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Tema 5:

Expresiones

Regulares

U.D.Computacion

Definiciones

Propiedades

Construcciones

Sıntesis deAFs a partirde ERs

Algoritmo deBrzozowski

Automata deposicion

AutomataFollow

Analisis deAFs. Lema deArden

Tema 5: Expresiones Regulares

U.D. Computacion

DSIC - UPV

3 de marzo de 2011

U.D. Computacion (DSIC - UPV) Tema 5: Expresiones Regulares 3 de marzo de 2011 1 / 40

Tema 5:

Expresiones

Regulares

U.D.Computacion

Definiciones

Propiedades

Construcciones



Automata deposicion

AutomataFollow


Indice

Definiciones

Propiedades

Construcciones sobre expresiones regulares

Sıntesis de automatas finitos

Analisis de automatas finitos


Tema 5:

Expresiones

Regulares

U.D.Computacion

Definiciones

Propiedades

Construcciones



Automata deposicion

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Definiciones

Inductivamente, una expresion regular sobre Σ se define:

∅ denota el lenguaje vacioλ denota el lenguaje {λ}∀a ∈ Σ, a denota el lenguaje {a}Si r y s son expresiones regulares que denotan Lr y Ls :

(r) denota el lenguaje Lr

r + s denota el lenguaje Lr ∪ Ls

rs denota el lenguaje LrLs

(r)∗ denota el lenguaje L∗r

Solo son expresiones regulares las construidas de esta forma


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Propiedades

Sean α, β y γ expresiones regulares

1 α + (β + γ) = (α + β) + γ2 α(βγ) = (αβ)γ3 α + β = β + α4 α(β + γ) = (αβ) + (αγ)5 (α + β)γ = (αγ) + (βγ)6 αλ = λα = α7 α + ∅ = ∅ + α = α8 α∅ = ∅α = ∅9 λ∗ = λ10 ∅∗ = λ11 α∗ = λ + αα∗

12 (α∗ + β∗)∗ = (α∗β∗)∗ = (α + β)∗

13 (αβ)∗α = α(βα)∗

14 (α∗β)∗α∗ = (α + β)∗

15 (α∗β)∗ = (α + β)∗β + λ


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Construcciones

Homomorfismo

Reverso


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Construcciones

HomomorfismoDada una expresion regular α y un homomorfismoh : Σα → ∆, para obtener una expresion regular parah(L(α)), basta sustituir cada sımbolo a de α por h(a)

Por ejemplo, considerando α = a(bb∗ + (aa)∗)∗b y elhomomorfismo: h(a) = 0 y h(b) = 11, la expresion regularpara h(L(α)) serıa:

0(11(11)∗ + (00)∗)∗11


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Construcciones

ReversoDada una expresion regular α, para obtener una expresionregular αr tal que L(αr ) = (L(α))r , aplicamosrecursivamente las siguientes reglas:

Si α = ∅, α = λ o α = a ∈ Σ, entonces αr = αSi α = β + γ, entonces αr = βr + γr

Si α = βγ, entonces αr = γrβr

Si α = β∗, entonces αr = (βr )∗

Por ejemplo, considerando α = a(b(a + b)∗ + (bba)∗)∗b,la expresion regular para (L(α))r serıa:

αr = b((a + b)∗b + (abb)∗)∗a


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Sıntesis de AFs a partir de ERs

Algoritmo de Brzozowski

Automata de Posicion

Automata Follow


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Calculo de Derivadas

Reglas para el calculo de las derivadasRespecto a sımbolos (a, b ∈ Σ, r , s E.R.)

1 a−1∅ = ∅

2 a−1

λ = ∅

3 a−1

b =

(

∅ si a 6= b

λ si a = b

4 a−1(r + s) = a

−1r + a

−1s

5 a−1(rs) =

(

(a−1r)s si λ 6∈ r

(a−1r)s + a

−1s si λ ∈ r

6 a−1

r∗ = (a−1

r)r∗

Respecto a cadenas (a ∈ Σ, x ∈ Σ∗)

1 λ−1

r = r

2 (xa)−1r = a

−1(x−1r)


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Algoritmo de Brzozowski

Entrada: α expresion regular sobre ΣSalida: AFD mınimo para L(α)Metodo:

Q = {α}; q0 = α; F = ∅; δ = ∅;if λ ∈ L(α) then

F = F ∪ {α}end if

activos = {α}while activos 6= {} do

β = First(activos)activos = Rest(activos)for all a ∈ Σ do

β′ = a−1β

if 6 ∃r ∈ Q : L(r) = L(β′) then

Q = Q ∪ {β′}δ = δ ∪ {(β, a, β′)}activos = activos ∪ {β′}if λ ∈ L(β′) then

F = F ∪ {β′}end if

end if

end for

end while

Return (Q, Σ, δ, q0, F )Fin Metodo


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Algoritmo de Brzozowski. Ejemplo

Consideremos α = (a + b)∗bb(a + b)∗:

q0 = α = (a+b)∗bb(a+b)∗; λ 6∈ L(q0) por lo tanto F = ∅a−1q0 = q0

b−1q0 = (a + b)∗bb(a + b)∗ + b(a + b)∗ = q1; λ 6∈ L(q1)por lo tanto F = ∅.a−1q1 = q0

b−1q1 = (a + b)∗bb(a + b)∗ + b(a + b)∗ + (a + b)∗ =(a + b)∗ = q2; λ ∈ L(q2) por lo tanto F = {q2}.a−1q2 = b−1q2 = q2

a

b

b

a

a,b


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Automata de Posicion

Automata local. Lenguaje Local

Expresion regular linearizada

AFD para una expresion regular linearizada

Automata de posicion


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Automata local. Lenguaje Local

El AFD A = (Q,Σ, δ, q0,F ) es local si y solo si paracualquier a ∈ Σ el conjunto {δ(q, a) : q ∈ Q} posee a losumo un elemento

Si ademas no existe ningun arco que alcance q0, elautomata es local estandar

Un lenguaje es local si y solo si es reconocido por unautomata local estandar


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Sea α una expresion regular y sea n el numero de sımbolosen α excluyendo parentesis y sımbolos de operacion. Laexpresion linearizada de α (denotada por α) se obtienecolocando un subındice j ∈ {1, . . . , n} a cada sımbolo deα indicando su posicion.p.e.: Siendo

α = (a + b)(a∗ + ba∗ + b∗)∗

la version linearizada es

α = (a1 + b2)(a∗

3 + b4a∗

5 + b∗

6)∗


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Si Σα y Σα son los alfabetos de α y α respectivamente, yh : Σ∗

α → Σ∗

α es un homomorfismo que borra lossubındices, entonces:

h(L(α)) = L(α)

Por lo tanto, puede obtenerse un automata finito paraL(α) construyendo un automata para L(α) yposteriormente eliminando los subındices de este automata(automata de posicion)


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Toda expresion regular linearizada denota un lenguajelocal (reconocido por un AF local estandar)Puede verse por induccion sobre la estructura de lasexpresiones regulares.

Casos base:

λ ∅

a

a


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Expresiones compuestas:Sean α y β expresiones regulares linearizadas, y seanA(α) = (Q1,Σ1, δ1, q1,F1) y A(β) = (Q2,Σ2, δ2, q2,F2),con Σ1 ∩ Σ2 = ∅, automatas locales que aceptan L(α) yL(β) respectivamente:

q1

a1

an

......

(α)

q2

b1

bm

......

(β)


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Union (α + β):

Q = (Q1 − {q1}) ∪ (Q2 − {q2}) ∪ {q0}, q0 /∈ Q1 ∪ Q2.δ = {(q, a, q′) ∈ δ1 ∪ δ2 : q /∈ {q1, q2}} ∪ {(q0, a, q) :(q1, a, q) ∈ δ1 ∨ (q2, a, q) ∈ δ2},

F =

{

F1 ∪ F2 si q1 /∈ F1 ∧ q2 /∈ F2

(F1 − {q1}) ∪ (F2 − {q2}) ∪ {q0} en otro caso.

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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Union (α + β):


F =

{

F1 ∪ F2 si q1 /∈ F1 ∧ q2 /∈ F2


q0

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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Union (α + β):


F =

{

F1 ∪ F2 si q1 /∈ F1 ∧ q2 /∈ F2


q0

......

......

a1

an

b1

bm


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Producto (α · β) (q2 6∈ F2):

Q = (Q1 ∪ Q2) − {q2}),δ = δ1 ∪ {(q, a, q′) ∈ δ2 : q 6= q2} ∪ {(q, a, q′) : q ∈F1 ∧ (q2, a, q

′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F2

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F2

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F2

q1

a1

an

......

......

b1

bmb1bm


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Producto (α · β) (q2 ∈ F2):


′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F1 ∪ (F2 − {q2})

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F1 ∪ (F2 − {q2})

q1

a1

an

......

q2

b1

bm

......


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′) ∈ δ2},q0 = q1

F = F1 ∪ (F2 − {q2})

q1

a1

an

......

......

b1

bmb1bm


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Clausura (α∗):

δ′ = δ ∪ {(q, a, q′) : q ∈ F ∧ (q0, a, q′) ∈ δ}

F = F1 ∪ {q1})

q1

a1

an

......


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Clausura (α∗):

δ′ = δ ∪ {(q, a, q′) : q ∈ F ∧ (q0, a, q′) ∈ δ}

F = F1 ∪ {q1})

q1

a1

an

......

an

a1

a1

an


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AFD para una expresion regular linearizada.

Ejemplo

Sea α = (a + b)(a∗ + ba∗ + b∗)∗. Entoncesα = (a1 + b2)(a

∗

3 + b4a∗

5 + b∗

6)∗

a1

b2

a1 + b2

a3

a3

a∗3

b4 a5

a5

b4a∗

5

b4 a5

a5a3

b6

a3

b6

a∗3 + b4a∗

5 + b6

b4a5

a5

a3

b6

a3

b6

(a∗3 + b4a∗

5 + b6)∗

a3

a3

a3

b4

b4

b4b4

b6

b6

b6


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Automata de posicion. Algoritmo

1: Entrada: α expresion regular sobre Σ2: Salida: AFD para L(α)3: Metodo:

4: Obtener α version linearizada de α5: Obtener A un Automata local estandar para α6: Apos = h(A), donde h es un homomorfismo de borrado de

los subındices.7: Return Apos

8: Fin Metodo


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Automata de posicion. Ejemplo

Dada α = (a + b)(a∗ + ba∗ + b∗)∗ y su version linearizadaα = (a1 + b2)(a

∗

3 + b4a∗

5 + b∗

6)∗, el automata local estandar

para α es:

a1

b2

a3

b4b6

a3 b4

b6

a3

b4

b6a3

b4

b6

a3

b4

a5

b6

a3

a5

b4

b6


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Automata de Posicion. Ejemplo

y el automata de posicion para α = (a + b)(a∗ + ba∗ + b∗)∗ es:

a

b

a

bb

a b

b

a

b

ba

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b


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Automata Follow

Relacion follow

Automata follow


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Automata Follow

El automata follow de una expresion regular α se proponecomo el automata cociente del automata de posicion porla siguiente relacion:

p ≡f q ⇔

{

p, q ∈ F o bien p, q ∈ Q − F

follow(p) = follow(q)

donde follow(p) = {q ∈ Q : ∃a ∈ Σ, δ(p, a) = q}

El automata cociente resultante es una reduccion parcialdel automata de posicion.


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Automata Follow

Recordamos el automata de posicion paraα = (a + b)(a∗ + ba∗ + b∗)∗:

q0

q1

q2

q3

q6

q4 q5

a

b

a

bb

a b

b

a

b

ba

b

b

a

b

a

b

a

a

b

b


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Automata Follow

Las clases de equivalencia son: {q0}, {q1, q2, q3, q6}, {q4, q5},con lo que el automata follow para α queda:

{q0} {q1, q2, q3, q6} {q4, q5}a, b

a, b a, b

b

a, b


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Sistemas de ecuaciones en expresiones regulares

Lema de Arden



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Sistemas de ecuaciones en expresiones regulares.

Lema de Arden

Ecuacion en expresiones regulares: Ecuacion lineal dondevariables y coeficientes toman la forma de expresionesregulares.

X = rX + s

Lema de Arden: Sea X = rX + s una ecuacion enexpresiones regulares. X = r∗s es una solucion para laecuacion. Es unica si λ 6∈ r

demostramos que r∗s es solucion:

rX + s =X=r∗s

rr∗s + s = (rr∗ + λ)s =rr∗+λ=r∗

r∗s

Si λ ∈ r existen infinitas soluciones: ∀t ⊆ Σ∗, r∗(s + t) essolucion:

X =rX + s = rr∗(s + t) + s = rr∗s + rr∗t + s =

=(rr∗ + λ)s + rr∗t =rr∗+λ=r∗

r∗s + r∗t =X=r∗(s+t)

X


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Sistemas de ecuaciones en expresiones regulares

Dado un sistema de ecuaciones en expresiones regulares:

X1 = r11X1 + r12X2+ . . . + r1nXn + s1X2 = r11X1 + r12X2+ . . . + r1nXn + s2

. . .Xn = r11X1 + r12X2+ . . . + r1nXn + s3

la resolucion viene tras aplicar el metodo de Gaussutilizando el Lemma de Arden para reducir.


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Analisis de AFs. Algoritmo

1: Entrada: Automata finito A = (Q,Σ, δ, q1,F ) conQ = {q1, q2, . . . , qn}

2: Salida: Expresion regular para L(A)3: Metodo:

4: Por cada estado qi introducir una variable Xi

5: Si qi ∈ F entonces en la parte derecha de la i -esimaecuacion aparece el termino λ

6: Si qj ∈ δ(qi , a) entonces en la parte derecha de la i -esimaecuacion aparece el termino aXj , con a ∈ Σ ∪ {λ}

7: Resolver el sistema de ecuaciones en expresiones regularesutilizando el Lema de Arden para reducir

8: Devolver la expresion regular asociada al estado inicial9: Fin Metodo


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