tema2 ud1b

Probabilidades y Estadística I

TEMA 2

Medidas características de una distribución de frecuencias


Esquema inicial

1. Introducción

2. Medidas de Centralización

3. Medidas de Dispersión

4. Medidas de Forma

5. Medidas de Relación

6. Representaciones gráficas. Diagrama de caja

7. Transformaciones de datos


3. Medidas de dispersión (5/11)

Cuartiles (idea intuitiva)

25% 25% 25% 25%

Son los valores que dividen la muestra en 4 grupos, cada uno con el 25% de los datos (aproximadamente)

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3min max Q1 Q2 Q3min max

Rango intercuartílico



(definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos y sea x(1) ≤ x(2) ....≤ x(k) la serie ordenadade menor a mayor.

Sea X una variable estadística y F(x) su función acumulativa de frecuencias relativas. Se define Qi como la solución de la siguiente ecuación funcional

F(x) = i/4

Datos explícitos

Datos implícitos

( )

( ) ( )

jn4ij si

xx

n4ij six

Qjj

j

i

+<+<+

+==

+ 1)1(2

)1(

1

Cuartiles



(definición intuitiva)Percentiles

Son los valores que dividen la muestra en 100 grupos, cada uno con el 1% de los datos (aproximadamente)

P25 P50 P75min maxQ1 Q2 Q3




Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos y sea x(1) ≤ x(2) ....≤ x(k) la serie ordenadade menor a mayor.

Sea X una variable estadística y F(x) su función acumulativa de frecuencias relativas. Se define Qi como la solución de la siguiente ecuación funcional

F(x) = i/100

Datos explícitos

Datos implícitos

( )

( ) ( )1

i si j ( 1) x x i si j ( 1) 1

2

100

100

j

ij j

x nP

n j+

= += + < + < +

Percentiles



Varianza (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos

2 2 22 1 2( ) ( ) .... ( )nx x x x x x

nσ − + − + + −

=

Datos explícitos

Sea X una variable estadística y {x’1,x’2,...,x’k} el conjunto finito de modalidades. Sea {f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

( )∑=

−=k

iii xxfVar

1

2'X

Datos implícitos



Desviación típica (definición formal)

( )∑=

−+=k

iii xxf

1

2'σ

)2,2( σσ +− x x contiene el 75% de los datos

( 3 , 3 )x xσ σ− + contiene el 89% de los datos

Detectar datos

atípicos



Varianza (propiedades)

Var (aX+b)= a2Var(X)

Es un operador cuadrático (Teorema de Pitágoras)

COMPARACIÓN DE DISPERSIONES (Coeficiente de variación)

xCV σ

=


Esquema inicial

1. Introducción



4. Medidas de Forma





4. Medidas de forma (1/6)

Una forma de valorar cuantitativamente la forma del perfil de una distribución de frecuencias

¿qué valores de una distribución pueden considerarse atípicos?

Apuntamiento Curtosis

Simetría Coeficiente de Fisher

Criterio MedidaGráfico



Momento centrado en el origen (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos, se denomina momento centrado en el origen de orden r, y se representa por ar, a la siguiente expresión algebraica:

n x.... x x

ar

n

r

2

r1

r+++

=

Momento centrado en la media (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos, se denomina momento centrado en el origen de orden r, y se representa por ar, a la siguiente expresión algebraica:

n x(x....x(x x(x

mr

nr

2r

1r

))) −++−+−=



Momentos (propiedades)

m1= 0m2 = Var (X)

a1= x

Var (X) = m2 = a2 – a12

2n n2i i

i 1 i 1x x

Var(X)n n

= =

= −

∑ ∑



Coef. de Fisher

n3

i3 i 1

1 3 3

(x x)m

n=

−γ = =

σ σ

∑

1 0γ =1 0γ < 1 0γ >




Curtosis (definición formal)

n4

i4 i 1

2 4 4

(x x)m 3 3

n=

−γ = − = −

σ σ

∑

2 0γ =2 0γ < 2 0γ >



Datos atípicos

No atípico Atípico


Esquema inicial

1. Introducción



4. Medidas de Forma





5. Medidas de relación (1/4)

Una forma de valorar cuantitativamente la relación lineal entre dos variables

Eliminar información redundante. Establecer causalidades



Momento centrado en el origen (definición formal)

Sea (x1,y1), (x2,y2),...., (xn,yn) una serie de datos bidimensionales que definen la variable estadística bidimensional (X, Y).

r h r h r h1 1 2 2 n n

rhx y x y .... x y a

n+ + +

=

Momento centrado en la media (definición formal)

Sea (x1,y1), (x2,y2),...., (xn,yn) una serie de datos bidimensionales que definen la variable estadística bidimensional (X, Y).

r h r h r h1 1 2 2 n n

r ,h(x X ) (y Y ) (x X ) (y Y ) .... (x X ) (y Y ) m

n− − + − − + + − −

=



Momentos bid. (interrelaciones)

COVARIANZA



Covarianza

DEPENDE DE LA MAGNITUD

Cov (X, Y) = m11



Coeficiente de correlación (covarianza normalizada)

x ,yx y

cov( X ,Y )ρσ σ

= x ,y1 1ρ− ≤ ≤

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

x ,y 1ρ = − x ,y1 0ρ− < <X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

x ,y 0ρ =

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

x ,y0 1ρ< < x ,y 1ρ =

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