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Tema 3

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

Fundamentos de FísicaFacultad de Ciencias del Mar.

Fundamentos de Física. FCM.

Tema 2. Dinámica de la partícula

Introducción2.1.

Dinámica. Parte de la Física encargada de estudiar el movimiento de un cuerpo analizando los factores que lo originan.Problema fundamental de la dinámica: Conocidas las causas que determinan el movimiento, encontrar el vector de posición y la velocidad.

Aproximación de punto material o partícula. Todo cuerpo es considerado como un punto geométrico al que se le asocia una cierta masa.

Medio. Dada una partícula, se define su medio como el resto de partículas del universo.

Interacción. Influencia que ejerce el medio sobre la partícula.

Partícula libre. Aquélla que no está sujeta a ningún tipo de interacción con el medio.



Leyes de la Mecánica2.2.

Primera ley de Newton o ley de inercia. Toda partícula libre se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme con respecto a ciertos sistemas de referencia, denominados sistemas de referencia inerciales (SRI).

Sistema de referencia inercial (SRI). El movimiento de la partícula se estudia respecto a observador que es asimismo una partícula libre. Éste observador se denomina observador inercial y el sistema de referencia utilizado por él recibe el nombre de sistema de referencia inercial.

Inercia. Tendencia natural que tienen las partículas de mantener invariable su estado de movimiento.

Sistema de referencia no inercial (SRNI). Aquél que posee respecto a un SRI un movimiento diferente al de traslación uniforme.




Momento lineal.De una partícula.

mυr

υrr mp = [ ] 1−= MLtp

Enunciado alternativo de la ley de inercia. Toda partícula libre se mueve con momento lineal constante respecto a un SRI.

De un sistema de partículas.

1m

1υr

5m5υr

6m6υr

2m

2υr

Nm

Nυr

3m3υr

4m4υr

im

iυr

NNN

N

ii mmmppppp υυυ rrrrrrrr +++=+++==∑

=

...... 2211211




Principio de conservación del momento lineal.

Sistema aislado. Se dice que un sistema de partículas está aislado cuando las únicas interacciones posibles ocurren entre las propias partículas del sistema, no existiendo influencia alguna del medio.

Principio de conservación del momento lineal. El momento lineal de un sistema de partículas aislado permanece constante.

cte=+++==∑=

N

N

ii ppppp rrrrr ...21

1

También puede expresarse como:

0...211

rrrrrr =∆++∆+∆=∆=∆ ∑=

N

N

ii ppppp




Principio de conservación del momento lineal.

1m

5m

6m

2m

Nm3m

4m

im

• Nos centramos en la partícula 1

• Resto de partículas medio

0...211

rrrrrr =∆++∆+∆=∆=∆ ∑=

N

N

ii ppppp

( )N

N

ii ppppp rrrrr ∆++∆+∆−=∆−=∆ ∑

=

...322

1

Variación del momento de una partícula

Variación del momento de las partículas del medio

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

dtpd

dtpd

dtpd

dtpd N

rrrr...321Dividiendo entre t∆ y luego : 0→∆t

dtpdF 1

1

rr= , fuerza que ejerce el medio sobre la partícula


Se define:



Segunda ley de Newton.

dtpdFrr

= La fuerza que siente una partícula representa la interacción de la partícula con su medio.

[ ] 2−= MLtF Unidad en el SI: 2smkgN Newton, −⋅⋅=

Si ctem =amF rr

=

( )dtdm

dtmd

dtpdF υυ rrrr

===

Fr

ConocidaamF rr

= Determinación del movimiento de la partícula




Segunda ley de Newton.

Para la determinación del movimiento asumiremos:

a) Principio de superposición

1m

5m

6m

2m

3m

4m

im

Nm

14Fr

16Fr

iF1

r

nFFFF 113121 ...rrrr

+++=

ijFij partícula la sobre ejerce partícula la que fuerza :r

b) Conocidas las fuerzas iF1

r




Tercera ley de Newton o Principio de acción y reacción.

1m

2m

Cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre una partícula es de la misma magnitud y sentido opuesto a la fuerza sobre la otra.

21Fr

12Fr

2112 FFrr

−=

Ejemplo:

mesa la sobre bloque elpor ejercida fuerza :

bloque el sobre mesa lapor ejercida fuerza :Tierra la sobre bloque elpor ejercida fuerza :'

bloqueelsobreejerceTierralaquefuerza peso, :

'n

n

FFww

r

r

r

r



Fuerzas fundamentales de la naturaleza2.3.

Interacción gravitatoria.• Primera interacción estudiada en detalle.• Depende de la masa de los objetos. • Siempre atractiva.• Largo alcance.• Responsable de la evolución del Universo.

Interacción electromagnética.• Aparece en objetos magnetizados o con carga eléctrica.• Largo alcance.• Responsable de la interacción entre los átomos de una molécula o entre los electrones y el núcleo de un átomo.• Permite describir la radiación electromagnética.

Interacción nuclear fuerte.• Responsable de la estabilidad del núcleo atómico. Mantiene sus constituyentes unidos, venciendo la fuerte repulsión electrostática entre protones. • Corto alcance (<10-15 m).

Interacción nuclear débil.• Responsable de las desintegraciones β de núcleos radiactivos y de todos los procesos entre partículas elementales donde intervienen neutrinos.• Corto alcance (<10-17 m).• Nuclear débil+electromagnética ⇒ electrodébil.

Interacción Intensidadrelativa Alcance (m)

Nuclear fuerte 1 10-15

Electromagnética 10-2 ∞

Nuclear débil 10-12 <10-17

Gravitatoria 10-40 ∞



Fuerzas fenomenológicas2.4.

Fuerzas de rozamiento.

P

S

Rr

'Rr

RFr

Nr Interacción electromagnética entre los átomos de las

capas superficiales del cuerpo y la superficie sólida.

Manifestación macroscópica en un par acción-reacción.' , RRrr

Analizamos el movimiento de la partícula Rr

es la fuerza de interés

Componentes de :Rr

RFNRrrr

+=

Nr

Fuerza normal: Componente perpendicular al plano de contacto

RFr Fuerza de rozamiento o fricción: Componente contenida en el plano

de contacto




Fuerzas de rozamiento.Rozamiento seco. Aquél que se produce entre dos cuerpos sólidos.• Depende de la naturaleza y condiciones de las dos superficies en contacto, pero (en buena aproximación) no depende del área de contacto entre los cuerpos.• Tangente a la superficie de contacto.• Aparece sobre ambos cuerpos al aplicar una fuerza sobre uno de ellos.

Nr

Pr

Situación III

Bloque en equilibrio bajo la acción de la normal y su propio peso.

Bloque en equilibrio bajo la aplicación de una fuerza F. De acuerdo con la 2ª ley de Newton debe de estar actuando una fuerza de igual módulo y sentido contrario: la fuerza de rozamiento estática.

Movimiento inminente. Si el módulo de F aumentase, el bloque se movería. En este caso la fuerza de rozamiento es igual a la fuerza de rozamiento estática máxima.

El bloque se mueve. La fuerza de rozamiento disminuye ligeramente y toma un valor constante igual a la fuerza de rozamiento dinámica, independiente de la fuerza aplicada.

FFer

rr−=

Nr

Pr

Nr

Pr

Nr

Pr

Situación I Situación II

Situación IV

ter uNFe

rrµ−=máx,

:eµ coeficiente de rozamiento estático

tdr uNFd

rrµ−=

:dµ coeficiente de rozamiento dinámico

Fr

erFr

Fr

máx,erFr

Fr

drFr




Fuerzas de rozamiento.Rozamiento seco.

F

rF

máx,erF

drF

III

IIIIV

F

rF

de rr FF =máx,

Modelo simplificado

Material µe µd

Acero sobre acero 0.74 0.57

Aluminio sobre acero 0.61 0.47

Vidrio sobre vidrio 0.94 0.40

Caucho sobre hormigón 0.90 0.80

Acero sobre hielo 0.10 0.06

[ ] [ ] 1== de µµ

En general,

de µµ >

Fotografía microscópica de una superficie de acero pulida. Irregularidades superficiales ≈ 10-5 cm.



Fuerzas de rozamiento.


Rozamiento fluido. Aquél que aparece entre capas contiguas de fluido que se mueven a diferentes velocidades o el que sufre un sólido que penetra en un fluido.

• Depende, entre otras cosas, de la naturaleza del fluido, de la velocidad del objeto respecto al fluido, de la forma del sólido que se sumerge en el fluido.• A este tipo de rozamiento se le suele llamar fuerza viscosa o fuerza de arrastre.

Ejemplo. Movimiento en el seno de un fluido viscoso.

Pr

fr

Er

Pr

fr

Velocidades bajas υ−= rrbf [ ] 1−= Mtb

La fuerza de arrastre aumenta con la velocidad y acaba compensando el efecto del peso. El paracaidista alcanza entonces una velocidad límite.

0rrrr

=++ fEP0lím

rrrr =−− υbgmgm liq

El cuerpo acaba moviéndose con una velocidad constante (a=0), que recibe el nombre de velocidad límite.

: viscosaFuerza

:Empuje :Peso

υrr

rr

rr

bf

gmEgmP

líq

−=

−=

=

( )b

gmm líqlím

rr −

=υ

Velocidades altas υυ−= rrruDf 2 [ ] 1−= MLD

Ejemplo. Descenso de un paracaidista.

:Arrastre :Peso

2υυ−=

=

rrr

rr

uDfgmP

0rrr

=+ fP02

lím

rrrr =− υυ uDgm

υ=υ rrr u

Dmg

lím



Fuerza elástica.


Es una fuerza de naturaleza electromagnética. Al alargar o comprimir un cuerpo, aparecen fuerzas de atracción o repulsión que obliga a los átomos a recuperar sus posiciones iniciales.

0r

r

P

Orur

elFr

Ley de Hooke. La fuerza elástica está dirigida en sentido opuesto a la deformación sufrida, y es proporcional a la magnitud de dicha deformación.

rel urkF rr∆−=

[ ] 2 elástica, constante −= Mtkk



Momento angular. Momento de una fuerza.2.5.

rr

Momento angular.

O

m

OLr

υr

( )υυ rrrrrrr×=×=×= rmmrprLO

[ ] 12 −= tMLLO

En un movimiento general, LO cambia en magnitud y en dirección.

Si el movimiento tiene lugar sobre un plano, 2ωr

rmrLO =

siendo O un punto del plano.

rr

Momento de un fuerza.

O

m

OMr

Fr

FrMO

rrr×=

[ ] 22 −= tMLMO Unidad en el SI: mN ⋅



Momento angular. Momento de una fuerza.2.5.

Teorema del momento angular.

OO M

dtLd rr

=La expresión es válida si tanto el momento angular como el momento de la fuerza se evalúan respecto al mismo punto O.

• Esta expresión guarda una gran analogía con la 2ª ley de Newton (se reemplaza p por LO

y F por MO.• Ecuación fundamental en el estudio del movimiento de rotación.

Teorema de conservación del momento angular.

Si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, respecto a un punto O, es nulo, el momento angular respecto a ese punto se conserva.

cte=⇒= OO LMrrr

0 Si

Situaciones en las que : cte=OLr

• La partícula es una partícula libre.

• La fuerza neta que actúa sobre la partícula es nula, .

• Fuerza y vector de posición son paralelos, .

0rrr

==∑i

iFF

0 ||rrrrrr

=×=⇒ FrMrF O



O

P

Trabajo realizado por una fuerza. Energía cinética.2.6.

Trabajo realizado por una fuerza.

rr

rdr rr +

Fr

A

BC

ϕ

Trabajo elemental realizado por la fuerza F en un desplazamiento dr rdFdW rr

=

Trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento finito. ∫=

B

CA

CAB rdFW

,

rr

[ ] 22 −= tMLW En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ

tFr

rdr

Algunas consideraciones

drFrdFdW ϕcos== rra) ϕcosFFt =

componente de la fuerza tangente a la trayectoriadrFt=

b) En general, el trabajo realizado por una fuerza depende de la trayectoria seguida por la partícula para desplazarse de un punto a otro. ∫∫ ≠

B

CA

B

CArdFrdF

21 ,,

rrrr

tF

sA B

CABW

c) d) Si la fuerza permanece constante sobre la trayectoria seguida:

FsWF CAB =⇒= cte

r



¿Qué información proporciona el trabajo realizado por una fuerza?


Trabajo realizado por una fuerza.

Fr

tFr

υr

0>FW0>dW

La componente tangencial de la fuerza tiene el mismo sentido que el desplazamiento

Se favorece el movimiento en el sentido del desplazamiento

Fr

tFr

υr

0<FW0<dW

La componente tangencial de la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos

No se favorece el movimiento en el sentido del desplazamiento

• Fuerza nula• Desplazamiento nulo• Fuerza y desplazamiento perpendiculares

0 =⇒⊥ rdFrdF rrrr

0=dW

MCU

0=nFWnF

rrdr




Energía cinética.Dada una partícula de masa que se mueve con una velocidad , se define su energía cinética como:

m υr

2

21 υmEc =

[ ] 22 −= tMLEc En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ

El trabajo para desplazar una partícula desde un punto A a un punto B, realizado por la fuerza neta que actúa sobre ella, es igual a la variación de su energía cinética.

22,, 2

121

ABAcBccCAB mmEEEW υυ −=−=∆=

Teorema del trabajo y la energía cinética.

Potencia.

Potencia mediat

WPCAB

m ∆= Potencia instantánea

dtdWP = υr

rFP =

[ ] 32 −= tMLP En el SI: 32/ Vatio, −⋅⋅== smkgsJW



Trabajo realizado por una fuerza conservativa. Energía potencial.2.7.

Fuerzas conservativas y no conservativas.

Fuerza conservativa ∫=B

CA

CAB rdFW

,

rres independiente de la trayectoria C

Fuerza no conservativa ∫=B

CA

CAB rdFW

,

rrdepende de la trayectoria C

Energía potencial.

Si es una fuerza conservativa entonces existe una función escalar asociada a tal que:

( )zyxFF ,,rr

=( )zyxUU ,,= F

r

( ) ( ) UBUAUrdFWB

CA

CAB ∆−=−== ∫ ,

rr

La función recibe el nombre de energía potencial.( )zyxUU ,,=

[ ] 22 −= tMLU En el SI: 22 Julio, −⋅⋅=⋅= smkgmNJ

BA ≡

El trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a cero.

( ) ( )∫ =−=∆−= 0AUAUUrdF rr



Energía potencial asociada a una fuerza conservativa.


Sea una fuerza conservativa, Fr

• si ( )ixFF xrr

= ( )dxdUxFx −= ( ) ( )∫−= dxxFxU xi

dxdUF

rr−=

• si ( ) ( ) ( )kzyxFjzyxFizyxFF zyx

rrrr,,,,,, ++=

,xUFx ∂∂

−= ,yUFy ∂∂

−=zUFz ∂∂

−= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kzUj

yUi

xUF

rrrr

Se define el gradiente de una función escalar como:U

kzUj

yUi

xUU

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ Expresión en coordenadas cartesianas

Si es una fuerza conservativa y la función energía potencial asociada:UFr

UF −∇=r



Energía potencial asociada a una fuerza conservativa.


Energía potencial asociada al peso.

kmgPrr

−=dzdUmgPz −=−=

( )∫ ∫ ∫ +==−= CmgzzUmgdzdzPdU z , X

Y

Z

Pr

m

Si se elige el origen de energía potencial en : 0=z

( ) mgzzU = ( ) ⇒== 0 0zU

Energía potencial asociada a la fuerza elástica.

0x

x

elFr ( )ixxkFel

rr0−−= ( )

dxdUxxkF xel −=−−= 0,

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−=−= CxxkxUdxxxkdxFdU xel2

021

0, ,

Si se elige el origen de energía potencial en : 0xx =

( ) ⇒== 0 0xxU ( ) ( )2021 xxkxU −=



Teorema de la energía mecánica.2.8.

Energía mecánica.Se define la energía mecánica de una partícula como la suma de su energía cinética más su energía potencial.

UEE c +=

Teorema de la energía mecánica.Sea una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas .

CFr

NCFr

A

Si la partícula se desplaza desde un punto arbitrario A a otro punto arbitrario B, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de energía mecánica en dicho desplazamiento.

EWNC ∆=B

( ) ( )AAcBBcABNCAB UEUEEEW +−+=−= ,,,



Teorema de la energía mecánica.2.8.

Principio de conservación de la energía mecánica.Cuando sobre una partícula sólo actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.

0=∆E

0=−=∆ AB EEE BA EE = BBcAAc UEUE +=+ ,,

1E

2E

E3E

4E

Discusión de curvas de energía potencial

U

cE

x

( )xU

1M3M

2M

a b

c d e f

g h

iUEE c +=

dxdUF −=

izquierda la hacia 0/derecha la hacia 0/

FdxdUFdxdU

⇒>⇒<

⎩⎨⎧

=⇒=(máximos) inestable

(mínimos) estable equilibrio ,0 0 F

dxdU

baEE y entre oscilación 1 ⇒=fedcEE y entre o y entre oscilación 2 ⇒=

hgEE y entre oscilación 3 ⇒=

∞⇒= e entre posible o,oscilatori no mov. 4 iEEFundamentos de Física. FCM.

Tema 2

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

Fundamentos de FísicaFacultad de Ciencias del Mar.


Interacción gravitatoria (ampliación).Ley de la Gravitación Universal de Newton

12212

2112 u

rmmGF rr

−=

,kg/mN 1067.6 22 11 ⋅⋅= −Gconstante de gravitación universal

1m

2m

12ur

12Fr

Atracción gravitatoria terrestre. Peso.

( ) rrg uhR

MmGur

MmGF rrr22 +

−=−=

gmFugg grrrrr ≈⇒−=

h

rur gFr

rg umRMGFRhRRh rr

2 −≈⇒≈+⇒<<

En las proximidades de la superficie terrestre:

gmP rr=Llamamos peso:

g aceleración de la gravedad


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