Tema3.Dinmicadefluidos.

Descripcindelestadodinmicodeunfluido.

Conservacindelamasa:Teoremadecontinuidad.

Conservacindelaenerga:TeoremadeBernouilli.

AplicacionesdelteoremadeBernouilli.

Viscosidad.

Rgimenlaminaryrgimenturbulento.

NmerodeReynolds.

Movimientodeslidosenelinteriordeunfluido.Sedimentacin

LeydePoiseuille.Perdidadecarga.Aplicaciones

Hasta ahora hemos considerado fluidos estticos, pero a menudo nos encontramos con

fluidos que se estn moviendo (los vientos transportan el aire de un lado a otro de la

superficie de la Tierra, los ros y las corrientes ocenicas transportan volmenes de agua,

etc).

Para trabajar en el estado dinmico de un fluido y para entender el movimiento o flujo de

un fluido vamos a suponer en principio un fluido ideal con las siguientes caractersticas:

Fluido incompresible (buena aproximacin lquidos modulo compresibilidad grande)

Fluido estacionario (campo de velocidades no depende del tiempo)

Fluido no viscoso (no rozamiento)

En un rgimen estacionario la velocidad de todas las partculas que pasan por un punto

determinado del fluido es siempre la misma, aunque puede ser diferente de un punto a

otro.

Los fluidos estacionarios se estudian a partir de las lneas de corriente.

Descripcindelestadodinmicodeunfluido

lneas de corriente.

Estas se definen como las tangentes a los vectores velocidad en cualquier punto

del fluido

Descripcindelestadodinmicodeunfluido

En un rgimen estacionario dos lneas de

corriente no pueden cortarse, ya que si lo

hicieran, en el punto de corte el fluido tendra

dos velocidades distintas posibles, lo que

estara en contradiccin con su condicin de

estacionario

Permiten una representacin grfica de los

fluidos a partir de los tubos de corriente, que

son conducciones imaginarias cuyas paredes

estn constituidas por un conjunto de lneas

de corriente

TIPOSDEREGIMENES

Laminar:Laslneasdecorrientenoseentrecruzan(estacionario)Turbulento:Laslneasdecorrienteseentrecruzadandolugarturbulencias

Noviscoso:Seprescindedelafriccinentremolculas.(esunrgimenideal)

Viscoso:Eselcasorealenelquesetieneencuentaelrozamientoviscoso.(es

elcasoreal)

DescripcindelestadodinmicodeunfluidoLos tipos de rgimen (movimiento) de los fluidos se caracterizan por el rozamiento

(viscosidad) y la velocidad. Podemos distinguir tres tipos de rgimen:

Estacionario

Noviscoso

REGIMEN DEBERNOULLI

(REGIMENIDEAL)

Estacionario

Laminar

Viscoso

REGIMENDEPOISEULLE

(REGIMENREAL)

Turbulento

Viscoso

REGIMENDEVENTURI

(REGIMENREAL)

Formacin de remolinos.lneas de corriente seentrecruzan

Elestudiodelflujodelosfluidosidealesserealizaapartirdedosteoremasfundamentales,el

teoremadecontinuidadyelteoremadeBernoulli, basadosenlosprincipiosdeconservacin

delamasaydeconservacindelaenergamecnica,respectivamente.

Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad

Sea un tubo de corriente en el interior de un

fluido estacionario.

Consideremos dos superficies normales a las

lneas de corriente, SA y SB. La velocidad es la

misma en todos los puntos de la superficie, vAen SA y vB en SB.

Laecuacindecontinuidadestablecequeenelinteriordeltubodecorriente

nosepierdeniseganamasa (todalamasaqueentraporSA saleporSB).

A B

dm dmdt dt

m=V

A B

dVol dVoldt dt

(A=B= =cte):

Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad

Laecuacindecontinuidadestablecequeenelinteriordeltubodecorrientenosepierde

niseganamasa (todalamasaqueentraporSA saleporSB).

A B

dm dmdt dt

m=V

A B

dVol dVoldt dt

(A=B= =cte):

Alcabodeuntiempodt tenemosquelassuperficiessehandesplazadoundL:dV =d(SL)=SdL

A BA B

dL dLS Sdt dt

SAvA =SBvB Sv=cte

Que se conoce como ecuacin de continuidad, que indica que en un tubo decorriente, el producto de la seccin por la velocidad permanece constante .

Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad

Unamagnituddeusocomnenladinmicadefluidoseselgasto,quesedefinecomola

cantidaddefluidoquepasaatravsdeunaseccin,normalalaconduccin,enlaunidadde

tiempo.

Estacantidadpuedeexpresarseentrminosdemasaydevolumen

cbicodVol dLG (volumen) S Svdt dt

msico cbicodm dVol dLG (masa) S Sv Gdt dt dt

laecuacindecontinuidad,sepuedeexpresardiciendoqueelgastoenunaconduccin,

porlaquecirculaunfluidoestacionarioyhomogneo,esconstante.

Conservacindelamasa.Teoremadecontinuidad

El caudal de un ro es 10 m3/s. Calcula la velocidad del agua en dos puntos de

secciones 500 y 2000 cm2. Calcula el gasto msico.

msico cbicodm dVol dLG (masa) S Sv Gdt dt dt

cbicoG Sv

1 1 1G S v2 2 2G S v

4110 500 10 v

4

210 2000 10 v

21 2

10v 2 10 m / s5 10

1

1 110v 5 10 m / s

2 10

4 3 3 4msicoG (masa) 1000 10 10 kg / m (m / s) 10 kg / s

Conservacindelaenerga.TeoremadeBernouilliComo =cte y todas las molculas del mismo son idnticas, en su movimiento por el tubo decorriente podemos suponer que todo ocurre como si nicamente se desplazara, sin rozamiento,

la parte rayada inferior a la zona rayada superior.

Elprincipiodeconservacindelaenergamecnicaindicaque:Eltrabajorealizadosobreel

sistema+laenergapotencial+laenergacintica=constante.

1 1 P1 C1 2 2 P2 C2F L E E F L E E 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 21 1p S L mgh mv p S L mgh mv2 2

2 21 1 1 2 2 2

1 1p V V gh V v p V V gh V v2 2

2 21 1 1 2 2 21 1p gh v p gh v2 2

m=V

Endondepeslapresinhidrosttica,gh esuntrminodepresindebidaalaalturayesuntrminodepresindebidaalavelocidad

Conservacindelaenerga.TeoremadeBernouilli

2 21 1 1 2 2 2

1 1p gh v p gh v2 2

21 v2

La expresin anterior es la forma matemtica del teorema de Bernouilli, que se enuncia como:

En todos los puntos de un tubo de corriente de un fluido ideal, la suma de la presin

hidrosttica, la presin debida a la altura y la presin debida a la velocidad es constante .

AplicacionesdelteoremadeBernouilli: EfectoVenturi

Cuandounfluidoaumentasuvelocidadsinvariardenivel,supresinhidrostticadisminuye

Seaunaconduccinhorizontalprovistadeunestrechamientoporlaquecirculaunfluidode

Bernouilli.Aplicolaecuacin:

2 21 1 1 2 2 2

1 1P gh v P gh v2 2

2 21 1 2 2

1 1P v P v2 2

Comolaconduccineshorizontal(h1 =h2):

2 21 2 2 1

1P P (v v )2

Despejandolaspresiones

Adems:S1v1 =S2v2 S1> S2v1 0P1>P2

Supongamos un fluido de Bernouilli contenido en un

recipiente que tiene en una de sus paredes un

orificio (de rea mucho menor que la superficie libre

del fluido), situado a una profundidad h bajo el nivel

de dicha superficie libre. El teorema de Torricelli

proporciona la velocidad de salida del fluido por

dicho orificio.

AplicacionesdelteoremadeBernouilli: TeoremaTorricelli

2 2A A A B B B

1 1P gh v P gh v2 2

PA=PB=P0 2 2A A B B

1 1gh v gh v2 2

2 2B A A B1 v v g h h gh2 Delaecuacindecontinuidad:SAvA =SBvB SA>>SB yvA

Unlquidoidealdedensidad08circulaporlaconduccindelafigura.Calculalavelocidadencadatramoyelgasto.

P1 +gh1 +v12 =P2 +gh2 +v22P1 +v12 =P2 +v22P1 =gz1 +Patm ;P2 =gz2 +Patm

gz1 +v12 =gz2 +v22 S1v1 =S2v2 ;30102v1 =15102 v2 ;v2=2v1

gz1 +v12 =gz2 +4v12 3/2v12 =g(z1 z2)

3/2800v12 =8009.8(0.22 0.16)

v1 =0.626m/s;v2 =1.25m/s

G=Sv=30104 0.626=1.878103 m3/s

Viscosidad

En los fluidos ideales se admite que las nicas fuerzas que existen son las debidas al campo

gravitatorio y a la presin. Esto significa que las nicas fuerzas que actan sobre la

superficie dS de un elemento diferencial de volumen del fluido (al margen de las del campo

gravitatorio) son normales a dicha superficie (fuerzas de presin).

Este es tambin el caso de un fluido real en reposo, por lo que la ecuacin fundamental de

la esttica de fluidos tambin es vlida para ellos. Ahora bien, cuando un fluido real se

encuentra en movimiento aparecen fuerzas tangenciales que se oponen al desplazamiento

relativo de unas molculas del fluido sobre otras. Estas fuerzas de rozamiento en el interior

de los fluidos reciben el nombre de fuerzas de viscosidad (o viscosas).

Veamos como podemos cuantificar estas fuerzas de viscosidad.

ViscosidadConsideremos un fluido contenido entre dos placas planas y paralelas, por ejemplo de vidrio.

Supongamos que el sistema est inicialmente en reposo, y que al aplicar una fuerza tangencial

la placa superior se pone en movimiento en la direccin del eje OX, con una velocidad

constante v. Es preciso realizar esta fuerza para deslizar la placa porque el fluido prximo a ella

ejerce una fuerza de friccin que se opone al movimiento.

F

Newton demostr que el mdulo de la fuerza (por unidad

de superficie tangencial sobre la que acta) que una capa

ejerce sobre la contigua es funcin del gradiente de la

velocidad en la direccin perpendicular a la del

movimiento del fluido

F dvS dy Navier F dv

S dy leydeNewtonyfluidosNewtonianos

recibe el nombre de viscosidad, y su inversa, , el de fluidez, y es caracterstica de cadafluido a una T y P dadas. En el Sistema Internacional (S.I.) la unidad de viscosidad es el

Pascal.segundo (Pa.s) aunque es habitual utilizar como unidad el poise = 101 Pa.s.

1

ViscosidadLaviscosidadsiempredependedelatemperaturaydelapresin.Ladependenciade conelaumentodelatemperaturaesinversaenloslquidosyenlosgases,aumentandoenestosy

disminuyendoenaquellosEsto ocurre porque al aumentar la temperatura, las

fuerzas de cohesin existentes en el estado lquido

disminuyen (si T aumenta lo suficiente pueden pasar a

estado gaseoso), por lo que disminuye la interaccin

entre las capas del fluido, y la viscosidad se hace

menor. En un gas, al aumentar la temperatura aumenta

la energa cintica de las molculas, con lo que

aumenta la probabilidad de los choques entre ellas, y

por tanto aumenta la viscosidad.

En cuanto a la presin, al aumentar sta siempre aumenta la viscosidad, tanto en lquidos

como en gases, ya que un aumento de P siempre dificulta el movimiento de las molculas del

fluido.

Rgimenlaminaryrgimenturbulento.NmerodeReynoldsElqueunfluidocirculeenrgimenlaminaroenrgimenturbulentodependede:

Fluido (densidad , viscosidad ) Conduccin (radio R) Movimiento del fluido en la conduccin (velocidad v)

Sedefineunamagnitudadimensional conocidacomonmerodeReynolds:R

2 RvN R

vN/ 2 R

0v 2 R

Velocidadcaracterstica

R0

vNv

R 0v N v

Secompruebaexperimentalmenteque:

v3000)Rgimenturbulento

Cuando ms elevada sea la velocidad caracterstica del fluido, a mayor velocidad puede circularpor la conduccin manteniendo el rgimen laminar. Ahora bien, recordando la expresin de lavelocidad caracterstica, para un fluido determinado (de y dadas) podremos tener un valorrelativamente alto de esta magnitud con un radio de conduccin elevado si la viscosidad delfluido es alta. Mientras que si la viscosidad del fluido es muy baja, el radio de la conduccinnecesariamente deber ser muy pequeo, para que circule en rgimen laminar. Esta es la razndel gran tamao de los oleoductos (empleados para transportar petrleo, de alta viscosidad), ydel empleo de cortachorros (tela metalica en duchas y fregaderos) que divide el chorro enpequeos hilos de agua para pasar a regimen laminar (agua, viscosidad muy baja)

Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.SedimentacinCuando un slido se mueve en el interior de un fluido aparecen fuerzas de interaccin mutuas

que se superponen a las aplicadas directamente sobre el slido, de forma que el movimiento del

cuerpo es distinto al que tendra en el vaco. La resultante de estas fuerzas siempre es

perpendicular a la superficie del slido

Esta fuerza ,resultante de la interaccin, se suele

descomponer en dos componentes, R , en la direccin

de v, que se llama fuerza de Resistencia al avance, y , S

perpendicular a v, que se llama fuerza de Sustentacin.

F

En cuanto a la fuerza se puede comprobar experimentalmente que si el rgimen es claramente

laminar (NR

El estudio del movimiento de los slidos en el interior de un fluido es muy complejo y depende

Rgimen del fluido Forma del slido (perfil de forma o perfil aerodinmico)

Caso particular: movimiento de un slido en un lquido, causado nicamente por las fuerzas del

campo gravitatorio (slido ms denso que el fluido) Sedimentacin.

Sea un lquido en reposo ( y L,) y coloquemos en su seno un slido de densidad S > L

Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.Sedimentacin

Ecuacindelmovimientodelslido: F ma P F E=maPeso del cuerpo: P = mSg = SVgFuerza de resistencia: F = kv

Empuje: E = mLg = LVgSVg LVg kv =ma

P y E = constantes, F aumenta con el tiempo (al depender de v, que es acelerada), con lo que

llega un instante en que la suma de F y E pueden anular a P, y la aceleracin se hace cero. A

partir de este instante v permanece constante, y el cuerpo sigue cayendo con dicha velocidad

constante, que recibe el nombre de velocidad lmite (vL) en general, o velocidad de

sedimentacin (vS) para el caso particular que nos ocupa.

Movimientodeunslidoenelinteriordeunfluido.Sedimentacin

Velocidadlmite(vL)ovelocidaddesedimentacin(vS):

s L SVg Vg kv 0 s L SVg Vg kv s LS Vg( )v k

que es un valor constante para el slido estudiado en ese fluido en concreto. La dificultad en su

determinacin estriba en determinar el valor de k.

Paraslidosesfricosmuypequeos(r

LEYDEPOISEUILLEConsideremos un rgimen laminar viscoso (Rgimen de Poiseulle), en una conduccinhorizontal como la de la Figura, de radio R y longitud L

F1 =P1 S;F2 =P2 SFR =(P1 P2)SPS

LeydePoiseulleL8PRG

4

m

4

vSL8PRG

L8PRv

2

m

En la figura se muestra la velocidad del fluido, debido al rozamiento entre las paredesinternas y el fluido la velocidad es menor junto a las paredes y aumenta hacia el centro delfluido, aunque tambin se ve ralentizado debido al fluido adyacente. Por tanto la velocidades mayor en el centro. La viscosidad consume energa haciendo que la presin disminuyaa medida que el flujo progresa.

MEDIDADEVISCOSIDADES:ViscosmetrodeOstwald

4Volumen R PG svt 8 L

tLV8

PR4gzP

tLV8gzR4

tk

LV8gzRk

4

tkaaa tk

aaa tt

Consideramos el tiempo de cadadel lquido entre las marcas 1 y 2

z

PRDIDADECARGA

4R8G

LP

L8PR

tVG

4