tema 3 - oscilaciones pequenas~ · tema 3 - oscilaciones pequenas~ universidad de sevilla -...

Mecanica teorica

Tema 3 - Oscilaciones pequenas

Universidad de Sevilla - Facultad de Fısica

[email protected]

28 de octubre de 2019

Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 1 / 42

1.- Molecula triatomica lineal

Experimentalmente podemosestar interesados en laradiacion que resulta de losmodos de oscilacionintrınsecos de esta moleculatriatomica.

Introducimos coordenadasgeneralizadas respecto a susposiciones de equilibrio,x10, x20, x30

ηj = xj − xj0, j = 1, 2, 3

x02 − x01 = x03 − x02 = b

Figura: Molecula de CO2


Molecula triatomica lineal

La energıa potencial de losdos muelles es



Desarrollamos la energıapotencial alrededor de laposicion de equilibrio yreagrupamos terminos



Como matriz, esta formacuadratica tiene la forma



Realizando las derivadasy evaluando en xj = xj0



Evaluamos la energıacinetica para las tresmasas

Sustituimos lascoordenadasgeneralizadas

Obtenemos como matrizla forma cuadratica



Combinamos estas dosformas cuadraticas en laecuacion caracterıstica

Evaluamos eldeterminante

Obtenemos la ecuacionde las frecuencias propias



Hay tres solucionesdistintas(autofrecuencias)



Ahora, encontramos losautovectores para cadaautovalor usando:

Modo normal #1: r=1



Modo normal #1: r=1

Resolviendo las ecs. 1 y 3,tenemos a21 = a31 y a1 = a21

Poniendo todo junto:a11 = a21 = a31

Notar que esa solucion satisfacetambien la ec. 2

El autovector para ω1 = 0 es:



Modo normal #1: r=1

Es necesario normalizarel autovector conrespecto a la matriz T

Obtenemos:

Finalmente, elautovector normalizadopara ω1 = 0 es:



Modo normal #2: r=2



Modo normal #2: r=2

Normalizamos con lamatriz de energıacinetica T

Nos queda



Modo normal #3: r=3

Primero, simplificamoslos elementos de lamatriz



Modo normal #3: r=3

Volvemos a escribir laecuacion matricial



Modo normal #3: r=3

Normalizamos conrespecto a la energıacinetica T



Modo normal #3: r=3

El autovectornormalizado es



La solucion general estadada por...

Los coeficientescomplejos Cr sedeterminan con lascondiciones iniciales(ejercicio)



Si un unico modonormal ζr esta activo,el movimiento de lastres coordenadasgeneralizadas ηjtendran la formarepresentada


2.- Molecula triatomica lineal tipo CO2


Molecula triatomica lineal tipo CO2



Cambiamos ahora la notacion: P pasa a A, q pasa a η y η pasa a ζ


3.- Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (1)


Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (2)


Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadasMolecula triatomica


Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (1)


Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (5)Oscilador amortiguado


tema 3 - oscilaciones pequenas~ · tema 3 - oscilaciones pequenas~ universidad de sevilla -...

Documents