tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske …...posebni oblici kretanja krutog tela brzina i ubrzanje...
TRANSCRIPT
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Doc. dr Stanko �ori¢email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2019/20
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Translatorno kretanje krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Translatorno kretanje krutog telaRotacija krutog tela oko nepokretne oseRotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela: translacija i rotacija oko nepokretne ose
Kod translatornog kretanja vektor brzine proizvoljne ta£ke
jednak je brzini referentne ta£ke A:
~v = ~vA
Kod rotacije tela oko nepokretne ose vektor elementarnog
pomeranja proizvoljne ta£ke dat je sa (Rodrigov obrazac):
d~r = d~ρ = d~θ × ~ρ
pa je vektor brzine jednak
~v =d~r
dt=d~θ
dt× ~ρ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela: rotacija oko nepokretne ose
Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je
~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =d~θ
dt
Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela i dat je sa
~ω =dθ
dt~s0 = θ ~s0 jer je d~θ = dθ ~s0 (~s0 = const)
Kod rotacije oko nepokretne ose ugaona brzina je izvod po
vremenu ugla obrtanja ω(t) = θ(t)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje
Brzina ta£ke tela pri rotaciji oko nepokretne ta£ke je
~v = ~ω × ~ρ gde je ~ω =�~θ
dt
Vektor ~ω je vektor ugaone brzine tela koji je samo koli£nik
vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod
nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!)
Naravno, vektor ugaone brzine je i kod rotacije oko nepokretne
ta£ke promenljiv sa vremenom, ~ω = ~ω(t) , jer se stalno
menjaju pravci trenutnih osa rotacije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela - sferno kretanje
Vektor ugaone brzine tela ~ω kod sfernog kretanja (kao i kod
op²teg kretanja) je samo koli£nik vektora elementarne rotacije
i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije
oko nepokretne ose!)
Vektor ~ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja)
spada u KVAZIBRZINE, jer ~ω nije izvod po vremenu t nekogvektora (t.j. nije izvod nekog ugla u ravni, ve¢ je vezan za
trenutnu osu rotacije)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Op²te (proizvoljno) kretanje slobodnog krutog tela, kako
kona£no, u intervalu ∆t, tako i beskona£no malo, u vremenu
dt, moºe da se prikaºe kao superpozicija translacije i rotacije
oko ose kroz referentnu ta£ku (ekvivalentne ili trenutne)
Kako je vektor poloºaja ta£ke tela dat sa
~r = ~rA + ~ρ
onda je vektor elementarnog pomeranja jednak
d~r = d~rA + d~ρ
gde je d~ρ = �~θ × ~ρ (Rodrigov obrazac)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Vektor brzine ta£ke tela je dat sa
d~r = d~rA + d~ρ / : dt ⇒
Dobija se izraz za brzinu (Ojlerov obrazac):
~v = ~vA + ~ω × ~ρ (1)
gde je
~v =d~r
dt, ~vA =
d~rAdt
, ~ω =�~θ
dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
* Teorema o projekcijama brzina
Posmatra se telo koje vr²i proizvoljno kretanje
Uo£e se dve proizvoljne ta£ke tela P i Q
Brzine ovih ta£aka su date, redom, sa:
~vP = ~vA + ~ω × ~ρP~vQ = ~vA + ~ω × ~ρQ
(2)
Jedna£ine (2) se me�usobno oduzmu:
~vP − ~vQ = ~ω × (~ρP − ~ρQ) (3)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Teorema o projekcijama brzina
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
* Teorema o projekcijama brzina
De�ni²e se ort pravca koji povezuje ta£ke tela P i Q
~e =
−−→PQ
|−−→PQ|
=~ρQ − ~ρP|~ρQ − ~ρP |
Jedna£ina (3) se skalarno pomnoºi sa ~e, odn. projektuje sa na
osu PQ:
(~vP − ~vQ) · ~e = ~ω × (~ρP − ~ρQ) · ~e (4)
Izraz na desnoj strani (4) je me²oviti proizvod u kome �guri²u
dva kolinearna vektora:
(~ρP − ~ρQ) = −|PQ|~e
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
* Teorema o projekcijama brzina
Prema tome, me²oviti proizvod u (4) je jednak nuli:
~ω × (~ρP − ~ρQ) · ~e = 0
Jedna£ina (4) postaje:
(~vP − ~vQ) · ~e = 0 odn. ~vP · ~e = ~vQ · ~e (5)
Teorema o projekcijama brzina: Projekcije brzina dve ta£ke
krutog tela na osu koja spaja te dve ta£ke su me�usobno
jednake
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Teorema o projekcijama brzina
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
** Teorema ...
Ugaona brzina i ugaona ubrzanje krutog tela ne zavise od
izbora referentne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
Trenutna osa rotacije je geometrijsko mesto ta£aka tela £ije su
brzine u tom trenutku jednake nuli (prava u telu):
~v = ~ω × ~ρ = 0
Jedna£ina trenutne ose rotacije je, prema tome:
~ω × ~ρ = 0 (6)
(²to predstavlja kolinearnost vektora ~ω i ~ρ)
Vektori se posmatraju u prostornom sistemu x, y, z:
~ρ = {x, y, z} ~ω = {ωx, ωy, ωz}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku
kao
~ω × ~ρ = 0 ⇒ x
ωx=
y
ωy=
z
ωz(7)
Jedna£ina (7) je jedna£ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u
prostornim koordinatama
Jedna£ine (7) odre�uju pravu u prostoru Oxyz sa kojom se u
datom trenutku poklapa trenutna osa rotacije
To su parametarske jedna£ine konusne povr²i - NEPOKRETAN
AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja
tela)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
Vektori se posmatraju u materijalnom sistemu Aξηζ:
~ρ = {ξ, η, ζ} ~ω = {ωξ, ωη, ωζ} = {p, q, r}
Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku
kao
~ω × ~ρ = 0 ⇒ ξ
p=η
q=ζ
r(8)
Jedna£ina (8) je jedna£ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u
materijalnim koordinatama
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
*** Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
Jedna£ine (8) odre�uju skup ta£aka tela koje se u datom
trenutku poklapaju sa trenutnom osom rotacije
To su parametarske jedna£ine konusne povr²i - POKRETAN
AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja
tela, u materijalnim koordinatama)
Zajedni£ka izvodnica OBA aksoida je trenutna osa rotacije (u
datom trenutku)
Moºe da se pokaºe da se poktretan aksoid kotrlja bez klizanja
po nepokretnom aksoidu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
*** Pokretan i nepokretan aksoid - sferno kretanje
Skup svih pravih duº kojih je brzina ta£aka bila jednaka nuli u
toku obrtanja tela oko nepokretne ta£ke predstavlja konusnu
materijalnu povr² u telu, sa vrhom u ta£ki A
Nepokretan aksoid predstavlja geometrijsko mesto pravih linija
u prostoru sa kojima se u odre�enom trenutku poklapala
trenutna osa rotacije tela i time predstavlja NEPOKRETAN
geometrijski objekat
Pokretan aksoid, kao materijalna povr² u telu, kre¢e se zajedno
sa telom pri njegovom obrtanju oko nepokretne ta£ke i time
predstavlja POKRETAN geometrijski objekat
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Jedna£ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
**** Skalarni prikazi brzine ta£ke tela
Brzina ta£ke tela koje vr²i proizvoljno (op²te) kretanje je data
sa
~v = ~vA + ~ω × ~ρ (9)
Skalarni oblik (9) u odnosu na PROSTORNE koordinate je
~v =
vxvyvz
=
xAyAzA
+
ωy(z − zA)− ωz(y − yA)ωz(x− xA)− ωx(z − zA)ωx(y − yA)− ωy(x− xA)
Skalarni oblik (9) u odnosu na MATERIJALNE koordinate je
~v =
vξvηvζ
=
vAξvAηvAζ
+
ζ q − η rξ r − ζ pη p− ξ q
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
**** Skalarni prikazi brzine ta£ke tela
U MATERIJALNOM opisu (u odnosu na sistem Aξηζ) se prati
kretanje jedne odre�ene ta£ke tela
(ξ = const, η = const, ζ = const)
To je Lagrange-ov opis kretanja (brzine)
u PROSTORNOM opisu (u odnosu na sistem Oxyz) seprikazuje brzina one ta£ke tela koja se u datom trenutku nalazi
u ta£ki prostora sa koordinatama (x, y, z). U narednom
trenutku se u toj ta£ki prostora nalazi neka druga ta£ka tela
To je Euler-ov opis kretanja (brzine)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Vektor poloºaja ta£ke tela
~r = ~rA + ~ρ
Vektor brzine ta£ke tela (izvod vektora poloºaja)
~v =d~r
dt= ~vA + ~ω × ~ρ
Vektor ubrzanja ta£ke tela (izvod vektora brzine)
~a =d~v
dt=
d
dt(~vA + ~ω × ~ρ)
Vektori su izraºeni u inercijalnom i u pokretnom sistemu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
Posmatra se proizvoljan vektor izraºen u sistemu pokretnih osa:
~b = ~b(t) = {bξ, bη, bζ} = bξ~λ+ bη~µ+ bζ~ν
Izvod po vremenu vektora ~b(t) je dat sa:
d~b
dt= bξ~λ+ bξ
d~λ
dt+ bη~µ+ bη
d~µ
dt+ bζ~ν + bζ
d~ν
dt(10)
Pokretan sistem Aξηζ se obr¢e (kao deo tela) oko ta£ke A, u
odnosu na nepokretan sistem Oxyz, sa ugaonom brzinom ~ω
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
Sistem materijalnih osa moºe da se posmatra kao rogljasto
telo. Ta£ke P1, P2 i P3 su krajevi jedini£nih veltora ~λ, ~µ i ~ν.
Tako je, npr., vektor ~λ vektor poloºaja ta£ke P1: ~λ =−→AP 1
Kao ²to se iz relacije d~ρ = �~θ × ~ρ dobija
d~ρ = �~θ × ~ρ / : dt ⇒ d~ρ
dt=
�~θ
dt× ~ρ = ~ω × ~ρ
tako se i za vektor ~λ, kao za vektor poloºaja ta£ke P1 (vektor~λ je vektor ~ρ za ta£ku P1), moºe da napi²e:
d~λ
dt= ~ω × ~λ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
Na isti na£in se i za vektore ~µ i ~ν, kao za vektore poloºaja
ta£aka P2 i P3, moºe da napi²e:
d~µ
dt= ~ω × ~µ, d~ν
dt= ~ω × ~ν
Unose¢i ovo u relaciju (10), dobija se
d~b
dt= bξ~λ+ bξ ~ω × ~λ+ bη~µ+ bη ~ω × ~µ+ bζ~ν + bζ ~ω × ~ν
odnosno, izdvajanjem zajedni£kog faktora ~ω,
d~b
dt= bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν + ~ω × (bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν) (11)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
Prema tome, izvod vektora ~b(t) po vremenu, izraºenog u
sistemu pokretnih osa, se sastoji iz dva £lana:
~b(t) = {bξ, bη, bζ} ⇒ d~b
dt=
∗~b+ ~ω ×~b
gde je∗~b lokalni izvod vektora ~b:
∗~b = {bξ, bη, bζ} = bξ ~λ+ bη ~µ+ bζ ~ν
dok je £lan ~ω ×~b posledica rotacije pokretnog sistema sa
ugaonom brzinom ~ω
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Izvod po vremenu vektora poloºaja ~ρ
~ρ =∗~ρ+ ~ω × ~ρ ⇒ ~ρ = ~ω × ~ρ
jer je ~ρ = const, pa je∗~ρ = 0 (kruto telo)
Izvod po vremenu vektora ugaone brzine ~ω
~ω =∗~ω + ~ω × ~ω ⇒ ~ω =
∗~ω = ~ε
jer je ~ω × ~ω = 0 (kolinearni vektori)
Vektor ~ε je vektor ugaonog ubrzanja tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa:
~a =d~v
dt=
d
dt(~vA + ~ω × ~ρ)
pa se dobija
~a = ~aA +d~ω
dt× ~ρ+ ~ω × d~ρ
dt
Imaju¢i u vidu diferenciranje vektora ~ω i ~ρ, dobija se
~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela je dato sa
~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ) (12)
U izrazu (12) su:
~aA . . . ubrzanje referentne ta£ke A
~ε× ~ρ . . . rotaciono ubrzanje
(posledica promene intenziteta ugaone brzine)
~ω × (~ω × ~ρ) . . . aksipetalno ubrzanje
(posledica promene pravca ugaone brzine)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Kinematika krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato
sa:
~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)
Rotaciono ubrzanje ~ε× ~ρ ima pravac tangente na deo kruºnice
u ravni ⊥ na trenutnu osu rotacije
Aksipetalno ubrzanje ~ω × (~ω × ~ρ) je usmereno ka trenutnoj osi
rotacije (u pravcu polupre£nika dela kruºne putanje)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Brzina ta£ke krutog telaUbrzanje ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela - op²te kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Ta£ka se kre¢e relativno u odnosu na telo
Ta£ka P se kre¢e po telu koje se tako�e kre¢e
Dvostruko kretanje ta£ke:
- ta£ka se kre¢e po telu . . . relativno kretanje
- telo se pri tome kre¢e . . . prenosno kretanje
Ukupno kretanje ta£ke je apsolutno (sloºeno) kretanje
Ta£ka tela M na kojoj se trenutno nalazi pokretna ta£ka se
zove koincidentna ta£ka (P ≡M)
Vektor poloºaja ta£ke koja se kre¢e po telu:
~r = ~rA + ~ρ pri £emu je ~ρ = ~ρ(t) = {ξ(t), η(t), ζ(t)}
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sadrºaj
1 Posebni oblici kretanja krutog tela
Translatorno kretanje krutog tela
Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
Rotacija krutog tela oko nepokretne ta£ke
2 Brzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Brzina ta£ke krutog tela
Ubrzanje ta£ke krutog tela
3 Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£ke
Brzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje
Vektor poloºaja ta£ke koja vr²i sloºeno kretanje
~r = ~rA + ~ρ
pri £emu je
~r = {x, y, z} ~rA = {xA, yA, zA}
~ρ = {ξ(t), η(t), ζ(t)} = ξ(t)~λ(t) + η(t) ~µ(t) + ζ(t)~ν(t)
Vektor brzine je izvod po vremenu vektora poloºaja
~v =d~r(t)
dt=d~rAdt
+d~ρ
dt
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje
Imaju¢i u vidu diferenciranje po vremenu vektora u sistemu
materijalnih koordinata, u ovom slu£aju vektora ~ρ, dobija se
~v = ~vA +∗~ρ+ ~ω × ~ρ
Vektor poloºaja ta£ke ima promenljive koordinate, jer se ta£ka
kre¢e po telu, tako da postoji i lokalni izvod vektora ~ρ
Izraz za brzinu sloºenog kretanja ta£ke po telu (apsolutna
brzina) moºe da se pi²e u obliku
~vaps = ~vpren + ~vrel (13)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje
Apsolutna brzina je jednaka vektorskom zbiru prenosne i
relativne brzine
Prenosna brzina u izrazu (13) je brzina koincidentne ta£ke
(odn. brzina one ta£ke tela na kojoj se u tom trenutku nalazi
pokretna ta£ka) i data je sa
~vpren = ~vA + ~ω × ~ρ (14)
Relativna brzina u izrazu (13) je brzina pokretne ta£ke
relativno u odnosu na telo po kome se kre¢e i data je sa
~vrel =∗~ρ = {ξ, η, ζ} (15)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje
Apsolutno ubrzanje ta£ke koja vr²i sloºeno kretanje je jednaka
izvodu po vremenu apsolutne brzine:
~aaps =d~vapsdt
=d~vprendt
+d~vreldt
Dobija se
~aaps =d~vAdt
+d~ω
dt× ~ρ+ ~ω × d~ρ
dt+d
dt(∗~ρ)
odn.
~aaps = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (∗~ρ+ ~ω × ~ρ) +
∗∗~ρ + ~ω ×
∗~ρ (16)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Sloºeno kretanje ta£ke - brzina i ubrzanje
Grupisanjem i sre�ivanjem izraza (16) se dobija
~aaps = ~apren + ~arel + ~acor (17)
U izrazu (17) su, redom, prenosno, relativno i Koriolisovo
ubrzanje:
~apren = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)
~arel =∗∗~ρ = {ξ, η, ζ}
~acor = 2 ~ω ×∗~ρ = 2 ~ω × ~vrel
(18)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
Primer
Horizontalna plo£a se konstantnom ugaonom brzinom obr¢e
oko vertikalne ose. U idealno glatkom ºljebu koji je za b udaljenod ose obrtanja moºe da se kre¢e materijalna ta£ka mase m.
Odrediti brzinu ta£ke, ubrzanje ta£ke, i napisati diferencijalnu
jedna£inu relativnog kretanja ta£ke unutar ºljeba.
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Posebni oblici kretanja krutog telaBrzina i ubrzanje ta£ke krutog tela
Sloºeno kretanje ta£ke po telu
Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta£keBrzina i ubrzanje ta£ke pri sloºenom kretanju
Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2