tema 9: introduccin a la mecnica racional, gic, dpto. fsica aplicada iii, etsi, universidad de...

Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
Tema 9: Introduccin a la mecnica analtica
Mecnica Racional, 2, Grado en Ingeniera Civil
Departamento de Fsica Aplicada III
Escuela Tcnica Superior de Ingeniera
Universidad de Sevilla

2Mecnica Racional, GIC, Dpto. Fsica Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2017/18
ndicendice
IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conservativas

IntroduccinIntroduccin
La mecnica analtica utiliza funciones escalares para encontrar las ecuaciones de movimiento (energa cintica, energa potencial...)El estado del sistema se describe utilizando coordenadas generalizadas, que incluyen a las ligaduras.Permite resolver el movimiento o situaciones de equilibrio de sistemas muy complejos.
Es muy utilizado en estticaLas fuerzas de ligadura desaparecen del problema al analizar el movimiento
Las reacciones se obtienen despus de haber resuelto el movimiento o el equilibrio
Requiere un grado de abstraccin mayor que la Dinmica Vectorial

ndicendice

Coordenadas generalizadasCoordenadas generalizadas
Dado un sistema de N partculas, la descripcin completa necesita 3N coordenadas cartesianas (3 por cada partcula)Si existen ligaduras sobre las partculas el numero de coordenadas necesarias se reduceCoordenadas generalizadas de un sistema son el conjunto de n coordenadas {qk }1n que permiten describir unvocamente el estado del sistema
n es el nmero de grados de libertad del sistemaPueden ser cualquier magnitud fsica. En la prctica suelen ser distancias y ngulosEl espacio formado por las n coordenadas es el espacio de configuracin

Coordenadas generalizadasCoordenadas generalizadas
Bastan tres coordenadas para describir el estado del sistema, aunque ste tenga infinitos puntos materiales
Cada punto en el espacio de configuraciones es un estado del sistema
El movimiento del sistema puede describirse como una lnea en el espacio de configuraciones

Espacio de las configuraciones: ejemploEspacio de las configuraciones: ejemplo
Muelle con constante elstica k y longitud natural l0Coordenadas generalizadas: { r, } n=2
Trayectoria en el espacio real Trayectoria en el espacio de las configuraciones

ndicendice

Ligaduras holnomasLigaduras holnomas
Son relaciones entre las coordenadas de los puntos de un sistema que pueden expresarse como
Las ligaduras geomtricas bilaterales son holnomas
Si el tiempo no aparece explcitamente son esclernomas
Si el tiempo aparece explcitamente son renomas
Si hay una ligadura renoma, el sistema es renomo

Ligaduras no holnomasLigaduras no holnomas
Son relaciones que no pueden expresarse como
Ligaduras cinemticas: aparecen las derivadas temporales de las coordenadas
Integrables: pueden integrarse para eliminar las derivadas -> son holnomasRodadura sin deslizamiento en movimiento plano

Ligaduras no holnomasLigaduras no holnomasSon relaciones que no pueden expresarse como Ligaduras cinemticas: aparecen las derivadas temporales de las coordenadas
No integrables: no pueden integrarse para eliminar las derivadas -> son no holnomasRodadura sin deslizamiento en 3D (n=3)

Ligaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas
Geomtricas bilaterales
Cinemticas integrables
En ambos casos es posible encontrar funciones que expresan las coordenadas de
la partculas del sistema en funcin de las coordenadas generalizadas y el tiempo
Si el tiempo no aparece explcitamente la ligadura es esclernoma
Si el tiempo aparece explcitamente la ligadura es renoma
Basta con una ligadura renoma para que el sistema sea considerado renomo

Ligaduras holnomas y no holnomasLigaduras holnomas y no holnomasLigaduras no holnomas
Geomtricas unilaterales
Cinemticas no integrables
No es posible encontrar funciones que expresan las coordenadas de la partculas
del sistema en funcin de las coordenadas generalizadas y el tiempo
Si el tiempo no aparece explcitamente la ligadura es esclernoma
Si el tiempo aparece explcitamente la ligadura es renoma
Basta con una ligadura renoma para que el sistema sea considerado renomo

ndicendice

Velocidades virtualesVelocidades virtualesVelocidad real de un punto del sistema:
Expresada en funcin de las velocidades generalizadas:Consideramos un sistema holnomo:
Velocidad virtual
Velocidad de arrastre

Velocidades virtualesVelocidades virtualesLas velocidades de arrastre son las debidas a los vnculos renomos
Las velocidades virtuales son las velocidades compatibles con los vnculos. Son las velocidades posibles si congelamos el tiempo
En sistemas esclernomos, las velocidades virtuales y las posibles coinciden

Desplazamientos virtualesDesplazamientos virtualesSon los desplazamientos posibles de los puntos del sistema que sean compatibles con las ligaduras, a un tiempo congelado
Desplazamiento virtual:
Desplazamiento de arrastre:
En sistemas esclernomos los desplazamientos virtuales y los posibles coinciden
Las fuerzas aplicadas al sistema no cambian durante el desplazamiento virtual

Desplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosDesplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosConsideramos sistemas de slidos rgidos descritos por un conjunto de coordenadas generalizadas {q1,..., qn}Un desplazamiento virtual del sistema es un conjunto de variaciones infinitesimales de las coordenadas {q1,..., qn}
El desplazamiento virtual de cualquier punto de los slidos puede expresarse en funcin de los qi

Desplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosDesplazamientos virtuales de un sistema de slidos rgidosPara slidos rgidos tambin es interesante considerar rotaciones virtualesUna rotacin virtual se representa por un vector paralelo al eje de la rotacin, con sentido dado por la regla de la mano derecha, y con componente sobre el eje de giro dada por el ngulo girado
La rotacin virtual puede expresarse en funcin de los qi

ndicendice

Ligaduras idealesLigaduras idealesUn sistema est sometido a ligaduras ideales si el trabajo total realizado por ellas en un desplazamiento virtual del sistema es nulo
Ejemplos de ligaduras idealesVnculos lisosVnculos rugosos estticos (incluye rodadura sin deslizamiento)Vnculo interno de rigidez en slidos rgidos
Ejemplos de ligaduras no idealesVnculos rugosos en rgimen dinmico (con deslizamiento relativo)Vnculos unilaterales

ndicendice
IntroduccinCoordenadas generalizadasLigaduras holnomas y no holnomasDesplazamientos y velocidades virtualesLigaduras idealesPrincipio de los trabajos virtualesFuerzas generalizadasFuerzas conser

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