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Ingeniería Eléctrica
Tema 2. Corriente alterna
Joaquín Vaquero López, 2013
1
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Ingeniería Eléctrica
Índice
01 Señales variables con el tiempo. Ondas senoidales
02 Régimen senoidal permanente
03 Circuitos de 1er orden.
04 Potencia activa y reactiva. Factor de potencia
05 Respuesta en frecuencia
2
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Ingeniería Eléctrica
Amplitud
Amplitud
Amplitud
Amplitud
Onda sinusoidal
Onda triangular
Onda cuadrada
Diente de sierra
Señales variables en el tiempo
• La corriente y la tensión en los circuitos puede ser
constante (CC) o variable con el tiempo (CA)
• Escalón y rampa. Formas de onda periódicas
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Ingeniería Eléctrica
Grados Radianes
Forma de onda senoidal
Vp-Vp
)()( tsenVsenVv pp
f 2 rad/s
4
• Período T (s), frecuencia f (Hz), amplitud o valor de pico Vp,
ω (rad), frecuencia angular, fase (grados o rad)
)( tsenVv p
21
fT
4
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Ingeniería Eléctrica
• La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal
con excitación senoidal es una función senoidal de igual
frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
• La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es
una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la
fase puede variar.
• La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su
integral también.
Forma de onda senoidal. Carácterísticas
5
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Ingeniería Eléctrica
Forma de onda senoidal. Carácterísticas
• Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier
función periódica puede representarse como una
combinación lineal de un número infinito de funciones
senoidales.
• Los alternadores generan tensión con forma senoidales.
Es una forma de onda fácil de obtener.
• La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de
distinta frecuencia nos da información del sistema.
Respuesta en frecuencia.
6
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Ingeniería Eléctrica
)( tsenAy )( tsenAy
Forma de onda senoidal. Fase
• Período (ángulo) desde un valor de referencia
B va retrasada 90ºrespecto de A B va adelantada 90º respecto de A
7
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Ingeniería Eléctrica
Forma de onda senoidal. Valor medio
• El valor medio en un ciclo es 0
• Suponiendo medio ciclo u onda rectificada:
p
pπpπ
p
Ta
a pavm V.π
V
π
VdsenV
πdsenV
TV
6370
2cos
1100)(
Valor medio calculado sobre
medio ciclo de onda
Valor medio calculado sobre la
onda rectificada
8
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Ingeniería Eléctrica
Forma de onda senoidal. Valor eficaz
• El valor eficaz es la raíz cuadrada del valor cuadrático
medio (r.m.s.)
• Su utilidad deriva de que la potencia medida mediante
valores eficaces es equivalente a la de los valores de CC.
2
110
22
)(
pπ
p
Ta
a prmsef
VdsenV
πdsenV
TV
CCCCavccm VIP ·).(. efefavacm VIP ·).(.
9
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Ingeniería Eléctrica
Régimen senoidal permanente
• Notación compleja. Euler
tjj
p
tjj
p eeItieeVtv iV ·)(;·)(
)()( tiRtv dt
tdiLtv
)()(
dt
tdvCti
)()(
)()cos(
)()cos(
tsenjte
tsenjte
tj
tj
tj
tj
etsen
et
Im)(
Re)cos(
tjj
p
tj
pVp eeVeVtVtv VV
ReRe)·cos()()(
Resistencias Bobinas Condensadores
sen(t)
j
t
cos(t)
10
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Ingeniería Eléctrica
Elementos pasivos. Módulo y fase
• Respuesta de los elementos pasivos básicos. Impedancia
)()( tiRtv
tjj
p
tjj
p eeIReeV iV ··
p
p
I
VR
2 iV
dt
tdiLtv
)()(
tjj
p
tjj
p eeILjeeV iV ··
2··
iV j
p
j
p eILeV
pp ILV
LjL Z
La corriente retrasa 90º a
la tensión
iV 2 Vi
dt
tdvCti
)()(
tjj
p
tjij
p eeVCjeeI V ··
2··
Vi j
p
j
p eVCeI
pp VCI
CjC
1Z
La corriente adelanta 90º a
la tensión
2 Vi
La corriente está en fase con la
tensión
11
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Ingeniería Eléctrica
Elementos pasivos
• Formas de onda de la tensión y la corriente en los
elementos pasivos básicos. Reactancia
Resistencia
Reactancia inductiva
Reactancia capacitiva
][R
][1
C
XC
][ LX L
12
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Ingeniería Eléctrica
Elementos pasivos. Serie y paralelo. Impedancias
• Serie. Todos los elementos recorridos por la misma
corriente
LRCR ZZZZZ 21
LR ZZZ111
2
• Paralelo. Todos los elementos sometidos a la misma
tensión
R1 C LR2
13
321
111
1
ZZZ
Z
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Ingeniería Eléctrica
Diagramas de fase o vectoriales
• En sistemas de frecuencia fija, una señal senoidal queda
caracterizada por el módulo y la fase
• Un diagrama de fase permite representar módulo y fase en
un único diagrama
A
Representación fasorial de la tensión en
una resistencia R, una inductancia L y
un condensador C
Representación fasorial de
una señal de magnitud A y
fase
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Ingeniería Eléctrica
• Un diagrama de fase permite sumar y restar
vectorialmente señales senoidales de igual frecuencia
Resta fasorial o vectorial A-B
Diagramas de fase o vectoriales
Suma fasorial o vectorial A+B
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Ingeniería Eléctrica
• Un diagrama de fase permite representar impedancias
complejas mediante su módulo y argumento (fase)
Diagramas de fase o vectoriales. Impedancias
16
LjXR Z
CjXRZ
Representación gráfica de una impedancia RL Representación gráfica de una impedancia RC
• Generalización de la Ley de Ohm. Z·IV
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Ingeniería Eléctrica
Resolución fasorial o vectorial
Módulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
• Circuitos formados por resistencias, fuentes independientes
y un solo elemento almacenador de energía (L ó C). Se
caracterizan por una ecuación diferencial de primer orden
Circuitos de 1er orden. RC
2
2
22
)(·
C
IIRV
RCarctgvi
1;
2
2
)(
1
CR
VI
)cos(
)(
1)(
2
2
vt
CR
Vti
)(1
)(
1)(
2
2
vC tsenC
CR
Vtv
V
I
17
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Ingeniería Eléctrica
V
I
Función de transferencia H (jω)
Módulo:
Argumento:
RCjj
RCj
CjR
Cj CC
1
1)(
11
·1
VVHV
VV
)()0()( RCarctgarctgj C VVH
• Resolución directa al régimen senoidal permanente
mediante complejos
2)(1
1)(
RCj C
VVH
Cj
1
tjeVtVtv Re)·cos()( Siendo
)·cos()(1
Re)(·Re2
tRC
VejHeVV jtj
C
18
Circuitos de 1er orden. RC
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Ingeniería Eléctrica
V
I
19
VZZ
ZVCR
CC
VVRCj
C
1
1
Cj
1
• Divisor de impedancias
Circuitos de 1er orden. RC
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Ingeniería Eléctrica
• Resolución fasorial o vectorial
Módulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
Circuitos de 1er orden. RL
R
Larctgvi
;
2222 ·)(· ILIRV 22 )( LR
VI
)cos()(
)(22
vtLR
Vti )(
)()(
22
vL tsenL
LR
Vtv
V
I
20
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Ingeniería Eléctrica
Función de transferencia H (jω)
Módulo:
Argumento:
2)()(
R
Larctgarctgj L
VVH
2
1
1)(
L
Rj L
VVH
LjR
Ljj
LjR
Lj LL
VVHVV )(
·
V
I
• Resolución directa al régimen senoidal permanente
mediante complejos
)(·
1
)2
·cos(
1
Re)(·Re22
2
tsen
L
R
Vt
L
R
VejHeVV
jtj
L
R
LarctgeVtVtv tj
ySiendo Re)·cos()(
Lj
21
Circuitos de 1er orden. RL
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Ingeniería Eléctrica
22
VZZ
ZVLR
LL
VVRLj
RLjL
1
V
I
Lj
• Divisor de impedancias
Circuitos de 1er orden. RL
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Ingeniería Eléctrica
Circuitos de 1er orden. Paralelo
• Diagramas fasoriales de corrientes
V
V
I
I
23
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Ingeniería Eléctrica
• Circuitos con 2 elementos almacenadores de energía
Circuitos de 2º orden. RLC
V
I
)( Lj
Cj
1
24
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Ingeniería Eléctrica
• Potencia instantánea
• Potencia media
• Potencia eficaz
Potencia media
Potencia en una resistencia
)()·()( titvtpR
2
)2cos(1)()()( 2 t
IVtsenIVtsenItsenVp PPPPPPR
PPavm IVP2
1)(
2
1
2
)2cos(1
2
12
0
t
)..()..(222
1.)..( smrefsmref
PPPPR IV
IVIVP
smref
2
)2cos(1 tIVp PPR
PPR IVPavm 2
1)(
25
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Ingeniería Eléctrica
• Potencia instantánea (I adelanta 90º de V)
• Potencia media y eficaz
Potencia en un condensador
)()·()( titvtpC
2
)2()cos()(
tsenIVtItsenVp PPPPC
2
)2( tsenIVp PPC
02
)2(
tsen 0.)..()(
smrefCavmC PP
26
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Ingeniería Eléctrica
• Potencia instantánea (I retrasa 90º de V)
• Potencia media y eficaz
Potencia en una bobina
)()·()( titvtpL
2
)2()]cos([)(
tsenIVtItsenVp PPPPL
2
)2( tsenIVp PPL
0
2
)2(
tsen 0.)..()(
smrefLavmL PP
27
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Ingeniería Eléctrica
• Energía en una resistencia
• Energía en un condensador
• Energía en una bobina
Energía en régimen senoidal permanente
t
R ttitvtw0
)()·()(
2
)2(
2
)2cos(1
0
tsent
IVt
tIVw
efeft
PPR
t
efPPC tCVttsen
IVw0
2 ))2cos(1(2
1
2
)2(
ef
ef
ef CV
C
VI
1
Valor creciente
con t
Valor oscilante con
frecuencia (2ωt)
entre 0 y CVef2
efef LIV
t
efPPL tLIttsen
IVw0
2 ))2cos(1(2
1
2
)2(
Valor oscilante con
frecuencia (2ωt)
entre 0 y LIef2
28
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Ingeniería Eléctrica
• Potencia instantánea. La corriente irá desfasada
• Potencia media. Primer término. Potencia disipada en los componentes
resistivos
• Potencia media. Segundo término. Potencia almacenada en el elemento
reactivo (bobina), y que recircula por el circuito en cada ciclo
Potencia en una resistencia y una bobina
)()·()( titvtp )}2cos({cos2
1)()( iiPPiPP tIVtsenItsenVp
0)2cos( it
i
)2cos(2
1cos
2
1iPPiPP tIVIVp
iefefiPP
iPP IVIV
IVP cos)(cos22
)(cos2
1
Frecuencia t2
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Ingeniería Eléctrica
• En circuitos con componentes resistivos y reactivos, la
potencia tiene dos términos:
Potencia disipada en los componentes resistivos. Potencia activa
(P) en vatios (W)
Potencia almacenada en los elementos reactivos y devuelta al
circuito. Potencia reactiva (Q) en Voltamperios reactivos (VAr)
• El producto de la tensión eficaz V por la corriente eficaz I
se denomina Potencia aparente (S) en Voltamperios (VA)
iefefiPP
iPP IVIV
IVP cos)(cos22
)(cos2
1
iiefef SIVP coscos
Potencia Activa y Reactiva
)2cos(2
1iPP tIVp
30
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Ingeniería Eléctrica
• La potencia reactiva (Q) no se disipa, pero al circular por
el circuito obliga a dimensionar cables y otros elementos
adecuadamente y aumenta las pérdidas
Potencia Activa y Reactiva
Potencia Activa (P)
Potencia Reactiva (Q)
][cos WVIP
][ rVAsenVIQ
Potencia Aparente (S)2222 ][VAQPS
Diagrama de tensiones
Diagrama de
tensiones
Diagrama de
potencias
V
Las bobinas “consumen”
potencia reactiva mientras
con los condensadores la
“suministran”. Convenio
de signos
31
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Ingeniería Eléctrica
Factor de potencia
• Factor de potencia
• Las cargas inductivas tienen un factor de potencia “de
retraso”
• Las cargas capacitivas tienen un factor de potencia “de
adelanto” Un motor de alterna típico tiene un factor de potencia inductivo de 0,9
Una gran red eléctrica nacional tiene un factor de potencia inductivo de 0,8
- 0,9
Equipos electrónicos: Fuentes conmutadas, rectificadores e inversores
Industrias. Motores trifásicos. Hornos de inducción. Ferrocarriles
cosS
PPotenciadeFactor
AparentePotencia
ActivaPotencia
)(
)(
VA
W
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Ingeniería Eléctrica
Factor de potencia. Corrección
• El problema de un bajo factor de potencia se puede
corregir añadiendo al circuito componentes adicionales
que lo hagan cercano a la unidad. Correción del
Factor de Potencia
Instalaciones eléctricas convencionales. Un condensador del tamaño
adecuado en paralelo con una carga con un bajo factor de potencia
inductivo puede “cancelar” el efecto inductivo
Podría colocarse en serie, pero modificaría la tensión en la carga
Cuanto más cercano a la unidad, más eficiente el sistema
Cuanto más lejano de la unidad, aumentan las pérdidas, hay que
sobredimensionar las instalaciones, hay caídas de tensión
Las compañias eléctricas penalizan en la factura los consumos con
bajo (pobre) factor de potencia
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Ingeniería Eléctrica
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Respuesta en frecuenciaGráfica de la magnitud y la fase de la función de transferencia en función de
la frecuencia.
Función de transferencia, H(w), es el cociente entre la amplitud compleja de
la salida, Y(w) (tensión o corriente), entre la amplitud compleja de la entrada
X(w) (tensión o corriente)
El módulo de la función de transferencia indica la ganancia del sistema en
función de la frecuencia. La fase es la diferencia angular entre las sinusoides
de salida y de entrada
Aplicación fundamental del
análisis de respuesta en
frecuencia: filtros. Circuito RC
.
Vin
R
Cj
1Vout
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Ingeniería Eléctrica
Circuito RC. Módulo.
Respuesta en frecuencia
2)(1
1)(
RCj C
VVH
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Ingeniería Eléctrica
Respuesta en frecuencia
Circuito RC. Fase o Argumento.
)()0()( RCarctgarctgV
VjH
in
out
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