuerzas aplicadas, se comportará total o parcialmente elástico. Se dirá que se comporta “totalmente elástico” si al retirar la fuerza a la que está sometido recupera totalmente su forma inicial y “parcialmente elástico” en caso contrario, es decir que al retirar la fuerza aplicada no recupera totalmente la forma inicial, dejando en él una deformación permanente.

Así mismo, en nuestro análisis, admitiremos que los cuerpos son ISÓTROPOS, es decir, que sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección. Esto no ocurre exactamente por ejemplo en materiales fibrosos como la madera, ni en materiales formados por laminación. En estos materiales habrá que hacer un estudio específico de los mismos, aunque en muchos casos, los resultados que se obtienen con esta hipótesis son satisfactorios. 3.2.- RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES. L EY DE HOOKE GENERALIZADA Se ha visto en los temas 1º y 2º que en un cuerpo sometido a fuerzas exteriores, a cada punto del mismo, le corresponde un “estado de tensiones” y un “estado de deformaciones”. Siendo unas, consecuencia de las otras, es evidente que ha de existir una relación entre ambos estados. Fue Hooke el que dedujo dichas relaciones.

F L

L

L+∆L

F L

L´

L+∆L

deformación elástica

deformación permanente

F L

L

L+∆L

deformación elástica

Fig.3.1

Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada

3

LEY DE HOOKE “Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de tensiones y las componentes del estado de deformaciones”. Los coeficientes que regulan dicha proporcionalidad dependen de las constantes físicas del material y no de las particularidades geométricas del cuerpo. Para estudiar la deformación del paralelepípedo elemental debida a la acción de las tensiones, utilizaremos el Principio de Superposición. Deformaciones debidas a σx: Experimentalmente se ha demostrado que las tensiones normales σσσσ, actuando sobre las caras opuestas del paralelepípedo sólo originan deformaciones longitudinales ε según las aristas del paralelepípedo y no producen ninguna deformación angular. Según la Ley de Hooke: las deformaciones longitudinales ε, son proporcionales a las tensiones normales σ que las producen:

x

y

z

σx σx

σy

σy

τxy

τyx

O

Fig.3.2

σz

τyz

τxz τzx

τzy

O x

y

z

σx σx

A B A´ B´

C

D

C´

D´

Fig.3.3

´ ´

1

1 1. Cte proporcionalidadx

x xx

L A B AB

L AB E Eε σ∆ −= = = → =


4

Siendo E = MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL. Es una constante física de cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm2 Según se observa en la figura (3.3), el alargamiento longitudinal ε1x debido a la tensión normal σx, va acompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los ejes y y z, que según la ley de Hooke vienen dados por:

siendo υ = COEFICIENTE DE POISSON. Es también una constante física de cada material y es adimensional. De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión normal σx, se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones normales σy y σz: Deformaciones debidas a σy:

Deformaciones debidas a σz:

y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones normales: σx, σy y σz, serán:

Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales ε, con las tensiones normales σ.

EAD

ADDA

L

L

EAC

ACCA

L

L

xx

z

zz

xx

y

yy

σνενε

σνενε

..

..

1

´´

1

1

´´

1

−=−=−=∆=

−=−=−=∆

=

EEy

yzxy

y

σνενεε

σε .. 2222 −=−===

EEz

zyxz

z

σνενεεσε .. 3333 −=−===

+−=++=

+−=++=

+−=++=

EEE

EEE

EEE

yxzzzzz

zxyyyyy

zyxxxxx

σσνσεεεε

σσνσ

εεεε

σσνσεεεε

.

.

.

321

321

321

(3.1)

Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada

5

Deformaciones debidas a τxy: También se ha demostrado experimentalmente que las tensiones cortantes τ, actuando sobre las caras del paralelepípedo, originan deformaciones angulares γ. Según la ley de Hooke: las deformaciones angulares γ son proporcionales a las tensiones cortantes τ:

siendo G = MÓDULO DE ELASTICIDAD ANGULAR. Es una constante física de cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm2. De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión cortante τxy, se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones cortantes τyx y τzx: Deformaciones debidas a τxy y a τzx : y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones cortantes: τxy, τyz y τzx, serán: Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones angulares γ, con las tensiones cortantes τ.

O x

y

τxy

τyx

τxy

τyx

γxy/2

γyx/2

A

B

A´

B´

Fig.3.4

GalidadproporcionCte

GOA

AAtag xyxyxy

1.

1´

=→==≅ τγγ

Gyz

yz

τγ =

Gzx

zx

τγ =

GGGzx

zxyz

yzxy

xy

τγτ

γτ

γ === (3.2)


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Así pues el resumen de ecuaciones que relacionan las tensiones y deformaciones obtenidas en (3.1) y (3.2), y dadas por la Ley de Hooke generalizada son: Las relaciones inversas son: siendo: Observación: Las constantes físicas: E, G y υ, están relacionadas entre ellas mediante la siguiente ecuación: Valores de E, G y υ, para diversos materiales: MATERIAL E (N/mm2) G (N/mm2) υ acero 2,1.105 81000 0,3 aluminio (aleacción) 0,73.105 28000 0,33 cobre 1,2.105 47000 0,36

+−=

+−=

+−=

EEE

EEE

EEE

yxzz

zxyy

zyxx

σσνσε

σσνσ

ε

σσνσε

.

.

.

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

τγ

τγ

τγ

=

=

=

(3.3)

GGe

GGe

GGe

zxzxzz

yzyzyy

xyxyxx

...2.

...2.

...2.

3

3

3

γτελσγτελσγτελσ

=+=

=+=

=+=(3.4)

zyxe εεε ++=3 ( )( )νννλ

.21.1

.

−+= E

(3.5) (3.6)

( )ν+=

1.2

EG (3.7)

Sección 3.3.: Trabajo de las fuerzas externas

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3.3.- TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERNAS Sea un cuerpo elástico con los vínculos externos suficientes para que no pueda moverse y apliquemos sobre él, de forma lenta y gradual, las fuerzas: F1, F2,.. Fi,…Fn, que originarán los desplazamientos: ∆1, ∆2,… ∆i,… ∆n, de sus puntos de aplicación. Sean: δ1, δ2,… δi,… δn, las componentes de dichos desplazamientos en la dirección de las fuerzas respectivas. Tengamos a continuación las siguientes consideraciones:

• La aplicación lenta y gradual de las fuerzas hace que los desplazamientos de las partículas del cuerpo, los hagan con velocidades muy pequeñas y por consiguiente puede despreciarse la energía cinética producida (Téngase en cuenta, por ejemplo, que la carga que recibe un pilar de un edificio desde que se construye el pilar hasta que se termina el edificio, al cabo de varios meses, va a ir aumentando de forma muy lenta y gradual).

• Se supone despreciable el rozamiento con los enlaces externos Debido a estas consideraciones se podrá admitir que: “ todo el trabajo que realizan las fuerzas externas: Te, se invierte totalmente en deformar al cuerpo, transformándose en Energía de Deformación:U”. Es decir: y al no existir disipación de energía, estaremos en el caso de un sistema conservativo y en consecuencia: “ el trabajo que realizan las fuerzas exteriores depende únicamente de sus valores iniciales y finales y no del orden en que son aplicadas”. Cálculo de Te: Al aplicarse las fuerzas externas de un modo gradual, sus valores en un estado intermedio, valdrán:

F1

F2

Fi

Fn

R1 R2

Fig. 3.5

i

i´

∆i δi

i´´ ∆1

∆2 ∆n

δ1

δ2 δn

1

2 n

1 ́

2 ́ n ́

UTe = (3.8)

10:.,.....,......,. 21 ≤≤ ααααα siendoFFFF ni


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y según la ley de Hooke, en ese instante intermedio, las componentes δ de los desplazamientos de sus puntos de aplicación serán:

Con lo cual, el trabajo elemental que realizarán las fuerzas externas será: y queda

finalmente: Observación: Si en lugar de las fuerzas Fi aplicadas, aplicásemos momentos Mi, que produjeran giros θi en su misma dirección, la expresión del trabajo sería: 3.4.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación de un cuerpo elástico, la podremos obtener sumando las energías de deformación de cada uno de los paralelepípedos elementales que lo forman. Aislemos pues, de un cuerpo elástico, uno paralelepípedo elemental de lados: dx, dy, dz. El trabajo que realizarán las diferentes fuerzas elásticas que actúan sobre el paralelepípedo serán:

10:.,.....,......,. 21 ≤≤ αδαδαδαδα siendoni

∑=

=n

iiie FT

1

..2

1 δ (3.9)

∫+++=

+++==+++=

1

0

2211

2211

2211

.)................(:int

.).................(

).(.........).(.......).(..).(..

ααδδδδ

ααδδδδααδααδααδαα

dFFFFTegrando

dFFFF

FdFdFdFdFdT

nniie

nnii

nniie

∑=

=n

iiie MT

1

..2

1 θ (3.10)

x

y

z

σx σx

σy

σy

τxy

τyx

O

Fig.3.6

σz

τyz

τxz τzx

τzy

dx

dy

dz

Sección 3.4: Energía de deformación

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Sobre las dos caras perpendiculares al eje X:

Y repitiendo lo mismo sobre las dos caras perpendiculares al eje Y y las dos caras perpendiculares al eje Z, quedará:

La energía de deformación por unidad de volumen será:

Si sustituimos las deformaciones en función de las tensiones, según las ecuaciones 3.3 de la ley de Hooke generalizada quedará finalmente como expresión de la Energía de Deformación por unidad de volumen:

La Energía de Deformación U del cuerpo elástico total será: Observación: En las fórmulas obtenidas no hemos considerado el Trabajo debido a las Fuerzas de Gravedad que actuarían sobre el paralelepípedo, debido a que obtendríamos un infinitésimo de 4º orden, que se despreciaría frente al Trabajo de las Fuerzas Elásticas que es de 3º orden, como se ha visto.

dzdydx

dxdzdydxdzdydxdzdy

xzxz

xyxyxx

xzxz

xyxyxx

...2

.2

...2

1

.2

....2

1.

2....

2

1.....

2

1

++=

=++

γτγ

τεσ

γτγ

τεσ

dzdydxdUdT yzyzxzxzxyxyzzyyxxe ..)........(2

1 γτγτγτεσεσεσ +++++==

).......(2

1yzyzxzxzxyxyzzyyxxdVol

dUu γτγτγτεσεσεσ +++++== (3.11)

+−=

+−=

+−=

EEE

EEE

EEE

yxzz

zxyy

zyxx

σσνσε

σσνσ

ε

σσνσε

.

.

.

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

τγ

τγ

τγ

=

=

=

[ ] ( )222222 ..2

1)....(.2.

.2

1zxyzxyzyzxyxzyx GE

u τττσσσσσσνσσσ +++++−++=

∫=vol

VolduU )(.

(3.12)

(3.13)


10

3.5.- DIAGRAMAS DE TENSIONES – DEFORMACIONES Las propiedades mecánicas de los materiales, tales como: RESISTENCIA, RIGIDEZ, DUCTILIDAD, …………. , se obtienen de los Diagramas Tensiones - Deformaciones Estos diagramas se obtienen a partir de una probeta de dimensiones normalizadas del material a ensayar y sometiéndola a esfuerzos crecientes de Tracción (o en su caso de Compresión) hasta llegar a romperla. Durante el proceso se irán midiendo en cada instante los valores de la tensión a la que esté sometida: σ = F/Ao y las correspondientes deformaciones que se van produciendo: ε = ∆L/L. Si en unos ejes coordenados llevamos las deformaciones ε al eje de abcisas y las tensiones σ al de ordenadas se obtendrá un gráfico que es el Diagrama de tensiones – deformaciones. Cada material tendrá su propio Diagrama. El Diagrama tensiones – deformaciones para el caso de un acero estructural, conocido también como acero dulce de construcción, uno de los metales mas usados en edificios, puentes, grúas, etc…, es el siguiente: Observación: Este diagrama no está dibujado a escala, pero se representa así, para destacar con más claridad los puntos y partes mas significativas del mismo. Analicemos pues dicho Diagrama:

LP

LE LFi LFf

LR σ

ε O Fig.3.8

F

L

Ao : área inicial de la sección transversal

F F

Fig.3.7

Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones

11

Tramo O – LP: Este tramo inicial es una recta y existirá por tanto proporcionalidad entre tensiones σ y deformaciones ε, se cumple pues la Ley de Hooke:

La pendiente de la recta de proporcionalidad nos proporciona el Módulo de Elasticidad longitudinal E del material. Y nos va a medir la RIGIDEZ de un material “Rigidez de un material es la mayor o menor resistencia que opone dicho material a dejarse deformar” Ejemplo: Supongamos que tenemos los gráficos de dos materiales representados en la figura 3.10.

Se observa que la recta de proporcionalidad del material 1 tiene mayor pendiente que la del material 2: α1 > α2 → tag α1 > tag α2 → E1 > E2 → “el material 1 es más rígido que el material 2”. Efectivamente: se observa que sometidos los dos materiales a la misma tensión: σ1 = σ2, el material 1 se deforma menos que el material 2: ε1 < ε2

LP

LE LFi LFf

LR σ

ε O

α ε

σ

σP LP : Límite de Proporcionalidad σP : Tensión de proporcionalidad tag α = σ/ε = E (Módulo de Elasticidad longitudinal)

Fig.3.9

F

εσσε =→= E

E

LP LP σ

σ1

σ

σ2 = σ1

ε1 ε2 ε ε α1 α2

Material 1 Material 2

Fig.3.10


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Tramo LP - LE: A partir de LP el diagrama deja de ser una recta y comienza a ser una curva. El punto LE “límite elástico”, representa la máxima tensión que puede alcanzar el material para comportarse elásticamente, es decir, sin que se produzcan en él deformaciones permanentes

Así pues, si una vez alcanzado el punto LE descargamos la probeta, la línea de descarga se hará recorriendo en sentido contrario la de carga y la probeta volvería a su estado inicial en el punto O.

LP

LE

LFi LFf

LR σ

ε O α

σE

LE : Límite Elástico σE : Tensión elástica

Fig.3.11

Campo Elástico

F

LE LFi LFf

LR σ

ε O α

σE

Fig.3.12

F

Carga Descarga


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Tramo LE – LFi – LFf : Una vez alcanzado el punto LE, si seguimos aumentando la carga sobre la probeta, el diagrama continua curvándose con una pendiente cada vez menor, hasta alcanzar el punto LFi. y a partir de dicho punto el material se deforma de forma apreciable (puede observarse a simple vista) sin necesidad de un aumento de carga, con lo cual aparece una línea horizontal en el gráfico hasta llegar al punto LFf . El material se dice que ha entrado en fluencia y se vuelve perfectamente plástico

Las deformaciones que sufre la probeta en este tramo son del orden de 10 a 15 veces la producida hasta el tramo anterior

LP LE

LFi LFf

LR σ

ε O α

σF

LFi : Límite Fluencia inicial LFf : Límite Fluencia final σF : Tensión de fluencia

Fig.3.13

F


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Tramo LFf – LR - F: Después de las grandes deformaciones producidas en el material durante el tramo de fluencia anterior, el material sufre cambios en su estructura cristalina y empieza a “endurecerse por deformación”, así pues, para seguir deformando la probeta se requiere de nuevo aumentar la carga que actúa sobre ella. Y así hasta llegar al punto más alto del diagrama LR, que representará la máxima carga que es capaz de aguantar el material hasta romperse

“Resistencia a la rotura de un material es la máxima tensión capaz de soportar hasta romperse” . (También se la denomina: “resistencia última del material” ). Hasta llegar al punto LFf, la probeta se va alargando uniformemente en toda su longitud y este alargamiento va acompañado de una contracción lateral, pero esta contracción lateral es muy pequeña y apenas significa variación en el valor del área de la sección transversal inicial Ao, con lo cual no va a suponer un efecto significativo sobre los valores obtenidos de las tensiones: σ = F/Ao. Pero a partir de LFf, la reducción del área empieza a ser significativa y llega a ser visible, produciéndose el fenómeno de “estricción” en una zona concreta de la probeta y produciéndose finalmente la rotura en el punto F del diagrama.

LP LE

LFi LFf

LR

ε O α

σR

LR : Límite de Rotura σR : Tensión de rotura

Fig.3.14

Resistencia a la rotura del material

F

región de fractura

F F

Fig.3.15

región de estricción


15

Si a partir de LFf, en lugar de obtener las tensiones tomando como referencia el área inicial de la sección de la probeta: σ = F/Ao, tomásemos el área verdadera de la sección de la probeta en cada instante: σ = F/A, el diagrama, por lo dicho antes, se mantendría prácticamente igual hasta LFf, a partir de él, al empezar a ser significativas las reducciones de la sección transversal, el diagrama tomaría la línea azul que se indica en la figura siguiente y en lugar de decrecer la curva de LR a F, seguiría creciendo e iría de LR a F´ y este sería el verdadero diagrama de tensiones-deformaciones. No obstante este cambio no se considera.

Del Diagrama se observa las grandes deformaciones permanentes que ha sufrido el material antes de romperse. Pues bien la propiedad que define esto se denomina: Ductilidad “Ductilidad de un material es la capacidad que tiene para sufrir deformaciones permanentes antes de romperse” . Se puede obtener midiendo la longitud de la probeta antes y después del ensayo ( una vez rota), mediante la siguiente fórmula:

LP LE

LFi LFf

LR

ε O α

σR

LR : Límite de Rotura σR : Tensión de rotura

Fig.3.16

Resistencia a la rotura del material

F

F´

L

F F

L+∆L

F F

Fig.3.17

ductilidad : .100 (3.14)L

L

∆


16

Si representásemos el Diagrama a escala natural, se observarán las grandes deformaciones que se producen hasta la rotura final comparadas con las deformaciones apenas apreciables que se producen hasta el límite elástico Se observa que los puntos LP, LE y LF están todos ellos muy próximos. Así pues en el caso que nos ocupa del acero dulce, a efectos prácticos, se suelen tomar los tres puntos en uno solo, de tal forma que: LP = LE = LF. En consecuencia el diagrama a efectos prácticos se podrá simplificar de la siguiente manera:

Esta situación no se da en otros materiales.

LP LE

LFi

LFf

LR σ

ε O Fig.3.18

F

LP = LE = LF

LR

ε O Fig.3.19

F

σP ≅ σE ≅ σF = fy “resistencia elástica del material” o “ tensión del límite elástico”

fy

fu

σR = fu “resistencia a la rotura del material” o “tensión de rotura”

σ


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Otras consideraciones sobre el Diagrama Elasticidad - Plasticidad Supongamos que sobrepasamos el punto LE (límite elástico) y nos encontramos en el punto A del diagrama y una vez en él, descargamos la probeta. Durante la descarga se sigue la línea recta AA´, paralela a la recta de proporcionalidad O-LP. Cuando se alcanza el punto A´, se ha suprimido por completo la carga, pero el material queda con una “Deformación Permanente: OA´”. En este caso se dice que el material es “parcialmente elástico”.

Así se tendrá: OA´´ : Deformación total que tendrá la probeta al alcanzar el punto A del diagrama OA´ : Deformación permanente o residual con la que quedará la probeta al descargarla A´A´´ :Deformación elástica, parte de la deformación total que recupera al descargarla La característica de un material por la cual sufre deformaciones inelásticas más allá de la deformación en el límite elástico (LE), se conoce como: “plasticidad “Así pues en el diagrama distinguiremos dos zonas: la zona elástica (ZE) y la zona plástica (ZP)

LE LFi LFf

LR σ

ε O α

Fig.3.20

F

LP

A

A´´ A´ Deformación permanente

Deformación elástica Deformación total

Carga Descarga

ZE ZP


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Si el material permanece dentro de la zona elástica, puede cargarse, descargarse y volverse a cargar sin un cambio significativo en su comportamiento; sin embargo, cuando se carga en la zona plástica, la estructura interna del material se altera y sus propiedades cambian. Por ejemplo, supongamos como en el caso anterior que hemos cargado la probeta hasta el punto A y al llegar a dicho punto la descargamos. Ya hemos visto que el material en la descarga alcanza el punto A´ y ha quedado con una deformación permanente. Pues bien, si ahora le volvemos a cargar de nuevo, la línea de carga es de nuevo la A´A y al llegar de nuevo al punto A sigue el diagrama original de tensión-deformación hasta el punto F

Se observa que en la nueva carga el material se comporta de manera linealmente elástica hasta el punto A (superior al punto LE), con lo cual el material mejora su comportamiento elástico, pero por el contrario su zona plástica se reduce. Este nuevo comportamiento encuentra aplicaciones por ejemplo en los cables de los ascensores. Diagramas de otros materiales El diagrama tensiones-deformaciones, visto anteriormente, es el correspondiente a un acero estructural, conocido también como acero dulce de construcción. Otros materiales darán lugar a otros diagramas. Veamos a continuación los diagramas correspondientes a tres prototipos de materiales: el acero dulce de construcción (ya visto), las aleaciones de aluminio y el hormigón y destaquemos las diferencias principales que hay entre ellos

LE LFi LFf

LR σ

ε O α

Fig.3.21

F

LP

A

A´´ A´ Deformación permanente

Deformación elástica Deformación total

Carga Descarga

ZE ZP


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Acero dulce de construcción material muy dúctil (sufre grandes deformaciones permanentes antes de romperse) Observación: este acero es de bajo contenido en carbono. Si aumentamos el contenido en carbono se vuelve menos dúctil pero mas resistente. presenta un punto de fluencia bien definido

Aleacciones de aluminio material dúctil no presenta un punto de fluencia definido Observación: en estos casos se suele definir un punto de fluencia en el diagrama y se obtiene trazando una línea paralela a la recta de proporcionalidad para una deformación de 0,002 (0,2 %)

Hormigón, Vidrio, Cerámicas…. material frágil ( muy poco dúctil).

Los materiales frágiles se rompen con poco alargamiento después de que se ha excedido el límite de proporcionalidad. Por lo tanto la rotura aparece bruscamente, sin previo aviso

LP

LE LFi LFf

LR σ

ε O

F

Fig.3.22

LP

LE

LF

σ

ε O

LR

0,002

Fig.3.23

LP

LR σ

ε O

Fig.3.24


20

Ensayo de Compresión El ensayo a compresión se realiza colocando una probeta cilíndrica o prismática entre los platos de una prensa. Las curvas tensión-deformación para el ensayo a compresión difieren de las del ensayo a tracción. Así, en los materiales dúctiles, las partes iniciales de ambos diagramas son parecidas, pero a partir de la fluencia difieren bastante. En el ensayo a tracción la probeta se va alargando y termina por romper, en cambio en el ensayo a compresión, la probeta se va acortando y abombando lateralmente y se aplana, sin producirse la rotura. El prototipo de diagrama a compresión de un material dúctil sería pues:

En los materiales frágiles, el diagrama correspondiente al ensayo a compresión presenta, una parte inicial igual que el de tracción, pero la tensión de rotura se suele alcanzar para valores más elevados

Fig.3.25

Fig.3.26

LP

LR (tracción)

σ

ε O

Fig.3.28

LR (compresión)

LP

LE

LF

σ

ε O 0,002

Fig.3.27

Sección 3.6: Coeficientes de seguridad

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3.6.- COEFICIENTES DE SEGURIDAD Según la normativa CTE se deberán aplicar dos coeficientes de seguridad, uno para minimizar las tensiones límites del material y otro para mayorar las cargas aplicadas. Coeficiente de minoración de la tensión límite del material Ya hemos visto que al aumentar las cargas que actúan sobre un cuerpo aumentan las tensiones en los puntos de su interior, debiendo evitar que las mismas alcancen los valores correspondientes a las tensiones límites del material. En el caso de los materiales dúctiles, como es el caso del acero, para el valor de dicha tensión límite se suele adoptar la tensión del límite elástico (resistencia elástica): fy y en el caso de los materiales frágiles, como sería el caso del hormigón, se tomará como valor de la tensión límite, la tensión límite de rotura (resistencia a la rotura): fu Con el objeto de tener en cuenta la mayor o menor precisión de las tensiones límites marcadas por los fabricantes, valores característicos para los distintos materiales, se introduce un coeficiente de seguridad que minimiza dichos valores. Así por ejemplo en el caso del acero, al ser un material homogéneo, los valores de las tensiones límites indicadas por los fabricantes suelen ser bastante precisas, con lo cual se usan unos coeficientes de seguridad pequeños para minorar las tensiones límites:

Tabla 3.1 de las características mecánicas mínimas de los aceros Espesor nominal t (mm) Tensión del límite elástico fy (N/mm2)

Tensión de rotura fu (N/mm2)

Designación del tipo de acero

t≤16 16≤t≤40 40≤t≤63 3≤t≤100 S235 235 225 215 360 S275 275 265 255 410 S355 355 345 335 470 S450 450 430 410 550

siendo:

: tensión del límite elástico para el cálculo

: tensión del límite elástico indicado por los fabricantes (ver tabla 3.1)

coeficiente de seguridad del material 1,05;1,1;1,25;1,4

yd

y

M

f

f

γ = =

σ

εε

O material dúctil

fy fyd

LE ≅ LF

Fig.3.29

yyd

M

ff

γ= (3.15)


22

Para el caso de los hormigones, al ser un material heterogéneo, los coeficientes de minoración de las tensiones límites son más grandes, al ser éstas más imprecisas.

Coeficiente de mayoración para las cargas aplicadas Dado que en la determinación de las cargas que actúan sobre una determinada barra o estructura, no se pueden obtener muchas veces sus valores exactos, es conveniente mayorar éstas, multiplicándolas por un coeficiente de seguridad, y trabajar con valores mayores para suplir esas posibles diferencias entre el valor real que tendrá una carga y el valor que nosotros hayamos obtenido. Así por ejemplo, en la carga que transmite la nieve o el viento sobre una edificación, nosotros trabajaremos con valores estadísticos, que se obtienen según la zona geográfica donde nos encontremos, su altitud y su ubicación dentro de esa zona. Dichos valores están recogidos en las Normativas (CTE-SE-AE). Pero es evidente que nos podremos encontrar en casos ocasionales en que se puedan superar los valores indicados en las Normativas. De ahí esa necesidad de mayorar los valores característicos de las cargas que nos dan las Normativas. Otro caso que ocurre con frecuencia es por ejemplo, en los casos de impactos o de vibraciones transmitidas por maquinaria o bien por terremotos, tampoco se dispone de unos cálculos demasiado precisos para determinar con exactitud las cargas que como consecuencia de ellos se transmiten a la barra o estructura. Es evidente que cuanto mayor sea la incertidumbre en el conocimiento del valor de una carga, mayor debe de ser el coeficiente de seguridad con el que mayoremos la carga. No obstante en las cargas que se transmiten a las edificaciones en general, las Normativas ya fijan los coeficientes de seguridad para la mayoración de las cargas que debemos aplicar.

siendo:

: tensión del límite de rotura para el cálculo

: tensión del límite de rotura indicado por los fabricantes

: coeficiente de seguridad del material 1,7; 2; 2,2; 2,5; 3 .

(este coeficiente dependerá de la categoría del c

ud

u

M

f

f

γ =ontrol de su fabricación y de su ejecución.)

Ver normativa CTE-SE-F

LR σ

ε O

material frágil

fu

fud

Fig.3.30

uud

M

ff

γ= (3.16)

Sección 3.6: Coeficientes de seguridad

23

Así pues las cargas a considerar en los cálculos serán las cargas mayoradas:

Observaciones: 1) En la normativa CTE-SE se indican los coeficientes de seguridad a emplear en las edificaciones:

Tipo de verificación Tipo de acción Situación persistente o transitoria

Desestabilizadora Estabilizadora

Permanente -Peso propio, peso del terreno -Empuje del terreno -Presión del agua

1,1 1,35 1,05

0,9 0,8 0,95

Estabilidad

Variable: viento, nieve,… 1,5 0

2) Cuando sobre una barra o estructura actúan varias acciones (cargas) simultáneamente, los coeficientes de seguridad de las mismas pueden sufrir reducciones en sus valores. Ver normativas CTE-SE. Y CTE-AE 3) La mayoración de cargas se empleará para las comprobaciones de resistencia y de estabilidad. En cambio para las comprobaciones de las deformaciones se emplearán las cargas sin mayorar.

Tabla 3.2 de coeficientes parciales de seguridad (γγγγ) para las acciones (cargas) Tipo de verificación Tipo de acción Situación persistente o transitoria

Favorable Desfavorable Permanente -Peso propio, peso del terreno -Empuje del terreno -Presión del agua

1,35 1,35 1,2

0,8 0,7 0,9

Resistencia

Variable: viento, nieve,… 1,5 0

(3.17) * .P Pγ=

*

siendo :

: Carga mayorada (con la que se trabajará en los cálculos)

: Carga aplicada (valor característico)

: Coeficiente de seguridad para las cargas (ver tabla 3.2 )

P

P

γ


24

3.7.- CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE SECCION ES A RESISTENCIA 1.-Criterio elástico de dimensionamiento: La resistencia elástica de una sección se obtendrá cuando en un punto de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy. (Este criterio se desarrollará en los siguientes temas) 2.-Criterio plástico de dimensionamiento: La resistencia plástica de una sección se obtendrá cuando en todos los puntos de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy. (Este criterio se desarrollará en los siguientes temas)

fy S

F1

F2

F4

Fig. 3.31

fy S

F1

F2

F4

Fig. 3.32

fy

fy

Sección 3.7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia

25

3.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: Este criterio era el que se venía aplicando con la Normativa anterior. Esta teoría esta basada en lo siguiente: “La energía de deformación que absorbe un cuerpo se emplea en producir en él un cambio de volumen y unas deformaciones angulares en las caras de los paralelepípedos elementales que lo forman” Y esta teoría dice: “Un cuerpo falla elásticamente cuando la energía que se emplea en las deformaciones angulares, alcanza el valor de ésta obtenido en el ensayo a tracción, cuando en la probeta se alcanza la tensión del límite elástico fy Para ver la fórmula que expresa esta teoría partimos de un paralelepípedo sometido a sus tres tensiones principales: σ1>σ2>σ3 El paralelepípedo de la fig.3.33.a., absorberá una energía de deformación U, que se invertirá, por lo anteriormente dicho, en un incremento de volumen del paralelepípedo U∆vol y en una deformación angular de sus caras: Ud. Así pues resultará: Si sometemos al paralelepípedo a una tensión media σm dada por: este estado de tensiones, (ver fig.3.33.b), tan sólo proporcionará al paralelepípedo un cambio de volumen: U∆vol, con lo cual el estado de tensiones de la fig.3.33.c, será el que proporcionará la energía de deformación necesaria para las deformaciones angulares de sus caras: Ud. Por la ecuación (3.12) para obtener la energía de deformación, vista en la sección 3.4, tendremos que:

= + σ1

σ2

σ3

σm

σm

σm

σ1-σm

σ2-σm

σ3-σm

Fig.3.33

(b) (a) (c)

1 2 3 (3.19)3m

σ σ σσ + +=

[ ] ( )222222 ..2

1)....(.2.

.2

1zxyzxyzyzxyxzyx GE

U τττσσσσσσνσσσ +++++−++=

(3.18)vol dU U U∆= +


26

Para el estado de tensiones del paralelepípedo planteado en la fig.3.31.a, sería: con lo cual la ecuación (3.12) quedaría: Para el caso del paralelepípedo de la fig.3.31.b, sería: con lo cual la ecuación (3.12) quedaría ahora:

y sustituyendo σm por su valor: dado en la ecuación (3.19) y operando queda:

Finalmente de la ecuación 3.18: y sustituyendo las expresiones obtenidas para U y para U∆vol, (ecuaciones 3.20 y 3.21 respectivamente), quedará:

0

0

0

3

2

1

======

zxz

yzy

xyx

τσστσστσσ

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

1. 2. .( . . . ) (3.20)

2.U

Eσ σ σ ν σ σ σ σ σ σ = + + − + +

2 2 2 2 2

2

1 1. 2. .( . . . ) . 3. 2. .(3.

2. 2.

3..(1 2. )

2.

vol m m m m m m m m m m m

m

UE E

E

σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ ν σ

σ ν

∆ = + + − + + = − =

= −

0

0

0

======

zxmz

yzmy

xymx

τσστσστσσ

volddvol UUUUUU ∆∆ −=→+=

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 2.. 2. . 2. . 2. . (3.21)

6.volUE

ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ∆−

= + + + + +

2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )1

. (3.22)3. 2d volU U U

E

σ σ σ σ σ σν∆

− + − + −+= − =

Sección 3.7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia

27

Por otra parte el estado de tensiones de un paralelepípedo elemental para el caso del ensayo a tracción, cuando la probeta haya alcanzado la tensión del límite elástico será: y sustituyendo en la ecuación 3.22 la energía de deformación angular para este caso sería: Finalmente si aplicamos esta teoría, se tendrán que igualar las dos expresiones obtenidas para Ud (ecuaciones 3.22 y 3.23):

si Para dimensionar a resistencia con este criterio, según lo visto anteriormente, será: Caso particular: Tensiones planas Para el caso de tensiones planas si hacemos σ3 = 0 se tendrá:

fyd fyd

Fig.3.34

1

2

3

0

0

ydfσσσ

===

21. (3.23)

3.d ydU fE

ν+=

2 2 221 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )1 1

. . y operando3. 2 3. ydf

E E

σ σ σ σ σ σν ν − + − + −+ +=

2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )

falla2 ydf

σ σ σ σ σ σ− + − + − = →

2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )

2 ydfσ σ σ σ σ σ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗− + − + − ≤

2 21 2 1 2. ydfσ σ σ σ∗ ∗ ∗ ∗+ − ≤

(3.24)

(3.25)


28

y por último sustituyendo las tensiones principales σ1 y σ2 en función de las componentes del estado de tensiones (ecuaciones 1.19): la ecuación 3.25 resultará: Observación: Cuando las tensiones normales sean cero, la fórmula de Von Mises quedará:

*2 *3.3yd

xy yd xy yd

ffτ τ τ≤ → ≤ =

A esta tensión cortante se la denomina “tensión cortante en el límite elástico”: τyd

221 .4)(.

2

1

2 xyyxyx τσσ

σσσ +−+

+=

222 .4)(.

2

1

2 xyyxyx τσσ

σσσ +−−

+=

2 2 2. 3.x y x y xy ydfσ σ σ σ τ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ − + ≤ (3.26)

(3.27)

tema3-cuerpo elástico

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