te 226 - sistem linier · pdf file1 persamaan diferensial linier (linear di erential equation)...

TE 226 - Sistem Linier

Jimmy Hasugian

Electrical Engineering - Maranatha Christian University

[email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

Sistem Waktu Kontinu

Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 1 / 29

Pendahuluan

Metode matematika yang digunakan untuk menganalisis sebuah sistemliner yang tak-ubah-waktu (linear time invariant system - LTIS) dapatdilakukan secara time/sequence domain atau secara transform domain.

Pada bagian ini akan dipaparkan 3 (tiga) metode secara time domainuntuk sistem waktu-kontinu (continuous-time system), yaitu:

1 persamaan diferensial linier (linear differential equation)

2 fungsi respons impuls (impulse-response function)

3 formuliasi variabel-keadaan (state-variable formulation)


Persamaan Diferensial Linier


Secara dasar, sistem dapat direpresentasikan melalui persamaan diferensiallinier biasa/PDB (ordinary linear differential equation).

Theorem (Linear Differential Equation)

Secara umum, sistem dapat dinyatakan melalui Persamaan DiferensialBiasa:

bndny(t)

dtn+ bn−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ b1

dy(t)

dt+ y(t) = x(t) (1)

atau dapat juga ditulis sebagai:

(bnDn + bn−1D

n−1 + . . .+ b1D + 1)[y(t)] = x(t) (2)

dengan D ≡ ddt (differential operator)




Diperkenalkan linear operator L yang digunakan untuk menyatakan sistemdalam persamaan diferensial:

L{y(t)} = x(t) (3)

dengan

L = bnDn + bn−1D

n−1 + . . .+ b1D + 1 (4)

Solusi Umum dari persamaan (1) dibagi menjadi dua komponen, yaitu:

1 solusi homogen → yh(t)disebut juga solusi transien, natural, tanpa-sumber

2 solusi khusus (karena adanya sumber x(t)) → yp(t)disebut juga solusi non-homogen, tunak (steady-state)


Persamaan Diferensial Linier Solusi Homogen

Solusi Homogen

Solusi homogen dari persamaan (1) diperoleh jika sistem tidak memilikiinput, atau x(t) = 0, sehingga menjadi:

bndny(t)

dtn+ bn−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ b1

dy(t)

dt+ y(t) = 0

Solusi persamaan di atas diperoleh dengan mencari akar-akar daripersamaan (4)

L = bnDn + bn−1D

n−1 + . . .+ b1D + 1 = 0

atau dapat juga ditulis:

f (r) = bnrn + bn−1r

n−1 + . . .+ b1r + 1 = 0 (5)



Solusi Homogen

Persamaan (5) adalah bentuk polinomial, dan akar-akar dari persamaantersebut dibagi menjadi dua kondisi:

1 akar-akar beda (distinct roots)solusinya memiliki bentuk: ert

2 akar-akar sama (multiple roots)misalkan ada sebanyak p kali akar-akar r , makasolusinya memiliki bentuk: ert , tert , t2ert , . . . , tp−1ert

Akar-akar r dapat berupa bilangan ril ataupun kompleks. Khusus untukbilangan pasangan-kompleks (complex-pair) r = a± jb, maka solusi dapatjuga ditulis:

ert → e(a±jb)t → e(a+jb)t , e(a−jb)t eksponensial (6)

→ eat cos(bt) + eat sin(bt) trigonometri



Solusi Homogen

Solusi homogen dari persamaan L{y} = 0 dapat dituliskan sebagai:

yh(t) = y1(t) + y2(t) + . . .+ yk(t) (7)

dengan y1(t), y2(t), . . . , yk(t) dapat memiliki bentuk seperti yangdijelaskan pada slide sebelumnya

Sebagai contoh:Carilah solusi homogen untuk persamaan diferensial y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 0Ubah ke dalam operator D menjadi: (D3 − D2 + D − 1)[y ] = 0Sehingga persamaan untuk mencari akar-akar: f (r) = r3 − r2 + r − 1 = 0diperoleh: r1 = 1, r2 = j , r3 = −jMaka solusi homogen:yh(t) = c1e

t + c2ejt + c3e

−jt atauyh(t) = c1e

t + c ′2 cos(t) + c ′3 sin(t)


Persamaan Diferensial Linier Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi Khusus (Non-Homogen)

Solusi khusus ataupun non-homogen dicari apabila persamaan (1) memilikiinput, atau x(t) 6= 0.

Untuk mengatasi hal ini, dapat menggunakan operator pemusnah(annihilates operator) LA sehingga memenuhi:

LA{x(t)} = 0 (8)

Beberapa operator pemusnah dapat dilihat pada tabel berikut:

Table: Operator Pemusnah

x(t) LA

tk Dk+1

eat (D − a)α cos(bt) + β sin(bt) (D2 + b2)



Solusi Khusus (Non-Homogen)

Sifat Operator PemusnahJika LA1 adalah operator pemusnah untuk x1(t) dan LA2 adalah operatorpemusnah untuk x2(t), maka LA1LA2 dapat “memusnahkan”αx1(t) + βx2(t).

Apabila operator pemusnah untuk semua jenis input telah ditemukan,maka tinggal diterapkan untuk kedua sisi dalam persamaan diferensialuntuk mendapatkan solusi homogen dan solusi non-homogen (khusus).

Sehingga Solusi Umum (lengkap) dari persamaan diferensial seperti pada(1) adalah:

y(t) = yh(t) + yp(t) (9)

= c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t)+

cp1yp1(t) + cp2yp2(t) + . . .+ cpmypm(t) (10)



Contoh Soal

Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini:

1 y ′′(t) + y(t) = et

2 L{y(t)} = (D2 + 1)[y(t)] = sin(t), y(0) = 1, y ′(0) = 0

Jawaban:Soal 1Ubah dulu ke dalam operator D, sehingga menjadi: (D2 + 1)[y(t)] = et

Karena memiliki input x(t) = et , maka operator pemusnahnya: (D − 1)Sehingga secara lengkap dapat dituliskan:

L{y(t)} = x(t)

LAL{y(t)} = LAx(t)

(D − 1)(D2 + 1)[y(t)] = (D − 1)et

(D − 1)(D2 + 1)[y(t)] = 0



Contoh Soal

Nyatakan dalam bentuk polinomial:

f (r) = (r − 1)(r2 + 1) = 0

Ingat, bahwa bentuk (r − 1) diperoleh dari operator pemusnah karena adainput x(t) = et , sehingga bagian ini akan memberikan solusi khusus(non-homogen).

Akar-akar dari persamaan di atas: (r2 + 1)→ r1 = j , r2 = −j(r − 1)→ r3 = 1

Sehingga solusi dari persamaa diferensial tersebut adalah:

y(t) = yh(t) + yp(t)

= c1ejt + c2e

−jt + c3et

PENTING! Bagaimana mencari nilai dari koefisien c1, c2, c3?Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 12 / 29


Contoh Soal

y(t) = yh(t) + yp(t)

= c1ejt + c2e

−jt + c3et

Dalam soal ini, koefisien c1, c2 adalah berasal dari solusi homogen.Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Homogen, diperoleh denganmemasukkan syarat batas ataupun kondisi awal (initial condition).Biasanya hal ini diketahui dalam soal.

Dalam soal ini, koefisien c3 adalah berasal dari solusi khusus(non-homogen).Untuk mencari nilai koefisien dari Solusi Khusus, diperoleh denganmen-substitusi bentuk solusi khusus ke dalam persamaan diferensial yangditanya.

Dalam kasus ini, kita hanya bisa mencari koefisien dari solusi khusus (c3)Jimmy Hasugian (MCU) Sistem Waktu Kontinu 13 / 29


Contoh Soal

Substitusikan solusi khusus yp(t) = c3et ke dalam persamaan diferensial

yang ditanya.

y ′′(t) + y(t) = et → y ′′p (t) + yp(t) = et

Sehingga menjadi:

c3et + c3e

t = et

2c3et = et

Dengan demikian: 2c3 = 1→ c3 = 12

Sehingga solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah:

y(t) = c1ejt + c−jt2 +

1

2et


Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial dalam (1) dapat diperluas lagi sehingga memilikibentuk umum menjadi:

bndny(t)

dtn+ bn−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ b1

dy(t)

dt+ y(t)

= amdmx(t)

dtm+ am−1

dm−1x(t)

dtm−1+ . . .+ a1

dx(t)

dt+ a0x(t) (11)

atau dapat juga ditulis dengan menggunakan operator diferensial:

(bnDn + bn−1D

n−1 + . . .+ b1D + 1)[y(t)]

= (amDm + am−1D

m−1 + . . .+ a1D + a0)[x(t)] (12)

atau dengan menggunakan operator L:

L{y(t)} = LD{x(t)} (13)


Persamaan Diferensial Linier Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Misalkan:

x̂(t) = LD{x(t)} (14)

sehingga persamaan (13) dapat ditulis sebagai:

L{y(t)} = x̂(t) (15)

yang memiliki bentuk yang identik dengan persamaan (3).

Apabila sistem memiliki input x(t) 6= 0, maka operator pemusnah LA yangberlaku untuk x(t) juga berlaku untuk x̂(t), persamaan (12) dan (13)dapat dikerjakan dengan:

LA.L{y(t)} = LA.LD{x(t)} (16)

LA.L{y(t)} = LA.x̂(t)


Persamaan Diferensial Linier Diagram Blok

Diagram Blok

Salah satu kasus yang dihadapi adalah menurunkan model persamaandiferensial suatu sistem dari suatu diagram blok yang diberikan. Misalkandiketahui diagram blok sistem seperti berikut:

dimisalkan sinyal a sebelum blok integrasi pertama, dan sinyal b setelahblok integrasi kedua∫

a = y → a = y ′∫y = b

Dapat diturunkan:a = x − b

y ′ = x −∫y

y ′′ = x ′ − y → y ′′ + y = x ′′

d2y(t)dt2

+ y(t) = d2x(t)dt2


Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Respons (tanggapan) frekuensi dari sebuah sistem waktu-kontinuditentukan dari respons (tanggapan) tunak (steady state) terhadap inpute jωt . Output dari sistem yang linier dan time-invariant akan selalumemiliki bentuk H(jω)e jωt . Dengan kata lain, output dari sistem memilikibentuk eksponensial kompleks yang sama dengan input, namun memilikiamplitudo dan fase yang termodifikasi oleh fungsi sistem H(jω).

Nilai |H(jω)| disebut sebagai respons amplitudo atau respons magnitude,sementara arg[H(jω)] disebut sebagai respons fasa.


Respons Frekuensi

Respons Frekuensi

Misalkan diketahui sebuah sistem yang dapat dinyatakan sepertipersamaan (11) atau dapat dinyatakan seperti persamaan (12). Makasesuai dengan penjelasan sebelumnya:

y(t) = H(jω)e jωt (17)

dengan H(jω) =a0 + a1jω + . . .+ am(jω)m

1 + b1jω + . . .+ bn(jω)n(18)

Persamaan (17) adalah satu-satunya solusi khusus (non-homogen).Dengan demikian, H(jω)e jωt adalah solusi tunak (steady-state) yang unikuntuk input x(t) = e jωt .

Persamaan (18) adalah persamaan yang penting. Ternyata kita dapatmenghitung H(jω) secara langsung dari model persamaan diferensial suatusistem. Namun perlu diingat, hal ini hanya berlaku untuk sistem yanglinier dan time-invariant (LTIS)


Respons Frekuensi

Contoh Soal

Diketahui suatu sistem rangkaian RC sederhana seperti gambar di atas.Misalkan input x(t) = ei (t) (sumber tegangan) dan output y(t) = eo(t)(tegangan pada kapasitor C ). Tentukanlah respons frekuensi dari sistemtersebut!


Respons Frekuensi

Contoh Soal

JawabanGunakan Hukum II Kirchoff, sehingga diperoleh:

−ei (t) + Ri(t) + eo(t) = 0

ei (t) = Ri(t) + eo(t)

dengan

eo(t) =1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ

Maka model persamaan diferensial untuk sistem di atas menjadi:

x(t) = Ri(t) + y(t) (19)

x(t) = Ri(t) +1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ (20)


Respons Frekuensi

Contoh Soal

Dari persamaan (19) dapat diperoleh:

i(t) =x(t)− y(t)

R(21)

Kita diferensialkan kedua sisi dari persamaan (20) untuk meniadakanunsur integral pada i(τ), sehingga menjadi:

dx(t)

dt= R

di(t)

dt+

1

Ci(t) (22)

Lalu substitusikan persamaan (21) ke dalam (22) sehingga diperoleh:

dx(t)

dt= R

d

dt

[x(t)− y(t)

R

]+

1

C

[x(t)− y(t)

R

](23)


Respons Frekuensi

Contoh Soal

Sederhanakan hasil yang diperoleh pada persamaan (23), sehinggamembentuk model persamaan diferensial:

dy(t)

dt+

1

RCy(t) =

1

RCx(t) (24)

Respons frekuensi sistem, sesuai persamaan (18)

H(jω) =1RC

1RC + jω

=1

1 + jωRC

=1− jωRC

1 + (ωRC )2(25)


Respons Frekuensi

Contoh Soal

Respons amplitudo:

|H(jω)| =

{1 + (ωRC )2

[1 + (ωRC )2]2

} 12

=

[1

1 + (ωRC )2

] 12

(26)

Respons Fasa:

arg[H(jω)] = − tan−1(ωRC ) (27)


te 226 - sistem linier · pdf file1 persamaan diferensial linier (linear di erential equation)...

Documents