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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM

TEMA 2Dinámica de fluidos perfectos


2.1. Introducción

TÉCNICAS DE ANÁLISIS::

1) VOLUMEN DE CONTROL O ANÁLISIS INTEGRAL

2) PARTÍCULA FLUIDA O ANÁLISIS INTEGRAL

3) ESTUDIO EXPERIMENTAL O ANÁLISIS DIMENSIONAL

2.1. Introducción


1) VOLUMEN DE CONTROL O ANÁLISIS INTEGRAL:

- región finita escogida cuidadosamente

- propiedad (masa, energía...): balance a través de la frontera

- método global: no considera detalles del flujo

2.1. Introducción


2) PARTÍCULA FLUIDA O ANÁLISIS DIFERENCIAL:

- ecuaciones diferenciales básicas del fluido

- soluciones analíticas exactas: solo para geometrías o condiciones de contorno simples

2.1. Introducción


FLUJOS SIMPLIFICADOS: RESULTADOS DE VALOR PRÁCTICO

TUBERÍAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL PEQUEÑA:

- FLUJO UNIDIMENSIONAL: Propiedad (X, t)

2.1. Introducción


2.2. Ecuación de Reynolds

VOLÚMENES DE CONTROL: FIJOS, MÓVILES, DEFORMABLES....

VOLUMEN DE CONTROL FIJO Y FLUJO UNIDIMENSIONAL

- volumen de control: porción del conducto

- B: propiedad del flujo (masa, cantidad de movimiento o energía)

- : cantidad de B por unidad de masa pequeñadmdB



Cantidad B en el volumen de control:

)( dVdmdBB

VCVC ρ∫=

¿POR QUÉ CAMBIA LA PROPIEDAD “B” EN EL FLUIDO CONTENIDO

DENTRO DEL VOLUMEN DE CONTROL EN CADA INSTANTE?



Cantidad B en el volumen de control:

)( dVdmdBB

VCVC ρ∫=

Variación de B entre (t, t + dt):

1) Variación de B dentro del VC (fuentes, sumideros): )( dVdmdB

tVC

ρ∫∂∂



2) Flujos de B a través del VC:

AVdmdB

dt

dVdmdB

AVdtdmdBdV

dmdB ρ

ρρρ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛



)( dVdmdB

tVC

ρ∫∂∂

AVdmdB ρ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Variación de B en el fluido que ocupa el volumen de control entre (t, t + dt):

entententsalsalsalVC

VAdmdBVA

dmdBdV

dmdB

tdtdB ρρρ −+

∂∂

= ∫ )(



Con más de una entrada y salida en el volumen de control:

∑∑∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

=i i

entententi i

salsalsalVC

VAdmdBVA

dmdBdV

dmdB

tdtdB ρρρ )(



Flujo no unidimensional o volumen de control arbitrario:

)()( SdVdmdBdV

dmdB

tdtdB

SVC

rr•+

∂∂

= ∫∫ ρρ

ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

B- masa

- cantidad de movimiento

- energía



2.3. Ecuación de conservación de masa o ecuación de continuidad

VOLUMEN DE CONTROL:

mB =

1=dmdm

∫∫∫∫ •+∂∂

==⇒•+∂∂

=SVCSVC

SdVdVtdt

dmSdVdmdBdV

dmdB

tdtdB )(0)()(

rrrrρρρρ

∫ •=S

SdVQ )(rr

ρ FLUJO O CAUDAL MÁSICO

2.3. Ecuación de conservación de la masa o …


∫∫ •−=∂∂

SVC

SdVdVt

)(rr

ρρ

entententsalsalsalVC

VAVAdVt

ρρρ +−=∂∂∫ )(

ESTACIONARIO:

entententsalsalsalentententsalsalsal VAVAVAVA ρρρρ =⇒−=0

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD:

Flujo unidimensional



ESTACIONARIO E INCOMPRESIBLE:

entsal

entsalententsalsal V

AA

VVAVA =⇒=

cteAvcteAvQ =⇒== ρ

Fluidos incompresibles: mayoría de líquidos, gases si su velocidad es menor que 30% la del sonido



2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento

amFrr

=

Vmprr

= dtpd

dtVdmF

rrr

==⇒

⇒= VmBr

VdmdB r

=

)()( SdVdmdBdV

dmdB

tdtdB

SVC

rr•+

∂∂

= ∫∫ ρρ

)()()( SdVVdVVtdt

Vmd

SVC

rrrrr

•+∂∂

= ∫∫ ρρ



)()()( SdVVdVVtdt

Vmd

SVC

rrrrr

•+∂∂

= ∫∫ ρρ

∑=i

iFdt

Vmd rr)(

1) FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL VOLUMEN DE CONTROL:

- Fuerzas de volumen (gravitatorias):

- Fuerzas de superficie (fluidos frontera): Sfr

)( kgfVrr

−=

dVfdSfFV

VS

Si

i ∫∫∑ +=rrr

)()( SdVVdVVt

FSVCi

i

rrrrr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ



)()( SdVVdVVt

FSVCi

i

rrrrr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ

2) ECUACIONES ESCALARES:

)()( SdVVdVVt

FS

XVC

Xi

iX

rr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ

)()( SdVVdVVt

FS

YVC

Yi

iY

rr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ

)()( SdVVdVVt

FS

ZVC

Zi

iZ

rr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ



)()( SdVVdVVt

FSVCi

i

rrrrr•+

∂∂

= ∫∫∑ ρρ

Ecuación de la cantidad de movimiento

APLICACIÓN: - cálculo de fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies - ecuación: reacción de la fuerza problema



EJEMPLO: Fuerza causada por el flujo permanente sobre el codo reductor

Volumen de control y distribución de fuerzas

Suposiciones para el flujo en el volumen de control: - permanente - incompresible- unidimensional

)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

Srrrrrr

•+∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ



)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

S

rrrrrr•+

∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ

1) Permanente y incompresible:

0)( =∂∂

⇒∂∂

∫∫ dVVt

dVVt

VCVC

rrρρ



)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

S

rrrrrr•+

∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ

2) Unidimensional, componentes horizontal y vertical de la fuerza:

XV

VXS

SX RApApdVfdSf +−=+ ∫∫ ϕcos2211

YV

VYS

SY RWsenApdVfdSf +−−=+ ∫∫ ϕ22



)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

S

rrrrrr•+

∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ

3) Término de flujo, flujo unidimensional a la entrada y salida:

)(),()( SdVVSdVVSdVVS

YS

XS

rrrrrrr••⇒• ∫∫∫ ρρρ

1111222221111 )cos())(cos()()( AVVVAVVAVVSdVVS

X ρϕρϕρρ −=+−=•∫rr

222111 AVAV ρρ =



)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

S

rrrrrr•+

∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ

3) Término de flujo, flujo unidimensional a la entrada y salida:

)(),()( SdVVSdVVSdVVS

YS

XS

rrrrrrr••⇒• ∫∫∫ ρρρ

))(())(()( 11122222 AVsenVAVsenVSdVVS

Y ρϕρϕρ ==•∫rr

222111 AVAV ρρ =




XX RApApF +−= ϕcos2211

YY RWsenApF +−−= ϕ22

11112 )cos()( AVVVSdVVS

X ρϕρ −=•∫rr

))(()( 1112 AVsenVSdVVS

Y ρϕρ =•∫rr

)()( SdVVdVVt

dVfdSfSVCV

VS

Srrrrrr

•+∂∂

=+ ∫∫∫∫ ρρ

111122211 )cos(cos AVVVRApAp X ρϕϕ −=+−

111222 )( AVsenVRWsenAp Y ρϕϕ =+−−




111122211 )cos(cos AVVVApApRX ρϕϕ −++−=

111222 )( AVsenVWsenApRY ρϕϕ ++=

111122211 )cos(cos AVVVApApK X ρϕϕ −−−=

111222 )( AVsenVWsenApKY ρϕϕ −−−=



2.5. Ecuación de conservación de la energía ode Bernoulli

edmdE

dmdB

==EB =

)()()()( SdVedVetdt

dESdVdmdBdV

dmdB

tdtdB

SVCSVC

rrrr•+

∂∂

=⇒•+∂∂

= ∫∫∫∫ ρρρρ

dtdW

dtdQ

dtdE

−=Primera ley de la Termodinámica:

- Energía cinética :

- Energía potencial :

- Energía interna :

Ce22

22 VVdm ⇒

Pe gz

u

Energías específicas:

2.5. Ecuación de conservación de la energía o….


)()2

()()2

(22

SdVugzVdVugzVtdt

dWdtdQ

SVC

rr•+++++

∂∂

=− ∫∫ ρρ

otrosF WWW +=

)()2

()()2

()(22

SdVugzVdVugzVt

SdVPdt

dWdtdQ

SVCSC

otrosrrrr

•+++++∂∂

=•−− ∫∫∫ ρρρρ



)()2

()()2

()(22

SdVugzVdVugzVt

SdVPdt

dWdtdQ

SVCSC

otrosrrrr

•+++++∂∂

=•−− ∫∫∫ ρρρρ

)()2

()()2

(22

SdVPugzVdVugzVtdt

dWdtdQ

SVC

otrosrr

•++++++∂∂

=− ∫∫ ρρ

ρ

Integrando la expresión a casos de flujos particulares.......



Flujo permanente, incompresible, PERFECTO:

)()2

()()2

(22

SdVPugzVdVugzVtdt

dWdtdQ

SVC

otrosrr

•++++++∂∂

=− ∫∫ ρρ

ρ

dtdW

AVPugzVAVPugzV otros++++=+++ 111

11

21

222

22

22 )

2()

2( ρ

ρρ

ρ



Flujo permanente, incompresible, PERFECTO:

111

1

21

222

2

22 )

2()

2( AVPgzVAVPgzV ρ

ρρ

ρ++=++

1122 AVAV =

ρρ1

1

212

2

22

22PgzVPgzV

++=++

ctePgzV

=++ρ2

2

cteg

Pzg

V=++

ρ2

2

ECUACIÓN DE BERNOULLI



Aplicaciones del teorema de Bernoulli: Teorema de Torricelli

ρρ1

1

212

2

22

22PgzVPgzV

++=++

atmPPP == 21

:0SS ff 01021 ≈⇒= VSVSV

ghVghVVPPgh 222

0022

221 =⇒=⇒++=++ρρ



Aplicaciones del teorema de Bernoulli: Teorema de Torricelli

dtVSQdt )( 0ρ=

Sdhdmdhdt ρ=⇒),(

∫ •=S

SdVQ )(rr

ρ

Tiempo total de vaciado h:gh

SSt 0

0

2=


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