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Technische Informatik I Vorlesung 3: Bool'sche Algebra Mirco Hilbert [email protected] versität Bielefeld hnische Fakultät

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Page 1: Technische Informatik I Vorlesung 3: Bool'sche Algebra Mirco Hilbert mail@Mirco-Hilbert.de Universität Bielefeld Technische Fakultät

Technische Informatik I

Vorlesung 3: Bool'sche Algebra

Mirco [email protected]

Universität BielefeldTechnische Fakultät

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 2

Übersicht

· Bool'sche Algebra· Operatoren und Eigenschaften· Schaltzeichen· Wertetabellen· Bearbeitung durch algebraische Gleichungen

· Schaltfunktionen· einfache Schaltnetze· Normalformen

· disjunktive Normalform· konjunktive Normalform

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 3

Informationsrepräsentation

· Informationen wie Buchstaben und Zahlen können als Summe von Faktoren mit fester Basis dargestellt werden

· Diese Informations-Repräsentation wird physikalisch realisiert. Also wird folgendes erwünscht:· Die Verarbeitung der physikalischen Repräsentation

sei identisch mit der Umformung der logischen Repräsentation

· Zu jedem Zeitpunkt existiert eine eineindeutige Abbildung zwischen logischer und physikalischer Repräsentation

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 4

Mögliche physikalische Repräsentationen

Verschiedene physikalische Repräsentationen sind denkbar:·Stärke eines hydraulischen oder elektrischen Stroms·Farbe, Intensität oder Phasenlage von Licht·stufenlos veränderbare Spannungspegel·drei diskrete Spannungspegel (3-wertige Logik): negative / keine / positive Spannung·zwei diskrete Spannungspegel (2-wertige binäre Logik): Spannung / keine Spannung

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 5

Heutiger Stand der Technik

· binäre Basis, d.h. Darstellung durch die Menge der bool'schen Werte

2 = {0, 1}· Info-Repräsentation durch Binärwörter.

· Ein Binärwort der Länge n ist ein Element von

· exp(2, n) = 2 x 2 x .... x 2= {0,1} x {0,1} x ... x {0,1}

· Sequenz/Tupel von 0 und 1, Länge n

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 6

Heutige Stand der Technik

· Elektrische Info-Verarbeitung durch Funktionen auf Binärwörtern (Bool'sche Funktionen, Schaltfunktionen)

· Schaltnetze als Realisierung (physikalische Repräsentation) logischer Schaltfunktionen

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 7

Bool'sche Algebra

Definition (Binäre Bool'sche Algebra)

Ein algebraisches System (2, Ù, Ú, Ø)· Ù (logisches UND) binäre Funktion· Ú (logisches ODER) binäre Funktion· Ø (logisches Komplement, NICHT) unäre Fkt

· Wertebereich {0,1}· Funktionen definierbar durch Tabellen, wie

folgt

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 8

Bool'sche Algebra

· Wertebereich {0, 1}· Unäre Funktion definiert durch

· f(0) = ??· f(1) = ??

· Binäre Funkion definiert durch· g(0,0) = ??· g(0,1) = ??· g(1,0) = ??· g(1,1) = ??

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 9

Bool'sche Algebra

· Wir schreiben Ø in Präfix-Notation: Øa oder a· Wir schreiben Ù und Ú in Infix-Notation:

· Statt Ù(a,b) schreiben wir (a Ù b)· Das gleiche für Ú

· Funktionen also definiert, wie folgt:· Ø0 = 1 Ø1 = 0· 0 Ù 0 = 0 1 Ù 1 = 1

0 Ù 1 = 1 Ù 0 = 0· 0 Ú 0 = 0 1 Ú 1 = 1

1 Ú 0 = 0 Ú 1 = 1

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 10

Schaltzeichen

· alte Norm

· neue Norm

· amerikanische Norm

UND (AND) Ù ODER (OR) Ú NICHT (NOT) Ø

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 11

Bool'sche Funktionen

· bool'sche Funktionen

· Wertetabellen

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 12

Bool‘sche Basis-Operatoren I

Theorem: Alle binäre bool'schen Funktionen sind

eine Komposition der beiden Basis-Operatoren Ù und Ø ; bzw. Ú und .ØBeweis: Es gibt 16 binäre Bfnen (siehe unten).

Man schreibt die Kompositionen, wie gewünscht.

Beispiel: Nach dem Gesetz von DE MORGAN läßt sich Ú ausdrücken durch:

a Ú b = Ø(Øa Ù Øb)

Ebenso läßt sich Ù ausdrücken durch:a Ù b = Ø(Øa Ú Øb)

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 13

Bool'sche Gleichungen

· De Morgan'sche Gesetze· Ø (a Ù b) = (Ø a) Ú (Ø b)

· a=0, b=0: Ø (0 0Ù ) = Ø 0 = 1 = 1 1 = Ú (Ø 0) Ú (Ø 0)

· a=0, b=1: Ø (0 1Ù ) = Ø 0 = 1 = 1 0 = Ú (Ø 0) Ú (Ø 1)

· a=1, b=0: Ø (1 0Ù ) = Ø 0 = 1 = 0 1 = Ú (Ø 1) Ú (Ø 0)

· a=1, b=1: Ø (1 1Ù ) = Ø 1 = 0 = 0 0 = Ú (Ø 1) Ú (Ø 1)

· Ø (a Ú b) = (Ø a) Ù (Ø b)· Ähnlicher Beweis

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 14

Ein Basis-Theorem

Theorem: Alle bool'schen Funktionen (unäre, binäre, n-äre für jede positive ganze Zahl n) sind

eine Komposition der beiden Basis-Operatoren Ù und Ø ; bzw. Ú und .Ø

Beweis: Ausgelassen.

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 15

Bool‘scher Basis-Operator II

Theorem: Alle binären bool'schen Funktionen sind eine Komposition des Operators NAND:

a NAND b := Ø(a Ù b)Beweis: Die Negation Ø läßt sich ausdrücken durch:

Øa = Ø(a Ù a) = a NAND aDie Konjunktion Ù und Disjunktion Ú durch:

a Ù b = ØØ(a Ù b) = Ø(a NAND b)= (a NAND b) NAND (a NAND b)

a Ú b = ØØa Ú ØØb = Ø(Øa Ù Øb) = Øa NAND Øb

= (a NAND a) NAND (b NAND b)

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 16

Bool‘scher Basis-Operator III

Theorem: Das gleiche gilt für den Scheffer'schen Strich | (NOR):

a | b := Øa Ù ØbBeweis:

Für die Negation:

Øa = Øa Ù Øa = a | aDie Disjunktion:

a Ú b = Ø(Øa Ù Øb) = Ø(a | b) = (a | b) | (a | b)Die Konjunktion: Übung !

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 17

Mögliche Kombinationen zweier boolscher Variablen

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 18

Anzahl von Bool'sche Funktionen

· Unäre Schaltfunktionen:· Domäne-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente· Ziel-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente· Zwei Elemente in der Domäne, jeweils ein Wert aus

dem Zielwertebereich und zwei möglich Werte· Auswahlsmöglichkeiten also exp(2,2) = 4

· f(0) = 0, f(1) = 0 : False· f(0) = 0, f(1) = 1: Identität· f(0) = 1, f(1) = 0: Negation Ø· f(0) = 1, f(1) = 1: True

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 19

Anzahl von Bool'sche Funktionen

· Binäre Schaltfunktionen:· Domäne-Wertebereich: {0,1} x {0,1}

also exp(2.2) = 4 Elemente· Ziel-Wertebereich: {0,1} also zwei Elemente· Vier Elemente in der Domäne, jeweils ein Wert aus

dem Zielwertebereich und zwei möglich Werte· Auswahlsmöglichkeiten also exp(2,4) = 16 binäre

Schaltfunktionen

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 20

Anzahl möglicher Schaltfunktionen I

· Wir haben gesehen: Es gibt 16 verschiedene mögliche Schaltfunktionen bei gerade mal 2 Eingangsvariablen.

· Wie viele Funktionen sind aber bei n Eingangsvariablen möglich?· Sei f: 2 n ® 2 eine Schaltfunktion mit n frei

belegbaren Variablen.· Dann gibt es 2 n mögliche Kombinationen von

Wertebelegungen für die n Variablen· Eine bestimmte Funktion f ist für jede dieser w = 2 n

Eingangskombinationen definiert, sie produziert also w Ergebnisse (jeweils 0 oder 1).

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 21

Anzahl möglicher Schaltfunktionen II

· Durch die Wahl unterschiedlicher Schaltfunktionenf: 2 n ® 2 lassen sich für diese w Ergebnisse 2 w Ergebniskombinationen vorschreiben.

· Es existieren also genau 2 w = 2 2 n bool‘sche

Funktionen, die alle möglichen Wertkombinationen der Eingangsvariablen auf alle Kombinationen von Resultaten abbilden.

· Bei n = 2 Eingangsvariablen existieren also 2 2 2

= 2 4 = 16 mögliche Schaltfunktionen.· Bei n = 3 schon 2 2 3

= 2 8 = 256.

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 22

Auswahl von Schaltfunktionen

· Wir kürzen, wie folgt: XYZW bedeutet· f(0,0) = X, f(0,1) = Y, f(1,0) = Z, f(1,1) = W

· Wichtigste Funktionen sind· 0000: False; 1111: True· 0011: 1er Projektion; 0101: 2er Projektion· 0001: and; 0111: or· 1110; nand; 1000: nor, oder Scheffer'sche Strich· 0110: xor· 1001: äquivalenz; 1101: implikation (material

conditional); 1011: reverse-implikation;

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 23

Schaltfunktion

· Eine n-äre Schaltfunktion bzw. Bool'sche Funktion ist eine Abbildung

· f: exp(2,n) ® 2{0,1} x {0,1} x ... x {0,1} ® {0,1}

· z.B. f(x,y,z): exp(2,3) ® 2{0,1} x {0,1} x {0,1} ® {0,1}f(0,0,0) = 0f(0,0,1) = 1f(0,1,0) = 1f(0,1,1) = 0 ..........

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 24

Beispiel 1

· Schaltfunktion:

· Wertetabelle:

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 25

Beispiel 1 - Schaltnetz

· Schaltfunktion:

· Realisierung als Schaltnetz

· Funktion ist eine Komposition von Ù und Ú

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 26

Beispiel 2: Antivalenz (XOR)

· Schaltfunktion:

· Wertetabelle:

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 27

Beispiel 2 - Schaltnetz

· Schaltfunktion:

· Realisierung als Schaltnetz:

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 28

Abkürzungsnotation I

Da das Assoziativgesetz gilt, läßt sich

analog für beliebig großes i.

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 29

Abkürzungsnotation II

Der Übersichtlichkeit halber werden Inverter (NICHT-Schaltzeichen) nicht explizit eingezeichnet sondern durch invertierte Eingänge der nachfolgenden Schaltzeichen ausgedrückt.Somit läßt sich

auch notieren als

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 30

Beispiel 3

Abkürzende Notation:

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 31

Beispiel 3 - vereinfachbar?

Kann man die Schaltfunktion

aus Beispiel 3 noch vereinfachen?

Schauen wir uns folgende Wertetabelle an:

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 32

Beispiel 3 - vereinfachbar?

Die Wahrheitswert-Belegungen der beiden bool'schen Funktionen

und

sind gleich.

Somit sind sie äquivalent.

Wie aber läßt sich das formal beweisen?

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 33

Theoreme der Bool‘schen Algebra I

· Kommutativgesetza Ù b = b Ù a a Ú b = b Ú a

· Assoziativgesetz(a Ù b) Ù c = a Ù (b Ù c) (a Ú b) Ú c = a Ú (b Ú c)

· Absorptionsgesetza Ù (a Ú b) = a a Ú (a Ù b) = a

· Idempotenzgesetza Ù a = a a Ú a = a

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 34

Theoreme der Bool‘schen Algebra II

· Distributivgesetza Ù (b Ú c) = (a Ù b) Ú (a Ù c)a Ú (b Ù c) = (a Ú b) Ù (a Ú c)

· Gesetz von DE MORGAN

Ø(a Ù b) = Øa Ú Øb Ø(a Ú b) = Øa Ù Øb

· Beweise? Gleich wie bei De Morgan· Theorem: Alle wahre Gleichungen (Gesetze) in

, Ø Ù , Ú sind Konsequenzen dieser GesetzeBeweis: Ausgelassen

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 35

Beispiel 3 - Vereinfachung

läßt sich nach dem Kommutativgesetz umformen zu:

Das läßt sich nach dem Absorptionsgesetz umformen zu:

Somit ist die Äquivalenz der beiden Schaltfunktionen bewiesen.

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 36

Beispiel 3 - Vereinfachung

Somit läßt sich die Schaltung

vereinfachen zu

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Mai 02, 2002 Vorlesung 3: Bool'sche Algebra 37

Literatur und Links

· Structured Computer OrganizationAndrew S. Tanenbaum, Prentice Hall, 1999

· Lectures on Boolean AlgebraPaul Halmos, Springer-Verlag

· Rechneraufbau und RechnerstrukturenW. Oberschelp und G. Vossen, 6. Aufl.,R. Oldenbourg-Verlag, 1994

· Kurz-Zusammenstellung„Formale Methoden der Linguistik I“Mirco Hilbert, WS 2000/01

· elearn.rvs.uni-bielefeld.de

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Technische Informatik I

Nächste Woche:Vorlesung 4: Vereinfachung von

Schaltfunktionen

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