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  • Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Tema 9: Introduccin a la mecnica analtica

    Mecnica Racional, 2, Grado en Ingeniera Civil

    Departamento de Fsica Aplicada III

    Escuela Tcnica Superior de Ingeniera

    Universidad de Sevilla

  • 2Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

  • 3Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    IntroduccinIntroduccin

    La mecnica analtica utiliza funciones escalares para encontrar las ecuaciones de movimiento (energa cintica, energa potencial...)El estado del sistema se describe utilizando coordenadas generalizadas, que incluyen a las ligaduras.Permite resolver el movimiento o situaciones de equilibrio de sistemas muy complejos.

    Es muy utilizado en estticaLas fuerzas de ligadura desaparecen del problema al analizar el movimiento

    Las reacciones se obtienen despus de haber resuelto el movimiento o el equilibrio

    Requiere un grado de abstraccin mayor que la Dinmica Vectorial

  • 4Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

  • 5Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Coordenadas generalizadasCoordenadas generalizadas

    Dado un sistema de N partculas, la descripcin completa necesita 3N coordenadas cartesianas (3 por cada partcula)Si existen ligaduras sobre las partculas el numero de coordenadas necesarias se reduceCoordenadas generalizadas de un sistema son el conjunto de n coordenadas {qk }1n que permiten describir unvocamente el estado del sistema

    n es el nmero de grados de libertad del sistemaPueden ser cualquier magnitud fsica. En la prctica suelen ser distancias y ngulosEl espacio formado por las n coordenadas es el espacio de configuracin

  • 6Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Coordenadas generalizadasCoordenadas generalizadas

    Bastan tres coordenadas para describir el estado del sistema, aunque ste tenga infinitos puntos materiales

    Cada punto en el espacio de configuraciones es un estado del sistema

    El movimiento del sistema puede describirse como una lnea en el espacio de configuraciones

  • 7Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Espacio de las configuraciones: ejemploEspacio de las configuraciones: ejemplo

    Muelle con constante elstica k y longitud natural l0Coordenadas generalizadas: { r, } n=2

    Trayectoria en el espacio real Trayectoria en el espacio de las configuraciones

  • 8Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

  • 9Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras holnomasLigaduras holnomas

    Son relaciones entre las coordenadas de los puntos de un sistema que pueden expresarse como

    Las ligaduras geomtricas bilaterales son holnomas

    Si el tiempo no aparece explcitamente son esclernomas

    Si el tiempo aparece explcitamente son renomas

    Si hay una ligadura renoma, el sistema es renomo

  • 10Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras no holnomasLigaduras no holnomas

    Son relaciones que no pueden expresarse como

    Ligaduras cinemticas: aparecen las derivadas temporales de las coordenadas

    Integrables: pueden integrarse para eliminar las derivadas -> son holnomasRodadura sin deslizamiento en movimiento plano

  • 11Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras no holnomasLigaduras no holnomasSon relaciones que no pueden expresarse como Ligaduras cinemticas: aparecen las derivadas temporales de las coordenadas

    No integrables: no pueden integrarse para eliminar las derivadas -> son no holnomasRodadura sin deslizamiento en 3D (n=3)

  • 12Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas

    Geomtricas bilaterales

    Cinemticas integrables

    En ambos casos es posible encontrar funciones que expresan las coordenadas de

    la partculas del sistema en funcin de las coordenadas generalizadas y el tiempo

    Si el tiempo no aparece explcitamente la ligadura es esclernoma

    Si el tiempo aparece explcitamente la ligadura es renoma

    Basta con una ligadura renoma para que el sistema sea considerado renomo

  • 13Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas y no holnomasLigaduras no holnomas

    Geomtricas unilaterales

    Cinemticas no integrables

    No es posible encontrar funciones que expresan las coordenadas de la partculas

    del sistema en funcin de las coordenadas generalizadas y el tiempo

    Si el tiempo no aparece explcitamente la ligadura es esclernoma

    Si el tiempo aparece explcitamente la ligadura es renoma

    Basta con una ligadura renoma para que el sistema sea considerado renomo

  • 14Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

  • 15Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Velocidades virtualesVelocidades virtualesVelocidad real de un punto del sistema:

    Expresada en funcin de las velocidades generalizadas:Consideramos un sistema holnomo:

    Velocidad virtual

    Velocidad de arrastre

  • 16Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Velocidades virtualesVelocidades virtualesLas velocidades de arrastre son las debidas a los vnculos renomos

    Las velocidades virtuales son las velocidades compatibles con los vnculos. Son las velocidades posibles si congelamos el tiempo

    En sistemas esclernomos, las velocidades virtuales y las posibles coinciden

  • 17Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Desplazamientos virtualesDesplazamientos virtualesSon los desplazamientos posibles de los puntos del sistema que sean compatibles con las ligaduras, a un tiempo congelado

    Desplazamiento virtual:

    Desplazamiento de arrastre:

    En sistemas esclernomos los desplazamientos virtuales y los posibles coinciden

    Las fuerzas aplicadas al sistema no cambian durante el desplazamiento virtual

  • 18Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Desplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosDesplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosConsideramos sistemas de slidos rgidos descritos por un conjunto de coordenadas generalizadas {q1,..., qn}Un desplazamiento virtual del sistema es un conjunto de variaciones infinitesimales de las coordenadas {q1,..., qn}

    El desplazamiento virtual de cualquier punto de los slidos puede expresarse en funcin de los qi

  • 19Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Desplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosDesplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosPara slidos rgidos tambin es interesante considerar rotaciones virtualesUna rotacin virtual se representa por un vector paralelo al eje de la rotacin, con sentido dado por la regla de la mano derecha, y con componente sobre el eje de giro dada por el ngulo girado

    La rotacin virtual puede expresarse en funcin de los qi

  • 20Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

  • 21Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    Ligaduras idealesLigaduras idealesUn sistema est sometido a ligaduras ideales si el trabajo total realizado por ellas en un desplazamiento virtual del sistema es nulo

    Ejemplos de ligaduras idealesVnculos lisosVnculos rugosos estticos (incluye rodadura sin deslizamiento)Vnculo interno de rigidez en slidos rgidos

    Ejemplos de ligaduras no idealesVnculos rugosos en rgimen dinmico (con deslizamiento relativo)Vnculos unilaterales

  • 22Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18

    ndicendice

    IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conser

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