teilchen-welle dualismus, wellenpakete und das unschärfeprinzip
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Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das
Unschärfeprinzip
E h
kp
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Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)
)(),( tkxiAetx
Einführung von Operatoren
tiEop / xipop
),(),( txEtxt
i ),(),( txptx
xi
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xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1
)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Wir basteln uns ein Wellenpaket!
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Fouriertransformation
Für t=0
xxxpi dppex x )()2()( /)(2/1
dxxep xpi x )()2()( /)(2/1
Wellenfunktion im Ortsraum
Wellenfunktion im Impulsraum
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Gauß‘sches Wellenpaket
22 /)()( ox ppx ep
Fouriertransformation
Breite des Wellenpakets ,px /2
2220 2//2/1)2()( xxip eex
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8
2
/4
px
p
x
Heisenberg‘sche Unschärfe :
Je breiter die Impulsverteilung,desto schmaler die Ortsverteilungund umgekehrt
px
Ebenso: tE
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xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1
)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!
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0/ ox ppxp
tpExpp xxx )()( Phasenfaktor:
gppxx vppEox /)(
Gruppengeschwindigkeit vg
Werte des Integrals groß für
0
0
0
0 )()(
k
k
p
pEvph
Phasengeschwindigkeit
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Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets
Taylorentwicklung
000)()(2/1))(()()( 2
22
000 kkkkkk kkk
kkkkk
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Wellenpakete
x
Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst
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V(R)
im zweiatomigen Molekül
Idealisiert: Harmonischer Oszillator
Überlagerung von äquidistantenEigenzuständen
Breite des Wellenpakets oszilliert
Wellenpakete
R
E
V( R)
R
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Elektronenbeugung am Doppelspalt
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Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen
FalleD1 D2Laser beam
z
NIST,Boulder D. Wineland, 1993
Laserkühlung von zwei Hg Ionen
Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment
Spalte ersetzt durch zwei Ionen
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Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand:
5.4m
4.3m
3.7m
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Welcher Weg Experiment
Itano et al, Phys.Rev. A 1998
Ion1 Ion2 m
½
-½
½
-½
6p
6s
Ion1 Ion2
6p
6s
m
½
-½
½
½
=
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Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen
FalleD1 D2Laser beam
z
Polarisationssensitive
Detektion
Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993
NIST,Boulder D. Wineland
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Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung
Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions:keine Interferenz
Keine Welcher-Weg Information :Interferenz
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Linearer Chirp
Lichtpulskein “Chirp”
dispersives Medium
Lichtpulsmit negativem “Chirp”
Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls
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Chirp
Crab nebula6000 Lichtjahre entferntRadiopulse
Staelin und Reifenstein 1968
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Chirp
Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit
Brehm’s TierlebenDer Kanarienvogel
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Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)
)(),( tkxiAetx
Einführung von Operatoren
tiEop / xipop
),(),( txEtxt
i ),(),( txptx
xi
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Zugehörige Wellengleichung
(Schrödingergleichung für ein freies Teilchen)
),(2
),( 2
22
txxm
txt
i
),(2
),( 22
trm
trt
i
1 dim
3dim
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),()),(2
(),( 2
22
txtxVxm
txt
i
(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t)
Hamiltonoperator:
Kinetische und potentielle Energie
),(2 2
22
txVxm
VTH
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),()),(2
(),( 22
trtrVm
trt
i
),(),( trHtrt
i
(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t)
Das ist fast schon alles!
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Statistische Interpretation der WellenfunktionM. Born 1926
"for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954
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Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A>
rdAdtd
Adtd
*=
rdt
AtA
At
Adtd
)(*
***
rdHAAHit
Adtd
)(
1 *
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Hermetizität
Für einen reellen Erwartungswert gilt:
rdFrdF
** )(
Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt
HAi
Adtd
,1
mit HAAHHA ,
Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen
Definition: Kommutator
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Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäreLösungen der Form:
EtiE ertr )/()(),(
)()( rErH EE
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Energieeigenzustände
Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben.Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung.
nnn aH
'* )()( nnnn rr
Kronecker Symbol
Eigenfunktionen sind orthogonal
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)()(),( rtctr nn
n
Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem
2|)(|)( tctP nn Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden
Messung des Eigenwertes an
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Dirac Schreibweise
rdrgrfgf
)()(| *
Damit schreibt sich die Projektion
rdrAgrfgAf
)()(|| *
Matrixelement
)(),()( ' tctrr nn
als |'n
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Kommutierende Observablen
Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B.Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.
Beispiel: Ort und Impuls
Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größteAnzahl kommutierender Observablen für ein Problem.
ipx x ],[
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Eindimensionale Beispiele
)()(2 2
22
xExxm
KastenpotentialV(x)=0 für |x|<aV(x)=unendlich für x<-a und x>a
für |x|<a
xa
naxn 2
cos/1)(
xa
naxn 2
sin/1)(
Lösungenn=1,3,5...
n=2,4,6...
Mit Randbedingungen folgt:
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Eigenwerte
2
22222
22/
Ln
mmkE nn
n=1,2,3..
Bemerkungen
Nullpunktsenergie von null verschieden
Gerade und ungerade FunktionenParitätsoperator 1P
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Eindimensionaler harmonischer Oszillator
22
21
21
)( xmkxxV
Bedeutung in der Physik
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände,Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums
...|)(21
|)()()( 2
22
aaax xW
axx
WaxaWxW
im Minimum0|)( axW
ax
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)()(21
)(2
22
22
xExkxxxm
m
x undmkE
2
0)()()( 2
2
2
![Page 43: Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/55204d7649795902118cb370/html5/thumbnails/43.jpg)
Ansatz:
)()( 2/2
nHe Hn Hermite-Polynome
folgen aus einem PotenzreihenansatzLösungen´nur für= 2n+1
m
mmah
0
)(
)21
( nEn Eigenwerte
Eigenfunktionen )()( 2/2
xHeNx nx
nn
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Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip?
Antwort folgt
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Drehimpuls
Operatoren
iLz
2
2
222
sin1
)(sinsin
1
L
Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz :L2 und Lz vertauschen mit H: ErhaltungsgrößenEigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l)
Kugelflächenfunktionen ),( mY
prL
klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten
präzediert , daher keine ErhaltungsgrößeL
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Zentralpotentiale
Potential V( r ) || rr
)(2
22
rVm
H
)(sin1
)(sinsin1
)(1
2 2
2
2222
2
2
rVrrr
rrrm
H
)()(1
2 22
22
2
2
rVr
Lr
rrrm
H
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0,, 2 zLHLH
Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz
Separation
),()(),,( mEmE YrRr
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)()()())1(
)(1
2 ,,22
2
2
rERrRrVrr
rrrm EE
mit )()( ,, rrRru EE
)()()(2
)1(2 ,,2
2
2
22
rEururVmrrm EE
Veff(r)
Radialgleichung