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Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Tema 8: Dinámica del sólido rígido vinculado
Mecánica Racional, 2º, Grado en Ingeniería Civil
Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
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2Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Teoremas generales
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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3Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
IntroducciónIntroducción
En muchas aplicaciones los sistemas se pueden considerar sólidos rígidos
vinculados
La clave es aplicar el Principio de Liberación a cada contacto entre sólidos
Una vez liberado, a cada sólido se le aplican los teoremas generales
El proceso de desvinculación y el concepto de par cinemático guardan una gran
relación
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4Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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5Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Sistemas de vectores deslizantesSistemas de vectores deslizantes
Las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son vectores deslizantes
Dado un conjunto de fuerzas (vectores deslizantes), son dinámicamente
equivalentes a una fuerza y un par: Reducción del s.v.d. en un punto
Equivalencia dinámica quiere decir que el sistema original y la reducción producen el
mismo movimiento del sólido
Pero la distribución de tensiones internas es diferente
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6Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Sistemas de vectores deslizantesSistemas de vectores deslizantes
Podemos cambiar el centro de reducción
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7Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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8Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Principio de liberaciónPrincipio de liberación
Todo sistema material sometido a vínculos puede ser tratado como libre de
vínculos con tal de añadir a las fuerzas y momentos activos las llamadas
fuerzas de reacción vincular y momentos de reacción vincular
Las fuerzas de reacción vincular se aseguran de que el vínculo se cumpla
Al desvincular puede aparecer en cada vínculo una fuerza de reacción
vincular y un momento de reacción vincular
Antes de resolver el problema sólo se conoce la dirección de las fuerzas y
momentos de reacción
Su magnitud y sentido se adaptan a las fuerzas y momentos activos para asegurar
que el vínculo se cumple
También se puede hacer una desvinculación global, usando las reducciones
cinemática y vincular
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9Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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10Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
DesvinculaciónDesvinculación
Una traslación no libre implica una fuerza de reacción vincular
Una rotación no libre implica un momento de reacción vincular
Llamaremos reacción vincular tanto a una fuerza como un momento vinculares
Clasificación de movimientos no libres
Movimiento prohibido (vínculo prohibitivo)
Potencia nula
Movimiento interligado a otros movimientos
Potencia nula
Movimiento restringido (o reónomo)
Potencia no nula (en general)
Ejemplo: punto moviéndose con velocidad fijada
rotación con velocidad angular fijada
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11Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculo prohibitivoVínculo prohibitivo
Rueda que rueda y desliza (liso)
Desvinculación punto a punto
Desvinculación global en G
Hay 3 incógnitas
Tenemos 3
ecuaciones
Un vínculo prohibitivo
Conocidas las fuerzas y momentos
activos podemos resolver el problema
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12Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo e interligado: desvinculación punto a puntoVínculos prohibitivo e interligado: desvinculación punto a punto
Rueda que rueda y no desliza en el punto de contacto
Desvinculación punto a punto
Hay 3 incógnitas
Tenemos 3
ecuaciones
Un vínculo prohibitivo
Un vínculo interligado
Conocidas las fuerzas y momentos
activos podemos resolver el problema
Ligadura de rodadura sin deslizamiento
Reducción cinemática en C
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13Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo e interligado: desvinculación globalVínculos prohibitivo e interligado: desvinculación global
Rueda que rueda y no desliza en el punto de contacto
Desvinculación global en G
Hay 4 incógnitas
Tenemos 3
ecuaciones¿?
Ligadura de rodadura sin deslizamiento
Reducción cinemática en G
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14Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo e interligadoVínculos prohibitivo e interligado: desvinculación global: desvinculación global
La relación de cierre es que el vínculo interligado aporta potencia nula
Hay 4 incógnitas
Tenemos 4
ecuaciones
Conocidas las fuerzas y momentos
activos podemos resolver el
problema
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15Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido: punto a puntoVínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido: punto a punto
Rueda que rueda y no desliza con vG=v(t) conocido
Reducción cinemática en C
Desvinculación vincular punto a punto
Ligadura de rodadura sin deslizamiento
Hay 3 incógnitas
Tenemos 3
ecuaciones
Un vínculo prohibitivo
Un vínculo interligado
Un vínculo restringido
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16Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido: globalVínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido: global
Rueda que rueda y no desliza con vG=v(t) conocido
Reducción cinemática en G
Desvinculación vincular global
Ligadura de rodadura sin deslizamiento
Hay 4 incógnitas
Tenemos 3
ecuaciones
¿?
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17Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido interligadoVínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido interligado
La relación de cierre es que el vínculo interligado aporta potencia nula
Hay 4 incógnitas
Tenemos 4
ecuacionesEn este caso determinamos las
reacciones a partir del movimiento
conocido y las fuerzas activas
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18Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Vínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringidoVínculos prohibitivo, interligado y movimiento restringido
Solución del problema
Potencia aportada por el vínculo reónomo
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19Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Teoremas generales
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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20Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Reducción cinemática genérica del par cinemático
Reducción vincular genérica del par de enlace
Un cero en una componente de la reducción cinemática implica que la
componente asociada en la reducción vincular puede ser no nula
En un movimiento plano las reducciones genéricas son
Suponemos dos sólidos con contactos lisos de modo que algunos
movimientos están prohibidos
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21Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par de empotramiento
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
0 grados de libertad: no hay movimiento posible
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22Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par prismático
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
1 grado de libertad
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23Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par de revolución
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
1 grado de libertad
Corresponde a un cojinete radial
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24Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par cilíndrico
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
2 grados de libertad
Corresponde a un cojinete axial
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25Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par esférico
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
3 grados de libertad
Corresponde a una rótula o una articulación
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26Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par plano
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
3 grados de libertad
Es un movimiento plano
El vínculo es unilateral
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27Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par cilindro-plano
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
4 grados de libertad
El vínculo es unilateral
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28Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Pares de enlacePares de enlace
Par esfera-plano
Reducción cinemática en A
Reducción vincular en A
5 grados de libertad
El vínculo es unilateral
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29Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
22
Pequeños sólidosPequeños sólidos
Son sólidos de masas y dimensiones despreciables que conectan entre sí
sólidos con masa
Transmiten sin modificar las acciones entre dos sólidos con masa
Pueden combinar varios pares de enlace
Par cilíndrico + Par de revolución
P.S. P.S.
Par de revolución + Par cilíndrico
11
2 2
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30Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Contactos puntuales lisosContactos puntuales lisos
Punto - curva
3D
2D
Curva - curva
3D
2D
Punto - superficie
02
0 2
Curva - superficie
uS es un vector unitario normal a la superficie
Superficie - superficie
uS es el vector unitario normal común a las dos superficies
uS es un vector unitario normal a la superficie
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31Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
ÍndiceÍndice
Introducción
Recordatorio de vectores deslizantes
Principio de liberación
Teoremas generales
Desvinculación
Pares de enlace más usuales
Ángulos de Euler y movimiento giroscópico
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32Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Movimiento giroscópico: ángulos de EulerMovimiento giroscópico: ángulos de Euler
Los ángulos de Euler permiten describir una rotación arbitraria de un sólido
con un punto fijo respecto a un sistema de referencia fijo
2
1 0
0
2
→ Rotación alrededor del eje Z1: 1 → 0
→ Rotación alrededor del eje Y0: 0 → 3
→ Rotación alrededor del eje Z3: 3 → 2
Hay diferentes formas de definirlos según como sea la
secuencia de rotaciones y los ejes de rotación
Precesión
Nutación
Rotación propia
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33Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Movimiento giroscópicoMovimiento giroscópico
Sólido con punto fijo en O y con Ixx
=Iyy
, sometido a la acción de la gravedad
2
10
Reducciones cinemáticas
Movimiento absoluto del sólido
Masa M, OG=L
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34Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Movimiento giroscópicoMovimiento giroscópico
2
10
Momento angular en O
Aproximación de giróscopo veloz
Suponemos además que no
hay movimiento de nutación
Equivale a suponer que el momento cinético en O sólo tiene componente en el eje Z3
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35Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Movimiento giroscópicoMovimiento giroscópico
10
2
Momento externo en O
T.M.C. en O
Del T.M.C.
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36Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2018/19
Movimiento giroscópicoMovimiento giroscópico
10
El momento cinético (por tanto el sólido), precesa alrededor del eje Z0
La velocidad del punto G es perpendicular a
la fuerza aplicada en él (peso)
Aplicaciones:
Precesión de los equinoccios
Brújulas giroscópicas
Estabilización de objetos en vuelo