1.

AGREGAT:

KRUPNOĆA ZRNA, FRAKCIJE I GRANULOMETRIJSKI SASTAV

1.17 U sitnom agregatu (frakcija 1.) za beton ima 12% zrna krupnoće do 0,125 mm, dok je za d ≥ 0,25 mm granulometrijska kriva tog agregata (u kome nema nadmerenih zrna), definisana funkcijom Y=100⋅(d/D)0,55. Krupan agregat, pak, definisan je na sledeći način: - frakcija 2. (4/8 mm): podmerena zrna 10%, nadmerenih zrna nema; - frakcija 3. (8/16 mm): podmerenih zrna nema, nadmerenih zrna nema; - frakcija 4. (16/31,5 mm): podmerena zrna 10%, nadmerenih zrna nema. a) Sastaviti granulometrijsku kompoziciju agregata za beton tako da ona zadovolji sledeće uslove: - u mešavini ima 40% agregata sa zrnima krupnoće do 4 mm; - u mešavini ima 10% zrna sa krupnoćom 4-8 mm; - u mešavini ima 20% zrna sa krupnoćom 8-16 mm.

Sve granulometrijske krive (linije prosejavanja) koje figurišu u okviru zadataka prikazati na istom dijagramu. b) Ako su zapreminske mase predmetnih frakcija agregata sledeće: - frakcija 1. - 1520 kg/m3, - frakcija 2. - 1515 kg/m3, - frakcija 3. - 1505 kg/m3, - frakcija 4. - 1485 kg/m3, kolika će biti procentualna učešća pojedinih frakcija u mešavini ix , pod uslovom da se njihovo doziranje ne vrši prema masi, već prema zapremini?

REŠENJE: a) Za frakciju 0/4 mm, tj. za 0,25 ≤ d ≤ 4 je

Y = 100⋅55,0

4d

d (mm) Y (%)

0,25 21,8 0,5 31,9 1,0 46,6 2,0 68,3 4,0 100

12

22

32

47

68

10 10

100

70

50

40

26

1812950

20

40

60

80

100

0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 31.5d (mm)

Y (%

)

Kriva 1Kriva 2Kriva 3Kriva 4Kriva M

Y4 = 40 % 100⋅x1 + 10⋅x2 = 40 ⇒ x2 = 4 - 10⋅x1 Y8 = 50 % 100⋅x1 + 100⋅x2 = 50 ⇒ x1 + x2 = 0,5 Y16 = 70 % 100⋅x1 + 100⋅x2 + 100⋅x3 + 10⋅x4 = 70

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

50 + 100⋅x3 + 10⋅x4 = 70 0,5 + x3 + x4 = 1,0 ⇒ x4 = 0,5 - x3

100⋅x3 + 5 - 10⋅x3 = 20 ⇒ x3 = 0,167 (16,7%) x4 = 0,333 (33,3%)

x1 + 4 - 10⋅x1 = 0,5 ⇒ x1 = 0,389 (38,9%) x2 = 0,111 (11,1%)

d (mm) Frakcija

0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 31,5 0/4 12 22 32 47 68 100 100 100 100 4/8 0 10 100 100 100 8/16 0 100 100

16/31,5 0 10 100 0,389×(1.) 4,7 8,6 12,4 18,3 26,4 38,9 38,9 38,9 38,9 0,111×(2.) 0 1,1 11,1 11,1 11,1 0,167×(3.) 0 16,7 16,7 0,333×(4.) 0 3,3 33,3

Y(%) 4,7 8,6 12,4 18,3 26,4 40,0 50,0 70,0 100

b) 1520389V1 = ,

1515111V2 = ,

1505167V3 = ,

1485333V4 =

∑ V = 0,256 + 0,073 + 0,111 + 0,224 = 0,664

∑=

VVx i

i

386,0x1 = (38,6%) , 110,0x 2 = (11,0%) , 167,0x 3 = (16,7%) , 337,0x 4 = (33,7%)

Zaključak: vrednosti procentualnih učešća sračunatih prema zapremini ( ix ) se praktično poklapaju sa vrednostima istih tih učešća prema masama (xi).

1.20 Za atheziono prednapregnut nosač sa poprečnim presekom i detaljima armature prikazanim na priloženoj skici, odrediti sledeće:

a) Veličinu nominalno najkrupnijeg zrna agregata D u sastavu betona za izvođenje predmetnog nosača. Ovaj deo zadatka rešiti na bazi odgovarajućih odredaba BAB-a 87. Pretpostavljajući da na raspolaganju stoje standardne frakcije agregata 0/4, 4/8, itd., na osnovu izračunate veličine D usvojiti broj frakcija za spravljanje predmetnog betona.

b) Veličinu zrna Dmax polazeći od uslova koji proističu iz efekta rešetke i efekta zida, ako

se radi o rečnom agregatu. c) Sastav mešavine agregata za predmetni beton polazeći od uslova da u toj mešavini

bude 50% sitnog agregata i da ordinata granulometrijske krive te mešavine za d=8 mm ima vrednost koja odgovara EMPA krivoj. Pri rešavanju ovog dela zadatka uzeti u obzir da su frakcije 0/4 mm i 4/8 mm definisane putem priložene tabele, dok ostale frakcije koje dolaze u obzir za primenu nemaju podmerenih zrna, a količine nadmerenih zrna u njima iznose 2%.

d (mm) Frakcija 0,25 0,5 1 2 4 8 16

0/4 -Y (%) 18 52 72 92 96 100 100 4/8 -Y (%) 0 0 0 3 12 94 100

d) Nacrtati granulometrijske krive svih frakcija koje se primenjuju, kao i granulometrijsku

krivu dobijene mešavine. Da li dobijena mešavina agregata ispunjava uslov koji se odnosi na veličinu Dmax prema tački b)?

18

5.5 7 5.5

Ø6/20

Ø6/20

2Ø6

Ø6/20

5x3Ø3mm

2.5 4x3.25 2.5

18

64

204

6

40

3Ø3mm

3Ø3mm

14.53.53.5

13 13

6 6lg=59.5cm

3.5 3.5

13

66lg=59.5cm

13

14.5

8

8

31 31

6 6

5

r

r r=2.5

r=2.5

lg=9

8cm

2.5

312.

5

36

6mm

6mm

3x3Ø3mm

REŠENJE: a)

e1 = 7 − 4⋅0,6 = 7 − 2,4 = 4,6 cm

e2 = 3,25 − 0,6 = 2,65 cm = emin D ≤ 1,25⋅emin ⇒ D ≤ 1,25⋅2,65 = 3,3cm Usvojeno: D = 16 mm

D ≤ cm0,230,6

= Beton treba spravljati na bazi

D ≤ cm75,140,7

= trofrakcijskog agregata 0/4, 4/8 i 8/16 mm!

b) Efekat rešetke: a = 2,65 cm b = 20,0 cm

17,1166,1)6,02065,2(2

)6,020(65,2≅=

−+⋅−⋅

=ρ

Dmax ≤ Er⋅ρ (Er = 1,4) Dmax ≤ 1,4⋅1,17 = 1,64 cm

Efekat zida:

414,33,010038

414,36,01002

414,36,0985

414,36,05,5925100720)4

2718618(2V

222

2

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅+⋅++⋅⋅=

V = 45600 − 168 − 138 − 56 − 170 = 45 068 cm3 S = 18⋅100 + 4⋅6⋅100 + 4⋅6,8⋅100 + 2⋅20⋅100 + 5⋅2⋅59,5⋅0,6⋅3,14 +

+ 5⋅98⋅0,6⋅3,14 + 2⋅100⋅0,6⋅3,14 + 8⋅3⋅100⋅0,3⋅3,14 S = 1800 + 2400 + 2720 + 4000 + 1121 + 923 + 377 + 2261 S = 15 602 cm2

⇒

Dmax ≤ Ez⋅R = Ez SV

⋅ (Ez = 0,9)

Dmax ≤ 0,9⋅6238

45068 = 2,60 cm

c) Uslovi: Y(4) = 50,0 % (1)

Y(8) = )168

168(50 +⋅ = 60,35 % (2)

96⋅x1 + 12⋅x2 = 50,00 /:12

100⋅x1 + 94⋅x2 = 60,35 /:94 x1 + x2 + x3 = 1,00

_________________________________

8⋅x1 + x2 = 4,167 1,064⋅x1 + x2 = 0,642

_________________________________

6,936⋅x1 = 3,525 ⇒ x1 = 0,508 (50,8 %)

x2 = 4,167 - 8⋅0,508 ⇒ x2 = 0,103 (10,3 %)

x3 = 1 - 0,508 - 0,103 ⇒ x3 = 0,389 (38,9 %) d (mm) 0,25 0,5 1 2 4 8 16 31,5 Yi,1 (%) 18 52 72 92 96 100 100 100 Yi,2 (%) 0 3 12 94 100 100 Yi,3 (%) 0 98 100 x1⋅Yi,1 9,14 26,42 36,58 46,74 48,77 50,80 50,80 50,80 x2⋅Yi,2 0 0,31 1,24 9,68 10,30 10,30 x3⋅Yi,3 0 38,12 38,90

9,14 26,42 36,58 47,05 50,01 60,48 99,22 100 YM (%) Zaokr. 9 26 37 47 50 60 99 100

d)

52

72

100100100100

18

9692

3

12

94 98

99

5047

37

26

9

60

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.25 0.5 1 2 4 8 16 31.5d (mm)

Y (%

)

Kriva IKriva IIKriva IIIKriva M

391

816D

=−

∆

D∆ = 0,205 mm

Dmax = 16 + 0,205 = 16,205 mm ≈ 16,2 mm < 16,4 mm Prema tome, usvojeno zrno D=16 mm, odnosno data mešavina agregata, u potpunosti zadovoljava uslove propisane BAB-om 87, kao i uslove koji proističu na osnovu efekta rešetke i efekta zida.

100

50

60

70

80

90

100

8 16 31.5

d (mm)

Y (%

)

39

1

D∆

99

2.

PROJEKTOVANJE SASTAVA BETONSKIH MEŠAVINA

2.3 Montažni (prefabrikovani) stubovi jedne otvorene hale-nadstrešnice izvode se od betona MB 45, koji se spravlja sa cementom klase 45. Broj stubova (videti priloženu skicu) u okviru objekta je 14 komada. Beton o kome je reč, spravlja se uz dodatak aeranata u količini od 0,4% koji, osim obezbeđenja potrebne poroznosti betona (p), proizvodi i efekat plastifikatora. Na priloženom dijagramu mogu se sagledati ukupni efekti ovog dodatka betonu. a) Sastaviti recepturu za sprovođenje prethodnih ispitivanja predmetog betona koristeći formulu Skramtajeva (za normalan kvalitet materijala), pretpostavljajući da se radi o betonu koji u svežem ugrađenom stanju ima zapreminsku masu od 2330 kg/m3, pri čemu su specifične mase agregata i cementa 2680 kg/m3 i 2970 kg/m3. S obzirom na primenu aeranta, kojoj ekvivalentnoj količini vode u odnosu na konzistenciju mešavine odgovara dobijena računska vrednost mv?

b) Pod pretpostavkom da se pri betoniranju predmetnih stubova koristi mešalica za beton sa koeficijentom izlaza betonske mešavine ki = 0,7 sračunati koliko iznose ukupne količine pojedinih komponentnih materijala (u kg) i koji je odnos zapremine upotrebljenog agregata prema ukupno potrebnoj zapremini betona ?

Prilikom rešavanja ovog dela zadatka uzeti u obzir da je zapreminska masa cementa 1650 kg/m3, a zapreminska masa mešavine agregata (u zbijenim stanju) 1450 kg/m3. REŠENJE: a) Osnovni ulazni podaci: MB 45 , PC 45, D = 31,5 mm

fk,28= 45 + 8 = 53 MPa

Prema formuli Skramtajeva:

- za ω ≥ 0,4: 53 = 0,60⋅ 45⋅

−

ω5,01 ⇒ ω = 0,406 →

- za ω ≤ 0,4: 53 = 0,40⋅ 45⋅

+

ω5,01 ⇒ ω = 0,409

maer = 0,4% ⇒ redukcija vode iznosi 8%

ω = C

V

mm = 0,406 ⇒ mv = 0,406⋅mc

04,0-1=2680m

+2970×406,0

m+

1000m avv

mv + 2330m406,0

ma

v =+

1,829⋅10-3 ⋅mv + 0,373⋅10-3 ⋅ma = 0,96

3,463⋅mv + ma = 2330 ⇒ ma = 2330 - 3,463⋅mv

1,829⋅10-3 ⋅mv + 0,373⋅10-3 ⋅ (2330 - 3,463⋅mv) = 0,96

1,829⋅10-3 ⋅mv - 1,292⋅10-3 ⋅mv = 0,96 - 0,8691

0,537⋅10-3 ⋅mv = 0,0909

mv ≅ 169 kg/m3

Ovaj rezultat je merodavan

S obzirom na primenu aeranta, dobijena količina vode u odnosu na konzistenciju

ekvivalentna je količini vode: mv,ekv = 169/0,92 = 183,7 ≅ 184 kg/m3

mc = 169/0,406 ≅ 416 kg/m3

ma = 2330 - 416 - 169 = 1745 kg/m3 ma/mc = 1745/416 = 4,195

b) Zapremina betona u jednom stubu:

VS1 = 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 2,00 + 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 4,00 + 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 = 0,412 m3

Za 14 stubova: VS = 14⋅ 0,412 = 5,768 m3

ki = 0,7

7,0768,5

=M195,4

+M

a

c

c

c

γγ ⇒ 24,8=

1450M195,4

+1650M cc

Mc ≅ 2355 kg ⇒ Ma = 4,195⋅2355 ≅ 9879 kg

Mv = 0,406⋅2355 = 956 kg

Maer = 0,004⋅2355 = 9,42 kg

Va = 9879/1450 = 6,813 m3

Va/Vs = 6,813/5,768 ≅ 1,18 ⇒ potrebno je ≈ 18 % više agregata po

zapremini, nego što je potrebno betona !

2.10 Za spravljanje betona marke MB 25 koristi se cement klase 45 (γsc = 3000 kg/m3) i četvorofrakcijski agregat sa specifičnom masom γsa = 2700 kg/m3. Predmetni beton se izrađuje sa količinom vode koja je definisana putem obrasca

mv = 400/ 5 D (u kg/m3, za D u mm). a) Sastaviti recepturu za predmetni beton polazeći od pretpostavke da se radi o betonu kategorije B.I prema pravilniku BAB-87 i da je vp = 0. b) Sastaviti recepturu za isti beton pretpostavljajući da je reč o betonu kategorije B.II prema BAB-87, pri čemu koristiti Fereov obrazac oblika fk,28 = fk,28(mv/mc). Beton se i u ovom slučaju ugrađuje bez zaostalog vazduha (vp = 0). c) Kolika se razlika – ušteda – u količini cementa (po apsolutnoj vrednosti i u procentima) dobija pri tretiranju predmetnog betona kao betona kategorije B.II u odnosu na slučaj kada se on tretira kao beton kategorije B.I. d) Koja se marka betona može dobiti sa količinom cementa i količinom vode pod a), ako se taj slučaj betona tretira na principima koji važe za beton kategorije B.II? REŠENJE:

a) MBpr = 25 MPa

B.I 2015,31

4005,31

400m 2,05v === kg/m3

mc = 0,9⋅350 = 315 kg/m3

11000201

3000315

2700ma =++

ma = 2700⋅(1 - 0,105 - 0,201) ma = 1874 kg/m3 γb,sv = 1874 + 315 + 201 = 2390 kg/m3

b) B.II fk,28 = 25 + 8 = 33 MPa

mv = 201 kg/m3

2

100030001

32033

⋅ω+

=

(1 + 3⋅ω)2 = 9,697 1 + 3⋅ω = 3,114 ω = 0,705 ⇒ mc = 285 kg/m3

11000201

3000285

2700ma =++

ma = 2700⋅(1 - 0,095 - 0,201) = 1901 kg/m3

γb,sv = 1901 + 285 + 201 = 2387 kg/m3

c) Ušteda na količini cementa u odnosu na beton kategorije B.I

∆mc = 315 - 285 = 30 kg/m3

U procentima : %5.910031530

≅⋅

d) mc = 315 kg/m3 , mv = 201 kg/m3

638,0315201 ==ω

fk,28 = ( )2638.031

320⋅+

fk,28 = 37,7 MPa

fk,28 = MBpr + 8

37,7 = MBpr + 8

MBpr = 29,7 ≅ 30

3.

ISPITIVANJE SVOJSTAVA BETONA

3.5 Prilikom probnih ispitivanja jednog betona načinjeno je ukupno šest uzoraka oblika kocki sa ivicama 20 cm. Tri kocke su negovane u vodi temperature 10oC i ispitivane pri starosti od sedam dana (ispitivanje 1.), dok su druge tri kocke negovane u vodi temperature 20oC i ispitivane na 28 dana (ispitivanje 2.). U prvom slučaju pri ispitivanju su dobijene sile loma uzoraka od 1150 kN, 1270 kN i 1220 kN, dok su u drugom slučaju sile loma uzoraka bile 1920 kN, 1860 kN i 2070 kN. a) Na osnovu rezultata ispitivanja koji se odnose na starost betona od 28 dana, a polazeći od odredaba BAB-a 87 (slučaj uhodane proizvodnje), utvrditi da li predmetni beton zadovoljava uslove predviđene za marku betona MB 40. b) Koristeći koncept zrelosti betona, a pretpostavljajući da važi linearna zavisnost između čvrstoće betona fk i veličine ln M, na bazi ispitivanja 1. i 2. definisati zavisnost fk = fk (ln M). c) Ako se pretpostavi da je predmetni beton ugrađen u jedan gredni element, koje vrednosti zrelosti M ovog betona odgovaraju čvrstoćama koje su prema BAB-u 87 propisane kao uslovi za:

- uklanjanje vertikalnih delova oplate, - prestanak nege betona, - uklanjanje horizontalnih delova oplate.

d) Ako se kao funkcija promene temperature ambijenta oko posmatranog elementa kroz vreme usvoji priloženi dijagram, koliko dugo (izraženo u danima) treba da se neguje (da odležava) dati beton, da bi se ostvarili uslovi čvrstoća prema tački c) (dobijene rezultate zaokružiti ″na više″).

01

2

6

10

65

-1

-3-2

-1

-3-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

t (dani)

T (o

C)

1 2

3 4 5

6

7 8 9 10

11 12 13

REŠENJE: a)

Ispitivanje Uslovi nege Pgr (kN) fk (MPa) M (°C⋅dan) 1150

1. 1270 30,33 140

T = 10°C t = 7 dana 1220

1920 2. 1860 840

T = 20°C t = 28 dana 2070

m3 = 48,75 x1 = 46,50

48,75 > 40 + 3 = 43 , 46,50 > 40 - 3 = 37 ⇒ zadovoljen je uslov za MB 40.

b)

fk = 30,33 + ( )9416,4Mln7918,1

33,3075,48−⋅

−

fk = 30,33 + 10,2802⋅lnM - 50,8005

fk = 10,28⋅lnM - 20,47

lnM = 28,10

47,20f k +

c) - Uslov uklanjanja vertikalnih delova oplate:

0,3MB = 12 MPa = fk ⇒ M = 23,54°C⋅dan

- Uslov nege: 0,6MB = 24 MPa = fk ⇒ M = 75,63°C⋅dan

- Uslov uklanjanja horizontalnih delova oplate:

0,7MB = 28 MPa = fk ⇒ M = 111,61°C⋅dan

d)

65

01 1

2

6

-1-3

-2-1-3

10

-10-8-6-4-202468

1012

t (dani)

T ( C

)

(16) (15) (10) (7) (9) (11) (11) (8) (7) (9) (12) (16) (20)

21 34

5 67 8 9

10 11 12

o

1631

4148

5768

7987

94103

115131

151

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13t (dani)

M (

C d

an)

M =23.54posle cca 2 dana

M =75.63 posle cca 7 dana

M =111.61 posle cca 11 dana

o

Merenje - prizma Vrsta betona

Pgr,28 (kN) 1 2 3

1. 243 26 28 25 2. 381 37 39 36 3. 519 49 50 53

3.13 Moduli elastičnosti tri betona (1. , 2. i 3.), za slučaj starosti od 28 dana, ispitivani su saglasno šemi i podacima datim na priloženoj skici. Srednje vrednosti graničnih sila (sila loma) ovih betona, prethodno dobijene ispitivanjem tri prizme dimenzija 12×12×36 cm, kao i veličine ∆l u hiljaditim delovima milimetra (srednje vrednosti promene dužine merne baze lo, merene pomoću četiri deformetra postavljena na bočnim površinama svake prizme), takođe dobijene sprovođenjem merenja na tri prizme, date su u priloženoj tabeli. a) Na bazi datih eksperimentalnih veličina odrediti module elastičnosti E betona 1. , 2. i 3. , kao i čvrstoće istih betona svedene na uzorak oblika kocke sa ivicama dužine 20 cm (fk,28). b) Odrediti module elastičnosti istih betona 1. , 2. i 3. koristeći empirijski obrazac dat u BAB-u 87, a izračunati takođe i odstupanja dobijenih eksperimentalnih vrednosti modula elastičnosti u procentima u odnosu na veličine prema BAB-u. c) Koristeći metodu najmanjih kvadrata, odrediti izraze za prave linije E = E (fk,28) koje najbolje aproksimiraju rezultate eksperimentalnog ispitivanja modula elastičnosti betona i vrednosti modula elastičnosti izračunate prema BAB-u 87. Za koje vrednosti modula elastičnosti (da li za eksperimentalne ili za one prema BAB-u) prava linija predstavlja bolju aproksimaciju?

REŠENJE:

a) σd = 144

1010 ⋅ = 0,694 MPa σg = 3

f 28,p (MPa)

Merenje - prizma Vrsta

betona Pgr,28 (kN)

fp,28 (MPa)

σd (MPa)

σg (MPa) 1 2 3

1. 243 16,875 0,694 5,625 26 28 25 2. 381 26,458 0,694 8,819 37 39 36 3. 519 36,042 0,694 12,014 49 50 53

∆ε = oll∆ fk,28 = 1,25⋅fp,28 E =

ε∆

σ−σ dg

Beton 1: ∆ε = 15010)252826(

31 3−

⋅++⋅ = 176⋅10−6 mm/mm

fk,28 = 21,09 MPa

E = 610176

694,0625,5⋅

− = 28 017 MPa ≈ 28,02 GPa

Beton 2: ∆ε = 15010)363937(

31 3−

⋅++⋅ = 249⋅10−6 mm/mm

fk,28 = 33,07 MPa

E = 610249

694,0819,8⋅

− = 32 630 MPa = 32,63 GPa

Beton 3: ∆ε = 15010)535049(

31 3−

⋅++⋅ = 338⋅10−6 mm/mm

fk,28 = 45,05 MPa

E = 610338

694,0014,12 ⋅− = 33 491 MPa ≈ 33,49 GPa

b) Prema BAB-u 87: EBAB = 9,25⋅ 3

28,k 10f +

Beton 1: EBAB = 9,25⋅ 3 09,31 = 29,08 GPa ∆ = 10008,29

08,2902,28⋅

− = −3,6 %

Beton 2: EBAB = 9,25⋅ 3 07,43 = 32,42 GPa ∆ = 10042,32

42,3263,32⋅

− = 0,6 %

Beton 3: EBAB = 9,25⋅ 3 05,55 = 35,19 GPa ∆ = 10019,35

19,3549,33⋅

− = −4,8 %

c) Metoda najmanjih kvadrata - MNK (linearna zavisnost):

fk,28 → p E → x

Koeficijenti u jednačinama MNK dati su u okviru naredne tabele.

pi (pi)2 xi (Eksperim.)

xi (BAB 87) xi,EX×pi xi,BAB×pi

21,09 444,79 28,02 29,08 590,94 613,30 33,07 1093,62 32,63 32,42 1079,07 1072,13 45,05 2029,51 33,49 35,19 1508,73 1585,31 Σ = 99,21 3567,92 94,14 96,69 3178,74 3270,74

Prema rezultatima eksperimentalnog ispitivanja dobija se:

3567,92⋅a1 + 99,21⋅a2 = 3178,74 99,21⋅a1 + 3⋅a2 = 94,14

35,96⋅a1 + a2 = 32,04 33,07⋅a1 + a2 = 31,38

2,89⋅a1 = 0,66 a1 = 0,228

a2 = 23,84

307,17045,287207,4294

)14,943142,2971()21,99

3192,3567(

)14,9421,993174,3178(

r22

2

2

⋅=

⋅−⋅⋅−

⋅⋅−= = 0,8644

r = 0,9297

Prema BAB-u 87 dobija se:

3567,92⋅a1 + 99,21⋅a2 = 3270,74 99,21⋅a1 + 3⋅a2 = 96,69

35,96⋅a1 + a2 = 32,97 33,07⋅a1 + a2 = 32,23

2,89⋅a1 = 0,74 a1 = 0,256

a2 = 23,76

721,18045,287489,5358

)69,963104,3135()21,99

3192,3567(

)69,9621,993174,3270(

r22

2

2

⋅=

⋅−⋅⋅−

⋅⋅−= = 0,9972

r = 0,9986 ⇒ Dakle, izraz po BAB-u bolje odgovara pravoj liniji

nego rezultati eksperimentalnih ispitivanja (s obzirom da je koeficijent regresije r bliži jedinici)

4.

PROBLEMI IZ UŽE OBLASTI TEHNOLOGIJE BETONA

4.5 Na jednom gradilištu u žarkom klimatu na raspolaganju stoje agregat, cement i voda sa temperaturama koje imaju sledeće vrednosti: Ta = 40°C, Tc = 35oC, Tv = 24oC. a) Kolika će biti temperatura betonske mešavine neposredno po spravljanju, ako se koriste komponente betona sa napred datim temperaturama, a pod pretpostavkom da je ma = 1891 kg/m3, mc = 315 kg/m3, mv = 189 kg/m3. b) Kolika treba da bude temperatura vode da bi se sa napred datim količinama ma, mc i mv i sa temperaturama Ta i Tc dobila početna temperatura svežeg betona od 29°C. c) Pod pretpostavkom da se koristi voda sa temperaturom 10°C nižom od napred navedene, a da su temperature agregata i cementa iste kao ranije, izračunati koliko leda treba upotrebiti pri spravljanju predmetnog betona, da bi on neposredno po završetku mešanja, imao temperaturu od 29°C. d) Ako je kapacitet mešalice u kojoj se spravlja predmetni beton 850 litara, izračunati koliko treba upotrebiti agregata, cementa, vode i leda (bazirano na uslovima iz tačke c), da bi se dobila data količina svežeg betona. e) Ako zagrejanost pojedinih komponenata betona odgovara slučaju pod c), izračunati koliko u mešalicu navedenu pod d) treba uneti leda (u kg) da bi se temperatura mešavine snizila za 1°C, odnosno za koliko se snižava temperatura mešavine (u °C), ukoliko se u mešalicu unese količina leda od 1 kg.

REŠENJE : a) ma = 1891 kg/m3 , Ta = 40°C

mc = 315 kg/m3 , Tc = 35°C mv = 189 kg/m3 , Tv = 24°C

2,63021869

189)3151891(2,018924)31535189140(2,0Tbo =

++⋅⋅+⋅+⋅⋅

=

Tbo = 34,7°C

b)

189)3151891(2,0T189)31535189140(2,029 v

++⋅⋅+⋅+⋅⋅

=

2,630T18917333

29 v⋅+=

18275,8 = 17333 + 189⋅Tv

Tv ≅ 5°C c) vT′ = 14°C

189)3151891(2,0m8014)m189()31535189140(2,029 ll

++⋅⋅−⋅−+⋅+⋅⋅

=

2,630m80m1426461733329 ll ⋅−⋅−+

=

18275,8 = 19979 - 94⋅ lm

lm = 18 kg/m3

d) Da bi se dobila količina betona od 0,85 m3 (kapacitet mešalice) treba upotrebiti:

agregata: 0,85⋅1891 ≅ 1607 kg cementa: 0,85⋅315 ≅ 268 kg vode: 0,85⋅(189-18) ≅ 145,3 kg leda: 0,85⋅18 ≅ 15,3 kg

e)

2,630m9419979T l

bo⋅−

=

Tbo = 31,703 - 0,149⋅ml

149,0mT149,0

dmdT

l

bo

l

bo −=∆∆

⇒−=

7,5149,085,0M1T lbo ==∆⇒−=∆ kg

Znači, da bi se temperatura svežeg betona snizila za 1°C, treba u mešalicu ubaciti 5,7 kg leda.

C18,085,0

149,0Tkg1M bol°−≅−=∆⇒=∆

Znači da 1 kg leda unet u mešalicu snižava temperaturu mešavine za cca 0,18°C. 4.6 Betoni označeni sa ″1″, ″2″ i ″3″ zaparivani su na sledeće načine: - ″1″ je posle odležavanja u trajanju od 1h na temperaturi 15oC zagrevan do 75oC brzinom od 20oC/h, da bi posle određene izotermije bio hlađen do 15°C brzinom od 15oC/h; ukupno vreme trajanja zaparivanja (uključujući i odležavanje) iznosilo je 11h; - za beton ″2″ važi sve isto kao za ″1″, s tim što postoji razlika u ukupnom vremenu trajanja procesa, koje u konkretnom slučaju iznosilo 13h; - za beton ″3″ važi sve isto kao za ″1″, s tim što postoji razlika u ukupnim vremenu trajanja procesa, koje u konkretnom slučaju iznosilo 15h.

a) Definisati zavisnost oblika fk =fk(M), gde je M ″zrelost″ zaparivanog betona definisana u vidu površine između apscisne ose i linije koja se naziva ″režimom zaparivanja″, i čvrstoće betonske kocke fk koja odgovara završetku procesa zaparivanja; predmetne čvrstoće betona su fk1=16,9 MPa (za ″zrelost″ M1), fk2=20,7 MPa (za ″zrelost″ M2) i fk3=25,4 MPa (za ″zrelost″ M3). Navedena funkcionalna zavisnost treba da je u vidu prave linije definisane metodom najmanjih kvadrata.

b) Koristeći funkcionalnu zavisnost dobijenu pod a), izračunati vrednost M koja treba da

bude zadovoljena da bi beton po završetku procesa zaparivanja imao manipulativnu čvrstoću fk=22,5 MPa.

c) Koliko treba da bude ukupno vreme trajanja procesa zaparivanja (uključujući i fazu odležavanja) da bi se ostvarila čvrstoća fk=22,5 MPa, ako se primene iste brzine zagrevanja i hlađenja kao u dosadašnjim slučajevima, uz uslov da je temperatura izotermije 90oC?

d) Koliko treba da bude ukupno vreme trajanja procesa zaparivanja (uključujući i fazu

odležavanja) da bi se ostvarila čvrstoća fk=22,5MPa, ako se primene iste brzine zagrevanja i hlađenja kao u dosadašnjim slučajevima, uz uslov da je temperatura izotermije 60oC?

REŠENJE: a)

M1 = 11⋅15 + [(11 - 1) + (7 - 4)]⋅ 0,5550,3900,1652

1575 =+=− °Ch

M2 = 555 +2⋅60 + 2⋅15 = 705,0 °Ch M3 = 705 +2⋅60 + 2⋅15 = 855,0 °Ch

fk → x ; M→ p

∑p2i = 5552 + 7052 + 8552 = 308025 + 497025 + 731025 = 1.536.075

∑pi = 2115 ∑pi⋅xi = 9379,5 + 14593,5 + 21717 = 45690 ∑xi = 63,0

1536075⋅a1 + 2115⋅a2 = 45690 2115⋅a1 + 3⋅a2 = 63

726,28⋅a1 + a2 = 21,602 705,00⋅a1 + a2 = 21,000

21,28⋅a1 = 0,602 ⇒ a1 = 0,0283 , a2 = 1,056

b) fk = 22,5 MPa ⇒ 22,5 = 0,0283⋅M + 1,056

0,0283⋅M = 21,444

M ≅ 758 °Ch

c) za Ti = 90°C

i

22

i t7521

1575

2075t

1575

2075115758 ⋅+⋅

++

+++⋅=

( ) ii t75210,37525,28125,146t15758 ⋅+⋅+++⋅=

90⋅ti = 611,75 - 328,125 ⇒ ti = 3,15h

Ukupno vreme zaparivanja i odležavanja:

tuk = 1,0 + 139,1215,31575

2075 ≅=++ h

d) za Ti = 60°C

i

22

i t4521

1545

2045t

1545

2045115758 ⋅+⋅

++

+++⋅=

( ) ii t45210,13525,10175,93t15758 ⋅+⋅+++⋅=

60⋅ti = 664,30 - 118,125 ⇒ ti = 9,10h

Ukupno vreme zaparivanja i odležavanja:

tuk = 1,0 + 5,1535,151,91545

2045

≅=++ h

4.8 Jedan pogon za izradu betonskih prefabrikata proizvodi godišnje 5100 komada armiranobetonskih ploča dimenzija 4,75 m × 2,00 m × 0,14 m, kao i jedan broj drugih elemenata koji po količini ugrađenog betona čine 65% u odnosu na količinu betona koja se primenjuje pri proizvodnji navedenih ploča. U slučaju pogona o kome je reč postoji fabrika betona koja za sve elemente koji se proizvode u pogonu spravlja jedan isti beton. U sastav ovog betona ulazi količina cementa mc = 350 kg/m3 i ukupna količina agregata (zbir svih frakcija) ma = 1950 kg/m3. Fabrika ima samo jednu mešalicu sa periodičnim (cikličnim radom) koju karakterišu koeficijent izlaza betonske mešavine 0,65 i sledeća vremena punjenja, mešanja i pražnjenja mešalice: τp = 1,5 min, τm = 2,5 min, τpr = 1,0 min. a) Računajući sa 300 radnih dana u godini, sa sedmočasovnim radnim vremenom fabrike betona, sa koeficijentom neravnomernosti korišćenja mešavina 1,4 i sa koeficijentom rezerve 1,2, odrediti potreban kapacitet mešalice Vmeš u datoj fabrici; rezultat zaokružiti na praktično prihvatljivu vrednost. Nakon ovoga izračunati faktičku proizvodnost mešalice, faktičku godišnju proizvodnju betona u fabrici, kao i količinu betona koju fabrika proizvodi nedeljno. b) Ako su zapreminske mase agregata i cementa koji se koriste za proizvodnju betona u datoj fabrici 1600 kg/m3 i 1100 kg/m3, izračunati utroške agregata i cementa u t/ned. i m3/ned. koji su neophodni za dimenzionisanje kapaciteta bunkera (silosa) za agregat i cement. Pri ovome pretpostaviti da je agregat razvrstan u frakcije 0/4, 4/8, 8/16 i 16/31,5 mm i da je učešće pojedinih frakcija u agregatu saglasno izrazu Y = 100⋅(d/31,5)0,5. REŠENJE: a) - Broj međuspratnih ploča: 5100 komada - Količina betona za ove ploče: 5100⋅0,14⋅2,00⋅4,75 = 6783 m3/god. - Količina betona za ostale elemente konstrukcije:

4409678365,0V00,165,0

VV

ostaloploce

ostalo ≅⋅=⇒= m3/god.

- Ukupna godišnja proizvodnja fabrike:

Q = 6783 + 4409 = 11192 m3/god. Qusv = 1,2⋅11192 = 13430 m3/god. ≅ 14000 m3/god. τc = 1,5 + 2,5 + 1,0 = 5,0 min

nc = 12560 = - broj ciklusa u toku jednog časa

p = 20,112,14,17300

14000=⋅⋅

⋅m3/h

p1 = 11,20 m3/h

11,20 = 933V1000

V12mes

mes =⇒⋅ lit ≅ 1000lit = 1 m3

pfakt = 121000

121000 =⋅ m3/h

Qfakt = 12⋅ 150002,14,17300

=⋅⋅ m3/h

Qned = 28852

15000 = m3/nedeljno

b) 57,5350

1950mm

c

a ==

65,0288MM

a

a

c

c =γ

+γ

100921

1600110057,51

65,02881100

M c ≅

⋅+

⋅= kg/ned. ≅ 101 t/ned.

Ma = 100921⋅5,57 ≅ 562 t/ned.

921,1

101c ≅=ν m3/ned.

3516,1

562a ≅=ν m3/ned.

agregat: 0/4 ⇒ Y(4) = 100⋅5,0

5,314

= 35,63 % ⇒ 125 m3/ned.

4/8 ⇒ 100⋅ 63,355,31

85,0

−

= 14,76 % ⇒ 52 m3/ned.

8/16 ⇒ 100⋅ 39,505,31

165,0

−

= 20,88 % ⇒ 73 m3/ned.

16/32 ⇒ 100 - 71,27 = 28,73 % ⇒ 101 m3/ned. 351 m3/ned. Za cement treba obezbediti silos za smeštaj cca 100t, odnosno cca 100 m3 nedeljno. Za agregat - bunkeri koji zadovoljavaju gore navedene potrebe.