tema 0. fundamentos de mecánica

TEMA 0. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA

1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUD ESCALAR: DEFINIDA POR NÚMERO Y UNIDAD MASA, TIEMPO, VOLUMEN, ENERGÍA, … (4 kg, 67 s, 5 L,

900 J) MAGNITUD VECTORIAL: DEFINIDA POR VECTORES

MÓDULO: Longitud del vector DIRECCIÓN: Recta sobre la que se apoya el vector SENTIDO: Hacia donde señala la flecha PUNTO DE APLICACIÓN: Origen de la flecha

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA: se suman las componentes x, y y z por separado.

A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az +

Bz)k


RESTA: se restan las componentes x, y y z por separado.

A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k


OPUESTO: El opuesto a un vector A es otro vector (-A) de igual módulo y dirección y de sentido opuesto

A = Axi + Ayj + Azk (-A)= (-Ax)i + (-Ay)j + (-Az)k

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:

n·(A)= n(Ax)i + n(Ay)j + n(Az)k

COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR

TODO VECTOR “A” ES SUMA DE SUS COMPONENTES. CASO MÁS IMPORTANTE: LAS COMPONENTES SON PERPENDICULARES FORMANDO UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS x ,y y z A = Axi + Ayj + Azk

CUALQUIER VECTOR DEL ESPACIO EN COORDENADAS CARTESIANAS PUEDE ESCRIBIRSE COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES UNITARIOS i, j Y k.

COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR

MÓDULO DE UN VECTOR A = Axi + Ayj + Azk

VECTOR UNITARIO SU MÓDULO ES LA UNIDAD:

COMPONENETES CARTESIANAS DE UN VECTOR UNITARIO:

2 222 AzAyAxA

A

Aup

uAA p

2 222 AzAyAx

AzkAyjAxi

A

Aur

2. PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO DEL MÓDULO DE UN VECTOR POR LA PROYECCIÓN DEL OTRO SOBRE ÉL

SE DEFINE COMO PRODUCTO DE LOS MÓDULOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO MENOR QUE FORMAN SUS DIRECCIONES

cos· qpqp

2. PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO: PODEMOS EXPRESARLO EN FUNCIÓN DE SUS

COORDENADAS CARTESIANAS:

ya que se cumple que PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR CONSIGO

MISMO:

PERMITE CALCULAR EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES A PARTIR DE SUS COORDENADAS CARTESIANAS:

pqqp

zzyyxxzyxzyx qpqpqpkqjqiqkpjpipqp ···)()(

1··· kkjjii

2222·cos·· zyx pppppppp

2 2222 222 ·

···

·

·cos

·cos·

zyxzyx

zzyyxx

sssrrr

srsrsr

sr

sr

srsr

PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO ESCALAR

ejesson 0 k·ik·j j·i 4.

1k·k j·j i·i 3.

oconmutativ Es a·b b·a 2.

ba0b·a Si .1

PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO DE DOS VECTORES CUYO RESULTADO

ES OTRO VECTOR CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: SU MÓDULO ES EL PRODUCTO DE LOS DOS MÓDULOS

POR EL SENO DEL ÁNGULO QUE FORMAN

SU DIRECCIÓN ES PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR LOS DOS VECTORES

SU SENTIDO DE AVANCE ES EL DE UN SACACORCHOS QUE GIRE DE p A q POR EL CAMINO MÁS CORTO

senqpqp

3. PRODUCTO VECTORIAL

PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO VECTORIAL

ij- ji 4.

0kk jj ii 3.

ativoanticonmut Es ab- ba 2.

b a paralelo a0ba Si .1

PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

EjemploEl producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores a y b efectuando el producto escalar y comprobando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

MAGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL

MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA SOBRE UN PUNTO P M = r x F

MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA DE MASA m QUE SE MUEVE CON VELOCIDAD v :

L0 = r x mv = r x p DONDE r ES EL VECTOR POSICIÓN QUE VA DESDE EL ORIGEN HASTA EL COMIENZO DEL OTRO VECTOR

MAGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL

4. CÁLCULO DIFERENCIAL

observando que

VELOCIDAD MEDIA: VELOCIDAD INSTANTÁNEA:

CONCEPTO DE DERIVADA: Desarrollado por Leibniz y NewtonDEFINICIÓN: La derivada de una función y respecto de la variable x es el límite de esta razón cuando x0. Se representa como y’ ,f’(x) o dy/dx

¡¡¡DAR TABLA DE DERIVADAS!!!

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: y = f(x). A cada valor de x le corresponde un valor de y = f(x), que se asocia al punto P (x,y). Al aumentar la variable x en x, la función también se ve incrementada en y+y=f(x+x).

A estos nuevos valores les corresponde en la curva el punto B (x+x, y+y)

EJERCICIOS

LLEGADOS A ESTE PUNTO SE PUEDEN HACER LOS EJERCICIOS DEL 1 AL 7 DEL TEMA 0 (excepto el 4)

5. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL CINEMÁTICA DESCRIBE EL MOVIMIENTO DE LOS

CUERPOS SIN BUSCAR SU ORIGEN CONCEPTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA: LA

FÍSICA MODERNA NO ACEPTA EL ESPACIO Y TIEMPO ABSOLUTOS TODOS LOS MOVIMIENTOS SON RELATIVOS. ASÍ, PARA DESCRIBIR UN MOVIMIENTO, NECESITO UN SISTEMA DE REFERENCIA, QUE SUELE SER UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS EN CUYO ORIGEN ESTÁ EL OBSERVADOR

MAGNITUDES CINEMÁTICAS

1. TRAYECTORIA: Línea formada por las sucesivas posiciones de un móvil. Tipos de movimiento:

1. RECTILÍNEO TRAYECTORIA = LÍNEA RECTA

2. CURVILÍNEO TRAYECTORIA = CURVA (CIRCULARES, PARABÓLICOS, ELÍPTICOS,…)

ECUACIONES PARAMÉTRICAS: Relaciones matemáticas que relacionan las coordenadas espaciales con el tiempo x = x(t); y = y(t); z = z(t)


2. VECTOR POSICIÓN: Vector cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas y cuyo extremo es la posición del móvil en cada instante

r= OP = x i + y j + z kr = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) kLa distancia al origen de coordenadas es el módulo

de

este vector: OP = r = │r│=

2 222 zyx


3. VECTOR DESPLAZAMIENTO: Es la diferencia entre dos vectores posición

r= P1P2 = r2 – r1 = (x2-x1)i + (y2 –y1)j + (z2-z1)k

El desplazamiento espacial es el módulo del vector r

P1P2 =

2 212

212

212 )()()( zzyyxxr


4. ESPACIO RECORRIDO: LONGITUD DEL TRAMO DE TRAYECTORIA DESCRITO EN UN TIEMPO DETERMINADO. NO SUELE COINCIDIR CON EL DESPLAZAMIENTO ESPACIAL (QUE ES UN SEGMENTO RECTO) A NO SER QUE TENGAMOS UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE SENTIDO CONSTANTE

s = s(t) s = s2 – s1

MAGNITUDES CINEMÁTICASESPACIO RECORRIDO (--)

vS VECTOR DESPLAZAMIENTO (--)

VECTOR POSICIÓN 21, rr


5. VELOCIDAD: MIDE EL RITMO TEMPORAL AL QUE SE PRODUCEN LOS CAMBIOS DE POSICIÓN.

AL DERIVAR EL VECTOR POSICIÓN RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA VELOCIDAD:

6. CELERIDAD: MAGNITUD ESCALAR QUE MIDE LA RAPIDEZ CON QUE SE DESPLAZA EL MÓVIL SOBRE LA TRAYECTORIA. EN MOVIMIENTOS CURVOS cm ≠ vm

dt

rdv

t

r

tt

PPv

i

m

12

21

t

scm

¡¡¡¡no de espacio recorrido!!!!


7. ACELERACIÓN: MIDE LOS CAMBIOS DE VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO.

AL DERIVAR EL VECTOR VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA ACELERACIÓN:

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN: a = at +an

dt

vdia

t

v

tt

vvam

12

12


a) ACELERACIÓN TANGENCIAL (cambia el módulo de v mientras que la dirección ut se mantiene constante):

b) ACELERACIÓN NORMAL (cambia la dirección de v mientras que el módulo se mantiene constante):

dt

dvauv

dt

d

dt

vda tt

·

R

va

dt

udvuv

dt

da n

tt

2

)·(

6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES MRU DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA

CON VELOCIDAD CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:

1. Trayectoria: Línea recta con sentido constante2. Velocidad: Constante en valor, dirección y sentido3. Aceleración: Nula

ECUACIONES

6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

MRUA DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA CON VELOCIDAD VARIABLE Y ACELERACIÓN CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:

1. Trayectoria: Línea recta2. Velocidad: Constante en dirección pero variable en sentido y módulo3. Aceleración: an=0; at = cte en valor, dirección y sentido

ECUACIONES


CAÍDA LIBRE MRUA CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:

1. Trayectoria: Línea recta vertical descendente2. Velocidad: Constante en dirección y sentido. Su módulo aumenta desde v0.3. Aceleración: an=0; at = -g

ECUACIONES


CAÍDA DE CUERPOS LANZADOS

ECUACIONES


MCU EL RECORRIDO ES UNA CIRCUNFERENCIA PERO LA CELERIDAD ES CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:

1. Trayectoria: Circunferencia recorrida siempre en igual sentido2. Velocidad: Cambia continuamente de dirección pero es constante en su módulo3. Aceleración: an=cte; at = 0

ECUACIONES

7. CÁLCULO INTEGRAL

Si F(x) es una función primitiva de f(x), la expresión F(x)+C se llama integral definida de f(x) y se designa como ∫f(x)dx

∫f(x)dx = F(x)+C Este caso es el inverso del cálculo de una

derivada: f(x) = dF(x)/dx. TABLA DE INTEGRALES:∫dx = x+ C∫kdx = kx + C

Cn

xdxx

nn

1

1

7. CÁLCULO INTEGRAL

INTEGRAL DEFINIDA: ES EL ÁREA LIMITADA POR UNA CURVA.

Dividimos el área en pequeños rectángulos. El cálculo será más aproximado cuanto más pequeña sea la base.

La relación entre el área y el cálculo integral viene dada por la regla de Barrow:

8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL LA DINÁMICA SE ENCARGA DE BUSCAR EL ORIGEN DE

LOS MOVIMIENTOS. LEYES DE NEWTON:

PRIMERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo mantiene su estado de movimiento a no ser

que actúe una fuerza sobre él

SEGUNDA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO FUNDAMENTAL

La aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a las fuerzas a las que está sometido. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo

amFma

F

a

F

a

F

·....

2

2

1

1

8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

TERCERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo realiza simultáneamente otra fuerza sobre el primero, de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario.

A TENER EN CUENTA Acción y reacción son dos procesos simultáneos (no

consecutivos) Las dos fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre

cuerpos ≠ Fuerzas iguales no implican efectos iguales. Las consecuencias

de cada una dependen de su masa

1,22,1 FF

8.1. ESTUDIO DINÁMICO DE ALGUNOS MOVIMIENTOS SIMPLES

MRU NO TIENE ACELERACIÓN, POR LO QUE Fresultante = 0

MRUA an = 0 y at = cte a = cte. ASÍ, COMO a = cte ; m = cte Fresultante = cte

MCU at = 0 y an = cte ACELERACIÓN NORMAL CONSTANTE

LA FUERZA QUE PRODUCE UN MCU ES UNA FUERZA CENTRÍPETA PERPENDICULAR AL VECTOR VELOCIDAD Y DIRIGIDA AL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

R

vmamF cc

2

·

DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL: ES EL PRODUCTO DE LA MASA DE UN CUERPO POR SU VELOCIDAD

TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE v EN EL S.I. SE EXPRESA EN kg·m/s EXPRESIÓN DE LA 2ª LEY DE LA DINÁMICA EN FUNCIÓN DE

LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:

Así, si la fuerza F total es nula, eso quiere decir que dp/dt =0, por tanto, p = cte EN TODO CUERPO AISLADO, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO SE CONSERVA

vmp

·

dt

pdvm

dt

d

dt

vdmamF

)·(·


IMPULSO MECÁNICO: INDICA QUE EL EFECTO DE UNA FUERZA SOBRE EL ESTADO DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO DEPENDE DEL TIEMPO DURANTE EL QUE ACTÚA

2

1

t

tdtF I :VARIABLE F SI·

tFI

amdt

vdmvm

dt

d

dt

pdF

·)·(


TEOREMA DEL IMPULSO: RELACIONA EL IMPULSO COMUNICADO A UN CUERPO CON LA VARIACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO QUE EXPERIMENTA:

SI LA FUERZA ES CONSTANTE:

ppppddtdt

pd t

t

t

t

2

1

2

1

2

112

t

tdtF I

)(· 12 vvmptFpI


TRABAJO: RELACIONA EL MOVIMIENTO CON LA ENERGÍA

ES EL PRODUCTO ESCALAR DE LA FUERZA Y EL DESPLAZAMIENTO

EN EL S.I. SE MIDE EN J SI TENEMOS UN MOVIMIENTO NO RECTILÍNEO Y/O UNA

FUERZA VARIABLE:

·cos·· rFrFW

2

1

2

121 cos·· drFrdFWrdFdW


TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS: UNA FUERZA CONSERVATIVA ES AQUELLA CUYO TRABAJO SOBRE UN OBJETO EN MOVIMIENTO ENTRE DOS PUNTOS ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA QUE EL OBJETO TOME ENTRE ESOS DOS PUNTOS

LA FUNCIÓN U ES CARACTERÍSTICA DE CADA FUERZA CONSERVATIVA.

PARA UNA FUERZA NO CONSERVATIVA EL TRABAJO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA DEL OBJETO

0· 12

2

121 rFdWUUrdFW ciclo

9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: “El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un punto material es igual a la variación de su energía cinética”

TEOREMA DEL TRABAJO O DE LA ENERGÍA POTENCIAL: “El trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre un punto es independiente del camino y coincide con el opuesto de la variación de la energía potencial asociada a dicha fuerza (U=Ep)”

21

2221 2

1

2

1mvmvW

21

2

1

2

121 · UUUrdFW

9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep SI TODAS LAS FUERZAS SON CONSERVATIVAS:

CUANDO TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN PUNTO MATERIAL SON CONSERVATIVAS: Em = 0. SI EXISTEN FUERZAS NO CONSERVATIVAS (p.e. rozamiento),

W = Ec +Ep = Em

EpW

EcW

21

21

021 pcmpc EEEEEW

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO: CONSERVA SU FORMA DURANTE EL MOVIMIENTO TRASLACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN

TRAYECTORIAS PARALELAS ROTACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN

CIRCUNFERENCIAS ALREDEDOR DE UN EJE DE ROTACIÓN PARA PRODUCIR ROTACIÓN NECESITO PAR DE FUERZAS:

Sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual valor que actúan sobre un cuerpo en sentido contrario y sobre líneas de acción distintas

CUANDO UN PAR DE FUERZAS ACTÚA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO EN REPOSO, PROVOCA MOVIMIENTO DE ROTACIÓN PURO. LA INFLUENCIA DEL PAR DE FUERZAS DEPENDE DE. EL VALOR DE LAS FUERZAS LA SEPARACIÓN ENTRE ELLAS

Cuantificable con el Momento

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UNA FUERZA:CUANDO SE EJERCE

UNA FUERZA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO QUE PUEDE GIRAR ALREDEDOR DE UN EJE, EL SÓLIDO ROTA PORQUE EN EL EJE SE CREA UNA FUERZA DE REACCIÓN DE IGUAL VALOR Y DIRECCIÓN QUE LA FUERZA EXTERNA APLICADA PERO DE SENTIDO CONTRARIO. SE GENERA ASÍ UN PAR DE FUERZAS

EL MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA EN UN PUNTO P RESPECTO DE O ES EL PRODUCTO VECTORIAL DE r = OP Y F

FxrM

0

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS: MAGNITUD

VECTORIAL QUE TIENE POR MÓDULO CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR LA DISTANCIA (PERPENDICULAR) ENTRE ELLAS

21 ·· FdFdM par

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UN PAR:

MAGNITUD VECTORIAL INTRÍNSECA DEL PAR, INDEPENDIENTE DEL PUNTO ELEGIDO COMO ORIGEN DE COORDENADAS

MÓDULO IGUAL AL PRODUCTO DE CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR EL BRAZO DEL PAR (DISTANCIA ENTRE LAS LÍNEAS DE ACCIÓN DE LAS DOS FUERZAS)

DIRECCIÓN PERPENDICULAR AL PLANO DEFINIDO POR EL PAR DE FUERZAS. SU SENTIDO SE OBTIENE DE LA REGLA DEL SACACORCHOS

21 ···· FdFdsenFrM par

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE

ROTACIÓN: Cuando se ejerce un par de fuerzas sobre un sólido rígido o se aplica una fuerza a un cuerpo con eje de giro, todos los puntos (a excepción de los del propio eje) realizan movimientos circulares a velocidad angular El momento de la fuerza se calcula con la ecuación:

MOMENTO DE INERCIA (I): Oposición que presenta el cuerpo a modificar su estado de rotación (similar al papel de la masa en la traslación) Masa puntual: I = m·r2

Sistema de partículas:

·IM

dmrrmI ii22·

11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

EL MOMENTO ANGULAR ES EL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA MASA RESPECTO DE UN PUNTO O.

DEPENDE DEL SISTEMA DE REFERENCIA ESCOGIDO SE MIDE EN kg·m2·s-1

IMPORTANTE PARA EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

pxrL


TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO: OBTENIDO AL DERIVAR EL MOMENTO ANGULAR RESPECTO DEL TIEMPO

MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RÍGIDO: GIRO DE UN DISCO PLANO RESPECTO DEL EJE.

MOMENTO ANGULAR DE CADA PARTÍCULA:

MFxrdt

pdxr

dt

Ld

wILwILLwrmL iiii ···· 2


CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR: CUANDO M=0, dL/dt=0, lo que supone que L=cte. Así, SI LA SUMA DE LOS MOMENTOS DE FUERZA EXTERIORES QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO ES NULA, EL PRODUCTO DEL MOMENTO DE INERCIA POR LA VELOCIDAD ANGULAR SE MANTIENE CONSTANTE:

ctewIcteLdt

LdM ·00

2211 ·· wIwI


ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN: EN UN SÓLIDO RÍGIDO, PODEMOS DESCOMPONER EL MOVIMIENTO EN DOS COMPONENTES:

2 ·

2

1CMtraslaciónc vmE

2rotación ·

2

1wIEc

rotación cn traslaciócrígido sólido E E cE

tema 0. fundamentos de mecánica

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