tema 3.2 mecánica del medio continuo: análisis de...

Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEMA 3.2Mecánica del medio continuo:

Análisis de deformaciones


3.2.1. Introducción

ESTUDIO DE LOS SÓLIDOS DEFORMABLES: efectos de las fuerzas aplicadas

1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto

MÉTODO DE TRABAJO:

2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto

ESTADO DE TENSIONES

SÓLIDO ELÁSTICO

ESTADO DE DEFORMACIONES



MODELO DEL MEDIO CONTINUO:

- materia distribuida de forma continua- no existen huecos, ni distancias intersticiales

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:

- MECÁNICA DEL SÓLIDO

- MECÁNICA DE FLUIDOS



VECTOR TENSIÓN:

AFt A ∆

∆= →∆

rr

0lim

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

στττστττσ

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

ttt

uTt rr⋅=



CONCEPTO DE DEFORMACIÓN:

DEFORMACIÓN: cambio de posiciones relativas de los puntos del cuerpo

debido al conjunto de fuerzas que actúan

A, B A´, B´

Deformación del segmento A - B:

⇒∆∆

=−

ru

ABABBA ´´

drdu

ru

r =∆∆

= →∆ 0limε

Deformación del entorno de un punto A en una dirección (B) específica



3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto

P y Q: puntos próximos de un sólido (pequeñas deformaciones)

⇒++== kdzjdyidxrdQPrrrrr

?´´´¿ rdQP rr=

)(´ PQrdrd δδrrrr

−+=



Corrimientos o desplazamientos de los puntos P y Q:

kwjviuPP P

rrrrr++== δ´

kwjviuQQ Q

rrrrr´´´´ ++== δ

Para pequeñas deformaciones:

dzzudy

yudx

xuuu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=´

dzzvdy

yvdx

xvvv

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=´

dzzwdy

ywdx

xwww

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=´



Escrito en forma matricial:

[ ] rdMdzdydx

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wvu

wvu

PQrrr

⋅+=⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛δδ

´´´

[ ] ⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

M [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]HDMMMMMTT

+=−

++

=22

[ ]H

[ ]D : MATRIZ SIMÉTRICA

: MATRIZ ANTISIMÉTRICA



Componente de las matrices y :[ ]H[ ]D

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

zw

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu

D

)(21)(

21

)(21)(

21

)(21)(

21

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=

0)(21)(

21

)(210)(

21

)(21)(

210

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

H



Por tanto:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] rdHrdD

rdHrdDrdM

PQ

PPQrrrr

rrrrrr

⋅+⋅=−⇒

⇒⋅+⋅+=⋅+=

δδ

δδδ

)(´ PQrdrd δδrrrr

−+=

⇒

[ ] [ ] rdHrdDrdrd rrrr⋅+⋅+=´

[ ]H : representa un giro infinitesimal

[ ]D : matriz de deformación, aplicada a produce un cambio de módulo y dirección

rdr



Matriz antisimétrica :[ ]H

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=⋅dzdydx

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

rdH

0)(21)(

21

)(210)(

21

)(21)(

210

r

⇓⇓

[ ] rdrot

dzdydxyu

xv

xw

zu

zv

yw

kji

rdH Prr

rrr

r×=

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=⋅ )(21

21 δ



Matriz antisimétrica :[ ]H

[ ] rdrotrdH Prrr

×=⋅ )(21 δ

wvuzyx

kji

rot P ∂∂

∂∂

∂∂

=

rrr

rδ

⇓ROTACIÓN DE UN SÓLIDO RÍGIDO:

rdvPrrr

×=ω

[ ] rdH r⋅ : giro del entorno del punto como un sólido rígido




1. Traslación definida por :

2. Giro determinado por :

3. Deformación definida por :

Pδr

1´QPQPrr

⇒

[ ]H 21 ´´ QPQPrr

⇒

[ ]D ´´´ 2 QPQPrr

⇒

DEFORMACIÓN: tensor pequeñas deformaciones[ ]⇒D



3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones

Si hacemos:

xu

x ∂∂

=ε

yv

y ∂∂

=ε

zw

z ∂∂

=ε

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

xw

zu

xz ∂∂

+∂∂

=γ

yw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

zw

zv

yw

zu

xw

yw

zv

yv

yu

xv

xw

zu

xv

yu

xu

D

)(21)(

21

)(21)(

21

)(21)(

21

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

D

εγγ

γεγ

γγε

21

21

21

21

21

21

Significado de las componentes...



Significado de las componentes de :[ ]D

- traslación de componentes u, v, w: P→P´- rotación alrededor de un eje que pasa por el punto P´- matriz de deformaciones




DEFORMACIONES LINEALES unitarias en dirección de ejes coordenados:

),´( vuP ´´A´dx

Según el eje X:

xu

dx

dxdxxudx

dxdxdx

PAPAAP

x ∂∂

=−

∂∂

+=

−=

−=

)(´´´)´(ε

),(´ vuP →

),(´´ vdxxuuA∂∂

+→

)0,(dxA→



xu

x ∂∂

=εAlargamiento unitario según el eje X:

yv

y ∂∂

=εAlargamiento unitario según el eje Y:

zw

z ∂∂

=εAlargamiento unitario según el eje Z:

Se consideran positivas si originan alargamientos de las aristas



?21

21¿ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=xv

yu

xyγ


[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

D

εγγ

γεγ

γγε

21

21

21

21

21

21

xv

dx

dxxv

tg∂∂

=∂∂

==αα

yv

dy

dyyu

tg∂∂

=∂∂

== ββ

βαγ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⇒xv

yu

xy



[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

D

εγγ

γεγ

γγε

21

21

21

21

21

21


⇒xyγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a X e Y

⇒xzγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a X y Z

⇒yzγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a Y y Z

- Si γ > 0: el ángulo inicialmente recto disminuye

- Si γ < 0: el ángulo inicialmente recto aumenta



3.2.4. Deformación unitaria en cualquier dirección


DEFORMACIÓN UNITARIA:

[ ] [ ] uDrdrdD rr

rr

⋅=⋅=ε

ESTADO DE DEFORMACIÓN : conocido en todos sus puntos el tensor de deformación [ ]D



COMPONENTES INTRÍNSECAS:

unrr

•= εε

2nγ

222 )2

( nn

γεε +=

Deformación longitudinal:

εr

Deformación transversal:



3.2.5. Deformaciones y direcciones principales

[ ]D en cada punto O tensor simétrico:

- ejes principales: diagonal- deformaciones principales reales

a) AUTOVALORES: DEFORMACIONES PRINCIPALES

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

000000

21

21

21

21

21

21

εε

ε

εγγ

γεγ

γγε

zyzxz

yzyxy

xzxyx

D



0

21

21

21

21

21

21

=

−

−

−

εεγγ

γεεγ

γγεε

zyzxz

yzyxy

xzxyx

0322

13 =+−+−⇒ III εεε

b) AUTOVECTORES: DIRECCIONES PRINCIPALES

0)( =⋅−⇒⋅=⋅ iiiii uIDuuD rrr εε 3,2,1=i

021

21)( =++− ixzixyix γγβγαεε

021)(

21

=+−+ iyziyixy γγβεεαγ

0)(21

21

=−++ iziyzixz γεεβγαγ

321 ,, uuu rrr

),,( iiiiu γβαr



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

γβα

εε

ε

3

2

1

000000

zyx

αε1=x

123

2

22

2

21

2

=++εεεzyx

1222 =++ γβαβε 2=y

γε3=z

⇒

ELIPSOIDE DE DEFORMACIONES: lugar geométrico de los extremos de los vectores deformación



INVARIANTES DE :

322

13)det( IIIID +−+−=− εεεε

[ ]D

a) INVARIANTE LINEAL O TRAZA:

3211 εεεεεε ++=+++= zyxI

Sistema de referencia: ejes principales

⇒= dxdydzdV ´´´´ dzdydxdV =

DILATACIÓN CÚBICA UNITARIA:

dxdydzdxdydzzydxdd

dVdVdVe −

=−

=´´´´

0

21

21

21

21

21

21

=

−

−

−

εεγγ

γεεγ

γγεε

zyzxz

yzyxy

xzxyx



dxdydzdxdydzzydxdd

dVdVdVe −

=−

=´´´´

dxxddx

dxxd )1(´´11 εε +=⇒

−=

dyyddy

dyyd )1(´´22 εε +=⇒

−=

dzzddz

dzzd )1(´´33 εε +=⇒

−=

⇒

( )( )( )[ ]dxdydz

dxdydzdxdydz

dxdydzzydxdde 1111´´´ 321 −+++=

−=

εεε

zyxe εεεεεε ++=++≈ 321



b) INVARIANTE CUADRÁTICO:

c) INVARIANTE CÚBICO:

211332222

2 41

41

41 εεεεεεγγγεεεεεε ++=−−−++= xyzxyzyxxzzyI

321

3

2

1

3

000000

22

22

22

εεεε

εε

εγγ

γε

γ

γγε

===

zyzzx

yzy

xy

zxxyx

I



APÉNDICE 1. Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación

ESTADO TENSIONAL ESTADO DE DEFORMACIÓN

- Matriz de tensiones:

[ ]T321 ,, σσσ

321 ,, uuu rrr

- Vector tensión: uTt rr⋅=

222 τσ +=t

- Matriz de deformaciones:

[ ]D 321 ,, εεε

321 ,, uuu rrr

- Vector deformación: uD rr⋅=ε

222 )2

( nn

γεε +=

Apéndice 1. Ley de dualidad entre los estados....


APÉNDICE 1. Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación

EQUIVALENCIA ENTRE AMBOS ESTADOS:

εrr

→t

[ ] [ ]DT →

321321 ,,,, εεεσσσ →

nεσ →

2nγτ →

Apéndice 1. Ley de dualidad entre los estados....

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