td d2 - correction 4 modi cation de...
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PSI - 2011/2012 1
TD D2 - Correction
4 Modi�cation de l'interfrange
La di�érence de marche dans l'air doit être multipliée par l'indice optique de l'eau, le déphasage
s'écrit donc : δ =2πnax
λ. Ainsi, l'interfrange est :
i =λD
na=
i0
n
5 Interféromètres et �gures d'interférences
2 TD D2 - Correction
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4 TD D2 - Correction
8 Étude d'un doublet
1. Les deux longueurs d'onde étant di�érentes, les sources sont incohérentes entre elles. On peut
donc simplement sommer les éclairement correspondant à chaque longueur d'onde. L'éclaire-
ment E s'écrit donc sous la forme :
E = E1 + E2
=E02
[1 + cos
(2πδ
λ1
)]+
E02
[1 + cos
(2πδ
λ2
)]
= E0
[1 + cos
(2πδ
[∆σ
2
])cos (2πδσ0)
]
On véri�e bien que E0 correspond à l'éclairement associé à chaque source en un point où δ = 0.
2. L'éclairement E(δ) correspond au produit de deux fonctions sinusoïdales de longueur d'onde
très di�érentes, et centrées sur un éclairement moyen E0. Le premier terme oscille beaucoup
plus lentement que le second.
0
E(δ)
δ
2E0
1/2∆σ1/2σ0
3. La première disparition des franges a lieu pour δ =1
2∆σ.
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9 Étoile double
1. Les étoiles étant situées à l'in�ni, les rayons qui nous parviennent d'une même étoile sont
parallèles.
On a α = θ1 − θ2
2. Comme les deux sources sont distinctes, elles sont nécessairement incohérentes, et les deux
systèmes de franges auxquels elles donnent naissance s'ajoutent simplement. Notons H1 le
projeté de S′ sur le rayon incident de S1 passant par S′′, et H2 le projeté de S′ sur le rayon
incident de S2 passant par S′′ (non représentés sur les schéma). Pour la première source, la
di�érence de marche entre les deux chemins optiques passant par les deux trous conduisent à :
δ1 = H1S′′ + S′′H = aθ1 + aθ = aθ1 +
axM
f ′
Pour la seconde source, la di�érence de marche s'écrit :
δ2 = aθ2 +axM
f ′
On obtient deux systèmes de franges de même interfrange i =λf ′
a, mais qui peuvent être
décalés les uns par rapport aux autres en fonction de la valeur de aα.
Le premier brouillage a lieu lorsque les franges sont brillantes pour une source et sombres pour
l'autre pour la première fois, c'est à dire lorsque la di�érence de phase entre les deux cas vaut
π. Ceci correspond donc à :2π(δ1 − δ2)
λ= π
On en tire :
α =λ
2a1
3. α = 2, 8× 10−6 rad = 0,6'.
Cette valeur d'angle est très faible, ce qui justi�e l'emploi d'un téléscope pour pouvoir le
mesurer. Cela justi�e également notre approximation de petit angle pour α.
6 TD D2 - Correction
10 Interférences lumineuses : dispositif des trous d'Young
10.1 Existence d'un champ d'interférences
1. D'après les seules lois de l'optique, on devrait observer sur l'écran deux points lumineux en
x = a/2 et x = −a/2 car la lumière se propage en ligne droite (dans un milieu homogène) et
seuls les rayons passant par S1 et S2 traversent la plaque.
D'après les lois de l'optique géométrique, les faisceaux issus de S1 et S2 ne se recouvrent pas :
il n'existe pas de champ d'interférences.
En réalité, la lumière est di�ractée au niveau des trous S1 et S2 : d'après le prince d'Huygens-
Fresnel, les trous S1 et S2 se comportent comme des sources secondaires ponctuelles émettant
des ondes sphériques. Si S1 et S2 ne sont pas in�niment petits, l'ouverture angulaire des
faisceaux après passage par S1 ou S2 est de l'ordre de θ ∼ 2λ/b où b est la dimension caracté-
ristique des trous. Ainsi, les faisceaux issus de S1 et S2 se recouvrent dans un domaine appelé
champ d'interférences et dans lequel il est possible d'observer des interférences.
2.
Figure 1 �
10.2 Description de la �gure d'interférences
1. Dans le cas des interférences à deux ondes, les surfaces d'intensité constante sont des hyper-
poloïdes de révolution autour de l'axe des sources S1S2.
Sur l'écran, on observe ces surfaces par la tranche : on observe donc, à l'intérieur du champ
d'interférences, des franges rectilignes, alternativement brillantes et sombres, orien-
tées suivant e⃗y et régulièrement espacées.
2. Si l'on obture l'un des trous, le champ d'interférences n'est plus dé�ni. On observe simple-
ment la �gure de di�raction du trou non obturé, c'est-à-dire des anneaux concentriques
alternativement brillants et sombres.
3. Si l'on déplace la plaque (P ) selon l'axe (Ox), la �gure d'interférences est elle ausi
déplacée de sorte que son centre appartienne à la médiatrice du segment [S1S2].
Si l'on déplace la plaque (P ) selon l'axe (Oy), rien ne se passe car la �gure d'interfé-
rences est formée de franges rectilignes orientées suivant e⃗y.
4. Si l'on translate l'écran (E) suivant l'axe z′z, l'interfrange est modi�é mais la �gure d'in-
terférences conserve la même structure.
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10.3 Di�érence de chemin optique
1. Dans le repère (O, e⃗x, e⃗y, e⃗z) : S1(a/2, 0,−D) et S2(−a/2, 0,−D) .
On en déduit
S1M =
√√√√(x−a
2
)2
+ y2 +D2 et S2M =
√√√√(x+a
2
)2
+ y2 +D2
Finalement
δ(M) = S2M − S1M =
√√√√(x+a
2
)2
+ y2 +D2 −
√√√√(x−a
2
)2
+ y2 +D2
2. En considérant que D ≫ a, x, y, on a, au premier ordre en x2/D2, y2/D2 ou a2/D2 :
S1M = D
√√√√√√1 +
(x−
a
2
)2
+ y2
D2≃ D
1 +(x−
a
2
)2
+ y2
2D2
= D +
(x−
a
2
)2
+ y2
2D(1)
S2M = D
√√√√√√1 +
(x+
a
2
)2
+ y2
D2≃ D
1 +(x+
a
2
)2
+ y2
2D2
= D +
(x+
a
2
)2
+ y2
2D(2)
où l'on a utilisé√1 + ϵ = 1 +
ϵ
2−
ϵ2
8+ o(ϵ3). Par di�érence on obtient
δ(M) = S2M − S1M =
(x+
a
2
)2
2D−
(x−
a
2
)2
2D⇒ δ(M) =
ax
D
3. La di�érence de marche ne dépend que de x : la coordonnée commune y des trous sources
S1 et S2 n'intervient pas dans la di�érence de marche. Il est donc possible de remplacer les
trous S1 et S2 par des fentes parallèles à l'axe (Oy). Le système des deux fentes peut alors
être considéré comme une in�nité de paires de trous d'Young distants de a.
10.4 Intensité lumineuse de l'onde résultante
1. L'onde émise à la date t en S1 se retrouve au point M à la date t + ∆tM = t +S1M
c. En
choisissant l'origine des temps en tM =S1M
c, on doit retrouver en M l'onde émise au point
S :
s1M (t) = s0 cos
[2πc
λ
(t−
S1M
c
)]De la même manière
s2M (t) = s0 cos
[2πc
λ
(t−
S2M
c
)]
8 TD D2 - Correction
2. La grandeur scalaire au point M est la somme des grandeurs scalaires s1M (t) et s2M (t) :
s(t) = s1M (t) + s2M (t) = s0 cos
[2πc
λ
(t−
S1M
c
)]+ s0 cos
[2πc
λ
(t−
S2M
c
)]
En utilisant la formule de trigonométrie cos a+ cos b = 2 cos
(a+ b
2
)cos
(a− b
2
), on trouve
s(t) = 2s0 cos
[π
λ(S2M − S1M)
]cos
[πc
λ
(2t−
S1M + S2M
c
)]ou encore
s(t) = 2s0 cos
(πδ
λ
)︸ ︷︷ ︸
indépendant du temps
cos
[πc
λ
(2t−
S1M + S2M
c
)]︸ ︷︷ ︸
dépendant du temps
3. De la relation I(M) = K⟨sM (t)2⟩, on déduit
I(M) = 4K s20 cos2
(πδ
λ
)⟨cos2
[πc
λ
(2t−
S1M + S2M
c
)]⟩Or la valeur moyenne sur une période d'un terme en cos2(ωt+ ϕ) vaut 1/2. On en déduit
I(M) = 2K s20 cos2
(πδ
λ
)
En utilisant 2 cos2 α = 1 + 2 cos 2α, cette expression se met sous la forme usuelle
I(M) = K s20
[1 + cos
(2πδ
λ
)]
En remplaçant δ(M) par sa valeur on trouve
I(M) = 2K s20 cos2
(πax
λD
)
4. L'intensité lumineuse est une fonction sinusoïdale de la coordonnée x du point M de l'écran.
L'interfrange est dé�nie par la période spatiale de l'intensité sur l'écran : c'est donc la distance
entre deux franges brillantes (ou sombres) successives. On a donc
I(x) = I(x+ i) =⇒ cos2
(πax
λD
)= cos2
(πax
λD+
πai
λD
)
La fonction cos2 étant π-périodique, l'interfrange est tel que
πai
λD= π =⇒ i =
λD
a
5. Le graphe de l'intensité en fonction de x est représenté ci-dessous.
6. L'ordre d'interférence est dé�ni par p = δ/λ. La frange d'ordre 0 correspond à p = 0 soit
δ = 0 = ax/D. La frange d'ordre 0 est située en x = 0.
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Figure 2 �
10.5 Interposition d'une lame à faces parallèles
1. Appelons S la source située à l'in�ni. La di�érence de marche en M entre les rayons passant
par S2 et S1 vaut
δ′(M) = [SS2M ] = [SS1M ]
Cette di�érence de marche se décompose en une di�érence de marche avant les trous S1 et S2
et une di�érence de marche due à la propagation après S1 et S2. Ainsi
δ′(M) = [SS2]− [SS1] + [S2M ]− [S1M ]︸ ︷︷ ︸δ(M)
La di�érence de marche [SS2]− [SS1] est due à la seule traversée de la lame de verre d'indice
n et d'épaisseur e. Pendant la traversée de la lame, le rayon passant par S2 parcourt le chemin
optique n × e tandis que le rayon passant par S1 parcourt e. Finalement [SS2] − [SS1] =ne− e = (n− 1)e et
δ′(M) = (n− 1)e+ δ(M) = (n− 1)e+ax
D
2. La frange d'ordre 0 est telle que δ′(M) = 0 soit (n − 1)e +ax
D= 0. La frange d'ordre 0 est
située en
x = −(n− 1)eD
a
et l'interfrange est resté le même (la lame n'a fait qu'ajouter une phase constante). La �-
gure d'interférence s'est donc translatée d'une distance d =(n− 1)eD
avers les x
décroissants.
Le sens de déplacement était prévisible puisque la lame de verre introduit un retard du rayon
passant par S2 qui ne peut être compensé qu'en un point plus proche de S2 que de S1, soit
x < 0.
10.6 Inclinaison du faisceau laser
1. Comme dans la partie précédente, la di�érence de marche enM se décompose en une di�érence
de marche avant les trous S1 et S2 et une di�érence de marche due à la propagation après S1
et S2. Ainsi
δ”(M) = [SS2]− [SS1] + [S2M ]− [S1M ]︸ ︷︷ ︸δ(M)
10 TD D2 - Correction
Appelons H le projeté orthogonal de S2 sur le rayon passant par S1 de sorte que le plan
ortogonal aux rayons lumineux et contenant (HS1) soit un plan d'onde. La seule di�érence de
marche à prendre à compte est celle due à la propagation après ce plan d'onde. Ainsi
[SS2]− [SS1] = [SS2]− [SH]− [HS1] = −[HS1] = −a sinα ≈ −aα
La di�érence de marche totale en M vaut donc
δ”(M) = −aα+ax
D
L'inclinaison du faisceau introduit, comme précédemment, une phase constante ce
qui a pour e�et de translater la �gure d'interférences sans changer l'interfrange.
2. La frange d'ordre 0 correspond à δ” = 0 soit x = αD . La frange d'ordre 0 est donc
située au niveau de l'image géométrique de la source S située à l'in�ni.