tema 3: variables aleatorias bidimensionales
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Variables aleatorias bidimensionales
Estadística II
Universidad de Salamanca
Curso 2011/2012
Variables aleatorias bidimensionales
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
Variables aleatorias bidimensionales
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Variable aleatoria bidimensional
DefiniciónSean X e Y variables aleatorias. Una variable aleatoriabidimensional (X ,Y ) es una asignación numérica en R2:
(X ,Y ) : E −→ R2
ei −→ (X (ei),Y (ei)) ∈ R2
TiposVariables aleatorias bidimensionales discretasVariables aleatorias bidimensionales continuas
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Variable aleatoria discreta
DefinitionSon aquellas variables aleatorias que sólo pueden tomar unnúmero de valores finito o infinito numerable
(X ,Y ) : E −→ N2
ei −→ (X (ei),Y (ei)) ∈ N2
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Variable aleatoria bidimensional discreta
NotaLas variables aleatorias bidimensionales discretas estáncaracterizadas por la función de probabilidad conjunta yla función de distribuciónAdemás en este caso existen distribuciones marginalesde las variables y distribuciones condicionadas
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de probabilidad conjunta
Definición
f : N2 −→ [0,1](xi , yj) −→ f (xi , yj) = P(X = xi ,Y = yj)
i = 1, . . . ,nj = 1, . . . ,m
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de probabilidad conjunta
Propiedades
0 ≤ f (X ,Y ) = P [(X ,Y )] = P(X = xi ,Y = yj
)≤ 1
f (X ,Y ) = P [(X ,Y ) ∈ B] =∑
(xi ,yj )P(X = xi ,Y = yj
)∑
i=1 n∑m
j=1 P[x = xi ,Y = yj ] = 1
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de probabilidad marginal
DefiniciónMarginal de X :
P[X = xi ] =∞∑
j=1
P[X = xi ,Y = yj ]
Marginal de Y :
P[Y = yj ] =∞∑
i=1
P[X = xi ,Y = yj ]
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de probabilidad condicionada
DefiniciónDe X condicionada por Y = yj :
P[X = x/Y = yj ] =P[X = x ,Y = yj ]
P[Y = yj ]
De Y condicionada por X = xi :
P[Y = y/X = xi ] =P[X = xi ,Y = y ]
P[X = xi ]
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de distribución
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad, (X ,Y ) unavariable aleatoria bidimensional discreta y f (X ,Y ) su funciónde probabilidad conjunta. Se llama función de distribución(acumulativa) de la variable aleatoria discreta (X ,Y ),F(X ,Y )(x , y):
F : R2 −→ R
(xi , yj) −→ F (xi , yj) = P(X ≤ xi ,Y ≤ yj)
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de distribución conjunta
Propiedades
0 ≤ F (x , y) ≤ 1F es monótona creciente en cada variablelimx→−∞F (x , y) = 0 para todo ylimy→−∞F (x , y) = 0 para todo xlimx ,y→∞F (x , y) = 1 para todo x , ylimx→∞F (x , y) = FY (y)Función de distribución marginal de Ylimy→∞F (x , y) = FX (x)Función de distribución marginal de X
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
Función de distribución conjunta
PropiedadesF es continua por la derecha en cada variablea < b, c < d :P[a < X ≤ b, c < Y ≤ d ] =F (b,d)− F (b, c)− F (a,d) + F (a, c)
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Variable aleatoria continua
DefinitionSea (X ,Y ) una variable aleatoria bidimensional con FX ,Y (x , y)su función de distribución, decimos que es una v.a.b. continuasi sólo si:
F es continua en cada variableExiste dF (x ,y)
dx , dF (x ,y)dy y d2F (x ,y)
dxdy y son continuas∫∞−∞
∫∞−∞
d2F (x ,y)dxdy = 1
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Función de densidad conjunta
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad y (X ,Y ) unav.a.b.c. Se llama función de densidad, f (X ,Y ):
f : R2 −→ R
(xi , yj) −→ f (xi , yj) =d2F (x , y)
dxdy
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Función de densidad conjunta
Propiedadesa < b, c < d :
P[a < X ≤ b, c < Y ≤ d ] =∫ b
a
∫ d
cfXY (x , y)dydx
P[(X ,Y ) ∈ B] =∫∫
B fXY (x , y)dydx
fXY (x , y) es función de densidad de una v.a.b.c. si y sólosi:
1 fXY (x , y) ≥ 0
2∫∞−∞
∫∞−∞ fXY (x , y)dydx = 1
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Funciones de densidad marginales
Definición
fX (x) =∫∞−∞ fXY (x , y)dy siendo X continua
fY (y) =∫∞−∞ fXY (x , y)dx siendo Y continua
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Función de densidad condicionada
DefiniciónDe X condicionada por Y = y :
f [X/Y = y ](x) =fXY (x , y)
fY (y)
De Y condicionada por X = x :
f [Y/X = x ](y) =fXY (x , y)
fX (x)
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Outline
1 Variable aleatoria bidimensional
2 Variable aleatoria bidimensional discretaFunción de probabilidad conjuntaFunción de probabilidad marginalFunción de probabilidad condicionadaFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función dedensidad
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Variable aleatoria bidimensionalVariable aleatoria bidimensional discreta
Variable aleatoria continua
Función de densidad conjuntaFunciones de densidad marginalesFunción de densidad condicionadaRelación entre función de distribución y función de densidad
Relación entre función de distribución y función dedensidad
Relación entre FXY (x , y) y fXY (x , y)
fXY (x , y) =d2F (x ,y)
dxdy
FX ,Y (x , y) = P[X ≤ x ,Y ≤ y ] =∫ x−∞
∫ y−∞ fXY (x , y)dy
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